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FACULDADE ANHANGUERA MATÃO
ENGENHARIA MECÂNICA
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAS E SÉRIES
DENIS MENDES DE ARAÚJO RA 6655394239
ISAMARA ALLANA RA 6814015018
JONATAS DO PRADO RA 1299531591
MARCELO FERNANDO TESSARIN RA 6277281678
NATANAEL WILLIAN DE ARAÚJO RA 6655394240
ROGÉRIO MACIEL PAVIANI RA 6669417922
MATÃO
2014
INTRODUÇÃO
O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado para o
desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas
permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho
portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o
avanço de dispositivos já existentes, a citar o exemplo de telefones celulares, cuja atual
funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação
telefônica.
O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o avanço de
dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos setores de
transmissão de energia, telecomunicações e saúde (este último beneficiando-se de
equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem análises mais detalhadas).
O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas técnicas de
modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de equações
diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.
A relevância deste desafio reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre a
modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de
solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento
de dispositivos.
Passo 1
Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em
sistemas físicos e problemas de engenharia.
Equações Diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de
sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas
que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse.
Resolvendo a equação diferencial(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza
determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e,
possivelmente, prever o seu comportamento.
Definição
Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com
suas derivadas. Em outras palavras, uma equação diferencial estabelece a taxa segundo a qual
as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a
equação e, frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do
conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o valor da função
em qualquer valor posterior da variável independente. Em particular, na descrição de um
sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação
diferencial correspondente permite prever o comportamento futuro do sistema. Número de
variáveis da função: As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao número de
variáveis da função em termos da qual a equação é escrita. Equações diferenciais ordinárias
(EDO) são aquelas cuja solução é uma função de apenas uma variável, ou seja, podem ser
resolvidas apenas por derivadas simples. Um exemplo dado por Boyce e Diprima (2012)
[2] de uma EDO é que descreve o circuito RLC, com capacitância C, resistência R e
indutância L. A função do tempo E(t) é a voltagem (conhecida) impressa no sistema.
A função Q(t), que é a solução procurada da equação diferencial, representa a carga em
função do tempo fluindo no circuito. O circuito RLC é frequentemente utilizado em rádios.
Ordem: A ordem de uma equação diferencial é definida a partir da derivada mais alta que
aparece na equação.
Passo 2
Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de
funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado
ao final da ATPS).
Sendo f uma função derivável e seja um ponto de seu domínio. Sabemos encontrar a reta
tangente ao gráfico de f passando pelo ponto :
Assim, fixado o ponto , a curva fica muito perto da reta tangente nas proximidades do
ponto de tangência. Isso significa que, para x suficientemente próximo de , o valor de f(x)
estará próximo do valor da ordenada do ponto de mesma abscissa x mas que se encontra na
reta tangente.
Dessa maneira, a derivada de uma função nos permite resolver problemas de cálculos
aproximados. Vejamos como.
Para calcular (1,2)3, consideremos: a função e o ponto x0=1, onde conhecemos o
valor de f, isto é .
Procuramos o valor f(1,2).
No gráfico da função temos dois pontos: (1,1) e . O problema é o de
determinar a ordenada do segundo ponto.
Observando o zoom, temos: .
Através da figura, observamos que a resposta encontrada é aproximada por falta pois
encontramos a ordenada do ponto B - de abscissa 1,2 - que se encontra na reta tangente ao
gráfico de f, em (1,1), e que, neste caso, está abaixo do ponto .
Assim, .
Em todas as situações acima, observamos que há uma função f envolvida, que é derivável em
um ponto de seu domínio e tal que é um valor conhecido. O problema é o de
determinar o valor de para um valor "próximo" de .
Na figura abaixo, podemos observar uma ampliação da situação geral descrita
acima.
Assim, quando é "pequeno", obtemos uma aproximação "razoável", por falta ou por
excesso, dependendo do caso, para o valor de . Essa aproximação é dada por:
de onde podemos escrever
Fixado x, podemos olhar a função linear que, a cada , associa , onde
Tal função é denominada a diferencial de f em x.
Passo 3
Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de
primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).
O método de separação de variáveis consiste em colocar todos os termos de x em um lado da
equação e todos de y do outro lado, fornecendo, por exemplo:
Integrando ambos os lados obtemos:
Isto nos leva aos círculos esperados:
onde
Passo 4
Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de
equações diferenciais.
Gustav Robert Kirchhorf foi um físico alemão que dedicou-se, principalmente, no campo dos
circuitos elétricos. Kirchhorf é autor de duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos
elétricos e da emissão térmica. As leis de Kirchhorf são empregadas em circuitos elétricos
mais complexos como aqueles com mais de uma fonte de resistores, capacitores ou indutores
em série ou em paralelo. De acordo com a primeira lei de Kirchhorf, “em qualquer nó, a soma
das correntes que o deixam é igual a soma das correntes que chegam até ele”. Esta lei é uma
consequência da conservação da carga total existente no circuito. A segunda lei de Kirchhorf
mostra que “a soma algébrica das forças eletromotrizes em qualquer malha é igual a soma
algébrica das quedas de potencial contidos na malha”.
5.1 Circuitos Elétricos de Primeira Ordem
O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente no tempo exige a
resolução de uma equação diferencial de primeira ordem da forma
então, x(t) = xp(t) + xc(t) é uma solução para a equação diferencial acima.
O termo xp(t) é chamado de solução particular ou resposta forçada e xc(t) é chamada de
solução complementar ou resposta natural.
Considerando que f(t)=A=constante, a solução geral diferencial consiste de duas partes que
são obtidas resolvendo as seguintes equações:
Sendo A constante, a solução xp(t) deve também ser constante, portanto xp(t)=k1.
Substituindo na equação, tem-se k1=A/a.
que implica em ln xc(t)=-a.t + C.
Logo, xc(t) = k2.e-a.t. Portanto, a solução da equação (1) é
Para comprovação, podemos verificar o circuito RC:
A equação que descreve o circuito para t > 0 é
derivando a equação em t, temos: cuja solução é da forma
que substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se portanto, a solução da
equação é
ETAPA 2
Passo 1
Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Identificar os elementos desse
circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.
Elementos e suas Funções
Tensão: U ou V
Tensão elétrica ou diferencial de potencial (ddp) é a diferença de potencial entre dois pontos.
A tensão elétrica também pode ser explicada como a quantidade de energia gerada para
movimentar uma carga elétrica.
Resistor: R
Um resistor pode ser definido como sendo um dispositivo eletrônico que tem duas funções
básicas: ora transforma energia elétrica em energia térmica (efeito joule), ora limita a
quantidade de corrente elétrica em um circuito, ou seja, oferece resistência à passagem de
elétrons.
Capacitor: C
Também chamado de condensador, ele é um dispositivo de circuito elétrico que tem como
função armazenar cargas elétricas e consequente energia eletrostática, ou elétrica. Ele é
constituído de duas peças condutoras que são chamadas de armaduras. Entre essas armaduras
existe um material que é chamado de dielétrico.
Passo 2
Transformar, se possível, o circuito elétrico escolhido em um circuito elétrico equivalente,
observando, para isso, as associações em série ou em paralelo de seus elementos.
Por se tratar de um circuito muito simples constituído de apenas uma fonte de energia, um
resistor e um capacitor não é possível transformar o circuito em um circuito equivalente.
Passo 3
Representar o circuito elétrico (ou o circuito elétrico equivalente) escolhido em um diagrama,
com base na simbologia dos elementos elétricos.
Tensão
Resistor
Capacitor
Passo 4
Modelar o circuito elétrico observando as técnicas de equações diferenciais, detalhando cada
etapa da modelagem.
Há uma diferença de potencial nas extremidades do resistor e também nas extremidades do
capacitor. Isto deve-se a queda de tensão gerada por cada um destes dispositivos. Segundo
a lei das malhas de Kirchoff, que a soma das diferenças de potencial para qualquer circuito
fechado é nula. Então:
1ª lei de ohm
Juntando as equações temos:
A corrente é dada por:
Colocando o valor de i na equação anterior:
Aplicando a função logarítmica:
Integrando a equação diferencial:
:
Intensidade da corrente em um instante t é dada pela derivada temporal da função carga q: