ANHANGUERA EDUCACIONAL

ENGENHARIA MECÂNICA

ABISSAIR PEREIRA DE ALCÂNTARA - RA 1299243154

EDUARDO MARONEZI DA ROCHA - RA 8062794196

ELIAS MACIEL DA SILVA - RA 8483189235

KEVIN SANTOS DA SILVA - RA 8097823040

RENATO CASTELANI DA SILVA – RA 8097832439

RICARDO GRANDIZOLI - RA 8061789668

RODNEY DE ALMEIDA - RA 8061779591

ROGERIO FERNANDO DOS SANTOS - RA 9902006530

WALKER NAVES PASCOAL - RA 8062801066

CÁLCULO NUMÉRICO

SANTO ANDRÉ

2015

ABISSAIR PEREIRA DE ALCÂNTARA

EDUARDO MARONEZI DA ROCHA

ELIAS MACIEL DA SILVA

KEVIN SANTOS DA SILVA

RENATO CASTEANI DA SILVA

RICARDO GRANDIZOLI

RODNEY DE ALMEIDA

ROGERIO FERNANDO DOS SANTOS

WALKER NAVES PASCOAL

CÁLCULO NUMÉRICO

Orientador: Prof. Antônio Cardoso

SANTO ANDRÉ

2015

Este trabalho é referente aos conceitos e princípios gerais de calculo numérico e sistema de numeração e erros para o curso de Engenharia mecânica da Anhanguera Educacional, como requisito para a aprovação da matéria de cálculo numérico.

ABISSAIR PEREIRA DE ALCÂNTARA

EDUARDO MARONEZI DA ROCHA

ELIAS MACIEL DA SILVA

KEVIN SANTOS DA SILVA

RENATO CASTELANI DA SILVA

RICARDO GRANDIZOLI

RODNEY DE ALMEIDA

ROGERIO FERNANDO DOS SANTOS

WALKER NAVES PASCOAL

CALCULO NUMÉRICO

Santo André,9 de Abril de 2015.

_____________________________________

Orientador: Prof. Antônio Cardoso

Anhanguera Educacional

SANTO ANDRÉ

2015

Este trabalho é referente aos conceitos e

princípios gerais de calculo numérico e

sistema de numeração e erros para o curso

de Engenharia mecânica da Anhanguera

Educacional, como requisito para a

aprovação da matéria de cálculo numérico.

RESUMO

Neste trabalho estudamos como o calculo numérico esta inserido no dia a dia, e como

ele é aplicado na engenharia, utilizando métodos de álgebra linear e operações matemáticas, a

partir de um desafio sobre código de barras no sistema binário.

Palavra Chave: Calculo numérico – Engenharia - Binário

ABSTRACT

We study how the numerical calculation is inserted in everyday life, and how it is applied in engineering, using linear algebra methods and mathematical operations, from a challenge on bar code in the binary system.

Key words: Numerical Calculation - Engineering - Binary

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO............................................................................................................................1

2. RELATÓRIO 1 – CONCEITOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE CÁLCULO NUMÉRICO...2

3. PASSO 2........................................................................................................................................4

4. PASSO 3........................................................................................................................................6

5. RELATÓRIO 2 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO E ERROS...................................................7

6. PASSO 1........................................................................................................................................8

7. PASSO 2......................................................................................................................................10

8. PASSO 3......................................................................................................................................11

9. CONCLUSÃO............................................................................................................................12

10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................13

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1. INTRODUÇÃO

O objetivo deste trabalho é desenvolver e aprimorar nossos conhecimentos com a relação a conceitos e princípios gerais do calculo numérico. E o desafio é a partir do uso dos cálculos descobrir o código de barras linear palíndromo com 34 barras que chamou a atenção da importadora ‘Vendo mundo’.Para isto teremos que realizar e concluir sete tarefas que após concluídas, teremos que associar a resposta a um número: 0 ou 1. Esses números colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas fornecerão os dezessete primeiros algarismos (da esquerda para a direita) que irão compor o código de barras linear.

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2. RELATÓRIO 1 – CONCEITOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE CÁLCULO NUMÉRICO

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos

usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses

métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução

exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Dado um problema, para se chegar a um resultado numérico é necessário

realizar uma seqüência pré-estabelecida de passos. Em cada um destes passos pode

existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo.

Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a formulação

matemática do problema (relacionados a aproximação da situação física e a erros nos

dados) e aqueles que aparecem no processo de solução numérica (erros de

truncamento e de arredondamento).

Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituição de um processo

infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. Erros também podem

surgir pelo fato que as operações aritméticas quase nunca podem ser efetuadas com

precisão completa; estes são denominados de erros de arredondamento. A maioria dos

números tem representações decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se

os dados de um problema podem ser expressos exatamente por representações

decimais finitas, a divisão pode introduzir números que devem ser arredondados e a

multiplicação pode produzir mais dígitos do que podem ser razoavelmente mantidos.

Os tipos de arredondamento mais utilizados são:

- tipo corte: as casas em excesso são simplesmente abandonadas;

- para o número de máquina mais próximo: se a máquina trabalha com algarismos

significativos para a mantissa1 de um número, então se analisa o algarismo de ordem

d+ 1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d;

caso contrário, o algarismo de ordem d permanece inalterado.

O cálculo numérico compreende: 

• A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações

aritméticas;

• O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as

respostas numéricas desejadas;

• O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em

escrever o método numérico como um programa de computador. Espera-se que, com

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isso possa se obter respostas confiáveis para problemas matemáticos.

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o calculo numérico e o cálculo

algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. O

cálculo algébrico está diretamente ligado a expressões algébricas, envolvendo

equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no

cálculo numérico são utilizados.

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3. PASSO 2

3.1 DESAFIO A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência e

independência linear de dois e três vetores no R³:

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores v1e v2 apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

Falso, pois v1 e v2 estão apresentados na mesma reta que passa pela origem portanto são

linearmente dependentes.

II – os vetores v1, v2 e v3 apresentados no gráfico (b) são LI;

Verdadeiro, para eles serem dependentes eles precisam ser coplanares, ou seja, se disposto

todos no mesmo plano ( não pode possuir volume).

III – os vetores v1, v2 e v3apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente

dependentes);

Verdadeiro, eles são dependentes, pois são coplanares. São dispostos no plano bi-dimensional

( não possui volume).

3.1.2 DESAFIO B

Dados os vetores u = (4, 7, −1) r e v = (3, 10, 11) r, podemos afirmar que u r e v r são

linearmente independentes.

u= ( 4, 7, -1 ) e v= ( 3, 10, 11 ),

( 4, 7, -1 ) = a ( 3, 10, 11 )

( 4, 7, -1 ) = (3a , 10a , 11a )

3a = 4 → a = 4/3

10a = 7 → a = 10/7

Não se pode existir dois valores diferentes para ( a ), por isso os vetores u e v são

linearmente independentes.

Verdadeira.

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3.1.3 DESAFIO C

Sendo w1 = (3,-3,4)E w2 = (-1,2,0)E, a tripla coordenada de w = 2w1 – 3w2 na base E é (9, -

12, 8)E.

w1 = ( 3, -3, 4 ) e w2 = ( -1, 2, 0 )

w = 2w1 – 3w2

w =2*( 3, -3, 4 ) – 3* ( -1, 2, 0 )

w = ( 6, -6, 8 ) – ( -3, 6, 0 )

w = ( 9, -12, 8 )

Verdadeira.

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4. PASSO 3

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C,

julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para

tal julgamento devem ser devidamente registrados.

4.1 DESAFIO A

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.= 1

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.= 1

Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa.=1

Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada.=1

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.=1

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.=1

4.1.2 DESAFIO B

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.=0

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.=0

4.1.3 DESAFIO C

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa.=1

Associar o número 0, se a afirmação estiver errada.=1

Seqüências dos números encontrados foram: (1 1 1 0 1)

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5. RELATÓRIO 2 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO E ERROS

Atualmente muitos problemas de engenharia consistem em obter uma solução

para um determinado modelo matemático. Abaixo segue um alguns passos para a

resolução dos mesmos.

Problema físico, modelagem, modelo matemático, resolução, solução.

Normalmente também usa o modelo de resolução analítica. Para a resolução de

problemas complexos utiliza se métodos de resolução numérica mas nessa ocasião

existe vantagens e desvantagens as vantagens são a seguinte para auxiliar mos cálculos

utiliza se equipamentos como computador e calculadoras cientificas as desvantagens

são a existência de erros que dependendo da aplicação pode inutilizar a solução do

calculo. Os sistemas de numeração são decimal (base 10), (octal (base 8),

hexadecimal(base 16), binário (base 2), sexagesimal (base 60), usada pelos

babilônicos, vigesimal (base 20) usada pelos maias.

Os erros surgem de varias fontes e merecem alguns cuidados caso contrario pode se

chegar a resultados distantes dos esperados ou ate mesmo obter resultados que não tem

nada haver com o problema questionado. As principais fontes de erros são: 

1) Erros de dados na entrada

2) Erros de estabelecimento no modelo matemático

3) Erros de arredondamento durante a computação

4) Erros de truncamento

5) Erros humanos e de maquina.

Erro e a diferença entre o valor exato e o valor apresentado a noção do erro

esta presente em todos os campos do calculo numérico de um lados os dados em si

nem sempre são exatos, de outro lado, as operações sobre valores não exatos

propagam esses erros a seus resultados, freqüentemente métodos aproximando buscam

a minimização de erros procurando resultados o mais próximo possível dos valores

exatos.

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6. PASSO 1

6.1 CASO A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe que

calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores

foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 2 m2; 45.239,04

m2 e 45.238,9342176 m2.

6.1.2 CASO B

Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios: 

∑_1^3000▒0,5

∑_1^3000▒0,11

 

Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:

Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), considerando que não

houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma circunferência

e nem na substituição do valor do raio, na mesma?

Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos somatórios

utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença apresentada no caso B?

RESPOSTA A:

João calculou da seguinte forma:

A=πr2

A = 3,14 x (120)2

A = 3,14 x (14.400)

A= 45.216 m2

Pedro calculou da seguinte forma:

A=πr2

A = 3,1416 x (120)2

A = 3,1416 x (14.400)

9

A= 45.239,04 m2

Maria calculou da seguinte forma:

A=πr2

A = 3,141592653 x (120)2

A = 3, 141592653 x (14.400)

A= 45.238,9342176 m2

Os valores encontrados estão diferentes pois foram usados diferentes modos de

arredondamentos da constante Grega Pi (π) para a realização dos cálculos de área.

João utilizou a constante π com o valor de 3,14

Pedro utilizou a constante π com o valor de 3,1416

Maria utilizou a constante π com o valor de 3,141592653

RESPOSTA B:

A diferença apresentada no caso B se deve ao fato de a calculadora arredondar os valores,

diferentemente do computador não utiliza o arredondamento.

Nesse caso como podemos observar o resultado obtido pelo computador foi de 3.299,99691,

na casa decimal nota-se que o algarismo nove é maior do que cinco possibilitando o

arredondamento para cima, ou seja, de 3.299,99691, passa para 3.300 conforme resultado

apresentado pela calculadora e conforme a análise de arredondamento em ponto flutuante.

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7. PASSO 2

Ler o desafio proposto:

Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na

mantissa e expoente no intervalo [ -6,6], pode se afirmar que:

I – o menor e o maior número possível em módulo nessa representação são dados de forma

respectiva por: 0,1 x 10^-6 e 0,99999 x 10^6;

II- usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 0,123456 x 10^6 e se

for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 0,12346 x 10^6;

III- se x= 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 0,4 x 10^8.

RESPOSTA I:

A afirmação está correta, pois se realizarmos as operações teremos:

0,1 x 10^-6 = 0,0000001

0,99999 x 10^6 = 99999

Então, verifica-se que a afirmação está correta, sendo os números representados

respectivamente menor e maior.

RESPOSTA II:

A afirmação está correta, pois no arredondamento verificamos qual o número que é maior ou

igual a cinco e acrescentamos um ao algarismo anterior como no exemplo citado que de

123456 passou a 0,12346 x 10^6, e no truncamento somente retiramos um algarismo como no

exemplo citado 0,12345 x 10^6.

RESPOSTA III:

x= 4 e y= 452700,

x + y = 4 + 452700 = 452704 = 0,00452704 x 10^8

Portanto a afirmação está incorreta, o resultado de x + y = 0,00452704 x 10^8 

Sendo diferente de 0,4 x 10^6

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8. PASSO 3

Resolver o desafio apresentado no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como

certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados

para posteriormente serem apresentados ao professor da disciplina.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.=0

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.=0

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.=0

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.=0

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.=0

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.=0

RESPOSTA: 

AFIRMAÇÃO I – CORRETA (0)

AFIRMAÇÃO II – CORRETA (0)

AFIRMAÇÃO III – CORRETA (0)

Seqüência dos números encontrados foram ( 0 0 0)

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9. CONCLUSÃO

Como finalização deste trabalho, e utilizando os métodos propostos de Calculo

numérico após as soluções dos desafios, associamos os números 0 e 1 para cada

desafio proposto e com isso chegamos ao resultado:

Etapa 1 : ( 1 1 1 0 1 )

Etapa 2: ( 0 0 0 )

Onde foram solicitados para a conclusão das duas etapas, podendo dizer que

utilizamos métodos já conhecidos e introduzindo nos desafios, e observamos a

utilização dos cálculos em nosso dia a dia.

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10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Calculo Numérico - Álgebra Linear – Jose Luiz Boldrini – 3ª edição

Calculo Numérico – Márcia A.G. Ruggiero – Ed. Makron Books

http://www.inf.ufrgs.br/~rlflupchinski/files/20112/NUMERICO/numerico-bortoli.pdf