Upload
niculibogdan
View
43
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
GENERALITĂŢI
Proprietăţile mecanice ale materiei au constituit obiect de studiu
încă din timpurile de început ale civilizaţiei umane. În particular,
materialele, cele din care omul îşi confecţiona diferite bunuri, au
început să fie dezvoltate din vremuri imemoriale, prin olărit, ţesături
şi mai apoi, prin prelucrarea metalelor neferoase, în epoca bronzului.
Se poate spune că istoria descoperirilor prin care diferitele “materii
prime” au fost transformate în “materiale” utile omului, este însăşi
istoria civilizaţiei.
Prin acest efort s-a căutat izolarea acelor proprietăţi ale
diferitelor materiale, care se dovedeau cele mai utile. Mai târziu,
obiectivul a fost optimizarea materialelor, adică modificarea
structurii lor cu scopul de a le îmbunătăţi una sau alta dintre
proprietăţi. De exemplu, vânătoarea a devenit mai eficace atunci
când vârfurile de săgeţi au fost făcute din silex, o piatră care putea fi
spartă în aşa fel încât să formeze muchii şi vârfuri ascuţite. Nu orice
piatră însă putea fi prelucrată astfel (prin mijloacele din acea vreme).
Neîndoielnic, întrebarea “de ce numai anumite pietre au această
proprietate” a apărut în mintea omului primitiv, dar răspunsul avea să
se lase aşteptat câteva milenii.
Un alt exemplu interesant din perspectivă istorică este inventarea
şi perfecţionarea oţelurilor. Aceasta s-a desfăşurat pe parcursul a
câtorva milenii, cea mai rapidă evoluţie înregistrându-se, desigur, în
ultimii aproximativ 150 de ani. De-a lungul acestei istorii, efortul
principal a fost îndreptat spre îmbunătăţirea rezistenţei materialului la
diverse solicitări; oţelurile trebuiau să susţină sarcini din ce în ce mai
mari înainte de rupere. Cu timpul, din întâmplare sau prin diverse
încercări empirice, s-au obţinut oţeluri pentru care, pe măsură ce
rezistenţa se îmbunătăţea, deformaţiile erau mai mici. În limbajul de
astăzi am spune că, între ductilitate şi rezistenţa la rupere există o
relaţie inversă. Mai târziu s-a observat că această situaţie nu este
specifică oţelurilor, ci este o caracteristică a majorităţii materialelor
inginereşti.
În prezent, structuri foarte complicate sunt construite din
materialele cele mai diverse. Multe dintre acestea sunt supuse la
2
încărcări mecanice semnificative şi deci proprietăţile mecanice ale
ansamblului sunt de maximă importanţă pentru buna lui funcţionare.
În acest sens se pot da multe exemple clasice, unele evidente: poduri,
supuse la propria greutate, la greutatea vehiculelor care le traversează
dar şi la solicitări produse de vânt şi de cutremure; structurile de
rezistenţă ale construcţiilor, care sunt supuse, în linii mari, la aceleaşi
tipuri de solicitări statice şi dinamice (variabile în timp), structuri
industriale de mari dimensiuni, cum ar fi cuptoarele de topire a
metalelor, care sunt supuse atât la solicitări mecanice prin greutatea
proprie, cât şi la solicitări termice, prin cicluri de încălzire – răcire.
Alte exemple, mai puţin discutate, de structuri intens solicitate
mecanic, sunt sistemele micro – electro – mecanice (micro –
electromechanical systems, MEMS) şi sistemul osos al omului şi
animalelor. MEMS – urile sunt sisteme mecanice formate din bare şi
membrane care sunt construite (“gravate”) pe un cip de siliciu, în
timp ce partea electronică de comandă şi control este integrată pe
acelaşi cip. Ele sunt folosite în special ca senzori de presiune şi
acceleraţie, dar pot fi folosite şi în alte scopuri, de exemplu, ca
actuatori microscopici. Aceste structuri sunt intens solicitate
mecanic, adeseori până aproape de rupere, în condiţii dinamice
dificile (la rezonanţă). Ele sunt însă deosebit de rezistente deoarece
materialul din care sunt realizate este un mono – cristal. O situaţie
similară există la sistemul osos. Acesta este structurat la multiple
scări şi s-a dezvoltat astfel încât să preia sarcinile cu maximă
eficienţă şi consum minim de material.
Practica inginerească impune, în general, două tipuri de restricţii
asupra comportării mecanice a structurilor. Pe de o parte, ele nu
trebuie să cedeze sub sarcinile normale de lucru (sau chiar sub sarcini
mai mari, aplicate accidental), iar pe de altă parte nu trebuie să se
deformeze excesiv. Prima condiţie este evidentă şi se aplică în
majoritatea cazurilor. A doua este necesară numai în unele cazuri. Un
astfel de exemplu îl constituie paletele rotoarelor turbinelor de abur
sau ale motoarelor de avion (turbine cu gaz). Acestea sunt supuse la
încovoiere de fluidul în mişcare, dar şi la întindere, de o importantă
forţă centrifugă datorată vitezelor unghiulare foarte mari cu care se
învârt rotoarele. În plus, ansamblul lucrează la temperaturi ridicate.
Condiţia de rezistenţă la rupere pentru aceste structuri este evident
3
necesară. În plus, este necesar ca paletele să nu se deformeze (să-şi
mărească lungimea) în timpul funcţionării mai mult decât distanţa
dintre vârful lor şi carcasă, pentru a evita ruperea paletelor şi / sau a
carcasei. Această toleranţă este însă mică, deoarece un spaţiu mare
între palete şi carcasă duce la pierderi inadmisibile ale fluidului de
lucru.
Aceste două condiţii, cea de rezistenţă şi cea de deformaţie, fac
obiectul studiilor mecanicii materialelor şi structurilor, cunoscută şi
ca rezistenţa materialelor sau ca mecanica solidului deformabil.
Este necesar să se sublinieze distincţia făcută mai sus între
comportarea materialelor şi cea a structurilor. Desigur, a doua o
include pe prima. În plus, răspunsul structurilor, compuse din multe
elemente (componente, piese, organe) încărcate complex, depinde de
modul în care sarcinile sunt transmise şi distribuite pe fiecare
element, de geometria structurii, a încărcării şi a modului în care
structura este susţinută (rezemată). Ruperea este, în esenţă, un proces
microscopic, local, adică ea este produsă de sarcini şi solicitări
locale, care depind de întreaga structură şi de încărcarea ei globală.
Există astfel o ierarhie de scări spaţiale la care studiul unei structuri
trebuie să se efectueze: de la scara globală, de exemplu, a unui întreg
pod, până la scara fiecărui element, de exemplu, cea a fiecărui nit al
podului respectiv. Această ierarhie poate fi extinsă spre scările mai
mici, spre microstructură, mergând în intimitatea materialului din
care sunt construite elementele cele mai solicitate. Sarcina
inginerului este aceea de a identifica această ierarhie şi de a elabora
modelul de calcul corespunzător. Obiectivul principal al disciplinei
rezistenţa materialelor este de a prezenta conceptele şi metodologiile
de bază în acest proces.
Tipuri de comportări mecanice ale materialelor
În acest paragraf se va defini răspunsul generic al unui material la
solicitări externe. Aceasta este o restrângere a discuţiei de la
răspunsul unei întregi structuri, la cel al materialului din care ea este
realizată. Este ca şi cum s-ar porni de la scara unei structuri încărcată
cu sarcini complexe (fig. 1.a),
4
s-ar face un “zoom-
in” la scara uneia
dintre componentele
sale (fig. 1.b) şi apoi
un alt “zoom-in” prin
care se izolează un
mic volum de
material din acea
componentă (fig.
1.c). Se presupune că
acest volum de
material, de exemplu
un cub, este încărcat cu tensiuni constante pe toate feţele sale, adică
este suficient de mic încât gradienţii (variaţiile tensiunii de la un
punct la altul) sunt neglijabili. Acest volum de material reprezintă un
“punct material” la scara elementului de structură din figura 1.b.
Răspunsul materialului la solicitarea din figura 1.c se poate
determina experimental. Pentru aceasta se folosesc epruvete cu
secţiuni circulare sau dreptunghiulare, care sunt solicitate la întindere
sau la compresiune. Una dintre condiţiile de bază ale unui astfel de
test este ca tensiunile să fie constante în întregul volum de material
testat. O epruvetă cilindrică tipică este reprezentată schematic în
figura 2. Ea are trei zone: două capete de prindere şi o zonă
centrală. Cele două capete au secţiune mai mare decât zona centrală,
astfel încât
Figura 2
tensiunile aici să aibă valori mai reduse. La capete se prinde epruveta
în maşina de încercat. Zona centrală a epruvetei este cea în care se
face măsurarea. Ea este de obicei prelucrată foarte fin (la rugozităţi
mici) şi are diametrul constant d0 (dacă secţiunea este circulară), pe o
Figura 1
5
lungime Lc, ceea ce asigură uniformitatea tensiunilor în întregul
volum de material.
Formele şi dimensiunile epruvetelor pe care se fac încercări în
vederea determinării caracteristicilor materialelor, sunt precizate în
standarde specifice. Pentru încercarea la întindere a materialelor
metalice, la temperatura ambiantă, trebuie avute în vedere
prevederile standardului SR EN 10002 – 1 (anul 1995). Pentru
exemplificare, în tabelul 1 se dau dimensiunile epruvetelor cu
secţiune circulară, proporţionale, adică pentru care L0 = 5 d0.
Încercarea constă în aplicarea unei forţe F de întindere sau de
compresiune la capetele epruvetei şi în măsurarea lungirilor ΔL (sau
scurtărilor) epruvetei între două repere aflate la distanţa L0, din zona
centrală, calibrată. Pentru fiecare “treaptă de încărcare a epruvetei”
se determină perechile de valori F, ΔL. Tensiunea σ se determină cu
formula σ = F / S0, în care S0 = π d02
/ 4, este aria iniţială a secţiunii
epruvetei. Deformaţia specifică ε se calculează cu relaţia ε = ΔL / L0.
Perechile de valori σ, ε, determină experimental, pentru materialul
respectiv, relaţia dintre tensiuni şi deformaţiile specifice, prin puncte
care pot fi reprezentate grafic într-un plan σ, ε.
Tabelul 1
Diametrul
d0
mm
Aria
secţiunii
iniţiale,
S0
mm2
Lungimea
iniţială
între repere,
L0
mm
Lungimea
calibrată
minimă, Lc
mm
Lungimea
totală,
Lt
mm
20±0,150 314,2 100±1,0 110 Depinde de modul de fixare
a epruvetei în
fălcile maşinii; în principiu: Lt
> Lc + 2d0
10±0,075 78,5 50±0,5 55
5±0,040 19,6 25±0,25 28
Testul poate fi efectuat şi invers, controlând deplasarea (viteza)
relativă a celor două capete ale epruvetei şi măsurând forţa /
tensiunea necesară. A doua modalitate de testare are un avantaj net
prin aceea că în cazul producerii unei instabilităţi a procesului de
deformare (rupere sau localizare a deformaţiei), maşina de testare
caută să reducă forţa aplicată, făcând astfel posibilă continuarea
6
testului şi în regimul post-critic. În cazul celuilalt tip de test, maşina
caută să menţină forţa constantă, epruveta fiind distrusă catastrofic
(ruptă) în momentul atingerii punctului critic.
Răspunsul unui material generic la o astfel de încărcare, adică cu
o tensiune axială este reprezentat în figura 3 şi se numeşte curbă
caracteristică a materialului. Sunt reproduse două curbe tensiune -
deformaţie specifică: cea cu linie continuă corespunde mărimilor
inginereşti, iar cea cu linie întreruptă, mărimilor reale.
Curbele au trei
regiuni bine definite.
Pentru tensiuni şi
deformaţii mici, ambele
sunt lineare şi coincid
(regiunea OA). Aceasta
este regiunea linear
elastică. Dacă sarcinile
aplicate sunt eliminate,
epruveta revine la forma
şi dimensiunile iniţiale,
punctul reprezentativ
revenind de la A la O pe
acelaşi drum parcurs în
timpul încărcării. Panta
acestei linii se numeşte modul de elasticitate lineară, modulul lui
Young sau modulul de elasticitate longitudinal şi se notează cu E.
Între punctele A şi B comportarea materialului continuă să fie
elastică, dar curba caracteristică este nelineară. Dincolo de punctul B
epruveta intră în zona de deformare plastică. B se numeşte punct de
curgere, iar tensiunea corespunzătoare, c, este tensiunea de curgere
sau limita de curgere. Tensiunea corespunzătoare punctului A, p, se
numeşte limita de proporţionalitate.
Începutul deformării plastice este dificil de definit fără
ambiguitate, în practică. De aceea, poziţia punctului B se stabileşte
convenţional pentru o deformaţie specifică remanentă (plastică, εp)
de 0.2% (sau 0.002).
Dacă faza de încărcare este oprită dincolo de punctual B, de
exemplu în C, şi epruveta este descărcată, curba caracteristică de
Figura 3
7
descărcare parcurge linia CD. Aceasta este paralelă cu OA şi deci are
panta E. Descărcarea este elastică. Deformaţia specifică totală în C,
, este compusă dintr-o componentă elastică, e, şi una plastică, p.
După descărcare, deformaţia remanentă a epruvetei are valoarea p.
Această comportare a materialului subliniază cele prezentate
anterior, referitor la faptul că deformaţia elastică şi cea plastică se
produc în paralel. Materialul continuă să se deformeze elastic chiar şi
atunci când punctul caracteristic este dincolo de B. Tensiunea în
punctul curent este σ = Ee. Această observaţie este însă de puţin
ajutor în practică pentru că ceea ce se măsoară este deformaţia
specifică totală, , şi nu componentele ei.
Dacă epruveta este reîncărcată din punctul D, curba urmează
linia DC, iar punctul de curgere se mută în C. Tensiunea de curgere,
c a crescut după deformarea plastică. Se spune că materialul s-a
ecruisat. Acest efect poate fi folosit pentru creşterea durităţii
(hardness) şi a rezistenţei (strength) materialelor inginereşti metalice.
În continuare, punctul caracteristic urmează curba CE, ca şi cum
deformarea epruvetei nu ar fi fost întreruptă.
Deformaţia plastică este uniformă în întregul volum al zonei
centrale a epruvetei, iar aria secţiunii transversale scade continuu, pe
măsură ce lungimea epruvetei creşte. Se constată că variaţia de
volum corespunzătoare deformaţiei plastice este nulă. Acest mod de
deformaţie este reprezentat schematic în figura 3. La un moment dat
însă, deformaţia se localizează într-o gâtuire a epruvetei. În această
zonă aria secţiunii transversale scade dramatic, în timp ce forţa care
se aplică epruvetei este aproximativ constantă. În consecinţă,
tensiunile reale în zona respectivă cresc rapid, iar în afara zonei de
localizare rămân aproximativ constante. Aceasta corespunde
“ridicării” rapide a curbei trasată cu linie întreruptă, între punctele E
şi F, ajungând respectiv în E' şi F'. Valorile mari ale tensiunilor din
zona de localizare (gâtuire) duc, în final, la ruperea epruvetei. Pentru
un material ductil, procesul are loc prin “cavitaţie,” adică prin
nucleerea unui gol pe axa epruvetei, gol care creşte pe măsură ce
deformaţia continuă de la E la F. În punctul F, “ligamentele” de
material delimitate de acest gol axial şi suprafaţa externă a epruvetei
cedează prin forfecare.
8
Curba notată σing
, care reprezintă mărimile inginereşti, coboară
dincolo de punctul E. Această comportare este posibilă numai în
cazul în care viteza de deplasare relativă a celor două capete ale
epruvetei este controlată în timpul testului (nu forţa aplicată). Când
deformaţia se localizează, deplasarea creşte brusc, iar maşina reduce
forţa aplicată.
O altă observaţie importantă cu privire la curbele din figura 3
este legată de energia de deformaţie. Energia de deformaţie este
echivalentă cu aria de sub curba caracteristică. În cazul de faţă se
reduce la un singur termen pentru că sunt aplicate numai tensiuni
normale, pe o singură direcţie şi xxdW . Energia totală stocată
şi disipată în timpul încărcării (în punctul C), este aria de sub curba
OABC (haşurată în fig. 3). Această energie este generată de maşina
de încercare, sub formă de lucru mecanic. După descărcare (linia
CD), aria triunghiului CDD' reprezintă energia elastică care este
“recuperată.” Aceasta este energia de deformaţie care a fost stocată
în interiorul materialului în timpul încărcării. Aria OABCD
reprezintă energia disipată în procesul de deformare plastică. Cea mai
mare parte (~ 98 %) din această energie este transferată mediului sub
formă de căldură. Este important de notat că pe măsură ce punctul C
se apropie de E, cea mai mare parte din lucrul mecanic efectuat de
sistemul de încărcare este disipată în procesul de deformare plastică.
Figura 4
Nu toate materialele răspund identic la solicitările mecanice. De
fapt, există o foarte mare variabilitate în acest sens. Un exemplu este
reprezentat în figura 4, care conţine două curbe caracteristice: pentru
9
un oţel carbon şi pentru aluminiu pur (policristalin). Curba
corespunzătoare oţelului carbon prezintă câteva particularităţi în
vecinătatea punctului de curgere. Imediat după începutul curgerii
(deformării plastice) tensiunea scade brusc, astfel încât se pot defini
două puncte (limite) de curgere: unul superior şi unul inferior.
Urmează un scurt platou şi o zonă de ecruisare. Curba
corespunzătoare aluminiului nu are particularităţi deosebite, fiind
similară cu cea generică, prezentată în figura 3.
Încercările de laborator prin care au fost obţinute curbele din
figura 4, au fost făcute în mediul ambiant şi la temperatura camerei.
Este important de observat că, dat fiind că temperatura de topire
a diferitelor materiale este diferită, nu ne putem aştepta ca răspunsul
măsurat la o temperatura dată să fie similar. Pentru a aduce discuţia
la un numitor comun, adică pentru a putea compara diferite
materiale, se foloseşte aşa numita “homologous temperature” Th
definită ca raportul dintre temperatura curentă T şi temperatura de
topire a materialului respectiv Tt (pentru polimeri se foloseşte
temperatura de tranziţie “glass transition temperature” – de
vitrificare) Th = T/Tt. Pentru cele două materiale în discuţie,
temperaturile Tt sunt: 1538o
C pentru oţelul carbon şi 660o
C pentru
Al. Deci la temperatura camerei (200 C), temperaturile “omoloage”
Th sunt 0.013 şi respectiv 0.03. Trebuie menţionat că totuşi, chiar
dacă încercările ar fi fost făcute la aceeaşi valoare a homologous
temperature Th , curbele caracteristice ar fi fost diferite. Aceasta se
datorează faptului că microstructurile şi mecanismele de deformare
sunt diferite de la material la material.
Efectul temperaturii asupra comportării mecanice a unui material
dat este reprezentat calitativ în figura 5. Creşterea temperaturii are
următoarele consecinţe: modulul de elasticitate scade uşor (panta
curbei caracteristice în zona elastică este mai redusă), punctul de
curgere se mută la tensiuni mai mici şi deformaţia la rupere creşte
simţitor. Pe acest efect se bazează prelucrarea la cald a materialelor.
Prin încălzire la o temperatură apropiată de temperatura de topire,
materialul devine mult mai ductil şi curge la tensiuni mult mai mici
decât la temperaturi coborâte.
10
Figura 5
Problema poate fi pusă şi invers: o structură construită dintr-un
material care este ductil la temperaturi de lucru normale poate deveni
fragilă dacă temperatura coboară accidental sub ceea ce este
considerat normal la proiectare. Un exemplu proeminent în acest sens
este cel al unei serii de accidente petrecute în timpul celui de-al
doilea război mondial, în care nave de război s-au rupt pur şi simplu
în două, aparent fără o cauză bine determinată, atunci când intrau în
zona arctică a oceanului Atlantic. Cauza a fost elucidată mai târziu,
când s-a descoperit că oţelul din care erau construite navele trecea
printr-o tranziţie de fragilizare la temperaturi în jurul celei de –10 oC.
Acest şir de evenimente tragice a constituit în mare măsură factorul
declanşator pentru iniţierea studiilor care au dus la naşterea
disciplinei Mecanica Ruperii.
Alte utilizări practice ale efectului de fragilizare a materialelor,
asociat cu scăderea temperaturii, sunt în biologie şi în producţia de
micro şi nano-pulberi. În biologie, ţesuturile care trebuie studiate la
microscop se îngheaţă pentru a putea fi tăiate (microtome) în felii
subţiri şi pregătite pentru observaţie. La fel, una dintre metodele de
producţie a pulberilor este cea criogenică: materialul respectiv se
răceşte la temperaturi sub –100 oC după care este supus unei
operaţiuni de aglomerare (ball milling). Aceste pulberi (ceramice sau
metalice) pot fi apoi folosite pentru a produce aliaje (prin sinterizare)
sau materiale compozite (prin compactare).
Modalitatea standard de reprezentare grafică a efectului
temperaturii asupra curgerii materialelor este curba, σ –T, tensiune –
temperatură (sau temperatura Th), pentru o deformaţie specifică ε
dată. Un exemplu generic este prezentat în figura 6.
11
Pe măsură ce temperatura
creşte, tensiunea necesară pentru a
produce deformaţia specifică
respectivă, scade continuu. La
temperaturi înalte se ajunge la un
platou, tensiunea încetând să scadă
în continuare. Acest platou se
numeşte “a-termal”.
Trebuie considerat şi efectul
vitezei (ratei) de deformare asupra
curbei caracteristice a materialului. Acest efect este intuitiv şi a fost
experimentat de nenumărate ori de către fiecare dintre noi. Un
exemplu este modul în care resimţim interacţiunea cu apa dintr-un
bazin (apa fiind aici materialul “testat”): intrând încet în apă, ea pare
că nu opune nici o rezistenţă; sărind însă de la trambulină, rezistenţa
opusă este evidentă. Aceasta sugerează că pe măsură ce deformăm un
material mai repede, tensiunea necesară producerii unei anumite
deformaţii specifice trebuie să fie din ce în ce mai mare.
Acest efect este de obicei reprezentat grafic sub forma unei curbe
tensiune, σ, – viteza (rata) de deformare, , în coordonate semi-
logaritmice (fig. 7). O astfel de curbă se trasează pe baza mai multor
teste, fiecare fiind făcut pentru altă valoare a vitezei de deformare .
Se reprezintă tensiunea corespunzătoare pentru o deformaţie
specifică dată (aleasă). Rata de deformare se măsoară în s-1
, iar
domeniul de rate de deformare importante în practică, este
aproximativ 10-4
… 1 s-1
. Testele curente de laborator (pentru
încercarea materialelor) se fac, de obicei, în domeniul 10-4
… 10-2
s-1
.
Operaţiunile de deformare curente (la rece şi la cald) se fac în
domeniul 10-3
… 1 s-1
, iar în procesele de deformare foarte rapidă,
cum ar fi penetrarea proiectilelor prin ţinte, ratele de deformare sunt
de ordinul 103 … 10
5 s
-1. Există teste de laborator pentru încercarea
materialelor la rate de deformare mari, însă acestea necesită aparatură
specială, de tipul barei Hopkinson.
Se pot distinge trei domenii ale curbei σ - . Pentru valori mici
(I), practic valoarea tensiunii σ nu depinde de viteza de deformare ,
iar curbele caracteristice determinate pentru rate diferite se suprapun.
Unele materiale, cum ar fi aluminiul, sunt foarte puţin sensibile
Figura 6
12
la rata de deformare şi pentru
întregul domeniu de rate
importante în practică, curg la
aceeaşi tensiune. Majoritatea
calculelor inginereşti se fac în
acest domeniu, deci se
presupune că răspunsul
materialelor este puţin
dependent de rata de deformare.
Aceasta este în mod clar o
aproximaţie, bună pentru unele, dar mai puţin bună pentru multe
dintre materialele folosite în inginerie. Motivul principal pentru
adoptarea pe scară largă a acestei aproximaţii este faptul că
simplifică semnificativ calculul structurilor.
Pentru al doilea domeniu al curbei (II), tensiunea σ variază liniar
cu log . Acest domeniu se extinde până la rate foarte mari, care sunt
întâlnite în procesele de rupere dinamică, penetraţie şi fragmentare
( > 102 s
-1). Unele materiale inginereşti, cum ar fi aliajul Ti-6%Al-
4%V, folosit intens pentru componente care lucrează în medii
corozive (de exemplu, în corpul uman!) sau la temperaturi înalte,
prezintă numai acest domeniu al curbei, pentru toate ratele de
deformare de interes practic. Dincolo de acest regim (III), tensiunea
σ creşte rapid cu .
O altă serie de încercări folosite pentru caracterizarea
comportării materialelor este formată de testele de fluaj şi relaxare.
Testul de fluaj constă în încărcarea materialului la o tensiune (uneori
cu o forţă) constantă şi în măsurarea deformaţiei specifice în timp.
Ceea ce deosebeşte un astfel de test de cele descrise mai sus, este
faptul că valoarea tensiunii aplicate este sub limita de curgere, astfel
încât, într-un test cvasi-static (de durată obişnuită), singura
deformaţie care este de aşteptat să se producă este cea elastică.
Totuşi, dacă trece un timp suficient de lung, chiar o tensiune mică
poate duce la deformaţii plastice (permanente) importante. Acest
efect este cu atât mai pronunţat cu cât temperatura este mai ridicată.
Un exemplu clasic de astfel de comportament este cel al ţevilor de
plumb (din instalaţiile electrice) fixate orizontal la exteriorul
clădirilor vechi. În câţiva zeci de ani aceste ţevi se curbează sub
Figura 7
13
propria greutate: materialul curge. Un fenomen similar este observat
şi la alte materiale, “mai dure”, cum ar fi oţelurile, dar devine
măsurabil numai la temperaturi relativ ridicate (Th ~ 0.8).
Testul de relaxare a tensiunilor este oarecum opus celui de fluaj.
La acest test materialul este încărcat la o tensiune, după care
deformaţia specifică este menţinută constantă. Cel mai simplu
exemplu este cel al strângerii cu şuruburi a două flanşe ale unei
conducte. În condiţii normale (discutate mai sus), forţa (tensiunea)
din şuruburi nu variază. Pentru multe materiale, însă, se constată că
tensiunea scade în timp, iar îmbinarea luată ca exemplu se slăbeşte.
Ca şi în cazul fluajului, relaxarea este mai pronunţată pe măsură ce
temperatura creşte.
Originile fizice ale comportării mecanice a materialelor
Aşa cum s-a menţionat mai sus, comportarea mecanică a
materialelor este extrem de variată. În aceleaşi condiţii de mediu şi
încărcare, materiale diferite se comportă diferit. Este important a se
înţelege ce anume determină acest fapt. Unul dintre factori a fost deja
discutat: raportul dintre temperatura la care se face testul şi cea de
topire, deci cât de aproape este materialul respectiv de punctul la care
încetează să mai fie un corp solid. Cei mai importanţi factori, însă,
sunt legaţi de structura internă a materialului.
Această legătură între microstructura şi comportarea mecanică a
materialelor a fost un obiectiv pentru câteva generaţii de cercetători
în domeniu. Ea formează obiectul de studiu al metalurgiei fizice. Mai
recent, s-a demonstrat faptul că fenomenologia observată la scară
macroscopică este determinată nu numai de ce se întâmplă la scară
microscopică (de ordinul a 1-10 m, de exemplu), ci de întreaga
ierarhie de scări spaţiale, de la cea atomică până la cea macroscopică.
A devenit evident că o înţelegere reală şi un control efectiv asupra
comportării materialelor (din punct de vedere mecanic, termic,
electronic, magnetic etc) este posibil numai înţelegându-l în
integralitatea lui. Astfel, ştiinţa materialelor a trecut din sfera
metalurgiei fizice în cea a fizicii corpului solid şi chiar a fizicii
cuantice şi a mecanicii statistice. În ziua de astăzi, bazele teoretice
ale dezvoltării materialelor noi fac parte mai mult din fizică decât din
inginerie.
14
În cele ce urmează se vor prezenta numai câteva aspecte,
esenţiale, pe baza cărora să se poată înţelege de ce materialele se
comportă elastic şi plastic şi ce fenomene fizice controlează această
comportare. Pentru aceasta este necesar să coborâm până la scara
atomică sau moleculară şi să renunţăm la descrierea de mediu
continuu a corpului solid, cu care suntem obişnuiţi. La acest nivel,
corpurile trebuie privite ca fiind medii discrete, compuse din atomi
şi/sau molecule, care interacţionează unele cu altele, prin câmpuri.
Pentru simplitatea discuţiei, se va considera un material mono-
atomic, aşa cum sunt toate metalele.
La scara atomică astfel de materiale (metale, ceramici) au
aspectul unei reţele cristaline. Atomii sunt aşezaţi în poziţii specifice
în reţea, de exemplu, în nodurile acesteia. Reţelele cristaline sunt
clasificate în 6 tipuri sau singonii (cubic, hexagonal, tetragonal,
ortorombic, monoclinic şi romboedric). Cele mai multe materiale
inginereşti au reţele fie cubice, fie hexagonale. Singonia cubică are
patru clase: cubic simplu, care nu se întâlneşte în natură în condiţii
normale, cubic cu feţe centrate (de exemplu Al, Ni), cubic cu volum
centrat (de exemplu Fe, V) şi cubic de tip diamant (de exemplu Si,
Ge). Dintre materialele cu reţele hexagonale se pot menţiona Zn şi
Mg. Detalii cu privire la aceste aspecte se pot găsi în tratatele de
cristalografie.
Pentru discuţia de faţă este suficient să se considere cea mai
simplă reţea cristalină, cea cubic simplă (fig. 8). În această reţea,
atomii sunt aşezaţi în colţurile fiecărui cub elementar (sau celulă
unitară), iar latura cubului, a0, este
parametrul reţelei. În materialele
metalice a0 este de ordinul a 1 Å,
sau 10-10
m. În cele ceramice sau
semiconductoare, această distanţă
este ceva mai mare (de circa 2 Å).
Atomii interacţionează prin
intermediul unor forţe care pot fi
de natură ionică, covalentă sau
van der Waals. Legătura ionică
este de tip electrostatic şi este dominantă în solidele în care atomii
aşezaţi în nodurile reţelei cristaline sunt ionizaţi (ioni) ca, de
Figura 8
15
exemplu, la sarea de bucătărie (NaCl). Aceasta este o legătură
puternică, care se exercită la distanţă mare. Legătura covalentă se
datorează faptului că electroni ai unui atom sunt în comun cu unul
sau mai mulţi vecini ai lui, atunci când aceştia sunt suficient de
aproape pentru ca orbitele lor să se suprapună. Legătura covalentă
este tot o legătură puternică, dar care are o rază de acţiune mai
redusă. În metale, o parte dintre electronii de valenţă sunt puşi în
comun şi, efectiv, atomii devin ioni pozitivi. Fiind însă “cufundaţi”
în această “mare electronică” de sarcină negativă, ei sunt ecranaţi şi
deci nu interacţionează electrostatic (adică între ei nu apar forţe de
respingere). Electronii liberi formează o bandă de conducţie la scara
întregii reţele cristaline şi asigură o bună conductivitate electrică şi
termică a majorităţii metalelor. Trebuie menţionat că unele metale de
tranziţie au o componentă covalentă semnificativă în legăturile lor
atomice. În sfârşit, interacţiunea de tip van der Waals se datorează
dipolilor induşi şi este tipul dominant de interacţiuni interatomice în
solidele formate de gazele nobile (He, Ar, Xe, Ne) la temperaturi
scăzute şi în polimeri. Gazele nobile au nivelele electronice complete
şi deci nu pun electroni în comun cu atomii vecini. Totuşi, sarcina
electrică a unui atom dat fluctuează spaţial, deşi rămâne constantă ca
medie pe întregul atom. Aceste fluctuaţii (pentru un atom dat) duc la
formarea unui dipol de sarcină a cărui mărime şi orientare în spaţiu
fluctuează. Atunci când doi astfel de atomi sunt suficient de apropiaţi
unul de celălalt, fluctuaţiile unuia induc dipoli în cel vecin. Aceşti
dipoli induşi au viaţa extrem de scurtă, însă suficientă pentru a
genera forţe de natură electrostatică între atomii vecini aflaţi în
interacţiune.
Forţele interatomice sunt definite de o mărime numită potenţial
interatomic. Aceasta este, în esenţă, o lege constitutivă la scară
atomică, care poate fi stabilită prin calcule de fizică cuantică. O
formă funcţională generică, pentru astfel de interacţiuni (una dintre
cele mai simple), este potenţialul Lennard-Jones:
612
r
a
r
ae4)r(u , (1)
16
care este expresia energiei de interacţiune a doi atomi aflaţi la
distanta r. În relaţia (1), e este unitatea de energie, iar a este cea de
distanţă. Forţa de interacţiune dintre cei doi atomi este:
f(r) = - du / dr. (2)
Potenţialul Lennard-Jones este un excelent model pentru
interacţiunile de tip van der Waals. Funcţiile (1) şi (2) sunt
reprezentate grafic în figura 9, prin expresiile adimensionale u/e
Figura 9
şi -fa/e (notate în fig. 9). Forţa interatomică f(r) este de atracţie
(negativă), când distanţa dintre atomi este mare (r >> a), trece prin
zero la aproximativ r = 1.12246a şi devine de respingere când cei doi
atomi sunt apropiaţi (r < a). Repulsia puternică la distanţe r mici se
explică, în principal, ca o consecinţă a principiului de excluziune al
lui Pauli.
Acest fapt sugerează că atomii au tendinţa să se aglomereze
datorită forţei de atracţie, însă nu se pot suprapune, rămânând entităţi
distincte. Poziţia relativă de minim energetic corespunde celei în care
forţa de interacţiune este zero. Această condiţie determină valoarea
parametrului a0, al reţelei (fig. 8).
17
Originea elasticităţii materialelor
Pentru a descrie originea fizică a elasticităţii materialelor
cristaline, de tip metalic şi ceramic (comportarea elastică a
materialelor polimerice şi a cauciucurilor este de natură diferită şi nu
se discută aici), se vor face referiri la reţeaua cristalină din figura 8 şi
anume la răspunsul ei la deformarea după una din direcţiile aliniate
cu axele principale (muchiile cubului reprezentativ). Pentru
simplitate, se va considera că un atom interacţionează, prin
potenţialul Lennard-Jones, numai cu vecinii lui cei mai apropiaţi. De
exemplu, atomul A interacţionează numai cu cei 6 vecini ai săi aflaţi
la distanţa a0: atomii B, C, D, E, F şi G (fig. 8). În acest caz,
parametrul reţelei, a0, este determinat de valoarea minimă a
potenţialului: a0 = 1.12246a.
În configuraţia nedeformată, valoarea forţei care acţionează
asupra fiecărui atom este nulă, atât pentru că forţa f = 0 în punctul M
(fig. 9), cât şi datorită simetriei reţelei. Se presupune, apoi, că reţeaua
este deformată, prin întindere uniaxială, în direcţia orizontală din
figura 8. Distanţa dintre atomii A, B şi C creşte, în timp ce cea dintre
A şi D, E, F şi G rămâne aproximativ constantă (creşte mult mai
puţin decât cea în direcţia deformării; această variaţie se neglijează).
Având în vedere curbele din figura 9, distanţa între A, B şi C creşte
corespunzător creşterii distanţei OM la OM’, iar energia unui atom
creşte de la cea corespunzătoare punctului P la cea corespunzătoare
lui P’. Această creştere de energie este energia de deformare stocată
în material în timpul deformării. Aşa cum s-a discutat în paragrafele
precedente, energia de deformare este asociată cu deformaţia elastică.
În elasticitate se presupune, de cele mai multe ori, că ecuaţia
constitutivă este lineară, deci tensiunile sunt proporţionale cu
deformaţiile specifice. În limbajul curent, aceasta însemnă că forţa
dintre doi atomi este proporţională cu deplasarea în raport de poziţia
de echilibru. Aceasta este tot o consecinţă a formei funcţionale a
potenţialului interatomic. Dacă punctul de echilibru este în M
(energie minimă şi forţă rezultantă zero), deformaţia duce la mutarea
punctului curent pe curba -fa/e din figura 9 în M” (nivel de energie
mai ridicat şi forţă nenulă între doi atomi. Trebuie notat că deşi forţa
dintre doi atomi nu este zero, datorită simetriei reţelei forţa rezultantă
18
(totală) rămâne nulă, deci atomul este în echilibru). Aceasta poate fi
aproximată cu o mutare a punctului curent, nu pe curba reală (curba -
fa/e) din M în M”, ci pe tangenta la curba reală, dusă în punctul M,
adică din M în N. În aceste condiţii, forţa este proporţională cu
deplasarea dintre doi atomi şi materialul este linear elastic.
Este necesar să fie re-subliniat că aceasta este numai o
aproximaţie, care este cu atât mai bună cu cât deplasările
(deformaţiile specifice) sunt mai mici. De fapt, reţeaua cristalină se
comportă elastic nelinear.
Aproximarea curbei reale -fa/e cu tangenta în punctul M, este
echivalentă cu aproximarea curbei energiei (u/e) cu o parabolă având
vârful în punctul P. Curbura parabolei, ca şi panta tangentei,
corespund modulului de elasticitate, E.
Efectul temperaturii asupra modului de elasticitate este bine
cunoscut: când temperatura creşte, E scade uşor. Acest efect poate fi
explicat tot cu ajutorul curbelor din figura 9. În fizica corpului solid,
temperatura este asociată cu mişcarea de vibraţie a atomilor în jurul
poziţiilor lor de echilibru. Cu cât temperatura creşte, cu atât
amplitudinea vibraţiilor (energia cinetică) creşte. Temperatura zero
absolut corespunde cu încetarea totală a mişcării atomice şi de aceea
nu poate fi atinsă. Dacă potenţialul interatomic ar avea variaţia într-
adevăr parabolică (şi legea constitutivă ar fi linear elastică), atomii ar
vibra, la orice temperatură, în jurul aceleiaşi poziţii de echilibru,
căreia îi corespunde punctul P, pe curba u/e din figura 9. Cum nu
aceasta este realitatea, potenţialul fiind “mai abrupt” spre r mic şi
“mai puţin abrupt” spre r mare, mărirea temperaturii are ca efect
mutarea punctului în jurul căruia vibrează atomii spre dreapta, adică
spre P’. Aparent, parametrul reţelei, a0, creşte cu temperatura, ceea ce
este cunoscut la scară macroscopică ca dilatare termică. În acelaşi
timp, pe măsură ce reţeaua se dilată, curbura potenţialului scade, ceea
ce este echivalent cu reducerea valorii modulului de elasticitate, E.
Desigur, această prezentare este simplificată. Reţelele cristaline
reale sunt mai complexe, iar interacţiunile interatomice sunt şi ele
mai complexe şi cu raza de acţiune mai mare decât s-a considerat
aici. Toate acestea aduc în discuţie particularităţile materialului.
Totuşi, comportamentul general este acelaşi, iar acest exemplu
simplu este suficient pentru a oferi o imagine completă asupra
19
fenomenelor fizice relevante din mecanica solidului deformabil şi
rezistenţa materialelor.
Originea plasticităţii materialelor
În prezentarea precedentă s-au considerat numai deformaţii
elastice; atunci când încărcarea este eliminată, interacţiunile
interatomice aduc reţeaua la configuraţia de echilibru. În acest
proces, forţele interatomice execută lucru mecanic împotriva
mecanismului de încărcare, eliberând energia elastică stocată. Acum
trebuie înţeles cum o astfel de reţea se deformează plastic
(permanent).
Pentru aceasta se consideră tot reţeaua din figura 8, a cărei
proiecţie în plan este reprezentată în figura 10 (cercuri goale). Se
presupune că această reţea este supusă la o solicitare de forfecare.
Dacă deformaţia este
omogenă, ea capătă
configuraţia din figura
10.a (cercuri pline).
Deformaţia specifică de
forfecare este 0xy a .
Cum atomii
interacţionează prin
potenţialul din figura 9, se
poate calcula variaţia energiei şi forţei unui atom, în timpul acestei
perturbări. Pentru deplasări mici , forţa care acţionează în plan
orizontal şi caută să restaureze configuraţia iniţială, nedeformată, a
reţelei este sin)cosa(f 0 , unde 0a/tg . Când deformaţiile
sunt mari, forţa are abateri de la această predicţie, pentru că alte
perechi de atomi încep să interacţioneze. În orice caz, când = a0,
configuraţia nedeformată a reţelei este regăsită şi forţa este din nou
nulă (energia este minimă). Astfel, variaţia forţei orizontale (şi deci a
tensiunii de forfecare) este o funcţie periodică cu perioada a0. Ea este
reprezentată calitativ în figura 10.b. Panta acestei curbe în origine
este echivalentă cu modulul de elasticitate la forfecare (transversal),
G.
a b
Figura 10
20
Analiza arată că reţeaua cristalină poate fi deformată plastic prin
forfecare, prin alunecarea unui întreg plan atomic în raport cu cel
vecin. Acest mod de deformare este neomogen şi este reprezentat în
figura 11. Configuraţia din figura 11.c corespunde unei deformaţii
permanente şi este în echilibru. Diferenţa dintre geometria reţelei
nedeformate din figura 11.a şi cea din figura 11.c constă în prezenţa
celor două “trepte” pe suprafeţele laterale ale cristalului. Aceste
defecte nu pot fi anihilate de către procesele termodinamice
(fluctuaţii) la temperaturi normale.
Totuşi, un calcul sumar al energiilor şi forţelor necesare pentru a
produce perturbarea din figura 11.c arată că acest mod de
deformare este imposibil. Tensiunile de forfecare necesare ar fi
a b c
Figura 11
de aproximativ 4 ordine de mărime mai mari decât cele efectiv
măsurate în laborator (de exemplu, comparând cu tensiunea de
curgere, care marchează începutul deformării plastice).
Situaţia a fost clarificată de Taylor, Orowan şi Polyani, care au
introdus noţiunea de dislocaţie în anul 1934, idee rămasă relativ
nedezvoltată până la sfârşitul celui de al doilea război mondial. O
dislocaţie este un defect al reţelei cristaline, care face posibilă
tranziţia dintre configuraţiile 11.a şi 11.c, cu un consum relativ mic
de energie. Conceptul este simplu: dacă forfecarea cristalului
(deplasarea relativă a două plane atomice ca în fig. 11.b) este dificil
să se producă în mod omogen (întregul plan atomic alunecă
simultan) ca în figura 11.b, ea ar trebui să se producă în mod
neomogen. În loc ca fiecare legătură interatomică dintre cele două
plane care se mişcă relativ să fie deformată, se vor deforma un număr
relativ mic de legături interatomice, la un moment dat. Modul acesta
21
de deformare este exemplificat, schematic, în figura 12. Se
observă că figura 12.b este echivalentă cu figura 11.b şi
demonstrează că
a b c
Figura 12
deformaţia se produce progresiv, defectul părând că se “deplasează”
de la stânga la dreapta, sub acţiunea forţelor externe aplicate
cristalului. Desigur, această “deplasare” este aparentă; ea nu implică
nici un fel de transport de masă. De asemenea, dislocaţia nu este un
obiect în sine, ci mai degrabă un câmp de deplasări.
În virtutea celor de mai sus se poate spune că o dislocaţie este un
“element de deformare plastică.” Deformarea la scară mai mare se
produce prin intermediul unui număr foarte mare de dislocaţii, care
se “mişcă” (se propagă) prin material. Un singur astfel de defect
produce o “treaptă” pe suprafaţa cristalului, cu înălţimea a0, sau
aproximativ 1 Å. Pentru a se produce o deformaţie macroscopică,
trebuie ca un număr mare de dislocaţii să parcurgă şi să iasă din
cristal, pe acelaşi plan cristalografic sau pe plane paralele învecinate.
Deşi macroscopic suprafaţa laterală a unui astfel de cristal pare
netedă şi deformaţia pare omogenă, la scară microscopică,
deformaţia plastică nu este omogenă, iar suprafaţa este formată dintr-
o succesiune de “trepte” de dimensiuni variabile, dar nu mai mari de
câteva zeci de Å.
Într-un material nedeformat în prealabil, se află aproximativ 109
dislocaţii pe cm2 de secţiune. În timpul deformaţiei plastice
macroscopice, noi dislocaţii sunt produse, în timp ce foarte multe
“ies” din material. Dislocaţiile produc deformaţia plastică numai
când ies din material (sau ajung la limitele dintre grăunţii cristalini,
în cazul materialelor policristaline). Cele stocate nu fac decât să
crească energia internă a reţelei cristaline. De asemenea, o parte
dintre dislocaţii sunt “imobile” şi se constituie în obstacole foarte
22
puternice pentru cele mobile. Acesta este mecanismul ecruisării
materialelor, prin care tensiunea necesară continuării curgerii plastice
creşte, pe măsură ce materialul se deformează (şi densitatea
dislocaţiilor imobile creşte).
Energia consumată în timpul deformaţiei plastice şi care nu este
stocată în deformaţia legăturilor interatomice (energie de
deformaţie), este, de fapt, lucrul mecanic necesar mişcării
dislocaţiilor prin material, care se transformă în căldură. Mecanismul
de conversie al lucrului mecanic în căldură este, de asemenea, asociat
cu mişcarea dislocaţiilor; mişcarea acestor defecte produce vibraţii
ale reţelei cristaline sau fononi. Fononul este o construcţie
conceptuală (particulă fictivă), analoagă celei de foton al energiei
electromagnetice şi reprezintă o cuantă de energie sonoră sau de
vibraţii elastice, care se propagă prin corpuri cristaline, cu frecvenţe
comparabile cu cele ale sunetelor.
Mecanica dislocaţiilor, interacţiunile lor şi implicaţiile acestora
în deformaţia macroscopică a corpurilor solide cristaline, a fost
intens studiată în ultimii 50 de ani şi este un domeniu relativ bine
înţeles. Numeroase tratate au fost scrise pe această temă. Sinteza şi analiza structurilor mecanice. Locul calculului de
rezistenţă în inginerie
Proiectarea este o activitate de creaţie, cu implicaţii
multidisciplinare. Pentru rezolvarea unei probleme, proiectantul
trebuie să primească informaţii care să-i permită să formuleze
problema dată în termeni numerici. Dacă tema pe care a primit-o
conţine condiţii calitative, la care nu s-au asociat şi termeni
cantitativi, este de aşteptat ca soluţia să fie nesatisfăcătoare, cel puţin
din unele puncte de vedere.
Scopul primordial al proiectării este de a obţine cel mai bun
sistem posibil pentru un ansamblu de cerinţe impuse. Pentru aceasta
se concepe un sistem candidat şi se studiază cum se comportă acesta.
În inginerie în general, precum şi în construcţia unei maşini, a unui
utilaj sau a unei instalaţii, o componentă de bază este structura de
rezistenţă, care reprezintă un ansamblu mecanic cu o funcţionalitate
riguros definită, ca de exemplu: preluarea diverselor sarcini,
23
asigurarea unei anumite poziţii relative între subansamble,
posibilitatea efectuării unor mişcări relative între unele componente,
asigurarea unei stabilităţi statice şi dinamice, garantarea unei
rigidităţi impuse etc. În limbajul ingineresc obişnuit structura de
rezistenţă se numeşte mai simplu structură.
Calculele de rezistenţă, de stabilitate, de durabilitate, dinamice
etc au în vedere structura de rezistenţă în ansamblu, componentele
acesteia, precum şi alte elemente, componente sau subansamble ale
maşinii, utilajului sau instalaţiei care se proiectează. Aceste calcule
constituie o componentă importantă a proiectării dar ele pot fi duse
la bun sfârşit numai după ce alte aspecte, de principiu sau de detaliu,
au fost clarificate. Este cazul cerinţelor beneficiarului, a costurilor
impuse, a termenelor acordate, a materialelor disponibile, a
tehnologiilor accesibile, a volumului producţiei, a durabilităţii cerute
produsului, a exigenţelor ecologice etc.
Figura 13
Totdeauna calculele inginereşti trebuie să aibă în vedere
satisfacerea optimă a funcţiilor şi cerinţelor fundamentale ale
proiectării, ceea ce conduce la concluzia că disocierea procesului de
calcul de cel de proiectare implică riscul unor consecinţe
nefavorabile, care pot fi grave, greu de anticipat. O prezentare
concisă şi sugestivă a acestor corelaţii multiple se face în schema din
figura 13.
Sinteza şi proiectarea structurii de rezistenţă trebuie realizate în
aşa fel încât aceasta (adică structura) să fie sigură pentru valori clare
ale parametrilor funcţionali riguros definiţi, în condiţiile îndeplinirii
24
unor cerinţe severe şi adesea contradictorii privind costurile,
termenele de execuţie, dimensiunile de gabarit, greutatea, fiabilitatea,
aspectul estetic etc. Îndeplinirea acestor cerinţe duce la considerarea
unor restricţii pe care trebuie să le satisfacă calculele, cele mai des
întâlnite fiind: valorile maxime ale tensiunilor, deplasărilor şi/sau
deformaţiilor, coeficientul de siguranţă la flambaj, la rupere sau la
oboseală, minimum de sensibilitate la imperfecţiuni de execuţie, de
montaj sau de exploatare, frecvenţele modurilor fundamentale de
vibraţii, viteza de deformare în curgerea plastică staţionară, durata de
viaţă, greutatea, volumul, rigiditatea la diverse solicitări, momentele
de inerţie ale secţiunilor barelor, stabilitatea statică şi dinamică,
comportarea la solicitări dinamice etc. Mai pot fi avute în vedere
diferitele moduri de rupere, suprasarcinile la transport, la montaj sau
în exploatare, precum şi prevederile diverselor legi, standarde, norme
etc
Figura 14
În prezent, marea majoritate a calculelor inginereşti cerute pentru
sinteza, proiectarea şi analiza unui produs se fac cu metoda
elementelor finite (MEF). În condiţiile proiectării asistate de
calculator (CAD) şi a fabricaţiei asistate de calculator (CAM),
analiza prin calcul devine o componentă a unui proces unitar –
integrat, aşa cum se poate vedea în figura 14.
Trebuie remarcat faptul că în succesiunea CAD – CALCUL –
CAM există un proces iterativ de proiectare – calcul – execuţie. În
25
acest proces se realizează succesiv operaţii de sinteză şi de analiză
ale prototipului şi ale modelului pentru calcul (fig. 14). La fiecare
iteraţie a procesului se aduc îmbunătăţiri ale prototipului şi/sau ale
modelului de calcul, până când se ating performanţele dorite ale
întregului proces. Analiza modelului unei structuri de rezistenţă este
un calcul numeric de verificare, adică se realizează pentru o anumită
geometrie definită dimensional, pentru o încărcare dată şi condiţii de
rezemare bine precizate şi se obţin valorile deplasărilor, tensiunilor,
reacţiunilor în reazeme, frecvenţelor vibraţiilor proprii etc. Nu este
însă evident (în cazul general) cum trebuie modificată structura
pentru ca aceasta să răspundă cât mai bine ansamblului cerinţelor
impuse. Deci nu se poate concepe o tehnică generală de optimizare
automată, care să rezolve orice problemă, de orice natură. Ce se
poate face, este elaborarea unei metodologii de proiectare optimă.
Programele de calcul actuale au implementate proceduri speciale
de optimizare care permit determinarea prin calcul automat a
valorilor optime ale unor parametri de proiectare astfel încât să fie
satisfăcute un set de condiţii impuse unei funcţii obiectiv, definită de
utilizator.
Modelul de calcul
Noţiuni de teoria modelării
Elaborarea unui model este primul demers în încercarea de
abstractizare legată de un fenomen real observabil, de elaborare a
unei teorii care să-l explice şi să-i anticipeze evoluţia.
Modelele utilizate în ştiinţă şi în tehnică sunt sisteme teoretice
(logic – matematice) sau materiale cu ajutorul cărora pot fi studiate
indirect proprietăţile, comportarea în anumite condiţii date şi
transformările unor alte sisteme mai complexe, denumite sisteme
originale, cu care modelele au anumite asemănări, analogii sau
similitudini. Modelul reprezintă o simplificare, o reflectare numai
parţială a fenomenului sau obiectului original, neglijându-se anumite
laturi neesenţiale pentru studiul căruia îi este destinat, cu scopul de a
oferi un instrument mai accesibil investigaţiei teoretice şi / sau
experimentale.
26
Modelele pot fi teoretice (ideale) când sunt construcţii sau
reprezentări logic – matematice, ca de exemplu modelele atomului,
modelele cosmologice, modele de calcul etc, sau materiale, ca de
exemplu, macheta unei nave, un calculator analogic sau numeric etc.
Modelele teoretice sunt o verigă intermediară între experienţă şi
teoria propriu-zisă, cuprinzătoare şi exactă a sistemului studiat,
reprezentând un mijloc de verificare a ipotezelor enunţate la
elaborarea teoriei. Modelele teoretice sunt adesea ansambluri de
ipoteze formulate pe baza analogiei, presupuse, cu un sistem a cărui
teorie este, în esenţă, cunoscută; din aceste ipoteze pot fi deduse
consecinţe verificabile experimental. Adesea sunt utilizate modele
intuitive, care facilitează interpretarea teoriei şi raportarea ei la
obiectul real.
Modelele materiale permit abordarea pe cale experimentală a
unor probleme care nu pot fi rezolvate pe cale analitică, fie pentru că
nu există metode de calcul adecvate, fie că metodele existente sunt
prea laborioase şi costisitoare. Ele pot fi de aceeaşi natură fizică cu
sistemele originale – modele prin similitudine – fiind diferite de
acestea prin ordinul de mărime al dimensiunilor şi al valorilor
caracteristice (de exemplu, constantele fizice ale materialelor
folosite). Modelele pot fi şi de altă natură fizică decât sistemele
originale – modele prin analogie - caracterizate prin ecuaţii
matematice de aceeaşi formă cu cele ale sistemelor pe care le
modelează.
Utilizarea modelării în cele mai variate domenii ale ştiinţei şi
tehnicii s-a dovedit deosebit de fructuoasă şi eficientă, căpătând o
extindere spectaculoasă în ultimele decenii, ca urmare a aportului
adus de electronică în toate tipurile de procese de modelare. Mai mult
decât atât, apariţia şi dezvoltarea ciberneticii, informaticii şi
calculatoarelor electronice au dus la un proces de unificare a
modelării, analogiei, similitudinii şi simulării într-un sistem integrat,
cu performanţe remarcabile şi eficienţă ridicată.
Calculatoarele sunt de fapt modele: cele analogice sunt modele
ale unor relaţii matematice, iar cele numerice ale unor algoritmi. În
urmă cu câteva decenii, calculatoarele analogice şi cele numerice se
dezvoltau în paralel, oarecum independent. Modelarea pe
calculatoare analogice avea însă un neajuns: pentru fiecare tip de
27
problemă era necesară realizarea unui alt model. În prezent acest
neajuns s-a înlăturat ca urmare a utilizării unor algoritmi adecvaţi,
care permit simularea pe calculatorul numeric a modelelor
analogice, în acest fel calculatorul numeric devenind universal.
În numeroase domenii ale ştiinţei şi ingineriei se utilizează tot
mai mult sisteme complexe, interactive de modelare experimentală şi
prin calcul. De exemplu, un model (sau un ansamblu de mai multe
modele) al unei structuri este investigat prin una din metodele
cunoscute: tensometrie electrică rezistivă, fotoelasticitate,
interferometrie holografică. Informaţiile furnizate de determinările
experimentale sunt convertite – de către un convertor analog numeric
– în informaţii numerice, care se introduc într-un calculator, pe care,
simultan cu investigaţia experimentală, se execută calculele
corespunzătore unui model de calcul al aceleaşi structuri. Din
confruntarea informaţiilor obţinute prin cele două căi de investigare
se formulează decizii, care duc la perfecţionarea modelului
experimental, al celui de calcul şi al structurii care se studiază.
Procesul continuă până când se elaborează configuraţia optimă a
structurii respective.
Elaborarea unui model corect şi eficient al unui sistem original
reprezintă o sinteză a tot ceea ce se ştie despre acel sistem. Paradoxal
este faptul că, pentru a modela corect un fenomen, este necesară
cunoaşterea cât mai cuprinzătoare a sa, ceea ce este în opoziţie cu
nevoia de a-l cerceta. De asemenea modelul trebuie să fie adecvat
scopului urmărit. Un model excesiv de complicat – care îşi propune
să aibă în vedere toate aspectele şi detaliile posibile ale fenomenului
original – poate deveni costisitor, greoi sau chiar inoperant. Un
model simplist, prea sumar, poate fi incorect, ca urmare a neglijării
unor aspecte importante ale sistemului investigat.
În concluzie, un model M al unui sistem original S este un alt
sistem S’, care este echivalent cu S din anumite puncte de vedere şi
care poate fi studiat mai uşor ca S. Din determinarea pe S’ (adică pe
M) a unor informaţii se deduc informaţii corespunzătoare pentru S.
Echivalarea sau înlocuirea lui S’ cu S poate fi exactă sau
aproximativă. În domeniul teoriilor formale se pot construi sisteme
S’ care sunt riguros echivalente cu S, din anumite puncte de vedere,
ca, de exemplu, modelele din geometrie. În alte cazuri, modelul este
28
o construcţie teoretică care aproximează realitatea. Dacă această
construcţie teoretică este redată prin relaţii matematice, aceste relaţii
împreună cu interpretarea lor constituie modelul matematic al
sistemului care se studiază.
Modelele pentru calculele inginereşti, în general, sunt modele
matematice aproximative ale structurilor care se studiază.
Pentru trecerea de la structura reală la modelul ei de calcul nu
există algoritmi şi metode generale care să asigure elaborarea unui
model unic, care să aproximeze, cu o eroare prestabilită, cunoscută,
piesa sau structura care urmează să se calculeze. În general este
posibil ca pentru o structură să se elaboreze mai multe modele, toate
corecte dar cu performanţe diferite. Modelul pentru analiza unei
structuri se elaborează pe baza intuiţiei, imaginaţiei şi experienţei
anterioare a celui care face modelarea şi modelul trebuie să
sintetizeze eficient toate informaţiile disponibile referitoare la
structura respectivă.
Figura 15
Trebuie remarcat faptul că utilizarea calculatoarelor în analiza
structurilor a devenit indispensabilă, dar aceasta prezintă pericolul că,
“seduşi” de facilităţile şi automatismul sistemului de calcul, adesea
pierdem din vedere că rezultatele obţinute nu sunt altceva decât
29
consecinţele ipotezelor care au stat la baza modelului de calcul, a
configuraţiei modelului şi a algoritmilor utilizaţi pentru analiza
respectivă. Din acest impas nu se poate ieşi decât pe seama intuiţiei,
imaginaţiei şi experienţei.
Având în vedere că toate calculele “le face calculatorul”, sarcina
care rămâne proiectantului este de elabora modele adecvate şi
performante, ceea ce dovedeşte importanţa acestora.
Elaborarea modelului de calcul şi analiza efectuată cu acesta sunt
etape componente ale unui proces relativ complex, de concepţie şi
fabricaţie şi trebuie să servească la realizarea, în condiţii riguros
definite, a unui anumit produs. În acest context, modelul de calcul nu
poate fi conceput decât după ce a fost proiectată într-o primă formă –
eventual, în cadrul unui proces preliminar CAD – piesa sau structura
care trebuie să fie calculată. Urmează ca în etape succesive, având în
vedere rezultatele obţinute, să se modifice – în vederea ameliorării
performanţelor realizate – atât proiectul produsului cât şi modelul de
calcul. În acest scop se efectuează numeroase testări, adaptări,
optimizări şi validări, aşa cum rezultă din schema din figura 15.
Modelul conceptual
Prima şi cea mai importantă etapă a elaborării unui model
performant este cea de realizare a modelului conceptual, primar sau
fundamental. Pornind de la desenul piesei sau structurii care
urmează să fie analizată şi având în vedere cerinţele impuse de
procesul de calcul, se fac următoarele “operaţii”:
- se decide care sunt elementele constructive ale structurii, care
vor deveni componente ale modelului de calcul;
- se stabilesc elementele structurii care nu vor fi avute în vedere
la elaborarea modelului, fiind apreciate ca accesorii sau detalii lipsite
de importanţă, din punctul de vedere al scopului calculului;
- se aleg formele geometrice pe care se vor defini componentele
modelului, adică: linii, suprafeţe sau volume, avându-se în vedere şi
tipurile de componente care se vor defini pe aceste elemente
geometrice: bare, plăci, corpuri masive;
- se hotărăsc modalităţile de aplicare a sarcinilor (forţe şi
momente concentrate şi/sau distribuite, acceleraţii, presiuni,
temperaturi etc) şi care sunt componentele modelului care le vor
30
prelua. Această operaţie implică şi determinarea riguroasă a valorilor,
direcţiilor şi coordonatelor punctelor de aplicaţie ale sarcinilor. Se
vor stabili cazurile de încărcare ale modelului;
- se identifică condiţiile de rezemare ale structurii şi se decide
modul în care aceste condiţii vor fi “modelate” şi anume: blocarea
deplasărilor, introducerea unor forţe de frecare etc. Dacă este cazul,
se vor stabili mai multe variante ale condiţiilor de rezemare;
- se decid condiţiile generale de elaborare şi utilizare ale
modelului: metodele şi algoritmii de calcul care se vor utiliza,
tipurile de materiale şi proprietăţile lor, zonele de interes deosebit (de
exemplu, unde se presupune că tensiunile au valori mari) şi
modalităţi de verificare ale modelului şi ale rezultatelor obţinute cu
el.
Modelul conceptual trebuie să aibă în vedere valorificarea tuturor
informaţiilor disponibile privind structura (condiţii şi regimuri de
funcţionare, de montaj, de avarie etc) şi modalităţile de utilizare ale
rezultatelor obţinute prin calcul. Modelul trebuie să asigure, de fapt,
o simulare satisfăcătoare – din anumite puncte de vedere, bine
precizate – a comportării structurii în exploatare.
Factori care determină elaborarea modelului de calcul
La elaborarea modelelor de calcul trebuie să se aibă în vedere o
multitudine de aspecte şi factori, dintre care cei mai importanţi se
prezintă în cele ce urmează.
Nivelul la care se face modelarea. Pentru o anumită fază a
procesului de proiectare şi în funcţie de scopul calculului, modelarea
se poate face la nivelul întregii structuri (maşina sau utilajul în
ansamblu), la nivelul substructurilor (subansamble ale maşinii) sau al
componentelor acestora (elemente sau organe ale maşinii). Utilizarea
calculatoarelor face posibilă modelarea şi analiza prin calcul a unui
utilaj, a unei instalaţii sau a unei maşini ca un tot unitar, aşa cum sunt
acestea în realitate, ca, de exemplu un autobuz, un pod rulant, un
recipient, o combină pentru recoltarea cerealelor, un avion, o
locomotivă, o maşină de frezat, o pompă etc. Pentru etape ulterioare,
se pot “extrage” din structura dată componente, al căror studiu să fie
detaliat.
31
Metoda de calcul. În general, mai întâi se alege metoda de
calcul, din diverse considerente obiective sau subiective, ca, de
exemplu: cunoaşterea metodei, existenţa programelor, cerinţele unor
norme, scopul calculului etc. Elaborarea modelului se face în
conformitate cu cerinţele metodei, care include ipoteze, simplificări,
aproximări, delimitări ale aplicabilităţii etc. De exemplu, pentru o
metodă analitică se vor face simplificările specifice, pentru metoda
elementelor finite se va face “discretizarea” modelului şi se vor
defini elementele finite adecvate, pentru metoda diferenţelor finite se
va face discretizarea şi definirea diferenţelor având în vedere
ecuaţiile diferenţiale ataşate problemei etc.
Elaborarea modelului de calcul trebuie corelată strict cu metoda
de calcul, deoarece un calcul foarte exact nu poate suplini sau
compensa o modelare deficitară, nerealistă, ineficientă. De asemenea,
un calcul efectuat cu o metodă foarte precisă, laborioasă şi
costisitoare, pe un model aproximativ, simplist, este o risipă,
deoarece rezultatele nu vor avea performanţe mai bune, fiind
determinate de calităţile modelului.
Trebuie menţionat faptul că în ingineria actuală se folosesc
numeroase şi variate metode de calcul, ceea ce arată că fiecare
metodă are avantajele, dezavantajele şi limitele sale. Se pare că în
viitor se vor promova proceduri, algoritmi şi programe mixte sau
hibride, care să reunească mai multe metode de calcul, în vederea
valorificării avantajelor fiecăreia.
Scopul calculului. Beneficiarii calculelor inginereşti pot solicita
informaţii diverse în legătură cu modul cum se va comporta structura
în anumite situaţii, adică rezultatele calculului trebuie să dea – pe cât
posibil – răspunsuri neechivoce la întrebări precis formulate (adesea
beneficiarii trebuie informaţi ce poate oferi calculul). Consecinţa
acestei situaţii este că trebuie efectuate, de regulă, mai multe tipuri de
analize, care să ofere informaţiile dorite. În principiu, este posibil ca
pe acelaşi model, să se efectueze mai multe tipuri de analize, ca, de
exemplu, analiză statică, de stabilitate, de vibraţii etc. Dar într-o
astfel de situaţie este foarte posibil ca performanţele modelului şi
calitatea informaţiilor obţinute să nu fie satisfăcătore pentru toate
variantele de analiză. Se ajunge astfel la cerinţa ca modelul să fie
elaborat având în vedere scopul calculului. În general, foarte rar este
32
necesar să se creeze un model complet nou pentru fiecare tip de
analiză. Adesea se foloseşte un model de bază, destinat uneia din
variantele de calcul şi acestuia i se aduc modificările cerute de
celelalte tipuri de analize.
Pentru clarificarea şi fixarea ideilor se dau, pe scurt, câteva
exemple:
- pentru determinarea valorilor maxime ale tensiunilor, trebuie
efectuate “analize locale”, specifice, în zonele cu concentratori;
- pentru analize dinamice, trebuie acordată cea mai mare atenţie
aspectelor modelării maselor şi amortizărilor;
- pentru calculele de oboseală sau durabilitate este importantă
cunoaşterea precisă a caracteristicilor mecanice ale materialelor la
solicitări variabile;
- pentru analizele termice trebuie definite foarte precis sursele de
căldură, inclusiv parametrii lor, şi valorile constantelor fizice ale
transmiterii căldurii prin conducţie, convecţie şi radiaţie;
- pentru structurile cu deplasări mari trebuie precizate variaţiile
mărimilor şi direcţiilor sarcinilor în timpul procesului de deformaţie.
Simplitatea modelului. Marea majoritate a structurilor
inginereşti sunt de o mare complexitate în ceea ce priveşte formele
geometrice, sarcinile, reazemele şi caracteristicile mecanice ale
materialelor din care sunt realizate. Este cazul carcaselor, batiurilor,
instalaţiilor, utilajelor de proces, maşinilor de toate tipurile etc.
Elaborarea unui model care să aibă în vedere cele mai mici detalii ale
structurii reale ar deveni foarte costisitor sau chiar imposibil de
realizat, în condiţii rezonabile, în ceea ce priveşte costul şi durata de
timp necesară. Se impune astfel considerarea unei structuri
“ipotetice” simplificate, adică a unui model de calcul raţional.
Trebuie analizat cu discernământ dacă, într-un anumit context,
elaborarea unui model mai complicat, care are costuri mai mari (în
timp şi bani), se justifică prin câştigul de informaţii suplimentare,
comparativ cu o variantă mai simplă.
Concepţia de calcul. Structura care se calculează trebuie să
corespundă unor cerinţe de funcţionalitate, siguranţă şi eficienţă
economică. Siguranţa exprimă proprietatea structurii ca într-un
interval de timp dat să satisfacă, la nivelul performanţelor sale,
condiţiile de exploatare, ţinând seama de destinaţia şi importanţa
33
ansamblului în care trebuie să se integreze (fiabilitatea). Concepţia
clasică de calcul este cea deterministă, care consideră o siguranţă
absolută, care acoperă toate incertitudinile printr-un coeficient de
siguranţă. Concepţia actuală este probabilistă, care ţine seama de
caracterul aleatoriu al parametrilor structurii şi al sarcinilor, siguranţa
structurii fiind evaluată prin probabilităţile diferitelor comportări
posibile pe durata exploatării structurii. Având în vedere că cerinţele
de economicitate şi siguranţă sunt contradictorii, o proiectare a unei
structuri optime se obţine numai printr-o evaluare corectă şi realistă a
siguranţei acesteia.
Rezultatele să fie acoperitoare. Modelul trebuie elaborat astfel
încât rezultatele calculului trebuie să fie într-o măsură raţională şi
rezonabilă acoperitoare, adică să ofere o marjă suplimentară de
siguranţă care să compenseze faptul că analiza este aproximativă. În
ceea ce priveşte procesele de calcul, utilizarea calculatoarelor oferă
garanţia unei fiabilităţi foarte mari a acestora şi a unui nivel de
încredere ridicat al rezultatelor.
Corelarea modelului cu condiţiile existente. Modelul este o
componentă a unui ansamblu complex, care include un mare număr
de condiţii şi restricţii, adesea contradictorii. Deci elaborarea
modelului se face totdeauna într-un anumit context, pentru un set de
condiţii impuse, riguros definite. Structura reală, realizată fizic, are
abateri efective în ceea ce priveşte dimensiunile, formele geometrice,
sarcinile efective (nominale, de calcul, maxime, accidentale, de
avarie, de montaj, de transport, de exploatare etc), condiţiile de
rezemare, caracteristicile fizice şi mecanice ale materialelor, faţă de
cele considerate în proiect şi deci şi la elaborarea modelului. Prin
urmare este neraţional să se elaboreze un model foarte performant,
costisitor şi laborios, dacă valorile numerice ale datelor “de intrare” –
pentru care se face calculul – sunt afectate de incertitudini sau de
erori relativ mari. Prin urmare, modelarea şi analiza trebuie făcute cu
o precizie limitată, raţională, bine definită, în cadrul acesteia
structura reală putând fi simplificată şi “idealizată” printr-un model
corespunzător.
De asemenea, pe parcursul diverselor faze ale elaborării unui
proiect, sau ale realizării unui produs, sunt necesare modele diferite,
determinate de informaţiile disponibile în etapa respectivă. Frecvent,
34
pentru calcule preliminare, se utilizează modele mult simplificate,
comparativ cu modelele destinate unor calcule de verificare, în faze
finale ale proiectării. De exemplu, pe modele simple se fac
dimensionări şi analize la solicitări statice, în fazele de proiect
preliminar şi apoi se au în vedere analize de stabilitate, dinamice, de
oboseală, de durabilitate etc, pe modele mai sofisticate, elaborate pe
baza formei finale a proiectului.
Pentru numeroase domenii inginereşti – ca, de exemplu, utilajele
energetice, vehiculele de toate categoriile, construcţiile civile şi
industriale etc – s-au elaborat diverse prescripţii, norme şi standarde
privind modelele de calcul, evaluarea sarcinilor, variantele analizelor
obligatorii etc. Aceste normative pot avea caracterul unor
recomandări sau pot fi obligatorii, ele putând fi aplicate unor ramuri
industriale, la nivel naţional sau pot fi internaţionale. În aceste
condiţii trebuie ca elaborarea modelului să fie astfel făcută încât el
să realizeze încadrarea corectă a situaţiei reale în ipotezele şi
prevederile de detaliu ale normelor respective. Unele programe de
calcul au implementate proceduri care conţin astfel de condiţii
speciale. În ultimii ani au apărut şi norme cu recomandări privind
modul cum să se elaboreze unele modele de calcul. De exemplu,
pentru industria de automobile se recomandă care să fie
caracteristicile de bază ale modelelor pentru diversele componente,
cum ar fi blocul motor, caroseria, cutia de viteze etc.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,
Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,
Editura BREN, Bucureşti, 1999.
3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,
Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura
Printech, Bucureşti, 2007.
35
1.
TEORII ASUPRA STĂRILOR LIMITĂ.
ELEMENTE DE MECANICA RUPERILOR
Proiectarea structurilor mecanice se face pe baza unor modele de
calcul care, în general, reprezintă relaţia dintre încărcare şi
deformaţie. În plus, este necesar să se stabilească dacă structura
respectivă nu cedează sub încărcarea dată, sau invers: care este
încărcarea maximă dincolo de care structura cedează.
Relaţia dintre încărcare şi deformaţie se numeşte lege
constitutivă şi poate fi definită atât la nivelul întregii structuri, cât şi
la nivelul materialului. Criteriul suplimentar menţionat aici este o
condiţie de stare limită. Pentru a înţelege de ce aceste criterii sunt
importante, se prezintă un exemplu.
Dacă încărcările sunt mici, materialul şi deci şi structura, de
regulă, se comportă linear elastic. (Sunt şi situaţii speciale, în care, deşi
materialul se comportă linear elastic, structura are o comportare nelineară, de un
anumit tip: poate fi cazul structurilor complexe, de mari dimensiuni). În acest
regim, între forţe şi deplasări (la nivelul structurii) sau între tensiuni
şi deformaţii specifice (la nivelul materialului) este o relaţie lineară.
În elasticitate, se pot obţine (teoretic) tensiuni corespunzând unei
deformaţii specifice oricât de mari. Legea constitutivă nu conţine o
limită de tensiune până la care ea însăşi este valabilă. Realitatea însă
este alta: atunci când tensiunea ajunge la punctul de curgere,
materialul intră în faza de deformaţie plastică şi legea constitutivă a
elasticităţii nu mai este valabilă.
La fel se întâmplă şi cu legile constitutive care descriu
deformaţia plastică. Ele nu conţin un criteriu pe baza căruia să se
poată prezice ruperea, în acest caz ruperea fiind limita superioară a
deformării plastice.
Această limitare a legilor constitutive este importantă şi trebuie
avută în vedere la construirea oricărui model de calcul pentru o
36
structură mecanică. Modelul trebuie să conţină pe lângă legea
constitutivă adecvată modului respectiv de deformaţie (elastică sau
plastică) şi o condiţie de stare limită. Aceste condiţii sunt cunoscute
sub numele de “teorii de rezistenţă” sau “teorii de stări limită.”
Natura condiţiilor de limită folosite pentru un model dat depinde
de cerinţele de proiectare. De exemplu, dacă se doreşte ca structura
să rămână în domeniul deformaţiilor elastice, starea limită de
încărcare este cea care produce curgerea materialului. Dacă în
aplicaţia respectivă deformaţia plastică este tolerabilă, starea limită
este ruperea materialului sau pierderea stabilităţii structurii. Desigur,
atât ruperea cât şi pierderea stabilităţii sunt limitele superioare
dincolo de care structura nu mai poate fi folosită. În consecinţă, un
număr mare de teorii asupra stărilor limită au fost dezvoltate,
corespunzând diferitelor tipuri de astfel de criterii.
În cele ce urmează, teoriile de rezistenţă sunt împărţite în trei
categorii: cele care prezic atingerea limitei de curgere, cele care
prezic ruperea materialului şi cele care prezic pierderea stabilităţii
deformaţiei.
Trebuie menţionat că pierderea stabilităţii la nivelul structurii
poate avea loc şi în domeniul elastic, acesta fiind un subiect tratat în
capitolul 12. În discuţia de faţă, se fac referiri la un caz particular de
pierdere a stabilităţii la nivelul materialului şi anume, pierderea
stabilităţii deformaţiei plastice care se mai numeşte şi localizarea
deformaţiei plastice. Prin localizare, materialul îşi pierde capacitatea
de a susţine cea mai mare parte din sarcinile aplicate, situaţie
întrucâtva similară ruperii. De altfel, localizarea poate fi urmată de
rupere, însă fenomenul critic este cel al pierderii stabilităţii
deformaţiei, care este de natură diferită faţă de rupere.
1.1. Iniţierea deformaţiei plastice ca stare limită de rezistenţă
De cele mai multe ori, în practica inginerească se urmăreşte ca
structurile să rămână în domeniul de deformaţie elastică. Pentru
aceasta, tensiunile în fiecare punct al structurii trebuie să fie mai mici
decât o anumită valoare critică. Care este acea valoare critică? (Este
posibil ca în cazul în care curgerea plastică are loc localizat, în zone restrânse ale
componentelor structurii respective, structura să rămână totuşi, global, în domeniul
elastic. Pentru simplitatea discuţiei însă, se consideră, aici, condiţia globală ca fiind
37
strict impusă punctual: curgerea trebuie evitată în orice punct al structurii
respective.) Dacă structura în cauză este o bară dreaptă supusă la întindere,
tensiunile sunt aceleaşi în fiecare punct al barei şi sunt egale cu
tensiunea aplicată din exterior, . Curgerea are loc atunci când
= c, unde c (notaţia engleză este y) este tensiunea de curgere
măsurată într-un test obişnuit de întindere.
Într-o structură cu o geometrie mai complicată, însă, starea de
tensiuni este complexă şi variază de la un punct la altul. Se pune deci
problema: ştiind că materialul “curge”, când este solicitat la întindere
uniaxială, la valoarea c a tensiunii, la ce valoare a tensiunii va curge
când este solicitat cu o stare complexă de tensiune? Prin stare
complexă de tensiune se înţelege o încărcare în care toţi termenii
tensorului sunt nenuli (cele trei tensiuni principale 1, 2,3 sunt
nenule). Ceea ce se caută poate fi exprimat matematic sub forma unei
funcţii de tensiunile principale:
f(1, 2,3) = fc . (1.1.a)
Deci, curgerea are loc atunci când această funcţie atinge o
valoare critica, fc. Se postulează că o astfel de funcţie există, adică,
indiferent de modul de încărcare (de valorile tensiunilor principale),
curgerea are loc totdeauna la aceeaşi valoare fc. Ecuaţia (1.1) poate fi
scrisa şi ca
c , (1.1.b)
unde ),,(f 321 se numeşte tensiune echivalentă (pentru se
mai foloseşte şi notaţia ech).
Există numeroase teorii care duc la o formă funcţională pentru f.
Toate aceste teorii sunt fenomenologice şi au fost dezvoltate, în cea
mai mare parte, acum mai bine de un secol, pe baza unui număr mare
de teste. Dintre acestea, două dintre cele mai folosite se prezintă în
cele ce urmează.
Criteriul tensiunii tangenţiale maxime (criteriul Tresca)
Conform acestui criteriu, curgerea are loc atunci când tensiunea
tangenţială maximă, indiferent de planul în care acţionează, atinge o
valoare limită:
cmax . (1.2)
38
Pentru o stare dată de tensiune ( 321 ,, ), tensiunea max este
(v. cap. 5):
2,
2,
2max
323121
max . (1.3)
Tensiunea critică c poate fi dedusă cu ajutorul ecuaţiei (1.3) şi
pentru solicitarea de întindere uniaxială. În acest caz, curgerea începe
când tensiunea normală = c sau când max = c/2. Deci, c = c/2 şi
criteriul poate fi scris sub forma:
323121c ,,max . (1.4)
Comparând cu ecuaţia (1.1.a),
323121321 ,,max),,(f şi fc = c.
Trebuie observat că ecuaţia (1.4) implică independenţa curgerii
de componenta hidrostatică (presiune p uniformă, pe toate direcţiile)
a câmpului de tensiune. Presiunea se calculează ca
3)(p 321 . Dacă corpul este supus la o stare de presiune,
atunci p321 , iar tensiunile de forfecare sunt nule în
toate planele. Deci curgerea plastică nu poate fi provocată, indiferent
cât de mare este p. Aceasta este în concordanţă cu observaţiile
experimentale pe materiale metalice: presiunea nu afectează curgerea
plastică. În realitate, tensiunea de curgere este totuşi influenţată de
presiune, însă efectul este slab şi în cele mai multe cazuri este
neglijat.
Criteriul energiei maxime de schimbare a formei (criteriul von
Mises)
Atunci când se aplică o tensiune asupra unui material şi acesta se
deformează, maşina de încercare efectuează lucru mecanic, care este
asociat cu deformaţia elastică şi este stocat în corp sub formă de
energie potenţială de deformaţie. Această energie poate fi împărţită
în două componente: o componentă asociată cu schimbarea
volumului şi una asociată cu schimbarea formei corpului deformabil.
Presiunea produce o schimbare numai de volum şi aşa cum s-a văzut,
nu produce deformaţie plastică (în metale). De aceea, un criteriu de
39
curgere (o teorie de stare limită), enunţat energetic, trebuie să fie
asociat numai cu energia de schimbare a formei.
Conform criteriului von Mises, deformaţia intră în regim plastic
atunci când energia potenţială de deformaţie pentru schimbare a
formei atinge o valoare critică.
Energia totală de deformare pe unitatea de volum se calculează
ca produsul tensiunii şi deformaţiei specifice corespunzătoare:
)(21U 332211 . Energia asociată deformaţiei
hidrostatice (produsă de presiunea uniformă), care provoacă numai
variaţie a volumului, este
))((61p21UU 321321vp ,
unde este deformaţia specifică (liniară) definită ca 321 .
Energia de deformaţie asociată schimbării formei este
diferenţa celor două energii menţionate mai sus, adică Uf = U – Uv şi
are expresia:
231
2
32
2
21fG12
1U , (1.5)
în care G este modulul de elasticitate la forfecare.
Conform criteriului von Mises, curgerea începe datorită unei
solicitări complexe atunci când această energie atinge o valoare
critică:
Uf = Uc. (1.6)
Energia critică Uc poate fi evaluată particularizând încărcarea la
cea de tensiune uniaxială. În acest caz, singura tensiune aplicată
corpului este 1 = , iar în momentul în care materialul începe să
curgă, 1 = c. Deci G6
UU2
ccf
.
În consecinţă, criteriul von Mises se scrie:
c
2/12
32
2
31
2
212
1 . (1.7)
Comparând cu ecuaţia (1.1.a),
2/12
32
2
31
2
213212
1),,(f şi fc = c.
40
Ca şi în cazul criteriului Tresca, criteriul von Mises nu include
efectul presiunii în producerea deformaţiei plastice, adică o stare de
presiune pură (uniformă) nu duce la deformaţie plastică.
În cazul în care corpul curge diferit pe direcţii diferite, adică
materialul este anizotrop, criteriul von Mises are nevoie de câteva
schimbări pentru a putea fi folosit corect. Aceste modificări au fost
făcute de Hill, care au dus la criteriul care-i poarta numele, dar care
fundamental nu este diferit de criteriul von Mises. Pentru materiale
cu simetrie ortotropică, criteriul Hill se scrie:
1)(H)(G)(F 2
21
2
31
2
32 , (1.8)
unde F, G şi H sunt constante care trebuie determinate prin teste
speciale, făcute de-a lungul direcţiilor principale (de ortotropie). În
aceste condiţii, se obţine o altă expresie pentru Uc. Stări de
anizotropie în deformaţia plastică se întâlnesc frecvent în practică, de
exemplu, ca urmare a operaţiilor de laminare a tablelor.
Suprafeţe de curgere
Criteriile Tresca şi von Mises (ecuaţiile (1.4) şi (1.7)) pot fi
reprezentate grafic în spaţiul tensiunilor principale. Acesta este un
spaţiu tridimensional cu axele rectangulare 321 ,, . În acest spaţiu
ecuaţia (1.7) reprezintă un cilindru drept, a cărui axă este bisectoarea
unghiului diedru format de cele trei axe, adică linia corespunzând
încărcărilor prin presiune: 1 = 2 = 3 (fig. 1.1). Raza cilindrului
depinde de tensiunea de curgere, c.
Un punct în acest spaţiu reprezintă o stare de solicitare a
materialului. Semnificaţia construcţiei geometrice din figura 1.1 este
aceea că cilindrul împarte spaţiul în stări care produc şi stări care nu
produc curgerea. Stările corespunzătoare punctelor din interiorul
cilindrului nu produc curgerea materialului. De aceea, suprafaţa
respectivă se numeşte suprafaţă de curgere. Orice încărcare elastică
este o traiectorie care începe în origine şi se termină undeva pe
suprafaţa de curgere.
Faptul că cilindrul are ca axă linia presiunilor, derivă din aceea
că o stare pură de presiune nu produce niciodată curgerea (axa nu
intersectează suprafaţa de curgere).
41
Criteriul Tesca (ecuaţia (1.4)) se poate reprezenta într-un mod
asemănător. El corespunde unei prisme hexagonale, care are aceeaşi
axă ca şi cilindrul von Mises şi se înscrie perfect în interiorul lui.
Această suprafaţă de curgere este şi ea reprezentată schematic în
figura 1.1.
Figura 1.1 Figura 1.2
Dacă starea de tensiuni este plană (când una dintre tensiunile
principale este nulă), suprafeţele de curgere pot fi trasate în plan (fig.
1.2), devenind curbe de curgere. Această reprezentare rezultă, pur şi
simplu, prin secţionarea cilindrului şi prismei din figura 1.1 cu planul
3 = 0. Semnificaţia lor fizică este aceeaşi: punctele din interiorul
curbelor corespund stărilor plane de tensiune care nu produc
curgerea, în timp ce cele din exterior corespund condiţiilor de
curgere.
Comparaţie între criteriile de curgere Tresca şi von Mises
Aceste două criterii sunt larg folosite pentru a “prezice”
începutul curgerii plastice în metale. Ele sunt oarecum asemănătoare,
diferenţele dintre ele fiind mai mici de 15%. Această diferenţă poate
fi uşor acoperită prin folosirea unui coeficient de siguranţă cu o
valoare mai mare de 15%, în inginerie.
Ambele criterii concordă bine cu datele experimentale. În
general, acestea se situează între cele două curbe din figura 1.2, fiind
relativ mai aproape de elipsa von Mises.
Folosirea criteriilor de curgere
În practica inginerească, un calcul de verificare presupune
determinarea câmpului de tensiuni corespunzător încărcării şi
geometriei date ale structurii (valorile tensiunilor în fiecare punct).
42
Apoi, unul dintre cele două criterii prezentate (sau altul, dacă este
cazul), este folosit pentru a determina dacă încărcarea produce
curgerea în vreun punct al structurii. În cazul în care se foloseşte un
coeficient de siguranţă (supra-unitar), valorile tensiunilor obţinute se
împart la acest coeficient şi rezultatul este folosit pentru verificarea la
criteriile de curgere.
1.2. Ruperea ca stare limită de rezistenţă
În situaţiile în care curgerea plastică este acceptabilă, starea
limită poate deveni ruperea materialului. Acceptarea în inginerie a
stării limită de rupere poate fi legată de structură sau de material.
În ceea ce priveşte structura, sunt situaţii, de exemplu, pentru
construcţii din beton armat, pentru care se admite că armătura din
oţel (care, de regulă, este un oţel ductil) poate căpăta, în anumite
circumstanţe, ca, de exemplu, la cutremure puternice, deformaţii
limitate de curgere plastică. Starea limită este definită de condiţia ca
structura “să rămână în picioare”. Această formulare include
posibilitatea ca betonul să se rupă, dar armătura de oţel nu.
Ruperea poate deveni condiţie de stare limită şi pentru o clasă
largă de materiale şi anume pentru cele care nu se deformează plastic
înainte de a se rupe. Este cazul materialelor fragile, cum ar fi
ceramicele, sticla, betonul etc. Aşa cum s-a menţionat în capitolul 1,
toate materialele care se comportă ductil (prezintă deformare
plastică) la temperatura ambiantă, devin fragile la temperaturi
coborâte. În consecinţă, trebuie avut în vedere că definirea unei stări
limită depinde şi de temperatura (şi viteza de deformare) la care se
face testul, sau la care structura funcţionează. În discuţia de faţă se va
considera că ruperea este o stare limită numai pentru materiale care
au un domeniu de temperaturi de ductilitate numai foarte aproape de
temperatura de topire (de exemplu, ceramicele). Acestea vor fi
numite generic materiale fragile.
În majoritatea cazurilor, materialele fragile conţin fisuri care
provin, fie din procesul de fabricaţie, fie din încărcări preliminare
folosirii efective a materialului. De exemplu, multe dintre
componentele ceramice folosite industrial sunt făcute din pulberi,
prin sinterizare. În acest proces, compactarea materialului este
parţială, rămânând un număr mare de goluri (sau fisuri)
43
microscopice. În alte materiale fragile, cum ar fi gheaţa (care este tot
o ceramică!), care sunt compacte iniţial, fisuri microscopice apar din
cauza tensiunilor termice în zonele concentratorilor de tensiuni
interni (de exemplu, în vecinătatea unor incluziuni cu modul de
elasticitate şi coeficient de dilatare diferiţi de cele ale materialului de
bază).
În astfel de cazuri, problema ruperii este, de fapt, cea a
propagării uneia sau mai multor fisuri microscopice. Acesta este
domeniul de studiu al unei discipline de sine stătătoare, numită
mecanica ruperilor. În cele ce urmează se vor prezenta succint
conceptele de bază ale acestei discipline, atât cât este necesar pentru
a da substanţă discuţiei de faţă.
1.3. Elemente de mecanica ruperilor
Fisurile - concentratori de tensiuni
Să considerăm o placă, de grosime t, dintr-un material cu
comportare elastică, supusă la o tensiune pe una din direcţii.
Câmpul de tensiuni în oricare punct este uniform şi are o valoare
egală cu . În cazul în care placa conţine “neomogenităţi”, câmpul
nu mai este uniform.
a b c
Figura 1.3
Un exemplu clasic este cel din figura 1.3.a. În acest caz, efectul
găurii circulare este concentrarea tensiunilor. După cum se ştie,
tensiunea yy în punctele A şi A’ este de întindere şi are valoarea 3,
44
unde este tensiunea aplicată pe direcţia y, la infinit (pe frontiera
plăcii). Tensiunea xx în punctele B şi B’ este de compresiune şi în
valoare absolută, este egală cu yy în A şi A’. Tensiunea yy în B şi
B’ este nulă, deoarece aceste puncte se află pe suprafaţa liberă
(nesolicitată la tracţiune) a găurii.
Se consideră cazul din figura 1.3.b, în care gaura este eliptică, cu
axa mare a elipsei orientată pe direcţia x, perpendiculară pe cea a
tensiunii . Se presupune că elipsa devine tot mai alungită (sau mai
turtită), adică raza de curbură în punctele A şi A’ scade, iar cea din
punctele B şi B’ creşte. Efectul este că tensiunile în punctele
respective urmează o tendinţă contrară: tensiunea yy în A şi A’
creşte invers proporţional cu , unde este raza de curbură a
elipsei în punctul A, iar tensiunea xx în B şi B’ scade în acelaşi mod.
Extrapolând această observaţie, se presupune că la limită, când
raza de curbură în A şi A’ devine nulă şi elipsa devine “o fisură”,
tensiunea yy în aceste puncte tinde la infinit. De asemenea, tensiunea
xx în punctele B şi B’ din figura 1.3.c ar trebui să devină zero.
Această observaţie este foarte importantă. Rezultă că indiferent
cât de mică este tensiunea normală aplicată pe frontiera plăcii,
tensiunea yy la vârful fisurii din figura 1.1.c este foarte mare.
Aceasta conduce la propagarea fisurii în direcţia x.
Mai exact, starea de tensiuni în fiecare dintre cele două vârfuri A
şi A’ este descrisă de ecuaţiile
,2
3cos2
cos2
sinr2
K
;2
3sin2
sin12
cosr2
K
;2
3sin2
sin12
cosr2
K
xy
yy
xx
(1.9)
care sunt scrise în coordonate polare (r,q), cu originea în punctul A’,
aşa cum se vede în figura 1.3.c. Distanţa r este măsurată de la vârful
fisurii. Ecuaţiile (1.9) arată că tensiunile sunt singulare, cu o
singularitate cu puterea de –0.5 la vârful fisurii ( 50.r ). De
asemenea, se observă că tensiunea normală yy este maximă în faţa
45
fisurii şi zero pe cele două feţe ale ei ( = 180o). Tensiunea normală
xx trece prin zero în faţa fisurii, iar tensiunea tangenţială xy este
nulă atât la = 0, cât şi la = 180o, însă este nenulă pentru alte valori
ale unghiului . Ea este maximă pentru = 70.2o, direcţie în care,
conform criteriului tensiunii tangenţiale maxime Tresca, ar trebui să
se observe prima dată curgerea plastică. Aceasta este în concordanţă
cu observaţiile experimentale.
Coeficientul K din relaţiile (1.9) se numeşte factor de intensitate
a tensiunii (stress intensity factor, SIF) şi depinde de încărcarea
exterioară şi de forma geometrică a corpului în care se află fisura.
Este important să se observe că legea de distribuţie a tensiunilor în
jurul vârfului fisurii este independentă de geometria corpului care o
conţine. Efectul geometriei corpului este “captat” în exclusivitate de
către K. Aceasta permite tratarea tuturor fisurilor în mod similar,
indiferent în ce corp se află plasate şi care este configuraţia încărcării
pe frontiera corpului.
De asemenea, trebuie precizat că ecuaţiile (1.9) reprezintă numai
componenta asimptotică a câmpului de tensiuni, pentru r 0. În
realitate, câmpul conţine termeni suplimentari în (1.9). Termenii de
ordin superior însă sunt proporţionali cu r la puteri pozitive şi deci
tind la zero când r 0. În consecinţă, ei joacă un rol minor în
propagarea fisurilor.
În figura 1.4 se vede variaţia tensiunilor pe direcţia = 0o, în faţa
fisurii. La vârful fisurii, curbele urmează forma asimptotică (1.9). La
distanţă mai mare, se regăseşte câmpul aplicat pe frontieră. La vârful
fisurii ambele tensiuni, xx şi yy tind la infinit. De asemenea,
presiunea, calculată ca medie a tensiunilor principale, tinde la infinit.
Aceste două observaţii au o însemnată importanţă fizică.
Un corp real nu poate avea tensiuni infinite. De asemenea,
corpurile reale nu sunt medii continue, ci sunt formate din atomi sau
molecule. În consecinţă, noţiunea că r 0, care este validă în corpul
continuu (teoretic, infinit “divizabil”), nu se aplică în cazul corpurilor
reale, care sunt discontinue.
În realitate, tensiunile cresc foarte mult în vecinătatea vârfului
fisurilor, însă nu tind la infinit. Această concentrare duce la formarea
unei zone de plasticitate, reprezentată schematic în figura 1.5.a. Dacă
46
materialul nu curge plastic (este fragil), în zona de la vârful unei
fisuri macroscopice vor apare
Figura 1.4 Figura 1.5
un număr mare de micro-fisuri (“un nor de fisuri”), care formează o
zonă cu modul de elasticitate mai scăzut decât cel al materialului
nedeformat. Atât zona plastică cât şi “norul” de micro-fisuri duc la
limitarea tensiunilor de la vârful fisurii de referinţă. Luarea în
considerare a acestor efecte este, însă, dificilă şi depăşeşte cadrul
acestei lucrări. În continuare, prezentarea se va limita la analiza
fisurilor în medii linear elastice, care nu conţin şi alte defecte.
Evaluarea factorului K
Aşa cum s-a menţionat mai sus, factorul K de intensitate a
tensiunii, conţine întreaga informaţie cu privire la încărcarea
exterioară şi la geometria corpului în care este fisura (ca şi la
existenţa altor fisuri sau defecte, în vecinătatea fisurii reprezentative).
Deci factorul K trebuie determinat prin rezolvarea problemei
elasticităţii întregului corp.
Astfel de soluţii există pentru, practic, toate configuraţiile
frecvent întâlnite. De exemplu, pentru cazul fisurii într-o placă plană
infinită ( b în fig. 1.3.c) încărcată cu o tensiune normală pe
frontieră, ,
aK , (1.10)
unde a este jumătate din lungimea fisurii. Dacă placa este finită, K
este mai mare decât această valoare. Atâta timp cât a/b < 0.4, formula
(1.10) pentru placa infinită, este direct utilizabilă. Pentru alte valori
ale raportului a/b, ecuaţia (1.10) se modifică cu un factor S care are
forma:
47
b/a1
)b/a(36.0b/a5.01S;aSK
2
. (1.11)
Alte câteva configuraţii sunt reprezentate în figura 1.6. O fisură
pornind de la o suprafaţă liberă şi încărcată cu o tensiune normală σ
la infinit, orientată perpendicular pe planul ei, se prezintă în
figura1.6.a. Pentru această configuraţie,
2/3
4
)b/a1(
b/a265.0857.0)b/a1(265.0S;aSK
. (1.12)
Când fisura este scurtă, faţă de lăţimea epruvetei (b), ecuaţia
(1.12) duce la a12.1K . Acest exemplu este important din
punct de vedere tehnologic: el reprezintă cazul fisurii introduse prin
contactul unui corp rigid cu o suprafaţă (uzura), sau fisuri care
pornesc din găuri de nit.
Un alt exemplu important este cel din figura 1.6.b, care
reprezintă epruveta standard ASTM (American Standard for Testing
of Materials). Acesta este unul dintre testele pentru măsurarea valorii
critice a lui K, la care începe propagarea fisurii (v. ce urmează).
Pentru această configuraţie, valoarea lui K se poate aproxima prin
relaţiile:
43
2
2/3 )b/a(6.5)b/a(72.14
)b/a(32.13b/a64.4886.0
)b/a1(
b/a2S
;bt
PSK
, (1.13)
care sunt valabile pentru a/b > 0.2.
a b c
Figura 1.6
48
Cazul din figura 1.6.c este cel al unei fisuri circulare, aflată în
mijlocul unui corp infinit (a « b). Fisura este încărcată cu o tensiune
acţionând perpendicular pe planul său. K este constant de-a lungul
întregului front al fisurii şi are valoarea
a2
K
, (1.14)
K fiind ceva mai mic decât în cazul similar bi-dimensional (ecuaţia
1.10).
Un număr mare de astfel de soluţii au fost strânse de către Tada
într-o foarte utilă culegere [7].
Folosirea principiului superpoziţiei
De multe ori evaluarea lui K se poate face pe baza unor soluţii de
referinţă, folosind principiul superpoziţiei. Acest lucru este posibil
deoarece analiza se efectuează în domeniul linear elastic, domeniu în
care prin superpoziţia unor soluţii simple se pot determina soluţii la
probleme complicate. Un astfel de exemplu se prezintă în cele ce
urmează.
Se consideră o fisură de lungime 2a într-o placă plană (fig.
1.7.a). Fisura este încărcată cu două forţe de mărime P (pe unitatea
de grosime a plăcii), care acţionează pe cele două feţe, la distanţa x =
b de centrul fisurii (care este şi originea sistemului de coordonate). În
acest caz, datorită lipsei de simetrie a încărcării, K este diferit la cele
doua vârfuri ale fisurii. Se notează cu “+” vârful situat la x = +a
şi cu “-“ vârful situat la x = -a. Soluţia este
ba
ba
a
PK
. (1.15)
Cu ajutorul acestei soluţii se poate determina soluţia pentru orice
distribuţie de tracţiuni pe cele două suprafeţe ale fisurii (fig. 1.7.b),
prin superpoziţie:
da
a)(p
a
1K
a
a
. (1.16)
În particular, pentru o distribuţie uniformă de tracţiuni
normale pe feţele fisurii, p(x) = , se regăseşte soluţia (1.10), aşa
cum era de aşteptat. Pentru a vedea echivalenţa între cazul din figura
49
1.3.c şi cel din figura 1.7.b, cu p(x) = , se face referire la figura 1.8.
În această figură se demonstrează descompunerea problemei din
figura 1.3.c în aceea a unei plăci plane încărcate cu şi fără nici
o fisură, pe de o parte şi cea din figura 1.7.b, pe de alta. Evident că
placa fără fisură are K = 0, dat fiind că în acest caz nu există
concentrator de tensiune. Aceasta stabileşte echivalenţa între cele
două probleme.
a b
Figura 1.7
Figura 1.8
Condiţia de propagare a fisurilor
Propagarea fisurilor are loc prin ruperea legăturilor atomice în
zona din faţa vârfului fisurii. După cum s-a văzut, această zonă este
supusă la tensiuni foarte mari, datorită efectului de concentrare a
tensiunilor în această regiune. În mod natural, condiţia de stare critică
trebuie să fie legată de mărimea efectului de concentrare, deci de K.
50
Se postulează că fisurile încep să se propage în momentul în care
parametrul K devine mai mare sau egal cu o valoare critică notată cu
Kc. Această valoare critică este considerată o constantă de material şi
este determinată prin experimente standardizate (de exemplu,
folosind epruveta standard din fig. 1.6.b). Condiţia se scrie:
)material(K)geometrie,(K c . (1.17)
Valorile constantei Kc sunt tabelate pentru toate materialele
inginereşti.
Încărcări complexe
În prezentarea de mai sus s-a considerat un singur tip de
încărcare: cu o tensiune normală, orientată perpendicular pe planul
fisurii. Desigur, în realitate sunt posibile multe alte tipuri de
încărcare. Acestea au fost împărţite în trei categorii, denumite modul
I, II şi III de încărcare.
Tipurile de încărcare în cele 3 moduri sunt reprezentate în figura
1.9. Primul este încărcarea, considerată în prealabil, cu o tensiune
normală perpendiculară pe planul fisurii, iar al doilea şi al treilea
mod sunt forfecări cu tensiune tangenţială, acţionând în planul fisurii,
în cele doua direcţii – în lungul şi perpendicular pe direcţia ei.
Figura 1.9
În fiecare dintre aceste cazuri, câmpul de tensiuni este concentrat
la vârful fisurii şi se poate defini un factor K pentru fiecare mod,
respectiv KI, KII şi KIII. Soluţiile pentru câmpul de tensiuni (de tipul
ecuaţiei (1.9)) pentru aceste încărcări, sunt date în literatura de
specialitate [6].
Condiţiile de propagare a fisurii pentru modurile II şi III sunt
similare cu cele din ecuaţia (1.17):
.KK;KK;KK IIIcIIIIIcIIIcI (1.18)
51
Aceasta presupune însă să se poată determina constantele de
material KIIc şi KIIIc. De asemenea, trebuie să se determine care dintre
cele 3 condiţii (1.18) este îndeplinită mai întâi şi deci care mod
determină iniţierea propagării fisurii.
În practică, în cazul solicitărilor compuse, se foloseşte un alt
concept, care unifică cele trei moduri de încărcare. Acesta este
conceptul de rată de eliberare a energiei (energy release rate), G
(atenţie! a nu se confunda cu modulul de elasticitate transversal). Pentru a
înţelege sensul fizic al acestei mărimi, se consideră următorul
experiment: se încarcă placa din figura 1.3.c cu o maşină care
controlează deplasările, mai degrabă decât forţa. Pentru aceasta, se
poate fixa partea de jos a plăcii şi se aplică o deplasare cunoscută
parţii de sus (uniformă pe lăţimea plăcii). Va rezulta o tensiune . În
continuare, maşina va păstra aceeaşi poziţie relativă a celor două
capete ale plăcii, deci nu mai efectuează lucru mecanic. Se presupune
că fisura este staţionară în timpul încărcării. Lucrul mecanic făcut de
maşină în această perioadă este stocat sub formă de energie de
deformare în material. Se presupune, mai departe, că în momentul în
care încărcarea s-a terminat şi începe faza staţionară, fisura începe să
se propage. Ea consumă energie, din cea stocată în material. Rata de
propagare a fisurii este controlată de rata cu care îi poate fi dată
energie. Practic, energia stocată în câmpul de tensiuni şi deformaţii,
“curge” spre vârful fisurii. În acest experiment, nu există flux de
energie din exterior. Propagarea fisurii se va opri în momentul în care
fluxul de energie de deformaţie către vârful ei, devine insuficient.
Acest exemplu ilustrează ce se înţelege prin rata de eliberare a
energiei. Aceasta este rata la care corpul “oferă” energie vârfului
fisurii, punându-l, pe acesta, în mişcare. Condiţia de propagare a
fisurii este, deci, ca această rată să fie mai mare decât o constantă de
material: fluxul critic de care are nevoie fisura pentru a se propaga.
Condiţia se scrie similar cu (1.17):
)material(G)geometrie,(G cσ . (1.19)
În mecanica ruperilor s-a stabilit o relaţie între K şi G, relaţie
care oferă o analogie între cele două mărimi fundamentale (una
mecanică, iar cealaltă energetică). Această relaţie este
52
2
III
2
II
2
I
2
KE
1KK
E
1G
, (1.20)
unde E şi sunt modulul de elasticitate al lui Young, respectiv
coeficientul lui Poisson.
Astfel, în cazul unei solicitări compuse, se calculează cei trei
factori de intensitate pentru modurile de încărcare I, II şi III, după
care se determină valoarea lui G, cu relaţia (1.20). În continuare,
această valoare se compară cu valoarea critică Gc, stabilită pentru
materialul respectiv (ecuaţia (1.19)). Ca şi KIc, valorile critice Gc sunt
tabelate, pentru toate materialele inginereşti.
Abordarea deterministă a problemei stării limită
Cele mai multe materiale conţin un număr mare de fisuri
microscopice, chiar în starea iniţială, înainte de a fi solicitate
mecanic. Dimensiunile acestora variază de la valori foarte mici (zeci
de nanometri), până la dimensiunile grăunţilor cristalini.
Cele mai periculoase dintre acestea sunt, desigur, fisurile cele
mai mari. Conform ecuaţiilor de tip (1.10), ele au cel mai mare factor
de concentrare a tensiunii K, pentru o solicitare dată, deci şi
probabilitatea cea mai mare să se propage “catastrofal”.
Cum starea limită, aici, este considerată a fi ruperea materialului
şi deci, cedarea structurii (în cazul cel mai general, cele două noţiuni sunt
diferite, deoarece ruperea unui element al unei structuri nu înseamnă întotdeauna şi
cedarea întregii structuri), ea trebuie legată de propagarea instabilă a
celei mai lungi fisuri, care poate exista în materialul respectiv.
Pentru a exemplifica acest mod de abordare a problemei, se
consideră o placă plană de tipul celei din figura 1.3.c, care este
încărcată cu o stare plană de tensiune, definită de tensiunile normale
xx, yy şi de tensiunea tangenţială xy. Placa poate conţine fisuri
microscopice, a căror dimensiune maximă se notează 2amax
(considerată cunoscută) şi care se consideră că sunt orientate aleator.
De asemenea, se cunoaşte şi valoarea critică a ratei de eliberare a
energiei, Gc, la care o fisură se poate propaga în materialul dat. Cu
aceste date, se poate uşor stabili la ce solicitare se va rupe corpul
fragil considerat.
53
Ca exemplu, se consideră configuraţia din figura 1.10, în care o
fisură de dimensiuni 2amax se află la un unghi faţă de axa x.
Se poate determina modul de
încărcare al acestei fisuri generice
rotind tensorul tensiunilor, iar apoi
calculând, cu ajutorul relaţiilor (1.10)
şi (1.20) rata de eliberare a energiei.
Aceasta va fi funcţie de unghiul şi
de tensiunile aplicate. Cum se caută
geometria cea mai nefavorabilă, va
trebui să se modifice unghiul până
se obţine maximul lui G, ceea ce se
rezultă pentru orientarea în care fisura
este perpendiculară pe direcţia tensiunii principale maxime şi
pozitive. Deci
yyxx
xy
c
2arctg2
1. Pentru această orientare, G
= max
2
1
2
aE
1
, unde 1 este tensiunea principală maximă,
corespunzătoare stării de tensiune aplicată.
Starea critică există când G = Gc şi deci, când
max
2
c1
a)1(
EG
. (1.21)
Aceasta este tensiunea maximă care poate fi aplicată corpului
conţinând fisuri de dimensiune maximă amax înainte de rupere. 1
este tensiunea principală maximă pozitivă. Dacă toate tensiunile
principale sunt negative, conform acestui model, nici o fisură nu se
va propaga. În realitate, fisurile se pot propaga şi când sunt solicitate
la compresiune, dar această discuţie depăşeşte cadrul acestei lucrări.
Mai trebuie menţionat, în încheiere, că în această prezentare s-a
neglijat efectul perturbator al interacţiunii fisurilor vecine. S-a
considerat că fiecare fisură este încărcată cu tensiunile de pe frontiera
plăcii, ceea ce este adevărat numai în cazul în care distanţa între
fisuri este suficient de mare, adică peste 4 - 6 amax.
Figura 1.10
54
Abordarea probabilistă a problemei stării limită
Problema stării limită, asociată cu ruperea materialelor, poate fi
tratată şi probabilistic. Prin aceasta se acceptă că, de fapt, starea
internă de tensiune nu este exact aceeaşi cu cea extern aplicată,
fluctuaţiile fiind induse de interacţiunea dintre defecte. În plus, în
realitate, există o întreagă distribuţie de dimensiuni de fisuri,
distribuţie care nu se cunoaşte. Toate aceste variabile duc la o
distribuţie a valorilor rezistenţelor la rupere, pentru materialul dat.
Aplicarea noţiunilor de statistică matematică rezistenţei la rupere
a cablurilor l-a preocupat chiar şi pe Leonardo da Vinci, care a
conceput o serie de experimente sistematice, pentru studiul acestui
efect, precum şi pentru analiza dependenţei acestei statistici de
volumul de material testat (de lungimea cablului). El a concluzionat,
în mod corect, că rezistenţa scade pe măsură ce lungimea cablului
creşte, dar nu a putut stabili o formă funcţională pentru această
dependenţă.
Mai târziu, s-a stabilit că statistica rezistenţei la rupere este
diferită pentru materialele ductile şi pentru cele fragile. Aceasta nu
este surprinzător, deoarece mecanismele care domină ruperea în cele
două tipuri de materiale sunt diferite. Materialele ductile au
distribuţii normale (Gaussiene) ale proprietăţilor lor de rupere (de
exemplu, tensiunea de rupere). Materialele fragile urmează o altă
distribuţie, numită distribuţia Weibull. Cum accentul acestei expuneri
este pus pe comportarea materialelor fragile, se va prezenta, în
continuare, numai distribuţia Weibull.
Se consideră că o bară de lungime L, supusă la o tensiune are
o probabilitate de supravieţuire P(L). Se acceptă că o schimbare a
lungimii barei în L1, în condiţiile în care tensiunea rămâne
neschimbată, duce la o altă probabilitate, P(L1). Se consideră că
lungimea L este de x ori mai mare decât L1. Atunci,
.)L(P)L(P x
1 (1.22)
Rearanjând această formulă şi generalizând la trei dimensiuni
(înlocuind L cu un volum V) rezultă
.e)V(P)V(Plnx 1 (1.23)
Contribuţia lui Weibull a fost aceea că a definit exponentul din
ecuaţia (1.23) ca fiind riscul de rupere
55
,)V(PlnxR 1 (1.24)
şi apoi a propus, pe baze experimentale, că acest risc de rupere
depinde de tensiune, astfel:
.R
m
0
1
(1.25)
Aceasta duce la probabilitatea de rupere, funcţie de mărimea
tensiunii aplicate, sub forma
m
0
1exp)V(P . (1.26)
În această expresie, 1 este o tensiune minimă, sub care
probabilitatea de rupere este zero, iar 0 are semnificaţia unei
tensiuni medii la rupere. Atât 0 cât şi m sunt parametri care se
determină experimental, pe baza unui număr mare de teste, pe
materiale similare, încărcate identic. Exponentul m controlează
variabilitatea rezistenţei materialului, rolul lui fiind identic cu cel al
varianţei în distribuţia normală. Când m 0, distribuţia este “largă”
şi ruperea poate apare cu aceeaşi probabilitate la orice nivel de
tensiune. La cealaltă extremă, când m , ruperea este imposibilă
pentru tensiuni sub 0.
Revenind la problema stării limită, dacă problema este abordată
probabilistic, pe baza distribuţiei (1.26), trebuie să se stabilească
iniţial ce probabilitate de rupere este tolerabilă în situaţia dată de
condiţiile de proiectare sau analiză. Odată aceasta cunoscută şi pe
baza testelor de material, care conduc la parametrii 0, 1 şi m, se
poate uşor stabili nivelul tolerabil de tensiune.
Efecte de scară
Aşa cum s-a menţionat deja, epruvete din acelaşi material,
supuse la aceeaşi stare de tensiune, au rezistenţe la rupere care
depind de dimensiunile lor. Acesta se numeşte efect de scară. Pentru
o înţelegere cuprinzătoare a acestui subiect se recomandă lucrarea
[3], scopul expunerii care urmează fiind limitat la a aduce la
cunoştinţă cititorului această problemă, fără a se intra în detalii.
56
Se confecţionează o serie de epruvete de dimensiuni diferite, D0,
D1 şi D, care se rup la sarcinile critice F0, F1 şi F. Apoi se consideră
că există o funcţie de scalare, care stabileşte o legătură între
comportare şi dimensiunea epruvetei, de tipul F = f(D). Este
preferabil să se lucreze cu mărimi adimensionale, adică F/F0 =
f(D/D0). Atunci, raportul între sarcinile la rupere, pentru epruvetele
de dimensiuni D şi D1 se poate scrie
)D/D(f
)D/D(f
F
F
01
0
1
. (1.27)
Dacă materialul nu are nici o scară internă (cum este cazul în
mecanica solidelor, teoria clasică), atunci nu este neapărat necesar ca
referinţa să fie D0, ci aceasta poate fi aleasă şi D1. De aceea, raportul
F/F1 devine f(D/D1). Ecuaţia (1.27) se poate rescrie [2]
,)D/D(f
)D/D(f)D/D(f
01
01 (1.28)
ceea ce devine o ecuaţie pentru legea de scalare necunoscută f.
Aşa cum a arătat Bazant, această ecuaţie se poate rezolva luând
derivata funcţie de D şi apoi reducând D1 la D. Rezultatul se poate
pune sub forma
)(fm
d
)(df, (1.29)
unde 1ddfm este o constantă necunoscută. Ecuaţia (1.29) se
poate integra, iar prin aceasta se obţine funcţia de scalare f, care
rezultă a fi o funcţie putere, adică
m)(f . (1.30)
Aceasta demonstrează rolul central pe care îl are funcţia putere în
stabilirea scalării parametrilor de material, cu dimensiunea structurii.
Se demonstrează că în elasticitatea şi plasticitatea clasică (fără o
scară internă) exponentul m este nul. În aceste teorii, care stau la
baza mecanicii corpului solid, nu există nici o dependenţă a
tensiunilor critice (curgere, rupere) de dimensiunea epruvetei.
În mecanica ruperilor se demonstrează că exponentul m este –
1/2. Această reducere a rezistenţei structurilor de dimensiuni mari,
faţă de cele mici, poate fi înţeleasă calitativ având în vedere că pe
măsură ce dimensiunea epruvetei (piesei) creşte, probabilitatea ca ea
57
să conţină o fisură mare, este şi ea mai ridicată. Cu alte cuvinte, este
uşor de imaginat că atunci când, stabilind dimensiunile externe ale
unui corp se estimează şi dimensiunile fisurilor pe care el le conţine,
prin aceasta se reduce tensiunea critică, la care cea mai lungă fisură
va începe să se propage instabil.
Teoria stărilor limită de tip Weibull, descrisă mai sus, conduce şi
ea la o scalare cu dimensiunea epruvetei, care urmează o lege putere.
Exponentul m este însă diferit de cel prezis de mecanica ruperilor.
Figura 1.11
O curbă de scalare de acest tip este reprezentată calitativ în
figura 1.11. Epruvetele cu dimensiuni mici au o rezistenţă care este
controlată de teoriile de corp continuu (de criteriile bazate pe limita
de curgere), care nu duc la efecte de scară. Rezistenţa lor este
independentă de dimensiunea caracteristică D, a epruvetei. Cele cu
dimensiuni mari, au o probabilitate mai mare să conţină fisuri mari şi
de aceea comportarea lor este dată de scalarea din mecanica
ruperilor, în care exponentul m din ecuaţia (1.30) este –1/2.
Tranziţia între cele două tipuri de scalare nu este abruptă, ci
relativ gradată şi deci greu de definit ca atare. Ea are loc la
dimensiuni care depind de natura materialului.
58
1.4. Localizarea sau bifurcaţia deformaţiei plastice, ca stare
limită de rezistenţă
În cazurile în care structura considerată este formată numai din
materiale ductile şi deformaţia plastică este permisă, starea critică
este asociată fie cu ruperea ductilă, fie cu pierderea stabilităţii
deformaţiei. Criteriul de apariţie a stării critice, bazat pe ruperea
ductilă, este similar celui discutat mai sus, pentru materiale fragile. În
continuare, se prezentă câteva noţiuni legate de starea critică,
asociată cu pierderea stabilităţii deformaţiei.
Prin pierderea stabilităţii deformaţiei se înţelege situaţia în care
deformaţia îşi pierde caracterul continuu şi omogen. În mod normal,
în timpul unei deformaţii stabile, incremente mici de deplasări /
deformaţii specifice corespund la incremente mici de forţe / tensiuni.
Există însă posibilitatea, ca în condiţii speciale, deformaţia să treacă
printr-o discontinuitate.
Fenomenologic vorbind, există mai multe tipuri de pierdere a
stabilităţii deformaţiei. Dacă materialul structurii se comportă linear
elastic, poate apărea o instabilitate la nivelul întregii structuri prin
care un mod de deformaţie continuu şi stabil, este înlocuit de un alt
mod de deformaţie stabil. În limbaj matematic, aceasta se numeşte o
bifurcaţie, în timp ce în mecanica solidelor şi a structurilor, se
numeşte flambaj. Fenomenul asociat şi metodele de calcul ale
încărcărilor critice, care produc flambajul diferitelor structuri, vor fi
discutate în capitolul dedicat acestui subiect. Aceste încărcări critice
definesc condiţiile de stare limită.
Dacă materialul intră în zona plastică este posibil un alt tip de
bifurcaţie şi anume “gâtuirea.” Pentru exemplificare, se face referire
la un test de întindere a unei bare drepte cilindrice. La începutul
deformaţiei plastice, bara se întinde uniform, deformaţiile specifice
fiind identice în fiecare punct al ei. Aceasta se datorează faptului că,
în acest tip de test, tensiunile sunt uniforme, în tot volumul epruvetei.
Când curba tensiune - deformaţie specifică (mărimile inginereşti)
ajunge la maxim, deformaţia se localizează într-o gâtuire, care devine
din ce în ce mai pronunţată, pe măsură ce testul continuă (figura
1.12.a). În momentul în care are loc gâtuirea, materialul din afara
zonei respective încetează să se mai deformeze plastic. De aici,
59
denumirea de “localizare” a deformaţiei. Prin aceasta, un mod de
deformaţie continuu, este înlocuit de un alt mod de deformaţie
continuu, dar de altă natură.
Tipul de localizare descris
mai sus, gâtuirea, este o
localizare difuză, în sensul că
volumul în care apare, este
destul de mare şi în zona
localizării nu există gradienţi
de deformaţie pronunţaţi. Un
alt tip de localizare este cel
care are loc în benzi. Aceasta
apare, mai ales, în plăci supuse
la întindere sau compresiune.
Deformaţia se localizează în
regiuni înguste, adică benzi, cu
lăţimea aproximativ egală cu grosimea plăcii, care traversează placa
la un unghi de aproximativ 40o faţă de direcţia tensiunii principale
maxime. În interiorul unei astfel de benzi de localizare, gradienţii de
deformaţie sunt foarte mari. Cum în regimul de postlocalizare,
practic toată deformaţia este determinată de deformaţiile specifice
din această zonă îngustă, temperatura locală creşte, ceea ce duce fie
la topire, fie la propagarea instabilă a unei fisuri, de-a lungul benzii
de localizare.
Începutul localizării poate fi considerat o stare critică, pentru că
în toate cazurile (exceptând operaţiile de deformare la cald) este
nedorită. Apariţia sa face structura sau piesa inutilizabile. De aceea,
este esenţial să se cunoască condiţiile în care localizarea este iniţiată.
Din punct de vedere matematic, atât localizarea deformaţiei cât şi
bifurcaţia sunt asociate cu pierderea caracterului eliptic al ecuaţiilor
care descriu deformaţia. Acestea sunt ecuaţiile de echilibru, de
compatibilitate şi ecuaţiile constitutive. Atâta timp cât ecuaţiile
rămân eliptice, deformaţia nu-şi poate pierde caracterul stabil. În
consecinţă, determinarea încărcării critice se face prin căutarea
condiţiilor în care ecuaţiile fundamentale, împreună cu condiţiile pe
frontieră (care aduc în discuţie geometria piesei) devin hiperbolice.
Această analiză a fost făcută pentru o gamă largă de tipuri de
Figura 1.12
60
materiale (elastice, elasto-plastice, cu sau fără dependenţă de viteza
de deformare, materiale cu frecare internă de tip Mohr-Coulomb etc.)
şi pentru câteva geometrii de bază, cum ar fi epruvetele cilindrice şi
plăcile plane. Cititorul este trimis la literatura de specialitate, pentru
detalii [1, 4, 5, 6, 7, 10].
Se poate da o interpretare inginerească a problemei. Această
soluţie este un caz particular al celei mai generale, menţionate mai
sus. Ea constă în a defini starea critică asociată cu localizarea prin
condiţiile în care matricea de rigiditate instantanee a structurii sau
materialului, capătă o valoare proprie nulă. Pentru a face lucrurile
mai concrete, se face o referire, din nou, la testul de întindere
uniaxială. În aceste condiţii, matricea de rigiditate se reduce la un
singur termen: rigiditatea instantanee. Această mărime are o
interpretare grafică simplă: este panta curbei tensiune - deformaţie
specifică. Reformulând în aceşti termeni, deformaţia îşi pierde
stabilitatea (începutul gâtuirii difuze) în momentul în care creşterea
tensiunii, datorată reducerii ariei secţiunii transversale, depăşeşte
creşterea capacităţii portante a epruvetei.
Formal, acesta se scrie dP = 0, sau, dP = dA + A d = 0.
Considerând că în timpul deformaţiei plastice volumul rămâne
constant, deci dL/L = - dA/A = d, condiţia de instabilitate se scrie
.dd (1.31)
Este interesant de observat că dacă aproximăm curba tensiune -
deformaţie specifică reală printr-o funcţie putere, de forma = k n,
unde k este o constantă şi n este exponentul de ecruisare, ecuaţia
(1.31) duce la concluzia că deformaţia se localizează, în momentul în
care deformaţia specifică reală devine egală numeric cu exponentul
n: c = n. Aceasta defineşte condiţiile limită asociate cu localizarea
deformaţiei, pentru testul de întindere uniaxială.
Bibliografie
1. Bardet, J.P., Analytical solutions for the plane-strain
bifurcation of compressible solids, J. Appl. Mech. 58, 651-657, 1991.
2. Bazant, Z.P., Scaling laws in mechanics of failure, J. Eng.
Mech. ASCE, 119, 1828-1844.
61
3. Bazant, Z.P., Scaling of structural strength, Taylor and
Francis, New York, 2002.
4. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
5. Hadăr, A., Structuri din compozite stratificate, Editura
Academiei şi Editura AGIR, Bucureşti, 2002.
6. Hill, R., Hutchinson, J.W., Bifurcation phenomena in the
plane tension test, J. Mech. Phys. Sol. 23, 239-264, 1975.
7. Hutchinson, J.W., Miles, J.P., Bifurcation analysis of the onset
of necking in an elastic-plastic cylinder under uniaxial tension, J.
Mech. Phys. Sol., 22, 61-71, 1974.
8. Kanninen, M.F., Popelar, C.H., Advanced fracture mechanics,
Oxford Univ. Press, Oxford, 1985.
9. Tada, H., Paris, P.C., Irwin, G.R., The stress analysis of cracks
handbook, Paris Productions Inc., 226 Woodbourne Dr., St. Louis,
MO 63105, 1985.
10. Vardoulakis, I., Bifurcation analysis of the plane rectilinear
deformation on dry sand samples, Int. J. Sol. Struct. 17, 1085-1101,
1981.
62
2 .
METODA DEPLASĂRILOR
PENTRU STRUCTURI DIN BARE DREPTE
În construcţiile civile, ca şi în cele de maşini, se întâlnesc
numeroase poduri, acoperişuri, dispozitive, instalaţii, “schelete” ale
unor maşini etc care sunt realizate din bare drepte sau curbe.
Materialele folosite sunt, mai ales, ţevi sau profile laminate,
asamblate, de regulă, prin sudură. Configuraţiile acestor structuri pot
fi plane sau spaţiale, mai simple sau mai complexe, formate din
câteva bare sau având mii de componente. Calculul lor se poate face
foarte eficient cu metoda deplasărilor, formulată pentru structuri din
bare drepte. Această metodă prezintă interes metodologic şi didactic
deoarece, pentru prima dată, la formularea ei s-a introdus conceptul
de matrice de rigiditate, care s-a dovedit deosebit de rodnic. De
asemenea, această metodă este “precursoarea” metodei elementelor
finite, cea mai utilizată metodă de calcul ingineresc, în prezent, care,
este şi ea considerată frecvent, ca o metodă a deplasărilor.
2.1. Formularea metodei
În metoda deplasărilor, necunoscute se consideră deplasările
nodurilor structurii. Formularea matriceală a metodei duce la
utilizarea unor notaţii simple şi unitare, la o mai clară sistematizare şi
etapizare a calculelor şi – mai ales – la simplitatea elaborării unui
program şi a implementării lui pe calculator. Metoda se utilizează,
exclusiv, pe calculator, cu programe corespunzătoare, datorită
volumului imens al calculelor.
Structura se consideră schematizată ca o reţea spaţială (în cazuri
particulare, reţeaua poate fi plană) de bare drepte legate între ele în
noduri. Configuraţia geometrică a structurii se defineşte prin valorile
coordonatelor nodurilor în raport cu un sistem de referinţă global,
cartezian, drept - reper global - ataşat structurii. Barele structurii se
definesc prin nodurile de la capete. Fiecare nod poate avea maximum
63
şase componente ale deplasării: trei componente ale deplasării
lineare şi trei rotiri, definite în raport cu reperul global, al structurii.
Direcţiile după care se pot produce deplasări se numesc grade de
libertate geometrică (degrees of freedom – DOF). Pentru unele
noduri, una sau mai multe componente ale deplasării pot fi
împiedicate, sau blocate (adică au valori nule), dacă nodul respectiv
este reazem. În unele noduri se pot introduce deplasări cu valori
impuse, cunoscute. Observaţie: În teoria elasticităţii se definesc doar componentele, u, v, w, ale
deplasării liniare. Introducerea şi a rotirilor drept componente ale deplasării, este o “generalizare inginerească”, a conceptelor, riguroase, ale teoriei elasticităţii, din
considerente privind unele facilităţi de calcul. Ansamblul deplasărilor liniare şi
rotirilor poartă denumirea de “deplasări generalizate”. De asemenea, eforturile
(forţe şi momente) din secţiunile barelor se numesc “forţe generalizate”.
Sarcinile concentrate, forţe şi momente, se consideră aplicate
numai în noduri. Această restricţie este doar metodologică, pentru o
formulare mai simplă şi mai accesibilă a metodei. Programele de
calcul au implementate proceduri care permit definirea a două
categorii de sarcini:
- sarcini aplicate structurii, în noduri, care pot fi forţe şi
momente concentrate, definite în raport cu reperul global OXYZ;
- sarcini aplicate fiecărei bare, între nodurile de la capete, care
pot fi de orice tip, concentrate sau distribuite, definite în raport cu un
reper local oxoyozo, ataşat fiecărei bare, ca în figura 2.1.
Figura 2.1
64
Pentru un nod oarecare, i, se definesc vectorul deplasărilor
nodale, {ui} şi vectorul sarcinilor nodale, {Ri}, sub forma (2.1), care,
în cazul cel mai general, au câte 6 componente.
Numărul total
al deplasărilor
necunoscute pentru
întreaga structură,
reprezintă numărul
total al gradelor de
libertate geometrică
ale structurii.
O bară oarecare, definită de nodurile n1 şi n2, având lungimea ℓ,
se consideră raportată la un sistem de coordonate local, x0y0z0, care
conţine direcţiile principale de inerţie ale secţiunii barei, ca în figura
2.2, în care s-au figurat sensurile pozitive ale deplasărilor şi
eforturilor la cele două capete ale barei. În figura 2.2 s-au scris şi
notaţiile obişnuite din rezistenţa materialelor pentru componentele
vectorilor {u} şi {R}. De obicei, pentru fiecare bară se utilizează şi
un nod n3, pentru a defini direcţia planului x0y0 în spaţiu (care este
plan de inerţie principal al secţiunii barei respective).
a b
Figura 2.2
Cele 12 componente ale deplasărilor capetelor barei sunt
independente, dar din cele 12 eforturi care acţionează asupra barei,
numai şase sunt independente, deoarece trebuie satisfăcute ecuaţiile
de echilibru, în număr de şase:
N1 + N2 = 0 ; 0TT21 yy ; 0TT
21 zz ; 0MM21 xx ;
(2.2)
0TMM121 ziyiy ; 0TMM
121 yiziz .
6
5
4
3
2
1
i
u
u
u
u
u
u
u ,
6
5
4
3
2
1
i
R
R
R
R
R
R
R . (2.1)
65
2.2. Matricea de rigiditate a barei drepte
Între deplasări şi eforturi există relaţiile de dependenţă,
cunoscute din rezistenţa materialelor. Pentru bara considerată, aceste
relaţii pot fi scrise condensat sub forma
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
z
y
r
2
y
3
y
2
z
3
z
z
2
zz
y
2
yy
rr
2
y
3
y
2
y
3
y
2
z
3
z
2
z
3
z
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
EI4
0EI4
C
00GI
I
0EI6
0EI12
R
EI6000
EI12T
00000EA
E
EI2000
EI60
EI4M
0EI2
0EI6
000EI4
I
00GI
00000GI
S
0EI6
0EI12
000EI6
0EI12
EI6000
EI120
EI6000
EI12
00000EA
00000EA
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
(2.3)
sau şi mai simplu
{R} = [k]{u}, (2.4)
în care [k] este matricea de rigiditate a barei.
Proprietăţile matricei de rigiditate a barei drepte.
- Rigiditatea unei bare drepte este definită de o matrice pătrată,
[k], care leagă cele 12 eforturi, {R}, de cele 12 deplasări, {u},
corespunzătoare celor 12 grade de libertate geometrică ale celor două
noduri de la capetele barei.
Observaţie: Aceasta este situaţia cea mai generală. În practică se
întâlnesc numeroase cazuri particulare, ca, de exemplu, cele în care
barele sunt articulate şi deci nu pot prelua decât eforturi axiale şi /
sau structura este plană. În aceste cazuri numărul componentelor
vectorilor {R} şi {u} precum şi dimensiunile matricei [k] vor fi mai
mici decât 12. Numărul minim al componentelor vectorilor {R} şi
{u} este 1, iar dimensiunea minimă a matricei [k] este 2x2.
66
Tabelul 2.1
i Gradul de libertate pentru care
ui = 1
la capătul barei, pentru
X0 = 0
i
Gradul de libertate pentru care
ui = 1 la capătul barei, pentru
X0 = ℓ
i =1
i = 7
i =2
i = 8
i =3
i = 9
i =4
i =10
i =5
i =11
i =6
i =12
- Un element oarecare, kij , al matricei de rigiditate, [k], de pe
linia i şi coloana j, are următoarea semnificaţie: este efortul Ri,
produs de o deplasare ui = 1, celelalte deplasări fiind nule. Expresiile
analitice de calcul ale elementelor matricei [k] se stabilesc cu
67
metodele clasice pentru calculul deplasărilor barelor din rezistenţa
materialelor, ca, de exemplu, metoda „parametrilor iniţiali”, sau o
metodă energetică.
- Pentru a defini mai clar semnificaţiile elementelor kij ale
matricei de rigiditate a barei, în tabelul 2.1 se prezintă schemele de
solicitare ale barei, pentru cele 12 componente, ui = 1, ale deplasării
şi cele 12 componente, Ri , ale eforturilor produse în aceste condiţii.
- Matricea [k] este simetrică, adică kij = kji, ca urmare a teoremei
reciprocităţii forţelor.
- De asemenea, matricea [k] este singulară, rangul ei fiind - în
cazul cel mai general - 6, deoarece bara poate avea şase deplasări de
corp rigid, acestea fiind fără efect asupra valorilor eforturilor. Deci
matricea nu poate fi inversată, aceasta şi datorită faptului că ea
„leagă” 12 deplasări independente de 12 eforturi, între care există
cele şase relaţii (2.2), adică numai şase eforturi sunt independente.
Un alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii
(2.4), care nu poate fi rezolvat, fiind nedeterminat, ceea ce presupune
că o singură bară nu poate fi rezolvată (cel puţin în contextul
prezent).
- Matricea [k] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, kii
, de pe diagonala principală sunt „strict pozitive”, adică ele nu pot fi
niciodată negative sau nule. Această proprietate este o consecinţă a
faptului că deplasarea ui = 1 produce totdeauna un efort Ri , cu
acelaşi sens şi pe aceeaşi direcţie cu ui.
Transformarea matricei de rigiditate.
Relaţia (2.4) a fost scrisă pentru o bară oarecare a structurii,
raportată la reperul local oxoyozo. Dacă structura este raportată la
reperul global OXYZ, atunci între cele două sisteme de coordonate
există relaţiile
Z
Y
X
lll
lll
lll
z
y
x
333231
232221
131211
0
0
0
, sau {x0} = [L1] {X}, (2.5)
în care [L1], este matricea cosinusurilor directoare ale direcţiilor oxo,
oyo, ozo, în raport cu direcţiile OX, OY, OZ (fig. 2.3), adică l11= cos
α1, l12= cos β1, l13= cos γ1, ş.a.m.d.
68
Dacă se are în vedere că ambele sisteme de
coordonate sunt ortogonale, rezultă că există
relaţia [L1]T [L1] = [I], în care, [I], este
matricea unitate de ordinul trei.
Pentru întreaga bară, vectorii {R} şi {u} şi
matricea [k] au câte 12 componente, deci
trebuie definită o „matricea de transformare”,
[L], de 12x12
în care [0] este matricea zero de ordinul trei.
Calculul deplasărilor şi eforturilor în sistemul local de
coordonate (mărimile definite în sistemul local vor avea indicele 0)
în funcţie de valorile lor din sistemul global, se face cu relaţiile
{u0} = [L]{u}, {R0} = [L]{R}. (2.7)
Ca urmare a notaţiei adoptate, relaţia (2.4) trebuie scrisă sub
forma {R0} = [k0]{u0}, care devine, înlocuind relaţiile de
transformare (2.7),
[L]{R} = [k0] [L] {u}. (2.8)
Deoarece [L]-1
= [L]T, însemnă că relaţia (2.8) devine
{R} = [L]T [k0] [L] {u}, (2.9)
în care se notează
[k] = [L]T [k0] [L], (2.10)
relaţie ce permite calculul matricei [k] în sistemul de coordonate
global, funcţie de matricea [k0], din sistemul local, operaţie ce se
numeşte uzual “rotirea matricei de rigiditate” sau “transformarea
matricei de rigiditate”. Acesta este efectul rotirii sistemului de
coordonate asupra matricei de rigiditate a barei. Translaţiile nu au
nici un efect asupra matricei [k]. În acest mod, se obţine o relaţie
similară cu (2.4), pentru bara raportată la reperul global, al structurii.
Observaţie: Nu este necesar să se introducă notaţii speciale
pentru mărimile din cele două sisteme de coordonate, deoarece
rezultă din context la care sistem se face referire la un moment dat.
Figura 2.3
1
1
1
1
L000
0L00
00L0
000L
L , (2.6)
69
2.3. Asamblarea. Matricea de rigiditate a structurii
Pentru calculul întregii structurii, care se consideră că are nn
noduri şi nb bare, metoda deplasărilor presupune că se poate scrie o
relaţie similară cu (2.4), pentru întreaga structură, raportată la un
reper global OXYZ şi anume
{R} = [K]{u}, (2.11)
în care: [K] este matricea de rigiditate a structurii, {R} – vectorul
sarcinilor din noduri (nodale), {u} – vectorul deplasărilor nodurilor
(nodale), ale structurii.
Matricea de rigiditate, [K], se obţine prin „expandarea” şi
însumarea algebrică a matricelor de rigiditate ale barelor (calculate în
raport cu reperul global), pe nodurile şi gradele de libertate ale
acestora, definite pentru întreaga structură. Această operaţie poartă
denumirea de asamblare.
În figura 2.4 se prezintă modul în care matricea de rigiditate,
[k], a unei bare, definită între nodurile i şi j, poate fi descompusă în
patru submatrice [kii], [kij], [kji], [kjj], corespunzătore gradelor de
libertate geometrică (DOF) ale nodurilor de la capetele barei. Aceste
matrice sunt pătrate ( [kii], [kjj] ) sau dreptunghiulare ( [kij] = [kji]T –
când numerele DOF-urilor nodurilor de la capetele barei nu sunt
egale) şi au dimensiunile egale cu numerele DOF ale nodurilor la
care se referă, adică între 1 şi 6.
Pentru obţinerea matricei de rigiditate [K] a structurii se
procedează astfel:
- se numerotează, succesiv, toate cele nn noduri ale structurii;
Figura 2.4
70
- se determină numărul N, al DOF-urilor pentru întreaga
structură, care este suma DOF ale tuturor nodurilor (de regulă, toate
nodurile structurii au aceleaşi DOF, dar este posibil ca acestea să fie
diferite, pentru diverse noduri);
- se defineşte matricea [K], pătrată, cu dimensiunile NxN,
considerându-se că succesiunea coloanelor şi a liniilor este cea a
nodurilor, iar pentru fiecare nod este cea a DOF, ca în vectorii (2.1),
deoarece matricea este simetrică;
- matricea [K] se iniţializează
(se “umple”) cu valoarea 0;
- se “expandează” matricea de
rigiditate a fiecărei bare (care a fost
calculată în raport cu reperul
global), ca în schema din figura 2.4,
însumându-se algebric valorile
elementelor submatricelor cu
valorile aflate deja în matricea
[K],
în locaţiile corespunzătore fiecărui DOF;
- procedura se continuă până când se procesează matricele de
rigiditate ale tuturor celor nb bare ale structurii.
În figura 2.5 se prezintă, ca exemplu, o structură relativ simplă,
cu 5 noduri (nn = 5) şi 7 bare (nb = 7), a cărei matrice de rigiditate are
configuraţia din figura 2.6. În această figură trebuie remarcat modul
Figura 2.5
71
Figura 2.6
în care s-au “expandat” submatricele barelor în matricea [K] a
structurii. Notaţia folosită pentru o submatrice [kbij] are următoarea
semnificaţie: b este numărul barei, iar i şi j sunt numerele nodurilor
de la capetele barei respective. Dacă într-o locaţie se află mai multe
submatrice, aceasta înseamnă că elementele lor se însumează
algebric, după aceleaşi DOF-uri, corespunzătore nodurilor la care se
referă.
Proprietăţile matricei de rigiditate, [K], a structurii sunt aceleaşi
ca ale matricei de rigiditate a unei bare, la care se mai adaugă şi
altele câteva.
- Matricea este pătrată, cu dimensiunile NxN, în care N este
numărul total al DOF-urilor nodurilor întregii structuri.
- Un element oarecare, kij , al matricei de rigiditate, [K], de pe
linia i şi coloana j, are următoarea semnificaţie: este efortul Ri,
produs de o deplasare ui = 1, celelalte deplasări ale structurii fiind
nule.
- Matricea [K] este simetrică, adică kij = kji .
- Matricea este singulară, gradul de nedeterminare fiind egal cu
numărul deplasărilor de corp rigid pe care le poate avea structura în
ansamblu (în cazul cel mai general 6, deoarece structura poate avea
şase deplasări de corp rigid). Deci matricea nu poate fi inversată. Un
alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii
(2.11), care, în aceste condiţii, nu poate fi rezolvat, fiind
nedeterminat.
- Matricea [K] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, kii,
de pe diagonala principală sunt „strict pozitive”, adică ele nu pot fi
niciodată negative sau nule.
- Matricea este rară, adică un număr relativ mare de elemente
„rămân” nule (în mod obişnuit între 60 şi 85 % din totalul
elementelor matricei).
- Matricea este „bandă”, adică elementele nenule sunt grupate în
jurul diagonalei principale. Observaţie: Ultimele două proprietăţi ale matricei [K] nu sunt evidente în
figura 2.6 deoarece structura căreia în corespunde (fig. 2.5) are un număr prea mic
de noduri.
Componentele vectorului sarcinilor nodale, {R} au aceeaşi
succesiune ca şi elementele unei coloane a matricei de rigiditate a
72
structurii, [K]. Pentru structura din figura 2.5, componenta R3
2 = -P,
este plasată în locaţia corespunzătore DOF=2, a nodului 3 (relaţia
(2.1)), aşa cum rezultă din figura 2.5. Celelalte componente ale
vectorului {R} sunt nule.
2.4. Introducerea condiţiilor de rezemare
Pentru ca sistemul de ecuaţii (2.11) să poată fi rezolvat, trebuie
ca structura să nu aibă deplasări de corp rigid (translaţii sau rotiri) în
spaţiu. În acest scop trebuie introduse condiţiile în “legături” (de
rezemare) ale structurii, care înseamnă, de fapt, deplasări cunoscute
(nule sau de valoare dată), într-un număr oarecare de noduri. Aceste
legături pot fi oricâte, structura putând fi static determinată sau static
nedeterminată, adică metoda nu face o astfel de distincţie. Prin
urmare, în sistemul de ecuaţii (2.11) se elimină liniile şi coloanele
corespunzătoare deplasărilor cunoscute (se are în vedere că fiecare
linie corespunde unui anumit DOF, al unui anumit nod), obţinându-
se un sistem de ecuaţii algebrice compatibil şi determinat, care se
poate rezolva prin diverse metode numerice.
2.5. Rezolvarea sistemului de ecuaţii
Alegerea metodei de rezolvare a sistemului (2.11) trebuie să aibă
în vedere cel puţin următoarele aspecte:
- Într-un program de calcul destinat analizei unei structuri din
bare drepte folosind metoda deplasărilor, rezolvarea sistemului (2.11)
este etapa cea mai importantă sub aspectul volumului de calcul, al
preciziei rezultatelor obţinute şi al performanţelor programului, în
ansamblu.
- Numărul de ecuaţii al sistemului poate fi foarte mare, adică de
ordinul miilor sau sutelor de mii, ceea ce înseamnă că, în general,
sistemul nu poate fi rezolvat în memoria de lucru a calculatorului ci
trebuie “partiţionat” adică descompus în blocuri sau subsisteme.
- Sistemul este simetric, bandă (cu lăţimea variabilă a benzii) şi
rar.
Programele care se utilizează în inginerie au implementate
module pentru rezolvarea sistemului (2.11) bazate pe următoarele
metode şi algoritmi (detalii în manualele algebră şi metode numerice de
73
calcul): metoda orizontului (sky – line), metoda matricelor rare
(sparse), metode iterative.
Metodele enumerate conţin tehnici de rearanjare a ecuaţiilor, de
eliminare, triunghiularizare Gauss sau descompunere. În algoritmii
implementaţi în programe, foarte importante sunt procedurile care
asigură neefectuarea operaţiilor aritmetice cu zero, deoarece acestea
sunt „majoritare” şi pot irosi efortul de calcul. Metodele iterative sunt
destinate rezolvării sistemelor cu peste 200000 de ecuaţii şi au scopul
asigurării, în aceste condiţii, a unei precizii bune a soluţiei.
2.6. Rezultatele calculului
- Prin rezolvarea sistemului (2.11) se obţin valorile deplasărilor
nodale, {u}, în raport cu reperul global (al structurii).
- În ecuaţiile din sistemul {R} = [K]{u}, corespunzătoare
gradelor de libertate blocate ({u}=0) sau cu deplasări cunoscute
(date), se înlocuiesc valorile deplasărilor, {u} şi se obţin valorile,
{R}, ale reacţiunilor respective, în raport cu reperul global. Observaţie. O linie din sistemul {R} = [K]{u} este ecuaţia de echilibru a
forţelor generalizate din nodul şi pe direcţia DOF-ului respectiv.
- Cu relaţiile (2.7) se pot determina deplasările nodale, {u0} şi
eforturile nodale {R0}, în raport cu reperul local (al barei).
- Cu relaţia {R0} = [k0]{u0} se pot calcula eforturile care
acţionează la capetele fiecărei bare (fig. 2.2.b) cu care se pot calcula
(folosind formulele şi metodologiile pentru solicitări simple şi
compuse), tensiunile produse de solicitările simple din bare,
tensiunile echivalente maxime şi deplasările din fiecare secţiune a
fiecărei bare.
- De asemenea, se oferă informaţii privind greutatea totală a
structurii, poziţia centrului de greutate, condiţiile în care s-a rezolvat
sistemul de ecuaţii etc.
2.7. Etapele principale ale calculului unei structuri din bare
drepte cu metoda deplasărilor
Preprocesarea.
- Se elaborează modelul „conceptual” de calcul, adică se
stabilesc care sunt barele care se iau în considerare (şi care nu),
condiţiile de încărcare (eventuale variante) şi condiţiile de rezemare.
74
- Se numerotează nodurile şi se determină coordonatele lor în
raport cu un reper global al structurii, convenabil ales.
- Se numerotează barele şi se defineşte axa fiecărei bare, prin
numerele nodurilor de la capete. Folosind un alt nod (care să nu fie
pe direcţia axei barei) se defineşte direcţia principală de inerţie oyo a
secţiunii.
- Se definesc formele geometrice şi dimensiunile secţiunilor
barelor şi se calculează ariile şi momentele de inerţie principale,
direcţiile principale de inerţie şi momentul de inerţie polar (sau cel
convenţional la răsucire).
- Se definesc sarcinile aplicate în nodurile structurii şi sarcinile
aplicate barelor.
- Se definesc constantele materialului: greutatea volumică γ,
modulele de elasticitate E şi G, coeficientul de contracţie transversală
υ, coeficientul de dilatare termică lineară α etc.
- Se definesc condiţiile de rezemare (legături) ale structurii.
Aceste operaţii se execută de utilizator, cu sau fără ajutorul
calculatorului şi au ca rezultat obţinerea unui fişier „de intrare” care
conţine toate informaţiile care definesc modelul de calcul al
structurii, în forma cerută de programul care se utilizează.
Calculatorul citeşte fişierul de intrare şi face o serie de verificări
ale acestuia (dacă se găsesc greşeli, se scriu mesaje de atenţionare).
De asemenea, se realizează un desen în spaţiu al modelului, cu
reprezentarea încărcărilor şi condiţiilor de rezemare, care permite alte
verificări ale modelului.
Procesarea.
Prin comenzi specifice se activează procesul propriu-zis de
calcul, în varianta aleasă de utilizator (programul are opţiuni
corespunzătoare) parcurgându-se, de obicei, următoarele etape:
- Se calculează matricele de rigiditate, [k0], ale barelor în raport
cu reperul local (vezi relaţia (2.3)).
- Se calculează matricele de rigiditate ale barelor, [k], în raport
cu reperul global, cu relaţia (2.10).
- Se determină matricea de rigiditate, [K], a structurii, prin
asamblarea matricelor de rigiditate ale barelor.
- Se formează vectorul, {R}, al sarcinilor nodale ale structurii.
75
- Se formează sistemul de ecuaţii (2.11) al structurii.
- În sistemul (2.11) se introduc condiţiile de rezemare, prin
eliminarea liniilor şi coloanelor corespunzătoare gradelor de libertate
geometrică blocate (u = 0) sau cu deplasări impuse (cunoscute).
- Se rezolvă sistemul de ecuaţii al structurii, obţinându-se
valorile deplasărilor nodale, {u}.
- Se scriu, într-o formă accesibilă toate informaţiile privind
modelul de calcul şi rezultatele obţinute.
Postprocesarea.
Volumul informaţiilor disponibile în urma calculului este foarte
mare, motiv pentru care programul oferă utilizatorului posibilitatea
de a alege ce informaţii doreşte să i se „livreze” şi sub ce formă. În
programe sunt disponibile „meniuri” cu care se pot alege variantele
postprocesării. Se au în vedere două categorii de aspecte:
- Care sunt informaţiile dorite: deplasări, eforturi, tensiuni,
reacţiuni, deformaţii specifice, tensiuni echivalente etc. Aceste
mărimi pot fi definite în raport cu reperul global (al structurii), în
raport cu reperul local (al barei), sau, pentru unele dintre ele,
utilizatorul poate alege, varianta dorită.
- Sub ce formă să fie „editate” rezultatele solicitate: tabele,
figuri, reprezentări grafice, animaţii, valori maxime etc, fiecare din
opţiuni având diverse variante disponibile.
2.8. Concluzii
- Metoda deplasărilor pentru calculul structurilor din bare drepte
este foarte eficientă în inginerie, motiv pentru care este folosită pe
scară foarte largă, mai ales datorită simplităţii sale şi a utilizării
calculatoarelor, fiind implementată în sisteme de „proiectare
asistată”.
- Din considerente didactice metoda a fost prezentată în varianta
sa de bază. Ea poate fi, relativ simplu, extinsă atât pentru structuri
care conţin şi bare curbe, cât şi pentru calcule de stabilitate, dinamice
(în diverse variante) sau pentru probleme nelineare.
- Metoda este „mai exactă” ca altele, ca, de exemplu, metoda
elementelor finite. Greşit se consideră, de către unii utilizatori, ca
fiind exactă. Metoda, în formularea sa de bază, conţine ipoteza de
76
bară, care este o simplificare a realităţii. În consecinţă soluţiile au un
anumit grad de aproximare, de care trebuie să se ţină seama în
practică. Ipoteza de bară (şi ipoteza secţiunii plane a lui Bernoulli),
presupune că lungimea fiecărei bare este mult mai mare decât
dimensiunile secţiunii şi ca urmare, structura se consideră definită
prin axele barelor, iar joncţiunile barelor (nodurile structurii) ca
puncte geometrice (fără dimensiuni). Prin urmare, metoda nu poate
oferi informaţii satisfăcătoare privind valorile tensiunilor în zonele
joncţiunilor structurii, ci numai la distanţe suficient de mari de
acestea. Valorile mărimilor care definesc comportarea „globală” a
structurii se obţin cu o precizie „inginerească” bună. Aspectele
„locale” trebuie analizate ulterior, cu modele şi metode de calcul
adecvate, ca, de exemplu, metoda elementelor finite.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Hadăr, A., Stoicescu, C.,
Méthode des éléments finis- Cours et applications, Lytographie de
l'Université "Politehnica" de Bucarest, 1993.
2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
3. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,
Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,
Editura BREN, Bucureşti, 1999.
4. Hadăr, A., Marin, C., Petre, C., Voicu, A., Metode numerice
în inginerie, Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2005.
5. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,
Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura
Printech, Bucureşti, 2007.
6. Marin, C., Hadăr, A., Fl. Popa, L. Albu, Modelarea cu
elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei şi Editura
AGIR, Bucureşti, 2002.
7. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
77
3.
METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI
APROXIMATIVE
ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR
3.1. Generalităţi
Scopul primordial al activităţilor inginereşti este realizarea de
maşini, aparate, instalaţii etc. În istoria ingineriei sunt consemnate
numeroase situaţii în care s-au creat maşini noi fără să existe o bază
teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este
motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt
elucidate toate aspectele teoretice şi de calcul (fenomenele implicate
sunt foarte diferite şi complexe: procese chimice de ardere,
transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea,
zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar
perfecţionări care duc la reducerea consumului de combustibil sau la
creşterea performanţelor motoarelor.
Pe măsură ce s-au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia,
mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii şi relaţii de calcul
pentru unele probleme inginereşti, din ce în ce mai complexe. Dar
inginerii au înţeles că unele fenomene şi procese sunt atât de
complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar
elaborarea unor metode şi relaţii de calcul exacte, uneori, este
imposibilă. Pentru a ieşi din impas s-au impus în practică teorii,
metode şi relaţii de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau
mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul
aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu
discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfăşoară în
condiţiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de 5...30 %
fiind acceptabile pentru activităţile curente.
Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus,
în ultimele decenii, la elaborarea şi perfecţionarea unor metode
78
numerice energetice şi aproximative de calcul, care s-au impus în
toate domeniile inginereşti prin realizări spectaculoase ca, de
exemplu, cucerirea spaţiului cosmic. Acest proces de ansamblu se
regăseşte şi în rezistenţa materialelor. De fapt, calculele de rezistenţă
sunt în esenţă aproximative, dintr-o multitudine de considerente,
metoda de calcul fiind doar o verigă a unui proces complex creativ.
În rezistenţa materialelor se folosesc, chiar de la naşterea ei ca ştiinţă,
metode energetice şi aproximative de calcul, dintre care, cele mai
importante, se prezintă în acest capitol. Trebuie făcută precizarea că,
pe de o parte, unele metodele energetice pot fi aproximative, iar pe
de altă parte, că unele metode aproximative nu sunt energetice (sau
nu sunt formulate în termeni energetici). Aceste metode au
numeroase variante, ele constituind o „familie consistentă” şi un
domeniu distinct al ingineriei. Metodele numerice – aproximative –
de calcul au avantajul că sunt mult mai generale decât cele analitice
şi se pretează foarte bine pentru a fi implementate pe calculatoare. Observaţie: Este relativ dificil să se facă o distincţie categorică între metode
analitice şi numerice de calcul. Frecvent, cu relaţii analitice se elaborează programe
de calcul numeric, sau un algoritm numeric, când se foloseşte pentru un program
de calculator, trebuie să aibă o formă „analitică”, necesară procesului de
programare, ca programul să fie cât mai general şi cât mai uşor de elaborat.
Metodă energetică de calcul se numeşte, generic, cea care
presupune utilizarea, sub o formă oarecare, concepte, legi sau
formule de calcul privind diversele forme ale energiei mecanice:
cinetică, potenţială, de deformaţie, totală, complementară etc.
Practica inginerească a dovedit că aceste metode sunt simple,
generale şi eficiente pentru numeroase clase de probleme de calcul.
Explicaţia constă în faptul că energia este, ca şi materia, o „entitate”
fundamentală a universului, omniprezentă, în toate procesele din
natură fiind implicate aspecte energetice, guvernate de legi generale
şi relativ simple. Cele mai importante teoreme generale privind
procesele energetice în sistemele deformabile sunt: a reciprocităţii
lucrului mecanic, a reciprocităţii deplasărilor şi a reciprocităţii
forţelor.
Principiul metodelor variaţionale de calcul constă în faptul că
soluţia problemei se caută sub forma analitică (de regulă), a unei
funcţii oarecare
79
v = f (a1, a2, a3, ..., x, y, z), (3.1)
în care: v este funcţia căutată (de exemplu, relaţia dintre deplasări sau
tensiuni şi variabilele independente x, y, z);
- a1, a2, a3, ... parametri arbitrari, care se aleg - se variază - astfel
încât funcţia v să se apropie (adică să aproximeze) cât mai “exact”
soluţia exactă (necunoscută) a problemei.
Se va prezenta numai problema variaţională unidimensională,
aplicată la calculul barelor, adică se consideră că v depinde numai de
x (variabila definită în lungul axei barei). Acest fapt simplifică
explicaţiile, dar nu diminuează generalitatea metodelor prezentate.
Probleme în două dimensiuni (adică v = v (x,y)) sunt cele plane şi ale
plăcilor subţiri.
Există o multitudine de metode variaţionale, diferenţiate de
modul în care se aleg parametrii a1, a2, a3, …, în funcţie de specificul
problemei care se rezolvă.
Cea mai importantă, cea mai veche şi cea mai utilizată metodă
variaţională este cea energetică (a lui Ritz) în care parametrii a1, a2,
a3, ..., se determină din condiţia ca “energia potenţială totală” a
sistemului să fie minimă. Ea este relativ sigură (este o metodă
aproximativă) în ceea ce priveşte precizia rezultatului obţinut.
Metoda implică stabilirea expresiei energiei potenţiale totale a
sistemului, ceea ce nu este totdeauna uşor. Celelalte metode
aproximative (metoda Galerkin, metoda reziduului ponderat, metoda
abaterii pătratice minime, metoda elementelor finite, metoda
diferenţelor finite etc) sunt, de fapt, metode de integrare (variaţionale
sau de analiză infinitezimală) aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale.
3.2. Teorema energiei potenţiale totale minime
Pentru un sistem (corp, structură) elastic în echilibru principiul
deplasărilor virtuale se formulează astfel: condiţia necesară şi
suficientă pentru ca un sistem elastic să fie în echilibru este ca lucrul
mecanic al forţelor exterioare, Pi, (sarcinilor) pe deplasările virtuale
(mici), δsi, compatibile cu legăturile, să fie egal cu variaţia energiei
interne, δW, (de deformaţie), pentru aceleaşi deplasări.
Se presupune că pentru sistemul elastic considerat există o
funcţie, U, a cărei variaţie, δU, pentru deplasările virtuale, δsi, este
egală şi opusă ca semn cu lucrul mecanic, pe aceleaşi deplasări, al
80
forţelor exterioare, Pi , care îşi păstrează valoarea constantă. Funcţia
U se numeşte potenţialul forţelor exterioare. Se poate scrie
.sPU i
n
1i
i
(3.2)
Se presupune că variaţia lucrului mecanic al forţelor exterioare
se transformă complet în energie de deformaţie a sistemului, adică
cele două valori sunt egale. Aceeaşi valoare o are şi lucrul mecanic
efectuat de sistemul elastic după încetarea acţiunii sarcinilor. Un
astfel de proces de deformare se numeşte reversibil şi pentru el
δW + δU = 0 sau δ (W + U) = 0. (3.3)
În concluzie, pentru un proces de deformare reversibil, variaţia
energiei de deformaţie în urma încărcării şi descărcării complete a
sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru procesele
reversibile, valoarea energiei de deformaţie nu depinde de modul în
care sunt aplicate sarcinile asupra sistemului, ci numai de valoarea
lor finală.
În relaţia (3.3) suma energiei de deformaţie W şi a lucrului
mecanic al sarcinilor U se numeşte energia potenţială totală a
sistemului şi se notează Π = W + U, iar condiţia (3.3) devine
δ Π = 0. (3.4)
Consecinţa relaţiei (3.4) este că dacă, pentru un sistem elastic
reversibil aflat în echilibru, variaţia funcţiei Π în cazul unei
modificări foarte mici a poziţiei şi / sau formei acestuia este egală cu
zero, înseamnă că funcţia Π are una din valorile extreme. Dacă Π are
valoare maximă, poziţia de echilibru este instabilă. Dacă Π are
valoare minimă, poziţia de echilibru este stabilă, aceasta fiind
teorema energiei potenţiale totale minime.
Criteriul echilibrului stabil al sistemelor elastice reversibile al
valorii minime a energiei potenţiale totale, este foarte general şi
permite rezolvarea unor vaste categorii de probleme ale rezistenţei
materialelor. Aceasta nu însemnă că soluţiile obţinute cu metode
energetice sunt totdeauna mai simple decât cele obişnuite. În
numeroase cazuri, metodele curente de rezolvare, bazate pe condiţiile
de echilibru static, duc mai repede la rezultat decât o metodă
variaţională energetică. Totuşi, pentru probleme mai complicate ale
mecanicii solidului deformabil (şi ale rezistenţei materialelor),
81
metodele energetice nu numai că sunt mai avantajoase, dar pot fi
chiar de neînlocuit.
Metodele energetice au avantaje notabile prin aceea că permit
elaborarea unor algoritmi şi metodologii aproximative, relativ simple
şi generale, pentru numeroase categorii de probleme inginereşti.
3.3. Metoda Ritz
În esenţă, metoda Ritz constă în determinarea valorii extreme a
unei funcţionale. Fie integrala definită
b
a.dx ) v",v',v,x( (3.5)
Se cere să se găsească o funcţie v = v(x) care să satisfacă
condiţiile la limită, iar funcţionala Φ să aibă o valoare extremă. În
acest scop se alege funcţia necunoscută v(x) de forma (relaţia (3.1))
v = v (a1, a2, a3, ..., an, x). (3.6)
Această funcţie trebuie să satisfacă condiţiile la limită date,
pentru orice valori ale parametrilor arbitrari a1, a2, a3, ..., an şi să fie
cât mai apropiată de funcţia reală v(x), deocamdată necunoscută, însă
anticipată, într-o oarecare măsură, pe baza informaţiilor privind
esenţa fizică a problemei.
Înlocuind valoarea funcţiei v(x) alese sub forma (3.6) şi a
derivatelor sale în (3.5), se obţine
b
an321 ,dx ) x,a ..., ,a ,a ,a( (3.7)
care, după integrarea în raport cu x, devine
Φ = Φ (a1, a2, a3, ..., an). (3.8)
Valorile constantelor a1, a2, a3, ..., an se aleg astfel ca funcţia Φ să
aibă o valoare extremă. În acest scop trebuie ca
.0a
.....;0a
;0a
;0a n321
(3.10)
Se obţin astfel n ecuaţii, din care necunoscutele a1, a2, a3, ..., an,
pot fi determinate. Funcţia aleasă, v, (3.6), va da funcţionalei Φ, cu o
oarecare aproximaţie, o valoare extremă. Gradul de aproximare este
determinat, în acest caz, de numărul de parametri an aleşi şi de forma
aleasă pentru funcţia v(x).
82
Exemplu.
Să se determine săgeata şi tensiunea maximă pentru bara din
figura 3.1, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată cu o
sarcină uniform distribuită. Observaţie: Bara este raportată la
sistemul uzual de coordonate oxyz, cu
axa ox în lungul barei şi cu axa oz în
jos. Ar trebui, conform uzanţei, ca
deplasarea după direcţia oz să fie notată
cu w. Dar pentru a nu se face confuzii
cu energia de deformaţie, notată cu W, se va utiliza notaţia v pentru deplasarea
după oz.
Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q,
energia potenţială totală are expresia
.dxqv"vEI2
1 U W 2
y (3.11)
Funcţia v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o
valoare extremă. Se ştie din capitolele anterioare că funcţia v este, de
fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Aşa cum s-a precizat, aici se va
utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o
primă aproximaţie, funcţia
v = a (1 – cos πx / 2ℓ). (3.12)
Pentru orice valoare a parametrului a, această funcţie satisface
condiţiile geometrice la limită şi anume:pentru x = 0→v =0 şi v’ = 0.
Înlocuind în (3.11) funcţia (3.12) se obţine
00
22
4
y dx2
xcos1qadx
2
xcosa
2EI
2
1,
în care cele două integrale au valorile
0 0
2 2dx
2
xcos;
2dx
2
xcos .
Prin urmare, expresia energiei potenţiale totale este
21qa
22aEI
2
14
2
y
.
Funcţia Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci
Figura 3.1
83
,02
1q22
aEIa
4
y
din care rezultă
.2
132
.EI
qa
4
y
4
Ecuaţia axei barei deformate este
.2
xcos1
EI
q21
32v
y
4
4
Valoarea săgeţii maxime este:
- calculată prin integrarea ecuaţiei obişnuite a axei barei
vmax = 0.125 qℓ4 /EIy;
- calculată prin metoda Ritz vmax = 0.11937 qℓ4 /EIy.
Comparând cele două valori se constată o eroare de 4.5 % a
metodei Ritz faţă de soluţia „exactă”. Observaţie: De fapt şi soluţia exactă are un anumit grad de aproximare,
deoarece ecuaţia diferenţială v” = - Miy/EIy s-a obţinut în ipoteza că v’2 este
neglijabil comparativ cu 1 (v. cap. 4).
Este util să se compare şi valorile tensiunilor maxime:
- pentru soluţia obişnuită ζmax = 0.5 qℓ2/Wy;
- pentru soluţia Ritz
.W/q29454.0,0xpentru
,2
xcos
2a
W
EI
W
"vEI
W
M
y
2
max
2
y
y
y
y
y
iy
Comparând cele două valori eroarea este de 41%.
Generalizând rezultatele obţinute, se constată că metoda Ritz dă,
în general, o aproximare bună pentru funcţie şi una mai puţin bună
pentru derivatele ei (ζ este proporţional cu v”), deoarece, de regulă,
se caută ca funcţia aleasă să reprezinte cât mai bine curba reală nu şi
derivatele ei. Dacă se fac noi aproximaţii, se pot obţine soluţii mai
precise, atât pentru funcţie cât şi pentru derivatele ei. De exemplu,
pentru exemplul considerat, se poate alege funcţia v sub forma unei
serii, în care expresia (3.12) să fie primul termen.
84
3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor
diferenţiale. Metoda Galerkin
În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia
energiei potenţiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se
rezolve aproximativ ecuaţia diferenţială obţinută prin metodele
obişnuite (frecvent, este vorba de ecuaţii de echilibru).
Se presupune că soluţia problemei inginereşti care trebuie
rezolvată este cea a ecuaţiei diferenţiale
L(x, v, v’, v”, . . . ) = 0, (3.13)
care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să satisfacă toate
condiţiile la limită ale problemei (sau, cel puţin, cele mai importante
dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a1, a2, a3, ..., an .
De regulă, pentru sistemele elastice, condiţiile la limită sunt de
două tipuri:
- geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri şi deplasări
liniare);
- de solicitare, care privesc forţele şi momentele de la capetele
barelor sau de pe conturul plăcilor. Observaţie: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea
tuturor condiţiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condiţiilor
geometrice. De exemplu, funcţia (3.12) de la exemplul anterior, satisface toate
condiţiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare şi anume, pentru x = ℓ,
Miy = 0, adică v” = 0. Cea de a doua condiţie - pentru x = ℓ, TZ = 0, adică v”’ = 0,
nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare
pentru exemplul considerat.
Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune,
însă, îndeplinirea tuturor condiţiilor la limită, atât geometrice cât şi
de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic
posibil.
Alegerea formei soluţiei (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul
soluţiei probabile, pe baza informaţiilor privind problema care se
rezolvă. Funcţia v trebuie să fie cât mai apropiată de soluţia reală, sau
să permită o apropiere cât mai mare de soluţia reală, adică să ducă la
o cât mai bună aproximare a soluţiei reale, necunoscute, pentru
variaţia corespunzătoare a parametrilor a1, a2, a3, ... „Arta” alegerii
unor asemenea funcţii depinde de fantezia şi experienţa celui care
face calculele.
85
Forma cea mai simplă şi cea mai utilizată pentru funcţia v este
cea a unei serii
v = a1 . θ1(x) + a2 . θ2(x) + a3 . θ3(x) + ... (3.14)
în care θ1(x), θ2(x), θ3(x) ..... sunt funcţii oarecare de x, denumite
funcţii de pondere.
După ce a fost aleasă funcţia v se determină valorile parametrilor
a1, a2, a3, ... astfel încât v, (3.14) să aproximeze cât mai bine soluţia
ecuaţiei (3.13).
Dacă se înlocuieşte funcţia (3.14) în ecuaţia (3.13), acesta nu va
fi egală cu zero, deoarece funcţia v nu este soluţia exactă a ecuaţiei,
adică
L(x, a1, a2, a3, ...) = f(x) ≠ 0,
în care f(x) este funcţia eroare, sau funcţia reziduu, care va fi mai
mult sau mai puţin diferită de zero, în măsura în care expresia v a
fost bine (sau mai puţin bine) aleasă. Dacă soluţia v este exactă,
atunci f(x) va fi zero, pentru orice valoare a variabilei x. Deci funcţia
f(x) este, într-o anumită măsură, un indice al abaterii soluţiei
aproximative faţă de cea reală. Problema constă în aceea că trebuie
variaţi parametrii a1, a2, a3, ... astfel ca funcţia eroare să fie cât mai
apropiată de zero. Acest demers poate fi realizat prin mai multe
metode, denumite, în general, metode ale reziduului ponderat, cea
mai utilizată fiind metoda Galerkin. Dintre numeroasele ei variante,
se prezintă doar forma „de bază”.
Metoda Galerkin.
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.13) se alege de forma seriei
(3.14), care trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită ale
problemei.
Etapele rezolvării problemei sunt:
- se înlocuieşte soluţia (3.14) în ecuaţia (3.13), care devine
L(x, a1, a2, a3, ...) = f(x); (3.15)
- se înmulţeşte funcţia eroare (reziduul), f(x), succesiv cu fiecare
din funcţiile de pondere θ1(x), θ2(x), θ3(x)... şi se integrează
produsele respective pe întreg domeniul de variaţie al variabilei x;
- se egalează cu zero integralele obţinute şi rezultă, astfel, un
sistem de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor a1, a2, a3, ...
86
b
a
1 ;0)x(.)x(f
b
a
2 ;0)x(.)x(f
b
a
3 ;0)x(.)x(f ...... (3.16)
- se rezolvă sistemul de ecuaţii (3.16) şi se obţin valorile
constantelor a1, a2, a3, ...;
- se înlocuiesc a1, a2, a3, ... în (3.14), obţinându-se astfel soluţia
aproximativă a ecuaţiei (3.13).
Concluzii şi observaţii.
1. Condiţiile (3.16) reprezintă, din punct de vedere matematic,
cerinţa ca funcţia eroare, f(x), să fie ortogonală în raport cu funcţiile
θ1(x), θ2(x), θ3(x).... Rezolvând problema abordată aproximativ, nu
este posibil ca funcţia eroare să fie ortogonală în raport cu toate
funcţiile θi(x), ci numai cu unele dintre ele. În acest mod se apropie
de zero funcţia eroare nu numai pentru funcţii ortogonale, ci şi pentru
orice funcţii θi(x).
2. Se demonstrează că metoda Galerkin este legată de metodele
energetice, fiind o variantă a acestora.
3. Spre deosebire de metoda Ritz, la metoda Galerkin nu este
necesar să se scrie expresia energiei potenţiale totale, dar funcţia de
aproximare trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită, adică nu
numai cele geometrice (ca la Ritz) ci şi cele de solicitare. În acest
sens se spune că metoda Galerkin este mai sensibilă la gradul de
aproximare al derivatelor funcţiei.
4. Ca şi metoda Ritz, metoda Galerkin dă rezultate mai puţin
precise pentru tensiuni decât pentru deplasări, aceasta fiind
consecinţa faptului că funcţia se alege astfel încât ea să aproximeze
bine problema dată, dar derivatele ei (de care depind tensiunile), de
regulă, nu.
5. În general, metodele aproximative de rezolvare a problemelor
structurilor deformabile duc la soluţii care determină mai precis
deplasările decât tensiunile. Această situaţie se datorează faptului că
deplasările unei structuri sunt, în principiu, rezultatul comportării
globale a structurii, pe când tensiunile sunt determinate de
configuraţiile locale, geometrice şi de solicitare. Deci, în principiu,
pentru determinarea exactă a tensiunilor trebuie elaborate modele şi
metode de calcul locale.
87
Exemplu.
Este profitabil, pentru a compara metodele Ritz şi Galerkin şi a
evidenţia asemănările, deosebirile, avantajele şi dezavantajele lor, să
se abordeze acelaşi exemplu, adică bara din figura 3.1 şi prin metoda
Galerkin.
Pentru început se va considera aceeaşi funcţie v ca şi la metoda
Ritz, adică (3.12). Pentru scrierea condiţiilor (3.16) trebuie avută în
vedere ecuaţia diferenţială a axei deformate a barei, care este
EIy v” – q (ℓ -x)2 / 2 = 0. (3.17)
Condiţiile (3.16) devin
,0dx2
xcos1)x(q
2
1
2
xcos
2aEI
0
2
2
y
din care rezultă vmax = 0.05752 qℓ4 /EIy , adică mai puţin de jumătate
din valoarea exactă, care este vmax = 0.125 qℓ4 /EIy.
Explicaţia pentru abaterea foarte mare a soluţiei obţinute, faţă de
soluţia exactă, este că funcţia (3.12), aleasă pentru v, reprezintă bine
ecuaţia axei deformate a barei dar mai puţin bine derivatele sale
(prima şi mai ales a doua, care reprezintă momentul încovoietor). La
rezolvarea problemei prin metoda Ritz acest fapt duce la abateri
numai ale tensiunilor (care depind de derivatele funcţiei), pe când
metoda Galerkin duce la abateri atât ale deplasărilor (funcţia) cât şi
ale tensiunilor (derivatele). De asemenea funcţia v aleasă nu satisface
condiţia de solicitare la limită v”’(x=ℓ)= 0, deci condiţia ca forţa
tăietoare Tz să fie nulă în capătul liber al barei.
În concluzie, funcţia v trebuie aleasă altfel. Este mai avantajos,
pentru metoda Galerkin, să se aleagă expresia derivatei de ordinul cel
mai mare care intră în ecuaţia diferenţială şi apoi să se determine
funcţia. De exemplu, dacă se alege
v” = a (1 – sin πx / 2ℓ), (3.18)
prin integrare se obţine funcţia
.BAx2
xsin
2
2
xav
22
Din condiţiile la limită: pentru x = 0 → v’ = 0 şi v =0,
rezultă B = 0 şi A = -2ℓ/π şi
88
.x2
2
xsin
2
2
xav
22
(3.19)
Se înlocuieşte expresia (3.19) în ecuaţia (3.17) şi se scriu
condiţiile (3.16). După efectuarea calculelor se obţine:
1624
6
1/
6
1648
60
1.
EI2
qa
2353
y
2;
vmax = 0.11598 qℓ4 /EIy ; ζmax = 0.4317 qℓ
2/Wy.
Rezultatele obţinute sunt de precizie satisfăcătoare. Precizii şi
mai mari se pot obţine dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de
exemplu, ..,5,3,1
n ,nx /sin - (1 a"v pentru care volumul
calculelor creşte foarte mult.
3.5. Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme
dinamice. Metoda Rayleigh
Se consideră bara dreaptă din figura 3.2, de rigiditate la
încovoiere EIy, constantă şi masa m pe unitatea de lungime.
În ecuaţia diferenţială a axei
barei deformate, EIy∂4v/∂x
4 = p(x), se
consideră că p(x) este chiar forţa de
inerţie a barei, conform principiului
lui d’Alambert şi astfel se obţine
ecuaţia diferenţială a vibraţiilor libere
ale barei sub forma
EIy∂4v/∂x
4 + m ∂
2v/∂t
2 = 0, (3.20)
căreia i se pot asocia, de exemplu, condiţiile la limită:
pentru x = 0 şi x = ℓ → v = 0; pentru x = ℓ/2 → ∂v/∂x = 0. (3.21)
Metoda Rayleigh şi Rayleigh-Ritz.
Pentru a obţine pulsaţia corespunzătoare modului fundamental de
vibraţie al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu
cea a energiei potenţiale de deformaţie maximă. Pentru bara
considerată, energia de deformaţie, W, este
Figura 3.2
89
,dxx/vEI2
1W
2
0
22
y
iar energia cinetică
.dxt/v)x(m2
1E
2
0
C
Presupunând că vibraţia este armonică, adică v(x, t) = V(x) cos
ωt, din condiţia (Rayleigh) (W)max = (EC)max, rezultă expresia
pulsaţiei sub forma
0
2
2
0
22
y
2 .dxV)x(m/dxx/VEI (3.22)
Pentru a afla din (3.22) valoarea ω2 a pulsaţiei trebuie să se
considere o anumită formă pentru funcţia V(x), care să satisfacă
condiţiile la limită (3.21) şi nu obligatoriu şi ecuaţia de mişcare
(3.20). O astfel de formă este V(x) = 1 – cos (2πx/ℓ), care, înlocuită
în (3.22), permite obţinerea valorii aproximative a pulsaţiei
fundamentale şi anume ω1 = 22.792 k , ( 2
y /mEIk ), care
diferă cu 1.87% de valoarea exactă (22.3729 k).
O variantă a acestei metode este ce cunoscută sub numele
Rayleigh-Ritz, care permite determinarea, aproximativă, a mai multor
pulsaţii proprii ale vibraţiilor unui sistem elastic (bară). În acest scop
se consideră o formă mai generală pentru funcţia V(x), ca, de
exemplu
V(x) = C1 f1(x) + C2 f2(x) + .... + Cn fn(x), (3.23)
în care C1, C2,...., Cn sunt constante şi f1, f2,...., fn funcţii care satisfac
condiţiile la limită ale problemei date. Dacă se înlocuieşte funcţia
(3.23) în ecuaţia pulsaţiei (3.22), se obţine ω2 ca funcţie de
constantele C1, C2,...., Cn. Condiţia ca valorile aproximative ale
pulsaţiilor să aibă abateri cât mai mici faţă de cele exacte duce la
sistemul de ecuaţii
,0C.....CC n
2
2
2
1
2 (3.24)
a cărui rezolvare permite determinarea primelor n pulsaţii ale
vibraţiilor libere.
Pentru bara considerată ca exemplu (fig. 3.2) se poate scrie
relaţia (3.23) sub forma
90
V(x) = C1[1 – cos (2πx/ℓ)] + C2[1 – cos (4πx/ℓ)], (3.25)
care se înlocuieşte în (3.22). Scriind condiţiile (3.24) se obţine
următoarea problemă de valori proprii:
,C
C
32
23m
C
C
160
01EI16
2
12
2
1
3
y
4
ale cărei soluţii sunt
,k35.221 cu
575.0
1
C
C
2
1 şi ,k1241 cu .
4488.1
1
C
C
2
1
3.6. Metode energetice pentru calculul deplasărilor barelor şi
structurilor din bare. Metoda Mohr-Maxwell
Energia potenţială de deformaţie a unui sistem de bare poate fi
calculată fie ca lucru mecanic al sarcinilor, fie ca lucru mecanic al
eforturilor. Această constatare a permis elaborarea unor metode
energetice foarte eficiente pentru calculul deplasărilor barelor şi
structurilor din bare.
Se consideră că este respectată ipoteza linearităţii fizice, cea a
linearităţii geometrice, că principiul suprapunerii efectelor este
aplicabil – atât pentru eforturi cât şi pentru deplasări – şi că procesul
de deformare al sistemului este reversibil, sau – altfel spus – starea
finală a sistemului nu depinde de succesiunea aplicării sarcinilor. De
asemenea, se presupune că solicitarea este statică (nu există procese
dinamice, vibraţii, fenomene de propagare etc).
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti).
Se consideră un sistem elastic încărcat cu o forţă P1 în punctul A
şi cu o forţă P2 în punctul B, ca în figura 3.3.a.
91
Când se aplică forţa P1 în punctul A, acesta produce deformarea
sistemului şi deplasarea punctului A într-o poziţie oarecare, în
cazul general. Ceea ce interesează este componenta, δA1, a
acestei deplasări pe direcţia forţei (fig. 3.3.b), deoarece lucru l
mecanic produs de aceasta este U1=P1 δA1 /2 (factorul ½ se datorează
faptului că solicitarea este statică, adică forţa P1 se aplică lent,
crescător de la zero la P1). În continuare, în prezenţa forţei P1, se
aplică forţa P2 în punctul B, care produce deplasarea δB2 (fig. 3.3.c) şi
lucrul mecanic U2=P2 δB2 /2, precum şi deplasarea punctului de
aplicaţie al forţei P1 cu δA2, efectuând lucrul mecanic U12=P1 δA2, la
calculul căruia nu se introduce factorul ½ deoarece forţa P1 parcurge
cu întreaga sa valoare deplasarea δA2.
Lucrul mecanic total al sarcinilor este
U’tot = U1 + U2 + U12=P1 δA1 /2 + P2 δB2 /2 + P1 δA2. (3.26)
Reluând procesul, cu aplicarea mai întâi a forţei P2 şi apoi a lui
P1, se obţine (fig. 3.3.d şi e)
U”tot = U2 + U1 + U21=P2 δB2 /2 + P1 δA1 /2 + P2 δB1. (3.27)
Ca urmare a ipotezelor considerate, trebuie ca
U’tot=U”tot → din care rezultă→U12=U21→ sau →P1δA2=P2δB1. (3.28)
Uzual, formularea acestei teoreme se face într-o formă generală,
considerând că:
- forţele P1 şi sunt P2 sunt două sisteme de sarcini, denumite,
sistem primar, respectiv secundar;
- forţele pot fi forţe generalizate (forţe şi momente);
- deplasările pot fi deplasări generalizate (deplasări lineare şi
rotiri).
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic se formulează astfel:
dacă asupra unui sistem elastic se aplică succesiv două sisteme de
sarcini, lucrul mecanic efectuat de sarcinile primului sistem pe
deplasările produse de cel de al doilea sistem, este egal cu lucrul
mecanic efectuat de sarcinile celui de al doilea sistem pe deplasările
produse de primul sistem.
Observaţie: Teorema reciprocităţii lucrului mecanic poate fi
formulată considerând, nu lucrul mecanic al sarcinilor ci energia de
deformaţie, cele două entităţi fiind egale.
92
Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell).
Dacă în ultima din relaţiile (3.28) se consideră P1 = P2 = P,
rezultă
δA2 = δB1, (3.29)
care este expresia algebrică a teoremei
reciprocităţii deplasărilor, a cărei
formulare este (fig. 3.4): deplasarea
punctului A produsă de o forţă
aplicată în punctul B este egală cu
deplasarea punctului B produsă de
aceeaşi forţă aplicată în punctul A.
Se pot inversa rolurile deplasărilor şi forţelor în teorema
reciprocităţii deplasărilor şi se obţine teorema reciprocităţii forţelor.
Teorema reciprocităţii forţelor.
Se reia procedura anterioară: dacă în ultima din relaţiile (3.28) se
consideră δA2=δB1= δ = 1, rezultă
P1 = P2, (3.30)
care este expresia algebrică a teoremei
reciprocităţii forţelor, a cărei formulare
este (fig. 3.5): forţa aplicată în punctul
A, care produce o deplasare δ = 1 în
punctul B este egală cu forţa aplicată
în punctul B pentru a produce aceeaşi
deplasare δ = 1 în punctul A.
Observaţie: Valoarea deplasării δ poate fi oarecare, dar, pentru
simplificarea calculelor, se consideră, de obicei, egală cu unitatea.
Teoremele reciprocităţii lucrului mecanic, deplasărilor şi forţelor,
ca urmare a generalităţii lor, sunt foarte utile în rezistenţa
materialelor, deoarece duc la simplificări considerabile pentru
numeroase categorii de probleme.
Metoda Mohr-Maxwell.
Această metodă de calcul a fost concepută de Mohr şi ea poate fi
înţeleasă ca un caz particular al teoremei reciprocităţii lucrului
mecanic. Se consideră primul sistem de sarcini cel al încărcării
care acţionează asupra corpului, de exemplu, forţele F1, F2, ... Fn din
Figura 3.4
Figura 3.5
93
figura 3.6.a. Al doilea sistem
de sarcini se consideră
numai o forţă egală cu
unitatea, aplicată în punctul
şi pe direcţia deplasării care
trebuie calculată (punctul A
şi deplasarea δ, din fig. 3.6.b) sub acţiunea sistemului de sarcini dat.
Din relaţiile (3.28) rezultă
1. δ = U21 → δ = U21 (3.31)
în care U21 este lucrul mecanic (sau energia de deformaţie) al
sistemului de sarcini al corpului pe deplasările produse de sarcina
unitate.
Se consideră o bară dreaptă, de
secţiune constantă, cu rigiditatea axială EA
şi lungimea ℓ, solicitată cu forţele axiale F1,
F2, F3, ca în figura 3.7. Să se afle
deplasarea, δ, a capătului liber al barei (se
neglijează efectul greutăţii barei).
Se calculează energia de deformaţie,
produsă de eforturile axiale. Pentru un
element de lungime dx al barei, în cazul
general, efortul este N, pentru prima stare
de încărcare şi n, pentru cea de a doua stare
(în acest caz particular n = 1).
Lungirea elementului dx pentru a doua stare de încărcare este
EA
dxn)dx( , iar lucrul mecanic dx
EA
Nn)dx(.NdU21 .
Pentru întreaga bară dxEA
NndUU 1212 , sau având în vedere
(3.31),
dxEA
Nn. (3.32)
În cazul general, pe lungimea ℓ a barei eforturile N şi n pot avea
valori sau expresii diferite, ceea ce înseamnă că forma generală a
relaţiei (3.32) este
Figura 3.6
Figura 3.7
94
dxEA
Nn. (3.33)
Pentru celelalte solicitări, se pot stabili relaţii similare cu (3.33),
forma completă a formulei lui Mohr-Maxwell, pentru calculul
deplasărilor barelor (drepte şi curbe) şi structurilor din bare, fiind
dsEI
mMds
GI
mMds
GA
tTkds
EA
Nn
z,y
z,yiz,yi
t
ttz,yz,y
z,y . (3.34)
Pentru utilizarea corectă a relaţiei (3.34) sunt necesare
următoarele precizări:
- δ este deplasarea generalizată (deplasare liniară sau rotire);
- sarcina unitate se aplică în punctul şi pe direcţia deplasării care
se calculează şi este o sarcină generalizată: forţă sau moment egal cu
1;
- N, Ty,z, Mt, Miy,z sunt eforturile, într-o secţiune curentă, produse
de sarcinile care încarcă structura;
- n, ty,z, mt, miy,z sunt eforturile, în aceeaşi secţiune curentă,
produse de sarcina unitate;
- ky,z este un factor care ţine seama că tensiunile tangenţiale
datorate forfecării nu se distribuie uniform pe secţiunile barelor
(pentru dreptunghi k = 6/5; pentru cerc k = 10/9);
- sumele se efectuează pentru diverse intervale în lungul unei
bare (dacă este cazul) şi pentru toate barele structurii;
-termenii corespunzători solicitărilor de forfecare şi încovoiere se
scriu separat pentru direcţiile y şi z din planul secţiunii curente a
fiecărei bare (y şi z trebuie să fie direcţiile principale de inerţie a
secţiunii);
-în cazul cel mai general, variabila în raport cu care se calculează
integralele din relaţia (3.34) este s, definită pe o curbă; pentru o
dreaptă s → x.
Calculele cu ajutorul relaţiei (3.34) se pot efectua manual pentru
cazuri simple şi cu un program adecvat pe calculator pentru structuri
complexe. În această situaţie, deşi metoda este analitică, rezolvarea
problemei este numerică. Această „simbioză” între esenţa analitică a
unei metode şi utilizarea ei pentru rezolvări numerice pe calculator
este frecvent întâlnită pentru calculele inginereşti, fiind deosebit de
eficientă.
95
În practica inginerească forma generală a relaţiei (3.34) are
numeroase forme, mai simple, pentru cazuri particulare, ca de
exemplu:
- efectele solicitărilor de forfecare şi/sau axiale pot fi neglijabile
comparativ cu cele de încovoiere, când încovoierea este solicitarea
principală (sau alte variante similare);
- pentru structuri din bare drepte articulate, încărcate numai în
noduri, solicitarea este numai axială în toate barele şi relaţia (3.34)
devine
EA
Nn. (3.35)
3.7. Structuri continue şi structuri discrete. Conceptul de
discretizare
Unele tipuri de structuri sunt alcătuite dintr-un element
constituent (modul) care se repetă de un număr mare de ori, ca, de
exemplu, structurile din bare. Astfel de structuri se numesc discrete.
Dar marea majoritate a structurilor mecanice sunt continue, ca, de
exemplu, recipientele, batiurile, carcasele, rotoarele, barajele,
fundaţiile etc. Structurile continue sunt compuse din plăci plane şi
curbe, subţiri sau groase, blocuri masive (blocurile fundaţiilor) etc,
combinate în diverse moduri spaţiale şi complexe.
Inginerii au constatat că pentru structurile discrete se pot elabora
metode şi modele de calcul relativ simple (inclusiv metode grafice) şi
eficiente. Pentru structurile continue situaţia era total diferită,
deoarece nu se puteau calcula decât structuri continue relativ simple,
pentru unele cazuri particulare, cu un volum de muncă considerabil.
Aşa a apărut ideea ca o structură continuă să se „înlocuiască”, în
vederea calculului, cu o structură discretă, un model idealizat, care să
aproximeze cât mai bine structura „originară”. Esenţa ideii este că,
din punct de vedere ingineresc, nu este necesară cunoaşterea, de
exemplu, a deplasărilor şi tensiunilor, în infinitatea de puncte a
structurii ci sunt suficiente informaţiile dintr-un număr „finit” de
puncte, acest număr putând fi mai mic sau mai mare (la nevoie, chiar
foarte mare), funcţie de scopul calculului, tipul structurii,
configuraţia ei geometrică, tipul solicitării etc.
96
Procesul prin care se obţine structura discretă, pornind de la
structura continuă, care să o aproximeze pe aceasta, se numeşte
discretizare.
Discretizarea.
Discretizarea unei structuri este un proces complex, de elaborare
a unui model discret de calcul, care trebuie să aproximeze cât mai
bine structura continuă reală, din diverse puncte de vedere, ca, de
exemplu, al geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al
maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi
mecanice ale materialelor etc.
În esenţă,
discretizarea
structurii date se
realizează cu o
reţea de linii
drepte sau curbe
sau (dacă este
cazul) cu o reţea
spaţială de suprafeţe plane şi / sau curbe. Un exemplu se prezintă în
figura 3.8. Punctele de intersecţie ale liniilor sau suprafeţelor reţelei
de discretizare se numesc nodurile reţelei şi în acestea se definesc
mărimile necunoscute, deplasări sau eforturi, care urmează să se
determine prin metoda numerică de calcul respectivă. Prin această
procedură studiul mulţimii infinite de puncte a structurii continue
date se aproximează prin studiul mulţimii finite de puncte (noduri)
ale reţelei de discretizare a modelului de calcul.
În principiu, cu cât reţeaua de discretizare are un număr mai
mare de noduri, adică este mai „fină”, cu atât este mai bună
aproximarea structurii date şi rezultatele obţinute prin calcul vor fi
mai precise.
Metodele de calcul care folosesc discretizarea şi anume metoda
diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi metoda elementelor
de frontieră, nu conţin în ele însele principii, restricţii sau „indicaţii”
cum să se facă discretizarea. Alegerea reţelei de noduri a modelului
de calcul discretizat (sau discret) trebuie să sintetizeze, într-o formă
convenabilă, toate informaţiile disponibile despre structura ce se
Figura 3.8
97
calculează, să aibă în vedere funcţiile pe care trebuie să le
îndeplinească aceasta, particularităţile ei şi să corespundă cât mai
bine scopului calculului.
Rezultă că discretizarea are un anumit grad de arbitrar, care
implică riscul comiterii unor erori, acesta fiind „tributul” plătit
acestor metode pentru avantajele lor. Astfel apare ca evidentă
importanţa elaborării judicioase a unui model de calcul corect, precis,
sigur şi eficient.
Nodul.
Punctele definite prin reţeaua de discretizare se numesc noduri. În
noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori
sunt rezultatele calculelor. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi
deplasările, caz în care metoda de calcul se numeşte model
deplasare, sau eforturile, când se numeşte model echilibru. Relativ
rar se foloseşte şi modelul mixt. Pentru modelul deplasare se admite
că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare,
este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu reţeaua
nodurilor înainte de deformare, fiecare nod putând avea maximum
şase componente ale deplasării, denumite deplasări nodale, în raport
cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu): trei
componente u, v, w ale deplasării liniare şi trei rotiri x, y, z.
Componentelor nenule ale deplasărilor pe care le poate avea un nod
al modelului structurii în procesul de deformaţie li se asociază un
versor denumit grad de libertate geometrică – DOF (Degrees Of
Freedom) al nodului, care are valoarea DOF=0, dacă pe direcţia
respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută şi valoarea
DOF=1, dacă deplasarea este necunoscută. Se pot defini gradele de
libertate geometrică ale structurii în totalitate. Rezultă că numărul
total al necunoscutelor care trebuie determinate prin calcul este egal
cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt ataşate
necunoscute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului
structurii.
Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie “eliminate”
deoarece unele noduri sunt “legate”, reprezentând reazeme şi deci
deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impuse şi nu mai
trebuie calculate.
98
3.8. Metoda diferenţelor finite
Metoda diferenţelor finite este o metodă generală de integrare a
ecuaţiilor diferenţiale şi constă, în esenţă, în înlocuirea diferenţialelor
(care sunt infinit mici) cu diferenţe mici (sau foarte mici), finite.
Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască
ecuaţia diferenţială corespunzătoare problemei care se rezolvă.
Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale
calculului propriu-zis:
- aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea)
ecuaţiei (sau ecuaţiilor) diferenţiale respective într-un sistem de
ecuaţii cu diferenţe finite;
- aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un
model discret, aproximativ, convenabil pentru calcul. De exemplu,
suprafaţa mediană a unei plăci curbe subţiri se aproximează cu o
reţea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de
discretizare.
Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare, în care
necunoscutele sunt, de exemplu, deplasările în nodurile reţelei cu
diferenţe finite.
Avantajele metodei diferenţelor finite sunt:
- suportul matematic este bine definit şi anume ecuaţia
diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale;
- metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluţiei
numerice obţinute.
Dezavantajele metodei diferenţelor finite sunt:
- generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută
ecuaţia diferenţială a problemei. Ori pentru numeroase probleme
inginereşti nu a fost posibilă determinarea ecuaţiilor care guvernează,
de exemplu, comportarea structurilor spaţiale complexe la diferite
solicitări;
- supleţea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit
diferenţe finite de valori diferite;
- elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această
metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în
vedere tipul ecuaţiei diferenţiale. S-au elaborat programe care
99
folosesc module specializate de uz general, ca, de exemplu, pentru
rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare;
- în practica inginerească nu se află în uz programe performante
care să se fi impus, bazate pe metoda diferenţelor finite. 3.9. Metoda elementelor de frontieră
Spre deosebire de majoritatea metodelor numerice de calcul al
structurilor, care se bazează pe teoreme de staţionaritate a energiei
potenţiale totale, metoda elementelor de frontieră este fundamentată
pe teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti). Această teoremă
este valabilă numai pentru structuri linear elastice (aşa cum s-a
menţionat la § 3.6) şi constă în egalitatea lucrului mecanic produs de
un sistem de sarcini pe deplasările altui sistem, cu lucrul mecanic
produs de cel de al doilea sistem de sarcini pe deplasările produse de
primul sistem. Se presupune că în cele două stări de încărcare
legăturile structurii au fost eliminate (s-au înlocuit cu sarcini sau
deplasări cunoscute), că deplasările sunt mici şi că cele două sisteme
de încărcare au fiecare torsor nul (condiţia de echilibru a structurii).
Deoarece legăturile structurii au fost eliminate, rezultă că pentru cele
două stări de încărcare structura poate avea legături diferite.
Ideea fundamentală a metodei elementelor de frontieră este că se
cunoaşte soluţia fundamentală a problemei care se rezolvă, adică
sunt cunoscute deplasările produse de o forţă concentrată unitate
aplicată în origine, pentru un spaţiu elastic de acelaşi tip cu
problema, care poate fi bară, placă plană sau curbă, volum etc (se
poate vorbi - prin extensie - şi de problema fundamentală,
„asociată” problemei date). Cu relaţiile dintre deformaţii şi deplasări
şi apoi cu cele ale lui Hooke, dintre deformaţii şi tensiuni, se
determină tensiunile corespunzătoare deplasărilor respective.
Elaborarea modelului de calcul pentru rezolvarea unei probleme
cu metoda elementelor de frontieră cere ca din spaţiul elastic al
problemei fundamentale (solicitat cu o forţă concentrată unitate în
origine) să se „decupeze” domeniul D, al corpului care se studiază.
Pe frontiera domeniului D acţionează tensiuni, care pot fi privite ca
încărcare exterioară a corpului.
Se presupune că domeniul D este închis, frontiera sa fiind Γ,
pentru care se cunosc:
100
- pe o porţiune Γ1 a frontierei se cunosc deplasările ui;
- pe o porţiune Γ2 a frontierei se cunoaşte încărcarea exterioară ti.
Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel:
- prima încărcare este încărcarea reală ti (necunoscută pe Γ1),
care produce deplasările ui (necunoscute pe Γ2);
- a doua încărcare este o forţă concentrată unitate aplicată într-un
punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluţia fundamentală,
în toate punctele, deplasările şi tensiunile.
Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se
discretizează, adică se împarte în porţiuni, definite prin noduri. Între
două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră, în
lungul cărora se consideră că deplasările şi încărcarea exterioară au
variaţii cunoscute. În acest scop se folosesc funcţii de interpolare.
Astfel se obţin elemente de frontieră de diverse tipuri, pentru
aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în
spaţiu (elemente de suprafaţă sau de volum).
Frecvent se folosesc aceleaşi funcţii de interpolare [Ni(k)
] atât
pentru deplasările ui cât şi pentru încărcarea ti, astfel încât, pentru
elementul de frontieră k, se scriu
ui = [Ni(k)
]{u(k)
}, ti = [Ni(k)
]{t(k)
},
în care {u(k)
} şi {t(k)
} sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale
deplasărilor, respectiv ale încărcărilor.
Metoda elementelor de frontieră duce la obţinerea unui sistem de
ecuaţii algebrice lineare de forma
[A] {u}=[B] {t}, (3.36)
în care: {u} şi {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor
nodale (de pe frontieră); [A] – matricea de influenţă a deplasărilor;
[B] – matricea de influenţă a încărcărilor.
Sistemul de ecuaţii (3.36) are o configuraţie oarecare, adică este
nesimetric şi „plin”, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile
reţelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri
deplasările ui, iar în altele încărcarea ti.
Dacă ecuaţiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate
scrie sub forma
n
c
nc
c
n
cn
t
tBB
u
uAA ,
101
în care indicele n înseamnă necunoscut, iar c – cunoscut. Rezultă
sistemul
c
c
cc
n
n
nn
u
tAB
t
uBA ,
prin rezolvarea căruia se determină deplasările şi tensiunile în toate
nodurile frontierei.
Pentru calculul deplasărilor în puncte din interiorul domeniului D
al corpului, se aplică teorema reciprocităţii lucrului mecanic între
perechi de puncte, unul de pe frontieră şi unul din interiorul corpului.
Determinarea tensiunilor în anumite puncte din interiorul domeniului
D se face cu relaţiile cunoscute ale teoriei elasticităţii.
Avantajele metodei elementelor de frontieră sunt:
- comparativ cu alte metode numerice aproximative de calcul, are
o precizie mai bună, consecinţă a faptului că metoda foloseşte soluţia
fundamentală a problemei date, care este, în principiu exactă;
- relativa simplitate a modelului de calcul şi volumul redus de
informaţii necesare pentru elaborarea acestuia, deoarece trebuie
discretizată doar frontiera structurii (pentru structuri spaţiale, cu o
geometrie complexă, acest avantaj se diminuează considerabil);
- comparativ cu alte metode numerice aproximative, volumul
calculelor este mai mic, deoarece numărul necunoscutelor (de pe
frontieră) este, de regulă, mic;
- principiul metodei este raţional, deoarece după determinarea
necunoscutelor de pe frontieră, se calculează deplasările şi / sau
tensiunile din interiorul domeniului numai în punctele dorite, adică
se oferă numai informaţiile strict necesare.
Dezavantajele metodei elementelor de frontieră sunt:
- generalitatea este limitată de faptul că trebuie cunoscută soluţia
fundamentală a problemei. Pentru structuri spaţiale complexe (de
exemplu, structuri din plăci) problema fundamentală nu este
rezolvată, sau este foarte dificil de rezolvat. De asemenea, sunt
restricţii privind aplicabilitatea teoremei reciprocităţii lucrului
mecanic: structura trebuie să aibă o comportare linear elastică;
- în practica inginerească nu se află în uz curent programe
performante care să se fi impus, bazate pe metoda elementelor de
frontieră.
102
3.10. Metoda elementelor finite - MEF
În prezent, MEF este metoda numerică aproximativă de succes,
cea mai utilizată pentru calculul structurilor oricât de complexe,
solicitate static, dinamic, termic, la stabilitate, la durabilitate, în
regim linear elastic, sau în diverse condiţii nelineare. Generalitatea şi
supleţea metodei, simplitatea conceptelor de bază, stabilitatea în timp
a algoritmilor de calcul, utilizarea calculatoarelor şi existenţa a
numeroase programe performante explică extinderea şi interesul
generalizat pentru MEF.
Formularea MEF se poate face în numeroase modalităţi, mai
abstracte sau mai concrete, preponderent matematice sau
preponderent practic - inginereşti. Inginerii sunt utilizatori ai MEF (şi
ai programelor elaborate pe baza ei), aspectele teoretice şi
matematice fiind necesare pentru ei doar pentru înţelegerea
principiilor şi subtilităţilor metodei în vederea unei folosiri corecte şi
eficiente a procedurilor şi programelor respective. În programele
MEF actuale este implementat mai ales modelul deplasare, pentru
care necunoscutele sunt deplasările nodale.
O cale simplă şi intuitivă pentru a-i defini conceptele şi a
formula MEF este aceea de o privi ca o generalizare a metodei
deplasărilor pentru structuri din bare drepte, expusă în cap. 8.
Generalizarea constă în aceea că elementul de bară dreaptă din
metoda deplasărilor devine elementul finit din MEF, acest fapt
implicând şi procesul de discretizare.
Elementul finit.
Ca o structură să fie calculată cu MEF trebuie să fie discretizată
(§ 3.7). Pe reţeaua de discretizare se definesc elementele finite ale
modelului MEF. Un element finit este o componentă de mici
dimensiuni a structurii care se calculează, obţinut printr-un proces de
„decupare” realizat prin discretizare aşa cum, de exemplu, zidul
unei clădiri poate fi privit ca fiind format din cărămizile utilizate
la construcţia sa. De exemplu, un recipient executat din table
asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un
număr de elemente de placă patrulatere şi triunghiulare - denumite
elemente finite, ca în figura 3.9. Elementele finite se leagă între ele
prin nodurile reţelei de discretizare.
103
Procesul de elaborare a unui
model MEF are două etape distincte:
- prin discretizare structura se
„descompune” într-un număr
oarecare de elemente finite;
- elementele finite se
„asamblează”, fiind „legate” în
nodurile reţelei de discretizare, pentru
a recompune structura dată, acesta
fiind modelul ei de calcul cu elemente finite.
Elementele finite trebuie concepute astfel încât modelul (sau
structura idealizată, discretă) să aproximeze cât mai exact structura
reală (continuă), cel puţin, din următoarele puncte de vedere: al
geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al maselor, al
constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi mecanice ale
materialelor şi al tuturor funcţiilor şi cerinţelor pe care structura
trebuie să le îndeplinească.
Este evidentă legătura dintre procesul de discretizare şi definirea
elementelor finite, în general, cele două procese fiind intim asociate.
Deci nu se poate preciza ce se face mai întâi: stabilirea parametrilor
procesului de discretizare sau definirea tipurilor de elemente finite.
Adesea este necesar ca procesul să se realizeze prin încercări
succesive, pentru a găsi varianta cea mai bună a modelului MEF.
Pentru a putea modela cât mai bine funcţiile pe care structura
dată trebuie să le realizeze, utilizatorul dispune de mai multe tipuri
fundamentale de elemente finite şi anume: definite într-un punct, pe
o linie, pe o suprafaţă sau pe un volum, fiecare dintre acestea având
numeroase variante.
Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare,
interacţionând cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul
structurii reale se înlocuieşte cu studiul ansamblului de elemente
finite obţinut prin discretizare, care devine astfel o idealizare a
structurii originare şi este un model de calcul al structurii date.
Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise trebuie ca
procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai “performant”,
ceea ce implică respectarea unor reguli şi exigenţe privind
discretizarea, elaborarea modelului de calcul şi - printre altele -
Figura 3.9
104
utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile
elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie
finite, adică nu poate fi făcută o trecere la limită prin care
dimensiunile acestora să tindă spre zero.
Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care
să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într-un
program MEF şi utilizat pentru un model de calcul, elementul finit
trebuie în prealabil “proiectat” în toate detaliile, adică trebuie definit
din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc şi stabilite, pentru
aceste condiţii, relaţiile “proprii” de calcul.
Privit din punct de vedere informaţional, un element finit este un
“dispozitiv” - sau un model - care trebuie să poată prelucra cât mai
precis un volum cât mai mare de informaţii, pentru un set de condiţii
impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă
geometrică, de exemplu triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare
de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de
libertate geometrică, iar funcţiile de interpolare să fie cât mai
complexe, adică să aibă un număr cât mai mare de parametri.
Desigur că menţiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu cât
creşte “complexitatea” elementului finit cresc şi dificultăţile de
calcul, astfel încât pentru fiecare situaţie concretă în parte, când se
“concepe” un element finit de un anumit tip se caută o soluţie de
compromis. O consecinţă nefastă a acestei situaţii este că programele
MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemente
finite, pentru a satisface un număr cât mai mare de cerinţe, cât mai
diverse, ceea ce produce dificultăţi utilizatorului.
Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip
oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul
elementului variază după o lege “cunoscută”, aleasă apriori,
determinată de o funcţie de interpolare. Consecinţa acestui demers
este că, local, acolo unde se va afla plasat elementul finit, în urma
procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de deplasări a
structurii prin legea de interpolare implementată în elementul
respectiv. În concluzie, comparativ cu alte metode aproximative de
calcul (ca, de exemplu, Ritz sau Galerkin), care utilizau ipoteze
globale privind comportarea structurii în ansamblu (se alegea un
105
anumit tip de funcţie), MEF face ipoteze locale, ceea ce îi asigură o
generalitate şi supleţe remarcabile.
Figura 3.10
Funcţiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame,
deoarece sunt continue şi mai simple, comparativ cu alte funcţii.
Alegerea gradului polinomului şi determinarea valorilor
coeficienţilor acestora trebuie să asigure o cât mai bună aproximare a
soluţiei exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3.10 se
prezintă schematic modul în care polinoamele de gradul zero, unu şi
doi – respectiv cu unu, doi şi trei termeni - pot aproxima o stare de
deplasări oarecare.
Elementele care au aceleaşi tipuri de funcţii (de obicei
polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de
exemplu, pentru laturile sale), cât şi pentru definirea deplasărilor în
interiorul său (funcţia de interpolare), se numesc elemente
izoparametrice şi sunt cele mai eficiente şi folosite elemente finite în
practica MEF.
Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care
cele mai importante sunt:
Tipul de analiză. Pe o reţea de discretizare se pot defini
elemente finite care au “incluse” diverse proceduri matematice
destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică,
neliniară, transfer de căldură, mecanica fluidelor, electromagnetism,
electromagnetism de înaltă frecvenţă etc.
Rolul funcţional. Elementele finite utilizate pentru modelarea
unei structuri trebuie să poată asigura cât mai bine “rolul funcţional”
al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu zăbrele trebuie
modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subţire trebuie
modelat prin elemente de tip placă, o fundaţie prin elemente de tip
cărămidă etc. Din aceste considerente elementele sunt de tip punct
106
(element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte
sau curbe, în plan sau în spaţiu) de tip suprafaţă (elemente de plăci
plane sau curbe, groase sau subţiri, în plan sau în spaţiu, elemente
axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum (elemente
spaţiale, - 3D - pentru structuri “solide”, compozite, cu număr
variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice, magnetice etc).
Fiecare din categoriile de elemente enumerate au mai multe variante,
numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea,
categoriile prezentate includ şi elemente cu rol funcţional special, ca
de exemplu: rigid, de contact, de frecare, de legătură, definit prin
matricea de rigiditate etc.
Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme
simple ca, de exemplu, linie dreaptă sau arc de cerc, triunghi,
patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele
caracteristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secţiunile
barelor sau grosimile plăcilor.
Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă
geometrică dată, de exemplu un triunghi, poate avea mai multe
variante în ceea ce priveşte numărul de noduri, deoarece în afara
nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri şi pe laturi şi (sau) în
interior. De asemenea se pot utiliza noduri şi în interiorul
elementului, pentru rezultate. Se utilizează şi elemente cu număr
variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul
poate avea între 8 şi 48 de noduri.
Numărul gradelor de libertate ale fiecărui nod. Nodurile
elementelor au ataşate, implicit, unele DOF din cele şase posibile,
deci se poate opera şi cu numărul total de DOF pentru un element,
care este numărul nodurilor înmulţit cu numărul DOF pe nod.
Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are
“implementate” polinoame de interpolare de un anumit grad,
începând cu gradul întâi. Cu cât gradul polinoamelor este mai ridicat
cu atât creşte cantitatea de informaţii cu care elementul operează şi
deci el este, în general, mai performant.
Caracteristicile materialului. În practica analizei cu elemente
finite, materialul elementului finit poate fi omogen şi izotrop sau cu o
anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele elastice şi
107
fizice ale materialului pot fi dependente de temperatură sau
solicitare.
Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor
finite nu este exhaustivă, ci că ea doar semnalează unele aspecte
importante din practica MEF. În concluzie, se menţionează că fiecare
tip de element finit este un ansamblu de condiţii şi ipoteze şi el
trebuie privit ca un întreg şi folosit ca atare, numai după ce s-a
studiat temeinic documentaţia care îl însoţeşte. De exemplu, din
parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la
solicitare, tipul stării de tensiuni, interacţiunea sa cu celelalte
elemente etc.
Programele MEF care se folosesc în analiza structurilor au
biblioteci cu un număr impresionant de tipuri de elemente finite, la
care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica
dezvoltării MEF, se menţionează că în anul 1984 se identificaseră 88
de variante ale elementelor finite de placă.
Determinarea matricei de rigiditate a unui element finit.
Etapele determinării matricei de rigiditate a unui element finit
sunt, în general, următoarele:
1. Elementul finit trebuie să fie conceput sau “proiectat”, adică
să se stabilească, a priori, toţi parametrii săi şi anume: forma
geometrică, numărul de noduri, numărul de DOF/nod, tipul stării de
tensiuni, gradul polinoamelor de interpolare, caracteristicile
materialului. Pentru exemplificare se consideră un element finit
triunghiular, cu trei noduri, cu 2DOF/nod, plan, de grosime constantă
t (placă subţire), polinoame de interpolare de gradul întâi, supus unei
stări de tensiune constantă, materialul fiind izotrop.
Figura 3.11
108
Elementul este raportat la un reper local oxy şi este definit de
nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acţionează forţele X şi
Y, ca în figura 3.11. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de
elemente finite.
2. Relaţia care defineşte comportarea elastică a unui element
finit este de forma (similară cu (8.4), pentru o bară dreaptă)
{R} = [k] {u}, (3.37)
în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} – vectorul
eforturilor nodale (sau al forţelor nodale generalizate) şi [k]–matricea
de rigiditate elementului finit.
3. Se defineşte vectorul
deplasărilor nodale:
k
k
j
j
i
i
v
u
v
u
v
u
u
knodul
jnodul
inodul
.
4. Se defineşte vectorul
eforturilor nodale:
k
k
j
j
i
i
Y
X
Y
X
Y
X
R
knodul
jnodul
inodul
.
Observaţie: Vectorii {R} şi {u} pentru un element finit sunt similari cu cei
corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. 2), cu menţiunea că pentru
elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificaţie specială, ca pentru bare (la bare {R} era vectorul eforturilor de la capete).
Relaţia (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod
unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite
valori ale eforturilor {R} se pot obţine o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor
nodale, diferiţi prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de
deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuaţiile
de echilibru ale elementului finit.
5. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale elementului finit:
- ecuaţia forţelor pe direcţia ox: Xi + Xj + Xk = 0;
- ecuaţia forţelor pe direcţia oy: Yi + Yj + Yk = 0;
- ecuaţia momentelor în raport cu originea:
-Xi * yi + -Xj * yj + -Xk * yk + Yi * xi + Yj * xj + Yk * xk =0. Observaţie: Rezultă că trei forţe nodale independente nu pot determina univoc
şase deplasări nodale. În consecinţă, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit
considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei.
109
6. Expresiile deplasărilor, u şi v, într-un punct oarecare din
interiorul elementului finit sunt:
u (x, y) = α1 + α2 x + α3 y ; v (x, y) = α4 + α5 x + α6 y , (3.38)
în care αi sunt parametri independenţi, ceea ce este în acord cu
considerentele de la etapa 1şi anume:
- polinoamele sunt de gradul întâi;
- deformaţiile şi tensiunile sunt constante în interiorul
elementului:
7. Se calculează, în interiorul elementului finit, deformaţiile:
εx= ∂u/∂x= α2; εy=∂v/∂y= α6; γxy=∂u/∂y+∂v/∂x= α3 + α5. (3.39)
8. Se calculează, în interiorul elementului finit, tensiunile:
ζx = E (α2 + υ α6) / (1 – υ2) ; ζy = E (α6 + υ α2) / (1 – υ
2) ;
ηxy = E (α3 + α5) / [2*(1 + υ)]. (3.40)
9. Deplasările în noduri trebuie să fie componentele vectorului
{u}, adică
ui=α1+α2xi+α3 yi; uj=α1+α2xj+α3yj; uk=α1+α2xk+α3 yk ; (3.41’)
vi=α4+α5xi+α6 yi ; vj=α4+α5xj+α6yj; vk=α4+α5xk+α6 yk . (3.41’’)
10. Relaţiile (3.41) pot fi privite ca un sistem de ecuaţii în care
necunoscutele sunt parametrii αi. În urma rezolvării sistemului
rezultă:
α1 = (ai ui + aj uj + ak uk) / Δ ; α2 = (bi ui + bj uj + bk uk) / Δ ;
α3 = (ci ui + cj uj + ck uk) / Δ ; (3.42’)
α4 = (ai vi + aj vj + ak vk) / Δ ; α5 = (bi vi + bj vj + bk vk) / Δ ;
α6 = (ci vi + cj vj + ck vk) / Δ, (3.42’’)
în care s-au notat:
ai = xj yk – xk yj; aj = xk yi – xi yk; ak = xi yj – xj yi;
bi = yj - yk; bj = yk – yi; bk = yi – yj; (3.42’’’)
ci = xk - xj; cj = xi – xk; ck = xj – xi,
şi Δ este determinantul
kk
jj
ii
yx1
yx1
yx1
, a cărui valoare absolută este
dublul ariei triunghiului ijk.
Volumul elementului finit este V = |Δ| t /2, în care t este grosimea.
11. Funcţiile de interpolare se obţin prin înlocuirea valorilor
(3.42) în expresiile (3.38):
u (x, y) = Ni(x, y) ui + Nj(x, y) uj + Nk(x, y) uk ; (3.43’)
v (x, y) = Ni(x, y) vi + Nj(x, y) vj + Nk(x, y) vk , (3.43’’)
110
în care N(x, y) sunt funcţiile de interpolare:
Ni=(ai+bix+ciy)/Δ ; Nj=(aj+bjx+cjy)/Δ; Nk=(ak+bkx+cky)/Δ. (3.44)
Cu relaţiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui
punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcţie de
deplasările nodale.
Este remarcabil faptul că în nodurile elementului funcţiile de
interpolare au valorile:
Ni (xi, yi) = 1; Ni (xj, yj) = 0; Ni (xk, yk) = 0;
Nj (xi, yi) = 0; Nj (xj, yj) = 1; Nj (xk, yk) = 0;
Nk (xi, yi) = 0; Nk(xj, yj) = 0; Nk (xk, yk) = 1.
12. Energia de deformaţie a elementului finit este
V
2
xyyx
2
y
2
x dV])1(22[E2
1W ,
sau W = |Δ| t ])1(22[ 2
xyyx
2
y
2
x /E,
în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.40).
13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este:
U = - Xi ui – Xj uj – Xk uk – Yi vi – Yj vj – Yk vk = - {u}T{R}.
14. Minimul energiei potenţiale totale Π = W + U se realizează
când sunt îndeplinite condiţiile:
∂Π/∂ui=0;∂Π/∂uj=0;∂Π/∂uk=0;∂Π/∂vi=0;∂Π/∂vj=0;∂Π/∂vk=0. (3.45)
În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că:
.......;)1(
Ec
vv1
E
v;
)1(
Eb
uu1
E
u 2
i
i
6
i
2
2
i
x
2
i
i
6
i
2
2
i
x
După efectuarea calculelor, condiţiile (3.45) pot fi scrise explicit
sub forma sistemului de ecuaţii
k11ui + k12vi + k13uj + k14vj + k15uk + k16vk = Xi
k21ui + k22vi + k23uj + k24vj + k25uk + k26vk = Yi
k31ui + k32vi + k33uj + k34vj + k35uk + k36vk = Xj
k41ui + k42vi + k43uj + k44vj + k45uk + k46vk = Yj
k51ui + k52vi + k53uj + k54vj + k55uk + k56vk = Xk
k61ui + k62vi + k63uj + k64vj + k65uk + k66vk = Yk
ai cărui coeficienţi kij (pentru i = 1, 2, ...6 şi j = 1, 2, ...6) sunt chiar
elementele matricei de rigiditate, [k], din relaţia (3.37), a
elementului.
111
15. Matricea de rigiditate a elementului finit de tipul
considerat este:
Nodul→ i j k
Direcţia x← ↓ →y x← ↓ →y x← ↓ →y ↓ ↓
X
↨ ↔ i
y
x ↨ ↔ j
y
x ↨ ↔ k
y
în care s-au folosit notaţiile: 2112
EtK
; β =(1- υ)/2 şi γ=(1+ υ) / 2.
Formularea matriceală a MEF.
Relaţiile de bază ale MEF pot fi scrise în formă matriceală, ceea
ce oferă metodei mai multă claritate, concizie şi generalitate.
Astfel relaţiile (3.40) se scriu
.Bsau,*
010100
100000
000010
1
6
5
4
3
2
1
xy
y
x
De asemenea relaţiile (3.42) devin
{α} = [B1] {u}, de unde {ε} = [B1] [C]{u}, sau
{ε} = [B] {u}, (3.47)
în care s-a notat {ε} = [B1] [C] şi
.
bcbcbc
c0c0c0
0b0b0b
B
kkjjii
kji
kji
Legea lui Hooke (3.40) capătă forma
(3.46)
112
xy
y
x
2
xy
y
x
2)1(00
01
01
1
E, sau {ζ} = [D] {ε},
în care se poate înlocui relaţia (3.47) şi rezultă
{ζ} = [D] [B] {u}. (3.48)
Expresia energiei de deformaţie a elementului finit considerat
capătă forma
,dV2
1W
V
T
în care se înlocuiesc expresiile (3.47) şi (3.48) şi rezultă
u*dVBDBu2
1W
V
TT , (3.49)
deoarece TTT Bu)uB( .
Cu notaţia
dVBDBkV
T , (3.50)
expresia energiei potenţiale totale este
Ruuku2
1 U W
TT , (3.51)
pentru care se pune condiţia de minim ∂π/∂u = [k]{u} - {R} = 0,
din care rezultă că (3.50) este chiar expresia matricei de rigiditate a
elementului finit.
Scrise în forma matriceală, expresiile (3.49), (3.50) şi (3.51) sunt
generale, valabile pentru orice tip de element finit.
În relaţiile de mai sus trebuie remarcat că:
- matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece
defineşte legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice {ε} şi
vectorul deplasărilor nodale, {u};
- matricea [D] este matricea de elasticitate, a materialului, care
intervine în expresia legii lui Hooke.
În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din
expresia matricei de rigiditate (3.50), situaţii în care valorile
respective se determină prin integrare numerică.
113
Pentru tipul de element finit considerat, expresia de sub
operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la
[k] = |Δ| t [B]T
[D] [B] /2, (3.46’)
care este forma matriceală a expresiei, (3.46), a matricei de rigiditate
a elementului finit.
Celelalte aspecte ale MEF.
Următoarele concepte, definiţii şi semnificaţii ale mărimilor,
proceselor şi noţiunilor din metoda deplasărilor pentru bare drepte
rămân valabile şi în MEF, motiv pentru care nu vor mai fi reluate în
acest capitol:
- nodul şi gradele de libertate geometrică, DOF, asociate;
- matricea de rigiditate a elementului (se schimbă doar
metodologia de calcul şi ceea ce rezultă din ea, adică relaţiile de
calcul);
- transformarea matricei de rigiditate a elementului la trecerea de
la reperul local la cel global;
- procesul de asamblare a matricelor de rigiditate ale elementelor
în matricea de rigiditate a structurii;
- formarea sistemului de ecuaţii al structurii;
- scrierea condiţiilor în legături;
- etapele de rezolvare a unei probleme.
Verificarea modelelor de calcul cu elemente finite.
Modelul de calcul şi rezultatele obţinute cu ajutorul său trebuie
supuse unor teste şi verificări. Scopul acestora este de a “valida”
modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigenţele
impuse şi dacă rezultatele obţinute cu ajutorul lui permit formularea
unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul
analizei cu elemente finite. Unele teste şi verificări sunt calitative şi
globale, altele cantitative şi de detaliu.
Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul
trebuie îmbunătăţit şi procesul de verificare-îmbunătăţire-verificare
se continuă până când se obţine un model satisfăcător, adică valid.
În figura 3.12 este prezentată schema generală a procesului de
verificare-îmbunătăţire a modelului de calcul cu elemente finite.
114
Figura 3.12
O enumerare a celor mai importante şi utilizate metode şi
procedee de verificare a modelelor pentru calculul cu elemente finite
este următoarea:
- verificările experimentale pe structura reală. De obicei acestea
sunt ulterioare calculului (după ce structura s-a executat. Se pot face
şi verificări experimentale pe modele fizice reduse la scară;
- efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi
compararea rezultatelor obţinute. Modelele pot fi de acelaşi tip,
adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu,
MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de
calcul diferite;
- preprocesarea geometriei modelului este cea mai utilizată şi cea
mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a
corectitudinii definirii condiţiilor de rezemare şi a aplicării sarcinilor.
Se poate spune că este totdeauna obligatorie.
Figura 3.13
115
Verificarea constă în citirea fişierului cu datele de intrare pentru
programul MEF, preprocesarea informaţiilor conţinute în acest fişier
şi trasarea unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se
prezintă în figura 3.13, pentru modelul unei structuri industriale;
- verificări ale condiţiilor de simetrie sau antisimetrie geometrică
şi mecanică;
- verificări printr-un calcul simplu, aproximativ;
- verificarea greutăţii;
- verificări globale şi calitative ale modelului care să aibă în
vedere configuraţiile stărilor de tensiuni şi deplasări, semnele lor,
ordinul de mărime şi chiar valorile rezultatelor obţinute. Din practica
inginerească şi din experienţa altor analize se ştie unde sunt zonele
cu tensiuni şi deplasări mari, care este configuraţia structurii
deformate şi între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor
obţinute.
De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este
aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se poate cere modelului mai
mult decât poate oferi metoda, rezultatele obţinute fiind determinate
atât de performanţele modelului cât şi de principiile, ipotezele şi
procedurile matematice de calcul incluse în metoda şi în programul
cu elemente finite.
Surse de erori în metoda elementelor finite.
Metoda elementelor finite este o metodă aproximativă de calcul.
La modelarea şi rezolvarea unei probleme date se fac o serie de
aproximări, care au drept consecinţă faptul că soluţia obţinută cu
MEF are unele abateri faţă de soluţia exactă, necunoscută. Aceste
abateri de aproximare se numesc în mod obişnuit erori ale MEF,
ceea ce nu este corect. În principiu, conceptul de eroare are sensul de
greşeală – intenţionată sau involuntară – şi ea poate fi, de obicei,
corectată sau evaluată cantitativ, ceea ce nu este valabil şi pentru
MEF. Pentru problemele care sunt abordate cu MEF nu sunt, de
obicei, cunoscute soluţii alternative, obţinute pe alte căi, cu care
acestea să se compare pentru a se determina abaterile relative.
Existenţa acestor abateri sau erori de aproximare ale MEF este
principalul său dezavantaj şi este tributul plătit pentru calităţile,
116
avantajele şi performanţele sale. În continuare se va folosi pentru
aceste abateri termenul, obişnuit, de eroare a MEF.
Sursele de erori de aproximare se află la diverse nivele şi intervin
în diverse etape ale procesului de analiză cu elemente finite (FEA).
Identificarea şi înţelegerea mecanismelor care guvernează aceste
erori face posibilă - uneori şi într-o oarecare măsură – reducerea şi
evaluarea acestora. Cele mai importante dintre sursele de erori ale
MEF sunt următoarele (nu se menţionează greşelile posibile ale
utilizatorului, provenite din neştiinţă, neatenţie sau incompetenţă):
1. Erorile conceptuale sau de principiu provin din neglijarea
satisfacerii ipotezelor şi conceptelor care definesc diversele categorii
de probleme ale structurilor mecanice, ceea ce poate duce la erori
mari ale soluţiei obţinute. De exemplu, nu sunt îndeplinite una sau
mai multe dintre ipotezele care delimitează modelul de structură
liniar elastică, definită ca mediu continuu, omogen şi izotrop, cu
liniaritate geometrică, elasticitate perfectă, liniaritate fizică şi fără
tensiuni iniţiale. De asemenea, se presupune că structura este în
echilibru (static sau dinamic) şi că este valabil principiul lui Saint
Venant, ipoteza secţiunii plane (pentru bare) şi ipoteza normalei
rectilinii (pentru plăci şi învelişuri). În aceste condiţii, ecuaţiile de
echilibru scrise pentru structura nedeformată rămân valabile şi pentru
structura deformată, funcţiile eforturilor nu depind de deplasări,
dependenţa dintre sarcini şi deplasări este liniară, ecuaţiile
diferenţiale sunt cu coeficienţi constanţi, este aplicabil principiul
suprapunerii efectelor etc.
2. Aproximarea geometriei structurii reale are loc în procesul
de elaborare a modelului de calcul. Diversele forme geometrice ale
structurii date se aproximează pentru ca modelul de calcul să fie cât
mai simplu şi pentru a se putea realiza pe el reţeaua de discretizare.
3. Aproximarea sarcinilor care se aplică modelului se referă la:
valorile acestora, modul de variaţie (pe suprafaţă, pe volum, în
funcţie de timp etc), direcţia, poziţia pe model a punctului de
aplicaţie etc. Se vor avea în vedere variantele de încărcare cerute de
beneficiar şi modalităţile de evaluare ale regimurilor de încărcare şi
anume, sarcini nominale, de avarie, de probă, maxime, accidentale
etc. De asemenea, sarcinile se pot aplica static, dinamic cu o viteză
cunoscută, (prin şoc) etc. Încărcarea poate fi staţionară sau
117
nestaţionară, variabilă după legi cunoscute sau variabilă aleator. În
procesul de deformare al structurii sarcinile îşi pot modifica direcţiile
sau punctele de aplicaţie.
4. Aproximarea condiţiilor de rezemare se referă la faptul că
acestea se definesc, de regulă, în nodurile modelului şi constau în
introducerea restricţiei ca deplasarea (componenta liniară sau cea de
rotire) să aibă valoarea zero, sau o valoare cunoscută, pe direcţia
dorită. Deplasările nodale sunt definite pe direcţiile reperului global
al modelului, şi - de obicei - şi condiţiile de rezemare. Dacă este
necesar, se poate defini un nou sistem de referinţă, pentru unele
reazeme (sau pentru toate), rotit faţă de sistemul global. În cazuri
deosebite, pentru modelarea condiţiilor de rezemare se folosesc
elemente finite speciale, de tip bound şi (sau) gap, care permit
definirea reazemelor pe orice direcţie. Se pot defini reazeme
deformabile (cu o anumită valoare a constantei elastice sau a
rigidităţii) şi se pot introduce forţe de frecare.
5. Aproximarea introdusă de elementul finit utilizat este, cea
mai importantă sursă de erori în MEF, acesta fiind inclusă în
principiile fundamentale ale metodei. În esenţă aproximarea aceasta
constă în faptul că pentru un subspaţiu al structurii reale, pentru care
deplasările (şi tensiunile) au o lege de variaţie oarecare,
necunoscută, se utilizează un element finit care are implementată o
funcţie de aproximare prestabilită, specifică tipului de element finit
utilizat. Tipurile de elemente disponibile în “bibliotecile”
programelor au fost concepute astfel încât să fie cât mai performante
şi să ofere utilizatorului posibilitatea satisfacerii unor cerinţe cât mai
diverse, acestuia revenindu-i sarcina de a le utiliza corect şi eficient,
incluzând şi cerinţa ca erorile de aproximare să fie cât mai mici. În
acest sens utilizatorul trebuie să ştie care sunt principalele cerinţe şi
proprietăţi ale funcţiilor de aproximare (denumite şi funcţii de
interpolare) ale elementelor.
Pentru MEF - modelul deplasare, funcţiile se referă la câmpul
deplasărilor. Aceste funcţii trebuie să asigure energiei potenţiale
totale a structurii deformate o valoare minimă, corespunzătoare stării
de echilibru stabil a acesteia, compatibilitatea internă şi satisfacerea
condiţiilor la limită. În acest caz, rezultatele obţinute prin FEA,
pentru modele cu discretizări tot mai fine, adică având un număr tot
118
mai mare de noduri şi de elemente, conduce la obţinerea unor
rezultate tot mai precise, adică procesul este convergent.
Pentru asigurarea convergenţei FEA, funcţiile de aproximare
trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:
a – Continuitatea. Dacă funcţiile sunt polinoame, se asigură
cerinţa ca în interiorul elementului şi pe conturul său câmpul
deplasărilor să nu aibă discontinuităţi, salturi, goluri sau variaţii
bruşte;
b – Compatibilitatea sau conformitatea. Trebuie ca în procesul
de deformaţie elementele să rămână solidare în toate punctele
frontierei comune, adică să nu se separe, să nu ducă la goluri sau
discontinuităţi şi să nu pătrundă în domeniul elementelor vecine.
Pentru a fi compatibile, elementele adiacente trebuie ca pe linia sau
suprafaţa comună să aibă aceleaşi: coordonate pentru noduri, grade
de libertate în noduri, tip de funcţii de aproximare pentru deplasări şi
(uneori) să fie raportate la sisteme de coordonate locale. În practica
FEA, apar frecvent situaţii în care trebuie “conectate” elemente care
nu sunt compatibile. Cel puţin în zonele din imediata apropiere a
acestor linii sau suprafeţe este de aşteptat ca rezultatele obţinute să
fie afectate de erori mai mari decât cele obişnuite.
c – Complinirea. Funcţiile de aproximare trebuie să conţină
termeni care să descrie deplasările de corp rigid (adică translaţii
uniforme pe toate direcţiile şi rotaţii fără distorsiuni unghiulare) şi
stările de deformaţii constante ale elementului, adică să conţină
termeni constanţi şi termeni de gradul întâi.
Cele mai utilizate şi eficiente tipuri de elemente finite sunt cele
izoparametrice, care au polinoame (sau, mai rar, alte tipuri de
funcţii) de acelaşi tip atât pentru definirea geometriei elementului (de
exemplu laturile unui patrulater) cât şi pentru aproximarea câmpului
deplasărilor;
d – Invarianţa geometrică. Elementul finit trebuie să aibă aceeaşi
stare de deformaţie (sau de tensiune, relaţia dintre ele fiind lineară,
prin legea lui Hooke) oricare ar fi orientarea sistemului local de
coordonate (reperul local) în raport cu care aceasta este formulată.
Această cerinţă are în vedere faptul că în timp ce sistemul global de
coordonate (reperul global), al întregii structuri, are o orientare
spaţială fixă, la care sunt raportate toate mărimile nodale (deplasări,
119
sarcini, grade de libertate geometrică, condiţii de rezemare), fiecare
element are propria sa poziţie şi orientare spaţială. Cerinţa este
satisfăcută dacă expresia funcţiei de aproximare, prin termenii pe
care îi conţine, nu “favorizează” nici una dintre coordonatele locale.
La elaborarea modelului trebuie luat în considerare faptul că
procesul de convergenţă poate fi atins pe două căi şi anume:
α - utilizarea elementelor de “ordin superior”, care au polinoame
de aproximare cu grad cât mai mare. Aceasta presupune ca elementul
să aibă un număr mai mare de noduri, cu mai multe grade de libertate
geometrică şi o formă geometrică mai complicată. Privit din punct de
vedere informatic acest tip de element este mai eficient deoarece
prelucrează o cantitate mai mare de informaţii. Din păcate,
bibliotecile cu elemente finite ale programelor oferă un număr mic de
elemente de acest tip;
β - realizarea unei discretizări cât mai fine, adică modelul să aibă
un număr cât mai mare de noduri şi de elemente finite.
Practica FEA nu a confirmat superioritatea uneia sau alteia din
cele două căi, fiecare cale dovedind faţă de cealaltă o mai bună
aproximare a soluţiei pentru unele tipuri de probleme, dar inferioară
pentru altele.
Pentru ca soluţia obţinută prin “rafinarea” discretizării să fie o
mai bună aproximare a problemei date, trebuie satisfăcute
următoarele cerinţe:
- fiecare discretizare anterioară trebuie să se “regăsească” în cea
nouă;
- fiecare punct al modelului trebuie să aparţină unui element
finit;
- funcţiile de aproximare ale elementelor utilizate trebuie să
rămână aceleaşi când se trece de la o
reţea de discretizare la alta.
6. Forma distorsionată a elementelor finite obţinute prin
discretizare duce la creşterea erorilor de aproximare. Aceasta
înseamnă că, de exemplu, un element triunghiular trebuie să fie cât
mai apropiat de un triunghi echilateral, un element patrulater cât mai
aproape de un pătrat, un element hexaedric de volum de un cub etc.
Programele MEF conţin proceduri de verificare a formei elementelor
şi transmit mesaje de atenţionare pentru cele distorsionate, astfel
120
încât utilizatorul să poată interveni, prin modificarea reţelei de
discretizare, pentru a reduce cât mai mult această eroare de modelare.
7. Sensibilitatea tipurilor de elemente la sarcini concentrate,
aplicate în nodurile reţelei de discretizare, poate duce la interpretări
greşite ale rezultatelor FEA, deoarece fiecare tip de element
“răspunde” diferit sub acest aspect al modelării şi se pot considera ca
valori maxime ale tensiunilor valori “locale irelevante”. În teoria
elasticităţii, o forţă concentrată aplicată într-un punct al semispaţiului
elastic duce la o singularitate, adică în acel punct, tensiunea normală
pe direcţia forţei are valoarea infinit, adică nu poate fi determinată
(problema Boussinesq). În MEF forţa concentrată aplicată într-un
nod al reţelei de discretizare nu constituie o singularitate, dar valorile
tensiunilor şi deplasărilor din nodul respectiv şi din elementele
vecine au valori care depind de tipul elementului finit.
8. Aproximarea valorilor constantelor elastice şi fizice ale
materialului se face adesea cu erori relativ mari pentru că nu există
informaţii suficient de precise şi sigure despre structura pentru care
se face modelarea. De exemplu, nu se cunoaşte curba caracteristică
reală a materialului, sau variaţiile constantelor elastice ale unui
laminat în raport cu direcţia de laminare (mai ales pentru table),
valorile coeficienţilor de frecare în reazeme (pentru calculul forţelor
de frecare), valorile factorilor de amortizare şi dependenţa acestora
funcţie de frecvenţă, constantele de transmisie a căldurii prin
conductivitate, radiaţie sau convecţie, variaţia constantelor funcţie de
temperatura de lucru etc. În aceste condiţii trebuie remarcat faptul că
adesea este absurd să se depună eforturi pentru elaborarea unui
model sofisticat, cu un mare număr de noduri şi elemente, în speranţa
obţinerii unor rezultate precise, dacă valorile constantelor introduse
în calcul sunt incerte, deoarece acestea pot altera semnificativ
rezultatele şi deci nivelul lor de încredere să fie iluzoriu. Sunt cazuri
în care variaţii relativ mici (de câteva procente) ale valorilor
constantelor duc la variaţii relativ mari ale rezultatelor ( de zeci de
procente).
9. Aproximarea maselor şi a distribuţiei acestora apare pentru
problemele dinamice – vibraţii libere şi forţate, răspuns dinamic,
răspuns seismic etc. – şi poate duce la erori imprevizibile, greu de
evaluat. Pentru structuri complexe, volumul calculelor pentru
121
probleme de valori proprii poate deveni foarte mare şi o cale pentru
reducerea acestuia este ca modelul să aibă un număr limitat de grade
de libertate, ceea ce implică “reducerea”, sau condensarea matricei
de masă şi a celei de rigiditate.
10. Erorile de trunchiere apar în procesul de calcul ca urmare a
faptului că în calculator toate variabilele (altele decât cele întregi)
sunt reprezentate cu un număr finit de cifre. Prin aceasta apar erori
care se “cumulează” şi se “propagă” şi pot deveni importante când
volumul operaţiilor de calcul este foarte mare. Erorile de trunchiere
pot afecta în special precizia soluţiei sistemului de ecuaţii al MEF
precum şi celelalte etape de calcul ale unei FEA. În consecinţă, sunt
programe care au implementate module de calcul pentru rezolvarea
iterativă a sistemului de ecuaţii, prin aceasta putându-se “corecta”
soluţia iniţială până când corecţia devine mai mică decât un prag
prestabilit.
11. Calculul tensiunilor şi ale altor mărimi “derivate” introduce
erori suplimentare de aproximare. Trebuie avut în vedere faptul că,
pentru modelul deplasare, deplasările nodale sunt necunoscutele
“primare”, deci primele valori care se obţin în urma FEA, celelalte
fiind mărimi “derivate” din valorile acestora, ceea ce implică operaţii
de calcul suplimentare şi deci şi erori suplimentare de aproximare.
Pentru fiecare tip de element tensiunile se determină altfel, în
anumite puncte şi pe anumite direcţii, acestea fiind opţiuni ale post-
procesării, sau ale “retro-calculului”. Tensiunile în noduri, se
calculează ca medii aritmetice ale tensiunilor nodale pentru
elementele care se conectează în fiecare nod. Acest fapt trebuie avut
în vedere când se fac interpretări ale rezultatelor obţinute prin FEA:
care sunt tensiunile care trebuie luate în considerare, cele din noduri
sau cele din elemente.
Concluzii. Din cele prezentate se poate constata că problema
erorilor de aproximare ale modelării şi analizei cu elemente finite
este foarte complexă, ceea ce face aproape imposibil controlul şi
evaluarea acestora. O modalitate de evalua erorile de aproximare
constă în calculul factorului de estimare a erorii, procedură pe care
o au implementată programele actuale pentru analiza cu elemente
finite.
122
Pentru reducerea efectelor erorilor de aproximare nu se pot emite
recomandări cu aplicabilitate generală ci fiecare utilizator, de la caz
la caz, trebuie să se orienteze singur, pentru a obţine o soluţie
acceptabilă a modelării şi analizei cu elemente finite. Cunoaşterea
surselor de erori şi înţelegerea mecanismelor lor de “acţiune” pot fi
ajutoare preţioase în demersurile pentru o modelare şi analiză de
succes.
Avantajele, dezavantajele şi limitele metodei elementelor
finite.
În prezent metoda elementelor finite este aproape generalizată în
proiectarea inginerească asistată şi are aplicabilitate masivă în
cercetarea mecanică, transmisia căldurii, electricitate, hidraulică,
biomecanică etc.
Avantajele MEF. Propagarea “masivă”, într-un interval de timp
relativ scurt, a MEF se explică în primul rând prin avantajele sale,
dintre care cele mai importante sunt:
1. Generalitatea. MEF este o metodă numerică aproximativă de
calcul care se poate utiliza pentru rezolvarea problemelor de
mecanica structurilor deformabile, mecanica fluidelor, transmisia
căldurii, electromagnetism, electrostatică, biomecanică etc.
Solicitările pot fi statice, dinamice, periodice, staţionare,
nestaţionare, tranzitorii etc. Problemele pot fi liniare, neliniare (cu
diverse tipuri de nelinearităţi), dependente de timp, probleme de
stabilitate, de vibraţii, de interacţiune etc. În prezent utilizarea MEF
este limitată doar de lipsa de imaginaţie şi de ingeniozitate a
potenţialilor beneficiari.
2. Supleţea. Pentru abordarea unei anumite probleme concrete cu
MEF, nu există nici un fel de restricţii care să decurgă din metodă,
adică elaborarea modelului de calcul al problemei date se poate face
cu o libertate deplină, în care esenţiale sunt fantezia, ingeniozitatea şi
experienţa utilizatorului. Supleţea MEF asigură elaborarea cu foarte
mare uşurinţă a modelului de calcul şi permite automatizarea acestui
proces într-o foarte mare măsură.
După ce s-a realizat modelul şi s-au făcut diverse calcule cu el,
într-un număr de variante privind solicitările, condiţiile de rezemare,
opţiunile de analiză etc, se pot obţine variante noi, îmbunătăţite, ale
123
modelului iniţial, astfel încât să fie satisfăcute cât mai deplin
diversele exigenţe ale utilizatorului.
3. Simplitatea conceptelor de bază. Pentru utilizarea MEF nu
este necesar ca utilizatorul să aibă cunoştinţe speciale de
matematică sau informatică, ci este suficient ca el să aibă cunoştinţe
inginereşti de bază. Se pot înţelege şi asimila, cu un efort minim,
conceptele de bază ale MEF şi anume: nod, element finit, reţea de
discretizare, structură, model de calcul. 4. Utilizarea calculatoarelor. Din chiar principiile de bază ale
MEF, rezultă necesitatea efectuării unui volum foarte mare (uneori
chiar uriaş) de calcule numerice, ceea ce impune implementarea
metodei pe calculator. Dezvoltarea MEF şi a programelor care
folosesc metoda s-au realizat în strânsă concordanţă cu creşterea
performanţelor sistemelor de calcul.
5. Existenţa programelor de calcul cu MEF. În prezent se
comercializează şi sunt accesibile numeroase programe de calcul cu
MEF, deosebit de performante. Aceste programe permit analiza
oricărei structuri mecanice, cu o complexitate practic nelimitată în
ceea ce priveşte forma geometrică, dimensiunile, solicitările,
variantele de analiză etc. Se poate afirma că, în prezent, se poate
calcula orice structură mecanică cu MEF.
6. Facilităţi de pre şi postprocesare. MEF permite ca relativ
simplu să se realizeze o mare diversitate de proceduri eficiente de
preprocesare a modelului de calcul în vederea reducerii volumului de
muncă, în special a discretizării automate şi a verificării acestuia.
Rezultatele obţinute în urma procesării modelului - care au de obicei
un volum uriaş - pot fi prezentate sub formă de tabele, listinguri,
desene, diagrame, animaţii, alb-negru sau color etc, astfel încât
informaţiile oferite beneficiarului să fie cât mai accesibile, sugestive,
atractive, complete, precise etc.
7. Stabilitatea algoritmilor de calcul. Eforturile a numeroşi
cercetători (matematicieni şi ingineri) s-au concretizat prin
elaborarea unor algoritmi şi proceduri eficiente şi sigure, informatice
şi matematice de calcul, destinate MEF şi FEA, care s-au verificat, s-
au impus şi au fost unanim acceptate. În aceste condiţii, MEF şi
programele corespunzătoare elaborate oferă stabilitate şi siguranţă
utilizatorilor. Variante noi ale programelor includ fie extinderi ale
124
bibliotecilor de elemente finite sau ale opţiunilor de calcul
implementate, fie noi facilităţi de pre şi postprocesare.
Dezavantajele MEF. Prin extinderea până aproape de
generalizare a MEF şi FEA, precum şi prin numărul uriaş de
utilizatori entuziaşti ai acestora, nu înseamnă că MEF a ajuns
panaceu universal în calculele efectuate în inginerie şi în cercetare.
Metoda are dezavantaje şi limite. Cele mai importante dezavantaje
ale MEF sunt:
1. Metoda este aproximativă. Analiza cu MEF nu se face pentru
structura reală ci pentru un model (de calcul) al acesteia şi rezultatele
obţinute reprezintă o aproximare a stărilor de deplasări, tensiuni,
temperaturi etc din structura reală care se analizează. Dezavantajul
MEF constă în aceea că nu se poate estima - în marea majoritate a
situaţiilor reale - cu un nivel de încredere cuantificabil, cât de bine
aproximează FEA soluţia exactă (necunoscută) a problemei care se
analizează. Altfel spus, este foarte dificil - uneori chiar imposibil – să
se estimeze care sunt abaterile valorilor mărimilor (deplasări,
tensiuni, eforturi, frecvenţe etc.) calculate cu MEF faţă de cele reale,
necunoscute.
2. Modelul de calcul este, într-o mare măsură, subiectiv şi
arbitrar. Utilizatorul are libertate deplină în elaborarea modelului,
MEF neavând restricţii în acest sens. Supleţea metodei duce la
suspiciuni în legătură cu corectitudinea modelului şi a eficienţei
analizei realizate cu el. În aceste condiţii hotărâtoare sunt curajul,
ingeniozitatea şi experienţa utilizatorului în domeniul MEF şi FEA,
atribute subiective şi greu de evaluat cantitativ. Elaborarea unui
model de calcul performant devine astfel o artă. Din acest motiv,
diverse institute de proiectare sau firme, au emis norme şi reguli de
elaborare a modelelor pentru unele categorii de structuri, unele dintre
acestea fiind validate în practică.
3. Elaborarea modelului de calcul este laborioasă. Pentru
realizarea modelului cu elemente finite al unei structuri este necesar
din partea utilizatorului un efort considerabil şi o foarte bună
cunoaştere a modului de preprocesare al programului cu elemente
finite sau a interfeţei CAD – MEF.
4. Programele MEF sunt complexe şi scumpe. În dorinţa de a
satisface cât mai bine exigenţele utilizatorilor şi de a face faţă
125
concurenţei, firmele care elaborează programe performante pentru
analize cu elemente finite au realizat produse de o foarte mare
complexitate. Pentru utilizarea corectă şi eficientă a acestora li se cer
utilizatorilor eforturi deosebite, pentru lungi perioade de timp.
Preţurile programelor sunt relativ mari, uneori chiar prohibitive.
Limitele MEF şi FEA. Cele mai importante limite ale metodei
şi analizelor cu elemente finite sunt următoarele:
1. Precizia rezultatelor. În principiu MEF este convergentă şi
soluţia unei probleme se poate apropia oricât de mult de soluţia
exactă (necunoscută), dar nu o poate atinge (decât rareori şi numai
pentru structuri foarte simple) şi nici nu se pot preciza abaterile
dintre cele două soluţii. Altfel spus, precizia soluţiei FEA este
limitată.
2. Ineficienţa MEF pentru unele tipuri de analize. Pentru analiza
unor probleme locale, ca de exemplu, pentru unele tipuri de
concentratori, posibilităţile MEF sunt limitate în ceea ce priveşte
performanţele de eficienţă şi precizie ale rezultatelor obţinute prin
FEA.
3. Limitările programului MEF. Oricât de general şi de
performant ar fi un program, el are implementate doar anumite tipuri
de elemente finite şi de proceduri pentru analize, preprocesări şi
postprocesări, ceea ce limitează performanţele şi posibilităţile de
utilizare ale acestuia.
4. Resursele sistemului de calcul. În prezent performanţele
calculatoarelor au atins nivele extrem de ridicate şi practic nu se
ivesc, în general, dificultăţi în a realiza FEA pentru modele oricât de
complexe. Atingerea limitelor resurselor sistemului de calcul se
poate produce în cazuri particulare, pentru analize neliniare,
dinamice, procese iterative, etc pentru numere foarte mari ale
nodurilor şi elementelor modelului, dacă parametrii calculatorului au
valori relativ modeste.
3.11. Concluzii
Simplul fapt că se utilizează în paralel mai multe metode de
calcul demonstrează că nici una dintre acestea nu poate acoperi
marea diversitate a cerinţelor calculului ingineresc al structurilor. De
asemenea, nu există o metodă de calcul care să aibă avantaje majore,
126
pe multiple planuri, care să le pună într-o inferioritate categorică pe
celelalte; fiecare din metodele utilizate, are avantaje, delimitări şi
dezavantaje, care le asigură eficienţa pentru o anumită categorie,
limitată, de probleme.
Probabil că în viitor programele de calcul vor avea implementate
proceduri şi module elaborate pe baza unor metode diferite, astfel
încât să se valorifice la maximum avantajele fiecărei metode,
selectarea uneia sau a alteia dintre metode făcând-o programul.
În prezent metoda elementelor finite este cea mai utilizată şi
eficientă, în general.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
127
4.
CALCULUL STRUCTURILOR CU
COMPORTARE NELINEARĂ
4.1. Categorii de probleme nelineare
Toate fenomenele din domeniul mecanicii solidului deformabil
sunt nelineare. Din fericire, sunt numeroase situaţiile ivite în practica
inginerului mecanic sau constructor, în care, pentru obţinerea unor
soluţii aproximative satisfăcătoare, se acceptă ipoteze care duc la o
formulare lineară a problemei reale, sau, altfel spus, la un model
linear elastic. În astfel de cazuri erorile soluţiei problemei linear
elastice sunt relativ mici faţă de soluţia exactă a problemei nelineare.
Analiza unei structuri ca problemă nelineară, când este cazul, se
justifică prin obţinerea unor rezultate mai precise, conforme cu
realitatea, în acest caz fiind valorificate - de obicei - “rezervele” de
rezistenţă ale structurii.
Calculul în regim linear elastic trebuie să îndeplinească
următoarele condiţii:
- relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice să fie lineare;
- deformaţiile specifice să fie mici;
- deplasările să fie mici;
- să existe o dependenţă lineară între deplasări şi sarcini;
- eforturile să nu fie funcţii de deplasări;
- ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată să
rămână valabile şi pentru structura deformată;
- să fie valabil principiul suprapunerii efectelor.
Trebuie remarcat faptul că uneori unele din condiţiile enumerate
sunt consecinţe ale altora, ca, de exemplu, dacă primele trei condiţii
sunt îndeplinite, atunci, de regulă, există linearitate între deplasări şi
sarcini. Dar această situaţie nu este generală, fiind numeroase
excepţiile întâlnite, ca, de exemplu, cazul arcurilor elicoidale conice
sau al structurilor cu frecări puternice în reazeme. Existenţa frecărilor
128
în reazeme poate duce la încălcarea principiului suprapunerii
efectelor.
În sensul cel mai general, se consideră că o problemă de
mecanica solidului deformabil este nelineară, când cel puţin una din
condiţiile enumerate nu este îndeplinită.
Sunt cazuri în care abordarea unor probleme nelineare ale
analizei structurilor mecanice deformabile nu mai poate fi evitată, ca,
de exemplu:
- Structura este executată din materiale “care nu ascultă de legea
lui Hooke”, adică curba caracteristică a acestora nu are o porţiune
rectilinie; este cazul fontelor, al unor aliaje neferoase, mase plastice,
materiale compozite etc.
- În unele zone ale structurii, deformaţiile se produc în stadiul
plastic, deci structura este solicitată elasto-plastic, adică parţial
elastic, parţial plastic. Astfel de situaţii apar când sunt concentratori
de tensiuni, probleme de contact, în studiul unor procese tehnologice,
în analiza comportării unei structuri înaintea producerii ruperii etc.
- Probleme la care deplasările produse de sarcinile aplicate sunt
mari, acestea putând fi însoţite sau nu şi de deformaţii plastice. Este
cazul unor structuri flexibile, structuri cu pereţi subţiri, structuri
formate din bare sau plăci, elemente elastice compensatoare de
dilatare, studiul unor fenomene post-flambaj sau post-fluaj etc. În
practica analizei acestor probleme se face distincţie între structuri cu
deplasări mari şi cele cu deplasări foarte mari. În aceste cazuri
configuraţia geometrică a structurii se modifică mult, în cel de al
doilea caz, chiar fundamental.
- Probleme de contact, la care, pentru încărcare zero, contactul
este într-un punct sau pe o linie (arie zero) iar pe măsură ce sarcina
creşte, contactul are loc pe suprafaţă a cărei formă şi arie cresc.
Distribuţia presiunii de contact se modifică şi ea, dependenţa fiind
nelineară în raport cu sarcina. În zona contactului apar, de obicei,
tensiuni relativ mari şi este posibilă apariţia deformaţiilor plastice.
- Pentru structuri industriale complexe (de exemplu, reţelele de
conducte din combinatele chimice), este posibil ca dependenţa
deplasărilor de ansamblu ale structurii să fie nelineară funcţie de
sistemul de sarcini, datorită forţelor de frecare din reazeme, a
129
interacţiunilor cu alte structuri sau datorită existenţei unor asamblări
cu elemente (de exemplu, garnituri) care au comportare nelineară.
Desigur că se pot ivi situaţii în care se “combină” unele din
aspectele menţionate, care nu reprezintă nici pe departe o enumerare
exhaustivă.
Problemele enumerate pot fi formulate şi abordate ca procese
statice, staţionare sau ca procese dinamice, dependente de timp,
nestaţionare sau tranzitorii, materialele putând fi vâscoelastice sau
vâscoplastice, adică cu proprietăţi elastice sau plastice, variabile în
funcţie de timp. În concluzie, se poate afirma că există o foarte mare
diversitate de probleme nelineare, cărora le corespund numeroase
metode de rezolvare.
Metoda elementelor finite (MEF), prezentată în capitolul 9, se
pretează foarte bine pentru analiza structurilor cu comportare
nelineară, programele actuale permiţând abordarea problemelor cele
mai complicate.
În practica modelării şi analizei inginereşti a structurilor cu
comportare nelineară, în vederea simplificării şi sistematizării acestor
probleme se foloseşte, de obicei următoarea clasificare:
a. Probleme cu nelinearitate de material. În aceste cazuri
dependenţa dintre tensiuni şi deformaţii este nelineară. Aceasta poate
fi asociată cu solicitarea în domeniul plastic, dincolo de limita de
curgere (sau în domeniul elasto-plastic, adică situaţii în care pentru
unele zone deformaţiile sunt elastice, iar în altele, atât elastice cât şi
plastice), sau cu o comportare intrinsec nelineară a materialului, ca,
de exemplu, în cazul materialelor plastice termoplaste.
b. Probleme cu nelinearitate geometrică. În această categorie
intră problemele pentru care în procesul de deformaţie se produc
deplasări mari. Se admite că materialul are o comportare linear
elastică. Relaţiile dintre deformaţii şi deplasări precum şi relaţiile
dintre sarcini şi deplasări (pentru întreaga structură) devin nelineare.
De asemenea, valorile eforturilor devin funcţii de deplasări, iar
ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată nu mai
rămân valabile şi pentru structura deformată.
c. Probleme cu nelinearitate generală. În aceste cazuri se
suprapun, adică se “cumulează”, condiţiile de nelinearitate de
material şi geometrică, de la categoriile a şi b, aceasta fiind
130
problema generală cu comportare nelineară. În această categorie
intră şi problemele de contact.
În cadrul fiecăreia din cele trei categorii de probleme pot fi avute
în vedere aspecte dinamice, de stabilitate sau de vâscoelasticitate sau
vâscoplasticitate.
4.2. Diagnosticarea unei probleme nelineare
În practica modelării şi analizei structurilor deformabile se
întâlnesc situaţii în care nu există iniţial indicii sau informaţii
privind comportarea nelineară a structurii şi deci se realizează,
pentru început, o analiză lineară (L, în fig. 4.1).
Figura 4.1
În urma postprocesării şi evaluării rezultatelor obţinute se
poate ajunge la concluzia că de fapt structura poate avea o
comportare nelineară şi analiza se reia în
condiţii corespunzătoare.
Indicii simple şi sigure în acest sens sunt:
- apariţia unor tensiuni ale căror valori maxime depăşesc limita
de curgere a materialului, σc (fig. 4.1.a);
- producerea unor deplasări ale căror valori maxime reprezintă
peste 1 – 5 % din dimensiunile de gabarit ale structurii;
- există indicii că forţele de frecare din reazeme sau interacţiunile
structurii care se analizează cu alte structuri, au efecte importante
asupra comportării acesteia.
Din analiza diagramelor din figura 4.1, compararea dreptelor L,
corespunzătoare problemei lineare cu curbele N, corespunzătoare
problemei nelineare, se constată că sunt posibile diferenţe mari ale
rezultatelor (tensiuni – Δσ şi deplasări - Δu) în cele două variante.
131
4.3. Principalele metode de rezolvare
Metodele de calcul utilizate pentru rezolvarea problemelor
nelineare ale mecanicii structurilor se clasifică, frecvent, în metode
directe şi metode indirecte de calcul.
Metode directe de calcul.
Metodele directe de calcul sunt analitice sau numerice, exacte
sau aproximative, elaborate pentru subclase restrânse de probleme,
relativ simple, delimitate de ipoteze specifice, restrictive. De
exemplu, pentru calculul barelor drepte solicitate elasto-plastic la
încovoiere sau răsucire, se admite valabilitatea ipotezei secţiunii
plane (pentru răsucire, doar pentru secţiuni circulare şi inelare) şi se
consideră curba caracteristică a materialului determinată grafic, sub
forma reală, sau schematizată prin linii drepte. Pentru forme simple
de secţiuni se determină relaţii analitice sau grafo-analitice pentru
calculul tensiunilor remanente şi deplasărilor.
Metode indirecte de calcul.
Cele mai utilizate metode de rezolvare ale problemelor nelineare
sunt metodele numerice indirecte de calcul. În principiu ele se pot
„combina” cu oricare dintre metodele de calcul pentru probleme
lineare, utilizându-se mai ales asociate cu metode generale, ca, de
exemplu, metoda deplasărilor pentru structuri din bare, metoda
elementelor finite, metoda diferenţelor finite etc.
Metodele indirecte de calcul se bazează pe principiul că o
problemă nelineară poate fi aproximată printr-o succesiune de
probleme elementare lineare. Avantajele acestor metode sunt :
- generalitatea: metodele pot fi aplicate pentru clase de probleme
relativ vaste;
- simplitatea: metodele de calcul pentru problemele linear
elastice se pot adapta cu modificări minime pentru analiza
problemelor nelineare;
- posibilitatea implementării pe calculator: aceste metode duc la
algoritmi care se pot foarte uşor implementa în programe pentru
probleme linear elastice, ca module sau proceduri specifice;
- posibilitatea evaluării ordinului de mărime al erorii soluţiei
aproximative: calculul făcându-se iterativ, diferenţa între soluţiile
132
obţinute prin două iteraţii succesive este un indiciu al erorii soluţiei
aproximative faţă de soluţia “exactă”. Se precizează faptul că în acest
context soluţia exactă este şi ea, de cele mai multe ori, de fapt,
aproximativă.
Principalul dezavantaj al acestor metode este volumul mare de
calcul, care în prezent şi-a pierdut importanţa datorită performanţelor
remarcabile ale sistemelor de calcul.
Cele mai importante metode indirecte de calcul sunt cele
incrementale, iterative şi mixte, care sunt combinaţii ale primelor
două. Fiecare dintre aceste metode poate avea mai multe variante de
aplicabilitate.
În cele ce urmează se dau detalii privind metodele indirecte de
calcul, asociate cu metoda elementelor finite (MEF).
Se consideră că în relaţia de bază a MEF, pentru regim staţionar
(cap. 4)
[K] {u} = {F}, (4.1)
în care: [K] este matricea de rigiditate a modelului structurii, {u} –
vectorul deplasărilor nodale şi {F} – vectorul sarcinilor nodale,
nelinearitatea provine din matricea de rigiditate care este o funcţie
nelineară de proprietăţile materialului (nelinearitate fizică) sau de
modificarea geometriei structurii în procesul de deformaţie
(nelinearitate geometrică).
Nelinearitatea de material.
Matricea [K] depinde de matricea de elasticitate a materialului
[D] care este definită de caracteristicile elastice ale materialului, care
în această situaţie sunt variabile, fiind funcţii de vectorul tensiunilor
, adică se poate considera [K ( [D ( )] ) ].
Nelinearitatea geometrică.
În acest caz, în procesul de deformaţie se produc deplasări mari,
având ordinul de mărime comparabil cu cel al dimensiunilor
structurii iar configuraţia geometrică iniţială a structurii se modifică
apreciabil, adică matricea de rigiditate iniţială nu mai poate descrie
comportarea sub sarcină a structurii în ultima fază a procesului de
încărcare. Ca urmare, eforturile depind de deplasări, iar ecuaţiile de
echilibru pentru structura deformată trebuie scrise cu luarea în
133
considerare şi a deplasărilor, adică matricea de rigiditate a structurii
depinde de deplasările nodale, deci se poate considera [K ( u ) ].
Metoda incrementală.
Se mai numeşte şi „pas cu pas”. Ideea fundamentală a metodei
este subîmpărţirea sarcinii în mai multe sarcini mici, creşteri, paşi
sau incremente. Uzual aceste creşteri ale sarcinii sunt egale dar, în
general, pot fi diferite de la un pas la următorul. Sarcina se consideră
crescătoare (sau descrescătoare), dar în cursul aplicării fiecărui
increment se presupune că structura are o comportare lineară, adică
matricea [K] se consideră constantă, dar poate fi diferită de la un pas
la următorul. Soluţia pentru fiecare pas i de creştere a sarcinii, {Fi},
se obţine sub forma unui increment al deplasărilor, {ui}. Aceste
creşteri ale deplasărilor se “cumulează” pentru a obţine deplasarea
totală a structurii pentru fiecare “stadiu” al încărcării. Procesul se
continuă până se aplică toată sarcina.
Schema de calcul a
procesului se prezintă în figura
4.2. Se observă că procedeul este
analog metodelor numerice de
calcul utilizate pentru integrarea
sistemelor de ecuaţii diferenţiale,
lineare sau nelineare, cu metoda
lui Euler sau Runge-Kutta.
La scrierea relaţiilor de
calcul se are în vedere starea de
referinţă a structurii, care poate fi
definită de sarcinile iniţiale F0
şi deplasările iniţiale u0. De regulă, vectorii F0 şi u0 sunt nuli,
deoarece structura este nesolicitată şi nedeformată. Se poate defini o
stare iniţială de echilibru pentru sarcinile şi deplasările iniţiale.
Dacă sarcina totală se divide în m paşi, atunci sarcina efectivă
totală este
{F}={F0} + {Fj} , j = 1…m,
în care notaţia arată un increment finit. După aplicarea
incrementului i sarcina este
{Fi}={F0} + {Fj} , j = 1…i,
Figura 4.2
134
cu precizarea că {Fm}={F}. Se procedează analog pentru deplasări şi
deci
{ui}={u0} + {uj} , j = 1…i. (4.2)
Pentru calculul incrementului deplasărilor se utilizează valoarea
matricei de rigiditate [Ki-1], determinată pentru sfârşitul pasului
anterior, adică
[Ki-1] {ui} = {Fi}, i = 1, 2, 3,…m,
în care se are în vedere că
[Ki-1] =[Ki-1 ({ui-1} , {Fi-1})],
şi [K0] este matricea de rigiditate iniţială, care se calculează pentru
configuraţia geometrică iniţială a modelului structurii şi pentru
constantele materialului, determinate pe curba caracteristică, pentru
începutul încărcării.
Metoda iterativă.
În acest caz structura se consideră încărcată cu întreaga sarcină la
fiecare iteraţie. Deoarece se consideră o valoare aproximativă,
constantă, a rigidităţii structurii pentru fiecare iteraţie, nu sunt
satisfăcute ecuaţiile de echilibru. După fiecare iteraţie (sau pas) se
calculează cota parte din sarcina totală care nu satisface ecuaţiile de
echilibru, sau reziduul, (de fapt fiecare ecuaţie din sistemul (4.1) este
o ecuaţie de echilibru), aceasta fiind utilizată la iteraţia următoare
pentru a determina o creştere adiţională a deplasărilor. Procesul se
repetă până când ecuaţiile de echilibru sunt satisfăcute într-o măsură
acceptabilă. În esenţă, metoda iterativă constă în corecţii succesive
ale soluţiei, până când ecuaţiile de echilibru sub sarcina totală {F}
sunt satisfăcute şi reziduul devine nul sau suficient de mic.
Dacă, în cazul general, există sarcini şi deplasări iniţiale, F0 şi
u0, pentru ciclul i al procesului iterativ de calcul trebuie ca sarcina
să se determine cu relaţia
{Fi}={F} - {Fe, i-1} ,
în care {F} este sarcina totală şi {Fe, i-1} este sarcina aflată în
echilibru după iteraţia anterioară. Creşterea deplasărilor, calculată
pentru pasul i se determină cu relaţia
[K(i)] {ui} = {Fi} . (4.3)
135
Deplasarea totală după iteraţia i se calculează cu relaţia (4.2). În
final se calculează sarcina {Fe, i}, necesară să menţină deplasările
{ui}.
Procesul iterativ se continuă până creşterile deplasărilor sau
forţele neechilibrate devin zero, adică {ui} sau {Fi} devin nule sau
suficient de mici.
În ceea ce priveşte calculul matricei de rigiditate [K(i)] din relaţia
(4.3), de obicei aceasta se determină pentru pasul anterior, în punctul
{ui-1}, {Fi-1}, adică [K(i)] =[K(i-1)]. Trebuie avut în vedere că [K(0)]
este matricea de rigiditate pentru starea iniţială a structurii, adică,
pentru valorile F0 şi u0.
Metoda iterativă are diverse variante care diferă prin modul în
care se consideră valoarea matricei de rigiditate [K] a structurii. În
figura 4.3.a se prezintă schema metodei iterative de bază, iar în figura
4.3.b, o variantă modificată, care foloseşte pentru toate iteraţiile
valoarea iniţială [K(0)] a matricei de rigiditate. În acest caz este
necesar un număr mai mare de iteraţii, dar în ansamblu se poate o
a b
Figura 4.3 Figura 4.4
viteză mai mare a procesului de calcul deoarece nu mai este necesară
recalcularea matricei [K] la fiecare iteraţie. Metoda iterativă este
asemănătoare procedeelor numerice de calcul utilizate pentru
rezolvarea ecuaţiilor nelineare, de exemplu, metodele lui Newton sau
Newton – Raphson.
Metoda mixtă.
Se mai numeşte şi iterativă în paşi şi este o “combinaţie” între
metoda iterativă şi cea incrementală. În figura 4.4 se prezintă
schema metodei mixte care constă în faptul că sarcina se aplică
136
incremental, iar după fiecare increment se fac iteraţii succesive.
Această metodă este mai eficientă decât precedentele dar cere un
efort de programare mai mare.
Comparaţie între metodele prezentate.
Metodele prezentate sunt considerate drept “procedee de bază”,
ele având diverse variante în implementările din diverse programe.
Este utilă o comparare a lor pentru a pune în evidenţă avantajele şi
dezavantajele fiecăreia.
Avantaje:
metoda incrementală:
- generalitatea; metoda este aplicabilă pentru aproape toate
tipurile de nelinearităţi;
- posibilitatea de a descrie relativ complet dependenţa
sarcină-deformaţie, deoarece se obţin rezultate intermediare, pentru
fiecare treaptă a încărcării;
metoda iterativă:
- simplitatea; metoda este uşor de utilizat şi de implementat
într-un program;
- numărul de iteraţii este, de obicei, relativ mic.
Dezavantaje:
metoda incrementală:
- volumul de calcul este relativ mare, de obicei numărul
incrementelor fiind mare;
- nu se poate stabili a priori care este valoarea necesară a
incrementului sarcinii pentru a obţine o aproximaţie dorită a soluţiei
exacte;
- dificultatea de a aprecia “cât de bună” este soluţia găsită;
metoda iterativă:
- metoda nu asigură totdeauna convergenţa către soluţia
exactă;
- metoda nu este aplicabilă problemelor dinamice, sistemelor
histeretice şi celor neconservative;
- rezultatele, adică deplasările, tensiunile şi deformaţiile se
obţin numai pentru sarcina totală, adică nu se obţin informaţii pentru
valori intermediare ale încărcării.
137
Metoda mixtă “combină” avantajele celorlalte două metode şi
tinde să elimine dezavantajele fiecăreia, fiind foarte eficientă şi
utilizată.
4.4. Câteva aspecte importante ale modelării pentru analize
nelineare
Caracteristicile materialului.
Pentru probleme cu nelinearitate fizică este foarte importantă
cunoaşterea precisă şi detaliată a curbei caracteristice a materialului,
sau “legea constitutivă”. Curba caracteristică se dă sub formă
tabelară (prin puncte) sau sub forma unei funcţii. Simbolic se scrie
{} = f ({},{}) = [D({})]{}.
De asemenea, foarte important este calculul matricelor de
rigiditate ale elementelor şi cea a structurii care trebuie reluat pentru
fiecare pas sau increment al metodelor iterative, incrementale sau
mixte. Mai întâi trebuie să se determine valorile constantelor elastice
ale materialului (pentru un material izotrop sunt E, G şi ) şi
matricea elastică [D] = [D({})], care sunt funcţii de starea de
tensiune.
Curba caracteristică a materialului trebuie să fie determinată în
condiţii cât mai apropiate de cele în care funcţionează structura
pentru care se face modelarea şi analiza. Se va avea în vedere faptul
că, de obicei, curba caracteristică se determină pentru întindere
(compresiune) monoaxială pe când în structură este o stare de
tensiuni mai complexă, de obicei, spaţială. În consecinţă, pentru a
putea compara cele două stări de tensiuni sau de deformaţii trebuie
apelat la o teorie de rezistenţă.
Pentru o curbă caracteristică nelineară a
materialului, obţinută printr-o încercare
monoaxială, valoarea modulului de elasticitate
E, pentru un material izotrop, se poate de
determina astfel:
Modulul de elasticitate tangent, se
defineşte într-un punct oarecare P al curbei
caracteristice - , ca panta tangentei la
curbă, dusă în punctul respectiv (fig. 4.5), se
Figura 4.5
138
notează EtP şi este EtP = d / d | P.
Aproximativ, Et poate fi evaluat prin relaţia
Et / ,
în care are semnificaţia de creşteri finite; valoarea lui Et este panta
dreptei duse cu linie întreruptă în figura 4.5.
Modulul de elasticitate secant,se defineşte într-un punct oarecare
P al curbei caracteristice - , în funcţie de valorile totale şi în
punctul respectiv (fig. 4.5), adică
EsP = / | P.
Criteriul şi matricea de plasticitate.
Pentru structuri care au sub sarcină o comportare elastoplastică
trebuie pusă în evidenţă solicitarea în stadiul plastic. În acest scop,
deformaţia specifică totală {} se descompune în componentele
elastică, {e} şi plastică, {
p}, adică
{} = {e} + {
p}.
Pentru o metodă incrementală de aplicare a sarcinii, relaţia
anterioară devine
{d} = {de} + {d
p},
în care trebuie avut în vedere că incrementul deformaţiei plastice
{dp} este funcţie de starea curentă de tensiune, de incrementul
deformaţiei totale şi de incrementul tensiunii, adică
{dp} = {d
p ({},{d},{d})}
şi de asemenea
{de} = [D
e]
-1{d}.
Rezultă relaţia
{d} = [De]({d} - {d
p}),
care poate fi scrisă sub forma
{d} = [Dep
]{d},
în care [Dep
] se numeşte matricea elastoplastică, care se calculează
cu relaţia
[Dep
] = [De] - [D
p],
unde [Dp] este matricea de plasticitate.
Matricea elastoplastică [Dep
] se obţine cu relaţia anterioară, după
ce se determină matricea de plasticitate [Dp], care implică
cunoaşterea modului în care se calculează incrementele deformaţiilor
139
plastice {dp}. Pentru aceasta trebuie adoptat un criteriu de
plasticitate, care să determine condiţiile în care se produc deformaţii
plastice, pentru starea de tensiuni spaţială din fiecare element finit al
modelului. Cel mai utilizat este criteriul de plasticitate al lui Mises,
pentru care Prandtl-Reuss au scris ecuaţiile care au permis
determinarea expresiei matricei [Dp]. Pentru materiale izotrope
aceasta este
în care: G = E / 2(1 + ) este modulul de elasticitate transversal;
= { [( 1 - 2 )
2 + ( 2 - 3
)
2 + ( 3 - 1
)
2 ] / 2}
1/ 2 -
tensiunea echivalentă sau efectivă;
= { 2 [( 1 - 2 )
2 + ( 2 - 3
)
2 + ( 3 - 1
)2
] / 9}1/ 2
-
deformaţia echivalentă sau efectivă;
≡ Et - panta curbei - ;
1 , 2 , 3 - tensiunile normale principale ale solicitării;
I1 = x + y + z = 1 + 2 + 3 - invariantul linear al stării de
tensiune;
Dx = x - I1 / 3; Dy = y - I1 / 3; Dz = z - I1 / 3.
Modelarea sarcinilor şi a reazemelor pentru structuri cu
deplasări mari.
Pentru analize ale structurilor cu deplasări mari este foarte
important ca modelul să conţină precizări riguroase, fără echivoc, ale
legilor de variaţie ale intensităţilor, direcţiilor şi punctelor de
aplicaţie ale sarcinilor precum şi variaţiile condiţiilor de rezemare
care se pot produce în cursul procesului de deformare a structurii.
Ca exemplu, în figura 4.6 se prezintă trei variante de încărcare
ale unei bare încastrată la un capăt şi solicitată cu o forţă concentrată
140
în capătul liber. Pentru deplasări mici solicitarea este aceeaşi în toate
cazurile (reprezentate schematic cu linii întrerupte) dar problemele
sunt complet diferite pentru deplasări mari.
Figura 4.6
Figura 4.7
Analog, pentru bara din figura 4.7, cele trei moduri de rezemare
sunt echivalente pentru deplasări mici, dar complet diferite pentru
deplasări mari.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,
Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,
Editura BREN, Bucureşti, 1999.
3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,
Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura
Printech, Bucureşti, 2007.
4. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
141
5.
SOLICITĂRI DINAMICE ALE PIESELOR
ŞI STRUCTURILOR
Numeroase probleme inginereşti trebuie abordate având în
vedere mişcarea diverselor maşini şi componente ale acestora, de
exemplu, în diverse regimuri de funcţionare, la solicitările dinamice
produse de vânt, de cutremure, vibraţiile şi şocurile diverselor
instalaţii, mijloacelor de transport etc, apărute în timpul manevrelor
etc. În aceste situaţii apar mişcări ciclice, vibraţii, propagări ale
mişcărilor, disipare a energiei, oboseală, instabilitate, zgomote etc,
care induc în structurile de rezistenţă solicitări suplimentare.
Importanţa practică şi complexitatea abordării prin calcul şi/sau
experimental a problemelor dinamice ale sistemelor mecanice, au dus
la constituirea mai multor discipline inginereşti, de sine stătătoare,
destinate acestor probleme ca, de exemplu: dinamica maşinilor,
teoria vibraţiilor, teoria şocurilor, dinamica construcţiilor etc. În
rezistenţa materialelor nu sunt incluse, de regulă, decât unele
probleme dinamice elementare, foarte simple.
Considerând calculul la solicitări statice drept demersul de bază
pentru o analiză inginerească – care are în vedere modelarea
geometriei, rigidităţilor, sarcinilor şi reazemelor – un model pentru o
analiză a comportării dinamice a unei structuri sau a unei piese
trebuie să mai ia în considerare şi – cel puţin – modelarea maselor şi
a amortizărilor. De asemenea, se poate pune problema considerării
valorilor constantelor mecanice şi elastice dinamice ale materialelor,
a variaţiei sarcinilor în timp, a dependenţei amortizărilor de frecvenţă
etc.
5.1. Concepte şi noţiuni de bază
Calculul dinamic al unei structuri constă, în esenţă, în
determinarea răspunsului (sau a efectelor de natură mecanică asupra
structurii) acesteia la acţiunea unor sarcini sau deplasări impuse,
142
variabile în timp, denumite perturbaţii sau excitaţii. Răspunsul este
determinat de caracteristicile mecanice ale structurii şi de parametrii
excitaţiei, relaţia cauză – efect depinzând de structură. Orice
problemă de dinamica structurilor constă în stabilirea relaţiilor dintre
excitaţie, caracteristicile dinamice ale structurii şi răspunsul acesteia.
În acest scop, de regulă, se scrie ecuaţia de mişcare, care în condiţiile
în care mişcarea de rotaţie lipseşte, are forma
)t(FuKuCuM , (5.1)
în care: [M] este matricea de masă, simetrică şi pozitiv definită, de
obicei constantă; [C] este matricea de amortizare vâscoasă, (sau [Ci],
care este o matrice de amortizare generată de material, descriind
disiparea energiei în interiorul materialului), de obicei (semi)pozitiv
definită, constantă şi simetrică; [K] este matricea de rigiditate,
(semi)pozitiv definită şi simetrică (în general, matricea de rigiditate
[K] are şi o componentă generată de rigiditatea geometrică sau a
tensiunilor iniţiale [Kσ], denumită matricea de rigiditate geometrică),
{u} este vectorul deplasărilor nodale; { u } este vectorul vitezelor
nodale; { u } este vectorul acceleraţiilor nodale; {F}={F(t)} este
vectorul excitaţiilor sau forţelor (al încărcărilor) nodale; t este
variabila timp. Observaţii: O matrice pozitiv definită are toate elementele de pe diagonală
strict pozitive (nenule şi pozitive). O matrice semi-pozitiv definită este o matrice
pozitiv definită, care are câteva elemente de pe diagonală nule.
Problemele de dinamica structurilor pot fi împărţite în două mari
categorii: directe şi inverse.
Problema directă este cea în care se cunosc ecuaţiile care
descriu comportarea dinamică a structurii, se cunoaşte excitaţia şi se
cere răspunsul structurii.
Problema inversă poate avea, în principiu, două variante:
- se cunoaşte răspunsul structurii la o excitaţie dată, dar nu se
cunosc ecuaţiile de mişcare, configuraţia structurii sau unii parametri
ai acesteia;
- se cunosc structura şi răspunsul ei, dar nu se cunoaşte excitaţia.
Prin urmare, problema inversă poate avea următoarele variante
inginereşti, practice:
143
a. Sinteza sau proiectarea. Excitaţia şi răspunsul fiind cunoscute,
se concepe, adică se proiectează sau se face sinteza unei structuri
realizabile tehnic, economic şi tehnologic, care să aproximeze cât
mai bine relaţia excitaţie – răspuns. Soluţia nu este unică, gradul de
aproximare fiind diferit de la caz la caz. De asemenea, trebuie avute
în vedere şi multe alte aspecte, funcţionale şi de calcul, privind
condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească structura.
b. Măsurarea. Se cunoaşte structura şi răspunsul acesteia şi se
caută excitaţia care produce răspunsul respectiv. Este cazul
măsurărilor cu aparate a căror funcţie de transfer sau curbă de
etalonare se cunoaşte, cazul determinării forţelor excitatoare etc.
c. Identificarea structurii. Se cunosc o serie de parametri şi
funcţii ale excitaţiei şi răspunsului şi se caută o descriere matematică
sau un model al structurii. Frecvent, datele se obţin sub forma unui
răspuns în frecvenţă al modelului la excitaţia cu “semnale de probă”
armonice, neperiodice sau aleatoare, pe baza căruia se determină
frecvenţele, modurile proprii de vibraţie şi proprietăţile dinamice
specifice: amortizare, rigiditate dinamică etc.
Principalele categorii de fenomene care aparţin domeniului
dinamicii structurilor se definesc astfel:
a. Vibraţiile. Acestea sunt variaţii în timp ale unei mărimi de
stare a structurii, de obicei în vecinătatea valorii corespunzătoare
unei stări de echilibru, produse de forţe de “readucere” elastice.
b. Vibraţiile libere. Dacă un sistem elastic (piesă sau structură)
este scos din poziţia de echilibru stabil, prin aplicarea unei solicitări
statice, acesta înmagazinează o cantitate de energie potenţială. Dacă
apoi sistemul este lăsat liber, fără să se mai introducă energie în
sistem, acesta execută vibraţii libere, prin transformarea repetată a
energiei potenţiale de deformaţie a sistemului elastic în energie
cinetică a maselor acestuia şi invers. În prezenţa unor forţe de
frecare, energia sistemului este disipată, iar vibraţiile se amortizează
după un număr oarecare de cicluri.
c. Autovibraţiile. Acestea se pot produce când scoaterea din
poziţia de echilibru static a sistemului are loc în prezenţa unei surse
de energie. Amplitudinea mişcării creşte continuu, până când este
limitată de efecte nelineare sau de amortizare. Mişcarea este
144
întreţinută de o forţă periodică, creată sau determinată de mişcarea
însăşi, deşi energia este furnizată uniform de sursa exterioară.
d. Vibraţiile forţate sau întreţinute. Sunt produse de forţe
perturbatoare independente, care aplică structurii sarcini sau
deplasări dinamice, variabile în timp. Astfel de excitaţii duc la un
transfer de energie de la sursa perturbatoare la sistemul elastic. Dacă
transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibraţia forţată
este staţionară, de amplitudine constantă. Dacă transferul de energie
se face neuniform, vibraţia are un caracter tranzitoriu, amplitudinea
variind până la stabilirea unui regim staţionar sau până la amortizarea
completă.
e. Şocurile sau impacturile. Se produc la aplicarea bruscă a unei
perturbaţii, adică aceste probleme sunt cazuri particulare ale celor
definite la categoria d. Şocul este o perturbaţie prin care se transmite
structurii energie cinetică într-un interval de timp scurt, în comparaţie
cu perioada sa proprie de vibraţie. Din momentul încetării acţiunii
şocului, răspunsul structurii devine o vibraţie liberă.
f. Vibraţiile aleatoare. Acestea au caracter nedeterminist,
aleator, adică valorile instantanee ale mărimilor care definesc
mişcarea nu sunt predictibile. Acesta este cazul majorităţii situaţiilor
reale, practice, spre deosebire de vibraţiile periodice şi de cele
tranzitorii, care sunt fenomene deterministe.
g. Vibraţiile proprii. În general, când asupra unei structuri
linear elastice, cu parametri invariabili în timp, se aplică o
perturbaţie oarecare, mişcarea rezultantă este suma a două
componente distincte: vibraţia forţată, descrisă de o funcţie
asemănătoare funcţiei excitaţiei şi vibraţia proprie, dependentă doar
de caracteristicile dinamice ale structurii, a cărei funcţie de timp este,
de obicei, o combinaţie între o sinusoidă şi o exponenţială. În cazul
unei perturbaţii armonice sau aleatoare staţionare vibraţia proprie se
amortizează foarte repede, imediat după începutul mişcării,
rămânând doar vibraţia forţată, care, în anumite condiţii, poate
produce fenomenul de rezonanţă.
h. Rezonanţa. Acest fenomen dinamic ia naştere la frecvenţele
la care suma celor două energii “reactive” recuperabile – potenţială şi
cinetică – este nulă, iar energia transmisă structurii este egală cu cea
disipată prin frecări. Rezonanţa se produce când “spectrul de
145
frecvenţe” al perturbaţiei acoperă un domeniu ce cuprinde
frecvenţele proprii ale sistemului.
Rezonanţa se caracterizează prin amplitudini mari ale mişcării în
anumite puncte sau zone ale structurii, însoţite de tensiuni mari sau
deplasări relative considerabile, care pot duce la ruperi prin oboseală,
funcţionare necorespunzătoare, uzură sau zgomot accentuate.
5.2. Principiile şi etapele elaborării modelelor şi a analizei
problemelor dinamice
Elaborarea unui model şi abordarea prin calcul a analizei
comportării dinamice a unei piese sau structuri constă, în esenţă, în
definirea unui ansamblu de elemente elastice, inerţiale şi
disipative, capabil să descrie
satisfăcător fenomenul care
interesează şi constă în parcurgerea,
cel puţin, a următoarelor etape:
a. Adoptarea unei scheme
cinematice, prin care se aleg gradele
de libertate geometrică, care
definesc forma deformată a
structurii.
b. Definirea valorilor şi
poziţiilor maselor asociate schemei
cinematice. De exemplu, pentru
arborele din figura 5.1.a, având în
capătul liber un volant de masă M,
masa arborelui fiind m, se pot avea
în vedere numeroase modele de
calcul, dintre care se prezintă patru,
cu diverse variante de distribuire a
maselor şi a gradelor de libertate. Modelul din figura 5.1.e consideră
arborele cu masa distribuită şi deci cu o infinitate de grade de
libertate; pentru volant s-au considerat două grade de libertate:
deplasarea z1 şi rotirea φ1.
Piesele şi structurile reale au masele distribuite continuu. Dar
considerarea modelelor de calcul astfel – ceea ce înseamnă modelări
şi analize mai precise – duce la dificultăţi de calcul care nu sunt
Figura 5.1
146
totdeauna justificate, motiv pentru care frecvent se preferă modele de
calcul cu mase concentrate.
Operaţia de concentrare a maselor poate fi considerată din două
puncte de vedere şi anume:
- modelul cu mase concentrate aproximează structura reală, care
are masa distribuită, gradul de aproximare fiind cu atât mai bun, cu
cât se consideră mai multe mase concentrate. Suma maselor
concentrate trebuie să fie egală cu masa totală a structurii;
- modelul cu mase concentrate este echivalent, din punct de
vedere dinamic, cu structura reală, în sensul că, atât structura reală
cât şi modelul de calcul, au aceleaşi deplasări maxime sau aceeaşi
energie de deformaţie. În acest caz, din condiţia ca deplasările
maxime sau energiile de deformaţie să fie egale, rezultă masa
echivalentă a modelului, care, de obicei, nu este egală cu masa
structurii.
c. Definirea următoarelor caracteristici ale modelului de calcul:
- legăturile interioare deformabile ale structurii;
- relaţiile tensiune-deformaţie specifică (legea constitutivă);
- modelele corespunzătoare tipului de deformare considerat;
- proprietăţile materialelor din care este realizată structura;
- amortizările.
d. Definirea amortizărilor. Determinarea corectă a tipului de
amortizare precum şi estimarea valorilor constantelor de amortizare,
specifice problemei concrete care se studiază, constituie o dificultate
majoră a modelării şi analizei unei probleme dinamice. Variaţii
relativ neînsemnate ale tipului şi valorilor constantelor de amortizare
pot duce, în unele situaţii, la comportări dinamice complet diferite
ale structurii. Informaţii exacte privind caracteristicile de amortizare
ale structurii nu pot fi obţinute decât experimental, prin determinări
pe structura pentru care se face analiza. Dacă acest deziderat nu este
posibil (de exemplu, structura este în faza de proiectare), se folosesc
informaţiile disponibile de la structuri asemănătore, existente.
Principalele cauze ale amortizării vibraţiilor unei structuri
deformabile sunt:
- neelasticitatea materialelor, care produce “amortizarea internă”;
- frecările între elementele componente, care produc
“amortizarea de structură”;
147
- frecările cu mediul ambiant, care produc “amortizarea externă”.
Natura fizică a mecanismelor de amortizare este atât de
diferită, încât pentru descrierea lor este necesară utilizarea mai
multor modele, dintre care, cele mai cunoscute sunt următoarele:
- Amortizarea vâscoasă lineară. Cel mai simplu model mecanic
care descrie acumularea de energie potenţială de deformaţie şi
disiparea de energie constă dintr-un element elastic ideal (reprezentat
prin arcul de constantă elastică k în fig. 5.2.a) şi un amortizor ideal
(definit prin coeficientul de amortizare c) legate în paralel (model
denumit Kelvin - Voigt).
Forţa dezvoltată de arc
este proporţională cu
deplasarea relativă
|fe| = k(x-y) = kz, iar
forţa dezvoltată de
amortizor este
proporţională cu viteza
relativă
zc )y-xc( |f| d .
Deci relaţia “forţă – deplasare” pentru modelul din figura 5.2.a este
zckz f . (5.2)
- Amortizarea histeretică. Pentru multe materiale, energia disipată
într-un ciclu de vibraţie este proporţională cu pătratul amplitudinii
deplasării, fiind independentă de pulsaţie. Se ajunge la modelul din
figura 5.2.b, la care coeficientul de amortizare c variază invers
proporţional cu pulsaţia ω, adică c = h / ω, în care h este coeficientul
de amortizare histeretică.
Trebuie avut în vedere că modelul amortizării histeretice
(denumită şi amortizare “constructivă” sau “structurală”) este valabil
doar pentru vibraţii armonice, în cazul regimurilor tranzitorii ducând
la rezultate absurde.
- Amortizarea ereditară. Modelul cu trei parametri (fig. 5.2.c)
este format din amortizorul vâscos liniar c şi două elemente pur
elastice cu constantele k1 şi k2. Dacă pentru modelul cu amortizare
vâscoasă lineară (fig. 5.2.a) disiparea de energie era proporţională cu
viteza relativă instantanee, pentru modelul cu trei parametri (fig.
a b c
Figura 5.2
148
5.2.c) disiparea depinde de “istoria” acestei viteze, de aceea
amortizarea se numeşte “ereditară”. Modelul amortizării ereditare se
poate reduce la un model Kelvin -Voigt cu parametri dependenţi de
pulsaţie.
- Amortizarea coulombiană. Este un model de amortizare
nelineară, produsă de frecarea uscată. Forţa de amortizare
coulombiană are amplitudine constantă, este independentă de
deplasare şi de pulsaţie, având sens contrar vitezei.
- Amortizarea echivalentă. Pentru simplificarea modelului de
calcul, forţa de amortizare nelineară se înlocuieşte cu o forţă
vâscoasă sau histeretică lineară echivalentă, astfel încât energia
disipată pe ciclu de amortizorul nelinear să fie egală cu cea disipată
de amortizorul echivalent, deplasarea relativă fiind aceeaşi. Rezultă
că un coeficient de amortizare echivalent (vâscos sau histeretic)
depinde, în general, de pulsaţia şi amplitudinea vibraţiei; utilizarea
lui ca şi cum ar fi constant, presupune să se determine experimental
domeniul pentru care această ipoteză este valabilă. Observaţie. Cele 3 schematizări din figura 5.2 nu reprezintă structuri, ci
modele mecanice echivalente ale comportării materialului, deci sunt modele de
material.
La elaborarea modelului de calcul dinamic al unei structuri
trebuie să se aibă în vedere că elementele de amortizare cât şi cele
elastice se introduc atât între mase, cât şi între mase şi puncte fixe
(reazeme).
Ca urmare a frecărilor (amortizărilor) din structură, relaţiile de
dependenţă dintre sarcinile P şi deplasările u, precum şi cele dintre
tensiunile σ şi deformaţiile ε sunt nelineare.
a b c d e
Figura 5.3
Dacă se reprezintă grafic astfel de dependenţe, se obţin aşa-zisele
bucle de histerezis. În figura 5.3 se prezintă câteva modele de bucle
149
de histerezis, tipice, idealizate, obţinute pentru diverse clase de
structuri şi anume:
- structuri din oţel sudate: figura 5.3.a;
- structuri asamblate cu şuruburi, în care apar lunecări la un
anumit nivel al sarcinilor: figura 5.3. b şi c;
- structuri din beton armat precomprimat: figura 5.3.d;
- structuri din beton armat, ale căror rigidităţi scad la apariţia
fisurilor: figura 5.3.e.
e. Definirea legăturilor exterioare deformabile ale structurii,
luând în considerare şi proprietăţile mediilor adiacente (dacă este
cazul: de exemplu, fundaţiile).
f. Definirea acţiunilor mediului exterior considerate în calcul şi
stabilirea gradelor de libertate asupra cărora acţionează, adică
precizarea modului de aplicare şi definire a modului de variaţie în
timp a diferitelor componente ale unei acţiuni.
Aproximaţiile care se fac la elaborarea modelelor pentru studiul
dinamic al structurilor se referă la:
- înlocuirea caracteristicilor “distribuite” (continue) prin
parametri “concentraţi” (discreţi) similari;
- linearizarea relaţiilor cauză-efect dintre variabilele fizice;
- neglijarea variaţiei în timp a unor parametri;
- neglijarea caracterului aleator al unor fenomene.
5.3. Tipuri de analize dinamice
Pentru a acoperi diversele cerinţe ale practicii inginereşti, sunt
necesare mai multe tipuri de analize (şi modelări) ale dinamicii
pieselor şi structurilor. Cele mai importante şi mai utilizate se
prezintă în continuare.
Analiza modală. Se consideră un model care are în vedere doar
vibraţiile libere, fără amortizare (se neglijează amortizările, adică [C]
= 0 şi forţele aplicate structurii, adică {F(t)} = 0). Ecuaţia de mişcare
(5.1) în aceste condiţii, devine
0uKuM . (5.3)
Pentru ea se alege o soluţie de forma tieu , în care este o
funcţie de poziţie (forma modală) independentă de timp, este
pulsaţia proprie, iar t variabila timp. Înlocuind în (5.3) se obţine
150
0KM2 , (5.4)
care este o problemă generală de valori şi vectori proprii. Ea are ca
soluţie n perechi de valori proprii 2jj şi n vectori proprii
corespunzători j .
Vectorii proprii j sunt ortogonali în raport cu matricea de
masă [M] şi cu matricea de rigiditate [K] şi, de obicei, se ordonează
în ordinea crescătoare a valorilor proprii. Dacă vectorii proprii se
aranjează pe coloane, într-o matrice modală , relaţiile de
ortogonalitate se scriu în formă matriceală:
IMT
; KT
, (5.4.a)
în care: [I] este matricea unitate, iar 2jdiag , este matricea
spectrală, care conţine toate pulsaţiile (frecvenţele) vibraţiilor
proprii, libere, fără amortizare, ale structurii sau piesei.
Mărimea fizică uzual folosită de ingineri este frecvenţa proprie
fj = ωj / 2π .
Semnificaţia fizică a formei modale, este forma deformată a
structurii, care vibrează cu frecvenţa proprie respectivă.
Cea mai mică frecvenţă proprie este numită fundamentală. Dacă
structura are mişcări de corp rigid sau de mecanism, se obţin
frecvenţe proprii nule, corespunzătoare fiecărei mişcări de corp rigid
sau de mecanism. Dacă structura prezintă simetrii, este posibil să se
obţină frecvenţe proprii coincidente.
Analiza modală presupune, implicit, o comportare teoretică,
ideală, a structurii şi anume că aceasta “vibrează numai” cu frecvenţe
şi moduri de vibraţii proprii, pure, aceasta fiind consecinţa ipotezei
că sistemul nu are amortizări. În realitate, ca urmare a existenţei
amortizărilor, la o excitaţie dată, sunt “antrenate” mai multe
frecvenţe şi moduri proprii de vibraţii, fiecare mod, “participând” cu
o anumită pondere în fenomenul de ansamblu. Această observaţie a
dus la elaborarea unor metode de calcul dinamic, prin “suprapunerea
modurilor proprii” de vibraţii, care este o etapă ulterioară analizei
modale.
151
Observaţie. Se poate spune că atâta timp cât matricele [C] şi [K][M-1] nu au
aceeaşi vectori proprii, amortizările cuplează modurile proprii. Altfel, vibraţiile
structurii au loc ca şi când modurile proprii sunt independente. Un astfel de efect
de cuplare are loc şi atunci când există neliniarităţi în sistem, de exemplu când [K]
depinde de amplitudinea vibraţiilor.
Analiza spectrală. Analiza de răspuns linear al unei structuri, pe
baza unor înregistrări spectrale obţinute experimental (sau în urma
unei analize tranzitorii), este posibilă prin analiză spectrală.
Înregistrările spectrale (funcţii de frecvenţă) pot fi în viteză,
acceleraţie sau deplasare. Spectrul de încărcare al structurii, atât în
punctele fixate ale structurii, cât şi în cele libere, poate fi determinist
sau aleator.
Prin analiza spectrală (denumită şi analiză în frecvenţă), se
urmăreşte determinarea distribuţiei în frecvenţă (adică la frecvenţe
diferite, pentru un anumit interval de valori) a puterii (sau energiei)
mărimilor “dinamice” ale structurii: viteze, acceleraţii sau deplasări.
În acest scop se separă componentele de diferite frecvenţe (sau
pentru “benzi” de frecvenţe) ale unui semnal complex (de exemplu,
produs de funcţionarea unei maşini sau instalaţii) şi se determină
amplitudinea fiecăreia din ele, obţinându-se, astfel, spectrul de
frecvenţe al acelei mărimi: deplasare, viteză, acceleraţie. Aceste
informaţii sunt folosite pentru diferite “diagnostice” privind
comportarea structurii, ca, de exemplu, apariţia unui fenomen de
rezonanţă.
Metodele de calcul diferă, funcţie de caracterul excitaţiei: întru-
un singur punct, sau în mai multe puncte. Pentru vibraţii aleatoare se
foloseşte metoda densităţii spectrale de putere. În esenţă, metoda se
bazează pe o analiză modală, urmată de o combinaţie modală în
diverse ipoteze. Amortizarea se consideră în calcul, dar se presupune
că ea este proporţională sau modală.
Analiza armonică. Se determină răspunsul unei structuri care are
încărcarea (vectorul forţelor şi/sau al deplasărilor) variabilă după o
funcţie armonică (adică trigonometrică, de exemplu, sinusoidală), de
pulsaţie ω, constantă (sau frecvenţa f).
În ecuaţia de mişcare (5.1), tii
max eeF)t(F . Se presupune
că răspunsul (soluţia ecuaţiei) este de forma tiimax eeuu , în
care: maxF este amplitudinea forţelor; maxu este amplitudinea
152
răspunsului; este defazajul între forţe; este defazajul între
deplasări şi forţe.
Prin separarea părţii reale şi imaginare a vectorilor deplasare {u}
şi forţă {F} se obţine:
ti
ImRe euiuu ; ti
ImRe eFiFF ,
iar ecuaţia de mişcare (5.1) devine
ImReImRe2 FiFuiuKCiM , (5.5)
adică se obţine un sistem de ecuaţii liniare cu valori complexe
(echivalent problemei statice), în care necunoscutele sunt deplasările
şi/sau forţele. Este posibil ca pentru o parte a gradelor de liberate să
se cunoască forţele şi să nu se cunoască deplasările, sau invers.
Amplitudinea deplasării, maxu şi defazarea relativă a deplasării
faţă de faza forţei, , pentru fiecare grad de libertate, se calculează
cu relaţiile
2Im
2Remax uuu ; ReIm uuarctan .
Analiza armonică a răspunsului unei structuri este foarte
importantă pentru modelarea şi analiza problemelor dinamice ale
structurilor sau pieselor, deoarece orice mişcare periodică (oarecare),
poate fi descrisă ca suprapunerea unui număr, finit sau infinit, de
vibraţii armonice. În practică, se consideră totdeauna, un număr finit
de “armonice”, analizele inginereşti fiind aproximative. Acest
demers este justificat şi de faptul că unele moduri de vibraţie au o
contribuţie nesemnificativă la răspunsul structurii. Rezultă că vibraţia
armonică este mişcarea periodică elementară, sau fundamentală.
Analiza tranzitorie. Cea mai generală problemă dinamică este
cea pentru care {F} = {F(t)} (sau {u} = {u(t)}) este o funcţie
oarecare de timp. Soluţia unei astfel de probleme se obţine prin
integrarea directă, analitică sau numerică, a ecuaţiei de mişcare
(5.1). Această analiză permite introducerea tuturor tipurilor de
nelinearităţi. În cazul general încărcările pot proveni şi din deplasări
impuse, variabile în timp.
În cele ce urmează se consideră cazul încărcărilor cu forţe
variabile şi deplasări impuse nule. Analiza constă din rezolvarea pas
cu pas (incrementală), în timp, a ecuaţiilor de mişcare. Rezolvarea
este posibilă dacă se cunosc condiţiile iniţiale în deplasări şi viteze şi
153
dacă pasul de timp t , în algoritmul de integrare (numeric), este
suficient de mic pentru a descrie corect mişcarea şi a asigura
stabilitatea algoritmilor. Din punct de vedere matematic există două
tehnici distincte de integrare directă a ecuaţiei (5.1):
- metoda integrării implicite, în care
,u,u,ufu n1n1n1n , (5.6)
deci pentru calculul deplasării la pasul n + 1 ar trebui cunoscute
viteza şi acceleraţia la acelaşi pas, pe lângă deplasările, vitezele şi
acceleraţiile din paşii precedenţi;
- metoda integrării explicite, pentru care
,u,u,u,ufu 1nnnn1n , (5.7)
deci, pasul n+1 se calculează funcţie de mărimile precedente, până la
pasul n.)
Analizele tranzitorii, chiar pentru probleme dinamice relativ
simple, necesită un volum de calcul apreciabil. De aceea, aproape
toate problemele practice se rezolvă cu metode numerice de calcul,
implementate în programe, pe calculatoare.
5.4. Exemplu
Se consideră un exemplu de
analiză dinamică a unei structuri
cu patru grade de libertate.
Structura este reprezentată în
figura 5.4 şi este schema (modelul
de calcul) unei clădiri cu patru
nivele. Se face aproximarea că
fiecare nivel se poate mişca pe
orizontală independent de
celelalte, dar nu se poate roti sau
deplasa pe verticală. Legătura
dintre nivele este asigurată de
coloane cu rigiditatea la încovoiere
cunoscută (ki, i=1…4). În
exemplul numeric se consideră că
toate rigidităţile sunt egale între
ele şi au valoarea 68 MN/m.
Datorită frecărilor din elementele
Figura 5.4
f2(t)
f1(t)
f4(t)
f3(t) u3
u4
u1
u2
M1
M2
M3
M4
k1
k2
k3
k4
C
1
C
2
C
3
C
4
154
de fixare, mişcarea relativă a două nivele vecine este amortizată, cu
coeficienţii de amortizare (Ci, i=1…4). În exemplul numeric se
consideră că toate amortizările modale sunt egale între ele şi au
valoarea 0.01. Masele celor patru nivele sunt M1 = 3200 kg, M2 = M3
= 2600 kg şi M4 = 1800 kg. Forţe externe fi(t) acţionează asupra
fiecărui nivel.
Modelarea matematică. Se scrie ecuaţia de mişcare a fiecărui
nivel, luând în considerare forţele externe şi cele de legătură cu
nivelele vecine. De exemplu, pentru nivelul al doilea se poate scrie:
.)uu(C)uu(k
)uu(C)uu(k)t(fuM
233233
122122222
(5.8)
Ecuaţia întregului sistem este de forma (5.1), unde
.}u,u,u,u{}u{,
4C4C00
4C4C3C3C0
03C3C2C2C
002C2C1C
]C[
,
4K4K00
4K4K3K3K0
03K3K2K2K
002K2K1K
]K[,
4M000
03M00
002M0
0001M
]M[
4321
(5.9)
Analiza modală. Scopul analizei modale este dublu: pe de o
parte, se urmăreşte determinarea frecvenţelor naturale ale sistemului,
adică a acelor frecvenţe care, atunci când sunt regăsite la forţele de
excitaţie, duc la rezonanţa structurii, iar pe de altă parte, realizând
analiza modală se obţine matricea modală, cu ajutorul căreia sistemul
iniţial de ecuaţii (5.9) poate fi transformat într-un sistem de ecuaţii
decuplate. În analiza modală se neglijează efectul amortizărilor,
ecuaţia de mişcare a sistemului devenind de forma (5.3). Tabelul 5.1
Frecvenţa
proprie (Hz)
{}
Modul 1 9.51 {-0.0050, -0.0092, -0.0121, -.0134}
Modul 2 26.12 { 0.0123, 0.0090, -0.0036, -0.0124}
Modul 3 39.39 {0.0107, -0.0094, -0.0075, 0.0120}
Modul 4 48.56 { -0.0048, 0.0114, -0.0130, 0.0089}
Alegând o formă particulară a soluţiei, aceasta este pusă în forma
unei ecuaţii de valori proprii de forma (5.4), în care [M] şi [K] sunt
155
date în (5.9). Rezolvând această problemă de valori proprii se obţin
următoarele perechi de frecvenţe şi vector
Vectorii proprii arată cum se deformează structura, dacă ar vibra
liber cu frecvenţa proprie respectivă. Aceste moduri proprii de
vibraţie sunt reprezentate în figura 5.5.
Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4
Figura 5.5
Decuplarea ecuaţiei de mişcare. Aceasta se poate face folosind
matricea modală [. Decuplarea ecuaţiei (5.1) revine la
diagonalizarea matricelor din (5.9) şi este de dorit acest lucru,
deoarece, odată decuplate, ecuaţiile pot fi rezolvate independent,
pentru orice forţă de excitaţie. Pentru aceasta se procedează în felul
următor:
- Vectorul soluţie, {u}, este scris în mod formal ca o superpoziţie
de moduri proprii, }q{}u{ , unde {q} este un vector care poate fi
tratat pentru moment ca un vector de coeficienţi (se mai numeşte şi
vectorul coordonatelor modale). Introducând în ecuaţia de mişcare,
rezultă
)t(Fq][Kq][Cq][M ,
iar după înmulţirea la stânga cu inversa matricei modale, []-1
,
)t(F][q][K][q][C][q][M][ 1111 . (5.10)
În continuare se folosesc ecuaţiile care reprezintă normalitatea
modurilor proprii de vibraţie (5.4.a), astfel încât (5.10) se poate scrie
)t(F][qqCq]I[ 1
m
(5.11)
unde [I] este matricea unitate.
Vibraţiile libere. Vibraţiile libere sunt vibraţiile structurii, care
urmează unei solicitări de tip impuls. Pentru acest exemplu s-a
156
considerat un impuls (o “lovitură de ciocan”) aplicat masei M4.
Sistemul de ecuaţii a fost rezolvat impunând o viteză iniţială masei
M4. Răspunsul se obţine prin integrarea directă a ecuaţiei (5.11) sau
prin analiză modală şi este reprezentat în figura 5.6.
Figura 5.6 Figura 5.7
Din cauza amortizării, răspunsul sistemului descreşte spre zero,
imediat după solicitarea impuls. Se notează că în calculul de
rezistenţă, deplasarea dintr-un mod (al unui grad de libertate) este
oarecum irelevantă, mărimea importantă fiind deplasarea relativă a
două nivele vecine, ceea ce duce la tensiuni în elementele de
legătură.
Analiza spectrală. Spectrul de frecvenţe al sistemului considerat
se obţine efectuând transformata Fourier a răspunsului impuls. Pentru
exemplificare, s-a considerat răspunsul impuls la nivelul celui de al
patrulea grad de libertate, care s-a reprezentat în figura 5.6. Astfel, se
obţine spectrul răspunsului măsurat la nivelul acestei mase, ca în
figura 5.7.
Energia sistemului este concentrată în patru benzi de frecvenţă,
centrate la frecvenţele de rezonanţă. În sistemele cu amortizare,
aceste frecvenţe sunt diferite de frecvenţele proprii ale sistemului
(Tab. 5.1). În cazul în care amortizările sunt mici (care este şi cazul
curent), diferenţa dintre frecvenţele de rezonanţă şi cele proprii este
neglijabilă. În condiţiile în care structura este excitată cu o forţă
externă conţinând una dintre aceste frecvenţe, amplitudinea
răspunsului creşte foarte mult (dar nu la infinit, datorită prezenţei
amortizărilor) existând pericolul cedării. În general, se recomandă
157
proiectarea structurii astfel încât să nu aibă frecvenţe naturale în
regiuni apropiate frecvenţelor de excitaţie. Pentru o structură deja
executată, se recomandă modificarea ei prin adăugarea
amortizoarelor pasive sau active, care au şi scopul de a schimba
frecvenţa de rezonanţă a structurii.
5. Concluzii
Studiul unei probleme de dinamica unei piese sau structuri
implică un proces iterativ de îmbinare a analizei teoretice cu
determinările experimentale. În acest cadru, cunoaşterea
caracteristicilor dinamice ale materialelor şi ale structurii în
ansamblu (foarte importantă este cunoaşterea amortizărilor: tipul
procesului de amortizare şi valorile exacte ale constantelor),
constituie un factor esenţial pentru succesul modelării şi analizei
problemei dinamice. Forma cea mai evoluată de exprimare a acestor
exigenţe o constituie elaborarea modelului de calcul al sistemului
analizat, care permite efectuarea unor analize şi elaborarea unor
“predicţii” cantitative privind comportarea structurii în exploatare,
fiind deosebit de util în procesele de proiectare şi optimizare.
În acest context se ajunge la problema identificării sistemelor,
care este, în esenţă, procesul de determinare a ecuaţiilor diferenţiale
care descriu comportarea unui sistem, în concordanţă cu un criteriu
de performanţă prestabilit, pe baza unor relaţii între mărimile care
caracterizează excitaţia şi cele care caracterizează răspunsul.
Identificarea dinamică are ca obiectiv stabilirea ecuaţiilor de mişcare
şi implicit a coeficienţilor care intră în compunerea lor, deci
determinarea caracteristicilor dinamice ale structurii.
Bibliografie
1. Hangan, S.M., Crainic L.N., Concepte şi metode energetice în
dinamica construcţiilor, Bucureşti, Editura Academiei, 1980.
2. Radeş, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor
mecanice, Bucureşti, Editura Academiei, 1979.
3. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
158
6.
STABILITATEA PIESELOR ŞI
STRUCTURILOR
6.1. Generalităţi
Stabilitatea este proprietatea unei structuri de a-şi menţine, sub
un sistem de sarcini, poziţia, starea şi forma sau de a reveni la
poziţia, starea şi forma iniţiale după ce a fost scoasă din starea
respectivă. Pierderea stabilităţii se numeşte instabilitate sau flambaj
(voalare, pentru plăci) şi se poate produce când o perturbare oricât de
mică, suprapusă peste încărcarea considerată, schimbă configuraţia
geometrică a structurii.
În mecanica solidului rigid condiţiile de echilibru ale unui sistem
de corpuri (nedeformabile) nu depind, de regulă, de valorile
încărcărilor (forţe şi momente) sistemului. În mecanica corpurilor
deformabile condiţiile de echilibru al unui sistem depind
fundamental, în anumite situaţii, de valorile încărcărilor aplicate
sistemului.
Cerinţele de reducere a greutăţii structurilor şi a consumurilor de
materiale, au dus la realizarea unor structuri tot mai zvelte, pentru
care problemele calculului la stabilitate devin prioritare în analiza
acestora. Calculul static se dovedeşte insuficient pentru proiectarea
avantajoasă a structurilor în componenţa cărora intră elemente
elastice "subţiri", cum ar fi bare lungi, plăci şi învelişuri din tablă,
arcuri lamelare etc. Se menţionează că pierderea stabilităţii se
produce numai când încărcările structurii sunt de aşa natură încât
produc tensiuni de compresiune (cel puţin o componentă a
tensiunilor principale trebuie să fie de compresiune).
Pierderea stabilităţii (sau apariţia flambajului) barelor, cadrelor,
plăcilor şi învelişurilor este un răspuns al structurii datorat
eforturilor: forţe axiale pentru bare şi de "membrană" pentru plăci şi
învelişuri. Flambajul se produce atunci când energia de deformaţie
159
elastică, corespunzătoare tensiunilor axiale sau de membrană, se
converteşte în energie de deformaţie elastică de încovoiere, fără
modificarea încărcărilor exterioare. O parte din cantitatea mare de
energie de deformaţie elastică acumulată în deplasări axiale mici, se
regăseşte în energie de deformaţie elastică de încovoiere, pentru care
deplasările sunt mult mai mari. Explicaţia constă în faptul că pentru
structuri zvelte, rigiditatea axială (de exemplu, EA/ℓ pentru bare)
este mult mai mare decât rigiditatea de încovoiere (de exemplu, EI/ℓ3
pentru bare). Se poate spune că forţele axiale de compresiune reduc
rigiditatea la încovoiere a barelor, iar flambajul apare atunci când
rigiditatea totală se anulează (aceasta corespunde unei încărcări
critice). În mod similar, forţele de întindere măresc rigiditatea
structurii ("stress stiffening").
Calculele “clasice” la flambaj permit abordarea unor probleme
simple, particulare, bazându-se în general pe "izolarea" unei
componente a structurii (de exemplu, o bară) şi dezvoltarea
calculului pentru aceasta, în anumite ipoteze simplificatoare. În acest
fel se pot "prezice" încărcările critice care revin componentelor
separate. Adeseori acest calcul este necorespunzător, deoarece
pierderea stabilităţii se poate produce la nivelul întregii structuri, iar
aceasta poate avea loc la încărcări mult mai mici decât cele care
produc pierderea stabilităţii unei componente.
a b c d
Figura 6.1
Dacă se reprezintă grafic variaţia deformaţiilor specifice maxime
într-o structură, funcţie de efectul perturbator (generic, forţa P
din fig. 6.1), se pun în evidenţă mai multe tipuri de curbe
caracteristice de răspuns (fig. 6.1), funcţie de tipul structurii. Pentru
primele trei exemple se observă că până la apariţia flambajului (Pcr),
160
curbele teoretice (reprezentate cu linie continuă), prezintă o zonă
lineară, după care, funcţie de structură, deşi deformaţiile specifice
cresc, forţele care menţin echilibrul rămân constante (fig. 6.1.a,
pentru flambajul unei bare articulate), cresc (fig. 6.1.b, în cazul
voalării unei plăci), scad brusc, trecând printr-o stare de instabilitate
dinamică (fig. 6.1.c, pentru instabilitatea învelişurilor cilindrice), sau
chiar, uneori, pot duce la schimbarea semnului sarcinii P. Punctul
corespunzător "forţelor" la care apare flambajul (Pcr) este un aşa
numit punct de bifurcaţie. Pentru structuri cu deplasări elastice mari,
cum sunt membranele pocnitoare, elementele elastice, de tip arcuri
lamelare, discuri soare de ambreiaj etc, pierderea de stabilitate apare
lent şi corespunde unei sarcini limită (fig. 6.1.d).
În realitate, existenţa unor “imperfecţiuni” geometrice, de
încărcare şi de rezemare, "atenuează" curbele caracteristice teoretice
prezentate. Dacă imperfecţiunile sunt relativ mari, comportarea la
stabilitate a structurii se poate modifica considerabil. Curbele
reprezentate cu linie întreruptă în figura 6.1 corespund situaţiilor
reale, obţinute experimental.
Modelările şi analizele obişnuite, nu ţin seama de imperfecţiunile
geometrice, de încărcare şi de rezemare (esenţiale pentru încercările
de laborator şi pentru problemele reale), astfel că frecvent sarcinile
critice sau limită, obţinute prin calcul, depăşesc valorile reale, din
practică. Acest aspect trebuie avut în vedere pe tot parcursul
analizelor de stabilitate şi beneficiarul analizei trebuie informat în
mod corespunzător.
6.2. Noţiuni teoretice fundamentale
În inginerie şi în natură sunt sisteme şi structuri în care au loc
procese evolutive caracterizate prin aceea că schimbări mici şi
continue ale variabilelor, produc efecte mici, continue. Astfel de
sisteme, cu comportare continuă, se numesc hamiltoniene, la care
modificări mici ale cauzei produc modificări mici ale comportării
(fig. 6.2.a). Spre deosebire de acestea, sunt procesele evolutive la
care modificări mici ale variabilelor produc efecte discontinue, cu
schimbări bruşte de situaţie.
161
Astfel de sisteme se
numesc nehamiltoniene
şi comportarea lor se
prezintă schematic în
figura 6.2.b, prin două
curbe care se
intersectează într-un
punct singular, numit
punct de bifurcare. Dacă
comportarea sistemului are loc după prima curbă peste punctul
singular, cea mai mică perturbare duce sistemul pe cealaltă curbă,
printr-un salt care reprezintă o discontinuitate în comportarea
sistemului, denumită matematic catastrofă sau singularitate. În
această categorie intră şi problemele de stabilitate a pieselor şi
structurilor. Trebuie precizat că noţiunea de “catastrofă” este o abstracţie matematică, care
defineşte un anumit tip de discontinuitate şi nu are nici o legătură cu înţelesul uzual
al cuvântului. În fizică „catastrofa" există ca un anumit tip de situaţie limită,
teoretică, fictivă.
Pentru studiul proceselor cu discontinuităţi s-a elaborat o teorie
matematică denumită teoria catastrofelor. Discontinuităţi în
comportare se produc la sistemele evolutive cu comportare guvernată
de legi la care situaţia de stare rezultă dintr-un extrem al unei funcţii.
Aceste sisteme mai sunt denumite şi gradientale sau conservative.
Modelul general al catastrofelor este elaborat într-un limbaj şi
foloseşte o metodă pentru clasificarea şi sistematizarea unor date
empirice şi oferă fenomenelor din domeniile cele mai diverse (în
biologie, de exemplu, moartea unui organism viu poate fi studiată considerând că
este o singularitate, o bifurcare, o catastrofă sau o pierdere a stabilităţii vieţii) explicaţii care să le facă înţelese. Modelul catastrofelor elementare
are un caracter general, mai mult aplicativ şi defineşte un set de tipuri
de catastrofe în care se pot încadra toate fenomenele de
discontinuitate, indiferent de natura lor.
În vederea unei înţelegeri corecte şi mai profunde a fenomenelor
de stabilitate şi instabilitate a structurilor deformabile, se prezintă
esenţa modelului catastrofelor elementare.
Figura 6.2
162
Fie funcţia diferenţială
V : Ri X R
n → R, (6.1)
denumită şi potenţialul global, care depinde de Ri, parametrii
spaţiului de comportare (denumit şi spaţiul efectelor, spaţiul de stare
sau spaţiul variabilelor interne) şi Rn, parametrii spaţiului cauză
(denumit şi spaţiul de control sau spaţiul variabilelor externe).
Spaţiul de comportare are i dimensiuni iar cel de cauză, n
dimensiuni. Sistemul fiind gradiental, la care echilibrul se obţine prin
minimizarea potenţialului, se defineşte funcţia
MV = V,i = 0, (6.2)
denumită variaţia de catastrofă, care reprezintă suprafeţe de
echilibru în spaţiul Ri X R
n. Proiecţiile acestor suprafeţe în spaţiul R
n,
definite de parametrul λn este
χV : MV → Rn, (6.3)
denumită şi suprafaţa de catastrofă.
Ca exemplu, se consideră potenţialul V : R1 X R
2 → R, cunoscut
sub numele de catastrofă cusp, dat de relaţia
V(q, λ2, λ1) = q4 + λ2 q
2 + λ1 q , (6.4)
în care q este parametrul spaţiului de comportare, iar λ2 şi λ1 –
parametrii spaţiului cauză.
Figura 6.3
163
Minimul potenţialului V, pentru stabilirea poziţiilor de
echilibru, adică a punctelor staţionare, duce la suprafaţa
MV = V,q = ∂V / ∂q = 4q3 + 2λ2q + λ1 = 0, (6.5)
reprezentată în figura 6.3. Pentru λ2 > 0, suprafaţa MV nu are
decât zone cu potenţial minim. Dacă λ2 <0, există zone cu o singură
valoare extremă minimă şi zone cu trei valori extreme, doua minime
şi una maximă. Liniile care despart zonele cu potenţial minim de cele
cu potenţial maxim sunt date de singularităţile χ : M → R2, adică
V,qq = ∂2V / ∂q
2 = 12q
2 + 2λ2 = 0, (6.6)
care împreună cu ecuaţia (6.5) defineşte un set de singularităţi S pe
suprafaţa MV,
(q, λ2, λ1) = (α, -6α2, 8α
3), (6.7)
unde α este un parametru, sau
(λ2, λ1) = (-6α2, 8α
3), (6.8)
în spaţiul de control R2. Eliminând parametrul α din (6.8), rezultă
ecuaţia,
0278 2
1
3
2 , (6.9)
reprezentată în spaţiul de control R2 prin două curbe distincte, pentru
λ1 > 0, respectiv λ1 < 0.
Examinând pe suprafeţele MV diferite trasee, în funcţie de
parametrii spaţiului cauză, se disting mai multe comportări, care sunt
opuse conceptelor sistemelor hamiltoniene. Dacă λ2 este constant şi
pozitiv, traseul T1 este continuu (fig. 6.4.a); dacă λ2 este constant şi
negativ, pe traseul T2 există un punct singular, dat de relaţia (6.7), în
care are loc o modificare bruscă de traseu, o discontinuitate în
comportare (fig. 6.4.b).
Figura 6.4
La sistemele hamiltoniene, schimbări mici ale variabilelor
produc mici schimbări în comportare; din figurile 6.4.c şi d rezultă că
164
la valori λ1 >≈ 0; λ1 = 0; λ1 ≈< 0, care nu diferă decât foarte puţin
între ele, comportările sunt total diferite.
În modelarea conformă cu teoria catastrofelor parametrul cauză
λ1 este numit parametrul normal, iar λ2, care separă cele două
domenii cu comportări foarte diferite, parametrul de bifurcare sau de
separare, deoarece acesta defineşte în proces punctul de bifurcare.
Schimbarea majoră de comportare la modificări mici ale variabilelor
se numeşte divergenţă.
În funcţie de numărul de parametri ai spaţiului cauză există un
număr fix de modele ale catastrofelor elementare şi anume : Numărul parametrilor spaţiului cauză n 1 2 3 4 5 6
Numărul modelelor de catastrofe elementare 1 2 5 7 11 ∞
Limitarea numărului de modele de catastrofe are consecinţe
practice importante în studiul comportării sistemelor evolutive.
Deoarece numărul parametrilor spaţiului de comportare nu intervine
în stabilirea numărului de comportări posibile, teoria catastrofelor
permite identificarea acelor parametri care determină procesul de
discontinuitate (catastrofă). Aceşti parametri de comportare se
numesc parametri activi, iar ceilalţi, care nu influenţează decisiv
catastrofa sunt parametri pasivi şi se pot elimina din studiul
comportării sistemului. De exemplu, dacă numărul parametrilor
spaţiului cauză este Rn
= R4, sunt posibile şapte modele de
comportare şi anume: fold, cusp, coadă de rândunică, ombilicul
hiperbolic, ombilicul eliptic, fluture şi ombilicul parabolic 1.
Numărul parametrilor de comportare vor fi: unul pentru procesele
fold, cusp, coadă de rândunică şi fluture şi doi pentru procesele
ombilicale. Astfel, dintr-un număr mare de parametri de comportare,
pot fi identificaţi numai unul sau doi parametri, care intervin în
expresia potenţialului modelului de catastrofă respectiv şi care duc la
un fenomen de bifurcare. Ceilalţi parametri fiind pasivi, se elimină
din analiză.
Pentru modelele de stabilitate şi instabilitate a structurilor,
deformaţiile, deplasările şi rotirile care definesc comportarea
structurii sunt parametrii spaţiului de comportare şi acţiunile,
sarcinile, imperfecţiunile geometrice sau mecanice sunt parametrii
spaţiului cauzelor.
165
Expresiile proceselor de catastrofă sunt algebrice şi se exprimă
cu ajutorul polinoamelor simple.
Modelele şi analizele de stabilitate ale structurilor pot fi de tip
eulerian, care se limitează la determinarea sarcinii de bifurcare,
denumită sarcină critică, fără să se determine şi comportarea
structurii după pierderea stabilităţii. Astfel de modele se folosesc
pentru bare şi structuri din bare. Folosirea modelelor şi analizelor
euleriene pentru unele categorii de structuri formate din plăci plane
sau curbe este greşită. În astfel de cazuri trebuie să se utilizeze
modele ale comportării postcritice, care permit analiza structurii şi
după pierderea stabilităţii. Frecvent este necesar să se utilizeze
concomitent modele şi analize de ambele tipuri.
Fenomenele de instabilitate se manifestă ca modificări esenţiale,
care se produc brusc (în intervale foarte scurte de timp) ale
parametrilor ce defineau starea staţionară a sistemului sau structurii,
adică cea anterioară pierderii stabilităţii. Un sistem mecanic
deformabil poate avea două forme de staţionaritate:
- echilibru static (faţă de un sistem de referinţă inerţial);
- o mişcare definită prin coordonatele şi vitezele generalizate,
conformă cu “principiul minimei acţiuni” al lui Hamilton.
Instabilitatea se manifestă, în primul caz, prin pierderea
echilibrului static (creşterea bruscă a deformaţiilor sub acţiunea unor
încărcări statice critice), iar în cel de-al doilea caz, sistemul mecanic
suferă o perturbare a mişcării principale, prin creşterea nelimitată a
vitezelor şi acceleraţiilor. În ambele cazuri fenomenul de instabilitate
constă, în esenţă, în apariţia unor acceleraţii mari prin modificarea
accentuată a configuraţiei geometrice a sistemului mecanic şi prin
modificarea balanţei energetice a sistemului, cu eliberare de energie
cinetică. Concomitent, ca o consecinţă naturală, în structură se
modifică substanţial solicitările (tipurile şi intensităţile lor) şi
configuraţiile câmpurilor deplasărilor, deformaţiilor şi tensiunilor.
Prin urmare, termenul de instabilitate dinamică este un
pleonasm, iar cel de instabilitate statică, un nonsens.
Conceptul de stabilitate statică defineşte exclusiv stabilitatea
echilibrului unei structuri sub acţiunea încărcărilor statice sau
cvasistatice (cu variaţii relativ lente în timp).
Conceptul de stabilitate dinamică defineşte:
166
- stabilitatea echilibrului static al unei structuri, sub acţiunea
dinamică a sarcinilor sau a sarcinilor dinamice. În general, poate fi
necesară distincţia între sarcini care acţionează dinamic, adică
sarcini cu valori şi direcţii care se modifică, aperiodic, într-un
interval relativ scurt de timp şi sarcini dinamice care variază în timp,
după o anumită lege, de obicei periodică;
- stabilitatea mişcării principale a unui sistem mecanic.
Comportarea unei structuri este complet definită dacă sunt
cunoscute cele trei secvenţe principale ale procesului încărcare–
deformaţie şi anume comportările precritică, critică si postcritică
(fig. 6.5).
Teoria stabilităţii structurilor se ocupă cu domeniul comportării
precritice şi mai ales, cu determinarea încărcării de pierdere a
stabilităţii (sarcina critică). Teoria instabilităţii structurilor studiază
comportarea critică şi postcritică a structurilor, determinând modelul
(tipul) de instabilitate ce se produce la atingerea sarcinii critice şi ce
se întâmplă cu structura după ce şi-a pierdut stabilitatea.
Acţiunile (cauzele)
care trebuie avute în
vedere în studiul
stabilităţii sau
instabilităţii structurii
pot proveni dintr-un
potenţial (de exemplu,
câmpul gravitaţional) şi
îşi păstrează direcţia în
timpul procesului de
instabilitate, deoarece
potenţialul nu se schimbă; astfel de acţiuni se numesc conservative.
Acţiunile ale căror mărimi şi / sau direcţii sunt variabile în timpul
procesului de instabilitate, deoarece, de exemplu, depind de
deplasările şi / sau deformaţiile structurii, se numesc neconservative.
De exemplu, bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, solicitată
la compresiune cu o forţă P, este un sistem conservativ în figura 6.6.a
şi neconservativ în figura 6.6.b, deoarece forţa P îşi schimbă direcţia
în procesul de pierdere a stabilităţii.
Figura 6.5 Figura 6.6
167
Instabilitatea structurilor produsă de acţiuni conservative poate
fi studiată direct sau cu ajutorul unor modele de calcul cvasistatice
(inclusiv energetice), denumite convenţional metode statice. Pentru
problemele din această categorie nu trebuie stabilit modul în care
variază deplasările sistemului între forma iniţială şi cea flambată.
Acest fapt este posibil deoarece lucrul mecanic efectuat de sarcini, în
timpul procesului de pierdere a stabilităţii, depinde numai de poziţiile
iniţială şi finală ale sistemului de sarcini, adică este independent de
traiectoriile parcurse de punctele de aplicaţie ale sarcinilor.
Instabilitatea produsă de acţiuni neconservative, poate fi
studiată numai cu modele dinamice de calcul, cu ajutorul cărora se
caută un criteriu dinamic de stabilitate. Modelele statice (inclusiv
cele energetice) sunt inadecvate, adică acestea duc la obţinerea unor
rezultate greşite. Metodologia de rezolvare a problemelor
neconservative necesită stabilirea modului în care sistemul se
deformează (evoluţia deplasărilor sistemului) în procesul de pierdere
a stabilităţii şi care este configuraţia sistemului de sarcini în
desfăşurarea acestui proces (valorile, direcţiile şi punctele lor de
aplicaţie).
În cadrul metodologiei generale de rezolvare a problemelor
neconservative se presupune că bara încărcată este supusă unei
perturbări iniţiale, care dă naştere unor mici vibraţii. Dacă
amplitudinile acestor vibraţii scad în timp (dispar treptat), datorită
proceselor de amortizare şi sistemul revine la forma iniţială,
înseamnă că aceasta este forma sa stabilă de echilibru (sistemul nu îşi
pierde stabilitatea). Dacă, dimpotrivă, amplitudinile vibraţiilor cresc
fără limită, datorită lucrului mecanic produs de sistemul de sarcini,
forma iniţială a sistemului este nestabilă (sistemul îşi poate pierde
stabilitatea). Valoarea critică a sarcinilor se obţine din condiţia
impusă soluţiei ecuaţiei de mişcare a sistemului ca amplitudinea
vibraţiilor să crească indefinit (să tindă spre infinit).
Comportarea precritică a structurii poate fi lineară sau
nelineară, după cum dependenţa dintre sarcini şi deplasări poate fi
reprezentată printr-o dreaptă, respectiv printr-o curbă. Dacă se admite
un model linear al comportării precritice, se poate utiliza teoria
lineară sau teoria de ordinul întâi, în cadrul căreia ecuaţiile de
echilibru se scriu pentru starea nedeformată a structurii şi dependenţa
168
dintre eforturi şi deplasări este lineară. Dacă modelul precritic este
nelinear, de exemplu, este cu deplasări mari, se utilizează teoria
linearizată sau teoria de ordinul doi, ecuaţiile de echilibru fiind
scrise pentru starea deformată a structurii, dar cu neglijarea
deplasărilor mari în expresiile eforturilor. Dacă deplasările sunt
foarte mari, se utilizează teoria nelineară sau teoria de ordinul trei,
ecuaţiile de echilibru fiind scrise pentru starea deformată a structurii,
dependenţele dintre eforturi şi deplasări fiind nelineare.
Instabilitatea (sau pierderea stabilităţii) structurii se produce în
punctul critic şi poate avea loc după un model de bifurcare, ca în
figura 6.7.a, la intersecţia a două curbe de echilibru, curba
precritică putând fi lineară (fig. 6.7.a) sau nelineară (fig. 6.5).
Considerarea unei comportări precritice lineare duce la o simplificare
considerabilă a calculelor.
Instabilitatea structurii poate avea loc şi după un model de
limitare, ca în figura 6.7.b, când comportarea precritică este lineară
numai în prima porţiune, nelinearitatea accentuându-se cu cât
încărcarea se apropie
de cea critică, când
tangenta la curba de
comportare devine
orizontală şi defineşte
sarcina limită (fig.
6.7.b). Rezultă că
instabilitatea prin
limitare nu poate fi
studiată decât
considerând o
comportare precritică nelineară.
Pierderea stabilităţii prin bifurcare sau limitare se produce în
funcţie de tipul şi proprietăţile structurii şi anume:
a. Instabilitatea prin bifurcare se produce la structurile:
- la care deformaţia precritică nu conţine forma deformatei de
instabilitate;
- la structurile ideale, fără imperfecţiuni geometrice sau
mecanice;
Figura 6.7
169
- la structurile cu imperfecţiuni geometrice, dar la care forma
imperfecţiunii nu este geometric asemenea cu cea de instabilitate.
b. Instabilitatea prin limitare se produce la structurile:
- la care deformata precritică conţine forma deformată de
instabilitate;
- la structurile cu imperfecţiuni geometrice care sunt afine cu
deformatele de instabilitate;
- la structurile pleoştite (aproape plane), cu sarcini
transversale.
Comportarea postcritică a structurii poate fi stabilă sau instabilă
şi este caracterizată prin deformaţii şi deplasări mari, studiile în acest
domeniu fiind dificile deoarece trebuie avute în vedere modele
nelineare, adică se ajunge la calcule de ordinul trei.
Calculul stabilităţii şi instabilităţii structurilor se face având în
vedere unul dintre criteriile: static, dinamic, energetic sau al
imperfecţiunilor iniţiale.
6.3. Exemple
6.3.1. Flambajul barei drepte, solicitată la compresiune a fost
studiat de Euler. Se consideră o bară dreaptă, de lungime ℓ, cu
secţiune constantă, articulată la capete, solicitată la compresiune cu o
forţă P, aplicată în centrul de greutate al secţiunii superioare a barei
(fig. 6.8.a). Experienţa arată că echilibrul dintre forţa exterioară P şi
eforturile interioare ale barei depinde de valoarea forţei P.
Dacă valoarea forţei P este relativ
mică, în secţiunile barei va exista
numai forţa axială N = P (fig. 6.8.b) şi
echilibrul dintre forţele exterioare şi
cele interioare corespunzătoare formei
rectilinii a barei este stabil, solicitarea
în bară fiind numai de compresiune.
Dacă valoarea forţei P creşte, la un
moment dat, forma rectilinie de
echilibru dintre forţele exterioare şi
cele interioare devine instabilă şi bara
capătă o formă curbilinie de echilibru
(fig. 6.8.c). În această nouă situaţie
Figura 6.8
170
forţa exterioară P este echilibrată de forţa axială N = P şi de
momentul încovoietor Miy = Pw, solicitarea în bară fiind de
compresiune şi încovoiere, adică solicitarea simplă iniţială (de
compresiune) a devenit o solicitare compusă de compresiune şi
încovoiere. Această formă curbilinie de echilibru este, de obicei,
instabilă (numai în anumite situaţii poate fi şi stabilă). Deci, pentru o
anumită valoare a sarcinii P bara ia o nouă formă de echilibru,
curbilinie, adică forma iniţială, rectilinie, de echilibru, trece din
stabilă în instabilă.
Valoarea sarcinii corespunzătoare trecerii de starea iniţială,
stabilă, de echilibru la cea instabilă, se numeşte valoare critică de
flambaj a sarcinii şi se notează Pcr.
Dacă bara a flambat şi are o deplasare w relativ mică, momentul
încovoietor într-o secţiune oarecare are valoarea Miy = Pw iar ecuaţia
diferenţială a barei este (fig. 6.8.c şi d)
.0wEI
P
dx
wdsau,Pw
dx
wdEI
y
2
2
2
2
y (6.10)
Cu notaţia P/ yEI = α2, ecuaţia (6.10) devine
,0wdx
wd 2
2
2
(6.11)
a cărei soluţie este
w = A sin αx + B cos αx. (6.12)
Constantele de integrare A şi B se determină prin scrierea
condiţiilor la limită pentru bara considerată şi anume: la capătul de
jos al barei x = 0, w = 0, iar la capătul de sus al barei x =ℓ , w = 0.
Aceste relaţii duc la sistemul de ecuaţii: B = 0 şi A sin αl + B cos αl
= 0. Acest sistem, pentru cele două constante A şi B, are soluţii
nebanale numai dacă determinantul său este nul, ceea ce duce la
relaţia:
sin αl = 0 (6.13)
Această condiţie este îndeplinită numai dacă αℓ = π, 2π, 3π, …,
nπ, … , ceea ce determină valori ale parametrului α. Mai general, α
reprezintă setul de valori proprii al problemei pe frontieră (de
exemplu, condiţiile în reazeme). Funcţiile proprii asociate cu fiecare
dintre aceste valori proprii determină “modul de flambaj,” adică
forma structurii imediat după momentul pierderii stabilităţii.
171
Pentru prima dintre aceste soluţii (n = 1), adică pentru
,EIP y
222 rezultă cea mai mică dintre valorile forţei P, care
este expresia forţei critice de flambaj
2
y
2
cr
EIP
, (6.14)
cunoscută ca formula lui Euler, publicată în 1744.
Dacă secţiunea barei are momente de inerţie diferite în raport cu
diverse direcţii, flambajul se va produce în planul în care secţiunea
are moment de inerţie minim, adică relaţia (6.14) capătă forma
,EI
P2
min
2
cr
(6.15)
cu precizarea că trebuie avute în vedere condiţiile de rezemare ale
barei din planul respectiv. Deci se pot întâlni situaţii în care
flambajul barei trebuie studiat în diverse plane longitudinale
deoarece momentele de inerţie axiale ale secţiunii si condiţiile de
rezemare sunt diferite.
Observaţii şi concluzii. - Se constată că în relaţia (6.12),
w = A sin αx, valoarea constantei A, care este deplasarea maximă
wmax, a rămas nedeterminată. Pentru aflarea sa trebuie făcut studiul
postcritic, pentru deplasări mari, al barei.
- Este “ciudat” faptul că wmax nu depinde de valoarea sarcinii P,
adică după ce bara a flambat, valorile deplasărilor w devin arbitrare,
adică nu mai depind de valoarea sarcinii P. De asemenea, se constată
o contradicţie între rezultatele obţinute şi anume: dacă se presupune
că A=B=0 şi αℓ >≈ π, înseamnă că bara redevine rectilinie pentru o
valoare P > Pcr. Aceste anomalii provin din faptul că pentru bara
deformată s-a folosit ecuaţia (6.10), care este aproximativă,
acceptabilă doar pentru deplasări w mici ale barei, ecuaţia exactă
fiind (4.18).
- Expresia formei
deformate a barei este o
sinusoidă care poate
avea un număr oarecare
n de semiunde, ca în
figura 6.9. Acestea sunt diferitele moduri de flambaj menţionate mai
sus, fiecare corespunzând unei valori proprii, . Sarcina critică de
Figura 6.9
172
flambaj dată de relaţia (6.15), corespunde la n = 2, 3, 4 … şi de 4, 9,
16 …ori mai mari decât valoarea minimă Pcr, dată de relaţia (6.15).
Această observaţie se aplică în practică prin plasarea unor reazeme
intermediare care să “oblige” bara să flambeze cu un număr superior
de semiunde, astfel putând să suporte sarcini mai mari.
- Dacă bara are la capete alte condiţii de rezemare, decât
rezemarea simplă, procedura de calcul este aceeaşi schimbându-se
numai condiţiile la limită şi valorile constantelor A şi B. Rezultă o
formă mai generală a relaţiei (6.15) şi anume
,)(
EIP
2
min
2
cr
(6.16)
în care μ este coeficientul de reducere a lungimii barei, ale cărui
valori depind de condiţiile de rezemare de la capetele barei.
Se foloseşte şi
noţiunea de lungime de
flambaj a barei, care este
ℓf = μℓ. În figura 6.10 sunt
reprezentate schematic 6
cazuri de flambaj, având
diverse condiţii de
rezemare; pentru fiecare
caz se dă valoarea
coeficientului μ de
reducere a lungimii barei.
- Ecuaţia (6.10) s-a
obţinut în ipoteza unor solicitări linear elastice ale materialului, adică
s-a presupus că este valabilă legea lui Hooke σ = Eε. Dacă se are în
vedere că bara este solicitată la compresiune, înseamnă că σ = P / Aef,
în care Aef este aria efectivă a secţiunii barei. În momentul producerii
flambajului tensiunea σ devine σcr, care se mai notează şi σf
(denumită şi tensiunea de flambaj), pentru care se poate scrie
succesiv:
2
2
2
min
2
2
2
min
2
2
min
2
crfcr
E
i
E
A)(
iAE
A)(
EI
A
P
, (6.17)
Figura 6.10
173
în care AIi minmin este raza de inerţie minimă a secţiunii barei şi
mini este coeficientul de zvelteţe al barei. Din relaţia (6.17) se
vede că dependenţa dintre σcr şi λ este o hiperbolă, care este
reprezentată grafic în figura 6.11 (curba ABC). Având în vedere
condiţiile în care s-a determinat relaţia (6.17) însemnă că ea este
valabilă numai dacă σcr ≤ σp, (limita de proporţionalitate a materialului),
adică bara trebuie să fie solicitată elastic (flambajul să fie elastic;
curba AB din fig. 6.11).
Condiţiei σcr = σp îi
corespunde valoarea
p
2
0 E , care pentru
oţel (E = 2.1*105 N/mm
2 şi
σp = 210 N/mm2) este
λ0 =100. (Deoarece, pentru
oţeluri, σp are diferite valori, de
regulă se consideră λ0
=100…105).
În concluzie, (fapt
confirmat şi de cercetările experimentale), formula (6.16) a lui Euler,
trebuie folosită exclusiv pentru domeniul elastic de flambaj, adică
numai dacă λ ≥ λ0 şi / sau σcr ≤ σp. Aceste condiţii sunt satisfăcute de
barele zvelte, lungi şi cu secţiuni de dimensiuni relativ mici.
Pentru bare scurte, cu secţiuni relativ mari, solicitate la
compresiune, s-au făcut numeroase cercetări experimentale (primele
încercări au fost făcute de Musschenbroek în 1739) şi teoretice, care
au dus la concluzia că dacă σp < σcr < σc, (σc este limita de curgere a
materialului), adică λ1 < λ < λ0, flambajul este plastic şi dependenţa
dintre σcr şi λ este lineară (dreapta BD din fig. 6.11), denumită relaţia
lui Tetmajer – Jasinsky
σcr = a – b λ, (6.18)
în care coeficienţii a şi b au valori diferite pentru diverse materiale,
adică relaţia (6.18) este empirică. (Sunt materiale, de exemplu, fonta,
pentru care în locul dreptei BD este o parabolă σcr = a–b λ+c λ2). Pe
baza rezultatelor experimentale obţinute s-au elaborat diverse
prescripţii oficiale de calcul.
Figura 6.11
174
Dacă pentru bara solicitată la compresiune σ ≥ σc şi / sau (λ ≤
λ1), nu se va mai produce flambajul şi calculul se face la
compresiune simplă (dreapta DF din fig.6.11).
Calculul la flambaj se face având în vedere că este un fenomen
complex, greu de controlat, la fel de periculos ca şi ruperea. Piesele
trebuie proiectate astfel încât sarcina reală aplicată, P (din timpul
funcţionării), să aibă o valoare mai mică decât sarcina critică Pcr (de
flambaj), astfel încât să nu existe pericolul producerii flambajului.
Raportul c = Pcr / P se numeşte coeficient de siguranţă la flambaj, în
construcţia de maşini valorile uzuale ale acestuia fiind între 3 şi 30.
Calculul la flambaj are particularitatea că se face cu relaţii
diferite, în funcţie de domeniul de flambaj: elastic sau plastic (fig.
6.11), adică cu formula (6.17), a lui Euler, respectiv cu formula
(6.18), a lui Tetmajer – Jasinsky.
6.3.2. Relaţia cu teoria catastrofelor. Flambajul barelor drepte
comprimate, expus în exemplul de la paragraful 6.3.1, este numai un
caz particular de instabilitate, a cărui formulare matematică generală
este făcută în teoria catastrofelor. Astfel, condiţiile critice de flambaj
se pot determina atât ca la paragraful 6.3.1, cât şi pe baza teoriei din
paragraful 6.2.
În teoria catastrofelor, problema instabilităţii este formulată
energetic, pentru ca formularea să fie foarte generală. Energia
potenţială totală a sistemului (potenţialul global, V, în limbajul din
§6.2) este exprimată funcţie de încărcări (forţa P, în acest caz, sau
parametrii spaţiului de control) şi de parametrii modului de
deformare (parametrii spaţiului de comportare). Pentru acele valori
ale acestor parametri, pentru care energia potenţială totală are variaţii
care sunt reprezentate de o funcţie convexă, sistemul este stabil.
Instabilitatea apare când energia potenţială totală “îşi pierde”
caracterul convex. Se prezintă aceste noţiuni pentru cazul particular
al barei drepte comprimate, din figura 6.8.
Se consideră structura figura 6.12, în care bara este reprezentată
în starea post-critică. Lungimea barei înainte de deformare, cât şi
cea de după deformare, dar măsurată de-a lungul barei deformate,
este ℓ0. Proiecţia ei pe verticală este ℓ. Bara este încărcată cu forţa
axială P, cât şi cu o forţă transversală, q, care se presupune că
175
acţionează într-o secţiune oarecare a barei (poziţia punctului de
aplicare este irelevant).
Această forţă suplimentară nu afectează
condiţiile de pierdere a stabilităţii, ea putând
avea o valoare oricât de mică. Se calculează
energia potenţială totală, Π, a acestui sistem,
care este diferenţa dintre energia de
deformaţie, U (stocată în structura deformată
elastic) şi lucrul mecanic, L, al forţelor
externe (sarcinilor), adică Π = U - L.
Pentru aceasta, sunt necesare
următoarele relaţii, care leagă lungimea
elementului de arc, ds, al barei deformate şi
momentul de încovoiere, M, de săgeata w(x)
în secţiunea de abscisă x:
)x('w2
11)x('w1
)x(cos
dxds 22
,
)x("w1
EI
M
,
în care w’ şi w’’ reprezintă prima şi a două
derivată a lui w(x). Cea de-a doua formulă a fost discutată în
capitolul 4 şi este relaţia de calcul la încovoiere pură a barelor drepte.
Energia de deformaţie, U, este suma energiei datorate solicitării
de compresiune şi cea datorată încovoierii şi poate fi scrisă astfel:
0
0
220
20
0
0
2
covincomp dx))x('w2
11)(x("wEI
2
1
EA2
Pds
EI2
)s(M
EA2
PUUU
Lucrul mecanic, L, efectuat de forţele externe este:
0
0
22
0
0
0qwdx))x('w
2
11)(x('w
2
Pqwds))s(cos1(Pqw)(PL
.
Se presupune că bara se deformează după o sinusoidă, astfel
încât /xsinw)x(w (în care w = wmax). Înlocuind în expresiile
energiei de deformaţie şi lucrului mecanic, energia potenţială totală a
structurii devine
qwPEI
4wP3
EI
32w
EA2
PLU
2
2
2
22
2
2
3
44
2
,
Figura 6.12
176
unde ℓ0 a fost înlocuit cu ℓ, după calculul lui Π.
Neglijând o constantă în w (energia datorată compresiunii),
această ecuaţie este de forma ecuaţiei (6.4), în care 1 şi 2 sunt,
respectiv, coeficienţii lui w şi w2. Conform discuţiei din §6.2,
structura îşi pierde stabilitatea când coeficientul lui w2 devine
negativ. Aceasta duce la ecuaţia (6.15), pentru sarcina critică de
flambaj. Atâta timp cât 2 este pozitiv, V = Π are un singur minim, în
timp ce pentru 2 < 0, V (adică Π) are două minime distincte, deci
structura este instabilă.
6.3.3. Stabilitatea barei drepte solicitată la răsucire şi
compresiune. Această problemă se întâlneşte la arbori, prăjini de
foraj, procese tehnologice de găurire etc.
Se consideră o bară de
lungime ℓ, articulată la
capete, încărcată cu o forţă
P de compresiune şi un
moment de răsucire Mt.
Datorită răsucirii, forma
deformată a barei este o
curbă spaţială, ale cărei
deplasări (relativ mici) se
definesc prin componentele
din planele principale de
inerţie oxz şi oxy, ca în
figura 6.13. Dacă
deplasările sunt relativ mici
se poate face aproximaţia
că momentul de răsucire
este constant în toate
secţiunile barei, fiind
tangent la axa deformată a barei. Bara îşi poate pierde stabilitatea şi
în cazul când solicitarea este numai de răsucire.
Componentele momentelor încovoietoare sunt (fig. 6.13):
- în planul xoz: -Pw produs de forţa de compresiune P şi
Mtdv/dx, produs de momentul de răsucire;
- în planul xoy: -Pv produs de forţa de compresiune P şi -
Mtdw/dx, produs de momentul de răsucire Mt.
Figura 6.13
177
Ecuaţiile diferenţiale ale axei deformate a barei, în cele două
plane sunt
dx
dwMPv
dx
vdEI;
dx
dvMPw
dx
wdEI t2
2
zt2
2
y . (6.19)
Ecuaţiile (6.19) au soluţii de forma
w = C1 erx
; v = C2 erx
, (6.20)
care înlocuite în sistemul (6.19) duc la sistemul algebric linear şi
omogen
(EIyr2+P)C1–Mt r C2 =0; Mtr C1 +(EIz r
2 + P)C2 = 0. (6.21)
Pentru a simplifica expunerea se consideră cazul particular al
unei secţiuni care are Iz = Iy = I.
Condiţia ca sistemul (6.21) să aibă pentru C1 şi C2 soluţii
nebanale este ca determinantul sistemului să fie nul, ceea ce duce la
relaţia
(EI r2 + P)
2 + Mt
2 r
2 = 0, (6.22)
ale cărei rădăcini sunt ± α1i şi ± α2i, în care
22
22
22
2
t
22
2
t2,1
IE
P
IE2
M
EI
P
IE2
M
EI
P
. (6.23)
Soluţia generală a sistemului (6.19) este
w = α1 (A cos α1x – B sin α1x) + α2 (C cos α2x – D sin α2x),
v = (P – EI α12) (B cos α1x + A sin α1x) + (P – EI α2
2) (D cos α2x
+ C sin α2x).
Condiţiile la limită sunt: pentru x = 0 şi x = ℓ, w = 0 şi v = 0. Se
formează sistemul
α1A + α2C = 0 , (P – EI α12)B +(P – EI α2
2) D = 0,
α1(Acosα1ℓ–Bsinα1ℓ)+α2(Ccosα2ℓ–D sin α2ℓ) = 0, (6.24)
(P– I α12)(Bcosα1ℓ+Asinα1ℓ)+(P–EIα2
2)(Dcosα2ℓ+Csin α2ℓ).
Pentru ca sistemul de ecuaţii (6.24), al constantelor A, B, C, D,
linear şi omogen, să aibă soluţii nenule trebuie ca determinantul său
să fie nul, ceea ce duce la ecuaţia cos (α1ℓ - α2ℓ) = 1, a cărei soluţie
cu cea mai mică valoare este α1ℓ - α2ℓ = 2π, sau explicit
2
2
22
2
t
IE4
M
EI
P
. (6.25)
178
Dacă Mt = 0 relaţia (6.25) devine formula lui Euler, iar dacă P =
0, se obţine valoarea critică a momentului de răsucire pentru o bară
solicitată numai la răsucire: Mt cr = 2 π EI / ℓ.
6.4. Folosirea metodei elementelor finite la modelarea şi
analiza problemelor de stabilitate
Utilizarea metodei elementelor finite pentru studiul problemelor
de stabilitate a structurilor se bazează pe ideea că relaţia [k]{u] =
{R}, care exprimă dependenţa dintre sarcinile {R} şi deplasările {u}
este nelineară, nelinearitatea provenind din faptul că matricea de
rigiditate [k] a structurii este funcţie de deplasări, adică
[k({u})]{u} = {R}. (6.26)
Presupunând că sarcina creşte treptat, pentru incrementul i,
relaţia (6.26), devine
[ki-1]{ui} = {Ri} sau {ui} = [ki-1]-1
{Ri}.
Fenomenul de instabilitate a structurii se produce când, teoretic,
deplasările tind către infinit. Matematic, aceasta se exprimă prin
condiţia ca determinantul matricei [k] să fie nul, conform definiţiei
inversei unei matrice. Deci ecuaţia de stabilitate este
| [k({u})] | = 0. (6.27)
Pentru calculul numeric efectiv este mai eficient să se
descompună matricea [k({u})] într-o sumă de două matrice, sub
forma
[k] = [ke] + [kG], (6.28)
în care [ke] este matricea de rigiditate elastică, obţinută prin calculul
de ordinul întâi, iar [kG] este matricea de rigiditate geometrică, care
are în vedere influenţa modificării configuraţiei geometrice a
structurii asupra rigidităţii acesteia (nelinearităţi geometrice).
Dacă se introduce un factor λ al sarcinii, de exemplu sub forma
[kG] = λ [k*G] şi se are în vedere că pierderea stabilităţii poate fi
definită ca un increment al deplasării pentru un increment nul al
sarcinii, se obţine ecuaţia ([ke] + λ [k*G]){Δu} = 0, care are soluţii
nebanale numai dacă
|[ke] + λ [k*G]| = 0. (6.29)
Ecuaţia (6.29) reprezintă expresia matematică a problemei
generale a calculului valorilor proprii. Soluţia acestei ecuaţii este
179
valoarea multiplicatorului λ al sarcinii, corespunzătoare instabilităţii
structurii, această valoare a lui λ fiind valoarea critică. Valorii
proprii îi corespunde o formă proprie de pierdere a stabilităţii
structurii, definită de vectorul propriu corespunzător. Pentru calculul
practic interesează, de obicei, numai cea mai mică dintre valorile lui
λ. Trebuie remarcat faptul că procedura matematică prin care se
rezolvă problemele de stabilitate cu elemente finite nu este diferită de
cea folosită în cele două exemple simple expuse mai sus, ecuaţia
(6.28) fiind similară în formă şi identică “în spirit” cu ecuaţiile (6.13)
şi (6.22). Datorită importanţei practice şi a complexităţii abordării
prin calcul a problemelor de stabilitate a sistemelor mecanice, de-a
lungul timpului s-a constituit o disciplină inginerească, de sine
stătătoare, destinată acestor probleme, denumită teoria stabilităţii.
Numeroşi cercetători renumiţi şi-au adus contribuţia la dezvoltarea
acestei ramuri a ingineriei mecanice prin publicarea unor lucrări
valoroase, cea mai cunoscută fiind [7]. În rezistenţa materialelor nu
sunt incluse, de regulă, decât unele probleme elementare de
stabilitate, foarte simple, ca cele prezentate mai sus.
Bibliografie
1. Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la
stabilitate, Timişoara, Editura Facla, 1983.
2. Gioncu, V., Ivan, M., Teoria comportării critice şi postcritice
a structurilor elastice, Bucureşti, Editura Academiei, 1984.
3. Marinov, R., Probleme de stabilitate dinamică în construcţii,
Bucureşti, Editura Tehnică, 1985.
4. Pavel, A., Elastostabilitatea recipientelor cilindrice,
Bucureşti, Editura Academiei, 1983.
5. Poston, T., Stewart, I., Teoria catastrofelor şi aplicaţiile ei,
Bucureşti, Editura Tehnică, 1985.
6. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Editura Politehnica Press, Bucureşti,
2003.
7. Timoshenko, S.P., Gere, J.M., Teoria stabilităţii elastice,
Bucureşti, Editura Tehnică, 1967.
8. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în
mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Bucureşti, Editura
Academiei, 1989.
180
7 .
SOLICITĂRI TERMICE
Fenomenele din natură, în general şi procesele industriale, în
particular, sunt interdependente, adică au numeroase legături între
ele, influenţându-se reciproc. În consecinţă, dacă s-ar dori o
cunoaştere riguroasă şi exhaustivă a diferitelor categorii de
fenomene, ele ar trebui studiate ca un tot unitar. O astfel de abordare
este, în principiu, posibilă dacă se aplică principiile, conceptele,
metodele şi legile termodinamicii, care cercetează sistemele din
punct de vedere energetic şi stabileşte condiţiile în care energia se
transformă în diferite forme, se propagă şi se transmite între diversele
componente ale unui sistem material.
Studiul transmisiei şi propagării căldurii nu constituie
preocuparea rezistenţei materialelor, ci a altor ştiinţe ca: termo-
elasticitatea, termotehnica, termodinamica, transmisia căldurii etc. Pe
de altă parte, însă, calculele de rezistenţă nu pot ignora efectele
proceselor termice, câmpurile de temperaturi, producerea de
deformaţii şi tensiuni “termice”, care pot avea, în anumite condiţii,
efecte foarte importante. Deci, se poate afirma că rezistenţa
materialelor este “beneficiara” studiilor respective. În concluzie,
disciplina rezistenţa materialelor trebuie să “includă” un minimum de
informaţii, noţiuni, concepte, legi şi relaţii de calcul privind
transmisia şi propagarea căldurii, pentru a putea determina efectele
mecanice pe care acestea le produc în piesele şi structurile mecanice.
Pentru structurile mecanice deformabile se pot considera
corelaţiile şi condiţiile de transformare dintre energia cinetică,
potenţială, de deformaţie, termică, internă etc, asociate diverselor
condiţii de funcţionare şi solicitare ale maşinilor, utilajelor şi
instalaţiilor. O astfel de abordare este generală, elegantă şi riguroasă
dar este inoperantă pentru numeroase situaţii practice, deoarece ar
duce la probleme de foarte mare complexitate, imposibil de formulat,
modelat şi calculat.
181
Din fericire, în practica inginerească sunt foarte frecvente
situaţiile în care se pot “decupla” diferite categorii de fenomene, cu
scopul de a fi studiate separat, pe modele mai simple, accesibile, fără
ca prin aceasta să se introducă erori prea mari în studiul respectiv.
Ulterior, rezultatele “parţiale” obţinute se însumează, adică se
“suprapun”, de obicei, însumându-se algebric. În această situaţie se
află şi fenomenele de propagare şi transmisie a energiei termice, sau
a “căldurii”.
7.1. Noţiuni, principii, concepte, legi şi relaţii de calcul
fundamentale
Când structurile mecanice sunt supuse unor variaţii de energie
termică, ele se deformează, ceea ce, în anumite condiţii, poate duce
la producerea, în structurile respective, a unor stări de deformaţii,
tensiuni şi deplasări cu valori importante. De regulă, se urmăreşte
analiza tensiunilor. Din acest motiv, este necesar ca în analiza
structurilor să se aibă în vedere şi distribuţia temperaturilor. În
concluzie, în acest context, scopul analizei transmisiei şi propagării
căldurii este determinarea valorilor temperaturilor din punctele
structurii, valori care vor fi date de intrare pentru diversele analize
ulterioare: de tensiuni, de stabilitate, dinamice etc.
Căldura.
Căldura este una dintre numeroasele forme ale energiei (şi ale
materiei), motiv pentru care se mai numeşte şi energie termică sau
calorică şi reprezintă energia cinetică dintr-un corp, definită de
„agitaţia aleatoare” (vibraţiile haotice) a atomilor şi moleculelor. În
termodinamică, „agitaţia termică” defineşte temperatura corpului şi
deci şi cantitatea de căldură înmagazinată în acesta, proporţională cu
anumite constante fizice, specifice „materialului” corpului. La
temperatura zero absolut (-273.16 oC sau 0
oK), agitaţia atomică şi
moleculară, încetează, cantitatea de căldură din corpul respectiv fiind
zero. Cantitatea de căldură se măsoară în cal, kcal, J sau Nm (1 cal =
4.1868 J).
Principiul fundamental al fenomenelor de propagare şi transmisie
a căldurii este că aceasta se “transferă” de la o particulă de materie
mai caldă (cu temperatură mai mare) la o particulă mai rece, adică
182
există „tendinţa” naturală de egalizare a temperaturilor corpurilor.
Cele două particule pot aparţine aceluiaşi corp solid sau fluid, sau pot
aparţine unor corpuri diferite. Transmisia căldurii între cele două
particule este guvernată de un ansamblu complex de fenomene, de
obicei foarte dificil de studiat ca atare. Prin urmare, se studiază
separat trei moduri “ideale” de propagare a căldurii, care sunt
componentele fenomenului real şi anume:
a. Conducţia este fenomenul de propagare directă a căldurii într-
un mediu material solid, de la o particulă la alta a corpului. În acest
caz căldura este “transferată” la nivel molecular şi atomic, schimbul
de energie cinetică de agitaţie termică între particule fiind realizat
fără antrenarea în mişcare a masei solidului în care are loc conducţia.
b. Convecţia este fenomenul de transmitere a căldurii în fluide
(lichide sau gaze) şi prin intermediul lor, prin deplasarea particulelor
materiale ale acestora. Schimbul de căldură se face, de regulă, între
un fluid - denumit agent termic - şi un corp solid, prin suprafaţa
acestuia, cu care fluidul vine în contact. Procesul termic depinde de o
multitudine de parametri ai fluidului: natura şi starea de agregare a
acestuia, vâscozitatea, distribuţia vitezelor, acceleraţiilor, presiunilor,
temperaturilor, densităţilor, precum şi de căldura specifică, de starea
suprafeţelor limită (rugozitatea) etc. Din aceste motive, este foarte
importantă determinarea experimentală corectă a valorii
coeficientului de convecţie. Convecţia poate fi naturală, când
mişcarea fluidului, însoţită de transport de căldură, se face ca urmare
a variaţiei densităţii fluidului, produsă de variaţia temperaturii, sau
forţată, când mişcarea fluidului este provocată de mijloace
exterioare: ventilatoare, pompe etc. În vid nu poate exista convecţie.
c. Radiaţia termică este fenomenul de transmitere a energiei
calorice sub formă de radiaţii electromagnetice în spectrul vizibil sau
invizibil şi se propagă în linie dreaptă. Emisia de căldură (sau
absorbţia) se face la suprafaţa corpului, prin eliberarea de cantităţi
discrete de energie, numite fotoni. Propagarea fotonilor are loc în vid
şi în gaze. În corpul radiant energia internă se transformă în energie
radiantă, care se transmite spre corpul absorbant, în care o parte din
energia radiantă se transformă în energie internă, calorică, efectul
“vizibil” fiind creşterea temperaturii acestuia. Coeficientul de
absorbţie este raportul dintre energia absorbită de corp şi energia
183
totală primită. Corpul negru absoarbe toate radiaţiile primite şi are
puterea maximă de emisie. În corpuri solide sau lichide transmisia
căldurii prin radiaţie este, de obicei, neglijabilă. Excepţie fac
corpurile lichide şi solide transparente: apă curată, cuarţ, sticlă,
materiale compozite de tip sandviş care au spaţii pline cu aer etc.
Deoarece emisia de energie termică prin radiaţie este funcţie de
puterea a patra a temperaturii absolute a sursei, înseamnă că pentru
problemele inginereşti interesează cazurile când temperatura corpului
radiant este relativ mare, adică peste 400 - 500 oC.
Temperatura.
Temperatura este o mărime scalară, măsurată în grade Celsius
(oC) sau în grade Kelvin (
oK, pentru temperatura absolută), în fiecare
punct din spaţiu având o valoare bine determinată, care defineşte
câmpul de temperatură şi regimul termic al unui corp, sau al unei
structuri. Suprafeţele sau liniile pe care temperatura are aceeaşi
valoare se numesc izoterme. Câmpul de temperaturi care nu se
modifică în timp se numeşte staţionar sau permanent. Dacă are loc o
variaţie a regimului termic al structurii de la o stare iniţială la o stare
finală staţionară, regimul se numeşte tranzitoriu, sau nestaţionar şi
trebuie avută în vedere variabila timp. De obicei regimurile
tranzitorii au loc în intervale de timp relativ scurte: de cel mult câteva
sute de secunde. Este ceea ce se întâmplă, de exemplu, la pornirea
unei turbine: până ajunge la regimul nominal de funcţionare, turbina
se află în regim tranzitoriu din punct de vedere mecanic şi termic.
Problemele de transmisie a căldurii pot fi dependente de timp pe
toată desfăşurarea lor, în aceste cazuri fiind vorba de probleme
termice dinamice, pentru care variabila principală este timpul.
Gradientul de temperatură.
Gradientul de temperatură este variaţia temperaturii pe direcţia
normalei la izotermă. El este un vector, având direcţia normalei la
izotermă.
Fluxul de căldură total.
Fluxul de căldură total Q este cantitatea de căldură care trece în
unitatea de timp printr-o suprafaţă A; se mai numeşte şi debitul de
184
căldură şi este echivalent cu o putere, măsurându-se în cal / s ( 1 cal /
s = 4.1819 W ).
Fluxul de căldură unitar.
Fluxul de căldură q, denumit şi flux de căldură unitar, este
debitul de căldură pe unitatea de suprafaţă şi de timp. Se măsoară în
cal / m2 s sau în W / m
2, adică
Q = A
dAq . (7.1)
Dacă q este constant, adică are aceeaşi valoare în toate punctele
suprafeţei A, atunci Q = q A. Fluxul de căldură după o direcţie X este
proporţional cu componenta gradientului după direcţia respectivă,
fiind maxim pe direcţia normalei la izotermă.
Fluxul de căldură volumic.
Fluxul de căldură volumic qv, denumit şi flux de căldură pe
unitatea de volum, este debitul de căldură pe unitatea de volum şi de
timp. Se măsoară în cal / m3 s sau în W / m
3, adică
Q = V
VdVq . (7.2)
7.2. Ecuaţiile propagării şi transmisiei căldurii
Ecuaţia bilanţului energetic.
Legea conservării energiei (sau bilanţul energetic), pentru o
problemă generală, de propagare şi transmisie a căldurii pentru un
solid (o structură) de volum V, aflat în echilibru termic (denumit şi
regim termic staţionar) este:
ΣEi + Eg = ΣEe + ΔEint , (7.3)
în care: ΣEi este suma energiilor termice (de convecţie şi radiaţie)
care se transmit structurii, din exterior, printr-o suprafaţă ΣAi a
acesteia; Eg – energia generată în interiorul structurii de o sursă de
căldură (care ar putea fi o transformare a energiei electrice, chimice
sau nucleare în energie termică) ; ΣEe - suma energiilor termice (de
convecţie şi radiaţie) pe care structura le transferă mediului printr-o
suprafaţă ΣAe a acesteia; ΔEint – variaţia energiei interne a structurii.
Ecuaţia conducţiei.
Ecuaţia conducţiei termice după direcţia n este:
185
qn = - λn
n
T
, (7.4)
în care:
- qn este fluxul de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă,
în unitatea de timp, în direcţia n normală la acea suprafaţă, într-un
punct al ei;
- λn - coeficientul de conductivitate termică al materialului, în
direcţia n, care se determină experimental şi variază cu temperatura,
în limite mai mari sau mai mici, în funcţie de material; are ca unităţi
de măsură W/m oK sau cal / ms
oC;
- ∂T / ∂n – gradientul temperaturii după direcţia n.
Legea (7.4) fost stabilită de Fourier, experimental, dar poate fi
dedusă şi pe baza principiilor şi conceptelor termodinamicii. În cazul,
mai general, al materialelor ortotrope, se definesc cele trei valori ale
coeficienţilor de conductivitate termică, λx, λy, λz asociate fluxurilor
de căldură qx, qy, qz pe direcţiile x, y, z ale unui reper cartezian.
Ecuaţia convecţiei.
Ecuaţia convecţiei este:
qc = α ( T – TA ), (7.5)
în care:
- qc este fluxul de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă,
în unitatea de timp;
- α - coeficientul de convecţie, al schimbului de căldură între
solid (structură) şi fluid, care se determină experimental; are ca
unităţi de măsură W/m2 o
K sau cal / m2 s
oC;
- T - temperatura suprafeţei structurii, unde are loc schimbul
de căldură;
- TA - temperatura fluidului ambiant, cu care se produce
schimbul de căldură (considerată constantă, adică neinfluenţată de
schimbul de căldură cu structura).
Ecuaţia radiaţiei.
Ecuaţia radiaţiei este :
qr = ε C0 ( T4 – TA
4 ), (7.6)
în care:
- qr este fluxul de căldură care trece prin unitatea de suprafaţă,
în unitatea de timp;
186
- ε - coeficientul de emisie al suprafeţei radiante, sau
emisivitatea suprafeţei corpului radiant;
- C0 - coeficientul de radiaţie al corpului negru, sau constanta
lui Stefan-Boltzmann (C0 = 5.66961*10-8
W / m2 0
K4
= 4.96*10-8
kcal
/ m2 h
oC
4);
- T - temperatura absolută a suprafeţei structurii, unde are loc
schimbul de căldură;
- TA - temperatura absolută a mediului ambiant.
Observaţie. Relaţia (7.6) poate fi scrisă sub forma
qr = ε C0 ( T4 – TA
4 ) = ε C0 ( T
2 + TA
2 ) ( T + TA ) ( T – TA ),
în care se poate nota αr = ε C0 ( T2 + TA
2 ) ( T + TA ).
În aceste condiţii relaţia (7.6) devine
qr = αr ( T - TA ), (7.6’)
în care αr poate fi numit, convenţional, coeficient de transmisie a
căldurii prin radiaţie şi se măsoară în W / m2 0
K. Dacă pe o suprafaţă
oarecare a structurii are loc transfer de căldură cu fluxul qc, prin
convecţie şi cu fluxul qr, prin radiaţie, atunci fluxul total qt poate fi
definit prin relaţia
qt = αt ( T - TA ), (7.6’’)
în care αt = (α + αr ) este un coeficient total de transmisie a
căldurii, prin convecţie şi radiaţie.
Energia generată în materialul structurii.
Energia generată în materialul structurii de o sursă de căldură
este:
Eg = qV V, (7.7)
în care:
- qV este fluxul de căldură volumic, generat de sursa de căldură
din interiorul structurii în unitatea de timp, pentru unitatea de volum;
- V- volumul materialului structurii în care se generează
căldură cu flux volumic constant.
Variaţia energiei interne a structurii.
Ca urmare a modificării temperaturii T a structurii, se produce
variaţia energiei termice „înmagazinată” în masa structurii
ΔEint = ρ c V ∂T / ∂t, (7.8)
în care:
- ρ este masa specifică (densitatea) materialului structurii (kg/ m3);
187
- c - căldura specifică a materialului (Ws / kg oK);
- V - volumul materialului structurii (m3
);
- T - temperatura structurii (în oC sau
oK);
- t - timpul.
7.3. Modelarea şi analiza problemelor termice
Pentru formularea problemelor de propagare şi transmisie a
căldurii în structuri mecanice, trebuie avut în vedere faptul că în
“corpul solid” structurii (altfel spus, în structura de rezistenţă) are loc
doar propagarea prin conducţie a energiei termice. Deci calculul
propriu-zis se face pentru conducţie.
Pentru considerarea convecţiei şi radiaţiei se introduc condiţii la
limită corespunzătoare, pe suprafeţele structurii.
Schema de principiu a unei probleme generale de analiză termică
este prezentată în figura 7.1.
Figura 7.1
Se remarcă suprafeţe sau subspaţii ale structurii pentru care:
- structura este izolată termic (adiabatic), adică nu are nici un
schimb de căldură cu exteriorul, analog cu suprafeţele libere, pentru
analiza de tensiuni;
- într-o zonă a structurii valorile temperaturii sunt prescrise sau
cunoscute, analog cu deplasările cunoscute;
188
- pe diverse suprafeţe ale structurii intră sau ies fluxuri de
căldură de conducţie (structura este în contact „mecanic” cu altă
structură), radiaţie sau convecţie, analog cu sarcinile mecanice
distribuite pe suprafaţă;
- în interiorul masei structurii (în corpul solid) este o sursă de
căldură, cunoscută (de exemplu, printr-un element al structurii
circulă un curent electric de mare intensitate), analog cu sarcinile
mecanice masice (greutate proprie, forţe de inerţie).
Pentru modelarea şi analiza problemelor termice, care îşi
propun să determine câmpurile de temperaturi, care urmează să fie
folosite ca date de intrare pentru analize ale structurilor mecanice
(deplasări, tensiuni, stabilitate, vibraţii, răspuns dinamic etc), se fac
câteva observaţii şi recomandări.
Metoda de calcul trebuie aleasă în funcţie de complexitatea şi
scopurile urmărite prin rezolvarea problemei. În general, pentru
probleme relativ simple sunt disponibile metode analitice iar pentru
probleme dificile, metode numerice. Cea mai generală şi eficientă
este metoda elementelor finite care are implementate elemente finite
speciale, termice, destinate modelărilor şi analizelor termice.
Temperatura fiind o mărime scalară, problemele termice sunt
relativ mai simple decât cele obişnuite, de analiza tensiunilor. De
regulă, câmpul de temperaturi al unei structuri are gradienţi relativ
mai mici decât câmpul de deplasări sau de tensiuni. Din acest motiv,
elaborarea modelului se face pentru a corespunde cât mai bine
analizei de tensiuni, implicit fiind foarte bun şi pentru analiza
termică.
Problemele termice sunt puternic nelineare, acest aspect fiind
determinant pentru analizele respective. Trebuie avute în vedere, cel
puţin, următoarele tipuri de nelinearităţi:
- valorile caracteristicilor fizice ale materialului structurii, care
sunt implicate în fenomenele de propagare şi transmisie a căldurii,
suferă variaţii importante în funcţie de temperatură. Este cazul
coeficientului de conductivitate λn (n = X,Y,Z); coeficientul de
convecţie α ; coeficientul de emisie al suprafeţei radiante (sau
emisivitatea suprafeţei corpului radiant) ε ; căldura specifică a
materialului c. Valorile acestor coeficienţi pot fi considerate
189
constante numai pentru intervale de temperatură relativ mici (câteva
zeci de grade, în funcţie de acurateţea soluţiei dorite);
- transmisia căldurii prin radiaţie este guvernată de relaţia (7.6),
în care temperatura este la puterea a patra, ceea ce impune
fenomenului un caracter nelinear foarte pronunţat.
Fenomenele tranzitorii de schimb de căldură sunt aproape
totdeauna nelineare, rezolvarea făcându-se cu proceduri speciale,
specifice problemelor nelineare: de exemplu, procedura pas cu pas.
Valorile coeficienţilor λn, α, ε, c, amintiţi mai sus, nu se pot
determina decât experimental. Aceste valori depind de material şi de
o mare diversitate de factori. Succesul modelării şi analizei poate fi
compromis de incertitudini şi inexactităţi privind valorile acestora.
Ele trebuie măsurate în condiţii cât mai apropiate de cele în care
funcţionează structura care se calculează. În caz contrar, efortul de
modelare şi analiză este inutil.
Valorile fluxurilor de căldură, care se introduc ca “încărcări
termice” în modelul de calcul, trebuie stabilite cu suficientă precizie,
pentru a se obţine, în urma analizei, rezultate cu un nivel de încredere
satisfăcător. În practica inginerească, sunt numeroase cazurile când
această cerinţă este foarte dificil de satisfăcut. Măsurarea directă a
valorilor diverselor tipuri de fluxuri este foarte laborioasă, de obicei
recurgându-se la măsurări “indirecte” şi la evaluări prin diverse
calcule.
Valorile temperaturii în diverse puncte ale structurii este necesar,
în unele cazuri, să fie cunoscute cu o precizie relativ ridicată (de
exemplu, cel puţin cu trei cifre semnificative), deoarece variaţii
relativ mici ale acestora pot avea influenţe importante pentru
analizele ulterioare de deplasări, tensiuni, reacţiuni în reazeme etc,
ale structurii respective. Concluzia este că modelarea şi analiza
problemelor termice trebuie făcută cu multă atenţie şi în corelaţie cu
scopurile urmărite.
Determinările experimentale privind estimarea valorilor
constantelor termice cât şi a fluxurilor de căldură sunt dominate de
impedimentul că acestea nu pot fi obţinute direct, ci prin măsurarea
altor mărimi şi efectuarea unor calcule.
Modelările şi analizele de deplasări şi tensiuni ale structurilor
mecanice, care folosesc ca date de intrare câmpuri de temperaturi,
190
pot fi compromise dacă determinarea temperaturilor nu s-a făcut
suficient de exact, rezultatele obţinute fiind afectate de erori
importante.
7.4. Originile proceselor termice în structurile mecanice
Câmpurile de temperaturi şi variaţiile acestora sunt produse în
structurile mecanice printr-o multitudine de mecanisme şi factori,
dintre care cei mai importanţi sunt:
a. Condiţiile de mediu duc la schimburi de căldură şi variaţii ale
temperaturii structurilor mecanice, mai ales ale celor care lucrează în
aer liber. Au loc variaţii de temperatură între zi şi noapte, între vară
şi iarnă, care trebuie avute în vedere pentru a se asigura buna
funcţionare şi siguranţa unei structuri.
b. Numeroase procese mecanice, energetice, siderurgice,
metalurgice, chimice, tehnologice etc, au loc la temperaturi ridicate,
ceea ce impune efectuarea calculului de rezistenţă în condiţiile
respective, adică cu luarea în considerare a solicitărilor termice şi a
celorlalte efecte. De exemplu: arderea în motoarele cu ardere internă,
cazanele şi turbinele cu abur, elaborarea oţelurilor, sinteza unor
substanţe chimice (amoniacul), distilarea şi cracarea în instalaţiile
petrochimice, forjarea, turnarea, aşchierea etc.
c. Majoritatea maşinilor au piese care execută mişcări relative –
de rotaţie sau translaţie – cu frecare, ceea ce produce căldură, care
trebuie eliminată în exterior, prin sisteme adecvate de ungere şi
răcire.
d. În instalaţii energetice, chimice, metalurgice, petrochimice etc
se transportă pe distanţe relativ mari fluide (aer fierbinte, abur,
compuşi chimici toxici, metale topite) la presiuni şi temperaturi
ridicate, pentru care trebuie asigurate măsuri stricte de protecţie a
oamenilor şi mediului.
e. Un aspect important, implicit, al proceselor termice prezentate,
este cel al factorului timp, deoarece relativ frecvent procesele termice
sunt variabile (în timp), nestaţionare sau tranzitorii. Toate maşinile şi
instalaţiile trebuie analizate şi în regimuri de funcţionare „atipice”:
pornire, oprire, avarie, seism, accident, suprasarcină, manevre greşite
etc.
191
7.4. Efectele proceselor termice în structurile mecanice
Câmpurile de temperaturi (valorile temperaturii în toate punctele
structurii) şi variaţiile lor în structurile mecanice produc o mulţime
de efecte, pe care rezistenţa materialelor trebuie să le aibă în vedere,
dintre care cele mai importante sunt:
a. Caracteristicile elastice şi mecanice ale materialelor depind de
temperatură, adică trebuie să se aibă în vedere curba caracteristică a
materialului (şi valorile constantelor mecanice) corespunzătoare
temperaturilor la care funcţionează structura. Fiecare material are un
„răspuns” propriu la variaţia temperaturii. O atenţie deosebită trebuie
acordată pericolului de producere a „fragilizării” materialului, adică a
trecerii de la ruperea tenace la cea fragilă, deoarece sunt oţeluri (şi
alte materiale) pentru care această temperatură este relativă ridicată,
de –20 .... – 40 0C, valoare care se poate uşor atinge într-o noapte de
iarnă.
b. Variaţiile temperaturii produc dilatări (sau contracţii), adică
variaţii ale dimensiunilor pieselor metalice (pentru dimensiuni mari,
pot atinge valori de zeci de milimetri), cu următoarele efecte:
- modificări ale formelor şi ale poziţiilor relative ale unor
subansamble sau componente ale structurii. De exemplu, maşinile
unelte pot suferi „alterări” ale parametrilor de precizie;
- modificări ale jocurilor în lagăre (de alunecare sau rulmenţi),
ale condiţiilor de etanşare, ale condiţiilor de rezemare etc. De
exemplu, încălzirea unei cutii de viteze duce la dilatări ale arborilor,
care au ca efect reducerea jocurilor în rulmenţi, la suprasarcini axiale
şi chiar la blocarea sau distrugerea rulmenţilor. Dilatări neuniforme
ale componentelor unei asamblări (de exemplu, cu flanşe) pot
compromite etanşeitatea sistemului la un fluid sub presiune.
Deplasări ale reazemelor unei structuri pot provoca suprasarcini
(când reazemele sunt blocate) sau forţe de frecare, care încarcă
structura cu sarcini suplimentare mari;
- încălziri neuniforme (de exemplu, datorate radiaţiei solare) ale
unor structuri static nedeterminate, pot provoca suprasolicitări
„termice” apreciabile;
- variaţii de temperatură pot avea efecte mecanice nedorite
asupra unor structuri realizate din materiale diferite, cu proprietăţi
192
termice diferite, care se vor dilata diferit şi vor provoca solicitări
„termice” cu valori importante.
c. Componentele mecanice ale maşinilor, instalaţiilor etc, care
lucrează la temperaturi relativ ridicate, trebuie calculate cu luarea în
considerare şi a fenomenelor de fluaj, relaxare, coroziune şi oboseală
termică.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press, 2003
193
8.
PLĂCI ŞI STRUCTURI DIN PLĂCI
8.1. Generalităţi
O placă este un corp solid care are una dintre dimensiuni
(grosimea) mai mică decât celelalte două şi poate fi privit ca
“materializarea” unei suprafeţe, aşa cum o bară este materializarea
unei linii. O placă se defineşte, în general, prin forma şi dimensiunile
“suprafeţei mediane”, iar în fiecare punct al acesteia, se consideră o
normală pe care se defineşte grosimea, h, de o parte şi de alta a
suprafeţei mediane, prin valorile h/2.
Plăcile au o importanţă deosebită în ingineria mecanică, deoarece
numeroase structuri au în componenţa lor plăci de o foarte mare
varietate de forme şi dimensiuni. Este cazul echipamentelor
energetice, chimice, siderurgice, al maşinilor unelte şi de lucru,
vehiculelor auto, navale şi feroviare, al unor cupole şi acoperişuri etc.
Structurile mecanice se realizează prin “asamblarea” diverselor plăci
componente prin sudură, turnare, nituire etc, sau prin combinaţii ale
acestor procedee.
Calculul plăcilor şi structurilor din plăci este dificil, deoarece se
ajunge la sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale, greu de integrat.
Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este foarte
mare. De asemenea, trebuie făcut calcul static, dinamic, de vibraţii,
de stabilitate etc.
Chiar la începuturile teoriei elasticităţii şi rezistenţei materialelor
s-a ajuns la concluzia că pentru plăci trebuie elaborată o “teorie”
proprie, deoarece nu este posibilă utilizarea ecuaţiilor generale (5.10)
ale teoriei elasticităţii (din nou se poate face o paralelă cu barele).
Teoria plăcilor face o serie de ipoteze simplificatoare, unele generale,
de principiu şi altele “de calcul”, prin care se neglijează unii termeni
din ecuaţiile sau soluţiile respective. Din aceste motive s-a ajuns în
situaţia „de fapt” că se utilizează mai multe variante ale teoriei
194
plăcilor, fiecare având delimitările, precizia, avantajele şi
dezavantajele sale.
Încercările de a elabora o “teorie generală a plăcilor” au fost
abandonate datorită dificultăţilor de calcul. Prin urmare, în prezent,
din considerente practice, se folosesc în inginerie teorii distincte
pentru, cel puţin, următoarele categorii de plăci:
- plăci subţiri (cu grosime mică), cu deformaţii şi deplasări mici;
- plăci subţiri, cu deplasări mari;
- plăci groase.
De asemenea, s-au elaborat teorii şi relaţii de calcul pentru
plăcile curbe şi pentru cele plane, care, la rândul lor, se împart în
plăci de rotaţie (în general), cilindrice, sferice, conice, toroidale etc,
respectiv plăci plane dreptunghiulare, circulare etc. O placă plană
poate fi privită ca un caz particular al unei plăci curbe şi anume o
placă curbă cu curbură nulă.
Conceptul de grosime mică sau mare a plăcii, determină
posibilităţile de neglijare a unor termeni din ecuaţiile sau relaţiile de
calcul pentru plăcile subţiri. Placă subţire se consideră cea pentru
care grosimea este relativ mică în comparaţie cu raza de curbură sau
cu dimensiunile plăcii şi anume:
- dacă placa este curbă, raportul dintre grosimea h şi raza de
curbură principală R trebuie să satisfacă condiţia h/R < 10…20;
- dacă placa este plană, raportul dintre grosimea h şi lungimea
(sau lăţimea plăcii) ℓ trebuie să satisfacă condiţia h/ℓ < 10…20.
Deplasarea w a plăcii pe direcţia normalei la suprafaţa mediană
se consideră mică, dacă w/h < 5…10, iar placa se consideră
cu deplasări mici.
În cadrul categoriilor menţionate, de obicei, se consideră că
plăcile sunt elastice, calculul în regim elasto-plastic de solicitare
fiind foarte dificil.
S-au impus, de asemenea, teorii şi relaţii de calcul distincte
pentru plăci plane şi pentru plăci curbe (învelişuri), deoarece există o
diferenţă esenţială în privinţa efectului sarcinilor exterioare asupra
plăcilor curbe, comparativ cu cele plane:
1. Echilibrul static al unui element de placă plană, încărcat cu o
sarcină transversală, este posibil numai datorită “apariţiei”
195
momentelor încovoietoare şi de răsucire, însoţite, de obicei şi de
forţe tăietoare.
2. O placă curbă, în general, transmite sarcinile exterioare către
reazeme prin solicitările “de membrană”, care acţionează paralel cu
planul tangent la suprafaţa mediană a plăci, din punctul considerat,
tensiunile (normale, σ, de întindere sau compresiune) fiind constante
pe grosime, studiul acestei probleme făcând obiectul teoriei de
membrană a plăcilor. Această proprietate a plăcilor curbe subţiri le
face, de regulă, să fie mult mai rigide şi mai eficiente decât plăcile
plane, în aceleaşi condiţii de solicitare, de rezemare şi de material
(aspectele tehnologice nu se comentează aici). În principiu,
solicitările de membrană sunt independente de deformaţiile produse
de solicitările de încovoiere, răsucire şi forfecare (când acestea sunt
mici).
Reacţiunile şi deplasările obţinute cu teoria de membrană în
zonele de margine sunt, de regulă, incompatibile cu condiţiile reale
de pe frontieră (contur, margine), motiv pentru care, trebuie avută în
vedere şi încovoierea în aceste zone, care, în general, are efecte
locale.
Pentru studiul tensiunilor în vecinătatea sarcinilor concentrate
aplicate plăcilor, trebuie folosite teorii „speciale”, specifice
problemelor spaţiale ale teoriei elasticităţii.
Calculul structurilor din plăci se poate face numai cu ajutorul
calculatoarelor, fie pentru cazuri particulare, ca cel al structurilor
axial simetrice (de rotaţie), pentru care s-au elaborat algoritmi şi
programe adecvate, fie, în cazul general, cu metode numerice, ca
metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite sau metoda
elementelor de frontieră.
Din considerente didactice, în continuare, se vor prezenta doar
câteva probleme (relativ simple) ale plăcilor subţiri, elastice, cu
deplasări mici.
Ipotezele care se au în vedere în teoria plăcilor subţiri, elastice,
cu deplasări mici sunt următoarele:
- suprafaţa mediană a plăcii este “inextensibilă”, adică în ea nu se
produc deformaţii de întindere sau compresiune: suprafaţa mediană
196
rămâne neutră la încovoierea plăci, ceea ce se realizează dacă
suprafaţa este desfăşurabilă;
- o normală rectilinie la suprafaţa mediană, nedeformată a plăcii,
rămâne rectilinie şi normală la suprafaţa mediană, deformată, a
plăcii;
- tensiunile normale σ, pe direcţia normalei la suprafaţa mediană
a plăcii sunt mici şi se neglijează.
De asemenea, se face precizarea că, pentru plăci, eforturile se
definesc pe unitatea de lungime în planul median, adică forţele axiale
şi cele tăietoare au unităţile de măsură N/mm, iar momentele
Nm/mm, sau variante ale acestora.
8.2. Plăci curbe subţiri elastice
O placă curbă subţire este definită de o suprafaţă mediană curbă.
După forma suprafeţei mediane, plăcile se clasifică în plăci cu
curbură simplă şi plăci cu dublă curbură. În geometria diferenţială a
suprafeţelor se demonstrează că există totdeauna două secţiuni
realizate cu plane care conţin normala, perpendiculare între ele, în
care razele de curbură au valori extreme, ρ1 şi ρ2. Curburile
corespunzătore, cea maximă, 1/ρ1, respectiv, 1/ρ2, minimă, se
numesc curburile principale ale plăcii.
Raza de curbură, ρ, într-un plan care face unghiul υ cu planul
principal I (relaţia lui Euler), este:
2
2
1
2 sincos1
. (8.1)
În geometria suprafeţelor (şi în teoria plăcilor curbe) se folosesc
şi mărimile:
-curbura totală sau curbura lui Gauss: K=1/ρ1ρ2; (8.2)
-curbura medie: H = 1/ρ1 + 1/ρ2 . (8.3)
a b c
Figura 8.1
197
Când curbura lui Gauss este pozitivă (K>0), curburile principale
au acelaşi semn, suprafaţa este convexă şi se numeşte sinclastică
(elipsoidul, sfera, paraboloidul de rotaţie), ca în figura 8.1.a, iar când
K<0, curburile principale au semne contrare, suprafaţa are forma de
şa şi se numeşte anticlastică (hiperboloidul de rotaţie, paraboloidul
hiperbolic, elicoizii, fig. 8.1.b). Dacă una dintre curburile principale
este nulă (K=0), suprafaţa este cu simplă curbură (cilindrul, conul,
fig. 8.1.c), iar când ambele curburi sunt nule, placa este plană.
Cele mai utilizate plăci curbe în inginerie au suprafeţe mediane
care sunt de următoarele tipuri:
- de rotaţie: generate de drepte sau curbe plane care se rotesc în
jurul unei axe conţinută în planul respectiv;
- cilindrice: generate de o dreaptă care se deplasează rămânând
paralelă cu ea însăşi şi se sprijină pe o curbă directoare;
- suprafeţe riglate: generate de o dreaptă care se deplasează după
o anumită lege;
- suprafeţe oarecare: generate în moduri diferite de cele de mai
sus, prin diverse combinaţii ale modalităţilor prezentate sau prin
îmbinarea unor „fragmente” de suprafeţe „clasice”.
Din cele de mai sus rezultă marea varietate a formelor
geometrice ale plăcilor curbe, la care trebuie adăugate şi gama
dimensiunilor, materialelor, tehnologiilor de fabricaţie etc.
Eforturi şi tensiuni.
Se consideră un element cu dimensiuni infinit mici, dx şi dy,
detaşat dintr-o placă curbă subţire, cu două perechi de plane
paralele, normale între ele, ca în figura 8.2.a, pe care s-a notat şi
grosimea h şi razele de curbură ρx şi ρy ale suprafeţei mediane în
planele secţiunilor.
Se presupune curbura totală K >0.
Într-un punct situat la distanţa z de suprafaţa mediană starea de
tensiuni este definită de componentele σx, σy, τxy = τyx şi τxz, τyz (v. fig.
8.2.a). Se observă că arcele situate la distanţa z de suprafaţa mediană
au lungimile dx+(z/ρx)dx, respectiv dy +(z/ρy)dy.
Efortul circumferenţial Nx este:
2h
2h y
xxdzdy
zdydyN ,
198
care se simplifică cu dy, deoarece nu variază cu z şi rezultă relaţia de
echivalenţă mecanică dintre tensiunea σx şi efortul Nx
2h
2h y
xxdz
z1N .
Analog, se obţine şi efortul axial
2h
2h x
yydz
z1N . (8.1.a)
Procedând asemănător rezultă şi expresiile pentru celelalte eforturi:
- eforturile tangenţiale
2h
2h y
xyxydz
z1T ;
2h
2h x
yxyxdz
z1T ; (8.1.b)
- eforturile de forfecare
2h
2h y
xzxdz
z1T ;
2h
2h x
yzydz
z1T ; (8.1.c)
- momentele încovoietoare
2h
2h y
xxdz
z1zM ;
2h
2h x
yydz
z1zM ; (8.1.d)
a b
Figura 8.2
199
- momentele de răsucire
2h
2h y
xyxydz
z1zM ;
2h
2h x
yxyxdz
z1zM . (8.1.e)
În figura 8.2.b s-au reprezentat eforturile definite prin relaţiile
(8.1), momentele fiind reprezentate prin săgeţi duble. Observaţii: 1. Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale τxy = τyx,
dar, având în vedere că, în general, ρx ≠ ρy, rezultă că (a se vedea relaţiile (8.1.b) şi
(8.1.e)) pentru eforturile tangenţiale şi pentru cele de răsucire principiul dualităţii
nu mai este valabil, adică
Txy ≠ Tyx şi Mxy ≠ Myx. (8.2)
2. Notaţiile şi sensurile (pozitive) ale tensiunilor şi eforturilor din figura 8.2
sunt cele mai des utilizate, dar se folosesc, de diverşi autori şi diverse variante ale
acestora.
3. Relaţiile (8.1) se mai numesc şi relaţiile de echivalenţă mecanică dintre
tensiuni şi eforturi.
Pentru determinarea tensiunilor într-un punct al plăcii trebuie
determinate cele zece eforturi din relaţiile (8.1), dar nu sunt
disponibile decât şase ecuaţii de echilibru, adică problema este de
patru ori static nedeterminată. Cele patru ecuaţii suplimentare
necesare se pot obţine prin studiul deformaţiilor elementului de placă
avut în vedere.
Dacă grosimea h a plăcii este relativ mică în raport cu razele de
curbură ρx şi ρy, se pot neglija rapoartele z/ρx şi z/ρy în relaţiile (8.1)
şi expresiile celor zece eforturi devin:
2h
2h
yy
2h
2h
xx ;dzN;dzN
2h
2h
yzy
2h
2h
xzx
2h
2h
xyyxxy ;dzT;dzT;dzTT (8.3)
2h
2h
xyyxxy
2h
2h
yy
2h
2h
xx dzzMM;dzzM;dzzM .
Numărul eforturilor necunoscute a scăzut la opt. Pentru sistemul
spaţial de forţe şi momente din figura 8.2.b se pot scrie şase ecuaţii
200
de echilibru mecanic. Trebuie, deci, să se scrie două ecuaţii de
deformaţii.
Rigiditatea la încovoiere a plăcii.
Ca urmare a ipotezelor enunţate, într-o placă subţire, solicitată
numai la încovoiere, starea de tensiuni este plană (s-a făcut ipoteza
că σz = 0), deci
- deformaţiile specifice sunt:
εx = (σx – υσy) / E şi εx = (σx – υσy) / E; (8.4.a)
- tensiunile normale sunt:
).(1
E),(
1
Exz2yyx2x
(8.4.b)
Se consideră o secţiune a
plăcii în planul Oxz, ca în figura
8.3 şi se au în vedere punctele
A şi P, înainte ca placa să se
deformeze (punctul P se află la
distanţa z faţă de suprafaţa
mediană a plăcii). După
deformarea plăcii punctele
ajung în A’, respectiv P’.
Deplasarea u a punctului P este
u ≈ -zθx, în care θx = dw/dx, este panta tangentei dusă în punctul A’
la suprafaţa deformată, adică
u ≈ -z dw/dx. (8.5.a)
Procedând asemănător şi în planul Oyz, se obţine
v ≈ -z dw/dy. (8.5.b)
Se scriu succesiv:
-deformaţiile specifice:
εx= du / dx = -z d2w/dx
2; εy= dv / dy = -z d
2w/dy
2;
-tensiunile:
2
2
2
2
2x2
2
2
2
2xdx
wd
dy
wd
1
Ez,
dy
wd
dx
wd
1
Ez. (8.6)
Momentele încovoietoare se calculează cu relaţiile (8.3)
corespunzătoare:
Figura 8.3
201
2
2
2
2
2
32h
2h
2h
2h
2
2
2
2
2
2
xx
dy
wd
dx
wd
)1(12
Ehdz
dy
wd
dx
wd
1
EzdzzM ,
în care se notează rigiditatea la încovoiere a plăcii:
D = Eh3 / [12(1-υ
2)], (8.7)
forma finală a expresiilor celor două momente încovoietoare, în
funcţie de deplasări fiind:
2
2
2
2
y2
2
2
2
xdx
wd
dy
wdDM,
dy
wd
dx
wdDM . (8.8)
Starea de echilibru de membrană.
Pentru numeroase probleme inginereşti se pot accepta
următoarele ipoteze simplificatoare:
- tensiunile σx, σy, τxy = τyx sunt constante pe grosimea plăcii;
- tensiunile τxz şi τyz sunt nule (sau neglijabile).
În acest caz particular sunt trei eforturi necunoscute: Nx, Ny şi
Nxy=Nyx, ca în figura 8.4, pentru care se pot scrie doar trei ecuaţii de
echilibru, pentru forţe (pe direcţia normalei la suprafaţa mediană şi
pe două direcţii din planul tangent), ecuaţiile
de momente fiind identic satisfăcute.
Starea de solicitare a unei plăci curbe,
caracterizată numai prin eforturile Nx, Ny şi
Nxy=Nyx, se numeşte stare de echilibru de
membrană. Plăcile curbe aflate într-o astfel
de stare de solicitare sunt, în general, static
determinate, deoarece numărul eforturilor
este egal cu cel al ecuaţiilor de echilibru care
se pot scrie, adică, eforturile pot fi determinate doar din ecuaţiile de
echilibru, condiţii de deformare a plăcii ne fiind necesare. Observaţii: 1. Starea de solicitare de membrană într-o placă curbă nu se
poate realiza pentru orice condiţii de încărcare şi rezemare. De exemplu,
pentru o sarcină concentrată, cel puţin în zona din vecinătatea punctului de
aplicaţie, trebuie să se ţină seama de efectele de încovoiere, deoarece ele nu pot fi neglijate.
2. Rezemarea plăcii trebuie să se facă astfel încât reacţiunile să
acţioneze în planul tangent la suprafaţa mediană. În general această condiţie este greu de îndeplinit din cauza deformaţiilor plăcii sau din cauza
Figura 8.4
202
deplasărilor reazemului. Prin urmare, foarte frecvent în zonele de rezemare
apar solicitări de încovoiere locale, valorile lor scăzând foarte repede la distanţe relativ mici de reazem.
8.3. Metodologia generală de analiză a plăcilor subţiri
elastice
Pentru a stabili ecuaţiile diferenţiale ale plăcilor (curbe sau
plane) de regulă, primele trei etape “metodologice” sunt aceleaşi cu
cele care s-au prezentat în § 5.1, intitulat “Sistemul de ecuaţii al
teoriei elasticităţii” şi anume:
1. Se scriu ecuaţiile de echilibru pentru elementul de placă
considerat, sub acţiunea eforturilor (v. fig. 8.2.b) şi a unei sarcini
aplicată în centrul elementului, acesta reprezentând aspectul mecanic
al problemei. Pentru aceasta trebuie să se facă ipoteze asupra
tensiunilor care se au în vedere şi a eforturilor corespunzătoare.
2. Se scriu relaţiile între deplasări şi deformaţii specifice,
denumite şi relaţii de compatibilitate geometrică, care reprezentă
aspectul geometric al problemei. Aceasta este, de regulă, etapa cea
mai dificilă a demersului. Pentru scrierea acestor relaţii se consideră
modul în care se deformează placa, se aleg componentele
deplasărilor care urmează să se considere în calcul şi care sunt
deformaţiile specifice pe care le produc.
3. Se scriu relaţiile dintre tensiuni şi deformaţiile specifice
(lege lui Hooke), ceea ce reprezintă aspectul fizic al problemei.
4. Se fac diverse operaţii de calcul asupra ecuaţiilor obţinute, cu
scopul de a le aduce la forme mai simple, de exemplu: se neglijează
unii termeni, se fac înlocuiri ale unor expresii în altele, cu scopul
eliminării unora dintre necunoscute etc. În final se ajunge la una sau
mai multe ecuaţii diferenţiale în care, cel mai frecvent, necunoscutele
sunt componente ale deplasărilor unui punct al suprafeţei mediane a
plăcii, adică ecuaţiile obţinute sunt scrise „în funcţie de deplasări” şi
pot fi omogene sau neomogene, lineare sau nelineare, cu sau fără
derivate parţiale.
5. Se integrează ecuaţia diferenţială (sau sistemul) şi se
determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (dacă este
cazul). Soluţiile pot fi “închise”, pentru probleme mai simple, sau pot
fi de forma unor dezvoltări în serie, cu un număr oarecare de
203
termeni, pentru probleme mai complicate, caz în care precizia
soluţiei depinde de numărul termenilor luaţi în calcul.
Metodele de calcul folosite pentru integrarea ecuaţiilor plăcilor
sunt de o mare diverse: analitice, cu funcţii de variabile complexe,
numerice etc. Soluţiile găsite conţin un număr de constante de
integrare, pentru aflarea cărora se pot utiliza alte metode de calcul: a
colocaţiei, a celor mai mici pătrate etc.
6. Pentru calculul unei plăci date trebuie scrise condiţiile la
limită şi de rezemare, pentru determinarea constantelor de integrare,
ale căror valori se înlocuiesc în soluţia ecuaţiei.
7. Relaţiile de calcul obţinute permit determinarea valorilor
deplasărilor şi tensiunilor în punctele de interes ale plăcii. În
numeroase situaţii starea de tensiuni din placă este spaţială, ceea ce
implică utilizarea unei teorii de stare limită, pentru a verifica dacă
placa rezistă în bune condiţii.
Chiar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este
considerabil, motiv pentru care, în prezent, plăcile şi structurile din
plăci se calculează cu metode şi programe adecvate, pe calculator.
8.4. Plăci curbe subţiri de rotaţie, în stare de solicitare şi de
echilibru de membrană
Plăcile curbe de rotaţie se definesc prin suprafeţe mediane
generate prin rotirea unei curbe plane, C, denumită meridian, în jurul
unei drepte, Δ, din planul ei, care este axa plăcii, ca în figura 8.5.
Figura 8.5
Un punct A de pe curbă descrie un cerc de rază r, denumit cerc
paralel. Fie raza de curbură, ρ1= O1A, în punctul A. A doua secţiune
principală este perpendiculară pe prima şi conţine normala din
204
punctul A. Raza ei de curbură se obţine prin aplicarea teoremei lui
Meusnier şi are valoarea O2A = ρ2 = r sin υ.
Ca o consecinţă a simetriei, poziţia unui punct pe suprafaţa
mediană a plăcii este foarte simplu de definit prin două unghiuri (fig.
8.6.a):
- υ – unghiul dintre axa de rotaţie şi normala la suprafaţă;
- θ – unghiul dintre un plan meridian oarecare şi planul meridian
de referinţă, de exemplu, cel care trece prin punctul A.
Pentru a determina eforturile din placa curbă considerată, se
defineşte un patrulater curbiliniu, infinit mic ABCD, ca în figura
8.6.a, cu laturile:
AD = BC = ρ1dυ, AB = r dθ şi CD = [r + (dr/dυ) dυ].
Pe suprafeţele laterale ale elementului acţionează eforturile „de
membrană” reprezentate în figura 8.6.b. De asemenea, s-a considerat
şi o sarcină distribuită, p, cu componentele px , py şi pz. Eforturile se
consideră pozitive când:
a b
Figura 8.6
- Nθ şi Nυ - produc solicitări de întindere;
- Tθυ şi Tυθ - au sensurile inverse acelora de creştere a
unghiurilor θ şi υ.
Pentru forţele care acţionează asupra elementului de placă din
figura 8.6.b se scriu trei ecuaţii de echilibru.
1. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la cercul paralel, Ox, (fig.
8.6.b şi 8.7) duce la o relaţie “stufoasă”, care se simplifică foarte
mult după ce se fac următoarele operaţii:
- sin dε/2 ≈ dε/2 şi cos dε/2 ≈1;
- se neglijează infiniţii mici de ordin superior;
205
- se are în vedere că dε = cos υ
- ecuaţia se împarte cu dθ.dυ.
Figura 8.7
Forma finală a ecuaţiei este:
0prcosTT
rr
TN
x111
. (8.9)
2. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la meridian, Oy, (fig.
8.6.b şi 8.8) se obţine procedând asemănător ca pentru ecuaţia (8.9)
şi rezultă:
0prcosNTN
rr
N y111
. (8.10)
Figura 8.8 Figura 8.9
3. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia normalei la suprafaţa mediană,
Oz, (fig. 8.6.b şi 8.9) se obţine, procedând asemănător ca pentru
ecuaţiile (8.9) şi (8.10) şi rezultă:
z
21
pNN
, (8.11.a)
206
sau, prin împărţirea cu grosimea h (având în vedere că tensiunile sunt
constante pe grosime), se obţine ecuaţia lui Laplace
h
pz
21
. (8.11.b)
Observaţie: În figurile 8.7, 8.8 şi 8.9 s-au reprezentat numai eforturile care
intervin în ecuaţia la care se referă fiecare figură. Relaţiile (8.9), (8.10) şi (8.11) constituie un sistem de trei ecuaţii
având ca necunoscute funcţiile Nθ, Nυ şi Tθυ=Tυθ – eforturile “de
membrană” din placă. Se observă că relaţia (8.11) nu este
diferenţială, ceea ce permite eliminarea unuia dintre eforturile Nθ sau
Nυ şi astfel sistemul de ecuaţii rămas are două ecuaţii cu două
necunoscute. Integrarea acestui sistem de ecuaţii este, în general,
dificilă. În cazuri particulare, ca, de exemplu, pentru plăci cu
încărcare simetrică faţă de axa de rotaţie, ecuaţiile se simplifică şi
integrarea lor devine posibilă.
8.5. Plăci cilindrice subţiri
Se consideră o placă cilindrică (cu secţiune inelară), cu raza, r, a
suprafeţei mediane, grosimea, h, constantă, încărcată cu o sarcină, p,
simetric distribuită în raport cu axa cilindrului (o presiune).
În placă s-a definit un element infinit mic, ca în figura 8.10,
pentru care se vor scrie ecuaţiile de echilibru.
Figura 8.10
Datorită simetriei axiale, eforturile din placă sunt:
- forţele tăietore de membrană Txυ=Tυx şi momentele de răsucire
Mxυ=Mυx sunt nule;
207
- forţele normale Nυ şi momentele încovoietoare Mυ sunt
constante de-a lungul circumferinţei.
În aceste condiţii se pot scrie numai trei ecuaţii de echilibru
pentru eforturile care acţionează asupra plăcii:
- proiecţia forţelor după direcţia x
0ddxrdx
dNx ; (8.12)
- proiecţia forţelor după direcţia z
0ddxrpddxNddxrdx
dTx ; (8.13)
- suma momentelor după direcţia y
0ddxrTddxrdx
dMx
x . (8.14)
Din relaţia (8.12) rezultă că efortul axial Nx este constant. Se va
considera că Nx = 0. În cazul în care există efort axial, deformaţiile şi
tensiunile produse de acesta se pot calcula foarte simplu şi se
însumează cu celelalte.
Ecuaţiile (8.13) şi (8.14) se simplifică şi devin
pNr
1
dx
dTx şi 0Tdx
dMx
x , (8.15)
pentru integrarea cărora trebuie avut în vedere şi modul de deformare
al plăcii.
Deformaţiile specifice sunt (fig. 8.10):
dx
dux şi
r
w
dr
drd)wr(
. (8.16)
Ca urmare a simetriei axiale, deplasarea v în direcţie
circumferenţială este nulă.
Cu legea lui Hooke se determină tensiunile
,dx
du
r
w
)1(
E)(
)1(
E
;r
w
dx
du
)1(
E)(
)1(
E
2x2
2x2x
(8.17)
care permit calculul eforturilor, cu relaţiile (8.3), având în vedere că
tensiunile sunt constante pe grosimea, h, a plăcii:
208
dx
du
r
w
)1(
EhN;
r
w
dx
du
)1(
hEN
22x . (8.18)
Aplicând condiţia Nx = 0 primei relaţii (8.18), se obţine du/dx =
ν w/r, care, înlocuit în a doua dintre relaţiile (8.18) duce la rezultatul
Nυ = - Ehw / r. (8.19)
Din relaţiile (8.15) se elimină forţa tăietore Tx şi se obţine ecuaţia
pwr
hE
dx
Md22
x
2
. (8.20)
Datorită simetriei axiale, deplasarea w este constantă în direcţie
circumferenţială, adică dw/dυ=0 şi relaţiile (8.8) devin:
x2
2
2
2
x Mdx
wdDM,
dx
wdDM . (8.21)
În aceste condiţii ecuaţia (8.20) devine
pwr
hE
dx
MdD
24
x
4
, (8.22)
care capătă o formă mai simplă dacă se introduce notaţia
22
2
2
4
hr
)1(3
Dr4
hE (8.23)
şi anume
D
pw4
dx
wd 4
4
4
, (8.24)
în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii definită prin relaţia
(8.7).
Soluţia generală a ecuaţiei (8.24) este
w=eβx
(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx
(C3cosβx+C4sinβx)+f(x), (8.25)
în care f (x) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (8.25), iar
C1,…,C4 sunt constante de integrare, care se determină din condiţiile
de la cele două capete ale cilindrului (pentru x = 0 şi x = ℓ),
considerat de lungime ℓ. Aceste condiţii pot avea în vedere:
- deplasările: săgeata radială w şi rotirea normalei dw/dx;
- eforturile: momentele încovoietoare, Mυ şi Mυ, care se
calculează cu relaţiile (8.21); forţa tăietore, care se determină din cea
de a doua relaţie (8.15) şi anume Tx=dMx/dx şi forţa circumferenţială
Nυ= -Ehw/r din relaţia (8.19).
209
8.6. Plăci plane subţiri
Se consideră o placă plană, dreptunghiulară, de grosime
constantă, h, solicitată cu sarcini transversale şi orizontale, raportată
la sistemule de coordonate Oxyz, ca în figura 8.11.
Mare parte din procedurile şi
relaţiile de calcul prezentate
rămân valabile, având în vedere
că o placă plană este un caz
particular al unei plăci curbe: are
curburile zero (razele de curbură infinite).
Se reiau relaţiile (8.6) ale tensiunilor scrise în funcţie de
deplasări, care se completează cu tensiunile tangenţiale, având în
vedere (8.5) şi xyxy
2
xy)1(2
E;yx
wz2
y
u
x
v
.
Forma completă a relaţiilor (8.6) este:
Figura 8.12 .
yx
w
1
Ez
,x
w
y
w
1
Ez
,y
w
x
w
1
Ez
2
xy
2
2
2
2
2x
2
2
2
2
2x
(8.26)
Din observarea relaţiilor (8.26) se constată că tensiunile σx, σy şi
τxy variază linear pe grosimea plăcii, aşa cum se vede în figura 8.12.
În cazul general de solicitare a plăcii mai există şi tensiuni
tangenţiale τxz şi τyz, paralele cu direcţia Oz, normală la suprafaţa
mediană, ca în figura 8.2.a. Pentru determinarea acestor tensiuni se
folosesc relaţiile de echilibru Cauchy (5.1), fără sarcini masice, din
care se obţine:
yx
w
y
w
1
zE
xyz
,yx
w
x
w
1
zE
yxz
2
3
3
3
2
yxyyz
2
3
3
3
2
xyxxz
. (8.27)
Ecuaţiile (8.27) se integrează în raport cu z şi rezultă:
Figura 8.11
210
)y,x(2
z
yx
w
y
w
1
E
,)y,x(2
z
yx
w
x
w
1
E
2
2
2
3
3
3
2yz
1
2
2
3
3
3
2xz
, (8.28)
în care υ1(x,y) şi υ2(x,y) sunt funcţii arbitrare, care se determină din
condiţia ca tensiunile tangenţiale τxz şi τyz să aibă valori nule pe
suprafeţele plăcii, adică pentru z = ± h/2 şi se obţine:
.yx
w
y
w
)1(8
hE)y,x(
,yx
w
x
w
)1(8
hE)y,x(
2
3
3
3
2
2
2
2
3
3
3
2
2
1
(8.29)
Se înlocuiesc expresiile (8.29) în (8.28)
2
z
8
h
yx
w
y
w
1
E
,2
z
8
h
yx
w
x
w
1
E
22
2
3
3
3
2yz
22
2
3
3
3
2xz
(8.30)
şi rezultă că tensiunile τxz şi τyz
variază parabolic pe grosimea plăcii,
ca în figura 8.13 (la fel ca în cazul
barelor drepte).
Se detaşează din placă un
element paralelipipedic, cu laturile
dx, dy şi h, ca în figura 8.14, încărcat
cu o sarcină uniform distribuită p. Se are în vedere, pe feţele laterale,
o fâşie de înălţime dz, pe care acţionează tensiunile tangenţiale τxz şi
τyz, după direcţia Oz (fig. 8.14).
Celelalte tensiuni nu se
menţionează, nefiind implicate în
demersul care urmează.
Ecuaţia de echilibru a
forţelor, în direcţia Oz, care
acţionează asupra elementului
considerat (după efectuarea
reducerilor şi simplificărilor)
Figura 8.13
Figura 8.14
211
este:
pdzyx
2h
2h
yzxz
. (8.31)
Se introduc relaţiile (8.30) în ecuaţia (8.31) şi se are în vedere că
integrarea se face numai în raport cu z. După efectuarea calculelor
rezultă succesiv:
pdz2
z
8
h
y
w
yx
w2
x
w
1
E2h
2h
22
4
4
22
4
4
4
2
şi
(8.32.a)
D
p
y
w
yx
w2
x
w4
4
22
4
4
4
,
în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii (8.7).
Ecuaţia (8.32) este cunoscută cu numele ecuaţia Sophie Germain
a plăcilor plane. Ea are o formă mai simplă dacă se foloseşte
operatorul lui Laplace
2
2
2
2
yx
şi ecuaţia devine
D
pw . (8.32.b)
Expresiile eforturilor din placă, în funcţie de deplasarea w, se
obţin înlocuind valorile tensiunilor (8.26) şi (8.30) în relaţiile (8.3);
calculele sunt simple, deoarece integralele se calculează în raport cu
z şi deci:
În calculul plăcilor sunt adeseori utile relaţiile diferenţiale dintre
eforturi şi sarcini. Pentru a stabili astfel de relaţii, pentru plăcile
plane s-a considerat un element paralelipipedic, cu laturile dx, dy şi
h, ca în figura 8.15, încărcat cu o sarcină uniform distribuită p,
(8.33)
yx
w
y
wDT;
yx
w
x
wDT
2
3
3
3
y2
3
3
3
x .
;yx
wD)1(M
;x
w
y
wDM;
y
w
x
wDM
2
xy
2
2
2
2
y2
2
2
2
x
212
pentru care se scriu ecuaţiile de echilibru (momentele s-au figurat
cu săgeţi duble), care, după reduceri şi simplificări, duc la relaţiile:
Figura 8.15
- ecuaţia de proiecţie a forţelor pe direcţia Oz
py
T
x
T yx
; (8.34)
- ecuaţia de momente în raport cu Ox
y
xyyT
x
M
y
M
; (8.35)
- ecuaţia de momente în raport cu Oy
x
yxx Ty
M
x
M
. (8.36)
Dacă se elimină forţele tăietoare din relaţiile (8.34), (8.35) şi
(8.36) se obţine:
py
M
yx
M2
x
M2
y
2
xy
2
2
x
2
. (8.37)
Deoarece soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (8.32) este
foarte dificil de obţinut, s-au elaborat metode de integrare a ecuaţiei
pentru diverse cazuri particulare, care au importanţă inginerească, cel
mai important fiind cazul plăcilor dreptunghiulare.
8.7. Plăci plane subţiri dreptunghiulare
Soluţia ecuaţiei (8.32), este o funcţie w(x,y), care trebuie să
verifice ecuaţia ∆∆w =p/D şi condiţiile la limită. Pentru plăcile
dreptunghiulare, cea mai utilizată metodă de calcul este cea a seriilor
213
Fourier duble, când sarcina variază după ambele variabile x şi y şi a
seriilor Fourier simple, când sarcina este funcţie doar de o variabilă.
Se presupune că placa are dimensiunile a şi b. Sarcina p(x,y) se
dezvoltă în serie Fourier sub forma
m n
nmmn ysinxsina)y,x(p , (8.38)
în care s-au folosit notaţiile αm = mπ / a şi βn = nπ / b.
Se presupune că deplasarea w(x,y) poate fi scrisă sub forma:
m n
nmmn ysinxsinA)y,x(w , (8.39)
Amn fiind constante de integrare.
Dacă placa este simplu rezemată pe cele patru laturi ale sale, se
verifică faptul că soluţia (8.39) satisface condiţiile:
- pentru x = 0 şi x = a, w = 0 şi σx = Mx = ∂2w / dx
2 = 0,
- pentru y = 0 şi y = b, w = 0 şi σy = My = ∂2w / dy
2 = 0.
Soluţia căutată (8.39) trebuie să satisfacă ecuaţia ∆∆w = p/D a
plăcii, deci înlocuind funcţia w(x,y) se obţine:
m n
nmmnm n
nmmn
4
n
2
n
2
m
4
m ysinxsinaD
1ysinxsinA)2(
Din identificarea coeficienţilor termenilor sin αmx sin βny
rezultă:
22
n
2
m
mnmn
)(DA
, (8.40)
iar deplasarea w este:
m n
nm22
n
2
m
mn ysinxsin)(D
)y,x(w . (8.41)
Exemplu.
Pentru o placă dreptunghiulară, simplu rezemată pe toate laturile,
încărcată cu sarcina uniform distribuită p, se obţine amn=16p/π2mn şi
m ,..5,3,1n22
n
2
m
nm
2 )(mn
ysinxsin
D
p16)y,x(w . (8.42)
Săgeata maximă este la mijlocul plăcii (x = a/2, y = b/2) şi are
valoarea:
m ,..5,3,1n22
n
2
m
12/)nm(
2max)(mn
)1(
D
p16w . (8.43)
214
8.8. Plăci plane subţiri circulare
O altă categorie de plăci subţiri care prezintă interes practic este
cel al plăcilor circulare, studierea acestora fiind mai convenabilă în
coordonate polare, ceea ce implică următoarele transformări:
- operatorul lui Laplace devine
2
2
22
2
r
1
rr
1
r
; (8.44)
- ecuaţia (8.32) va avea forma:
D
pw
r
1
r
w
r
1
r
w
r
1
rr
1
r 2
2
22
2
2
2
22
2
. (8.45)
Pentru determinarea relaţiilor de legătură dintre eforturile Mx,
My, şi Mxy, definite în raport cu coordonatele carteziene Oxy şi Mr,
Mθ, Mrθ, definite în raport cu coordonatele polare Orθ, se scriu
Figura 8.16
ecuaţiile de echilibru pentru un element de placă cu forma unei
prisme triunghiulare, ca în figura 8.16 şi se obţin următoarele relaţii:
Mr = Mx cos2θ + My sin
2θ - 2Mxy sinθ cosθ;
Mθ = Mx sin2θ + My cos
2θ + 2Mxy sinθ cosθ; (8.46)
Mrθ = (Mx - My)sinθ cosθ + Mxy(cos2θ - sin
2θ).
Prin calcule simple, utilizând relaţiile obţinute anterior, se obţin
expresiile eforturilor în funcţie de deplasarea w:
;w
r
1
r
w
r
1
r
wDM
2
2
22
2
r
;
ww
r
1
r
w
r
1DM
2
2
2
2
2
.w
r
1
rD)1(M r
(8.47)
215
.w
r
1
r
w
r
1
r
w
r
1DT
;w
r
1
r
w
r
1
r
w
rDT
2
2
22
2
2
2
22
2
r
(8.48)
Dacă încărcarea plăcii este axial simetrică, toate derivatele
parţiale în raport cu variabila θ sunt nule şi relaţiile de mai sus se
simplifică iar ecuaţia cu derivate parţiale (8.45) devine ecuaţia
ordinară
D
p
dr
dw
r
1
dr
wd
r
1
dr
wd
r
2
dr
wdsau
,D
p
dr
dw
r
1
dr
wd
dr
d
r
1
dr
d
32
2
23
3
4
4
2
2
2
2
. (8.49)
Ecuaţia (8.49) este lineară, de tip Euler, neomogenă, a cărei
soluţie este
w = C1 + C2 r2 + C3 ln r + C4 r
2 ln r + w*, (8.50)
în care w* este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.
Pentru cazurile în care sarcina p este un polinom în r, de forma
n
0k
k
krAD
p, (8.51)
se încearcă soluţii particulare de tipul Σbiri şi se obţine soluţia
particulară
n
0k
4k
22
k* r)4k()2k(
Aw . (8.52)
De asemenea şi expresiile (8.47) şi (8.48) ale eforturilor se
simplifică şi devin
.0T;dr
dw
r
1
dr
wd
dr
dDT
;0M;dr
wd
dr
dw
r
1DM;
dr
dw
r
1
dr
wdDM
2
2
r
r2
2
2
2
r
(8.53)
Condiţiile la limită pentru plăcile circulare (inelare), încărcate
simetric, se scriu astfel pentru:
- margine încastrată: w = 0 şi dw/dr = 0;
- margine rezemată: w = 0 şi Mr = 0;
- margine liberă: Mr = 0 şi Tr = 0;
216
- pentru plăcile circulare pline (fără orificii centrale), pentru r = 0
(în centrul plăcii), deplasarea w şi momentul încovoietor Mr trebuie
să aibă valori finite, ceea ce implică absenţa din expresiile respective
a termenilor care conţin log r şi duce la C3 = 0 şi C4 = 0.
Exemplu.
Pentru o placă circulară, încastrată pe contur, încărcată cu sarcină
uniform distribuită p, se scriu succesiv relaţiile:
- deplasarea: w = C1 + C2 r2 + C3 ln r + C4 r
2 ln r + pr
4/64D;
- rotirea: dw/dr = 2C2 r + C3/r + C4(2r ln r +r) + pr3/16D.
Condiţia ca în centrul plăcii (pentru r =0) w şi Mr să aibă valori
finite duce la rezultatele C3= C4=0, iar relaţiile anterioare devin:
- deplasarea: w = C1 + C2 r2 + pr
4/64D;
- rotirea: dw/dr = 2C2 r + pr3/16D.
Condiţiile pe conturul exterior, încastrat, al plăcii sunt: w =
dw/dr = 0, pentru r = R şi se obţine:
C1 + C2 R2 + pR
4/64D = 0; 2C2 R + pR
3/16D = 0 din care rezultă:
C1 = pR4/64D ; C2 = - pR
2/32D.
Înlocuind aceste valori în expresiile anterioare, se obţin relaţiile
de calcul pentru placa considerată:
.2
prT;
R
r)31()1(
16
pRM;
R
r)3()1(
16
pRM
;D32
)rR(p
dr
dw;
D64
)rR(p
D64
pr
D32
pR
D64
pRw
r2
22
2
22
r
22222424
8.9. Structuri din plăci
Numeroase structuri mecanice sunt realizate din table care se
asamblează, de regulă, prin sudură. Avantajele practice ale acestor
tipuri de structuri decurg din faptul că pot avea forme oricât de
complicate, sunt relativ uşoare, iar tehnologiile de fabricaţie sunt
ieftine şi foarte bine puse la punct, cu un înalt grad de mecanizare şi
automatizare.
Calculul acestor echipamente, maşini, instalaţii, vehicule etc
trebuie făcut pe modele de structuri din plăci. Având în vedere
complexitatea formelor geometrice ale acestor structuri şi exigenţele
calculului – care poate fi de rezistenţă, rigiditate, stabilitate, dinamic
217
etc – se impune utilizarea unor algoritmi, metode şi programe de
calcul generale şi utilizarea calculatoarelor. Deci calculul se face fie,
în cazul general, cu metode
numerice generale, ca
metoda elementelor finite,
metoda diferenţelor finite sau
metoda elementelor de
frontieră (v. cap 9), fie,
pentru cazuri particulare, ca
cel al structurilor axial
simetrice (de rotaţie), cu
algoritmi şi programe
adecvate.
Un exemplu ilustrativ,
este prezentat în figura (8.17), pentru un utilaj siderurgic, care a fost
modelat şi calculat cu metoda elementelor finite.
Programele cu elemente finite oferă utilizatorilor zeci de tipuri
de elemente finite pentru plăci, pentru a se putea elabora, cu ele,
modele de calcul care să satisfacă cele mai diverse exigenţe
inginereşti.
Pentru o categorie mai
restrânsă de structuri din plăci şi
anume a celor de rotaţie (axial
simetrice), s-au elaborat
algoritmi care „descompun”
structura în componente simple,
pentru care se cunosc relaţiile de
calcul, ca, de exemplu, plăci
plane circulare, plăci cilindrice,
conice, sferice, toroidale etc.
Apoi, pe contururile de
„asamblare” ale componentelor,
care sunt nişte cercuri, se scriu
condiţiile de egalitate ale
deplasărilor şi de echilibru ale
eforturilor, care duc la obţinerea
unui sistem de ecuaţii din care se determină constantele de integrare
Figura 8.17
Figura 8.18
218
din soluţiile componentelor structurii. Odată cunoscute valorile
constantelor de integrare, în fiecare componentă a structurii se pot
calcula, în oricare punct al său, deplasările, tensiunile, eforturile etc.
În figura 8.18 se prezintă, ca exemplu, un buncăr care a fost
realizat din 9 componente şi anume:
- 4 plăci inelare (componentele 1, 5, 6, 9);
- 3 plăci cilindrice (componentele 2, 4, 8);
- 2 plăci conice (componentele 3, 7).
Numărul circumferinţelor de legătură (de asamblare) este 6.
Fiecare din cele 9 componente ale structurii are o soluţie care
conţine 4 constante de integrare, deci în total 4*9=36 necunoscute.
Pentru fiecare din cele 6 circumferinţe se scriu următoarele ecuaţii:
- condiţii de egalitate (continuitate) a deplasărilor radiale w, ale
componentelor „conectate” pe conturul respectiv;
- condiţii de egalitate a rotirilor normalelor la suprafeţele
mediane ale componentelor „conectate” pe conturul respectiv;
- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a momentelor axiale,
pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv;
- condiţia de echilibru (suma să fie zero) a forţelor pe direcţie
radială, pentru componentele „conectate” pe conturul respectiv.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Tacu, T., Calcule de rezistenţă pentru
utilaje tehnologice, Structuri izotrope, axial simetrice, Editura
tehnică, Bucureşti, 1979.
2. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
3. Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Teoria plăcilor
plane şi curbe, Editura tehnică, Bucureşti, 1968.
4. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în
mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei,
Bucureşti, 1989.
219
9 .
ELEMENTE DE MECANICA ŞI FIZICA
CONTACTULUI CORPURILOR SOLIDE
9.1. Noţiuni de bază, definiţii
Problema contactului mecanic constituie o preocupare
importantă în practica inginerească. Marea majoritate a maşinilor,
instalaţiilor, structurilor mecanice etc, sunt realizate din mai multe
componente care sunt “legate” între ele, adică sunt în contact.
Condiţiile în care se realizează contactul sunt foarte diferite, de la caz
la caz. De exemplu, pentru batiuri, fundaţii, stâlpi de susţinere etc,
contactul se face fără apariţia unor deplasări relative. În cazul
sistemelor în mişcare situaţia este cu totul alta, deoarece corpurile au
contact cu altele, care sunt fie fixe, fie se mişcă şi ele, după o altă
traiectorie. Acest tip de contact duce la uzura şi reducerea treptată a
performanţelor sistemului respectiv, sau chiar la scoaterea lui din
folosinţă. Uzura componentelor este motivul principal pentru care
sistemele mecanice se defectează şi trebuie înlocuite.
Două sau mai multe domenii distincte (corpuri solide) se spune
că sunt în contact dacă există o suprafaţă comună care le separă şi nu
există transfer material de la un corp la altul. Contactul între corpuri
presupune îndeplinirea unei condiţii cinematice, adică viteza relativă
pe direcţia normalei la suprafeţele de contact este nulă şi a unei
condiţii dinamice, de continuitate a tensiunilor la traversarea
suprafeţei de contact (principiul acţiunii şi reacţiunii).
Contactul este un fenomen complex, nelinear, deoarece depinde
atât de proprietăţile elastice ale corpurilor care vin în contact, de
geometria lor, de condiţiile de rezemare etc dar şi de evoluţia
încărcărilor, adică starea finală a unei suprafeţe de contact depinde de
felul în care sunt aplicate sarcinile. De asemenea în timpul aplicării
sarcinilor se modifică (uneori fundamental), formele şi dimensiunile
suprafeţelor de contact, precum şi distribuţiile tensiunilor pe aceste
suprafeţe.
220
Generic, contactul între două corpuri are loc într-un punct, de-a
lungul unei linii sau pe un plan. Această clasificare îşi are rădăcinile
în idealizările făcute la modelare. Dacă cele două corpuri sunt
sferice, de exemplu, se consideră contactul ca fiind punctiform.
Contactul a doi cilindri de-a lungul generatoarei comune, se spune că
este linear. La fel, contactul a doi dinţi aparţinând la două roţi dinţate
aflate în angrenare. În realitate, dat fiind că cele două corpuri se
deformează, contactul are loc întotdeauna pe o suprafaţă, fie ea şi
foarte mică.
Contactul este menţinut de forţele care se transmit între cele două
corpuri. Aceste forţe se pot descompune pe direcţie perpendiculară
pe suprafaţa de contact şi pe direcţii paralele cu această suprafaţă.
Forţele normale produc o presiune de contact, iar cele tangenţiale
tind să ducă la alunecarea relativă a corpurilor. La limită, când
alunecarea începe, între componenta normală a forţei, P, şi cea
tangenţială (pe direcţia de alunecare), F, există relaţia F = P, unde
este coeficientul de frecare. Această lege a fost propusă cu patru
secole în urmă de către Amontov, iar frecarea de acest tip se
numeşte, prin jocul istoriei, frecare coulombiană. În treacăt fie spus,
atât timp cât corpul nu se mişcă, forţa de frecare nu este dată de
relaţia de mai sus, ea fiind, de fapt, nedefinită.
Cum forţele transmise de la un corp la celălalt sunt, de obicei,
considerabile şi cum, tot generic, suprafeţele de contact sunt mici,
presiunile de contact sunt foarte mari. Aceasta duce la tensiuni mari
în cele două corpuri în zona apropiată de suprafaţa de contact,
tensiuni care pot duce la curgere sau / şi la cedarea materialului.
Aceste tensiuni duc la ruperea de mici “aşchii” din material, deci la
uzură. Procesul are loc prin mai multe mecanisme, care se prezintă
sumar aici. Trebuie însă menţionat că el este de natură stohastică,
ceea ce a făcut ca până în prezent să nu existe o corelaţie clară între
modelele care determină câmpul de tensiuni din apropierea
contactului şi rata de uzură. Relaţiile care estimează uzura
componentelor de maşini, în condiţii date de încărcare, sunt total
empirice.
Chiar şi atunci când contactul are loc pe suprafeţe relativ mari,
de exemplu, în cazul ambreiajelor şi frânelor, tensiunile locale care
apar sunt tot foarte mari. Aceasta se datorează în principal faptului că
221
suprafaţa de contact este mare numai în aparenţă. În realitate, cele
două suprafeţe fiind rugoase, ele intră în contact numai pe o zonă
mică, acolo unde asperităţile se ating (şi se deformează). Suprafaţa
nominală de contact este, de fapt, suma acestor suprafeţe
microscopice de contact (ale asperităţilor) şi este mult mai mică decât
suprafaţa aparentă. Este interesant de observat, în acest context, că
valoarea forţei de frecare nu depinde de aria suprafeţei de contact, ci
de mărimea forţei totale transmisă prin contact. Observaţia este
interesantă, deoarece sugerează implicaţii referitoare la mecanismele
contactului, alunecării şi uzurii.
Clasificarea uzuală a tipurilor de contact se face din mai multe
puncte de vedere şi anume:
A. Din punctul de vedere al frecării dintre corpuri, există contact
fără frecare şi contact cu frecare. Contactul fără frecare este o
idealizare, care simplifică foarte mult abordarea teoretică a
fenomenului şi este aplicabil suprafeţelor bine lubrificate. Acest tip
de contact introduce doar o presiune normală la suprafeţele în
contact. Contactul cu frecare, propriu fenomenelor reale, introduce
pe lângă presiunea normală la suprafeţele de contact şi tensiuni
tangenţiale (sau forţe de frecare). Tensiunile tangenţiale, în general,
sunt într-o anumită relaţie cu tensiunile normale (presiunea de
contact) şi pot conduce la apariţia fenomenelor de aderenţă ("stick")
sau alunecare ("slip"). Contactul cu frecare, în general, ia în
considerare frecarea coulombiană şi este de tip elastic sau rigid.
Frecarea coulombiană elastică poate reprezenta fenomene de
aderenţă şi de alunecare, în timp ce frecarea coulombiană rigidă
modelează doar alunecarea.
B. Din punctul de vedere al modificării suprafeţei de contact la
aplicarea sarcinilor, există contactul conform şi contactul neconform.
Contactul conform se caracterizează prin faptul că suprafaţa iniţială
de contact (când nu este aplicată încărcarea), coincide cu suprafaţa
finală de contact (când este aplicată toată sarcina). Contactul
neconform, cel mai des întâlnit în realitate, nu respectă condiţiile
contactului conform. Astfel, spre exemplu, contactul iniţial punctual
între o bilă şi un plan rigid, se transformă într-o suprafaţă circulară,
în prezenţa unei forţe de apăsare, sau contactul iniţial pe o suprafaţă
dreptunghiulară, între o grindă simplu rezemată şi un corp
222
paralelipipedic rigid, se transformă în două suprafeţe dreptunghiulare
de suprafaţă totală mult mai mică.
C. Din punctul de vedere al comportării materialului, contactul
este elastic, atunci când comportarea materialului este linear elastică,
adică nu se depăşeşte limita de elasticitate şi elasto-plastic,
atunci când solicitarea materialului depăşeşte limita de elasticitate.
D. Din punctul de vedere al deplasării elementelor în contact,
există contact în domeniul deplasărilor mici, sau în domeniul
deplasărilor mari.
E. Teoria clasică a contactului este teoria lui Hertz. Aceasta se
bazează pe următoarele ipoteze:
a- suprafeţele care intră în contact sunt continue, netede (fără
rugozitate) şi fără frecare;
b- corpurile care mărginesc aceste suprafeţe sunt omogene,
izotrope şi ascultă de legea lui Hooke;
c- dimensiunile zonelor de contact (iniţial contactul este
punctiform sau linear), în prezenţa încărcărilor sunt mici, în
comparaţie cu dimensiunile corpurilor;
d- distribuţia tensiunilor în zona contactului se obţine din teoria
semispaţiului elastic a lui Boussinesq şi rezultă că tensiunile
tangenţiale în pata de contact sunt nule.
Acceptarea sau nu a teoriei lui Hertz, conduce la clasificarea
contactului în hertzian şi non-hertzian.
F. Funcţie de rigidităţile suprafeţelor care intră în contact, se
face clasificarea contactului de tip rigid-flexibil şi flexibil-flexibil.
Contactul rigid-flexibil se caracterizează prin faptul că una dintre
suprafeţele care intră în contact este mult mai rigidă decât cealaltă,
cum ar fi cazul contactului între matriţă şi piesa care se forjează.
Contactul flexibil-flexibil este propriu corpurilor care prezintă
rigidităţi comparabile.
Principalele aplicaţii ale analizei contactului se referă la
transmiterea eforturilor de la un corp la altul, pentru studiul
problemelor de uzură, de oboseală superficială, de durabilitate,
studiul problemei calităţii suprafeţelor, pentru determinarea
eforturilor de strângere la asamblările nituite, cu şuruburi, presate,
fretate etc.
223
Prezenţa contactului între piese este (sau poate fi) însoţită, în
general, de apariţia unor fenomene de transfer termic sau electric,
situaţii în care fenomenele mecanice se cuplează cu cele termice sau
electrice.
Clasificarea de mai sus se poate completa şi cu cea de contact
static şi contact dinamic. Contactul static este cel în care corpurile nu
au mişcări relative. Există numeroase situaţii practice în care astfel
de contact există; de exemplu, stâlpii clădirilor, fundaţii în contact cu
solul, suporţi ai diferitelor componente de maşini şi instalaţii etc.
Aceasta se mai numeşte şi problema de penetrare (indentare), în care
un poanson (penetrator sau indentor) apasă pe un semi-spaţiu elastic.
Poansonul transmite o forţă P către suport şi are contact cu acesta pe
o suprafaţă de contact A. Problema de calcul care se pune în astfel de
situaţii este:
- determinarea tensiunilor maxime în zona contactului;
- determinarea deplasărilor celor două corpuri.
Problema are mai multe variante, cum ar fi situaţia în care
ambele sau numai un singur corp este deformabil, sau când frecarea
dintre cele două corpuri se ia sau nu în considerare. Cele mai simple
cazuri de astfel de contacte sunt discutate în secţiunea următoare.
Contactul dinamic apare în cazul în care cele două corpuri se
mişcă relativ şi poate fi împărţit în contact cu alunecare şi contact cu
rostogolire. Contactul cu alunecare apare, de exemplu, în frâne,
ambreiaje şi lagăre, sau în regimul de pornire-oprire al maşinilor
rotative cu suspensie hidro- sau aero-dinamică. Acest tip de contact
este cel mai dezavantajos din punctul de vedere al uzurii. Problema
de calcul care se pune în cazul contactului cu alunecare este similară
cu cea definită mai sus pentru contactul static. Diferenţa constă în
distribuţia tensiunilor care apar în vecinătatea zonei de contact. Acest
aspect este discutat în secţiunea 9.3.
Contactul cu rostogolire este şi el frecvent întâlnit în practică, de
exemplu, la rulmenţi, lagăre de tip cuţit etc. Este un tip de încărcare
care duce la uzură mai mică decât contactul cu alunecare şi de aceea
este folosit în cazurile în care forţele transmise sunt mari, dar vitezele
relative ale suprafeţelor în mişcare sunt moderate. În cazurile în care
vitezele relative sunt mari, se urmăreşte evitarea contactului prin
folosirea suspensiei hidro- sau aero-dinamice. Se menţionează că în
224
majoritatea cazurilor de contact cu alunecare se foloseşte lubrifierea,
ceea ce este, în parte, tot un tip de suspensie hidro-dinamică (agentul
lubrifiant formează o “pană” hidro-dinamică separând efectiv cele
două suprafeţe).
Din punctul de vedere al calculului de corp solid (calcul de
rezistenţă), nu există o deosebire esenţială între contactul static şi cel
dinamic. Desigur, condiţiile pe frontieră sunt diferite, dar formularea
şi, în linii mari, rezultatele sunt similare. Aşa cum s-a sugerat mai sus
însă, problema contactului este mult mai complexă decât problema
de mecanică. Cum obiectivul principal este acela de a prezice şi
controla frecarea şi mai ales uzura, alte aspecte ale problemei,
dincolo de distribuţia tensiunilor din cele două corpuri, trebuie luate
în considerare. Acestea sunt aspectul termic şi mai ales cel chimic. O
cantitate semnificativă de energie este disipată în timpul contactului
dinamic, energie egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare.
Această energie se transformă în căldură, care, dacă nu este disipată
eficient de cele două corpuri, duce la supraîncălzirea suprafeţei de
contact şi chiar la topirea ei (vezi supraîncălzirea frânelor la
automobile). Aspectul termic al problemei poate fi controlat la
proiectare prin diverse metode inginereşti. În multe cazuri, datorită
tensiunilor mari şi a temperaturii ridicate, suprafaţa de contact devine
un adevărat “reactor chimic.” Reacţia preponderentă este cea de
oxidare. Cum mulţi dintre oxizi sunt fie fragili, fie nu aderă bine la
materialul de bază, aceasta duce la formarea unui film care este uşor
de îndepărtat la următoarea trecere, sau care constituie un loc de
amorsare a fisurilor de suprafaţă, care se pot propaga apoi în substrat.
Multe alte reacţii chimice pot avea loc, în unele cazuri “produşii”
fiind cu totul neaşteptaţi. În tribologia modernă (ştiinţa care se ocupă
de studiul frecării şi uzurii), aceste reacţii chimice se folosesc în
avantajul proiectantului, adică, se caută ca produşii de reacţie să ducă
la reducerea coeficientului de frecare, cu toate implicaţiile aferente
asupra procesului termic şi mecanic.
Această sumară trecere în revistă a căutat să scoată în evidenţă
complexitatea ansamblului fenomenelor de contact, frecare şi uzură.
Scopul acestui capitol este limitat la prezentarea rezultatelor de bază
privind problema mecanică şi anume, tensiunile şi deplasările din
zona de contact şi tensiunile din interiorul corpurilor în contact. O
225
tratare mai avansată, dar în aceeaşi concepţie, se poate găsi în
tratatele de mecanică a contactului [1,2]. Cercetări privind legătura
dintre uzură şi studiul mecanicii contactului sunt prezentate în
tratatele de tribologie [3,4]. Această legătură este, însă, încă vagă.
Pentru elucidarea ei tribologia “tradiţională” va trebui să facă apel la
concepte de analiză statistică şi de fizica suprafeţelor. Primii paşi în
această direcţie au fost deja făcuţi [5,6].
9.2. Contactul mecanic fără frecare
În cele ce urmează se vor prezenta câteva dintre soluţiile de bază
ale problemei contactului corpurilor solide deformabile. Se va
considera, pentru început, cazul în care se presupune că nu există
frecare între cele două corpuri, cele două suprafeţe aflate în contact
putând aluneca liber în direcţie tangenţială. Aceasta este, desigur, o
aproximare destul de serioasă dacă modulul de elasticitate al
materialului celor două corpuri este diferit.
Formularea unei astfel de probleme se poate face precizând
presiunile pe suprafaţa de contact, deplasările în zona de contact, sau
forţa totală transmisă. Cazurile curent întâlnite în practică sunt cele în
care se precizează deplasările, cum ar fi în situaţia în care un poanson
rigid apasă pe un semi-spaţiu, şi cele în care tot ceea ce se cunoaşte
este forţa totală transmisă. Condiţiile pe frontieră, în afara zonei de
contact, sunt cele de suprafaţă liberă (tensiuni normale şi tangenţiale
zero), iar în cazul în care unul din corpuri este semi-infinit, se mai
impune şi condiţia ca tensiunile să scadă la zero la infinit.
9.2.1. Probleme în tensiuni pe frontieră
Problema în care se impun tensiuni pe zona de contact este
oarecum artificială, dar soluţia ei ajută la rezolvarea altor probleme,
mai apropiate de realitate.
Semi-spaţiu încărcat cu o forţă concentrată.
Această problemă a fost studiată de Boussinesq. Se consideră
varianta ei pentru stare plană de deformaţii, ca în figura 9.1. O forţă
uniform distribuită de-a lungul axei y, cu mărimea P/L pe unitatea de
lungime, acţionează asupra semi-spaţiului elastic z > 0. Deoarece
spaţiul se întinde la infinit în direcţia axei y, corpul este în stare
226
plană de deformaţie în această
direcţie. Condiţiile pe frontieră
sunt σzz = σxz = 0, pentru z = 0.
Pentru a defini forţa P, se
“taie” un cilindru cu raza r şi
centrul pe axa y şi se consideră
o sarcină uniform distribuită
normală pe suprafaţa nou
creată. Această sarcină uniform
distribuită trebuie să aibă
rezultanta egală cu P/L.
Soluţia acestei probleme [7] (starea de tensiuni în interiorul
corpului) este foarte simplă şi este schiţată în figura 9.1. Se consideră
un element de volum a cărui poziţie faţă de origine este dată, în
coordonate polare, de r şi . Tot în coordonate polare, singura
componentă nenulă a tensorului tensiune este componenta radială,
rr:
cosrL
P2rr , 0r . (9.1)
Tensiunea maximă se obţine de-a lungul axei z. Pe măsură ce
elementul de volum se apropie de origine, tensiunile cresc spre
infinit, proporţional cu 1/r. De fapt, acesta este motivul pentru care
forţa P/L a fost reprezentată prin “tăierea” cilindrului menţionat mai
sus: ca să nu se ajungă niciodată în origine şi deci pentru ca
tensiunile să rămână cu valori finite.
Semi-spaţiu încărcat cu forţe distribuite.
Se consideră configuraţia de forţe din figura 9.2.
Figura 9.2
Figura 9.1
227
Condiţiile pe frontieră sunt aceleaşi cu cele de la cazul
precedent, cu deosebirea că, dat fiind că se impun tensiuni de contact
şi nu forţe concentrate, nu mai este nevoie de a “decupa” zona din
jurul punctului în care acţionează forţele. Astfel, )x(pzz pentru
)a,a(x şi 0zz în afara acestui interval. Tensiunile tangenţiale
sunt zero pe întreaga suprafaţă. La fel ca mai sus, interesează valorile
tensiunilor din punctul M, de coordonate MM z,x .
Această problemă se poate rezolva prin “suprapunere de efecte”,
pe baza soluţiei obţinute pentru forţa concentrată. Este ca şi cum s-ar
împărţi intervalul (-a, a) în segmente mici dx şi pe fiecare dintre
aceste segmente acţionează o forţă concentrată echivalentă, cu
mărimea p(x) dx. Suma tensiunilor date în M de aceste forţe duce la
câmpul căutat. Soluţia se scrie:
dx)z)xx((
)xx)(x(pz2)z,x(
a
a
22
M
2
M
2
MMMMxx
;
dx)z)xx((
)x(pz2)z,x(
a
a
22
M
2
M
3
MMMzz
; (9.2)
dx)z)xx((
)xx)(x(pz2)z,x(
a
a
22
M
2
M
M
2
MMMxz
.
Se observă că acest câmp de tensiuni are valori finite în toate
punctele semi-spaţiului, chiar şi imediat sub zona de frontieră, pe
care se aplică forţele externe. De asemenea, tensiunile zz şi xx
calculate pentru )a,a(x si 0z sunt egale între ele şi egale cu
tensiunea de suprafaţă aplicată în acel punct, p(x). Această stare
triaxială de tensiuni “întârzie” curgerea plastică în zona imediat de
sub suprafaţa contact.
Un caz particular al acestui tip de încărcare este cel în care
sarcina este constantă, p)x(p , )a,a(x . Ca şi în cazul general,
tensiunile sunt finite în vecinătatea suprafeţei de contact şi scad spre
zero când x creşte. La o distanţă suficient de mare de origine (r > 3a),
soluţia converge spre cea pentru forţa concentrată, cu mărimea
a
a
dx)x(pL/P . Este interesant de observat că maximul tensiunii
228
principale este în punctul 2/az de pe axa de simetrie. Tot aici se
obţine şi maximul tensiunii de forfecare. Probabilitatea cea mai mare
de iniţiere a ruperii este deci undeva în interiorul materialului, la o
adâncime proporţională cu dimensiunea suprafeţei de contact, a.
Fisurile care se întâmplă să fie într-o astfel de poziţie faţă de
suprafaţă au şansele cele mai mari să crească şi apoi să ajungă la
suprafaţă, producând “separarea” unei aşchii de uzură.
9.2.2. Problema în deplasări pe frontieră
Problema formulată în deplasări este oarecum mai direct
relevantă pentru situaţii concrete. Ea constă în precizarea deplasării,
uz = care se impune în regiunea de contact, mai degrabă decât a
tensiunilor din acea regiune. Această situaţie corespunde “penetrării”
unui semi-spaţiu cu un poanson rigid.
Se consideră un poanson plan ca în figura 9.3. Distribuţia de
tensiuni din zona de contact a fost determinată de Nadai [8] şi este
dată de:
2
0
)a/x(1
p)x(p
, (9.3)
unde p0 se obţine din condiţia de normalizare
a
a
dx)x(pL/P ca
aL
Pp0
. Distribuţia deplasării δ şi a presiunii de contact p(x) sunt
reprezentate schematic în figura 9.3. Acestea sunt singulare la
colţurile poansonului
( ax ). Distribuţia
tensiunilor (şi a
deplasărilor) în interiorul
corpului se poate obţine
cu ecuaţia 9.2 şi cu
distribuţia 9.3.
Prezenţa singularităţilor
presiunii de contact este
un indiciu că cedarea
trebuie să înceapă la marginile poansonului. Aceasta se şi observă în
realitate la penetrările în materiale fragile. Distribuţia de tensiuni în
Figura 9.3
229
cazul penetrărilor în materiale ductile este, desigur, aceeaşi. Natura
materialului fiind însă diferită, curgerea plastică în zonele critice
previne ruperea fragilă.
Această soluţie rămâne neschimbată pentru poansoane cu
secţiune circulară. Singura diferenţă este că 20a2
Pp
, unde a este
acum raza poansonului.
9.2.3. Soluţia lui Hertz
Hertz a studiat problema contactului a doua corpuri de revoluţie
(sfere, elipsoizi sau cilindri), într-un context mai realist decât cele
discutate în § 9.2.1 [9]. Mai precis, condiţiile pe frontieră nu se referă
la deplasările sau tensiunile din zona de contact, ci la forţa totală
transmisă între cele două corpuri. Suprafeţele din afara contactului
rămân, ca mai sus, suprafeţe libere de tensiuni. Mai mult, ambele
corpuri sunt considerate deformabile şi pot fi din materiale diferite,
adică pot avea module de elasticitate diferite.
În aceste condiţii, soluţia trebuie să determine dimensiunile şi
forma suprafeţei de contact, distribuţia tensiunilor de contact,
distribuţia tensiunilor în interiorul corpurilor şi deplasarea totală a
punctului în care se aplică forţa exterioară. În cele ce urmează se
prezintă principalele rezultate corespunzând contactului a doua sfere
şi a doi cilindri, cu axele aliniate. În ambele cazuri, contactul este
considerat fără frecare. Soluţii pentru alte configuraţii geometrice se
pot găsi în [1, 2].
Contactul a două sfere.
Figura 9.4
230
Se consideră geometria din figura 9.4, în care două sfere cu raze
R1 şi R2 sunt în contact şi sunt încărcate (împinse unul spre altul) cu
forţa P. Corpurile sunt din materiale linear elastice, omogene şi
izotrope, cu constantele elastice E1, 1, respectiv E2, 2.
Soluţia acestei probleme se exprimă în funcţie de o rază
echivalentă, R şi un modul de elasticitate echivalent, E*, date de
formulele
21 R
1
R
1
R
1 ,
2
2
2
1
2
1
E
1
E
1
*E
1
. (9.4)
Faptul că în locul a patru constante elastice soluţia depinde
numai de două este un rezultat mai general din teoria elasticităţii,
stabilit de Dundurs [10]. Observaţia este valabilă pentru problemele
bi-dimensionale, în care apar două materiale izotrope diferite.
Se demonstrează că suprafaţa de contact, în acest caz, este
circulară (datorită simetriei axiale a problemei) cu raza 3/1
*E4
PR3a
. (9.5)
Distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact este parabolică, de
forma
2
0 )a/r(1p)r(p , ar . (9.6)
Cum contactul este fără frecare, numai tensiunile normale la
suprafaţă (presiunea de contact) sunt specificate. Constanta p0
depinde de forţa totală, P, aplicată celor două corpuri şi rezultă din
condiţia de normalizare a distribuţiei p(r) şi anume
a
0
20a
P
2
3prdr2)r(pP . (9.7)
Se observă că p0 este presiunea medie pe suprafaţa de contact
multiplicată cu factorul 3/2.
Deplasarea relativă (apropierea) a centrelor celor două sfere, ,
este
3/1
2
2
*RE16
P9
, (9.8)
231
care indică o relaţie nelineară între forţa aplicată şi deplasarea
relativă a punctelor în care se aplică forţele (acţiune - reacţiune).
Caracterul nelinear al dependenţei provine din geometria contactului,
în ciuda faptului că răspunsul ambelor materiale este linear.
Examinarea distribuţiei tensiunilor din interiorul unuia dintre
corpuri duce la concluzii privind posibilitatea iniţierii fisurilor sau a
curgerii plastice. Distribuţia este prezentată schematic în figura 9.5.
Imediat sub suprafaţa de contact, tensiunile normale zz au variaţie
parabolică, similar cu p(r), din ecuaţia 9.6. Tensiunea normală -
unde este coordonata unghiulară măsurată în jurul lui z - (fig. 9.1 şi
9.2) are o variaţie similară, este nenulă la marginea suprafeţei de
contact, dar scade spre zero foarte repede, imediat în afara
contactului. Tensiunea normală radială rr este negativă (de fapt de
întindere, această anomalie
fiind datorată
inconsecvenţei de semne
din această figură) în
vecinătatea marginii
suprafeţei de contact.
Aceasta poate duce la
amorsarea unor fisuri
circulare (care urmează
conturul zonei de contact)
care sunt şi observate în
practică, în multe cazuri.
Distribuţia de tensiuni
de-a lungul axei z, sub
suprafaţa de contact, este
reprezentată şi ea în figura
9.5. Deoarece axa z este axă de simetrie, tensiunile de forfecare sunt
nule, deci axele z şi r sunt şi direcţii principale ale stării de tensiuni.
Ambele tensiuni normale, zz şi rr scad continuu cu distanţa de la
zona de contact. Totuşi, tensiunea tangenţială maximă (care este
diferenţa tensiunilor principale), 2/rrzzmax , atinge un
maxim, cu valoarea 0.31p0, la adâncimea z = 0.48a (pentru = 0.3).
Această valoare a lui max este cea mai mare din întregul câmp de
Figura 9.5
232
tensiuni, mai mare chiar decât cea de la marginea suprafeţei de
contact (z = 0, r = a). Aceasta indică faptul că la o forţă P suficient
de mare, curgerea plastică este de aşteptat să înceapă în acest punct
de sub suprafaţă.
Discuţia este oarecum paralelă cu cea de la § 9.2.1, unde se
făceau referiri la starea de tensiuni de sub o distribuţie constantă a
presiunii de contact (faţă de distribuţia parabolică din soluţia Hertz,
ecuaţia 9.6). În fapt, tensiunile de sub suprafaţa de contact din figura
9.5 sunt aproape identice cu cele obţinute în cazul unei presiuni de
contact constante.
Contactul a doi cilindri.
Cum în paragrafele precedente s-au făcut referiri la contactul
cilindrilor este necesar, pentru completitudine, să se particularizeze
soluţia Hertz şi pentru acest caz. Se consideră doi cilindri cu raze
diferite, din materiale linear elastice diferite, care sunt în contact de-a
lungul unei generatoare. Geometria este similară cu cea din figura
9.4, cu excepţia faptului că acum forţa este distribuită de-a lungul
întregii lungimi a cilindrilor (şi deci forţa este definită pe unitatea de
lungime, P/L). În acest caz problema este de stare plană de
deformaţii, spre deosebire de cea din cazul contactului sferelor, care
este o stare axial-simetrică de tensiuni.
Pentru această situaţie se obţin următoarele rezultate:
- lăţimea suprafeţei de contact
2/1
*LE
PR4a
; (9.9)
- distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact (parabolică) 2
0 )a/x(1p)x(p , )a,a(x ; (9.10)
- constanta de normalizare
a
a
0aL
P2pdx)x(pL/P . (9.11)
Distribuţia tensiunilor pe suprafaţa de contact - şi sub aceasta -
este aproape identică cu cea pentru contactul între doua sfere (figura
9.5). De asemenea şi concluziile care se pot formula.
233
9.3. Contactul cu frecare
Două corpuri oarecare în contact interacţionează cu frecare.
Totuşi, în unele cazuri frecarea poate fi neglijată, de exemplu, cele în
care deplasările relative ale suprafeţelor în contact sunt mici sau nule.
Un exemplu este cel a doi cilindri sau două sfere de raze egale şi care
sunt realizate din acelaşi material. Acestea se deformează identic,
neexistând nici o tendinţă de deplasare relativă a celor două corpuri
în zona suprafeţei de contact.
Pe de altă parte, frecarea este importantă atâta timp cât există
mişcare relativă. Altfel, există o continuitate a deplasărilor între cele
două corpuri în zona de contact. Soluţia lui Hertz, de exemplu, a fost
obţinută în condiţiile în care nu există frecare şi deci cele două
suprafeţe în contact se pot deplasa relativ în direcţie tangenţială în
mod liber.
Este interesant de văzut, cel puţin calitativ, ce se întâmplă în
cazul în care se are în vedere frecarea. Pentru aceasta se consideră,
din nou, exemplul a doi cilindri de raze diferite, din materiale
diferite, care sunt în contact de-a lungul generatoarei (cazul stării
plane de deformaţie). Se încarcă acest ansamblu cu o forţa normală,
cu valoarea pe unitatea de lungime, P/L, pentru a stabili contactul.
Această forţă duce la o distribuţie parabolică de tensiuni normale la
suprafaţa de contact, p(x), descrise de ecuaţia 9.10. Distribuţia este
reprezentată în figura 9.6.
Se aplică apoi o forţă
tangenţială, cu valoarea, pe
unitatea de lungime, F/L. Această
forţă tinde să mişte cele două
corpuri în direcţia axei x. Se
presupune, pentru moment, că ea
nu duce la rostogolire. Care este
distribuţia tensiunilor tangenţiale
în zona de contact, tensiuni
introduse de forţa F/L ?. Pentru a
da un răspuns simplu la această
întrebare, se presupune că nu există alunecare în zona de contact.
Atunci, deplasarea relativă a celor două corpuri este nulă şi se poate
Figura 9.6
234
construi soluţia căutată simplu, observând similitudinea cu cazul
discutat în § 9.2.2. Este vorba de tensiunile corespunzătoare unei
distribuţii uniforme de deplasări pe suprafaţa de contact, fie ele
normale (ca în cazul § 9.2.2), fie tangenţiale. Soluţia este dată de
ecuaţia 9.3:
2)a/x(1a
L/F)x(
. (9.12)
Tensiunile tangenţiale τ(x) sunt singulare în vecinătatea
marginilor contactului, la ax şi sunt reprezentate în figura 9.6.
O discrepanţă poate fi imediat observată la această soluţie. Spre
marginile zonei de contact, tensiunile tangenţiale devin mai mari
decât cele normale şi deci relaţia )x()x( este îndeplinită
numai într-o zonă
)b,b(x , unde b < a.
Deci, în afara acestei zone
are loc alunecare.
Mai precis, imediat
după ce se aplică forţa
laterală F/L, alunecarea
începe de la marginea
zonei de contact, dar cele
două corpuri nu alunecă
încă unul faţă de celalalt în
totalitate, pentru că
regiunea centrală a
contactului este încă “lipită.”
Distribuţia tensiunilor în zona de contact în această situaţie poate
fi construită pe baza soluţiilor pentru cazurile cu deplasare prescrisă
(ecuaţia 9.12) şi cel cu forţă totală prescrisă (ecuaţia 9.10). În cazul
în care forţa este prescrisă, iar corpurile sunt libere să se deplaseze
relativ, ca în cazul încărcării normale, pentru )a,a(x şi al
încărcării tangenţiale, pentru )b,a(x şi )a,b(x , distribuţia
este parabolică. În cazul în care deplasarea relativă este prescrisă, ca
în cazul )b,b(x , distribuţia tensiunilor tangenţiale este dată de
ecuaţia 9.12. Situaţia este reprezentată în figura 9.7.
Figura 9.7
235
Dimensiunea, b, a zonei de contact fără alunecare se poate
determina din condiţia de normalizare a tensiunilor tangenţiale (x).
Suma lor trebuie să fie egală cu F/L, condiţie din care rezultă
P
F1ab
. (9.13)
Când forţa F creşte suficient pentru a reduce b la zero (F = P),
cele două corpuri alunecă relativ. Pentru F oricât de mic sub această
valoare critică, b > 0.
9.4. Contactul mecanic cu adeziune
Contactul adeziv are loc atunci când suprafeţele în contact au
rugozitate mică şi sunt curate. El se formează local şi în cazul
suprafeţelor rugoase, la contactul dintre asperităţi, aşa cum s-a
menţionat la § 9.1. Acest tip de contact este important, mai ales,
pentru că este atât de puternic încât ruperea lui implică smulgerea de
material din suprafaţa unuia dintre corpuri. Pentru a facilita
înţelegerea naturii acestui tip de contact, câteva noţiuni de fizica
suprafeţelor sunt utile.
Elemente de fizica suprafeţelor.
Se consideră un cristal perfect, de tipul celui din figura 9.8.a.
Liniile care unesc atomii reţelei reprezintă schematic legăturile dintre
atomii vecini, stabilite de potenţialul interatomic. Pentru a introduce
o suprafaţă de-a lungul planului A-A va trebui să se rupă toate
legăturile inter-atomice care străbat acest plan, ajungând astfel la
configuraţia din figura 9.8.b.
Este evident că un atom aflat
în planul suprafeţei are un număr
mai mic de legături cu vecinii
decât un atom din planul următor
sau unul din interiorul cristalului
perfect. Astfel, energia lui (suma
energiei de interacţiune cu
vecinii) va fi diferită de cea a
atomilor din planul secundar. Această diferenţă de energie se
defineşte ca “energie de suprafaţă” pe unitatea de arie a suprafeţei şi
Figura 9.8
236
se notează, de obicei, cu . Această mărime se măsoară în J/m2 şi are
valori tipice în jurul a 1 J/m2. În solide, ea este de cele mai multe ori
neglijată, în timp ce în lichide ea joacă un rol important.
Pe baza acestei mărimi se poate defini “tensiunea superficială”
ca fiind variaţia energiei suprafeţei cu aria. Cum energia totală a unei
regiuni de suprafaţă A este E = A, tensiunea superficială se poate
defini ca
A
AA
E
. (9.14)
Primul termen arată variaţia energiei prin simplul fapt că se
“adaugă” suprafaţa, în timp ce al doilea reprezintă variaţia energiei
asociată cu “întinderea” suprafeţei existente. Pentru a înţelege
diferenţa dintre cei doi termeni, se notează, ca în cazul lichidelor,
. Aceasta pentru că mărirea suprafeţei unui lichid implică
aducerea de noi atomi la suprafaţă, în timp ce legăturile dintre ei nu
sunt deformate, atomii în starea lichidă având suficientă mobilitate
pentru a se acomoda deformaţiilor impuse, rearanjându-se. Într-un
solid, atunci când suprafaţa (împreună cu întregul corp) este întinsă,
nu se aduc noi atomi pentru a participa la mărirea ariei suprafeţei, ci
legăturile inter-atomice dintre atomii de la suprafaţă sunt
distorsionate.
Un efect secundar, care apare atunci când se creează o suprafaţă,
este “relaxarea” distanţei inter-atomice dintre primul şi al doilea strat
atomic. Dimensiunea a din figura 9.8.b este diferită de a0 din figura
9.8.a. În ceea ce priveşte discuţia de faţă, acest efect este însă
secundar.
Adeziunea se poate explica pe baza figurii 9.8.b. Atunci când
două suprafeţe de tipul celor din această figură sunt aduse în
apropiere ele vor căuta să re-formeze legăturile interatomice libere.
Va apare astfel o atracţie care este “resimţită” la distanţe mult mai
mari decât a0. Odată aduse în contact, este practic imposibil de a mai
separa cele două corpuri, exact de-a lungul aceluiaşi plan A-A.
Pentru ca adeziunea să se facă simţită, suprafeţele trebuie să fie
suficient de curate. Suprafeţele expuse la mediu, chiar şi cele puţin
rugoase, sunt acoperite cu oxizi şi / sau compuşi moleculari, în
principal hidrocarbonaţi, din mediu.
237
În tehnologia modernă, în MEMS (micro-electro-mechanical
systems) sau în NEMS (nano-electro-mechanical systems) şi structuri
la scara nano, adeziunea este o problemă serioasă. Un element mobil
al unui MEMS, cum ar fi o membrană sau o bară suspendată, având
rol de rezonator sau de senzor balistic, odată ce intră în contact cu
unul din pereţii structurii, este imposibil de dezlipit şi întreg sistemul
este compromis.
Microscopul cu forţă atomică (AFM – atomic force microscope)
funcţionează pe baza acestei forţe de interacţiune, care duce la
aderarea suprafeţelor. Acest aparat, care funcţionează, în principiu,
ca un profilometru, are un vârf foarte ascuţit care este ţinut la o
distanţă dată de suprafaţă, prin sesizarea proximităţii ei. Dacă vârful
este prea aproape de suprafaţă, forţele de adeziune îl trag spre
aceasta, iar dacă este prea departe, elementul elastic care îl susţine se
relaxează. Astfel, se poate folosi o buclă de control care ţine vârful la
o distanţă de câţiva nanometri de suprafaţă, în timp ce aceasta se
deplasează lateral. Rezultatul este o imagine a suprafeţei.
Soluţia JKR.
Contactul a două corpuri elastice ale căror suprafeţe
interacţionează şi prin forţe de adeziune a fost studiat de Johnson,
Kendall şi Roberts [11]. Soluţia lor (soluţia JKR) este o extensie a
soluţiei Hertz, în care zona de contact arată ca în figura 9.9. Aici
corpurile vin în contact pe zona )a,a(x , aşa cum este prescris
prin soluţia Hertz, dar şi într-un inel de lăţime aad imediat în afara
zonei de contact Hertz.
Figura 9.9 Figura 9.10
238
Această zonă suplimentară de contact apare datorită forţelor de
adeziune. Practic acestea duc la deformarea locală a celor două
corpuri, astfel încât suprafaţa de contact creşte.
Dimensiunea zonei de contact, a*, variază cu forţa aplicată, P, ca
în figura 9.10. Cu linie întreruptă s-a reprezentat relaţia a-P pentru
contactul de tip Hertz. În soluţia JKR, cele două corpuri
intră în contact chiar şi fără ca nici o forţă să fie aplicată (P = 0).
Aceasta se numeşte “salt în contact” şi se datorează forţelor de
adeziune. Când se încearcă “ruperea” unui contact existent, nu este
suficient să se elimine forţa externă P (de compresiune), ci trebuie să
se aplice o forţă de tracţiune cu valoarea Pad.
Cele două mărimi caracteristice, Pad şi aad, sunt calculate în teoria
JKR şi au expresiile
R3Pad , (9.15) 3/1
2
ad*E4
R9a
, (9.16)
unde este energia de suprafaţă. Pentru 0 , se regăseşte soluţia
lui Hertz. Se poate vedea de asemenea că 3/1
adad
P
P
a
a
. (9.17)
9.5. Uzura
Motivaţia principală pentru care se studiază contactul corpurilor
solide provine din încercarea de a înţelege uzura. Uzura nu este un
singur proces, ci mai multe procese care se desfăşoară independent
sau în diferite combinaţii. Acestea includ nu numai procesele de tip
mecanic, descrise mai sus, ci şi procese chimice şi termice. Deşi
elementul principal al acestora este totuşi cel mecanic, în sensul că
fără contact şi fără o forţă de frecare uzura nu poate avea loc,
celelalte procese implicate joacă un rol important.
La ora actuală nu există o teorie unitară a fenomenelor implicate
în uzură şi nici o modalitate de a prezice valoarea coeficientului de
frecare, sau rata de uzură, pornind numai de la geometria, încărcarea
şi chimia suprafeţelor. Cunoaşterea stării de tensiuni din zona de
contact este insuficientă pentru a evalua uzura. Aceasta se datorează
239
în principal faptului că teoria corpului solid nu include criterii de
cedare a materialului (rupere, localizare a deformaţiei plastice, etc).
Din acest motiv singurele relaţii folosite pentru a prezice rata de
uzură, w (volumul de material îndepărtat pe unitatea de distanţă de-a
lungul direcţiei de mişcare relativă a celor două corpuri), sunt pur
empirice. O relaţie frecvent folosită, în cazul în care vitezele relative
sunt mici, este ecuaţia Archard:
H
PKw , (9.18)
unde P este forţa transmisă prin zona de contact, iar H este duritatea
suprafeţei (hardness). Constanta K se numeşte coeficientul de uzură
adimensional. Se poate defini şi un coeficient de uzură dimensional,
k, astfel încât
w = kP, (9.19)
unde k = K/H şi se măsoară în mm3/Nm. Exemple de valori ale lui k
sunt: 7x10-3
pentru oţel carbon pe oţel carbon, 10-4
pentru oţel de
scule pe oţel de scule, 1.7x10-5
pentru oţel inoxidabil pe oţel
inoxidabil.
Există mai multe mecanisme de uzură care sunt discutate în
tratatele de specialitate [3]. Aici se va menţiona numai faptul că, în
funcţie de valoarea forţei P şi de viteza relativă a corpurilor în
contact, v, un mecanism sau altul este dominant. De exemplu, pentru
oţel pe oţel, la P şi v mici (v < 0.1 m/s), mecanismul dominant este
uzura adezivă. Acest tip de uzură a fost descris mai sus şi implică
formarea şi ruperea zonelor microscopice de adeziune formate între
vârfurile asperităţilor care vin în contact direct. La forţe mici şi viteze
mari (v > 1 m/s), suprafaţa se oxidează. Oxizii sunt în general fragili
şi se exfoliază uşor. La forţe şi viteze mari se degajează o cantitate
importantă de căldură, ceea ce poate duce la topirea locală a
materialului şi deci la uzură pronunţată. Atunci când forţa de contact
este suficient de mare încât materialul curge plastic în zona de sub
suprafaţa de contact, uzura este de asemenea foarte pronunţată.
Bibliografie
1. Johnson, K.L., Contact Mechanics, Cambridge Univ. Press,
1985.
240
2. Jaeger, J., New Solutions in Contact Mechanics, Southampton,
2005.
3. Williams, J.A., Engineering Tribolog, Oxford Univ. Press,
1994.
4. Ling, F.F., Fundamentals of Surface Mechanics with
Application, Springer, 2002.
5. Suh, N.P., Tribophysics, Prentice-Hall, 1986.
6. Bushan, B. (Ed.), Fundamentals of Tribology and Bridging the
Gap Between the Macro - and Micro - / Nanoscale, Kluwer, 2001.
7. Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., Theory of elasticity,
McGraw, 1970.
8. Nadai, A.I., Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 2, p.
221, McGraw Hill, 1963.
9. Hertz, H., Miscellaneous Papers by H. Hertz (English
translation). Ed. By Jones and Schott, London, McMillan, 1896.
10. Dundurs, J., Effect of elastic constants on stress in a
composite under plane deformation, J. Composite Matls., Vol. 1, p.
310, 1967.
11. Johnson, K.L., Kendall, K., Roberts A.D., Surface energy
and the contact of elastic solids, Proc. Royal Soc. London, Vol.
A324, p. 301, 1971.
12. Sorohan, Şt., Constantinescu, I.N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Politehnica Press, Bucureşti, 2003.
241
10 .
OPTIMIZAREA ÎN INGINERIA MECANICĂ
10.1. Generalităţi
Optimizarea este, în esenţă, o opţiune ştiinţifică, care constă în
elaborarea şi trierea sistematică a soluţiilor posibile ale unei
probleme inginereşti, având ca scop final selectarea acelei soluţii
care, în limitele unui cadru de referinţă definit prin condiţiile admise
sau impuse iniţial, conduce la folosirea cea mai avantajoasă a
resurselor de care se dispune pentru materializarea ei. Optimizarea
unei maşini, instalaţii sau construcţii de un anumit tip se poate face
prin optimizarea separată a componentelor sale, a subansamblurilor
sau a părţilor constructive distincte, structura de rezistenţă fiind
una dintre acestea. În special la aceasta se vor face referiri în cele ce
urmează.
Bazele matematice ale proceselor de optimizare le constituie
cercetarea operaţională, programarea lineară, programarea dinamică,
programarea geometrică, algoritmii genetici etc.
Scopul principal al optimizării unei structuri – sau, altfel spus, al
proiectării optimale a structurii – este determinarea formei acesteia.
Determinarea tensiunilor şi a deplasărilor constituie o etapă ulterioară
în procesul proiectării, în care se verifică dacă forma şi dimensiunile
structurii satisfac exigenţele scopului urmărit.
Cele mai utilizate criterii care stau la baza modelelor de calcul
pentru optimizarea structurilor sunt: greutate minimă, tensiuni
minime (rezistenţă maximă), energie potenţială de deformaţie
minimă, rigiditate maximă, deplasări minime, rigiditate maximă
pentru o greutate dată, formă de egală rezistenţă, cost minim etc.
Relaţia dintre tensiuni (uneori eforturi) şi forma structurii este
factorul fundamental atât în proiectarea curentă, cât şi în cea
optimală, această dependenţă folosindu-se fie pentru determinarea
tensiunilor când se cunoaşte configuraţia structurii, fie pentru
242
determinarea formei structurii când se cunosc (sau se impun) valorile
maxime ale tensiunilor.
Criteriul de alegere a formei structurii depinde de condiţiile care
trebuie satisfăcute de structură, fiecare criteriu având o importanţă
decisivă asupra rezultatului optimizării. Criterii “absolute” de
optimizare nu există şi nici nu par a fi de dorit.
Cea mai simplă procedură de „optimizare” este “optimizarea
intuitivă”, care constă în realizarea de modele ale unor soluţii
alternative ale structurii şi - prin încercări repetate – de a obţine o
variantă optimă a acesteia. Procesul este empiric şi nu duce cu
certitudine la cea mai bună soluţie posibilă.
10.2. Conceptele şi structura procesului de optimizare
Uzual este ca tehnicile şi procedurile pentru optimizare să fie
incluse în sisteme informatice complexe pentru proiectarea asistată
de calculator - CAD. Foarte frecvent, sistemul conţine un program
performant pentru analiza structurilor prin metoda elementelor finite,
MEF. S-a dovedit că implementarea unor module şi proceduri de
calcul pentru optimizare în programe cu elemente finite este foarte
eficientă.
Pentru a realiza optimizarea unei structuri se elaborează un
model de calcul pentru o variantă “iniţială” a structurii. Pentru acest
model se definesc unul sau mai mulţi parametri de proiectare –
denumiţi şi variabile de proiectare - şi valori şi (sau) intervale de
valori posibile ale acestora denumite restricţii, sub forma unor
egalităţi sau inegalităţi. Astfel de parametri de proiectare pot fi:
costul, masa, dimensiunile, materialele diverselor elemente
constructive, tipuri de asamblări etc.
Procesul de optimizare trebuie să determine valoarea minimă a
unei funcţii dependentă de variabilele de proiectare, numită funcţie
obiectiv. Această funcţie este construită astfel încât extremul ei (de
exemplu, minimul) să corespundă scopului urmărit. De exemplu,
poate fi proporţională cu pătratul costului, masei şi tensiunii normale
maxime. Minimizarea unei astfel de funcţii obiectiv duce la o
structură cu rezistenţă maximă şi masă şi cost minime. Odată ce
funcţia a fost definită, optimizarea se reduce la determinarea unui
extrem al ei. Aceasta se face prin una din procedurile matematice
243
menţionate mai sus. Este de notat că, în general, această funcţie este
neconvexă şi deci are multiple puncte de extrem. Găsirea extrem
extremorum-ului este o problemă dificilă, ale cărei baze teoretice
sunt încă neclare. De aceea, practica curentă se limitează la găsirea
unui minim local.
Deoarece funcţia obiectiv conţine componente referitoare la
comportarea structurii sub sistemul de sarcini definit de analist,
evaluarea ei pentru un anumit set de variabile de proiectare necesită
rezolvarea problemei pe frontieră. Găsirea extremului acestei funcţii,
prin oricare dintre metodele curente, cere multiple evaluări ale
funcţiei obiectiv, în puncte diferite ale spaţiului definit de variabilele
de proiectare. Aceasta presupune rezolvări repetate ale problemei pe
frontieră (răspunsul structurii la sistemul de încărcări dat). Uzual este
ca tehnicile şi procedurile pentru optimizare să fie incluse în sisteme
informatice complexe pentru proiectarea asistată de calculator -
CAD. Foarte frecvent, sistemul conţine un program performant
pentru analiza structurilor prin metoda elementelor finite, MEF. S-a
dovedit că implementarea unor module şi proceduri de calcul pentru
optimizare în programe cu elemente finite este foarte eficientă.
Figura 10.1
Schema generală – conceptuală - a procesului de optimizare se
prezintă în figura 10.1, în care se evidenţiază bucla iterativă a
acestuia. De fapt, din punct de vedere matematic, nu este vorba de
rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice, compatibile, care are o
soluţie unică. Algoritmul matematic al procesului de optimizare este,
244
de regulă, o “strategie euristică” de găsire a celei mai bune soluţii din
mulţimea celor posibile. Punerea în evidenţă a acestor aspecte şi a
altora s-a făcut în schema din figura 10.2, în care prezintă o detaliere
a procedurii de optimizare.
Figura 10.2
O componentă fundamentală a procesului de optimizare este
funcţia obiectiv, care poate fi definită ca lineară sau nelineară, în
raport cu variabilele de proiectare. Cele mai utilizate funcţii obiectiv
sunt: preţul de cost, greutatea, rigiditatea, volumul, energia potenţială
de deformaţie sub sistemul de sarcini etc. Nu există nici o restricţie
de principiu privind definirea funcţiei obiectiv. Diversele programe
cer doar respectare unor reguli de “sintaxă” în ceea ce priveşte
definirea algebrică a funcţiei.
10.3. Corelarea optimizării cu practica inginerească
Procesul de optimizare este o componentă a proiectării şi realizării
unui produs, dar în final structura optimizată trebuie să îndeplinească
şi alte condiţii sau restricţii, prezente totdeauna în ingineria
mecanică, adică rezultatul “teoretic” al procesului de optimizare
trebuie validat, în final, de considerente tehnologice, de montaj, de
transport, de exploatare, estetice, ergonomice, ecologice etc. Aceste
restricţii sunt formulate matematic sub forma unor relaţii între
variabilele de proiectare. Ele limitează domeniul de variaţie al
acestor variabile şi deci “spaţiul de proiectare” în care se caută
245
soluţia optimală. Câteva se prezintă în continuare (expunerea nu este
exhaustivă, ci doar ilustrativă).
Restricţii tehnologice. Orice structură se realizează într-un
ansamblu de condiţii tehnologice existente sau accesibile
executantului, care determină unele “adaptări” ale produsului,
deoarece fiecare tip de proces tehnologic are avantajele, limitele şi
dezavantajele sale.
Cele mai importante sunt:
- forma structurii, oricât de complicată ar fi, se execută relativ
simplu prin turnare. Pentru construcţii din table şi (sau) profile
laminate, asamblate prin sudură, unele forme spaţiale sunt imposibil
sau prea costisitor de realizat. Deci dacă prin procesul de optimizare
rezultă o anumită formă a structurii, uneori ea trebuie “sacrificată”,
adică modificată, din considerente tehnologice, economice,
respectarea unor termene, sau de altă natură;
- grosimile tablelor şi dimensiunile laminatelor – ţevi şi profile –
sunt standardizate şi au şiruri discrete de valori. Deci dacă, de
exemplu, grosimea peretelui unui batiu sau dimensiunile secţiunii
unei bare trebuie să fie variabile, atunci nu pot fi folosite
semifabricate laminate standard, deoarece este neraţional şi
neeconomic ca o astfel de componentă a structurii să se execute din
elemente de mici dimensiuni cu grosimi, sau alte caracteristici,
diferite;
- execuţia unei structuri mecanice presupune realizarea unor
dispozitive, amenajări tehnologice, “pregătiri ale fabricaţiei” etc,
costurile pe unitatea de produs fiind dependente de volumul
producţiei.
Condiţii de montaj. Structura nu va putea fi acceptată pentru
execuţie, dacă ea nu îndeplineşte condiţiile de montaj. Toate
componentele şi subansamblele structurii trebuie să poată fi
executate individual şi apoi asamblate în condiţiile de precizie,
etanşare etc prevăzute în proiect.
Condiţii de transport. Structura în ansamblu, sau componentele
sale – dacă structura este de mari dimensiuni – trebuie să fie
transportate la beneficiar în condiţii care să nu afecteze forma
246
geometrică, precizia dimensională sau parametrii funcţionali ai
produsului. În anumite situaţii aceste considerente pot influenţa
decisiv configuraţia structurii, soluţiile constructive sau tehnologice
la care va recurge proiectantul.
Condiţii de exploatare. Validarea finală a oricărei activităţi
inginereşti este comportarea în exploatare a produsului, maşinii,
dispozitivului sau instalaţiei care au constituit obiectivul
proiectanţilor, executanţilor, utilizatorilor, etc. Indiferent ce rezultate
oferă procedurile de calcul - inclusiv cele de optimizare – hotărâtoare
sunt, în luarea deciziilor de finalizare a unui produs, cele privind
comportarea în exploatare a acestuia şi anume: siguranţa tehnică şi
umană, valorile parametrilor funcţionali, fiabilitatea, economicitatea
exploatării şi întreţinerii, funcţionarea nepoluantă, durata de viaţă,
posibilităţi de reciclare, costurile dezafectării etc.
Concluzii
Tehnicile şi procedurile de optimizare s-au impus – mai ales în
ultimul deceniu – ca mijloace şi instrumente inginereşti foarte
valoroase şi puternice pentru a realiza structuri eficiente şi
competitive. În faza de elaborare a modelului de calcul destinat
optimizării trebuie avute în vedere şi aspectele practice, semnalate,
care de multe ori sunt dificil de formulat în termeni numerici,
cantitativi. Ieşirea din impas se face de către proiectant, tehnolog sau
executant pe baza intuiţiei, creativităţii sau experienţei inginereşti.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Eschenauer H., Koski J., Osyczka A., Multicriteria Design
Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
3. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
247
11.
CALCULUL PIESELOR ŞI STRUCTURILOR
DIN
MATERIALE COMPOZITE
11.1. Generalităţi
Materialele compozite sunt amestecuri de două sau mai multe
componente, în anumite proporţii şi condiţii, ale căror proprietăţi se
completează reciproc, rezultând un material cu proprietăţi superioare
celor proprii fiecărei componente considerată separat. Ele se folosesc
cu mult succes în industriile: aerospaţială, a vehiculelor de toate
categoriile, chimică, a bunurilor de consum etc. Într-un sens general
toate materialele sunt, mai mult sau mai puţin, compozite deoarece
toate au impurităţi, defecte, elemente de aliere etc.
Marea varietate de materiale compozite le face dificil de definit
şi clasificat, curent fiind acceptată delimitarea care are în vedere
următoarele caracteristici ale acestora:
- sunt create artificial, prin combinarea voită şi raţională a
diferitelor componente; în acest fel sunt excluse compozitele naturale
(lemnul) sau cele produse fără intenţia de a crea un material
compozit (fontele cenuşii, betonul). Având în vedere importanţa
practică deosebită a betonului, a betonului armat şi a celui
precomprimat, s-au elaborat metodologii, modele, metode de calcul
şi programe dedicate analizei structurilor construite din această
categorie de materiale;
- sunt amestecuri a cel puţin două materiale distincte din punct
de vedere chimic, între care există o suprafaţă de separaţie bine
definită;
- au proprietăţi pe care nici una dintre componente, luată separat,
nu le are.
Principalele avantaje ale materialelor compozite sunt:
248
- posibilitatea „modularizării” proprietăţilor şi obţinerea, astfel, a
unor materiale cu proprietăţi foarte diferite;
- au o valoare foarte bună, comparativ cu materialele „clasice”, a
raportului rezistenţă la rupere / greutate specifică;
- prezintă o bună rezistenţă la uzură (duritate superficială), la
oxidare şi la coroziune;
- au o bună stabilitate în timp a dimensiunilor şi a formei;
- au o bună capacitate de amortizare a şocurilor, vibraţiilor şi
zgomotelor;
- materialele compozite carbon - carbon sau cele ceramice pot fi
folosite la temperaturi mari, de până la 2200 0C.
Principalele dezavantaje ale materialelor compozite sunt:
- sensibilitatea la variaţiile parametrilor tehnologici de fabricaţie,
adică variaţii relativ mici ale condiţiilor de fabricaţie, ca, de exemplu,
temperatura şi presiunea în timpul procesării, proporţiile
componentelor etc, pot duce la variaţii importante ale caracteristicilor
produsului;
- unele compozite, de exemplu, cele stratificate, sunt
higroscopice şi / sau termo-higroscopice, absorbţia apei ducând la
modificarea dimensiunilor şi proprietăţilor;
- majoritatea compozitelor, dar mai ales cele cu fibre lungi, sunt
improprii pentru realizarea unor structuri cu forme spaţiale
complicate, deoarece în zonele de discontinuităţi geometrice se
pierde continuitatea fibrelor;
- compozitele ceramice, pot fi folosite numai pentru structuri de
dimensiuni relativ mici, având forme relativ simple, ca urmare a
limitărilor impuse de tehnologiile de fabricaţie.
Deosebita diversitate (din diferite puncte de vedere) a
componentelor care pot fi utilizate la fabricarea unui material
compozit, precum şi nenumăratele combinaţii posibile ale acestora în
condiţiile în care şi tehnologiile de fabricaţie sunt numeroase, explică
gama foarte largă a materialelor compozite utilizate în prezent, având
proprietăţi care variază între limite apreciabile în ceea ce priveşte
caracteristicile fizice, mecanice, termice precum şi costurile.
Materialul compozit este format, de regulă, dintr-o componentă
de bază – matricea – în care se „încorporează” materialul
complementar, sub formă de fibre sau particule.
249
Materialele matricelor sunt, de regulă:
a. Metalice:
- metale: aluminiu, cupru, niobiu, oţel inoxidabil;
- aliaje de: aluminiu, cupru, magneziu, titan etc.
b. Materiale organice:
- termoplastice: răşini poliesterice, polietilenă densă, polistiren,
polipropilenă, policlorură de vinil, poliamide, polisulfone etc;
- termorigide: poliimide şi răşini epoxidice, fenolice şi
poliesterice nesaturate.
c. Materiale ceramice, care pot include în compoziţia lor
alumină, oxid de zirconiu, carbură de siliciu şi alţi compuşi, precum
şi amestecuri ale acestora.
Materialele complementare pot fi de următoarele tipuri:
a. Fibre, care pot fi:
- după material: ceramice, din bor, carbon, sticlă, cuarţ, carbură
de siliciu, alumină, alumină-silice, aliaje metalice, oţel inoxidabil,
nylon;
- după structură: policristaline, monocristaline sau amorfe;
- după raportul dintre lungimea l şi diametrul d, fibrele pot fi
continue (l/d > 1000) sau discontinue (l/d < 1000), care la rândul lor
pot fi lungi (l/d = 300...1000), scurte (l/d ≈100) sau foarte scurte
(monocristale filiforme);
- fibre care se „generează” în interiorul matricei, prin unul din
următoarele procedee: solidificarea dirijată a eutecticelor, deformarea
plastică sau cristalizarea într-o matrice solidă.
Fibrele continue se încorporează în matrice ca fire simple sau
răsucite, care se pot aranja: unidirecţional, bidirecţional sau sub
formă de ţesătură plană sau spaţială.
b. Particule, care pot fi:
- după material: carbură de siliciu, grafit, alumină, mică,
zirconiu, nitrură de bor, sticlă, oţel, fontă, oxid de titan, etc;
- după dimensiuni: de la 10 nm (nanoparticule), la 1 μm (micro-
cristale) la 500 μm, sau mai mari;
- după formă: sferică, discoidală sau alte configuraţii.
250
Condiţii impuse materialelor compozite. În principiu, se pot
obţine diverse materiale compozite prin orice fel de combinaţii ale
componentelor enumerate mai sus. Practica însă a demonstrat că apar
unele restricţii, impuse de compatibilităţile care trebuie să existe între
matrice şi materialul complementar. Aceste compatibilităţi sunt de
natură fizică (valorile coeficienţilor de dilatare termică liniară şi
temperaturile de topire trebuie să fie apropiate) şi chimică
(inexistenţa reacţiilor chimice între componente, difuzia unui
component în celălalt să fie limitată).
De asemenea, caracteristicile materialelor compozite sunt
determinate într-o mare măsură de fenomenele fizice şi chimice
complexe care au loc între matrice şi materialul complementar, în
zonele de contact dintre acestea, adică la „interfaţa” matrice-material
complementar. Interfaţa poate „acţiona” atât în sens pozitiv cât şi
negativ asupra caracteristicilor compozitului, ceea ce necesită
cunoaşterea şi dirijarea fenomenelor care au loc în zonele de contact
dintre componentele materialului compozit.
Clasificări ale materialelor compozite. Se folosesc numeroase
clasificări, dintre care, pentru scopul urmărit în această lucrare, sunt
utile următoarele:
a. După modul de distribuţie al materialului complementar:
- izotrope, care conţin fibre scurte sau particule uniform
distribuite;
- anizotrope, care au fibre continue (inserţii sau împletituri) sau
fibre scurte, orientate unidirecţional, în plan sau în spaţiu;
- cu distribuţie dirijată a materialului complementar, obţinută
prin solidificare unidirecţională sau prin deformare plastică la rece;
- stratificate, formate din mai multe lamine sau straturi. Fiecare
lamină este relativ subţire, are fibrele situate într-un singur plan şi
sunt orientate după o singură direcţie sau bidirecţional, deci fiecare
lamină este anizotropă. Orientarea fibrelor din straturile succesive
este, de regulă, diferită. Materialul obţinut se numeşte compozit
laminat.
- sandwich, material compozit realizat din două straturi de
material laminat, între care se află un „miez” dintr-o răşină, o
251
ceramică, sau dintr-o folie de material metalic uşor, dispusă sub
formă de fagure.
b. După dimensiunile materialului complementar:
- nanocompozitele, în care materialul complementar este sub
formă de particule, lamele sau fibre (de exemplu, nanotuburi), având
cel puţin una dintre dimensiuni mai mică de 100 nm;
- microcompozite, la care materialul complementar este dispersat
în matrice la scară microscopică, sub formă de fibre, particule,
lamele etc;
- macrocompozite, la care materialul complementar se află la
scară macro în compozitul respectiv.
11.2. Modelarea şi analiza pieselor şi structurilor din
materiale compozite
Pentru modelarea şi analiza corectă şi eficientă a unei structuri
sau piese realizată din materiale compozite trebuie avute în vedere,
cel puţin, următoarele aspecte specifice:
- alegerea metodei de calcul corespunzătoare, în concordanţă cu
tipul materialului compozit, cu geometria structurii şi cu scopul avut
în vedere pentru analiza care se face. Metoda elementelor finite este
cea mai eficientă pentru astfel de analize, programele MEF având
implementate proceduri şi tipuri de elemente finite speciale pentru
materiale compozite;
- considerarea, pentru modelul elaborat, a valorilor constantelor
fizice şi elastice, corespunzătoare materialului compozit respectiv;
- trebuie acordată o atenţie deosebită „joncţiunilor” structurilor
realizate din materiale compozite, deoarece în zonele respective, de
regulă, nu se poate păstra continuitatea straturilor (de exemplu, a
fibrelor laminelor) şi apare un factor suplimentar care trebuie avut în
vedere şi anume adezivul.
În figura 11.1 sunt reprezentate schematic, ca exemplu, şase
variante constructive ale unei joncţiuni flanşă-tub din compozit
stratificat, din care se poate înţelege varietatea soluţiilor posibile. Se
constată că varianta a. este cea mai puţin aptă pentru preluarea
solicitărilor, deoarece este posibilă desprinderea laminei exterioare a
tubului. Dacă zona joncţiunii prezintă un interes deosebit, este
252
necesară modelarea şi analiza acesteia, printr-o procedură de
submodelare, de exemplu;
- modelarea şi analiza structurii în ansamblu, se face cu
procedurile „clasice”, ca pentru situaţiile obişnuite, pentru solicitări
liniar elastice sau neliniare, în regim static sau dinamic, la flambaj
etc.
În concluzie, specificul modelării şi analizei structurilor realizate
din materiale compozite, se reduce, de regulă, la alegerea unei
metode de calcul care poate fi aplicată acestor materiale şi la
definirea valorilor corespunzătoare ale constantelor fizice şi elastice,
celelalte aspecte ale modelării şi analizei rămânând neschimbate.
Modelele de calcul pentru materialele compozite sunt foarte
„elaborate” şi sofisticate şi au implementate toate posibilităţile oferite
de teoria elasticităţii, teoria plasticităţii, mecanica ruperilor,
rezistenţa materialelor etc, în formulările teoretice cele mai generale,
pentru materiale neomogene, cu anizotropie spaţială, cu neliniaritate
fizică etc. Relaţiile de calcul obţinute astfel, se folosesc pentru
determinarea energiei de deformaţie, a deplasărilor, deformaţiilor şi
tensiunilor. De asemenea, relaţiile analitice de calcul stabilite pentru
diverse tipuri de compozite stau la baza unor programe de calcul
specializate.
Criteriile de cedare sau rupere ale materialelor compozite
reprezintă condiţiile în care apar diferite fenomene care pun în
Figura 11.1
253
pericol integritatea structurii şi siguranţa ei în exploatare ca: ruperi
ale materialului complementar (de exemplu, ale fibrelor), fisurări şi /
sau ruperi ale matricei, desprinderi ale matricei de materialul
complementar etc. Pentru a ilustra complexitatea acestei probleme, se
menţionează faptul că în prezent nu este unanim acceptat un criteriu
de cedare, ci se folosesc numeroase formulări ale acestora, dintre
care cele mai cunoscute şi utilizate sunt:
- criterii limită, care consideră că cedarea (ruperea) se produce
când un parametru al stării de tensiuni sau deformaţii atinge valoarea
corespunzătoare stării limită şi anume criteriul: tensiunilor maxime,
deformaţiei specifice maxime, al lui Stowell-Liu, al lui Prager etc;
- criterii „interactive”, care sunt generalizări ale teoriei von
Mises pentru materiale izotrope şi care consideră că cedarea
(ruperea) se produce când valoarea unei expresii care conţine valorile
tensiunilor, atinge valoarea corespunzătoare stării limită şi anume,
criteriul lui: Tsai-Hill, Marin, Azzi-Tsai, Hoffman, Franklin, Tsai-
Wu, Goldenblat-Kopnov etc.
Unele dintre aceste criterii de cedare sunt incluse în programele
de calcul pentru materiale compozite, ele fiind „ataşate” diverselor
tipuri de compozite.
Valorile constantelor fizice şi elastice ale materialelor
compozite, precum şi ale altor caracteristici ale acestora (de exemplu,
caracteristici mecanice), pot avea variaţii între limite foarte largi,
ceea ce impune ca valorile respective să fie luate din documentaţia
elaborată de fabricantul materialului şi care însoţeşte livrarea:
certificate de calitate, rezultate ale încercărilor de laborator în diverse
condiţii (tip de solicitare, temperatură, umiditate etc).
Metodele de calcul de uz general pot fi folosite, în principiu,
pentru modelarea şi analiza unor structuri din materiale compozite,
dacă se definesc constantele fizice şi elastice corespunzătoare. Se vor
considera, de la caz la caz, materiale liniar - elastice sau neliniare,
izotrope, ortotrope sau anizotrope, conform tipului de model de
calcul „clasic” utilizat. În acest caz se pot avea în vedere trei
categorii de aspecte ale compozitului:
a. Comportarea „globală” a materialului compozit sub sarcină.
Prin aceasta se urmăreşte determinarea caracteristicilor globale
254
echivalente ale compozitului, în vederea înlocuirii acestuia cu un
„material echivalent”, a cărui comportare globală este aceeaşi.
Calculul se face pentru o „mostră” de compozit, adică pe o piesă cu o
formă relativ simplă, supusă unei stări de solicitare simple sau
similară celei din structură. Se pot face şi determinări experimentale
(prin încercări de laborator) rezultatele obţinute comparându-se cu
cele obţinute prin calcul. În acest mod problema modelării şi analizei
structurilor din materiale compozite se „reduce” la problema clasică,
adică a materialelor obişnuite.
Rezultatele obţinute astfel oferă informaţii globale satisfăcătoare
privind structura: deplasări, reacţiuni în rezeme, configuraţia stării de
tensiuni, coeficienţi de flambaj, frecvenţe şi moduri proprii de
vibraţii etc. Nu vor fi obţinute, eventual, suficiente informaţii pentru
unele solicitări locale. O altă deficienţă a folosirii acestei metode
constă în faptul că proprietăţile globale ale compozitului sunt relativ
dificil de determinat experimental, pentru a putea fi introduse în
modelul de calcul al structurii.
b. Dacă este necesar, se poate extinde modelarea şi analiza
structurii din compozite utilizând tehnici de modelare şi / sau
submodelare locală, de exemplu. În acest mod se pot obţine
informaţii privind configuraţiile stărilor de tensiuni şi deformaţii,
„vârfuri” ale acestora şi alte informaţii care pot fi utile pentru
determinarea apariţiei eventualelor cedări ale compozitului: fisuri,
desprinderi, ruperi.
c. Cu metode de calcul de uz general se pot face studii asupra
unor materiale compozite deosebite, ca, de exemplu, pentru materiale
sandwich, care, uneori, au un miez (core) cu o configuraţie
geometrică complexă. Se defineşte o substructură pentru o „celulă” a
compozitului, care se multiplică formând un grup multi - celular cu
care, folosind proceduri de substructurare, se poate modela şi analiza
un ansamblu oarecare. Pentru discretizări suficient de fine, se pot
obţine atât informaţii locale asupra stării de tensiuni la nivelul
microstructurii, cât şi globale, privind deformarea structurii în
ansamblu. O astfel de metodă de modelare este foarte laborioasă şi
costisitoare.
255
Metoda elementelor finite este foarte eficientă în modelarea şi
analiza structurilor din materiale compozite, în special pentru cele
stratificate (multi – layer) şi se utilizează aproape exclusiv în prezent.
Elementele finite de tip multi – strat sunt cele mai răspândite şi
utilizate, implementate în majoritatea programelor cu elemente finite.
Aceste elemente sunt, de regulă, de tip solid cu opt noduri (brick) şi
de placă (shell) cu 3, 4, 6, 8 sau 9 noduri şi au fost concepute astfel
încât să poată fi definite şi utilizate similar cu elementele
corespunzătore, obişnuite, pentru a facilita munca utilizatorului şi
pentru a putea fi cuplate, fără dificultăţi, cu celelalte tipuri de
elemente finite, adică cu cele de tip clasic.
Elementele finite de tip compozit au unele particularităţi pentru
fiecare program, dar unele aspecte generale, care facilitează munca
utilizatorului, se regăsesc în majoritatea acestora şi anume:
a. Se foloseşte o secvenţă cu informaţii generale, pentru fiecare
grup de elemente finite de tip compozit: numărul grupului, tipul
elementelor, numărul straturilor, alegerea criteriului de cedare, unele
constante de material (densitatea, coeficientul de dilatare termică
liniară, conductivitatea termică etc), opţiuni de scriere a rezultatelor
etc.
b. Proprietăţile materialului (modulele de elasticitate
longitudinale şi transversale, coeficientul contracţiei transversale,
limite de curgere la întindere, compresiune, forfecare etc) se definesc
în cadrul mai multor seturi, care se numerotează succesiv, pentru
fiecare precizându-se valorile, pentru materialul anizotrop, pe trei
direcţii perpendiculare.
c. Sistemul de
coordonate. Se
folosesc trei sisteme
diferite de
coordonate, ca în
figura 11.2: global -
al structurii (X, Y,
Z), local - al
elementului finit (x*,
y*, z*) şi local - al materialului (α, β, γ), pe care utilizatorul le poate
utiliza după dorinţă.
Figura 11.2
256
d. Definirea straturilor materialului. Se atribuie fiecărui strat un
indice, de regulă un număr, numerotarea făcându-se pentru toate
straturile, sau numai pentru jumătate dintre ele, cu opţiunea
„simetric” sau „antisimetric”, ca în figura 11.3.
e. Succesiv, pentru
fiecare strat, se definesc:
grosimea (care poate fi
variabilă), unghiul (ω) al
direcţiei de referinţă, în
raport cu care se definesc
caracteristicile (elastice şi
fizice) ale materialului,
numărul setului de
proprietăţi de material ataşat stratului.
f. Definirea topologiei elementelor şi generarea lor se face prin
procedurile obişnuite, implementate în programele cu elemente
finite.
11.3. Exemple
Bare executate din mai multe materiale. Cele mai utilizate bare
din materiale compozite sunt cele din beton armat. Pentru solicitarea
la încovoiere, calculul se face după cum urmează, pentru o secţiune
a barei formată din n arii ale
materialelor care compun bara.
Se presupune că secţiunea barei
este simetrică în raport cu axa z,
ca în figura 11.4.a. Sistemul de
coordonate xyzG are originea în
centrul de greutate, G, al întregii
secţiuni. Un moment încovoietor
My produce tensiunile normale
(x,y,z) = E(y,z)[z –z0(x)] / [(x)],
în care:
ii
siii
02
siiiiiyii
iiy
AE
zAE)x(z,
zAEAEIE
AE)x(M
)x(
1
Figura 11.3
a b
Figura 11.4
257
-E(y,z) este modulul de elasticitate al materialului cu aria Ai;
-Ei, Ai, Iyi, zsi sunt modulul de elasticitate, aria, momentul de
inerţie axial faţă de axa y şi ordonata z a centrului de greutate pentru
aria parţială Ai.
Toate sumele se calculează pentru ansamblul i = 1, 2, ... n.
Axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate, ca la barele
omogene, ci are o excentricitate z0 şi are curbura 1 / (x).
În figura 11.4.b s-au reprezentat variaţiile tensiunilor normale, ,
pe secţiune, cu salturi în dreptul graniţelor materialelor componente.
Ecuaţia diferenţială a axei barei drepte deformate, care are
secţiunea ca cea din figura 11.4, este
.
zAEAEIE
AE)x(M)x("w
2
siiiiiyii
iiy
Compozit stratificat, simetric faţă de planul median
Lamina ortotropă. Se consideră o lamină cu fibre
unidirecţionale, cu o solicitare de tip stare plană de tensiuni, raportată
la două sisteme de coordonate:
- un sistem local - ataşat laminei, cu axa Ox în lungul fibrelor şi
axa oy în planul laminei, perpendiculară pe direcţia fibrelor;
- un sistem global – ataşat compozitului, cu axele OX şi OY în
planul median al stratificatului, care este plan de simetrie.
Pentru un material cu anizotropie generală, cu o stare triaxială de
tensiuni, relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice conţin 21
de constante elastice independente, pentru un material ortotrop
solicitat triaxial sunt necesare 9
constante, iar pentru un
material ortotrop solicitat cu o
stare plană de tensiuni, numărul
constantelor este 4.
Pentru lamina cu fibrele în
direcţia globală OX, ca în
figura 11.5, relaţiile dintre
tensiuni şi deformaţii specifice
(legea lui Hooke) au forma
Figura 11.5
258
xy
XYXY
y
Xxy
y
YY
y
Yyx
x
XX
G;
EE;
EE
, (11.1)
unde Ex şi Ey sunt modulele de elasticitate longitudinale după
direcţiile x şi y; Gxy – modulul de elasticitate transversal în planul
xOy; xy şi yx - coeficienţii de contracţie transversală.
Relaţiile (11.1) au forma matriceală
XY
Y
X
xy
yxxy
yyxx
XY
Y
X
G100
0E1E
0EE1
, (11.2)
sau
{} = [S]{}, (11.3)
în care [S] se numeşte matrice de flexibilitate a laminei sau matricea
complianţelor, care poate fi scrisă şi sub forma
666261
262221
161211
SSS
SSS
SSS
S , (11.4)
ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din
ecuaţia (11.2). Observaţie. Elementele de pe ultima coloană şi de pe ultima linie ale matricei
[S] din relaţia (11.4), s-au notat cu indicele 6, pentru a pune în evidenţă faptul că
relaţiile utilizate sunt particularizări ale celor pentru starea spaţială de tensiuni, caz
în care matricea [S] are dimensiunile 6x6. Această convenţie se va păstra şi în cele
ce urmează.
Ecuaţiile (11.2) rescrise ca expresii ale tensiunilor în funcţie de
deformaţiile specifice sunt
XYxyXY
YyxX
yxxy
x
XYyxX
yxxy
x
X
G
;)(1
E;)(
1
E
, (11.5)
care pot scrise în forma matriceală
XY
Y
X
xy
yxxy
y
yxxy
yxy
yxxy
xyx
yxxy
x
XY
Y
X
G00
01
E
1
E
01
E
1
E
, (11.6)
259
sau
{} = [C]{}, (11.7)
unde [C] este matricea de rigiditate a laminei, care poate fi scrisă şi
sub forma
666261
262221
161211
CCC
CCC
CCC
C , (11.8)
ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din
ecuaţia (11.6).
Matricea de rigiditate este inversa matricei de flexibilitate
[C] = [S]-1
. (11.9)
Pentru o lamină cu fibrele orientate după o direcţie care face
unghiul cu direcţia globală OX, ca în figura 11.6, tensiunile şi
deformaţiile specifice definite în
sistemul de coordonate al
stratificatului, trebuie exprimate în
funcţie de tensiunile şi deformaţiile
specifice în sistemul de coordonate al
laminei, faţă de care se definesc
caracteristicile elastice. În acest scop se
utilizează relaţiile de transformare a
tensiunilor (5.37), scrise pentru planul xOy şi relaţiile de
transformare a deformaţiilor specifice, analoage acestora.
Pentru calculul matricei de rigiditate a laminei în raport cu
sistemul de coordonate global XOY se procedează astfel:
1. Se determină deformaţiile specifice după direcţiile locale, în
funcţie de deformaţiile specifice în direcţiile globale
XY
Y
X
22
22
22
xy
y
x
scsc2sc2
sccs
scsc
, (11.10)
în care s-au notat c = cos şi s = sin .
2. Se calculează tensiunile după direcţiile locale, în funcţie de
deformaţiile specifice în direcţiile locale, cu relaţiile (11.6) în care se
înlocuiesc indicii cu litere mari cu indici cu litere mici
Figura 11.6
260
XY
Y
X
66
2221
1211
xy
y
x
C00
0CC
0CC
. (11.11)
3. Se determină tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de
tensiunile în direcţiile locale, cu relaţiile cu relaţiile (5.37) scrise
pentru planul xOy în care se înlocuieşte = - (rotire în sens
negativ)
xy
y
x
22
22
22
XY
Y
X
scscsc
sc2cs
sc2sc
. (11.12)
4. Tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de deformaţiile
specifice globale se obţin înlocuind (11.10) în (11.11) şi (11.11) în
(11.12), prin care se obţine
XY
Y
X
666261
262221
161211
XY
Y
X
CCC
CCC
CCC
, (11.13)
în care apare matricea de rigiditate a laminei în raport cu sistemul
global de coordonate, ale cărei elemente au expresiile (v. şi relaţiile
(11.6), (11.7), (11.8))
;sinCcossin)C2C(2cosCC 4
22
22
6612
4
1111
;sinCcossin)C2C(2sinCC 4
22
22
6612
4
1122
;)cos(sinCcossin)C4CC(C 44
12
22
66221112
;)cos(sinCcossin)C2C2CC(C 44
66
22
6612221166
;)cossin)C2CC(cossin)C2CC(C 3
662212
3
66121116
.)cossin)C2CC(cossin)C2CC(C 3
662212
3
66121126
Stratificat simetric. Un stratificat simetric se comportă ca o placă
anizotropă omogenă. Pentru solicitări în planul stratificatului,
valorile modulelor de elasticitate efective sunt egale cu mediile
aritmetice ale valorilor modulelor de elasticitate ale laminelor
261
constituente. Eforturile de membrană sunt decuplate de cele de
încovoiere.
Laminele fiind lipite între
ele, când sunt solicitate au
aceleaşi deplasări şi
deformaţii specifice, dar
având rigidităţi diferite,
tensiunile sunt diferite, ca în
figura 11.7.
Pentru determinarea stării
de tensiuni într-un stratificat simetric, de grosime h, solicitat în
planul său, se definesc tensiuni medii, prin relaţii de tipul
2h
2h
XYXY
2h
2h
YY
2h
2h
XX .dZh
1;dZ
h
1;dZ
h
1 (11.14)
Tensiunile se pot determina şi prin relaţiile matriceale
XY
Y
X2h
2h
XY
Y
X
666261
262221
1612112h
2h
XY
Y
X
XY
Y
X
]A[dZ
CCC
CCC
CCC
h
1dZ
h
1 ,(11.15)
unde [A] este matricea de rigiditate a stratificatului.
Primul element al matricei de rigiditate are expresia
2h
0
11
2h
2h
1111 dZCh
2dZC
h
1A . (11.16.a)
Deoarece pentru o lamină coeficienţii ijC sunt constanţi, integrala
(11.16.a) poate fi calculată printr-o sumă
i
ii
11
ii
i
1111h
h2C
h
2hC
h
2A . (11.16.b)
Matricea de rigiditate a unui stratificat simetric se poate calcula
adunând termenii corespunzători ai matricei de rigiditate pentru
fiecare lamină, înmulţiţi cu procentul volumic vi = 2hi/h, adică
i
i
i ]C[v]A[ . (11.17)
După ce s-a determinat matricea [A], ea poate fi inversată,
obţinând astfel matricea de flexibilitate a stratificatului [S] = [A]-1
.
Figura 11.7
262
Valorile modulelor de elasticitate pentru stratificat se pot calcula
cu relaţiile
11
12
YX
22
21
XY66XY
11
2
122211
Y
22
2
122211
X
A
A;
A
A;AG
;A
AAAE;
A
AAAE
. (11.18)
Pentru un calcul aproximativ, elementul A11 al matricei de
rigiditate se poate scrie
i
i
4
ix11 cosvEA , (11.19)
unde vi este procentul volumic al laminei cu fibrele înclinate cu
unghiul θi în stratificat.
Modulul de elasticitate longitudinal al stratificatului poate fi
aproximat cu relaţia
i
i
4
xiiX cosEvE , (11.20)
în care Exi este modulul de elasticitate al vi al laminei cu fibrele
înclinate cu unghiul θi în stratificat şi vi este procentul volumic al
laminei respective.
Dacă un stratificat simetric este solicitat la încovoiere,
deformaţiile specifice au o distribuţie lineară, iar tensiunile au o
variaţie nelineară cu salturi, datorită rigidităţilor diferite ale laminelor
componente, ca în figura 11.8.
Procedând similar ca
pentru solicitarea axială, se
determină termenii matricei de
rigiditate a stratificatului
pentru solicitarea de
încovoiere, care au forma
tot
i
i
i
1111I
ICD , (11.21)
în care Ii şi Itot sunt momentele de inerţie axiale ale laminei i,
respectiv ale stratificatului. Prin inversarea matricei [D] se obţine
Figura 11.8
263
matricea de flexibilitate a stratificatului şi apoi constantele elastice
echivalente ale stratificatului.
Concluzii
În prezent materialele compozite au largi utilizări în inginerie şi
interesul pentru folosirea lor este în expansiune. Din succinta
prezentare a acestei categorii de materiale rezultă că şi pentru
probleme relativ simple dificultăţile de calcul sunt considerabile,
acestea depăşind cadrul unui curs de rezistenţa materialelor.
Cadrul general al problematicii a fost prezentat mai sus,
dezvoltări de nivel superior urmează să fie abordate la cursuri de
specialitate sau prin cercetări independente.
Bibliografie
1. Gibson, R.F., Principles of Composite Material Mechanics,
McGraw-Hill Inc., New York, 1994.
2. Hinton, E., Owen, D.R.J., Finite Element Software for Plates
and Shells, Pineridge Press, Swansea, 1984.
3. Radeş, M., Rezistenţa meterialelor, vol I, Editura Printech,
Bucureşti, 2004.
4. Ştefănescu, F., Neagu, G., Mihai, Al., Materialele viitorului se
fabrică azi. Materiale compozite, Editura Didactică şi Pedagogică
R.A., Bucureşti, 1996.
5. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.
6. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
264
12.
DURABILITATEA, FIABILITATEA,
OBOSEALA,
INTEGRITATEA ŞI CEDAREA PIESELOR
ŞI STRUCTURILOR
Primii constructori şi utilizatori de maşini au observat - pe la
mijlocul secolului al 19-lea - că diverse dispozitive, instalaţii, maşini,
structuri mecanice sau componente ale acestora, care rezistau foarte
bine un interval de timp foarte lung (practic indefinit), la solicitări
statice (constante în timp), cedau, se deteriorau sau se rupeau după
un timp relativ scurt de funcţionare, dacă solicitările erau variabile
în timp şi dacă se îndeplineau anumite condiţii. Explicaţia dată atunci
acestei comportări a structurilor mecanice a fost că materialul
„oboseşte” şi în timp îşi schimbă caracteristicile mecanice de
rezistenţă.
În prezent se ştie că mecanismele de cedare şi rupere a diverselor
structuri, realizate din diferite materiale, sunt foarte complexe şi
diferă fundamental pentru cazul solicitărilor statice faţă de cele
variabile. Ca urmare a acestei situaţii, s-au elaborat concepte,
principii, metode de cercetare experimentală şi de calcul specifice
analizei la solicitări variabile sau la oboseală, care au în vedere
comportarea în timp a structurii.
Ruperea sau cedarea prin oboseală este un ansamblu de
fenomene complexe, cunoscute şi elucidate în mare măsură, dar care
mai prezintă unele aspecte neclare sau controversate. Oboseala este
puternic localizată, adică se produce în zonele cu tensiuni şi
deformaţii mari ale pieselor sau structurilor. O prezentare simplă, de
principiu, a ruperii prin oboseală se poate reduce la următoarele
(pentru detalii se vor consulta lucrări de specialitate ca, de exemplu,
[1,…, 5]:
265
- oboseala este o acumulare a deteriorărilor, sau o rupere
progresivă, adică structura respectivă se “rupe câte puţin” la fiecare
variaţie a solicitării;
- pentru ca ruperea să aibă loc prin oboseală, trebuie îndeplinite
simultan o serie de condiţii, dintre care esenţiale sunt: solicitarea să
fie variabilă, să se producă tensiuni de tracţiune (de întindere, cel
puţin într-o etapă a variaţiei solicitării) şi deformaţii plastice (cel
puţin la vârfurile fisurilor);
- amorsarea fenomenelor de oboseală se produce, de regulă, pe
suprafaţa structurii (sau piesei), care este zona „slabă” a acesteia;
- comportarea la oboseală a unei structuri este influenţată de o
multitudine de factori, dintre care cei mai importanţi sunt: materialul,
granulaţia, anizotropia şi neomogenitatea sa, solicitarea şi modul de
variaţie a ei în timp (inclusiv variaţii ale temperaturii), tehnologiile
de fabricaţie (sudare, aşchiere, forjare, tratamente termice şi
termochimice, deformări plastice la rece etc), dimensiunile,
concentratorii de tensiuni, starea suprafeţelor, condiţiile de
exploatare şi de mediu, temperatura, existenţa unor defecte ale
materialului (incluziuni, fisuri, goluri etc), producerea unor
suprasolicitări de scurtă durată, existenţa unor stări de tensiuni
remanente etc.
Dificultăţile analizelor la oboseală provin din următoarele surse:
- complexitatea fenomenelor fizice implicate şi corelaţiile
multiple dintre ele;
- multitudinea factorilor de influenţă şi posibilităţi limitate de
evaluare cantitativă, numerică a acestora;
- determinările experimentale necesare cunoaşterii comportării la
oboseală, în diverse condiţii, ale structurilor şi materialelor sunt
laborioase, dificile şi costisitoare;
- datele de intrare pentru analizele la oboseală fiind afectate de
incertitudini, uneori este necesar ca abordările să se facă folosind
conceptele şi mijloacele statisticii matematice şi ale calculului
probabilistic, ceea ce presupune eforturi suplimentare în elaborarea
modelelor de calcul şi a procedurilor de analiză. Acest aspect este
foarte clar evidenţiat de dispersia mare a rezultatelor încercărilor la
oboseală;
266
- incertitudinile privind oboseala structurilor sunt, în general:
fundamentale, care provin din complexitatea fenomenelor de
oboseală, de modelare, care îşi au sursa în simplificările aduse
realităţii şi în aproximaţiile privind valorile parametrilor care intervin
în calcul şi statistice, legate de dispersia rezultatelor. Principalele
surse de incertitudini sunt: încărcarea, caracteristicile materialului,
geometria structurii, metodele şi modelele de calcul (care includ
modelările şi analizele cu elemente finite);
- în practica inginerească fenomenele de oboseală apar ca efecte
ale unor solicitări dinamice complexe, ca: vibraţii, şocuri repetate,
variaţii ale temperaturii, sarcini care se aplică structurii cu o anumită
viteză de variaţie sau secvenţe repetitive având diverse componente
dinamice şi statice.
În concluzie, pentru a modela şi analiza corect o problemă de
oboseală, trebuie, în prealabil, determinate secvenţele solicitărilor
variabile care pot produce – sau nu – deteriorarea structurii prin
oboseală.
Pentru modelările şi analizele la oboseală, studierea condiţiilor
de apariţie a fisurilor şi a evoluţiei acestora, este mai clară şi mai
eficientă dacă se asociază cu conceptele şi mijloacele de investigaţie
ale mecanicii ruperilor. În acest fel se poate urmări evoluţia
fisurilor în timp şi se poate estima momentul când acestea pot pune
în pericol integritatea structurii. Acest demers se justifică prin
aceea că toate structurile reale au defecte, amorse de fisuri sau chiar
fisuri.
12.1. Definiţii, ipoteze, concepte, principii, legi
- Obiectivele calculului la oboseală. Pentru un ansamblu de
solicitări cunoscute, variabile în timp, aplicate unei structuri (sau
piese) definită complet (ca dimensiuni, formă, material, tehnologie,
condiţii de exploatare etc) analiza la oboseală poate aborda şi rezolva
următoarele probleme mai importante:
a. Determinarea valorii coeficientului de siguranţă la
durabilitate nelimitată, adică pentru funcţionare sigură un interval
de timp nedefinit.
b. Estimarea probabilităţii de cedare a structurii, adică a
funcţionării sigure a structurii un anumit interval de timp, cu o
267
probabilitate determinată, constituie o variantă a tipului precedent de
analiză.
c. Determinarea duratei de viaţă, a durabilităţii sau a
intervalului de timp în care structura va funcţiona sigur, adică pentru
care coeficientul de siguranţă are garantată valoarea prescrisă. Se
face distincţie între durabilităţi limitate „mari” şi „mici”.
d. Determinarea rezistenţei la deteriorare controlată (fail-
safe), constă în evaluarea prin calcul şi supraveghere directă a
siguranţei în funcţionare, la un moment dat, a unei structuri care are
un defect cunoscut, de exemplu, o fisură. Se monitorizează evoluţia
în timp a defectului (sau a defectelor) respectiv cu scopul de a şti, în
fiecare moment, dacă structura mai poate sau nu funcţiona în
siguranţă.
Această abordare a problemei siguranţei în exploatare a
structurilor a dus la introducerea conceptului de toleranţă la
deteriorare, care este proprietatea unei structuri cu fisuri sau alte
defecte, de a-şi păstra rolul funcţional, sigur, un interval de timp
prestabilit (de exemplu, până la eliminarea defectului).
În prezent, această metodă beneficiază de cele mai noi realizări
ale sistemelor electronice de măsurare şi telemăsurare, integrate în
sisteme de calcul şi este tot mai mult folosită pentru supravegherea
structurilor de importanţă deosebită ca: agregate energetice nucleare,
vehicule pentru zboruri spaţiale, rachete, submarine, echipamente de
proces pentru industria chimică, poduri etc.
- Tipuri de solicitări variabile. Solicitările variabile evoluează
într-o foarte mare varietate de tipuri, forme şi parametri, cu un
anumit specific pentru fiecare tip de maşină, instalaţie, dispozitiv sau
element component al acestora. Pentru a face posibilă studierea şi
elaborarea algoritmilor, relaţiilor de calcul, modelelor etc, pentru
efectuarea unor analize la oboseală, se consideră următoarele
categorii de solicitări variabile:
a. Solicitările variabile ciclice staţionare reprezintă variaţii
ale unui parametru al solicitării, de exemplu, tensiunea normală
ζ, între aceleaşi limite, ζmax şi ζmin, constante în timp, modul de
variaţie repetându-se, un interval de timp nedeterminat, ca în figura
12.1. Variaţia tensiunii de la o valoare oarecare până la aceeaşi
268
valoare şi cu acelaşi sens de variaţie, se numeşte ciclu de solicitare
variabilă.
Figura 12.1
Pentru o solicitare staţionară ciclurile se reproduc un interval de
tip nedefinit.
Solicitările ciclice staţionare sunt într-o mare măsură teoretice,
deoarece se întâlnesc în realitate relativ rar. Mai frecvent, se
aproximează prin astfel de cicluri unele solicitări variabile, care se
apropie de acestea.
Mărimile care se definesc pentru un ciclu de solicitări variabile
sunt: tensiunea maximă ζmax, tensiunea minimă ζmin, tensiunea medie
ζm = (ζmax + ζmin) / 2, variaţia tensiunii Δζ = ζmax - ζmin,
amplitudinea tensiunii ζa = Δζ / 2 = (ζmax - ζmin) / 2, coeficientul de
asimetrie R = ζmin / ζmax, caracteristica ciclului k = ζa / ζm = (1 – R)
/ (1 + R). Se observă că ζmax = ζm + ζa şi ζmin = ζm - ζa. Observaţie: Aceleaşi mărimi pot fi definite în funcţie de tensiunea , când este
cazul.
În funcţie de valorile pe care le pot avea mărimile definite mai
sus, ciclurile au următoarele denumiri:
- ciclu alternant – tensiunea îşi schimbă semnul, adică ζmax şi
ζmin au semne diferite (R<0) ;
- ciclu oscilant - tensiunea nu îşi schimbă semnul, adică ζmax şi
ζmin au acelaşi semn (R>0) ;
- ciclu alternant simetric – tensiunea ζm = 0, şi ζmax = - ζmin
(R = -1);
- ciclu pulsant sau pulsator – una dintre valorile extreme ale
tensiunii are valoarea zero, adică fie ζmax = 0, fie ζmin = 0. Dacă
ciclul este de întindere, R = 0, iar dacă este de compresiune R = - ∞.
Este benefic pentru înţelegerea unor aspecte practice şi teoretice
ale problemelor de oboseală să se interpreteze un ciclu oarecare ca o
suprapunere a două solicitări: una cu un ciclu alternant simetric, cu
269
amplitudinea ζa şi una statică, cu intensitatea ζm. Se spune că ciclul
alternant simetric reprezintă partea variabilă, iar solicitarea statică,
partea constantă a solicitării.
Practica modelării şi analizei la oboseală a demonstrat că
frecvenţa ciclurilor de solicitări variabile influenţează într-o foarte
mică măsură comportarea structurilor. Din acest motiv, toate
demersurile au în vedere numărul ciclurilor n şi nu frecvenţa sau
timpul. Se pot avea în vedere, dacă este cazul, următoarele aspecte,
privind frecvenţa ciclurilor:
- dacă frecvenţa este între 1 şi 100 Hz, influenţa este
neglijabilă, la temperatura „camerei”;
- dacă frecvenţa este sub 1 Hz, influenţa este nefavorabilă, dar
foarte mică;
- la frecvenţe peste 100 Hz, influenţa este uşor favorabilă.
Influenţa frecvenţei poate deveni semnificativă dacă solicitarea
se produce în condiţii de coroziune sau fluaj.
b. Grupuri de cicluri cu amplitudine constantă, care se repetă de
un anumit număr de ori, formând blocuri sau secvenţe de solicitări
variabile, ca în figura 12.2. Pentru blocul din figura 12.2, grupurile
au respectiv: n1 cicluri cu amplitudinea tensiunii ζa1, n2 cu ζa2 şi n3 cu
ζa3 .
Figura 12.2
Ciclurile din figura 12.2 sunt alternant simetrice. Uneori, diversele
grupuri de cicluri de solicitări variabile pot fie compuse din cicluri
nesimetrice, care au tensiunea medie nenulă şi cu valori ζm şi ζa
diferite pentru fiecare grup, ca în figura 12.3. În acest caz, se
determină, pentru fiecare grup i, amplitudinea ζasi a ciclurilor
alternant simetrice “echivalente” (care produc aceleaşi deteriorări în
structură), cu relaţia [3]:
270
,)/1/( rmiaiasi (12.1)
în care s-au notat: amplitudinea ζai şi tensiunea medie ζmi pentru
grupurile cu ni cicluri nesimetrice, iar cu ζr rezistenţa la rupere
(ultimate strength) a materialului la întindere statică.
Figura 12.3
Deoarece deteriorările produse de ciclurile nesimetrice sunt mici,
blocului de cicluri considerat trebuie să i se adauge un ciclu alternant
simetric care are amplitudinea egală cu valoarea cea mai mare a
tensiunii maxime ζmax a ciclurilor care compun blocul respectiv.
În lucrarea [1] se face precizarea că ciclurile care au tensiunea
medie nenulă, prezintă un interes practic deosebit. c. Solicitări întâmplătoare sau aleatoare nestaţionare, care se
produc între limite variabile şi după legi oarecare. Aceasta este
situaţia reală a solicitărilor în exploatare a majorităţii maşinilor şi
instalaţiilor. Pentru a se putea, în aceste condiţii, să se elaboreze
metode şi modele de calcul, se fac înregistrări, pentru diverse
categorii de maşini şi instalaţii, în condiţii reale de funcţionare, ale
unor mărimi care pot oferi informaţii pentru calcule: tensiuni,
deplasări, forţe, acceleraţii, viteze, deformaţii, temperaturi, frecvenţe
etc.
Prelucrarea înregistrărilor obţinute este laborioasă, are mai multe
etape şi urmăreşte, unul sau mai multe dintre următoarele obiective:
- identificarea şi separarea solicitării de bază (de exploatare),
de cea perturbatoare, care de obicei reprezintă vibraţii aleatoare, de
intensitate relativ mică, în comparaţie cu solicitarea de bază, ceea ce,
frecvent, justifică neglijarea efectului lor. Separarea se face prin
271
„filtrarea” vibraţiilor şi este relativ uşor de făcut dacă cele două
solicitări sunt independente statistic;
- determinarea şi „numărarea” unor secvenţe de solicitare sau
evenimente (event) ale solicitării, care se repetă, denumite şi
solicitări aleator ordonate.
Figura 12.4
Acestea se consideră cicluri neregulate şi pot avea orice formă,
ca în figura 12.4;
- elaborarea istoriei încărcării (loading history), care constă în
precizarea evenimentelor sau blocurilor de solicitare, succesiunea
şi numărul lor.
Figura 12.5
În figura 12.5 se prezintă un exemplu, în care s-au definit
evenimentele 1, 2, 3 şi frecvenţele (numărul) lor n1, n2, n3 ;
- numărarea ciclurilor, care constă în descompunerea şi
reasamblarea în cicluri a variaţiei solicitării şi definirea, cu acestea,
a unor grupuri şi blocuri de solicitări variabile şi stabilirea numărului
acestora.
- Curba de durabilitate la oboseală. Pentru a cunoaşte cum se
„comportă” la oboseală un material, se fac încercări pe maşini
speciale, cu cicluri de amplitudine ζa şi coeficient de asimetrie R
constant, pe epruvete netede (lustruite, fără concentrator). Cele mai
frecvente sunt încercările cu cicluri alternant simetrice, pentru care:
ζm = 0, R = -1 şi ζa = Δζ / 2 = ζmax . Încercările se fac pe loturi de
272
mai multe epruvete identice (minimum 10), cu amplitudine (ζa sau
ζmax), diferită pentru fiecare epruvetă şi se determină N - numărul de
cicluri la care epruveta a cedat (s-a rupt).
Perechile de valori ζa - N se reprezintă prin puncte într-un sistem
de coordonate. De obicei, tensiunea se reprezintă în ordonată, la
scară naturală şi durabilitatea sau numărul de cicluri, în abscisă, la
a b
Figura 12.6
scară logaritmică, ca în figura 12.6. Prin (sau printre) punctele
respective se defineşte o curbă, denumită curba de durabilitate,
curba S – N, σ - N sau curba lui Wöhler.
- Limita la oboseală. Curbele de durabilitate ale diferitelor
materiale au următoarele forme:
- curbe care au o limită inferioară (un palier orizontal) pentru
tensiuni, ca în figura 12.6.a, denumită limită de oboseală sau
rezistenţă la oboseală care se notează cu ζR. Această limită apare
pentru durabilităţi N* ≥ 2*106 cicluri, la oţeluri cu rezistenţă mică,
încercate în medii necorosive;
- curbe cu alura continuu descrescătoare, care nu au palier
pentru tensiuni, ca în figura 12.6.b. În acest caz se defineşte o limită
de oboseală convenţională, care este valoarea amplitudinii tensiunii
corespunzătoare unei anumite durabilităţi, de exemplu, N = 2*107 sau
108 cicluri. Acesta este cazul celor mai multe metale şi aliaje şi
pentru toate materialele, când solicitarea are loc în medii corosive.
- Rezistenţa la durabilitate limitată. Pe orice curbă de
durabilitate se poate determina ζN, rezistenţa la durabilitate
limitată, care este valoarea ζmax a tensiunii maxime a ciclurilor de
273
solicitări variabile, care poate fi suportată pentru o durabilitate de N
cicluri. Cu cât ζmax creşte, durabilitatea scade, dependenţa fiind
puternic nelineară. În prezent, din considerente economice,
proiectarea şi calculul structurilor la durabilităţi din ce în ce mai mici
prezintă un interes deosebit. Sunt situaţii când se au în vedere
durabilităţi doar de câteva cicluri, cum este cazul rachetelor balistice
sau al pneurilor trenurilor de aterizare ale avioanelor supersonice.
Deoarece s-a constatat că mecanismele de producere a ruperilor
prin oboseală sunt foarte diferite pentru durabilităţi limitate mari
comparativ cu cele mici, acestea se analizează distinct. Convenţional,
se consideră că durabilitatea sau „durata de viaţă” este: lungă - pentru
N cuprins între 106 şi 10
7 sau mai mult; medie – pentru N între 10
4 şi
105; scurtă – pentru N între 10
2 şi 10
3 sau mai puţin.
- Durabilitatea sau durata de viaţă de tranziţie. Pentru a
evidenţia unele aspecte ale fenomenelor de oboseală, importante din
punct de vedere practic, este utilă studierea dependenţei tensiune -
deformaţie, pentru un ciclu de solicitări variabile.
Figura 12.7 Figura 12.8
Un astfel de ciclu se prezintă în figura 12.7, în care se remarcă
fenomenul de histerezis, care permite separarea componentelor
deformaţiei totale Δε: elastică Δεe şi plastică Δεp (Δε = Δεe + Δεp). În
funcţie de amplitudinile acestor trei deformaţii, în figura 12.8 se dau
curbele de durabilitate ε – log(2Nf), în care 2Nf este numărul de
“inversiuni” până la rupere (inversiunea este modificarea sensului de
variaţie a tensiunii sau deformaţiei în timpul solicitării variabile).
Din analiza figurii 12.8 rezultă că cele două curbe de durabilitate
trasate pentru deformaţia elastică Δεe şi pentru cea plastică Δεp se
intersectează într-un punct (în care Δεe = Δεp) a cărui abscisă
274
corespunde unui număr de cicluri Nt, corespunzător durabilităţii sau
duratei de viaţă de tranziţie. Nt depinde de material şi are valori
cuprinse între 103 şi 10
5 cicluri, pentru materiale de înaltă rezistenţă
şi de 106 cicluri, pentru materialele cu rezistenţă redusă.
- Durabilitate mare şi mică. Durabilitatea de tranziţie Nt permite
definirea a două domenii de durabilitate:
- pentru N > Nt - domeniul durabilităţilor mari;
- pentru N < Nt - domeniul durabilităţilor mici.
Durabilităţile mari presupun că tensiunile au valori relativ mici,
astfel încât curgerile locale sunt neînsemnate sau lipsesc. În această
situaţie oboseala poate fi studiată numai pe baza tensiunilor. În
domeniul durabilităţilor mici, tensiunile au valori mari, astfel încât
efectele curgerilor sunt determinante. În acest caz modelarea şi
analiza fenomenelor de oboseală trebuie făcută în funcţie de
deformaţii. Pentru durabilităţi mici trebuie avut în vedere faptul că
dependenţa tensiune – număr de cicluri este puternic nelineară, deci
este posibil ca pentru variaţii relativ mici ale tensiunilor să aibă loc
variaţii apreciabile ale durabilităţii. De asemenea, în acest caz
efectele incertitudinilor pot fi mai mari.
- Diagrame de durabilitate sau ale ciclurilor limită. Pentru a
putea oferi proiectanţilor metodologii
şi relaţii de calcul la oboseală, se elaborează, pentru diverse
materiale şi condiţii de solicitare
(întindere, încovoiere, răsucire, solicitări compuse etc) „sinteze” ale
rezultatelor încercărilor la oboseală sub forma unor diagrame.
Diagramele de durabilitate se trasează folosind rezultatele oferite
de diagramele tensiune – durabilitate obţinute pentru un anumit
material, prin serii de încercări cu coeficienţi de asimetrie în
intervalul de valori –1 ≤ R < 1. Fiecare epruvetă este supusă unor
cicluri de solicitare cu aceeaşi amplitudine, până la realizarea unui
număr prestabilit de cicluri (de exemplu 106), sau până la fisurarea,
cedarea sau ruperea epruvetei. Mărimea de control este, de regulă,
tensiunea din zona calibrată, de secţiune minimă, a epruvetei.
Încercările se execută pe seturi de epruvete cu aceeaşi formă şi
dimensiuni, realizate în condiţii bine definite (cuantificate numeric),
pentru programul de încercare propus.
275
Cele mai utilizate
diagrame sunt: Smith - trasată
în coordonate ζm, ζmax , ζmin şi
Haigh – în coordonate ζm, ζa.
În figura 12.9 sunt
reprezentate aceste două
diagrame şi corespondenţele
dintre ele. Este sugestivă şi
diagrama spaţială din figura
12.10, care în plane paralele
cu planul ζm, ζa defineşte
diagrame de tip Haigh, iar
plane paralele cu planul N, ζa,
curbe de durabilitate.
De asemenea, se mai
folosesc diagrame de
durabilitate în coordonate ζmax
- R sau ζa – k.
Pentru a reduce numărul
de încercări, sau pentru că nu
există informaţii, frecvent se
folosesc diagrame
schematizate, care au
neajunsul că duc la rezultate
acoperitoare, adică se „pierde” o bună parte a capacităţii de rezistenţă
la oboseală a materialului.
Figura 12.10
Figura 12.9
276
Pentru fiecare tip de diagramă de durabilitate se folosesc mai
multe variante de schematizare (simplificare), în funcţie de diverse
condiţii: material, solicitare etc, pentru fiecare stabilindu-se relaţii de
calcul pentru coeficienţii de siguranţă sau durata de viaţă a piesei sau
structurii care se modelează şi se analizează la solicitări variabile.
12.2. Consideraţii fundamentale pentru proiectare
Pentru proiectarea sigură şi economică a structurilor supuse unor
solicitări variabile trebuie avute în vedere cel puţin următoarele
considerente:
a. Influenţa solicitărilor variabile în procesul de oboseală este
determinată de amplitudinea şi numărul variaţiilor solicitării pe
durata de viaţă a piesei sau structurii. Pentru solicitări date,
particularităţile constructive şi de execuţie ale structurii se manifestă
prin valorile locale ale amplitudinii tensiunii, determinate de
geometria acesteia, precum şi de calitatea suprafeţelor, defectelor etc.
b. Indicatorii care pot defini performanţele şi fiabilitatea
structurii sunt, de regulă: raportul dintre capacitatea de încărcare sub
solicitări variabile şi greutatea proprie, durata de funcţionare fără
reparaţii, adaptabilitatea la monitorizare activă, costul remedierilor
sau reparaţiilor etc.
c. Pentru domenii specifice (utilaje energetice, motoare cu ardere
internă, vehicule, avioane etc), trebuie avute în vedere condiţii
tehnice şi economice bine precizate, ca de exemplu:
- Proiectare pentru durată de viaţă nelimitată (peste 106 cicluri).
Se folosesc valori ale tensiunilor admisibile la oboseală, obţinute
prin împărţirea limitei la oboseală a materialului cu un coeficient de
siguranţă. La elaborarea proiectului trebuie găsite cele mai eficiente
soluţii pentru ca valoarea locală a tensiunilor să nu depăşească
rezistenţa admisibilă la oboseală. De regulă, se are în vedere
optimizarea formei, alegerea tehnologiilor, precizări şi restricţii ale
condiţiilor de exploatare etc. Este cazul, mai ales, al componentelor
(organelor de maşini) ale unor motoare, transmisii de forţă, sisteme
de rulare la vehicule de toate tipurile şi categoriile etc.
277
- Proiectare pentru durată de viaţă limitată (sub 106 cicluri),
când solicitările sunt intense (cu amplitudine mare). Se fac calcule de
verificare la oboseală pentru zonele cele mai solicitate ale structurii.
De regulă, se au în vedere amplitudinile maxime ale deformaţiilor
specifice şi / sau ale tensiunilor echivalente, care sunt comparate cu
valorile care se determină pe curba de durabilitate (de referinţă) a
materialului, corespunzătoare duratei de viaţă dorite. Pentru durate de
viaţă mai mici de 106 cicluri, pe curbele de durabilitate tensiunile au
variaţii mari în funcţie de numărul ciclurilor de solicitare, ceea ce
permite considerarea unor valori ale tensiunilor admisibile mai mari
decât în cazul durabilităţii nelimitate. Astfel de calcule se fac, de
exemplu, pentru cazane şi recipiente sub presiune, pentru poduri
rutiere şi de cale ferată, şasiuri de vehicule etc.
- Proiectare pentru deteriorare controlată. Se aplică pentru
structuri de mare complexitate cu fiabilitate determinată, pentru care
se admite că acestea au anumite defecte (fisuri) încă de la intrarea în
exploatare. Trebuie ca, pe perioada de viaţă normată, Nn, evoluţia
proceselor de fisurare să fie controlată, astfel încât nici o fisură să nu
atingă lungimea critică, care să pună în pericol siguranţa în
funcţionare şi / sau integritatea structurii. Modelul de calcul şi
analiza au în vedere valoarea iniţială a defectului şi corelarea lui cu
geometria structurii, tehnologia de execuţie, solicitările şi condiţiile
de exploatare. Se determină numărul, Nc, al ciclurilor de solicitare
pentru care defectul, avut în vedere, creşte până la dimensiunea
critică, pentru care se produce cedarea sau ruperea structurii.
Coeficientul de siguranţă va avea valoarea c = Nc / Nn. Această
procedură se aplică, de exemplu, pentru: structuri de aviaţie,
reactoare, cazane de abur, schimbătoare de căldură sau recipiente
puternic solicitate, rotoare de turbine, platforme de foraj etc.
12.3. Calculul obişnuit la solicitări variabile
Pentru componentele şi organele maşinilor şi instalaţiilor se face
un calcul de verificare la solicitări (simple sau compuse) variabile
staţionare, de regulă, pentru durabilitate nelimitată. Este cazul
arborilor drepţi şi cotiţi, roţilor dinţate, cuplajelor, arcurilor, tijelor,
bolţurilor etc. Aceste calcule se fac pornind de la diagrama de
278
durabilitate sau a ciclurilor limită a materialului, pentru care se
elaborează o diagramă schematizată, simplificată, pe baza căreia se
stabilesc relaţii de calcul pentru coeficientul de siguranţă, ca raportul
dintre rezistenţa la oboseală a materialului (tensiunea maximă a
ciclului limită) şi tensiunea maximă a ciclului de solicitări variabile
din piesă.
Dificultăţile majore care apar în aceste situaţii sunt legate de
evaluarea numerică a influenţelor numeroşilor factori care
determină comportarea piesei la oboseală. Diagramele ciclurilor
limită sunt „ale materialului” adică au fost obţinute prin încercări pe
epruvete netede (fără concentrator), cu suprafaţa lustruită şi pentru o
anumită dimensiune, standard, de regulă 10 mm.
Determinarea valorii coeficientului de siguranţă la solicitări
variabile, pentru piesa considerată, presupune ca piesa şi epruveta să
fie „comparabile”, în ceea ce priveşte comportarea la oboseală. În
acest scop rezistenţa la oboseală a materialului se „corectează” cu
diverşi factori, care ţin seama de particularităţile piesei: tipul
concentratorilor, dimensiunile, calitatea suprafeţelor etc. Relaţiile de
calcul sunt, în final, relativ simple, dificile fiind demersurile de
determinare ale valorilor factorilor de corecţie. Acestea se caută în
tabele, se determină grafic în diagrame sau nomograme, se
calculează cu formule empirice etc. Din aceste motive, în programe,
de regulă, nu sunt implementate proceduri pentru astfel de calcule, ci
altele, mai generale, aplicabile unor structuri complexe, modelate cu
elemente finite sau după alte proceduri.
12.4. Calculul la solicitări variabile reale
Structurile de rezistenţă ale dispozitivelor, maşinilor, instalaţiilor
etc sunt solicitate, de regulă, în exploatare, cu sarcini care au variaţii
întâmplătoare, aleatoare. Pentru determinarea duratei de viaţă în
aceste condiţii s-au elaborat două metode de calcul: a cumulării
deteriorărilor şi a rezistenţei în exploatare.
Majoritatea programelor de calcul, utilizate în construcţia de
maşini, conţin module de analiză la oboseală bazate pe metoda
cumulării deteriorărilor, care se va prezenta în cele ce urmează.
279
- Cumularea deteriorărilor. Deteriorarea unei structuri este o
modificare fizică a acesteia, detectabilă printr-un procedeu oarecare,
care îi „alterează” comportarea estimată. De exemplu, reducerea
secţiunii unei piese sau apariţia unor fisuri. Dacă o fisură se
consideră drept criteriu pentru definirea deteriorării, acesteia i se
poate asocia un parametru cantitativ, de exemplu, lungimea.
Lungimea fisurii corespunzătoare cedării, scoaterii din uz sau ruperii
structurii se numeşte lungimea critică a acesteia. Raportul dintre
lungimea fisurii la un moment dat şi lungimea sa critică, se
consideră, de obicei, o măsură a deteriorării structurii. În consecinţă,
o solicitare care nu produce propagarea (creşterea lungimii) fisurii nu
deteriorează structura. Acest criteriu poate fi acceptat pentru
durabilităţi mici, pentru care stadiul iniţierii fisurii este scurt,
comparativ cu cel al propagării.
Pentru durabilităţi mari (N > 105 cicluri) mai mult de 90 % din
durata de viaţă este „consumată” de iniţierea şi transformarea
microfisurilor într-o fisură detectabilă. În aceste condiţii, pentru
solicitări cu amplitudine constantă, se face ipoteza că fiecare ciclu
contribuie în mod egal la deteriorarea care „progresează” până la
rupere. Dacă durabilitatea unei structuri, pentru o solicitare dată, este
de N cicluri, aportul unui ciclu la deteriorarea care produce cedarea
este 1/N, iar un număr de n cicluri produce deteriorarea D = n / N,
ruperea prin oboseală producându-se când n = N, sau D = 1.
- Criteriul Palmgren – Miner. Calculul deteriorării pentru
solicitări variabile formate din cicluri cu amplitudini diferite se face
pe baza adoptării unor criterii, dintre care cel mai utilizat este
criteriul Palmgren – Miner, de cumulare lineară a deteriorărilor
(Miner’s rule). Criteriul face ipoteza că într-o solicitare cu
amplitudini variabile, ciclurile cu o anumită amplitudine, produc
aceleaşi deteriorări, indiferent de succesiunea acestora, adică nu
există influenţe între ciclurile cu parametri diferiţi.
De exemplu, pentru o structură solicitată de blocul de cicluri din
figura 12.2, format din trei grupuri (secvenţe) de cicluri cu
amplitudine constantă, deteriorarea produsă se calculează cu relaţia
D = n1 / N1 + n2 / N2 + n3 / N3 = Σ (ni / Ni), (12.2)
280
în care: Ni este numărul de cicluri la care structura cedează, dacă
este solicitată cu amplitudinea ζai şi ni este numărul de cicluri care
solicită efectiv structura cu amplitudinea ζai (figura 12.11).
Structura cedează când
D = Σ (ni / Ni) = 1. (12.3)
O secvenţă de
solicitare realizată din n1
cicluri de amplitudine ζa1,
n2 cicluri de amplitudine
ζa2, . . . , nk cicluri de
amplitudine ζak, produce
deteriorarea
k
1i
ii N/n*D . (12.4)
Numărul de secvenţe
N suportate de structură
până la rupere, se determină din condiţia N D* = 1, din care rezultă
N = 1 / D*. (12.5)
Rezultă că, pentru calculul duratei de viaţă a structurilor cu
relaţiile (12.4) şi (12.5) trebuie cunoscute:
- numărul de cicluri n1, n2,. . . , nk pentru fiecare amplitudine
ζa1, ζa2, . . . , ζak, care se determină pe baza „istoricului” secvenţei,
obţinut prin măsurări în condiţii de exploatare, pe structura analizată,
sau în alt mod;
- numărul de cicluri până la rupere N1, N2, ... , Nk, pentru
încercarea la oboseală cu amplitudine constantă, corespunzătoare
amplitudinilor ζa1, ζa2, . . . , ζak, deduse pe baza curbei S – N a
durabilităţii la oboseală.
Pentru oţelurile care au limită la oboseală, ca în figura 12.6.a,
ciclurile cu amplitudinea sub aceasta, adică cu ζa < ζR , nu se iau în
considerare.
Criteriul Palmgren – Miner are dezavantajul că linearizează un
fenomen nelinear, dar datorită simplităţii, este criteriul cel mai
utilizat. Determinările experimentale au evidenţiat neconcordanţe
între duratele de viaţă prezise pe baza acestui criteriu şi cele obţinute
prin încercări, dar ordinul de mărime al celor două valori este acelaşi.
Figura 12.11
281
- Numărarea ciclurilor. Pentru determinarea duratei de viaţă a
structurilor pe baza metodei cumulării deteriorărilor, este necesară
cunoaşterea ciclurilor componente ale solicitării, care, în cazul cel
mai general, are o variaţie oarecare. Pentru aceasta, s-au adaptat
metode specifice teoriei semnalelor, care, nu iau în considerare
variabila timp ci au în vedere numai amplitudinea şi configuraţia
secvenţei semnalului.
- Metoda picăturii. S-au elaborat mai multe metodologii de
numărare a ciclurilor, cea mai utilizată fiind metoda picăturii de
ploaie (rain - flow), propusă de Matsuishi şi Endo, deoarece conduce
la rezultate confirmate experimental.
Pentru determinarea ciclurilor de solicitare pentru o secvenţă
dată, se presupune că un ciclu este format din mulţimea valorilor prin
care trece tensiunea între două extreme, o dată în sens crescător şi o
dată în sens descrescător. Diferenţa valorilor extreme ζmax,i - ζmin,i =
ζri (ecartul de tensiune) defineşte treapta de solicitare care se repetă
de ni ori în cadrul secvenţei considerate. Treptele de solicitare se
împart în clase. Pentru două clase consecutive, diferenţa ζri – Δζri-1 =
δ este o constantă, stabilită iniţial. Treapta de solicitare s-a notat ζr.
Toate ciclurile care satisfac condiţia ζri-1 < ζr ≤ ζri aparţin clasei i.
Se prezintă metoda picăturii de numărare a ciclurilor, pentru
secvenţa de solicitare din figura 12.12.
Figura 12.12 Figura 12.13
Constituirea ciclurilor se obţine prin parcurgerea tuturor ramurilor
graficului de variaţie a tensiunii în timp – o singură dată.
Se fac următoarele operaţii:
a. Se numerotează vârfurile de tensiune, pe graficul secvenţei
considerate, în ordinea în care apar (fig. 12.12);
282
b. Se alege ca origine
a graficului, cel mai mare
extrem pozitiv; partea de
grafic cuprinsă între
momentul iniţial şi
extremul considerat se va
plasa în continuarea
ultimului punct marcat al
graficului, ca în figura
12.13;
c. Graficul se aşează
cu axa timpului verticală,
ca în figura 12.14 şi se
asimilează cu profilul
unui acoperiş în trepte. Un
semiciclu de solicitare este
compus din porţiunile
„udate” de o picătură de
ploaie care porneşte dintr-
un vârf al graficului şi
ajunge fie pe sol, fie într-
un punct în care întâlneşte
o ramură udată de o picătură anterioară. Se începe din punctul
corespunzător celui mai mare extrem pozitiv şi se parcurg toate
ramurile, o singură dată.
În figura 12.14 se prezintă secvenţa din figura 12.13, pe care s-
au trasat cu linie întreruptă traseele picăturilor de ploaie care
definesc semiciclurile. S-au notat cu aceeaşi cifră romană cele două
picături ataşate aceluiaşi ciclu, menţinându-se numerotarea din figura
12.13.
În tabelul 12.1 se dau treptele de solicitare ζri ale ciclurilor
identificate.
d. Se grupează ciclurile pe clase de solicitare, obţinându-se
frecvenţa ni de apariţie a treptei ζri; rezultatele se dau în tabelul 12.2.
Curba durabilităţilor la oboseală, obţinută pentru încercări cu
cicluri de amplitudine constantă, permite determinarea numărului
de cicluri Ni până la rupere, corespunzătoare ecartului de tensiune
Figura 12.14
283
ζri. Dacă se notează cu N* numărul de cicluri considerat ca bază a
încercării (v. fig. 12.6.a) şi cu ζ*, ecartul de tensiune corespunzător,
curba durabilităţilor la oboseală poate fi aproximată, pentru ζr ≥ ζ*,
de ecuaţia
.const*)(*NN mm
r , (12.5)
în care exponentul m şi ecartul ζ* se determină experimental.
Tabelul 12.1
Numărul traseului
din figura 12.14
Treapta de solicitare
ζri a ciclului [N/mm2]
I 80
II 10
III 80
IV 20
V 40
VI 20
Tabelul 12.2
Clasa
Treapta de
solicitare, ζri
[N/mm2]
Frecvenţa
ciclurilor
ni
1 10 1
2 20 2
4 40 1
8 80 2
Pentru solicitări cu amplitudine constantă, sub limita de
oboseală, pentru care ζr < ζ*, numărul de cicluri până la rupere este
infinit, adică ciclurile respective nu produc deteriorări în structură.
Ciclurile cu ecart ζr > ζ* produc amorsarea microfisurilor în
materialul structurii şi efectul lor nu poate fi neglijat. În acest caz,
pentru considerarea deteriorărilor produse de cicluri cu amplitudinea
sub rezistenţa la oboseală, curba durabilităţilor în zona ζr < ζ* se
aproximează prin ecuaţia
.const*)(*NN 2m2m
r (12.6)
284
În coordonate logaritmice, ecuaţiile (12.5) şi (12.6) reprezintă
drepte cu pantele –1/m, respectiv –1/(m + 2), ca în figura 12.15.
Figura 12.15
Pentru construcţii sudate, de exemplu, la care frecvent
comportarea la oboseală este determinată de suduri, pentru calculul
duratei de viaţă a podurilor, în standardul britanic [6], se recomandă
valorile m şi ζ* din tabelul 12.3, în funcţie de tipul îmbinării sudate
şi de o anumită probabilitate de rupere avută în vedere, pentru
N* = 107 cicluri.
Tabelul 12.3
Descrierea îmbinării
m
ζ*, [MPa]
Probabilitatea ruperii [%]
50 31 16 2.3 0.14
Suduri longitudinale cap
la cap sau de colţ,
continue
4
124
117
111
100
90
Suduri longitudinale,
discontinue
3.5 102 96 89 78 68
Suduri transversale cap
la cap
3 74 68 63 53 45
Suduri transversale cap
la cap sau în cruce
3 69 63 57 47 39
Suduri longitudinale sau
transversale în T sau de
colţ, intermitente
3
50
46
42
35
29
Suduri de colţ, în cruce
sau laterale
3 39 36 34 29 26
285
Din relaţiile (12.5) şi (12.6) rezultă:
- pentru ζri ≥ ζ*, Ni = N*( ζ* / ζri)m;
- pentru ζri ≤ ζ*, Ni = N*( ζ* / ζri)m+2
.
Valorile Ni astfel calculate permit determinarea deteriorării D*
produse de o secvenţă de solicitare dată (relaţia (12.3)) şi numărul N
de secvenţe, care pot duce la ruperea prin oboseală (relaţia (12.4)). Tabelul 12.3
Bibliografie
1. Dieter, E.G.Jr., Metalurgie mecanică, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1970.
2. Madayag, A.F., Metal Fatigue: Theory and Design, John
Wiley & Sons, New York, 1969.
3. Pană, T., Pastramă, Şt.D., Integritatea structurilor metalice,
Editura Fair Partners, Bucureşti, 2000.
4. Rusu, O., Teodorescu, M., Laşcu-Simion, N., Oboseala
metalelor - Baze de calcul, vol. 1, Editura Tehnică, Bucureşti, 1992.
5. Rusu, O., Teodorescu, M., Oboseala metalelor – Aplicaţii
inginereşti, vol. 2, Editura Tehnică, Bucureşti, 1992.
6.*** BS 5400, Part 10, 1980, Steel, Concrete and Composite
Bridges. Code of Practice for Fatigue, British Standard.
7.*** ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III,
Division 1, Subsection NB, Edition 1983.
8.*** ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section III,
Division 1, Appendices, Edition 1989.