Bab 2 Pola dan Turutan NomborCorak/Pola Nombor dan Urutannya

Nombor-nombor yang disusun dalam corak tertentu dikenali sebagai urutan (sequence).Corak urutan nombor (number sequence) boleh ditentukan dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagikan ‘nombor dalam urutan yang sebelumnya’, dengan bilangan/nombor-nombor tertentu.Urutan Fibonacci (Fibonacci Sequence)Ahli matematik telah mengkaji corak selama berabad-abad. Corak nombor 1, 1, 2, 3, 5, 8, …dipanggil urutan Fibonacci.Urutan ini bermula dengan 1, 1 dan setiap selepas sebutan (term) yang kedua, diperolehi dengan menambah dua sebutan (term) sebelumnya yang terdapat dalam urutan.

Menggambarkan corak/pola urutan nomborGambarkan corak setiap urutan nombor berikut: 5, 12, 19, 26, …Jwb:

Corak urutan nombor 5, 12, 19, 26, … diperolehi dengan menambah (adding) 7 pada nombor sebelumnya (nombor dalam urutan). 1, 4, 16, 64, …Jwb:

Corak urutan nombor 1, 4, 16, 64, … diperolehi dengan mendarabkan (multiplying) nombor dalam urutan sebelumnya dengan 4. 40, 35, 30, 25, …Jwb:

Corak urutan nombor 40, 35, 30, 25, … diperolehi dengan menolakkan (subtracting) 5 dari nombor sebelumnya (nombor dalam urutan). 144, 72, 36, 18, …

Jwb:

Corak urutan nombor 144, 72, 36, 18, … diperolehi dengan membahagikan (dividing) nombor dalam urutan sebelumnya dengan 2.

FaktorFaktor (factor) suatu nombor bulat yang diberi adalah, nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor tersebut dengan tepat.1 dan nombor itu sendiri adalah faktor kepada sebarang nombor yang diberi.Menyenaraikan faktor nombor bulat.Contoh:Cari semua faktor bagi: 18

Jwb:18 ÷ 1 = 1818 ÷ 2 = 918 ÷ 3 = 618 ÷ 6 = 318 ÷ 9 = 218 ÷ 18 = 118 boleh dibahagikan dengan 1, 2, 3, 6, 9 dan 18. Oleh itu, faktor kepada 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

50Jwb:50 ÷ 1 = 5050 ÷ 2 = 2550 ÷ 5 = 1050 ÷ 10 = 550 ÷ 25 = 250 ÷ 50 = 150 boleh dibahagikan dengan 1, 2, 5, 10, 25 dan 50. Oleh itu, faktor kepada 50 adalah 1, 2, 5, 10, 25 dan 50.

Menentukan samada suatu nombor itu adalah faktor kepada nombor bulat yang lain.Contoh:Tentukan samada; 7 adalah faktor kepada 119.

Jwb:

119 ÷ 7 = 17119 boleh dibahagikan dengan tepat oleh 7. Oleh itu, 7 adalah factor kepada 119.

4 adalah faktor kepada 599.Jwb:599 tidak boleh dibahagi dengan tepat oleh 4. Oleh itu, 4 adalah bukan faktor kepada 599.

Faktor PerdanaFaktor perdana (prime factor) bagi suatu nombor bulat adalah, nombor perdana yang merupakan faktor kepada nombor tersebut.Mengenal pasti faktor perdana dari senarai faktor.Contoh:Diberi 1, 2, 4, 7, 8, 14 dan 56 ada faktor kepada 56. Kenal pasti semua faktor perdana kepada 56.Jwb:Antara faktor kepada 56, 2 dan 7 adalah nombor perdana. Oleh itu, faktor perdana kepada 56 adalah 2 dan 7.Mencari faktor perdana nombor bulat.Contoh:Dapatkan faktor perdana nombor berikut: 100

Kaedah 1 – Senaraikan semua faktor kepada 100.Faktor kepada 100 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dan 100. Antara semua faktor tersebut, 2 dan 5 adalah nombor perdana. Oleh itu, faktor perdana kepada 100 adalah 2 dan 5.Kaedah 2 – Menggunakan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor perdana).

Oleh itu, faktor perdana kepada 100 adalah 2 dan 5.Kaedah 3 – Menggunakan gambarajah pokok (factor tree diagram).

Daripada gambarajah, faktor perdana kepada 100 adalah 2 dan 5.

72Kaedah 1 – Senaraikan semua faktor kepada 72.Faktor kepada 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 dan 72. Antara semua faktor tersebut, 2 dan 3 adalah nombor perdana. Oleh itu, faktor perdana kepada 72 adalah 2 dan 3.Kaedah 2 – Menggunakan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor perdana).

Oleh itu, faktor perdana kepada 72 adalah 2 dan 3.Kaedah 3 – Menggunakan gambarajah pokok (factor tree diagram).

Daripada gambarajah, faktor perdana kepada 72 adalah 2 dan 3.

Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)Faktor Sepunya (common factors) beberapa nombor bulat adalah nombor yang merupakan faktor setiap nombor-nombor tersebut.Faktor Sepunya Terbesar, FSTB (Highest Common Factor, HCF) beberapa nombor yang diberi adalah nombor terbesar yang merupakan faktor setiap nombor-nombor tersebut.Mencari faktor sepunya bagi dua atau tiga nombor bulat.Contoh 1:Cari faktor sepunya bagi; 18 dan 54.

Jwb:Faktor bagi 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18Faktor bagi 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54Faktor Sepunya bagi 18 dan 54 adalah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

9, 15 dan 21.Jwb:Faktor bagi 9: 1, 3, 9Faktor bagi 15: 1, 3, 5, 15

Faktor bagi 21: 1, 3, 7, 21Faktor Sepunya bagi 9, 15 dan 21 adalah 1 dan 3.

Menentukan samada suatu nombor itu adalah faktor sepunya bagi dua atau tiga nombor yang diberi.Contoh 2:Tentukan samada; 12 adalah faktor sepunya bagi 84 dan 156.

Jwb:84 ÷ 12 = 7156 ÷ 12 = 13Oleh itu, 12 adalah faktor sepunya bagi 84 dan 156.

4 adalah faktor sepunya bagi 32, 70 dan 112.Jwb:32 ÷ 4 = 870 ÷ 4 = 17 berbaki 2112 ÷ 4 = 28Oleh itu , 4 adalah bukan faktor sepunya bagi 32, 70 dan 112.

Menentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi dua nombor bulat.Contoh 3:Dapatkan faktor sepunya terbesar bagi; 28 dan 32.

Jwb:Kaedah 1: Senaraikan semua faktor bagi setiap nombor.Faktor bagi 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28Faktor bagi 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32Oleh itu, faktor sepunya terbesar bagi 28 dan 32 adalah 4.Kaedah 2: Penggunaan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor sepunya).

Faktor sepunya terbesar bagi 28 dan 32 adalah = 2 x 2 = 4. 15 dan 24.

Jwb:Kaedah 1: Senaraikan semua faktor bagi setiap nombor.Faktor bagi 15: 1, 3, 5, 15Faktor bagi 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24Oleh itu, faktor sepunya terbesar bagi 15 dan 24 adalah 3.

Kaedah 2: Penggunaan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor sepunya).

Oleh itu, faktor sepunya terbesar bagi 15 dan 24 adalah 3.Menentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi tiga nombor bulat.

Contoh 4:Dapatkan faktor sepunya terbesar (FSTB) bagi; 40, 48 dan 56.

Jwb:

* Pembahagian dihentikan kerana 5, 6 dan 7 tidak mempunyai faktor sepunya yang lain daripada 1.Oleh itu,Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi 40, 48 dan 56= 2 x 2 x 2= 8

70, 84 dan 126.Jwb:

** Pembahagian dihentikan kerana 5, 6 dan 9 tidak mempunyai faktor sepunya yang lain daripada 1.Oleh itu, Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi 70, 84 dan 126= 2 x 7= 14

GandaanGandaan (multiples) sesuatu nombor bulat adalah produk daripada nombor tersebut dengan mana-mana nombor bulat yang lain, kecuali sifar (zero).Gandaan nombor n adalah dalam bentuk nk, di mana k = 1, 2, 3, 4, …Sebagai contoh, Gandaan 3 = 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, …Ujian keterbahagian (divisibility test)

Pembahagi Kaedah Contoh

2Digit terakhir (unit nilai tempat) sesuatu nombor adalah 0, 2, 4, 6 atau 8.

90, 152, 3 866, 5 478

3Hasil tambah semua digit nombor tersebut boleh dibahagi dengan 3.

249(2 + 4 + 9) ÷ 3= 15 ÷ 3 = 5

4

Nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir nombor tersebut boleh dibahagi dengan 4 atau adalah sifar.

7 21616 ÷ 4 = 4

5Digit terakhir (unit nilai tempat) nombor tersebut adalah 0 atau 5. 480, 3 625

6 Nombor tersebut boleh dibahagi dengan 2 dan 3.

738(7 + 3 + 8) ÷ 3= 18 ÷ 3 = 6

8Nombor yang dibentuk oleh tiga digit terakhir nombor tersebut boleh dibahagi dengan 8. 53 288

9Hasil tambah semua digit nombor tersebut boleh dibahagi dengan 9.

4 302(4 + 3 + 0 + 2) ÷ 9= 9 ÷ 9 = 1

10Digit terakhir (unit nilai tempat) nombor tersebut adalah 0. 560, 29 710

Menyenaraikan gandaan nombor bulatContoh 1:Senaraikan lima gandaan pertama bagi; 2

Jwb:= 2 x 1, 2 x 2, 2 x 3, 2 x 4, 2 x 5= 2, 4, 6, 8, 10

5Jwb:= 5 x 1, 5 x 2, 5 x 3, 5 x 4, 5 x 5= 5, 10, 15, 20, 25

9Jwb:= 9 x 1, 9 x 2, 9 x 3, 9 x 4, 9 x 5= 9, 18, 27, 36, 45

15Jwb:

= 15 x 1, 15 x 2, 15 x 3, 15 x 4, 15 x 5= 15, 30, 45, 60, 75

* Gandaan nombor yang diberi juga membentuk satu turutan nombor.Menentukan samada sesuatu nombor itu boleh dibahagikan dengan nombor lain.Contoh 2:Tentukan sama ada 63 boleh dibahagikan dengan; 7

Jwb:63 ÷ 7 = 9   ←   63 = 7 x 9Oleh itu, 63 adalah gandaan 7.

8Jwb:63 ÷ 8 = 7, berbaki 7Oleh itu, 63 adalah bukan gandaan 8.

** Jika nombor n boleh dibahagi dengan nombor m, maka n adalah gandaan bagim.Contoh 3:Gunakan ujian keterbahagian untuk menentukan samada 639 234 adalah gandaan bagi; 4

Jwb:Dua digit terakhir 639 234, iaitu 34, tidak boleh dibahagi dengan 4.Oleh itu, 639 234 bukan gandaan 4.

9Jwb:6 + 3 + 9 + 2 + 3 + 4 = 27Hasil tambah semua digit 639 234 boleh dibahagi dengan 9.Oleh itu, 639 234 adalah gandaan 9.

*** Nombor bulat boleh dibahagi dengan nombor lain jika bakinya adalah sifar.

Gandaan Sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK)Gandaan Sepunya (common multiples) set nombor bulat yang diberi adalah gandaan setiap nombor tersebut dalam set.Gandaan Sepunya Terkecil, GSTK (lowest common multiple, LCM) beberapa nombor yang diberikan adalah gandaan sepunya terkecil nombor-nombor tersebut.* Konsep ‘gandaan’ dan ‘faktor’ adalah bertentangan.Contohnya;30 adalah gandaan bagi 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30.Manakala, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan adalah factor kepada 30.Mencari gandaan sepunya bagi dua atau tiga nombor bulat.Contoh 1:

Dapatkan gandaan sepunya bagi; 3 dan 4.

Jwb:Gandaan bagi 3: 3, 6, 9, 12, 15,  18, 21, 24, …Gandaan bagi 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …Gandaan Sepunya bagi 3 dan 4 adalah 12, 24, 36, …

2, 3 dan 6.Jwb:Gandaan bagi 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …Gandaan bagi 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …Gandaan bagi 6: 6, 12, 18, 24, 36, …Gandaan Sepunya bagi 2, 3 dan 6 adalah 6, 12, 18, …

** Senarai gandaan sepunya beberapa nombor bulat adalah juga dari urutan nombor.Menentukan samada suatu nombor itu adalah gandaan sepunya bagi dua atau tiga nombor bulat yang diberi.Contoh 2:Tentukan samada; 84 adalah gandaan sepunya bagi 5 dan 7.

Jwb:84 ÷ 5 = 16 berbaki 484 ÷ 7 = 1284 tidak boleh dibahagi tepat dengan 5.Oleh itu, 84 adalah bukan Gandaan Sepunya bagi 5 dan 7.

432 adalah gandaan sepunya bagi 6, 8 dan 9.Jwb:432 ÷ 6 = 72432 ÷ 8 = 54432 ÷ 9 = 48432 boleh dibahagi tepat dengan 6, 8 dan 9.Oleh itu, 432 adalah Gandaan Sepunya bagi 6, 8 dan 9.

Menentukan GSTK (LCM) bagi dua nombor bulat.Contoh 3:Cari Gandaan Sepunya Terkecil bagi; 9 dan 12

Jwb:Kaedah 1: Pemfaktoran Perdana (Prime Factorisation)

GSTK bagi 9 dan 12 = 3 x 3 x 2 x 2 = 36

Kaedah 2: Guna algoritma (pembahagian berulang oleh faktor perdana)

GSTK bagi 9 dan 12 = 3 x 3 x 2 x 2 = 36 15 dan 21

Jwb:Kaedah 1: Pemfaktoran Perdana (Prime Factorisation)

GSTK bagi 15 dan 21 = 5 x 3 x 7 = 105

Kaedah 2: Guna algoritma

GSTK bagi 15 dan 21 = 3 x 5 x 7 = 105Menentukan GSTK (LCM) bagi tiga nombor bulat.Contoh 4:Tentukan GSTK bagi; 6, 15 dan 18.

Jwb:

GSTK bagi 6, 15 dan 18 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 14, 28 dan 49.

Jwb:

GSTK bagi 14, 28, 49 = 7 x 2 x 2 x 7 = 196

Nombor Ganjil dan GenapNombor 1, 3, 5, 7, … dikenali sebagai nombor ganjil (odd numbers).Nombor 2, 4, 6, 8, … dikenali sebagai nombor genap (even numbers).Mengenal pasti dan menerangkan nombor ganjil dan genap.Contoh 1:Kenal pasti serta nyatakan kesemua nombor ganjil dan genap yang terdapat dalam urutan nombor 16, 21, 26, 31, …, 71.Jwb:Nombor-nombor ganjil adalah 21, 31, 41, 51, 61 dan 71. Nombor-nombor ini membentuk satu urutan nombor yang diperolehi dengan menambah 10 pada nombor sebelumnya.Nombor genap 16, 26, 36, 46, 56 dan 66. Nombor-nombor ini membentuk satu urutan nombor yang diperolehi dengan menambah 10 pada nombor sebelumnya.Contoh 2:3 + 5 = 87 + 13 = 2019 + 25 = 24Penyataan am mengenai jumlah / hasil tambah dua nombor ganjil. Nombor Ganjil + Nombor Ganjil = Nombor Genap

Hasil tambah dua nombor ganjil adalah nombor genap.

Nombor PerdanaNombor perdana (prime number) adalah nombor bulat yang hanya boleh dibahagikan dengan dirinya sendiri dan nombor 1 (the number itself and number 1). Oleh itu, nombor perdana mempunyai hanya dua pembahagi (nombor itu sendiri dan nombor 1).Nombor perdana terkecil ialah nombor 2, satu-satunya nombor genap yang merupakan nombor perdana.Nombor perdana yang kurang daripada 50 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 dan 47.Nombor 1 adalah BUKAN nombor perdana (NOT a prime number).Menentukan samada nombor yang diberi adalah nombor perdanaContoh:Tentukan samada setiap nombor berikut adalah nombor perdana. 13

Jwb:13 ÷ 1 = 1313 ÷ 13 = 113 hanya boleh dibahagi dengan 1 dan 13 → (2 pembahagi/divisors)Oleh itu, 13 adalah nombor perdana.

51

Jwb:51 ÷ 1 = 5151 ÷ 3 = 1751 ÷ 17 = 351 ÷ 51 = 5151 boleh dibahagi dengan 1, 3, 17 dan 51 → (4 pembahagi/divisors)Oleh itu, 51 bukan nombor perdana.