Astronomija i astrofizika II

1

Projektni zadatak 1:PULSACIJE I ODREĐIVANJE

UDALJENOSTI

2

OPAŽANJA U ASTRONOMIJI

1. Opažanja u danom trenutku određivanje svojstava astronomskih objekata u danom trenutku Primjer: spektroskopija

- Detaljna i precizna opažanja s velikom rezolucijom zahtijevaju dugačka vremena integracije i dedicirane, složene i velike uređaje (npr. optički/infracrveni interferometri, aktivna/adaptivna optika velike rezolucije, mreža radio teleskopa: VLBI)

- Opažanja koja nastoje promotriti objekt sa što je više moguće detalja promjena svojstva objekta u vremenu nisu prioritet, već je prioritet detaljan opis objekta i fizikalnih procesa

3

OPAŽANJA U ASTRONOMIJI

1. Opažanja u vremenu određivanje promjene svojstava astronomskih objekata tijekom vremena Primjer: opažanje promjena sjaja ili površinske brzine zvijezde

- Opažanja koja nastoje istražiti objekt u vremenu i odrediti promjene njegovih svojstava

- Instrumenti koji omogućuju što je moguće više opažanja tijekom noći kratka opažanja, brzi teleskopi s velikim vidnim poljem (npr. teleskopi za velike preglede neba: SDSS, 2MASS, LSST... )

- Kratko vrijeme opažanja smanjuje broj objekata koji se mogu opažati, znatno manje detalja i niska rezolucija

4

OPAŽANJA U ASTRONOMIJI

- Omogućuje opažanje promjene svojstava u vremenu – znatna vremenska rezolucija

- Najčešće se opažaju sjaj objekta i površinske brzine:1. svjetlosne krivulje2. krivulje radijalnih brzina

Svjetlosne krivulje

- Ovisnost sjaja zvijezde opaženog u nekom fotometrijskom sustavu o vremenu

- Ključni instrument za izučavanje pulsacija zvijezda, ali i kod određivanja masa zvijezda, razvoja kataklizmičkih zvijezda (supernova), nova i bliskih dvojnih sustava, itd.

5

6

Svjetlosna krivulja Doradus

KAKO ODREDITI PERIODIČNOST U OPAŽANJIMA SJAJA (SVJETLOSNE

KRIVULJE)?

Analiza periodičnih vremenskih signala u fizici:- Vrlo čest slučaj u eksperimentalnoj fizici osnova

istraživanja svih pojava koje su vremenski ovisne

Vremenske signale možemo analizirati metodom Fourierove analize!

7

FOURIEROVA ANALIZA

Fourierov teoremSvaka kontinuirana (derivabilna) periodička funkcija može se prikazati kao (beskonačna) suma jednostavnih sinusnih funkcija (sinusa i kosinusa) Fourierov niz- Svaki član Fourierovog niza određen je koeficijentima an

i bn:

𝑓𝑁 𝑡 =𝑎02+

𝑛=1

𝑁

𝑎𝑛 cos2𝜋𝑛𝑡

𝑃+

𝑛=1

𝑁

𝑏𝑛 sin2𝜋𝑛𝑡

𝑃

- Funkcije sinus i kosinus čine potpuni ortogonalni skup

8

- Stvarna periodička funkcija 𝑓 𝑡 može se aproksimirati Fourierovim redom 𝑓𝑁 𝑡 ako broj članova reda teži beskonačnosti 𝑁 → ∞, a tada Fourierovi koeficijenti postaju:

𝑎0 =2

𝑃 0

𝑃

𝑓 𝑡 𝑑𝑥

𝑎𝑛 =2

𝑃 0

𝑃

𝑓 𝑡 cos2𝜋𝑛𝑡

𝑃𝑑𝑥

𝑏𝑛 =2

𝑃 0

𝑃

𝑓 𝑡 sin2𝜋𝑛𝑡

𝑃𝑑𝑥

n = 1, 2, 3, ...

- Problem Fourierove analize svodi se na problem određivanja Fourierovih koeficijenata

9

10

- Fourierov niz može se proširiti i na kompleksne koeficijente:

𝑓𝑁 𝑡 =

𝑛=−𝑁

𝑁

𝑐𝑛 𝑒𝑖2𝜋𝑛𝑡𝑃

- Kompleksni koeficijent cn povezan je sa Fourierovim koeficijentima an i bn :

𝑐𝑛 =

1

2𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 za 𝑛 > 0

1

2𝑎0 za 𝑛 = 0

1

2𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 za 𝑛 < 0

11

- Periodička kompleksna funkcija može se aproksimirati beskonačnim kompleksnim Fourierovim nizom u kojem je kompleksni koeficijent cn :

𝑐𝑛 =1

𝑃 0

𝑃

𝑓 𝑡 𝑒−𝑖2𝜋𝑛𝑡𝑃 𝑑𝑡

- Problem Fourierove analize svodi se na problem određivanja Fourierovih koeficijenata

12

http://bl.ocks.org/jinroh/7524988

Kako odrediti periodu (frekvenciju) poznavajući funkciju u vremenu?

FOURIEROV TRANSFORMAT

TRANSFORMAT transformacija (prijelaz) iz vremenske domene u domenu frekvencija

Transformacija periodičke funkcije kontinuirane realne varijable (vrijeme) 𝑓 𝑡 u kontinuiranu funkciju frekvencije 𝐹 𝜔 frekventna raspodjela ili 'power' spektar (spektar 'snage')

Fourierov transformat:

𝐹 𝜔 = ℱ 𝑓 𝑡 =1

2𝜋 −∞

+∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

Reverzni Fourierov transformat:

𝑓 𝑡 = ℱ−1 𝐹 𝜔 =1

2𝜋 −∞

+∞

𝐹 𝜔 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

13

- 1/ 2𝜋 potječe od zahtjeva za simetrijom prilikom

transformacija- Koja je povezanost Fourierovog niza i Fourierovog

transformata? pogledajmo funkciju koja je jednaka nuli izvan intervala [0, P] tada je koeficijent cn :

𝑐𝑛 =1

𝑃 0

𝑃

𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡

- Usporedimo li to s Fourierovim transformatom dobijemo:

𝑐𝑛 =2𝜋

𝑃

1

2𝜋 0

𝑃

𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡

𝑐𝑛 =2𝜋

𝑃ℱ 𝑓 𝑛𝑡 =

2𝜋

𝑃𝐹 𝑛𝜔

- Određivanje Fourierovog transformata ekvivalentno je određivanju koeficijenata Fourierovog niza

14

- Koeficijent cn možemo promatrati kao 'količinu' vala određene frekvencije prisutnog u Fourierovom nizu funkcije f

- Fourierov transformat možemo promatrati kao mjeru prisustva određene frekvencije u funkciji f (signalu) POWER SPECTRUM

15

16

17

Svjetlosna krivulja Doradus

18

Fourierov transformat (diskretni)

VREMENSKO DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DTFT)

- Mjerenja u astrofizici i fizici NISU KONTINUIRANA već DISKRETNA mjerenja se vrše uzastopno nakon konačnog vremenskog intervala 'sampling rate'

- Brzina uzorkovanja ('sampling rate') pokazuje koliko puta se izvrši mjerenje u nekoj jedinici vremena frekvencija mjerenja

- Primjer: 'sampling rate' od 50 Hz znači da se svake sekunde izvrši 50 mjerenja s uvijek istim vremenskim intervalom od 20 ms

- Analiza signala u fizici i astrofizici sa kontinuirane vremenske raspodjele potrebno je preći na diskretnu vremensku raspodjelu

19

Kontinuirani Fourierov transformat:

𝐹 𝜔 = ℱ 𝑓 𝑡 =1

2𝜋 −∞

+∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

- Prelazak s kontinuirane funkcije 𝑓 𝑡 na diskretnu funkciju 𝑥 𝑡𝑘 gdje je 𝑡𝑘 = 𝑘∆𝑡; 𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1; dok je ∆𝑡vremenski interval između dva uzastopna mjerenja, frekvencija uzorkovanja (sampling rate) 𝑓𝑠 iznosi 𝑓𝑠 = 1/∆𝑡

𝑋1/𝑇 = ℱ𝑘 𝑥 𝑡𝑘 𝑘=0𝑘=𝑁−1 =

𝑘=0

𝑁−1

𝑥 𝑡𝑘 𝑒−𝑖2𝜋𝑡𝑘𝑃

- Vremensko diskretni Fourierov transformat je periodičan, s frekvencijom periodičnosti jednakoj frekvenciji uzorkovanja (sampling rate) 𝑓𝑠 nužno je odrediti DTFT samo za frekvencije do frekvencije 𝑓𝑠

20

- DTFT se određuje u frekventnom intervalu −𝑓𝑠

2,𝑓𝑠

2

- Nyquistova frekvencija je najveća frekvencija početnog signala 𝑥 𝑡𝑘 koju je moguće razlučiti s frekvencijom uzorkovanja 𝑓𝑠 potrebne su barem dvije točke da bi

razlučili frekvenciju, a najmanji razmak između dviju susjednih točaka je ∆𝑡:

𝑓𝑁𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 =𝑓𝑠2

- Vremensko diskretni Fourierov transformat je periodičan, s frekvencijom periodičnosti jednakoj frekvenciji uzorkovanja (sampling rate) 𝑓𝑠 nužno je odrediti DTFT samo za frekvencije do frekvencije 𝑓𝑠

21

- Vremensko diskretni Fourierov transformat određuje frekventni spektar na kontinuiranim frekvencijama iz signala opaženog u diskretnim vremenskim trenucima

- Signal NE MORA BITI PERIODIČAN spektar signala je periodičan

- PERIODIČNI SIGNAL DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT

22

DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DFT)

PERIODIČNI SIGNAL:𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑁∆𝑡

gdje je N broj mjerenja u jednoj periodi, t je vremenski razmak između dva uzastopna mjerenja- Mjerenja su kontinuirana, vremenski diskretna i s uvijek

istim intervalom t- Perioda signala:

𝑃 = 𝑁∆𝑡- Frekvencije su također diskretne, s intervalom:

∆𝑓 =1

𝑁∆𝑡=𝑓𝑠𝑁

23

- Kako je ranije pokazano, dovoljno je računati za interval

frekvencija −𝑓𝑠

2,𝑓𝑠

2 diskretni spektar frekvencija:

𝑓𝑘 = 𝑘∆𝑓; 𝑘 = −𝑁

2+ 1,… , 0, … ,

𝑁

2- U praksi se koriste pozitivni indeksi:

𝑓𝑘 = 𝑘∆𝑓; 𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1

DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DFT):

𝑋 𝑓𝑘 =

𝑗=0

𝑁−1

𝑥 𝑡𝑗 𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑘𝑡𝑗 𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1

INVERZNI DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (IDFT):

𝑥 𝑡𝑗 =

𝑗=0

𝑁−1

𝑋 𝑓𝑘 𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑘𝑡𝑗 𝑗 = 0, 1, 2,… , 𝑁 − 1

24

25

FAST FOURIER TRANSFORM (FFT)

- Metoda (numerički algoritam) za brzo računanje diskretnih Fourierovih transformata

- Metoda koja je danas u širokoj upotrebi:- Analiza i procesuiranje zvuka- Kompjuterska tomografija, medicina- Mjerenje i analiza vremenskih signala

- Računanje diskretnih Fourierovih transformata zahtjeva račun s N Fourierovih nizova (N frekvencija) sa N članova u svakom nizu ukupno 𝑁2 članova

- FFT drastično smanjuje broj operacija sa 𝑁2 na 𝑁 log2𝑁 povećanje brzine za 5 milijuna puta za 100 milijuna mjerenja

26

SIGSPEC (SIGNIFICANT SPECTRUM)

P. Reegen (2007). "SigSpec - I. Frequency- and phase-resolved significance in Fourier space". Astronomy and Astrophysics. 467: 1353–1371. arXiv:physics/0703160

http://homepage.univie.ac.at/peter.reegen/samples.html

- Metodama Fourierove analize možemo odrediti prisustvo frekvencija u izmjerenom signalu, no broj tih frekvencija može biti vrlo velik

Problem: Koje su od tih frekvencija značajne?

27

SigSpec je statistička metoda za procjenu pouzdanosti periodičnosti i značaja (signifikantnosti) dobivenih perioda (frekvencija) određenih nekom drugom metodom poput diskretnih Fourierovih transformata

- Procjena pouzdanosti postojanja periodičnosti u vremenskom signalu sa šumom

- Vremenski signal ne mora biti ekvidistantan u vremenu ključno u astronomskim opažanjima i u svjetlosnim krivuljama gdje su intervali između opažanja neravnomjerni

- Temelji se na amplitudnom spektru dobivenom DFT metodom

- Svakoj vrijednosti u amplitudnom spektru (power spektar) dodjeljuje statistički značaj (signifikantnost) - sig

28

Amplitudni spektar iz DFT analize diskretni Fourierov transformat opažanja 𝑥 𝑡𝑖 u vremenu 𝑡𝑖 kako bi dobili amplitude 𝑋 𝜔𝑖 u spektru s frekvencijom 𝜔𝑖 za N opažanja, 𝑖 = 1,2,… , 𝑁:

𝑡𝑖 , 𝑥 𝑡𝑖 → 𝜔𝑖 , 𝑋 𝜔𝑖

Spektralna signifikantnost je logaritamska mjera vjerojatnosti da je periodičnost 𝝎𝒊 dobivena DFT metodom s pripadnom amplitudom 𝑋 𝜔𝑖 SLUČAJNA

-. SigSpec je proširenje Lomb-Scargle periodograma

29

Funkcija gustoće vjerojatnosti neke nasumične varijable u nekom uzorku u statistici se definira kao relativna vjerojatnost da je vrijednost te nasumične varijable jednaka uzorku (procjena vjerojatnosti da je neka izmjerena veličina nasumična i uzrokovana šumom)

Gustoća vjerojatnosti amplitude X dobivene DFT metodom:

𝜙 𝑋 =𝑁𝑋 ∙ sock

2 𝑥2𝑒−𝑁𝑋2∙sock4 𝑥2

Sock funkcija:

𝑠𝑜𝑐𝑘 𝜔, 𝜃 = cos2𝜃 − 𝜃0

𝛼02 + sin

2𝜃 − 𝜃0

𝛽02

𝑥2 je varijanca uzorka

30

Sock funkcija i gustoća vjerojatnosti opisane su parametrima 𝛼0, 𝛽0 i 𝜃0 koji određuju profil sampliranja:

tan 2𝜃0 =𝑁 𝑖 sin 2𝜔𝑡𝑖 − 2 𝑖 cos𝜔𝑡𝑖 𝑖 sin𝜔𝑡𝑖

𝑁 𝑖 cos 2𝜔𝑡𝑖 − 𝑖 cos𝜔𝑡𝑖2+ 𝑖 sin𝜔𝑡𝑖

2

𝛼02 =2

𝑁2𝑁

𝑖

cos2 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0 −

𝑖

cos 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0

2

𝛽02 =2

𝑁2𝑁

𝑖

sin2 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0 −

𝑖

sin 𝜔𝑡𝑖 − 𝜃0

2

SigSpec se svodi na analizu funkcije gustoće vjerojatnosti amplitude iz DFT metode

31

False-alarm vjerojatnost za danu amplitudu X: Φ𝐹𝐴 𝑋

- Integracija funkcije gustoće vjerojatnosti daje vjerojatnost da šum u vremenskoj domeni pri frekvenciji 𝜔 daje amplitudu veću ili jednaku amplitudi uzorka X dobivenoj iz DFT-a:

Φ𝐹𝐴 𝑋 = 𝑒−𝑁𝑋2∙sock4 𝑥2

Spektralna signifikantnost amplitude X i frekvencije je logaritam false-alarm vjerojatnosti:

sig 𝑋 = − log Φ𝐹𝐴 𝑋

32

sig 𝑋 = 5 opažena amplituda u prostoru frekvencija 𝜔, 𝐴 je nasumična i uzrokovana šumom u jednom od 105

slučajeva

- Broj nasumičnih nizova koje treba opažati da bi amplituda bila veća ili jednaka A za danu frekvenciju i uzrokovana šumom

Numerički proces:1. DFT metoda2. Izračun signifikantnog spektra3. Prilagodba sinusoida metodom najmanjih kvadrata sa

svim signifikantnim komponentama4. Otklanjanje signifikantnih komponenata i iteracija kako bi

se detektirale druge moguće komponente

33

Vjerojatnost cijelog niza frekvencija sa signifikantnom vrijednošću (K frekvencija) kumulativna signifikantnost: ukupna vjerojatnost da su sve komponente stvarne:

1 − Φ𝐹𝐴 =

𝑛=1

𝐾

1 − Φ𝐹𝐴𝑛

csig 𝑋𝐾 = − log 1 − Φ𝐹𝐴

Aliasing periodičke praznine u nizu mjerenja u vremenu- Vrh u spektru amplituda posjeduje vrhove sa strane- Umjesto jednog vrha, radi se kombinacija sa svim

mogućim vrhovima dok se ne dostigne minimum odstupanja anti-aliasing

34

35

V fotometrija realne zvijezde opterećena sinusoidalnim šumom

36

Spektralna signifikantnost i amplitudni spektar

37

DoradusP = 9.849 danaf = 0.1015 dan-1

38

DoradusP = 4.924 danaf = 0.2031 dan-1 (prvi viši harmonik)

39

DoradusP = 3.283 danaf = 0.3046 dan-1 (drugi viši harmonik)