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Capıtulo 31 - Corrente Alternada
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - EletromagnetismoAutores: Sears e Zemansky - Edicao: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
25 de julho de 2011
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.
I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.
I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.
I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.
I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.
I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como os fasores facilitam a descricao senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatancia para descrever a voltagem atraves de um elemento decircuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em serie com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potencia que entra ou sai de um circuito decorrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em serie responde a fems senoidais de frequenciasdiferentes.
I Por que os transformadores sao uteis e como eles funcionam.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Introducao
Introducao.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Introducao
Numeros complexos e fasores.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
vR(t) = ε(t) = R I(t)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
vR(t) = ε(t) = R I(t)
I(t) =ε(t)
R=ε0
Re iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
vR(t) = ε(t) = R I(t)
I(t) =ε(t)
R=ε0
Re iωt
I(t) = Ie iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
vR(t) = ε(t) = R I(t)
I(t) =ε(t)
R=ε0
Re iωt
I(t) = Ie iωt
I =ε0
R= I0e
iφ
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
vR(t) = ε(t) = R I(t)
I(t) =ε(t)
R=ε0
Re iωt
I(t) = Ie iωt
I =ε0
R= I0e
iφ
XR = R ; φ = 0 ; ε0 = XRI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
Rcos(ωt)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vR(t)
vR(t) = ε(t) = R I(t)
I(t) =ε(t)
R=ε0
Re iωt
I(t) = Ie iωt
I =ε0
R= I0e
iφ
XR = R ; φ = 0 ; ε0 = XRI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
Rcos(ωt)
I A voltagem AC e a corrente AC em umresistor estao em fase.
I XR e chamada de reatancia resistiva.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
vL(t) = ε(t) = Ld I(t)
dt= ε0e
iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
vL(t) = ε(t) = Ld I(t)
dt= ε0e
iωt∫d I(t) =
ε0
L
∫e iωtdt =
ε0
iωLe iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
vL(t) = ε(t) = Ld I(t)
dt= ε0e
iωt∫d I(t) =
ε0
L
∫e iωtdt =
ε0
iωLe iωt
I(t) = Ie iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
vL(t) = ε(t) = Ld I(t)
dt= ε0e
iωt∫d I(t) =
ε0
L
∫e iωtdt =
ε0
iωLe iωt
I(t) = Ie iωt
I =ε0
iωL=
ε0
XLe−i π
2 = I0eiφ
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
vL(t) = ε(t) = Ld I(t)
dt= ε0e
iωt∫d I(t) =
ε0
L
∫e iωtdt =
ε0
iωLe iωt
I(t) = Ie iωt
I =ε0
iωL=
ε0
XLe−i π
2 = I0eiφ
XL = ωL ; φ = −π
2; ε0 = XLI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
XLcos(ωt −
π
2)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vL(t)
vL(t) = ε(t) = Ld I(t)
dt= ε0e
iωt∫d I(t) =
ε0
L
∫e iωtdt =
ε0
iωLe iωt
I(t) = Ie iωt
I =ε0
iωL=
ε0
XLe−i π
2 = I0eiφ
XL = ωL ; φ = −π
2; ε0 = XLI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
XLcos(ωt −
π
2)
I A corrente AC em um indutor esta comatraso de fase de π
2em relacao a
voltagem AC.I XL e chamada de reatancia indutiva.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
vc (t) = ε(t) =q(t)
C
d ε(t)
dt=
1
C
dq(t)
dt=
I(t)
C
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
vc (t) = ε(t) =q(t)
C
d ε(t)
dt=
1
C
dq(t)
dt=
I(t)
C
I(t) = ε0iωCeiωt = Ie iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
vc (t) = ε(t) =q(t)
C
d ε(t)
dt=
1
C
dq(t)
dt=
I(t)
C
I(t) = ε0iωCeiωt = Ie iωt
I =ε0
Xce i
π2 = I0e
iφ
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
vc (t) = ε(t) =q(t)
C
d ε(t)
dt=
1
C
dq(t)
dt=
I(t)
C
I(t) = ε0iωCeiωt = Ie iωt
I =ε0
Xce i
π2 = I0e
iφ
Xc =1
ωC; φ =
π
2; ε0 = XcI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
Xccos(ωt +
π
2)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
vc (t) = ε(t) =q(t)
C
d ε(t)
dt=
1
C
dq(t)
dt=
I(t)
C
I(t) = ε0iωCeiωt = Ie iωt
I =ε0
Xce i
π2 = I0e
iφ
Xc =1
ωC; φ =
π
2; ε0 = XcI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
Xccos(ωt +
π
2)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t) = ε0 cos(ωt) = Re(ε(t))
ε(t) = εe iωt , ε = ε0
0 = ε(t)− vc (t)
vc (t) = ε(t) =q(t)
C
d ε(t)
dt=
1
C
dq(t)
dt=
I(t)
C
I(t) = ε0iωCeiωt = Ie iωt
I =ε0
Xce i
π2 = I0e
iφ
Xc =1
ωC; φ =
π
2; ε0 = XcI0
I(t) = Re(I(t)) =ε0
Xccos(ωt +
π
2)
I A corrente AC em um capacitor estacom avanco de fase de π
2em relacao a
voltagem AC.
I Xc e chamada de reatancia capacitiva.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC
.
I XL = ωL.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatancia capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc = 1ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→∞
I XL =→ 0
I Se, ω →∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→∞
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedancia
Fonte AC e circuito R-L.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedancia
Fonte AC e circuito R-C.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedancia
Fonte AC e circuito R-L-C.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Impedancia
Ressonancia.
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
ε(t) = L11d I1(t)
dt+ L12
d I2(t)
dt
− R2I2(t) = L21d I1(t)
dt+ L22
d I2(t)
dt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
ε(t) = L11d I1(t)
dt+ L12
d I2(t)
dt
− R2I2(t) = L21d I1(t)
dt+ L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
ε(t) = L11d I1(t)
dt+ L12
d I2(t)
dt
− R2I2(t) = L21d I1(t)
dt+ L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
ε(t) = L11d I1(t)
dt+ L12
d I2(t)
dt
− R2I2(t) = L21d I1(t)
dt+ L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
ε0eiωt = iω(L11I1 + L12I2)e iωt
− V2 = −R2I2eiωt = iω(L21I1 + L22I2)e iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
ε(t) = L11d I1(t)
dt+ L12
d I2(t)
dt
− R2I2(t) = L21d I1(t)
dt+ L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
ε0eiωt = iω(L11I1 + L12I2)e iωt
− V2 = −R2I2eiωt = iω(L21I1 + L22I2)e iωt
V2
ε0= −
(L11I1 + L12I2)
(L21I1 + L22I2)
L12 = L12 = k√
L11L22
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
L12 = L12 = k√
L11L22
V2
ε0= −
√L22
L11
(k√L11 I1 +
√L22 I2√
L11 I1 + k√L22 I2
)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
L12 = L12 = k√
L11L22
V2
ε0= −
√L22
L11
(k√L11 I1 +
√L22 I2√
L11 I1 + k√L22 I2
)Se, k = 1
V2
ε0= −
√L22
L11= −
N2
N1
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
O magneton de Bohr
I =e
T
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
O magneton de Bohr
I =e
T
T =2πr
v
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
O magneton de Bohr
I =e
T
T =2πr
v
I =ev
2πr
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
O magneton de Bohr
I =e
T
T =2πr
v
I =ev
2πrµ = IA
µ =ev
2πr(πr2) =
evr
2
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
O magneton de Bohr
I =e
T
T =2πr
v
I =ev
2πrµ = IA
µ =ev
2πr(πr2) =
evr
2
L = mvr =h
2π
h = 6, 626× 10−34Js
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
O magneton de Bohr
I =e
T
T =2πr
v
I =ev
2πrµ = IA
µ =ev
2πr(πr2) =
evr
2
L = mvr =h
2π
h = 6, 626× 10−34Js
µ =e
2mL =
eh
4πm
µ = 9, 274× 10−24Am2
µ = 9, 274× 10−24J/T
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫~Jm · d~A = µ0Ic
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮~M · d~l = µ0Ic
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.
I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriamser geradas por correntes microscopicas.
I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos porunidade de volume: ~M = 1
V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮~M · d~l = µ0Ic∮
(~B − µ0~M) · d~l = µ0Ic∮
(µ0~H) · d~l = µ0Ic
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I Vimos que efeitos magneticos sao gerados por correntes eletricas.I Ampere propos que a magnetizacao espontanea dos meios magneticos deveriam
ser geradas por correntes microscopicas.I A magnetizacao sera definida pela soma dos momentos magneticos por
unidade de volume: ~M = 1V
∑i ~µi
I Da lei de Ampere temos,∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮~M · d~l = µ0Ic∮
(~B − µ0~M) · d~l = µ0Ic∮
(µ0~H) · d~l = µ0Ic
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico∮~B · d~l = µ0Iliq = µ0(Ic + Im)∮~B · d~l − µ0Im = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫~Jm · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic
∮~B · d~l − µ0
∫(∇× ~M) · d~A = µ0Ic∮
~B · d~l − µ0
∮~M · d~l = µ0Ic∮
(~B − µ0~M) · d~l = µ0Ic∮
(µ0~H) · d~l = µ0Ic
I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo Microscopico
I O campo ~H e o campo gerado por correntesde conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo MicroscopicoI O campo ~H e o campo gerado por correntes
de conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Magnetismo MicroscopicoI O campo ~H e o campo gerado por correntes
de conducao ou um campos externo.
I O campo ~B e o campo efetivo incluindo oscampos gerados pelo proprio materialmagnetico.
I De forma geral temos que, ~M = ~M(~H), ouseja a magnetizacao e uma funcao docampo externo. ~M = 1
V
∑i ~µi
I Quando o um material magnetico for linear,homogeneo e isotropico teremos:~M = χm
~H.
I χm e chamado de susceptibilidademagnetica.
I Km = (1 + χm) e chamado de
pemeabilidade magnetica.
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Paramagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I 0 < χm < 10+2
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Paramagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I 0 < χm < 10+2
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Diamagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I −10+2 < χm < 0
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Diamagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I −10+2 < χm < 0
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magneticos
Ferromagnetismo
~B = µ0(~H + ~M), ou, ~H =~B
µ0− ~M
~B = µ0(1 + χm)~H = µ~H
µ = µ0(1 + χm) = µ0Km
I χm > 10+3
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e a resistencia do fio do primario.
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e a resistencia do fio do primario.
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e a resistencia do fio do primario.
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)
dt− L12
d I2(t)
dt
R2I2(t) = 0− L21d I1(t)
dt− L22
d I2(t)
dt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 e a resistencia do fio do primario.
I R2 e a resistencia do fio do secundario+ resistencia extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)
dt− L12
d I2(t)
dt
R2I2(t) = 0− L21d I1(t)
dt− L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)
dt− L12
d I2(t)
dt
R2I2(t) = 0− L21d I1(t)
dt− L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
R1I1eiωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2eiωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)
dt− L12
d I2(t)
dt
R2I2(t) = 0− L21d I1(t)
dt− L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
R1I1eiωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2eiωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2
0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)
dt− L12
d I2(t)
dt
R2I2(t) = 0− L21d I1(t)
dt− L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
R1I1eiωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2eiωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2
0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2(ε0
0
)=
[R1 + iωL11 iωL12
iωL21 R2 + iωL22
](I1
I2
)
Capıtulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1I1(t) = ε(t)− L11d I1(t)
dt− L12
d I2(t)
dt
R2I2(t) = 0− L21d I1(t)
dt− L22
d I2(t)
dt
ε(t) = ε0eiωt
I1(t) = I1eiωt ; I2(t) = I2e
iωt
R1I1eiωt = ε0e
iωt − iω(L11I1 + L12I2)e iωt
R2I2eiωt = 0− iω(L21I1 − L22I2)e iωt
ε0 = (R1 + iωL11)I1 + iωL12I2
0 = iωL21I1 + (R2 + iωL22)I2(ε0
0
)=
[R1 + iωL11 iωL12
iωL21 R2 + iωL22
](I1
I2
)I1 =
ε0(R2 + iωL22)
(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2L12L21
I2 = −ε0iωL21
(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2L12L21