Arithmetik als Prozess Stellenwertsysteme Universität Kassel Semester: WS 2008/2009 Dozent: Prof. Dr. Werner Bley Veranstaltung: Arithmetik als Prozess

Arithmetik als ProzessArithmetik als Prozess

StellenwertsystemeStellenwertsysteme

Universität KasselUniversität KasselSemester: WS 2008/2009Semester: WS 2008/2009Dozent: Prof. Dr. Werner BleyDozent: Prof. Dr. Werner BleyVeranstaltung: Arithmetik als ProzessVeranstaltung: Arithmetik als ProzessReferenten: Tanja Muthanna (Teil I) Referenten: Tanja Muthanna (Teil I) Christian Becker (Teil II)Christian Becker (Teil II)

Gliederung der VeranstaltungGliederung der VeranstaltungTeil ITeil I Die Idee der StellenwertsystemeDie Idee der Stellenwertsysteme a) Bündelna) Bündeln b) Ausmessenb) Ausmessen c) Das Problem des minimalen c) Das Problem des minimalen GewichtssatzesGewichtssatzes Umwandeln von ZahlenUmwandeln von Zahlen 1. Übersetzen einer Zahl vom 10er-System 1. Übersetzen einer Zahl vom 10er-System in ein in ein gg-System-System 2. Übersetzen einer Zahl vom 2. Übersetzen einer Zahl vom gg-System ins 10er--System ins 10er- SystemSystem Rechnen in anderen SystemenRechnen in anderen Systemen TeilbarkeitsregelnTeilbarkeitsregeln

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Seminar: Arithmetik als Prozess Seminar: Arithmetik als Prozess Thema: StellenwertsystemeThema: Stellenwertsysteme

Teil 1Teil 1

von Tanja Muthannavon Tanja Muthanna

Die Idee der StellenwertsystemeDie Idee der Stellenwertsysteme

a)a) BündelnBündeln

Da es schwer ist, größere Anzahlen von Da es schwer ist, größere Anzahlen von Objekten schnell zu erfassen, neigt der Objekten schnell zu erfassen, neigt der Mensch dazu, Dinge zu bündeln.Mensch dazu, Dinge zu bündeln.

Das ist auch eine Idee von Stellenwertsys-Das ist auch eine Idee von Stellenwertsys-temen.temen.


In dem uns bekannten Zehnersystem sind In dem uns bekannten Zehnersystem sind immer zehn Objekte gebündelt.immer zehn Objekte gebündelt.

Unsere Ziffern sind die von null bis neun.Unsere Ziffern sind die von null bis neun. Bei der Zehn gibt es ein Zehner- Bündel, Bei der Zehn gibt es ein Zehner- Bündel,

was durch die Eins in der Spalte der Zehner was durch die Eins in der Spalte der Zehner und die Null in der der Einer in einer und die Null in der der Einer in einer Stellenwerttafel angezeigt wird.Stellenwerttafel angezeigt wird.


Haben wir neun Zehner und neun Einer, so Haben wir neun Zehner und neun Einer, so gibt das unsere Zahl 99 im Zehnersystem.gibt das unsere Zahl 99 im Zehnersystem.

Kommt jetzt ein Einer hinzu, so kann man Kommt jetzt ein Einer hinzu, so kann man das Gesamte zu einem Hunderter-Bündel das Gesamte zu einem Hunderter-Bündel zusammen nehmen, da hier wieder zehn zusammen nehmen, da hier wieder zehn Zehner-Bündel zusammen gefasst werden Zehner-Bündel zusammen gefasst werden können.können.


Zehn Hunderter ergeben dann einen Zehn Hunderter ergeben dann einen Tausender etc.Tausender etc.

Die Zahl, die in der Stellenwerttafel in der Die Zahl, die in der Stellenwerttafel in der Spalte unter den Tausendern, Hundertern Spalte unter den Tausendern, Hundertern etc. steht, gibt also immer die Anzahl der etc. steht, gibt also immer die Anzahl der Bündel an.Bündel an.


Bsp.: 2134 entspricht: Bsp.: 2134 entspricht:

2 Tausendern2 Tausendern = =

1 Hundertern1 Hundertern = =

3 Zehnern3 Zehnern = =

4 Einern4 Einern = =

Was heißt das aber in einem System zu einer Was heißt das aber in einem System zu einer anderen Basis?anderen Basis?

3102210111030104


Die Basis entspricht der Anzahl, die in Die Basis entspricht der Anzahl, die in einem Bündel zusammengefasst werden einem Bündel zusammengefasst werden soll.soll.

Im Zehnersystem ist es die 10, im Im Zehnersystem ist es die 10, im Fünfersystem, z.B., ist es die 5.Fünfersystem, z.B., ist es die 5.

Die Spalte der Einer bleibt auf der Die Spalte der Einer bleibt auf der Stellenwerttafel mit unserer identisch. Es Stellenwerttafel mit unserer identisch. Es existieren aber nur die Ziffern von null bis existieren aber nur die Ziffern von null bis vier.vier.


Die 10 im Fünfersystem entspricht dann also der 5 Die 10 im Fünfersystem entspricht dann also der 5 im Zehnersystem, da es ein Fünfer-Bündel und im Zehnersystem, da es ein Fünfer-Bündel und keine Einer gibt. Man spricht dann von Eins Null im keine Einer gibt. Man spricht dann von Eins Null im Fünfersystem oder zur Basis 5 (man sagt nicht Fünfersystem oder zur Basis 5 (man sagt nicht Zehn).Zehn).

Die nächste Stufe im Fünfersystem ist dann die Die nächste Stufe im Fünfersystem ist dann die Bündelung von fünf Fünfer-Bündeln zu einem Bündelung von fünf Fünfer-Bündeln zu einem 25er-Bündel, das auch durch dargestellt 25er-Bündel, das auch durch dargestellt werden kann.werden kann.

25

25


Die nächste Bündelung ist dann fünf mal die 25, Die nächste Bündelung ist dann fünf mal die 25, das entspricht der 125 ( ) im Zehnersystem und das entspricht der 125 ( ) im Zehnersystem und der 100 zur Basis 5 (geschrieben: ) im der 100 zur Basis 5 (geschrieben: ) im Fünfersystem.Fünfersystem.

So kann man das zu allen möglichen Basen So kann man das zu allen möglichen Basen machen. Man muss sich nur immer vergegen-machen. Man muss sich nur immer vergegen-wärtigen, in welchem System man sich gerade wärtigen, in welchem System man sich gerade befindet. befindet.

35

)5(100


Allgemein kann man also sagen, dass es in Allgemein kann man also sagen, dass es in einem System zur Basis g immer g einem System zur Basis g immer g verschiedene Ziffern gibt, nämlich von 0 bis verschiedene Ziffern gibt, nämlich von 0 bis g – 1 (Bsp.: im System zur Basis 8 gibt es g – 1 (Bsp.: im System zur Basis 8 gibt es die Ziffern 0 bis 7).die Ziffern 0 bis 7).


b)b) Ausmessen Ausmessen Man kann auch durch ein EinheitensystemMan kann auch durch ein Einheitensystem

etwas ausmessen.etwas ausmessen. Will man z.B. wissen, wie viel etwas wiegt, so Will man z.B. wissen, wie viel etwas wiegt, so

kann man Gewichte (mit z.B. 1, 5, 25 und 125 kann man Gewichte (mit z.B. 1, 5, 25 und 125 Gramm, die den Stellen aus dem Fünfersystem Gramm, die den Stellen aus dem Fünfersystem entsprechen) nehmen, mit denen man durch eine entsprechen) nehmen, mit denen man durch eine Balkenwaage das Gewicht dessen ermitteln Balkenwaage das Gewicht dessen ermitteln kann, was auf der anderen Waagschale liegt.kann, was auf der anderen Waagschale liegt.

,...),,,1( 32 ggg


Angenommen, auf der Waagschale liegt Angenommen, auf der Waagschale liegt etwas, das 58 Gramm wiegt.etwas, das 58 Gramm wiegt.

Dann braucht man Dann braucht man 22 25er-Gewichte, 25er-Gewichte, einein Fünfer-Gewicht und Fünfer-Gewicht und 33 Einer-Gewichte. Einer-Gewichte.

Man könnte also die Zahl 58 im Zehner-Man könnte also die Zahl 58 im Zehner-system als die Zahl system als die Zahl 213 213 im Fünfersystem im Fünfersystem schreiben. So hat man das Gewicht von 58 schreiben. So hat man das Gewicht von 58 Gramm durch ausmessen ermittelt.Gramm durch ausmessen ermittelt.


„„Unsere gebräuchlichen Einheitensysteme Unsere gebräuchlichen Einheitensysteme für Längen, Gewichte, Währungen o. Ä. sind für Längen, Gewichte, Währungen o. Ä. sind am Zehnersystem orientiert; nimmt man z.B. am Zehnersystem orientiert; nimmt man z.B. bei der Längenmessung 1 mm als kleinste bei der Längenmessung 1 mm als kleinste Einheit, so gilt:Einheit, so gilt:

1 cm = 10 mm1 cm = 10 mm

1 dm = 10 cm = 100 mm1 dm = 10 cm = 100 mm

1 m = 10 dm = 100cm = 1000mm“1 m = 10 dm = 100cm = 1000mm“


c) c) Das Problem des minimalen GewichtssatzesDas Problem des minimalen Gewichtssatzes Um einen Satz von Gewichten zu erhalten, Um einen Satz von Gewichten zu erhalten,

der möglichst wenig Steine hat, aber mit dem der möglichst wenig Steine hat, aber mit dem man trotzdem alle Lasten ausmessen kann, man trotzdem alle Lasten ausmessen kann, braucht man die der 2er-Potenzen.braucht man die der 2er-Potenzen.

Das erklärt sich wie folgt:Das erklärt sich wie folgt:


Mit 1 als kleinster Gewichtseinheit geht es Mit 1 als kleinster Gewichtseinheit geht es los. Mit 2 kann man die Last bis 3 auswieg-los. Mit 2 kann man die Last bis 3 auswieg-en, mit 4 dann die Last bis sieben, mit 8 die en, mit 4 dann die Last bis sieben, mit 8 die Last bis 15 usw.Last bis 15 usw.

Also erhält man 1,2,4,8 usw. was die Also erhält man 1,2,4,8 usw. was die Zweierpotenzen sind. Zweierpotenzen sind.


Allgemein kann man also sagen:Allgemein kann man also sagen:

„ „Wenn man mit den bisherigen Gewichtssteinen Wenn man mit den bisherigen Gewichtssteinen alle Lasten bis zu auswiegen kann, so alle Lasten bis zu auswiegen kann, so benötigt man als nächsten Gewichtsstein . Damit benötigt man als nächsten Gewichtsstein . Damit kann man dann alle Lasten auswiegen bis zu kann man dann alle Lasten auswiegen bis zu

, und der nächste , und der nächste Gewichtsstein muss sein.“Gewichtsstein muss sein.“

Also führt dieses Problem auf die Zahlendarstell-Also führt dieses Problem auf die Zahlendarstell-ung im Zweiersystem (Dual- oder Binärsystem).ung im Zweiersystem (Dual- oder Binärsystem).

12 nn2

12122)12(2 1 nnnn

12 n


In diesem System gibt es nur zwei Ziffern, 0 und 1.In diesem System gibt es nur zwei Ziffern, 0 und 1. Bsp. 79 = 64+8+4+2+1Bsp. 79 = 64+8+4+2+1

==)2(

0123456 100111121212121202021

Umwandeln von ZahlenUmwandeln von Zahlen

Übersetzen einer Zahl vom Zehnersystem Übersetzen einer Zahl vom Zehnersystem in ein in ein gg-System-System

Wenn man eine Zahl im Zehnersystem in Wenn man eine Zahl im Zehnersystem in ein anderes System übersetzen will, so ein anderes System übersetzen will, so kann man dies durch Bündelung wie eben kann man dies durch Bündelung wie eben beschrieben vornehmen, was der „Division beschrieben vornehmen, was der „Division mit Rest“ durch die Basis mit Rest“ durch die Basis gg entspricht. entspricht.


Bsp.: 333 ins 5er-SystemBsp.: 333 ins 5er-System Die 5 passt 66 mal in die 333 Die 5 passt 66 mal in die 333

und es bleibt der Rest 3und es bleibt der Rest 3 333 : 5 = 66 Rest 3333 : 5 = 66 Rest 3 Die 5 passt weitere 13 mal in Die 5 passt weitere 13 mal in

die 66 es bleibt der Rest 1 in die 66 es bleibt der Rest 1 in der 5er-Spalteder 5er-Spalte

66 : 5 = 13 Rest 166 : 5 = 13 Rest 1 Dann passt sie noch zwei mal Dann passt sie noch zwei mal

in die 13 mit Rest 3 in der 25er in die 13 mit Rest 3 in der 25er SpalteSpalte

13 : 5 = 2 Rest 313 : 5 = 2 Rest 3 Also ist das Ergebnis: 2313 Also ist das Ergebnis: 2313

zur Basis 5zur Basis 5

55 11333333

6666 33

1313 11 33

22 33 11 33

2535


2.2. Übersetzen einer Zahl vom Übersetzen einer Zahl vom gg –System –System ins Zehnersystemins Zehnersystem

Das eben durchgeführte Verfahren wird Das eben durchgeführte Verfahren wird rückgängig gemacht. Man multipliziert die rückgängig gemacht. Man multipliziert die erste Zahl von links, die die Anzahl der erste Zahl von links, die die Anzahl der Bündel der höchsten Potenz von Bündel der höchsten Potenz von gg angibt angibt mit der Basis mit der Basis gg und addiert die nächste und addiert die nächste Zahl. Dann verfährt man so weiter, bis die Zahl. Dann verfährt man so weiter, bis die Zahl, die die Einer angibt addiert wurde.Zahl, die die Einer angibt addiert wurde.


25 55 11

22 33 11 33

1313 11 33

6666 33

333333

Gleiches Beispiel:Gleiches Beispiel: 2313 zur Basis 52313 zur Basis 5 2 x 5 = 10, 10 + 3 = 132 x 5 = 10, 10 + 3 = 13 13 x 5 = 65, 65 + 1 = 6613 x 5 = 65, 65 + 1 = 66 66 x 5 = 330, 66 x 5 = 330,

330 + 3 = 333330 + 3 = 333 Also ist das Ergebnis 333 Also ist das Ergebnis 333

im Zehnersystem.im Zehnersystem.

35


Das eben geschilderte kann man auch in Das eben geschilderte kann man auch in einem Schema verdeutlichen: das einem Schema verdeutlichen: das Horner-Horner-SchemaSchema

2 3 1 3 2 3 1 3

10 65 330 10 65 330

*5*5

2 13 66 2 13 66 333333


Dies kann man zur Kontrolle in einem Dies kann man zur Kontrolle in einem Rechenschritt zusammenfassen:Rechenschritt zusammenfassen:

)5(23

2

23133515352

35)15352(

35)15)352((333

Rechnen in anderen SystemenRechnen in anderen Systemen

Tipps zum Rechnen:Tipps zum Rechnen: Addition/Subtraktion – man sollte sich die Addition/Subtraktion – man sollte sich die

Bedeutung der Überträge auf der Stellen-Bedeutung der Überträge auf der Stellen-werttafel klar machen und zur Not die werttafel klar machen und zur Not die Probe machen.Probe machen.

Multiplikation – Tabelle anlegen. Multiplikation – Tabelle anlegen. Halbschriftliche Multiplikation mit den Halbschriftliche Multiplikation mit den „„NeperschenNeperschen Streifen“Streifen“..


Bsp. für eine Additions- und Multiplikations-Bsp. für eine Additions- und Multiplikations-tafel im 5er-Systemtafel im 5er-System

++ 11 22 33 44 1010

11 22 33 44 1010 1111

22 33 44 1010 1111 1212

33 44 1010 1111 1212 1313

44 1010 1111 1212 1313 1414

1010 1111 1212 1313 1414 2020

** 11 22 33 44 1010

11 11 22 33 44 1010

22 22 44 1111 1313 2020

33 33 1111 1414 2222 3030

44 44 1313 2222 3131 4040

1010 1010 2020 3030 4040 100100

Rechnen in anderen SystemenRechnen in anderen Systemen Bsp. im FünfersystemBsp. im Fünfersystem

125-125-

erer

25er25er 5er5er EE

** 11 44 22 33

44

33

11

11

33

22

22 44 5er5er

33

22

22

11

11

11

44 33 EE

11

11 11

33 11

22 33 44 44

31253125-er-er

625-625-erer

125-125-erer

25er25er 5er5er EE


Division mit Rest – man sollte eine Division mit Rest – man sollte eine Vielfachentabelle des Divisors anlegen. Dies Vielfachentabelle des Divisors anlegen. Dies kann man ganz leicht, in dem man diesen kann man ganz leicht, in dem man diesen wiederholt addiert. Zur Probe kann man die wiederholt addiert. Zur Probe kann man die Umkehraufgabe rechnen.Umkehraufgabe rechnen.


Bsp. dazu im 5er-System:Bsp. dazu im 5er-System: 21404 : 22 = 443 Rest 321404 : 22 = 443 Rest 3 143143 210210 143143 124124 121121 33

1 * 22 = 222 * 22 = 443 * 22 = 1214 * 22 = 1435 * 22 = 220

TeilbarkeitsregelnTeilbarkeitsregeln Teilbarkeitsregeln im 10er-SystemTeilbarkeitsregeln im 10er-System 1. Endet eine Zahl auf 0 so ist sie durch 10 1. Endet eine Zahl auf 0 so ist sie durch 10 teilbar, da Zehnerbündelung keinen Rest teilbar, da Zehnerbündelung keinen Rest lässt.lässt. 2. Man kann an der Einerziffer ablesen, ob 2. Man kann an der Einerziffer ablesen, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, da durch eine Zahl gerade oder ungerade ist, da durch Bündelung ein Vielfaches von Zehn entsteht, Bündelung ein Vielfaches von Zehn entsteht, (das immer gerade ist) und ein Rest. Wenn (das immer gerade ist) und ein Rest. Wenn dieser, der durch die Einer dargestellt wird, dieser, der durch die Einer dargestellt wird, gerade ist, ist auch die ganze Zahl gerade.gerade ist, ist auch die ganze Zahl gerade.

TeilbarkeitsregelnTeilbarkeitsregeln

3. Deshalb entscheidet auch die Endziffer 3. Deshalb entscheidet auch die Endziffer über die Teilbarkeit durch 5, da 5 und 2 über die Teilbarkeit durch 5, da 5 und 2 Teiler von 10 sind.Teiler von 10 sind. 4. An den letzten beiden Ziffern kann man 4. An den letzten beiden Ziffern kann man erkennen, ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, da erkennen, ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, da die Zahl ab der drittletzten Ziffer ein Vielfaches die Zahl ab der drittletzten Ziffer ein Vielfaches von 100 ist und 100 immer durch 4 teilbar ist. von 100 ist und 100 immer durch 4 teilbar ist. Sind also die letzten beiden Ziffern durch 4 Sind also die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar, ist die ganze Zahl durch 4 teilbar.teilbar, ist die ganze Zahl durch 4 teilbar.


Allgemein heißt das also:Allgemein heißt das also:

Wenn Wenn r r also durch 4 teilbar ist, ist a auch durch 4 also durch 4 teilbar ist, ist a auch durch 4

teilbar. Das gleiche gilt, wenn man 4 durch 20, 25teilbar. Das gleiche gilt, wenn man 4 durch 20, 25

oder einen anderen Teiler von 100 ersetzt.oder einen anderen Teiler von 100 ersetzt.

5. Die letzten drei Zahlen verraten nach dem gleichen 5. Die letzten drei Zahlen verraten nach dem gleichen Prinzip die Teilbarkeit durch 8, da die viertletzte Zahl Prinzip die Teilbarkeit durch 8, da die viertletzte Zahl ein Vielfaches von 1000 ist und diese immer durch 8 ein Vielfaches von 1000 ist und diese immer durch 8 teilbar ist. a ist also durch 8 teilbar, wenn teilbar ist. a ist also durch 8 teilbar, wenn rr durch 8 durch 8 teilbar ist.teilbar ist.

1000mit 100 rrqa

10000mit 1000 rrqa


6. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, 6. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Die Quersumme erhält man, wenn man in Die Quersumme erhält man, wenn man in der Stellenwerttafel die Zahlen, die in den der Stellenwerttafel die Zahlen, die in den verschiedenen Spalten stehen, in die verschiedenen Spalten stehen, in die Einerspalte schreibt und addiert.Einerspalte schreibt und addiert.

Dabei verschiebt man immer ein Vielfaches Dabei verschiebt man immer ein Vielfaches von 10 und bekommt dafür entsprechend von 10 und bekommt dafür entsprechend viele Einer in der Einer-Spalte.viele Einer in der Einer-Spalte.


Bsp.: 513Bsp.: 513In der Tabelle sieht man In der Tabelle sieht man

exemplarisch an je einem exemplarisch an je einem Plättchen in der 100er- und Plättchen in der 100er- und 10er-Spalte, was passiert. 10er-Spalte, was passiert. Für jedes Plättchen Für jedes Plättchen verändert sich die Zahl um verändert sich die Zahl um ein Vielfaches von 9. ein Vielfaches von 9.

Nimmt man also diese Nimmt man also diese Transformation vor, erhält Transformation vor, erhält man die Quersumme und man die Quersumme und wenn die durch 9 teilbar ist, wenn die durch 9 teilbar ist, so ist auch die Zahl durch 9 so ist auch die Zahl durch 9 teilbar. teilbar.

100er100er 10er10er EinerEiner

5 5 OO

O O O OO O O O

-100+1-100+1 OO

1 1 -10+1-10+1OO

OO

3 3 O O OO O O


Teilbarkeitsregeln in anderen Stellenwert-Teilbarkeitsregeln in anderen Stellenwert-systemensystemen

1. Die „Endstellenregeln kann man auf Stellenwert-1. Die „Endstellenregeln kann man auf Stellenwert-systeme mit beliebigen Basen systeme mit beliebigen Basen gg verallgemeinern. verallgemeinern. Denn eine Zahl ist genau dann durch Denn eine Zahl ist genau dann durch gg ( ) ( ) teilbar, wenn sie im teilbar, wenn sie im gg-System eine Null (zwei -System eine Null (zwei Nullen, drei Nullen) am Ende hat.“ Welche Nullen, drei Nullen) am Ende hat.“ Welche weiteren Teiler man an der Endstelle erkennen weiteren Teiler man an der Endstelle erkennen kann, hängt dann von der Zusammensetzung der kann, hängt dann von der Zusammensetzung der Basis Basis gg und den Stufenzahlen ab. und den Stufenzahlen ab.

32 , gg

32 , gg


2. Bei der Quersummenbildung ist es wichtig, dass 2. Bei der Quersummenbildung ist es wichtig, dass man angibt, in welchem System man die man angibt, in welchem System man die Quersumme bildet. Wie man die Zahl der Quersumme bildet. Wie man die Zahl der Quersumme schreibt, bleibt hingegen ohne Quersumme schreibt, bleibt hingegen ohne weitere Bedeutung.weitere Bedeutung.

Bsp.: 10er-System:Bsp.: 10er-System:

5er-System:5er-System:

8er-System:8er-System: 2 Quersumme 204

4 Quersumme 314

7 Quersumme 164

)8(2

)5(2

)10(2


Allgemein für die Quersummenregel in Allgemein für die Quersummenregel in gg-Sytemen gilt:-Sytemen gilt:

„ „Ist Ist gg die Basis eines beliebigen Stellenwertsystems, so die Basis eines beliebigen Stellenwertsystems, so bewirkt das Verschieben eines Plättchens von der -bewirkt das Verschieben eines Plättchens von der -Spalte in die Einer-Spalte eine Verminderung um . Spalte in die Einer-Spalte eine Verminderung um . Dieser Wert ist immer ein Vielfaches von Dieser Wert ist immer ein Vielfaches von gg - 1. - 1.

Eine Zahl und ihre Quersumme unterscheiden sich also Eine Zahl und ihre Quersumme unterscheiden sich also immer um ein Vielfaches von immer um ein Vielfaches von gg – 1, daher haben sie bei – 1, daher haben sie bei Division durch Division durch gg – 1 den gleichen Rest. Die – 1 den gleichen Rest. Die Quersummenregel im Quersummenregel im gg-System prüft somit auf Teilbarkeit -System prüft somit auf Teilbarkeit durch durch gg – 1 (und durch Teiler von – 1 (und durch Teiler von gg – 1, falls vorhanden).“ – 1, falls vorhanden).“

ng1ng

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