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Cisalhamento Máximo
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• Exemplo 1: Para o elemento em um estado plano de
tensões indicado,
determinar (a) os planos de tensão principal, (b) as tensões
principais, (c) a
tensão de cisalhamento máxima e as tensões normais
correspondentes.
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• Exemplo 1:
( ) ( )2 2 40
tan 2 1,3350 ( 10)
xy
P
x y
τ θ
σ σ
⋅ ⋅= = =
− −−
( ) ( )21,33 tan 2 tan 1,33 0θ θ ⋅ + ⋅ − =
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1,2
1,2
2 2 4 tan 2 tan 2 2 2 4 1,33 1,33arctan arctan
2 tan 2 2 1,33
arctan 0,5 26,6
θ θ θ
θ
θ
− ± − ⋅ ⋅ − − ± − ⋅ ⋅ −= =
⋅ ⋅
= =
(a) os planos de tensão principal
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPa x y xyσ σ τ = = − =
( ) ( )2
2
2 tantan2
1 tan
tan 2 tan 2 tan tan 2 0
θ θ
θ
θ θ θ θ
⋅=
−⋅ + ⋅ − =
26,6 , 116,6 pθ = ° °
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• Exemplo 1:
(b) Tensões Principais
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPa x y xyσ σ τ = = − =
( ) ( )
2
2
max,min
2
2
max,min
max,min
max
min
2 2
50 10 50 1040
2 2
20 50
70 MPa
30 MPa
x y x y
xy
σ σ σ σ σ τ
σ
σ
σ
σ
+ − = ± +
+ − − − = ± +
= ±
= +
= −
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• Exemplo 1:
(b) Tensões Principais (solução alternativa)
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPa x y xyσ σ τ = = − =
( ) ( )'
50 10 50 10.cos 2 26,6 40. 2 26,6
2 2 x
senσ + − − −
= + ⋅ + ⋅
max 70 MPaσ =
( )
' '
' 50 10 70
y x y x
y
σ σ σ σ
σ
= + −
= + − −
min 30 MPaσ = −
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• Exemplo 1:
(c) Tensões de Cisalhamento Máxima
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPa x y xyσ σ τ = = − =
( )50 102 2
x y
méd
σ σ σ σ
+ + −′ = = =
• Tensões normais correspondentes
MPa20=′σ
( )
( ) ( )
22
2 2
max
2 2
max
50 1040
2 2
30 40
x y
xy
σ σ τ τ
τ
− − − = + = +
= +
MPa50max =τ
45−= p s θ θ °°−=
6.71,4.18 sθ
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• Exemplo 1:
(c) Tensões de Cisalhamento Máxima (solução alternativa)
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPa x y xyσ σ τ = = − =
( )1 2
max
70 30
2 2
σ σ τ
− −−= =
45−= p s θ θ °°−=
6.71,4.18 sθ
max
50 MPaτ =
( )50 10
2 2
x y
méd
σ σ σ σ
+ + −′ = = =
• Tensões normais correspondentes
MPa20=′σ
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Exemplo 2: Uma parede estrutural de um edifício em
concreto está submetida auma carga vertical uniforme de intensidade
q e a uma força horizontal H, conforme
indicado abaixo. Como consequência destas forças, as tensões no
ponto A da
superfície da parede assumem os valores indicados na segunda
figura (tensões de
compressão na direção vertical, com intensidade de 1.100 psi e
tensões cisalhantes
no sentido horário com intensidade de 480 psi). Determinar:
a) As tensões principais e indicá-las em um esboço;
b) A tensão máxima de cisalhamento e as tensões normais
associadas e indica-las em
outro esboço.
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Exemplo 2:
( ) ( )2 2 480tan 2 0,87
0 ( 1100)
xy
P
x y
τ θ σ σ
⋅ ⋅ −= = = −− −−
( ) ( )2
1,2
1
2
2 2 4 0,87 0,87 2 2,65tan
2 0,87 1,75
20,6º
69,4º
P
P
θ
θ
θ
− ± − ⋅ − ⋅ − ±= =
⋅ − −
= −
=
(a) Tensões Principais
0 ; 1100 psi ; 480 psi x y xyσ σ τ = = − = −
( ) ( ) ( )
2
2
max,min
max,min
max
min
0 1100 0 1100480
2 2
550 730
180 psi
1280 psi
σ
σ
σ
σ
+ − − − = ± + −
= − ±
= +
= −
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Exemplo 2:
(b) Tensão de Cisalhamento Máxima
0 ; 1100 psi ; 480 psi x y xyσ σ τ = = − = −
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• Exemplo 3: Uma força
horizontal P de 150 lb é aplicada no
ponto D da
Alavanca ABD. Determine (a) a tensão normal e a tensão
cisalhante em um
elemento no ponto H tendo lados paralelos aos
eixos x e y, (b) as tensões e os
planos principais no ponto H .
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• Exemplo 3:
(a) Tensões Normais e Cisalhantes Elemento no ponto
H
( ) ( )
( ) ( )
150lb
150lb 18in 2,7 kip in
150lb 10in 1,5kip in
y
x
P
T M
M
=
= = ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅• Tensões no ponto H .
( ) ( )
( )( )( )
( )
41
4
412
1,5 kip in 0,6in
0,6in
2,7 kip in 0,6in
0,6in
x y
xy
M c
I
Tc
J
σ
π
τ
π
⋅ ⋅⋅= + = +
⋅
⋅= + = +
⋅
ksi96.7ksi84.80 +=+== y y x
τ σ σ
• Esforços no ponto H .
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• Exemplo 3:
(b) Tensões e Planos Principais
( )
°°−=
−=−
=−
=
119,0.612
8.184.80
96.7222tan
p
y x
xy p
θ
σ σ
τ θ
°°−=5.59,5.30 p
θ
( )22
22
minmax,
96.72
84.80
2
84.80
22
+
−±+=
+
−±
+= xy
y x y xτ
σ σ σ σ σ
ksi68.4
ksi52.13
min
max
−=
+=
σ
σ
![MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO GRADIENTE DE … · calcular parâmetros importantes para este tipo ... d 4 [15] As tensões de cisalhamento do filme de ... Cohen e Hanratty [1968 apud](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5b939d2709d3f27f5d8da89c/modelagem-e-simulacao-do-gradiente-de-calcular-parametros-importantes-para.jpg)
