Apres1A Mat Finan Gabbay

Engenharia Econmica Noes

Capitulo IGeneralidades Captulo IIMatemtica Financeira

Engenharia Econmica - NoesSUMRIOCaptulo I - Generalidades

Captulo II - Matemtica Financeira

Captulo III - Alternativa de Investimentos

Captulo I V - Financiamentos

Captulo I - GeneralidadesIncio: Estados Unidos em 1887Primeira Publicao: The Economic Theory of Railway Location (anlise de viabilidade econmica p/ferrovias)Autor: Arthur Wellington

Captulo I - GeneralidadesA Engenharia econmica importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas.Todo o fundamento da engenharia econmica se baseia na Matemtica financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

Captulo I - GeneralidadesExemplos de Aplicao:Efetuar o transporte de materiais manualmente ou mecanicamente;Fazer uma rede de abastecimento de gua com tubos PVC ou de ferro;Substituio de equipamentos obsoletos;Comprar carro a prazo ou vista.

Captulo I - GeneralidadesPrincpios Bsicos p/ um Estudo Econmico:Devem haver alternativas;

As alternativas devem ser expressas em valor monetrio;

Somente as diferenas das alternativas so relevantes;

Captulo I - GeneralidadescontinuaoPrincpios Bsicos p/ um Estudo Econmico:Sempre sero considerados os juros sobre o capital empregado (sempre o dinheiro pode render alguma coisa);Ao se aplicar o Capital devemos ter a certeza de que foi da melhor maneira (melhor retorno)

Captulo I - GeneralidadescontinuaoCritrios de Aprovao de um Projeto:Critrios financeiros: disponibilidade de recursosCritrios econmicos: rentabilidade do investimentoCritrios imponderveis: fatores no convertidos em dinheiro


A matemtica financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

"NO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE NO ESTEJAM NA MESMA DATA"


JUROS: o que se paga pelo custo do capital, ou seja, o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo.

Juros e Tempo esto intimamente ligados


FATOR DE PRODUO

REMUNERAO

TRABALHO

SALRIO

TERRA

ALUGUEL

TCNICA

ROYALTY

ADMINISTRAO

LUCRO

CAPITAL

JUROS

Captulo II - Matemtica FinanceiraPresena dos Juros:Compras a crdito;Cheque especial;Prestao da casa prpria;Financiamento de automveis;Emprstimos;Vendas prazo.

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros SimplesQuando apenas o principal, ou seja o capital inicial, rende juros.J = P . i . nonde:P = principalJ = jurosi = taxa de jurosn = nmero de perodos

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros SimplesF = valor futuro = valor aps o perodo de capitalizao F = P + JF = P + P.i.nF = P(1 +i . n)

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosQuando no final de cada perodo, o juro incorporado ao principal ou capital, passando assim a tambm render juros no prximo perodo.

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosNo primeiro perodo:F 1 = P + P . i = P . (1 + i)1No segundo perodo:F 2 = F 1 + F 1 . i = F 1 . ( 1 + i) = P. (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)No terceiro perodo:F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2 . (1 + i) = P . (1 + i)

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosNo perodo n:F = P . (1 + i)n

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosExemplo II.1

Para um Capital de R$ 100.000,00, colocado a 20%aa durante 3 anosQual o valor futuro para o caso de considerarmos juros simples e juros compostos ?

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros Compostos

Fim do Ano

Juros Simples

Juros Compostos

0

100.000

100.000

1

120.000

120.000

2

140.000

144.000

3

160.000

172.000

Juros Simples: F = P (1 + i . n)

Juros CompostosF = P (1 + i )n

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosExemplo II.2Para o exemplo anterior plotar um grfico para mostrar as diferenas da evoluo dos juros simples e compostos ao longo do tempo

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros Compostos

Captulo II - Matemtica FinanceiraFluxo de Caixa

a representao grfica do conjunto de entradas (receitas) e sadas (despesas) relativo a um certo intervalo de tempo.

Entradas (receitas)

01

3

2

4567

tempo

Sadas (despesas operacionais, manuteno,...)

Investimento

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelaes de EquivalnciaAs relaes de equivalncia permitem a obteno de fluxos de caixa que se equivalem no tempo. Simbologia:i = taxa de juros por perodo de capitalizao;n = nmero de perodos a ser capitalizado;P = quantia de dinheiro na data de hoje;F = quantia de dinheiro no futuro;A = srie uniforme de pagamento;G = srie gradiente de pagamento.

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre P e F

Para achar F a partir de P:

P (dado)

F = ?

F = P . (1 + i)n

(1 + i)n = fator de acumulao de capital de um pagamento simples.


Para achar P a partir de F:

P = ?

F (dado)

P = F / (1 + i)n

1 /(1 + i)n = valor atual de um pagamento simples.

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre P e FExemplo II.3Conseguiu-se um emprstimo de R$ 10.000,00 em um banco que cobra 5%am de juros. Quanto dever ser pago se o prazo do emprstimo for de 5 meses?


10.000

i = 5%

0

5

F = ?

F = P (1 + i )n

F = 10.000 (1 + 0,05)5

F = 12.762,81


Exemplo II.4

Achar o valor do fluxo de caixa abaixo no perodo 4 a uma taxa de 5%ap

200

300

3

8

012

4567

100

400

Capitalizar

Descontar

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre P e FF = P (1 + i )nP = F / (1 + i )nX 4 = 200 (1 + 0,05)4 100 (1 + 0,05)1 + 300 / (1 + 0,05)2 400 / (1 + 0,05)4X 4 = 243,10 - 105,00 + 272,10 - 329,08

X 4 = 81,12

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre P e FExemplo II.5

Uma aplicao financeira de R$ 200.000,00 rendeu aps 7 meses o valor de R$ 300.000,00. Qual a taxa mensal "mdia" de juros desta aplicao?


F = 300.000

i = ?

n = 7

P = 200.000

F = P (1 + i )n

300.000 = 200.000 (1 + i )7

i = 5,96%

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre P e FExemplo II.6

Uma aplicao de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, taxa composta de juros de 8% ao ms, um montante de R$ 370.186,00 em certa data futura.Calcular o prazo da operao.


F = 370.186

i = 8%

n = ?

P = 200.000

F = P (1 + i )n

370.186 = 200.000 (1 + 0,08)n

n = 8 meses

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e P

Esta relao de equivalncia pode ser entendida pela a observao dos fluxos:

A

0123

n

0123

n

P

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PPara achar P a partir de A:

P = A (1 +i) -1 + A (1 + i) -2 + A(1 +i) -3 + ..... + A (1 +i) -nP = A [ (1 + i) -1 + (1 + i) -2 + (1 +i) -3 + ..... + (1 +i) -n ]

Nota-se que o termo que multiplica A o somatrio dos termos de uma PG, de razo (1+ i) -1

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PA soma dos termos pode ser calculada pela seguinte expresso:

S n = (a 1 - a n . r) / ( 1 r)

Para o caso: (1 + i)n - 1P = A .---------------- (1 + i)n . i

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PPara achar A a partir de P:

(1 + i)n . iA = P .----------------(1 + i)n - 1

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PEXEMPLO II.7Um empresrio pretende fazer um investimento no exterior que lhe render US$ 100.000 por ano, nos prximos 10 anos.

Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresrio trabalha com taxa de 6% ao ano?


A = 100.000

0

n=10

i = 6% aa

P=?

(1 + i)n - 1

P = A . ----------------

(1 + i)n . i


(1 + 0,06)10 - 1

P = 100.000 . ------------------------

(1 + 0,06)10 . 0,06

P = 736.009

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PEXEMPLO II.8O que mais interessante, comprar um carro usado por R$ 4.000,00 vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestao no ato da compra?.


4.000

0

1

2

1.470

1.470

1470

(1 + i)n - 1

P = A . ----------------

(1 + i)n . i

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e P (1 + i)2 - 1(4.000 1.470) = 1.470 . ---------------- (1 + i)2 . ii = 10,62 %

(comparar com a taxa de mercado p/ex. poupana)Melhor opo a vista

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PEXEMPLO II.9

Vale a pena pagar vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje?

A

A

A

0

1

2

0,8 (3 A)

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e P (1 + i)n - 1P = A . ----------------(1 + i)n . I

(1 + i)2 - 1(0,8 X 3A) - A = A . ---------------- (1 + i)2 . I

i = 27,47 %

(comparar com a taxa de mercado p./ex. poupana)Melhor opo a vista


EXEMPLO II.10

Calcular a prestao de um financiamento de valor de R$ 2.000,00 com 8 pagamentos iguais, considerando uma taxa de 13 % am.

A = ?

0

n=8

i = 13% am

P=2.000

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e P (1 + i)n . 1A = P . ----------------(1 + i)n i

(1 + 0,13)8 . 0,13A = 2.000 . ------------------------- (1 + 0,13)8 1A = 416,8


EXEMPLO II.11

Calcular na data zero a equivalncia para o fluxo de caixa, a uma taxa de 15% a.a

10.000

012345678910

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre A e PNa data 3 (1 + i)n - 1P = A . ----------------(1 + i)n . i

(1 + 0,15)7 - 1X3 = 10.000 . ---------------------- = 41.604 (1 + 0,15)7 . 0,15

Na data 0

P = F / (1 + i )n

X0 = 41.604 / (1 + 0,15)3 = 27.355

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre F e A

Esta relao de equivalncia pode ser entendida pela a observao dos fluxos:

A

0123

n

F

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre F e AAchar F a partir de A:

F = A + A (1 +i) 1 + A (1 + i) 2 + A(1 +i) 3 + ..... + A (1 +i) n -1

F = A [ 1 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 +i) 3 + ... + (1 +i) n - 1 ]

O termo que multiplica A o somatrio dos termos de uma PG, de razo (1+ i) 1

Para o caso: (1 + i)n - 1F = A . ---------------- i

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre F e AAchar A a partir de F:

i A = F . ---------------- (1 + i)n - 1

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre F e A

EXEMPLO II.12

Quanto devemos depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos?.

F = 500.000

01234

14

A = ?

Captulo II - Matemtica FinanceiraRelao entre F e A iA = F . ---------------- (1 + i)n 1

0,12A = 500.000 . -------------------- = 15.436 (1 + 0,12)14 - 1

Captulo II - Matemtica FinanceiraSRIES PERPTUASTambm chamada Srie Infinita ou Custo Capitalizado.

Tem estes nomes devido a possurem um grande nmero de perodos.

Este um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras pblicas, etc...

Captulo II - Matemtica FinanceiraSRIES PERPTUASO valor presente da srie uniforme infinita :

(1 + i)n - 1P = A . ----------------(1 + i)n . i

(1 + i)n - 1P = lim. n A . ---------------- (1 + i)n . i 1P = A . ------ i

Captulo II - Matemtica FinanceiraSRIES PERPTUASEXEMPLO II.13

Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importncia anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 10%?

Captulo II - Matemtica FinanceiraSRIES PERPTUAS

12.000

i = 10%aa

P = ?

1

P = A . ------

i

P = 12.000/0,1

P = 120.000

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTETaxa efetiva de juros aquela em que a unidade de tempo coincide com a unidade do perodo de capitalizao. Ex:140%aa ca (140% ao ano com capitalizao anual)0,5%am cm (0,5% ao ms com capitalizao mensal poupana)

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTETaxa nominal de juros aquela em que a unidade de tempo no coincide com a unidade do perodo de capitalizao.

Ex:12%aa cm (12% ao ano com capitalizao mensal)

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE

Equivalncia entre duas taxas efetivas:

F

12 meses

P(1)F = P. (1 + i mensal)12meses

F

1 ano

P(2)F = P. (1 + i anual )1ano

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTEComo (1) = (2), tem-se que:

(1 + i mensal)12meses = (1 + i anual)1ano

Generalizando:(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + is)2 = (1 + ia)1

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTEEXEMPLO (efetiva p/ efetiva):Poupana:0,5% am cm(1 + 0,005)12 = (1 + ia)1ia = 6,17% aa ca

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTEEXEMPLO (nominal p/ efetiva):

12% aa cm = (12/12)% am cm = 1% am cm

(1 + 0,01)12 = (1 + ia)1

ia = 12,68% aa ca

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTEEXERCCIO II.14

Peo um emprstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que entregue j lquido, e depois de um ms paga-se R$ 1.000,00.

Qual a taxa efetiva de juros deste emprstimo?.

Captulo II - Matemtica FinanceiraTAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE

P = 85% . 1000 = 850

F = 1.000

F = P (1 + i )n

1.000 = 850 (1 + i)1

i = 17,64%

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosExemplo II.2Vamos fazer uma aplicao em CDB de R$ 30.000,00 a uma taxa de 1,7% para um perodo de 35 dias.a) Qual o valor dos juros e da taxa lquida (descontado o IR de 20% s/ juros)?b) Em relao a poupana esta aplicao interessante?

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosP = 30.000i = 1,7% (p/35 dias)F = P (1 + i )nF = 30.000 (1 + 0,017)1F = 30.510Juros = F PJuros = 30.510 30.000Juros = 510

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros CompostosSe, IR (20%) = 0,2 * 510 = 102Juros liquido = 510 102Juros liquido = 408F liquido = 30.510 102F liquido = 30.408Rentabilidade Lquida (i):F liquido = P (1 + i )n30.408 = 30.000 (1 + i)1i = 1,36%

Captulo II - Matemtica FinanceiraJuros Compostositem bF = P (1 + i )nF = P (1 + i 35 )1F = P (1 + i dirio )35(1 + i 35 )1 = (1 + i dirio )35(1 + 0,0136) = (1 + i dirio )35 I dirio = 0,0386% (1 + i 30 )1 = (1 + i dirio )30(1 + i 30 ) = (1 + 0,000386)30I 30 = 1,16%i = 1,16% am

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