Aula 05 - Tensões Principais e de Cisalhamento Máximo

8/18/2019 Aula 05 - Tensões Principais e de Cisalhamento Máximo

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Professor Maurício P. Ferreira

Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.


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.

O estado geral de tensões em um ponto podeser representado por 6 componentes

, , , ,

( , , )

σ σ σ

τ τ τ

τ τ τ τ τ τ = = =

O mesmo estado de tensões pode serrepresentado por um conjunto diferente decomponentes se os eixos forem rotacionados.


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.

Seja o Ponto Q, sujeito a um Estado Plano deTensões:

Determinar as componentes de tensão

No caso de uma rotação em torno do eixo z

, , σ σ τ

', ', ' σ σ τ θ


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.

'

'

=

=

∑∑

'

σ σ σ σ σ θ τ θ

+ −= + +

' '

σ σ τ θ τ θ

−= − +

'


+ −= − −

σ σ σ σ +=+ ''

Equações deTransformação


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. ( )


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.

Equações de Transformação paratensão plana mostram que:

' ' ' ', σ σ τ θ

Tensões normais e de Cisalhamentoatingem valores máximos e mínimos

em intervalos de 90º; Valores máximos e mínimos sãonecessários para o dimensionamentode estruturas em geral.


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1. No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Umexemplo típico é a função velocidade querepresenta a taxa de variação (derivada) dafunção deslocamento. Do mesmo modo, a

função aceleração é a derivada da função velocidade;

2.A derivada é a inclinação de uma reta tangentea função em um dado ponto;

3.Quando ela é igual a zero, marca pontos demáximo e mínimo de uma função

4.Derivadas de funções Trigonométricas:

'

'

== −


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.

Tensões máxima e mínimas são chamadas de tensões principais;

Obtidas através das equações de transformação:

'


+ −= + +

( )

( )

'

σ σ σ θ τ θ

θ

σ σ θ τ θ

−= ⋅ − + =

= − − + ⋅

( )

τ θ

σ σ

⋅=

−θ


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.

Dois valores de θ no intervalo de , que diferem por ,com um valor entre e outro entre ;

Logo, θ tem dois valores que diferem por , sendo um entre

e outro entre .

( )

τ θ

σ σ

⋅=

−

( ) ( )

α α α α α α

α

⋅= ∴ ⋅ + ⋅ − =−

( ) ( )( ),

α α α

α

− ± − ⋅ ⋅ − = ⋅


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.

Como os valores θ e θ diferem por , conclui-se que:

“As Tensões Principais ocorrem em planosmutuamente perpendiculares”.

( )

τ θ

σ σ ⋅=−

( ) σ σ

τ −

= +

σ σ θ

τ θ

−=

⋅

=


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.

Substituindo θ e θ em:

( ) σ σ τ − = +

σ σ θ

τ

θ

−=

⋅

=

'

'

σ σ σ σ σ σ θ τ θ

σ σ σ σ σ σ τ σ σ τ

+ −= = + +

+ − − = = + ⋅ +

⋅

Após substituir e fazer manipulações algébricas:

( )

σ σ σ σ σ τ

+ − = + +

σ σ σ σ + = +

( )

σ σ σ σ

σ τ + −

= − +

( ),

σ σ σ σ σ τ

+ − = ± +


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.


13/21

.


14/21

.


15/21

.


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.

( ) σ σ θ τ θ = − − + ⋅Se fizermos , obtém-se a equação:' ' τ =

( )'

σ σ σ θ τ θ

θ

−= ⋅ − + =

Anteriormente, ao derivar a tensãonormal em relação ao ângulo:

Obteve-se a mesma Equação:

Resolvendo-se a equação para θ , obtém-se amesma expressão para θ ( )

τ θ

σ σ

⋅

= −

' '

σ σ τ θ τ θ

−= − +

Uma importante característica do planode tensões principais pode ser obtidaatravés da Equação:

( ) σ σ θ τ θ = − − + ⋅


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.

“Os ângulos em relação aos planos de tensão decisalhamento nulas são os mesmos ângulos em

relação aos planos de tensões principais”;

“As tensões de cisalhamento são nulas no plano principal”.


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.

( )

( )

' '

' '

σ σ τ θ τ θ

τ σ σ θ τ θ

θ

τ θ σ σ θ

−

= − +

= − − − ⋅ =

− ⋅ = −

Para determinar as Tensões de Cisalhamento Máximas e os planos queelas agem, deve-se adotar o mesmo procedimento, e derivar a equaçãode transformação obtida anteriormente:

σ σ θ

τ

−= −

⋅

θ


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.

Comparando as equações para obter os ângulos , vê-se que:

σ σ θ

τ

−= −

⋅

θ θ

( )

τ θ

σ σ

⋅=

−

θ θ θ

= − = −

É possível então estabelecer uma relação entre os ângulos : θ θ

( )

( )

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ

+ = × ⋅

⋅ + ⋅ =− =

− = ±

θ θ = ±


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.

Mostra que os planos de tensão de cisalhamento máximaocorrem a em relação aos planos principais. θ θ = ±

σ σ θ

τ

−= −

⋅

τ θ =

σ σ θ

−= −

⋅ ( ) σ σ

τ −

= +

' '

σ σ τ θ τ θ

−= − +

Com a equação da tangente de podem ser obtidas novas relações senoe cosseno:

θ

Substituindo R e seno e cosseno na equação abaixo:

( )

σ σ τ τ

− = +


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.

σ σ

τ −=

Alternativamente, a tensão de cisalhamento máxima pode ser calculadaem função das tensões principais:

Nos planos das tensões de cisalhamento máximo existem também tensõesnormais;

Essas tensões podem ser determinadas com a equação:

σ σ σ

+=

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