MODEL PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Devi Fitri Noviyanti(1241172105009)

2.1 Pengertian Model

Model adalah pola (contoh, acuan, ragam) dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan (Departemen P dan K, 1984:75).

Model adalah abstraksi dari sistem sebenarnya, dalam gambaran yang lebih sederhana serta mempunyai tingkat prosentase yang bersifat menyeluruh, atau model adalah abstraksi dari realitas dengan hanya memusatkan perhatian pada beberapa sifat dari kehidupan sebenarnya (Simamarta, 1983: ix – xii).

2.2 Pengertian Pembelajaran

Pembelajaran adalah proses interaksi peserta didik dengan pendidik dan sumber belajar pada suatu lingkungan belajar.

Menurut Dimyati dan Mudjiono (Syaiful Sagala, 2011: 62) pembelajaran adalah kegiatan guru secara terprogram dalam desain instruksional, untuk membuat belajar secara aktif, yang menekankan pada penyediaan sumber belajar

Dalam Undang-Undang No. 20 Tahun 2003 Tentang Sistem Pendidikan Nasional pasal 1 ayat 20 dinyatakan bahwa Pembelajaran 11 adalah Proses interaksi peserta didik dengan pendidik dan sumber belajar pada suatu lingkungan belajar.

Pembelajaran adalah usaha sadar dari guru untuk membuat siswa belajar, yaitu terjadinya perubahan tingkah laku pada diri siswa yang belajar, dimana perubahan itu dengan didapatkannya kemampuan baru yang berlaku dalam waktu yang relative lama dan karena adanya usaha.

2.3 Pengertian Pembuktian

Pembuktian Matematika adalah sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas rumus, teorema itu benar, dengan bantuan logika dan matematika.

A. Pembuktian Matematika

• Bukti menurut Educational Development Center (2003) adalah suatu argumentasi logis yang menetapkan kebenaran suatu pernyataan.

• Argumentasi memperoleh kesimpulannya dari premis pernyataan, teorema lain, definisi.

• Logis berarti setiap langkah dalam argumentasi dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.

• Dalam proses pembuktian, dapat melibatkan diagram, kalimat verbal, simbolik, atau program komputer .

• Griffiths (dalam Weber, 2003) menyatakan bahwa bukti matematik adalah suatu cara berpikir formal dan logis yang dimulai dengan aksioma dan bergerak maju melalui langkah-langkah logis sampai pada suatu kesimpulan.

B. Tujuan pembuktian

1. Educational Development Center (2003) adalah untuk:

a. menyusun fakta dengan pasti, b. memperoleh pemahaman, c. mengkomunikasikan gagasan kepada

orang lain, d. tantangan, e. membuat sesuatu menjadi indah, dan f. mengkonstruksi teori matematika.  

2. Weber (2003) • Penjelasan (explanation) • Sistemisasi (systemization) • Komunikasi (communication • Penemuan hasil baru (discovery of new result), • Pertimbangan suatu definisi (justification of a

definition) • Mengembangkan intuisi (developing intuition), • Menyediakan otonomi (providing autonomy),

2.4 Pendekatan Deduktif dan Pendekatan Induktif

Pendekatan deduktif merupakan proses penalaran yang bermula dari keadaan umum ke keadaan khusus sebagai pendekatan pengajaran yang bermula dengan menyajikan aturan, prinsip umum dan diikuti dengan contoh-contoh khusus atau penerapan aturan, prinsip umum ke dalam keadaan khusus.

Pendekatan induktif merupakan proses penalaran yang bermula dari keadaan khusus  menuju keadaan umum.

2.5 Metode Pembuktian

• Metode pembuktian diperlukan untuk meyakinkan kebenaran pernyataan atau teorema yang pada umumnya berbentuk implikasi atau biimpilikasi. Pembuktian pernyataan implikasi

menurut Martono (1999) antara lain terdiri atas metode bukti langsung, metode bukti tak langsung (bukti dengan kontraposisi dan kontradiksi).

• Untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan asli digunakan bukti dengan induksi matematik.

A. Macam-macam Metode Pembuktian

1. Bukti langsung Bukti langsung ini biasanya diterapkan

untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi

p →q. Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2

bilangan ganjil.

2. Bukti tak langsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi

p→ q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya q p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya. Buktikan, jika x2 bilangan ganjil maka x

bilangan ganjil.

3. Bukti kosong

Bila hipotesis p pada implikasi p q sudah bernilai salah maka implikasi p q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p → q.

Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut :“Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x A maka x B”. Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun.”

4. Bukti trivial

Bila pada implikasi p q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p q.

5. Bukti dengan kontradiksi

Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima oleh orang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p→q kita berangkat dari diketahui p dan q. Berangkat dari dua asumsi ini kita akan sampai pada suatu kontradiksi. Suatu kontradiksi terjadi bilamana ada satu atau lebih pernyataan yang bertentangan.

6. Bukti eksistensial

Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan tak konstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

7. Bukti ketunggalan

Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi, yaitu:

1. Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau

2. Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y y, ditunjukkan adanya suatu kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan metoda kontradiksi seperti yang sudah dibahas sebelumnya.

8. Bukti dengan counter example

Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya.

9. Bukti dengan induksi matematika

Secara umum penalaran di dalam matematika menggunakan pendekatan deduktif.

Untuk setiap n N, berlaku 1+2+3+......+n = 1/2(n+1).

10. Bukti dua arah

Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p q. Ada dua kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p q yaitu p benar dan q benar, atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari p q dan q p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p q berarti membuktikan kebenaran kedua implikasi p q dan q p. Selanjutnya dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan kontradiksi.