Apostila Controle - 09 - Erro Estacionário

Erro estacionrio

FT malha fechada Resposta estacionria Constantes de erro Tipos de sistemas Erros unitrios

Controle de Sistemas Mecnicos

Sistema em malha fechadaIncluindo o controlador automticoPlanta

r (t )-

e(t )

Controlador

u (t )

Atuador

Processo

Sensor

y (t )

Esquema completo incluindo o controlador, o atuador, a planta e o sensor


Esquema simplificado com Realimetao UnitriaIncorporando o atuador e o sensor plantar (t )-

e(t )

C K

u (t )

P

y (t )

r: referncia e: erro Notar os quatro sinais representados no diagrama de blocos acima u: esforo de controle y: sada


Ganho de malha aberta e ganho diretoDado o DB abaixor (t )-

c(t )

K

u (t )

P

y(t )

H

O ganho de malha aberta definido como

L( s ) = KPHO ganho direto definido como

G ( s ) = KP


FT com Realimentao UnitriaIncorporando o controlador e a planta em um novo sistema G(s) Funo de Transferncia de malha aberta

r (t ) R(s)-

e(t ) E(s)G (s )

y (t ) Y(s)

y = G (r y ) Gy + y = Gr y G T= = r 1+ G

N G= G DG

e=ry y = Ge

NG DG NG T= = N 1 + G DG + N G DGControle de Sistemas Mecnicos

FT com Realimentao HIncorporando o controlador e a planta em um novo sistema G(s) y = G (r Hy ) y (t ) r (t ) R(s) Y(s) c(t ) E(s) GHy + y = GrG (s ) -

H (s )G= NG DGc = r Hy y = Gc

y G T= = r 1 + GHNG DG NG T= = N 1 + G H DG + N G H DGControle de Sistemas Mecnicos

Definio do Erro EstacionrioDado o sistema de realimentao unitria negativa da figura abaixo, definise-se o erro estacionrio como:eest = lim(r (t ) y (t ))t

R(s) -

C (s ) E(s)

Y(s) G (s )

H (s )


TEOREMA DO VALOR FINAL O limite de uma funo no domnio do tempo quando o tempo tende a infinito pode ser encontrado atravs do limite do produto da transformada de Laplace da funo pela varivel de Laplace quando esta tende a zero.lim f (t ) = lim[ sF ( s )]t s 0


Transformada do sinal do erroDo diagrama temosR(s) -

C (s) E(s)

Y(s)

G(s)

E ( s) = R( s) Y ( s) Y ( s) = T ( s) R( s) E ( s ) = (1 T ( s )) R( s )

H (s)eest = lim(r (t ) y (t ))t

eest = lim sE ( s ) = lim s (1 T ( s )) R( s )s 0 s 0Controle de Sistemas Mecnicos

Resposta estacionriaAnalisa-se o erro estacionrio das respostas a trs sinais padronizados O degrau unitrio A rampa unitria A parbola unitria


Erro estacionrio ao degrauDiferena entre o valor do degrau (referncia) e o limite da resposta quando Res pos ta ao degrau unitrio

t eest = lim(r (t ) y (t ))t

2

1.5

Erro estacionrio

Amplitude

1

0.5

eest = 1 lim y (t )t 0 0 2 4 Tempo (s ) 6 8 10


Definio da rampa unitriaA rampa unitria nula at o instante inicial quando passa a crescer com um ngulo de 45.Rampa unitria

r=zeros(1,100); r=[r t(101:1101)]; plot(t,r) axis([-1 10 -1 11]) xlabel('Tempo (s)') ylabel('Amplitude') title('Rampa unitria');

10

8

Amplitude

6

4

2

0 0 2 4 Tempo (s ) 6 8 10


Erro estacionrio rampa unitriaO erro estacionrio pode aumentar, diminuir ou ficar constante aps um certo tempoRe s pos ta ra m pa unit ria 10

eest = lim(r (t ) y (t ))t 8 6

Amplitude

t

4

2

0 0 2 4 Te m po (s ) 6 8 10


Definio da parbola unitriaA parbola unitria nula at o instante inicial e uma meia parbola crescente a partir da, com derivada igual rampa unitria. parbola unitriap=zeros(1,100); t2=t(101:1101); t2=0.5*(t2.*t2); p=[p t2]; plot(t,p) axis([-1 10 -1 11]) xlabel('Tempo (s)') ylabel('Amplitude') title('parbola unitria');10 8

Amplitude

6

4

2

0 0 2 4 Tempo (s ) 6 8 10


Erro estacionrio parbola unitriaUsada apenas quando deseja-se uma resposta rpida do sistemaeest = lim(r (t ) y (t ))50 Re s pos ta pa r bola unit ria

t

40

Amplitude

30

20

t

10

0

0

2

4 Te m po (s )

6

8

10


ExerccioObter o valor de K para que o erro estacionrio ao degrau seja nulo.r(t) + K s+2 2 s+4

y(t)


Soluo:eest = lim s (1 T ( s )) R( s )s 0

T (s) =

K ( s + 2) + K 2 s+4

K ( s + 4) = ( s + 2)( s + 4) + 2 K

1 eest = lim s (1 T ( s )) = 1 T (0) s 0 s 4K eest = 1 = 0 8 + 2K = 4K 8 + 2K

K =4


Anlise de Erro Estacionrio R.U.N.Dado o sistema de realimentao unitria negativa da figura abaixo, sero definidas as constantes de erro

R(s) -

E(s) G (s )

Y(s)

OBS: G(s) pode ser o produto do controlador pela planta


Constantes de erroDefinem-se as constantes de erro Erro de posico: Erro de velocidade: Erro de acelerao:

K p = lim s 0 G ( s )

K v = lim s 0 [ sG ( s )]K a = lim s 0 [ s 2G ( s )]


Definio de Tipo de sistemasUma planta qualquer pode ser escrita como

K ( s + z1 )( s + z 2 ) L K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) L = m G(s) = m s ( s + p1 )( s + p2 ) L s (T1s + 1)(T2 s + 1) LO tipo do sistema o ndice m, ou seja, o nmero de plos em zero da plantaObservar que para o sistema do tipo 0 K0 corresponde ao ganho para freqncia nula


Transformada do sinal do erroDo diagrama de realimentao negativa unitria

R(s) -

E(s) G (s)

Y(s)

E ( s) = R( s) Y ( s) Y ( s) = G ( s) E ( s) R( s) E ( s) = 1 + G ( s)


Aplicando o teorema do VF O erro estacionrio definido como o limite do erro para uma entrada de referncia r(t) quando o tempo tende a infinito

eest = lim ( r (t ) y (t ) )t

sR ( s ) eest = lim e(t ) = lim[ sE ( s )] = lim[ ] t s 0 s 0 1 + G ( s )Controle de Sistemas Mecnicos

Erro para o degrau unitrioConsiderando a entrada de referncia como um degrau unitrio

s( 1 ) 1 s ]= eest = lim[ s 0 1 + G ( s ) 1 + lim G ( s )s 0

Lembrando que

K pos = lim s 0 G ( s )

1 eest = 1 + K posControle de Sistemas Mecnicos

Para a rampa unitriaConsiderando a entrada de referncia como uma rampa unitria s( 1 2 ) 1 s ]= eest = lim[ s 0 1 + G ( s ) lim[ s + sG ( s )]s 0

Lembrando que

K vel = lim s 0 sG ( s )

1 1 = eest = lim[ sG ( s )] K vels 0


Para a parbola unitriaConsiderando a entrada de referncia como uma parbola unitria s( 1 3 ) 1 s ]= eest = lim[ s 0 1 + G ( s ) lim[ s 2G ( s )]s 0

Lembrando que

K ace = lim s 0 s 2G ( s )

1 1 = eest = 2 lim[ s G ( s )] K aces 0


Para sistemas tipo 0

K pos

K 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = lim G ( s ) = = K0 s 0 (1 + T1s )(1 + T2 s ) L

K vel

sK 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = lim[ sG ( s )] = =0 s 0 (1 + T1s )(1 + T2 s ) L

K ace

s 2 K 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L =0 = lim[ s 2G ( s )] = s 0 (1 + T1s )(1 + T2 s ) LControle de Sistemas Mecnicos

Considerando a entradaPara degrau unitrio:

1 1 eest = = 1 + K pos 1 + K 0

Para rampa:

1 eest = = K veleest 1 = = K ace

Para parbola:



K pos

K 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = lim G ( s ) = = s 0 s (1 + T1s )(1 + T2 s ) L

K vel

sK 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = lim[ sG ( s )] = = K0 s 0 s (1 + T1s )(1 + T2 s ) Ls 2 K 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L =0 = lim[ s 2G ( s )] = s 0 s (1 + T1s )(1 + T2 s ) LControle de Sistemas Mecnicos

K ace


1 =0 eest = 1 + K pos

Para rampa:

1 1 eest = = K vel K 0eest 1 = = K ace

Para parbola:



K pos

K 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = = lim G ( s ) = 2 s 0 s (1 + T1s )(1 + T2 s ) L

K vel

sK 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = lim[ sG ( s )] = 2 = s 0 s (1 + T1s )(1 + T2 s ) L

K ace

s 2 K 0 (1 + Ta s )(1 + Tb s ) L = lim[ s 2G ( s )] = 2 = K0 s 0 s (1 + T1s )(1 + T2 s ) LControle de Sistemas Mecnicos


1 =0 eest = 1 + K pos

Para rampa:

1 eest = =0 K veleest 1 1 = = K ace K 0

Para parbola:


Tabela de erros estacionriosTipo do sistema G(s) Degrau unitrio Rampa unitria Parbola unitria

0

1 1 + K pos

1 K vel

1 K ace

1

0 0

2

0


RefernciaConstantes de Erro Ogata pg 400-402 Erro Estacionrio Ogata pg 227-233 Tipo do sistema Ogata pg 227 Controlador Integral Ogata pg 180


Documents

Apostila Controle - 09 - Erro Estacionário