Explicación del tema 1

Matemáticas IITema 1. Integral indefinida

1.1 Conceptos de diferencial y antiderivada

Vamos a empezar por recordar uno de los temas más importantes de Matemáticas I, la derivada.

Recuerdas ¿Cómo derivar a la función ? Su derivada es .

Considera la situación inversa, conocemos la derivada , ahora necesitamos encontrar la función que al derivarse da como resultado

la función original dada. Es decir: .

Observa que si entonces su derivada será .

Pero si , entonces su derivada también será .

También si , entonces su derivada también será . Entonces se puede apreciar que la antiderivada de una función no es única. Se puede ver que al derivar estas tres funciones

, se obtiene que la derivada es la misma función .

Se puede entonces concluir que la antiderivada más general de esta función es:

Donde C es constante cualesquiera. Al derivarla se obtiene que .

Al utilizar esta notación podemos decir entonces que .

Recuerda que al derivar la antiderivada , siempre deberás obtener la función que aparece en el integrando, es decir

.

1.2 Integral indefinida

En general decimos que:

Utilizaremos letras mayúsculas para representar a las antiderivadas.

Teorema 1: Si F(x) es la antiderivada de f(x) esto lo representaremos simbólicamente de la siguiente forma

Propiedades de la integralAl igual que las derivadas, las integrales también cumplen con ciertas reglas que se pueden aplicar en el proceso de solución. Éstas no afectan el resultado final. A estas reglas las llamaremos propiedades.

La propiedad 1 indica que al multiplicar, una constante puede salir del símbolo de integración.

La propiedad 2 indica que si se tiene la integral de una suma o resta de funciones, se puede separar como la suma o resta de la integral de cada función.

1.3 Fórmulas básicas de integración

Primero veremos las fórmulas para obtener la antiderivada de funciones. Están escritas en su forma más simple. Les llamaremos funciones básicas y las identificaremos porque en su argumento aparece solamente la variable x. Estas fórmulas se han obtenido a partir de las de diferenciación vistas en tu curso de Matemáticas I.

Ejemplos: Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas y propiedades de la integral.

1.

Solución

Nota: Si aplicamos el Teorema 1 para comprobar el resultado y derivamos la

antiderivada , obtenemos

2.

Solución

Nota: Si aplicamos el Teorema 1 para comprobar el resultado y derivamos la antiderivada: , obtenemos

3.

Solución

4.

Solución

Observemos que el integrando es un cociente de funciones, por lo que no es posible aplicar directamente ninguna de las propiedades. Lo primero que debemos hacer es utilizar álgebra para transformar esta función de tal manera que quede expresada en sumas o restas.

5.

Solución

Glosario: Antiderivada (Integración): es el proceso inverso a la diferenciación. Se utiliza el símbolo para denotarla.

Explicación del tema 2

Matemáticas IITema 2. Integración de funciones compuestas

2.1 Identificar a las funciones compuestas

Lo primero que vamos hacer es distinguir entre funciones básicas y compuestas. Una función compuesta la vamos a poder descomponer en dos funciones. La función interior será representada por el argumento de la función original y la función exterior será aquella donde el argumento se reduce solamente a colocar la variable .

Para comprender mejor este proceso, considera el ejemplo que se te presenta en la siguiente tabla.

2.2 Integración de funciones compuestas.

La integral se puede resolver si se eleva el binomio al cuadrado y después integramos cada término:

¿Harías lo mismo para resolver la integral ?

Tener un binomio elevado a la potencia 2 es sencillo. Pero, cuando el binomio se encuentra elevado a una potencia mayor que 3, ya no es tan fácil desarrollarlo. Ahí tendríamos que aplicar el teorema del binomio.

Observa que la función a integrar es compuesta. La interior es y la exterior . Entonces, el problema también se puede resolver si usamos la siguiente sustitución:

Considera que y su derivada queda sólo . Se sustituye en integral original y se deja el integrando solamente en términos de la variable . Quedaría

Ésta se transforma a una función básica en términos de una nueva variable . Después se aplica la fórmula para integrar una función potencia (fórmula 2 de integrales básicas) y se obtiene:

Sustituyendo la variable , se obtiene

A continuación se te presentan las fórmulas para integrar funciones compuestas, aplicando una sustitución:

Observa que las fórmulas son muy similares a las de funciones básicas. La diferencia es que ahora aparece como argumento no solamente sino

una función . A ésta se le aplica un cambio de variable, llamándole y en el integrando debe estar la derivada de esta función, la

cual se representa por .

Nota: es importante tomar en cuenta que para poder resolver una integral de una función compuesta se debe de cumplir la condición de que, al llevar a cabo una sustitución, la derivada de esta se encuentre multiplicando.

Ejemplos: resuelva cada una de las siguientes integrales indefinidas, aplicando las fórmulas para integrar funciones compuestas.

1.

Solución

Completando el diferencial

Los ejemplos que se han visto cumplen la condición de que al seleccionar de una función compuesta su diferencial esté multiplicando al integrando de la función. En algunos casos hace falta multiplicar o dividir por una constante el integrando, y así poder realizar la sustitución en términos de . En el siguiente ejemplo se presenta uno de estos casos.

2.

Solución

Despejando variables de la sustitución

Los ejemplos que se han visto cumplen la condición de que al seleccionar de una función compuesta su diferencial esté multiplicando al integrando de la función. En algunos casos hace falta multiplicar o dividir por una constante el integrando, y así poder realizar la sustitución en términos de . En ocasiones al hacer esto todavía quedan términos que no están en función de , si esto ocurre, se debe despejar de la sustitución

el término que sobra en el integrando. En el siguiente ejemplo se presenta uno de estos casos.

3.

Solución

Glosario

Función compuesta: es una función que podemos descomponer en dos funciones. La interior que es representada por el argumento de la función original y la función exterior que es aquella donde el argumento se reduce solamente a colocar la variable x. La función compuesta se denota como

.

Actividad colaborativa en el aula

Instrucciones:

1. El profesor formará equipos de tres integrantes 2. Éste designará dos ó tres ejercicios a cada equipo, según lo considere pertinente.

3. Como equipo, deberán solucionar los problemas designados por el profesor y llegar a un consenso de sus respuestas. Además, deberán designar a un miembro de su equipo para que presente los resultados en el pizarrón.

4. El maestro subdividirá el pizarrón en varias partes, para que presenten sus respuestas.

5. Se revisarán y evaluarán las respuestas a dichos ejercicios tanto por los ustedes como por el profesor.

6. El profesor llevará a cabo el cierre de esta actividad.

Al finalizar la clase entreguen a su profesor los resultados de su actividad colaborativa.

Tarea individual 1

Instrucciones:

1. Resuelve cada una de las siguientes integrales con la aplicación de las propiedades y fórmulas básicas de integración.

2. Investiga las fórmulas de las siguientes integrales en tu libro de texto o en la bibliografía sugerida del curso.

Entrega la tarea a tu profesor, en forma de práctica de ejercicios, a mano en hojas blancas fecha: día de examen.

Aquí les dejo esto más para el que tenga una visión de futuro.

Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Integral indefinida. (2004) Instituto Jorge Juan de Alicante. Recuperado el 3 de abril 2009, de:http://www.esvillamil.com/cvl/integralindefinida.htm

Universidad de Sevilla, Facultad de Matemáticas, profesor: Renato Álvarez Nodarse. Consultado el 3 de abril 2009. Disponible en: http://euler.us.es/~renato/clases/programa/

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Stefan Waner. Matemáticas finitas y Cálculo aplicado Tutoriales en Línea: “Integral indefinida”, 2008. Consultado el 26 de junio 2009. Disponible en:http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/frames6_1.html