Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
RONALDO ISHIHARA
AVALIAÇÃO DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE
CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO
ARMADO SEM ARMADURA TRANSVERSAL À LUZ
DAS NORMAS
CAMPINAS
2017
RONALDO ISHIHARA
ANÁLISE DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE
CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO
ARMADO SEM ARMADURA TRANSVERSAL À LUZ
DAS NORMAS
Volume: 01/01
Dissertação apresentada à Faculdade de
Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
da Universidade Estadual de Campinas
como parte dos requisitos exigidos para
obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil, na área de Estruturas e Geotécnica.
Orientador: Prof. Dr. Leandro Mouta Trautwein
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL.
DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO RONALDO
ISHIHARA, E ORIENTADA PELO PROF. DR. LEANDRO
MOUTA TRAUTWEIN.
CAMPINAS
2017
FICHA CATALOGRÁFICA
FOLHA DE APROVAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
AVALIAÇÃO DE ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE
CISALHAMENTO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO SEM
ARMADURA TRANSVERSAL À LUZ DAS NORMAS
Ronaldo Ishihara
Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:
Prof. Dr. Leandro Mouta Trautwein
Presidente e Orientador
Universidade Estadual de Campinas
Prof. Dr. Luiz Carlos de Almeida
Universidade Estadual de Campinas
Prof. Dr. Antônio Carlos dos Santos
Universidade Federal de Uberlândia
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de
vida acadêmica do aluno.
Campinas, 10 de abril de 2017.
AGRADECIMENTOS
Dedico meus sinceros agradecimentos à minha família e aos meus amigos que
acompanharam de perto a evolução deste trabalho. Ao meu orientador Leandro, cujo apoio
e paciência foram primordiais para esta realização. À Pat, minha esposa e parceira: muito
obrigado.
"Often the hands will solve a mystery that the intellect has struggled with in vain."
Carl G. Jung
RESUMO
Modelos de predição de resistência ao cisalhamento de elementos em concreto
armado são estudados por pesquisadores há mais de um século, apresentando linhas de
pesquisa diferentes. Neste contexto, os critérios para dimensionamento apresentados nas
normas e modelos de cálculo atualmente têm como base conceitos baseados na analogia
da treliça generalizada de Mörsch ou na teoria do campo de compressão modificado. O
dimensionamento de uma seção de viga de concreto armado a partir destes diferentes
modelos pode apresentar resultados que divergem significativamente. Dentro deste cenário,
o objetivo deste estudo é avaliar os métodos de cálculo vigentes e realizar uma análise
paramétrica da influência das variáveis: taxa de armadura longitudinal de flexão, resistência
do concreto, altura útil e relação altura útil/distância entre o apoio e a carga pontual aplicada,
na resistência ao cisalhamento do concreto. Os modelos de cálculo a serem analisados e
comparados são os apresentados na NBR 6118/2014, ACI 318/2014, CEB-FIP
ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004. A avaliação dos métodos é
realizada por meio da comparação com resultados experimentais de vigas encontrados na
literatura, compilados num banco de dados composto por 797 vigas ensaiadas,
selecionadas de forma a atender os pré-requisitos de seção sem armadura transversal e
cuja ruptura ocorreu por cisalhamento. A análise dos critérios de cálculo é realizada
comparando-se as cargas de ruptura apresentadas nestes ensaios e os valores resistentes
calculados para cada método. O estudo paramétrico é realizado com base nos resultados
experimentais, isolando-se a influência de cada variável estudada. Ao final do trabalho
realizado conclui-se que, embora haja variação tanto no desempenho das equações de
cisalhamento apresentadas quanto no desvio dos resultados apresentado pelas mesmas em
função dos parâmetros, é possível afirmar que a norma EN 1992-1-1/2004 resultou no
melhor desempenho em termos gerais.
Palavras-chave: Concreto armado; vigas; cisalhamento; normas; resultados experimentais.
ABSTRACT
Prediction models for shear strength of elements in reinforced concrete have been studied by
researchers for more than a century, resulting in different lines of research. In this context,
the design criteria presented in codes and models are based currently on concepts based on
the generalized Mörsch’struss analogy or on the modified compression field theory. The
design of a section of a reinforced concrete beam from these different models might produce
results that diverge significantly. In this scenario, the objective of this study is to evaluate
present calculation methods and to perform a parametric analysis of the influence of the
variables: longitudinal reinforcement ratio, concrete strength, effective depth and the ratio
effective depth / distance from support and the punctual load applied, on the concrete’s
shear strength. The calculation models to be analyzed and compared are presented in NBR
6118/2014, ACI 318/2014, CEB-FIP ModelCode / 2010, CSA A.23.3 / 2004 and EN 1992-1-1
/ 2004. The evaluation of the methods is realized by comparing it’s results with experimental
results of beams found in the literature, compiled in a database composed of 797 beams,
selected in order to meet the prerequisites: section without transverse reinforcement and with
shear failure. The analysis of the calculation criteria is performed by comparing the failure
loads presented in these tests and the result values for each code. The parametric study is
performed based on the experimental results, isolating the influence of each studied variable.
At the end of the work, it is concluded that, although there is a variation both in the
performance of the presented shear equations’ codes and in the deviation of the results
presented by them according to the parameters, it is possible to affirm that the results from
EN 1992-1-1 / 2004 code were the best in general.
Keywords: Reinfoced concrete; beams; shear; codes; experimental results.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2-1 – Analogia da treliça clássica como apresentada por Ritter (adaptado de Ritter, 1899) .................................................................................................................................... 26 Figura 2-2 – Considerações de Mörsch para a treliça clássica (adaptado de Mörsch, 1902) 26 Figura 2-3 – Modelo da treliça clássica ................................................................................ 27 Figura 2-4 – Treliça generalizada proposta por J. Schlaich (adaptado de Schlaich, 1987) ... 28 Figura 2-5 – Modelo da treliça generalizada ......................................................................... 28 Figura 2-6 – Forças atuantes em viga fissurada ................................................................... 29 Figura 2-7 – Representatividade dos paineis ensaiados (adaptado de Bentz, 2006) ............ 33 Figura 2-8 – Equações da Teoria do Campo de Compressão Modificado (adaptado de Bentz, 2006) ......................................................................................................................... 34 Figura 2-9 – Influência da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento (adaptado de Hedman, O.; Losberg, A., 1978) ..................................................................... 55 Figura 2-10 – Influência da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento (adaptado de Leonhardt, F., 1979) ....................................................................................... 55 Figura 2-11 – Influência da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento (Fusco, 2008) ....................................................................................................................... 57 Figura 2-12 – Influência da altura útil na resistência ao cisalhamento (adaptado de Leonhardt, F., 1979) ............................................................................................................. 59 Figura 2-13 – Influência da altura útil na resistência ao cisalhamento (Fusco, 2008) ........... 60 Figura 2-14 – Influência da relação 𝑎/𝑑 na resistência ao cisalhamento (adaptado de Leonhardt, F., 1979) ............................................................................................................. 62 Figura 2-15 – Influência da relação 𝑎/𝑑 na resistência ao cisalhamento (adaptado de MacGregor, J. G.; Wight, J. K., 2012) ................................................................................... 64 Figura 2-16 –Resistência ao cisalhamento em função dos parâmetros (adaptado de fib bulletin 2, 1999) .................................................................................................................... 66 Figura 3-1 –Distribuição da resistência do concreto (Cerqueira, 2000) ................................. 76 Figura 3-2 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝑎/𝑑 .................. 90 Figura 3-3 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝑑 ...................... 91 Figura 3-4 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝑓𝑐𝑘 ................... 92 Figura 3-5 –Distribuição do número de ensaios considerando o parâmetro 𝜌 ...................... 93 Figura 3-6 – Nomenclatura adotada para as combinações ................................................... 95 Figura 3-7 –Representação do conjunto de ensaios da combinação 𝑋𝑏𝑏𝑐 ........................... 97
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 2-1 – Influência da taxa de armadura longitudinal conforme normas ........................ 69 Gráfico 2-2 – Influência da altura útil conforme normas ........................................................ 70 Gráfico 2-3 – Influência da relação 𝑎/𝑑 conforme normas .................................................... 71 Gráfico 2-4 – Influência da resistência à compressão do concreto conforme normas ........... 72 Gráfico 4-1 – NBR,I – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ........................................ 103 Gráfico 4-2 – NBR,I - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ......................................... 104 Gráfico 4-3 – NBR,I - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ......................................... 106 Gráfico 4-4 – NBR,I - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................. 107 Gráfico 4-5 – NBR,I - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ......................................... 109 Gráfico 4-6 – NBR,I - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc .......................................... 111 Gráfico 4-7 – NBR,I - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc .......................................... 112 Gráfico 4-8 – NBR,I - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................. 114 Gráfico 4-9 – NBR,I - influência de 𝜌 para combinação bbcX ............................................. 116 Gráfico 4-10 – NBR,I - influência de 𝜌 para combinação cbbX ........................................... 117 Gráfico 5-1 – NBR,II – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ....................................... 120 Gráfico 5-2 – NBR,II - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ........................................ 121 Gráfico 5-3 – NBR,II - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ........................................ 123 Gráfico 5-4 – NBR,II - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................ 124 Gráfico 5-5 – NBR,II - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ........................................ 126 Gráfico 5-6 – NBR,II - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ......................................... 128 Gráfico 5-7 – NBR,II - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ......................................... 130 Gráfico 5-8 – NBR,II - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................ 131 Gráfico 5-9 – NBR,II - influência de 𝜌 para combinação bbcX ............................................ 133 Gráfico 5-10 – NBR,II - influência de 𝜌 para combinação cbbX .......................................... 134 Gráfico 6-1 – ACI – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ............................................ 137 Gráfico 6-2 – ACI - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ............................................ 138 Gráfico 6-3 – ACI - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ............................................ 140 Gráfico 6-4 – ACI - influência de 𝑑 para combinação bXbb ................................................ 141 Gráfico 6-5 – ACI - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ............................................. 143 Gráfico 6-6 – ACI - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ............................................. 145 Gráfico 6-7 – ACI - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ............................................. 147 Gráfico 6-8 – ACI - influência de 𝜌 para combinação bbbX ................................................ 148 Gráfico 6-9 – ACI - influência de 𝜌 para combinação bbcX ................................................. 150 Gráfico 6-10 – ACI - influência de 𝜌 para combinação cbbX ............................................... 151 Gráfico 7-1 – CSA – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc........................................... 154 Gráfico 7-2 – CSA - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ........................................... 155 Gráfico 7-3 – CSA - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ........................................... 157 Gráfico 7-4 – CSA - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................... 158 Gráfico 7-5 – CSA - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ............................................ 160 Gráfico 7-6 – CSA - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ............................................ 162 Gráfico 7-7 – CSA - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ............................................ 164 Gráfico 7-8 – CSA - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................... 165 Gráfico 7-9 – CSA - influência de 𝜌 para combinação bbcX ............................................... 167 Gráfico 7-10 – CSA - influência de 𝜌 para combinação cbbX ............................................. 169 Gráfico 8-1 – CEBFIP – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ..................................... 171 Gráfico 8-2 – CEBFIP - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ...................................... 172 Gráfico 8-3 – CEBFIP - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ...................................... 174 Gráfico 8-4 – CEBFIP - influência de 𝑑 para combinação bXbb ......................................... 175 Gráfico 8-5 – CEBFIP - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ...................................... 177 Gráfico 8-6 – CEBFIP - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ...................................... 179
Gráfico 8-7 – CEBFIP - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ...................................... 181 Gráfico 8-8 – CEBFIP - influência de 𝜌 para combinação bbbX.......................................... 182 Gráfico 8-9 – CEBFIP - influência de 𝜌 para combinação bbcX .......................................... 184 Gráfico 8-10 – CEBFIP - influência de 𝜌 para combinação cbbX ........................................ 186 Gráfico 9-1 – EC2 – influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbc ........................................... 188 Gráfico 9-2 – EC2 - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbd ........................................... 189 Gráfico 9-3 – EC2 - influência de 𝑎/𝑑 para combinação Xbbe ........................................... 191 Gráfico 9-4 – EC2 - influência de 𝑑 para combinação bXbb ............................................... 192 Gráfico 9-5 – EC2 - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bbXc ............................................ 194 Gráfico 9-6 – EC2 - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação bcXc ............................................ 196 Gráfico 9-7 – EC2 - influência de 𝑓𝑐𝑘 para combinação cbXc ............................................ 197 Gráfico 9-8 – EC2 - influência de 𝜌 para combinação bbbX ............................................... 199 Gráfico 9-9 – EC2 - influência de 𝜌 para combinação bbcX ................................................ 201 Gráfico 9-10 – EC2 - influência de 𝜌 para combinação cbbX .............................................. 202 Gráfico 10-1 – Influência de 𝑎𝑑 para a combinação Xbbc .................................................. 205 Gráfico 10-2 – Influência de 𝑎𝑑 para a combinação Xbbd .................................................. 207 Gráfico 10-3 – Influência de 𝑎𝑑 para a combinação Xbbe .................................................. 209 Gráfico 10-4 – Influência de 𝑑 para a combinação bXbb .................................................... 211 Gráfico 10-5 – Influência de 𝑓𝑐𝑘 para a combinação bbXc ................................................. 213 Gráfico 10-6 – Influência de 𝑓𝑐𝑘 para a combinação bcXc ................................................. 214 Gráfico 10-7 – Influência de 𝑓𝑐𝑘 para a combinação cbXc ................................................. 216 Gráfico 10-8 – Influência de 𝜌 para a combinação bbbX .................................................... 218 Gráfico 10-9 – Influência de 𝜌 para a combinação bbcX .................................................... 220 Gráfico 10-10 – Influência de 𝜌 para a combinação cbbX................................................... 222 Gráfico 10-11 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝑎/𝑑 ........................................... 224 Gráfico 10-12 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝑑 ............................................... 225 Gráfico 10-13 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝑓𝑐𝑘 ............................................ 227 Gráfico 10-14 – DP Collins com a variação do parâmetro 𝜌 ............................................... 228
LISTA DE TABELAS
Tabela 2-1 – Resumo das equações para cisalhamento das normas ................................... 53 Tabela 2-2 – Valores adotados para cada intervalo de parâmetro ........................................ 67 Tabela 3-1 – Limites dos parâmetros atribuídos pelas normas ............................................. 81 Tabela 3-2 – Classificação por pontos de demérito segundo Collins (2011) ......................... 86 Tabela 3-3 – Resumo dos intervalos dos critérios ................................................................ 94 Tabela 3-4 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit01 (𝑎/𝑑) livre .................... 96 Tabela 3-5 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit02 (𝑑) livre ........................ 98 Tabela 3-6 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit03 (𝑓𝑐𝑘) livre .................... 99 Tabela 3-7 – Distribuição de ensaios considerando o critério crit04 (𝜌) livre ...................... 100 Tabela 3-8 – Resumo de combinações válidas .................................................................. 101 Tabela 4-1 – NBR,I - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc .......................................... 103 Tabela 4-2 – NBR,I - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd .......................................... 105 Tabela 4-3 – NBR,I - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe .......................................... 106 Tabela 4-4 – NBR,I - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb .............................................. 108 Tabela 4-5 – NBR,I - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc .......................................... 110 Tabela 4-6 – NBR,I - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ........................................... 111 Tabela 4-7 – NBR,I - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ........................................... 113 Tabela 4-8 – NBR,I - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX .............................................. 115 Tabela 4-9 – NBR,I - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX .............................................. 116 Tabela 4-10 – NBR,I - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ............................................ 118 Tabela 5-1 – NBR,II - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ......................................... 120 Tabela 5-2 – NBR,II - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ......................................... 122 Tabela 5-3 – NBR,II - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ......................................... 123 Tabela 5-4 – NBR,II - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ............................................. 125 Tabela 5-5 – NBR,II - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ......................................... 127 Tabela 5-6 – NBR,II - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc .......................................... 128 Tabela 5-7 – NBR,II - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc .......................................... 130 Tabela 5-8 – NBR,II - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ............................................. 132 Tabela 5-9 – NBR,II - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ............................................. 133 Tabela 5-10 – NBR,II - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ........................................... 135 Tabela 6-1 – ACI - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc .............................................. 137 Tabela 6-2 – ACI - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ............................................. 139 Tabela 6-3 – ACI - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ............................................. 140 Tabela 6-4 – ACI - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................................. 142 Tabela 6-5 – ACI - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc .............................................. 144 Tabela 6-6 – ACI - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc .............................................. 145 Tabela 6-7 – ACI - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc .............................................. 147 Tabela 6-8 – ACI - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................................. 149 Tabela 6-9 – ACI - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX.................................................. 150 Tabela 6-10 – ACI - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ................................................ 152 Tabela 7-1 – CSA - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ............................................ 154 Tabela 7-2 – CSA - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ............................................ 156 Tabela 7-3 – CSA - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ............................................ 157 Tabela 7-4 – CSA - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................................ 159 Tabela 7-5 – CSA - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ............................................. 161 Tabela 7-6 – CSA - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ............................................. 162 Tabela 7-7 – CSA - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ............................................. 164 Tabela 7-8 – CSA - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................................ 166 Tabela 7-9 – CSA - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ................................................ 167 Tabela 7-10 – CSA - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX .............................................. 169
Tabela 8-1 – CEBFIP - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ....................................... 171 Tabela 8-2 – CEBFIP - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ....................................... 173 Tabela 8-3 – CEBFIP - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ....................................... 174 Tabela 8-4 – CEBFIP - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb .......................................... 176 Tabela 8-5 – CEBFIP - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ....................................... 178 Tabela 8-6 – CEBFIP - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ....................................... 179 Tabela 8-7 – CEBFIP - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ....................................... 181 Tabela 8-8 – CEBFIP - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX .......................................... 183 Tabela 8-9 – CEBFIP - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ........................................... 184 Tabela 8-10 – CEBFIP - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ......................................... 186 Tabela 9-1 – EC2 - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ............................................. 188 Tabela 9-2 – EC2 - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ............................................ 190 Tabela 9-3 – EC2 - DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ............................................ 191 Tabela 9-4 – EC2 - DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................................ 193 Tabela 9-5 – EC2 - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ............................................. 195 Tabela 9-6 – EC2 - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ............................................. 196 Tabela 9-7 – EC2 - DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ............................................. 198 Tabela 9-8 – EC2 - DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................................ 200 Tabela 9-9 – EC2 - DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX ................................................. 201 Tabela 9-10 – EC2 - DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX ............................................... 203 Tabela 10-1 – Comparativo DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbc ................................ 206 Tabela 10-2 – Comparativo DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbd ................................ 207 Tabela 10-3 – Comparativo DP Collins para 𝑎/𝑑 e combinação Xbbe ................................ 209 Tabela 10-4 – Comparativo DP Collins para 𝑑 e combinação bXbb ................................... 211 Tabela 10-5 – Comparativo DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bbXc ................................ 213 Tabela 10-6 – Comparativo DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação bcXc ................................ 215 Tabela 10-7 – Comparativo DP Collins para 𝑓𝑐𝑘 e combinação cbXc ................................ 216 Tabela 10-8 – Comparativo DP Collins para 𝜌 e combinação bbbX ................................... 218 Tabela 10-9 – Comparativo DP Collins para 𝜌 e combinação bbcX .................................... 220 Tabela 10-10 – Comparativo DP Collins para 𝜌 e combinação cbbX .................................. 222
Tabela I- 1 – Banco de dados obtido na literatura .............................................................. 240
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas
ACI – American Concrete Institute
CSA – Canadian Standards Association
CXX – Concreto cuja resistência característica à compressão é XX MPa
CEB – Comité Euro-International du Béton
EC2 – Eurocode 2
FEC – Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
FIP – Fédération Internationale de la Précontrainte
NBR – Norma Brasileira
UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas
LISTA DE SÍMBOLOS
α → ângulo; coeficiente
𝐴𝑐 → área da seção transversal da viga
𝐴𝑠 → área de armadura longitudinal
𝑏𝑓 → largura (mesa) da seção transversal da viga
𝑏𝑤 → largura (alma) da seção transversal da viga
𝑑 → altura útil da viga
𝐸𝑠 → módulo de elasticidade do aço
𝑓𝑐 → resistência característica à compressão
𝑓𝑐′ → resistência característica à compressão do concreto (norma ACI)
𝑓𝑐𝑘 → resistência característica à compressão do concreto (norma NBR)
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 → resistência característica inferior do concreto à tração
𝑓𝑐𝑡𝑚 → resistência à tração direta do concreto
𝑓𝑦 → resistência ao escoamento do aço
𝑓𝑦𝑘 → resistência característica ao escoamento do aço
𝛾𝑐 → coeficiente de ponderação da resistência do concreto
𝛾𝑠 → coeficiente de ponderação da resistência do aço
ℎ → altura da seção transversal da viga
ℎ 𝑓 → altura (mesa) da seção transversal da viga
ℎ 𝑤 → altura (alma) da seção transversal da viga
𝑧 → distância entre o banzo comprimido e o banzo tracionado no modelo da treliça
∅ → diâmetro das barras que compõe a armadura; fator
ρ𝑙 → taxa de armadura longitudinal
𝑉𝑐 → força cortante resistente devida ao concreto na diagonal tracionada
𝜏𝑅 → tensão de cisalhamento resistente
𝜏𝑠 → tensão de cisalhamento solicitante
𝜏𝑤 → tensão de cisalhamento
𝑉𝑅𝑑1 → força cortante resistente relativa a elementos sem armadura para força
cortante
𝑉𝑅𝑑2 → força cortante resistente relativa à ruína das diagonais comprimidas de
concreto
𝑉𝑅𝑑3 → força cortante resistente relativa à ruína por tração diagonal
𝑉𝑠𝑤 → resistência ao cisalhamento devida à armadura transversal
𝑣𝑢 → força cortante última
𝑀𝑢 → momento fletor último
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 22
1.1. Justificativa ............................................................................................................ 22
1.2. Objetivos ................................................................................................................ 23
Objetivo geral .................................................................................................. 23
Objetivos específicos ...................................................................................... 24
1.3. Organização da dissertação ................................................................................... 24
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 25
2.1. Esforços e tensões no modelo da treliça clássica .................................................. 25
2.2. Esforços e tensões no modelo da treliça generalizada ........................................... 27
2.3. Mecanismos básicos de resistência ao cisalhamento na diagonal tracionada ........ 29
2.4. Esforços e tensões no modelo do campo de compressão modificado .................... 32
2.5. Recomendações de normas ................................................................................... 36
NBR 6118/2014 ............................................................................................... 36
2.5.1.1. NBR - Procedimento I (NBR,I) – cálculo como lajes ................................. 37
2.5.1.2. NBR - Procedimento II (NBR,II) – cálculo como vigas .............................. 38
ACI 318/2014 (ACI) ......................................................................................... 42
CSA A23.03-04/2004 (CSA) ............................................................................ 44
CEB-FIP ModelCode/2010 (CEBFIP) .............................................................. 48
EN 1992-1-1/2004 (EC2) ................................................................................. 51
Resumo das equações das normas ................................................................ 53
2.6. Influência dos parâmetros na resistência ao cisalhamento ..................................... 54
Taxa de armadura longitudinal ........................................................................ 54
Altura últil ........................................................................................................ 58
Relação entre a distância da carga pontual e a altura útil ............................... 62
Resistência à compressão do concreto ........................................................... 65
Gráficos da influência dos parâmetros nas equações de normas .................... 67
2.6.5.1. Taxa de armadura longitudinal ................................................................. 68
2.6.5.2. Altura útil .................................................................................................. 69
2.6.5.3. Relação entre a distância da carga pontual e a altura útil ........................ 71
2.6.5.4. Resistência à compressão do concreto .................................................... 72
3. METODOLOGIA ........................................................................................................... 74
3.1. Critérios e considerações para a aplicação equações de normas .......................... 74
Fatores de majoração e minoração ................................................................. 74
Ancoragem da armadura longitudinal .............................................................. 74
Diâmetro dos agregados ................................................................................. 75
Momento fletor na seção em análise ............................................................... 75
Resistência à compressão do concreto ........................................................... 75
3.2. Critérios adotados para a composição do banco de dados das vigas .................... 81
Limites dos parâmetros atribuídos pelas normas ............................................ 81
Características para consideração do ensaio .................................................. 82
3.3. Cálculo da tensão de cisalhamento solicitante ....................................................... 84
3.4. Razão entre tensão solicitante e resistente dos modelos ....................................... 84
3.5. Critério de avaliação das Normas: pontos de demérito segundo Collins ................ 85
3.6. Parâmetros para classificação das vigas do banco de dados ................................. 86
3.7. Definição do intervalo de cada critério para o estudo parametrizado ...................... 87
3.8. Resultados experimentais e de normas.................................................................. 88
3.9. CARACTERÍSTICAS DO BANCO DE DADOS ...................................................... 89
Distribuição do número de ensaios dentro dos parâmetros ............................. 89
3.10. Distribuição dos ensaios considerando os subgrupos dos critérios ..................... 95
4. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA NBR 618:2014 – lajes (NBR,I) ............... 102
4.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 102
Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 102
Distribuição de ensaios 02 ............................................................................ 104
Distribuição de ensaios 03 ............................................................................ 105
4.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 107
Distribuição de ensaios 04 ............................................................................ 107
4.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 109
Distribuição de ensaios 05 ............................................................................ 109
Distribuição de ensaios 06 ............................................................................ 110
Distribuição de ensaios 07 ............................................................................ 112
4.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 114
Distribuição de ensaios 08 ............................................................................ 114
Distribuição de ensaios 09 ............................................................................ 115
Distribuição de ensaios 10 ............................................................................ 117
5. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA NBR6118:2014 – vigas (NBR,II) ............ 119
5.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 119
Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 119
Distribuição de ensaios 02 ............................................................................ 121
Distribuição de ensaios 03 ............................................................................ 122
5.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 124
Distribuição de ensaios 04 ............................................................................ 124
5.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 126
Distribuição de ensaios 05 ............................................................................ 126
Distribuição de ensaios 06 ............................................................................ 127
Distribuição de ensaios 07 ............................................................................ 129
5.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 131
Distribuição de ensaios 08 ............................................................................ 131
Distribuição de ensaios 09 ............................................................................ 132
Distribuição de ensaios 10 ............................................................................ 134
6. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA ACI 318/2014 (ACI) ................................ 136
6.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 136
Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 136
Distribuição de ensaios 02 ............................................................................ 138
Distribuição de ensaios 03 ............................................................................ 139
6.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 141
Distribuição de ensaios 04 ............................................................................ 141
6.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 143
Distribuição de ensaios 05 ............................................................................ 143
Distribuição de ensaios 06 ............................................................................ 144
Distribuição de ensaios 07 ............................................................................ 146
6.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 148
Distribuição de ensaios 08 ............................................................................ 148
Distribuição de ensaios 09 ............................................................................ 149
Distribuição de ensaios 10 ............................................................................ 151
7. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA CSA A23.03-04/2004 (CSA) ................... 153
7.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 153
Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 153
Distribuição de ensaios 02 ............................................................................ 155
Distribuição de ensaios 03 ............................................................................ 156
7.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 158
Distribuição de ensaios 04 ............................................................................ 158
7.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 160
Distribuição de ensaios 05 ............................................................................ 160
Distribuição de ensaios 06 ............................................................................ 161
Distribuição de ensaios 07 ............................................................................ 163
7.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 165
Distribuição de ensaios 08 ............................................................................ 165
Distribuição de ensaios 09 ............................................................................ 166
Distribuição de ensaios 10 ............................................................................ 168
8. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA CEB-FIP ModelCode/2010 (CEBFIP) .... 170
8.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 170
Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 170
Distribuição de ensaios 02 ............................................................................ 172
Distribuição de ensaios 03 ............................................................................ 173
8.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 175
Distribuição de ensaios 04 ............................................................................ 175
8.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 177
Distribuição de ensaios 05 ............................................................................ 177
Distribuição de ensaios 06 ............................................................................ 178
Distribuição de ensaios 07 ............................................................................ 180
8.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 182
Distribuição de ensaios 08 ............................................................................ 182
Distribuição de ensaios 09 ............................................................................ 183
Distribuição de ensaios 10 ............................................................................ 185
9. AVALIAÇÃO DE RESULTADOS: NORMA EN 1992-1-1/2004 (EC2) ........................ 187
9.1. Relação entre o ponto de aplicação da carga e a altura útil – 𝒂/𝒅 ....................... 187
Distribuição de ensaios 01 ............................................................................ 187
Distribuição de ensaios 02 ............................................................................ 189
Distribuição de ensaios 03 ............................................................................ 190
9.2. Altura útil – 𝒅 ........................................................................................................ 192
Distribuição de ensaios 04 ............................................................................ 192
9.3. Resistência à compressão do concreto – 𝒇𝒄𝒌 ...................................................... 194
Distribuição de ensaios 05 ............................................................................ 194
Distribuição de ensaios 06 ............................................................................ 195
Distribuição de ensaios 07 ............................................................................ 197
9.4. Taxa de armadura longitudinal – 𝝆 ....................................................................... 199
Distribuição de ensaios 08 ............................................................................ 199
Distribuição de ensaios 09 ............................................................................ 200
Distribuição de ensaios 10 ............................................................................ 202
10. COMPARATIVO ENTRE NORMAS ........................................................................ 204
10.1. Parâmetro 𝒂/𝒅 (crit01) ...................................................................................... 204
Distribuição de ensaios 01 ......................................................................... 204
Distribuição de ensaios 02 ......................................................................... 206
Distribuição de ensaios 03 ......................................................................... 208
10.2. Parâmetro 𝒅 (crit02).......................................................................................... 210
Distribuição de ensaios 04 ......................................................................... 210
10.3. Parâmetro 𝒇𝒄𝒌 (crit03) ...................................................................................... 212
Distribuição de ensaios 05 ......................................................................... 212
Distribuição de ensaios 06 ......................................................................... 214
Distribuição de ensaios 07 ......................................................................... 215
10.4. Parâmetro 𝝆 (crit04) .......................................................................................... 217
Distribuição de ensaios 08 ......................................................................... 217
Distribuição de ensaios 09 ......................................................................... 219
Distribuição de ensaios 10 ......................................................................... 221
10.5. Gráficos comparativos de DP Collins ................................................................ 223
Parâmetro 𝒂𝒅 ............................................................................................ 223
Parâmetro 𝒅 .............................................................................................. 224
Parâmetro 𝒇𝒄𝒌 ........................................................................................... 225
Parâmetro 𝝆 .............................................................................................. 227
11. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS .................................................. 229
11.1. Considerações finais ........................................................................................ 229
11.2. Sugestões para trabalhos futuros ..................................................................... 231
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 232
APÊNDICE I – BANCO DE DADOS .................................................................................. 239
22
1. INTRODUÇÃO
O problema da estimativa da capacidade resistente ao cisalhamento de peças de
concreto armado tem sido objeto de estudo de pesquisadores e engenheiros estruturais há
mais de um século. Apesar da questão de peças sem armadura transversal ter sido
abordada ao longo das últimas décadas, ainda não há um consenso sobre um modelo
teórico a ser utilizado para a predição da capacidade resistente ao cisalhamento das
mesmas (TRAUTWEIN, 2014). Em parte devido à complexidade do comportamento global
das estruturas de concreto e à dificuldade de se estimar com precisão a parcela de
contribuição de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante, a ausência
de um consenso sobre um modelo teórico para o colapso por cisalhamento de peças de
concreto armado evidencia que o estudo deste tema ainda apresenta uma ampla
possibilidade de avanço.
Os modelos atuais apresentam, em sua maioria, equações com bases semi-
empíricas para a formulação da capacidade resistente ao cisalhamento, partindo de
conceitos baseados na analogia da treliça generalizada de Mörsch ou na teoria do campo de
compressão modificado de Vecchio e Collins. O dimensionamento de uma seção de viga de
concreto armado a partir destes diferentes modelos pode apresentar resultados que
divergem significativamente.
1.1. Justificativa
A forma como uma seção de concreto armado responde quando solicitada por um
esforço cortante é abordada por teorias distintas quando comparam-se normas vigentes em
países diversos. Esta forma de abordagem divergente gera diferenças dos critérios
apresentados pelas normas e, comparando-se os valores resistentes calculados com
23
valores obtidos em ensaios encontrados em literaturas diversas, são encontrados para cada
norma índices de segurança diferentes. Além disso, este índice de segurança não se
mantém quando parâmetros tais como geometria da seção da viga, taxa de armadura
longitudinal, resistência do concreto ou relação entre a altura útil da viga e a distância do
carregamento utilizado são alterados.
Entre as questões que justificam estas diferenças, podem ser ressaltadas a forma
como as incertezas são aferidas e o avanço tecnológico e respectivo controle realizado
sobre os materiais empregados, além dos custos inerentes para a manutenção do grau de
segurança almejado, fatores estes que são intrínsecos a cada sociedade, sendo refletidos
nas normas adotadas pelas mesmas.
Este trabalho visa comparar quantitativamente as normas em estudo quanto à
resistência ao cisalhamento, via composição de banco de dados e análise estatística das
resistências apresentadas por cada norma e comparando-as com resultados de ensaios
obtidos na literatura.
1.2. Objetivos
Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo geral analisar os procedimentos de cálculo para a
resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado sem armadura de cisalhamento
segundo os critérios vigentes e normas NBR 6118/2014, ACI 318/2014, CEB-FIP
ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004.
24
Objetivos específicos
1. Avaliar os critérios de cálculo apresentados pelas normas NBR 6118/2014,
ACI 318/2014, CEB-FIP ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004 para a
parcela da resistência ao cisalhamento que corresponde à força cortante resistida pela
seção de concreto;
2. Avaliar a influência dos parâmetros da viga de concreto armado (taxa de
armadura longitudinal, altura útil da seção, resistência do concreto e relação entre a altura
útil da viga e a distância do carregamento utilizado) na resistência ao cisalhamento
apresentado pelo elemento estrutural.
1.3. Organização da dissertação
Esta dissertação está divida em 11 capítulos. O primeiro capítulo é a introdução ao
trabalho realizado. No segundo capítulo, são ilustrados os mecanismos básicos de
resistência ao cisalhamento e as formulações adotadas pelas normas NBR 6118/2014, ACI
318/2014, CEB-FIP ModelCode/2010, CSA A.23.3/2004 e EN 1992-1-1/2004. O terceiro
capítulo apresenta a metodologia adotada para execução do trabalho e a caracterização do
banco de dados de vigas compilado. Os capítulos 4 a 9 apresentam a avaliação de cada
uma das normas. A recomendações normatizadas têm então seus valores teóricos
calculados comparados com os resultados experimentais de vigas ensaiadas apresentadas
na literatura, com os resultados apresentados no capítulo 10. Esta comparação é feita
considerando-se cada parâmetro estudado de forma isolada. As conclusões e sugestões de
trabalhos futuros são apresentadas no capítulo 11.
O Apêndice I apresenta o banco de dados obtidos de vigas ensaiadas em
literaturas diversas, adotado para o comparativo com as normas em estudo.
25
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo são apresentadas as equações para o cálculo da resistência ao
cisalhamento, atualmente adotadas pelas normas em estudo. Os modelos teóricos que dão
origem às equações adotadas são descritos previamente à sua apresentação. Neste
capítulo são ainda citados os trabalhos que discorrem sobre as variáveis que influênciam na
resistência ao cisalhamento dos elementos estruturais e que serão levadas em
consideração neste estudo.
2.1. Esforços e tensões no modelo da treliça clássica
Conhecido atualmente como o modelo da treliça clássica, este modelo foi
originalmente criado por W. Ritter em 1899 (RITTER, 1899) e modificado por E. Mörsch em
1902 (MÖRSCH, 1902). Este modelo considera o elemento estrutural fissurado, sendo
caracterizado pelas seguintes considerações:
• Banzo superior comprimido (cordão de concreto);
• Banzo inferior tracionado (armadura longitudinal de tração), paralelo ao banzo
superior;
• Diagonais comprimidas (bielas) de concreto com uma inclinação 𝜃 = 45° em
relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural;
• Diagonais tracionadas (armadura transversal de cisalhamento) com uma
inclinação 𝛼 entre 45° e 90° em relação ao eixo longitudinal do elemento
estrutural.
26
A Figura 2-1 apresenta o esquema proposto no trabalho de W. Ritter. A
Figura 2-2 apresenta as considerações feitas por E. Mörsch para a treliça clássica.
Figura 2-1 – Analogia da treliça clássica como apresentada por Ritter (adaptado de
Ritter, 1899)
Figura 2-2 – Considerações de Mörsch para a treliça clássica (adaptado de Mörsch,
1902)
27
A Figura 2-3 apresenta um esquema com as considerações do modelo da treliça
clássica.
Figura 2-3 – Modelo da treliça clássica
2.2. Esforços e tensões no modelo da treliça generalizada
Tratando-se das armaduras transversais, o modelo criado por W. Ritter e E. Mörsch
apresenta resultados conservadores quando confrontados com resultados experimentais.
Em 1987 J. Schlaich e K. Schafer apresentaram uma adaptação da treliça clássica
(SCHLAICH, 1987). Este novo modelo ficou conhecido como modelo da treliça generalizada.
As adaptações feitas incluem a consideração de um ângulo de diagonais comprimidas 𝜃
variável e banzos não mais paralelos: o banzo comprimido inclina-se em direção ao apoio
na medida em que se aproxima do mesmo. As bielas seriam engastadas no banzo
comprimido, tornando o modelo altamente hiperestático. A Figura 2-4 apresenta a
adaptação proposta da treliça clássica.
𝛼 𝜃 = 45°
diagonal comprimida
diagonal tracionada 𝑣𝑛
banzo superior comprimido
banzo inferior tracionado
28
Figura 2-4 – Treliça generalizada proposta por J. Schlaich (adaptado de Schlaich,
1987)
Para efeito de cálculo das tensões solicitantes, este modelo é habitualmente
apresentado como isostático, sendo a única diferença em relação ao modelo da treliça
clássica, o ângulo das bielas 𝜃 que deixa de ser fixo.
A Figura 2-5 apresenta as considerações do modelo da treliça generalizada, onde 𝑧
é a distância entre os centros dos banzos.
Figura 2-5 – Modelo da treliça generalizada
diagonal comprimida
banzo inferior tracionado
banzo superior comprimido
diagonal tracionada
𝑣𝑛 = 𝑃 2⁄
𝑃
𝜃 𝛼
29
2.3. Mecanismos básicos de resistência ao cisalhamento na diagonal
tracionada
Considerando a diagonal tracionada do elemento estrutural, as forças atuantes na
fissura estão representadas na Figura 2-6:
Figura 2-6 – Forças atuantes em viga fissurada
A capacidade resistente nominal 𝑣𝑛 é em geral considerada igual à soma das
contribuições das diversas parcelas resistentes individuais apresentadas na Figura 2-6, as
quais incluem: a parcela 𝑣𝑠 resistida pela armadura de cisalhamento, a parcela 𝑣𝑑 devida ao
efeito de pino da armadura longitudinal, a parcela 𝑣𝑐𝑧 resistida pelo concreto não fissurado
acima da fissura diagonal, e a componente vertical 𝑣𝑎𝑦 de 𝑣𝑎, devida ao intertravamento dos
agregados entre as faces da fissura (FUSCO, 2008). A Eq. 2-1 apresenta as componentes
que formam a capacidade resistente normal 𝑣𝑛.
𝑣𝑛 = 𝑣𝑠 + 𝑣𝑐𝑧 + 𝑣𝑎𝑦 + 𝑣𝑑 Eq. 2-1
𝑣𝑛 𝑣𝑑
𝑣𝑠
𝑣𝑎
𝑣𝑐𝑧 𝐶
armadura longitudinal
armadura de cisalhamento fissuras diagonais
𝑇
30
Para fins de projeto, os termos 𝑣𝑐𝑠, 𝑣𝑎𝑦 e 𝑣𝑑 são habitualmente agrupados em um
único termo denominado 𝑣𝑐, atribuído à resistência ao cisalhamento devida ao concreto na
diagonal tracionada. No caso de vigas altas (vigas-parede), além dos mecanismos
resistentes incluídos na equação acima, a transferência de força cortante por compressão
inclinada na biela resulta no efeito de arco, o qual eleva substancialmente a carga última de
cisalhamento. É importante salientar que o efeito de arco está condicionado a uma
adequada ancoragem da armadura longitudinal de flexão nos apoios.
Com relação aos mecanismos resistentes previamente citados, as seguintes
observações podem ser feitas, levando-se em consideração o concreto armado
convencional (sem o uso de fibras ou outros materiais que podem vir a alterar a forma como
o mecanismo resistente é caracterizado):
• O mecanismo resistente efetivo na zona comprimida após a fissuração
diagonal está intimamente relacionado à resistência do concreto. O
confinamento gerado pela armadura de cisalhamento contribui para
aumentar a resistência do concreto, aumentando portanto a parcela 𝑣𝑐𝑧;
• O mecanismo resistente devido ao intertravamento dos agregados entre as
faces da fissura é ativado somente após a ocorrência da fissuração diagonal
e se torna significativo à medida que ocorre deslizamento entre as faces da
fissura. Esse mecanismo está relacionado à microestrutura do concreto (e
consequentemente à sua resistência mecânica) e à energia de fraturamento
do concreto (responsável pelo grau de dutilidade do material). À medida que
a resistência do concreto aumenta, a superfície de fraturamento se torna
menos áspera (comportamento mais frágil), reduzindo a dutilidade do
material e consequentemente a parcela 𝑣𝑎𝑦 em termos relativos. A presença
de armadura de cisalhamento limita a abertura da fissura, aumentando a
dissipação de energia devida ao intertravamento dos agregados, o que
eleva a parcela resistente 𝑣𝑎𝑦;
31
• O mecanismo resistente devido ao efeito de pino da armadura longitudinal
depende da aderência concreto-armadura e da rigidez à flexão das barras da
armadura. Esse mecanismo é mais significativo em lajes do que em vigas. A
presença de armadura de cisalhamento tem uma influência positiva no efeito de
pino da armadura longitudinal, pois impede o deslocamento das barras
longitudinais;
• De todos os mecanismos expressos na equação, a contribuição direta da
armadura de cisalhamento 𝑣𝑠 é a menos complicada de se determinar. A sua
contribuição indireta citada em cada um dos três itens anteriores, a qual afeta
de forma benéfica a parcela resistente, é no entanto difícil de ser estimada com
precisão. Por conseguinte, essa contribuição indireta é ignorada na maioria das
normas de projeto, as quais consideram que a parcela 𝑣𝑐 é a mesma para vigas
com ou sem armadura de cisalhamento.
32
2.4. Esforços e tensões no modelo do campo de compressão
modificado
A teoria do campo de compressão modificado foi apresentada em 1986 por F. J.
Vecchio e M. P. Collins (VECCHIO, 1986). Trata-se de um modelo analítico para previsão da
relação carga-deformação de elementos de concreto armados sujeitos a esforços normais e
de cisalhamento atuantes no plano do elemento. O concreto fissurado é tratado como um
novo material com características de tensão-deformação próprias. As condições de
equilíbrio, compatibilidade e relação entre tensão e deformação são formuladas em termos
de valores médios das tensões e das deformações. Este modelo apresenta considerações
específicas para as tensões nas regiões fissuradas.
As relações entre tensão e deformação para o concreto fissurado foram
determinadas com base em 30 ensaios de painéis de concreto armado sujeitos a
carregamentos biaxiais uniformes pré-determinados, abrangendo também a atuação de
cisalhamento isolado. Estes ensaios evidenciaram que o concreto fissurado, quando
submetido a altas tensões de tração na direção normal à compressão, apresenta resistência
inferior quando comparado com os resultados de ensaios realizados com o corpo de prova
cilíndrico. Adicionalmente, tensões de tração significantes foram encontradas entre as
fissuras, mesmo quando submetido a altos valores de deformação média.
33
A Figura 2-7 apresenta a consideração da representatividade do modelo de paineis
ensaiados por Vecchio e Collins.
Figura 2-7 – Representatividade dos paineis ensaiados (adaptado de Bentz, 2006)
34
A Figura 2-8 apresenta de forma sintetizada as equações da teria do campo de
compressão modificado.
Figura 2-8 – Equações da Teoria do Campo de Compressão Modificado (adaptado
de Bentz, 2006)
No modelo do campo de compressão modificado mesmo os elementos que
apresentam apenas armaduras longitudinais obtém resistência ao cisalhamento
considerável após a fissuração, devido à contribuição destas armaduras na prevenção de
aberturas excessivas de fissuras. Em 1989 S. B. Bhide e M. P. Collins publicaram os
resultados de 24 ensaios de painéis de concreto armado com o objetivo de verificar esta
previsão do modelo, complementando os estudos já realizados neste campo (BHIDE, 1989).
Em 2006 E. C. Bentz, F. J. Vecchio, e M. P. Collins apresentaram uma formulação
simplificada do modelo do campo de compressão modificado (BENTZ, 2006). Esta
formulação simplificada foi elaborada a partir de considerações e relações encontradas com
35
os resultados obtidos pelo ensaio de 102 painéis de concreto armado submetidos ao
cisalhamento de forma isolada. As equações Eq. 2-2, Eq. 2-3 e Eq. 2-4 correspondem às
equações simplificadas da teoria do campo de compressão modificado.
𝑣 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 = β√𝑓𝑐′ + ρ𝑓𝑦𝑐𝑜𝑡𝜃 Eq. 2-2
β =
0,40
1 + 1500𝜀𝑥×
1300
1000 + 𝑆𝑧𝑒
Eq. 2-3
𝜃 = (29° + 7000𝜀𝑥)× (0,88 +
𝑆𝑧𝑒2500
) ≤ 75° Eq. 2-4
Onde:
β → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente
θ → ângulo das fissuras
ρ → taxa de armadura de cisalhamento
𝜀𝑥 → deformação longitudinal no meio da seção transversal em análise
𝑆𝑧𝑒 → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente
𝑆𝑧𝑒 =
0,35𝑠𝑥𝑎𝑔 + 16
Eq. 2-5
Onde:
𝑎𝑔 → diâmetro máximo do agregado
𝑠𝑥 → espaçamento de abertura de fissuras na direção x
36
2.5. Recomendações de normas
Nesta seção são apresentadas as equações para o cálculo da resistência ao
cisalhamento de elementos de concreto armado dispostas nas normas vigentes em estudo,
baseadas nas teorias da treliça clássica / generalizada ou do campo de compressão
modificado.
NBR 6118/2014
O dimensionamento ao esforço cortante em vigas de concreto armado na NBR
6118/2014 é realizado com base na analogia da treliça generalizada de Mörsch. A soma da
resistência ao cisalhamento do concreto, do efeito de pino da armadura longitudinal e do
engrenamento entre os agregados são representados nesta norma pela parcela 𝑣𝐶. Neste
procedimento deve-se respeitar um valor de armadura transversal mínimo.
Para lajes e elementos lineares, a NBR 6118/2014 apresenta outro procedimento
de cálculo com a possibilidade de ausência de armadura transversal, porém deve ser
respeitado o valor limite da altura altura últil da peça igual ou inferior a 1/5 de sua largura.
Embora o banco de dados compilado de vigas ensaiadas não atenda ao primeiro
procedimento e esteja quase que integralmente fora do limite apresentado pelo segundo,
ambos serão apresentados e farão parte do estudo comparativo como Procedimento I
(cálculo de 𝑣𝑐 para lajes) e Procedimento II (cálculo de 𝑣𝑐 para vigas), uma vez que a NBR
6118/2014 não dispõe de outra metodologia para estimativa da capacidade resistente ao
cisalhamento de vigas sem armadura transversal.
37
2.5.1.1. NBR - Procedimento I (NBR,I) – cálculo como lajes
A resistência ao cisalhamento de lajes e elementos lineares de concreto armado é
tratada na norma NBR 6118/2014, assim como para vigas, com formulações em termos de
limites máximos para o esforço cortante solicitante 𝑉𝑆𝑑. Para elementos sem armadura
transversal, deve-se respeitar o limite dado para o esforço de cisalhamento apresentado na
Eq. 2-6.
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 Eq. 2-6
A variável 𝑣𝑅𝑑1 corresponde à força cortante resistente, sendo calculada pela Eq.
2-7.
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑𝑘(1,2 + 40𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-7
Onde:
𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 𝛾𝑐⁄
𝜌1 → taxa de armadura longitudinal
𝜎𝑐𝑝 → tensão longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento
Para elementos onde 50% da armadura longitudinal inferior não chega até o apoio,
adota-se 𝑘 = 1. Para os demais casos, adota-se 𝑘 = |1,6 − 𝑑|, com 𝑑 em metros,
respeitando-se o valor limite mínimo de 𝑘 = 1.
Para o cálculo da taxa de armadura longitudinal 𝜌1 consideram-se apenas a área
das armaduras de tração que encontram-se devidamente ancoradas 𝐴𝑠1, respeitando pré-
38
requisitos de ancoragem definidos pela norma NBR 6118/2014 que não são objeto de
estudo deste trabalho.
𝜌1 =
𝐴𝑠1𝑏𝑤𝑑
≤ 0,02 Eq. 2-8
O cálculo da tensão longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento 𝜎𝑐𝑝
é realizado conforma a Eq. 2-9.
𝜎𝑐𝑝 =
𝑁𝑆𝑑𝐴𝑐
Eq. 2-9
Onde:
𝑁𝑆𝑑 → Força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento
𝐴𝑐 → Área da seção transversal de concreto
Os elementos apresentados neste trabalho não apresentam força longitudinal na
seção devida à protensão ou carregamento, portando a parcela 𝜎𝑐𝑝 é nula.
2.5.1.2. NBR - Procedimento II (NBR,II) – cálculo como vigas
A resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado é tratada na norma
NBR 6118/2014 com formulações em termos de limites máximos para o esforço cortante
solicitante 𝑉𝑆𝑑. Este esforço está sujeito a valores limites conforme apresentado nas
equações Eq. 2-10 e Eq. 2-11.
39
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 Eq. 2-10
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 Eq. 2-11
A variável 𝑉𝑅𝑑2 corresponde à resistência da diagonal comprimida (biela). A tensão
atuante nas diagonais compridas pode ser expressa conforme apresentado na equação Eq.
2-12, adotando-se as considerações representadas na Figura 2-5.
𝜎𝑐𝑏 =
𝑉𝑆𝑑𝑏𝑤𝑧(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)𝑠𝑒𝑛
2𝜃
Eq. 2-12
O valor da compressão limite é definido na norma NBR 6118/2014 como sendo
𝑓𝑐𝑑2, valor atribuído para quando a biela é atravessada por mais de um tirante, resultando
em fissuras transversais às tensões de compressão e reduzindo a resistência à compressão
da biela. O valor de 𝑓𝑐𝑑2 é definido conforme apresentado na Eq. 2-13.
𝑓𝑐𝑑2 = 0,60𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑 Eq. 2-13
Onde:
𝛼𝑣2 = (1 − 𝑓𝑐𝑘 250⁄ ), com 𝑓𝑐𝑘 em MPa
𝑓𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐⁄
No limite de resistência da biela temos portanto 𝜎𝑐𝑏 = 𝑓𝑐𝑑2. Neste caso o termo 𝑣𝑆𝑑
é substituído por 𝑣𝑅𝑑2, valor correspondente ao limite de resistência da biela. Adotando-se
ainda como distância entre os banzos do modelo da treliça 𝑧 = 0,9𝑑, a equação Eq. 2-12
pode ser descrita conforme apresentado pela Eq. 2-14.
40
𝑉𝑅𝑑2 = 𝑓𝑐𝑑2𝑏𝑤×0,9𝑑(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑𝑏𝑤𝑑𝑠𝑒𝑛2𝜃(𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)
Eq. 2-14
A equação Eq. 2-14 é apresentada na NBR 6118/2014 como modelo de cálculo II
do procedimento de cálculo da resistência ao cisalhamento. Neste modelo, o ângulo da
diagonal de compressão 𝜃 pode ser admitido com valores entre entre 30° e 45°.
A NBR 6118/2014 possibilita ainda um cálculo simplificado onde o ângulo da
diagonal comprimida 𝜃 é fixado em 45° - este modelo é apresentado como modelo de
cálculo I na NBR 6118/2014. A equação simplificada deste modelo está representada pela
Eq. 2-15.
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-15
A variável 𝑣𝑅𝑑3 corresponde à resistência da diagonal tracionada, constituída pela
presença da armadura transversal somada com a contribuição do concreto pelos
mecanismos apresentados em 2.3.
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐+𝑉𝑠𝑤 Eq. 2-16
O termo 𝑉𝑠𝑤 corresponde à resistência da armadura transversal. Para vigas onde
não há armadura trasnversal ao elemento estrutural, este termo torna-se nulo. O termo 𝑉𝑐
corresponde à contribuição do concreto na resistência ao cisalhamento na diagonal
tracionada. De acordo com o modelo apresentado na norma brasileira NBR 6118/2014 em
elementos estruturais com ausência de força normal, a resistência ao cisalhamento 𝑣𝑐 em
vigas de concreto armado é dada pela Eq. 2-17.
𝑉𝑐 = 0,6𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-17
41
Onde:
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 → resistência característica inferior do concreto à tração
O valor de 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 é dado em função da resistência à tração direta do concreto,
conforme apresentado na Eq. 2-18.
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7×𝑓𝑐𝑡,𝑚 Eq. 2-18
Na falta de ensaios para obtenção de valores da resistência à tração direta do
concreto 𝑓𝑐𝑡,𝑚, a norma NBR 6118/2014 possibilita a utilização de seu valor médio calculado
por meio das equações Eq. 2-19 e Eq. 2-20.
Para concretos com resistência à compressão do concreto 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎:
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘2/3
Eq. 2-19
Para concretos com resistência à compressão do concreto 55 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90 𝑀𝑃𝑎:
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 2,12×𝑙𝑛(1 + 0,11𝑓𝑐𝑘) Eq. 2-20
Em se tratando de vigas de concreto convencional e sem armadura transversal,
como a resistência à compressão do concreto é muito superior do que sua resistência à
tração, é notório que a ruína das diagonais tracionadas ocorre antes das bielas atingirem
sua capacidade resistente máxima. Neste procedimento, a variável determinante da
resistência ao cisalhamento é portanto 𝑉𝑅𝑑3.
42
ACI 318/2014 (ACI)
Analogamente à norma brasileira, o dimensionamento ao esforço cortante em vigas
de concreto armado conforme critérios da norma ACI 318/2014 é realizado com base na
analogia da treliça generalizada de Mörsch. A resistência ao cisalhamento 𝑣𝑛 na diagonal
tracionada é calculada conforme apresentado na Eq. 2-21.
𝑣𝑛 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 Eq. 2-21
O termo 𝑣𝑠 corresponde à resistência da armadura transversal, nulo para elementos
estruturais sem sua presença. Para estes elementos, o ACI 318/2014 define valores limites
para 𝑣𝑛 de acordo com sua altura. Caso a altura ℎ seja igual ou inferior a 25,4𝑐𝑚 adota-se a
equação Eq. 2-24.
𝑣𝑛 = 𝑣𝑐 Eq. 2-22
Caso a altura ℎ seja superior a 25,4𝑐𝑚 adota-se a equação Eq. 2-25.
𝑣𝑛 = 0,5×𝑣𝑐 Eq. 2-23
O termo 𝑣𝑐 é definido pela norma ACI 318/2014 conforme apresentado pela Eq.
2-24:
𝑣𝑐 = (0,16𝜆√𝑓𝑐′ + 17𝜌𝑙
𝑉𝑢𝑑
𝑀𝑢) ×𝑏𝑤𝑑
Eq. 2-24
Onde:
43
𝜆 → fator de modificação para concreto leve. Para concretos convencionais, 𝜆 = 1
A parcela da resistência do concreto 𝑣𝑐 está sujeita a valores limites conforme
apresentado nas equações Eq. 2-25 e Eq. 2-26.
𝑣𝑐 ≤ (0,16𝜆√𝑓𝑐′ + 17𝜌𝑙) ×𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-25
𝑣𝑐 ≤ 0,29𝜆√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑 Eq. 2-26
O ACI 318/2014 impõe um limite máximo para a consideração da resistência do
concreto 𝑓𝑐′ na formulação apresentada acima, no valor de 68,95𝑀𝑃𝑎. Este limite é atribuído
quando o elemento estrutural não respeita o valor mínimo de armadura transversal
apresentado nesta norma.
A verificação ao cisalhamento é realizada comparando-se a capacidade resistente
fatorada com a carga última:
𝜙𝑣𝑛 ≥ 𝑣𝑢 Eq. 2-27
Onde:
𝜈𝑢 → força de cisalhamento solicitante fatorada
𝜙 → fator de redução da resistência
44
CSA A23.03-04/2004 (CSA)
O código canadense CSA A23.03-04/2004 apresenta formulações baseadas na
teoria do campo de compressão modificado. A verificação ao cisalhamento é realizada
comparando-se a capacidade resistente fatorada com a carga última conforme apresentado
na Eq. 2-28:
𝑣𝑟 ≥ 𝑣𝑓 Eq. 2-28
Onde:
𝜈𝑓 → força de cisalhamento última solicitante fatorada
𝜈𝑟 → força de cisalhamento resistente fatorada
A força de cisalhamento resistente é calculada pela Eq. 2-29.
𝑣𝑟 = 𝑣𝑐 + 𝑣𝑠 + 𝑣𝑝 Eq. 2-29
Onde:
𝜈𝑝 → componente na direção da força de cisalhamento aplicada devida à protensão
𝜈𝑠 → resistência ao cisalhamento devida à armadura transversal
Para os elementos estruturais sem armadura transversal e que não apresentam
esforços longitudinais ao elemento, 𝑣𝑠 = 0 e 𝑣𝑝 = 0, portanto a força de cisalhamento
resistente pode ser expressa como 𝑣𝑟 = 𝑣𝑐.
O termo 𝑣𝑐 correspondente à parcela de resistência ao cisalhamento do concreto é
calculado conforme apresentado na Eq. 2-30.
45
𝑣𝑐 = ∅𝑐𝜆𝛽√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑𝑣 Eq. 2-30
Onde:
𝜙𝑐 → fator de redução da resistência
𝜆 → fator de modificação para concreto leve. Para concretos convencionais, 𝜆 = 1
𝛽 → fator que considera os efeitos da deformação do elemento estrutural e o
espaçamento de fissuras
𝑑𝑣 → altura efetiva ao cisalhamento, tomada como o maior valor entre 0,9𝑑 e 0,72ℎ
O CSA A23.03-04/2004 apresenta dois cálculos diferentes para o parâmetro 𝛽, um
descrito como modelo simplificado e outro descrito como modelo geral. As equações
apresentadas neste trabalho correspondem ao modelo geral.
O valor do coeficiente 𝛽 é calculado em função da deformação longitudinal 𝜀𝑥 do
elemento e do espaçamento de fissuras, representado pelo parâmetro 𝑆𝑧𝑒, conforme
expresso pela Eq. 2-31.
𝛽 =
0,40
1 + 1500𝜀𝑥×
1300
1000 + 𝑆𝑧𝑒
Eq. 2-31
Onde:
𝜀𝑥 → deformação longitudinal no meio da seção transversal em análise
𝑆𝑧𝑒 → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente
Na falta de cálculos mais precisos, o termo 𝜀𝑥 pode ser tomado como disposto na
Eq. 2-32, já simplificada para casos onde não há protensão ou carregamentos longitudinais
ao elemento estrutural.
46
𝜀𝑥 =
𝑀𝑢 𝑑𝑣⁄ + 𝑣𝑢2(𝐸𝑠𝐴𝑠)
Eq. 2-32
Onde:
𝐸𝑠 → módulo de elasticidade do aço
𝑣𝑢 → força de cisalhamento solicitante fatorada
𝑀𝑢 → momento fletor solicitante fatorado
𝐴𝑠 → área de armadura longitudinal
𝑑𝑣 → altura efetiva ao cisalhamento, tomada como o maior valor entre 0,9𝑑 e 0,72ℎ
Na Eq. 2-32 os valores de 𝑀𝑢 e 𝑣𝑢 são sempre positivos e 𝑀𝑢 tem como valor
mínimo 𝑣𝑢𝑧. O valor da deformação 𝜀𝑥 não deve ser inferior a zero, caso contrário deve ser
tomado como zero ou o denominador na Eq. 2-41 deve considerar ainda a parcela de
contribuição do concreto 𝐸𝑐𝐴𝑐𝑡. Neste caso, o valor mínimo passa para 𝜀𝑥 é −0,0002. Para
ambos os casos, o valor máximo para 𝜀𝑥 é 0,003.
O termo 𝑆𝑧𝑒 presente na Eq. 2-31 é obtido pelo cálculo apresentado na Eq. 2-33.
𝑆𝑧𝑒 =
35𝑑𝑣15 + 𝑎𝑔
≥ 0,85𝑑𝑣 Eq. 2-33
Onde:
𝑎𝑔 → diâmetro máximo do agregado
𝑑𝑣 → altura efetiva ao cisalhamento, tomada como o maior valor entre 0,9𝑑 e 0,72ℎ
Para efeito de cálculo de 𝑆𝑧𝑒, o diâmetro do agredado é considerado nulo quando
𝑓𝑐′ ≥ 70𝑀𝑃𝑎. Esta consideração é adotada para representar o efeito do rompimento do
47
agregado em conjunto com o concreto quando de resistência elevada. Neste caso, o
agregado não contribui com a rugosidade da fissura e consequente acréscimo da resistência
ao cisalhamento, reduzindo o efeito de imbricamento. Para evitar descontinuidade desta
parcela, o CSA A23.03-04/2004 propõe que o valor de 𝑎𝑔 seja interpolado na faixa
60𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐′ ≤ 70𝑀𝑃𝑎, reduzindo a zero para 𝑓𝑐′ = 70𝑀𝑃𝑎.
A resistência ao cisalhamento 𝑣𝑟 deve respeitar o limite definido na Eq. 2-34
𝑣𝑟 ≤ 0,25∅𝑐𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑𝑣 + 𝑣𝑝 Eq. 2-34
Critérios de armadura mínima podem ser negligenciados quando o elemento
estrutural respeitar as seguintes equações:
𝑣𝑓 ≤ 𝑣𝑐 + 𝑣𝑝 Eq. 2-35
𝑏𝑤 ≤ 750mm Eq. 2-36
Há também uma limitação quando ao momento torçor máximo, como critério para
adoção de armadura mínima. O estudo de torção não é objeto de estudo deste trabalho.
48
CEB-FIP ModelCode/2010 (CEBFIP)
O modelo apresentado pelo CEB-FIP ModelCode/2010 apresenta formulações
baseadas na teoria do campo de compressão modificado. A resistência ao cisalhamento
total é calculada pela Eq. 2-37.
𝑣𝑟𝑑 = 𝑣𝑟𝑑,𝑐 + 𝑣𝑟𝑑,𝑠 Eq. 2-37
Onde:
𝜈𝑟𝑑 → força de cisalhamento resistente
𝜈𝑟𝑑,𝑐 → força de cisalhamento resistente devida ao concreto
𝜈𝑟𝑑,𝑠 → força de cisalhamento resistente devida à armadura transversal
O termo 𝑣𝑟𝑑,𝑐 é calculado conforme apresentado na Eq. 2-38.
𝑣𝑟𝑑,𝑐 = 𝐾𝑣
√𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐
𝑏𝑤𝑧 Eq. 2-38
Onde:
𝐾𝑣 → fator que considera os efeitos da deformação do elemento estrutural e o
espaçamento de fissuras
𝛾𝑐 → coeficiente de minoração da resistência do concreto
O valor de 𝑓𝑐𝑘 na Eq. 2-38 é limitado a 64𝑀𝑃𝑎. O modelo apresentado pelo CEB-
FIP ModelCode/2010 justifica a utilização de um limite para a resistência do concreto por
49
conta da grande variabilidade da parcela resistente ao cisalhamento quando utilizados
concretos de alta resistência, principalmente para elementos sem armadura transversal.
O CEB-FIP ModelCode/2010 apresenta para o cálculo da resistência ao
cisalhamento de vigas de concreto armado três procedimentos distintos, declarados como
níveis de aproximação I, II e III. O nível de aproximação I é sugerido para o
dimensionamento de novas estruturas, servindo para elementos com ou sem armadura
transversal. Neste nível, o ângulo da biela é fixo: 𝜃 = 36°. O nível de aproximação II é
indicado tanto para o dimensionamento de novas estruturas quanto para a verificação de
estruturas existentes. Neste nível, a contribuição da resistência do concreto no cisalhamento
é negligenciada. O nível de aproximação III é indicado para casos com carregamentos
complexos ou onde é necessária uma avaliação mais rigorosa da estrutura. Este nível
apresenta o maior grau de complexidade e melhor aproximação dos resultados obtidos entre
os apresentados neste procedimento.
As disposições apresentadas neste trabalho fazem parte do nível de aproximação
III. As equações deste procedimento no nível III são semelhantes aos apresentados pela
norma CSA A23.03-04/2004, em seu modelo geral.
Quando não há armadura transversal, o valor do fator 𝐾𝑣 é calculado pela Eq. 2-39.
𝑘𝑣 =
0,40
1 + 1500𝜀𝑥×
1300
1000 + 0,7𝑘𝑑𝑔𝑧
Eq. 2-39
Onde:
𝑘𝑑𝑔 → parâmetro de espaçamento de abertura equivalente
O parâmetro 𝜀𝑥 é calculado pela Eq. 2-41, já simplificada para casos onde não há
protensão ou carregamentos longitudinais ao elemento estrutural.
50
𝜀𝑥 =
𝑀𝑢 z⁄ + 𝑣𝑢2(𝐸𝑠𝐴𝑠)
Eq. 2-40
Assim como na norma canadense CSA A23.03-04/2004, na Eq. 2-41 os valores de
𝑀𝑢 e 𝑣𝑢 são sempre positivos e 𝑀𝑢 tem como valor mínimo 𝑣𝑢𝑧. O valor da deformação 𝜀𝑥
não deve ser inferior a zero, caso contrário deve ser tomado como zero ou o denominador
na Eq. 2-41 deve considerar ainda a parcela de contribuição do concreto 𝐸𝑐𝐴𝑐𝑡. Neste caso,
o valor mínimo passa para 𝜀𝑥 é −0,0002. Para ambos os casos, o valor máximo para 𝜀𝑥 é
0,003.
O parâmetro 𝑘𝑑𝑔 é calculado pela Eq. 2-41.
𝑘𝑑𝑔 =
0,48
16 + 𝑎𝑔≥ 1,15
Eq.