1

GEOMETRICKÁ OPTIKA

je nauka o optickém zobrazování.

Teorie optického zobrazování pracuje s idealizovaným pojmem světleného paprsku – rozu-

míme jím úzký svazek světla, jaký by vycházel z malého osvětleného otvoru v limitním pří-

padě, že příčný rozměr svazku by konvergoval k nule a stejně tak i vlnová délka světla (v ge-

ometrické optice nepřihlížíme ke konečné vlnové délce světla, tj. platí přesně zákon o přímo-

čarém šíření světla (u rozlišovací schopnosti přístrojů je však nutné ohybové jevy uvažovat).

Dále neuvažujeme jevy koherentního skládání vln, uvažujeme pouze prostou superpozici in-

tenzit 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2, tj. platí zákon o nezávislosti paprsků.

Základní pojmy

V optických soustavách se chod paprsků modifikuje lomem a odrazem, v geometrické optice

tedy pracujeme prakticky jen s těmito pojmy:

zákon odrazu a lomu pro izotropní prostředí,

index lomu průhledného prostředí 𝑛 =𝑐

𝑣= √휀𝑟𝜇𝑟 ,

optická dráha – protože je v různých prostředích index lomu n různý (a světlo se tedy

v různých prostředích šíří různou rychlostí), je vhodné zavést pojem optická dráha

v homogenním prostředí

𝑙 = 𝑛𝑠,

s … skutečná geometrická vzdálenost.

Takto převádíme skutečnou dráhu, která je v prostředí kratší na vakuum.

2

V nehomogenním prostředí je n = n(s), tj. index lomu se spojitě mění a různé části vlny se šíří

různě rychle, čelo vlny se deformuje, paprsky se zakřivují.

𝑙 = ∫ 𝑛𝑑𝑠𝐵

𝐴.

Fermatův princip (1679)

formuluje obecně podmínku, jakou musí splňovat světelný paprsek při průchodu libovolným

prostředím a rozhraními mezi nimi (je aplikací Hamiltonova principu minimální akce z me-

chaniky na optiku).

Fermatův princip (jako princip nejkratší dráhy): Optická dráha pa-

prsku mezi dvěma body A a B, po níž se pohybuje skutečný pa-

prsek 𝑙 = ∫ 𝑛𝑑𝑠𝐵

𝐴 je buď minimální nebo maximální (tj. extremální)

mezi všemi sousedními myslitelnými drahami v jistém okolí, tj.

𝛿 ∫ 𝑛𝑑𝑠 = 0𝐵

𝐴 (variace dráhy musí být nulová).

Jednoduše: Optická dráha po libovolné křivce je větší než optická

dráha po skutečném paprsku.

Fermatův princip (jako princip nejkratšího času): Světlo se šíří mezi dvěma body tak, aby

doba šíření byla extremální.

Protože 𝑛 =𝑐

𝑣, lze výše uvedené matematicky vyjádřit takto:

𝛿 ∫𝑐

𝑣𝑑𝑠 = 𝛿 ∫

𝑑𝑠

𝑣= 𝛿 ∫ 𝑑𝑡 =

𝐵

𝐴

𝐵

𝐴0

𝐵

𝐴.

Obecná formulace Fermatova principu: Optická dráha nebo doba proběhu paprsku má stacio-

nární hodnotu vzhledem k malým variacím dráhy.

Poznámka: Jestliže použijeme v interferenčních pokusech bodově

zobrazující čočky, znamená to, že paprsky vycházející

z předmětového bodu do jeho obrazu musí mít v důsledku Fermatova

principu stejné optické dráhy, tj. čočka nevnáší do pokusu žádný roz-

díl optických drah.

Odvození zákona odrazu a lomu na základě Fermatova principu, viz

http://fyzweb.cz/materialy/aplety_hwang/fermat_principle/Fermat/vypocet.html

http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/439-fermatuv-princip-nejmensiho-casu

Odraz a lom na rovinné ploše – viz Halliday s. 921 – 924, Klier s. 164 -166

3

Geometrická optika sférických ploch

Geometrická optika se většinou chápe jako nauka zabývající se průchodem optických paprsků

čočkami, zrcadly a jinými zobrazovacími prvky, tedy optickým zobrazováním. Využíváme při

tom zejména zákona odrazu a zákona lomu.

Optická soustava - mění směr paprsků - obecně je „rozhází“, v některých speciálních přípa-

dech mají ale paprsky tu vlastnost, kterou měly před vstupem do optické soustavy – protínají

se opět v jednom bodě (vlnoplochy jsou opět kulové se středem v bodě Z´).

Ideální zobrazení – základní pojmy

Základní požadavek, který klademe na optický obraz je, aby byl věrný a ostrý (tj. bodovému

předmětu má odpovídat bodový obraz, přímce přímka, rovině rovina). Úplně přesně to nedo-

káže žádná optická soustava (výjimkou může být zrcadlo).

bodové (stigmatické) zobrazení – z bodového zdroje vychází tzv. homocentrický svazek

(kužel paprsků, které se protínají v jednom bodě) a pro projití optickou soustavou vychází

ven, ideálně opět jako svazek homocentrický, jeho střed je ideálním obrazem bodu.

4

skutečný (reálný) obraz – ve středu svazku se setkávají skutečné paprsky (tj. po průchodu

optickou soustavou se vytvoří sbíhavý svazek), obraz je možno zachytit na stínítku. Existence

obrazu nezávisí na tom, jestli jej vidíme, tj. obraz tam bude, i když ho nikdo nebude pozoro-

vat.

neskutečný (virtuální) obraz – střed svazku leží v prodloužení skutečných vystupujících

paprsků (tj. paprsky po průchodu optickou soustavou vytvoří rozbíhavý svazek, paprsky se

protínají jen v prodloužení), obraz nelze zachytit na stínítku. Existuje pouze v našem mozku.

Příklad: fata morgana (Halliday, s. 921)

Skutečný i neskutečný obraz mohou sloužit jako předměty další zobrazovací soustavy.

Geometrický popis ideálního zobrazení

Šíření světla reálnou soustavou se vyšetřuje často pomocí počítače – metoda sledování paprs-

ků („ray tracing“).

V historii se ale vyvíjely i jiné postupy výpočtu zobrazovacích soustav v různých stupních

aproximací. Řešily se také otázky dokonalého zobrazení, jaká matematická transformace mu

odpovídá a za jakých podmínek je možné ho realizovat.

Ideální zobrazení (tzv. kolineace – geometrická podobnost) přiřazuje každému bodu předmě-

tového prostoru (x, y, z) právě jeden bod obrazového prostoru (x´, y

´, z

´) – mluvíme o dvojici

sdružených útvarů (bod, čára, plocha) – obraz vytvořený v rovině kolmé k ose soustavy (v

osově symetrické soustavě je v geometrickém smyslu podobný předmětu.

Předmětový a obrazový prostor nejsou od sebe odděleny, nýbrž se navzájem prolínají, tj. kaž-

dý bod reálného prostu může současně patřit do předmětového i obrazového prostoru.

Zabýváme se nejjednodušším případem, kdy paprsky šířící se optickou soustavou svírají malé

úhly s osou soustavy – paraxiální aproximace (paraxiální prostor).

Zobrazování kulovými zrcadly a čočkami (opakování ze SŠ)

Definice nejdůležitějších pojmů charakterizujících ideální zobrazovací soustavu

1) Ohniska F, F´- body sdružené úběžným bodům osy, tj. předmětové ohnisko F má obraz

v nekonečnu (∞,0,0), obrazové ohnisko F´ je obrazem bodu (-∞,0,0). Roviny 𝜑, 𝜑´procháze-

jící ohnisky se nazývají ohniskové roviny.

2) Příčné zvětšení 𝑍 =𝑦´

ý je poměr příčných odlehlostí sdružených bodů (velikosti obrazu a

velikosti předmětu).

3) Hlavní roviny χ, χ´ - roviny navzájem sdružené, kolmé k ose a takové, že všem dvojicím

jejich sdružených bodů přísluší příčné zvětšení Z = 1. Průsečíky hlavních rovin s optickou

osou jsou hlavní body H, H´.

5

4) Úhlové zvětšení 𝛾 – poměr tangent úhlů, které svírají sdružené paprsky s osou

𝛾 =𝑡𝑔𝛼´

𝑡𝑔𝛼

5) Uzlové body U, U´ - dva navzájem sdružené body osy takové, že pro libovolné jimi pro-

cházející sdružené paprsky je úhlové zvětšení = 1.

6) Ohniskové vzdálenosti f, f ´- jsou vzdálenosti hlavních bodů od příslušných ohnisek.

𝑓 = 𝐹𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑓´ = 𝐹´𝐻´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

Ohniska, hlavní a uzlové body se nazývají kardinální body soustavy.

6

Odvození zobrazovacích rovnic

– spojují souřadnice vzoru a obrazu.

Znaménková konvence

- platí pro obecný typ optické soustavy, liší se od konvence v elementárních učebnicích!

- vzdálenosti a úhly uvažujeme jako orientované veličiny

- tato znaménková konvence umožňuje používat zobrazovací rovnice ve stejném tvaru pro

různé případy zobrazovacích soustav (např. pro spojku i rozptylku)

1) Kladný směr os x a x’ je dán směrem paprsků vstupujících do systému a směrem nahoru.

2) Souřadné systémy (x, y, z) a (x´, y

´, z

´) mají stejnou točivost (pravotočivé nebo levotočivé)

3) Úhly paprsků s osou bereme od osy k paprsku a uvažujeme jen ostré úhly, kladný směr je

proti směru hodinových ručiček.

4) Poloměr křivosti je kladný, pokud je vypuklá strana čočky přivrácena k přicházejícím pa-

prskům.

Kolineace jako model optického zobrazení

Polohu předmětu a obrazu určujeme pomocí souřadnic:

– předmět – předmětové souřadnice [x, y, z]

– obraz – obrazové souřadnice [x´, y´, z´]

Předmětová a obrazová souřadnicová soustava zpravidla nejsou totožné.

Ideální zobrazovací soustava přiřazuje bodům obrazu body předmětu, což lze vyjádřit pomocí

obecných transformačních vztahů:

x´= x´(x, y, z),

y´= y´(x, y, z),

z´= z´(x, y, z). (1)

Chceme odvodit konkrétní tvar těchto vzorců pro uvažovaný případ, který by byl jednoznačný

– tj. rovina se musí zobrazit opět v rovině (což zahrnuje i zobrazení přímky na přímku).

Obecné transformační vzorce (zobrazovací rovnice) pro kolineaci (lineární lomenou transfor-

maci) mají tvar (lomené výrazy lineárních polynomů se stejným jmenovatelem pro všechny

souřadnice):

𝑥 ´ = 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1𝑧+𝑑1

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 (2)

𝑦 ´ = 𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2𝑧+𝑑2

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑,

𝑧 ´ = 𝑎3𝑥+𝑏3𝑦+𝑐3𝑧+𝑑3

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑.

Při této transformaci je přiřazení bodů jednoznačné, nemění se při ní stupeň křivky nebo plo-

chy.

7

Zjednodušení rovnic:

- předpokládáme osově symetrické systémy (osa symetrie je totožná s osami x a x´), u slože-

ných soustav předpokládáme centrované soustavy, tj. takové, jejichž osy splývají,

- souřadnice y a z (y´, z

´) jsou ekvivalentní – lze se omezit jen na popis v rovinách xy a x´y

´,

které ztotožníme, rovnici pro souřadnici z lze proto vypustit, tj. z = 0,

- každý bod osy x se zobrazí na ose x´.

Odvození Newtonových zobrazovacích rovnic

1) Počátek souřadné soustavy umístíme do ohniska (předmětové souřadnice umístíme tak, aby

rovina yz splynula s ohniskovou rovinou, tj. x = 0).

Body, které se zobrazí v (tj. x´= y´= z

´ = ), leží v ohniskové rovině a splňují tedy rovnici

ax + by + cz + d = 0, tj. jmenovatel v rovnici (2) je roven 0, potom musí být b = c = d = 0.

Za výše uvedených podmínek se obecné transformační rovnice (2) zjednoduší na tvar

𝑥 ´ = 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑑1

𝑎𝑥 (2)

𝑦 ´ = 𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑑2

𝑎𝑥 (3)

2) Osy x a x´ jsou sdružené, tj. každý bod na ose x se musí zobrazit na ose x´, tj. je-li y = 0,

pak i y´= 0. Z rovnice (3) pak dostaneme 𝑎2 = 𝑑2 = 0. Rovnice (3) má pak tvar

𝑦 ´ = 𝑏2𝑦

𝑎𝑥 (4)

3) Počátek předmětových souřadnic x = y = 0 leží současně na ose x i v ohniskové rovině a

musí se zobrazit jako bod o souřadnicích x´= , y´= 0. Bod ohniskové roviny x = 0, y = se

musí zobrazit na bod x´= , y´= . V rovnici (2) lze tedy položit, že 𝑎1 = 0 a 𝑏1 = 0, rovnice

(2) se pak zjednoduší na tvar

𝑥 ´ = 𝑑1

𝑎𝑥 (5)

4) Zavedeme označení 𝑏2

𝑎= 𝑓 a

𝑑1

𝑎= ℎ.

Zobrazovací rovnice pak mají tvar xx´= h, 𝑦 ´ = 𝑓𝑦

𝑥

Pro obrácenou transformaci první rovnice zůstane stejná, druhá bude

𝑦 = 𝑥𝑦´

𝑓=

ℎ𝑦´

𝑓𝑥´.

Zavedeme dále označení h/f = f´, pak h = ff´, rovnice pak obsahují pouze dvě konstanty.

8

Za těchto podmínek mají zobrazovací rovnice tvar (Newtonovy zobrazovací rovnice)

xx´= ff´

𝒚´ = 𝒇𝒚

𝒙

𝒚 = 𝒇´𝒚´

𝒙´

x a x´ jsou vzdálenosti od ohniskových rovin.

Vzdálenost mezi hlavní a ohniskovou rovinou je ohnisková vzdálenost f, resp. f´ (mohou být

kladné i záporné).

Příčné zvětšení 𝑍 = 𝑦´

𝑦=

𝑓

𝑥=

𝑥´

𝑓´

Je-li Z = 1, pak x = f, x´ = f´ (viz hlavní body a hlavní rovina).

Odvození čočkových zobrazovacích rovnic (Gaussův tvar)

Někdy (např. u tenkých čoček) bývá výhodné posunout počátky souřadnicových os z ohnisek

do hlavních bodů. Místo vzdálenosti předmětu (a obrazu) od ohniskových rovin udáváme

vzdálenost předmětu (obrazu) od hlavní roviny, nové souřadnice označíme a, a´.

Platí pro ně: x = a + f, x´= a´+ f´

Dosadíme-li do Newtonových rovnic, dostaneme zobrazovací rovnice v Gaussově tvaru

(čočkové rovnice)

𝒇

𝒂+

𝒇´

𝒂´+ 𝟏 = 𝟎

𝒚´ = 𝒇𝒚

𝒂+𝒇 𝒚 =

𝒇´𝒚´

𝒂´+𝒇´

Odchylky od znaménkové konvence v elementárních učebnicích:

a) u čoček mají ohniskové vzdálenosti opačná znaménka

b) u čočkových rovnic jsou jinak znaménka + a -.

9

Poloha uzlových bodů:

Pro úhlové zvětšení lze odvodit (viz Klier s. 172-173)

𝛾 =𝑓´

𝑥= −

𝑓

𝑥´ .

Pro uzlové body platí 𝛾 = 1, proto je poloha uzlových bodů xu = -f ´, xu´ = -f.

Jestliže známe např. polohu ohnisek F, F´ a ohniskové vzdálenosti f, f´, je tím jednoznačně

určena poloha dalších kardinálních bodů H, H´, U, U´, pomocí nichž můžeme geometricky

sestrojit obraz libovolného bodu P (x,y) – viz tři významné paprsky.

Třídění zobrazovacích soustav – podle orientace chodu prošlých světelných paprsků:

- dioptrické (čočkové)

- katoptrické (zrcadlové)

- rozptylné

- spojné

Centrované soustavy (viz Klier s. 174 -176).

Předmět vytvořený jednou optickou soustavou může sloužit jako předmět pro další soustavu.

Výsledná soustava je opět kolineární.

Uvažujme dvě centrované soustavy, soustavy jsou dány polohami ohnisek a ohniskovými

vzdálenostmi. Hledáme polohu ohnisek F, F´a ohniskových vzdáleností f, f´ekvivalentní da-

ným dvěma soustavám.

Rozhodujícím parametrem je optický interval ∆ = vzdálenost F1´F2, pro ohniskové vzdálenosti

f a f´ lze odvodit následující vztahy

f = −f1 f2

∆ , f´ =

f´1 f´2

∆.

10

Dvě spojné soustavy s kladným optickým intervalem dávají výslednou soustavu rozptylnou,

se záporným optickým intervalem dávají soustavu spojnou.

Celkové zvětšení je Z = Z1.Z2.

Příklad 35.5/ s. 934

11

Kulová lámavá plocha

Halliday, 4. díl. s. 928-929

Reálné obrazy vznikají na opačné straně lámavé plochy, než se nachází předmět; virtuální

vznikají na téže straně.

Pro zobrazení v paraxiálním prostoru kulové lámavé plochy (tj. pro paprsky, které svírají

s optickou osou malé úhly) platí rovnice

𝑛1

𝑎+

𝑛2

𝑎´=

𝑛2 − 𝑛1

𝑟

n1 je index lomu prostředí, v němž leží předmět, n1 je index lomu prostředí, do kterého se pa-

prsek láme

Znaménková konvence)

a 0 před plochou, a´ 0 pro reálný obraz (tj. za plochou), a´ 0 pro virtuální obraz (tj. před

plochou)

r 0, nachází-li se předmět před vypuklou lámavou plochou (obráceně než u zrcadel!)

r 0, nachází-li se předmět před dutou lámavou plochou (obráceně než u zrcadel!)

12

Odvození rovnice (viz Halliday, s. 938)

Příklad 35.3/ s. 928

13

Tlustá čočka

Klier s. 181

Tlustá čočka je tvořena kombinací dvou kulových lámavých ploch (nejčas-

těji skleněných), které jsou obklopeny vzduchem. Tlustá čočka představuje

centrovanou složenou soustavu.

t … tloušťka čočky

Zobrazování pomocí tlusté čočky

https://www.geogebra.org/m/TK25Ucum

Je-li u čočky poměr tloušťky a poloměrů křivosti lámavých ploch velmi malý (tj. poloměry

křivosti jsou řádově větší než tloušťka), hovoříme o tenké čočce. U ní pak můžeme přibližně

zanedbat její tloušťku oproti ostatním veličinám a položit optický interval d = 0. Hlavní body

pak splývají s vrcholy kulových ploch. Pokud předpokládáme prakticky nulovou tloušťku

čočky, splývají oba vrcholy se středem čočky – oba hlavní i uzlové body leží ve středu čočky.

Hlavní roviny splývají s rovinou čočky a ohniska jsou položena souměrně ke středu čočky na

hlavní (optické) ose.

14

Centrovaná soustava dvou čoček

Pro optickou mohutnost soustavy dvou čoček (tlustých i tenkých) platí

𝐷 = 1

𝑓´=

1

𝑓1´+

1

𝑓2´−

𝑣

𝑓1´𝑓2´

u tenkých čoček je v vzdálenost čoček (tj. vzdálenost jejich hlavních rovin)

pro tenké čočky, které se dotýkají, platí

𝐷 = 1

𝑓´=

1

𝑓1´+

1

𝑓2´= 𝐷1 + 𝐷2

Příklad

Jaká je výsledná ohnisková vzdálenost dvou dotýkajících se čoček (viz obr.), má-li spojka

ohniskovou vzdálenost 0,125 m a rozptylka -0,25 m?

Vady zobrazování

Stigmatické zobrazování sférickými lámavými plochami je splněno jen pro velmi úzký svazek

monochromatických paprsků a pro body v blízkém okolí osy.

V praxi však potřebujeme zobrazovat co nejostřeji i mimoosové body, a to širším svazkem

(z důvodu světelnosti obrazu) a bílým (tedy složeným) světlem. Zobrazení pak již není stima-

gtické, homocentrický svazek se zobrazuje jako nehomocentrický (tj. jeho vlnoplocha není

kulová) – příčný průměr svazku má všude konečný rozměr, místo jeho největšího zúžení pak

pokládáme za obraz bodu. Kromě této základní vady zobrazení mohou vznikat i další, které

souvisí s odchylkami od kolineárního vztahu mezi obrazem předmětem. Je to zejména zakři-

vování obrazů přímek a rovin.

15

Otvorová (sférická) vada

Vzniká při zobrazení osových bodů širokým svazkem paprsků. Paprsky blízké ose zobrazí

bod ve větší vzdálenosti než paprsky, které jsou více odchýleny od osy. Obalová ploch paprs-

ků se nazývá kaustická plocha. Obrazem bodu P je světlý kroužek vytvořený nejužším místem

svazku prošlých paprsků. Měřítkem otvorové vady je úsečka b.

Odstranění vady - lze ukázat, že sférická vada jedné čočky je nejmenší, když je odchylka pa-

prsků lomem rovnoměrně rozdělena na obě lámavé plochy. Dokonaleji lze vadu odstranit po-

mocí kombinace spojky a rozptylky, které se zpravidla umisťují vedle sebe.

Koma - vzniká při zobrazení mimoosových bodů širokým svazkem paprsků. Místo bodového

obrazu vzniká klínovitě se rozbíhající světlá skvrna. Vadu odstranit vhodným postavením

ploskovypuklé čočky.

Astigmatismus - zobrazovací svazek není homocentrický, ale má eliptický průřez. Dochází

k tzv. zklenutí obrazů (soudkovité nebo poduškovité. Ke zklenutí obrazu dochází v důsledku

toho, že různě vzdálené body od optické osy se zobrazují s různým zvětšením.

Vadu lze odstranit vhodnou kombinací dvou čoček a umístěním clony uprostřed mezi nimi.

16

Barevná (chromatická) vada

U tenké čočky závisí poloha a velikost obrazu na ohniskové vzdálenosti, ta je funkcí indexu

lomu.

1

𝑓= (𝑛 − 1) (

1

𝑟1+

1

𝑟2)

Pro optické materiály s normální disperzí plyne, že f vzrůstá

s rostoucí vlnovou délkou – je větší pro červené paprsky než

pro modré (tj. fialové paprsky se lámou více než červené).

Barevná vada se projeví neostrostí a duhovým zabarvením

obrysů předmětu.

Odstranění vady – soustava je tzv. achromatizována, podaří-li se vhodnou kombinací čoček

nastavit u výsledné soustavy stejně velkou ohniskovou vzdálenost pro všechny barvy.

V nejjednodušším případě se použije kombinace spojky a rozptylky (u rozptylky proíhá

barevná vada obráceně).