7

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Perencanaan Produksi

Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk dan berapa jumlah

yang akan diproduksi oleh perusahaan dalam satu periode yang akan datang.

Perencanaan produksi merupakan bagian dari perencanaan operasional di dalam

perusahaan. Dalam penyusunan perencanaan produksi, hal yang perlu dipertimbangkan

adalah adanya optimasi produksi sehingga dapat tercapai biaya yang paling rendah untuk

pelaksanaan proses produksi tersebut.

Perencanaan produksi juga dapat didefinisikan sebagai proses untuk memproduksi

barang-barang pada suatu periode tertentu sesuai dengan yang diramalkan atau

dijadwalkan melalui pengorganisasian sumber daya seperti tenaga kerja, bahan baku,

mesin dan peralatan lainnya. Perencanaan produksi memberikan taksiran/ramalan atas

permintaan produk dan jasa yang diharapkan, yang akan disediakan perusahaan di masa

yang akan datang. Dengan demikain, peramalan merupakan bagian integral dari

perencanaan produksi. (Buffa & Sarin, 1996).

2.2 Pemrograman Matematis

Dalam masalah optimalisasi hal yang biasanya dilakukan adalah memaksimumkan

atau meminimumkan sebuah besaran tertentu, yang disebut dengan tujuan objektif yang

bergantung pada beberapa peubah masukan (input variables). Peubah-peubah ini dapat

tidak saling bergantungan atau saling bergantungan melalui satu atau lebih kendala

(constraints). Maka dalam pemrograman matematis ini terdapat dua macam fungsi yang

8

ditetapkan, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi batasan/kendala

(constraints), di mana tujuan dan kendala-kendalanya diberikan dalam bentuk fungsi-

fungsi matematis dan hubungan fungsional. Fungsi tujuan adalah fungsi yang

menggambarkan tujuan dalam permasalahan. Fungsi kendala adalah bentuk matematis

dari kendala-kendala/ batasan-batasan yang tersedia dalam mencapai tujuan

permasalahan. Program matematis yang digunakan sebagai berikut:

optimalisasikan : ),...,,( 21 nxxxfz =

dengan kendala :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

),...,,(........................

),...,,(),...,,(

21

212

211

nm

n

n

xxxg

xxxgxxxg

≥=≤

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

mb

bb

...2

1

(1)

Setiap hubungan kendala ke-m dalam persamaan (1) melibatkan salah satu dari

ketiga tanda yaitu ≤ ,= atau ≥ . Program matematis dikatakan tak berkendala dalam

rumusan (1) jika setiap fungsi ig dipilih nol dan setiap konstanta ib dipilih nol.

Bentuk dari pemrograman matematis ini bisa berupa program linier, program

bilangan bulat dan program kuadratis.

Contoh 2.1:

Sebuah perusahaan pabrik plastik mempunyai persediaan pembungkus transparan

sebanyak 1200 buah kotak di pabriknya yang satu dan 1000 buah kotak di pabrik

yang lainnya. Perusahaan ini menerima pesanan produknya dari tiga pengecer yang

berbeda-beda, masing-masing sejumlah 1000, 700 dan 500 buah kotak. Biaya

pengiriman unit (dalam sen per kotak) dari kedua pabrik kepada para pengecer

adalah sebagai berikut:

9

Pengecer 1 Pengecer 2 Pengecer 3 Pabrik 1 14 13 11 Pabrik 2 13 13 12

Tentukan suatu skedul pengiriman dengan biaya minimum untuk memenuhi semua

permintaan dari inventaris yang sekarang ini.

Penyelesaian:

Dengan menuliskan ijx (i = 1,2; j = 1,2 ,3 ) untuk jumlah kotak yang akan dikirim

dari pabrik i ke pengecer j, maka kita peroleh sebagai tujuannya

Minimumkan : Z = 14 11x + 13 12x + 11 13x +13 21x +13 22x +12 23x

Karena jumlah yang dikirimkan masing-masing pabrik tidak dapat melebihi

persediaannya maka

11x + 12x + 13x ≤ 1200 (pengiriman dari pabrik 1)

21x + 22x + 23x ≤ 1000 (pengiriman dari pabrik 2)

Di samping itu, jumlah total yang dikirimkan kepada para pengecer harus

memenuhi permintaan mereka, karena itu

11x + 21x ≥ 1000 (pengiriman ke pengecer 1)

12x + 22x ≥ 700 (pengiriman ke pengecer 2)

13x + 23x ≥ 500 (pengiriman ke pengecer 3)

Karena persediaan totalnya, 1200 + 1000, sama dengan permintaan total,

1000+700+500, maka tiap-tiap pertidaksamaan kendala dapat dijadikan suatu

kesamaan. Dengan melakukannya, dan kemudian mengikutsertakan kendala-

kendala tersembunyi bahwa tak ada pengiriman yang negatif dan bahwa

pengiriman kotaknya dalam keadaan utuh, maka kita peroleh program matematis

berikut:

10

Minimumkan : Z = 14 11x + 13 12x + 11 13x +13 21x +13 22x +12 23x

Dengan kendala : 11x + 12x + 13x = 1200 21x + 22x + 23x = 1000 11x + 21x = 1000 12x + 22x = 700 13x + 23x = 500

dan semua peubah positif dan bulat.

(Teori dan Soal-soal Operation Research, Nomor 1.12, p.13).

2.3 Linear Programming

Goal Programming merupakan perluasan dari model linear programming. Oleh

karena itu terlebih dahulu dijelaskan tentang linear programming . Linear programming

merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah

pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal, yaitu mendapatkan hasil

yang menggambarkan tercapainya sasaran yang paling baik di antara pilihan-pilihan

yang mungkin. Dalam memecahkan masalah linear programming menggunakan model

matematis, dimana fungsi matematis yang digunakan adalah fungsi linier. Model

matematis dikatakan linier jika ),...,,( 21 nxxxf dan setiap ),...,,( 21 ni xxxg ),...,2,1( mi =

adalah linier terhadap argumen-argumennya.

Bentuk matematis program linier ini yaitu

nnn xcxcxcxxxf +++= ...),...,,( 221121 (2)

dan

ninini xaxaxaxxxg +++= ...),...,,( 2121121 (3)

di mana jc dan ija dengan ),...,2,1;,...,2,1( njmi == adalah konstanta-konstanta yang

diketahui.

11

2.3.1 Kondisi Tak Negatif

Semua peubah yang belum dikendala agar tidak negatif, akan digantikan dengan

selisih dari dua peubah baru yang telah terkendala. Kendala-kendala linier memiliki

bentuk:

i

n

jjij bxa ~

1∑=

(4)

di mana ~ adalah salah satu dari relasi ≤ ,= atau ≥ (tidak perlu sama untuk setiap i).

Konstanta ib selalu dianggap tidak negatif.

Contoh 2.2:

Kendala 25754 321 −≤−+ xxx dikalikan dengan -1 maka kendala menjadi

25754 321 ≥+−− xxx , di mana sekarang ruas kanannya menjadi tidak negatif.

2.3.2 Peubah Kurang dan Surplus

Sebuah kendala linier yang berbentuk i

n

jjij bxa ≤∑

=1dapat diubah menjadi suatu

persamaan dengan menambahkan sebuah peubah tak-negatif pada ruas kirinya. Peubah

ini sama dengan selisih antara ruas kanan dan ruas kiri pertidaksamaan yang dikenal

dengan peubah kurang (slack variable). Peubah ini merupakan peubah waste dalam

tingkat sistem yang dimodelkan oleh kendala.

Sebuah kendala linear yang berbentuk i

n

jjij bxa ≥∑

=1 dapat diubah menjadi suatu

persamaan dengan mengurangkan ruas kirinya dengan sebuah peubah baru yang tak-

negatif. Peubah ini secara numerik sama dengan selisih antara ruas kiri dan ruas kanan

12

pertidaksamaan, yang dikenal dengan peubah surplus (surplus variable). Peubah ini

menyatakan kelebihan masukan dalam tingkat sistem yang dimodelkan oleh kendala.

Setelah semua kendala linier (dengan ruas kanan yang tak-negatif)

ditransformasikan menjadi persamaan dengan memperkenalkan peubah-peubah slack

dan surplus yang diperlukan, maka tambahkan lagi sebuah peubah baru, yang disebut

peubah buatan (artificial variable), pada ruas kiri dari setiap persamaan kendala yang

tidak mengandung peubah kurang/slack. Dengan demikian tiap persamaan kendala akan

mengandung peubah slack atau peubah buatan. Pemecahan awal yang tak-negatif bagi

himpunan kendala yang baru ini diperoleh dengan menetapkan setiap peubah

kurang/slack dan peubah buatan sama dengan ruas kanannya, dan menetapkan semua

peubah termasuk peubah surplus, sama dengan nol.

Contoh 2.3:

Himpunan kendala : 1587654

32

21

21

21

=+≥+≤+

xxxx

xx

Ditransformasikan menjadi sebuah sistem persamaan dengan menambahkan

sebuah peubah kurang, 3x , pada ruas kiri kendala pertama dan mengurangkan

sebuah varuabel surplus, 4x , dari ruas kiri kendala kedua. Sistem yang baru adalah

1587654

32

21

421

321

=+=−+=++

xxxxx

xxx

Bila sekarang peubah-peubah buatan 5x dan 6x berturur-turut ditambahkan pada

ruas kiri dari kedua kendala yang terakhir, yakni kendala-kendala tanpa sebuah

peubah kurang, maka hasilnya adalah

13

1587654

32

621

5421

321

=++=+−+

=++

xxxxxxx

xxx

(Teori dan Soal-soal Operation Research, Contoh 2.4, p.21).

2.3.3 Penalty Cost

Penambahan peubah kurang/slack dan surplus pada pertidaksamaan tidak

mengubah sifat kendala maupun tujuan. Oleh karena itu, peubah-peubah tersebut dapat

diikutsertakan dalam fungsi tujuan tetapi dengan koefisien-koefisiennya nol. Sedangkan

peubah buatan mengubah sifat kendala. Oleh karena itu peubah buatan hanya

ditambahkan pada salah satu ruas persamaan, maka sistem yang baru ekuivalen dengan

sistem kendala yang lama jika dan hanya jika peubah-peubah buatannya nol. Untuk

menjamin penetapan seperti ini dalam pemecahan optimal, maka peubah-peubah buatan

diturutsertakan dalam fungsi tujuan objektif tetapi dengan koefisien-koefisien positif

yang besar sekali untuk tujuan meminimumkan dan koefisien-koefisien negatif yang

besar sekali untuk tujuan memaksimumkan. Koefisien-koefisien ini dinyatakan dengan

M atau M− , di mana M dipandang sebagai bilangan positif yang besar sekali,

menyatakan hukuman yang dikenakan dalam membuat suatu penetapan satuan pada

peubah-peubah buatan. Dalam perhitungan manual nilai M ini dibiarkan saja sebagai

M± . Tetapi dalam perhitungan komputer, harus ditetapkan sebuah nilai bagi M ,

biasanya sebuah bilangan yang tiga atau empat kali lebih besar daripada semua bilangan

yang terdapat dalam program itu.

14

2.4 Bentuk Standar

Sebuah program linier berada dalam bentuk standar jika semua kendalanya

dimodelkan sebagai persamaan dan salah satu pemecahan layaknya diketahui. Dalam

notasi matriks bentuk standarnya adalah

optimumkan : XCz T=

dengan kendala : BAX = (5)

dan : 0≥X

di mana X adalah vektor kolom dari peubah-peubah yang tidak diketahui, termasuk

peubah-peubah kurang, surplus dan buatan; TC adalah vektor baris dan biaya

bersangkutan; A adalah matriks koefisien persamaan kendala; dan B adalah matriks

kolom dari ruas kanan persamaan kendala. Jika 0X hanya menunjukkan vektor dari

peubah-peubah kurang/slack dan buatan, maka pemecahan layak awalnya diberikan oleh

BX =0 di mana dipahami bahwa semua peubah dalam X yang tidak terkandung dalam

0X diberikan nilai nol.

Contoh 2.4:

Rumuskan program berikut dalam bentuk standar:

Maksimumkan : 21 6080 xxz +=

dengan kendala : 1

25,032,020,0

21

21

=+≤+

xxxx

Untuk mengubah kendala pertama menjadi suatu persamaan, tambahkan

sebuah peubah kurang 3x pada ruas kiri. Karena kendala kedua adalah suatu

persamaan yang tidak mengandung peubah kurang, tambahkan sebuah peubah

15

buatan 4x pada ruas kirinya. Kedua peubah yang baru ini terdapat dalam fungsi

tujuan, peubah kurang dengan koefisien biaya nol dan peubah buatan dengan

koefisien biaya negatif yang besar sekali, sehingga kita peroleh sebagai berikut:

Maksimumkan: 4321 06080 Mxxxxz +++=

dengan kendala : 1

25,032,020,0

421

321

=++=++

xxxxxx

dan semua peubah tak-negatif

(Teori dan Soal-soal Operation Research, Nomor 2.2, p.23).

2.5 Goal Programming

2.5.1 Perkembangan Goal Programming

Setelah membahas Linear Programming maka akan dibahas mengenai metode

Goal Programming. Di mana metode ini merupakan perluasan dari Linear Programming

dengan tujuan ganda. Formulasi Goal Programming pada dasarnya mirip dengan Linear

Programming. Karakteristik yang membedakan yaitu tujuan-tujuan diperingkat oleh

pembuat keputusan. Jadi pada Goal Programming terdapat lebih dari satu tujuan yang

ingin dicapai dan dari beberapa tujuan itu terdapat peringkat/ tingkatan kepentingan

dilihat dari mata pembuat keputusan. Goal Programming telah cukup banyak

diterapkan dalam penelitian sebagai solusi pemecahan masalah dalam pengambilan

masalah multi sasaran.

Konsep pemrograman tujuan (Goal Programming) awalnya dilakukan oleh

Charnes dan Cooper. Charnes dan Cooper mengembangkan pendekatan program tujuan

untuk memperoleh solusi yang memuaskan, yang tidak dapat diperoleh dengan Linear

Programming, karena adanya konflik antar tujuan. Kedua orang ini hanya

16

mengembangkan model tujuan ganda linier, kemudian ditransformasikan ke dalam

model Linear Programming konvensional dengan menggunakan peubah-peubah

penyimpanan tujuan yang dibobotkan.

Pendekatan model ini seringkali dipandang sebagai Goal Programming linier

dengan bobot (weighted linear goal programming). Salah satu keuntungan utama dari

pendekatan ini adalah efisiensi komputasi, karena weighted linear goal programming

dapat diselesaikan dengan prosedur Linear Programming biasa. Kelemahannya adalah

dalam praktek sesungguhnya, ada kesulitan dalam memberikan bobot kepada setiap

tujuan yang harus diraih, khususnya pada tujuan-tujuan yang saling konflik.

Ijiri dan Jaaskelainen melakukan pemurnian terhadap teknik Goal Programming.

Lee memberikan kontribusinya yang besar melalui pengembangan ide preemptive

priority goal programming. Dalam kerangka kerjanya, pencapaian serangkaian tujuan

dengan peringkat utama (P1) selalu lebih dipentingkan untuk dicapai dibanding

serangkaian tujuan dengan peringkat di bawahnya (P2). Juga ditambahkan oleh Lee

bahwa bisa menyisipkan beberapa tujuan yang berbobot pada setiap peringkat

kepentingan jika tujuan-tujuan dalam sebuah peringkat tertentu memiliki satuan ukuran

yang sama (commensurable). Ini yang disebut sebagai lexicographic weighted goal

programming.

Selanjutnya Ignizio memperluas Goal Programming dengan melakukan

pengembangan menjadi algoritma exact integer goal programming.

17

2.5.2 Konsep Goal Programming

Dasar Goal Programming melibatkan seluruh fungsi tujuan (objective function) ke

dalam formulasi Goal Programming. Sebuah tujuan adalah menyatakan keinginan

pembuat keputusan, seperti : “meminimalisasikan biaya produksi” atau “menghemat

penggunaan listrik”. Untuk setiap tujuan, pembuat keputusan membuat spesifikasi

tingkat kepentingannya dalam bentuk numerik yang lebih pasti, misalnya : “menghemat

penggunaan listrik sampai 15% ”. Tetapi tingkat kepentingan tidak selalu dapat tercapai,

maka dari itu ada penyimpangan (deviation) yang terjadi terhadap tujuan. Selanjutnya,

pembuat keputusan mencari solusi untuk meminimumkan total penyimpangan terhadap

tujuan-tujuan tersebut dari target-targetnya.

Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

nxxx ,...,, 21 = peubah keputusan

K = banyaknya tujuan yang dipertimbangkan

jkc = koefisien jx ( nj ,...,2,1= ) pada fungsi objektif dalam setiap tujuan-

k ( Kk ,...,2,1= )

kg = target tujuan-k.

Solusi untuk persoalan Goal Programming adalah bagaimana mendekati target-target

yang menjadi tujuan itu sedekat mungkin dan jika terjadi penyimpangan maka

penyimpangan-penyimpangan itu diminimumkan.

18

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

jkjjk

n

jjj

n

jjj

gxc

gxc

gxc

1

122

111

.

.

. (6)

Karena tidak mungkin dapat mencapai seluruh target, maka perlu didefinisikan

sebuah fungsi objektif menyeluruh untuk Goal Programming yang sesuai dengan tujuan

untuk mencapai berbagai target. Dengan asumsi bahwa penyimpangan itu bisa bernilai

negatif dan positif, maka fungsi objektif menyeluruh untuk persoalan Goal

Programming dapat dituliskan sebagai berikut:

∑ ∑= =

−=K

k

n

jkjjk gxcZ

1 1min )( (7)

Dengan demikian, fungsi objektif Goal Programming diekspresikan sebagai fungsi

preferensi (preference function) atau fungsi pencapaian (achievement function) terbatas

pada penyimpangan dari target. Fungsi objektif menyeluruh itu sangat rumit untuk

diselesaikan. Maka dengan transformasi format Linear Programming kepada fungsi

objektif menyeluruh tersebut, dapat dilakukan solusi yang lebih sederhana. Langkah

awal dari proses transformasi ini adalah membuat peubah baru yang terdefinisi sebagai:

∑=

−=n

jkjjkk gxcd

1, untuk k = 1,2, ... , K (8)

Dengan demikian, fungsi objektif Goal Programming menjadi :

∑=

=K

kkdZ

1min (9)

19

Karena kd bisa bernilai positif dan negatif, maka peubah ini dapat diganti dengan dua

peubah non negatif baru, sehingga −+ −= kkk ddd , di mana +kd dan −

kd 0≥ . Peubah kd

ini merupakan peubah deviasi (deviational variable).

−+−+ +=−= kkkkk ddddd (10)

+kd dan −

kd merupakan peubah penyimpangan (deviational variables) yang

merepresentasikan tingkat pencapaian kelebihan target (over achievement) dan

pencapaian di bawah target (under achievement). Secara bersamaan, tidak mungkin

terjadi over achievement dan under achievement, maka berlaku hubungan sebagai

berikut : 0=× −+kk dd . Simbol k yang menggantung (subscript) mengindikasikan

bahwa peubah deviasi ini berkaitan dengan goal constraint. Tanda “-” dan “+” pada

superscript mengindikasikan under achievement dan over achievement secara

berurutan. Secara umum notasi untuk peubah deviasi adalah +kd dan −

kd .

Formula umum Goal Programming kemudian dapat dituliskan secara lengkap sebagai:

)(1

min−

=

+∑ += k

K

kk ddZ

s/t (11)

k

n

jkkjjk gddxc =−−∑

=

−+

1

)(

0, / ≥∀ −+kj dx

Dalam formulasi Goal Programming ini, setiap target dimasukkan dalam kendala-

kendala persamaan. Fungsi kendala semacam ini disebut sebagai kendala tujuan (goal

constraint), di mana dalam persamaannya telah melibatkan peubah penyimpangan,

20

+kd dan −

kd . Selanjutnya, dapat mengaplikasikan metode Simplex untuk memperoleh

solusi persoalan Goal Programming tersebut.

Pada beberapa situasi, penyimpangan suatu target tertentu menjadi lebih penting

bagi pembuat keputusan dibanding penyimpangan target lainnya. Demikian pula, pada

sebuah target tertentu, bisa saja penyimpangannya jauh lebih penting dari penyimpangan

target lainnya dengan arah yang berlawanan. Pada situasi seperti ini, maka bisa

dimasukkan bobot yang berbeda (differential weight), +kw dan −

kw pada setiap

penyimpangannya:

∑=

−−++ +=K

kkkkk dwdwZ

1min )(

s/t. (12)

∑=

−+ =−−n

jkkkjjk gddxc

1

)(

0, / ≥∀ −+kj dx

Pada banyak kasus, sebuah Goal Programming mengandung +kd dan −

kd , walaupun

kedua peubah penyimpangannya ini tidak muncul pada fungsi objektif. Dengan

demikian, sangat mungkin untuk menuliskan fungsi kendala target seperti:

∑∑=

−

=

≤⇒=+n

jkjjkkk

n

jjjk gxcgdxc

11 (13)

Untuk kasus ini, fakta +kd tidak muncul dalam kendala target mengindikasikan bahwa

+kd pada target itu tidak mungkin ada. Ini merupakan contoh dari sebuah batas atas

target (upper bound goal) dan hal itu mirip dengan ketidaksamaan ≤ dalam Linear

21

Programming. +kd tidak dimungkinkan pada target tersebut, tetapi −

kd masih

diperkenankan. −kd akan muncul pada fungsi objektif Goal Programming.

Hal lain mungkin juga, kendala target berbentuk :

∑∑=

+

=

≥⇒=−n

jkjjkkk

n

jjjk gxcgdxc

11 (14)

Untuk kasus ini, fakta −kd tidak muncul dalam kendala target mengindikasikan bahwa

−kd pada target itu tidak mungkin ada. Ini merupakan contoh dari sebuah batas bawah

target (lower bound goal) dan hal itu mirip dengan ketidaksamaan ≥ dalam Linear

Programming. −kd tidak dimungkinkan pada target tersebut, tetapi +

kd masih

diperkenankan. +kd akan muncul pada fungsi objektif Goal Programming.

Untuk memudahkan pemahaman formulasi GP, maka akan dicontohkan etrlebih

dahulu GP dengan tujuan tunggal, yang dikembangkan dari sebuah persoalan Linear

Programming.

Contoh 2.5:

The Sonic Company memproduksi dua jenis oven microwave, yaitu dial setting

( 1X ) dan touch setting ( 2X ). Keuntungan/unit dari 1X = $ 100.00 dan dari 2X =

$ 150.00. Kapasitas jam proses setiap unit oven microwave adalah:

Jam Proses/Unit Jenis Oven Sub assembling Kabel

dan Komponen (W&C) Assembling Penyelesaian

dan Pengujian (F&T) 1X 4 2

2X 2 2 Kapasitas jam

proses/hari 80 60

22

Jika perusahaan ini mengharapkan total profit maksimal dari kedua produk itu saja,

maka persoalan ini dianggap sebagai persoalan Linear Programming. Formulasi

Linear Programming adalah:

Fungsi Tujuan : 21max 150100 XXZ +=

Fungsi Kendala : 8024 21 ≤+ XX kendala jam proses bagian W&C

6022 21 ≤+ XX kendala jam proses bagian F&T

0≥∀ jX (j = 1,2) kendala logis

Jika pihak manajemen perusahaan kemudian memutuskan bahwa target total

profit yang bisa diterima dengan memuaskan, minimal $5,000.00/hari karena

alasan pengelolaan financial. Persoalan menjadi GP dengan tujuan tunggal yaitu:

Fungsi Tujuan : −= dZmin

Fungsi Kendala : 8024 21 ≤+ XX kendala jam proses bagian W&C

6022 21 ≤+ XX kendala jam proses bagian F&T

5000150100 21 =−++ +− ddXX

0,, ≥∀ +− ddX j (j=1,2) kendala logis

Pihak manajemen perusahaan selanjutnya menginginkan total

keuntungan/hari paling sedikit $ 2,400.00. Dengan pencapaian target profit sebesar

itu tidak mungkin dihasikan jika tidak ditunjang penjualan 2X minimal 15

unit/hari dan menginginkan penjualan 1X minimal 5 unit/hari, maka persoalan

menjadi Goal Programming. Tujuan yang ingin dicapai sebagai berikut:

23

No. Target Prioritas 1 Menghasilkan total

keuntungan/hari paling sedikit $ 2,400

1

2 Penjualan 2X /hari minimal 15 unit

2

3 Penjualan 1X /hari minimal 5 unit

3

Formulasi di atas menjadi formulasi Goal Programming tujuan ganda yaitu:

Fungsi Tujuan : −−− ++= 332211min dPdPdPZ

Fungsi Kendala : 8024 21 ≤+ XX

6022 21 ≤+ XX

5

15

2400150100

331

222

1121

=−+

=−+

=−++

+−

+−

+−

ddX

ddX

ddXX

0,, ≥∀ +−kkj ddX (j = 1,2 dan k = 1,2,3)

Asumsikan P1 >>>> P2 >>>> P3

Jika kemudian serikat buruh memiliki kekuatan untuk menekan

perusahaan,bahwa tidak diperbolehkan adanya penggunaan jam kerja buruh yang

berlebihan, misal bagian W&C paling banyak 45 jam proses/hari dan bagian F&T

paling banyak 35 jam proses/hari, maka kasus menjadi konflik tujuan:

No. Target Prioritas 1 Pengunaan jam proses W&C paling

banyak 45 jam/hari dan bagian F&T paling banyak 35 jam/hari

1

2 Menghasilkan total keuntungan/hari paling sedikit $ 2,400

2

3 Penjualan 2X /hari minimal 15 unit 3 4 Penjualan 1X /hari minimal 5 unit 4

24

Formulasi GP menjadi:

Fungsi Tujuan : −−−++ ++++= 332212541min )( dPdPdPddPZ

Fungsi Kendala :

5

15

2400150100

3522

4524

331

222

1121

5521

4421

=−+

=−+

=−++

=−++

=−++

+−

+−

+−

+−

+−

ddX

ddX

ddXX

ddXX

ddXX

0,, ≥∀ +−kkj ddX (j = 1,2 dan k = 1,2,3)

(Kamarul Iman, p6)

Perumusan persoalan / Algoritma goal programming hampir sama dengan linear

programming , dengan langkah awal sebagai berikut:

a. Rumuskan target apa saja yang ada dalam permasalahan dengan benar dan dengan

linier

b. Fungsi kendala tujuan (goal constraint) harus didefinisikan secara jelas dan

dinyatakan sebagai fungsi kendala tujuan yang linier dengan pembatasan-

pembatasan / nilai target yang diinginkan pada ruas kanan

c. Harus ada alternatif pemecahan untuk dipilih salah satu yang terbaik

d. Sumber-sumber dan aktifitas mempunyai sifat dapat ditambahkan (additivity),

dapat dibagi (divisibility) dan mempunyai jumlah yang terbatas (finiteness)

e. Tambahkan penyimpangan ke bawah ( −d ) dan kurangkan penyimpangan ke atas

( +d ) ke dalam fungsi kendala tujuan sesuai target yang diinginkan

f. Semua fungsi kendala tujuan berbentuk persamaan bukan pertidaksamaan

25

g. Fungsi objektif GP yaitu penyimpangan-penyimpangan yang diminimumkan. Jika

target tidak menginginkan penyimpangan ke bawah maka tambahkan

penyimpangan ke bawah dalam fungsi objektif GP. Jika target tidak menginginkan

penyimpangan ke atas maka tambahkan penyimpangan ke atas dalam fungsi

objektif

h. Untuk kasus yang memiliki prioritas antar tujuan/target, maka pada fungsi objektif

dikalikan masing-masing prioritas dengan penyimpangan yang ada dalam fungsi

objektif

i. Peubah keputusan dan penyimpangan harus positif, tidak boleh negatif

( 0,, ≥∀ +−kkj ddX untuk semua j dan k)

j. Kemudian diselesaikan dengan metode penyelesaian linier salah satunya dengan

metode simpleks.

2.6 Metode Simpleks

2.6.1 Tabel Simpleks

Metode simpleks ialah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu

pemecahan dasar yang fisibl ke pemecahan dasar yang fisibel (feasible) lainnya dan ini

dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah pengulagan terbatas) sehingga akhirnya

tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu

nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar (lebih kecil) atau sama dari step-step

sebelumnya (Johanes Supranto,p100).

26

Metode simpleks adalah suatu metode matriks untuk memecahkan program-

program linier, dalam bentuk standar yakni :

optimasikan : XCz T=

dengan kendala : BAX =

dan : 0≥X

di mana 0≥B dan suatu pemecahan dasar yang layak, katakan 0X , diketahui. Metode

simpleks menggunakan proses iterasi (perhitungan berulang), dengan 0X sebagai

pemecahan awal, untuk menentukan pemecahan-pemecahan layak dasar lainnya yang

memiliki nilai-nilai objektif yang lebih baik, sehingga pada akhirnya diperoleh

pemecahan optimal. Untuk program minimisasi, maka metode simpleks menggunakan

Tabel 2.1, di mana 0C adalah vektor biayanya (cost vector) yang berkaitan dengan

peubah-peubah dalam 0X .

Tabel 2.1 Table Umum Simpleks

TX TC

0X 0C A B ACC TT

0... BC T0−

Untuk program maksimasi, maka Tabel 2.1 dapat digunakan jika tanda aljabar dari

elemen-elemen dari baris terbawah dibalik.

2.6.2 Penyederhanaan dengan Tabel

Untuk setiap j ),...,2,1( nj = , definisikan jT

j ACz 0= , yang merupakan hasilkali

titik dari 0C dengan kolom ke-j dari A. Elemen ke-j dari baris terakhir Tabel 2.1 adalah

27

jj zc − , di mana jc adalah biaya dalam baris kedua tabel, langsung di atas jA . Begitu

baris terakhir ini diperoleh, maka baris kedua dan kolom kedua dari tabel, yang berturut-

turut berhubungan dengan TC dan 0C , menjadi berkelebihan dan dapat dieliminasikan.

2.6.3 Metode Simpleks

Langkah 1 : Tentukan letak bilangan paling negatif dalam baris terbawah dari Tabel

Simpleks, dengan mengabaikan kolom terakhir. Namakan kolom yang

mana terdapat bilangan ini, kolom kerja (work kolom). Jika terdapat lebih

daripada satu bilangan yang paling negatif, maka pilihlah salah satunya.

Langkah 2 : Bentuklah nilai-nilai banding dengan membagi setiap bilangan positif

dalam kolom kerja, dengan elemen dalam baris yang sama dalam kolom

terakhir, di mana baris terakhirnya diabaikan. Namakan elemen dalam

kolom kerja ini yang menghasilkan nilai-banding terkecil sebagai elemen

pasak (pivot element). Jika terdapat lebih daripada satu elemen yang

menghasilkan rasio (nilai banding) terkecil yang sama, maka pilihlah

salah satunya. Jika tidak ada elemen dalam kolom kerja ini yang positif,

maka programnya tidak memiliki pemecahan.

Langkah 3 : Gunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah elemen pivot

menjadi 1 dan kemudian reduksikan semua elemen lainnya dalam kolom

kerja ini menjadi 0.

Langkah 4 : Gantikan peubah-x dalam baris pivot dan kolom pertama dengan

peubah-x dalam baris pertama dan kolom pivot. Kolom pertama yang

baru ini adalah himpunan peubah-peubah dasar yang baru.

28

Langkah 5 : Ulangi Langkah 1 sampai dengan 4 hingga tidak terdapat lagi elemen

negatif dalam baris terakhir, dengan tidak memasukkan kolom terakhir.

Langkah 6 : Pemecahan optimal diperoleh dengan menetapkan untuk tiap-tiap

peubah dalam kolom pertama nilai dalam baris dan kolom terakhir yang

bersangkutan. Semua peubah yang lainnya ditetapkan bernilai nol. Nilai

optimal dari fungsi objektif, yakni x*, adalah bilangan yang terdapat

dalam baris terakhir dan kolom terakhir untuk program maksimisasi,

sedangkan negatif dari bilangan ini adalah untuk program minimisasi.

2.6.4 Modifikasi untuk Berbagai Program dengan Peubah Buatan

Apabila peubah-peubah buatan (artificial variables) adalah bagian dari pemecahan

awal 0X , maka baris terakhir Tabel 2.1 akan mengandung biaya hukuman (penalty cost)

M. Untuk minimisasi kesalahan pembulatan, maka modifikasi-modifikasi berikut

diikutsertakan ke dalam metode simpleks. Algoritma yang dihasilkannya adalah metode

dua-fasa (two phase method).

Perubahan 1 : Baris dalam Tabel 2.1 diuraikan ke dalam dua baris, di mana yang

pertama mengandung suku-suku yang tidak mengandung M, sedangkan

yang kedua mengandung koefisien-koefisien M dalam suku-suku

sisanya.

Perubahan 2 : Langkah 1 dari metode simpleks diterapkan pada baris terakhir yang

dibentuk dalam Perubahan 1 (yang kemudian diikuti dengan Langkah-

langkah 2,3 dan 4), hingga baris ini tidak mengandung elemen-elemen

negatif. Kemudian Langkah 1 diterapkan lagi pada elemen-elemen dalam

29

baris kedua dari bawah, yang terletak di atas angka-angka nol dalam baris

terakhir.

Perubahan 3 : Setiap saat sebuah peubah buatan bukan merupakan suatu peubah dasar

yakni, ia dihilangkan dari kolom pertama dari tabel sebagai hasil dari

Langkah 4, maka ia dicoret dari baris teratas tabel, dan begitu pula

seluruh kolom di bawahnya. (Perubahan ini memudahkan perhitungan-

perhitungan yang dilakukan dengan tangan tetapi tidak diterapkan dalam

kebanyakan program komputer).

Perubahan 4 : Baris terakhir dapat dicoret dari tabel apabila semua elemennya nol.

Perubahan 5 : Jika peubah-peubah buatan yang tak nol terdapat dalam himpunan

elemen dasar yang terakhir, maka programnya tidak memiliki

pemecahan. (Sebaliknya, peubah-peubah buatan yang berharga nol dapat

muncul sebagai peubah-peubah dasar dalam pemecahan akhir apabila

salah satu atau lebih dari persamaan-persamaan kendala semula adalah

mubazir).

2.7 System Development Cycle (SDLC)

Dalam membuat sebuah program aplikasi terdapat beberapa model proses yang

digunakan, lima diantaranya adalah Classic Life Cycle atau yang biasa dikenal dengan

Waterfall Model, Prototyping Model, Fourth Generation Techniques (4GT), Spiral

Model dan Combine Model. Dalam pengembangan program aplikasi optimasi

perencanaan produksi ini, model proses yang digunakan adalah Prototyping Model.

Prototyping Model digunakan untuk merancang program aplikasi, yang mana

client hanya memberikan beberapa kebutuhan umum software tanpa detil input, proses

30

atau detil output. Kondisi lainnya yaitu tim pembangun (developer) tidak yakin terhadap

efisiensi dari algoritma yang digunakan, tingkat adaptasi terhadap sistem operasi atau

rancangan form user interface. Ketika situasi seperti ini maka prototyping model sangat

membantu proses pembangunan software.

Gambar 2.1 Prototype Model sebagai Sistem Pengembangan Program

Proses yang ada dalam prototyping model yaitu:

a. Pengumpulan kebutuhan: developer dan client bertemu dan menentukan tujuan

umum, kebutuhan yang diketahui dan gambaran bagian-bagian yang akan

dibutuhkan berikutnya. Detil kebutuhan mungkin tidak dibicarakan disini, pada

awal pengumpulan kebutuhan

b. Perancangan : perancangan dilakukan cepat dan rancangan mewakili semua aspek

software yang diketahui, dan rancangan ini menjadi dasar pembuatan prototype.

c. Evaluasi prototype: client mengevaluasi prototype yang dibuat dan digunakan

untuk memperjelas kebutuhan software.

31

Prototype dibuat untuk memuaskan kebutuhan client dan memahami kebutuhan

client lebih baik, memudahkan komunikasi antar developer dan client, membuat client

mendapat gambaran awal dari prototype dan membantu mendapatkan kebutuhan detil

lebih baik. Prototype yang telah dibuat dapat dimanfaatkan kembali untuk membangun

yang lebih cepat.

2.8 Pengenalan Borland Delphi 7.0

Borland Delphi merupakan sarana pemrograman aplikasi visual. Bahasa

pemrograman yang digunakan adalah Pascal. Delphi merupakan generasi penerus Turbo

Pascal. Turbo Pascal yang diluncurkan tahun 1983 dirancang untuk dijalankan pada

sistem operasi Disk Operating System /DOS (yang merupakan sistem operasi yang

paling banyak digunakan pada saat itu). Sedangkan Delphi diluncurkan tahun 1995

dirancang untuk beroperasi di bawah sistem operasi Windows.

Delphi memiliki sarana yang tangguh untuk pembuatan aplikasi, mulai dari sarana

untuk pembuatan form,menu, dan toolbar sehingga memiliki kemampuan untuk

menangani pengelolaan basis data yang besar. Kelebihan-kelebihan yang dimiliki

Delphi:

• form dan komponen-komponennya dapat dipakai ulang dan dikembangkan

• mampu mengakses VBX

• tersedia template aplikasi dan template form

• memiliki lingkungan pengembangan visual yang dapat diatur sesuai kebutuhan

• menghasilkan file terkompilasi yang berjalan lebih cepat

• kemampuan mengakses data dari bermacam-macam format

32

Delphi menerapkan konsep aplikasi yang digerakkan oleh event (event driven).

Pemrograman event driven mencoba melengkapi kekurangan pemrograman prosedural

dengan kerangka yang membedakan antara antarmuka pemakai dengan proses tertentu

dalam aplikasi. Dengan adanya sarana pemrograman visual yang event driven, para

pembuat aplikasi sangat terbantu ketika menyediakan sarana antarmuka bagi pemakai.

Dengan demikian, harapannya akan lebih terkonsentrasi pada penanganan masalah

aplikasinya bukan antarmukanya (Wahana Komputer, 2003, p1-3).

2.9 Shneiderman’s “Eight Golden Rules of Interface Design”

Menurut Shneiderman (1993,p72), prinsip atau aturan dari delapan Golden Rules

ini adalah sebagai berikut:

a. Strive for consistency

Interface dari sutau aplikasi dijaga agar tetap konsisten, dimulai dari menu-menu

yang ada dalam setiap layar tetap sama, dengan ukuran, resolusi yang berbeda

dengan tampilan dari interface tetap sama.

b. Enable frequent user to use shortcuts

Semakin sering user menggunakan suatu aplikasi, user dapat dimudahkan dengan

adanya shortcuts yang berupa special keys, hidden commands dan lain sebagainya.

c. Offer informative feedback

Aplikasi yang digunakan dapat memberikan informasi yang berguna untuk

memudahkan user dalam menggunakannya.

33

d. Design dialog to yield closure

Aplikasi yang dibuat didesain untuk memberikan kemudahan bagi user dengan

memberikan suatu informasi untuk melengkapi suatu action yang dilakukan oleh

user.

e. Offer simple error handling

Sebisa mungkin aplikasi yang dibuat, membuat user untuk tidak melakukan suatu

kesalahan yang fatal. Jika ada suatu kesalahan yang dibuat maka aplikasi yang

dibuat haruslah dapat menunjukkan di mana terjadi kesalahan dan menawarkan

suatu cara yang mudah untuk menangani kesalahan tersebut.

f. Permit easy reversal of actions

Aplikasi yang dibuat dapat melakukan suatu action untuk kembali ke action yang

sebelumnya jika terjadi suatu kesalahan.

g. Support internal locus of control

Mendukung user yang berpengalaman untuk menjadi suatu initiators dari suatu

kegiatan bukan sebagai responders.

h. Reduce short-term memory load

Aplikasi dibuat sederhana untuk mengurangi waktu proses, training dan lain

sebagainya dikarenakan keterbatasan manusia untuk memroses informasi.