Applicazioni del Teorema di Poincarè - Determinazione ...stefanomandelli.altervista.org/Asteroidi.pdf · Applicazioni del Teorema di Poincarè - Determinazione delle ... ”Predictor-Corrector”

Applicazioni del Teorema diPoincarè - Determinazione delleKey-Hole nei Closest Approches

Stefano [email protected]

Osservatorio Astronomico Città di Seveso

2

Indice

1 Un semplice algoritmo 51.1 Il problema di Keplero . . . . . . . . . . . . . . 51.2 I metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Verifica dell’ordine del metodo . . . . 61.3 L’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Troncamento e Tolleranza . . . . . . . . . . . . . 91.5 Il sistema solare . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Effetti particolari sull’orbita di mercurio 131.7 Modifiche effettuate . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Il punto omoclino di Poincarè 152.1 Riduzione della serata osservativa del 22-23

Meggio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Valutazione della parallase Topocentrica . . 192.3 Ruolo delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . 212.4 Meccanica Celeste-Lacune di Kirkwood . . . . . 242.5 Avvicinamenti radenti-Closest Approach . . . 28

2.5.1 99942 Aphopis . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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4 INDICE

Capitolo 1

Un semplice algoritmo

1.1 Il problema di Keplero

Il problema è stato semplificato in modo notevole. Per problemi dicalcolo (per ora) abbiamo supposto che le orbite di tutti i pianetisiano sullo stesso piano. Il sistema di equazioni differenziali usatoè quello sviluppato da P.H.Cowell e A.C.D Crommelin nel 1911 dicui si riporta nota in un articolo di F.L.Whipple presente a pag 388Vol 111 di Apj nell’anno 1950 intitolato : ”The Comet Model: Theacceleration of Comet Enke”. Il sistema di equazioni differenzialiproposto da Cowell e Crommelin è il seguente:

..−→ri = −µ−→ri

||r||3+G ·

N∑j=0 ; j 6=i

mj

[ −→r0j

||r0j||3−−→rj

||rj||3

](1.1)

Dove per esteso abbiamo che:−→r 0j = −→r j −−→r 0 (1.2)

−→r 0 è la posizione dell’oggetto su cui si stanno calcolando le per-turbazioni generate degli altri N corpi di massa mj situati nelleposizioni −→rj .Facendo riferimento al fatto che le scrittura r ed r0j senza la frecciadi vettore simboleggiano il modulo dei vettori, possiamo separarein componenti l’equazione (1) ottenendo:

..xi= −µ

xi

||r||3+G ·

N∑j=0 ; j 6=i

mj

[xj − xi

||r0j||3− xj

||rj||3

](1.3)

..yi= −µ

yi

||r||3+G ·

N∑j=0 ; j 6=i

mj

[yj − yi

||r0j||3− yj

||rj||3

](1.4)

5

6 CAPITOLO 1. UN SEMPLICE ALGORITMO

L’integrazione numerica che viene proposta in questa relazione, av-viene proprio applicando il metodo di (RKF45) alle equzioni (2) e(3).

1.2 I metodi di integrazione

Sono stati usati due metodi di integrazione differenti. Runge-Kutta(RK) di ordine 4 e Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45) di ordine 5. Ilmetodo RKF45 è così enunciato:1

k1 = f(tj, yj)

k2 = f(tj +1

4h, yj +

1

4k1)

k3 = f(tj +3

8h, yj +

3

32k1 +

9

32k2)

k4 = f(tj +12

13h, yj +

1932

2197k1 −

7200

2197k2 +

7296

2197k3)

k5 = f(tj + h, yj +439

216k1− 8k2 +

3680

513k3 −

845

4104k4)

k6 = f(tj +h

2, yj −

8

27k1 + 2k2 −

3544

2565k3 +

1859

4104k4 −

11

40k5)(1.5)

Il punto yj+1 è definito nel seguente modo:

yj+1 = yj +

[16

135k1 +

6656

12825k3 +

28561

56430k4 −

9

50k5 +

2

55k6

]· h(1.6)

1.2.1 Verifica dell’ordine del metodo

Per verificare che il metodo usato sia effettivamente di ordine 5, siè risolto prima il seguente problema di Couchy:{

f ′(x) = f(x)f(0) = 1

(1.7)

Questo problema di Couchy ha la banale soluzione:

f(x) = ex (1.8)

1Questo metodo è stato trovato sul seguente testo di analisi numerica: NU-MERICAL METHODS for Mathematics, Science and Engineering, 2nd Ed,1992 Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632, U.S.A

1.3. L’ALGORITMO 7

che è stata usata per verificare l’affidabilità del metodo valutandonel’errore in funzione del passo di integrazione e quindi ricavando inmodo diretto l’ordine dell’algoritmo di integrazione.

In verde è plottato il metodo standard RK e come si può notare haordine 4. Mentre in rosso è stato plottato il risultato ottenuto conil metodo RKF45. Come si può notare qeust’ultimo ha ordine diintegrazione pari a 5.

1.3 L’algoritmo

Inizialmente è stato necessario riproporre in C++ l’equazione dif-ferenziale del nostro sistema perturbato. L’equazione differenzialeè stata scritta nel seguente modo:

double *funzione(double *x,double *pianetix,double *pianetiy,double*masse,int p, double t) {double *derivata=new double[4];double perturbazionex=0,perturbazioney=0;int j=0;derivata[0]=x[2];derivata[1]=x[3];while(j < 8){if(j == p){if(j == 7) break;else j++;


}perturbazionex+=G*masse[j]*((pianetix[j]-pianetix[p])/pow((pianetix[j]-pianetix[p])**(pianetix[j]-pianetix[p])+(pianetiy[j]-pianetiy[p])*(pianetiy[j]-pianetiy[p]),3.0/2.0)-pianetix[j]/pow(pianetix[j]*pianetix[j]+pianetiy[j]*pianetiy[j],3.0/2.0));

perturbazioney+=G*masse[j]*((pianetiy[j]-pianetiy[p])/pow((pianetix[j]-pianetix[p])**(pianetix[j]-pianetix[p])++(pianetiy[j]-pianetiy[p])*(pianetiy[j]-pianetiy[p]),3.0/2.0)--pianetiy[j]/pow(pianetix[j]*pianetix[j]+pianetiy[j]*pianetiy[j],3.0/2.0));j++;}derivata[2]=-G*M*x[0]/pow(x[0]*x[0]+x[1]*x[1],3.0/2.0)+perturbazionex;derivata[3]=-G*M*x[1]/pow(x[0]*x[0]+x[1]*x[1],3.0/2.0)+perturbazioney;return derivata;}

Altro punto fondamentale del programma consiste nell’implementa-zione dell’algoritmo RKF45. Qui di seguito ne riportiamo il codice:

void rungekuttafehlberg (double& t, double h, int N, double*x,double *xt,double *xg,double *masse,int p, double* (funzione)(double*,double *,double *,double *,int,double)){double *k1 = (*funzione)(x,xt,xg,masse,p,t);double *temp = new double[N];for(int i = 0; i < N; i++) temp[i] = x[i] +0.25*h*k1[i];double *k2 = (*funzione)(temp,xt,xg,masse,p,t+0.25*h);for(int i = 0; i < N; i++) temp[i] = x[i]+(3.0*h/32.0)*k1[i]+(9*h/32)*k2[i];double *k3 = (*funzione)(temp,xt,xg,masse,p,t+(3.0*h)/8.0);for(int i = 0; i < N; i++) temp[i] = x[i]+ (1932.0*h/2197.0)*k1[i]-(7200.0*h/2197.0)*k2[i] + (7296.0*h/2197.0)*k3[i];double *k4 = (*funzione)(temp,xt,xg,masse,p,t+(12*h)/13);for(int i = 0; i < N; i++) temp[i] = x[i] + (439.0*h/216.0)*k1[i]- (8.0*h*k2[i])+ (3680.0*h/513.0)*k3[i] - (845.0*h/4104.0)*k4[i];double *k5 = (*funzione)(temp,xt,xg,masse,p,t+(4*h)/5);for(int i = 0; i < N; i++) temp[i] = x[i]- (8.0*h/27.0)*k1[i]+ (2.0*h*k2[i]) -(3544.0*h/2565.0)*k3[i] + (1859.0*h/4104.0)*k4[i]- (11.0*h/40.0)*k5[i] ;double *k6 = (*funzione)(temp,xt,xg,masse,p,t+h);for(int i = 0; i < N; i++)x[i]+=(16.0*k1[i]/135.0 + 6656.0*k3[i]/12825.0 + 28561.0*k4[i]/56430.0- 9*k5[i]/50.0+2.0*k6[i]/55)*h;

1.4. TRONCAMENTO E TOLLERANZA 9

t+=h;delete k1;delete k2;delete k3;delete k4;delete k5;delete k6;delete temp;}In questo modo si riconduce il problema non lineare di partenza atanti problemi lineari. Il numero N che viene dato in input permet-te di applicare i vari passaggi N volte, risolvendo a cascata anchesistemi complicati di equazioni differenziali. Nel caso degli N cor-pi abbiamo un sistema di 3 equazioni differenziali (una per ognicoordinata x,y,z) del secondo ordine non omogenee, che vengonorisolte tutte tramite l’ausilio di questa unica funzione. Ovviamenteè necessario che arrivi anche un vettore di dati iniziali di lunghezzaN ∗ g dove N è il numero di eq. differenziali e g è il loro grado.

1.4 Troncamento e Tolleranza

In questo tipo di algoritmi ad un passo (one-step) bisogna presta-re molta attenzione a quanto incide l’accumulazione dell’errore ditroncamento. Il buon senso ci porterebbe a dire che facendo tendereh→ 0 (o comunque a valori molto piccoli in quanto h 6= 0) la pre-cisione con cui andiamo a stimare la nostra soluzione del problemadovrebbe essere sempre migliore. la precisione ci attendiamo chesegua l’andamento descritto nella figura precedente. Ora si mostre-rà che questa deduzione è errata in quanto per piccoli valori di haumentano moltissimo anche il no di iterazioni, ad ogni iterazioneè associato un errore che si somma passaggio dopo passaggio. Ilgrafico precedente è stato costruito con opportuni valori di h sceltiin modo tale che l’errore dipendesse solo dal grado di accuratezzaquindi questo effetto non si nota. Ora verrà presentato il comporta-mento dell’errore con h ”critici” in cui questo comportamento saràben evidente.


Dal grafico si può notare che diminuendo il valore di h oltre ad uncerto limite critico si perde precisione a causa dell’accumulazionedell’errore di troncamento dovuto alle troppe iterazioni.In punto cruciale sta quindi scegliere la giusta h in modo tale chel’errore sia minimo e che che aiuti a compensare l’accumulazionedell’errore di trocamento su grandi scale di integrazione2 A sup-porto di questo problema intervengono i metodi nominati come”Predictor-Corrector”. Si usa un metodo di ordine p come predi-zione e con un metodo di ordine p − 1 si effettuano le stime deglierrori. Il tipico esempio è la coppia Predictor Corrector fatta congli algoritmi di Adams-Bashforth e Adams-Multon. In questa breverelazione però si è scelto di usare come Predictor il metodo RKF45mentre come corrector il semplice algoritmo di RK. Il sistema con-siste nel modificare il passo di integrazione ad ogni iterazione inmodo tale che l’errore si mantenga costante di una certa tolleranzascelta inizialmente. La modifica del passo di integrazione h avvienetramite il calcolo della ”sezione di h” che chiameremo s. Ne risultache il nuovo passo sarà:

hnew = s · hold (1.9)

Il calcolo esplicito di s, viene sempre presentato da John H. Mathews& Kurtis K. Fink nel loro libro : Numerical Methods Using Matlab,

2Un tipico esempio applicativo consiste nello studio dei moti secolari nel si-stema solare. In questo caso bisogna integrare per molto tempo e bisogna ave-re dei buoni sistemi di controllo dell’accumulazione dell’errore di troncamentodovuto alle troppe iterazioni.

1.5. IL SISTEMA SOLARE 11

4th Edition, 2004 :

s =

(tol · hold

2 |zk+1 − yk+1|

) 14

=⇒ hnew = s · hold (1.10)

dove tol è il massimo errore che noi tolleriamo in tutto il calco-lo. Ovviamente questo metodo, se non adeguatamente controlla-to potrebbe rendere particolarmente instabile l’algoritmo. Proprioper questo è necessario definire un hmax e un hmin entro il qua-le non si puù uscire. Se calcolo un s molto minore di 1 avrò unh troppo piccolo e il calcolo oltre ad essere pesantemente influen-zato dall’accumulazione dell’errore di troncamento, rischia di nonconvergere.

1.5 Il sistema solare

Come già esposto all’inizio il problema è stato semplificato di moltoconsiderando le orbite dei pianeti sullo stesso piano. In questo modoabbiamo ridotto il problema ad un moto di N corpi interagenti sudi un piano, avendo come effetto la riduzione di 1 del numero di eq.differenziali ( non c’è quella per la coordinata z).La seconda grande approssimazione che si è cercato di risolvereal meglio riguarda le mutue iterazioni. L’algoritmo, lavorando sutempi discretizzati, agisce sugli N-corpi in questo modo:

• Calcola la posizione al tempo j + 1 del primo pianeta, consi-derando gli alti N-1 corpi fissi nelle loro posizioni iniziali e chedanno il loro contibuto perturbativo dato dall’eq. differenzialedi Cowell;

• Si effettuano gli stessi passaggi per gli altri N-1 corpi, fa-cendo sempre attenzione ad eliminare dalla sommatoria laperturbazione del corpo K sul corpo K stesso;

• Alla fine viene calcolato per tutti i corpi la loro evoluzione altempo j+1. Successivamente il problema riparte, prendendocome valori iniziali quelli del passo precedente, così fino altempo di integrazione dato in input (in secondi).

All’inizio per ogni pianeta viene definito il suo vettore di posizionx, posizione y, massa, velocità x e velocità y nel seguente modo:


double masse[9];double posmer[4];double *mercuriox=new double[10000000],*mercurioy=new double[10000000];posmer[0] = 57.909176E9;posmer[1] = 0;posmer[2] = 0;posmer[3] = 47872;masse[0]=3.302E23;

while (t <= tmax) {//Mercuriorungekuttafehlberg(t,h,4,posmer,pianetix,pianetiy,masse,0,asteroide);mercuriox[i]=posmer[0];mercurioy[i]=posmer[1];pianetix[0]=posmer[0];pianetiy[0]=posmer[1];t-=h;//Venererungekuttafehlberg(t,h,4,posven,pianetix,pianetiy,masse,1,asteroide);venerex[i]=posven[0];venerey[i]=posven[1];pianetix[1]=posven[0];pianetiy[1]=posven[1];ecc...}

Dove i vettori pianetix e pianetiy contengono tutte le informa-zioni circa le posizioni aggiornate degli 8 pianeti maggiori. Datoche il programma è pensato nel particolare per calcolare le per-turbazioni dei pianeti maggiori sugli asteroidi, nell’algoritmo vienelasciato libero un vettore ”asteroide” che puù essere inizializzato apiacere coi parametri iniziali del’asteroide di cui si vuole calcolarela dinamica. L’agoritmo è pensato in modo tale che l’utente possaaggiungere anche N asteroidi, ma questi non rientrino nel gioco del-le perturbazioni con i pianeti maggiori del sistema solare. Quindi ipianeti risentono delle mutue perturbazioni, gli asteroidi risentonodelle perturbazioni degli 8 pianeti maggiori, ma loro non perturba-no il moto dei pianeti. L’orbita viene poi scritta su un file .dat nelformato opportuno per essere letto da gnuplot e quindi essere ingrado di disegnare anche le orbite.

1.6. EFFETTI PARTICOLARI SULL’ORBITA DI MERCURIO 13

1.6 Effetti particolari sull’orbita di mercurio

Un effetto decisamente particolare che si è osservato rigurda l’orbi-ta di mercurio. Qui di seguito inseriamo due rappresentazioni dellasua orbita calcolata la prima con il metodo di runge e kutta di or-dine 4 la seconda con il metodo RKF45.Runge-Kutta (ordine4):

Runge-Kutta-Fehlberg (ordine5):


Il fatto particolare consiste nel SOLO allargamento dell’orbita dimercurio. Sia nella prima immagine che nella seconda le orbitedi Venere e Terra sono praticamente comparabili. Passando dal-l’ordine 4 all’ordine 5 invece l’orbita di mercurio subisce un nettocambiamento. Nel caso di ordine 4 si nota un evidende allargamen-to dell’orbita dato presumibilmente dall’accumulazione dell’erroredi troncamento. Questo effetto di allargamento sparisce passandoall’ordine 5.

1.7 Modifiche effettuate

Quello presentato che è stato presentato è un abbozzo abbastanzagergale di un problema ben più complicato. Per semplificare i conti,per prima cosa, non si usano più km e s come unità di misura dilunghezza e di tempo ma si usano unità di misura molto più como-de che sono le UA e i day. In questo modo la costante di gravitàuniversale va leggermente modificata e si adotta il parametro diGauss µ con relativi riscali ad Hoc. Nella presentazione precedentevenivano fatti partire da posizioni ”belle” , invece il problema finaleconivolge direttamente l’epoca iniziale da cui si vuole partire. Unprogramma a parte estrae dal file DE406.dat del JPL le posizioniiniziali in formato cartesiano dei pianeti del sistema solare, vengo-no scritte su un file che viene successivamente letto dal program-ma, che imposta le condizioni iniziali del problema agli N-Body.Noi non siamo interessato solo alla dinamica generale, ma anche aquello che noi osserviamo per esempio dalla terra e quindi dare inoutput delle cordinate equatoriali di posizione in funzione al nodoascendente e all’equatore celeste! I due angoli di posizione vengocalcolati effettuando banali conti matriciali contenuti nel pacchettolapack. Viene effettuata la correzione topocentrica e viene calco-lata la Parallasse sfruttando un pochettino di relatività ristretta. Ilprogramma totale non è liberamente accessibile al pubblico.

Capitolo 2

Il punto omoclino diPoincarè

2.1 Riduzione della serata osservativa del22-23 Meggio 2009

All’Osservatorio Astronomico Città di Seveso (MPCcode: C24) neigiorni 22 - 23 Maggio 2009 è stato ripreso l’asteroide 522 Helga.La CCD in dotazione è una ST8-XME con sensore KAF1600 conpixel quadrati da 9µ × 9µ. L’apparato ottico usato riguarda untelescopio LX200 12” GPS dalla focale di 2930mm. Il tempo diesposizione per ogni posta è 60 secondi ed è stata applicata la sot-trazione del Dark Frame e la correzione col Flat Field.Sono state eseguite 4 osservazioni. Ora ne faremo la riduzioneastrometrica, calcoleremo l’orbita e ne valuteremo i residui.

Determinazione dell’orbita a partire dalle osservazionidi letteratura:

Si è scaricato dall’MPC il file obs.txt che contiene tutte le osserva-zioni. Usiamo il metodo di gauss su un gruppo relativamente vicinodi osservazioni 1. Facendo delle prove, combiando 3 dati alla volta,raggiungiamo una prima soluzione che è la seguente:

1Il metodo di gauss va eseguito su un campione temporalmente ristrettodi dati in quanto il metodo si basa su uno sviluppo in serie di funzioni (lenoti serie f, g) quindi è ben preciso nel medio tempo di osculazione, al di fuoridell’intorno dell’epoca osculatrice media i termini lineari portano ad una nettadivergenza.

15

16 CAPITOLO 2. IL PUNTO OMOCLINO DI POINCARÈ

EQUATORIALMEANKEPLERIANET2000.000000000000055327.3588621561 1.0000000000000000E+00Soluzione migliore (tent. 3; rad. 3)AM3.6234249834050809E+00 6.9240765341256574E-02 21.75438471471997239.99628003262956 349.45905972646858 10.688489238534680.0000000000000000 1.0000000000000000-99.000 -99.000L’epoca a cui sono riferiti gli elementi orbitali è un numero dif-ficilmente trattabile come condizione iniziale quindi si è deciso diriscalare tutti gli elementi ad un epoca facile tipo la 55300. In que-sto modo usando il comando trasf.x si è cambiata l’epoca a cuisono riferiti gli elementi orbitali. Il comando agisce direttamentesull’anomalia media, cambiando solo la fase dell’orbita in funzionedell’epoca.

2.1. RIDUZIONE DELLA SERATA OSSERVATIVA DEL 22-23 MEGGIO 200917

EQUATORIALMEANKEPLERIANET2000.000000000000055300.0000000000 1.0000000000000000E+00Soluzione migliore (tent. 3; rad. 3)AM3.6234249834050809E+00 6.9240765341256574E-02 21.75438471471997236.08676224426608 349.45905972646858 10.688489238534680.0000000000000000 1.0000000000000000-99.000 -99.000

Dopo aver riscalato l’epoca e generato gli elementi obitali di tut-ti i pianeti all’epoca 55300 MJD possiamo procedere con la corre-zione dell’orbita tramite un fit ai minimi quadrati. I nuovi elementiorbitali sono i seguenti:

EQUATORIALMEANKEPLERIANET2000.000000000000055300.0000000000 1.0000000000000000E+00Soluzione migliore (tent. 3; rad. 3)AM3.6269020623911059E+00 7.5858217085210705E-02 21.76408748379046241.20267767694349 345.31757044403207 10.709617628388080.0000000000000000 1.0000000000000000-99.000 -99.000La deviazione standard sulle osservazione è di:

σ = 0.74′′ (2.1)

Tutte le specifice del calcolo sono contenute nel file 522.log.

Generazione dell’effemeride

Tramite il comando efem2.x generiamo un’effemeride dell’asteroideal tempo di osservazione. Le osservazioni si sono svolte durante piùo meno tutta la serata quindi: le effemeridi sono state generate


partendo dalle 19 TU del 22 - Maggio - 2010 (quindi dalle 21) conintervalli di mezz’ora. I dettagli del conto sono presenti nel file522.eph

Tecnica astrometrica

Per la tecnica di riduzione astrometrica è stato usato sia Sextractorche il software Astrometrica. Il software Sextractor usa il catalogoUSNO A2 , mentre con il software Astrometica mi è stato possibileeffettuare la riduzione anche col più aggiornato catalogo UCAC3.L’Osservatorio di Seveso possiede un codice MPC suo che è C24quindi tutti i conti sono stati analizzati usando le correzioni topo-centrice di Seveso.In questo modo il report osservativo è il seguente:

Tabella 2.1: Osservazioni Astrometrice - 522 Helgano Obj Data A.R. DEC. Catalogo MPCcode522 C2010 05 22.89446 15 22 52.445 -12 59 47.25 UCAC3 C24522 C2010 05 22.93334 15 22 50.808 -12 59 42.86 UCAC3 C24522 C2010 05 23.88212 15 22 12.254 -12 57 53.56 UCAC3 C24522 C2010 05 23.90980 15 22 11.096 -12 57 50.43 UCAC3 C24

Avendo a disposizione le osservazioni ora le mettiamo insiemealle altre e valutiamo i nostri residui.

Tabella 2.2: Residui delle osservazioniMJD A.R. DEC. MPCcode δ A.R. δ DEC.

55338.89446 15 22 52.439 -12 59 47.36 C24 0.16 0.0655338.93334 15 22 50.815 -12 59 42.86 C24 -0.07 -0.0455339.88212 15 22 12.250 -12 57 53.59 C24 0.06 0.0355339.90980 15 22 11.102 -12 57 50.46 C24 -0.09 0.03

Tutti i dettagli del conto sono visibili nel file 522_RES.eph.Dalla tabella sopraesposta però è ben visibile che i residui sononotevolmente contenuti ! Addirittura non arrivano al decimo disecondo d’arco!

2.2. VALUTAZIONE DELLA PARALLASE TOPOCENTRICA 19

2.2 Valutazione della parallase Topocentrica

E’ stata eseguita una valutazione dell’importanza dell’applicazionedella correzione Topocentrica su diversi oggetti. Questa verifica èstata eseguita per tre speci di asteroidi: Un NEO con a = 0.8UAun MB con a = 2.1UA e un TNO con a = 40UA. Gli asterodi sono”ideali” e sono stati presi in opposizione prendendo semplicemntegli elementi cartesiani della terra, trasformati in elementi Keplerianie successivamente andando solo a variare eccentricità inclinazionee semiasse maggiore, tenendo quindi fissa anomalia media e longi-tudine del periastro.2Simulando delle osservazioni con correzione topocentrica relativa aC24 e facendo l’O-C in AR e DEC con un’effemeride generata senzacorrezione topocentrica otteniamo i seguenti risultati:

2Questo è il tipico metodo per creare un asteroide ”fittizzio” che noi possiamoandare a posizionare dove vogliamo per vederne il comportamento


Per il TNO :

Per il Main Belt:

Per il NEO:

I grafici mostrano una netta modulazione peridica giornalieraquindi l’effetto che si vede mostrato dal trend dei punti è sicura-mente un effetto dovuto alla rotazione terrestre e di conseguenzaalla mancata correzione topocentrica. Nel primo grafico del TNOle cose non vanno per nulla male! E’ un oggetto molto distante

2.3. RUOLO DELLE PERTURBAZIONI 21

circa 40UA quindi l’effetto di parallasse NON è ai limiti stumentalidel rilevabile in quanto l’ampizza massima dell’oscillazione è cir-ca 0.15′′ contro la media precisione astrometrica amatoriale che èdi 0.2′′ Quindi l’effetto tuttosommato sarebbe anche trascurabile einevidente da delle osservazioni sul campo. Molto diversa invece èla questione dei NEO e dei Main Belt. Sono oggetti relativamentevicini, i Main Belt distano dalla terra di circa 1UA mentre il NEOraggiunge una distanza minima di circa 0.2 UA quindi sono ogget-to molto vicini! E in questo caso ha senso porsi il problema dellacorrezione perchè le semiapiezze dei residui sono nell’ordine di 4”per i Main Belt e ben 15” per il NEO studiato!!! Quindi veramenteuna discrepanza notevole! Per il TNO quindi non ha senso effet-tuare un confronto. Mentre ha molto senso farlo per il NEO e peril Main Belt. Ora facciamo una determinazione orbitale con delleosservazioni simulate tramite l’uso della correzione topocentrica esenza l’uso e si confronteranno i risultati:Con fit1.x con correzione topocentrica, l’algoritmo converge adun valore preciso dopo 3 iterazioni (si guardi il file LOG), senzacorrezione topocentrica l’algoritmo non converge neppure (si vedail file log2) ! La stessa cosa succede anche per il TNO, solo che ladivergenza è più lenta.

2.3 Ruolo delle perturbazioni

Sono state scaricate dal sito dell’ MPC le osservazioni di un aste-roide ben noto. Si effettuerà il fit con le perturbazioni di tutti ipianeti. Successivamente si toglierà Venere e Marte, poi si toglie-ranno Giove e Saturno ed infine si calcolerà l’orbità con un fit inapprossimazione di orbita perfettamente kepleriana. La valu-tazione ed il confornto sarà effettuato tramite la valutazione deiresidui di O-C in funzione del tempo.L’asteroide scelto per il confronto è 538 - Friederike di cui inletteratura ci sono osservazioni dal 1966 fino a pochi giorni fa. Ese-guendo più volte fit2.x abbiamo ottenuto i seguenti risultati:Caso1= Tutti i pianeti perturbatori:


Caso2= Tolto il contributo di Venere e Marte:

Caso3= Tolto il contributo di Venere, Marte, Giove e Saturno:

2.3. RUOLO DELLE PERTURBAZIONI 23

Caso4= Approssimazione kepleriana senza interazioni.

Nel Caso 1 I residui, sia in A.R. che in DEC. sono omoge-neamente distribuiti intorno allo zero, indice del fatto che l’orbitacalcolata in modo numerico approssima ottimamente i dati osserva-tivi a meno di una distribuzione normale data dalla larghezza dellagaussiana che si determina dai residui. In questo caso la largezzadella gaussuana è aprrossimativamente: ∼ 1′′

Nel caso2 e nel caso 3 I residui appaiono molto sparpagliati. Maquesto è ovvio per il fatto che io sto considerando un sistema fisicodel tutto falso! Infatti Nel caso 3 sto considerando le perturbazio-ni della terra , di urano e di nettuno ... senza minimante contareil GRANDE contributo di Giove e Saturno. Ovviamente i residuisaranno molto dispersi senza indicare una particolare correlazione.

Il Caso 4 è molto interessante perchè fa vedere come le perturba-zioni interplanetarie interagiscano sull’asteroide considerato. Tuttosommato si può notare che le perturbazioni costringono il model-lo ad introdurre (se fossimo ai tempi di Tolomeo) ulteriori epicicli.Ritradotto in linguaggio moderno notiamo che il fatto di avere del-le perturbazioni interplanetarie ci succerisce che l’hamiltoniano dipartenza (come fatto ai tempi da Lagrange) va sviluppato in serie difourier, trovando i termini di precessione secolare e poi costuendosempre via via (per sviluppo in serie) nuovi FALSI integrali pri-mi (infatti il teorema di Poincarè ci dice che non ci sono integraliprimi in involuzione). Quindi questa immagine del caso 4 pensorappresenti in modo più bello e chiaro il lavoro fatto da Lagrangeda Poincarè e da chi è seguito sul problema degli N corpi.


2.4 Meccanica Celeste-Lacune di Kirkwood

Si è preso l’asteroide Musa 600 si è integrato il moto considerandoil problema a 4 corpi Terra Sole Asteroide Giove su un periodo di35 anni. Il più è stato plottato anche un asteroide FINTO situatonella prima Lacuna di Kirkwood. I dati delle variazioni dei loro ele-menti orbitali kepleriani su identiche scale temporlai sono qui oramessi a confronto:

Variazione semiasse maggiore

Variazione eccentricità

Variazione inclinazione dell’orbita

2.4. MECCANICA CELESTE-LACUNE DI KIRKWOOD 25

Variazione Anoimalia Media

Variazione Argomento del Perielio

Longitudine del Nodo


Ora osserviamo cosa succede aumentando il periodo di integtra-zione a circa 10000 anni:Variazione semiasse maggiore

Variazione eccentricità

Variazione Argomento del Perielio

2.4. MECCANICA CELESTE-LACUNE DI KIRKWOOD 27

Variazione Longitudine del Periastro

I grafici sono molto interessanti, e mostrano come Nodo e Perieliodel nostro astroide precedano. Quindi quella forma a crescita edescrescita a dente di sega dell’argomento del perielio e della longi-tudine del noto indicano proprio la precessione prevista datta teoria”Newtoniana”. Qualcuno si potrebbe chiedere se in qualche modoè un effetto dovuto a somme di errori di troncamento. Questo siesclude facilmente perchè il periodo di integrazione è tutto somma-to ancora abbastanza ristretto. Per specificare meglio la questio-ne,l’integratore di Everarth non è un algoritmo simplettico, quindinon preserva l’energia del sistema meccanico nel tempo. Per lun-ghe integrazioni, questo fatto produce delle deviazioni dovute alsommarsi dell’errore di troncamento. Per far presente in modo mi-gliore i problemi legati all’integrazione e alla somma dell’errore ditroncamento è stato scritto in C++ il problema degli N-Corpi inte-ragenti. Date le alquanto limitate compente nel settore dell’analisinumerica non si è riusciti a sviluppare un software che implemen-tasse l’integratore di Everarth. Il metodo più avanzato che si èriusciti a sviluppare è l’RKF45 o meglio noto come algoritmo diRunge Kutta Felberg di ordine 5, con sistema di controllo del passoin funnzione all’errore. Per predictor - corrector è stata usata lacoppia di algoritmi Runge Kutta (di ordine 4) e RKF45 di ordine5. Essendo l’ordine molto più piccolo di quello di Everarth su scaletemporali più brevi si nota in maniera più accentuata il problemadell’errore di troncamento e delle perturbazioni. Le figure qui sottoevidenziano bene il problema in questione:


Prima simulazione di 50 anni, la seconda di 5000

Nella seconda simulazione l’orbita di mercurio è molto più allargata.L’errore di troncamento e le forti perturbazioni a cui è sottopostomercurio hanno permesso di mettere in evidenza questo effetto.Ritornando ai grafici precedenti, quelli eseguiti con l’integratoreRANDAU, si nota come avendo variato di poco i parametri orbitalidell’asteroide (avendo messo a in modo tale che rientrasse nella fa-scia di kirkwood) l’andamento diventi MOLTO perturbato e strano.Questo fatto è dovuto alle risonanze con Giove quindi l’asteroide èsottoposto a continui stress che fanno variare i parametri orbitaliin modo molto significativo.

2.5 Avvicinamenti radenti-Closest Approach

Per simulare il comportamento dell’avvicinamento radente di unasteroide abbiamo considerato l’asteroide: 4581 Asclepius. Nelsito del Minor Planet Center è segnalato un suo Closest Approchesavvenuto il 22 Marzo 1989. L’integrazione è stata fatta a cavallodell’istante di minima distanza. La finestra usata copre 20 anni pri-ma e 20 anni dopo l’evento in questione, l’integrazione totale quindirisulta essere di un tempo totale di 40 anni. Qui di seguito sonovisibili i grafici delle variazioni degli elementi orbitali nel tempo.

2.5. AVVICINAMENTI RADENTI-CLOSEST APPROACH 29

Semiasse maggiore ed eccentricità:

Inclinazione e Argomento del Perielio:

Longitudine del nodo e Anomalia Media:

Com’ era ben prevedibile, il passaggio radente dell’asteroide 4581ha provocato un netto cambiamento dei suoi parametri orbitali.Per effetto fionda infatti l’asteroide è stato lanciato lontano quindicome è ben visibile dal primo grafico, il valore del semiasse mag-giore è notevolmente aumentato. Così come è aumentata in modonetto anche la sua eccentricità. Particolarmente strano è risutatoil grafico dell’inclinazione dell’asse. Dopo un primo hump aumen-ta vorticosamente per poi stabilizzarsi su volori molto alti. Argo-mento del Perielio e Longitudine del nodo indicano inizialmente latipica precessione newtoniana con una discontinuità in prossimità


del passaggio radente. Ovviamente l’orbita è cambiata in modorepentino e i parametri si sono ”rimescolati” di conseguenza. Infunzione al cambio repentino l’argomento del perielio ha raggiuntouna sua quota. Poi dopo che i parametri si sono stabilizzati, hacontinuato a precedere col suo tipico moto di precessione newto-niana. Stessa affermazione per la longitudine del nodo in cui allatipica precessione si somma, in prossimità del passaggio radente,un cambiamento netto per poi ritornare nuovamente con un motodi precessione simile a quello iniziale.

Aumento dell’incertezza nei passaggi radenti

La parte di critica dell’analisi dei Closest Approaches sta nel fat-to che determinare come e in che modo avverrà il cambiamento èpraticamente impossibile. Le innumerevoli perturbazioni rendenoimpossibile un calcolo preciso, in più ora vedremo che anche soloeffettuando una piccolissima variazione di un elemento orbitale, ledue orbite che si vengono a creare dopo passaggio radente sono to-talmente differenti. Quindi si ha molta incertezza sull’orbita finale!Piccolissime variazioni dell’orbita (o per meglio dire: le impreci-sioni che noi abbiamo quando calcoliamo un orbit) anche se moltopiccole nel momento in cui l’oggetto effettua un Closest Approachdopo la sua orbita può cambiare in modo notevole ! Osserviamoper esempio sempre il caso dell’asteroide 4581: In questo primocaso abbiamo variato di un fattore di 10−8 il valore del semiassemaggiore ottenendo il seguente risultato:



Inclinazione e anomalia media:

Argomento del perielio e longitudine del nodo:

Qesti primi dati sono di facile interpretazione infatti, il primo gra-fico identifica l’andamento del semiasse maggiore. C’è un bruscocambiamento e l’orbita finale va posizionarsi in modo più interno,l’anomalia media decresce linearmente. L’eccentricità subisce unavariazione netta dopo la quale si stabilizza su di un valore. Conse-guentemente cambiano anche argomento del perielio e longitudinedel nodo.Ora vediamo cosa succede a cambiare di un fattore di 10−8 il valoredell’eccentricità:Semiasse maggiore ed eccentricità:




Ora vediamo cosa succede a cambiare di un fattore di 10−3 il valoredell’inclinazione:






Ora vediamo cosa succede a cambiare di un fattore di 10−6 ilvalore dell’anomalia media:





Ora vediamo cosa succede a cambiare di un fattore di 10−6 ilvalore dell’argomento del perielio:





Ora vediamo cosa succede a cambiare di un fattore di 10−6 ilvalore della longitudine del nodo:





2.5.1 99942 Aphopis

Molto interessante è anche la seguente figura in cui viene plottatal’orbita integrata su 5000 anni. In particolare notare il plot verde eblu, indicano le due orbite di Aphopis in cui è stata variata la nonacifra decimale del semiasse maggiore.

Conclusioni

I grafici esposti sono particolarmente interessanti. Osservando i datidi output di fit2.x si osserva che l’incertezza media dei pearametriorbitali è sulla quarta o quinta decimale. In questa simulazione ab-biamo variato i parametri in un ordine di 10−8 ottenendo comunquedelle orbite nettamente differenti! Quindi il fatto di avere su ogniparametro un’incertezza così grande, nei closest approch permettedi non sapere bene dove andrà a finire l’asteroide dopo il passaggioravvicinato, infatti si ottengono una varietà di orbite vastissima perogni intervallo di confidenza dei parametri orbitali!

Documents

Applicazioni del Teorema di Poincarè - Determinazione ...stefanomandelli.altervista.org/Asteroidi.pdf · Applicazioni del Teorema di Poincarè - Determinazione delle ... ”Predictor-Corrector”