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Atrito em escala nanometricaUm estudo por simulacao
RODRIGO ALVES DIAS
Maio de 2007
Atrito em escala nanometricaUm estudo por simulacao
RODRIGO ALVES DIAS
Orientador: Prof. Dr. Bismarck Vaz da Costa
Co-orientador: Prof. Dr. Pablo Zimmermmann Coura
Tese apresentada aUNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS,como requisito parcial para a obtencao do grau de
DOUTOR EM CIENCIAS.
Maio de 2007
Pensamentos
Eu sou aquilo queatravessa grades,move montanhas.
Possuo toda a forca eleveza.
Eu sou o Pensamento,Sou as ideias em movimento.
Agradecimentos
Ao Bismarck, por sua dedicacao e competencia como orientador.
Ao Pablo, por sua dedicacao e competencia como co-orientador.
Aos meus irmaos Romulo e Rogerio(Em Memoria).
A Priscila que em muito me ajudou nos momentos difıceis.
A todos os meus tios(as), primos(as) e parentes em geral.
Aos colegas do Grupo de simulacao Flavio, Anderson, Marcela, Mol, Julio e
todos os alunos de iniciacao cientıfica, pela ajuda e paciencia .
Aos funcionarios do departamento de Fısica, pessoal das secretarias e bib-
liotecarias, em especial Marluce, Edina e Perpetua.
A todos os professores que ajudaram na minha formacao na UFMG e UCB
em especial ao Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito e Prof. Dr. Araken Verneck
Ao professor Ricardo Vagner pela ajuda e disposicao.
Aos irmaos Luiz Gustavo, Cabelo, Philippe, Braulio, Lauro, Arapiraca, Damiao,
Marquim, Mario, Custela, dentre outros.
As amigas Mariana, Mada, Julia.
Ao pessoal da lama: Gordinho, Thiago e Ana Julia, Lets , Para, Schneider,
Herildo, Breno, Alvaros, Humberto, Claudiao, Indhira, Moises, Rafael, Clarissa,
Gabriela, Mancebo, Vinıcius, Alex, Alexandre, Miquita e outros que eu porventura
tenha esquecido.
Aos colegas da pos-graduacao.
Ao CNPq, que financiou este trabalho.
ii
Resumo
Nesta tese estudamos o fenomeno do atrito, em escalas nanometricas, sob as-
pectos como a influencia da temperatura, velocidade, forcas normais e a contribuicao
de graus de liberdade magneticos. Nosso trabalho tem duas vertentes principais:
Na primeira parte do trabalho propomos um modelo tri-dimensional para de-
screver as forcas de atrito. Esse novo modelo tem como ponto de partida os trabalhos
anteriores de Gnecco, Riedo e Sang et. al.[40, 41, 42, 43] e inclui a dependencia das
forcas normais. Com isso conseguimos definir de forma consistente o que chamamos
de coeficiente de atrito dinamico. A eficacia do modelo e comprovada utilizando-se
simulacoes de dinamica molecular e resultados experimentais.
Na segunda parte, procuramos determinar qual a contribuicao de graus de
liberdade magneticos para o atrito. Este ponto e importante quando se trata do
movimento relativo de duas superfıcies magneticas como e o caso de leitoras de discos
e fitas magneticos. Suspeitamos que quando duas superfıcies magneticas se deslocam
proximas umas a outra, vortices sao desenvolvidos nas respectivas superfıcies, como
um mecanismo de dissipacao. Para estudar este fenomeno simulamos duas redes
magneticas que podem se deslocar, uma relativa a outra. Usando dinamica de
spins e dinamica molecular, fazemos a evolucao temporal do sistema, calculando as
grandezas de interesse a cada passo de tempo.
iii
Abstract
In this tese we study the friction phenomenon in nanometric scale under certain
aspects such as: the temperature, normal applied force, velocity and the contribu-
tions of magnetic degrees of freedom. Our work has two main sources:
In the first part of the work we consider a three-dimensional model to describe
the friction forces. This new model has as starting point the previous works of
Gnecco, Riedo and Sang et. al.[40, 41, 42, 43] and includes the dependence of the
normal forces. With this we obtain to define of consistent form what we call coeffi-
cient of dynamic friction. The effectiveness of the model is proven using molecular
dynamics simulations and experimental results.
In the second parte of this work, we intended to determine the influence of
magnetic degrees of freedom on the friction. This is an important point when, we
are dealing with two magnetic surfaces in relative movement, as in case of magnetic
records and ribbons readers. We suspect that when two magnetic surfaces dislocate
close to one another, vortices are developed in the respective surfaces, as a waste
mechanism. To study this phenomenon we simulate two magnetic nets that can be
dislocated, one relative to another. Using Classical Spin Dynamics and Molecular
Dynamics we have made the system temporal evolution, calculating the important
physical quantities in each time step.
iv
Conteudo
PENSAMENTOS i
AGRADECIMENTOS ii
RESUMO iii
ABSTRACT iv
1 Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Observacoes Fenomenologicas ou Teorias Classicas de Atrito . 2
1.2 Motivacao - Atrito e Desgaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 “Ploughing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Atrito Sem Desgaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Visao Moderna do Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Microscopia por Forca Atomica-AFM . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Microscopia por Forca de Atrito - FFM . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Microscopia por Forca Magnetica - MFM . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Modelos Teoricos - Analise moderna do Mecanismo de Tomlinson . . 17
1.4.1 Modelo de Tomlinson Unidimensional-MTU . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Modelo de Tomlinson Bidimensional - MTB . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Dependencia com a Velocidade e Temperatura . . . . . . . . . 23
1.4.4 Analise qualitativa para as taxas de transicoes entre regioes
de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.5 Definicao da barreira de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.6 Calculo das forcas de atrito baseado no MTU. . . . . . . . . . 27
i
1.4.7 Dependencia da barreira de energia com a forca normal e in-
fluencia nas forcas de atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.8 Calculo dos Parametros para a Modelo Analıtico . . . . . . . . 34
2 Dinamica Molecular(DM) 41
2.1 Introducao - Simulacoes Atomicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Divisao Celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Tabela de Vizinhos de Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Configuracao Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Algoritmo de Integracao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Controle de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1 Renormalizacao de Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Potenciais de Interacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8.1 Potencial (12-6) de Lennard-Jones(LJ) . . . . . . . . . . . . . 48
2.8.2 Corte em Potenciais - Potencial (12-6) LJ Modificado . . . . . 49
2.9 Unidades Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 52
3.1 Simulacao de uma Superfıcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1 Termodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Detalhes da simulacao de FFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Resultados da Simulacao de FFM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Dependencia com a Temperatura e Forca Normal . . . . . . . 55
3.3.2 Dependencia com a Velocidade e Forca Normal . . . . . . . . 63
3.3.3 Dependencia com a Temperatura e Velocidade. . . . . . . . . 65
4 Atrito em Dispositivos Magneticos 67
4.1 Movimento Relativo entre duas Superfıcies Magneticas . . . . . . . . 74
4.1.1 Resultados das Simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Conclusoes e Perspectivas. 85
5.1 Conclusoes para as simulacao de FFM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
ii
5.2 Conclusoes para as simulacao de
Atrito em Dispositivos Magneticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A Apendice 88
A.1 Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.2 Graficos da Forca de atrito como funcao do tempo. . . . . . . . . . . 89
A.3 Artigos Publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.4 Artigos a serem Submetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
iii
Lista de Figuras
1.1 Modelo baseado nas irregularidades das superfıcies propostas por Leonhard Euler. . . . . . . 3
1.2 O mecanismo de Ploughing(a),similar a um processo de litografia(b).[1, 2] . . . . . . . . . 6
1.3 (a) Desenho esquematico do princıpio de funcionamento da tecnica de AFM. O fotodetector
monitora a deflexao da alavanca durante a varredura atraves da mudanca na reflexao de um
feixe de Laser incidente. (b) Curva esquematica mostrando a dependencia da forca de interacao
sonda-amostra em funcao da separacao entre elas. Note que esta curva se assemelha bastante a
uma curva de forca derivada de um potencial (12-6) de Lennard-Jones(Capıtulo 2)[1]. . . . . 9
1.4 Figura ilustrativa dos modos de operacao do aparato da AFM.[2] . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 (a) Desenho esquematico do princıpio de funcionamento da tecnica de FFM.[18] . . . . . . . 10
1.6 Forca de atrito como funcao da posicao x do cantilever(Esquerda) e geralmente conhecido como,
Loop de forca de atrito. Forca normal como funcao da posicao z do cantilever(Direita) e geral-
mente conhecido como, Loop de forca normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Posicao de equilıbrio,(qx,x)(esquerda) e a troca dos eixos (x,qx)(direita) para c < ccrit(linha
cheia) e c > ccrit(linha pontilhada). Perceba que para c < ccrit no grafico de (x,qx), nao
podemos definir uma funcao qx = f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 A relacao VTot(x) comparado com a relacao qx(x) para c < ccrit(esquerda) e c > ccrit(direita).
A continuacao instavel de qx(x) e VTot(x) e mostrada (Linha Pontilhada). O contorno da
energia e mostrado em uma varredura para a direita na linha cheia. Saltos ocorrem na posicao
dx(qx)/dqx = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Mapeamento (qx, qy) 7→ (x(qx, qy), y(qx, qy), VTot(qx, qy)) para c < ccrit(esquerda) e c >
ccrit(direita). Os pontos em verde representam as posicoes crıticas em que a equacao (1.28) e
satisfeita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
iv
1.10 Potencial Total(VTot, definido pela eq. 1.16) e potencial de interacao ponta-substrato(VSub,
definido pela equacao. 1.17), usado no modelo de Tomlinson Unidimensional em quatro difer-
entes posicoes do cantilever. Note que a medida que o cantilever se move para a direita(1 → 4),
a barreira de energia que impede um salto irreversıvel diminui ate que a partıcula salta para o
proximo mınimo e o processo se repete.[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11 Potencial VTot usado no modelo de Tomlinson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Figura ilustrativa para os pontos de maximo e mınimo do potencial proximos do ponto crıtico. . 29
1.13 Os parametros µ0x = µ0y = µ0 (esquerda), λ1(centro) e Uint(~q‖ = (a1, a1), qz)(direita) como
funcao de qz para θ = 0, σts = 1.2σss, εts = 0.5εss(linha cheia) , 0.1εss(linha pontilhada). . . 37
1.14 Forca de atrito(esquerda) e coeficiente de atrito(direita) como funcao da velocidade para difer-
entes valores da forca normal definidos pelas equacoes (1.63) e (1.65). (◦)fN1 < (¤)fN2 <
(¦)fN3 < (M)fN4 < (∗)fN5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.15 Resultados experimentais apresentados porRiedo et.al. [42] para a forca de atrito como funcao
do logaritmo da velocidade para diferentes valores da forca normal. Os pontos sao os resultados
experimentais e as linhas sao os ajustes baseados no modelo unidimensional apresentado nas
secoes anteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.16 Forca de atrito(esquerda) e coeficiente de atrito(direita) como funcao da forca normal para 4
diferentes valores da velocidade, v = 0.45(◦), 0.25(¤), 0.5(¦) e 0.75(4). . . . . . . . . . . 39
1.17 Dependencia da forca de atrito(esquerda) e do coeficiente de atrito(direita) como funcao do
angulo de varredura θ relativo a direcao (100) da rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1 Esquema ilustrativo do metodo de Divisao Celular em conjunto com o metodo de Tabela de
Vizinhos de Verlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Ilustracao dos 14 tipos de redes de Bravais.(1) Triclınica simple, (2) Monoclınica simples,(3)
monoclınica de base centrada, (4) Ortorrombica simples, (5) Ortorrombica de base centrada,
(6) Ortorrombica de corpo centrado, (7) Ortorrombica de face centrada, (8) hexagonal,(9)
Romboedrica, (10) tetragonal simples, (11) tetragonal de corpo centrado, (12) cubica simples,
(13) cubica de corpo centrado(BCC) e (14) cubica de face centrada(FCC) . . . . . . . . . 45
2.3 (Esquerda) Potencial LJ sem modificacao. (Direita) Potencial LJ com modificacao. . . . . . 50
3.1 Energia como funcao da temperatura para a simulacao com condicoes de contorno abertas em
x, y e z. A temperatura de fusao e estimada como o ponto de inflexao sendo Tm ≈ 1.1. . . . 53
3.2 Visao esquematica de nosso aparato de simulacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
v
3.3 A figura mostra a forca de atrito, 〈Fx〉 como funcao da forca normal, 〈Fz〉 para varias temper-
aturas. A forca 〈Fx〉 e 〈Fz〉 sao medidas em unidades de ε1/σ1. As figuras, a, b, c, d, e sao para
os valores de T = 0.25, 0.44, 0.67, 0.85, 1.05 respectivamente. Os cırculos sao nossos resultados
de MD e as linhas correspondem a um ajuste linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Plot de cA (esquerda) e µ (direita) como funcao da temperatura. A linha e somente um guia
para os olhos, os pontos com sımbolos circulares(◦) sao os resultados das simulacoes de MD e
os pontos com sımbolos quadrados(¤) e a previsao teorica. . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Caminho percorrido pela ponta sobre a superfıcie (plano xy) para varias temperaturas e forcas
normais. De a) ate e) nos temos T = 0.25, 0.44, 0.67, 0.85, 1.05 respectivamente. As forcas
normais sao definidas na fig. 3.3. Os graficos foram mostrados deslocados por um valor constante
na direcao y para melhor visualizacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Histograma para o tempo de residencia. As forcas normais sao respectivamente Fz = −1.09,
−1.02, −0.95, −0.42, −0.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Histograma para o tempo de residencia. As forcas normais sao respectivamente Fz = 2.05, 2.09,
2.13, 2.52, 2.56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Forca de atrito como funcao da velocidade para varias normais. De a) ate e) termos respectiva-
mente < fz >∼ 0.95, 1.54, 2.25, 2.75, 2.50. Os pontos sao os resultados da simulacao e a linha
sao as previsoes teoricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.9 Coeficiente de atrito medio como funcao da velocidade, calculado a partir da figura 3.8. Os
pontos sao os resultados da simulacao e a linha e a previsao teorica. . . . . . . . . . . . 64
3.10 Forca de atrito como funcao da velocidade para varias temperaturas, onde resultados da sim-
ulacao sao os pontos e a previsao teorica sao as linhas. Os resultados de a) ate f) correspondem
respectivamente para T = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.11 coeficiente de atrito medio como funcao da velocidade para varias temperaturas. Nesta figura,
as linhas sao apenas guias para os olhos, e os pontos sao as previsoes teoricas. Os resultados
sao respectivamente, (◦)T = 0.1, (¤)T = 0.2, (¦)T = 0.3, (4)T = 0.4, (5)T = 0.5, (∗)T = 0.6. . 66
4.1 Visao esquematica de um vortice (esquerda) e um anti-vortice (direita) para spins que tenham
o mesmo tamanho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
vi
4.2 Visao esquematica de nosso arranjo computacional. A cabeca e simulada como uma rede 5×5 de
partıculas rıgida cada uma com seu respectivo spin ~S. A superfıcie e simulada com um arranjo
similar ao da cabeca, porem de tamanho 20×20. A cabeca pode deslizar sobre a superfıcie com
velocidade inicial v = v0x. Usamos condicoes de contorno periodicas nas direcoes dos planos e
as setas representam os spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Densidade de vortices como funcao da temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = 0.1J e λ1 = λ2 = 1. Os
graficos da esquerda para a direita e de cima para baixo correspondem as temperaturas T =
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. O sistema tem simetria fora do plano(out-of-plane symmetry). . . . . 78
4.5 Densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = −0.1J e λ1 = λ2 = 1. As
temperaturas sao as mesmas da figura 4.4. O sistema tem simetria no plano(in-plane symmetry). 79
4.6 Densidade de vortices como funcao do tempo para λ1 = λ2 = 0.6 e D1 = D2 = 0. As
temperaturas sao as mesmas da figura 4.4. Os vortices tem estrutura plano(in-plane structure). 80
4.7 Densidade de vortices como funcao do tempo para λ1 = λ2 = 0.9 e D1 = D2 = 0. As
temperaturas sao as mesmas da figura 4.4. Os vortices tem estrutura fora do planar(out-of-
plane structure). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8 Velocidade instantanea e densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = 0.1J
e λ1 = λ2 = 1. A linha cheia e a densidade de vortices e a linha tracejada e a velocidade
instantanea da cabeca. A temperatura para a figura a) e T = 0.1 e para as figuras b) e c) e
T = 0.2. A velocidade inicial e v = 0.5 em todos os casos. . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.9 Velocidade instantanea e densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = 0.1J
e λ1 = λ2 = 1. A linha cheia e a densidade de vortices e a linha tracejada e a velocidade
instantanea da cabeca. A temperatura e T = 0.2 em ambos os casos. Nas figuras a) e b) as
velocidades iniciais sao respectivamente, v = 0.6, 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.10 Variacao da temperatura como funcao da velocidade para varias temperaturas iniciais e Dh =
Ds = 0.1J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.1 Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A tem-
peratura e T = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2 Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A tem-
peratura e T = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.3 Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A tem-
peratura e T = 0.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
vii
A.4 Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A tem-
peratura e T = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A.5 Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A tem-
peratura e T = 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
viii
Capıtulo 1
Introducao, Motivacao e ModelosTeoricos
1.1 Introducao
Forcas de atrito tem um importante papel em diversos fenomenos [1, 2, 3, 4].
Com um pouco de cuidado podemos perceber sua importancia em areas tao dis-
tintas quanto geologia e biologia. Em tecnologia, o desenvolvimento de superfıcies
duraveis com baixo atrito e filmes lubrificantes tornaram-se um importante fator na
miniaturizacao de componentes moveis para varias aplicacoes. E conveniente lem-
brar que tecnicas tribologicas e de lubrificacao convencionais, usadas para objetos
macroscopicos, podem ser ineficientes em escalas nanometricas e requerem novos
metodos de controle.
Em nıvel conceitual e teorico, recentes avancos revelaram a enorme complexi-
dade de processos tribologicos, aparentemente simples[5, 6, 7]. O atrito esta intima-
mente relacionado a adesao e desgaste, requerendo um entendimento de processos
altamente fora do equilıbrio a nıvel molecular[8]. Superfıcies podem ser lisas ou ru-
gosas, duras ou macias, elasticas, viscoelasticas ou plasticas, quebradicas ou ducteis
e de diferentes tipos de elementos.
Sob o ponto de vista teorico, simulacoes em computadores vem desempen-
hando um importante papel no entendimento de processos tribologicos[9]. Estes
tornam possıvel realizar, “experimentos numericos” controlados, onde a geometria,
condicoes de deslizamento e interacoes entre atomos podem ser modificados a von-
1
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 2
tade para explorar seus efeitos no atrito, lubrificacao e desgaste. Esta poderosa fer-
ramenta nos possibilita seguir e analisar a dinamica completa de todos os atomos.
Sob o ponto de vista puramente analıtico nao existe, em geral, uma teoria para
analisar processos como atrito e desgaste, por serem constituıdos por processos fora
do equilıbrio. Nao ha, por exemplo, um princıpio como minimizacao da energia
livre que determine o estado estacionario de sistemas fora do equilıbrio. Portanto,
simulacoes sao de grande ajuda para o estudo destes fenomenos.
1.1.1 Observacoes Fenomenologicas ou Teorias Classicas deAtrito
O atrito desempenha um importante papel em nossa experiencia diaria, por exemplo,
no deslocamento de um carro ou em nosso caminhar. Assim, e natural que, durante
seculos, se procurasse um entendimento minucioso sobre este fenomeno. Os grandes
pioneiros da tribologia, Leonardo da Vinci, Guillaume Amontons e Charles Augustin
Coulomb [1], enunciaram tres leis fenomenologicas:
• Independencia da area de Contato
O atrito e independente da area de contato aparente.
• Lei de Amonton
Atrito e proporcional ao peso aplicado. A razao µ = Flateral
Fnormale chamada coefi-
ciente de atrito, e esta e maior para atrito estatico do que para atrito cinetico.
• Lei de Coulomb
O atrito cinetico e independente da velocidade.
Estas tres leis fundamentais do atrito, que sao baseadas em experimentos
macroscopicos, nao sao completamente entendidas em termos de processos micro ou
nanoscopicos mais fundamentais.
O primeiro estudo sistematico a respeito de atrito foi feito por Leonardo da
Vinci (1452-1519). Ele fez medidas da forca necessaria para deslizar uma massa
M, sobre uma superfıcie inclinada, medindo o angulo α, definido como aquele no
instante que o corpo comeca a deslizar. Com isso fez duas importantes observacoes:
1) Concluiu que a forca de atrito dobrava quando o peso dobrava, o que queria
dizer, F ∝ L; e 2) Concluiu que a forca de atrito era independente da largura e
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 3
do tamanho da superfıcie, logo F era independente da area de contato aparente, A,
entre as superfıcies deslizantes.
Dois seculos depois de da Vinci o Fısico frances Guillaume Amontons (1663-
1705) considerou o problema do atrito outra vez, e usando molas para medir a forca
lateral, ele confirmou as observacoes feitas anteriormente por da Vinci e conseguiu
diferenciar atrito estatico de cinetico. No entanto, alguns autores[1] afirmam que
Amontons nao tinha consciencia da diferenca entre os dois fenomenos de friccao.
Outra importante personalidade, muito pouco conhecido por seus trabalhos
no campo da fısica de atrito, mais famoso por seus trabalhos em matematica foi o
cientista Leonhard Euler (1707-1783). Ele encontrou uma solucao analıtica, apos os
estudos do mecanismo de deslizamento de um corpo em um plano inclinado (baseado
nos experimentos de Leonardo Da Vinci), onde atribuiu a rugosidade das superfıcie
a causa da existencia do atrito. A figura abaixo ilustra de maneira exagerada o
modelo que Euler propos sobre as irregularidades das superfıcies:
Figura 1.1: Modelo baseado nas irregularidades das superfıcies propostas por Leonhard Euler.
Ao colocar um bloco sobre um plano inclinado, Euler imaginava que o “emaran-
hamento” entre as superfıcies impediam que o bloco deslizasse, ou seja, a forca de
atrito resulta da forca gravitacional, onde o proprio atrito minimiza a energia po-
tencial do objeto na extremidade do plano inclinado. A partir deste modelo, ele
pode prever que o bloco estaria na iminencia de deslizar quando uma das “faces”das
irregularidades estivesse na horizontal baseado em uma relacao geometrica entre o
angulo de inclinacao do plano θ2 e o angulo de inclinacao dos serrilhamentos θ1.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 4
Com isso ele previu que, o deslizamento acontece quando θ2 for maior que θ1 (em
qualquer uma das duas superfıcies) e assim ele concluiu que o coeficiente de atrito
seria proporcional a tangente do angulo θ2. Pode-se chegar as mesmas conclusoes
que Euler chegou nos baseando nas Leis de Newton e no equilıbrio de forcas. Logo,
se θ2 e o angulo que o plano inclinado faz, relativo a horizontal, e m a massa do
objeto, entao a forca normal realizada pela gravidade e FN = mg cos θ2 (Ver figura
1.1). O objeto comeca a deslizar quando a forca tangencial mg sin θ2 excede a forca
de atrito estatica Fs. Logo, se o angulo em que o deslizamento se inicia e θs, entao
Fs = mg sin θs = FN tan θs e assim, µs ≡ ∂Fs
∂FN= tan θs. Com seus estudos Euler
foi a primeira pessoa a concluir que, deveria haver distincao entre atrito estatico e
cinetico, sendo que, o estatico e sempre maior que o cinetico.
Um nome bastante importante no estudo do atrito entre solidos e Charles
Augustin Coulomb (1736-1806). Engenheiro de formacao, foi principalmente fısico,
e mundialmente conhecido por seus trabalhos sobre Eletricidade e o Magnetismo.
Coulomb que nao tinha interesse apenas no estudo do coeficiente de atrito, estudou
tambem a dependencia temporal da forca de atrito estatica com o tempo de repouso
entre as superfıcies. Ele encontrou um aumento da forca de atrito com o tempo
de repouso e fez uma descricao matematica do fenomeno. Seus maiores resultados
foram publicados no “Essai sur theorie du frottement”, geralmente referido como as
“Leis do Atrito de Coulomb”. Dentre seus trabalhos se destaca o trecho:
“Para madeira sobre madeira ou metal sobre metal, em condicoes secas, a
velocidade tem muito pouco efeito no atrito cinetico, mas no caso de madeira sobre
metal o atrito cinetico aumenta com a velocidade.”
Sua afirmativa que destaca a independencia do atrito cinetico com a velocidade
e conhecido hoje em dia como a “Lei de Coulomb”.
Como ja comentado, o coeficiente de atrito foi inicialmente definido pela razao
entre a forca lateral (atrito) FL e pela forca normal (externamente aplicada) FN [10],
µ ≡ FL
FN
(1.1)
ou
µ′ ≡ ∂FL
∂FN
(1.2)
Na primeira definicao, FL = 0 em FN = 0; i.e., a forca de atrito e zero em forca
normal zero, enquanto na segunda definicao, a forca de atrito pode ser finita quando
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 5
a forca normal e zero e o coeficiente de atrito e dado pela inclinacao da curva de forca
de atrito × forca normal. A equacao 1.2 e mais abrangente pois e uma definicao local
de coeficiente de atrito. Como veremos nas proximas sessoes, esta quantidade nao
e uma constante pois, depende do tipo de material, e toma diferentes valores para
diferentes condicoes (Por exemplo: umidade, morfologia, temperatura, velocidade e
etc...) das superfıcies deslizantes.
Como um exemplo de aplicacao destas equacoes, alguns autores (Veja referen-
cias em [10].) baseados em observacoes experimentais propuseram a seguinte forma
para a forca atrito,
FL = µ0(FN0 + FN).
Aqui, FN0 e uma forca normal “interna” que e adicionada a forca normal
externa FN para contabilizar a presenca de forcas inter-moleculares adesivas, que
por sua vez esta relacionado de maneira nao trivial com a area de contato efetiva
entre as superfıcies [1]. Veja que se usarmos a definicao dada pela equacao (1.1)
temos FL/FN = µ0(1 + FN0/FN) que para FN → 0, µ →∞, mas usando a equacao
1.2 obtemos um coeficiente de atrito, que em primeira aproximacao e uma constante,
µ = µ0, convencionalmente definida em muitos casos. Portanto, de agora em diante
quando nos referirmos ao coeficiente de atrito neste trabalho, estaremos pensando
na definicao dada pela equacao 1.2. A tıtulo de informacao, o coeficientes de atrito
entre varios materiais estao tabulados em manuais e handbooks e sao necessarios no
projeto de maquinarios e na industria de construcao.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 6
1.2 Motivacao - Atrito e Desgaste
1.2.1 “Ploughing”
O termo “Ploughing”, que tem como traducao “Aracao”, e uma tecnica muito bem
conhecida e usada a muitos anos no campo da agricultura, e e o processo de revolver
um terreno agrıcola com um arado, equipamento mecanico tracionado. Se fizermos
uma mudanca de escala desta ferramenta para o tamanho de alguns nanometros e
combinando esta com tecnicas convencionais de microscopia de varredura(Ver secao
1.3.1), podemos realizar nano-litografia[2, 3] com resolucao de poucos nanometros(Ver
figura 1.2). Esta tecnica consiste basicamente em passar uma ponta nanometrica
sobre uma superfıcie, com uma grande forca normal, tal que se possa remover ma-
terial da superfıcie, deixando caminhos ou “riscos” muito bem definidos que tem a
forma da ponta(“arado”) usada.
Figura 1.2: O mecanismo de Ploughing(a),similar a um processo de litografia(b).[1, 2]
Este processo e conhecido como nano-litografia e possui vantagens tais como
a precisao do alinhamento, comparado as tecnicas do feixe de eletron ou de ions
nao ha perda de definicao, a ausencia de etapas de processamento adicionais e etc.
Nano-litografia vem sendo aplicada com sucesso no modelamento de superfıcies para
aplicacoes tecnologicas, como por exemplo, para se produzir pontos quantico[11].
Entretanto, e, atualmente, difıcil fazer um dispositivo com precisao elevada usando
esta tecnica, porque o mecanismo de litografia na escala atomica nao e bem com-
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 7
preendido. Isto e particularmente verdade quando se tem interesse de fazer muitos
riscos ou pontos com larguras e profundidades controladas. Simulacoes de dinamica
molecular em tres dimensoes[12, 13, 14] tem se mostrado uteis no estudo de adesao,
friccao, fratura, na criacao de defeitos em superfıcie e corte em um escala atomica.
Tendo em vista a natureza desta tecnica, que acabamos de apresentar, e natu-
ral se pensar que esta esteja intimamente ligada com processos de desgaste. De fato
e bem conhecido que o deslizamento causa desgaste na superfıcie de contato, ate
mesmo em escala macroscopica, e que a energia mecanica e transformada em ener-
gia de deformacao em um pequeno comprimento de escala. Desgaste e uma possıvel
origem para dissipacao em um processo de friccao. Porem, se calcularmos a taxa de
desgaste devido ao trabalho mecanico, usando a teoria de juncoes plasticas [1], as
rodas de uma locomotiva iriam ser totalmente desgastadas em poucos quilometros
de viagem.
1.2.2 Atrito Sem Desgaste
Em 1961 J. F. Archard apontou que deformacoes plasticas iriam danificar toda
maquina depois de alguns minutos de trabalho. Ele enunciou [15]:
“A analise experimental do desgaste sugere que a maioria dos eventos que
ocorrem em borrachas sao contatos entre protuberancias que sao deformadas elasti-
camente e que se separam sem desgaste; uma irregularidade se desgasta em eventos
relativamente raros.”(Princıpio de Archard)”.
Portanto, deve existir algum mecanismo de dissipacao, que cause mudancas
infinitesimais a estrutura da superfıcie de contato, tal que, estas mudancas desa-
parecam depois que as superfıcies sejam separadas. Em tais processos, trabalho
mecanico e continuamente transformado em calor. Estes processos estao direta-
mente relacionados a criacao de excitacoes elementares, tais como fonons, magnons,
pares vortice-anti-vortice e eletron-buraco.
Em 1929 Tomlinson propos um novo mecanismo de dissipacao, conhecido hoje
em dia como, “Mecanismo de Tomlinson”, que introduz na conta a importancia
da adiabaticidade mecanica e o papel de instabilidades. A maior realizacao do
trabalho de Tomlinson foi considerar a existencia de coordenadas instaveis que se
tornam importantes no mecanismo de atrito. Voltaremos a tratar este assunto nas
secoes seguintes.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 8
1.3 Visao Moderna do Atrito
1.3.1 Microscopia por Forca Atomica-AFM
Para compreender o comportamento de duas superfıcies reais deslizando uma sobre
a outra, e necessario que se entenda o fenomeno em um nıvel microscopico. Com o
aparecimento do Microscopio de Forca Atomica (AFM) tornou-se possıvel estudar
em nıvel molecular juncoes individuais deslizantes [1, 2, 3, 4, 16, 17]. A AFM e
uma ferramenta ideal para se fazer experimentos tribologicos em pequenas escalas
medindo forcas normais, laterais e desgaste entre superfıcies.
Na AFM, uma sonda extremamente fina (∼ 10 a 100A de diametro na ex-
tremidade da sonda) varre a superfıcie da amostra em inspecao. A sonda e montada
sobre a extremidade livre de uma alavanca que mede de 100 a 200µm de compri-
mento. Quando a sonda se aproxima da superfıcie da amostra, forcas de interacao
sonda-amostra surgem e fazem a alavanca defletir. Esta deflexao e monitorada por
um detector a medida que a sonda varre a superfıcie, conforme ilustra a figura 1.3(a).
As forcas de interacao sonda-amostra podem ser atrativas ou repulsivas, dependendo
da distancia sonda-amostra, conforme mostra a figura 1.3(b). A longas distancias
(d > 1µm), praticamente nao ha qualquer interacao. A medida que a sonda se
aproxima da amostra (d ≤ 50nm), forcas atrativas passam a atuar entre a sonda e
a amostra - tipicamente, forcas de Van der Waals. A forca atrativa aumenta com
a aproximacao da sonda, conforme mostra a figura 1.3(b), ate que a separacao seja
da ordem da separacao inter-atomica (d ≈ 0.5nm). A partir deste ponto, fortes
forcas eletrostaticas repulsivas entre as nuvens eletronicas das camadas de valencia
da sonda e da amostra passam a atuar, e a forca resultante total passa a ser repul-
siva. Nesta regiao, diz-se que a sonda esta em contato fısico com a superfıcie da
amostra.
Conforme o carater da interacao, atrativo ou repulsivo, pode-se definir alguns
modos de operacao na tecnica de AFM. Sao eles: Nao-Contato (NC), onde a in-
teracao sonda-amostra e atrativa; Contato (C), com interacao repulsiva; e Contato
Intermitente (CI), onde o regime ora e atrativo, ora e repulsivo(Ver figuras 1.3(b) e
1.4).
O modo Contato, permite obter imagens com altıssima resolucao, a nıvel
atomico, mas o atrito entre a sonda e a amostra pode danificar a superfıcie, caso ela
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 9
Figura 1.3: (a) Desenho esquematico do princıpio de funcionamento da tecnica de AFM. O fotodetectormonitora a deflexao da alavanca durante a varredura atraves da mudanca na reflexao de um feixe de Laser incidente.(b) Curva esquematica mostrando a dependencia da forca de interacao sonda-amostra em funcao da separacao entreelas. Note que esta curva se assemelha bastante a uma curva de forca derivada de um potencial (12-6) de Lennard-Jones(Capıtulo 2)[1].
Figura 1.4: Figura ilustrativa dos modos de operacao do aparato da AFM.[2]
seja macia, produzindo uma imagem distorcida. O modo Nao-Contato, apresenta a
vantagem de nao danificar a amostra, porem a resolucao normalmente fica limitada
a algumas dezenas de manometros, que e a distancia sonda-amostra. No Contato In-
termitente, a sonda oscila sobre a superfıcie da amostra, tocando-a periodicamente.
Este modo de operacao reune vantagens dos dois modos anteriores: como ha contato
fısico entre a sonda e a amostra, consegue-se altas resolucoes (∼ 1nm). No entanto,
como a movimentacao e feita com a sonda no ar, a forca de atrito entre a sonda e
amostra e bastante reduzida, eliminando os problemas de deformacao da amostra,
presentes no modo Contato.
Existem hoje em dia muitas variacoes da tecnica de AFM, como por exemplo,
a Microscopia de Forca de Atrito (FFM, Frictional Force Microscopy) que e o uso
de AFM para medir simultaneamente forcas laterais (atrito) e forca vertical (nor-
mal) em modo contato (Ver figura 1.5), a Microscopia de Forca Magnetica (MFM,
Magnetic Force Microscopy) que e o uso de AFM para medir a forca magnetica
entre uma ponta recoberta por material magnetico e uma superfıcie que apresente
domınios magneticos, e diversas outras variacoes[2] que nao entraremos em detalhes
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 10
por nao terem uma relacao direta com este trabalho. Nas proximas duas secoes
apresentaremos algumas caracterısticas da tecnica de FFM e MFM.
1.3.2 Microscopia por Forca de Atrito - FFM
Figura 1.5: (a) Desenho esquematico do princıpio de funcionamento da tecnica de FFM.[18]
A FFM e uma tecnica util para se estudar atrito, adesao, lubrificacao e des-
gaste. Com esta tecnica, podemos visualizar variacoes das forcas de atrito com a
superfıcie. Sobre certas condicoes (pequenas forcas normais, pequeno raio de cur-
vatura, superfıcies nao reativas,...) somente um unico contato e formado e atrito sem
desgaste e observado. Neste regime, varios grupos observaram que a forca de atrito
e proporcional a area de contato efetiva, apresentando uma dependencia logarıtmica
com a velocidade em que o cantilever e puxado. Observa-se dependencia com a
temperatura da superfıcie de contato, com a umidade relativa, com o angulo de
varredura relativo a orientacao cristalografica da superfıcie, dentre outras [1, 3].
Na figura (1.6) a esquerda, apresento um loop de histerese tıpico que e medido
tanto experimentalmente como a partir de simulacoes de computadores. Esta curva
e a principal fonte de informacao obtida a partir da tecnica da FFM. Note que
esta curva apresenta algumas caracterısticas basicas: A varredura em um sentido
produz uma curva de forca similar a uma varredura no sentido oposto e apresenta
uma forma tipo dentes de serra, conhecida como, movimento “stick-slip”. As regioes
de “stick” correspondem as linhas cheias e inclinadas, no qual a ponta se encontra
presa em um mınimo local do potencial, dado que a forca feita na ponta e menor ou
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 11
igual a forca de interacao ponta-superfıcie. Quando a forca na ponta e maior que a
forca de interacao ponta-superfıcie, inicia-se o deslizamento(“slip”) que corresponde
as regioes de cırculos que estao na vertical. Outras informacoes que podem ser
extraıdas desta figura sao: a) Para baixas velocidades de arraste do cantilever,
obtem-se o espacamento da rede cristalina, definido como a distancia entre dois
pontos que separam um “stick” de um “slip”. Para altas velocidades a ponta pode
saltar uma distancia equivalente a dois ou mais espacamentos da rede. b) As linhas
pontilhadas definem respectivamente, a forca de atrito estatica (maxima) e a forca
de atrito cinetica (media). c) A area interna da figura nos fornece a energia total
dissipada no processo, sendo definida por: ∆W =∫
~fl · d~x.
-6 -4 -2 0 2 4 6x
-4
-2
0
2
4
f L
<fL>
<fL>
Max
d f L
/dx=
κx eff
Espacamento de rede.
3 4 5 6 7 8 9 10z
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
f z
Salto para fora do contato(Jump-out-to-contact).
Salto para o contato(Jump-to-contact).
d fz /dz=κ z
eff
Figura 1.6: Forca de atrito como funcao da posicao x do cantilever(Esquerda) e geralmente conhecido como,Loop de forca de atrito. Forca normal como funcao da posicao z do cantilever(Direita) e geralmente conhecidocomo, Loop de forca normal.
Na figura (1.6) a direita, apresento uma curva de forca normal(fz) como funcao
da posicao z do cantilever. Esta figura e util para definirmos o domınio de forcas
normais em que se pode trabalhar na FFM, dado que este experimento e realizado
em modo contato. Esta medida e realizada fixando um dado ponto no plano da
superfıcie a uma altura z em que nao ha interacao entre a ponta e a superfıcie. A
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 12
partir daı diminuımos a distancia z da haste, gradativamente, ate ocorrer o contato
com a superfıcie (jump-to-contact). Feito este procedimento, inicia-se o processo
reverso de afastar a haste da amostra ate que ocorra o rompimento do contato
(jump-out-to-contact), que e definida como a forca normal mınima que se pode
obter para uma dada superfıcie.
Medida da rigidez de contato normal - Normal Contact stiffness
Como ja comentado que a forca de atrito depende da area de contato efetiva. Faz-
se necessario, ter-se uma maneira confiavel de medir esta area efetiva. Uma das
primeiras maneiras sugeridas foi a medida da, rigidez de contato normal, que e
essencialmente a medida da “constante de mola” normal do contato. De acordo
com o modelo de Hertz, a rigidez de contado normal, κzcontato, que e definida por,
κzcontato = 2aE∗ (1.3)
onde a e o raio efetivo de contato e
E∗ =
(1− ν2
1
E1
+1− ν2
2
E2
)−1
. (1.4)
Aqui, E1 e E2 sao os modulos de Young e ν2, ν1 sao os coeficientes(ou raios)
de Poisson [19, 20] da superfıcie e da ponta. O modulo de Young e definido como
a razao entre a tensao (ou pressao) exercida e a deformacao sofrida pelo material
(E = F/A∆L/L
), e o coeficiente(ou raio) de Poisson e definido como, o negativo da razao
entre a deformacao transversal associada a uma deformacao longitudinal na direcao
do esforco de deformacao (ν = −∆A/A∆L/L
).
Assim, a area de contato pode ser determinada da medida da rigidez de contato
normal, quando as propriedades elasticas da amostra e da ponta sao conhecidas. No
entanto, se dever ter certeza de que nao existe deformacoes plasticas e se o modelo
de Hertz pode ser aplicado.
A rigidez de contato normal pode ser medida fazendo-se uma modulacao da
deformacao da amostra na direcao z por, ∆z e medindo a resposta elastica do
cantilever ∆zlevel. O comportamento elastico do cantilever e modelado por um
acoplamento em serie de molas e assim o deslocamento normal da amostra e dado
por: ∆z = ∆zcontato + ∆zlevel, onde ∆zcontato e a deformacao elastica do contato.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 13
Dado que forca normal atuando em cada mola e igual, a rigidez de contato efetiva
ou constante de mola, e dada por:
κzeff =
∂fz
∂z(1.5)
calculado enquanto a ponta estiver em contato, como mostra a figura (1.6) a direita,
e
κzeff =
(1
κzcontato
+1
cz
)−1
(1.6)
Assim conhecendo a constante de mola do cantilever, cz, e medindo a rigidez de
contato efetiva pode-se determinar a rigidez do contato, κzcontato, utilizando a equacao
1.5. Para contatos do tamanho de alguns nanometros feitos entre materiais comuns,
tais como metais ou ceramicos, a rigidez de contato normal esta compreendido no
domınio de κzcontato = 50− 500N/m.
Medida da rigidez de contato normal - Lateral Contact stiffness
Outra maneira proposta para a medida da area efetiva, foi a medida da rigidez de
contato lateral, pois valores tıpicos da constante de mola lateral do cantilever sao da
ordem de 50− 200N/m, e assim, obtem-se uma melhor precisao na medida da area
de contato, comparado com a obtida utilizando a rigidez de contato normal. Para
uma ponta com uma geometria esferico-plana, a rigidez de contado lateral, κxcontato,
e dada por,
κxcontato = 2aG∗ (1.7)
onde
G∗ =
(2− ν2
1
G1
+2− ν2
2
G2
)−1
(1.8)
e G1 e G2 sao os modulos de cisalhamento e ν2, ν1 sao os coeficientes(ou raios) de
Poisson [19, 20] da superfıcie e da ponta.
Em analogia ao tratamento feito para a rigidez de contato normal, a resposta
elastica no esquema experimental e descrito por molas em serie. Um deslocamento
lateral da amostra, ∆x, e distribuıdo entre tres molas, ∆x = ∆xcontato + ∆xponta +
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 14
∆xcantilever, onde ∆xcontato e a deformacao elastica do contato, ∆xponta e a de-
formacao elastica da ponta e ∆xcantilever e a deformacao elastica do cantilever. Dado
que a forca lateral que atua em cada uma das molas e a mesma, a constante de mola
efetiva e definida como:
κxeff =
∂fx
∂x(1.9)
e
κxeff =
(1
κxcontato
+1
κxponta
+1
cx
)−1
(1.10)
onde κxcontato, κx
ponta sao respectivamente a rigidez do contato e da ponta e cx e a
constante de mola do cantilever.
O procedimento experimental para se determinar, κxeff , e a medida da in-
clinacao da regiao de “stick” no loop de forca de atrito (Figura 1.6 a esquerda.).
Portanto, conhecendo a rigidez de contato efetiva, podemos utilizar a equacao 1.9
para obter a rigidez do contato e daı calcular a area de contato efetiva. Um ponto
de bastante relevancia e a dependencia da rigidez do contato, κxcontato, e por sua
vez a rigidez efetiva, κxeff (Eq. 1.10), com a forca normal. Esta dependencia como
veremos nas proximas secoes, ira aparecer de maneira crucial na deducao do coefi-
ciente de atrito teorico que apresentaremos. Este modelo para a rigidez de contato
e conhecido como Modelo de Fogden e White [21, 22, 23, 24] e de acordo com eles
temos a seguinte forma:
κxcontato = κy
contato = 8G∗[
3R
4E∗ (fz + Fp)
]1/3
(1.11)
onde, R e a resistencia eletrica do contato, Fp e a forca necessaria para desfazer o
contato(jump-out-to-contact). Com isso finalizaremos nossa descricao sobre FFM,
o que apresentamos ate agora nao e nem de longe toda a informacao que se pode
obter com esta tecnica, para mais informacoes consulte as referencias deste trabalho.
Na proxima secao faremos uma breve descricao a respeito da tecnica de Microscopia
por Forca Magnetica (MFM).
1.3.3 Microscopia por Forca Magnetica - MFM
Micro e nano-estruturas magneticas desempenham um importante papel no desen-
volvimento tecnologico e cientıfico. Quase todo o armazenamento de informacao
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 15
nos computadores atuais e baseada na gravacao em meios magneticos. Por estes
e outros motivos, muitos esforcos foram feitos para se investigar forcas magneticas
utilizando AFM. Este tipo de microscopia e conhecida como Microscopia por Forca
Magnetica(MFM) [1, 2, 25, 26] e e uma ferramenta muito eficiente para a inves-
tigacao magnetica em escala micro e nanometricas.
A imagem obtida pela MFM e a distribuicao espacial de algum parametro que
possa caracterizar a interacao magnetica da sonda com a amostra, por exemplo, a
forca de interacao, a amplitude de vibracao da sonda magnetica, entre outra. As
sondas de MFM sao geralmente um cantilever de silıcio(ou nitrato de silıcio) re-
coberto por filmes finos magneticos. Medidas de MFM nos possibilitam investigar
com alta resolucao fases diamagneticas, paredes de domınios magneticas, processos
dissipativos, magnetizacao, localizacao e tamanho dos domınios, processos dinamicos
de paredes e domınios, estudo de correntes em circuitos, dispositivos de armazena-
mento de dados, ligas ferromagneticas, dinamica de materiais com a aplicacao de
campos externos, etc.
Existem dois modos de operacao da tecnica de MFM, que sao conhecidos por
MFM-DC e MFM-AC. Em ambas as tecnicas a primeira coisa que deve ser feita
e a separacao da informacao magnetica da informacao topografica. Para resolver
este problema as medidas magneticas sao feitas em duas etapas. A primeira que
e comum as duas tecnicas, e a determinacao da topografia em modo contato ou
contato intermitente.
Na segunda etapa para a MFM-DC, o cantilever e levantado ate uma altura,
hz, que e mantida fixa em cada ponto da amostra, abaixando ou levantando o
cantilever, relativo a leitura da topografia feita no primeiro passo. Esta separacao
hz deve ser grande o suficiente para eliminar forcas de Van der Waals durante a
segunda varredura e assim o cantilever e afetado somente por forcas magneticas
de longo alcance, que sao obtidas medindo-se a variacao da posicao do cantilever
vezes a constante de mola normal do cantilever. Dado o pequeno tamanho da ponta
magnetica do cantilever, e possıvel considerar a ponta como um momento de dipolo
pontual e nesta aproximacao a forca ~F atuando na ponta, durante o segundo passo,
e dada baseando-se na energia Zeeman e pode ser escrita como:
U = −~m · ~B ⇒ ~F = −∇U = (~m · ∇) ~B (1.12)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 16
onde ~m e o momento de dipolo efetivo da ponta, ~B e o campo magnetico da amostra.
A segunda etapa para a MFM-AC e muito similar ao modo DC. O cantilevel
novamente seguira a topografia, para uma dada altura, hz. Porem, aplica-se uma
oscilacao de frequencia ω na ponta, na direcao normal a superfıcie e, neste caso,
mede-se o gradiente de forca magnetica, que determinara a frequencia de ressonancia
do cantilever, a fase e amplitude de oscilacao da ponta [27, 28, 29, 30]. No regime de
funcionamento harmonico, a frequencia de ressonancia do cantilever pode ser escrita
por, ω0 = c(m)√
cz, onde c(m) e uma constante que depende da massa da ponta
e do cantilever e cz e a constante de mola normal do cantilever. O efeito de um
gradiente de forca F′na frequencia de oscilacao sera dada por, ωF = c(m)
√cz − F ′ .
E assim podemos medir a diferenca de fase devido a interacao que e dada por,
∆ω = ω0 − ωF =ω0
2cz
F′
F′
= mz∂2Bz
∂z2
e assim se obtem,
∆ω =mzω0
2cz
∂2Bz
∂z2. (1.13)
Com isso finalizamos nossa descricao da tecnica de MFM. Para maiores detalhes
pode-se consultar as referencias inclusas neste trabalho.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 17
1.4 Modelos Teoricos - Analise moderna do Mecan-
ismo de Tomlinson
Os potenciais atomicos sao conservativos, pois dependem apenas de posicao, logo
estes nao possuem o carater dissipativo de atrito. Isto leva a seguinte questao:
Como potenciais conservativos entre atomos podem produzir atrito nao nulo, ate
mesmo nos casos sem desgaste, onde o sistema se mantem no mesmo estado depois
do processo de deslizamento? Uma possıvel solucao deste problema foi proposta por
Tomlinson em 1929[1, 31], e hoje e conhecida como Mecanismo de Tomlinson,
que discutiremos abaixo.
Tomlinson propos em seus trabalhos que, em sistemas controlados, pode-se
distinguir entre dois tipos de variaveis: as de controle e as de sistema. As variaveis
de controle sao aquelas controladas diretamente pelo mundo externo, ja as variaveis
de sistema sao aquelas que constituem as respostas do sistema. As equacoes que
descrevem o sistema vao constituir uma relacao da seguinte forma:
V ariaveis de Sistema = f(V ariaveis de Controle) (1.14)
Quando a funcao f tem um comportamento linear entre as variaveis de sistema e
de controle, nao ha problema para controlar o sistema, pois neste caso sua historia
nao e importante. Por outro lado, quando f tem um comportamento nao linear,
a historia do sistema torna-se importante para obter uma completa informacao do
sistema de variaveis. O problema da funcao f nao ser linear leva ao problema da
irreversibilidade desta funcao, ou seja, (1.14) nao tem uma inversa,
V ariaveis de Controle = g(V ariaveis de Sistema). (1.15)
Este fato tornar-se um criterio fundamental para a ocorrencia de histerese,
dissipacao de energia e atrito estatico e cinetico.
Em estudos sobre atrito, e de fundamental importancia distinguir entre difer-
entes comprimentos de escala. Portanto, podemos fazer uma analogia entre irreg-
ularidades deslizando de forma elastica sobre uma superfıcie rugosa, e uma ponta
de AFM deslizando sobre uma superfıcie atomica. O modelo de Tomlinson obteve
sucesso no modelamento destes sistemas, sendo valido em ambos os casos.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 18
1.4.1 Modelo de Tomlinson Unidimensional-MTU
Considere a ponta de AFM deslocando-se em um potencial unidimensional periodico
que descreve a interacao com um arranjo periodico de atomos. No limite quase
estatico do movimento entre os dois corpos, a energia potencial total e descrita pela
soma de um potencial de interacao entre a ponta e a superfıcie na direcao x e a
energia elastica armazenada no cantilever,
VTot(qx, x) = V (qx) +c
2(qx − x)2 (1.16)
onde c e a constante de mola do cantilever, qx a posicao da ponta e x e a posicao
do cantilever (posicao de equilıbrio da mola). Assumiremos por simplicidade que o
potencial V (qx) possui a periodicidade da rede cristalina e assim podemos escrever,
V (qx) = U0 cos(kxqx) (1.17)
onde kx = 2π/a e a e o parametro de rede do substrato. Neste caso qx e a variavel
de sistema e x a variavel de controle. Em um processo quase estatico, os rearranjos
atomicos acontecem sempre em equilıbrio estavel. Matematicamente, esta condicao
diz que a derivada da energia com respeito ao sistema de variaveis e zero e que a
segunda derivada e positiva:
dVTot
dqx
=dV (qx)
dqx
+ c(qx − x) = −U0kx sin(kxqx) + c(qx − x) = 0 (1.18)
d2VTot
dq2x
=d2V (qx)
dq2x
+ c = −U0k2x cos(kxqx) + c > 0 (1.19)
Podemos reescrever a posicao de equilıbrio como,
x(qx) =1
c
dV (qx)
dqx
+ qx = −U0kx
csin(kxqx) + qx (1.20)
Note que esta equacao consiste de um termo linear e um periodico. Assim, para
pequenos valores da constante de mola, c, esta equacao nao e inversıvel, pois a
amplitude do termo periodico se torna muito grande fazendo com que qx(x) nao
possa ser definida como funcao, sendo que, para um dado ponto do domınio temos
mais de um ponto na imagem da funcao.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 19
Da equacao (1.19), podemos definir κ = U0k2x
ce o valor crıtico da constante de
mola, como sendo o menor valor de c acima do qual o mapeamento 1.20 seja definido
por uma funcao[32]. Assim, ccrit e tal que κ = 1 e com isso obtemos, ccrit ≡ U0k2x.
Na figura (1.7), apresento um grafico da posicao do cantilever x como funcao
da posicao da ponta qx(esquerda) e a inversao de eixos (qx, x)(direita) para c >
ccrit(linha pontilhada) e c < ccrit(linha cheia).
-1 0 1 2 3 4
qx
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1 0 1 2 3 4x
-2
-1
0
1
2
3
4
q x
Figura 1.7: Posicao de equilıbrio,(qx,x)(esquerda) e a troca dos eixos (x,qx)(direita) para c < ccrit(linha cheia)e c > ccrit(linha pontilhada). Perceba que para c < ccrit no grafico de (x,qx), nao podemos definir uma funcaoqx = f(x).
Como podemos ver, κ < 1 (c > ccrit), existe somente uma posicao estavel da
partıcula, qx = f(x) para uma dada posicao x do cantilever. Neste caso, a me-
dida que puxamos lentamente o cantilever, com uma dada velocidade v, a partıcula
tambem ira se mover lentamente com uma velocidade qx = f′(x)v, proporcional a
v.[33]
Um comportamento interessante do sistema ocorre, quando o equilıbrio estavel
se torna instavel. Este tipo de comportamento somente e possıvel para κ > 1 (c <
ccrit). Para entendermos o processo, vamos analisar a energia total que e funcao da
posicao da ponta e do suporte. A relacao VTot(qx, x) pode ser reduzida a uma funcao
VTot(qx) usando a condicao de equilıbrio:
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 20
dVTot(qx, x)
dqx
=dV (qx)
dqx
+ c(qx − x) = 0 ⇒ qx − x = −1
c
dV (qx)
dqx
(1.21)
⇓
VTot(qx) = V (qx) +c
2(qx − x)2 = V (qx) +
1
2c
(dV (qx)
dqx
)2
(1.22)
1 2 3 4 5 6x
0
1
2
3
4
5
6
7
q x
1 2 3 4 5 6x
0
1
2
3
4
5
6
7
q x
1 2 3 4 5 6x
-0.6
-0.4
-0.2
0
VTo
t
1 2 3 4 5 6x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
VTo
t
Figura 1.8: A relacao VTot(x) comparado com a relacao qx(x) para c < ccrit(esquerda) e c > ccrit(direita). Acontinuacao instavel de qx(x) e VTot(x) e mostrada (Linha Pontilhada). O contorno da energia e mostrado em umavarredura para a direita na linha cheia. Saltos ocorrem na posicao dx(qx)/dqx = 0.
Como se pode ver, a equacao (1.22) define um potencial que e so funcao da
posicao da ponta qx. Dado que para valores de c < ccrit a equacao (1.20) nao pode
ser invertida, entao, nao podemos fazer VTot(qx) → VTot(x) de maneira unıvoca, ou
seja, fazer um ponto no domınio x corresponder a uma so imagem VTot. No entanto,
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 21
uma funcao parametrica, qx 7→ (x(qx), VTot(x)), usando a posicao da ponta qx como
parametro, pode ser definida sem ambiguidade. Esta e mostrada na figura (1.8)
para c < ccrit(esquerda) e c > ccrit(direita). O grafico de VTot(x) apresentado na
figura 1.8(esquerda), mostra claramente o comportamento do sistema. A posicao da
ponta e estavel nos vales de energia onde a curvatura e positiva.
1.4.2 Modelo de Tomlinson Bidimensional - MTB
O modelo de Tomlinson pode ser estendido para duas dimensoes, de maneira que
as equacoes para o caso bidimensional [31, 34, 35] sao muito similares aquelas do
caso unidimensional. No entanto, na analise aqui descrita, trataremos um modelo
tri-dimensional onde a terceira dimensao ira aparecer como um parametro e nesse
sentido o modelo e bidimensional. Em 3 dimensoes a energia potencial total do
sistema e dada por:
VTot(~q, ~r) = V (~q) +1
2(~q − ~r) ·
↔k · (~q − ~r) (1.23)
onde↔k e a matriz elasticidade que contem as contribuicoes elasticas do cantilever
e da ponta e definiremos esta por,
↔k =
kx 0 00 ky 00 0 kz
(1.24)
Como comentado anteriormente, ~q e a posicao da ponta e ~r e a posicao do
cantilever. A interacao da ponta com a superfıcie e descrita pelo potencial adiabatico
V (~q) que tem as simetrias da superfıcie. Steele [36] mostrou que o potencial V (~q)
pode ser expandido em uma serie de Fourier, assumindo que o potencial entre a
ponta (um filme de atomos) e todos os atomos do substrato e dado por uma soma
de potenciais de Lennard-Jones (Capıtulo 2). A expansao feita por ele tem a seguinte
forma:
V (~q) = V (~q‖, qz) = U0(qz) + U1(qz)∑
{ ~Gm}cos(~Gm · ~q‖) (1.25)
onde ~q‖ sao as coordenadas da ponta paralelas ao substrato e {~Gm} e o conjunto dos
seis menores vetores da rede recıproca do substrato. O primeiro termo na equacao
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 22
(1.25) descreve a interacao media da ponta com o substrato e o segundo termo
descreve o potencial periodico de corrugacao. Expressoes explicitas para os termos
U0(qz) e U1(qz) foram descritas por varios autores[34, 36, 37, 38], para interacoes
entre diferentes sistemas.
Se fizermos agora uma analogia ao caso unidimensional visto na secao 1.4.1,
os pontos crıticos foram determinados pelas posicoes, qx, em que a primeira e a
segunda derivada do potencial total com relacao a posicao da ponta sao iguais a
zero. No caso bidimensional temos condicoes analogas a estas. Se voltarmos nossa
atencao para a equacao (1.23), temos que pra uma dada posicao ~r do suporte e para
uma dada posicao qz da ponta, os pontos crıticos ~q‖c sao determinadas pelos zeros
das equacoes,
∇~q‖VTot = ∇~q‖V (~q‖) +↔k · (~q‖ − ~r‖) = 0 (1.26)
em conjunto com os zeros do determinante da matriz Hessiana definida por,
H = (∂2VTot/∂qα∂qβ) =
[∂2VTot
∂q2x
∂2VTot
∂qx∂qy
∂2VTot
∂qy∂qx
∂2VTot
∂q2y
], (1.27)
aqui α e β representam as coordenadas x ou y e com isso obtemos,
[(∂2VTot
∂q2x
)(∂2VTot
∂q2y
)−
(∂2VTot
∂qy∂qx
)(∂2VTot
∂qx∂qy
)]= 0. (1.28)
A posicao ~q‖ e estavel quando os dois autovalores da matriz Hessiana sao
positivos. No limite harmonico da energia do cantilever, a Hessiana nao depende
de ~r mas somente de ~q. Assim podemos rotular cada ponto no plano (qx, qy) sem
ambiguidade, definindo regioes de estabilidade e instabilidade a partir dos sinais dos
autovalores da matriz Hessiana e pontos crıticos correspondendo aos zeros do seu
determinante definidos pela equacao (1.28).
A condicao de equilıbrio (1.26), pode ser resolvida para ~r da mesma forma que
no caso unidimensional,
~r‖(~q‖) = (↔k )−1 · ∇~q‖V (~q‖) + ~q‖ (1.29)
sendo importante notar que e a posicao do suporte ~r e nao a posicao da ponta ~q que
e externamente controlada. O mapeamento ~q 7→ ~r nao contem ambiguidade assim
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 23
como no caso unidimensional. Para um acoplamento isotropico entre a ponta e o
cantilever↔k = k1, existe um valor crıtico de k, similar ao caso unidimensional, tal
que o mapeamento ~q 7→ ~r nao e mais inversıvel. Porem uma relacao parametrica
pode ser escrita na forma:
(qx, qy) 7→ (x(qx, qy), y(qx, qy), VTot(qx, qy)). (1.30)
Este mapeamento e mostrado na figura 1.9 para κ > 1(esquerda) e κ < 1(direita)
usando o potencial:
V (~q) = U0(qz) + 2U1(qz)[cos(Gxqx) + cos(Gyqy)]. (1.31)
Derivado da equacao (1.25) para uma simetria (001), onde Gx = Gy = G =
2π/a, a e o parametro de rede da superfıcie e κ = U1(qz)G2/k. Perceba que κ, agora,
depende nao somente da constante de mola c mas, tambem, da posicao qz da ponta.
Assim o valor crıtico da constante de mola, passa a ser uma funcao da posicao qz.
Para κ > 1, a figura 1.9(esquerda), apresenta regioes onde a curvatura e negativa,
similar ao caso unidimensional (Ver figura 1.8), estas regioes sao aquelas de equilıbrio
instavel. Os pontos crıticos sao justamente os pontos de transicao entre o equilıbrio
estavel para o instavel. A condicao suficiente para a determinacao destes pontos
crıticos e dada pela equacao (1.28) como ja comentado. Na figura 1.9(esquerda),
estao representados em verdes os posicoes em que esta condicao e satisfeita. Na
figura 1.9(direita) nao existe nenhum ponto onde esta condicao e satisfeita, pois nao
existem regioes de instabilidade.
1.4.3 Dependencia com a Velocidade e Temperatura
Nesta secao irei analisar o comportamento das forcas de atrito com a velocidade[39].
O ponto de partida desta aproximacao, e a relacao entre a barreira de energia
dinamica ∆E(t), que impede o salto de uma posicao de equilıbrio estavel para
outra, e a forca lateral instantanea, fx [40]. Na primeira aproximacao, proposta por
Gnecco et al. [41, 42], ele assumiu uma relacao linear da forma ∆E ∼ (const.− fx)
e com isso demonstrou que a forca de atrito media, fx, apresenta um crescimento
logarıtmico com a velocidade, valida no regime de baixas velocidades.
Uma aproximacao mais abrangente valida em regimes de maiores velocidades,
foi proposta por Sang et al. [43]. Ele sugeriu uma relacao da forma ∆E ∼ (F ∗x −
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 24
Figura 1.9: Mapeamento (qx, qy) 7→ (x(qx, qy), y(qx, qy), VTot(qx, qy)) para c < ccrit(esquerda) e c >ccrit(direita). Os pontos em verde representam as posicoes crıticas em que a equacao (1.28) e satisfeita.
fx)3/2, onde F ∗
x e a forca lateral necessaria para fazer com que a ponta salte de
uma regiao de equilıbrio estavel para outra[44]. Com esta aproximacao ele mostrou
que fx ∼ | ln(v)|2/3. Vale ressaltar que, Person et al. [33] demonstrou a partir
de primeiros princıpios que para pequenas areas de contato, a barreira de energia
e descrita pela relacao proposta por Sang e que para areas de contato maiores, a
barreira de energia ∆E e melhor descrita pela relacao linear proposta por Gnecco.
1.4.4 Analise qualitativa para as taxas de transicoes entreregioes de estabilidade
Em nossa deducao iremos nos basear no modelo de Tomlinson Unidimensional. Um
esboco da energia total (1.16) e mostrado na figura 1.10(1-4) para quatro diferentes
pontos x(t) = vt, mostrando que a medida que a posicao x(forca instantanea) au-
menta, a barreira de energia que impede a partıcula de saltar de um mınimo para
outro diminui. Como citado na secao anterior, um salto irreversıvel da ponta ocorre
quando o equilıbrio se torna instavel. Ou seja, quando a diferenca de energia ∆E+
se torna nula (Ver figura 1.11).
Assim, quando uma instabilidade ocorrer, em T = 0, definiremos que a posicao
do cantilever x(t) esta em um ponto crıtico e a forca necessaria para induzir um salto
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 25
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
V Tot
-3 -2 -1 0 1 2 3q
x
-0.2
0
0.2
0.4
V Sub
(1)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
V Tot
-3 -2 -1 0 1 2 3q
x
-0.2
0
0.2
0.4
V Sub
(2)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
V Tot
-3 -2 -1 0 1 2 3q
x
-0.2
0
0.2
0.4
V Sub
(3)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
V Tot
-3 -2 -1 0 1 2 3q
x
-0.2
0
0.2
0.4V Su
b
(4)
Figura 1.10: Potencial Total(VTot, definido pela eq. 1.16) e potencial de interacao ponta-substrato(VSub,definido pela equacao. 1.17), usado no modelo de Tomlinson Unidimensional em quatro diferentes posicoes docantilever. Note que a medida que o cantilever se move para a direita(1 → 4), a barreira de energia que impede umsalto irreversıvel diminui ate que a partıcula salta para o proximo mınimo e o processo se repete.[1]
sera Fxc. Vamos nos restringir aos casos onde a barreira de energia ∆E+ e da ordem
de kBT proximo a um ponto crıtico. Com esta restricao podemos considerar um
potencial contendo apenas dois mınimos, A e B, representados na figura 1.11.
A probabilidade de se encontrar a ponta em uma posicao de mınimo de energia
A ou B e dada por p e 1− p, respectivamente.
A mudanca de probabilidade e caracterizada a partir da taxa de reacao de-
screvendo o fluxo de probabilidade de A para B e vice-versa. A equacao que descreve
as probabilidades e a conhecida Equacao Mestra [45] dada por,
∂p(A, t)
∂t= W (B → A)p(B, t)−W (A → B)p(A, t), (1.32)
onde W (B → A) e a probabilidade de transicao por unidade de tempo entre as
configuracoes A e B. No equilıbrio, as probabilidades devem tender para os valores
de Gibbs,
p0(A) =1
Ze−βE(A), (1.33)
onde Z e a funcao canonica de particao.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 26
Uma condicao suficiente para o equilıbrio e dada pela equacao de balanco
detalhado,
p0(A)W (A → B) = p0(B)W (B → A) ⇒ W (A → B)
W (B → A)=
p0(B)
p0(A)(1.34)
e
W (A → B)
W (B → A)= e−β(E(B)−E(A)) = e−β∆E, (1.35)
onde ∆E e a diferenca de energia entre os estados A e B.
A equacao (1.35), no entanto, nao define de maneira unıvoca as probabilidades
de transicao. Assim, podemos definir a frequencia de transicao, caracterıstica dos
pocos, como ν0, de modo que as probabilidades de transicao, pela prescricao de
Metropolis[45] sao,
W (A → B) =
{ν0e
−β∆E , se ∆E ≥ 0;ν0 , se ∆E < 0;
(1.36)
com isso a equacao mestra pode ser escrita como,
∂p(A, t)
∂t= ν0e
−β∆E−(t)p(B, t)− ν0e−β∆E+(t)p(A, t). (1.37)
Figura 1.11: Potencial VTot usado no modelo de Tomlinson.
Da figura 1.11, podemos considerar que a energia de ativacao ∆E− À ∆E+,
logo e−β∆E− ¿ e−β∆E+, que significa que transicoes de B para A sao muito menos
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 27
provaveis, e assim podemos desprezar estas transicoes para escrevermos,
∂p(t)
∂t= −ν0e
−β∆E+(t)p(t). (1.38)
Estamos interessados em encontrar a forca lateral que corresponda a uma probabil-
idade de transicao maxima de ocorrer um pulo de A para B. Assim, utilizando a
condicao para a probabilidade maxima de um salto d2p/dt2 = 0 leva-nos a seguinte
expressao:
∆E+ = − 1
βln
(− β
ν0
d∆E+
dt
)(1.39)
Assim, utilizando a equacao (1.39) basta definirmos uma expressao para a barreira
de energia ∆E+, que tenha uma forma similar aquelas propostas por Gnecco ou
Sang para calcularmos as forcas de atrito.
1.4.5 Definicao da barreira de energia.
De posse destes resultados, irei calcular ∆E reproduzindo o modelo proposto por
Person[33] com o intuito de, posteriormente, inserir a dependencia da barreira de
energia com a forca normal.
Como proposto por outro autores [41, 42, 43, 33], definiremos a barreira de
energia dinamica como,
∆E(t) = V (~q+(t))− V (~q−(t)), (1.40)
onde V (~q, t) e o potencial total sentido pela ponta, definido pela equacao (1.23). As
quantidades ~q+(t) e ~q−(t) correspondem ao primeiro maximo e mınimo do potencial
total proximos de um ponto crıtico, determinados pela condicao de equilıbrio (1.26).
1.4.6 Calculo das forcas de atrito baseado no MTU.
Para o caso unidimensional, onde a energia potencial total e determinada pela
equacao (1.16), os pontos crıticos xc e qxc(posicao crıtica do cantilever e da ponta
respectivamente) sao determinados pelas condicoes:
dVTot
dqx
(xc, qxc) = 0d2VTot
dq2x
(xc, qxc) = 0 (1.41)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 28
Dado que a expansao em serie de Taylor de uma funcao de n variaveis ~s(x1, x2, ..., xn)
em torno de um conjunto de n pontos ~χ(χ1, χ2, ..., χn) e dado por:
f(~s) = f(~χ) +n∑
i=1
∂f
∂xi
∣∣∣χi
(xi − χi) +n∑
i,j=1
1
2!
∂2f
∂xi∂xj
∣∣∣χi,χj
(xi − χi)(xj − χj)
+n∑
i,j,k=1
1
3!
∂3f
∂xi∂xj∂xk
∣∣∣χi,χj ,χk
(xi − χi)(xj − χj)(xk − χk) + ..., (1.42)
podemos expandir VTot(x, qx) em torno dos pontos (xc, qxc) para obter:
VTot(x, qx) ≈ VTot(xc, qxc) +∂VTot
∂x
∣∣∣xc
(x− xc) +1
3!
∂3VTot
∂q3x
∣∣∣qxc
(qx − qxc)3
+1
2!
[∂2VTot
∂x2
∣∣∣xc
(x− xc)2 + 2
∂2VTot
∂x∂qx
∣∣∣xc,qxc
(x− xc)(qx − qxc)
]+ ...,
onde por questoes de simplicidade de manipulacao escreveremos,
VTot(x, qx) ≈ A + B(x− xc) + C(x− xc)(qx − qxc)
+ D(x− xc)2 + E(qx − qxc)
3... (1.43)
Para esclarecer o que estamos interessados em calcular, na figura 1.12 mostro um
grafico do potencial total como funcao de qx para um dado ponto x = xc(linha
pontilhada) e x < xc(linha cheia). Note que para x < xc, VTot(x, qx) exibe uma poco
de potencial onde a altura da barreira e dada justamente pela equacao (1.40).
Utilizando a condicao ∂VTot/∂x = 0, na equacao (1.43) para x < xc obtemos:
qx± − qxc = ±(
C
3E
)1/2
(xc − x)1/2 (1.44)
e com isso a altura da barreira sera dada por:
∆E ≈ 8
3
(1
3E
)1/2
[C(xc − x)]3/2. (1.45)
C e justamente a segunda derivada cruzada do potencial total, que sera igual
ao negativo da constante de mola do cantilever. Fazendo as seguintes identificacoes,
−cxc = Fxc sendo a forca necessaria para que a ponta sofra um salto “irreversıvel”e
cx = fx sendo a forca de atrito instantanea, podemos escrever a barreira de energia
de maneira geral como:
∆E(t) =1
λ(Fxc − fx(t))
α, (1.46)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 29
qx
0
VT
ot
qx+
qx-
Figura 1.12: Figura ilustrativa para os pontos de maximo e mınimo do potencial proximos do ponto crıtico.
onde α = 3/2 e 1/λ = 8/(3(3E)1/2). Para finalizar, utilizamos a equacao (1.35) e
escrevendo,
d∆E
dt= −α
λ(Fxc − fx)
α−1∂fx(t)
∂x
∂x
∂t= −α
λ(Fxc − fx)
α−1Kxeffvx (1.47)
obtemos a seguinte expressao para a forca de atrito media, fx:
fx = Fxc −{
kBTλ
[ln
(v0
v
)− (α− 1) ln
(1− fx
Fxc
)]}1/α
, (1.48)
onde v0, λ e ν0 sao relacionados pela expressao:
v0 =ν0kBTλ
αKxeff (Fxc)α−1
(1.49)
As equacoes 1.48 e 1.49 descrevem exatamente os resultados encontrado por
Gnecco et al. [42, 41, 43] quando α = 1 e α = 3/2 respectivamente. Um ponto
importante a se notar e que a relacao entre λ e F ∗x dependem diretamente da forma
do potencial de interacao, enquanto que as equacoes 1.48 e 1.49 descrevem o caso
geral para um potencial de interacao arbitrario, sem a presenca explicita de forca
normal dado que o modelo e unidimensional.
1.4.7 Dependencia da barreira de energia com a forca nor-mal e influencia nas forcas de atrito.
Para inserir a dependencia com a forca normal[35] na barreira de energia, vamos
considerar que o termo V (~q) no potencial total descrito pela equacao (1.23) e uma
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 30
funcao que em principio e desconhecida. Note que a equacao (1.23) e uma funcao
de seis variaveis onde tres sao as posicoes da ponta dadas por, ~q‖ = (qx, qy) e qz
e as outras tres restantes sao as posicoes do cantilever ~r‖ = (x, y) e z. Na sessao
1.4.2, mostramos que para uma dada posicao qz os pontos crıticos no plano sao
determinados pelo zeros do determinante da matriz Hessiana dada pela equacao
(1.28) e pela condicao de equilıbrio 1.26. Assim, fazendo uma expansao similar
aquela definida pela equacao (1.42), para as seis variaveis e identificando o vetor
~χ = (~q‖c, ~r‖c, qzc, zc) obtemos:
VTot(~q‖, ~r‖, qz, z) ≈ VTot(~χ) +
[∂VTot
∂~r‖
∣∣∣~χ· (~r‖ − ~r‖c) +
∂VTot
∂z
∣∣∣~χ(z − zc)
]
+1
2!
[∂2VTot
∂z2
∣∣∣~χ(z − zc)
2 + (~r‖ − ~r‖c) · ∂2VTot
∂~r2‖
∣∣∣~χ· (~r‖ − ~r‖c) + 2
∂2VTot
∂~q‖∂qz
∣∣∣~χ· (~q‖ − ~q‖c)(qz − qzc)
]
+
[∂2VTot
∂z∂qz
∣∣∣~χ(z − zc)(qz − qzc) + (~r‖ − ~r‖c) · ∂2VTot
∂~r‖∂~q‖
∣∣∣~χ· (~q‖ − ~q‖c)
]
+1
2!
∂2VTot
∂q2z
∣∣∣~χ(qz − qzc)
2 +1
3!
∂3VTot
∂~q3‖
∣∣∣~χ· (~q‖ − ~q‖c)
3 + ... .
Definiremos como maneira de simplificacao de nossos contas as seguintes con-
stantes,
A(x, y, z) = VTot(~χ) +
[∂VTot
∂~r‖
∣∣∣~χ· (~r‖ − ~r‖c) +
∂VTot
∂z
∣∣∣~χ(z − zc)
]+
1
2!
[∂2VTot
∂z2
∣∣∣~χ(z − zc)
2 + (~r‖ − ~r‖c) · ∂2VTot
∂~r2‖
∣∣∣~χ· (~r‖ − ~r‖c)
],
C1 =∂2VTot
∂x∂qx
∣∣∣~χ
; C2 =∂2VTot
∂z∂qz
∣∣∣~χ
; C3 =∂2VTot
∂qx∂qz
∣∣∣~χ
,
E1 =∂3VTot
∂q3x
∣∣∣~χ
; E2 =∂3VTot
∂q3y
∣∣∣~χ
; E3 =∂2VTot
∂q2z
∣∣∣~χ
e
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 31
C13 =∂2VTot
∂qx∂qz
∣∣∣~χ
; C23 =∂2VTot
∂qy∂qz
∣∣∣~χ
.
Estas definicoes levam a uma expressao mais simplificada para a expansao
dada por,
VTot ≈ A(x, y, z) + C1(x− xc)(qx − qxc)
+ C2(y − yc)(qy − qyc) + C3(z − zc)(qz − qzc)
+ C13(qx − qxc)(qz − qzc) + C23(qy − qyc)(qz − qzc)
+ (E1/6)(qx − qxc)3 + (E2/6)(qy − qyc)
3 + (E3/2)(qz − qzc)2 + . . . , (1.50)
assim a utilizacao das condicoes de equilıbrio na equacao (1.50) nos a:
(E1/2)(qx − qxc)2 + C13(qz − qzc) + C1(x− xc) = 0 , (1.51)
(E2/2)(qy − qyc)2 + C23(qz − qzc) + C2(y − yc) = 0 , (1.52)
E3(qz − qzc) + C13(qx − qxc) + C23(qy − qyc) + C3(z − zc) = 0 . (1.53)
(1.54)
Substituindo a equacao (1.53) em (1.51), (1.52) e mantendo somente termos
de primeira ordem em C13, C23 obtemos duas equacoes quadraticas em qx, qy cujas
solucoes sao dadas por,
qx± − qxc = ± 1
E1/21
√2C1(x
′c − x) e (1.55)
qy± − qyc = ± 1
E1/22
√2C2(y
′c − y) , (1.56)
onde
C1x′c = C1xc − (C13/E3)C3(zc − z) e
C2y′c = C2yc − (C23/E3)C3(zc − z) .
Agora, usando as equacoes (1.55), (1.56), (1.53) e (1.50) encontramos que a
barreira de energia tem uma forma muito similar aquela derivada para o modelo
unidimensional, porem com algumas modificacoes importantes,
∆E(t) =1
λ1(θ)
[F′lc(fz(t))− fl(t)
]3/2
(1.57)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 32
onde definimos:
C1x(t) = fl(t) cos(θ) ; C2y(t) = fl(t) sin(θ) ,
C1xc = Flc cos(θ) ; C2yc = Flc sin(θ) ,
C1x′c = F
′lc cos(θ) ; C2y
′c = F
′lc sin(θ) ,
µ0x =C13
E3
; µ0y =C23
E3
,
Fzc = C3zc ; fz(t) = C3z(t) ,
fl(t) =√
(C1x(t))2 + (C2y(t))2 ,
Flc =√
(C1xc)2 + (C2yc)2 ,
F′lc(fz(t))
2 = F 2lc + (µ2
0x + µ20y)(fz(t)− Fzc)
2
+ 2Flc(µ0x cos(θ) + µ0y sin(θ))(fz(t)− Fzc) e (1.58)
λ1(θ) =2
72
3
{| cos(θ)| 32
E121
+| sin(θ)| 32
E122
}. (1.59)
Com este resultado, acabamos de mostrar que a barreira de energia, ∆E,
apresenta uma dependencia linear com a forca normal, fz, e com a direcao definida
pelo angulo 0 ≤ θ ≤ π em que o cantilever e puxado no plano xy. Com esta
definicao vamos ver agora, como esta dependencia afeta a forca de atrito. Utilizando
as equacoes 1.57 e 1.39 podemos escrever,
d∆E
dt= −3
2
1
λ1
[F′lc(fz)− fl
]1/2
|ϕvl + κzeff (1− γ)vz| , (1.60)
sendo que,
ϕ(θ, fz) = κxeff cos(θ) + κy
eff sin(θ) (1.61)
γ(θ, fz) =(µ2
0x + µ20y)(fz(t)− F ∗
z ) + Flc(µ0x cos(θ) + µ0y sin(θ))
F′lc
, (1.62)
onde καeff e a rigidez de contato efetiva[1] nas direcoes α = x, y, z. E impor-
tante ressaltar que os κx,yeff sao funcoes da forca normal, assim como mostrado nas
secoes anteriores.
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 33
Assim, obtemos uma forca de atrito dada por,
fl = F′lc(fz)−
{kbTλ1(θ)
[ln
(v0(fz)
|ϕvl + κzeff (1− γ)vz|
)− 1
2ln
(1− fl
F′lc(fz)
)]}2/3
,
(1.63)
onde
vx = vl cos(θ) ; vy = vl sin(θ) ,
vl =√
(vx)2 + (vy)2 ,
v0(fz) =2ν0kbTλ1(θ)
3(F′lc)
1/2. (1.64)
Note que este resultado tem uma forma muito similar aquela apresentado por
Riedo et.al. [42] e que foi desenvolvido nas secoes anteriores. No entanto, este novo
modelo traz algumas informacoes novas tais como, a dependencia da forca de atrito
com: a) a forca normal que aparece explicitamente na equacao (1.63) e que mostra
claramente os motivos pelo qual os valores experimentais das constantes F′x, v0 e λ
ajustados por Riedo et.al. [42] dependem da forca normal. b) o angulo relativo a
uma certa direcao da estrutura cristalina da superfıcie, em que o cantilever e puxado
no plano xy. c) a velocidade normal, vz ao plano, em que Jeon et. al.[46] mostrou
experimentalmente e usando simulacoes.
Outro ponto importante a se destacar e que, dado a presenca da forca normal
no modelo teorico para as forcas de atrito, e natural pensarmos no coeficiente de
atrito, do mesmo modo como foi definido na equacao (1.1), e com isso obtemos,
µ(t) =∂fL(t)
∂fz(t)= γ − 2kbTλ1 ×
×
[∂ϕ∂fz
vl − κzeff
∂γ∂fz
vz
]
[ϕvl + κzeff (1− γ)vz]
{ln
(v0
|ϕvl+κzeff (1−γ)vz |
)− 1
2ln
(1− fl
F′lc
)}2/3
{1 + 3
[ln
(v0
|ϕvl+κzeff (1−γ)vz |
)− 1
2ln
(1− fl
F′lc
)]}
, (1.65)
onde
∂ϕ
∂fz
=∂κx
eff
∂fz
cos(θ) +∂κy
eff
∂fz
sin(θ) e (1.66)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 34
∂γ
∂fz
=F 2
lc [µ0x sin(θ)− µ0y cos(θ)]2
(F′lc)
3. (1.67)
Para finalizar e importante salientar que conhecendo o potencial entre a ponta e a
superfıcie, com este resultado podemos fazer uma previsao teorica de qual e o valor
para o coeficiente de atrito de forma analıtica. Na proxima secao definiremos um
potencial para a interacao entre a ponta e a superfıcie e calcularemos os parametros
do modelo e mostraremos os resultados para as forcas de atrito e para o coeficiente
de atrito calculados neste trabalho. No Capıtulo 3 mostraremos o resultados de
nossas simulacoes comparado com esta previsao analıtica, sendo que estes indicam
que o coeficiente de atrito depende da velocidade, da temperatura e da forca normal
como mostra a equacao (1.65).
1.4.8 Calculo dos Parametros para a Modelo Analıtico
Nesta secao usando um potencial total conhecido, vamos calcular os parametros
definidos no modelo analıtico para a forca de atrito. Para este proposito, usaremos
o potencial total que surge de uma superfıcie sem graus de liberdade internos dados
pela equacao (1.25). Neste ponto definiremos um arranjo BCC(001) para os atomos
e com isso o potencial total se torna,
VTot =1
2
[(~q − ~r) ·
↔k · (~q − ~r)
]+ U0(qz) + 2U1(qz)[cos(Gxqx) + cos(Gyqy)] .(1.68)
Agora impondo as condicoes de estabilidade e equilıbrio definidas pelas equacoes
(1.27) e (1.26) na equacao (1.68) obtemos,
∂VTot
∂qx
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= kx(qxc − xc)− 2U1(qzc) sin(Gxqxc)Gx = 0 ,
∂VTot
∂qy
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= ky(qyc − yc)− 2U1(qzc) sin(Gyqyc)Gy = 0 ,
∂VTot
∂qz
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= kz(qzc − zc) + U′0(qz) + 2U
′1(qzc)[cos(Gxqxc) + cos(Gyqyc)] = 0 ,
∂2VTot
∂q2x
= kx − 2U1(qz) cos(Gxqx)G2x ,
∂2VTot
∂q2y
= ky − 2U1(qz) cos(Gyqy)G2y ,
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 35
∂2VTot
∂qx∂qy
= 0 ,
[∂2VTot
∂q2x
∂2VTot
∂q2y
− (∂2VTot
∂qy∂qx
)2
]∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= 0 e
[kx − 2U1(qzc) cos(Gxqxc)G
2x
] [ky − 2U1(qzc) cos(Gyqyc)G
2y
]= 0 .
Neste ponto definiremos,
ηx =kx
2U1(qzc)G2x
, ηy =ky
2U1(qzc)G2y
, (1.69)
qxc =1
Gx
arccos(ηx) ; sin(Gxqxc) = ±√
1− η2x e
qyc =1
Gy
arccos(ηy) ; sin(Gyqyc) = ±√
1− η2x . (1.70)
Como se pode ver, encontramos os pontos crıticos onde ocorre uma instabili-
dade mecanica, em outras palavras uma transicao do tipo “stick-slip”. Usando esta
informacao, podemos agora calcular os parametros que estamos interessados. Os
dois primeiros parametros que vamos calcular sao Flc e Fzc e assim obtemos,
C1 =∂2UTot
∂qx∂x
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= −kx ,
C2 =∂2UTot
∂qx∂x
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= −ky ,
C3 =∂2UTot
∂qx∂x
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= −kz , (1.71)
(C1xc) = − kx
Gx
(arccos(ηx) +
1
ηx
√1− η2
x
), (1.72)
(C2yc) = − ky
Gy
(arccos(ηy) +
1
ηy
√1− η2
y
), (1.73)
Flc =√
(C1xc)2 + (C2yc)2 e (1.74)
Fzc = C3zc = −kzqzc − U′0(qzc)− U
′1(qzc)
U1(qzc)
[kx
G2x
+ky
G2y
]. (1.75)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 36
Agora, vamos calcular os dois ultimos parametros µ0 e λ1(θ). Iniciaremos
calculando C13, C23 e E3 :
C13 =∂2UTot
∂qx∂qz
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= −2U′1(qzc)Gx
√1− η2
x , (1.76)
C23 =∂2UTot
∂qy∂qz
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= −2U′1(qzc)Gy
√1− η2
y , (1.77)
E3 =∂2UTot
∂q2z
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
= kz + U′′0 (qzc) +
U′′1 (qzc)
U1(qzc)
[kx
G2x
+ky
G2y
]6= 0 , (1.78)
µ0x =−2U
′1(qzc)Gx
√1− η2
x
|E3| µ0y =−2U
′1(qzc)Gy
√1− η2
y
|E3| , (1.79)
e, agora, calculando E1, E2 chegamos a
E1 =∂3UTot
∂q3x
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
=kxGx
ηx
√1− η2
x , (1.80)
E2 =∂3UTot
∂q3y
∣∣∣∣xc,yc,zc
qxc,qyc,qzc
=kyGy
ηy
√1− η2
y , (1.81)
λ1(θ) =2
72
3
{(ηx
kxGx
)1/2 | cos(θ)| 32(1− η2
x)1/4
+
(ηy
kyGy
)1/2 | sin(θ)| 32(1− η2
y)1/4
}.
(1.82)
Note que todos os parametros Flc, F ∗z , µ0, e λ1 sao funcoes do ponto crıtico qzc.
Portanto usando as funcoes U0(qz) e U1(qz) do potencial de Steele definidos por[36],
U0(qz) =2πqσ6
tsεts
as
∞∑p=0
1
(qz + p∆qz)4
(2σ6
ts
5(qz + p∆qz)6− 1
), (1.83)
U′0(qz) = −8πqσ6
tsεts
as
∞∑p=0
1
(qz + p∆qz)5
(σ6
ts
(qz + p∆qz)6− 1
), (1.84)
U′′0 (qz) =
8πqσ6tsεts
as
∞∑p=0
1
(qz + p∆qz)6
(11σ6
ts
(qz + p∆qz)6− 5
), (1.85)
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 37
onde p e um inteiro, q e o numero total de atomos por celula unitaria da superfıcie,
∆qz e a distancia entre planos, as = a21, e a area da celula unitaria da superfıcie,
a1 = σss, σss e a distancia entre os vizinhos mais proximos na superfıcie, σts e εts
sao os parametros do potencial (12-6) de Lennard-Jones entre a ponta e os atomos
da superfıcie, e
U1(qz) =2πσ6
tsεts
as
[σ6
ts
30
(g1
2qz
)5
K5(g1qz)− 2
(g1
2qz
)2
K2(g1qz)
], (1.86)
U′1(qz) =
−2πσ6tsεts
as
{σ6
ts
30
(g1
2qz
)5 [10K5(g1qz)
qz
+ g1K4(g1qz)
]
− 2
(g1
2qz
)2 [4K2(g1qz)
qz
+ g1K1(g1qz)
]}, (1.87)
U′′1 (qz) =
2πσ6tsεts
as
{σ6
ts
30
(g1
2qz
)5 [110K5(g1qz)
q2z
+19g1K4(g1qz)
qz
+ g21K3(g1qz)
]
− 2
(g1
2qz
)2 [20K2(g1qz)
q2z
+7g1K1(g1qz)
qz
+ g21K0(g1qz)
]}, (1.88)
onde Kn e a funcao de Bessel modificada de segundo genero e g1 = Gx = Gy = 2π/a1.
0 1 2 3
qz
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
µ 0
0 1 2 3
qz
0
0.5
1
2
2
2
3
λ 1
0 1 2 3
qz
-2
-1
0
1
VIn
t
Figura 1.13: Os parametros µ0x = µ0y = µ0 (esquerda), λ1(centro) e Uint(~q‖ = (a1, a1), qz)(direita) comofuncao de qz para θ = 0, σts = 1.2σss, εts = 0.5εss(linha cheia) , 0.1εss(linha pontilhada).
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 38
Usando as equacoes (1.83) ate (1.88) mostramos na figura 1.13 os parametros
µ0x = µ0y = µ0, λ1 e Uint(~q‖ = (a1, a1), qz) como uma funcao de qz, para valores de
ηx = ηy < 1 ,sendo que estamos interessados em valores reais para os parametros
F′Lc e λ1, e para εts = 0.5εss(linha cheia) , 0.1εss(linha pontilhada).
0.01 0.1 1v
L
0
0.5
1
1.5
2
f L
0 0.5 1 1.5 2 2.5v
L
0.18
0.2
0.22
0.24
<µ>
Figura 1.14: Forca de atrito(esquerda) e coeficiente de atrito(direita) como funcao da velocidade para diferentesvalores da forca normal definidos pelas equacoes (1.63) e (1.65). (◦)fN1 < (¤)fN2 < (¦)fN3 < (M)fN4 < (∗)fN5
Assim, selecionando um valor apropriado para qzc, proximo do valor mınimo de
Uint(direita), definidos na figura (1.13), e escolhendo valores para, ν0 (frequencia de
transicao de saltos) e G∗ [RE∗
]1/3(Ver secao 1.3.2), as curvas de forca de atrito teoricas
como funcao da velocidade para diferentes valores da forca normal, mostradas na
figura (1.14)(esquerda) concordam qualitativamente com os resultados experimen-
tais apresentados porRiedo et.al. [42] e mostrado na figura 1.15.
No capıtulo 3 mostraremos que tanto nossa previsao teorica das forcas de
atrito(figura (1.14)(esquerda)) quanto do coeficiente de atrito(figura (1.14) (direita))
concordam tanto qualitativamente quanto quantitativamente bem com os resulta-
dos de nossas simulacoes de DM, confirmando que nossa generalizacao feita para o
modelo unidimensional leva a uma previsao consistente do fenomeno de atrito.
Na figura 1.16 apresento a dependencia da forca de atrito(esquerda) e do co-
eficiente de atrito(direita) como funcao da forca normalfz. Note que apesar do
termo logarıtmico da forca de atrito, descrita pela equacao (1.63), esta continua ap-
resentando um comportamento linear com a forca normal. O coeficiente de atrito,
apresenta um crescimento abrupto para pequenos valores de fz e tende assintot-
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 39
Figura 1.15: Resultados experimentais apresentados porRiedo et.al. [42] para a forca de atrito como funcaodo logaritmo da velocidade para diferentes valores da forca normal. Os pontos sao os resultados experimentais e aslinhas sao os ajustes baseados no modelo unidimensional apresentado nas secoes anteriores.
0 5 10 15 20fz
0
1
2
3
4
5
6
7
f L
v=0.045v=0.25v=0.5v=0.75
0 5 10 15 20fz
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
<µ> v=0.045
v=0.25v=0.5v=0.75
Figura 1.16: Forca de atrito(esquerda) e coeficiente de atrito(direita) como funcao da forca normal para 4diferentes valores da velocidade, v = 0.45(◦), 0.25(¤), 0.5(¦) e 0.75(4).
Capıtulo 1. Introducao, Motivacao e Modelos Teoricos 40
icamente para um valor constante quando a forca normal tende para o infinito,
µfz→∞ = Const.
0 1 2 3θ
1.04
1.045
1.05
1.055
1.06
f L
0 1 2 3θ
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
µ0 1 2 30.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 1.17: Dependencia da forca de atrito(esquerda) e do coeficiente de atrito(direita) como funcao doangulo de varredura θ relativo a direcao (100) da rede.
Na figura 1.17 apresento a dependencia da forca de atrito(esquerda) e do co-
eficiente de atrito(direita) como funcao do angulo de varredura θ relativo a direcao
(100) da rede. E importante ressaltar que este resultado e um caso particular para
o potencial definido pela equacao (1.68) e que este ira depender fortemente das
simetrias do substrato. Simulacoes que tentam comprovar se estas previsoes estao
corretas, estao sendo feitas. No entanto, note que este resultado respeita as simetrias
da face (001) sendo que para θ = 0, π/2, π a forca/coeficiente de atrito tomam os
mesmos valores.
Capıtulo 2
Dinamica Molecular(DM)
2.1 Introducao - Simulacoes Atomicas.
As tecnicas descritas neste capıtulo, fazem parte de uma aproximacao chamada
Dinamica Molecular Classica (MD), que e descrita extensivamente em um grande
numero de livros e artigos de revisao.[47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54].
Esta aproximacao, inicia-se definindo o potencial de interacao, que vai produzir
as forcas em uma partıcula individual e a dinamica destas partıculas, tipicamente
atomos e moleculas. O proximo passo, e especificar as condicoes de contorno e
condicoes iniciais do problema. O tempo nas equacoes de movimento e discretizado
e as equacoes integradas numericamente.
Em DM micro-canonica, usada comumente para estudos de difusao superficial,
a solucao das equacoes de movimento levam a conservacao da energia total. A
temperatura e calculada como uma media da energia cinetica do sistema. Em alguns
casos e preciso empregar DM canonica em que o sistema e acoplado a um termostato
(banho termico). Por exemplo, nas simulacoes de crescimento, a temperatura deve
ser controlada externamente para evitar o aquecimento do sistema.
Os potenciais podem ser derivados de diversas aproximacoes, dependendo do
grau de sofisticacao desejado. Os potenciais tipicamente mais usados sao potenciais
do tipo Lennard-Jones, potenciais derivados de calculos ab-initio( teoria de funcional
da densidade, Hartre-Fock)[55] e potenciais semi-empıricos.
Um ponto importante em simulacoes de DM e que o esforco computacional
cresce com o grau de complexidade do potencial. Alem disso dois outros fatores
41
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 42
influenciam no tempo de computacao: O numero de partıculas, N e o tempo total
de simulacao. E importante notar-se que o esforco aumenta substancialmente com a
complexidade das interacoes, escalando linearmente com N para interacoes de curto
alcance e com N3 para interacoes de longo alcance ou aproximacoes de funcional
densidade.
2.2 Condicoes de Contorno
O numero de partıculas e a forma como as interacoes entre elas sao definidas sao
alguns dos fatores limitantes nos tamanhos das amostras nas simulacoes. Como
regra geral as amostras nas simulacoes sao muito menores que os sistemas calculados
experimentalmente, levando a serios efeitos devido ao tamanho finito. Uma das
formas de minimizar estes efeitos e fazer uso de condicoes de contorno periodicas [47,
48, 51, 52, 53, 54]. Esta tecnica consiste em considerar o sistema dentro de uma caixa
cubica, repetida nas direcoes espaciais para as quais se interessa minimizar os efeitos
de borda, com o intuito de simular uma sistema sem fronteiras em tais direcoes. No
decorrer da simulacao quando uma partıcula se move na caixa original, sua imagem
periodica ira se mover, do mesmo modo, em cada um dos sistemas vizinhos. Assim,
quando uma partıcula deixa a caixa original, a sua imagem periodica entra no mesmo
sistema pelo lado oposto.
Devemos nos questionar, se as propriedades do sistema limitado utilizando
condicoes periodicas, se assemelham as do sistema macroscopico o qual representa.
Isso dependera tanto do alcance do potencial utilizado, quanto do comprimento
de correlacao do fenomeno estudado. O uso dessa condicao inibe a ocorrencia de
flutuacoes de longo alcance. Portanto para uma caixa de lado L, a periodicidade ira
aniquilar qualquer propriedade associada com comprimento de onda maior que L.
A exigencia minima que deve ser feita, e que o sistema tenha uma dimensao maior
que o alcance de qualquer correlacao significativa do sistema.
2.3 Divisao Celular
Em simulacoes de DM os potenciais de interacao podem, dentro de alguma aprox-
imacao, ser limitados a um raio de corte, rc, de modo que a vizinhanca de cada
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 43
partıcula fica limitada a uma unica esfera de raio rc. Uma maneira ineficiente de
se determinar os vizinhos de cada partıcula e perguntar para todo o sistema quais
atomos estao dentro do raio de corte rc. O centro do volume limitado por rc e a
posicao da partıcula que se deseja fazer a procura. Assim, para cada partıcula per-
guntaremos quais dos N − 1 atomos restantes serao os vizinhos. Logo, teremos um
total de N(N − 1) repeticoes em cada passo de tempo, o que torna este metodo de-
masiadamente demorado e inviavel para sistemas grandes. Neste trabalho usaremos
duas tecnicas para diminuir o tempo de simulacao: A divisao celular e a tabela de
vizinhos de Verlet descrita abaixo.
Divisao celular fornece uma maneira de organizar a informacao sobre a posicao
das partıculas de forma a evitar trabalhos desnecessarios. Imagine que o sistema
simulado e dividido em uma rede de pequenas celulas com um volume Vcel ≥ r3c .
Assim, as possıveis interacoes sao entre as partıculas que estao na mesma celula
ou nas celulas imediatamente adjacentes (ver figura 2.1). Logo, em 3 dimensoes o
numero mınimo de celulas a ser examinadas para cada partıcula e 27, diminuindo o
tempo computacional para, tc ∼ 27Nnc
, onde nc e o numero total de celulas. Supondo,
Vcel = r3c e que o numero total de partıculas, N , esteja igualmente distribuıdos em
uma regiao de volume V , tal que, V ∼ N , o valor de nc sera dado por,
nc =V
r3c
∼ N
r3c
(2.1)
e com isso o tempo computacional gasto para cada partıcula sera tc ∼ 27r3c . Este
metodo pode ser usado em conjunto com a Tabela de Vizinhos de Verlet.
2.4 Tabela de Vizinhos de Verlet
Este metodo consiste em construir uma lista de vizinhos para cada partıcula do
sistema [48]. Essa lista e construıda dentro de um raio rv = rc +4r,(ver figura 2.1),
o valor 4r e determinado pela relacao,
4r ≤ n v 4t (2.2)
onde4t e o valor do tamanho do passo do tempo, v e a velocidade media dos atomos
e n o numero de vezes que a lista e utilizada antes de ser renovada.
Durante o perıodo que a lista nao e renovada, as interacoes dos atomos serao
realizadas consultando a tabela e verificando quais dos atomos estao a uma distancia
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 44
rc. O ganho computacional e bastante significativo e inversamente proporcional ao
tempo gasto na construcao dessa tabela que corresponde a uma das tarefas mais
demoradas nos programas de simulacao que utilizam DM.
Figura 2.1: Esquema ilustrativo do metodo de Divisao Celular em conjunto com o metodo de Tabela deVizinhos de Verlet.
2.5 Configuracao Inicial
Nos solidos cristalinos, como metais, os atomos estao arranjados de maneira regular.
Um cristal ideal e definido como uma estrutura de atomos espacialmente ordenados
para formar uma rede tri-dimensional que e determinada pelos vetores de translacao
~a1, ~a2, ~a3. Estes Vetores definem pequenas celulas, que se repetem, chamadas de
celulas unitarias do cristal.[51, 56]
Definindo um ponto arbitrario ~r como a origem dos tres vetores podemos
gerar uma rede pela translacao da origem para X novos pontos definidos por ~r′=
~r + n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 onde X = n1 + n2 + n3 e n1, n2 e n3 sao inteiros, cada um
variando de 1 a n, e n e escolhido para produzir o cristal com o volume desejado.
O conjunto de todos os pontos definidos por todas as combinacoes lineares, inteiras,
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 45
dos vetores de translacao primitivos ~r = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 e chamado de uma
rede de Bravais [56]. Existem 14 diferentes tipos de redes de Bravais como mostra
a figura 2.2, e estas redes sao suficientes para descrever a simetria de translacao de
qualquer rede cristalina [57].
Figura 2.2: Ilustracao dos 14 tipos de redes de Bravais.(1) Triclınica simple, (2) Monoclınica simples,(3)monoclınica de base centrada, (4) Ortorrombica simples, (5) Ortorrombica de base centrada, (6) Ortorrombicade corpo centrado, (7) Ortorrombica de face centrada, (8) hexagonal,(9) Romboedrica, (10) tetragonal simples,(11) tetragonal de corpo centrado, (12) cubica simples, (13) cubica de corpo centrado(BCC) e (14) cubica de facecentrada(FCC)
As configuracoes iniciais, normalmente utilizadas nas simulacoes de solidos,
sao geradas dispondo os atomos nas posicoes que minimizam a energia de interacao
entre elas, ou seja, nas posicoes definidas pela rede de Bravais de interesse.
A energia cinetica inicial do sistema esta diretamente relacionada com as ve-
locidades iniciais das partıculas que o compoem. Assim, como a energia cinetica
tambem esta relacionada com a temperatura pelo princıpio de equiparticao da en-
ergia, a magnitude das velocidades iniciais tem seu valor definido de acordo com
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 46
a temperatura inicial que se deseja, sendo as direcoes escolhidas aleatoriamente, e
a partir disto usamos renormalizacao de velocidades(Secao 2.7.1) para conduzir o
sistema a temperatura escolhida [47, 48, 51, 54].
2.6 Algoritmo de Integracao Numerica
Existe uma grande variedade de metodos numericos de integracao baseados em al-
goritmos de diferencas finitas, que resultam na discretizacao do tempo atraves da
introducao de um pequeno intervalo de tempo ∆t.
Os metodos de integracao podem ser avaliados considerando os seguintes
criterios [47, 48, 51, 54]:
• Eficiencia - O passo no tempo ∆t deve ser o maior possıvel e o tempo de
execucao o menor possıvel para permitir que o tempo total de simulacao seja
comparavel aos tempos caracterısticos do sistema real.
• Simplicidade - A rotina de integracao deve ser simples e nao requerer grande
quantidade de memoria.
• Precisao - Os desvios das trajetorias exatas devem ser pequenos e as leis de
conservacao devem ser satisfeitas.
Um metodo que se encaixa bem nos criterios citados acima e conhecido como
algoritmo modificado de Beeman [50, 58, 59, 60]. Neste trabalho utilizaremos o
algoritmo de Beeman em conjunto com o algoritmo de Runge-Kutta de ordem
quatro[61]. Com o Runge-Kutta calculamos, a partir das configuracoes iniciais, as
aceleracoes nos instantes ~r(t) e ~r(t+∆t) tendo em vista que o algoritmo de Beeman
e um algoritmo de passos multiplos, que necessita do conhecimento das aceleracoes
em tempos anteriores, as seguintes transformacoes serao feitas ~r(t) → ~r(t − ∆t) e
~r(t+∆t) → ~r(t). Assim, podemos evoluir as posicoes e as velocidades das partıculas
no algoritmo de Beeman como segue:
~r(t + ∆t) = ~r(t) + ∆t~r(t) +∆t2
6[4~r(t)− ~r(t−∆t)] (2.3)
e
~r(t + ∆t) = ~r(t) +∆t
6[5~r(t) + 2~r(t + ∆t)− ~r(t−∆t)]. (2.4)
e as mesmas transformacoes citadas acima sao realizadas a cada passo de tempo.
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 47
2.7 Controle de Temperatura
2.7.1 Renormalizacao de Velocidades
Para controlar a temperatura de nosso sistema usamos o teorema da equiparticao
da energia[45, 62, 63], que estabelece que cada termo quadrado em um hamiltoniano
classico produz uma contribuicao na energia cinetica da forma 12kBT a cada grau de
liberdade do sistema. Como exemplo, consideraremos o caso de um gas monoatomico
classico, definido pelo hamiltoniano
H =N∑
i=1
~P 2i
2mi
+N∑
i,j ; i>j
V (|~ri − ~rj|), (2.5)
onde V (r) e um potencial entre pares com a mesma forma do potencial LJ (secao
2.8). Utilizando o formalismo canonico e facil mostrar que a energia cinetica media
e dada por
〈Ecin〉 =
⟨N∑
i=1
1
2m~p 2
i
⟩=
⟨N∑
i=1
1
2m
(p 2
ix + p 2iy + p 2
iz
)⟩
=3
2NkBT , (2.6)
que corresponde a energia interna do sistema no caso de um gas ideal, kB e a
constante de Boltzman e N o numero total de partıculas.
Em tres dimensoes a equacao 2.6 define uma certa temperatura Tα, dada pelo
conjunto de velocidades α, definida por:
3
2NkBTα =
N∑i=1
mi
2[(~vi)α]2 =< Ecin
α > . (2.7)
Estamos interessados em controlar a temperatura do sistema, logo o conjunto
de valores de velocidades que levariam a uma desejada temperatura T e diferente
dos que levaram a uma dada temperatura Tα. Assim, podemos fazer uso mais uma
vez do teorema da equiparticao da energia, para escrever
< EcinT >=
3NkBT
2. (2.8)
Dividindo, as relacoes 2.7 e 2.8, temos
< EcinT >
< Ecinα >
=T
Tα
⇒ < EcinT >=
T
Tα
N∑i=1
mi
2[(~vi)α]2
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 48
< EcinT >=
N∑i=1
mi
2
[(T
Tα
)1/2
(~vi)α
]2
(2.9)
Ou seja, devemos multiplicar todo o conjunto de velocidades que levaram a tem-
peratura Tα por um fator ( TTα
)1/2 para obter um novo conjunto de velocidades, cuja
media ira fornecer uma temperatura cada vez mais proxima da desejada, cada vez
que utilizarmos esta renormalizacao.
2.8 Potenciais de Interacao
A energia de interacao de N atomos e descrita por uma funcao potencial Φ(1, ..., N).
Esta funcao pode ser decomposta em contribuicoes de um corpo, dois corpos,... etc,
Φ(1, ..., N) =∑
i
v1(i) +∑
i,j;i<j
v2(i, j) +∑
i,j,k;i<j<k
v3(i, j, k) + ... + vn(1, ..., N) (2.10)
Para este tipo de representacao ser util no modelamento teorico, e necessario
que cada funcao vn decresca rapidamente com o aumento de n. A priori, nao e claro
que isto aconteca, porem, mostra-se que para isolantes, semi-condutores como silıcio,
germanio e semi-metais como grafite, os tres primeiros termos sao dominantes. No
entanto, para metais onde temos eletrons de conducao extremamente delocalizados
a situacao e diferente.
Simulacoes de metais geralmente usam potenciais que levam em conta termos
de muitos corpos como “embedded atom method”[64] e “Tight-Biding method” [65],
simulacoes de hidrocarbonetos geralmente usam potenciais como os propostos por
Tersoff [66, 67] e Brenner [68], enquanto que simulacoes de semi-condutores como
germanio e silıcio usam potenciais de Stillinger-Weber [69].
2.8.1 Potencial (12-6) de Lennard-Jones(LJ)
O potencial de LJ e um potencial de dois corpos que e comumente usado entre
atomos ou moleculas com camadas eletronicas fechadas [55], e mesmo em casos
mais gerais, e capaz de levar a resultados qualitativos importantes.
Por exemplo, simulacoes de difusao de atomos sobre superfıcies[51] usando
este potencial, sao de grande sucesso demonstrando que o coeficiente de difusao
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 49
superficial varia com a temperatura. Assim, esperamos que simulacoes de FFM
usando este potencial possam nos informar da dependencia das forcas de atrito com
a temperatura.
O potencial (12-6)LJ e um potencial de curto alcance que depende somente
da distancia entre os atomos e tem a forma,
VLJ(ri,j) = 4εi,j
[(σi,j
rij
)12
−(
σi,j
rij
)6]
(2.11)
onde rij e a distancia entre as partıculas i e j, εi,j e o mınimo de energia do potencial
na distancia de equilıbrio r0 = 21/6σi,j. Por simplicidade, definiremos que σi,j = σss
e εi,j = εss para partıculas que fazem parte da superfıcie, pois como veremos esta
definicao sera de grande utilidade em nossas simulacoes de FFM.
O termo com expoente 12, dominante para curtas distancias, tem sua origem
fısica baseada na repulsao coulombiana inter-atomica e nas forcas de troca, rela-
cionadas ao Princıpio de Exclusao de Pauli[55]. O termo com expoente 6, dominante
para longas distancias constitui a parte atrativa e descreve a coesao do sistema.
Esta associado a forcas de atracao de van der Waals provenientes de interacoes de
dipolo-dipolo induzido. No entanto, dependendo do sistema outros valores podem
ser usados.
2.8.2 Corte em Potenciais - Potencial (12-6) LJ Modificado
Para melhorar a performance das simulacoes introduzimos um corte no potencial a
uma distancia rc, isto e
V (r) =
{VLJ(r) , se r ≤ rc;0 , se r > rc;
(2.12)
Com esta tecnica aparecem descontinuidades no potencial e na forca de interacao
entre os atomos, pois, estes nao sao necessariamente zero em r = rc (Ver figura
2.3 a esquerda). Para evitar descontinuidades na simulacao usamos o potencial
Lennard-Jones modificado[48, 51, 54]:
V ModLJ (ri,j) =
{VLJ(ri,j)− VLJ(rc)−
(dVLJ (ri,j)
dri,j
)ri,j=rc
(ri,j − rc) , se ri,j ≤ rc;
0 , se ri,j > rc;(2.13)
O potencial modificado, assim como a forca calculadas a partir deste sao mostrados
na figura 2.3 a direita.
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 50
Figura 2.3: (Esquerda) Potencial LJ sem modificacao. (Direita) Potencial LJ com modificacao.
2.9 Unidades Reduzidas
Na solucao das equacoes diferenciais usando DM pode aparecer um grande numero
de medidas da ordem da constante de Planck, energias de interacao entre os atomos
e distancias inter-atomicas. Para evitar a manipulacao destes numeros e comum
realizar uma renormalizacao das medidas. Neste secao mostramos como se faz isso.
Considere um Hamiltoniano descrito por
H =N∑
i=1
~P 2i
2mi
+ U(~r1, ..., ~r1) (2.14)
onde
U(~r1, ..., ~rN) =∑
〈i,j〉VLJ(|~ri − ~rj|) =
∑
〈i,j〉4εss
[(σss
rij
)12
−(
σss
rij
)6]
(2.15)
e εss e o mınimo de energia do potencial na distancia de equilıbrio r0 = 21/6σss para
as partıculas pertencentes a superfıcie.
Considerando as equacoes de movimento podemos escrever
~ri =∂H
∂ ~Pi
=~Pi
mi
= ~vi (2.16)
~vi = − 1
mi
∂H
∂~ri
= −∑
j
48εss
σ2ssmi
[(σss
rij
)14
− 1
2
(σss
rij
)8]
~rij (2.17)
Capıtulo 2. Dinamica Molecular(DM) 51
Estas sao duas equacoes diferenciais de primeira ordem que podem ser integradas
no decurso do tempo usando metodos numericos apropriados.
Estas equacoes estao em unidades fundamentais, contudo elas nao sao boas
para simulacoes em computadores. Para coloca-las em unidades mais adequada
fazemos as seguintes transformacoes:
~ri = σss~r∗i ⇒ |~rij| = σssr
∗ij ⇒ drij = σssdr∗ij (2.18)
t = γt∗ ⇒ dt = γdt∗ (2.19)
Com estas equacoes podemos escrever
~vi =σss
γ
d~r∗idt∗
=σss
γ~v∗i ⇒ ~vi =
σss
γ2
d2~r∗idt2∗
=σss
γ2~v∗i (2.20)
agora usando as equacoes (2.14)-(2.20) obtemos
γ = σss
√mi
εss
(2.21)
~ri∗
= ~v∗i (2.22)
~vi∗
= −∑
j
48
[(r∗ij
)−14 − 1
2
(r∗ij
)−8]~r∗ij (2.23)
V (rij)∗ =
V (rij)
εss
(2.24)
Da definicao de temperatura 2.7 podemos escrever
3N
2
(kBT
εss
)=
N∑i=1
1
2[~v∗i ]
2 =3N
2T ∗
onde
T ∗ =kBT
εss
. (2.25)
Assim, nas simulacoes, trabalhamos com as grandezas marcadas com um ∗. Para
obter os valores de laboratorio basta fazer as transformacoes inversas.
Capıtulo 3
Simulacao de Microscopia porForca de Atrito-FFM
3.1 Simulacao de uma Superfıcie.
Neste trabalho usamos DM para estudar a superfıcie (001) do cristal cubico de corpo
centrado (BCC)(Ver figura 3.2) em que as partıculas interagem atraves do poten-
cial modificado de Lennard-Jones (Capıtulo 2). As equacoes de movimento sao in-
tegradas atraves do algoritmo de Beeman com um passo no tempo de tamanho ∆t =
10−3γ. Inicialmente distribuımos N partıculas ao redor das posicoes de equilıbrio
da geometria BCC (001) com parametro de rede a =(
27
33
)1/6
σss preenchendo k ca-
madas na direcao z que e perpendicular ao substrato. A camada inferior em z = 0
e fixa para simular as caracterısticas de ”bulk”. Usamos dois tipos de condicoes de
contorno: A primeira, periodica nas direcoes paralelas a superfıcie e condicao aberta
na direcao z e a segunda, aberta nas direcoes x,y e z. Para equilibrar o sistema us-
amos o metodo de renormalizacao de velocidades(Capıtulo 2) deixando o sistema
evoluir por 50 × 103γ passos no tempo. As unidades de medidas do comprimento,
massa e energia, tempo , velocidade e temperatura sao as descritas no Capıtulo 2.
3.1.1 Termodinamica.
Antes de iniciar nossas simulacoes de FFM temos de estimar a temperatura de
fusao superficial Tm do material. A Figura 3.1 mostra a energia total (por atomo)
como funcao da temperatura. A temperatura de fusao e estimada como o ponto de
52
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 53
inflexao da curva. Nos encontramos Tm ≈ 1.1 de acordo com trabalhos anteriores
[51, 52, 53, 54, 70, 71]. Baseado neste resultado nossas simulacoes serao realizadas
com T < Tm e a temperatura vai ser especificada em cada resultado apresentado.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3T
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Et/
N
Tm
Figura 3.1: Energia como funcao da temperatura para a simulacao com condicoes de contorno abertas em x,y e z. A temperatura de fusao e estimada como o ponto de inflexao sendo Tm ≈ 1.1.
Na proxima secao apresentaremos os detalhes numericos da DM para a sim-
ulacao de FFM.
3.2 Detalhes da simulacao de FFM
Nossa simulacao de FFM foi feita da seguinte maneira. Nos consideramos a superfıcie
simulada da secao anterior e adicionamos uma ponta sonda da AFM que podera
ser arrastada sobre a superfıcie. A figura 3.2 mostra uma visao esquematica de
nossa simulacao para reproduzir o mecanismo da FFM. O sistema e organizado em
4 camadas com condicoes de contorno periodicas nas direcoes x − y e aberta em
z. A primeira camada foi mantida congelada em seu arranjo inicial, de maneira a
manter toda a estrutura o mais plana possıvel. A ponta foi simulada por uma unica
partıcula de massa M , acoplada a tres molas de constantes elasticas, kx = εss/σ2ss,
ky = εss/σ2ss e kz = εss/σ
2ss, do qual, nos possibilita variar/medir a forca normal(fz)
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 54
e medir a forca lateral(fx e fy).
Com a ponta proxima da superfıcie nos levamos o substrato a uma dada tem-
peratura T (Ver secao 2.7.1). Depois do sistema entrar em equilıbrio termico a
ponta e puxada em uma dada direcao paralela a superfıcie com velocidade con-
stante, v0x = vL cos(θ), v0y = vL sin(θ), v0z = 0, vL = v√
(εss/m). Aqui θ foi
definido relativo a direcao (100) do substrato e v foi variado para se obter diferentes
velocidades. Estes valores sao mantidos fixos para cada simulacao, assim como a
distancia z entre a posicao de equilıbrio da mola e a superfıcie, para se ter o controle
da forca normal(fz) atuando na mola.
Figura 3.2: Visao esquematica de nosso aparato de simulacao.
A energia de interacao entre as partıculas do sistema pode ser descrita pelo
seguinte hamiltoniano,
H =N1∑i=1
~P 21i
2m1i
+N2∑i=1
~P 22i
2m2i
+ U1 + U2 + U12 (3.1)
onde
U1 =∑
〈i,j〉4ε1ij
[(σ1ij
r1ij
)12
−(
σ1ij
r1ij
)6]
U12 =∑
〈i,j〉4ε1i2j
[(σ1i2j
r1i2j
)12
−(
σ1i2j
r1i2j
)6](3.2)
U2 =N2∑i=1
Cextm
2(~r2i + ~r20i)
2 (3.3)
Os somatorios em U1 e U12 sao realizados nas partıculas que estao no substrato
e entre a ponta e o substrato, respectivamente. O termo U2 esta associado com
o potencial harmonico associado com o cantilever. Utilizando este hamiltoniano
podemos escrever as equacoes de movimento para cada partıcula
˙~r1i =∂H
∂ ~P1i
=~P1i
m1i
= ~v1i ; ˙~r2i =∂H
∂ ~P2i
=~P2i
m2i
= ~v2i , (3.4)
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 55
˙~v1i = − 1
m1i
∂H
∂~r1i
=∑
j
48ε1ij
σ21ijm1i
[(σ1ij
r1ij
)14
− 1
2
(σ1ij
r1ij
)8]
~r1ij
+∑
j
48ε1i2j
σ21i2jm1i
[(σ1i2j
r1i2j
)14
− 1
2
(σ1i2j
r1i2j
)8]
~r1i2j , (3.5)
˙~v2i = − 1
m2i
∂H
∂~r2i
= −∑
j
48ε1i2j
σ21i2jm2i
[(σ1i2j
r1i2j
)14
− 1
2
(σ1i2j
r1i2j
)8]
~r1i2j
− Cextm (~r2i + ~r20i) . (3.6)
Devemos notar que ~r20i = v0xtx+v0yty+z0z e a posicao de equilıbrio da mola(cantilever),
onde as constantes v0x, v0y sao definidas da maneira descrita acima e z0 e o parametro
a ser variado em cada simulacao para se obter diferentes forcas normais.
3.3 Resultados da Simulacao de FFM.
3.3.1 Dependencia com a Temperatura e Forca Normal
Nesta secao realizamos simulacoes para varias temperaturas e distancias iniciais
z entre a ponta e o substrato ou equivalentemente a forca normal. Em todas as
simulacoes usamos, σ1ij = σss = 1, ε1ij = εss = 1, m1i = m2i = 1, e σ1i2j = 1.2σss,
ε1i2j = 0.5εss. Nesta secao fixemos θ = 0 e v = 0.05. No Apendice B estao os graficos
das forcas de atrito como funcao do tempo para varias normais e temperaturas. Com
base nestes resultados, na figura 3.3 mostramos graficos da forca de atrito como
funcao da forca normal para varias temperaturas.
A Lei de Amonton (Secao 1.1.1) afirma que a forca de atrito e proporcional
a forca normal e independente da area de contato. Este tipo de comportamento foi
observado em varios sistemas por varios autores [1], que ajustaram 〈Fx〉 como uma
funcao linear da normal e da area de contato, A:
〈Fx〉 = µ〈Fz〉+ cA. (3.7)
Nesta equacao µ e o coeficiente de atrito e o segundo termo cA e interpre-
tado como a forca de atrito mınima quando a forca normal e nula. Ringlein et.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 56
-1 0 1 2 3 4<Fz>
0.5
1
1.5
2
<F
x>
a)
-1 0 1 2 3 4<Fz>
0.5
1
1.5
2
<F
x>
b)
-1 0 1 2 3 4<Fz>
0.5
1
1.5
2
<F
x>
c)
-1 0 1 2 3 4<Fz>
0.5
1
1.5
2
<F
x>
d)
-1 0 1 2 3 4<Fz>
0.5
1
1.5
2
<F
x>
e)
Figura 3.3: A figura mostra a forca de atrito, 〈Fx〉 como funcao da forca normal, 〈Fz〉 para varias tem-peraturas. A forca 〈Fx〉 e 〈Fz〉 sao medidas em unidades de ε1/σ1. As figuras, a, b, c, d, e sao para os valores deT = 0.25, 0.44, 0.67, 0.85, 1.05 respectivamente. Os cırculos sao nossos resultados de MD e as linhas correspondem aum ajuste linear.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 57
al.[72] mostrou que, em escala nanometrica, sistemas adesivos apresentam uma de-
pendencia com a area de contato, quebrando a Lei de Amonton. Nosso sistema e
efetivamente adesivo, dado que em nossas simulacoes utilizamos o potencial LJ entre
a ponta e a superfıcie tendo uma parte atrativa. Assim, nossas simulacoes ilustram
como uma forca que viola a Lei de Amonton pode depender da temperatura[73, 74].
Na secao 1.4.7 mostramos que a forca de atrito nao e uma funcao linear da
forca normal. No entanto, a deducao deste modelo teorico foi feita posterior ao
desenvolvimento desta analise. Desta forma, os calculos do coeficiente de atrito, das
secoes seguintes foram feitos calculando de maneira numerica a derivada da forca de
atrito com relacao a normal (∂fl/∂fz). Estes resultados indicaram que em media,
esta e uma boa aproximacao e com isso, resolvemos manter esta aproximacao dada
a sua simplicidade.
0.2 0.4 0.6 0.8 1T
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cA
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1T
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
µ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura 3.4: Plot de cA (esquerda) e µ (direita) como funcao da temperatura. A linha e somente um guia paraos olhos, os pontos com sımbolos circulares(◦) sao os resultados das simulacoes de MD e os pontos com sımbolosquadrados(¤) e a previsao teorica.
Primeiramente, nos estudamos o comportamento do termo cA em funcao da
temperatura T, como mostra a fig. 3.4(esquerda). Os resultados mostram que,
quando a temperatura aumenta, a area de contato ou as forcas de adesao diminuem.
Este tipo de comportamento pode estar relacionado com o fato de que em baixas
temperaturas os atomos na superfıcie executam saltos com baixa amplitude, assim,
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 58
o numero de colisoes com a ponta e baixo. Neste caso, a area de contato efetiva e
alta porque a ponta fica um longo tempo em contato com a superfıcie. No entanto,
quando a temperatura cresce o numero de partıculas da superfıcie flutuando com
energia alta aumenta. Consequentemente, o numero de colisoes com alta energia na
ponta cresce, levando a uma diminuicao da area de contato efetiva.
Tambem observamos que, o coeficiente de atrito, figura 3.4 (direita) com
sımbolos circulares (◦), apresenta um crescimento abrupto em T ∼ 0.7εss/Kb.
Abaixo, discutiremos o fato de que este comportamento pode estar relacionado a
uma pre-fusao da superfıcie(surface pre-melting). Note que a linha com sımbolos
quadrados (¤), e a previsao teorica da dependencia da forca de atrito com a tem-
peratura, e esta apresenta um crescimento contınuo. Este fato e mais um ponto que
indica a presenca de uma pre-fusao da superfıcie, dado que o modelo teorico nao
leva em conta efeitos nao lineares, presentes no aquecimento de superfıcies.
Na figura 3.5 mostramos um grafico do caminho percorrido pela ponta sobre
a superfıcie para varias temperaturas e forcas normais. Como era esperado, os
caminhos sao bem definidos para baixas temperaturas tornando-se aleatorio quando
a temperatura aumenta.
Para entendermos melhor o que esta acontecendo, nos calculamos o tempo
de residencia da ponta em cada sıtio, definido como o tempo que a ponta fica na
vizinhanca de um sıtio especıfico, por exemplo, a distancia a algum sıtio sendo
menor que alguma distancia δ. Sem perda de generalidade, nos escolhemos δ = a,
o parametro de rede. Na figura 3.6 e 3.7 nos mostramos o histograma para forcas
normais Fz = −1.09,−1.02,−0.95,−0.42,−0.14 e Fz = 2.05, 2.09, 2.13, 2.52, 2.56
respectivamente, obtido usando um tamanho de feixe tbeam = 5 para varias temper-
aturas.
Para valores negativos de Fz o tempo de residencia e bem definido ate mesmo
para altas temperaturas, tendo sua media em δt ≈ 50. A ponta esta em contato com
a superfıcie porem sendo puxada, assim, esta pode facilmente se mover ao longo de
canais na superfıcie do cristal. O movimento e fortemente direcionado na direcao
do movimento do cantilever.
Na fig. 3.7 nos mostramos o histograma para valores positivos de Fz. As
temperaturas sao as mesmas da fig. 3.3. Para baixas temperaturas o comportamento
e similar ao de Fz < 0. Porem, quando a temperatura cresce, o tempo de residencia
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 59
-10 0 10x
0
10
20
30
y
-10 0 100
10
20
30 a)
-10 0 10x
0
10
20
30
y-10 0 10
0
10
20
30 b)
-10 0 10x
0
10
20
30
y
-10 0 100
10
20
30 c)
-10 0 10x
0
10
20
30
y
-10 0 100
10
20
30 d)
-10 0 10x
0
10
20
30
y
-10 0 100
10
20
30 e)
Figura 3.5: Caminho percorrido pela ponta sobre a superfıcie (plano xy) para varias temperaturas e forcasnormais. De a) ate e) nos temos T = 0.25, 0.44, 0.67, 0.85, 1.05 respectivamente. As forcas normais sao definidas nafig. 3.3. Os graficos foram mostrados deslocados por um valor constante na direcao y para melhor visualizacao.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 60
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 a)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 b)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 c)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 d)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 e)
Figura 3.6: Histograma para o tempo de residencia. As forcas normais sao respectivamente Fz = −1.09, −1.02,−0.95, −0.42, −0.14.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 61
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 a)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 b)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 c)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 d)
0 50 100 150 200t
0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 2000
5
10
15
20
25
30
35 e)
Figura 3.7: Histograma para o tempo de residencia. As forcas normais sao respectivamente Fz = 2.05, 2.09,2.13, 2.52, 2.56.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 62
se espalha para regioes de altos tempos t.
Em um recente trabalho de Resende e Costa [52] usando simulacoes de dinamica
molecular, eles estudaram a migracao de um atomo individual na superfıcie de um
cristal bcc 12− 6 de Lennard-Jones. Eles argumentaram que uma anomalia ocorria
na constante de difusao em T ≈ 0.7 e que esta poderia ser uma assinatura do pro-
cesso de pre-fusao (pre-melting process). Em baixas temperaturas uma partıcula
depositada pode se mover pelos canais da superfıcie dado que o movimento termico
dos atomos do substrato tem baixa amplitude. Uma vez que a temperatura au-
menta alcanca-se um estado intermediario. A superfıcie comeca a fundir ate que
os canais sejam fechados e adatomos sao presos na vizinhanca dos atomos da su-
perfıcie. A situacao permanece ate que o adatomo seja termicamente ativado e
uma difusao aleatoria (random-walk diffusion) ocorre. Em suma o coeficiente de
difusao apresenta um mınimo em uma regiao intermediaria. Sob o ponto de vista
de atrito, nos podemos nos perguntar qual e o efeito deste fenomeno. Para duas
superfıcies macroscopicas em movimento relativo, nos nao podemos esperar que os
dois primeiros processos possam ser distinguidos sendo que a area de contado e
grande comparada as distancias interatomicas. Porem, para temperaturas altas, a
superfıcie e lubrificada por atomos desprendidos da superfıcie e podemos esperar que
o coeficiente de atrito diminua. A situacao e um pouco diferente para uma pequena
ponta em contato com a superfıcie.
Nos interpretamos isto como um fechamento dos canais, discutidos acima,
devido ao movimento termico das partıculas da superfıcie. Quando a temperatura
aumenta as partıculas ganham mais energia, que e eventualmente suficiente para
retirar a ponta de qualquer vizinhanca especıfica.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 63
3.3.2 Dependencia com a Velocidade e Forca Normal
Nesta secao realizamos simulacoes para varias velocidades da ponta, e para cinco
diferentes valores de forca normal. Em todas as simulacoes desta secao utilizamos
θ = 0, T = 0.5. Na figura (3.8) mostro nossos resultados da simulacao (pontos) e
a previsao teorica(linhas) da forca de atrito como funcao da velocidade para varias
normais. Nota que nossa previsao teorica, equacao (1.63), tem um bom acordo com
os resultados da simulacao, somente ajustando valores apropriados para a posicao
crıtica de saltos, qzc (proxima do mınimo do potencial de interacao), escolhendo
valores para, ν0 (frequencia de transicao de saltos) e G∗ [RE∗
]1/3(Ver secao 1.3.2)
0 0.5 1 1.5v
L
00.5
11.5
22.5
f L
0 0.5 1 1.5v
L
00.5
11.5
22.5
f L
0 0.5 1 1.5v
L
00.5
11.5
22.5
f L
0 0.5 1 1.5v
L
00.5
11.5
22.5
f L
0 0.5 1 1.5v
L
00.5
11.5
22.5
f L
a) b)
c) d)
e)
Figura 3.8: Forca de atrito como funcao da velocidade para varias normais. De a) ate e) termos respectivamente< fz >∼ 0.95, 1.54, 2.25, 2.75, 2.50. Os pontos sao os resultados da simulacao e a linha sao as previsoes teoricas.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 64
Na figura (3.9) mostro os resultados da simulacao (pontos) e a previsao teorica(linha)
para o coeficiente de atrito medio como funcao da velocidade. Estes resultados
tambem apresentam um bom acordo com a simulacao, indicando que nosso modelo
apresenta resultados consistentes com os esperados.
0 0.5 1 1.5v
L
0.2
0.22
0.24
0.26
<µ>
Figura 3.9: Coeficiente de atrito medio como funcao da velocidade, calculado a partir da figura 3.8. Os pontossao os resultados da simulacao e a linha e a previsao teorica.
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 65
3.3.3 Dependencia com a Temperatura e Velocidade.
Nesta secao realizamos simulacoes para varias velocidades, e para seis diferentes
valores de temperatura, (T = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6). Em todas as simulacoes
desta secao utilizamos θ = 0 e < fz >∼ 0.95. Na figura (3.10) mostro nossos
resultados da simulacao (pontos) e a previsao teorica(linhas) da forca de atrito como
funcao da velocidade para varias temperaturas. Nota-se que nossa previsao teorica
indica um bom acordo com os resultados da simulacao.
0 0.5 1 1.5v
L
0.60.8
11.21.41.61.8
2
f L
0 0.5 1 1.5v
L
0.60.8
11.21.41.61.8
2f L
0 0.5 1 1.5v
L
0.60.8
11.21.41.61.8
2
f L
0 0.5 1 1.5v
L
0.60.8
11.21.41.61.8
2
f L
0 0.5 1 1.5v
L
0.60.8
11.21.41.61.8
2
f L
0 0.5 1 1.5v
L
0.60.8
11.21.41.61.8
2
f L
a) b)
c) d)
e) f)
Figura 3.10: Forca de atrito como funcao da velocidade para varias temperaturas, onde resultados da simulacaosao os pontos e a previsao teorica sao as linhas. Os resultados de a) ate f) correspondem respectivamente paraT = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6.
Na figura (3.11) mostro nossa previsao teorica do coeficiente de atrito medio
como funcao da velocidade. Nesta figura, as linhas sao apenas guias para os ol-
hos, e os pontos sao as previsoes teoricas. Os resultados sao respectivamente,
(◦)T = 0.1, (¤)T = 0.2, (¦)T = 0.3, (4)T = 0.4, (5)T = 0.5, (∗)T = 0.6. Note
que nesta secao nao variamos a forca normal para cada temperatura, com isso nao
temos como calcular o coeficiente de atrito, da maneira como definido neste tra-
balho, por meio de nossas simulacoes. No entanto, perceba que nossos resultados
estao consistente com os apresentados anteriormente, visto que, a medida que a
Capıtulo 3. Simulacao de Microscopia por Forca de Atrito-FFM 66
temperatura aumenta ocorre um diminuicao das forcas de atrito(Ver figura 3.10) e
um aumento do coeficiente de atrito pode ser visualizado na figura (3.11).
0 0.5 1 1.5
VL
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
<µ>
Figura 3.11: coeficiente de atrito medio como funcao da velocidade para varias temperaturas. Nesta figura,as linhas sao apenas guias para os olhos, e os pontos sao as previsoes teoricas. Os resultados sao respectivamente,(◦)T = 0.1, (¤)T = 0.2, (¦)T = 0.3, (4)T = 0.4, (5)T = 0.5, (∗)T = 0.6.
Note que, nas figuras (3.9) e (3.11), a medida que a velocidade aumenta o
coeficiente de atrito atinge um valor maximo e a partir dai comeca a diminuir.
Esse comportamento pode estar relacionado com o fato de que, acima de uma certa
velocidade crıtica, a medida que a velocidade aumenta, a ponta executa saltos cada
vez mais energeticos, passando pouco tempo em um determinado sıtio. Com isso,
para uma variacao fixa da forca normal, a variacao da forca de atrito ira diminuir
a medida que a velocidade aumenta, levando entao a diminuicao do coeficiente de
atrito observado nos resultados.
Em resumo, nosso modelo tri-dimensional para a forca de atrito e o coeficiente
de atrito, (Ver capıtulo 1), obtido a partir deste, mostraram-se de acordo com os
resultados das simulacoes.
Capıtulo 4
Atrito em Dispositivos Magneticos
Nesta secao, irei propor um modelo teorico-computacional onde combinarei tecnicas
de Monte Carlo[75, 76, 77] e Dinamica Molecular(MC-MD) para simular e estudar
dissipacao de energia entre uma ponta e uma superfıcie magnetica que estao em
movimento relativo. O entendimento de como calor e dissipado entre as duas partes
moveis e de fundamental importancia hoje em dia, pois, este tipo de sistema tem
varias aplicacoes tecnologicas importantes.
A disponibilidade de varias tecnicas experimentais refinadas, como por exem-
plo, a microscopia de forca magneticas(MFM), onde uma ponta de AFM e recoberta
por material magnetico, para se estudar as propriedades de superfıcies magnetizadas.
Este tipo de tecnica nos possibilita investigar efeitos magneticos nos processos fun-
damentais que contribuem para o atrito de deslizamento em escala atomica.
Varios autores estudaram a dissipacao de energia sobre um substrato ocor-
rendo principalmente por dois canais de dissipacao, denominados de fononico e
eletronico. Estes autores estudaram tambem, como o coeficiente de atrito fononico
depende da amplitude da corrugacao, obtendo sucesso consideravel na resolucao
deste problema [38, 78, 55, 79, 80]. No entanto, pouco se sabe, qual o efeito no
atrito entre superfıcies deslizantes caso estas sejam magneticas. Aplicacoes de sub-
micro ımas em spintronica, computacao quantica e armazenamento de dados, de-
mandam uma compreensao enorme do comportamento de materiais magneticos sub-
microscopicos. A construcao de dispositivos magneticos, hoje em dia tem trabalhado
com distancias da ordem de nanometros, entre a cabeca de leitura e o dispositivo
de armazenamento. Isso faz o estudo dos fenomenos tribologicos cruciais para com-
67
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 68
preender e produzir dispositivos tecnologicos competitivos [17, 81, 82, 83, 84, 85, 86].
Na verdade, a dissipacao do calor em dispositivos magneticos e um problema
muito serio. Por exemplo, em um disco rıgido magnetico(HDD), quando a cabeca
de leitura passa perto da superfıcie do disco, transfere momento para este. Este
momento por sua vez, aumenta localmente a temperatura. Dependendo da taxa de
transferencia e da capacidade do disco transferir este calor para a sua vizinhanca,
toda ou parte da informacao localmente armazenada no disco pode ser perdida.
Na ultima decada, o progresso na tecnologia de producao de meios magneticos
de gravacao e de cabecas de leitura, fez a densidade de gravacao dobrar quase a
cada dois anos. O tamanho do grao magnetico usado nos mais avancados HDD e
da ordem de 0.5 × 0.5µm2, sendo que uma cabeca de leitura, que utiliza o efeito
da magneto resistencia gigante(GMR) para ler a informacao armazenada no grao
magnetico, tambem deve apresentar dimensoes similares a esta. Este tamanho de
grao magnetico pode ainda ser diminuıdo usando materiais com fortes anisotropias
magneticas. Entretanto, uma limitacao a este tipo de estrategia e o conhecido limite
paramagnetico, em que a energia de anisotropia se torna comparavel as flutuacoes
termicas, nao e difıcil de ser alcancado.
Como discutido por N. Garcia et. al. [87, 88], o armazenamento de dados
com densidade muito elevada (1 tbit/in2, tera-bit por polegada quadrada) exige
que o tamanho do grao encolha a alguns nanometros, com consequente diminuicao
da cabeca de leitura as mesmas dimensoes. Outros tipos de limitacoes conhecidas
nestes sistemas sao os ruıdos, Johnson e Shot, que estao presentes em qualquer
dispositivo magneto resistivo(MR) e sao respectivamente associados ao ruıdo termico
das oscilacao da rede nuclear e ao fato dos portadores de carga terem tamanhos
finitos. Uma outra limitacao a aplicacao do efeito da magneto resistencia para
construir sensores e o ruıdo termico induzido pelo flutuacao da magnetizacao. Como
discutido por N. Smith et. al. [89] e em suas referencias, o ruıdo magnetico e um
fenomeno fundamental que se manifesta como um ruıdo branco na flutuacao da
resistencia de cabecas leitoras magneto resistivas. Este efeito por sua vez, pode
exceder o ruıdo Johnson nas proximas geracoes destes dispositivos.
De fato, um sensor de leitura real, que e uma valvula de spins possuindo
uma estrutura do tipo PtMn/CoFe/Ru/CoFe/Cu/CoFe/NiFe/Ta, area fısica
quadrada de ≈ 0.4m × 0.4µm e coeficiente de GMR (∆R/R) ≈ 7% − 8%, apre-
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 69
sentou um ruıdo total medido(Johnson-amplificador-magnetico) de ' 1.3nV/√
Hz,
indicando que a contribuicao do ruıdo magnetico (' 0.86nV/√
Hz) excedeu o ruıdo
Johnson (' 0.84nV/√
Hz).
Todo dispositivo que usar o efeito da GMR para ler um grao magnetico e muito
sensıvel a configuracao de spin da superfıcie magnetica. A formacao de estruturas
como paredes de domınio magneticas ou de vortices no filme aumentara certamente
o ruıdo magnetico. Neste caso, a compreensao do mecanismo nanoscopico da dis-
sipacao de calor e crucial, sendo que, uma variacao na temperatura significa um
aumento nas densidades de paredes de domınio magneticas e de vortices no material
[90, 91, 92].
Os filmes magneticos que sao depositados em substratos nao magneticos sao
usados na construcao de HDD. Os filmes sao depositados em altas temperaturas o
que faz com que o material magnetico cresca com uma certa textura cristalografica.
Em tais filmes, a presenca desta rugosidade no substrato tem efeitos significativos
na anisotropia magnetica no plano. Este efeito e util em construcao de HDD, mas a
origem fısica desta anisotropia e ainda discutida hoje em dia. Os filmes magneticos
em que a interacao de troca so e relevante em separacoes menores que a separacoes
entre camadas, formam uma estrutura magneticas planar quase bi-dimensional(2d).
Em general a magnetizacao de tais filmes e confinada ao plano devido a anisotropia
de forma.
Outro tipo de fenomeno que ocorre nestes sistemas e o aparecimento de vortices.
Um vortice e uma excitacao topologica em que a integral de linha do campo em um
caminho fechado em torno do nucleo da excitacao resulta em 2π (−2π) (veja a
figura 4.1). Com a finalidade de evitar o custo energetico elevado de momentos
magneticos nao alinhados, os vortices desenvolvem uma estrutura tridimensional
girando para fora do plano as componentes magneticos do momento no centro do
vortice [93, 94, 95]. Se temos a finalidades de entender os mecanismos que governam
os discos com altas capacidades de armazenamento de dados, o estudo de excitacoes
tais como os vortices magneticos, tem um enorme interesse sendo que estes nos
fornecerao um entendimento fundamental das estruturas magneticas nanoscopicas
do sistema [82, 96, 97, 80].
Motivados a estudar o mecanismo da dissipacao de energia quando somente
graus de liberdade magneticos estao presentes, vamos propor um modelo prototipo.
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 70
Figura 4.1: Visao esquematica de um vortice (esquerda) e um anti-vortice (direita) para spins que tenham omesmo tamanho.
Uma visao esquematica e mostrada na figura 4.2. Nosso modelo consiste em uma
ponta magnetica (a cabeca de leitura) que se move perto de uma superfıcie magnetica
(a superfıcie do disco). A ponta e simulada como uma rede quadrada de momentos de
dipolo magneticos e a superfıcie e representado como uma mono-camada magnetica
distribuıda em um rede quadrada.
A energia deste arranjo e composta de um termo de curto alcance Hshort (este
termo sera discutido com mais detalhes abaixo.) mais um termo de longo alcance
Hlong, devido as interacoes dipolares. Definiremos por K, a razao entre a energia
de interacao dipolar e a energia de interacao de curto alcance. A energia do estado
fundamental por spin de um sistema como este, pode ser calculada exatamente
para um certo tamanho fixo do sistema. Dado que, no estado fundamental, K e
suficientemente pequeno, isso nos assegura que todas os spins estejam paralelamente
alinhados. De fato, A. Hucht et. al.[98] mostrou que para K < 4/30(3) = 0.1476
todas os spins estao apontando na direcao z. Neste trabalho nos vamos supor
que as interacoes de dipolo podem ser desprezadas, pois em baixas temperaturas,
estamos no limite de K pequeno, e deste modo, nao consideramos as interacoes
dipolares, como uma primeira aproximacao. Ou seja, nos estamos trabalhando na
regiao ferromagnetic do problema. Embora estejamos impondo algumas limitacoes
ao modelo, que retiram as interacoes de dipolo, podemos ver esta aproximacao como
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 71
um guia para compreender experiencias e trabalhos teoricos futuros. Por outro lado,
esta simplificacao faz com que o tempo de processamento seja reduzido a um limite
razoavel.
Figura 4.2: Visao esquematica de nosso arranjo computacional. A cabeca e simulada como uma rede 5× 5 de
partıculas rıgida cada uma com seu respectivo spin ~S. A superfıcie e simulada com um arranjo similar ao da cabeca,porem de tamanho 20 × 20. A cabeca pode deslizar sobre a superfıcie com velocidade inicial v = v0x. Usamoscondicoes de contorno periodicas nas direcoes dos planos e as setas representam os spins.
Com isto em mente, definiremos o seguinte hamiltoniano classico, para as
interacoes
H =N1∑i=1
~P 21i
2m1i
+N2∑i=1
~P 22i
2m2i
+ U1 + U2 + U12. (4.1)
Na equacao 4.1 os dois primeiros termos se referem a energia cinetica armazenada na
superfıcie e na ponta, respectivamente. Assim, seguindo esta convencao, os termos
U1 e U2 descrevem o potencial de interacao interno do substrato e da ponta, sendo
definidos por,
U1 =∑i,j
V1(r1ij)−∑i,j
1
2J1(r1ij)(S
x1iS
x1j + Sy
1iSy1j + λ1S
z1iS
z1j)−
N1∑i=1
D1(Sz1i)
2
+∑i,j
w1
2
(r21ij
~S1i · ~S1j − 3(~r1ij · ~S1i)(~r1ij · ~S1j)
r51ij
)(4.2)
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 72
U2 =∑i,j
V2(r2ij)−∑i,j
1
2J2(r2ij)(S
x2iS
x2j + Sy
2iSy2j + λ2S
z2iS
z2j)−
N2∑i=1
D2(Sz2i)
2
+∑i,j
w2
2
(r22ij
~S2i · ~S2j − 3(~r2ij · ~S2i)(~r2ij · ~S2j)
r52ij
)(4.3)
O termo U12 na equacao 4.1 se refere ao potencial de interacao entre a ponta e o
substrato que sera definido por,
U12 =∑i,j
V12(r1i2j)−∑i,j
J12(r1i2j)(Sx1iS
x2j + Sy
1iSy2j + λ12S
z1iS
z2j)
+∑i,j
w12
2
(r21i2j
~S1i · ~S2j − 3(~r1i2j · ~S1i)(~r1i2j · ~S2j)
r51i2j
)(4.4)
Os termos V1 e V2 nas equacoes 4.2 e 4.3 representam um possıvel potencial de
interacao de pares, tal como o potencial (12-6) de Lennard-Jones e r1ij ≡ |~r1i−~r1j|,r2ij ≡ |~r2i − ~r2j| e r1i2j ≡ |~r1i − ~r2j|.
Em um sistema quase bi-dimensional, com interacao definida pelas equacoes
4.2 ou 4.3, apresentam varias estruturas magneticas que dependem do tamanho e da
geometria da amostra. Varias situacoes sao apresentadas e discutidas na referencia
[99](E em referencias deste artigo). Embora as estruturas apresentadas por este
tipo de sistema sejam bem entendidas, o diagrama de fase deste modelo esta ainda
em discussao, dado que podemos combinar de varias maneiras os parametros do
modelo(J,D, λ, w). No entanto, vamos discutir de maneira qualitativa a fenomenolo-
gia do modelo.
Iniciarei esta discussao para o caso w = 0 e D = 0. Nesta situacao temos que o
termo de anisotropia de troca λ controla o tipo de vortice que e mais estavel na rede.
Existe um valor crıtico de anisotropia λc ≈ 0.7J [93, 94, 95], tal que para λ < λc a
energia do vortice sera mınima quando os spins do centro do vortice estiverem no
plano(in-plane configuration). Para λ > λc a configuracao que minimiza a energia
do vortice e aquela tal que os spins do centro do vortice irao apresentar uma grande
componente fora do plano(out-of-plane configuration). A anisotropia de sıtio, D,
controla a magnetizacao fora do plano(out-of-plane magnetization) do modelo[100].
Para o caso de um sistema isotropico(λ = 1) e D > 0 o modelo esta na classe de
universalidade de Ising [101], apresentando uma transicao de fase do tipo ordem
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 73
desordem. Se D < 0 o modelo esta na classe de universalidade xy, e neste caso, o
sistema sofre uma transicao de fase do tipo Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT ),
que e caracterizada pelo desligamento de pares vortice-anti-vortice, sem ordem de
longo alcance[81, 102], para D suficientemente pequeno (Em geral D/J << λ.), em
alguma temperatura crıtica TBKT . Se, D/J = λ = 0, TBKT ≈ 0.7. Para D/J >> λ
o sistema apresenta uma transicao de fase de segunda ordem, em Tc, que depende
do valor de D.
Para o caso w 6= 0, existe uma competicao entre o termo dipolar e o termo
de anisotropia de sıtio que controla a magnetizacao fora do plano. Se w e pequeno
comparado a D, podemos esperar que o sistema tenha um comportamento tal como
o de Ising. Se w nao e tao pequeno esperamos que ocorra uma transicao da con-
figuracao de spins fora do plano para o plano [103]. Para w grande o suficiente,
a configuracao fora do plano se torna instavel e a energia dos spins e minimizada
desenvolvendo uma configuracao anti-ferromagnetica no plano.
De posse do hamiltoniano 4.1, usarei as equacoes classicas de Hamilton para
calcular as equacoes de movimento para as posicoes e momentos obtendo assim,
˙~r1i =~P1i
m1i
= ~v1i˙~r2i =
~P2i
m2i
= ~v2i (4.5)
~P1i = −∑
j
~r1ij
r1ij
(∂U1
∂r1ij
)−
∑j
~r1i2j
r1i2j
(∂U12
∂r1i2j
)
~P2i = −∑
j
~r2ij
r2ij
(∂U2
∂r2ij
)+
∑j
~r1i2j
r1i2j
(∂U12
∂r1i2j
)(4.6)
Para evoluir o sistema de spins, usaremos as Equacoes de Landau-Lifshitz-Gilbert
(LLG)[104] que sao dadas por,
~S1i = ~S1i × [ ~H1ieff (t) + α1i
~S1i × ~H1ieff (t)]
~S2i = ~S2i × [ ~H2ieff (t) + α2i
~S2i × ~H2ieff (t)] (4.7)
onde,
~H1ieff (t) = − ∂H
∂~S1i
~H2ieff (t) = − ∂H
∂~S2i
. (4.8)
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 74
O parametro α1i,2i nas equacoes 4.7 sao identificados como um parametro dissipativo
que tende a levar o sistema de spins ao estado fundamental. No entanto, em um
trabalho realizado por Bulgac e Kusnezov[62, 63], eles mostraram que este parametro
pode realizar o acoplamento de um banho termico ao sistema de spins controlando
a temperatura. Na verdade este acoplamento acarreta a necessidade de se evoluir
este parametro no decurso do tempo. Assim, com base neste trabalho podemos
mostrar que as equacoes que descrevem a evolucao temporal destes parametro para
uma desejada temperatura T sao,
α1i = γ[ ~H1ieff · ~H1i
effS21i − ( ~H1i
eff · ~S1i)( ~H1ieff · ~S1i)]
− kbT [−(∂
∂~S1i
· ~H1ieff )S
21i + ~S1i · (~S1i · ∂
∂~S1i
) ~H1ieff + 2 ~H1i
eff · ~S1i] (4.9)
α2i = γ[ ~H2ieff · ~H2i
effS22i − ( ~H2i
eff · ~S2i)( ~H2ieff · ~S2i)]
− kbT [−(∂
∂~S2i
· ~H2ieff )S
22i + ~S2i · (~S2i · ∂
∂~S2i
) ~H2ieff + 2 ~H2i
eff · ~S2i] (4.10)
onde kb e a constante de Boltzman e γ esta associado com a inercia do sistema de
spins do banho termico.
As equacoes 4.5, 4.6, 4.7, 4.9 e 4.10 devem ser integradas numericamente, dada
uma configuracao inicial de posicoes, de momentos e de spins.
4.1 Movimento Relativo entre duas Superfıcies
Magneticas
Nosso hamiltoniano(equacao 4.1) possui alguns parametros de ajuste que definem e
controlam as simetrias que nosso sistema ira possuir.
Como nosso primeiro trabalho, vamos considerar o movimento relativo de dois
planos no qual as forcas que os acoplam sao puramente ferro-magneticas (V12 =
0) e as interacoes dipolares serao desconsideradas (w1 = w2 = w12 = 0). Este
acoplamento sera do tipo Heisenberg isotropico (λ12 = 1) e J12 sendo uma funcao
da distancia entre os spins de cada plano, dado por:
J12 = J0 exp(−αg(r1i2j − r0)2), (4.11)
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 75
que ira nos possibilitar estudar os efeitos do movimento relativo entre as duas su-
perfıcies [105, 106]. As constantes de acoplamento de Heisenberg intra-planos serao
definidas por J1 = J2 = Const. = J .
As posicoes iniciais das superfıcies sao dispostas como duas redes quadradas
de areas A1 = 20a × 20a (Substrato) e A2 = 5a × 5a (Cabeca de Leitura), rıgidas
(V1 = V2 = 0) e com condicoes de contorno periodicas nas direcoes xy. Sem perda
de generalidade fizemos a = 1 e na figura 4.2 mostro um visao esquematica de nosso
sistema onde inicialmente, colocamos a rede A1 muito afastada da rede A2 para que
J12 = 0.
Estamos interessado em estudar, a transferencia de energia cinetica, para os
graus de liberdade magneticos a energia constante. Para isto, definiremos (α = 0)
e usaremos uma simulacao de Monte Carlo(MC) para equilibrar o sistema a uma
dada temperatura T. Controlando a energia do sistema, assumimos que depois de
3× 105 passos de MC nosso sistema tenha atingido o equilıbrio.
Com base nestas definicoes os termos que compoem nosso hamiltoniano 4.1
sao,
U1 = −J
2
∑
〈i,j〉(Sx
1iSx1j + Sy
1iSy1j + λ1S
z1iS
z1j)−
N1∑i=1
D1(Sz1i)
2 (4.12)
U2 = −J
2
∑
〈i,j〉(Sx
2iSx2j + Sy
2iSy2j + λ2S
z2iS
z2j)−
N2∑i=1
D2(Sz2i)
2 (4.13)
U12 = −∑i,j
J12(r1i2j)(~S1i · ~S2j). (4.14)
O sımbolo 〈i, j〉 diz que as somas sao realizadas somente sobre os primeiros vizinhos.
Estas tres equacoes nos levam as seguintes equacoes de movimento,
˙~r1i =~P1i
m1i
= ~v1i˙~r2i =
~P2i
m2i
= ~v2i (4.15)
~P1i = −∑
j
~r1i2j
r1i2j
(~S1i · ~S2j)
(∂J12
∂r1i2j
); ~P2i = − ~P1i (4.16)
~S1i = ~S1i × ~H1ieff (t) ~S2i = ~S2i × ~H2i
eff (t) (4.17)
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 76
∂J12
∂r1i2j
= −2J0αg(r1i2j − r0) exp(−αg(r1i2j − r0)2) (4.18)
~H1ieff (t) = J
∑
j,〈i,j〉
~S1j + 2D2Sz1ik +
∑
j,〈i,j〉J12(r1i2j)~S2j (4.19)
~H2ieff (t) = J
∑
j,〈i,j〉
~S2j + 2D2Sz2ik +
∑
j,〈i,j〉J12(r1i2j)~S1j. (4.20)
Assim, as solucoes para as equacoes 4.15, 4.16 e 4.17 sao obtidas evoluindo o estado
fısico (conjunto de todas as posicoes, velocidades e spins) em pequenos intervalos de
tempo δt = 10−3J−1 e as equacoes resultantes sao resolvidas usando o metodo de
integracao de Runge-Kutta [47, 48, 49, 50].
Dado estas configuracoes iniciais, observamos a evolucao do sistema em re-
pouso durante um pequeno intervalo de tempo τ , para comparacoes posteriores.
Para t > τ definimos uma velocidade inicial v = v0x para a superfıcie A2 e armazen-
amos todas as posicoes, velocidades e componentes de spin do sistema durante a
evolucao para posteriores analises.
A quantidade importante em nossas simulacoes e a densidade de vortices ϕv(t)
na superfıcie A1. Na realidade, estamos interessados em estudar se existe alguma
relacao entre esta quantidade e a dissipacao de energia nestes sistemas.
Nos calculamos a densidade de vortices como funcao da temperatura para
varios valores dos parametros λ1,2/J e D1,2/J , por meio de simulacao de MC. Como
ja foi comentado, na proxima sessao relacionaremos a densidade de vortices com
dissipacao de energia. Em nossos resultados energia esta em unidades de J , temper-
atura em unidades de J/kB, tempo em unidades de J−1 e velocidade em unidades
de a/J−1, onde kB e a constante de Boltzman.
4.1.1 Resultados das Simulacoes
O sistema foi simulado para varios valores de temperatura e parametros de anisotropia.
Em todas elas fixamos J0 = 2J and αg = 1. No primeiro conjunto de simulacoes
usamos λ1 = λ2 = 1 e D1 = D2 = 0.1J , −0.1J para obter um sistema que possua
respectivamente, simetria fora do plano (Ising-like) e no plano(XY ). No segundo
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 77
0.25 0.5 0.75 1T
0
0.05
0.1<ϕ
v>/N
0.5 10
0.05
0.1D
1=D
2=0.1J
D1=D
2=-0.1J
λ1=λ
2=0.6
λ1=λ
2=0.9
Figura 4.3: Densidade de vortices como funcao da temperatura.
conjunto, usamos D1 = D2 = 0 e λ1 = λ2 = 0.6, 0.9 para obter vortices tais que os
spins em seus nucleos estejam no plano e fora do plano, respectivamente.
Antes de iniciarmos a evolucao temporal do sistema, temos de conhecer qual o
comportamento da densidade de vortice , ϕv, em funcao da temperatura. Na figura
4.3 mostro um grafico de ϕv como funcao da temperatura para os sistemas simulados
que mostra que ϕv aumenta monotonicamente com T . Assim, se existir alguma
relacao entre vortices e dissipacao de energia e natural pensar que um aumento em
ϕv esteja relacionado com um aumento na temperatura T .
Com a cabeca longe da superfıcie, iniciamos nossa evolucao temporal em t = 0
e ate t < 200 a cabeca permanece com velocidade do centro de massa v2cm = 0. Esta
parte da simulacao serve como um guia para a evolucao temporal total, sendo que
ϕv somente oscila em torno de seu valor medio. Em t = 200 definimos v2cm = v0
e com isso, apos algum tempo, a cabeca ira interagir com a superfıcie. Durante a
interacao, energia cinetica e transferida da cabeca para a superfıcie e esperamos que
neste processo ϕv aumente. Veremos a seguir que dependendo das condicoes iniciais
e da simetria do sistema (Ver equacao 4.1.) varios fenomenos podem ocorrer.
Nas figuras 4.4 ate 4.7 mostramos graficos da densidade de vortice como funcao
do tempo, para os parametros de simulacao comentados acima. Em cada figura, os
graficos de a) a h), correspondem a temperaturas T = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8.
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 78
Para o sistema que possui simetria fora do plano(out-of-plane symmetry) ob-
servamos que para baixas temperaturas ϕv aumenta quando a cabeca passa sobre a
superfıcie, encontrando rapidamente um novo valor medio. Para temperaturas al-
tas, ϕv e insensıvel a cabeca indicando que a transferencia de energia se torna mais
difıcil. Em baixas temperaturas, e facil excitar um vortice, sendo que, estes tem
baixa energia de excitacao devido a componente de spin fora do plano. Em temper-
atura alta, o sistema ja esta saturado e a criacao de uma nova excitacao demanda
mais energia.
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.04
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.04
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.04
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.040.05
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.040.05
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.020.030.040.050.060.07
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.050.060.070.080.09
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 8000.050.060.070.080.09
0 200 400 600 800t
0.060.070.080.09
0.1
<ϕv(t)
>/N
c) d)
e) f)
g) h)
a) b)
Figura 4.4: Densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = 0.1J e λ1 = λ2 = 1. Os graficos daesquerda para a direita e de cima para baixo correspondem as temperaturas T = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. O sistematem simetria fora do plano(out-of-plane symmetry).
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 79
Para o sistema com simetria no plano(in-plane symmetry), a situacao e oposta.
Em baixas temperaturas nao ha transferencia de energia para os modos de vortice.
A criacao de um vortice demanda muita energia, porque as componentes de spin do
vortice estao em sua maioria no plano. A altas temperaturas o sistema pode absorver
energia mais facilmente e aumentar a densidade de vortices. Eventualmente, o
sistema satura em uma temperatura suficientemente alta.
0 200 400 600 800t
0
0.01
0.02
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
0.02
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.010.010.020.030.03
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.040.050.06
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.020.030.040.050.060.07
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 8000.020.030.040.050.060.07
0 200 400 600 800t
0.040.050.060.070.080.09
<ϕv(t)
>/N
c) d)
e) f)
g) h)
a) b)
Figura 4.5: Densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = −0.1J e λ1 = λ2 = 1. Astemperaturas sao as mesmas da figura 4.4. O sistema tem simetria no plano(in-plane symmetry).
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 80
Para o caso, em que os vortices tem simetria no plano(in-plane-symmetry),
λ < λc, a densidade de vortices e constante ate em temperaturas altas.
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
0.02
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
00.010.020.030.04
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.020.030.040.050.060.07
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 8000.020.030.040.050.060.07
0 200 400 600 800t
0.040.050.060.070.080.09
<ϕv(t)
>/N
c) d)
e) f)
g) h)
a) b)
Figura 4.6: Densidade de vortices como funcao do tempo para λ1 = λ2 = 0.6 e D1 = D2 = 0. As temperaturassao as mesmas da figura 4.4. Os vortices tem estrutura plano(in-plane structure).
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 81
Para (λ > λc), a situacao e similar a aquela onde o sistema tem simetria global
no plano.
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0
0.01
0.02
0.03
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.02
0.03
0.04
0.05
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 800t
0.030.040.050.060.07
<ϕv(t)
>/N
0 200 400 600 8000.030.040.050.060.07
0 200 400 600 800t
0.050.060.070.080.09
<ϕv(t)
>/N
c) d)
e) f)
g) h)
a) b)
Figura 4.7: Densidade de vortices como funcao do tempo para λ1 = λ2 = 0.9 e D1 = D2 = 0. As temperaturassao as mesmas da figura 4.4. Os vortices tem estrutura fora do planar(out-of-plane structure).
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 82
Na figura 4.8 mostro, no mesmo grafico, a velocidade da cabeca e a densidade
de vortice como funcao do tempo para algumas situacoes interessantes. A densidade
de vortice foi multiplicada por uma constante (f = 2), com o intuito de melhorar
a visualizacao. Na primeira figura (4.8.a), nos observamos que a energia cinetica
e transferida para a superfıcie e a cabeca para, se move para traz e para frente
escapando da influencia da superfıcie. Em altas temperaturas a situacao e um
pouco mais complicada. Dependendo das condicoes iniciais, a cabeca pode passar
pela superfıcie somente aumentando a densidade de vortices (4.8.b), ou ela pode
ficar presa na regiao da superfıcie, como e mostrado na figura (4.8.c). O custo deste
aumento na densidade de vortices e uma diminuicao na energia cinetica.
0 200 400 600t
00.10.20.30.40.5
ϕ v(t),
v
0 200 400t
0
0.2
0.4
0.6
ϕ v(t),
v
0 200 400 600 800t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
ϕ v(t),
v
b)
a)
c)
Figura 4.8: Velocidade instantanea e densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = 0.1J eλ1 = λ2 = 1. A linha cheia e a densidade de vortices e a linha tracejada e a velocidade instantanea da cabeca. Atemperatura para a figura a) e T = 0.1 e para as figuras b) e c) e T = 0.2. A velocidade inicial e v = 0.5 em todosos casos.
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 83
Na figura 4.9 a e b mostro a velocidade e a densidade de vortices como funcao
do tempo para duas velocidades iniciais diferentes (respectivamente v = 0.6, 0.2),
para a mesma temperatura T = 0.2. Para a maior velocidade, a cabeca diminui
sua velocidade ate quase parar ficando presa. No entanto, sua energia cinetica e
suficiente para atravessar a regiao da superfıcie. Para a velocidade mais baixa, 4.9
a, a cabeca colide quase elasticamente com a superfıcie. Pelo fato de que a perda
de energia e desprezıvel a densidade de vortices e conservada. Notamos ainda que o
aumento na densidade de vortices nao responde instantaneamente a diminuicao da
energia cinetica da cabeca. Isto pode ser devido a um mecanismo intermediario: A
energia cinetica pode ser usada para excitar ondas de spin na superfıcie. Pelo fato
de que nosso sistema e adiabatico, parte da energia armazenada nas ondas de spins
e transferida para a excitacao de vortices.
0 200 400t
00.10.20.30.40.50.6
ϕ v(t),
v
0 200 4000
0.10.20.30.40.50.6
0 200 400t
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ϕ v(t) ,
v
0 200 400-0.2
-0.1
0
0.1
0.2b)
a)
Figura 4.9: Velocidade instantanea e densidade de vortices como funcao do tempo para D1 = D2 = 0.1J eλ1 = λ2 = 1. A linha cheia e a densidade de vortices e a linha tracejada e a velocidade instantanea da cabeca.A temperatura e T = 0.2 em ambos os casos. Nas figuras a) e b) as velocidades iniciais sao respectivamente,v = 0.6, 0.2.
Capıtulo 4. Atrito em Dispositivos Magneticos 84
Na figura 4.10 mostro um grafico da variacao da temperatura como funcao
da velocidade da ponta para varias temperaturas iniciais. Esta figura nos indica
dois importantes efeitos que limitam a eficiencia de leitura. Para cabecas de leituras
que funcionem com nano-contatos o aumento local da temperatura aumenta o ruıdo
associado com a oscilacao da rede atomica conhecido como, ruıdo Johnson, e assim
acarretando em um aumento no ruıdo associado com a rede magnetica conhecido
como, magnetic noise, dado pelo aumento na densidade de vortices na rede. E
importante notar que o aumento na temperatura pode ser minimizado selecionando
apropriadamente a temperatura e a velocidade em que o dispositivo ira operar.
0.2 0.4 0.6 0.8 1v
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
∆T
0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 T=0.1T=0.2T=0.4T=0.8
Figura 4.10: Variacao da temperatura como funcao da velocidade para varias temperaturas iniciais e Dh =Ds = 0.1J .
Capıtulo 5
Conclusoes e Perspectivas.
5.1 Conclusoes para as simulacao de FFM.
Com relacao ao modelamento teorico das forcas de atrito, desenvolvidas neste tra-
balho, fizemos uma extensao tri-dimensional para o modelo unidimensional con-
hecido na literatura, e neste processo expomos a dependencia explicita da forca de
atrito com a forca normal. Dada a presenca explıcita da forca normal no modelo,
encontramos uma expressao para o coeficiente de atrito, que dentro das limitacoes
do modelo, apresenta um acordo tanto qualitativo, quanto quantitativo com os re-
sultados de nossas simulacoes. Imaginamos que uma contribuicao importante a ser
feita neste modelo, seria a inclusao de efeitos magneticos. Pois, imaginamos que a
estrutura magnetica da ponta deve de alguma maneira influenciar na forca de atrito.
De fato observamos que, a criacao de pares de vortices e anti-vortices na superfıcie
pode funcionar como fonte de dissipacao de energia em superfıcies magneticas.
Baseado na tecnica da MFM, comentada neste trabalho, podemos escrever
que a energia total de interacao de uma ponta de MFM com a superfıcie de maneira
e dada por,
VTot(~q, ~r, ~m) = V (~q) +1
2(~q − ~r) ·
↔k · (~q − ~r)− ~m · ~B(~q) (5.1)
onde↔k e a matriz elasticidade que contem as contribuicoes elasticas do cantilever
e da ponta, ~m e o momento magnetico da ponta e ~B(~q), e o campo magnetico
exercido pela superfıcie em um dada posicao da ponta. Assim, penso que o desen-
volvimento de uma expressao analıtica que apresente uma dependencia explicita da
85
Capıtulo 5. Conclusoes e Perspectivas. 86
magnetizacao da ponta bem como do campo magnetico da superfıcie seria mais uma
contribuicao importante na area.
Como vimos o comportamento do coeficiente de atrito e do termo cA de-
pende da temperatura para um sistema adesivo, modelado pelo potencial de LJ. O
comportamento distinto destes dois termos mostrou que dois fenomenos sao impor-
tantes nestas analises. O primeiro esta relacionado com forcas adesivas quando a
normal e zero e sendo proporcional a area de contato efetiva entre a massa M e a
superfıcie. O segundo esta relacionado com o processo de difusao na superfıcie e que
pode estar relacionado com uma pre-fusao da superfıcie(surface pre-melting). Os
histogramas(figuras 3.6 e 3.7) deixam claro este comportamento para temperaturas
altas e forcas normais positivas ou negativas. A medida do tempo de residencia e
equivalente a medida direta do processo de difusao que compete com o movimento
da ponta em temperaturas altas. Em outras palavras, com o aumento da temper-
atura os canais sao fechados dificultando o deslizamento da ponta. Em um recente
trabalho de Urbakh et.al[7] ele faz o seguinte questionamento:
“Os regimes de stick e slip podem ser indicativos de diferentes estados (lıquido,
solido, vıtreo) de filmes confinados ou interfaces?”
Nossos resultados sugerem, que uma assinatura do processo de pre-fusao da
superfıcie pode estar presente para forcas atrativas entre a ponta e a superfıcie.
Indicando assim, que o questionamento feito por Urbakh et.al tera uma resposta
positiva, ou seja, os processos de stick e slip podem ser indicativos de diferentes
fases em interfaces.
5.2 Conclusoes para as simulacao de
Atrito em Dispositivos Magneticos.
Usamos tecnicas de Monte Carlo e Simulacoes de Dinamica de Spins para estudar
a interacao entre duas partes magneticas moveis: uma cabeca de leitura magnetica
se deslocando relativo a uma superfıcie magnetica. Nosso interesse foi entender
como se comporta os mecanismos de dissipacao quando as forcas envolvidas sao
puramente magneticas. Em nossos resultados apresentados no capıtulo 4 , obtemos
fortes evidencias de que vortices desempenham um papel importante nos mecanismos
de dissipacao de superfıcies magneticas. Um aumento das excitacoes de vortice do
Capıtulo 5. Conclusoes e Perspectivas. 87
sistema causa o aumento de sua entropia. Este fenomeno pode destruir alguma
informacao magnetica que esteja armazenada na estrutura magnetica da superfıcie.
Um resultado interessante e o comportamento da ponta passando sobre a superfıcie.
Em principio esperavamos que a velocidade sempre diminuısse, como um efeito
das interacoes com a superfıcie. No entanto para certas condicoes iniciais o efeito e
oposto. A ponta pode oscilar, ficar presa ou ate mesmo ser repelida pela superfıcie.
No caso da colisao quase elastica nao foi observado mudanca na densidade de vortices
e se a densidade de vortices aumenta a energia cinetica da ponta diminui. No
entanto, o aumento da densidade de vortices nao tem uma resposta instantanea a
diminuicao da energia cinetica da ponta. Suspeitamos que existe um mecanismo
intermediario envolvendo excitacoes de ondas de spin intermediando o fenomeno.
Os efeitos observados de atrito em nossas simulacoes, demonstram que quando
forcas puramente magneticas estao envolvidas, o comportam e diferente dos efeitos
ordinarios de atrito.
Outro efeito importante e o aumento local na temperatura devido ao atrito
magnetico. Dois efeitos importantes que limitam a eficiencia da leitura foram
mostrados no capıtulo 4. Para as cabecas de leitura de um nano-contato o aumento
local na temperatura aumenta o ruıdo de Johnson acarretando consequentemente um
aumento no ruıdo magnetico devido ao aumento da densidade do vortice. Nos acred-
itamos que para os projetos futuros de dispositivos magneto-resistivos das cabecas
de leitura o ruıdo magnetico deve ser considerado ao lado do ruıdo de Johnson.
5.3 Perspectivas
Com relacao as simulacoes de dispositivos magneticos existem alguns pontos inter-
essantes para se estudar:
1) Qual o efeito de forcas normais aplicadas ao sistema ?
2) Como os efeitos observados acima dependem da area de contato entre as
superfıcies?
3) Qual o efeito do acoplamento de modos magneticos com vibracoes da rede?
Apendice A
Apendice
A.1 Programa
Nosso programa foi desenvolvido utilizando a linguagem de programacao Fortran 77
e todas as rotinas foram desenvolvidas por mim. Na versao final que sera entregue
a pos-graduacao, esta secao contera os codigos fontes desenvolvidos.
88
Apendice A. Apendice 89
A.2 Graficos da Forca de atrito como funcao do
tempo.
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=-1.090 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*0.2
<Fz>=-0.468(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=0.156 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=0.786(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=1.418(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=2.052(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=2.683(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.2
<Fz>=3.316(u.a.)
Figura A.1: Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A temper-atura e T = 0.2.
Apendice A. Apendice 90
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=-1.025 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*0.4
<Fz>=-0.412(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=0.207 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=0.833(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=1.464(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=2.095(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=2.727(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.4
<Fz>=3.356(u.a.)
Figura A.2: Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A temper-atura e T = 0.4.
Apendice A. Apendice 91
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=-0.959 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*0.6
<Fz>=-0.333(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=0.275 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=0.925(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=1.499(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=2.137(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=2.758(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.6
<Fz>=3.306(u.a.)
Figura A.3: Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A temper-atura e T = 0.6.
Apendice A. Apendice 92
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=-0.423 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=-0.116(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=0.713 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=1.335(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=1.888(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=2.527(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=3.047(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=0.8
<Fz>=3.3576(u.a.)
Figura A.4: Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A temper-atura e T = 0.8.
Apendice A. Apendice 93
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=-0.140 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=0.364(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=1.003 (u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=1.551(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=2.011(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=2.569(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=2.993(u.a.)
0 50 100 150 200 250 300t(ps)
-4-3-2-101234
Fx(u
.a.)
T*=1.0
<Fz>=3.3620(u.a.)
Figura A.5: Forca atrito(Fx) como funcao do tempo para varios valores de forca normal(< Fz >).A temper-atura e T = 1.0.
Apendice A. Apendice 94
A.3 Artigos Publicados
On-line.
[1] R.A. Dias, M. Rapini, P.Z. Coura and B.V. Costa, Temperature Dependent
Molecular Dynamic Simulation of Friction, Brazilian Journal of Physics 36-3A,
741-745 (2006).
[2] R.A. Dias, M. Rapini and B.V. Costa, Dynamics of Two Sliding Magnetic
Surfaces, Brazilian Journal of Physics 36-3B, 1074-1077 (2006).
[3] M. Rapini, R. A. Dias, B. V. Costa, Monte Carlo Simulations of Ultrathin
Magnetic Dots, Brazilian Journal of Physics 36-3A, 672-675 (2006).
[4] M. Rapini, R. A. Dias, B. V. Costa, Phase transition in ultrathin mag-
netic films with long-range interactions: Monte Carlo simulation of the anisotropic
Heisenberg model, Phys. Rev. B 75, 014425 (2007).
[5] R. A. Dias and M. Rapini and P. Z. Coura and B. V. Costa, Magnetic
friction due to vortex fluctuation, Journal of Applied Physics 101, 063915 (2007).
A.4 Artigos a serem Submetidos
Em desenvolvimento.
[1] R. A. Dias, M. Rapini, P.Z. Coura e B. V. Costa, Velocity, Temperature
and Normal force dependence on friction: An analytic and molecular dynamic study
[2] R. A. Dias, R. Falcao, Non-equilibrium molecular dynamic simulation:
Breaking the translational symmetry in FFM experiments
Bibliografia
[1] K. Dransfeld E. Meyer, R.M. Overney and T. Gyalog. Nanoscience - Friction
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[2] NT-MDT - Molecular Devices and Tools for Nanotechnology.
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[4] G.V. Dedkov. Theory of the noncontact friction forces between sliding
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[6] J. N. Israelachvili B. Brushan and U. Landman. Nanotribology: friction, wear
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[7] D. Gourdon M. Urbakh, J. Klafter and J. Israelachvill. The nonlinear nature
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