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AustauschwechselwirkuAustauschwechselwirkungng und und
MagnetismusMagnetismus
Von Hundschen Regeln bis hin zum Superaustausch
Hendrik Holzapfel
Seminar SS08, 2. Physikalisches Institut RWTH AachenSeminar SS08, 2. Physikalisches Institut RWTH AachenWechselwirkung in FestkörpernWechselwirkung in Festkörpern
26.06.2008
22 2727
ÜbersichtÜbersicht
AustauschwechselwirkungAustauschwechselwirkungLokalisierte ElektronenLokalisierte Elektronen
Delokalisierte ElektronenDelokalisierte Elektronen
SpinwellenSpinwellen
Indirekter AustauschIndirekter Austausch
GrundlagenGrundlagen
BandmagnetismusBandmagnetismus
Magnetische AnregungMagnetische Anregung
Stoner-AnregungenStoner-Anregungen
SuperaustauschSuperaustausch
DoppelaustauschDoppelaustausch
RKKY-WechselwirkungRKKY-Wechselwirkung
33 2727
GrundlagenGrundlagenMakroskopische Makroskopische GrößenGrößen
i
Bi
ii
i
Lgm - magnetisches
Moment
T
eV
m
e
eB
5108.52
- Bohrsches Magneton
Mikroskopische Mikroskopische TheorieTheorie 0 dia
0 para
FerromagnetismusFerromagnetismus- spontane Magnetisierung auch ohne äußeres Feld- nicht klassisch zu erklären
HM
- äußeres magnetisches Feld
(Quelle: MMCh*)
Diamagnet (links) und Paramagnet (unten) im äußeren Feld
V
mM
- Magnetisierung
H
44 2727
Hundsche RegelnHundsche Regeln
- Maximierung der Gesamtspinzahl S
- Maximierung der Gesamtbahndrehimpulszahl L
- Kopplung von L und S zu Gesamtdrehimpuls J
i
simS
i
limL
12für
12für
lnSL
lnSLJ
- Abgeschlossene Schalen: Pauli-Prinzip
p4
1 1 2
e- ml S L J
1 0 -1
0 JSL
Beispiel: 4 Elektronen in der p-Schale
Hundsche RegelnHundsche Regeln
55 2727
Atomarer MagnetismusAtomarer Magnetismus0 dia
0 para
Larmor-Larmor-DiamagnetismusDiamagnetismus- volle Elektronenschalen, z.B. Edelgase
22
0
6 aadia rZV
N
m
e
(Quelle: WMI*)Molare diamagnetische
Suszeptibilität bei abgeschlossener Elektronenschale = Elektronen pro Atomrumpf = mittlerer quadratischer Atomradius
Langevin-ParamagnetismusLangevin-Paramagnetismus
- genaue Analyse ergibt:
T
C
Tk
n
B
M
B
eff
VTextpara
2
0
,
0
Spin- und Bahndrehimpuls der Elektronen
0 JSL
0J
aZ 2ar
- äußeres Feld induziert Kreisstrom
magnetisches Moment entgegen
(Lenzsche Regel)
H
- Atome im Grundzustand mit
B
e
BJeff JJg 1-
66 2727
Atomarer Magnetismus IIAtomarer Magnetismus IIDia- und Paramagnetismus in Dia- und Paramagnetismus in MetallenMetallen
extBzc Bkm
nE
2
2
22
1
m
Be extc
Pauli-Pauli-ParamagnetismusParamagnetismus
Bs BnnM
1exp
1)(
TkE
Ef
B
2/12/3
22
2
2E
mVED
constTk
nB
M
FB
B
extP
2
3 20
0
(Quelle: WMI*)
Fermiverteilung
- Energie freier Elektronen im Magnetfeld
Zustandsdichte
mit
- nur Spin berücksichtigt
- grobe ErwartungF
P T
T
T
C
- Fermi-Statistik; B
FF k
ET FTT
FF
B
T
T
E
Tk
77 2727
Gekoppelte MomenteGekoppelte MomenteMagnetische OrdnungMagnetische Ordnung
Ausrichtung Magn. MomenteFerromagnetismusFerromagnetismus
FerrimagnetismusFerrimagnetismus
AntiferromagnetismuAntiferromagnetismuss
AF verkipptAF verkippt(Quelle: wikipedia)
- magn. Momente parallel, z.B. Ni, Fe, Co
- Mischform, z.B. Ferrite (Fe3O4), Eisengranate
- Ausrichtung antiparallel, z.B. Oxide
- betrachte Projektion
88 2727
AustauschwechselwirkungAustauschwechselwirkungZielZiel- Erklärung: Ferromagnetismus
Lokalisierte ElektronenLokalisierte Elektronen
Delokalisierte ElektronenDelokalisierte Elektronen
- Austausch: direkt <> indirekt
Indirekter AustauschIndirekter Austausch
Spinwellen/StoneranregungenSpinwellen/Stoneranregungen
(Quelle: WMI*)
Anschaulich: Austauschwechselwirkung
99 2727
Dipol-Dipol-Dipol-Dipol-WechselwirkungWechselwirkung
rr
rrE
212213
0 3
4
Wechselwirkungsenergie zwischen zwei DipolenWechselwirkungsenergie zwischen zwei Dipolen
μeV 100 J 106,14
2 233
20
rE B
Abschätzung magnetostatischer Energie in Abschätzung magnetostatischer Energie in ParallelstellungParallelstellung
kann nicht Ursache für das Phänomen sein! Vergleich zu thermischer Energie:
Betrachte Zwei-Elektronen-System!
TkE B K 2,1
1010 2727
Heitler-London-NäherungHeitler-London-NäherungMagn. Eigenschaften eines 2-Elektronen-SystemsMagn. Eigenschaften eines 2-Elektronen-Systems
Heitler-London-NäherungHeitler-London-Näherung- schließt aus, dass beide Elektronen am selben Kern sind
)2,1(ˆ)2(ˆ)1(ˆ)2,1(ˆWWHHHH
)2()2()1()1()2,1( BABA
Berechne Erwartungswert
)2,1(|)2,1(
)2,1(|2,1ˆ|)2,1(
HE
Skizze: Wasserstoffmolekül
1111 2727
AustauschintegralAustauschintegralS
ACEE I
1 2
Austauschkonstante JAustauschkonstante J
212
S
ACSJEEE ST
Energieanteile und Energieanteile und ÜberlappÜberlapp
Überlappintegral 21** )2()1()2()1( rdrdS BBAA
110
22* )1(
42)1( rd
r
e
mE A
AAI
21
22
12120
2
)2()1(1111
4rdrd
rrrR
eC BA
BAAB
21**
21120
2
)2()1()2()1(1111
4rdrd
rrrR
eA BBAA
BAAB
Ionisierungsenergie
Coulombintegral
Austauschintegral
(Quelle: Ibach-Lüth)
Für Wasserstoffatom: J<0, antiferromagnetische Singulett-Zustand stabil
- ohne Überlapp kein Austausch- HL-Näherung nur gut, wenn quasi kein Überlapp
1212 2727
Heisenberg-ModellHeisenberg-ModellEffektiver HamiltonoperatorEffektiver Hamiltonoperator
ba
J
ST
J
TSeff SSEEEEH ˆˆ34
1ˆ
0
Spin-HamiltonoperatorSpin-Hamiltonoperatorji
jiijHeisenberg SSJH
ˆ
ST EEJ 0
TS EEJ 0
- parallele Ausrichtung energetisch günstiger
- antiparallele Ausrichtung bevorzugt
(Quelle: WMI)
DiskussionDiskussion- Kopplungskonstante:
- liefert zu jedem s/t-Zustand die entsprechenden Eigenwerte
1313 2727
Molekularfeld-NäherungMolekularfeld-NäherungIdee: Austauschfeld (Weiß‘scher Idee: Austauschfeld (Weiß‘scher Ferromagnet)Ferromagnet)- jedes Moment m „sieht“ das mittlere Moment der anderen m‘s.
MBex 0
CTT
C
CT
C
B
M
0
Curie-Weiß-GesetzCurie-Weiß-Gesetz
(Quelle: WMI*)
- unterhalb : ferromagnetischCT
- Größenordnung Austauschfeld:(z.B. Fe, s. Tabelle)
T 10300 S
Cex M
C
TB
1414 2727
Delokalisierte ElektronenDelokalisierte Elektronen
rErrUrm
22
2
Ein-Elektronen-SG für freie ElektronenEin-Elektronen-SG für freie Elektronen
- Potential
rU
enthält WW zwischen Elektronen und Rumpfpotential
ji ji
N
i R i
i rr
e
RreZ
mH
||2
1
||
1
2
2
1
222
Anziehendes elektrostatisches Potenzial: Elektron-Elektron-Wechselwirkung
Hartree-Gleichungen Hartree-Gleichungen (Lösung durch Iteration) rEr
rrrdrerUr
m iiij
jiRumpf
i
|'|
1|'|'
2222
2
- mathematisch komplex
rU Rumpf
- grobe Näherung: „gemittelte“ Wechselwirkung:
DiskussionDiskussion
j
j rer 2|'|
1515 2727
Hartree-FockHartree-FockBetrachte N-Elektronen-SGBetrachte N-Elektronen-SG NNNNN srsrsrsr
..,.., 11111
- Produktansatz unvereinbar mit Pauli-Prinzip NNiijjNNjjii srsrsrsrsrsrsrsr
,..,,..,,..,,..,,..,,.., 1111
Slater-DeterminanteSlater-Determinante - erfüllt Antisymmetrie!
rrUrrUrm i
Hartree
eli
Rumpfi
2
2
2 rrrr
rr
erd iissjij
jji
*2
Austauschterm!
NNNNN
NN
NN
srsrsr
sr
srsrsr
srsr
2211
112
1221111
11 ,..,
j
jel
rrrdrerU
|'|
1|'|' 22
Aus Hartree-Gleichungen:
1616 2727
Hartree-Fock-TheorieHartree-Fock-TheorieAnwendung:Anwendung:
Hartree-Fock-Gleichungen für freie ElektronenHartree-Fock-Gleichungen für freie Elektronen
V
er
rki
i
i
Theorie der freien Elektronen: Atomrümpfe und Elektronen haben dieselbe Ladungsdichte. 0 elRumpf UU
- Betrachte nur Austauschterm:
FF k
kFk
e
m
kk
222 2
2
x
x
x
xxF
1
1ln
4
1
2
1)(
2
mit
Für N Elektronen
FF kk F
F
kk k
kF
ke
m
kE
222
22
WW
F
efreie
F
keNENE
2
4
3
5
3
Erinnerung:- Ansatz:
Plot F(x), Steigung divergiert bei x=1
Spinfunktion
Energieabsenkung durch wechselwirkende Elektronen!
)(Fk
kF
Fk
k
1717 2727
AustauschlochAustauschloch
Idee: Austauschloch -Elektron mit parallelem Spin wird verdrängt. (Quelle: WMI)
Betrachte zwei freie freie ElektronenElektronen- Spin parallel Ortswellenfunktion antisymmetrisch ijjijjii
rkirkirkirkiij eeee
V
2
1
- Aufenthaltswahrscheinlichkeit = 0 für zwei Elektronen mit parallelem Spin am selben Ort.
jijijijiij rdrdrrkkV
rdrd
cos11
2
2
rkkrdnrP ji
cos1
- Ladungsträgerdichte
rkken
ji
cos1
2
- Mittelung über Fermikugel
6
2cossin
2
91
rk
rkrkrkenr
F
FFFeff
(Quelle: WMI*)
Austauschloch = positive Kopplung Modell für Ferromagnetismus
1818 2727
Band-FerromagnetismusBand-FerromagnetismusWechselspiel zwischen undWechselspiel zwischen und
Oben: Erhöhung der Fermi-Energie durch Parallelisierung des Spins. (Quelle: WMI)Unten: Aufweitung der Fermikugel
EEDN F 2
1
FFpotkin EUDEEDEEE
2
11
2
1 2
12
1FEUDStonerkriteriumStonerkriterium
(Quelle: FU Berlin*)
potE kinE
Stonerkriterium erfüllt
Parallele Ausrichtung energetisch günstig, wenn: ED
DEU1
1 EDU
- energetische Betrachtung
22
1EEDENE Fkin
22
0 4
1EEUDMdBVE F
B
pot
A
AA MB 0
20 BU
Molekularfeld
Charakteristische Energie
1919 2727
Stoner-KriteriumStoner-KriteriumSystem freier Elektronen in äußerem System freier Elektronen in äußerem MagnetfeldMagnetfeld
extFFB
MBEUDVED
ME
2
11
2
12
2
0!
M
E
F
P
FaktorStoner
F
FB
ext EUDEUDV
ED
B
M
p 21
121
1
1200
Für vgl. ferroelektrische Polarisationskatastrophe!
Ferromagnetische OrdnungFerromagnetische Ordnung
12
1FEUD
2020 2727
Magnetische AnregungMagnetische Anregung
- Möglichkeiten Sättigungsmagnetisierung bzw. -moment eines Ferromagneten zu ändern bei
Interbandübergang / Stoner-Interbandübergang / Stoner-AnregungenAnregungen- minimale Energie: Stonerlücke
Spinwellen / Spinwellen / MagnonenMagnonen
(Quelle: WMI*)
(Quelle: WMI*)
„„Umklapp“-Umklapp“-ProzessProzess
- kollektive Anregung im magnetischen Gitter
CTT
2121 2727
SpinwellenSpinwellen
Oszillationen der relativen Orientierung von magn. Momenten auf einem Gitter. Quasiteilchen: Magnonen!
Semiklassische Betrachtung (vgl. Heisenberg-Modell) 2
1111 422 sJsssJssssJE AiiiAiiiiA 28 sJE AAnregungsenerg
ie- betrachte Spinkette und WW mit dem nächsten Nachbarn
- vereinfache DGL mit und löse bei tiefen T mit einem Ansatz ebener Wellen
zext BB ,0,0
DefinitionDefinition
tksaiyxyxi eSS //,
kaSJBg ABs cos1
4
xy iSS Phasenunterschied:
- Entwicklung für kleine 2kka
(Quelle: WMI*)
2222 2727
Stoner-AnregungenStoner-Anregungen
- Einzelelektronen-anregungen
Erinnerung:
(Quelle: WMI*)
Abweichung:WW mit übernächsten Nachbarn
2k
Verbreiterung:WW der Spinwellen mit Stoner-Anregungen
2k
- entspricht Austauschaufspaltung- Spektrum für 0q
AJzI
- minimale Energie: Stonerlücke
AnregungsspektrAnregungsspektrumum
2323 2727
Indirekter AustauschIndirekter AustauschPhänomenologische BeschreibungPhänomenologische Beschreibung
SuperaustauschSuperaustausch
DoppelaustauschDoppelaustausch
RKKYRKKY-Wechselwirkung
- antiferromagnetische Spinkopplung über einen diamagnetischen Vermittler
- abstandsabhängige Oszillation der Kopplung lokalisierter magnetischer Momente
- ferromagnetische Kopplung inkl. Ladungstransport
2424 2727
SuperaustauschSuperaustauschSpinkopplung über ZwischenatomSpinkopplung über Zwischenatom
(Quelle: Crangle)
- Oxide in NaCl-Struktur:z.B.: MnO, MnS
- betrachte hier: Mn2+O2-
- indirekt:magn. Momente haben großen Abstand
- Pauliprinzip: Spineinstellung in O antiparallel
- 180°-Super-AT
Antiferromagnetischer IsolatorAntiferromagnetischer IsolatorTransfer
TransferOrbital-Überlapp bestimmt Stärke des Effekts
- d-Orbitale, p-Orbitale vgl. Hund‘sche Regeln
0J
2525 2727
DoppelaustauschDoppelaustausch
(Quelle: WMI*)
Austausch und Austausch und LadungstransportLadungstransport- zwischen Ionen mit gemischter Valenz
0JFerromagnetische Ordnung
- auch „metallisch“: Leitfähigkeit durch delokalisierte Elektronen- genaue Betrachtung mittels Hubbards Hüpf-Modell
- hier: Mn3+-Elektron wechselt über O2--Ion hinweg auf leeren Platz
- wichtig: Magnetische Struktur!
2626 2727
RKKYRKKY
(Quelle: WMI*)
Indirekter Austausch durch Indirekter Austausch durch Polarisation von Polarisation von LeitungselektronenLeitungselektronen
0 J
- betrachte:lokalisierte Momenteim Fermi-Gas
- langreichweitiger Effekt,mehrere Gitterkonstanten
ijr- Oszillation: ijF
ij
rkr
J 2cos1
3
J oszilliert mit Abstand der oszilliert mit Abstand der MomenteMomente
- mathematischer Grund:FT von Fermikante Oszillation im Ortsraum
(Quelle: WMI*)
(RKKY – Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida)
2727 2727
!!FINALE!!!!FINALE!!AustauschwechselwirkungAustauschwechselwirkung
Kombination aus Bekanntem bringt Lösung:
Pauli-PrinzipPauli-Prinzip und Coulomb-WechselwirkungCoulomb-Wechselwirkung –
keine neue Wechselwirkung!
Bildquellen:
WMI* http://www.wmi.badw-muenchen.de/teaching/lecturenotes/MMCh* http://www.mmch.uni-kiel.de/supraleiter/supra_folien_2.htmFU Berlin* http://www.diss.fu-berlin.de/2002/34/f-Kapitel1.pdf