Amostragem de Sinais

Prof. Juan Moises Mauricio Villanuevajmauricio@cear.ufpb.br

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Amostragem (Sampling)

• Para um sinal em tempo continuo x(t)

• Considera-se um trem de impulsos p(t), com período Ts

2

Ts

Amostragem (Sampling)

• O sinal amostrado se obtém da multiplicação do sinal x(t)com o trem de impulsos p(t)

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x(t) sinal em tempo continuop(t) função de amostragem (trem de impulsos)xp(t) sinal amostrado no tempo discreto

4

Sinal no tempo continuo

Função de amostragem

Sinal amostrado no tempo discreto

2s

sT

Amostragem (Sampling)

1s

s

fT

Ts

Ts

• O sinal amostrado pode ser representado como um trem deimpulsos ponderados com período Ts

5

( )p s sn

x t x nT t nT

Amostragem (Sampling)

Ts

• Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é:

Com frequência máxima de M

6

Análise da Amostragem na Frequência

7

Para analisar o que acontece com o produto no tempo e nafrequência, se deve utilizar as propriedades de convolução daTransformada de Fourier

Análise da Amostragem na Frequência

( )* ( ) ( ) ( )

1( ). ( ) ( )* ( )

2

F

F

x t p t X P

x t p t X P

• A transformada de Fourier de uma sequência de impulsos é:

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2( ) ( )F

sks

p t P kT

Análise da Amostragem na Frequência

Ts

2

sT

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Domínio do Tempo

( ) ( ) ( )

( )

( )

p

sn

p s sn

x t x t p t

p t t nT

x t x nT t nT

Domínio da Frequência

1( ) *

22

( )

1 2( ) *

2

1( )

p

sks

p sks

p sks

X X P

P kT

X X kT

X X kT

Sequência periódica

Análise da Amostragem na Frequência

• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado nafrequência é equivalente a replicar o espectro original emmúltiplos da frequência de amostragem s

10

Análise da Amostragem na Frequência

1( )

s

XT

1( )s

s

XT

1

( 2 )ss

XT

• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado porXp()

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( )p s sn

x t x nT t nT

Sequência Amostrada no Tempo

Sequência Amostrada na Frequência

Análise da Amostragem na Frequência

1( )p s

ks

X X kT

1( )

s

XT

1( )s

s

XT

1( 2 )s

s

XT

Ts

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Teorema da Amostragem

• Amostragem no dominio da frequência

2M s M

M s

M=Freq. Máxima

s=Freq. Amostragem

Condição para que não haja superposição de espectros

1

sT

2

sT

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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos

• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.

( )( ) | ( ) | jH H e

Filtro Passa-Baixa

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1c RC

H(): Função de transferência do sistemac : Frequência de corte

15

Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos

A recuperação do espectro original X() pode serrealizada utilizando um filtro passa-baixa comfrequência de corte:

2S

c

Transf. Inversa de

Fourier

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• Se:

“Efeito Aliasing”

• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()

2s M M

s M

Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)

1

sT

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• Define-se o Teorema da Amostragem:

– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0para ||>M.

– Então x(t) é unicamente determinada por suas amostras no domínio discreto x(nTs), se:

22 :s M s

s

comT

12 :s M s

s

f f com fT

Teorema da Amostragem

18

Exemplo 1

• Para o sinal• Com frequência de amostragem fs=8000 Hz

1 kHz-1 kHz

19

Exemplo 1

• Sinal amostrado a fs=8000 Hz

20

• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possívelreconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostrasdiscretas.

Teorema da Amostragem

Ts

2Ts 4Ts 6Ts 8Ts 10Ts 12Ts

nTs

21

Teorema da Amostragem

• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possívelreconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostrasdiscretas.

nTs2Ts 4Ts 6Ts 8Ts 10Ts 12Ts

22

Reconstrução de Sinais

• A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperaçãodo sinal analogico a partir das amostras do sinal.

• Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo.

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Reconstrução de Sinais

• Primeiramente, o sinal discreto processado x(n) se converteem um trem de impulsos xs(t) cuja amplitude éproporcional à saída discreta x(n).

• Dois impulsos consecutivos são separados com um períodode amostragem Ts

• Finalmente, aplica-se um filtro analógico de reconstruçãopara a recuperação das amostras do sinal xs(t), obtendo-seo sinal recuperado.

24

Reconstrução de Sinais

25

Reconstrução de Sinais

• Para um sinal x(t) com espectro

• A recuperação do sinal depende da frequência deamostragem escogida.

26

Reconstrução de Sinais

• Caso 1: fs=2fmax

27

Reconstrução de Sinais

• Caso 2: fs≥2fmax

A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por

2s

c

fB f

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Reconstrução de Sinais

• Caso 3: fs<2fmax

Conversor ADC – Tipo FLASH

• Está composto por uma tensão de referência,comparadores lógicos e uma unidade lógica.

• Por exemplo para um ADC de 2 bits

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Conversor ADC – Tipo FLASH

• Este conversor tem uma alta velocidade de conversão,devido a que todos os bits são aquiridos ao mesmo tempo

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Quantização

• A quantização é o processo de converter um nível de tensãoanalógico com precisão infinita a uma precisão finita.

• Por exemplo, se o processador digital tem 3-bits, asamplitudes podem ser convertidas em oito diferentesníveis.

• Um Quantizador Unipolar, trabalha com sinais de 0 volt auma tensão de referência positivo.

• Um Quantizador Bipolar, tem uma faixa de tensão desdeuma referência negativa a uma positiva.

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Quantización

xmax = valor máximo de tensão do sinal analógico xxmin = valor mínimo de tensão do sinal analógico xL = número de níveis de quantização#Bits = número de bits do conversor ADC = passo de quantização ou resolução do conversor ADCxq = níveis de quantizaçãoi = indica o índice correspondente do código binário

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max min

min

min

2

0,1,..., ( 1)

Bits

q

x xL

Lx x

i round

x x i i L

Erro de Quantização

• Quando o sinal de entrada x, se quantiza a xq, tem-se umerro de quantização definido como o erro de quantização:

• Limites do erro de quantização

33

q qe x x

2 2qe

Erro de Quantização

• O erro de quantização tem uma distribuição uniformequando o é muito menor que a faixa dinâmica do sinalamostrado e com um número suficiente de amostras.

• Baseado na teoria de probabilidades e variáveis aleatórias,a potencia do ruído de quantização é dado por:

Em que: E(.) é o operador de média

34

2

2

12qE e

Erro de Quantização

• A relação de potência sinal a ruído de quantização (SNR)

• Em decibelios

35

2

2q

E xSNR

E e

10

2

10 102

10

10

10 10/12

10.79 20

dB

rmsdB

q

rmsdB

SNR Log SNR

E x xSNR Log Log

E e

xSNR Log

1 12 2

0 01 1

2 2

0 0

1( ) ( )

1( ) ( )

N N

n nN N

q qn n

x n x nN

SNRe n e n

N

Quantizador Unipolar

36

max

min

8

0

3

2 8Bits

x

x

Bits

L

Erro de Quantização

min 0,1,...,7qx x i i

Quantizador Unipolar

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Quantizador Bipolar

38

Erro de Quantización

max

min

4

4

3

2 8Bits

x

x

Bits

L

min 0,1,...,7qx x i i

Quantizador Bipolar

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Exemplo 2

• Para um ADC de 3-bit com intervalo de entrada de 0 a 5 volt

• Para o nível de tensão do sinal de entrada x=3,2 volt

40

max min5 0

3 2 8

5 00,625

8

Bits

x x

Bits L

volt

min

3,2 0(5,12) 5

0,625

0 5 0,625 3,125

q

q

i round round

x x i

x volt

Exemplo 2

• Para a tensão x=3,2 volt o valor da tensão quantizado é

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3,125qx v

3,125 3,2

0,075

q q

q

q

e x x

e

e v

0,075 0,31252qe v

Limite do eq

Exemplo 3

• Para um sinal analógico

• Utilizando um quantizador Bipolar

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( ) .sin 2 1000x t A t

10

10 10

0,707

2

2

0,70710,79 20

2

2

0,70710,79 20 20 2

2

1,76 6,02 ( )

rms

Bits

dB

Bits

dB

dB

x A

A

ASNR Log

A

SNR Log Bits Log

SNR Bits dB

1010,79 20 rmsdB

xSNR Log