Sumrio2Introduo

7Etapa 1 - Passo 2

10Etapa 1 - Passo 3

13Etapa 1 - Passo 4

Etapa 2 - Passo 1.................................................................................................................... 13

Etapa 2 - Passo 2.................................................................................................................... 14

Etapa 2 - Passo 3.................................................................................................................... 15

Etapa 2 - Passo 4.................................................................................................................... 15

Etapa 3 - Passo 1.................................................................................................................... 16

Etapa 3 - Passo 2.................................................................................................................... 21

Etapa 3 - Passo 3.................................................................................................................... 21

Etapa 4 - Passo 1.................................................................................................................... 22

Etapa 4 - Passo 2.................................................................................................................... 25

Etapa 4 - Passo 3.................................................................................................................... 27

Etapa 4 - Passo 4.................................................................................................................... 2728Concluso

29Referncias Bibliogrficas

IntroduoO Nascimento do Clculo

As contribuies dos matemticos para o nascimento do Clculo so inmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou no rigorosa, j utilizavam conceitos do Clculo para resolver vrios problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda no havia uma sistematizao, no sentido de uma construo logicamente estruturada.A unio das partes conhecidas e utilizadas at ento, aliada ao desenvolvimento e aperfeioamento das tcnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Clculo: as Derivadas e as Integrais.O Clculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada s derivadas, ou Clculo Diferencial, e outra parte relacionada s integrais, ou Clculo Integral.

O Clculo Integral: alguns fatos histricosOs primeiros problemas que apareceram na histria relacionados com as integrais, so os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medio de superfcies a fim de encontrar suas reas. Quando os antigos gemetras comearam a estudar as reas de figuras planas, eles as relacionavam com a rea do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse rea igual da figura em questo.

A palavra quadratura um termo antigo que se tornou sinnimo do processo de determinar reas. Quadraturas que fascinavam os gemetras eram as de figuras curvilneas, como o crculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lnulas - regies que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipcrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da Histria. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do crculo atravs de uma sequncia infinita de polgonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octgono, em seguida um hexadecgono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequncia nunca poderia ser concluda. Apesar disso, essa foi uma idia genial que deu origem ao mtodo da exausto.

Nesse contexto, uma das questes mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuies gregas para o Clculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parbola. Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola cortada por uma corda qualquer, igual a 4/3 da rea do tringulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse clculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2.

Arquimedes gerou tambm uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o mtodo da exausto, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Outra contribuio de Arquimedes foi utilizao do mtodo da exausto para encontrar a rea do crculo, obtendo uma das primeiras aproximaes para o nmero p.

Outras "integraes" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a rea da superfcie esfrica, o volume do cone e a rea da superfcie cnica, a rea da regio limitada por uma elipse, o volume de um paraboloide de revoluo e o volume de um hiperboloide de revoluo. Em seus clculos, Arquimedes encontrava somas com um nmero infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situao incmoda. Basicamente, se no podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.A contribuio seguinte para o Clculo Integral apareceu somente ao final do sculo XVI quando a Mecnica levou vrios matemticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parbola onde utilizou o mesmo mtodo grego para resolver problemas de clculo de reas desse tipo.Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as reas de vrios setores de uma regio elptica. O mtodo de Kepler consistia em pensar na superfcie como a soma de linhas - mtodo este que, na prtica, apresentava muita impreciso. Analogamente, para calcular volumes de slidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos slidos formados pela revoluo de uma regio bidimensional ao redor de um eixo. Para o clculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o slido em vrias fatias, chamadas infinitsimos, e a soma desses infinitsimos se aproximava do volume desejado.Os prximos matemticos que tiveram grande contribuio para o nascimento do Clculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na rea como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisveis".

Todo o processo geomtrico desenvolvido por Cavalieri foi ento aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princpios de induo e interpolao que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipao de parte do trabalho de Euler dobre a funo gamma.

Fermat desenvolveu uma tcnica para achar a rea sob cada uma das, ento chamadas, "parbolas maiores": curvas do tipo, onde constante e n=2,3,4, etc. Empregou ento uma srie geomtrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a frmula geral da integral das parbolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.O problema do movimento estava sendo estudado desde a poca de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distncia era a velocidade e a operao inversa, partindo da velocidade, levava distncia. A partir desse problema envolvendo movimento, a idia de operao inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Clculo, estava trabalhando em direo a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direo, formulou o teorema.

Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Clculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os mtodos das fluxions - derivao - e fluents - integrao - e utilizou-os na construo da mecnica clssica. Para Newton, a integrao consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integrao como inversa da derivao. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a acelerao e a integral da acelerao era a velocidade.Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questo, por exemplo, a integral de y era representada por `y.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integrao como uma soma, de uma maneira bastante parecida de Cavalieri. Da vem o smbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a rea de uma figura pela soma das reas de todos os retngulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenas entre as abscissas... e portanto eu represento em meu clculo a rea da figura por ".

Ambos desenvolveram o Clculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Clculo como geomtrico, enquanto Leibniz o via mais como analtico.

Leibiniz acreditava que a notao era de fundamental importncia e, de fato, a sua notao foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada at os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si prprio e no foi feliz em encontrar uma notao consistente.

Os trabalhos de Leibniz sobre o Clculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius . O nome Clculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmo mais velho Jacques Bernoulli em 1690.Principalmente como consequncia do Teorema Fundamental do Clculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma poca da publicao das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemticos para integrar todas as funes racionais, que chamado mtodo das fraes parciais. Essas idias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Aps o estabelecimento do Clculo, Euler daria continuidade ao estudo de funes - ainda prematuro na poca - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento at ento desenvolvido e criou os fundamentos da Anlise.

Hoje em dia o Clculo Integral largamente utilizado em vrias reas do conhecimento humano e aplicado para a soluo de problemas no s de Matemtica, mas de Fsica, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Qumica, por exemplo.Etapa 1 Passo 2

Desafio A:Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: da?

A alternativa Correta : B) Desafio B

Suponha que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C(q) =1000 + 50q dlares por p, onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo 1total para se perfurar q ps, :

Integrando: C(q)=1000+50q

A alternativa Correta : A) C(q) = 10.000 + 1.000q + 25qDesafio C

No incio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceu exponencialmente. Seja a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o nmero de anos contados a partir do incio de 1990. Um modelo aproximado para dado por: . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petrleo consumida entre 1992 e 1994?

A alternativa Correta : C) 39,76 bilhes de barris de petrleoDesafio D

A rea sob a curva de a dada por:

rea sobre a curva ,

e

A alternativa Correta : A) 4,99.Etapa 1 Passo 3

Para Desafio A n3

Para Desafio B n 0

Para Desafio C n 1

Para Desafio D n 9Justificativa Desafio A

(integral indefinida)

(separao dos termos, e integra individualmente)

(retirando a constante da integral)

(integrando o primeiro termo e executando a inverso de frao)

(inverso de frao do segundo termo)

= (resultado final)

Justificativa Desafio B

C(q)=1000+50q = (integral indefinida) (separao dos termos)

(integrando o primeiro termo e retirando a constante do segundo)

(integrando o segundo termo)

(resoluo do segundo termo)

= (custo total igual custo fixo + integral do curto marginal)

= (resultado final)Justificativa Desafio C

(integra definida)

(retirando a constante da integral)

(usando a substituio de termos)

(alterando o termo substitudo, retirando a constante da integral)

(resolvendo a diviso e integrando)

(substituindo os termos)

(resolvendo os limites da integral)

(resultado final)Justificativa Desafio D

(integral definida)

(usando a substituio de termos)

(alterando o termo substitudo, retirando a constante da integral)

(resolvendo a integral)

(alterando o termo substitudo)

(resolvendo os limites da integral)

(resultado final)

Etapa 1 Passo 4

Relatrio 11. As respostas conclusivas obtidas aqui nessas tarefas referente ao passo 3 foram realizadas com pesquisas, anlises e prticas e compreenses nos clculos. Em relao s pesquisas em clculos aqui concludos, suas respostas dos desafios foram; as integrais definidas indefinidas e regra da substituio.

2. A sequncia de nmeros formou a quantidade mensal de leo que a empresa Petrofuels ir extrair mensalmente: 3019.Etapa 2 Passo 1

Pesquisa

As conquistas de Arquimedes foram consideradas extraordinrias e muitos historiadores o tinham como o maior matemtico de seu tempo. Ele aperfeioou um mtodo de clculo de reas de superfcies e de volumes denominado mtodo da exausto, um aprimoramento das tcnicas desenvolvidas antes por Eudoxo e Menaechmo, e precursor das tcnicas de integrao desenvolvidas mais tarde por Kepler, Cavalieri, Fermat, Newton e Leibniz. Para calcular reas de figuras de formas arbitrrias ele usou o mtodo de dividi-las em fatias estreitas, para ento calcular a rea de cada fatia usando a tcnica desenvolvida por Eudoxo e Menaechmo.

Muitos foram os temas da matemtica e suas aplicaes abordadas por Arquimedes, e diversos de seus livros foram preservados, entre eles:Sobre a esfera e o cilindro, onde Arquimedes mostra que a rea da superfcie da esfera vezes a rea de um disco de mesmo raio, calcula a rea da superfcie de qualquer calota esfrica, mostra que o volume da esfera 2/3 do volume de um cilindro circunscrito na esfera, incluindo suas bases. Ele tambm mostra como cortar uma esfera por um plano de forma que os volumes de cada parte satisfaam uma razo dada.

Sobre conoides e esferoides, um estudo sobre os volumes dos slidos hoje chamados de elipsoides, paraboloides e hiperboloides de revoluo, e segmentos destas figuras.

Sobre as espirais, onde Arquimedes define a espiral (hoje denominada espiral de Arquimedes) atravs da propriedade que relaciona a distncia da curva at a origem e o ngulo de revoluo, e calcula reas de segmentos desta espiral ligados por secantes sobre a medida do crculo, contendo trs proposies voltadas para a soluo do problema clssico da quadratura do crculo. Arquimedes mostra que o valor exato de est situado entre 310/71 e 31/7, resultado que ele obteve calculando a rea de polgonos de 96 lados, inscritos e circunscritos na circunferncia.

Quadratura da parbola, onde aparece o primeiro exemplo de quadratura de uma parbola, ou seja, da determinao de um quadrado com rea igual de uma figura plana limitada por uma parbola e uma secante ligando dois de seus pontos.

O Acenrio, onde se prope um sistema de numerao que permite o clculo de grandes quantidades, at 81063, na notao moderna. Ele argumenta que este nmero suficiente para contar o nmero de gros de areia que poderiam estar contidos no universo. Este tratado tem importncia histrica, pois descreve o sistema heliocntrico devido a Aristarco de Samos, usando este sistema para calcular o raio do universo.

Do equilbrio dos planos, um tratado sobre a aplicao dos princpios geomtricos aos problemas da mecnica. Nele se encontra o centro de gravidade do paralelogramo, do trapzio, do tringulo e da figura limitada por segmentos de parbolas e suas secantes.

Sobre corpos flutuantes, uma obra contendo os fundamentos da hidrosttica, onde se encontra a exposio do Princpio de Arquimedes. Ele tambm estuda a estabilidade de corpos flutuantes de formas e centros de gravidade diversos.

Sobre o mtodo, relativo aos teoremas mecnicos. Neste texto aparece um tratamento do mtodo da exausto que o aproxima muito do tratamento moderno das tcnicas modernas de integrao.Etapa 2 Passo 2

Considerem as seguintes igualdades;I.

II = 4,67

Afirmao correta :

A- (I) e (II) so verdadeiras

Etapa 2 Passo 3

Desafio

Associaremos o numero 4, j que a alternativa correta foi A.

Etapa 2 Passo 41. I.

u= t-6t du= 2t-6dt du=-2*(t-3)dt = -(t-3)dt

II.

u=t+4 t=u-4 para t=0 u=4 para=5 u=9

=

=

(18-24)-(5,33-16)

-6+10,67 = 4,67

2. Formando o numero 30194Etapa 3 Passo 1

Calculo de rea

A funo f(x) definida e contnua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), deaatb, um nmero real, e indicada pelo smbolo:

onde:

a o limite inferior de integrao;

b o limite superior de integrao;

f(x) o integrando.

Serepresenta a rea entre o eixoxe a curva f(x), para

Serepresenta a rea entre as curvas, para

A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma rea, o que ocorre em muitos casos, e uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para, a rea limitada por f(x) e o eixo x, dada por,que pode representar a soma das reas de infinitos retngulos de largurae cuja altura o valor da funo num ponto do intervalo da base:

Subdividindo o intervalo [a, b] emnsubintervalos atravs das abscissas x0=a,x1, x2,..., xn=b,obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2),..., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, xi) tomemos um ponto arbitrriohi..

Seja De acordo com a figura, os retngulos formados tm rea

Soma das reas de todos os retngulos :

que nos fornece um valor aproximado da rea considerada.

Aumentando o nmeronde subintervalos, tal quetenda a zeroe o nmeronde subintervalos tenda a infinito, temos as bases superiores dos retngulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a rea considerada.

Simbolicamente, escrevemos:

CLCULO DA INTEGRAL DEFINIDAO mtodo que temos para o clculo da rea ou da integral definida, no caso, ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.

Para tal, consideremos a rea das figuras quando movemos a extremidade direita:

Se a rea dada por A(x), ento A(a) = 0, pois no h rea alguma. J A(x) d a rea da figura 1, A(b), a rea entreou seja:

ou seja, A(x) uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) antiderivada qualquer de f(x), ento A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0).

Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a).

Portanto:

ou ainda,

Exemplos:

Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e reas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

Etapa 3 Passo 2Alternativa (c) (I) verdadeira e (II) falsa

Etapa 3 Passo 3I.

II.

Para o desafio C n 8.

Etapa 4 Passo 1

Volumes de Revoluo

Nesta unidade abordamos uma aplicao da integral definida atravs da qual, possvel a determinao do volume de um slido formado pela revoluo de uma regio limitada por curvas, em torno de uma reta.

Se uma regio revolve em torno de uma reta no plano, o slido resultante umslido de revoluo; dizemos que o slido gerado pela regio. A reta umeixo de revoluo. Por exemplo, se a regio hachurada na figura 1, abaixo, gira em torno do eixo dosy, obteremos o slido ilustrado na figura 2.

Figura 1Figura 2

Outros exemplos:

Sef uma funo constante, digamos f(x) =k, ento a regio retangular e o slido gerado um cilindro circular reto.

Se o grfico def um semicrculo com extremidades de um dimetro nos pontos (a, 0) e (b, 0), ento o slido de revoluo uma esfera.

Se a regio um tringulo retngulo com base no eixo dosxe dois vrtices nos pontos (a, 0) e (b, 0), com o ngulo reto em um desses pontos, o slido gerado um cone circular reto.

Agora consideremos a regio limitada pelas curvasy = f(x),x = a,x = b e o eixo dosx.

Girando esta regio em torno do eixo dosx, determinamos uma figura slida. De acordo como o que estudamos na unidade anterior, a reaDA, de um retngulo tpico desta regio, foi definida como sendoDA=f(t)Dx, ondet um ponto qualquer da base do retngulo,Dx a largura ef(t) a altura. Se agora girarmos esta rea em torno do eixo dosx, obteremos um disco cilndrico de volume.

DV=pr2h

onder, oraio, f(t)eh, alargura, Dx. Portanto:

Por um mtodo semelhante aproximao da rea sob uma curva por retngulos, podemos aproximar o volume de rotao usando o somatrio dos volumes de aproximao de discos. Ou seja, para reas, a integral.

foi determinada para dar a rea exata de regies que eram aproximadas pela rea de retngulos. De forma anloga, a integral.

determinada para dar o volume exato do slido de revoluo ao redor do eixox.

Podemos inverter os papis dexeye fazer uma regioR, limitada, por exemplo, porx= g(y), girar em torno do eixo dosy. Neste caso, temos o volume definido pela integral.

Podemos, tambm, fazer uma regio girar em torno de qualquer reta. Assim sendo, sugerimos a seguinte regra geral para achar o volume de um disco circular:

Ao lidarmos com problemas, geralmente aplicamos o mtodo intuitivo j utilizado para o clculo de reas entre duas curvas e, de forma semelhante ao que fizemos naquele caso, sugerimos as seguintes.

Achando o volume de um slido de revoluo utilizando discos

1. Esboar a regioRa ser revolvida e rotular as fronteiras. Exibir um retngulo tpico vertical de largura dxou um retngulo horizontal de largura dy.

2. Esboar o slido gerado porRe o disco gerado pelo retngulo da diretriz 1.

3. Expressar o raio do disco em termos dexouyconforme sua espessura seja dxou dy.

4. Usar (III) para obter uma frmula para o volume do disco.

5. Aplicar o operador limite de somas expresso da diretriz 4 e calcular a integral.

De modo geral, no especificamos as unidades de medida de volume. Se a medida linear polegada, o volume ser dado empolegadas cbicas. Sex medido emcentmetros, entoVser expresso em centmetros cbicos (cm3)etc..

Consideremos, agora, uma regio do tipo ilustrado a seguir.

Se esta regio gira em torno do eixo dosx, obtemos um slido com uma abertura no centro. O seu volume pode ser obtidosubtraindo-seo volume do slido gerado pela menor regio, do volume do slido gerado pela maior regio. Assim, expressamos o mesmo por.

Ao resolver problemas deste tipo, conveniente usar a seguinte regra geral:

Um erro comum na aplicao de (IV) consiste em tomar o quadrado da diferena dos raios em lugar da diferena dos quadrados. Note que

Podem-se estabelecer diretrizes semelhantes s que foram sugeridas para o caso do disco, para problemas que envolvem anis. As principais diferenas so que na diretriz 3 determinamos expresses para o raio exterior e o raio interior de um anel tpico, e na diretriz 4 utilizamos (IV) para achar uma frmula para o volume do anel.Etapa4 Passo 2

Desafio A

) Calcule a rea da superfcie de revoluo obtida pela rotao, em torno do eixo x, da curva dada por =4, 1.

Fazendo Substituio de Varivel

Continuando a resolver a varivel original

A Afirmao esta correta.Etapa 4 Passo 3

Desafio:

A. Afirmao esta correta n 4.

Etapa 4 Passo 4

Sequencia numrica dos desafios 3019484?.

Pode-se extrair do novo poo de petrleo a quantia de 3 milhes de metros cbicos.

17