Appunti Di Meccanica Computazionale

7/23/2019 Appunti Di Meccanica Computazionale

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Appunti diMeccanica Computazionale delle Strutture I

Mauro Borri Brunetto

A.A. 2006/07


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Indice

1 Modellazione dei problemi meccanici 1

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Formulazione diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Formulazione variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Verso la discretizzazione: un problema modello . . . . . . . . . . . 14Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 I problemi della fisica-matematica 22

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Classificazione delle equazioni del secondo ordine . . . . . . . . . 23

2.3 Procedimenti variazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Regole del calcolo variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Soluzione approssimata di problemi al contorno 37

3.1 Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Concetti preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Metodi dei residui pesati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 Metodo di collocazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Collocazione a sotto-domini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3 Metodo di Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.4 Formulazioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.5 Formulazioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Il metodo degli elementi finiti: il punto di vista matematico . . . . 56

3.4.1 Equivalenza delle formulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2 Formulazione di Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.3 Il metodo degli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Il metodo degli elementi finiti 67

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Discretizzazione delle equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . 67

II


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INDICE III

4.3 Equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Il metodo delle coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . 754.5 Caratteristiche della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.6 Trattamento locale degli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6.1 Numerazione locale dei gradi di libert . . . . . . . . . . . . 834.6.2 Sistemi di riferimento locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7 Imposizione delle condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . 904.8 Relazioni costitutive elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8.1 Stato di tensione monoassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.8.2 Stato di tensione piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.8.3 Stato di deformazione piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.8.4 Condizioni di assialsimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.8.5 Lastre inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Formulazione degli elementi finiti 98

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2 Elementi isoparametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3 Elementi del continuo n-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.1 Matrici H e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4 Implementazione degli elementi isoparametrici . . . . . . . . . . . 107

A Supporti matematici 113

A.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.1.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.1.2 Sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.1.3 Prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.1.4 Norme e metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


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IV INDICE


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Capitolo 1

La modellazione matematica di

problemi meccanici

1.1 Introduzione

La Meccanica computazionale delle strutture si occupa della formulazione edella soluzione di problemi matematici che descrivono il comportamento mec-canico di modellidei sistemi fisici con i quali lingegnere si deve confrontarenella sua attivit professionale.

Sotto la dicitura generale di comportamento meccanico, si intende la rispo-sta, in termini di tensioni e deformazioni, che una struttura fornisce a frontedelle azioni alla quale viene sottoposta. La struttura in esame quindi il sistemafisico oggetto di indagine.

bene premettere subito che, dato un certo sistema fisico, magari conve-nientemente isolato dal resto delluniverso, non esiste in generale un solo mo-dello matematico atto a descriverne il comportamento. Talvolta difficile co-struirne uno appena convincente, talaltra ne esistono diversi, che privilegianoaspetti differenti del problema.

Lanalisi fisica dovrebbe portare, sulla base dei principi fondamentali del-

la meccanica, alla scelta di un modello convincente del sistema: tale modelloconterr certe relazioni tra grandezze note (i dati) e grandezze da determinare(le incognite), dipendenti dai parametri che descrivono alcune caratteristichedel sistema. Una volta costruito il modello, lanalisi si sposta su un piano total-mente matematico: da questo punto di vista si deve stabilire se il problema posto in modo da non presentare contraddizioni, e se ammette una o pi solu-zioni. Stabilita lesistenza di una soluzione si pu poi cercare di determinarlaesattamente (in forma chiusa) o, quando ci non sia possibile o conveniente,di ricercarne unapprossimazione.

1


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2 1 MODELLAZIONE DEI PROBLEMI MECCANICI

Allo studio dei metodi di approssimazione per la soluzione di problemi di-

scendenti dalla modellazione matematica dei sistemi fisici dedicata la Mec-canica Computazionale.

Una prima classificazione dei modelli di sistemi meccanici li suddivide aseconda se lincognita sia un campo, cio una funzione che associa a ogni pun-to del dominio occupato dalla struttura un valore scalare (ad es. la pressione inun fluido) o vettoriale (ad es. la velocit o lo spostamento), oppure lincognitasia un elenco finito di valori di una certa grandezza, calcolati in un certo nume-ro di punti del dominio. Il primo tipo di modello detto continuo, il secondodiscreto. Nella Figura 1.1, a titolo di esempio, sono schematizzati due modelli,rispettivamente continuo e discreto, dello stesso sistema meccanico: la trave

caricata assialmente. La colonna a sezione variabile raffigurata in Figura 1.1(a), un esempio di schematizzazione di un sistema fisico: lanalista strutturale haindividuato tale sistema come rappresentativo di unasituazione reale, ne ha in-dividuate la caratteristiche geometriche, le forze agenti e i vincoli. Stabilito poidi procedere a unanalisi elastica del sistema, tendente a determinare lo spo-stamento di alcuni punti della colonna, sono presentati due possibili modelli.Il primo (Figura 1.1(b)) un modello continuo che generalizza il problema diSaint-Venant al caso di solidi a sezione variabile, i cui parametri sono le costantielastiche E,, la funzione che descrive landamento della sezione A(z), laltezzah. I dati del problema sono la forza concentrata applicata allestremo superio-re e il peso proprio; lincognita la funzione u(z) che esprime lo spostamentoassiale dei punti della colonna. Il secondo modello , invece, di tipo discreto:lincognita la coppia di valori {u1,u2} che rappresentano gli spostamenti didue punti del modello. Si tratta di un modello a parametri concentrati, dove itermini di rigidezza k1 e k2 sono scelti in modo da riprodurre la deformabilitdella struttura di partenza.

evidente che, mentre la soluzione del modello continuo richiede la solu-

Figura 1.1: Un sistema meccanico reale (a); il suo modello continuo (b) e unmodello discreto(c).


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1.1 INTRODUZIONE 3

zione di unequazione differenziale con opportune condizioni al contorno (in

breve: un problema a valori al contorno), quella del modello discreto sar ot-tenuta attraverso un sistema di equazioni algebriche, i cui coefficienti sarannofunzione dei parametri del sistema.

Se si eccettuano i casi eccezionalmente semplici, la soluzione dei problemicontinui risulta impossibile. Daltro canto, tranne che in situazioni particolari,non ovvia la determinazione dei parametri concentrati da utilizzare in un mo-dello discreto. Come vedremo, tutti i metodi della Meccanica computazionalesono rivolti alla costruzione di procedimenti coerenti di discretizzazione, ciodi tecniche che consentono di trasformare un modello continuo in un modellodiscreto equivalente, la cui soluzione possa essere resa il pi possibile prossima

a quella continua (Figura 1.2).

Figura 1.2: Procedimenti di soluzione della modellazione meccanica: model-li discreti (a sinistra); modelli continui (a destra); discretizzazionedi modellicontinui

Esempio 1.1Si consideri una trave di materiale lineare elastico caratterizzato dal modulo diYoungE, avente lunghezzaL, con area della sezione retta variabile linearmentecon la legge A(x) = A0(1+ x/L). Supponendo che lunica sollecitazione agentesia lo sforzo normale costante N = F, doveF una forza assegnata, si valutilallungamento della trave.

Seguendo il procedimento suggerito dalla Figura 1.1, si pu pensare allastruttura come se fosse formata da una serie din aste di lunghezzaLi = L/n,ciascuna caratterizzata da unopportuna sezione Ai, costante lungo lasta i,


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la cui rigidezza sia pertanto ki = E Ai/Li. Il collegamento in serie delle aste

fornisce la rigidezza complessivaksecondo la relazione:

1

k=

ni=1

1

ki.

Per la valutazione dellareaAi di ciascunasta, una scelta possibile (anche senon lunica) calcolarla nel punto medio: xi=

Ln

(i1/2), per cui

Ai=A(xi)=A0

1+

1

n

i

1

2

.

Lallungamento cercato risulter infine:

U=F

k=

F L

E A0

ni=1

1

n+ i 12.

La sommatoria=n

i=11

n+i 12si pu quindi interpretare come un termine che,

al crescere del numero di suddivisionin, tende al valore corretto per una varia-zione continua della sezione. Nella Figura 1.3 riportato landamento di talecoefficiente. La soluzione esatta, che si pu determinare risolvendo un proble-ma continuo, log2 = 0,693147 (lasintoto orizzontale in figura); il valore di

calcolato pern= 100 pari a0,693144.

10 20 30 40

n

0.67

0.675

0.68

0.685

0.69

!

Figura 1.3: Rigidezza asintotica della trave a sezione variabile (Esempio 1.1).


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1.2 FORMULAZIONE DIRETTA 5

1.2 Formulazione diretta

Per iniziare la trattazione delle tecniche di modellazione matematica dei pro-blemi di meccanica computazionale conveniente affrontare in primo luogola classe dei modelli discreti. Gran parte dei concetti meccanici qui utilizzatisono ben noti, e quindi ci si pu concentrare sugli aspetti inerenti pi stret-tamente la procedura di soluzione di problemi anche complessi, in vista dellaloro successiva applicazione allinterno delle tecniche di discretizzazione deimodelli continui che verranno affrontate in seguito. In un modello discreto diun problema fisico:

lo stato del sistema pu essere descrittodirettamente con precisione ade-guata dai valori assunti da un numero finito di variabili di stato;

le variabili di stato possono essere grandezze fisiche scalari(es: tempera-tura, pressione) o vettoriali(es: velocit, spostamento);

la soluzione numerica consiste in un elencodei valori assunti dalle varia-bili di stato nella situazione definita dai dati del problema.

Supponiamo di dover approntare un modello discreto atto a rappresentare larisposta meccanica di un dato sistema. I passi attraverso i quali si snoda lana-lisi sono, in linea di massima, i seguenti:

Schematizzazione il sistema meccanico viene rappresentato da un insieme dielementi.

Equilibrio si esprime lequilibrio di ogni elemento in termini delle variabili distato.

Assemblaggio si tiene conto delle mutue connessioni fra elementi per scrivereun sistema di equazioni aventi come incognite le variabili di stato, i cuitermini noti siano le azioni imposte.

Calcolo della risposta si risolve il sistema di equazioni determinando i valoridelle variabili di stato.

Nellesempio successivo la procedura qui indicata viene dettagliatamentesviluppata in tutti i suoi passaggi.

Esempio 1.2

Lanalisi di un sistema meccanico ha portato alla schematizzazione illustratanella Figura 1.4(a). Gli elementi elastici (molle) presentano un comportamento


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lineare descritto nella Figura 1.4(b), caratterizzato dalla rigidezzake,e= 1,...5.

Le molle sono connesse a tre carrelli: elementi verticali rigidi, appoggiati alsuolo mediante incastri scorrevoli. Fa eccezione la molla1, che ha un estremofisso.

La configurazione delsistema completamente individuata dalla terna (vet-tore) {U1,U2,U3}T che raccoglie gli spostamenti dei carrelli, considerati positiviverso destra. Ciascuno dei carrelli soggetto a una forza, anchessa positivaverso destra: tali forze si raccolgono nel vettore{R1,R2,R3}T.

Indicando conF(e)i

la forza agente nella mollaein corrispondenza al carrel-loi, per lequilibrio di ciascuna molla si avr:

k1U1 = F

(1)

1 ,k2 k2k2 k2

U1U2

=

F(2)1F(2)2

,

k3 k3k3 k3

U1U2

=

F(3)1F(3)2

,

k4 k4k4 k4

U1U3

=

F(4)1F(4)3

,

k5 k5k5 k5

U2U3

=

F(5)2F(5)3

.

Lassemblaggio si ottiene espandendo le equazioni matriciali di equilibrioalla dimensione propria del vettore delle incognite (in questo caso 3), aggiun-gendo zeri nei posti opportuni delle varie matrici e imponendo che ciascu-no dei carrelli risulti in equilibrio con le forze applicate (notare che le forzeF(e)

i sono considerate come applicate alle molle, quindi lazione sui carrelli vacambiata di segno), perci:

F(1)1 +F(2)1 +F

(3)1 +F

(4)1 =R1, (1.1a)

F(2)2 +F(3)2 +F

(5)2 = R2, (1.1b)

F(4)3 +F(5)3 =R3. (1.1c)

Figura 1.4: Sistema discreto a tre gradi di libert (a); legge di comportamento diuna molla (b) (Esempio 1.2).


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1.2 FORMULAZIONE DIRETTA 7

La relazione valida per la molla1 si pu scrivere quindi nella forma matri-

ciale: k1 0 00 0 0

0 0 0

U1U2

U3

=

F

(1)100

.

Analogamente si procede per le altre molle:

k2 k2 0k2 k2 0

0 0 0

U1U2

U3

=

F(2)1F(2)2

0

,

k3 k3 0k3 k3 0

0 0 0

U1U2

U3

=

F(3)1F(3)2

0

,

k4 0 k40 0 0k4 0 k4

U1U2

U3

=

F(4)10F(4)3

,0 0 00 k5 k5

0 k5 k5

U1U2

U3

=

0F(5)2F(5)3

.

Sostituendo queste relazioni nelleq.(1.1), si ottiene lequazione di equilibrioglobale della struttura.

k1+k2+k3+k4 (k2+k3) k4(k2+k3) k2+k3+k5 k5

k4 k5 k4+k5

U1U2

U3

=

R1R2

R3

,

ovvero, in forma matriciale,

KU=R,

dove si posto UT = [U1 U2 U3], RT = [R1 R2 R3], e la matrice di rigidezzaglobale risulta:

K=

k1+k2+k3+k4 (k2+k3) k4(k2+k3) k2+k3+k5 k5

k4 k5 k4+k5

.

La soluzione, in termini del vettore spostamento, data formalmente dalle-spressione:

U=K1R .

Si noti che risulta det K= k1[k4k5 + k2(k4 + k5)+ k3(k4 + k5)]. Leventualeannullarsi del determinante, come noto, comporta linesistenza della inversaK1 e la perdita dellunicit della soluzione: in tale caso lequilibrio possibilesolo per determinate configurazioni di carico (v. lEsercizio 1.2).


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Lapproccio alla soluzione qui illustrato detto metodo degli spostamenti,

in quanto lincognita primaria del problema lo spostamento di alcuni puntidella struttura. Naturalmente, dopo aver determinato gli spostamenti, imme-diato ricavare le sollecitazioni negli elementi strutturali.

Esempio 1.3

Riprendendo la soluzione del sistema discusso nellEsempio 1.2, supponendoora di aver determinato il vettore degli spostamenti incognitiU = {U1 U2 U3}T,si pu osservare che, ad esempio, per la molla2, la sollecitazione data dallosforzo

N2 =F(2)1 = k2U1k2U2

e, procedendo allo stesso modo per le altre molle si possono determinare tuttigli sforzi.

Uno dei campi di applicazione pi comuni del metodo degli spostamenti la soluzione dei telai piani.1 Si tratta di strutture contenute e caricate in unpiano, composte da travi generalmente ad asse rettilineo, connesse fra loro e alsuolo mediante incastri o cerniere. In questo caso fra le incognite del proble-ma figurano, oltre che gli spostamenti propriamente detti, anche le rotazionidei nodi di incastro interno. Il procedimento di soluzione del tutto simile aquanto descritto nellesempio precedente, con lavvertenza di considerare cor-rettamente lorientamento delle singole travi nella scrittura dellequilibrio delleforze ai nodi.

1.3 Formulazione variazionale

Come noto, lesistenza di un potenziale elastico comporta, per un sistemameccanico, la possibilit di ricercare la soluzione come configurazione asso-ciata a un minimo dellenergia potenziale totale del sistema. Pi in generale,si dimostra che possibile scrivere unespressione, detta funzionale, che asso-

cia ad ogni configurazione del sistema un numero reale, il quale deve risultarestazionario(cio presentare un minimo, un massimo o un punto di sella) incorrispondenza alla soluzione del problema. In base a questa propriet pos-sibile, come vedremo, ricavare le equazioni di equilibrio del modello anche incasi in cui risulti difficile individuarle direttamente.

In particolare, per un dato sistema, assegnato uno spazio vettoriale V (perdefinizioni e propriet si veda lAppendice A) i cui elementi (vettori) individui-

1Si veda ad es. la trattazione contenuta in A. Carpinteri, Scienza delle Costruzioni, Vol. 2,Pitagora Editrice, Bologna, 2a ed., 1993, cap. 14.


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1.3 FORMULAZIONE VARIAZIONALE 9

no le possibili configurazioni del sistema medesimo, un funzionale unappli-

cazione lineare che associa a ciascuna configurazione un numero reale

: VR . (1.2)

Nei casi discreti qui presentati, lo spazio V a dimensione finita, cio unaconfigurazione qualsiasi individuata da una ennupla di valori (le variabili distato); pi in generale, nei casi continui che vedremo in seguito, gli elementi ditale spazio possono esserefunzionidefinite su un certo dominio, ma gran partedei concetti qui anticipati continueranno a valere.

In ogni caso, le equazioni di equilibrio di un dato sistema si ottengono scri-vendo le condizioni di estremoper il funzionale. Supponendo che la configura-

zione del sistema sia individuata da ngrandezze Ui, i= 1,...,n, con il linguag-gio del calcolo delle variazionisi dir che tali condizioni di estremo si raggiun-gono qualora risulti nulla la variazione primadel funzionale, cio qualora:

= 0 . (1.3)

Con il simbolo , si intende un nuovo funzionale, che si ottiene quandoalle variabili indipendenti Ui vengano imposte certe variazioni arbitrarieUi.Le variazioni arbitrarie Ui hanno come sola condizione quella di rispettare ivincoli, cio devono essere nulle nel caso in cui la corrispondente variabile Uiabbia un valore imposto. La relazione che lega la variazione del funzionale alle variazioni arbitrarie Ui data da

=

U1U1+ +

UnUn , (1.4)

per cui la condizione di estremo (1.3), espressa in funzione delle variazioniarbitrarie delle variabili indipendenti si pu scrivere

U1U1+ +

UnUn= 0 . (1.5)

Il concetto fondamentale da ricordare cheleq.(1.4) deve valere comunquesi scelgano le variazioni Ui, sempre nel rispetto dei vincoli. In base a questaidea, prendendo ad es. U1 = 1 e Ui = 0, i= 1 si ricava necessariamente

U1= 0 . (1.6)

Daltra parte il ragionamento si pu riproporre per qualsiasi delle Ui, ottenen-do le nequazioni

Ui= 0, i= 1,n, (1.7)


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che sono precisamente le equazioni di equilibrio cercate.

Gli esempi seguenti applicano e mettono a fuoco questi concetti con riferi-mento a casi a uno o pi gradi di libert.

Esempio 1.4

Consideriamo il sistema a un grado di libert illustrato nella Figura 1.5 (a) sup-ponendo di non conoscere lequazione di equilibrio della molla soggetta allal-lungamentoU, ma anzi di voler determinarla a partire da una formulazionevariazionale.

Quando allestremo della molla viene imposto lo spostamentoU, il caricocompie il lavoroV= PU, mentre la molla accumula lenergia di deformazioneU= kU2/2; i grafici di queste funzioni sono riportati in Figura 1.5 (b).

Per definizione, il potenziale totale la differenza

=UV .

In funzione diU, quindi (Figura 1.5 (c)):

=1

2kU2PU .

Imponendo la condizione di stazionariet (1.4), si ha:

=

UU= 0 (1.8)

e quindi(kUP)U= 0 . (1.9)

PoichU arbitraria, affinch sia soddisfatta la condizione di estremo in ognicaso (anche perU= 0) deve risultare

kUP= 0

che lequazione di equilibrio cercata. Si noti poi (v. Figura 1.5 (c)) che rag-giunge il minimo in corrispondenza della configurazione equilibrata, cio perU = P/k.

Esempio 1.5

Determiniamoper il sistema dellEsempio 1.2, derivando le equazioni di equi-librio per via variazionale.


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1.3 FORMULAZIONE VARIAZIONALE 11

Figura 1.5: Sistema a un grado di libert (a); potenziale elastico U, potenzialedei carichi V (b); potenziale totale (c). (Esempio 1.4).

Il procedimento del tutto analogo a quello del caso monodimensiona-

le dellesempio precedente, con la sola differenza data dal carattere vettorialedelle variabili. Il potenziale dei carichi si pu scrivere infatti

V=UTR .

Lenergia di deformazione data da

U=1

2UTKU

e quindi il potenziale totale, =UV risulta

=

1

2UT

KUUT

R .

La condizione di stazionariet in forma vettoriale si pu quindi scrivere:

= UT

U= 0

e le equazioni di equilibrio, stante larbitrariet del vettoreU si possono otte-nere esplicitando le condizioni

U= 0 .


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molto interessante notare che lenergia elastica si pu esprimere come

somma dei contributi relativi a ciascuna molla, nel caso in esameU = U1 +U2+U3+U4+U5, dove

U1 =1

2k1U

21

U2 =1

2k2(U2U1)

2

U3 =1

2k3(U2U1)

2

U4 =1

2k4(U3U1)

2

U5 = 12k5(U3U2)2

Esplicitando lespressione di in funzione delleUi, immediato ottenerele equazioni di equilibrio(/Ui)= 0,i= 1,...5:

=1

2k1U

21 +

1

2k2(U2U1)

2+

1

2k3(U2U1)

2+

1

2k4(U3U1)

2+

1

2k5(U3U2)

2R1U1R2U2R3U3

Ad esempio, la prima equazione data da

k1U1k2(U2U1)k3(U2U1)k4(U3U1)R1 = 0 ,

ovvero(k1+k2+k3+k4)U1 (k2+k3)U2k4U3R1 = 0 .

Procedendo analogamente per le altre due variabili si perviene allequazionematriciale di equilibrio del sistemaKU= R.

1.4 Sistemi dinamici

Nel contesto dei sistemi discreti, meritano un cenno i problemi dinamici. Essisi differenziano dai problemi statici per la presenza delleforze dinerzia, legate,come noto, allaccelerazione delle masse tramite la seconda legge di NEWTON:F=ma.

In tutti quei casi in cui la presenza delle forze dinerzia risulti rilevante (cari-chi variabili velocemente nel tempo, urti, eccitazione sismica ecc.) necessarioconsiderare fra le azioni anche il loro contributo. Seguendo il principio diDA-LEMBERT, occorre considerare, oltre ai carichi statici, anche i termini inerzialiproporzionali alla massa, come evidenziato nellesempio seguente.


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1.4 SISTEMI DINAMICI 13

Esempio 1.6Consideriamo il sistema dellEsempio 1.2 in condizioni dinamiche: i carrellisono dotati di massam1,m2,m3 e i carichi sono applicati secondo una leggetemporale assegnata (Figura 1.6).

Figura 1.6: Sistema dinamico a tre gradi di libert (a); andamento dei carichi Riin funzione del tempo (b). (Esempio 1.6).

Le equazioni di equilbrio (1.1) diventano, in questo caso equazioni diffe-renziali

F(1)1 +F(2)1 +F

(3)1 +F

(4)1 = R1(t)m1U1 , (1.10a)

F(2)2 +F(3)2 +F

(5)2 =R2(t)m2U2 , (1.10b)

F(4)3 +F(5)3 = R3(t)m3U3 , (1.10c)

dove conUi si indica la derivata seconda, fatta rispetto al tempo, dello spo-stamento del carrello i e con la scritturaRi(t) si rende esplicita la dipenden-za dal tempo dei carichi assegnati. Di conseguenza, anche tutte le grandezzeincognite (Ui eF

(e)i

) sono da intendersi funzioni del tempot.Introducendo lamatrice di massa

M=m1 0 00 m2 0

0 0 m3

,

le equazioni (1.10) si possono scrivere in forma compatta come

MU+KU= R(t)

dove si introdotto anche il vettore delle accelerazioniU= [U1 U2 U3]T.


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1.5 Verso la discretizzazione: un problema modello

Consideriamo, come esempio atto a introdurre largomento dei metodi di cal-colo pi usati nellambito della meccanica computazionale, una struttura tantosemplice quanto familiare: la trave ad asse rettilineo caricata assialmente.

Obiettivo dei problemi che incontreremo nel seguito sar la determinazio-ne del cosiddetto campo di spostamento, in generale a valori vettoriali, ma inquesto caso particolare, nel quale sono possibili solo spostamenti nella dire-zione dellasse della trave, Ox , la soluzione deve portare alla determinazionedella funzione scalare u(x).

Supponiamo quindi di voler determinare il campo di spostamento per una

trave di lunghezza unitaria, soggetta a un carico distribuito p(x), al cui estre-mo sinistro (x= 0) applicata la forza F, mentre allestremo destro (x= 1) imposto lo spostamento U (Figura 1.7).

Detto N(x) lo sforzo normaleagente nella sezione posta allascissa x, e indi-cata con p(x) la densit di forza per unit di lunghezza, lequazione indefinitadequilibrio data da

dN

dx+p(x)= 0 . (1.11)

Dalla teoria tecnica della trave, che generalizza i risultati relativi al solido di deSaint-Venant, ricordiamo che, detta Ala sezione trasversale della trave, lo statotensionale completamente definito dalla tensione normale

xx(x)=N(x)

A(1.12)

alla quale corrisponde la deformazione longitudinale

xx(x)=xx(x)

E, (1.13)

dove E il modulo di Young.

Figura 1.7: Schema del problema monodimensionale.


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1.5 VERSO LA DISCRETIZZAZIONE: UN PROBLEMA MODELLO 15

La deformazione longitudinale, inoltre, pu essere legata allo spostamento

utramite la definizionexx(x)=

du

dx. (1.14)

Esprimendo dapprima la tensione xx in funzione dello spostamento, me-diante le equazioni (1.13) e (1.14), sostituendola poi nella (1.12), si ottiene:

N(x)=E Adu

dx. (1.15)

Sostituendo questa espressione nellequazione di equilibrio (1.11) si ricava une-quazione differenziale per lincognita u:

d2u

dx2+

p(x)

E A= 0 . (1.16)

Lequazione differenziale (1.16) stabilisce la relazione che deve sussisteretra la funzione nota p(x), cio il carico applicato, e la funzione incognita u(x).Questa relazione coinvolge la derivata seconda di u, quindi unequazione delsecondo ordine. Si noti che necessario che la funzione u(x), ancora incogni-ta, risulti derivabile con continuit almeno due volte, in modo che tale derivataesista; altres necessario che la funzione p(x), che costituisce insieme ai pa-rametri E,A i datidi questo problema, sia continua. Sono dunque escluse dal

campo di validit dellequazione (1.16) situazioni con dati irregolari, quali, adesempio, quelle costituite da distribuzioni di carico p(x) che presentino salti(discontinuit di prima specie finite).2

Osserviamo ora le condizioni agli estremi. Mentre allestremo destro ri-chiesto allo spostamento di assumere un dato valore, cio u(1) = U, la condi-zione imposta allestremo sinistro un po pi complicata. Infatti, si richiedeche la forza applicata sulla base del solido sia pari a un valore assegnato F.3 Oc-corre dunque esprimere tale condizione in termini legati allincognita u(x). Cinon difficile ricordando ancora lequazione (1.15) e notando che N(0) = F,quindi si ottiene:

dudx

x=0

= FE A

. (1.17)

A questo punto possiamo cercare la soluzione imponendo che essa rispet-ti anche le condizioni agli estremi destro e sinistro: la funzione incognita u(x)

2Analogamente, una versione generalizzata del problema che ammettesse modulo di Youngvariabile non potrebbe comprendere, per lo stesso motivo, ad es. situazioni con due materialiaventi moduli E1 ed E2 diversi fra loro.

3Vedremo in seguito che le condizioni imposte allo spostamento si dicono condizioniessenziali, mentre quelle imposte alla sua derivata si chiamano condizioni naturali.


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dovr quindi soddisfare contemporaneamente lequazione di campoe le con-

dizioni al contorno:

d2u

dx2+

p(x)

E A= 0, 0< x< 1 ,

du

dx

x=0

=F

E A,

u|x=1 =U .

(1.18)

Il procedimento di soluzione passa attraverso lintegrazione dellequazione dif-ferenziale, che comporta la comparsa delle costanti dintegrazione. Queste ul-time dovranno essere determinate in modo da rispettare tutte le condizioni al

contorno imposte alla soluzione.Nel semplice caso in esame possibile ottenere il risultato in forma chiusa

per una vasta classe di forme di carico p(x) (Esempio 1.7), ma in generale nonsempre si pu determinare analiticamente la funzione incognita u(x), anche setale soluzione esiste. In questi casi si deve ricorrere a metodi di approssimazio-nedi tipo numerico, che permettono di ottenere soluzioni che, pur non essen-do quella esatta, si possono considerare vicine ad essa, a meno di un errore chepu essere reso sufficientemente piccolo.

Esempio 1.7Un pilastro di materiale isotropo lineare elastico con modulo di YoungE, aven-te altezzaH e sezione costante A incastrato alla base. Il carico consiste nelpeso per unit di volume e in una forza verticale di compressioneF applicataallestremo superiore (Figura 1.8). Determinare il campo di spostamentou(x).

Per ricondurre il problema a quello descritto nel testo, occorre esprimerela forza assiale per unit di lunghezzap(x) in funzione del peso volumico.Considerando un concio di lunghezzadx, deve risultarep(x)dx= Adx, dacuip(x)=A.

La condizione di vincolo impone spostamento nullo perx= 0; il carico ap-

plicato allestremo superiore impone il valore della deformazione perx= H. Ilproblema differenziale da risolvere quindi il seguente:

Determinare la funzioneu(x)C2[0, H] tale che:

d2u

dx2

E= 0, 0< x< H ,

du

dx

x=H

=F

E A,

u|x=0 = 0 .


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Figura 1.8: Schema del problema monodimensionale.

Integrando due volte lequazione differenziale si ottiene:

u

2Ex2+C1x+C2 = 0 .

Dalla condizione essenziale u|x=0 si ottiene immediatamenteC2 = 0. Impo-nendo la condizione naturale allestremo superiore, perx= H si ricava

C1 =AH+F

E A.

Sostituendo le costanti cos determinate, si ottiene la funzione cercata:

u(x)=x

E

H

1

2

x

H1

F

A

. (1.19)

Si noti che, successivamente, possibile ricavare lo stato di sollecitazione nelpilastro, ricordando leq.(1.15), per cui:

N(x)=FA(Hx)

e, ad esempio, lo sforzo normale alla base si ricava ponendox= 0, ottenendo

N(0)=FAH ,

somma dei contributi del carico esterno e del peso proprio del pilastro.


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Nel caso in cui non sia possibile la soluzione in forma chiusa del problema

differenziale necessario ricorrere a una procedura di tipo numerico tramitela quale le equazioni vengono discretizzate. A questo fine, si pu cercare diapprossimare gli operatori di derivata prima e seconda mediante incrementifiniti. Si considerino gli sviluppi in serie di TAYLOR della funzione spostamentou(x), arrestati al secondo ordine, nellintorno di un punto xi:

u(xi+1)= u(xi)+du

dx

x=xi

(xi+1xi)+1

2

d2u

dx2

x=xi

(xi+1xi)2 (1.20)

u(xi1)= u(xi)+du

dx

x=xi

(xi1xi)+1

2

d2u

dx2

x=xi

(xi1xi)2 (1.21)

I punti xi1 = xix e xi+1 = xi+x si scelgono entrambi distanti da xi dellastessa quantit x, pensata sufficientemente piccola.

Sottraendo leq. (1.21) dalleq. (1.20) e sommando le due equazioni si otten-gono rispettivamente le espressioni

u(xi+1)u(xi1)=2du

dx

x=xi

x , (1.22)

u(xi+1)+u(xi1)=2u(xi)+d2u

dx2

x=xi

x2 , (1.23)

dalle quali si possono ricavare le espressioni approssimate delle derivate primae seconda, dette differenze finite:

du

dx

x=xi

=u(xi+1)u(xi1)

2x, (1.24)

d2u

dx2

x=xi

=u(xi+1)2u(xi)+u(xi1)

x2. (1.25)

Mediante le espressioni delle differenze finite, unequazione differenzialeviene discretizzata, scrivendo un insieme di equazioni algebriche la cui solu-zione pu essere ottenuta in modo da soddisfare anche le condizioni al contor-no.

Consideriamo a questo scopo il problema (1.18). Lequazione differenzialeviene sostituita dalla opportuna espressione alle differenze finite, scritta in ungenerico punto xi del dominio:

u(xi+1)2u(xi)+u(xi1)

x2+

p(xi)

E A= 0 . (1.26)

Scrivendo lespressione precedente per n+ 2 punti, tenendo conto delledue condizioni al contorno, si possono ricavare n valori approssimati dellospostamento cercato, come illustrato nellesempio seguente.


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Esempio 1.8Risolvere con il metodo delle differenze finite il problema dellEsempio 1.7.

Consideriamo unapprossimazionedella soluzione mediante sei puntiequi-distanti (con passox= 1/5) di ascissa compresa tra0 e1. A questi aggiun-giamo due ulteriori punti esterni allintervallo rispettivamente a x = x ex= 1+x, i quali serviranno a imporre le condizioni al contorno. Linsiemedi punti viene cos a consistere di8 punti, dax1 ax8.

Ricorrendo alleq. (1.26), si possono scrivere le espressioni seguenti:

u1+2u2u3x2

=p

E A,

u2+2u3u4x2

=p

E A,

u3+2u4u5x2

=p

E A,

u4+2u5u6x2

=p

E A,

u5+2u6u7x2

=p

E A,

u6+2u7u8x2

=p

E A.

La condizione al contorno essenziale, perx= 0, viene imposta molto semplice-mente ponendo:

u2 = 0 .

La condizione naturale, che impone il valore della forza allestremo superiore,si esprime mediante lapprossimazione della derivata prima:

u6+u8

2x=

F

E A.

Tutte queste equazioni costituiscono un sistema lineare che viene conve-nientemente espresso nella forma matriciale seguente, dove si postox=

1/5:

0 1 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 00 1 2 1 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 00 0 0 1 2 1 0 00 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 1 0 1

u1u2u3u4u5u6u7u8

=p

25E A

0111111

10F/p

. (1.27)


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Nella Figura 1.9 sono diagrammati i valori degli spostamentiui, i= 1,8 ot-

tenuti dalla soluzione del sistema ponendo, per semplicit, p/E A= /E= 1eF = 0. Nello stesso diagramma, con la linea continua, anche riportata lafunzioneu(x) ottenuta dalla soluzione analitica ricavata nellesempio 1.7 (eq.(1.19)), che mostra la coincidenza fra i risultati.

Non difficile comprendere il motivo di una cos sorprendente efficaciadel metodo numerico nel caso particolare qui esaminato se si osserva che lasoluzione esatta un polinomio di secondo grado, per il quale le espressio-ni delle derivate (1.24), (1.25) sono esatte, anzich, come nel caso generale,approssimate.

Figura 1.9: Confronto tra la soluzione discreta (punti) e quella in forma chiusa(linea continua) per il problema dellEsempio 1.8.

Esercizi

1.1. Determinare, per il modello illustrato nellEsempio 1.2, la soluzione che si

ottiene supponendo tutte le molle caratterizzate dalla rigidezza k. [U1 =(R1+R2+R3)/k,U2 =(5R1+7R2+6R3)/5k,U3 =(5R1+6R2+8R3)/5k].

1.2. Analizzare il modello illustrato nellEsempio 1.2 nel caso in cui venga sop-pressa la molla 1 (si ponga ad esempio k1 = 0). possibile la soluzione? Ses, sotto quali condizioni? Discutere le diverse possibilit con riferimento allecaratteristiche della matrice di rigidezza globale.

1.3. Diagrammare landamento dello spostamento e della tensione normale inun pilastro di conglomerato cementizio, sezione di 1000cm2 e altezza di 10 m,


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caricato in testa da una forza di compressione pari a 100 kN. Si assuma, per

il conglomerato, un modulo di Young pari a 25GPa e un peso di volume di24kN/m3.

1.4. Generalizzare il problema illustrato nel testo per studiare il caso di un pila-stro a sezione A(x) variabile con continuit. Ripetere lesercizio 1.3 supponen-do che la sezione quadrata abbia il lato variabile linearmente con laltezza chevada dai 50cm, alla base, ai 20cm in sommit.

1.5. Adottando la formulazione ricavata nellesercizio 1.4, ricavare la legge divariazione della sezione con laltezza, A(x), tale da indurre nella struttura unatensione xx costante per tutte le sezioni. Supponendo poi una sezione cir-

colare di raggio r, diagrammare landamento r(x) del raggio nel caso di caricoesterno F= 0.

1.6. Risolvere il problema presentato nellesercizio 1.3 mediante una discretiz-zazione alle differenze finite, osservando linfluenza del numero di punti im-piegati sulla soluzione, confrontando i risultati ottenuti con la soluzione anali-tica.


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Capitolo 2

Formulazione dei problemi della

fisica-matematica

2.1 Introduzione

In questo capitolo si richiamano i principali concetti relativi alla definizione dialcuni classici problemi matematici, ai quali vengono spesso ricondotti i mo-delli di numerosi sistemi fisici di grande interesse. Ove possibile si far rife-rimento a problemi meccanici, ma si tenga presente che, poich la generalit

dellapproccio in larga misura indipendente dal particolare sistema fisico og-getto di studio, gran parte delle considerazioni svolte risulteranno applicabili atutti i problemi trattati.

Diversamente dal caso dei modelli discreti a cui si fatto cenno nel Ca-pitolo 1, per i quali possibile unimmediata soluzione in termini di ennupledi valori rappresentanti la variabile incognita in alcuni punti, affronteremo inquesto capitolo i cosiddetti modelli continui. In questo caso le variabili di sta-to costituiscono dei campi, cio variano in genere con continuit nel dominioesaminato. Le variabili di stato possono essere scalari(ad es. la temperatura ola pressione di un fluido), o vettori (ad es. la velocit o lo spostamento).

Nella ricerca di una formulazione adeguata di un certo modello, si devonocostruire, di solito, equazioni differenziali alle derivate parzialiche definisconoil bilancio di certe quantit su elementi infinitesimi, le quali forniscono le con-dizioni che la soluzione deve soddisfare in ogni puntodella regione dello spazioin cui si definisce il problema. Normalmente, le condizioni di bilancio non so-no sufficienti a consentire, da sole, la formulazione del problema. pertantonecessario stabilire relazioni locali (valide in ciascun punto) fra i diversi campiin gioco, tramite le cosiddette relazioni costitutive, il cui classico prototipo illegame fra tensioni e deformazioni, ad esempio di tipo elastico.

22


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2.2 CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DEL SECONDO ORDINE 23

Come noto, per, la scrittura delle equazioni differenziali di un certo mo-

dello non sufficiente per ottenere una soluzione. Il problema deve esserecompletato dalle condizioni al contornoe, nel caso di problemi dipendenti daltempo, dalle condizioni iniziali.

2.2 Classificazione delle equazioni del secondo or-

dine

Al fine di introdurre una nomenclatura che consenta di delimitare accurata-mente lambito dei problemi oggetto di studio, utile procedere dapprima alla

loro classificazione. Al di l della semplice distinzione formale, come vedre-mo, questa classificazione consente di distinguere molto nettamente fra classidi modelli atte a descrivere fenomeni fisici fra loro molto differenti.

Una prima sostanziale divisione separa la classe delle equazioni linearidaquellegenericamente dette non lineari. Unequazione alle derivate parziali nel-la variabile usi dice lineare se si pu scrivere come combinazione lineare dellafunzione u e delle sue derivate, mediante coefficienti che siano indipendentida u.

Esempio 2.1

2u

x2+2

2u

xy+2u

y2+u

yu+ex+y= 0

unequazione linearea coefficienti costanti.

cos(x y)2u

x2+2x2

2u

xy+2u

y2+u

yu= 0

unequazione linearea coefficienti variabili.

2u

x2+2x2

2u

xy

+2u

y2

2

= 0

unequazione non lineare.

Le equazioni lineari godono di propriet che ne rendono la soluzione pisemplice rispetto alle equazioni non lineari. Per esse spesso possibile de-terminare la soluzione analitica, in forma chiusa, per lo meno per casi parti-colari di dominio e di dati. In genere, le equazioni non lineari non possonoessere risolte analiticamente e lapproccio numerico , in tali casi, una sceltaobbligata.


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24 2 I PROBLEMI DELLA FISICA-MATEMATICA

Unaltra classificazione molto importante consente di distinguere le equa-

zioni differenziali a seconda del tipo, evidenziandone nettamente le particola-rit che le rendono adatte a modellare certe classi di sistemi fisici, che possonoessere descritti da modelli matematici fra loro molto simili.

Consideriamo a questo fine il caso particolare, per quanto molto importan-te, delle equazioni differenziali del secondo ordine. Ricordiamo che lordinediunequazione differenziale dato dal massimo grado di derivazione che com-pare nellequazione medesima. Per semplicit limitiamo, inoltre, lanalisi alcaso di un problema definito in una regione bidimensionale, nella quale siadefinito un sistema di riferimento cartesiano Ox y.

La pi generale equazione differenziale del secondo ordine nel dominio bi-

dimensionale, per un campo descritto dalla funzione u(x,y) si pu scriverenella forma:

A(x,y)2u

x2+2B(x,y)

2u

xy+C(x,y)

2u

y2=

x,y,u,

u

x,u

y

(2.1)

dove A,B,C, sono funzioni assegnate, cio note, dei loro argomenti.Si consideri ora la funzione B2AC, detta discriminante, in generale funzio-

ne delle coordinate (x,y): si danno tre casi, a seconda del segnodi tale funzione.In particolare lequazione differenziale (2.1) si dir

di tipo ellitticose B2

AC 0.

Ciascun tipo di equazione individua una classe di problemi fra loro affiniin quanto al tipo di soluzione. Ciascuna classe pu essere rappresentata daun problema prototipo, che descrive ben noti problemi fisici. Ad esempio, iprototipi di equazione per i diversi tipi possono essere i seguenti:

per il tipo ellittico: lequazione diLAPLACE (es. filtrazione nei mezzi poro-

si, conduzione del calore in regime stazionario);

per il tipo parabolico: lequazione della diffusione(es. consolidazione deimezzi porosi saturi, propagazione del calore in regime non stazionario);

per il tipo ellittico: lequazione delle onde(es. trasmissione del suono neimezzi elastici, vibrazioni).

Lanalisi di alcuni esempi permette di considerare la formulazione di pro-blemi differenziali per i diversi tipi di equazioni lineari del secondo ordine.


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Esempio 2.2La filtrazione nei mezzi porosi governata da unequazione differenziale di ti-po ellittico. In questo esempio, dopo aver ottenuto lequazione differenzialeche governa il moto stazionario dellacqua nel terreno permeabile, si completail problema imponendo le opportune condizioni al contorno per la geometriaillustrata nella Figura 2.1(a), che schematizza la situazione del moto di filtra-zione al di sotto di una diga impermeabile in condizioni piane. La relazione traflusso e gradiente idraulico la legge di DARCY con permeabilit isotropak.

Lequazione di conservazione della massa dacqua che attraversa, in un da-to tempo, un elementoinfinitesimo di volume avente latidxedy(Figura 2.1(b)),

si scrive ( qyy qy

y+dy)dx ( qx

x qx

x+dx)dy= 0 , (2.2)

doveq = qxi+qyj il vettore flusso, ovvero la portata in volume attraverso unasuperficie di area unitaria.

Data la continuit di tutte le funzioni coinvolte, si esprimono i flussi uscentiattraverso i differenziali:

qx

x+dx= qx

x+ (qx/x)dx , (2.3a)

qyy+dy= qy

y+ (qy/y)dy . (2.3b)

e si introduce la relazione costitutiva (legge di Darcy) che lega il flusso al poten-

ziale:

qx=k(/x) , (2.4a)

qy=k(/y) . (2.4b)

Sostituendo le eq. (2.3) nelle(2.2) e tenendo conto delle eq. (2.4) si ottiene

2

x2+2

y2= 0 , (2.5)

che la classica equazione di Laplace, esprimibile anche attraversoloperatoredi Laplace:

2()= 2

()x2

+ 2

()y2

,

come

2= 0 .

immediatoverificare lellitticit dellequazione di Laplace osservandoche,per confronto con lespressione canonica(2.1) si haA= 1, B= 0, C= 1, quindiB2AC=1.

Passando ora alla definizione della condizioni al contorno, il problema neprevede di due tipi:


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Figura 2.1: Equazione di tipo ellittico (filtrazione): geometria del problema (a);conservazione della massa (b) (Esempio 2.2).

Essenziali, se definiscono il valore della funzione da determinare (in que-

sto caso il carico totale) Naturali, se definiscono il valore della derivata prima della funzione (il

flussoq)

Osservando lo schema della Figura 2.1(a), vediamo che si devono imporrecondizioni al contorno essenziali allinterfaccia fra acqua e terreno, alla basedei due serbatoi di monte e di valle, ove prescritto il carico idraulico, pariallaltezza del pelo libero:

y=L

=h1, per xb/2 ,

y=L=h2, perb/2 x .Lungo i bordi a contatto con zone impermeabili, cio alla base della diga

e sul piano del substrato roccioso, si devono imporre condizioni al contornonaturali; infatti, su tali linee, la componente del flusso perpendicolare al bordodeve essere nulla. Tale condizione si traduce, mediante la legge di Darcy, in unacondizione sulla derivata prima del potenziale:

qyy=0 =k(/y)

y=0 = 0 , per x ,

qyy=L

=k(/y)y=L

= 0 , perb/2 x b/2 .


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Per completare la definizione delle condizioni al contorno, consideriamo il

dominio di forma rettangolare allungata nella direzione dellasse x, con i lativerticali molto lontani dalla zona di interesse. unipotesi ragionevole consi-derare tali bordi impermeabili, ciche equivale a consentire lingresso e luscitadacqua nel sistema possa avvenire solo attraverso i due serbatoi di monte e divalle:

qx

x==k(/x)

x=

= 0, per0 xL,

qx

x==k(/x)

x=

= 0, per0 xL.

Esempio 2.3

Uno strato di argilla satura di spessore2H (Figura 2.2(a)) viene sottoposto im-provvisamente a un sovraccarico per unit di superficie pari ap; ci compor-ta una variazione nel tempo della pressione dellacqua nei pori, descritta tra-mite la teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi. Lequazio-ne differenziale che lega la sovrappressione interstiziale u alla posizione z eallistantet

cv2u

z2=u

t. (2.6)

Il confronto con lespressione canonica (2.1) permette di classificare leq. (2.6)fra le equazioni paraboliche. Infatti si haA= cv, B= 0, C= 0, quindiB2AC=0.

In questo caso abbiamo a che fare con un problema di evoluzione nel tem-po: oltre alle condizioni da imporre sul bordo del dominio, si devono preci-sare le condizioni iniziali del campo incognito u. Le condizioni al contorno,agli estremi dello strato, sono di tipo essenziale: la sovrappressione deve esserenulla:

u|z=0 = 0 ,

u|z=2H= 0 .

Le condizioni iniziali ipotizzano che, per tutti i punti appartenenti allo strato,allistante inizialet= 0 la sovrappressione assuma il valore del sovraccaricop:

u(z,0)= u0 .

Come noto, introducendo il tempo adimensionaleT= cvt/H2, la soluzio-ne del problema

u(z, t)=m=m=0

2u0M

senM z

HeM

2T , (2.7)


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Figura 2.2: Equazione di tipo parabolico (consolidazione): geometria delproblema (a); andamento della sovrappressione nel tempo (b) (Esempio 2.3).

dove si postoM= 2 (2m+1). Nella Figura 2.2(b) sono riportate alcune del-

le isocrone della soluzione, cio landamento della sovrappressioneu per da-ti istanti di tempo. Il processo porta, al crescere del tempo, alla progressi-va diminuzione della sovrappressione nello strato di argilla, ma la completadissipazione richiede, teoricamente, un tempo infinito.

Esempio 2.4

Consideriamo una barra elastica, vincolata a un estremo, avente lunghezzaLesezioneA, caratterizzata dalmodulodi YoungEedallamassavolumica (Figu-

ra 2.3). Supponendo che allestremo libero allistantet= 0 venga applicato uncaricoR0 mantenuto poi costante, necessario analizzare il comportamentodella struttura in campo dinamico.

Dettou lo spostamento assiale, se si considera lequilibrio di un concio in-finitesimo, di lunghezzadx occorre considerarne linerzia, proporzionale allamassadme allaccelerazione, per cui:

x|x A+ x|x+dx A= dm2u

t2,


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2.3 PROCEDIMENTI VARIAZIONALI 29

Figura 2.3: Equazione di tipo iperbolico (onde elastiche): geometria delproblema e andamento del carico nel tempo (Esempio 2.4).

ovvero, essendox|x+dx= x|x+ (x/x)dxedm= Adx:

x

x=

2u

t2,

quindi, ricordando chex=E(u/x), si ottiene lequazione differenziale

2u

x2=

E

2u

t2, (2.8)

tipica della propagazione delle onde; la grandezzac=

E dettacelerit edesprime la velocit di propagazione delle onde lungo lassedel solido. In questocaso il confronto con lespressione canonica(2.1) permette di classificare leq.

(2.8) fra le equazioni iperboliche. Infatti si ha A= 1, B= 0, C= /E, quindiB2AC=/E> 0.

Le condizioni al contorno sono le seguenti:

allestremo vincolato la condizione essenzialeu|x=0 = 0 ;

allestremo caricato la condizione naturaleE A(u/x)|x=L=R0 .

inoltre si devono imporre le condizioni iniziali di quiete nel dominio corrispon-denti a spostamenti e velocit nulla in tutti i punti

u|t=0 = 0 , per0< x< L,

u

x

t=0

= 0 , per0< x< L.

2.3 Procedimenti variazionali

In alternativa ai metodi differenziali, neiquali si parte dalla scrittura di equazio-ni di bilancio valide per elementi infinitesimi del continuo, gli stessi problemi


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possono essere affrontati, talvolta convenientemente, attraverso formulazioni

variazionali.Analogamente a quanto anticipato trattando i modelli discreti nel paragrafo

1.3, per seguire questa strada necessario scrivere lespressione di un funzio-nale (il potenziale) e quindi imporne la stazionariet rispetto alle variabili distato. Questa condotta risulta talvolta conveniente sia per la ricerca delle equa-zioni differenziali che governano un dato problema, sia per la definizione dellecondizioni al contorno naturali.

Come abbiamo gi detto, un funzionale unapplicazione lineareche asso-cia ad ogni elemento di uno spazio vettoriale V un numero reale, cio

: VR

. (2.9)Nel caso continuo, gli elementi dello spazio vettoriale V sono funzioni. Adesempio, pu essere larea sottesa dal grafico di una funzione f(x) continuasu un intervallo [a,b]:

=

ba

f(x)dx . (2.10)

Un esempio familiare di funzionale definito in ambito meccanico lener-gia potenziale totale della trave elastica caricata trasversalmente (Figura 2.4):ad ogni deformata elastica (elemento di V) associato un numero reale chemisura lenergia , differenza fra lenergia di deformazione elastica e il lavoro

compiuto dal carico a seguito della deformazione.Lapplicazione dei concetti variazionali ai modelli continui non che una

generalizzazione di quanto accennato a proposito della formulazione variazio-nale dei modelli discreti. In questo caso, rimanendo per semplicit nellambitodelle funzioni di una variabile, la variazione primadi una funzione v(x) V ,per definizione, la funzione

v(x)= (x) , (2.11)

Figura 2.4: Il potenziale totale per una trave caricata come esempio difunzionale lineare : VR.


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2.4 REGOLE DEL CALCOLO VARIAZIONALE 31

dove R un numero arbitrario, mentre (x) una funzione regolare, nul-

la nei punti ove la funzione v(x) soddisfa le condizioni essenziali. A titolo diesempio, nella Figura 2.5 sono illustrati i diversi termini per un caso ipotetico.

importante notare chev una nuova funzione della variabile x, che pos-siede le stesse doti di regolarit di v e pu perci essere derivata e integrata alpari di essa.

2.4 Regole del calcolo variazionale

utile riassumere qui alcune propriet utili nella successiva trattazione di pro-blemi con tecniche variazionali. Dato il carattere introduttivo, non si dar di-mostrazione di quanto asserito, rimandando il lettore interessato ai numerositesti disponibili.

Assumiamo che una funzione F, per un certo valore di x dipenda dallavariabile di stato v e delle sue derivate spaziali:

F

v,

dv

dx,

d2v

dx2, . . . ,

dpv

dxp

.

Si definisce variazione primadi F la funzione

F=F

v+

F

dv/dxdv

dx+ + F

dpv/dxpdpv

dxp

. (2.12)

La successione di operatore variazionale e operatore differenziale d, ri-spetto alle variabili indipendenti, si pu invertire:

dn

dxn=

dn(v)

dxn=

dnv

dxn

.

Figura 2.5: Variazione di una funzione di una variabile.


36/129


Loperatore gode delle stesse propriet della derivata, ad esempio:

(F+Q)=F+Q ,

(FQ)= (F)Q+F(Q) ,

(Fn)=n(Fn1)F .

Inoltre, loperatore passa sotto il segno di integrale (e viceversa):

F(x)dx=

F(x)dx .

Nellesempio seguente vedremo lapplicazione di queste tecniche a un pro-

blema meccanico, mostrando come, attraverso un procedimento variazionalesi possa arrivare alla scrittura delle equazioni differenziali che lo governano edelle condizioni al contorno naturali.

Esempio 2.5

Scrivere il potenziale totale per la struttura schematizzata in Figura 2.6 e ricava-re, mediante la formulazione variazionale, lequazione differenziale del proble-ma (cio lequazione della linea elastica) e le condizioni al contorno naturali.

Figura 2.6: Formulazione variazionale per una trave (Esempio 2.5).

Affrontando il problema in termini di spostamento, scegliamo, in prima ap-prossimazione, di trascurare la deformazione assiale della trave, supponendo-la ininfluente rispetto agli effetti legati alla flessione. La variabile di stato sarquindi la componente di spostamento trasversale allassew(x).

In modo analogo a quanto visto precedentemente, occorre dapprima for-mulare lespressione del potenziale totale per il sistema, che in questo caso sipu scrivere

=UT+UMVP ,


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ove sono individuati rispettivamente lenergia di deformazione della trave,UT,

lenergia di deformazione della molla, UM, lenergia potenziale del carico ap-plicatoVP. Calcoliamo ora i tre contributi, in funzione dello spostamentow.

Energia di deformazione della trave. Considerando un tronco infinitesimo, aven-te lunghezza infinitesimadx, della trave: detti rispettivamente M e ilmomento flettente e la curvatura, il teorema di CLAPEYRON permette discrivere il corrispondente lavoro di deformazione1

dL=1

2Mdx ,

quindi, ricordando che momento e curvatura sono legati dalla relazio-ne M = E I e, inoltre, che nellipotesi di piccoli spostamenti e piccolerotazioni= (2w/x2), si ha

dL=1

2E I

d2w

dx2

2dx .

Infine, integrando lungo tutta la lunghezza della trave lenergia elasticarisulter

UT =1

2

L

0

E Id2w

dx2

2

dx .

Energia di deformazione della molla. Dipende in maniera quadratica dallal-lungamento secondo lespressione (v. lEsempio 1.4 del Capitolo 1):

UM=1

2kw2L ,

dove si indicato conwL= w|x=L lo spostamento dellestremo della tra-ve.

Energia potenziale del carico. La valutazione di questo termine pi compli-

cato, in quanto necessario valutare lo spostamentoassiale dellestremolibero della traveuL= u|x=L:

VP= PuL .

Tale spostamento, avendo deciso di trascurare la deformazione assialedella trave, legato allarotazione dellasse. Si consideri infatti un concio

1Si veda ad es. A. Carpinteri, Scienza delle Costruzioni, Vol. 1, Pitagora Editrice, Bologna, 2a

ed., 1993, par. 9.3.


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infinitesimo di lunghezzadx: a seguito di una rotazione, la sua proie-

zione sullassex sar accorciata della quantitds= (1cos)dx. Con-viene poi introdurre lo sviluppo accorciato in serie di MCLAUR IN dellafunzione coseno:

cos= 12

2!+o(2)

per cui laccorciamento totale dellasse della trave, e quindi lo sposta-mento del punto di applicazione del caricoP dato da

uL=

L0

ds=L

0

2

2dx .

Legando infine la piccola rotazione allo spostamento trasversale: =(w/x), integrando sulla trave e moltiplicando perP si ottiene lenergiacercata:

VP=P

2

L0

dw

dx

2dx

Lespressione del funzionale del problema, cio lenergia totale, quindi

=1

2

L0

E I

d2w

dx2

2dx+

1

2kw2L

P

2

L0

dw

dx

2dx .

Analogamente a quanto visto nel caso discreto, per ottenere le equazionidel problema si ricerca la stazionariet del funzionale, imponendo lannullarsidella sua variazione prima, = 0:

1

2

L0

E I

d2w

dx2

2dx+

1

2kw2L

P

2

L0

dw

dx

2dx

= 0 .

Sfruttandole propriet delloperatore acuisifattocenno,sipuscrivere:

L

0E I

d2w

dx2 d2w

dx2 dx+kwL(w)LPL

0

dw

dx dw

dx dx= 0 . (2.13)Attraverso una integrazione per parti possibile eliminare dalleq. (2.13) le

derivate della funzionew di ordine pi elevato (il secondo). Il primo terminerichiede due integrazioni per parti successive:

L0

E Id2w

dx2

d2w

dx2

dx=

E I

d2w

dx2dw

dx

L0

L0

E Idw3

d3x

dw

dxdx=

E I

d2w

dx2dw

dx

L0

E I

dw3

d3xw

L0+

L0

E Idw4

d4xwdx ,

(2.14)


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lultimo unintegrazione sola:

P

L0

dw

dx

dw

dx

dx=P

dw

dxw

L0P

L0

d2w

dx2wdx . (2.15)

Sostituendo le identit (2.14) e (2.15) nellespressione(2.13), esplicitando gliincrementi indicati e raccogliendo opportunamente, si ottiene:L

0

E I

dw4

d4x+P

d2w

dx2

wdx

+

E I

d2w

dx2dw

dx

x=L

E I

d2w

dx2dw

dx

x=0

E Idw3

d3x+Pd

2w

dx2w

x=L

E Idw3

d3x+Pd

2w

dx2w

x=0

+kwL(w)L= 0 .

(2.16)

Ricordiamo ora che le variazioniw e(dw/dx) = dw/dx devono rispet-tare le condizioni al contorno essenziali, quindi esse sono nulle allestremox= 0. Perci risulta immediatamente:

E Id2w

dx2dw

dx

x=0

= 0

e E Idw

3

d3x+Pd

2

wdx2

w

x=0

= 0 .

Sostituendo queste condizioni nelleq. (2.16) si ricavaL0

E I

dw4

d4x+P

d2w

dx2

wdx+

E I

d2w

dx2dw

dx

x=L

E I

dw3

d3x+P

d2w

dx2

w

x=L

+kwL(w)L= 0 .

(2.17)

Scegliendo oradellevariazioni particolari, possibile ricavare sia lequazio-ne differenziale del problema, sia le condizioni al contorno naturali. Si pren-

da, a questo fine, una variazionew nulla, insieme alla sua derivata primadw/dx, inx= L, ma diversa da zero negli altri punti del dominio. Con questaposizione si avr

E Id2w

dx2dw

dx

x=L

= 0 , (2.18)E I

dw3

d3x+P

d2w

dx2

w

x=L

= 0 , (2.19)

kwL(w)L= 0 . (2.20)


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Sostituendo queste espressioni nelleq. (2.17) si pu vedere come essa si riduca

a L0

E I

dw4

d4x+P

d2w

dx2

wdx= 0 (2.21)

la quale, dovendo essere soddisfatta per variazioniw= 0 impone

E Idw4

d4x+P

d2w

dx2= 0, x]0,L[ . (2.22)

Lespressione(2.21) lequazione differenziale della linea elastica in presenzadi carico assialeP, ed lequazione di campo del problema.


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Capitolo 3

Soluzione approssimata di problemi

al contorno

3.1 Operatori differenziali

Indicando con L un generico operatore differenziale di tipo ellittico, la corri-spondente equazione differenziale si pu scrivere:

L(u) = b, in (3.1)

e si pu interpretare nel modo seguente: loperatore Ltrasforma una funzioneu, definita in una regione dello spazio, avente frontiera , in una funzione b.

In generale, la funzione sulla quale agisce loperatore Lpu essere anche unvettore u.

Esempio 3.1

Alcuni esempi di operatori differenziali, definiti su un intervallo diR (i primi

due) o su una regione bidimensionale (il terzo):

L() =d2()

dx2 , (3.2)

L() =d4()

dx4+

d()

dx, (3.3)

L() =2()

x2+2()

y2. (3.4)

Quando si applica loperatore a una funzione u, essa va sostituita al posto del

punto fra parentesi.

37


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38 3 SOLUZIONE APPROSSIMATA DI PROBLEMI AL CONTORNO

Data una qualsiasi funzione w, si pu definire il prodotto interno:

L(u), w=

L(u)wd . (3.5)

Loperatore si dice definito positivose:

L(u),u=

L(u)ud> 0, u= 0 . (3.6)

Si pu integrare per parti lespressione del prodotto interno, ottenendonela forma trasposta:

L(u)wd=

uL(w)d+

S(w)G(u)G(w)S(u)

d . (3.7)

Loperatore L si dice aggiunto di L. Se L = L, questultimo si dice autoag-giunto, e in tal caso anche S = Se G = G.

I valori imposti a S(u) sulla porzione s di frontiera sono le condizioni alcontorno essenziali, mentre i valori imposti a G(u) sulla porzione g di frontie-ra sono le condizioni al contorno naturali.

Esempio 3.2

Data lequazione differenziale omogenea

d2u

dx22u= 0, 0 < x< 1 , (3.8)

definire gli operatoriL(u), S(u) eG(u), verificando anche cheL autoaggiunto.Occorre scrivere lespressione del prodotto interno, procedendo quindi alle

successive integrazioni per parti:

L(u), w=

1

0 d2u

dx22u

wdx . (3.9)

Una prima integrazione per parti d:

L(u), w=1

0

du

dx

dw

dx2uw

dx+

du

dxw

10

. (3.10)

Mediante una seconda integrazione per parti si ottiene:

L(u), w=1

0

d2w

dx22w

udx+

du

dxw

10

udw

dx

10

. (3.11)


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3.2 CONCETTI PRELIMINARI 39

Dal confronto fra lespressione generica del prodotto interno in forma trasposta

e quella qui ottenuta, si possono dedurre gli operatori:

L() =d2()

dx22() , (3.12)

S() = () , (3.13)

G() =d()

dx, (3.14)

e, come si pu notare, loperatore autoaggiunto in quanto L() = L().

3.2 Concetti preliminari

Si supponga di voler trovare la soluzione u0 di un problema differenziale

L(u0) = b, in ,

S(u0) = s, su s , (3.15)

G(u0) = g, su g .

Spesso la soluzione esatta, u0, impossibile da determinare, in questo caso,anzich determinare tale soluzione, ci si accontenta di una soluzione uche, in

qualche modo, approssimi quella esattaSi pu scegliere una soluzione approssimata nella forma

u=0 +n

k=1kk , (3.16)

dove k sono parametri da determinare e k sono funzioni delle coordinatespaziali. Le funzionik sono tali da soddisfare certe condizioni di ammissibilitrelative a condizioni al contorno e grado di continuit e le funzioni k devonoessere linearmente indipendenti, cio

11 +22 + +nn = 0

solo nel caso in cui tutti i coefficienti siano nulli, cio

1 =2 = = n = 0 .

La successione delle funzioni k deve essere completa, cio, fissato un nu-mero > 0 arbitrariamente piccolo, e una qualsiasi funzione ammissibile u0, possibile trovare un numero di termini nsuperato il quale si abbia

(uu0)2 . (3.17)


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La soluzione esatta del problema soddisfa le condizioni (3.15); nel caso, in-

vece, in cui si introduca una soluzione approssimata u, che si suppone soddi-sfi esattamente tutte le condizioni al contorno, si pu introdurre una funzioneresiduo o errore:

R= L(u)b. (3.18)Si dovranno determinare i coefficienti incognitik cercando di renderepiccolo,in qualche senso medio sul dominio, lerrore (3.18).

Nel caso in cui la funzione unon soddisfi tutte la condizioni al contorno, sidovranno considerare anche gli errori sulle condizioni al contorno essenziali enaturali:

Rs = S(u) s , (3.19)Rg = G(u) g . (3.20)

Esempio 3.3

Si consideri lequazione differenziale

d2u

dx2b= 0, 0 < x< 1 (3.21)

doveb= cost. e le condizioni al contorno sono omogenee, cio

u|x=0

= 0, u|x=1

= 0,

La soluzione esatta

u0 =1

2bx(x1)

Si consideri invece unapprossimazione sinusoidale che soddisfi le condi-

zioni al contorno:

u=11 =sen(x)

La funzione residuo assume la forma:

R=d2u

dx2b=sen(x) (3.22)

Per determinare lunico parametro incognito ,si pu imporre, ad esempio,

R= 0 perx= 1/2:

2 12b= 0 = = b

2

La soluzione approssimata e il residuo corrispondente sono quindi:

u=b

sen(x) (3.23)

R= bsen(x)b (3.24)


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3.3 METODI DEI RESIDUI PESATI 41

Figura 3.1: Grafico soluzione esatta per x= 1/2.

Scegliendo, invece, di azzerare il residuo perx= 1/4, si trova

u=b

2

2sen(x) (3.25)

R= b2sen(x)b (3.26)

3.3 Metodi dei residui pesati

In generale, scelta unapprossimazione udella funzione incognita u0 da deter-minare, esistono certe funzioni dette errori o residui, che misurano lo scosta-mento dalla soluzione esatta sia nel dominio, sia sul contorno:

R(x) in (3.27)

Rs(x) in s (3.28)

Rg(x) in g (3.29)

I metodi dei residui pesati cercano di distribuire gli errori in modo da ottenereun errore medio nullo.

Si assuma che lapprossimazione u soddisfi esattamente le condizioni alcontorno (Rs = Rg = 0), ragionevole richiedere che, data una funzione peso


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Figura 3.2: Grafico soluzione esatta per x= 1/4.

w, definita in, si abbia:

R, w=

Rwd= 0 (3.30)

I diversi metodi si differenziano nella scelta della funzione approssimante

u; ad esempio:u=0 +

nk=1

kk (3.31)

o della funzione peso w; ad esempio:

w =n

k=1

kk (3.32)

3.3.1 Metodo di collocazione

Si impone che lerrore si annulli in un numero finito di punti. Si pu inter-

pretare come metodo dei residui pesati, assumendo come funzione peso unacombinazione lineare di funzioni delta di DIRAC 1

La delta di Dirac una distribuzione, o funzione generalizzata, definitatramite le sue propriet:

(x) = 0, x= (3.33)+

(x)dx= 1 (3.34)

1P. A. M. Dirac, 1902-1984, premio Nobel per la fisica nel 1933.


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Risulta, inoltre, per qualsiasi funzione continua f(x):+

f(x)(x)dx= f()

Limpiego di delta di Dirac come funzione peso consente di dare unimpor-tanza infinita al residuo nei punti i. Assumendo quindi come funzione pesouna combinazione lineare del tipo:

w =1(x1) +2(x2) + +k(xk)

lapplicazione del metodo dei residui pesati porta al metodo di collocazione,cio a imporre le condizioni in k punti discreti del dominio. Infatti, ponendo

uguale a zero lespressione del residuo pesato si ottiene

R wd= 0 = R(1) = 0,R(2) = 0, R(k) = 0

Esempio 3.4

Risolvere, mediante unapprossimazione polinomiale e il metodo di collocazio-

ne, il seguente problema a valori al contorno:

d2u

dx2+ u+ x= 0, 0 < x< 1 (3.35)

u|x=0 = 0 (3.36)

u|x=1 = 0 (3.37)

Il polinomio che soddisfa le condizioni al contorno :

x(1x)(1 +2x+ )

Si consideri il caso di due parametri incogniti, 1 e2, corrispondente a un

polinomio di terzo grado:

u= x(1

x)(1 +2x)

Lespressione del residuo diventa:

R=d2u

dx2+ u+ x=

2 + xx2

1 +

26x+ x2x3

2 + x

Volendo ad esempio annullare il residuo nei punti x1 = 1/4 e x2 = 1/2, lafunzione peso di Dirac :

w =1

x 1

4

+2

x 1

2


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Con questa scelta si impone:

10

R wd= 0 = R

1

4

= 0, R

1

2

= 0

Le condizioni imposte si traducono nel sistema lineare:

29

1635

647

4

7

8

1

2

=

1412

(3.38)

Le cui soluzioni sono1 = 6/31 e2 = 40/217. La soluzione approssimatacercata quindi:

u= x(1x)42 + 40x217

Landamento del residuo :

R=419x2x240x3

217

La figura 3.3 riporta la soluzione approssimata u a confronto con quella

esatta (u0 =x+ sen x/sen1), insieme con lerroreR

Figura 3.3: Metodo di collocazione.


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3.3.2 Collocazione a sotto-domini

Si divide il dominio in sotto-regioni i (eventualmente anche sovrapposte) epoi si impone lannullamento della media del residuo in ciascuna di esse:

i

Rd= 0,per xi

Esempio 3.5

Si consideri ancora il problema:

d2u

dx2+

u+

x=

0, 0

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Appunti Di Meccanica Computazionale