Sistemas Elétricos

IndutordtdiLv = ∫= dtv

Li 1

Cqv =

Capacitor

dtdqi = ∫= dtiq ∫= dti

Cv 1

dtdq

Cdtdv 1

=dtdvCi =

Sistemas Elétricos

Resistor iRv =

Resistor

Dissipação de energia

Capacitor

Indutor

Armazenamento de energia

Equação (b)Equação (a)Bloco

dtdiLv =

∫= dtiC

v 1∫= dtv

Li 1

dtdvCi =

Rvi =iRv =

Construindo um Modelo para umSistema Elétrico

Conservação da carga elétricaLeis de Kirchoff

1a lei: A soma algébrica das correntes nos nós é zero.

2a lei: Em um circuito fechado, a soma algébrica das diferenças de potencial em cada elemento é igual à força eletromotriz aplicada.

Primeira Lei de Kirchoff

321 iii +=

A corrente que passa por R1 é i1, e a tensão neste resistor é (v-vA); assim

AvvRi −=11

A corrente em R2 é i2; e como a diferença de potencial em R2 é vA; então

AvRi =22

A corrente i3 passa em R3 em série com R4 e existe uma diferença de potencial vA sobre a combinação. Assim:

( ) AvRRi =+ 433

Equacionando as correntes, temos:

4321 RRv

Rv

Rvv AAA

++=

−

0=∑v

Para a malha com corrente i1 circulando, se a corrente em R1 é i1 e em R2 é (i1 -i3 ); ( ) 23111 RiiRiv −+=

23211 )( RiRRiv −+=

(a)

Segunda Lei de Kirchoff

Para a malha com corrente i3 circulando, já que não existe nenhuma fem:

2134333 )(0 RiiRiRi −++=

Rearranjando temos

212433 )( RiRRRi =++

Substituindo i3 na equação (a)

243

221

211 )(RRR

RiRRiv++

−+=

243

42322141311 )(RRR

RRRRRRRRRRiv++

++++=

Em geral, quando o número de nós é menor que o número de malhas, é mais fácil usar a análise nodal

SISTEMA ELÉTRICO SIMPLES

CR vvv +=

dtdvCi C=

iRvR =

CviRv +=

Cc vdtdvRCv +=

Dá a relação entre a saída vc e a entrada vSistema resistor-capacitor

CLR vvvv ++=

CvdtdiLiRv ++=

Sistema resistor-indutor-capacitor

( )2

2

dtvdC

dtdtdvdC

dtdi CC ==dt

dvCi c= ⇒mas

portanto

CCc v

dtvdLC

dtdvRCv ++= 2

2

Sistema elétrico com duas malhas

(a) Análise nodal

dtdvCi C

22 =dtdvCi A

13 =AvvRi −=11

321 iii +=No nó A

dtdvC

dtdvC

Rvv ACA

121

+=− (b)

A diferença de potencial na combinação de R2 e C2 é vA, então:

CC

A vdtdvCRv += 22CA vRiv += 22 ⇒

dtdv

dtvdCR

dtdv CCA += 2

2

22

Substituindo vA e dvA/dt na equação (b)

21212121

2221112

2

CCRRvv

dtdv

CCRRCRCRCR

dtvd

CCC =+

+++

(b) Análise de malha

Resolver para a próxima aula

Exemplo:Determinar a relação entre a saída, a diferença de potencial no indutor vL, e a entrada v para o circuito mostrado na figura

LR vvv +=

LviRv +=

No Indutor

dtvL

i L∫=1

LL vdtvLRv += ∫

Exercício para a próxima aula:Determinar a relação entre a saída, a diferença de potencial no capacitor vC e a entrada v para o circuito mostrado na figura

A solução pose ser obtida tanto pela análise nodal quanto pela análise de malha.

Este exercícios terão peso importante na avaliação final

Analogia de Sistemas Mecânicos com Sistemas Elétricos

Rvi =Resistor Amortecedor F cv=

Grandezas análogas:•Corrente ⇔ Força

•Diferença de potencial ⇔ Velocidade•Constante de amortecimento c ⇔ Inverso da resistência 1/R

Amortecedor rotacional

Amortecedor translacional

Momento de inércia

Massa

Capacitor

Mola torcional

Resistor

Dissipação de energia

Mola translacional

Indutor

Armazenamento de energia

Const. AnálogaEquaçãoBloco

dtdvCi =

dtdvm

dtxdmF == 2

2

∫= dtvL

i 1L1

∫== dtvkkxF k

∫== dtkkT ωθ k

C

m

dtdJ

dtdJT ωθ

== 2

2J

Rvi =

R1

ccvF =

cωcT =

Considere a analogia elétrica para duas molas em série

21 FF =Sistema mecânico (molas)

21 ii =Equivalente elétrico

Considere a analogia elétrica para duas molas em paralelo

21 FFF +=Sistema mecânico (molas)

21 iii +=Equivalente elétrico

Sistema envolvendo uma mola e uma massa

Sistema mecânico

∑∑ += massanaagemqueForçasmolapelaexercidasForçasF

Equivalente elétrico

capacitornoCorrenteindutornoCorrentei +=

Sistema envolvendo uma mola, um amortecedor e uma massa

Sistema mecânico

ramortecedopeloexercidaForçamassanaagemqueForçasmolapelaexercidasForçasF ++= ∑∑

Equivalente elétrico

resistornoCorrentecapacitornoCorrenteindutornoCorrentei ++=

Exercício para a próxima aula:Desenhar um circuito elétrico análogo ao sistema mostrado na Figura

Este exercícios terão peso importante na avaliação final