Embed Size (px)
Citation preview
ATOMIKA IN OPTIKA
Aleš Iglič
Ljubljana, 2015
2
3
PREDGOVOR
Izdane izpeljave enačb naj bi študentom olajšale razumevanje
matematičnega opisa električnih in magnetnih lastnosti snovi,
elektromagnetnega valovanja, valovne in geometrijske optike,
posebne teorije relativnosti, kvantnih pojavov ter osnov
kvantne mehanike. Ob tem pa bi jih tudi delno razbremenila
zapisovanja enačb in jim tako omogočila pozornejše
spremljanje predavanj ter beleženje opomb. Nekatere težje
izpeljave so označene z zvezdico (*). S križcem (+) pa so
označena poglavja ali podpoglavja, ki se obdelajo že pri
Osnovah elektrotehnike in se zato pri mojih predavanjih le
dodatno osvetlijo s prikazi ustreznih demonstracijskih
eksperimentov. Soprogi V. Kralj–Iglič sem hvaležen za
pripombe in nasvete ter številne diskusije, gospe E. Zupan
Debevec in dr. Hani Debevec pa za tipkanje in urejanje teksta
ter risanje slik. Za koristne nasvete in pomoč se zahvaljujem dr.
K. Bohincu ter recenzentoma prof. T. Slivniku in prof. F.
Sevšku.
Aleš Iglič
4
5
VSEBINA
1. Maxwellove enačbe 8
1.1 Gaussov zakon 8
1.2 Premikalni tok 11
1.3 Zakon o magnetnem pretoku 14
1.4 Amperov zakon 15
1.5 Faradayev zakon (indukcija) 18
1.6 Lastna induktivnost 22
1.7 Maxwellove enačbe 27
2. Gibanje električnih nabojev 28
2.1 Millikanov poskus 28
2.2 Gibanje prevodniških elektronov v kovini 31
2.3 Hallov pojav 37
3. Snov v električnem polju 39
3.1 Elektrostatska potencialna energija 39
3.2 Snov v električnem polju 44
3.3 Poissonova enačba 58
3.4 Električna dvojna plast 61
3.5 Energija električnega polja 64
3.6 Sila na dielektrik 66
3.7 Sila na točkasti naboj v bližini meje dveh dielektrikov 67
3.8 Influenca 70
4. Snov v magnetnem polju 71
4.1 Navor na tokovno zanko 71
4.2 Klasični model diamagnetizma 76
4.3 Klasični model paramagnetizma 79
4.4 Feromagnetizem 82
4.5 Energija magnetnega polja 91
5. Električni nihajni krogi 92
5.1 Idealni električni nihajni krog 92
5.2 Dušeni električni nihajni krog 94
5.3 Vsiljeno nihanje električnega nihajnega kroga 97
5.4 Moč: izmenični tok 102
6. EM valovanje in svetloba 103
6.1 Elektromagnetno valovanje 103
6.2 Lom: Fermatov princip 108
6.3 Koherentnost izvorov EM valovanj in interferenca 110
6.4 Uklon svetlobe na režah in interferenca 117
6.5 Uklonske slike kristalov 122
6.6 Sprememba faze EM valovanja 125
6.7 Interferenca (odboj) EM valovanja na tankih plasteh 128
6.8 Polarizacija sončne svetlobe 134
6.9 Absorpcija EM valovanja 137
6.10 Odvisnost lomnega količnika od valovne dolžine 139
6.11 Fotometrija 145
7. Optični aparati 150
7.1 Tanke leče 150
7.2 Lupa in mikroskop 153
7.3 Oko 156
6
8. Relativnostna mehanika in kvantni pojavi 159
8.1 Dimenzije 160
8.2 Meglična celica, ciklotron in masni spektrometer 163
8.3 Posebna teorija relativnosti 163
8.4 Pojavi, ki jih ne moremo razložiti v okviru klasične fizike: 177
- fotoefekt 177
- sevanje črnega telesa 178
- Comptonsko sipanje 182
- atomski črtasti spektri 185
- interferenčni pojavi pri elektronih 186
9. Osnove kvantne mehanike 191
9.1 Načela kvantne mehanike 191
9.2 Schrödingerjeva enačba s časovno odvisnostjo 188
9.3 Schrödingerjeva enačba brez časovne odvisnosti 200
9.4 Delec v neskončni potencialni jami 203
9.5 Harmonski oscilator 207
9.6 Vodikov atom 212
9.7 Energijski pasovi v kristalih 230
Literatura 236
7
Predavanja iz fizike za študente elektrotehnike potekajo v veliki fizikalni predavalnici v
Peterlinovem paviljonu, kjer je velika zbirka demonstracijskih eksperimentov, ki se jih
prikazuje na predavanjih.
8
1. Maxwellove enačbe+
1.1 GAUSSOV ZAKON (zakon o električnem pretoku)
o Gaussov zakon je skladen s Coulombovim zakonom:
1 212 2
04
e e rF
r r
Sila med dvema nabitima točkastima delcema je obratno
sorazmerna s kvadratom razdalje med njima .
o Električno polje točkastega delca:
12 1 2F E e
, kjer je 11 2
04
e rE
r r
1 ,r
r torej je
r
r enotni vektor.
o Izpeljava Gaussovega zakona za poseben primer točkastega naboja:
d d cos d ',r S r S r S kjer d ' d cosS S
2
04
e rE
r r
Integriramo po zaključeni ploskvi znotraj katere se nahaja naboj e:
2 2 2
0 0 0
0 0 0
d d ' d 'd
4 4 4
d d 4 ,4 4 4
e r S e r S e SE S
r r r r r
e e e
er
dS
E
9
kjer je 2
'd
dS
r element prostorskega kota, d 4 pa poln prostorski kot. Vidimo,
da velja:
0 d ,E S e
oziroma
dD S e , (1.1.1)
kjer smo upoštevali 0D E . Ker je električno polje aditivno lahko enačbo
(1.1.1) posplošimo, za množico točkastih nabojev znotraj zaključene ploskve s površino
S:
d i
i
D S e
, (1.1.2)
oziroma, če preidemo na volumsko gostoto naboja r :
d dS V
D S V
GAUSSOV ZAKON O ELEKTRIČNEM PRETOKU
Van de Graafov generator napetosti
kovinska lupina
trak
zemlja izolator
10
1.2 PREMIKALNI TOK
1.2.1 POLNJENJE KONDENZATORJA
0 0 ,R C CU U U e CU
0d
d
d
d/00
C
I
t
IR
tC
eIRU
/d1
tRCI
dI
0 0
1ln | |
I t
I
I tRC
RC
t
eII
0
0
0 0 0
0velja: , ker 0 0
C R
t
RCC
o C
U U U
U U IR U R I e
RI U U t
0 0torej:t
RCCU U U e
0 1t
RCCU U e
0 0
t t
RC RCRU IR R I e U e
, kjer smo upoštevali 00 UIR
1.2.2 PRAZNJENJE KONDENZATORJA SKOZI UPOR
0 .C R CU U e CU
torej,d1d
0d
d
0d
d
d
d1
0
tRCI
I
t
IR
C
I
t
IR
t
e
C
RIC
e
11
RC
t
eII
0
RC
t
RC eIRRIUU
0
0,0
CRC
t
C UeUU , kjer smo upoštevali 00 UIR
RC
t
RC
t
R eUeIRRIU
00
00
RRC
t
R UeUU
1.2.3 PREMIKALNI TOK
o V krogih s kondenzatorjem dosežemo veljavnost kontinuitetne enačbe, če upoštevamo v
kondenzatorju premikalni tok:
t
D
S
Ij
t
DSI
t
DS
t
ES
t
ES
t
d
Ud
St
U
d
S
t
UC
t
eI
pd
d
d
d
d
d
d
d
d
d
dd
d
d
d
d
d 0
000
o vektorska oblika:
.d
dj
t
Dp
o v nehomogenem polju velja:
j d dP p
DI S S
t
dP
DI S
t
12
1.3 ZAKON O MAGNETNEM PRETOKU
1.3.1 DEFINICIJA GOSTOTE MAGNETNEGA POLJA
Nikola Tesla
(1856 – 1943)
o Gostoto magnetnega polja B definiramo preko sile na gibajoči nabiti delec:
F ev B
smer sile: pravilo
desnosučnega vijaka
o Enota za B:2 2 2 2
Ns N Nm J VAs Vs= = 1T
As m A m A m A m A m m
FB
ev
2
Vs1T
m (Tesla)
o IZVOR NEVTRONSKA
ZVEZDA
ELEKTRO-
MAGNET
POVRŠINA
ZEMLJE
MEDZVEZDNI
PROSTOR
B
108 T
10T – 1T
10-4
T
10-10
T
e
v
B
F
e<0
e>0
F
13
o Tuljave in permanentni paličasti magnet (primerjava):
o Sila na vodnik v magnetnem polju
Sila, ki deluje na nosilce naboja v vodniku se prenese na vodnik, ker nosilci ne morejo
ubežati iz vodnika.
Sila na točkasti naboj F ev B
namesto e vzamemo infinitezimalni naboj de, ki teče po žici s hitrostjo v v
d d d dF ev B e I t .
Sila na odsek vodnika dolžine dl:
d
d dt d d d
l
F I v B I l B v t l
Sila na celoten vodnik
F I dl B
Poseben primer: vodnik je raven in polje homogeno:
N severni magnetni pol
S južnimagnetni pol
F I l B
N
S
I
N
S
I
N
S
I
N
S
IF F F FB
14
Če je polje znotraj vodnika nehomogeno:
d d dS , kjer d dSF I l B j l B I j in j ploskovna gostota toka.
1.3.2 ZAKON O MAGNETNEM PRETOKU
ni monopolov
ni izvorov
ni ponorov
Magnetni pretok definiramo kot: m dB S
N severni pol
S južni pol
dS
Velja: d 0S
B S
15
1.4 AMPEROV ZAKON
André – Marie Ampère
(1775 – 1836)
o Biot – Savartov zakon:
0
3
d
4 r
I r lB
Primer: magnetno polje zelo dolgega ravnega vodnika
sina
r
sin
ar
16
Velja: ctg ctgl
l aa
2
d dsin
al
0
0 0 0
3 3 2
0 0 02
0 0 0
2 2
0
0 0 0
d sin 180 d sin d sin
4 4 4
sin sin dsin d cos
4 sin 4 4
cos 24 4 2
|
|
r lI I Ir l lB
r r r
I I Ia
a a a
I I I
a a a
Opomba: silnice so koncentrični krogi:
0
2
IB
a
(1.4.1)
o Amperov zakon (zakon o magnetni napetosti po zaključeni poti)
Poseben primer: enačba (1.4.1)) opisuje magnetno polje dolgega ravnega vodnika.
0
2
IB
r
dl
r
0180
dl
r
integracijska meja
za kot
r
0
:
17
Izračunajmo integral dB s po zaključeni poti okrog ravnega vodnika po katerem teče
tok I:
skica:
Velja:
0
0 0
d2
0 00
d d cos2 2
2 .2 2
Ir B
r
I IB s B s B r d r d d
r
I IId
vpeljemo jakost magnetnega polja 0B H in dobimo:
dH s I
Amperov zakon (1.4.2)
Če upoštevamo tudi premikalni tok dd
p
S
DI S
t
dobimo posplošitev:
d d dS S
DH s j S S
t
(1.4.3)
Enačba (1.4.3) predstavlja eno izmed Maxwellovih enačb.
I
r
B
d
ds
18
1.5 FARADAYEV ZAKON (indukcija)
Michael Faraday
(1791 – 1867)
1.5.1 INDUKCIJA PRI PREMIKANJU RAVNEGA VODNIKA
Opazimo, da moramo vodnik vleči s silo, čeprav se ta giblje s konstantno hitrostjo.
B deluje na nosilce nabojev (elektrone): 0F e v B
sila na vodnik po katerem teče inducirani tok I: lF I l B
F = zunanja sila, ki vleče v desno
Če je hitrost gibljive prečke v konst., velja:
.lF F I l B (1.5.1)
Delo, ki ga opravi zunanja sila F je enaka:
d d d ,iF s F v t U I t (1.5.2)
od koder sledi:
,iF v U I (1.5.3)
kjer je iU inducirana napetost.
l
++
+
---
F
FlF
B0I = konstantaB
19
Opomba: delo oddaja voltmeter z upornikom kot Joulov toplotni tok (upor zanke je
zanemarljiv).
Iz (1.5.1) in (1.5.3) sledi:
,iI l B v U I (1.5.4)
oziroma
,iB l v U
ali
iU v B l . (1.5.5)
Če je polje nehomogeno in vodnik ni raven enačbo (1.5.5) posplošimo:
diU v B l . (1.5.6)
Drugačen zapis enačbe (1.5.6):
d
d d d d
d d ,
s
iU t v B l t v t l B s l B
B s l B S
(1.5.7)
torej
d.
di
B SU
t
(1.5.8)
Če je konst.,B velja:
d d d mB S B S
in iz enačbe (1.5.8) sledi:
d
d
miU
t
. (1.5.9)
Enačbo (1.5.9) posplošimo za primer nehomogenega magnetnega polja:
FARADAYEV
ali
indukcijski zakon
d
d
miU
t
, (1.5.10)
dm B S , (1.5.11)
dA
v
d ds v t
20
oziroma:
d dB
E s St
(1.5.12)
1.5.2 LENZOVO PRAVILO
Inducirana napetost požene tok, ki se upira spremembi, ki je inducirano napetost povzročila:
južni magnetni pol
N severni magnetni pol
S
1.5.3 GENERATORJI ELEKTRIČNEGA TOKA
brez komutatorja:
s komutatorjem:
t
B
U
t
B
U
21
Delo, ki je potrebno za vrtenje generatorja (ploščate tuljave) izmeničnega toka v magnetnem
polju B:
0
cos
dsin
d
4sin , ,
m
mi
i
N B S N B S t
U N B S tt
U N B S aI t R
R R S
kjer je R električni upor, specifični upor, 0S površina preseka žice, kotna hitrost, a
dolžina stranice zanke, S površina ene zanke in N število zank v ploščati tuljavi.
22
2 2 22
2 22 2 2 2 2 22
0 0
sin sin sin
sin
d sin d
m
N B SM p B t N I B S t S B t
R
N B St
R
N B S N B SA M
R R
STRANSKI POGLED
a
B
TLORIS
B
0
2
število ovojev
S površina preseka žice
S=a površina zanke
N
,m
p S
t
a
22
1.6 LASTNA INDUKTIVNOST
1.6.1 DEFINICIJA LASTNE INDUKTIVNOSTI
o Lastni magnetni pretok
m L I
induktivnost Vs AL
Primer: dolga tuljava z gostimi navoji po kateri teče električni tok I
dolžina tuljave
število ovojev tuljave
površina enega ovoja
l
N
S
predpostavka: magnetno polje je samo znotraj tuljave
o Amperov zakon
,H ds H l N I (1.6.1)
torej
N IH
l
oziroma
0
N IB
l
. (1.6.2)
Magnetni pretok skozi tuljavo je zato:
2
0 0 ,m
N I N SN B S N S I L I
l l (1.6.3)
kjer
2
0
N SL
l
(1.6.4)
23
1.6.2 ČASOVNA ODVISNOST TOKA, KI GA POŽENE TULJAVA PO
UPORNIKU
m L I
d d
d d
mL
IU L
t t
L = lastna induktivnost
t < 0: zunanji izvir 0U poganja stacionaren tok 0 0I U R
t 0: preklopimo pretikalo
0
d0
d
R LU U
IIR L
t
d dd ,
I R tt
I L
L
R
časovna konstanta
0
tI I e
0R
t
L U I RU R I e
tok:
I
0I
st
24
napetost:
1.6.3 POGANJANJE TOKA SKOZI TULJAVO
0
0
0
d0
d
R LU U U
IU IR L
t
nova spremenljivka:
0U IR x
d d
d d
d d
I R x
I xR
t t
d 1 d
d d
I x
t R t
0 00, 0,t I x x U
st
U
LU
RU
25
Torej:
0
0 0
00 0
0
0
d0 ,
d
dd ,
ln ,
1 ,
U IR t
U
t
t
L xx
R t
x Rt
x L
U IR tU IR U e
U
R I U e
0 1 ,tUI e
R
0 1 tI I e
, kjer 00
UI
R
.
0 0
0 0 0 0 0
1 1t t
R
t t
L R
U I R R I e U e
U U U U U U e U e
tok:
napetost:
I
st
00
UI
R
stLU
RU
0U
0U0U ( napetost generatorja)
26
1.6.4 IZMENIČNI TOK PO TULJAVI
Gonilna napetost: 0 sinU t
0
0
0
0
0
0 0 0
sin 0
dsin 0
d
dsin
d
d sin d
d sin d
sin d cos sin2
LU t U
IU t L
t
IU t L
t
UI t t
L
UI t t
L
U U UI t t t t
L L L
0 sin2
I t I t
, kjer 00
UI
L
.
d
dL
IU L
t
0 0sin sinLU U t U t
.
o Tuljava rabi povprečno moč
0 0
1cos 0
2P I U
.
LU
I
t s
t s
t s
P
27
1.7 MAXWELLOVE ENAČBE (osnovni zakoni elektrodinamike)
Jamec Clerk Maxwell
(1831 – 1879)
d de
S V
D S V
zakon o električnem pretoku (Gaussov zakon)
d 0S
B S
zakon o magnetnem pretoku
d de
DH s j S
t
zakon o magnetni napetosti (Amperov zakon)
d dB
E s St
indukcijski zakon (Faradayev zakon)
Dodatno mora veljati še zakon o ohranitvi naboja:
d dee
S V
j S Vt
Če poznamo prostorsko odvisnost E in
B poznamo silo na naboj e:
F e E ev B
(Lorentzova sila)
28
2. Gibanje električnih nabojev
2.1 MILLIKANOV POSKUS (določitev osnovnega naboja)
Sile, ki delujejo na negativno nabito (e<0) oljno kapljico:
A)
B)
A primer: E = 0: ' 6 ' ,m g r v mg (2.1.1)
B primer: E 0: ' 6 ,eE m g mg r v (2.1.2)
v v z gF
6 r v
m g
E
e E
0E
'v
e
'vzgF m g
6 'r v
mg
29
kjer so:
r = polmer oljne kapljice 51.8 10 kg ms viskoznost zraka
e = električni naboj oljne kapljice
m = masa oljne kapljice
m’ = masa izpodrinjenega zraka
E = jakost električnega polja
v’, v = hitrosti kapljice
Neznanki sistema enačb (2.1.1) in (2.1.2) sta e in r:
(2.1.1) odšteješ od (2.1.2):
6 'e E r v v (2.1.3)
Iz enačbe (2.1.1) sledi:
6 ' ' ,r v m m g (2.1.4)
V enačbo (2.1.4) vstaviš:
34
3
rm
,
34' '
3
rm
(2.1.5)
kjer je gostota oljne kapljice, ' pa gostota zraka in dobiš:
34
6 ' ' ,3
rr v g
oziroma
29 ' 2 'v r g . (2.1.6)
Iz enačbe (2.1.6) sledi:
1 2
9 '
2 '
vr
g
. (2.1.7)
Iz enačbe (2.1.3) sledi:
6
'r
e v vE
. (2.1.8)
Izraz (2.1.7) vstavimo v enačbo (2.1.8) in dobimo:
30
1 2
18 ' '
2 '
v v ve
E g
. (2.1.9)
Rezultat poskusa:
0 , 0, 1, 2, 3e ne n
19
0 1.6 10 Ase
DELEC NABOJ As MASA kg
elektron (e) 191.6021917 10 319.1095 10
proton (p) 191.6021917 10 271.67261 10
nevtron (n) 0 271.67492 10
31
2.2 GIBANJE PREVODNIŠKIH ELEKTRONOV V KOVINI
2.2.1 GIBANJE NABOJEV V VAKUUMU
Eet
vm
d
d
, torej: (2.2.1a)
.0 tEm
evv
(2.2.1b)
2.2.2 GIBANJE PREVODNIŠKIH ELEKTRONOV V KOVINI
Naboji doživljajo trke, ki zavirajo njihovo gibanje zaviralna sila
predpostavka:
zavF k v , (2.2.2)
Newtonov zakon za gibanje točkastega naboja z maso m in nabojem e:
vkEet
vm
d
d
ali
Em
ev
m
k
t
v
d
d
. (2.2.3)
Definiramo ,k
m (2.2.4)
ki ga imenujemo relaksacijski čas.
32
Če izključimo električno polje (E = 0) velja:
0d
v
t
vd
(2.2.5)
Rešitev enačbe (2.2.5) je:
0 ,tv v e (2.2.6)
kjer je začetna vrednost hitrosti v (t = 0) = v0.
Čas je približno enak času med dvema zaporednima trkoma. V času pade
začetna hitrost 0v na vrednost .0 ev
Vrednosti relaksacijskih časov :
SNOV s
kovine ~ 10-14
razelektritve v plinih ~ 10-9
sončna korona ~ 102
medzvezdni plin ~ 105
Delna zaključka:
1. če ne bi bilo trkov bi hitrost nabojev stalno naraščala (enačba (2.2.1b)),
2. če 0E
pada hitrost eksponentno proti nič (enačba (2.2.6)).
SPLOŠNO: zanima nas časovno povprečje v stacionarnem stanju
če ne bi bilo trkov bi hitrost nabojev v električnem polju stalno naraščala
zanima nas časovno povprečje v stacionarnem stanju:
Em
ev
t
v
d
d (2.2.7)
če velja a
~ 0d
d
t
v
(glejte sliko) in konst. EE
iz enačbe (2.2.7) sledi:
Em
ev
. (2.2.8)
V nadaljevanju izračunamo gostoto električnega toka (j):
33
vent
xen
t
xen
St
Ven
St
e
SS
Ij
d
d
d
dS1
d
d1
d
d1
posplošitev:
venj
, (2.2.9)
kjer je V
Nn število gibljivih nosilcev naboja na enoto volumna snovi.
Iz enačbe (2.2.8) in (2.2.9) sledi:
,EEm
eenj
(2.2.10)
kjer je
m
en
2
specifična električna prevodnost. (2.2.11)
Za prevodne (gibljive) elektrone v kovini je 19
0 1.6 10 Ase e , torej:
Ej
Ohm-ov zakon (2.2.12)
em
en
2
0
, (2.2.13)
kjer je em masa elektrona.
Georg Simon Ohm
(1787 – 1854)
34
o Poseben primer: dolg valjast vodnik dolžine l s konstantno površino preseka (S):
lEabExExExEVVUb
a
b
a
b
a
ab |dd
kjer je V električni potencial in U električna napetost,
torej:
,U
j El
(2.2.14)
I U
S l . (2.2.15)
Enačbo (2.2.15) zapišemo v obliki:
U I R . (2.2.16)
kjer je
1.
lR
S (2.2.17)
upor vodnika. Če definiramo
1 (2.2.18)
kot specifično upornost, velja:
S
lR
. (2.2.19)
Temperaturna odvisnost :
,1 00 TT (2.2.20)
kjer je temperaturni koeficient specifičnega upora.
S
l
E
aVbV
I
x
35
o Padanje električnega toka v toplotno izolirani žici zaradi segrevanja
,1 00 TTRRS
lR
,0
0
0 TTR
RR
TR
Rd
d
. (2.2.21)
Ohmov zakon
,0
R
UI
RR
U d1
Id20
. (2.2.22)
TmcQtP p ddd m
tPT
pc
dd
, kjer je P moč. (2.2.23)
Enačbo (2.2.21) vstavimo v enačbo (2.2.22) in dobimo:
,d
dId2
0
2
0
mc
tPR
R
UTR
R
U
p
(2.2.24)
kjer smo upoštevali enačbo (2.2.23). Iz enačbe (2.2.24) pa sledi:
0d
d p
U PI
t Rc m
, (2.2.25)
kjer je m masa žice, pc pa specifična toplota pri konstantnem pritisku.
MATERIAL mρ 1K
srebro 1.59 10-8
3.8 10-3
baker 1.7 10-8
3.9 10-3
zlato 2.44 10-8
3.4 10-3
aluminij 2.82 10-8
3.9 10-3
volfram 5.6 10-8
4.5 10-3
železo 10 10-8
5.0 10-3
platina 11 10-8
3.92 10-3
svinec 22 10-8
3.9 10-3
36
2.2.3 ELEKTRIČNI TOK V ELEKTROLITIH
Primer: K Cl K
+ + Cl
-
kation anion
kation
anion
z+ število osnovnih nabojev kationa
z število osnovnih nabojev aniona
Iz enačbe (2.2.8) sledi:
Ev
, (2.2.26)
m
ez 0 , (2.2.27)
Ev
, (2.2.28)
0z e
m
, (2.2.29)
kjer je gibljivost kationov, gibljivost anionov, m+ masa kationov, m- pa masa anionov.
Velja:
,00 vnezvnezj (2.2.30)
kjer je
nnn
število molekul elektrolita na volumsko enoto. Iz enačb (2.2.30), (2.2.26) in (2.2.28) sledi:
Eneznezj 00 (2.2.31)
Specifična prevodnost elektrolita je torej:
0 0z e n z e n (2.2.32)
+
E
v
v
+
37
2.3 HALLOV POJAV
o Električni tok po vodniku s pravokotnim presekom, ki se nahaja v magnetnem polju
gostote E :
o Stacionarno stanje:
gostota magnetnega polja
jakost električnega polja
B
E
0H HF e E (2.3.1)
0F e v B (2.3.2)
HH
UE
b
(2.3.3)
Upoštevamo:
0 0
0
,
, ,
,
v v
Nj ne v ne v n
V
Ij ne v
S
0
Iv
S ne
(2.3.4)
b
B
d
negativni gibljivi nosilci
naboja (elektroni)
b
v
I
HE
HF F
+
+
+
+
+
+
B
38
Stacionarno stanje:
,HF F (2.3.5)
0 He E ev B . (2.3.6)
V enačbo (2.3.6) vstavimo izraza (2.3.3) in (2.3.4):
0HU I
e Bb Sn
, (2.3.7)
kjer je S bd površina preseka vodnika. Iz enačbe (2.3.7) sledi:
0
H
I b BU
e S n
, (2.3.8)
kjer imenujemo HU Hallova napetost.
39
3. Snov v električnem polju
3.1 ELEKTROSTATSKA POTENCIALNA ENERGIJA
3.1.1 DELO SILE TOČKASTEGA NABOJA e1 NA TOČKASTEM
NABOJU e2
o električno polje naboja e1: 1
1 2
0
,4
e rE
r r kjer 1
r
r
o sila na naboj e2: 1 2
2 2 1 2
04
e e rF e E
r r
2
d d d 2 d
1 1d d d
2 2
r r r r r r r r
r r r r r
Ker je d ds r velja: 21d d d
2r s r r r
(3.1.1)
kjer smo upoštevali:
d dr s
2r r r
1 2 1 2 1 2 1 22 3 3 2
0 0 0 0
d d d 1d | ,
4 4 4 4
b b b b
b
a
a a a a
r r r r
r
er
r r r r
e e e e e e e er s r r rA F s
r r r r
(3.1.2)
kjer smo upoštevali d dr s r r (enačba (3.1.1)).
40
Zaključek: Delo sile točkastega naboja e1 na točkasti naboj e2 je odvisno samo od začetne in
končne razdalje med nabojema.
Posplošitev: če to velja za točkast naboj, velja tudi za poljubno volumsko porazdelitev
nabojev, ker so sile aditivne.
3.1.2 ENERGIJSKI ZAKON
,k g pA W W , (3.1.3)
kjer je A delo vseh zunanji sil razen sile teže, kW sprememba kinetične energije in ,g pW
sprememba gravitacijske potencialne energije. Delo A razdelimo na dva dela:
ost eA A A , (3.1.4)
kjer je ostA delo vseh zunanjih sil razen sile teže in električnih sil.
Iz enačb (3.1.3) in (3.1.4) sledi:
,ost e k g pA A W W , (3.1.5)
kjer eA podan z enačbo (3.1.2), torej:
,ost k g p eA W W A . (3.1.6)
Iz enačb (3.1.2) in (3.1.6) sledi:
1 2,
0
1|
4
b
a
r
ost k g pr
e eA W W
r , (3.1.7)
oziroma:
,ost k g p eA W W W , (3.1.8)
kjer smo uvedli elektrostatsko potencialno energijo:
1 2
0
konst.4
e
e eW
r
. (3.1.9)
Običajno izberemo konst. = 0.
Elektrostatska potencialna energija 1 2
04
e e
r , ustreza delu, ki ga mora opraviti zunanja sila, da
naboja 1e in 2e (različnega predznaka) razmaknemo od razdalje na razdaljo r.
41
Če je 0ostA iz enačbe (3.1.8) dobimo:
,0 k g p eW W W ,
oziroma
, 0k g p eW W W ,
iz česar sledi zakon o ohranitvi energije:
, konst.k g p eW W W . (3.1.10)
OPOMBA:
Elektrostatska potencialna energija sistema nabojev je vsota dvodelčnih potencialnih energij.
,
0
1
2 4
i j
e p
i j ij
e eW
r
(3.1.11)
Faktor 1
2 uvedemo zato, ker v vsoti
,i j
vsak par šteješ dvakrat.
Potencialno energijo lahko vpeljemo le v sistemu, ki ima vsaj dva delca!
3.1.3 DEFINICIJA ELEKTRIČNEGA POTENCIALA+
Električni potencial definiramo kot električno potencialno energijo na enoto pozitivnega
(testnega) naboja:
eW
e
JV
As
(3.1.12)
r
e W
12 0 ee
12 0 ee
42
o Primer dveh točkastih nabojev; električna potencialna energija naboja e2 v polju
naboja e1:
12 2 1
0
,4
e
eW e e
r
(3.1.13)
kjer 1
1
0 2
.4
eWe
r e
(3.1.14)
Potencialna energija naboja e v polju sistema točkastih nabojev ei :
0
,4
ie
i i
eW e e
r r
(3.1.15)
kjer
0
, , .4
i
i i
ex y z
r r
(3.1.16)
Vsaki točki v prostoru pripada neka vrednost električnega potenciala , ,x y z ,
ki je posledica porazdelitve nabojev ei v prostoru.
ir
r
ir r
e
ie
x
y
z
x
y
z1e
2e 3e
4e5e
6e
43
3.1.4 ZVEZA MED E IN
r skalarno polje
E r vektorsko polje
d d d d , , d ,d ,d .x y z x y zx y z x y z
(3.1.17)
Ob upoštevanju definicije Hamiltonovega operatorja (nable):
, ,x y z
, (3.1.18)
zapišemo enačbo (3.1.17) v obliki:
d d ,s
(3.1.19)
kjer je
d d d ,d ,d .s r x y z (3.1.20)
Iz enačb (3.1.1) – (3.1.16) po drugi strani sledi:
d d d de e eW e A F s eE s , (3.1.21)
oziroma
d d ,e e E s
torej:
d dE s (3.1.22)
Iz primerjave enačb (3.1.19) in (3.1.22) dobimo:
, , .Ex y z
(3.1.23)
o Komentar: ekvipotencialne ploskve
d dE s
EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE
d d 0 vektor pravokoten na ekvipotencialne ploskveče E s E
44
3.2 SNOV V ELEKTRIČNEM POLJU
3.2.1 RAČUNANJE ELEKTRIČNA POLJA DIPOLA
o Prvi način:
vektorski zapis
r in r :
r r r
r r r
P+e -e
dr
r
r
r
r+
+e
-e
cos2
d
z
x
P
(a)
45
Električno polje dipola je vektorska vsota električnih polj obeh točkastih nabojev, ki
sestavljata dipol (pri zapisu približnih izrazov za r in r glejte še zgornjo sliko ):
3 3 3 3
0 0
,4 4
cos 1 cos ,2 2
cos 1 cos .2 2
r r r r r re eE
r r r r
d dr r r
r
d dr r r
r
V nadaljevanju naredimo še naslednja dva približka :
33 3
3
33 3
3
1 1 11 3 cos ,
21 cos
2
1 1 11 3 cos ,
21 cos
2
d
r r rdr
r
d
r r rdr
r
kjer smo upoštevali :
3
11 3
1x
x
. Tako dobimo :
3 3
0
3
0
2
3
0
1 3 1 31 cos 1 cos
4 2 2
1 33 cos cos
4 2
13 cos sin , 0, 3 cos ,
4
e d dE r r r r
r r r r
e r dd r r r r
r r r
ed d d
r
kjer smo upoštevali:
sin , 0, cos ,
0, 0, ,2
0, 0, .2
r r r
dr
dr
Torej:
3
0
3 cos sin
4
ex
pE
r
, (3.2.1)
46
0yE , (3.2.2)
2
3
0
3cos 1
4
e
z
pE
r
, (3.2.3)
kjer smo definirali električni dipolni moment:
ep d e (3.2.4)
o Drugi način*:
Električni potencial dipola:
2 11 2 2
0 1 2 0 1 2 0
1 cos,
4 4 4
r re e e e d
r r r r r
kjer smo upoštevali:
2 1 cos ,r r d 2
1 2 .r r r
Ob uporabi definicije ep ed iz gornje enačbe sledi:
2
0
cos1
4
ep
r
(3.2.5)
Vidimo, da velja:
2
0
0
10:
4
90 : 0
ep
r
d
r
+e
-e
x
z
x
z
y
2 1 cosr r d
1r
2r
47
Enačbo (3.2.5) lahko zapišemo v obliki:
3 2
2 20
1
4
zp
x z
, (3.2.6)
kjer smo upoštevali:
2 2
2 2 2
cos ,
.
z
x z
r x z
Velja:
,
, , ,
E
x y z
, , .Ex y z
(3.2.7)
Iz enačb (3.2.6) in (3.2.7) pa sledi:
, , , , ,x y ZE E E Ex y z
(3.2.8)
3
0
3 cos sin,
4
ex
pE
r
(3.2.9)
0yE
2
3
0
3cos 1,
4
e
z
pE
r
(3.2.10)
kjer veljajo izrazi (3.2.8) – (3.2.10) v ravnini y = 0. Zaradi osne simetrije lahko rezultat brez
težav posplošimo.
xx
z
z
48
3.2.2 ENERGIJA ELEKTRIČNEGA DIPOLA V ZUNANJEM
ELEKTRIČNEM POLJU
2
2e
d a
p ed e a
Navor na električni dipol:
Najprej izračunamo navor na posamezna točkasta naboja, ki sestavljata dipol:
: , sin
: , sin sin
e F e E M ae E
e F e E M a e E ae E
Celoten navor (M) na električni dipol je:
2 sin sineM M M aeE p E . (3.2.11)
Posplošitev:
eM p E
(3.2.12)
Energija dipola je enaka delu, ki ga mora opraviti zunanji navor proti navoru zunanjega
električnega polja.
2
2
1
1
d sin d cos |d e eW M p E p E
Posplošitev:
d eW p E (3.2.13)
+
-
a
a
+e
-e
E
49
E
minimum energije: 0 :e d ep W p E (3.2.14)
E
maksimum energije: :e d ep W p E (3.2.15)
3.2.3 SNOV SESTAVLJENA IZ POLARNIH MOLEKUL
Primer polarne molekule: molekula vode (H2O)
Polarne molekule imajo permanentne električne dipolne momente, ki se v zunanjem
električnem polju 0E uredijo:
ep+
-0 0E
NI ORIENTACIJE ELEKTRIČNIH DIPOLOV
ep
stabilni zasuk (stabilna orientacija)
(minimum energije)
labilni zasuk (labilna orientacija)
(maksimum energije)
50
OPOMBA: orientacija električnih dipolov v smeri zunanjega električnega polja je energijsko
ugodna, ker velja 0 cosd eW p E
SKLEP: zaradi orientacije polarnih molekul
v zunanjem električnem polju 0E se celotno
električno polje zmanjša.
0E
ep
dipolaE
0E
JE ORIENTACIJA ELEKTRIČNIH DIPOLOV
0 0E
0E
51
o Povprečna orientacija polarnih molekul v električnem polju*
Energija polarne molekule s permanentnim električnim dipolnim momentom ep , ki je
zasukan za kot glede na smer električnega polja E
cosd e eW p E p E (3.2.16)
je najmanjša, če je električni dipolni moment ep usmerjen v smeri električnega polja E .
Takrat je namreč kot 0, energija dW pa je zato najmanjša možna. Zaradi termične
energije atomov (molekul) seveda pri končnih temperaturah povprečna vrednost kota ni
nič. Električno polje na mestu električnega dipola (E) je vsota zunanjega električnega
polja E0 in električnega polja zaradi orientacije polarnih molekul Ei: 0 iE E E .
Poiščimo povprečno vrednost kota oziroma cos , ki ni enaka nič zaradi termičnih
fluktuacij. Pri tem upoštevamo, da je energija molekule s permanentnim električnim
dipolnim momentom ep , ki je zasukan za kot glede na smer električnega polja E
enaka:
cosd eW p E (3.2.17)
Izračunajmo povprečno vrednost cosinusa kota , to je cos :
cos d
cos
d
d
d
W
W
e
e
, (3.2.18)
kjer je faktor dWe
verjetnost (Boltzmannov faktor), da je molekula v stanju z zasukom
. Pomen ostalih simbolov in konstant pa je naslednji: 1 kT , k je Boltzmannova
konstanta, T pa absolutna temperatura. Izraz 2d d sin d dS r označuje
infinitezimalni element prostorskega kota v sferičnih koordinatah:
2
0 0
2
0 0
cos sin d d
cos
sin d d
m
m
W
W
e
e
. (3.2.19)
Ker energija dW ni odvisna od kota lahko v zgornji enačbi izvedemo integral po - ju.
52
Tako dobimo:
0
0
2 cos sin d
cos
2 sin d
d
d
W
W
e
e
(3.2.20)
V nadaljevanju uvedemo novo spremenljivko coss ter oznako 0 0e ex p E kT p E :
1
1
1
1
d
1cos coth
d
xs
xs
s e s
x L xx
e s
, (3.2.21)
kjer je L x Langevinova funkcija. Funkcijo coth x razvijemo v vrsto 0 x in
zadržimo samo prva dva člena:
31
coth ....3 45
x xx
x . (3.2.22)
Torej
1 1 1cos coth
3 3 3
ep Ex xx
x x x kT . (3.2.23)
Zaključek: vidimo, da je cos sorazmeren jakosti električnega polja E na mestu, kjer
se nahaj dipol in obratno sorazmeren z absolutno temperaturo T.
Povprečni električni dipolni moment v smeri električnega polja ep zapišemo v obliki:
cos .e ep p (3.2.24)
Na osnovi enačb (3.2.23) in (3.2.24) lahko zapišemo polarizacijo (P) v snovi, ki je
sestavljena iz polarnih molekul v obliki:
2
cos ,3 3
e ee e e
p E np EP n p n p n p
kT kT (3.2.25)
kjer je N
nV
število molekul na enoto volumna.
Ob upoštevanju definicije susceptibilnosti
53
0P E (3.2.26)
iz enačbe (3.2.25) sledi izraz za susceptibilnost snovi, ki jo sestavljajo polarne molekule:
2
03
epol
n p
k T
, (3.2.27)
3.2.4 SNOV SESTAVLJENA IZ NEPOLARNIH MOLEKUL Nepolarne molekule nimajo permanentnih električnih dipolnih momentov. Če se ne nahajajo
v zunanjem električnem polju je njihov električni dipolni moment enak nič. Če pa jih
postavimo v zunanje električno polje 0E , to polje razmakne težišči negativnega in pozitivnega
dela nepolarne molekule. Zaradi tega imajo nepolarne molekule v zunanjem električnem polju
od nič različen inducirani električni dipolni moment:
,ep es (3.2.28)
kjer je s inducirani razmik med težiščema negativnega in pozitivnega dela nepolarne
molekule:
Predpostavimo, da med negativnim in pozitivnim delom nepolarne molekule deluje privlačna
sila
.F ks (3.2.29)
Za nepolarno molekulo v električnem polju E lahko tako zapišemo pogoj za ravnovesje sil v
obliki:
,ks e E (3.2.30)
od tod pa sledi:
e Es
k
, (3.2.31)
kjer je E vsota zunanjega električnega polja 0E in električnega polja zaradi induciranih
dipolnih momentov nepolarnih molekul 0: .i iE E E E
54
Inducirani dipolni moment nepolarne molekule lahko tako zapišemo v obliki:
2
e
e Ep e s
k
. (3.2.32)
Polarizacijo v snovi, ki vsebuje nepolarne molekule pa izrazimo kot:
2
e
ne EP n p
k . (3.2.33)
Ob upoštevanju definicije susceptibilnosti (enačba 3.2.26) iz enačbe (3.2.33) sledi:
2
nepol
0
ne
k
. (3.2.34)
3.2.5 ZVEZA MED SUSCEPTIBILNOSTJO () IN DIELEKTRIČNO
KONSTANTO ()
Obravnavamo primer ploščatega kondenzatorja, ki ima v prostoru med ploščama snov.
Zaradi enostavnosti vpeljemo tako imenovani vezani naboj.
- + - + - +- + - +
- + - + - +
- + - +
- + - + - +
DEJANSKO STANJE: NADOMESTNA SLIKA:
0E0E
iE
1ep
+e+e
-e -e
veve
veve
+
+
+
+
+
+++
++
+
+
+++
+
+++
++
+
+
++
-
-
-
-
-
l
55
V nadomestni sliki nadomestimo električne dipole molekul v snovi med ploščama
kondenzatorja z vezanim nabojem na notranji strani plošč kondenzatorja:
,vPV e l (3.2.35)
kjer je
V l S (3.2.36)
volumen snovi med ploščama kondenzatorja. Iz enačb (3.2.35) in (3.2.36) sledi:
vPl S e l ,
ve P S . (3.2.37)
Gaussov zakon o električnem pretoku ne upošteva vezanega naboja ve kot dejanski naboj, saj
obravnava snov med ploščama kondenzatorja kot električno nevtralno z volumsko gostoto
naboja 0.e Zato velja:
1 dD S e , (3.2.38)
kjer integriramo po prostoru okoli ene plošče kondenzatorja, ki nosi naboj e:
električno polje ene molekule
0E jakost zunanjega električnega polja
l razdalja med ploščama kondenzatorja
S površina ene plošče kondenzatorja
ve vezan naboj
e naboj na ploščah kondenzatorja
iE električno polje zaradi snovi
dSdS
ep
56
torej:
1 2D S e
1 0 012
eD E
S
, (3.2.39)
kjer je
01
02
eE
S
električno polje zaradi naboja e na eni plošči kondenzatorja. Električno polje v prostoru med
ploščama kondenzatorja zaradi naboja na obeh ploščah pa je:
0 01
0
2 .e
E ES
(3.2.40)
Ustrezna gostota električnega polja v prostoru med ploščama pa je:
1 2 0 0D D D E
, (3.2.41)
Zaključek: gostota električnega polja D se nanaša samo na električno polje 0E , ki je
posledica dejanskega naboja na obeh ploščah kondenzatorja. Vezani naboj ve ni upoštevan v
Gaussovem zakonu (3.2.38). Kot smo že spoznali je celotno električno polje med ploščama
kondenzatorja E enako:
0 iE E E
, (3.2.42)
kjer je iE prispevek snovi med ploščama kondenzatorja, ki ga izračunamo s pomočjo
vezanega naboja:
0
vi
eE
S (3.2.43)
Ob upoštevanju enačbe (3.2.37) iz enačbe (3.2.43) sledi:
0 0 0
vi
e P S PE
S S (3.2.44)
Vstavimo izraz (3.2.44) v enačbo (3.2.42) in dobimo:
0
0
,P
E E
(3.2.45)
oziroma
57
0 0 0E E P
. (3.2.46)
Ob upoštevanju enačbe (3.2.41) in enačbe (3.2.46) sledi:
0 ,E D P
oziroma
0D E P
. (3.2.47)
Če upoštevamo še (glejte enačbo (3.2.26)):
0P E
Iz enačbe (3.2.47) sledi:
0 0 0 1D E E E
. (3.2.48)
kjer je susceptibilnost. Enačbo (3.2.48) zapišemo v obliki:
0D E
, (3.2.49)
kjer smo definirali dielektričnost snovi kot:
1
, (3.2.50)
Zaključek:
0D E
0 0D E
(3.2.51)
dD S e
0 iE E E .
