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El teorema de Pitaacutegoras y el teorema de ThalesInstrumento de evaluacioacuten desde de las Pruebas Saber

Juan Samuel Rangel LuengasCoacutedigo 186381

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Bogotaacute DCjunio de 2011

Trabajo de tesis para optar al tiacutetulo deMagister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales

DirectorMyriam Margarita Acevedo Caicedo

Magister

Tiacutetulo en espantildeolEl teorema de Pitaacutegoras y el teorema de Thales Instrumento de evaluacioacuten desde de lasPruebas Saber

Title in EnglishThe Pythagorean Theorem and the theorem of Thales Assessment tool from the PruebasSaber

Resumen Propuesta de evaluacion utilizando items tipo prueba Saber referentes a losTeoremas de Thales y Pitaacutegoras para ello se estudian las evaluaciones externas nacionalese internacionales

Abstract Proposal evaluation using Prueba Saber type items concerning TheoremsThales and Pythagoras for it examines the external evaluations of national and interna-tional and proposes an evaluation tool

Palabras clave Evaluacioacuten Pruebas externas Teorema de Thales Teorema de Pitaacutegoras

Keywords Evaluation External testing Thales Theorem Pythagorean Theorem

Nota de aceptacioacuten

Trabajo de tesis

Jurado

Director

Bogotaacute DC Junio de 2011

Dedicado a

Todas las personas que me han apoyado incondicionalmente toda mi familia y enespecial a ti Natalia

Agradecimientos

Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos

Iacutendice general

Iacutendice general I

Introduccioacuten III

1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1

11 La evaluacioacuten formativa 1

12 La competencia en matemaacutetica 4

13 Evaluaciones Externas 6

131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6

14 Prueba Externas Nacionales 8

141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8

15 Pruebas Internacionales 9

151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9

152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12

16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13

2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24

21 Congruencia 24

211 Congruencia de segmentos 24

2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25

2112 Longitud de segmentos 25

212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25

213 Congruencia de triaacutengulos 26

IacuteNDICE GENERAL II

214 Criterios 27

215 Teorema 1 (LAL) 27

216 Teorema 2 (ALA) 27

217 Teorema 3 (LLL) 28

22 Proyecciones paralelas 28

221 Teorema fundamental de paralelismo 29

23 Proyecciones Ortogonales 29

24 Proporciones 30

241 Razones y proporciones entre segmentos 30

242 Propiedades de las proporciones 30

243 Segmentos proporcionales 30

25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31

251 Teorema de Thales 31

252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32

26 Semejanza 33

261 Semejanza de triaacutengulos 34

262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35

27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35

271 Teorema de Pitaacutegoras 35

272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36

273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36

3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40

Conlusiones y Recomedaciones 49

Bibliografiacutea 51

Introduccioacuten

En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias

En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas

A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados

Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo

Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar

y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos

INTRODUCCIOacuteN IV

referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras

En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula

En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo

CAPIacuteTULO 1

EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES

En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales

ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1

ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2

11 La evaluacioacuten formativa

Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica

1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa

2Ibid paacuteg13

CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2

que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten

ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4

El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten

ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5

ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6

Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje

ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo

3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el

impacto y los resultados del programa)[6]

estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8

Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos

ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9

Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10

En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-

8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]

10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado

luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros

Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11

Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa

Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12

Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia

12 La competencia en matemaacutetica

A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13

ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo

11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo

12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11

que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto

ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15

ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16

ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17

ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18

Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida

14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]

ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19

Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa

13 Evaluaciones Externas

Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones

En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas

131 Coacutemo han cambiado las pruebas

ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20

Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21

19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]

ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22

Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje

ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23

Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber

ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24

ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran

22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4

una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25

14 Prueba Externas Nacionales

Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro

141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once

Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN

El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo

ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26

En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten

Pensamientos

Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones

25Ibid pag 126Ibid

en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten

Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud

Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas

Competencias especiacuteficas

Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas

El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas

La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones

Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones

15 Pruebas Internacionales

Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE

151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)

Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como

ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse

con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27

En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas

Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico

Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten

En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten

152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)

28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias

El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado

27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption

Figura 12 Capacidades PISA

Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS

La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado

1521 Grado 4

Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones

Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento

Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten

1522 Grado 8

Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje

Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones

Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento

Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad

Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes

153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)

La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto

Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos

Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado

Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten

Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable

Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber

29httpwwwicfesgovcoserce

16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas

Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30

I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple

Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula

Figura 14

Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes

son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes

son proporcionales

ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes

Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1

Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS

Figura 15

ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico

Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque

Figura 16

A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies

ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples

Use la figura siguiente para responder la pregunta

Figura 17

Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas

Use la siguiente figura para responder la pregunta

Figura 18

La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)

ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador

El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG

Figura 19

iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG

ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas

En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales

Figura 110

De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes

A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC

ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia

En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w

Figura 111

iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta

A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas

ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento

Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes

Figura 112

iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico

En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm

Figura 113

iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)

I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC

A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente

ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas

En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes

Figura 114

A La medida de angJ es 40

B La medida de ang J es 95

C La medida de ang K es 40

D La medida de ang K es 95

ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11

En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY

Figura 115

Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes

A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX

ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1

En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados

Figura 116

iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes

A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX

ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten

II Iacutetems respuesta abierta

La figura muestra el triaacutengulo 4RST

Figura 117

bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT

bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies

1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta

2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta

3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta

4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-

puesta

ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico

En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes

Figura 118

Figura 119

El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo

bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD

ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten

bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque

CAPIacuteTULO 2

ASPECTOS DISCIPLINARES

Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]

21 Congruencia

El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales

211 Congruencia de segmentos

Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales

Figura 21

Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la

CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25

misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo

2111 Algunas implicaciones de los axiomas

I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva

II Es posible comparar segmentos y definir punto medio

Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP

Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB

2112 Longitud de segmentos

Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)

Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo

Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)

Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)

Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)

Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)

212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas

Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute

1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)

Figura 22

Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)

2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo

Figura 23

Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo

Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos

213 Congruencia de triaacutengulos

Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo

214 Criterios

La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas

215 Teorema 1 (LAL)

Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo

Figura 25

Algunas consecuencias

Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes

Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes

Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos

217 Teorema 3 (LLL)

Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes

Figura 26

22 Proyecciones paralelas

Teorema

Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes

Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t

Figura 27

Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo

221 Teorema fundamental de paralelismo

Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante

Figura 28

Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG

23 Proyecciones Ortogonales

Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes

Figura 29

Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB

y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo

NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface

24 Proporciones

Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas

241 Razones y proporciones entre segmentos

Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a

b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a

b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y

d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b

242 Propiedades de las proporciones

En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios

Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten

Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten

Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten

Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten

Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador

243 Segmentos proporcionales

Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos

25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales

251 Teorema de Thales

Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Sean x = BCAB e y = EF

DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2

sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-

sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas

Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2

sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm

sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia

DD1sim=D1D2

sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm

sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m

Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como

la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F

luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional

mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC

AB=EFDE

252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales

Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en

Figura 212

n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a

DA1sim=A1A2

sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones

paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados

Figura 213

NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten

Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas

Figura 214

Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo

Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos

Figura 215

En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM

MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el

papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA

BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales

En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados

26 Semejanza

Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes

261 Semejanza de triaacutengulos

Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es

Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas

Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales

Figura 216

Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado

Figura 217

Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes

Figura 218

262 Casos de semejanza de triaacutengulos

1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes

2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales

3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes

27 Triaacutengulos rectaacutengulos

Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores

1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente

2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos

3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales

4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales

5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial

Figura 219

271 Teorema de Pitaacutegoras

En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos

Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD

AB y BCAC =CD

CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2

272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras

Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto

Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo

273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras

Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]

Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1

PITAacuteGORAS

Figura 220 Pitaacutegoras

1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]

PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles

Figura 221 Platoacuten

EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto

Figura 222 Ecuclides

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES

Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2

Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3

Figura 227 Algebraica 1

CAPIacuteTULO 3

PROPUESTA DIDAacuteCTICA

Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]

CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41

PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO

1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos

Figura 31

iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes

A BCsim=YZ y angCsim=angY

B ACsim=YZ y angBsim=angZ

C BCsim=YZ y angCsim=angY

D ABsim=XZ y angBsim=angZ

Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia

Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento

Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1

2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-

ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal

Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2

3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles

Figura 33

Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios

Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos

Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3

4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos

Figura 34

Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos

Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica

5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas

Figura 35

Las rectas m y n seriacutean paralelas si

A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR

conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas

interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio

Tabla 35 Comentarios iacutetem 5

6 En la figura 36 nm

Figura 36

Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con

A el aacutengulo Z

B el aacutengulo Y que mide 50

C el aacutengulo R que mide 35

D el aacutengulo X

Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas

Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico

7 Observa la figura 37

Figura 37

iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes

I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY

A I y II solamente

B II y III solamente

C I y III solamente

D I II y III

Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo

Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales

Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7

8 observa la figura 38

Figura 38

En la figura el valor de x es

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten

de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada

Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8

9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa

Figura 39

iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten

I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos

II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo

III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b

A con I solamente

B Con II solamente

C Con I y II solamente

D Con II y III solamente

Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-

mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto

10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD

Figura 310

iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

C I II y III solamente

D II III y IV solamente

Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida

una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales

Conlusiones y Recomedaciones

El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos

Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos

La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas

Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos

Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los

CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50

comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas

Bibliografiacutea

[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007

[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001

[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002

[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005

[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007

[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005

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[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008

[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010

[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007

[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997

[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011

[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008

BIBLIOGRAFIacuteA 52

[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009

[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006

[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009

[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011

[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006

Iacutendice general

Introduccioacuten

EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES

La evaluacioacuten formativa

La competencia en matemaacutetica

Evaluaciones Externas

Coacutemo han cambiado las pruebas

Prueba Externas Nacionales

De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once

Pruebas Internacionales

Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)

TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)

Grado 4

Grado 8

(SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)

Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas


Congruencia

Congruencia de segmentos

Algunas implicaciones de los axiomas

Longitud de segmentos

Congruencia de Aacutengulos Axiomas

Congruencia de triaacutengulos

Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)

Proyecciones paralelas

Teorema fundamental de paralelismo

Proyecciones Ortogonales

Proporciones

Razones y proporciones entre segmentos

Propiedades de las proporciones

Segmentos proporcionales

Rectas paralelas y segmentos proporcionales

Teorema de Thales

Algunas aplicaciones del Teorema de Thales

Semejanza

Semejanza de triaacutengulos

Casos de semejanza de triaacutengulos

Triaacutengulos rectaacutengulos

Teorema de Pitaacutegoras

Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras

Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras



Bibliografiacutea

Trabajo de tesis para optar al tiacutetulo deMagister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales

DirectorMyriam Margarita Acevedo Caicedo

Magister

Trabajo de tesis

Jurado

Director

Dedicado a

Agradecimientos

Iacutendice general

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

21 Congruencia 24

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Trabajo de tesis

Jurado

Director

Dedicado a

Agradecimientos

Iacutendice general

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

21 Congruencia 24

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Trabajo de tesis

Jurado

Director

Dedicado a

Agradecimientos

Iacutendice general

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

21 Congruencia 24

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Dedicado a

Agradecimientos

Iacutendice general

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

21 Congruencia 24

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Agradecimientos

Iacutendice general

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

21 Congruencia 24

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Iacutendice general

1521 Grado 4 11

1522 Grado 8 11

21 Congruencia 24

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

214 Criterios 27

24 Proporciones 30

26 Semejanza 33

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

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Iacutendice general

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Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Introduccioacuten

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

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Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

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BHASKARA

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

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BHASKARA

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

CAPIacuteTULO 1

2Ibid paacuteg13

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Pensamientos

25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Bibliografiacutea

Iacutendice general

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Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

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Proporciones





Teorema de Thales


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Bibliografiacutea

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25Ibid pag 126Ibid

1521 Grado 4

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Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

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Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

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Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Congruencia






Criterios

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Teorema 2 (ALA)

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Bibliografiacutea

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1521 Grado 4

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Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

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CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

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214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

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Figura 28

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24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

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luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

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AB y BCAC =CD

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Congruencia






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Figura 14

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Figura 15

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A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

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A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

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Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

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puesta

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CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

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Figura 22

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214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

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AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Bibliografiacutea

Iacutendice general

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Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

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1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

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CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

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Figura 213

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luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

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AB y BCAC =CD

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

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A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

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A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

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Teorema 2 (ALA)

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Figura 14

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Figura 15

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A 5B 5

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C 5radic

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Figura 18

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Figura 110

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A RTXZ = RT

B STY Z = SR

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Figura 115

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puesta

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Figura 26

Teorema

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AB = EFDE

Figura 210

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Entonces BCAB= mAA2

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AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

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luego BABM = BC

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A BABM =BC

B ACBM =BC

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A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

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Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

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I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

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A 5B 5

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puesta

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216 Teorema 2 (ALA)

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217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

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Figura 28

Figura 29

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AB = EFDE

Figura 210

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Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

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A BABM =BC

B ACBM =BC

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Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

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Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

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I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

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A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

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A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

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Figura 115

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puesta

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21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

1521 Grado 4

1522 Grado 8

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 14

son proporcionales

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 15

Figura 16

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 17

A 5B 5

radic2pies

C 5radic

3piesD 10 pies

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 18

Figura 19

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

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Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 110

Figura 111

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

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Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 112

A RTXZ = RT

B STY Z = SR

C RTY Z = RT

D RTXZ = RS

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 113

Figura 114

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 115

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 116

Figura 117

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

puesta

Figura 118

Figura 119

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

CAPIacuteTULO 2

21 Congruencia

Figura 21

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

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Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

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Iacutendice general

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Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 22

Figura 23

214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

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BHASKARA

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CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

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I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Teorema 1 (LAL)

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Proporciones





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214 Criterios

215 Teorema 1 (LAL)

Figura 24

216 Teorema 2 (ALA)

Figura 25

217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

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AB y BCAC =CD

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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217 Teorema 3 (LLL)

Figura 26

Teorema

Figura 27

Figura 28

Figura 29

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Figura 29

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AB = EFDE

Figura 210

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Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

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AB y BCAC =CD

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BHASKARA

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

24 Proporciones

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










Grado 4

Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

AB = EFDE

Figura 210

Demostracioacuten

Figura 211

Entonces BCAB= mAA2

nAA1= m

DD1sim=D1D2

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

Introduccioacuten










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Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




Proporciones





Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

AB=EFDE

Figura 212

DA1sim=A1A2

sim=B1B2sim=B2B3

sim=sim=Bmminus1B

Figura 213

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

B II y IV solamente

Bibliografiacutea

Iacutendice general

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Grado 8




Congruencia






Criterios

Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

Teorema 3 (LLL)




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Teorema de Thales


Semejanza









Bibliografiacutea

Figura 214

Figura 215

luego BABM = BC

BN o BMAB = BN

26 Semejanza

Figura 216

Figura 217

Figura 218

Figura 219

AB y BCAC =CD

PITAacuteGORAS

BHASKARA

Figura 223 Bhaskara

CAPIacuteTULO 3

Figura 31

Figura 32

A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

Figura 37

A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

Figura 310

I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

A I y III solamente

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Teorema 1 (LAL)

Teorema 2 (ALA)

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Figura 217

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Figura 31

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

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A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

Figura 39

A con I solamente

B Con II solamente

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I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

III 4ADE 4ABC

IV EAsim=BC

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AB y BCAC =CD

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BHASKARA

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

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Figura 36

A el aacutengulo Z

D el aacutengulo X

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A I y II solamente

C I y III solamente

D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

C 5213

D 2513

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A con I solamente

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I ang1sim=ang5 ang

II sim=ACD4DFC

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B ACBM =BC

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A ACsim=XY

B angAsim=angB

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B 6013

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B ACBM =BC

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A el aacutengulo Z

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A 14413

B 6013

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B ACBM =BC

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A ACsim=XY

B angAsim=angB

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D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

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B ACBM =BC

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B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

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A 14413

B 6013

C 5213

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B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

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Figura 35

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A el aacutengulo Z

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B 6013

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I ang1sim=ang5 ang

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A BABM =BC

B ACBM =BC

C BABM =BC

D BAMN =BC

Figura 33

A ACsim=XY

B angAsim=angB

C angCsim=angZ

D BAsim=YX

Figura 34

A angZsim=angC

B XYsim=CA

C ZYsim=CB

D angAsim=angZ

Figura 35

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A el aacutengulo Z

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A I y II solamente

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D I II y III

Figura 38

A 14413

B 6013

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B ACBM =BC

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A ACsim=XY

B angAsim=angB

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D BAsim=YX

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C ZYsim=CB

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B 6013

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Documents

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