UNIVERSITÄT KASSEL-FACHBEREICH 17 MATHEMATIK-

WS 2008/2009„ARITHMETIK ALS PROZESS“

HERR PROF. BLEYERSTELLT VON: JENNY FORTH

Summenformeln (2. Teil)

Gliederung:2

Summen von dritten Potenzen

Summen von Quadratzahlen

Übergang von Dreiecks-Zahlenfeldern zu Quadrat-Zahlenfeldern (Zahlenquadrat)

Aufgabe zur Vertiefung (Übung)

„Summen von dritten Potenzen“

n 1 2 3 4 5 6 ...

1 8 27 64 125 216 ...

n3 13 23 33 43 53 63 ...

Summe 1 9 (1+8)

36 (1+8+27)

100(...)

225 441 ...

(Dn)2 12 32 62 102 152 212 ...

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Wir stellen fest:

Die Summe der ersten n dritten Potenz ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl Dn.

Diese Beziehung kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion oder eben auch mit Hilfe der 2. Summenformel direkt beweisen.

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„Summen von Quadratzahlen“5

Die folgende Darstellung zeigt, die hier dargestellten Summen der ersten natürlichen Zahlen ergibt genau n2. Dies kann man sehr schnell durch „Ausgleichen“ der Zahlen in den einzelnen Reihen erkennen:

Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen?

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Wir betrachten drei unterschiedliche Kopien dieses Zahlendreiecks:

Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen?

7

Wenn wir diese drei Dreiecke übereinander legen und jeweils die drei übereinander stehenden Zahlen addieren, erhalten wir:

Die Summe aller Zahlen beträgt: D9 x 19 = 3 x (12 + 22 + 32 + 42 + ... + 92)

Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen?

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Die hier am Beispiel n = 9 (Zeilenanzahl im Dreieck) durchgeführten Operationen lassen sich unmittelbar auf den allgemeinen Fall übertragen:

„Die Summe aller Zahlen in einem Dreieck mit n Zeilen ist, die Summe der ersten n Quadratzahlen.“

Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen?

9

Werden drei Kopien des Dreiecks mit unterschiedlicher Anordnung der Zahlen übereinander gelegt, ergibt sich auf jedem der n x (n + 1)/2 Plätze die Summe 2n + 1, d. h. insgesamt die Summe:

n x (n + 1)/2 x (2n + 1).

Dieser Term liefert das 3-fache der Summe der ersten n Quadratzahlen. Wir dividieren durch 3 und erhalten die allgemeine Formel:

(12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2) = ⅓ Dn x (2n + 1) =

n x (n + 1) x (2n + 1) / 6

Aufgaben zur Vertiefung:10

Übergang von Dreiecks-Zahlenfeldern zu Quadrat-Zahlenfeldern.

Wir betrachten das folgende Zahlenquadrat:

Aufgaben zur Vertiefung:11

Gesucht wird eine Formel zur Berechnung eines „Winkels“!

VIELEN DANK FÜR EURE

AUFMERKSAMKEIT!

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