Universidade Federal do Maranhão

Centro de Ciências exatas e Tecnologia

Departamento de Física

Notas de Aula

Física I

Prof. Jerias Batista

São Luís, 2011

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O ciclo básico do curso de Física compreende 2 anos de estudos das leis fundamentais da Natureza.

1º. Semestre: Estudo das leis básicas da Mecânica.

Temas: Medição, unidades, grandezas físicas. Vetores. Movimento em uma, duas e três dimensões. Leis de Newton e aplicações. Energia e transferência de energia. Momento linear e leis de conservação. Rotação de corpos rígidos. Dinâmica do movimento de rotação e leis de conservação. Equilíbrio dos corpos rígidos e elasticidade.

2º. Semestre: Aplicação das leis básicas da Mecânica a ondas e fluidos. Estudo dos princípios da termodinâmica.

3º. Semestre: Estudo das leis básicas da Eletricidade e Magnetismo.

4º. Semestre: Continuação do estudo das leis da eletricidade e Magnetismo. Óptica. Princípios de Física Moderna.

No final do 1º Semestre espera-se que o estudante seja capaz de:

i. ENTENDER E DESCREVER cada um dos conceitos fundamentais relacionados abaixo.ii. RESOLVER problemas (simulações da realidade) relacionados a esses conceitos.

Princípio Fundamental:

Você não sabe Física enquanto não for capaz de fazer Física. Isto significa não apenas entender os princípios gerais, mas também aprender a usá-los em situações específicas.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS A SEREM ABORDADOS NO CURSO DE FÍSICA I

Unidade I

Modelo físico. Limite de validade de um modelo físico. Partícula ou ponto material. Grandeza física. Sistema Internacional de Unidades. Grandeza física escalar e vetorial. Módulo, direção e sentido. Deslocamento. Trajetória. Vetor paralelo, antiparalelo, negativo e unitário. Soma vetorial. Vetores componentes. Produto escalar. Produto vetorial. Velocidade média e instantânea. Gráficos x-t, v-t e a-t. Derivada. Velocidade escalar média e instantânea. Aceleração média e instantânea. Diagrama do movimento. Queda livre. Aceleração da gravidade. Vetor posição. Projétil. Movimento circular uniforme e não uniforme. Aceleração centrípeta. Período. Velocidade relativa.

Unidade II

Sistema de referência inercial e não inercial. Leis de Newton para o movimento. Mecânica Clássica. Força. Força de contato. Força normal. Força de atrito. Força de tensão. Forças de longo alcance. Superposição de forças. Força líquida ou resultante. Inércia. Massa. Equilíbrio. Ação e reação. Diagrama de corpo livre. Peso. Peso aparente. Coeficiente de fricção. Coeficiente de atrito estático e cinético. Força de arrasto. Velocidade terminal. Trabalho. Energia cinética. Energia potencial elástica e gravitacional. Energia mecânica. Teorema energia-trabalho. Lei de Hook. Potência média e instantânea. Conservação da energia. Forças conservativas e não conservativas. Forças dissipativas. Equilíbrio estável e instável.

Unidade III

Momento linear. Impulso. Teorema momento-impulso. Princípio de conservação do momento linear. Colisão elástica e inelástica. Centro de massa. Centro de gravidade. Corpo rígido. Velocidade angular média e instantânea. Deslocamento angular. Aceleração angular média e instantânea. Aceleração tangencial e centrípeta. Momento de inércia. Teorema dos eixos paralelos. Torque. Trabalho e potência no movimento rotacional. Momento angular. Conservação do momento angular. Tensão e deformação. Elasticidade e plasticidade.

Material de apoio:

1 – SEARS, ZEMANSKY, YOUNG e FREEDMAN. Física I.2 – HALLIDAY, RESNICK, e WALKER. Fundamentos de Física, Vol. 1.3 – NUSSENZVEIG. Física, Vol. 1.

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Unidade I

INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO E MODELOS FÍSICOS

Objetivos: Estudar os movimentos em 1 e 2-dimensões. Nesta primeira etapa não nos preocuparemos com a causa do movimento, ou do repouso, mas apenas com o estado do movimento em si. Para tanto, vamos discutir os conceitos de trajetória, deslocamento sobre a trajetória e, por fim, vamos estudar a forma como um objeto se desloca sobre a trajetória com a discussão dos conceitos de velocidade e aceleração. Como ferramenta auxiliar ao entendimento das propriedades físicas a serem estudados, vamos fazer uma breve revisão sobre os conceitos de vetores, funções de 1º. e 2º. graus, limites, derivadas e integrais de funções polinomiais.

Por que estudar Física?

Porque é uma… Ciência fundamental (químicos, biólogos, engenheiros, médicos, etc, dependem dela). Porque é uma aventura:

Inteligente Compensadora Gratificante Frustrante Porque desenvolve o senso estético e inteligência racional (simula-se quase tudo!) Porque é uma elevada aquisição da mente humana na busca para compreender nossa

existência e o mundo em que vivemos.

Natureza da Física → ciência experimental

Como um físico faz Física?

1. Sob estado de curiosidade aguçada aprende a fazer perguntas pertinentes sobre as “coisas”.2. Projeta experimentos para tentar responder às perguntas pertinentes.3. Observa os fenômenos e tenta achar padrões de comportamento e os princípios que relacionam um fenômeno com os outros.4. Obtém conclusões apropriadas dos resultados dos experimentos.

Padrão → teoriaTeoria bem estabelecida → lei

NOTA: Por mais consistente que pareça, uma teoria não contém a verdade final, independente do número de experiências que ela satisfaz.

Exemplo: Mecânica de Newton. Um único experimento pode “por tudo abaixo”!

Para Aristóteles: corpo mais pesado cai primeiro.Para Galileu: todos caem ao mesmo tempo.

Prática: Deixe uma folha de papel aberta cair e depois repita a mesma experiência com a folha amassada.Resultado: Folha amassada cai primeiro! Por quê? Galileu estava errado? Discutir.

Toda teoria tem um limite de validade. A teoria de Galileu não está errada: só funciona no vácuo!

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Evolução da teoria da Mecânica:

Modelo físico → representação matemática simplificada de um sistema físico (detalhes são ignorados).

Exemplo: Bola de futebol lançada ao ar.

Versão real:- a bola não é um ponto (tem tamanho). - gira no ar.- tem saliências (costuras). - muda de direção com o vento.- peso varia com a altura. - sofre ação da gravidade.

Conclusão: Problema quase impossível de ser resolvido.

Versão simplificada:- a bola é pontual (seu tamanho não é relevante). - não gira no ar.- não sofre a ação do vento. - peso não varia com a altura.- sofre ação da gravidade.

Único efeito relevante: ação da gravidade.

Modelo com gravidade: y=tgα ∙ x− g

2 v02cos2 α

x2

Modelo sem gravidade: y=tgα ∙ x

NOTA: Seja cauteloso ao desprezar alguns fenômenos quando estiver elaborando um modelo!

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Unidade II

PADRÕES DE MEDIDAS, UNIDADES DE REFERÊNCIA E PROPRIEDADES DE VETORES

Toda medida em Física é representada por um NÚMERO. O número é a GRANDEZA FÍSICA, ou seja, é a “quantidade” do fenômeno observado em relação a um

valor de referência (denominado valor padrão).

Exemplo: Altura do professor: 1,65 m → 1,65 vezes maior do que uma barra padronizada de 1 m de comprimento.Unidades de referências fundamentais em Mecânica:

1 m = 1 unidade da grandeza física comprimento.1 s = 1 unidade da grandeza física tempo.1 kg = 1 unidade da grandeza física massa. (1 kg = 103 gramas = 1000 g)

NOTA: Jamais represente o resultado de uma medida sem indicar o padrão de referência. Caso isso ocorra, você não estará fazendo Física, apenas física! Um bom conselho é sempre usar as unidades nos cálculos.

Exemplo: 1228,0 km/h = 1228,0 103 m/h (1 h/3600 s) = 341,1 m/s (Mach 1!)

Se uma grandeza física é descrita por um NÚMERO + UNIDADE ela é denominada GRANDEZA FÍSICA ESCALAR.

Exemplo.: 72 kg → Grandeza física: 70 Unidade: kg30 0C → Grandeza física: 30 Unidade: 0C220 V → Grandeza física: 220 Unidade: V

Se a grandeza física é descrita por um NÚMERO + UNIDADE + DIREÇÃO ela é denominada GRANDEZA FÍSICA VETORIAL.

Exemplos: Deslocamento de 2 m para a direita.Velocidade de 80 km/h para Leste.Professor pesa cerca de 700 N.

Grandeza física: 2 Unidade: m Direção/Sentido: da esquerda para a direita Grandeza física: 80 Unidade: km/h Direção/Sentido: do oeste para o lesteGrandeza física: 700 Unidade: N Direção/Sentido: de cima para baixo

NOTA: Cuidado para não confundir uma grandeza física escalar com uma grandeza física vetorial!

Representação algébrica de vetores: A , B ,C .

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Representação geométrica de vetores: Noção de deslocamento: só depende dos pontos inicial e final do caminho percorrido.

Vetor deslocamento: A = P2−P1.

PROPRIEDADE DE VETORES

Vetor → N , D ,S (Número, Direção, Sentido)Escalar → N (N = número) → fornece o tamanho, a quantidade, a magnitude ou a

intensidade da grandeza física.

Tamanho do vetor = módulo do vetor → A=|A|≡ N

NOTA: Soma-se se vetor com vetor, escalar com escalar, mas não há definição para soma de vetor com escalar.

i) Vetores paralelos (possuem mesma direção e mesmo sentido)

ii) Vetores antiparalelos (possuem a mesma direção, mas sentidos contrários)

iii) Soma vetorial: C= A+ B

Se A e B são paralelos/antiparalelos:

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Decomposição de vetores

Motivação: Por que estudar decomposição de vetores em Física? Em geral não é possível resolver algebricamente problemas em duas ou mais dimensões. Assim, precisamos “dividir” o fenômeno físico representado pela grandeza vetorial em questão em tantas partes quantas forem suas dimensões. Despois de devidamente separas, estas partes são estudadas isoladamente e depois juntadas para se obter o fenômeno

completo de volta. No exemplo abaixo, Bx e B y são estas partes do vetor B, que foram encontradas

projetando-se o B sobre outros vetores (eixos) linearmente independentes. Você perceberá que em todos os

problemas da Física procederemos desta forma.

B=B x+ By

B=B x i+B y j

Bx e B y - componentes do vetor B

Módulo do vetor B:|B|=B=√Bx2+By

2 Direção: tgθ=By /Bx →θ=t g−1 (By /Bx )

iv) Somando componentes de dois vetores

A=A x i+A y j e B=Bx i+B y j→ A+ B=( Ax+Bx ) i+ (A y+By ) j

v) Multiplicando um vetor por um escalar

B=c A=c ( Ax+ A y)=c (Ax i+A y j )=c A x i+c A y j

Um exemplo em Física I: Segunda lei de Newton: F ¿m a.

vi) Multiplicando dois vetores A e B

a) Produto escalar A ∙ B (é um escalar)

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A ∙ B=A .(Bcosθ)

A ∙ B equivale a multiplicar o módulo de A pelo módulo da componente de B paralela a A.

Se A // B A ∙ B=¿ A ∙ Bcos00 = A ∙ B(máximo).Se A ⊥ B A ∙ B=A ∙Bsen00=0 (mínimo).

NOTA: Para que serve o produto A ∙ B? Serve como filtro. Quando fazemos o produzo A ∙ B eliminamos

todas as componentes de B perpendiculares a A.

Um exemplo em Física I: Trabalho de uma força.

W=F ∙ d=Fx ∙ d=F x i ∙ d i=Fx d ( i ∙ i )=(Fcosθ )d=Fdcosθ

NOTA: Somente a força que está na direção do deslocamento realiza trabalho. Ou contra, ou a favor! Esse d

é deslocamento, não uma distância!

Usando a base de vetores unitários (i, j, k )

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = (1)∙(1)∙cos(00) = 1

i ∙ j = j ∙ k = k ∙ i = (1)∙(1)∙cos(900) = 0

A ∙ B=(Ax i+A y j ) . (Bx i+By j )=Ax Bx+A y B y

b) Produto vetorial A × B (é um vetor)

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A × B = A (Bsenθ )

A × B equivale a multiplicar o módulo de A pelo módulo da componente de B perpendicular a A.

Se A /¿ B A × B=A . B sen 00 = 0 (mínimo).

Se A⊥ B A × B=A ∙ Bsen900=A ∙B (máximo).

NOTA: Para que serve o produto A × B? Serve como filtro. Quando fazemos o produzo A × B eliminamos

todas as componentes de B que são paralelas a A.

Um exemplo em Física I: Torque de uma força (mede a eficiência de uma força para fazer um corpo girar em torno de um ponto).

τ=r F

Um exemplo em Física I: Momento angular (relaciona a distribuição de massa do corpo com a velocidade angular).

L=r × m v=r p=rpsenϕ

Usando a base (i, j, k ):

Magnitude de C: C=ABsenθ

Direção de C: Perpendicular a A e a B ao mesmo tempo.

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Regra da mão direita:

i i = j j = k k=(1 ) . (1 ) sen00=0

i j =- j i = k

j k =-k j = i

k i =-i k = j

Permutação cíclica: (i, j, k , i, j, k )

A B =(A x i+A y j+A z k ) .(B x i+B y j+B z k )=¿( A y B z−A z B y) i+( A z B x−A x B z ) j+( A x B y−A y B x ) k

Escrevendo na forma compacta (matricial):

A B = ( i j kAx A y A z

Bx B y B z)

Questões para Discussão da Unidade II

1. Quantas experiências corretas são necessárias para se desaprovar uma teoria? Quantas são necessárias para se aprovar uma teoria? Explique.

2. Dois vetores cujos comprimentos sejam diferentes podem possuir uma soma vetorial igual a zero? Qual a restrição para os comprimentos a fim de que eles possuam uma soma vetorial igual a zero? Explique.

3. Você pode achar uma grandeza vetorial que possua módulo igual a zero, tendo, porém, componentes diferentes de zero? Explique.

4. Se é a soma vetorial de e , ou seja, se , o que deve ser verdadeiro se C = A + B? O que deve ser verdadeiro, se C = 0?

5. Se e são vetores diferentes de zero, é possível que e sejam ambos iguais a zero? Explique.

6. Quais das seguintes operações são legítimas:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ? Forneça a razão da resposta em cada caso.

7. É possível adicionar uma quantidade vetorial a uma quantidade escalar? Explique.

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8. Um vetor de magnitude 3 não pode ser adicionado a outro de magnitude 4 de modo que a magnitude do vetor resultante seja:

a) zero b) 1 c) 3 d) 5 e) 7

9. Os vetores e estão relacionados por . Qual dos diagramas abaixo representa esta relação?

a) b) c) d) e) Nenhuma delas.

10. Seja R=S × T e θ 900, onde θ é o ângulo entre S e T quando eles são desenhados de modo que ambos partem do mesmo ponto. Qual das seguintes alternativas não é verdadeira?a) |R|=|S||T|sen b) – R=T × S c) R ∙ S=0 d) R ∙T=0 e) S ∙T=0

Unidade III

MOVIMENTO EM 1-DIMENSÃO

Objetivos:

Descrever o Movimento Retilíneo (MR) em termos da posição r, velocidade v e da aceleração a

.

Interpretar gráficos de x ∙ t , v ∙ t e a ∙ t .

Resolver problemas de MR com aceleração constante (e não constante também).

Definições importantes:

Deslocamento = mudança de posição.

Posição = lugar geométrico sobre uma trajetória.

Trajetória = sucessão de todos os pontos possíveis de serem ocupados por um objeto

durante o movimento.

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Deslocamento de P1 até P2: x2−x1 ou ∆ x=x2−x1.

NOTA: Deslocamento é uma grandeza física vetorial. Portanto, ∆ x (N,D,S).

Como o movimento ocorre em “linha reta” a direção D não muda! Então não vamos usar ∆ x e sim

∆ x (¿|∆ x|).

Significado de ∆ x: é a componente de ∆ x na direção do eixo x (∆ x = ∆ x ∙i).

Onde está o S (de sentido)? Aparece no sinal de ∆ x.

Veja:

Se x2> x1 , ∆ x>0 +∆ x

Se x2< x1 , ∆ x<0 -∆ x

Resumindo: S N S N

+ ∆ x - ∆ x

Exemplo: ∆ x = 10 m ∆ x = - 5,0 m

Intervalo de tempo: ∆ t=t 2−t 1 (∆ t é um escalar!)

VELOCIDADE MÉDIA (vm)

Razão entre deslocamento e intervalo de tempo gasto durante o deslocamento.

vmx=x2− x1

t 2−t 1

=∆ x∆ t

NOTA: Por que a direção é sempre a mesma, vamos usar o vetor sem a seta:

vmx=x2−x1

t 2−t 1

=∆ x∆ t

Unidade padrão no Sistema Internacional de Unidades: m/s.

Unidade usada no cotidiano: km/h

NOTA: Para converter de km/h para m/s dividir o valor da grandeza por 3,6.

Para converter de m/s para km/h multiplicar o valor da grandeza por 3,6.

Ex.: 90 km/h = 90.1000 m/3600 s = 90/3,6 m/s = 25 m/s.

11.000 m/s = 11.0003,6 = 39.600 km/h (velocidade de escape da gravidade terrestre)

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Se ∆ x>0 vmx é positivo

Se ∆ x<0 vmx é negativo

NOTA: vmx só depende de x1 , x2 ,t 1 , t 2. Não dá informação sobre detalhes do movimento!

Gráfico x ∙ t

tgθ=∆ x /∆ t inclinação da curva fornece vmx.

Um pouco mais sobre inclinação:

VELOCIDADE INSTANTÂNEA (v)

vx= lim∆t →0

∆ x∆ t=dx

dt= lim

∆t → 0vmx

Lembre-se que vx é o vetor componente de v na direção do eixo x (v=v x=vx ∙ i+0 ∙ j+0 ∙k )

NOTA: Não confunda velocidade média (N, D, S) com velocidade escalar média (N)!

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Ex.: Você parte de um ponto e caminha uma distância L em MR em um intervalo de tempo ∆ t e depois retorna ao mesmo ponto de partida no mesmo intervalo de tempo. Encontre a velocidade média e a velocidade escalar média.

velocidade média= deslocamentointervalo de tempo

=∆ x∆ t= L−L

∆ t=0

velocidade escalar média=distância percorridaintervalo de tempo

=|∆ x|∆ t

= L+L∆ t

=2 L∆ t

≠ 0

NOTA: A velocidade média só é igual à velocidade escalar média em: MR, mesmo D e mesmo S!

Diagrama de movimento (análise gráfica do MR)

Lembrar que v = inclinação (numericamente, apenas) da curva de x ∙ t .Inclinação positiva vx > 0 (pontos A e B)Inclinação nula vx = 0 (ponto C)Inclinação negativa vx < 0 (pontos C e D)

ACELERAÇÃO MÉDIA (am) E INSTANTÂNEA (a)

Aceleração grandeza física que indica a variação da velocidade

am=∆ v∆t

O movimento é em 1-D a=ax i+0 j+0 k=ax i

Então,

amx=v2 x−v1 x

t 2−t 1

= ∆ v∆ t

Unidade de referência: m/s2.

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Se medirmos v1x e v2x no intervalo de tempo muito pequeno t 0) obtemos a variação instantânea da

velocidade (aceleração instantânea):

ax= lim∆ t →0

∆ v∆ t= lim

∆t →0am

ou

ax=d v x

dt.

Como

vx=dxdt

Então,

ax=ddt

(vx )=ddt ( dx

dt )=d2 xd t 2

NOTA: A segunda derivada de uma função dá informação sobre a concavidade da curva.

Gráfico v ∙ t

NOTA: A inclinação da curva no gráfico v ∙ t é numericamente igual à aceleração.

Outra opções de gráficos:

Em A: vxA < 0 e ax > 0 movimento no sentido de – x (velocidade negativa e desacelera). O objeto se move

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ainda um pouco antes de parar.

MOVIMENTO RETILÍNEO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE

NOTA: Se ax = constante amx = ax em qualquer instante de tempo!

Usando a relação

amx=v2 x−v1 x

t 2−t 1

= ∆ v∆ t

amx=ax

Fazendo t1 = 0,

ax=v2 x−v1 x

t 2−0v2x=v1 x+ax t

NOTA: Este resultado só vale para ax = constante!

Gráfico de a∙ t

Observação: De agora em diante vamos usar a seguinte notação:

Tempo inicial: t ≡ t0=0

Posição inicial: x0

Velocidade inicial: v0 x

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Gráfico de vx ∙ t ( a = constante)

vm=v0 x+vx

2

vm=v0 x+v0 x+ax t

2

vm=v0 x+12

ax t

Por definição,

vmx=x−x0

t−0=

x−x0

t.

Igualando ao resultado anterior:

x−x0

t=v0 x+

ax t 2

2x=x0+v0 x t+1

2ax t 2

NOTA: Este resultado só vale para ax = constante!

Gráfico de x ∙ t ( a = constante)

Papel da 2ª. derivada concavidade da curva

Se

Sed2 xd t2 >0 ax>0

Sed2 xd t2 <0 ax<0

Se a descrição do movimento não tiver informação sobre o tempo, então

vx=v0x+ax t t=vx−v0 x

ax

Substituindo,

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x=x0+v0x t+ 12

ax t 2=x0+v0 x ( vx−v0x

ax)+ 1

2ax ( v x−v0 x

ax)

2

Simplificando,

vx2=v0x

2 +2ax (x−x0 ) (válido somente para a = constante!)

Outra equação importante

De

vmx=x−x0

tevm=

v0x+vx

2x=x0+( v0x+v x

2 )t

Uma aplicação importante para aceleração constante: movimento em queda livre (exemplo real mais

simples).

a= Pm= g

Módulo de g constante = 9,8 m/s2

Direção de g constante e vertical

Sentido de g constante e “de cima para baixo”

P=mg é a força da gravidade sobre o objeto.

Características do movimento em queda livre

Todas as equações anteriores são válidas, desde que a resistência do ar seja desprezada.

v y=v0 y ±>¿;

y= y0+v0 y t ±12

g t 2;

v y2=v0 y

2 ± 2 g ( y− y0 ) O sinal ± é função da orientação da trajetória.

No ponto mais alto da trajetória a velocidade vy é nula:

Encontre o tempo de subida:

A altura máxima alcançada é quando o tempo do movimento é igual ao tempo de subida:

Encontre a altura máxima:

O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima.

A velocidade da bola na subida é igual à velocidade na descida, medida a uma mesma altura.

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A aceleração é constante e SEMPRE igual a g, mesmo quando o objeto está parado no ponto mais alto.

MOVIMENTO RETILÍNEO COM ACELERAÇÃO VARIÁVEL

Na maioria dos movimentos na natureza a varia com o tempo.

Área total: soma dos retângulos entre t1 e t2.

Atotal=∆ t 1 ∙ amx 1+∆ t 2 ∙ amx 2+∆ t3 ∙ amx 3+⋯+∆ t n∙ amxn=∆ v1+∆ v2+∆ v3+⋯+∆ vn=∑1

n

∆ v xn

Para ∆ t 0, ∆ v dv e

Atotal=∫vx1

vx2

d vx=∫t1

t2

ax (t )dt=∆ v x .

Então,

v2 x=v1 x+∫t1

t2

ax (t )dt ou v x=v0 x+∫0

t

ax( t)dt

NOTA: Se fizermos ax= constante no resultado acima obtemos as equações anteriores para aceleração constante:

vx=v0x+ax∫0

t

dt=¿¿¿

Usando a noção de derivada (vx=dxdt

), temos

dxdt=

d x0

dt+∫

0

t d v x ( t )dt

dt=¿ vx ( t )ddt

( x−x0 )=vx (t ) .¿

Integrando este último resultado em t,

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∫0

tddt

(x−x0 )dt=∫0

t

vx ( t )dt x=x0+∫0

t

v (t )dt .

Se a aceleração não depende explicitamente do tempo v (t)=v0 x+ax t . Substituindo no resultado

acima,

x=x0+∫0

t

(v0 x+ax t)dt=x0+v0 x t+ 12

ax t2 .

NOTA: Com o objetivo de auxiliar o estudante na tarefa de resolver os problemas de Física, enumeramos abaixo algumas estratégias importantes que devem ser seguidas sistematicamente em todas as situações.

IDENTIFICAR os conceitos relevantes e a variável-alvo (o que o enunciado pede).

PREPARAR o problema. Faça um esboço (desenho, diagrama) das forças envolvidas e escreva as equações relacionadas com o assunto. Escreva os dados fornecidos no enunciado e identifique claramente o que se pede.

EXECUTAR a solução. Aqui vem a parte matemática do problema. Cuidado com soluções equivocadas.

AVALIAR a solução. Faça uma breve análise sobre suas respostas. Elas fazem sentido?

Questões para Discussão da Unidade III

1. O velocímetro de um automóvel mede a velocidade escalar ou o vetor velocidade? Explique.

2. Em que condições uma velocidade média pode ser igual a uma velocidade instantânea?

3. É possível ter deslocamento nulo e velocidade média diferente de zero? E uma velocidade instantânea? Ilustre suas respostas com um gráfico x-t.

4. É possível ter uma velocidade nula e uma aceleração média diferente de zero? Velocidade nula e uma aceleração instantânea diferente de zero? Ilustre suas respostas com um gráfico v-t.

5. Um automóvel está se deslocando de leste para oeste. Ele pode ter uma velocidade orientada para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada para leste? Em que circunstâncias?

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6. Em um movimento com aceleração constante, a velocidade média de uma partícula é igual à metade da soma da velocidade inicial com a velocidade final. Isto é verdadeiro quando a aceleração não é constante? Explique.

7. É possível que a magnitude do deslocamento de uma partícula seja maior do que a distância percorrida?

8. Um carro parte de uma cidade, viaja 50 km em linha reta e imediatamente retorna ao mesmo local de origem. O tempo total para a viagem foi de 2 h. A magnitude da velocidade média do carro nesta viagem é de:

a) 0 b) 50 km/h c) 100 km/h d) 200 km/h e) Não dá para calcular sem a aceleração

9. Considere a mesma viagem do problema anterior. A magnitude da velocidade escalar média do carro nesta viagem é de:

a) 0 b) 50 km/h c) 100 km/h d) 200 km/h e) Não dá para calcular sem a aceleração

10. A coordenada de uma partícula em metros é dada por , onde o tempo é dado em segundos. A partícula está momentaneamente em repouso em t igual a:

a) 0,75 s b) 1,3 s c) 5,3 s d) 7,3 s e) 9,3 s

11. A velocidade de um objeto é dada em função do tempo por , onde v está em m/s e t em segundos. Sua velocidade média no intervalo de 0 a 2 s é:

a) 0 b) -2 m/s c) 2 m/s d) -4 m/s e) Não pode ser calculada sem a posição inicial

12. Cada uma das quatro partículas se move ao longo do eixo x. Suas coordenadas (em m) em função do tempo (em s) são dadas por:

partícula 1:

partícula 2:

partícula 3:

partícula 4: Qual destas partículas tem aceleração constante?

a) Todas b) Somente 1 e 2 c) Somente 2 e 3 d) Somente 3 e 4 e) Nenhuma delas

13. A velocidade média de uma partícula que se move em uma dimensão tem valor positivo. É possível que sua velocidade instantânea tenha assumido valor negativo em algum instante durante o intervalo de tempo considerado? Suponha que a partícula partiu da origem x = 0. Se sua velocidade média é positiva, é possível que ela tenha estado na região –x em algum momento?

14. A velocidade escalar média de um objeto que se move em certo intervalo de tempo é sempre:a) a magnitude de sua velocidade sobre o intervalo de tempo consideradob) a distância percorrida durante o intervalo de tempo dividida pelo intervalo de tempoc) metade de sua velocidade escalar no final do intervalod) sua aceleração multiplicada pelo intervalo de tempoe) metade de sua aceleração multiplicada pelo intervalo de

tempo.15. Qual dos gráficos ao lado representa um objeto se movendo em linha reta com velocidade constante de 20 m/s?

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16. Qual dos gráficos da figura ao lado representa o movimento de um objeto se movendo com velocidade escalar constante não nula?

17. Um carro acelera do repouso em uma estrada reta. Pouco tempo depois ele desacelera, pára e então retorna à sua posição original da mesma forma, ou seja, acelerando, desacelerando e parando. Qual dos gráficos ao lado representa melhor este movimento?

18. Um estudante se encontra a uma altura h e lança para cima uma bola com velocidade inicial vi e, logo depois, lança outra bola para baixo com a mesma velocidade. Compare as velocidades finais das bolas quando elas atingem o chão.

Problemas da Unidade II

1. Dois objetos, A e B, estão conectados por uma barra rígida de comprimento L, e podem deslizar ao longo dos trilhos, conforme a ilustra a figura ao lado. Se A desliza para a esquerda com velocidade escalar constante v, encontre uma expressão para a velocidade de B em qualquer instante.

2. Dois motoristas malucos resolvem dirigir um de encontro ao outro. No instante t = 0, a distância entre os dois carros é D, o carro 1 está em repouso e o carro 2 se move da direita para a esquerda com velocidade vo. O carro 1 começa a acelerar a partir de t = 0 com aceleração constante a. O carro 2 continua a se mover com velocidade constante. a) Em que instante ocorrerá a colisão? b) Ache a velocidade do carro 1 imediatamente antes da colisão. c) Faça diagramas x-t e v-t para os dois carros. Desenhe curvas para cada veículo usando o mesmo eixo.

3.

4.

5.

21

6.

7.

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9.

10.

Unidade IV

MOVIMENTO EM 2-DIMENSÕES

Descrição da posição no espaço: considerar agora todas as características vetoriais do deslocamento.

22

Vetor posição:

Vetor deslocamento:

Velocidade média:

Velocidade instantânea:

Direção do vetor velocidade:

Cuidado! A velocidade muda quando: O módulo muda Direção muda

VETOR ACELERAÇÃO

Aceleração média:

Lembrar que a é um vetor N, D, S

Então a ≠ 0 se N varia e D,S = constante (Movimento Retilíneo)ou a ≠ 0 se N = constante e D,S variam (Movimento Curvilíneo)

Aceleração instantânea:

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a= lim∆t →0

∆ v∆ t= lim

∆t → 0am❑

Lembrar que ∆ t é um escalar a tem a mesma direção de ∆ v.

Caso de trajetórias curvas

Componentes da aceleração (2 dimensões)

a∥ = componente paralela à v

a⊥ = componente perpendicular à v

Se |v| é constante a∥=0 e aceleração é normal à trajetória (MCU)

Se |v| aumenta a está à frente da reta normal

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Se |v| diminui a está atrás da reta normal

MOVIMENTO BALÍSTICO (MODELO SIMPLIFICADO)

Problema: objeto lançado com velocidade inicial não nula em certo ângulo em relação à horizontal e sofre ação apenas da gravidade e resistência do ar.

Movimento em x (Movimento Uniforme): a=0 → v x=v0 x e x=x0+v0x t

Movimento em y (Movimento Uniformemente Variado) : a=a y j=−g j →v y=v0 y−¿ e

y= y0+v0 y t−12

g t 2

Da figura, v0 x=v0cosα e v0 y=v0 senα

Distância do projétil até à origem: |r|=r=√x2+ y2

Velocidade escalar do projétil: |v|=r=√v x2+v y

2

Direção e sentido da velocidade: tgα=v y

vx

Forma da trajetória: y=f (x )

y= y0+v0 senα ∙t−12

g t 2

25

y=v0 senα ∙( xv0 cosα )−1

2g( x

v0cosα )2

y= ( tgα ) x− g

2 v02 cos2 α

x2≡ bx−c x2

NOTA: Sem considerar a resistência do ar a trajetória é sempre uma parábola que passa pela origem.

Comparar este resultado com a função polinomial de 2º. grau f ( x )=a x2+bx+c.

Superposição de movimentos (análise vetorial)

v0t → deslocamento da ausência de gravidade

12

g t2 → deslocamento devido à gravidade

Movimentos em x e y são independentes, mas estão conectados pelo tempo t .

CARACTERÍSTICAS SINGULARES DO MOVIMENTO BALÍSTICO:

Tempo de subida é igual ao tempo de descida: t s=t d

Velocidade no ponto mais alto da trajetória: v y=0 e vx=v0 cosα (constante durante todo o

movimento) Aceleração no ponto mais alto da trajetória: −g.

Alcance máximo horizontal: usar t=2 t s na equação

xmáx=v0 x ∙2t s=2 v0 cosα( v0 senαg )= v0

2 sen2 αg

Lembrar que senθ≤1 e se θ=9 00 → senθ=1Então o alcance é máximo quando 2 α=9 00 → α=4 50.

Ângulos complementares possuem o mesmo alcance.

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MOVIMENTO CIRCULAR (MC)

Objeto se movendo em trajetória curva → direção de v muda → tem aceleração.

Movimento Circular Uniforme (MCU) → |v| = constante. Somente a direção muda.

Exemplos: Satélite em torno da Terra, elétrons nos átomos, etc.

|Δv|v1

= Δ sR

ou

|Δv|=v1

RΔ s

Aceleração escalar média: am=|Δ v|

Δt=

v1

RΔ sΔt

Aceleração instantânea: a= limΔt →0

am=v1

RlimΔ t → 0

Δ sΔt=

v1

Rv

No MCU v1=v2=v e a⊥=arad=v2

R(válido apenas para MCU)

Como arad aponta sempre para o centro da curva → aceleração centrípeta.

Período = tempo para uma revolução:

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v=∆ s∆ t=2 πR

Te ar=

v2

R=4 π2 R

T 2 (válido apenas para

MCU)

Movimento Circular Variável (MUV) → |v| = varia e a∥≠ 0

ar=v2

R, e a t=

d |v|dt

Cuidado com a diferença entre at e ar:

d|v|dt=at (medida da variação do módulo de v)

|d vdt | = módulo da aceleração = ar p/ MCU (medida da variação da direção de v¿

No MCU → |d vdt |=a=√ar

2+at2

MOVIMENTO RELATIVO

Observações feitas de referenciais diferentes estão relacionadas entre si. Observadores em diferentes referenciais S e S´ medem diferentes posições, velocidade e acelerações

para um mesmo objeto.

Referencial O: fixo em relação à Terra. Referenciais O´: se move com velocidade v0 em relação a O.

Posições medidas: r ´=r−v0t

Velocidades medidas: d r ´dt=d r

dt−v0= v ´=r−v0 t

NOTA: Este conjunto de equações é denominado transformadas de Galileu (válidas para baixas velocidades).

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Se v0 = constante → aceleração é idêntica para os dois observadores.

d v ´dt=d v

dt−

d v 0

dt→ a´=a

Questões para Discussão da Unidade IV

1. Um estudante se encontra a uma altura h e lança para cima uma bola com velocidade inicial vi e, logo depois, lança outra bola para baixo com a mesma velocidade. Compare as velocidades finais das bolas quando elas atingem o chão.

2. Duas bolas são lançadas horizontalmente do alto de uma ponte com a mesma velocidade. A segunda bola é lançada um segundo depois da primeira. Em que ponto deste evento as bolas estarão mais próximas uma da outra? A primeira bola estará viajando com velocidade sempre maior do que a segunda bola? Qual o intervalo de tempo entre os choques das bolas com o solo? É possível modificar a componente horizontal da segunda bola de modo que ambas toquem o solo ao mesmo tempo?

3. Uma pedra é largada ao mesmo tempo em que uma bola é lançada horizontalmente, ambos de uma mesma altura. Qual das duas terá maior velocidade escalar quando atingirem o solo?

4. Dois objetos são lançados com a mesma magnitude da velocidade inicial, um com ângulo em relação ao solo e outro com ângulo 900-. Os dois objetos caem a uma mesma distância do ponto de lançamento. Eles permanecerão pelo mesmo tempo no ar?

5. Desprezando a resistência do ar, um projétil se move em uma trajetória parabólica. Existe algum ponto em que é paralelo a ? Perpendicular? Explique.

6 Quando um rifle é disparado contra um alvo distante, a direção do cano não coincide com a do alvo. Por que não coincide? O ângulo de correção depende da distância do alvo?

7. Desenhe os seis gráficos para as componentes x e y da posição, da velocidade e da aceleração em função

do tempo para o movimento de um projétil com .

8. Um projétil é atirado verticalmente para cima com uma dada velocidade inicial. Ele alcança a altura máxima de 100 m. Se, em um segundo tiro, a velocidade inicial é o dobro, então o projeto alcançará uma altura máxima de:

a) 70,7 m b) 141,4 m c) 200 m d) 241 m e) 400 m

9. Dois corpos estão caindo livremente, lado a lado, acima de uma superfície plana. Se um dos corpos sofre uma aceleração horizontal adicional durante sua queda, então ele:

a) Toca o solo no mesmo instante do outro.b) Toca o solo antes do outro.c) Tem a componente vertical de sua velocidade alterada.d) Tem a componente vertical de sua aceleração alterada.e) Segue uma linha reta ao longo do vetor aceleração resultante.

10. Qual das curvas abaixo melhor representa a componente vertical de um projétil lançado em um ângulo de 450 acima da horizontal?

a) OC b) DE c) AB d) AE e) AF

29

x

y

11. Usando certa força um físico consegue atirar uma pedra a uma distância horizontal máxima R. Se ele usa a mesma força e atira a pedra verticalmente para cima, qual a altura ela atingirá?

12. Um canhão atira um projétil como ilustra a figura abaixo. A linha pontilhada mostra a trajetória na ausência de gravidade. Os pontos MNOP correspondem à posição do projétil em intervalos de 1 s. Se g = 10 m/s2, os comprimentos X, Y, e Z são:

a) 5m, 10m, 15mb) 5m, 20m, 45mc) 10 m, 40 m, 90md) 10 m, 20 m, 30me) 0,2m, 0,8m, 1,8m

13. Em um movimento circular uniforme, qual a velocidade média e a aceleração média para uma revolução? Explique.

14. Em um movimento circular e uniforme, a aceleração é perpendicular à velocidade em cada instante, embora ambas mudem de direção continuamente. Isso continua válido quando o movimento não é uniforme, ou seja, quando a velocidade escalar não é constante?

15. A velocidade instantânea de uma partícula que se move sobre a trajetória circular da figura abaixo é

(m/s). Sobre que quadrante ela se encontra quando viaja a) no sentido horário e b) no sentido anti-horário. Desenhe o vetor velocidade em cada caso.

16. No caso de uma chuva forte, o que determina a melhor posição do guarda-chuva?

Problemas da Unidade IV

1. O cliente de um bar joga (deslizando) um copo de chope vazio sobre um balcão para um garçom enchê-lo novamente. O garçom estava distraído e o copo caiu no chão a uma distância d da base do balcão, cuja altura era h.

a) Com que velocidade o copo saiu do balcão?b) Qual a direção da velocidade do copo imediatamente antes dele se quebrar no chão do bar?

2. Você solta uma bola da janela de um apartamento localizado a uma altura h. Ao mesmo, uma segunda bola é lançada verticalmente para cima a partir do chão, de tal modo que possui velocidade nula quando atinge a altura da janela. Quando uma bola passa pela outra, qual delas possui maior velocidade ou a velocidade delas é a mesma? Explique. Encontre a altura, a partir do chão, onde as bolas vão se encontrar. Será na metade h, acima ou abaixo?

3. Um projétil é atirado com um ângulo de inclinação em um terreno com inclinado de como mostra a

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figura abaixo.

a) Mostre que o projétil cai a uma distância d ladeira acima dada por .b) Para que ângulo i a distância d será a máxima possível?

4. Um jogador de basquete de 2,00 m de altura joga a bola a uma distância de 10,0 m da cesta, como ilustra a figura abaixo. Se ele joga a bola em um ângulo de 40,00 com a horizontal, com que velocidade ele deve arremessar para que ela caia na cesta sem bater no aro? A altura da cesta é de 3,05 m.

5. Um navio inimigo está parado a 2500 m de uma ilha de 1800 m de altura e aproximadamente 600 m de largura, como mostra a figura abaixo. Ele pode atirar balas a 250 m/s. Localize uma região (ou regiões) do outro lado da montanha onde você pode atracar seu navio em segurança.

6. Um carro de corrida parte do repouso em uma pista circular. O carro aumenta sua velocidade a uma taxa constante at enquanto percorre a pista. Encontre o ângulo entre a direção da aceleração total e a direção radial no fim de uma volta completa.

7. Você se encontra na margem oeste de um rio cujas águas se escoam para do sul para o norte com velocidade de 1,2 m/s. Sua velocidade de natação em relação à água é igual a 1,5 m/s e o rio possui 60 m de largura. Qual é a trajetória em relação ao solo para que você atravesse o rio no menor intervalo de tempo possível? Explique seu raciocínio.

8. Um estudante quer cruzar um rio no menor tempo possível. Ele pode remar a 2 m/s em água parada e o rio está fluindo a 1 m/s, conforme ilustra a figura ao lado. Em que ângulo ele deve orientar sua canoa para que isto aconteça?a)30◦ b)45◦ c)60◦ d)63◦ e)90◦

9. Dois estudantes de Física disputaram uma prova de nado livre em um rio cujas águas estavam se

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movimentando com velocidade v em relação às margens. Os dois nadaram à mesma velocidade c em relação à água (c > v). Um estudante desceu a correnteza paralela às margens do rio até uma distância L, e depois retornou ao ponto de partida. O outro estudante preferiu nadar a mesma distância L, mas de forma que seu deslocamento fosse perpendicular às margens do rio, e depois retornou ao ponto de partida. Qual dos dois venceu a prova? (Certamente aquele que estudou mais do que o outro!).

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Unidade V

LEIS DE NEWTON PARA O MOVIMENTO E APLICAÇÕES

Efeito → Causa (movimento: x , v , a) (?)

Força → interação entre dois corpos ou entre um corpo e a sua vizinhança.

As forças podem se manifestar de várias formas diferentes. De um ponto de vista geral, podemos classificá-las de acordo com o resultado de sua manifestação. Veja os exemplos abaixo:

Forças de contato

Força normal

Forças de atrito

Forças de tensão

Força gravitacional

Forças de elétrica

Forças de magnética

Força atômica/molecular

Forças nucleares

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Descrição da força F

Observe o resultado da aplicação de uma força de mesma magnitude F (mesmo tamanho) sobre o objeto da figura abaixo.

Três experiências → três resultados distintos.

Única diferença entre as experiências: direção de F → força é uma grandeza vetorial (N, DS).

As forças se superpõem:

Componentes da força F

Força resultante: FR=Fx+ F y=∑i= x , y

F i

Módulo ou magnitude de FR : FR=√FRx2 +FRy

2

Direção de FR : θ=tg−1 (FRy /FRx)

Unidade de força: Newton (N). 1N = 1kg∙ m/s2

PRIMEIRA LEI DE NEWTON (OU LEI DA INÉRCIA)

“Na ausência de qualquer força externa o estado de movimento de um corpo permanece o mesmo”.

Consequências: A velocidade permanece constante (∆ v=0→ a=0).

Se a velocidade inicial for nula ( v0=0) então ela permanecerá nula sempre.

Exemplos: Disco se deslocando sobre colchão (mesa) de ar; nave viajando pelo espaço (sem propulsão).

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Referencial Inercial: qualquer sistema de referência que está fixo em relação a algum ponto do espaço ou se movimentando com velocidade constante em relação a ele.

NOTA: As leis de Newton só valem em referenciais inerciais.

Inércia → resistência que um corpo oferece à mudança de sua velocidade. Descrição qualitativa.Massa → propriedade que quantifica a inércia do corpo. Descrição quantitativa.

SEGUNDA LEI DE NEWTON

O que acontece se existe uma força (ou várias) atuando sobre um objeto?

i) 1º. Caso: ∑ F=FR=0 (a soma de todas as forças é nula).

Se a soma de todas as forças (força resultante) sobre um corpo é nula ( FR=0) sua velocidade

resultante permanece constante (nula ou não). Cuidado: velocidade é uma grandeza vetorial e deve permanecer constante em número, direção e sentido.

Questão para discussão: Como as naves aceleram e desaceleram no vácuo?

Se a velocidade resultante for nula ( vR=0) então a força resultante necessariamente será nula (

FR=0).

NOTA: Quando a velocidade de um objeto é constante (nula ou não) ele se encontra em equilíbrio.

ii) 2º. Caso: ∑ F=FR ≠ 0 (a soma de todas as forças não é nula).

Consequência: A velocidade muda!

Como a velocidade muda quando aplicamos força a um objeto?

Verifica-se experimentalmente que: ∆ v1∝F1

m;∆ v2∝

F2

m;∆ v3∝

F3

m;⋯; ∆ vn∝

Fn

m;

Como ∆ v1=a ∙ ∆ t → m=F1

a1

=F2

a2

=F3

a3

=⋯=Fn

an

Escrevendo de forma geral: FR∝ inércia × mudança de v.

Então, FR=m a ou ∑ F=ma

“A resultante das forças que agem sobre um objeto é igual ao produto da massa do objeto pela aceleração que ele adquire. A aceleração estará sempre na direção e sentido da força resultante”.

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NOTA: A força não é a causa do movimento, mas sim a causa da mudança no estado de movimento. Pode haver movimento sem forças. (lembrar da inércia!).

CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE A RELAÇÃO ∑ F=ma

i) F e a são vetores descritos pelas componentes ∑ F x=max, ∑ F y=ma y e

∑ F z=m az.

ii) ∑ F representa apenas forças externas ao corpo (exercidas por outros corpos).

NOTA: Forças internas de um corpo não podem alterar o estado de movimento do próprio corpo!

Exemplo: Não é possível uma pessoa levantar a si própria puxando uma de suas mãos para cima com a outra.

iii) ∑ F=ma só vale se a massa m permanecer constante com o tempo.

NOTA: Se a massa m do corpo ou de um sistema variar com o tempo devemos usar outra metodologia (momento linear).

iv) A 2ª. Lei de Newton só vale em referenciais inerciais.

Questão para discussão: carro freando ou acelerando em linha reta é um referencial inercial? E fazendo uma curva? De onde vem a “força” que nos impulsiona para frente (para trás) do carro quando ele freia (acelera) repentinamente? E a “força” que nos impulsiona para a lateral do carro quando ele faz uma curva?

Obs.: Nenhum desses referenciais acima é inercial e, portanto, não podemos aplicar as leis de Newton neles!

NOTA: Embora o vetor m a seja igual ao vetor força F, o vetor m a não é uma força: a é a consequência da

aplicação de uma força, não a força propriamente. Exemplo: Quando um carro acelera, não existe nenhuma força empurrando o motorista para trás contra o banco. O carro acelera em relação à Terra (referencial inercial) e, portanto, não podemos aplicar a lei de Newton neste caso e dizer que há uma força só porque há uma aceleração. A “força aparente” na verdade é uma consequência da inércia do motorista, que estava parado e tendia a continuar neste estado para sempre.

TERCEIRA LEI DE NEWTON (AÇÃO-REAÇÃO)

Características: As forças de interação entre dois corpos vizinhos ou duas partes internas de um mesmo corpo formam pares de forças ação-reação.

“Os pares de força ação-reação possuem mesmo módulo (magnitude), mesma direção e sentidos

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opostos”.

NOTA: As forças do par ação-reação F AB e FBA atuam em corpos diferentes!

ALGUMAS APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON PARA O MOVIMENTO

A. APLICAÇÕES SOBRE A 2ª. LEI DE NEWTON.

1) Encontre as tensões T1, T2 e T3 mostradas na figura abaixo, sendo P = 122 N.

Identificar: Sistema está em equilíbrio → a=0 → podemos usar a 1ª. lei de Newton (ou a 2ª.). Variável-alvo: tensões T1, T2 e T3 nos cabos.

Preparar: diagrama de forças.

Equações pertinentes:

∑ F x=0; ∑ F y=0

Executar:

Analisar: O resultado é coerente. Por exemplo, veja que quanto mais vertical estiver o cabo maior será o peso sustentado por ele e maior será a tensão.

2) a) Encontre a aceleração de um carro que desce uma ladeira de comprimento d com neve.

Identificar: Neste caso o carro acelera. Por quê? → ∑ F ≠ 0 e podemos usar a 2ª. lei de Newton. Como a

pista tem neve não existe atrito entre os pneus e o chão.Variável-alvo: aceleração a.

Preparar: diagrama de forças.

Executar: ∑ F x=0: P x=m∙ax → Psenθ=m∙ax (1)

∑ F y=0 N−P y=0 → N−Pcosθ=0 (2)

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Da equação (1), mgsenθ=m∙ ax → ax=gsenθ

Analisar: Neste exemplo não se leva em conta o fato de que as rodas estão girando, de modo que o carro desce a ladeira deslizando. Na última parte deste curso vamos considerar este mesmo problema, mas com o objeto descendo o plano inclinado rolando sem deslizar. Como aqui não tem atrito, a aceleração não depende da massa m, só da inclinação da pista. Como θ ≠ 0 → N ≠ P e N=mgcosθ

2) b) Quanto tempo o carro gasta para percorrer toda a extensão d da ladeira, sendo que ele parte do repouso? Qual a velocidade no final do percurso?

Identificar: Este é um problema de cinemática. Aqui a aceleração ax é constante. Variáveis-alvos: t e vf.

Preparar:

Executar:

Avaliar:O que acontece se aumentar para 900?

De N=mgcosθ=mgcos 900=0 (não há interação entre o carro e a pista)

De ax=gsenθ=gsen900=g (o carro estará em queda livre!)

De t=√ 2 dgsenθ

=√ 2 dgsen900=√ 2 d

g e vx=√2 gdsen 900=√2 gd .

Esses resultados são idênticos aos encontrados no modelo de queda livre.

O que acontece se diminuir para 00?

De N=mgcos 00=mg=P (todo o peso do carro estará

sobre as rodas).38

De ax=gsenθ=gsen00=0 (o carro permanece parado!)

De t=√ 2 dgsenθ

=√ 2dgsen00 →∞ (o carro leva um tempo

infinito para percorrer a distância d).

De vx=√2gdsen 00=0 (por isso o carro demora tanto!)

3) Dois blocos estão sendo empurrados pela força F sobre uma superfície horizontal sem atrito, como

ilustra a figura abaixo. Encontre a aceleração e as forças de contato entre os blocos, considerando que m1 > m2.

Identificar: ∑ F ≠ 0 → podemos usar a 2ª. lei de Newton. Veja que F é uma força externa ao sistema.

Variáveis-alvos: a , F AB e FBA.

Preparar:

Executar: Aplicando a 2ª. Lei de Newton ao bloco de massa m1: ∑ F x=F x−F21=m1 ax (1)

Aplicando a 2ª. Lei de Newton ao bloco de massa m2: ∑ F x=F12=m2 ax (2)

Somando as equações (1) e (2), temos: F x−F21+F12=m1 ax+m2 ax

Mas pela 3ª. Lei de Newton, F12=F21 e Fx=(m¿¿1+m2)ax¿ e

ax=F x

m1+m2

= força externasoma das massas

NOTA: Quando aplicamos a 2ª. Lei de Newton a um sistema com várias massas ligadas por fio rígido e inextensível, ou apenas agrupadas (como na figura), a aceleração é a razão entre a força externa e a massa total.

Voltando à equação (2), veja que F12=m2 ax=( m2

m1+m2)F x. Como m1 + m2 > m1, então F21<Fx.

Avaliar: Se a força F x fosse aplicada pela esquerda (ao bloco 2), seria o valor de F12 igual, menor ou maior

do que o encontrado no caso anterior?

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4) Blocos conectados por fio inextensível e de massa desprezível, conforme ilustra a figura abaixo. Um

dos blocos está sobre um plano inclinada e sem atrito. Encontrar a aceleração a e a tração T .

Identificar: As massas m1 e m2 se movem com mesma velocidade → aplicar a 2ª. Lei de Newton ao conjunto (m1 + m2).

Preparar:

Executar:

Aplicando a 2ª. Lei de Newton ao bloco de massa m1: ∑ F x=0 (1)

∑ F y=T−m1 g=m1 ay=m1 a (2)

Aplicando a 2ª. Lei de Newton ao bloco de massa m2: ∑ F x´=m2 gsenθ−T=m2 ax=m2 a (3)

∑ F y ´=N−m2 gcosθ=0 (4)

Isolando T de (2): T=m1 g+m1 a=m1(a+g) (5)

Substituindo este resultado em (3): m2 gsenθ−m1(a+g)=m2a → a=(m2 gsenθ−m1

m1+m2) g

Substituindo este resultado na equação (5): T=m1m2(senθ+1)

m1+m2

g

Avaliar: Fazendo m1 = 0 esperamos que a tensão no fio seja nula e que a aceleração seja igual à do caso 2) estudado anteriormente:

T=m1m2(senθ+1)

m1+m2

g=T=0 ∙ m2(senθ+1)

0+m2

g=0

a=(m2 gsenθ−m1

m1+m2) g=(m2 gsenθ−0

0+m2) g=gsenθ

5) Blocos conectados por fio inextensível e de massa desprezível passando por uma polia, conforme a figura abaixo. Encontrar uma forma prática de medir a aceleração da gravidade.

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Identificar: Os dois blocos se movem juntos e com a mesma aceleração → aplicar a 2ª. Lei de Newton.

Preparar:

Executar: Aplicando a 2ª. Lei de Newton ao bloco de massa m1: ∑ F y=T−m1 g=m1 ay (1)

Aplicando a 2ª. Lei de Newton ao bloco de massa m2: ∑ F y=m2 g−T=m2 ay (2)

Isolando a → a y=¿

Substituindo em T → T=( 2 m1m2

m1+m2) g

Avaliar: Veja que a y=P rel

mtotal

é causada pelo desequilíbrio, onde Prel=(m2−m1 ) g=P2−P1.

Se m1 = 0, ay = g. Também, se m1 = m2 → ay = 0 (o sistema permanece em equilíbrio, parado).

6) O problema do peso aparente de um objeto dentro de um elevador em aceleração. Veja a sequência de figuras abaixo.

Identificar: A balança lê o módulo da força de cima para baixo exercida pelo objeto sobre a balança. Pela 3ª. Lei de Newton, essa força possui módulo igual ao da força normal N de baixo para cima, exercida pela balança sobre o objeto. Para resolver o problema precisamos do valor de N. Podemos encontrar N usando a 2ª. Lei de Newton para o objeto.

41

NOTA: Subindo ou descendo com velocidade constante → a = 0 e N=mg=P

Questões para discussão: Sob que circunstância perdemos a noção de peso? Por que o astronauta em órbita não sente seu peso?

B. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON ENVOLVENDO FORÇAS DE ATRITO

Conceito: Força de atrito é a força de resistência ao movimento que existe entre duas superfícies em contato. Ela está sempre dirigida no sentido contrário ao movimento ou à tendência de movimento.

Origem: interações moleculares de natureza elétrica.

As forças de atrito podem ser subdivididas em quatro grupos:

1) Força de atrito estático ( f s) → velocidade relativa entre as superfícies é nula (corpos parados).

Modelo simplificado: f s ≤ μs N

N → força normal (força de reação da superfície à presença do corpo sobre ela). É sempre perpendicular à superfície!

s → coeficiente de atrito (descreve o estado da superfície) Superfícies muito rugosas → s grande (≈ 1). Exemplo: borracha em concreto.Superfícies muito lisas → s pode ser grande. Exemplo: duas lâminas de vidro em

contato.

NOTA: Se o objeto estiver na iminência de movimento: f s=μs N

NOTA: Veja que o coeficiente de atrito é a razão entre duas forças (μs=f s

N¿ e por isso não tem unidade de

referência.

2) Força de atrito cinético ( f c) → as superfícies em contato estão em movimento relativo de translação.

Modelo simplificado: f c=μc N

c é o coeficiente de atrito cinético. Em geralμs>μc

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3) Força de atrito de rolamento (ou resistência de tração) (fr) → as superfícies em contato estão em movimento relativo de rotação.

Modelo simplificado: f r=μr N .

c é o coeficiente de atrito de rolamento. Em geralμc ≅ 10 a 100 vezes menor do que s e c.

Exemplo: Esforço para deslocar o automóvel C4 Pallas (m = 1375 kg), dados μc=0,8 ; μs=1,0 e μr=0,015.

i) Andando com freio de mão não acionado.

f r=μr N=(0,015 ) (1375∗10 )≅ 206 N (206 N ≅ 21 kgf → 1 estudante é suficiente

para empurrar)

ii) Andando com freio de mão acionado.

f c=μc N=(0,8 ) (1375∗10 )≅ 11000 N (≅ 1100 kgf → 53 estudantes são necessários)

iii) Parado com freio de mão acionado.

f s=μs N=(1 ) (1375∗10 )≅ 13750 N (≅ 1375kgf → 67 estudantes são necessários)

4) Força de atrito de um fluido (força de arraste) (f) → corpo se movimenta dentro de um meio fluido (ex.: água, ar, óleo, etc).

Podemos dividi-la em duas categorias:

i) Objeto se movimenta com velocidade pequena.

43

Modelo simplificado: f a=kv

k é um coeficiente que depende da geometria e do tamanho do corpo e também da viscosidade do fluido.

ii) Objeto se movimenta com velocidade grande.

Modelo simplificado: f a=D v2

NOTA: Um objeto que cai de uma certa altura em um fluido ar não está em queda livre e, portanto, sua aceleração não é constante. Este modelo é mais realístico e é diferente do que estudamos em cinemática, onde a aceleração de um objeto em queda livre era sempre igual a g.

C. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON AO MOVIMENTO CIRCULAR (MC)

No Movimento Circular existe sempre aceleração radial (ou centrípeta) →

ar=v2

R

Lembre-se que: i) se o MC é uniforme → só existe aceleração radial ar.ii) se o MC não é uniforme → existe aceleração radial e

tangencial (paralela à trajetória) e a aceleração total é dada por a=ar+at e

a=√ar2+a t

2.

Período: é tempo para uma volta completa

φ=vt →2 πR=vT e T=2 πR

v.

Aceleração escrita em função do período: ar=4 π2 R

T 2 (MCU)

∑ F=F r=mar=mv2

R (MCU)

Exemplo 1: Pêndulo cônico.

Conforme a figura abaixo, o pêndulo cônico é formado por um objeto de massa m preso por um fio de comprimento L a um ponto fixo no teto. O fio gira em torno do eixo central percorrendo um cone de ângulo e a projeção do movimento da massa no plano x-y é uma circunferência de raio R.Encontre a tensão no fio e o período de rotação em função do ângulo e do comprimento L do fio.

44

Identificar: O movimento ao longo da circunferência é do tipo MCU sem atrito. ∑ F aponta para o centro

→ aplicar a 2ª. Lei de Newton.

Preparar:

Executar: ∑ F x=FT senθ=m ar (1)

∑ F y=FT cosθ−mg=0 (2) → FT=mg

cosθ

Dividindo as equações (1) e (2): tgθ=ar

gPela trigonometria: R=Lsenθ

Pela cinemática: ar=4 π2 R

T 2 =4 π2 LsenθT 2 →tgθ=4 π2 Lsenθ

¿2 →

T=2 π √ Lcosθg

Rearranjando FT: FT=mg

cosθ=4 π2 mL

T2

Obtendo uma expressão para a velocidade: tgθ=ar

g= v2

gR →

v=√gRtgθ=√gLsenθtgθ

Avaliar: Se m aumenta → FT aumenta (coerente)Se diminui → T aumenta e FT diminuiSe aumenta → T diminui e FT aumenta

Se = 0→ FT=mg e T=2 π √ Lg

Se = 900 → T → 0(v=2 πRT

→ ∞) e FT →∞. Essa situação é impossível, já

que o fio quebraria muito antes disso!

Exemplo 2: Movimento de um carro em uma curva plana.

O problema consiste em determinar a velocidade máxima constante que um automóvel pode fazer uma curva sem derrapar. Dados: s e R.

45

Identificar: ∑ F aponta para o centro → MCU → aplicar a 2ª. Lei de Newton.

Preparar:

Executar: ∑ Fx=f s=m ar (1)

∑ Fy=N−mg=0→ N=mg (2)

De (1), f s=mar→ μs N=mvmáx

2

R→ μsmg=m

vmáx2

R→ vmáx

❑ =√ μs gR

Avaliar: Veja que fizemos f s=μs N →v é o maior possível (muito perigoso!)

Para f s<μs N → v<vmáx (seguro!)

Exemplo: Para s = 0,8 e R = 100 m → vmáx=√0,8 ∙ 10∙100≅ 28ms≅ 100

kmh

.

Exemplo 3: Movimento de um carro em uma curva inclinada.

O problema consiste em determinar a velocidade máxima constante que um automóvel pode fazer uma curva inclinada sem derrapar. Dados: s e R e o ângulo de inclinação

Identificar: Mesmo caso anterior, só que agora tem mais uma força apontando para o centro da curva: a

componente x da força normal. ∑ F aponta para o centro → MCU → aplicar a 2ª. Lei de Newton.

Preparar:

Executar: ∑ F x=f scosθ+Nsenθ=mv2

R(1)

∑ Fy=Ncosθ−f s senθ−mg=0 (2)

De (1), μs mgcosθ+mgsenθ=mvmáx

2

R→ vmáx=√gR ( senθ+μscosθ )

Avaliar: Veja que para = 0 → vmáx=√μs gR (resultado semelhante ao caso anterior para uma curva

plana).

46

Para s = 0,8 e R = 100 m e = 250 →

vmáx❑ =√10 ∙100 (sen 250+0,8 ∙ cos250)≅ 34

ms≅ 122

kmh

.

Isolando N de (2) e substituindo em (1) → tgθ=ar−μs g

g+μsar

.

Para s = 0 → tgθ=ar

g→tgθ= v2

gR (curva inclinada e sem atrito).

Para fazer a curva sem atrito e com a mesma velocidade de antes a inclinação da pista deveria ser de:

θ=t g−1( v2

gR )=t g−1( 342

10 ∙100 )≅ 4 90 .

Questões para Discussão da Unidade V

1. Pode um corpo permanecer em equilíbrio quando somente uma força atua sobre ele? Explique. Sears, Q4.1.

2. Quando um carro pára repentinamente, os passageiros tendem a se mover para a frente, em relação aos seus assentos. Por quê? Sears, Q4.7.

3. A aceleração de um corpo em queda livre é medida no interior de um elevador que está subindo com velocidade constante de 9,8 m/s. Que resultado é obtido? Sears, Q4.15.

4. Um cavalo puxa uma carroça. Uma vez que a carroça puxa o cavalo para trás com uma força igual e contrária à força exercida pelo cavalo sobre a carroça, por que a carroça não permanece parada, independentemente da força do cavalo? 5. Em uma brincadeira de cabo-de-guerra duas pessoas puxam as extremidades de uma corda em sentidos opostos. Pela terceira lei de Newton, a força que A exerce em B possui módulo igual ao da força que B exerce sobre A. Então, o que determina o vencedor?

6. Imagine que você esteja sustentando um livro de 4 N em repouso sobre sua mão. Complete as seguintes sentenças:

a) Uma força de cima para baixo de módulo igual a 4 N é exercida sobre o livro pela ______________.b) Uma força de baixo para cima é módulo ______________ é exercida sobre ______________ pela sua

mão.c) É a força de baixo para cima do item (b) a reação da força de cima para baixo do item (a)?

47

d) A reação da força do item (a) é a força de módulo ______________ exercida sobre ______________ pelo ______________. Seu sentido é ______________.

e) A reação da força do item (b) é a força de módulo ______________ exercida sobre ______________ pelo ______________.

f) As forças dos itens (a) e (b) são iguais e opostas em virtude da ______________ lei de Newton.g) As forças dos itens (b) e (e) são iguais em virtude da ______________ lei de Newton. Suponha agora

que você exerça uma força sobre o livro de baixo para cima de módulo igual a 5 N.h) O livro permanece em equilíbrio?i) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual e oposta à força exercida pelo livro sobre a Terra?j) É a força exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta à força exercida sobre a Terra pelo livro?k) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual e oposta à força exercida sobre sua mão pelo livro?l) Finalmente, suponha que você retire subitamente sua mão enquanto o livro se move para cima. Quantas

forças atuam agora sobre o livro?m) O livro está em equilíbrio? Sears, P4.22

7. Uma bola pesada é suspensa por um fio (upper string), conforme a figura ao lado. Se você der um puxão rápido no fio de baixo (lower string) ele quebrará, mas se você puxar este fio bem devagar o fio de cima se quebrará. O primeiro resultado ocorre porque: Sears, Q4.24 (similar).

a) a força é muito pequena para mover a bolab) ação e reação estão operandoc) a bola tem inércia.d) a fricção do ar mantém a bola no lugare) a bola tem muita energia

8. Dois objetos, um possuindo massa três vezes maior que o outro, caem de uma mesma altura no vácuo. No final da queda, suas velocidades são iguais porque:

a) qualquer coisa caindo no vácuo tem velocidade constante. b) todos os objetos caem com a mesma velocidade. c) a aceleração do objeto maior é três vezes maior do que aquela do objeto menor. d) a força da gravidade é a mesma para ambos os objetos.e) nenhuma das anteriores.

9. Uma bola de ferro B bastante pesada é suspensa por uma corda presa a um bloco de madeira M. O sistema inteiro é lançado no ar. Desprezando a resistência do ar, a tensão na corda é:

a) zero. b) a diferença das massas de B e M.c) a diferença dos pesos de B e M.d) o peso de B.e) nenhuma das anteriores.

10. Um trapezista de peso P está andando sobre uma corda, como ilustra a figura ao lado. A tensão na corda:

a) é aproximadamente P.b) é aproximadamente P/2.c) é muito menor do que P.d) é muito maior do que P. T = P/sen()e) pode ser maior ou menor se ele está apoiado nos dois pés ou em apenas

um pé.

11. Você se encontra sobre uma balança dentro de um elevador. Das seguintes opções, a escala mostra a maior leitura quando o elevador:

a) sobe acelerando.b) sobe desacelerando.c) permanece parado.d) desce acelerando.e) desce com velocidade constante.

12. Um livro em repouso sobre uma mesa exerce uma força para baixo sobre ela. A reação desta força é:a) a fora da Terra sobre o livro.

48

b) a força da mesa sobre o livro.c) a fora da Terra sobre a mesa.d) a força do livro sobre a Terra.e) a inércia do livro.

13. Três livros (X, Y e Z) estão sobre uma mesa. O peso de cada livro é indicado na figura ao lado. A força resultante sobre o livro Y é:

a) 4 N para baixo.b) 5 N para cima.c) 9 N para baixo.d) zero.e) nenhuma das alternativas.

14. Um estudante puxa um bloco de madeira sobre um piso horizontal com atrito e mantém a velocidade constante aplicando a força P. No diagrama ao lado f é a magnitude da força de atrito, N é a magnitude da força normal e Fg é a magnitude da força gravitacional. Qual das seguintes alternativas deve ser verdadeira?

a) P = f e N = Fg

b) P = f e N > Fg

c) P > f e N < Fg (P = f/cos(), N = Fg- Psen())d) P > f e N = Fg

e) nenhumas das alternativas

15. Um bloco é primeiro colocado sobre seu lado maior e depois sobre o lado menor em cima de uma superfície inclinada, como ilustra a figura ao lado. O bloco desliza para baixo quando é colocado sobre seu lado menor, mas permanece em repouso quando colocado sobre o lado maior. Uma possível explicação seria:

a) o lado menor é mais liso.b) a força de atrito é menor porque a área de contato é menor.c) o centro de gravidade é mais alto no segundo caso. d) a força normal é menor no segundo caso.e) a força gravitacional está quase para baixo do plano inclinado no segundo caso.

16. Um objeto se movendo em um círculo com velocidade constante:a) deve ter somente uma força atuando sobre ele.b) não está acelerando.c) é mantido em sua trajetória pela força centrífuga.d) tem uma aceleração de módulo constante.e) tem uma aceleração que é tangente à trajetória.

17. O movimento circular é uma consequência:a) da terceira lei de Newton.b) de uma força que sempre tangente à trajetória.c) de uma aceleração tangente à trajetória.d) de uma força de módulo constante que é sempre dirigida para fora do centro de curvatura.e) de uma força de módulo constante que é sempre dirigida para o centro de curvatura.

18. Se existe uma força resultante atuando sobre uma partícula que descreve um movimento circular uniforme, por que a velocidade escalar da partícula permanece constante?

19. O ângulo de inclinação de uma pista foi calculado para uma velocidade de 80 km/h. Contudo, a estrada está coberta de gelo e você deseja se mover lentamente a 20 km/h ao longo da parte mais elevada da curva. O que acontece com seu carro? Por quê? Sears, Q5.20

20. Um macaco de 20 kg segura firmemente uma corda que passa sobre uma polia sem atrito e está amarrada a um cacho de bananas com 20 kg. O macaco olha para cima, vê as bananas e começa a subir pela corda para alcançá-las.

a) À medida que o macaco sobre, o cacho de bananas permanece parado, sobre ou desce?

49

b) À medida que o macaco sobre, a distância entre ele e o cacho de bananas permanece a mesma, aumenta ou diminui?

c) Imagine que o macaco solte a corda. O que acontece com a distância ente ele e o cacho de bananas durante a queda?

d) Antes de chegar ao chão, o macaco consegue agarrara corda novamente para evitar que as bananas caiam no chão. O que acontece com o cacho de bananas? Sears P5.99

Problemas da Unidade V

1. Um saco de cimento de Peso Fg está pendurado por três fios, conforme mostra a figura ao lado. Dois dos fios fazem um ângulo 1 e 2 com a horizontal. Se o sistema está em

equilíbrio, mostre que a tensão no fio da esquerda é . Serway, P5.18.

2. Um carrinho de montanha russa (figura ao lado) tem massa de 500 kg.

a) Se o veículo tem velocidade de 20,0 m/s no ponto A, qual é a força exercida pelos trilhos sobre o carro neste ponto?

b) Qual a velocidade máxima que o carrinho deve passar por B sem perder contato com os trilhos? Serway, P6.19.

3. Um bloco é lançado com velocidade inicial de 5,00 m/s sobre um plano inclinado de 20,00, como ilustra a figura abaixo. Calcule a distância percorrida até ele parar. Serway, P5.25

4. Um bloco de massa 3,00 kg é empurrado contra uma parede por uma força P que faz um ângulo de 50,00 com a horizontal, conforme mostra a figura ao lado. O coeficiente de atrito estático ente a parede e o bloco é 0,250. Determine os possíveis valores para o módulo de P de modo que o bloco não deslize. Serway, P5.46

5. Um bloco de massa 2,00 kg é solto a uma altura h = 0,500 m acima da superfície de uma mesa, do topo de um plano inclinado de = 300, conforme mostra a figura ao lado. O plano não tem atrito e é fixo sobre a mesa cuja altura é de H = 2,00 m. Serway, P5.58

a) Determine a aceleração do bloco à medida que ele escorrega pelo plano.

b) Qual a velocidade do bloco quando ele deixa o plano?c) A que distância do pé da mesa o bloco atinge o chão?d) A massa do bloco afeta qualquer um dos movimentos anteriores?

50

6. Inicialmente o sistema da figura ao lado está em repouso. Todas as superfícies, a polia e roldanas não possuem atrito. Considere que a força F seja nula e assuma que m2 possa se mover somente na vertical. No instante após o sistema ser liberado, encontre (a) a tensão T no fio, (b) a aceleração de m2, (c) a aceleração de M, e (d) a aceleração de m1. (Dica: a polia acelera junto com o carinho). Serway, P5.63

7. Um bloco de massa m1 é amarrado à extremidade de um fio e gira em um círculo com raio R sobre uma mesa horizontal sem atrito, conforme a figura ao lado. A outra extremidade do fio passa por um buraquinho na mesa e é amarrada a um bloco de massa m2, que permanece em equilíbrio. Qual é:

a) a tensão no fiob) a força radial que age sobre o bloco de cima?c) a velocidade do bloco de cima. Serway, P6.58

8. Um bloco de massa m1 está sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação e está ligado por uma corda que passa sobre uma polia pequena a um segundo bloco suspenso de massa m2. O coeficiente de atrito cinético é c e o estático é e.

a) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 sobe o plano com velocidade constante depois que ele entra em movimento.

b) Ache a massa m2 para a qual o bloco m1 desce o plano com velocidade constante depois que ele entra em movimento.

c) Para que valores de m2 os blocos permanecem em repouso depois de eles serem liberados a partir do repouso? Sears P5.65.

9. Uma pedra é lançada para baixo sobre a água com velocidade igual a 3mg/k, onde k é uma constante. Supondo que a relação entre a resistência do fluido e a velocidade seja f = kv, encontre a velocidade da pedra em função do tempo. Sears P5.100.

Unidade VI

ENERGIA E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA

Objetivos: Nesta unidade discutiremos o significado do trabalho exercido por uma força, constante ou não, e o conceito de energia cinética.

Conceitos de energia:

Do cotidiano: combustível para transporte, aquecimento, eletricidade para iluminação, consumo de alimentos, etc.

Da ciência: complicado e abstrato. Mas ⋯→ Todo processo físico no Universo envolve energia ou transferência de energia. → A energia se manifesta de várias formas.

Por que o conceito de energia é importante? Porque a energia é uma quantidade que se conserva (permanece constante) durante um evento físico, como por exemplo, no movimento de um objeto.

Definimos as quantidades x , vx , ax , F⋯ e usando F=m a resolvemos alguns problemas (os

menos reais).

51

NOTA: Em TODOS os problemas estudados até aqui a força era constante (F=constante).

Quando F varia, F=m a continua sendo válida, mas fica muito difícil resolver os problemas.

Origem da dificuldade: acesso à trajetória: F ( x , t )=md2 xd t 2 → x=∬F (x ,t )d t 2

e nem sempre

sabemos como F(x,t) varia em x e em t.

NOTA: Usando o conceito de energia não é necessário ter informações sobre a trajetória → a descrição da trajetória fica irrelevante. Em outras palavras, não precisamos saber como F(x,t) varia em x e em t.

Dois modelos fundamentais

i) Modelo de partícula (já estudado antes)

Objetivo: descrever o movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória.Variáveis-chaves: posição, velocidade, aceleração e força.

ii) Modelo de sistema (apenas parte do universo é considerada)

Objetivo: descrever as interações entre o sistema e sua vizinhança.Variáveis-chaves: energia, trabalho, potência, momento linear e momento angular.

Tipos de sistemas: Uma única partícula; Um aglomerado de partículas; Uma região do espaço; Um objeto que tem tamanho e forma variáveis.

NOTA: É muito importante identificar o sistema e suas fronteiras (contorno que separa o sistema de seu ambiente).

COMO UM SISTEMA É INFLUENCIADO PELA SUA VIZINHANÇA?

A) TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA CONSTANTE

A figura abaixo mostra três experiências nas quais a mesma força F é aplicada de forma diferente

sobre o mesmo objeto.

52

Questão: Quão eficaz é a força F em fazer o bloco se movimentar?

Conclusão: Depende da magnitude e da direção de F.

Se a magnitude de F é constante (|F| = constante) → Fb é mais eficaz.

Sistema: bloco de massa m.

Vizinhança: força F, superfície de apóio.

Definição de Trabalho → transferência de energia do meio vizinho para o sistema ou do sistema para a sua vizinhança.

W=F∥ ∆ r=Fcosθ ∆ r=F ∙∆ r (modelo válido apenas para F

constante)

NOTA: F∥ representa a componente da força na direção do movimento e ∆ r é o deslocamento durante o

qual a força F∥ está atuando sobre o objeto. Veja que da força total F=F∥+F⊥ apenas a parte F∥ realiza

trabalho. Veremos posteriormente que a componente perpendicular da força F⊥ não promove deslocamento

do corpo, mas a rotação deste em torno de um eixo. Cuidado: ∆ r não é uma distância, mas um deslocamento.

W N=N ∙ ∆ r=Ncos 9 00 ∆ r=0 !

W P=P ∙ ∆ r=Pcos27 00 ∆ r=0!

W F∥=F∥ ∙∆ r=F∥cos 00 ∆ r ≠0 !

W F⊥=F⊥∙∆ r=F⊥cos 900 ∆ r=0 !

Unidade de referência: F ∙ ∆ r → 1 N ∙ 1m=1Joule(J )

Para 0 ≤ θ ≤900 → cosθ>0 e W é positivo

(trabalho motor).Significado de W positivo: energia é transferida do meio vizinho para o sistema.

53

Para 9 00≤ θ ≤18 00 → cosθ<0 e W é negativo

(trabalho resistente).Significado de W negativo: energia é transferida do sistema para o meio vizinho.

B) TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL

Área do retângulo: ∆ A=Fx ∙∆ x

Trabalho realizado durante o deslocamento ∆ x :∆ W=Fx ∙ ∆ x

Trabalho total de xi até xf: W=∆ W 1+∆ W 2+∆ W 3+⋯+∆ W f → W=∑xi

x f

Fx ∆ x❑

Fazendo ∆ x →0, lim∆ x→ 0∑

x i

x f

Fx ∆ x=∫xi

x f

F x dx. Então,

W=∫x i

x f

Fx (x)dx

NOTA: Se existem várias forças aplicadas sobre o sistema e ele puder ser modelado como uma partícula, então

∑ F=F1+F2+F3+⋯

e ∑W=W Res=∫xi

x f

(∑ Fx )dx (modelo válido apenas para partículas)

NOTA: Se a força é dada na forma gráfica de Fx × x, o trabalho é dado pela área sob a curva

W ≡ Área

Exemplo de força variável: força de uma mola.

54

Fm → força que a mola exerce sobre o bloco

Fm=−kx

Esse x tem o papel de ∆ x=x f−x i

.

Trabalho da mola sobre o bloco:

i) Para x<0 → W mola=∫xi

x f

Fm dx=¿ ∫− xmáx

0

(−kx )dx→ W mola=12

k xmáx2 ¿

ii) Para x=0 → W mola=∫xi

x f

Fm dx=¿0¿, pois Fm=0

iii) Para x>0 → W mola=∫xi

x f

Fm dx=¿∫0

xmáx

(−kx )dx →W mola=−12

k xmáx2 ¿

Se as posições x1 e xf são arbitrárias → W mola=∫xi

x f

(−kx )dx →W mola=12

k x i2−1

2k x f

2

NOTA: Para x1 e xf → W mola=0

Trabalho do bloco sobre a mola:

Veja que Fap=−Fm=−(−kx )=kx → W Fap=∫

x i

xf

Fap dx=¿ 12

k x f2−1

2k x i

2¿

Conseqüência do trabalho da força sobre um sistema → sua velocidade é alterada.

55

∑W=∫xi

x f

∑ F dx=¿∫x i

x f

madx=¿∫x i

x f

mdvdt

dx=¿∫x i

xf

mdvdx

dxdt

dx=¿∫vi

v f

mvdv=¿ 12

m¿¿¿¿¿¿¿

Daqui,

∑W=12

m v f2−1

2m v i

2

Definição de Energia Cinética ( K ):

Definimos energia cinética (energia associada ao movimento) como

K=12

mv2

Teorema trabalho-energia cinética

∑W=¿K f−K i=∆ K ¿

Se o trabalho total feito sobre um sistema altera apenas a sua velocidade, então o trabalho realizado é igual à variação de sua energia cinética.

Unidade de referência: como ∆ K=W , então a unidade padrão de energia no SI é o Joule (J).

NOTA: o modelo acima é válido apenas se o sistema for uma partícula. Se o sistema for um corpo extenso, poderá haver mudança na velocidade de rotação do corpo em torno de um eixo, e a energia cinética terá uma componente rotacional, que será vista posteriormente.

Um sistema pode se encontrar isolado ou não isolado de sua vizinhança.

Sistemas isolados : não interagem com o meio vizinho através de suas fronteiras (será visto posteriormente).

Sistemas não isolados : aqueles que sofrem influência de sua vizinhança e têm seu estado de movimento alterado pelas interações com esta.

NOTA: O teorema trabalho-energia cinética se aplica a sistemas não isolados.

Tipo de interação com o sistema: trabalho feito por uma força externa.

Tipo de alteração no sistema: energia cinética.

56

Quando o sistema interage com o meio, outras formas de alterações podem acontecer, além da energia cinética:

Exemplo: bloco deslizando com atrito

Fat realiza trabalho sobre a superfície, mas o resultado não é o aumento da energia cinética da superfície:

ela aquece como resultado do aumento da energia interna.

Tipo de alteração do sistema: energia interna (relacionada com a temperatura do sistema).

A força externa realiza trabalho quando ela muda a configuração espacial das partes do sistema que interagem entre si através de forças.

Tipo de alteração do sistema: energia potencial (ou de configuração) do tipo gravitacional, elástica, elétrica, etc.

NOTA: Podemos armazenar energia no sistema na forma cinética, térmica e potencial realizando trabalho sobre ele.

Até aqui vimos uma única forma de transferir energia do meio para um sistema: via trabalho. Mas existem outras formas:

Ondas mecânicas → perturbação no meio material se propaga transportando energia. Ex.: ondas do mar,

sonora, etc.

Calor → mecanismo de transferência de energia controlado pela diferença de temperatura entre duas

regiões do espaço. Ex.: condução térmica.

Transferência de matéria → a matéria cruza a fronteira do sistema carregando energia. Ex.:

abastecimento de combustível nos carros.

Transmissão elétrica → energia transferida por meio de correntes elétricas.

Radiação eletromagnética → a energia é transferida pelas ondas eletromagnéticas que a travessam as

fronteiras do sistema. Ex.: luz, rádio, TV, microondas, etc.

PRINCÍPIO GERAL: a energia não pode ser criada nem destruída – ela se conserva (permanece a

57

mesma sempre).

NOTA: se a energia total do sistema muda, então parte dela deve cruzar a fronteira do sistema através de um dos mecanismos de transferência vistos acima.

∆ E sistema=∑T ransferida

Alguns casos envolvendo força de atrito cinético

Observe a figura abaixo do bloco deslizando sobre uma mesa com atrito.

Fat executa trabalho, pois ∆ x ≠ 0. Deve-se ter cuidado, entretanto, pois a equação de trabalho

W=F ∙ ∆ r=F ∙ d envolve deslocamento do ponto de aplicação da força, e Fat não é uma força localizada

(está espalhada por toda área de contato). Além disso, Fat é diferente em cada ponto de contato, já que a

superfície não é igual em toda a extensão do corpo.

Conclusão:a) Se o sistema puder ser modelado como uma partícula → vale a 2ª. Lei de Newton

→ vale o teorema trabalho-energia cinética.

b) Se o sistema não puder ser modelado como uma partícula → vale a 2ª. Lei de Newton → não vale o teorema trabalho-

energia cinética.

Caso Particular: Corpo extenso e rígido (ou não deformável)

Usando a 2ª. Lei de Newton:

∑ F x=max

Multiplicando os dois lados por ∆ x:

(∑ F x)∆ x=(m ax) ∆ x

Se ax é constante → ax=v f−v i

t e ∆ x=1

2(v i+v f ) t. Substituindo no resultado acima:

(∑ F x)∆ x=m( v f−vi

t ) 12(v i+v f )t=

12

m v f2−1

2mv i

2=∆ K

Como Fat sempre se opõe ao movimento, então

(∑ F x)∆ x=−Fat ∆ x=∆ K →W at=−∆ K

58

Se existem outras forças atuando sobre o sistema,

∆ K=−Fat d+∑W outras

ou,

K f=K i−Fat d+∑W outras

Se o sistema é formado pelo bloco + mesa, então neste caso o sistema não interage com a vizinhança e

∆ E sist=−∆ K+∆ E∫¿=0 →∆ K=−∆E∫ ¿¿¿

Como apenas o livro se movimenta → ∆ K=−Fat d e −Fat d+∆ E∫¿=0¿

Concluindo: ∆ E∫¿=Fat d ¿ Todo trabalho da força de atrito tem como

conseqüência a variação da energia interna do sistema.

Exemplo: Um bloco de 6,0 kg inicialmente em repouso é puxado para a direita sobre uma superfície horizontal por uma força constante de 12 N.

a) Encontre a velocidade escalar depois de 3,0 m de deslocamento, se a superfície tem coeficiente de atrito cinético igual a 0,15.

Identificar: O sistema aqui é o bloco que desliza sobre a superfície. O meio vizinho é a superfície e as 4 forças que atuando sobre ele (força peso, força normal, a força de 12 N e a força de atrito). Como há deslocamento, podemos calcular o trabalho que as forças realizam sobre o bloco.

Preparar:

Executar: Veja que N e P=m g são perpendiculares a v e, portanto, não executam trabalho.

W=F ∆ x=12 ∙ 3,0=36 J

Força de atrito:Fat=μc N=μc mg=0,15 ∙6,0 ∙ 9,8=8,82 N

Mudança na energia cinética devida à força de atrito:∆ K F at

=−Fat d=−8,82 ∙3,0=−26,46 J

Velocidade final:12

m v f2=1

2m v i

2−Fat d+∑W outras

59

v f=√v i2+ 2

m(Fat d+∑W outras )=√0+ 2

6,0(−26,46+36 )=1,78 m /s

Avaliar: Se Fat=0 → v f=√0+ 26,0

(0+36 )=3,46 m /s e a velocidade no final dos 3,0 m seria duas vezes

maior.

b) Sob que ângulo a força de 12 N deveria ser aplicada para que o bloco atingisse a máxima velocidade possível no final dos 3,0 m?

Identificar: O mesmo problema de antes, só que agora a força de 12 N deve ser aplicada em um ângulo com a horizontal para diminuir a componente da força normal e, por sua vez, diminuir o trabalho

da força de atrito (Fat=μc N ).

Preparar:

Executar: Trabalho da força F: W=F ∆ xcosθ=Fdcosθ

O bloco está em equilíbrio na vertical: ∑ F y=N+Fsenθ−mg=0 → N=mg−¿ Fsenθ¿Do enunciado, K i=0 pois v i=0 e

K f=12

m v f2=−Fat d+∑W outras=μc Nd+Fdcosθ=μc (mg−Fsenθ )d+Fdcosθ

v f=√ 2 dm

(Fcosθ−μc (mg−Fsenθ ) )

Para maximizar uma função em relação a uma variável basta derivar a função em relação a esta variável e

igualar o resultado a zero. Como K f ∝ v f , maximizar vf equivale a maximizar Kf. Vamos maximizar Kf

porque a derivada é mais simples:

d K f

dθ=−μ

c

(0−Fscosθ )d−Fdsenθ=0→ μc=tgθ→θ=t g−1 μc=t g−1 (0,15 )=8 , 50

Substituindo este ângulo na expressão de vf, temos: v f=√ 2∙36¿¿

Avaliar: Se o bloco é arrastado pela força de F = 12 N, a velocidade após o deslocamento de 3,0 m é de 1,78 m/s. Se a força F for aplicada formando um ângulo de 8,5 graus com relação à superfície,

embora uma componente menor F '=12∙cos8 ,50=11,87 N seja usada para arrastar o bloco, a

velocidade no final dos mesmos 3,0 m será maior (1,82 m/s), porque a força de atrito foi reduzida

de Fat=μc N=μc mg=0,15 ∙6,0 ∙ 9,8=8,82 N para

Fat' =μc N '=μc (mg−Fsenθ )=0,15 ∙ (6,0 ∙9,8−12∙ sen 8,5 )=8,55 N .

A figura abaixo mostra como a velocidade varia em função do ângulo (isto é um gráfico da equação de vf). Veja que a curva tem um máximo em = 8,5 graus.

60

0 5 10 15 20 25 301,581,601,621,641,661,681,701,721,741,761,781,801,82

Ve

loci

da

de

(m

/s)

Ângulo (graus)

8,50

C) POTÊNCIA

Você deve ter observado que no estudo do trabalho realizado por uma força nós não fizemos nenhuma menção ao tempo transcorrido durante a realização do trabalho. Em outras palavras, não analisamos com que rapidez a energia é transferida do meio para o sistema ou vice-versa. A razão temporal da transferência de energia é denominada POTÊNCIA (P).

Trabalho realizado no intervalo de tempo ∆ t → potência média

Pm=∆W∆ t

Unidade de referência no SI: J/s = Watt (W).Unidade popular: 1 HP (≅ 1 CV) = 746 W

Unidade comercial de energia: kW∙h, sendo 1 kW ∙h=(1 03 Js ) (3600 s )=3,6 × 106 J=3,6 MJ

Se a energia não é transferida de forma constante, então definimos a potência instantânea como:

P= lim∆t → 0

∆ W∆ t

=dWdt

Ás vezes associamos potência com velocidade. De fato, podemos escrever P em termos de v:

P=dWdt= F ∙ d r

dt=F ∙

d rdt=F ∙ v e P=F ∙ v

O conceito de potência é o mesmo, independente do mecanismo de transferência de energia. Assim, podemos escrever

P=dEdt

Questões para Discussão da Unidade VI

61

Questões sobre Trabalho e Energia Cinética

21. Um elevador é suspenso pelos cabos mantendo velocidade constante. O trabalho total realizado sobre o elevador é positivo, negativo ou nulo? Explique. Sears, Q6.2.

22. Uma corda amarrada a um corpo é puxada, ocasionando aceleração ao corpo. Porém, de acordo com a terceira lei de Newton, o corpo puxa a corda em sentido contrário. O trabalho total realizado será, então, igual a zero? Caso seja, como pode a energia cinética do corpo variar? Explique. Sears, Q6.3.

23. Quando uma força resultante não nula e de módulo constante atua sobre um objeto que se move, pode o trabalho total realizado sobre o objeto ser diferente de zero? Explique e forneça um exemplo para ilustrar sua resposta. Sears, Q6.5.

24. Uma força F está na direção do eixo 0x e seu módulo depende de x. Faça um gráfico de F versus x de modo que a força realize um trabalho igual a zero sobre um objeto que se move de x1 a x2, embora o m ódulo da força não seja nulo em nenhum ponto x deste intervalo. Sears, Q6.9.

25. A energia cinética de um carro varia mais quando ele acelera de 10 a 15 m/s ou quando ele acelera de 15 a 20 m/s? Explique. Sears, Q6.10.

26. Um caminhão descendo de um elevador possui muita energia cinética em relação a uma pessoa em repouso na estrada, mas nenhuma energia cinética em relação ao motorista do caminhão. Para esses dois sistemas de referência, o trabalho necessário para fazer o caminhão parar é o mesmo? Explique. Sears, Q6.14.

27. Quando um livro desliza sobre uma mesa a força de atrito realiza trabalho negativo sobre ele. A força de atrito nunca pode realizar um trabalho positivo? Explique. (Sugestão: pense em uma caixa apoiada na traseira de um caminhão.) Sears, Q6.16.

28. Uma propaganda de um gerador elétrico portátil diz que seu motor a diesel é capaz de gastar 28000 hp para geral 30 MW de potência elétrica. Sabendo que 1 hp = 735 W, verifique se essa propaganda é ou não enganosa. Explique. Sears, Q6.19.

29. Um carro está sendo acelerado enquanto seu motor fornece uma potência constante. A aceleração do carro é maior no início ou no fim do deslocamento? Explique. Sears, Q6.20.

30. A energia cinética de um objeto depende do sistema de referência no qual seu movimento é observado. Forneça um exemplo para ilustrar este ponto. Serway, Q7.18.

Problemas da Unidade VI

Problemas sobre Trabalho, Energia Cinética e Potência

11. Um carro está sendo acelerado enquanto seu motor fornece uma potência constante. A aceleração do carro é maior no início ou no final do deslocamento?

12. Um elétron se move com energia cinética K1. Depois da realização de um trabalho W total sobre ele, o elétron passa a se mover com uma velocidade quatro vezes menor em um sentido contrário ao inicial. a) Calcule W em termos de K1. b) Sua resposta depende da direção final do movimento do elétron? Sears, P6.20.

13. Um trenó com massa igual a 8,00 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito. Em um ponto de sua trajetória, sua velocidade possui módulo igual a 4,00 m/s; depois de percorrer mais 2,50 m além deste ponto, sua velocidade possui módulo igual a 6,00 m/s. Use o teorema trabalho-energia para achar a força que atua sobre o trenó, supondo que essa força seja constante e que ela atue no sentido do movimento do trenó. Sears, P6.21.

14. Uma bola de futebol de massa igual a 420 g possui velocidade inicial de 2,00 m/s. Um jogador de futebol 62

dá um chute na bola, exercendo uma força constante de módulo igual a 40,0 N na mesma direção e sentido do movimento da bola. Que distância o pé do jogador permanece em contato com a bola para que sua velocidade aumente para 6,00 m/s? Sears, P6.22. 15. Uma plaquinha de alumínio de 100 g de massa está ligada à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja constante elástica é de 20,0 N/m. Inicialmente a mola não está esticada e a placa se move com velocidade igual a 1,50 m/s para a direita. Ache a distância máxima d que a plaquinha pode se mover para a direita a) supondo que o ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezível e b) supondo que o ar não esteja passando no trilho e o coeficiente de atrito cinético seja c = 0,47. c) Qual deveria ser o coeficiente de atrito estático e para impedir que a plaquinha retornasse para a esquerda? d) Sabendo que o coeficiente de atrito estático é de e =0,60, qual é a velocidade inicial máxima v1 que a placa deve ter para que ela permaneça em repouso depois de parar instantaneamente? Sears, Exemplo 6.7 e P6.35.

16. Uma partícula é acelerada a partir do repouso por uma força resultante constante. a) Mostre que a potência resultante é ma2t. b) Para triplicar a aceleração em qualquer instante, qual deve ser o fator de aumento da potência? c) Pata t = 5,0 s, a potência instantânea fornecida pela força resultante é de 36 W. Qual deverá ser o valor da potência no instante t = 15,0 s para manter a aceleração constante?

17. O motor de um carro de massa m fornece uma potência constante P para as rodas para acelerar o carro. Despreze a resistência do ar e o atrito de rolamento. O carro está inicialmente em repouso. a) Mostre que a velocidade do carro é dada em função do tempo por v = (2Pt/m)1/2. b) Mostre que a aceleração do carro não é constante, mas é dada em função do tempo por a = (P/2mt)1/2. c) Mostre que o deslocamento em função do tempo é dado por x - x0 = (8P/9m)1/2 t3/2. Sears, P6.92.

18. Em 13 de Abril de 2029 o asteróide 99942 Apophis passará a cerca de 30.000 km da Terra. Ele possui densidade de 2600 kg/m3, pode ser modelado como uma esfera de 320 m de diâmetro e se deslocará a 12,6 km/s. a) Supondo que, devido a uma pequena alteração em sua órbita, o asteróide fosse colidir com a Terra, quanta energia cinética ele liberaria? b) A maior bomba nuclear já testada liberou 15 megatons de TNT (1 megaton de TNT equivale a 4,184×1015 J de energia). Quantas bombas deste porte equivaleriam à energia liberada pelo asteróide no choque? Sears, P6.56.

19. Um pequeno bloco com massa de 0,120 kg está ligado a um fio que passa através de um buraco em sua superfície horizontal sem atrito, conforme a figura ao lado. Inicialmente, o bloco gira a uma distância de 0,40 m do buraco com uma velocidade de 0,70 m/s. A seguir, o fio é puxado para baixo, fazendo o raio do círculo encurta para 0,10 m. Nessa nova distância verifica-se que a sua velocidade passa para 2,80 m/s. a) Qual era a tensa no fio quando o bloco tinha velocidade de 0,70 m/s? b) Qual a tensão quando a velocidade era de 2,80 m/s? c) Qual foi o trabalho realizado pela pessoa que puxou o fio? Sears, P6.69.

20. Um bloco de 5,0 kg se move com velocidade de 6,0 m/s sobre uma superfície horizontal sem atrito, dirigindo-se contra uma mola cuja constante elástica é de k = 500 N/m e possui uma de suas extremidades presa a uma parede, conforme a figura ao lado. A massa da mola é desprezível. a) Calcule a distância máxima que a mola pode ser comprimida. b) Se a distância máxima que a mola pudesse ser comprimida fosse de 0,150 m, qual seria o valor máximo de v0? Sears, P6.81.

Unidade VII

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

63

Vimos que a energia cinética está associada com movimento (K=12

mv2 ¿.

Por outro lado, a energia potencial está associada com a posição do objeto no sistema. É uma forma de energia armazenada no sistema que pode ser recuperada e transformada em energia cinética, ou outras formas de energia.

Vamos analisar duas formas especiais de energia potencial: gravitacional e elástica.

1. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

A figura abaixo é uma ilustração de um corpo caindo de uma altura y1 até outra y2.

Trabalho realizado pela força peso:

W g=F. d=F ∙d=P ( y1− y2 )=mg y1−mg y2

Definição de energia potencial gravitacional: U=mgy

NOTA: Observe que a energia potencial gravitacional pressupõe a existência de dois corpos e depende das propriedades destes dois corpos: m é massa de um deles, g é gravidade do outro (Terra) e y é a distância entre eles.

A variação de U é igual ao trabalho realizado pela força peso.

W g=U 1−U 2=−(U 2−U 1 )=−∆ U

Na subida y2> y1→ W g<0 e ∆ U>0

Na descida y2< y1→ W g>0 e ∆ U<0

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

Vamos considerar que a única força presente seja a força peso.

64

W TOTAL=∆ K=K 2−K1

Mas W TOTAL=W g=−∆ U=U 1−U 2→ ∆ K=−∆ U → K2−K 1=U 1−U 2 → K 1+U 1=K2+U 2

ou12

m v12+mh y1=

12

m v22+mh y2

Definição de energia mecânica:

E=K+U

Então, se somente a força P está presente, temos:

E1=K 1+U 1em y1

E2=K2+U 2em y2

Mas K1+U 1=K 2+U 2→ E1=E2=E=constante . Nestecaso dizemos queaenergia é conservada !

NOTA: Se além do peso P tiver outra força F atuando, então:

W TOTAL=W F+W g=K2−K 1→W F+U 1−U 2=K2−K1→

K1+U 1+W F=K2+U 2

2. ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

É uma forma de energia armazenada em um corpo (ou um dos corpos presentes) e depende da posição relativa entre as partes do próprio corpo. O exemplo mais simples é o de uma mola ou um elástico, estudada na páginas 48 e 49.

Força sobre a mola: F=kx

Trabalho realizado sobre a mola: W F=12

k x22−1

2k x1

2

W el<0 trabalho exercido

pela mola

W el>0

W el>0

Mas W F=−W el → W el=12

k x12−1

2k x2

2

65

Como trabalho equivale à variação da energia, então U=12

k x2 é uma forma de energia,

denominada energia potencial elástica.

Definição de energia potencial elástica: U=12

k x2

NOTA: Observe que a energia potencial elástica depende da rigidez do corpo (via constante k) e da mudança

das posições de suas partes, via parâmetro x. Como já foi mencionado, esse x na verdade é ∆ x=x2−x1.

Como ∆ U=U 2−U 1→ W el=U 1−U 2=−∆ U

Em termos gráficos

Resumindo:1) Se só existe a força elástica F el atuando sobre o corpo:

W T=W el=U 1−U 2=∆ K=K2−K1 →

K1+U 1=K 2+U 2→ E1=E2=E(aenergia se conserva)

2) Se existe força elástica F el e outra força externa F :

W T=W el+W F=K 2−K1→

U 1−U 2+W F=K2−K 1→ W F=¿

K1+U 1+W F=K2+U 2

3) Se existe força elástica F el, força gravitacional P e outra força externa F :

K1+U g1+U el1+W F=K2+U g2+U el2

NOTA: O modelo acima é o mais geral possível para a conservação da energia mecânica de um sistema.

FORÇAS CONSERVATIVAS

É qualquer força capaz de converter energia cinética em potencial e vice-versa.

Ex: força gravitacional e força elástica.

Característica do trabalho de uma força conservativa

É dado pela diferença entre a energia potencial em dois pontos de uma trajetória; É reversível; Não depende da trajetória, somente dos pontos inicial e final;

66

Quando os pontos iniciais e finais coincidem → o trabalho é nulo.

NOTA: se só existem forças conservativas realizando trabalho, então a energia mecânica total (E = K + U) se conserva (permanece constante).

FORÇAS NÃO CONSERVATIVAS

Não são capazes de converter integralmente energia cinética em potencial e vice-versa. Parte da energia cinética ou potencial é dissipada (perdida) através das paredes do sistema.

Ex: força de atrito, força de resistência do ar.

FORÇA E ENERGIA POTENCIAL

No caso de forças conservativas, a energia potencial pode ser representada por uma função U (x ). Da definição de Trabalho:

W=−∆ U → F x ( x )∆ x=−∆ U → Fx ( x )=−∆ U∆ x

Tomando o limite onde ∆ x →0 a variação de F x torna-se desprezível e temos a expressão exata:

F x (x )=−dUdx

DIAGRAMAS DE ENERGIA

Podemos obter várias características importantes do gráfico de F e U verso x.

Questões para Discussão da Unidade VII

Questões sobre energia potencial e conservação da energia

31. Uma bola de futebol é lançada verticalmente de baixo para cima com velocidade v0. Caso a resistência do ar não seja desprezada, quando a bola retorna para sua altura inicial, sua velocidade é menor do que v0. Usando o conceito de energia, explique por quê. Sears, Q7.1

32. Um projétil possui a mesma energia cinética seja qual a for o ângulo de projeção. Por que ele não atinge a mesma altura máxima em qualquer caso? Sears, Q7.2

33. Um objeto é solto de um telhado sem velocidade inicial e cai até o solo. A queda é observada por um estudante situado no telhado, que usa coordenadas com origem no telhado, e por outro estudante no solo, que usa coordenadas com origem no solo. Verifique se os dois estudantes atribuem valores iguais ou diferentes para cada uma das seguintes grandezas físicas: energia potencial gravitacional inicial, energia potencial gravitacional final, variação da energia potencial gravitacional e energia cinética antes do objeto colidir com

67

o solo. Explique. Sears, Q7.4

34. Visto que somente variações da energia potencial são relevantes, um estudante decide fazer a energia potencial elástica de uma mola igual a zero, quando a mola está esticada a uma distância x1. O estudante

decide, portanto, fazer U=12

k (x−x1)2. Isso está correto? Explique. Sears, Q7.17

35. A função energia potencial de uma força F é U=α x3, onde a é uma constante positiva. Qual é a direção de F? Sears, Q7.24

Problemas da Unidade VII

Problemas sobre energia potencial e conservação da energia

21. Um pêndulo consiste de uma esfera de massa m presa a um fio inextensível de comprimento L, como mostra a figura ao lado. A esfera é solta do repouso do ponto A quando o fio faz um ângulo A com a vertical. a) Encontre a velocidade da esfera e a tensão no fio quando ela passa pelo ponto B. Serway, Exemplo 8.3.

22. Dois blocos são conectados por um fio ideal que passa sobre uma polia sem atrito, conforme a figura ao lado. O bloco de massa m1 está sobre uma superfície horizontal e é conectado a uma mola de constante elástica k. O sistema é solto a partir do repouso quando a mola não está esticada nem comprimida. Se o bloco de massa m2 cai uma distância h antes de parar, calcule o coeficiente de atrito entre a superfície e o bloco de massa m1. Serway, Exemplo 8.10.23. Uma esfera desliza sem atrito sobre a pista mostrada na figura ao lado. A esfera é solta de uma altura h = 5,50R. a) Qual sua velocidade no ponto A? b) Encontre a magnitude da força normal sobre a pista no ponto A se a massa da esfera é de 5,00 g. Serway, P8.5.

24. Um objeto de massa m parte do repouso e desliza uma distância d para baixo sobre um plano sem atrito inclinado de um ângulo , antes de bater em uma mola de constante k. O bloco ainda desce uma distância x antes de parar. Encontre a separação d entre o objeto e a mola em função de k, x, m, g e . Serway, P8.10.

25. O sistema mostrado na figura abaixo de um fio inextensível, de uma polia sem atrito de dois blocos de massa iguais. Os blocos estão inicialmente em repouso e mantidos na mesma altura acima do solo. Se os

68

blocos são soltos, encontre a velocidade do bloco A no momento em que eles estão separados por uma distância h na vertical. Serway, P8.20.

26. Uma partícula de massa m = 5,00 kg é solta do ponto A e desce a pista sem atrito, como mostra a figura ao lado. Determine a) a velocidade da partícula nos pontos B e C e b) o trabalho total feito pela força gravitacional entre os pontos A e C. Serway, P8.24.

27. Um bloco desce a pista encurvada sem atrito e depois sobre o plano inclinado que possui um coeficiente de atrito cinético c. Use os conceitos de energia mecânica para mostrar que a altura máxima alcançada pelo bloco é ymáx = h/(1+ccot). Serway, P8.148.

28. Uma tábua uniforme de comprimento L está deslizando ao longo de uma superfície horizontal lisa (sem atrito), conforme a figura abaixo (parte a). A tábua então encontra uma superfície rugosa cujo coeficiente de atrito cinético é c. (a) Encontre a aceleração da tábua no momento em que sua ponta dianteira está a uma distância x da fronteira entre as duas superfícies. (b) A tábua pára exatamente no momento em que sua extremidade traseira atinge a superfície rugosa (ver figura, parte b). Encontre sua velocidade inicial. Serway, P8.39.

29. Uma partícula de massa 1,18 kg é presa entre duas molas idênticas sobre uma mesa horizontal sem atrito.

69

As molas têm constante elástica k e inicialmente não estão esticadas nem comprimidas. a) Se a partícula é puxada até uma distância x ao longo da perpendicular às molas, conforme ilustrado na figura abaixo, mostre

que a energia potencial do sistema é dada por .b) Faça um gráfico de U(x) versus x e identifique todos os pontos de equilíbrio. Assuma L = 1,20 m e k = 40,0 N/m. c) Se a partícula é puxada 0,500 m para a direita e então solta, qual é sua velocidade quando ela passa pela posição de equilíbrio (x = 0)? Serway, P8.47.

30. Um bloco de 10,0 kg e solto da posição A conforme a figura abaixo. A pista não tem atrito, com exceção entre os pontos B e C, que estão distantes de 6,00 m. O bloco desce a pista, se choca com a mola ( k = 2250 N/m) comprimindo-a de 0,300 m, antes de momentaneamente parar. Determine o coeficiente de atrito cinético entre o bloco a parte rugosa da pista.

UNIDADE VIII

MOMENTO LINEAR E COLISÕES

Objetivo: Estudar alguns fenômenos físicos onde existem forças de interação entre o sistema e sua vizinhança (ou entre duas partes do sistema), mas essas forças não são conhecidas.

A. SISTEMAS COM MASSA CONSTANTE

Nesta primeira parte vamos estudar o momento linear de sistemas ou corpos cuja massa permanece constante durante o evento de uma colisão ou durante o movimento a ser analisado.

Exemplo: A figura ao lado ilustra a interação de duas partículas.

Pela3a . leide Newton : F12=−F21e F12+F21=0

70

Durante a interação, cada partícula acelera. Assim,

m1 a1+m2a2=0 → m1

d v1

dt+m2

d v2

dt=0

Sem1e m2 sãoconstantes→ddt

(m1 v1 )+ddt

(m2 v2 )=0→ddt

(m1 v1+m2 v2)=0

Como a derivada temporal de m1 v1+m2 v2 é nula, então

m1 v1+m2 v2=constante

1. DEFINIÇÃO DE MOMENTO LINEAR (OU QUANTIDADE DE MOVIMENTO):

A quantidade p=m v é definida como momento linear.

NOTA: Em um sistema isolado o momento linear total é conservado (se mantém constante).

Unidadede referência :kg ∙ms

Se o movimento ocorre em três dimensões:

px=m vx , p y=m v y , pz=m vz

Pela 2ª. Lei de Newton,

∑ F=ma=md vdt=

d (m v )dt

=md pdt

→∑ F=md pdt

Exercício 1: Dois objetos têm a mesma energia cinética. Como as magnitudes dos momentos estão relacionadas?

a¿ p1< p1 ;b¿ p1=p1; c¿ p1> p1; d¿não teminformação suficiente para dizer

Solução : Sem1=m2 ev1=v2→ K1=K2 e p1=p2 .

Também, sem1=1 kg , m2=4 kg , v1=2ms

e v2=1ms

→ K1=K2=2 J , mas

p1=m1 v1=2 kg .ms

e p2=m2 v2=4 kg . m/ s. Logo, o enunciado não tem informação suficiente para dizer

como os momentos estão relacionados.

2. LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR:

71

Usando a definição de momento linear para o caso de duas partículas:

ddt

( p1+p2 )=0 →ddt

( p total )=0

Como pTotal=p1+ p2=constante , ou pTotal=p1+ p2 ou p1i+ p2 i=p1 f+ p2 f

NOTA: Se duas ou mais partículas de um sistema isolado interagem, o momento linear total do sistema permanece constante. A única restrição para a força de interação é que ela seja interna ao sistema, mas pode ser constante ou não.

Exercício 2: Uma bola cai sem resistência do ar. O sistema isolado para o qual o momento é conservado é:a) a bola;b) a Terra;c) a bola e a Terra;d) Impossível dizer.

Exercício 3. Um arqueiro de 60 kg está sobre uma pista de gelo (sem atrito). Ele atira uma flecha de 0,5 kg horizontalmente a 50 m/s.

a) Qual a velocidade de recuo do arqueiro?

Solução:Identificar: O sistema é formado por arqueiro + flecha. Como não há nenhuma força externa sobre ambos na direção horizontal, podemos considerar que o sistema está isolado, e assim podemos usar o princípio de conservação do momento linear.

Preparar:

Executar:

pi=p f →m1 v1 i+m2 v2 i=m1 v1 f+m2 v2 f → v1 f=m1 v1 i+m2

(v¿¿2i−v2 f )m1

¿

v1 f=60 ∙0+0,5 ∙(0−50)

60→ v1 f=−0,42 i m /s

Avaliar: Quanto maior for a massa m1 do arqueiro menor será sua velocidade de recuo. Por outro lado, quanto mais força ele fizer para jogar a flecha (maior velocidade) maior será a sua velocidade de recuo.

b) Se a flecha for lançada com um ângulo acima da horizontal, como isto altera a velocidade de recuo do arqueiro?

No caso de a flecha ser lançada com um ângulo acima da horizontal, temos:

72

viF

FFAx

FFAy

N

PF PA

pi=p f →0=m1 v1 f+m2 v2 f cosθ→ v1 f=−m2 v2 f cosθ

m1

Seθ=00→ v1 f=−0,42 m / s

Se0<θ<9 00 → v1 f←0,42 m /s

Seθ=9 00→ v1 f=0 (Nãohá recuo . Por quê? )

3. IMPULSO

De∑ F=d pdt

vemos que o momento mudaquando uma força atua sobre a partícula .

Então , d p=F dt . Integrando :∫pi

pf

d p=∫ti

t f

F dt → pf−pi=∫ti

tf

F (t)dt (Teorema do impulso−momento)

3.1 Definição de Impulso:

I=∫ti

t f

F (t)dt e I=∆ P

Para resolvermos a integral é necessário sabermos como F(t) depende de t. Considerando que ela possa ser representada por uma força média durante o intervalo de tempo t,

F ≡1

t f−ti∫t i

tf

F (t)dt , então podemos retirar F ( t )da integral e I ≡ F ∆ t

Sea forçaé constante→ I=F ∆ t

NOTA: O intervalo de tempo ∆ t na definição de impulso é, em geral, muito pequeno. Como

I ≡ F ∆ t=p f−pi as forças envolvidas são muito grandes. O dispositivo airbag usado nos automóveis tem o

papel de aumentar t para que F diminua, causando assim menos danos durante um choque.

Exercício 4. Dois objetos estão em repouso sobre uma superfície sem atrito. O objeto 1 tem massa maior do que o objeto 2. Quando uma força é aplicada ao objeto 1, ele acelera por uma distância d. A força é retirada do objeto 1 e aplicada no objeto 2. No momento em que o objeto 2 atinge a mesma distância, podemos afirmar que:a) p1 < p2 b) p1 = p2 c) p1 > p2 d) K1 < K2 e) K1 = K2 f) K1 < K2

Solução:

I=F ∆ t=∆ pe F=m1 a1=m2 a2 .Comom1>m2→ a2>a1 . Assim o objeto 2 percorre a distância d em um

tempo menor e ∆ t 2<∆ t 1. Então,

∆ p1=F ∆ t 1e ∆ p2=F ∆ t2 . Daqui ,∆ p2=∆ p1

∆ t2

∆ t1

. Como ∆ t2<∆ t 1→ ∆ p2>∆ p1 . Se ambos partem do repouso →

p2 f−0> p1 f−0e p2 f> p1 f .73

Usando a relação de trabalho: W=Fd=K f−K i→ K2 f−K2 i=Fd=K1 f−K1i . Como K1 i=K2 i=0 , então K1 f=K2 f . Resposta: itens (c) e (e).

Exercício 5. Resolva o mesmo problema acima substituindo a distância d percorrida pelo intervalo de tempo t.

I=∆ p=F ∆ t .Como agorao ∆t é o mesmo paraosdois casos e a força tambémé a mesma, então I 1=I2 → p1=p2 .

Comoa2>a1 durante omesmo ∆ t o objeto 2 percorre uma distânciad maior . SendoW=∆ K=Fd →

∆ K 2>∆ K1 e K2 f−K2i>K 1 f−K1 i → K2 f >K1 f

Resposta: itens (b) e (f).

4. COLISÕES EM 1-DIMENSÃO

Colisão → evento físico durante o qual dois objetos interagem por meio de forças. O tempo de interação em geral é muito curto e as forças envolvidas são muito maiores do que as forças externas. Sendo assim, podemos usar o conceito de impulso para estudar colisões.

Colisões macroscópicas → existe contato entre os objetos, figura (a)Colisões microscópicas → não há contato entre os objetos que se chocam, figura (b).

NOTA: Durante uma colisão as forças de interação variam de forma complicada. Mas como elas são forças

internas ao sistema, o momento linear total se conserva: ∆ pi=∆ pf . Entretanto, a energia cinética pode

ser conservada ou não.

Colisão elástica → a energia cinética total do sistema é conservada

K i=K f e ∆ K=0

Exemplo: choque entre duas bolas de bilhar (isso é apenas uma aproximação).

NOTA: Uma colisão só é perfeitamente elástica quando ocorre entre partículas na escala atômica. Nas colisões entre partículas macroscópicas sempre haverá perda de energia para o meio.

Colisão inelástica → a energia cinética total não é conservada.

NOTA: Se a colisão é perfeitamente inelástica os objetos permanecem juntos após a colisão. Exemplo: meteorito caindo na Terra.

74

Análise de colisões perfeitamente inelásticas

Antes da colisão Após a colisão

Pela conservação do momento:

pi=p f →m1 v1 i+m2 v2 i=(m¿¿1+m2)v f → v f=m1 v1 i+m2 v2 i

m1+m2

¿

Análise de colisões perfeitamente elásticas

Antes da colisão Após a colisão

Conservação de p: m1 v1 i+m2 v2 i=m1 v1 f+m2 v2 f (1)

12

m1

v1i2 + 1

2m

2

v2 i2 =1

2m

1

v1 f2 + 1

2m

2

v2 f2 (2)

Arrumando aequação (2 ) :m1 (v1 i2 −v1 f

2 )=m2(v2 f2 −v2 i

2 )

Fatorando : m1 (v1 i−v1 f ) (v1i+v1 f )=m2 (v2 f−v2 i ) (v2 f+v2 i) (3)

Arrumando aequação(1) :m1 (v1i−v1 f )=m2 (v2 f−v2 i )(4)

Dividindo (3) por (4): v1i+v1 f=v2 f+v2i ou v1i−v2 i=−(v1 f−v2 f)

Resumindo: ∆ v i=−∆ v f

∑ pi=∑ pf

Se as massas e as velocidades iniciais são conhecidas, podemos encontrar uma expressão para as velocidades finais para o caso de colisões elásticas:

v1 f=(m1−m2

m1+m2) v1i+( 2m2

m1+m2)v2 i

75

v2 f=( 2m1

m1+m2)v1 i+(m2−m1

m1+m2)v2 i

NOTA : Sem1≫m2 ev2 i=0→ v1 f ≅ v1 ie v2 f ≅ v1 i

Sem2≫m1e v2 i=0 → v1 f ≅−v1 ie v2 f ≅ 0

Exercício 6: Um bloco de massa m1 = 1, 60 kg está se movimentando

para a direita com velocidade de 4,00 m/s em uma superfície sem atrito e colide com uma mola presa a um segundo bloco de massa m2 = 2,10 kg que está se movimentando para a esquerda com velocidade de 2,50 m/s, conforme ilustra a figura ao lado. A constante da mola é de 600 N/m.

a) Encontre a velocidade dos blocos após a colisão.b) Durante a colisão, no momento em que o bloco 1 está com velocidade de 3,00 m/s, determine a velocidade do bloco 2.c) Determine a distância de compressão da mola na situação do item (b).d) Qual é a compressão máxima da mola.

Solução:

a) Usando a conservação de momento linear:

m1 v1 i+m2 v2 i=m1 v1 f+m2 v2 f

1,6 ∙ 4+2,1∙ (−2,5 )=1,6 v1 f+2,1 v2 f

1,15=1,6v1 f+2,1 v2 f (1)

v1i−v2 i=−(v1 f−v2 f )4− (−2,5 )=−v1 f+v2 f

6,5=−v1 f+v2 f (2)

Resolvendo (1) e (2) v1 f=−3,38 m / se v2 f=3,12m / s

b) Pela conservação do momento linear:

m1 v1 i+m2 v2 i=m1 v1 f+m2 v2 f

1,6 ∙ 4+2,1 (−2,5 )=1,6 ∙ 3+2,1 v2 f

v2 f=−1,74 m /s

c) Usar a conservação de momento linear. Como não há atrito a energia se conserva também.Ponto inicial: antes de o bloco atingir a molaPonto final: quando o bloco está a 3,00 m/s.

76

K i+U i=K f+U f

12

m1

v1i2 + 1

2m

2

v2 i2 +0=1

2m

1

v1 f2 + 1

2m

2

v2 f2 + 1

2k x2

12

∙1,6 ∙ 42+12

∙2,1 ∙(−2,5)2=12

∙1,6 ∙32+ 12

∙2,1∙(−1,74)2+ 12

∙ 600 x2

x=17,3 cm

d) No momento em que a compressão da mola for máxima os blocos se deslocam momentaneamente juntos e o sistema todo (corpo 1 + corpo 2 + mola) se comporta como um corpo rígido.

Conservação do momento:

m1 v1 i+m2 v2 i=(m¿¿1+m2)v f ¿

v f=m1 v1 i+m2 v2 i

m1+m2

=0,311m / s

Conservação da energia cinética:K i+U i=K f+U f

12

m1

v1i2 + 1

2m

2

v2 i2 +0=1

2m

1

v1 f2 + 1

2¿

x=25,3 cm

5. COLISÕES EM 2-DIMENSÕES

Estudamos a conservação do momento linear em 1-dimensão. Entretanto, o momento linear de um sistema isolado é conservado em todas as direções em que o sistema possa se deslocar. Para o caso da colisão entre um objeto de massa m1 se movimentando no sentido positiva do eixo x e outro de massa m2 que se encontra em repouso, temos:

antes da colisão após a colisão

Conservação do momento:

Ao longo do eixo x: m1 v1 i=m1 v1 f cosθ+m2 v2 f cosϕ

Ao longo do eixo y: 0 ¿m1 v1 f senθ−m2 v2 f senϕ

Se a colisão é elástica podemos usar a conservação da energia cinética, lembrando que v2i=0:

12

m1

v1i2 =1

2m

1

v1 f2 + 1

2m

2

v2 f2

77

6. MOVIMENTO DE UM CORPO EXTENSO

Até aqui estudamos o movimento de um objeto com características de partícula, ou seja, o movimento no qual as dimensões do objeto não eram relevantes. Entretanto, em muitas situações as dimensões do objeto não podem ser desprezadas. A análise que vamos apresentar serve também para descrever o movimento de um conjunto de partículas.

Antes de iniciar, vamos definir o conceito de centro de massa.

6.1. Centro de Massa (CM)

Ao trabalharmos com o movimento de corpos extensos devemos definir o centro de massa do objeto em movimento. O centro de massa é o lugar geométrico no qual poderíamos colocar toda a massa do corpo de modo que o seu movimento de translação não fosse afetado. É um tipo de média da distribuição de massa. Veja a figura abaixo.

F aplicada acima do CM → objeto sofre rotação no sentido horário

+ translação.

F aplicada abaixo do CM → objeto sofre rotação no sentido anti-

horário + translação.

F aplicada no CM → objeto sofre apenas translação.

NOTA: O centro de massa do sistema se movimenta como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele.

6.2. Localizando o centro de massa de um sistema

Veja o caso de um sistema simples formado por apenas duas partículas.

xCM ≡m1 x1+m2 x2

m1+m2

ou xCM ≡∑ mi x i

∑mi

Exemplo : Se x1=0 , x2=d em2=2 m1 → xCM=0+2m1 d

m1+2m1

=2d3

78

NOTA: Observe que o CM está mais perto do corpo de que possui a massa maior.

Exemplo : Se x1=0 , x2=d em2=m1→ xCM=0+m1 d

m1+m1

=d2

, ou seja , no ponto central entre asmassas .

Para o caso de o sistema possuir N partículas:

xCM ≡m1 x1+m2 x2+⋯+mn xn

m1+m2+⋯+mn

=∑ mi x i

∑mi

=∑mi xi

M

No caso de movimento em 3-Dimensões devemos trocar x por r

rCM=xCM i+ yCM j+ zCM k=∑ mi ri

M,onde ri=x i i+ yi j+zi k

Se o sistema é formado por um corpo extenso (ao invés de um grupo de partículas) o cálculo do CM fica mais complicado. Entretanto, podemos usar o seguinte procedimento: vamos dividir o corpo em N

pedacinhos, cada um deles possuindo massa de tamanho mi e localizados nos pontos x i , y i , zi . Assim,

xCM=∑

i

N

x i ∆ mi

M

Se N for muito grande (M → ∞) então podemos trocar a somatória ∑❑ por uma integral ∫❑ e ∆ mi por

d mi:

xCM= lim∆mi →0

∑i

N

x i ∆ mi

M= 1

M∫ xdm

NOTA: Se o objeto é simétrico e tem massa uniformemente distribuída, o CM está sobre um eixo de simetria e sobre um plano de simetria. Veja as figuras para entender melhor.

Como a força da gravidade age sobre cada um dos pedacinhos de massa mi, a somatória de todas as

forças ∑ ∆ mi g tem efeito equivalente ao de uma única força M g que atua sobre um ponto denominado

centro de gravidade, CG. Se g é constante, ao longo da massa ∆ mi então o CG coincide com o CM.

79

Como exemplo. Vamos calcular o CM de uma barra uniforme de comprimento L e densidade linear de massa .

Pela figura anterior, yCM=zCM=0

Densidadelinear : λ=ML

→ dm=λdx

xCM=1M∫ xdm= 1

M∫

0

L

x λdx= λM

x2

2 |0L

= λ L2

2 M

Como λ= LM

→ xCM=ML

M L2

2 M= L

2

Conclusão: Se a barra é uniforme o CM fica no meio dela. Neste caso o CM coincide com o CG.

Se a barra não for uniforme, mas tiver sua densidade de massa variando linearmente com x ( = x), então:

xCM=1M∫0

L

x dx= 1M∫0

L

x λdx= 1M∫

0

L

xαxdx= αM∫

0

L

x2dx=α L3

3 M

Como M=∫ dm=∫0

L

λdx=∫0

L

αxdx=α L2

2→ xCM=

α L3

3α L2

2

=2 L3

7. MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Vimos que ocentrode massa deum conjunto de partículas pode ser escrito como rCM=∑mi r i

M.

Para entender o significado físico e a utilidade desta definição vamos tomar a derivada temporal. Vamos supor aqui que a massa seja constante (nenhuma partícula está saindo ou entrando no sistema).

d rCM

dt=vCM=

1M∑

i

mi

d r i

dt=∑

i

mi v i

M→ M vCM=∑

i

mi v i=∑i

p i= pTOTAL ou pTOTAL=M vCM

Conclusão: O momento linear total do sistema é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa. Em outras palavras, o momento linear total do sistema é igual àquele de uma única partícula de

massa M e se movendo velocidade vCM.

80

Aceleração do centro de massa.

aCM=d vCM

dt= 1

M∑

i

mi

d v i

dt= 1

M∑

i

mi ai

Usando a 2ª. Lei de Newton,

M aCM=∑i

mi ai=∑i

F i

NOTA: F i (força sobre a partícula i) inclui forças internas e externas, ou seja, ∑ F i=∑ F i∫¿+∑ Fi

ext ¿.

Mas pela 3ª. Lei de Newton F12=−F21 e ∑ F i∫¿=0¿. Assim,

∑ Fext=maCM

Conclusões: i) A força externa resultante sobre um sistema de partículas é igual à massa total do sistema multiplicada pela aceleração do centro de massa.

ii) O centro de massa de um sistema da partículas se move sob a ação de uma força externa como se fosse uma única partícula de massa M.

Se Fext=0 → M aCM=Md vCM

dt=0→

ddt

[M vCM ]= ddt

[ pTOTAL ]=0 → pTOTAL=constante

Conclusão: Se a força externa que age sobre o sistema de partículas e nula, o momento total se conserva (permanece constante durante todo o evento).

B. SISTEMAS COM MASSA VARIÁVEL

Até aqui estudamos sistemas de partículas cuja massa total era constante. Vamos estudar agora o caso em que a massa varia durante a interação. Um exemplo típico é o movimento de um foguete.

As manobras de foguetes e naves espaciais no espaço livre (vácuo) dependem da lei da conservação do momento linear aplicado ao sistema foguete + gás expelido. O motor fornece momento (força) para o gás ejetado e pela 3ª. Lei de Newton o motor exerce uma força no sentido contrário. As figuras abaixo ilustram bem este princípio. Se um gás explode dentro de uma esfera fechada (figura (a)) ela não se movimentará, já que a soma das forças de ação (do gás sobre a parede da esfera) é igual à soma das forças de reação (da parede da esfera sobre o gás). Entretanto, se houver uma abertura por onde parte do gás é ejetado, então a soma das forças do gás sobre a esfera é maior, e por isso ela se movimentará, neste caso para cima.

NOTA: O movimento do foguete se enquadra no caso de uma colisão perfeitamente elástica, onde o momento se conserva, mas a energia cinética aumenta à custa da energia potencial armazenada no combustível.

81

No modelo que segue vamos usar as seguintes informações:v – velocidade do foguete em relação à Terra;M – massa do foguete + combustível ainda não ejetado;∆ m– quantidade de combustível ejetado;

Mv – momento linear do foguete;

∆ m∙ v – momento linear do combustível ejetado;

ve – velocidade do gás ejetado em relação ao foguete;

v−v e – velocidade do gás ejetado em relação á Terra;

Usando a conservação do momento linear:

pi=p f

(M+∆ m ) v=M ( v+∆ v )+∆ m (v−ve)→ Mv+∆ mv=Mv+M ∆ v+∆ mv−∆ mve → M ∆ v=∆ mv e

Vamos tomar o limite onde ∆ t →0 ,∆ v→ dv e ∆ m→ dm

Além disso, quando a massa da exaustão aumenta de dm a massa do foguete diminui de dM . Então vamos fazer dm=−dM :

Mdv=ve dm=−ve dM

Integrando,

∫vi

v f

dv=−ve∫M i

M f

dMM=−ve ln(M f

M i)

v f−v i=ve ln (M i

M f)→ v f=v i+ve ln( M i

M f)

Conclusões: i) Quando a velocidade de exaustão do gás aumenta a velocidade do foguete aumenta;

ii) Quanto maior a razão M i /M f maior será a velocidade do foguete. Veja que dentro de M i

tem a massa do foguete e a massa do combustível. Assim, quanto maior a massa inicial de combustível maior será a velocidade final atingida pelo foguete.

1. PROPULSÃO

Definimos propulsão ou força de propulsão a força dos motores do foguete:

℘=Mdvdt=|ve

dMdt |

82

A força de propulsão aumenta com a razão de queima de combustível (dM /dt ¿.

Exercício 7: Um foguete se move no espaço livre com velocidade de 10.800 km/h (3.000 m/s) em relação á Terra. Seu motor é ligado e ejeta gás no sentido oposto ao do movimento do foguete, a uma velocidade de 16.200 km/h (4.500 m/s) em relação ao foguete. Esta é a maior velocidade obtida atualmente, usando hidrogênio ou oxigênio líquido.a) Qual a velocidade do foguete em relação à Terra quando sua massa estiver reduzida à metade?b) Qual a força de propulsão sobre o foguete se o combustível é queimado a uma taxa de 100 kg/s?

Solução:

a¿ v f=v i+v e ln( M i

M f)=3.000+4.500 ln( M i

0,5 M i)=6.119 m /s≅ 22.000 km /h

b¿℘=|vedMdt |=4500 ×100=4,5× 105 N ≅ 45.000 kg . f ≅ 45 ton. f

Exercício 8. Considere o lançamento do ônibus espacial Discovery (veja fotos abaixo). A massa total (nave + foguetes + tanque + combustível) é de 2.000 toneladas. A força de propulsão total (3 motores da nave +2 foguetes) é de 30,16 MN. Se a velocidade final do ônibus é de 27.875 km/h, qual a altura máxima alcançada, supondo que ele mantenha o alinhamento vertical durante todo o vôo? Despreze a ação da gravidade? Os motores consomem combustível a uma taxa de aproximadamente 10.000 kg/s e a velocidade de ejeção do combustível é de 4.000 m/s.

Solução:

Comoa aceleração se mantém constante , podemosusar a cinemática :v f2=v i

2+2 ah →h=v f

2

2a

Da 2ª. Lei de Newton, ∑ F=ma→℘=ma→a=℘/m.

Substituindo este resultado na expressão deh , temosh=v f

2

2℘m

=m v f

2

2℘

Então , h=mv f

2

2℘=

2× 1 06 kg ∙ (7.743 m / s )2

2× 30,16 ×1 06 N=

(7.743 )2

30,16≅ 1.988 km

NOTA: A altura de trabalho do ônibus espacial varia entre 180 e 960 km.

83

Questões para Discussão da Unidade VIII

1. Para rachar um tronco de lenha usando um martelo e uma cunha, um martelo pesado é mais eficiente do que um martelo mais leve? Por quê? Sears, Q8.1 (o martelo pesado é mais eficiente porque com a mesma velocidade de um martelo mais leve ele tem momento maior, e precisa de uma força maior para pará-lo.)

2. Um carro possui a mesma energia cinética quando se desloca a 80 km/h do norte para o sul e quando se desloca a 80 km/h do norte para o leste. O momento linear é o mesmo nos dois casos? Explique. Sears, Q8.4 (A energia cinética depende apenas da velocidade escalar, mas o momento é um vetor e tem a mesma direção da velocidade. O momento do carro é diferente nos dois casos).

3. Em um ambiente com gravidade igual a zero, pode uma espaçonave movida por foguete atingir uma velocidade maior do que a velocidade relativa com a qual o combustível queimado é expelido? Sears, Q8.21 (Sim. A eq. 8.40 mostra que a velocidade final do foguete será maior que a velocidade relativa se Ln(m i/mf) > 1. Este é o caso quando mi > mf, ou seja, quando a massa inicial é muito maior do que a massa final).

84

4. Os passageiros de um navio de cruzeiro estavam ansiosos para chegar ao seu destino e resolveram consultar um físico que se encontrava a bordo sobre a possibilidade de apressarem a viagem. O físico recomendou: − vão para a parte da frente do navio e depois corram todos juntos em direção a parte de trás e o navio. Comente sobre o conselho deste físico. Enquanto os passageiros estão correndo para a parte de trás a velocidade do navio é:a) maior do que antes;b) permanece a mesma;c) menor do que antes;d) impossível dizer. Serway, Q9.11.Sol. O conjunto passageiro-navio forma isolado. Se os passageiros correm todos para a parte de trás a velocidade do navio aumenta ligeiramente.

5. Os passageiros param de correr quando eles atingem a parte de trás do navio da questão anterior. A velocidade do navio é:a) maior do que antes deles começarem a corrida;b) permanece a mesma de antes da corrida;c) menor do que antes do início da corrida;d) impossível dizer. Serway, Q9.12.Sol. Uma vez que os passageiros param de correr o momento do sistema é exatamente o mesmo de antes de eles começarem a corrida. Não é possível mudar o momento de um sistema isolado usando apenas forças internas. Se você está pensando que os passageiros podem apressar a viagem, veja que eles precisam retornar para a parte da frente do navio, o que faz com que a velocidade deste seja menor do que era antes deles terem iniciado a corrida.

Problemas da Unidade VIII

1. O bloco A indicado na figura abaixo possui massa igual a 1,0 kg, e o bloco B possui massa igual a 3,0 kg. Os dois blocos se aproximam, comprimindo a mola S entre eles; a seguir, o sistema é liberado a partir do repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. A mola possui massa desprezível, não está presa a nenhum dos blocos e cai sobre a mesa depois que se expande. O bloco B adquire uma velocidade de 1,20 m/s. Sears, P8.20.

a) Qual a velocidade final do bloco A?b) Que foi a energia potencial armazenada na mola comprimida?

2. Em um cruzamento, um carro compacto com massa de 950 kg que se deslocava de oeste para leste colide com uma picape com massa 1.900 kg que se deslocava de sul para norte e avançou sinal vermelho, conforme a figura abaixo. Em virtude da colisão os dois veículos ficam engavetados e após a colisão eles se deslocam a 16,0 m/s na direção 24,0o nordeste. Calcule o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Estava chovendo no momento da colisão e o atrito entre os pneus e o asfalto pode ser desprezado. Sears, P8.37.

85

3. Como mostrado na figura abaixo, um projétil de massa m e velocidade v atravessa totalmente a massa M presa em um fio de comprimento l e de massa desprezível. Após atravessar a massa M o projétil tem velocidade v /2. Encontre a velocidade mínima do projétil suficiente para que a massa M atinja o ponto mais alto do círculo. Serway, P9.24.

4. Duas massas idênticas são liberadas do repouso em um hemisfério liso de raio R, a partir da posição indicada na figura abaixo. Despreze o atrito entre as massas e a superfície do recipiente. Se elas colarem ao colidirem, que altura acima da parte inferior do recipiente as massas atingirão aos a colisão? Sears, P8.78.

5. Uma jovem de 45,0 kg está em pé sobre uma canoa de 60,0 kg e comprimento igual a 5,0 m. Ela caminha a partir de um ponto situado a 1,0 m de uma das extremidades da canoa até pára a 1,0 m da outra extremidade, conforme ilustra a figura abaixo. Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa: Sears, P8.100.a) Qual a distância que a canoa se move nesse processo?b) Que distância em relação à água a jovem se deslocou?

6. Um projétil de massa m atinge um bloco de madeira de massa M inicialmente em repouso sobre a borda de uma mesa sem atrito de altura h, conforme mostra a figura abaixo. Após a colisão o projétil permanece dentro do bloco de madeira, que cai a uma distância d da mesa. Usando princípios da cinemática e conservação do momento mostre que a velocidade

inicial do projétil pode ser escrita como v i=(M+mm )√ g d2

2h.

86

Unidade IX

ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS

Quando um objeto extenso (não pontual) gira em torno de um eixo, o seu movimento não pode ser analisado utilizando o modelo de partícula, como vimos anteriormente. A razão disto é que diferentes partes do objeto têm velocidades e acelerações diferentes.

Modelo real: objeto não é rígido, mas se deforma (a distância entre as partes do copo se altera durante o movimento).Modelo ideal: objeto é rígido (isto significa que a posição relativa entre as partes do objeto se mantém constante com o tempo).

1. POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO ANGULAR

Observe a figura abaixo de um disco girando em torno do eixo que passa pelo seu centro. Vamos examinar o movimento do ponto P, que está a uma distância r do seu centro.

NOTA: Por causa da simetria do movimento vamos usar coordenadas polares (r , θ), pois neste tipo de

movimento apenas a coordenada muda com o tempo. Se o movimento do ponto P fosse representado em coordenadas cartesianas (x , y ¿, ambos x e y mudaria com o tempo.

A partícula semove de θ=0 até θ ao longo do arco de circunferência s=rθ ou θ= sr

NOTA: não tem dimensão. Entretanto, costuma-se usar a unidade fictícia radiano.

Definição de radiano: é o ângulo para o qual s = r, conforme ilustrado na figura ao lado.

então θ= sr=2 πr

r=2 π radianos

Assim, existem 2 π radianos em36 00→ 1 rad=36 00

2π=57 , 30

87

Também: π rad=18 00

NOTA: Como o corpo em movimento é rígido, todas as partículas que o compõem giram com o mesmo ângulo.

Já estudamos várias equações que descrevem o movimento do ponto de vista da cinemática translacional. Vamos escrever as equações análogas para o caso do movimento rotacional, sem demonstrá-las. Para tanto, vamos adaptar os conceitos de trajetória, posição, velocidade e aceleração para o presente caso.

Posição Angular (θ ¿: ângulo entre a linha que une a partícula à

origem e o eixo escolhido como referência, conforme ilustra a figura ao lado.

Deslocamento angular ( ∆ θ ¿: é a variação de → ∆ θ=θ f−θ i

Observe que pode variar lentamente ou rapidamente. Por isso precisamos definir uma grandeza física para isso:

Velocidade angular média (ωm¿ : rapidez com que varia com o

tempo.

ωm=θf−θi

t f−t i

=∆ θ∆ t(rad /s)

Velocidade angular instantânea (ω¿ :

ω= lim∆t →0

∆ θ∆ t=dθ

dt

Aceleração angular média (α m¿:

α m=ωf−ωi

t f−ti

=∆ ω∆ t(rad /s2)

Aceleração angular instantânea (α ¿:

α= lim∆ t →0

∆ ω∆ t=d ω

dt

NOTA: Na cinemática translacional vimos que a direção dos vetores velocidade a aceleração coincidia com a direção do movimento da partícula. No caso do movimento rotacional ambos estão na direção perpendicular ao plano do movimento da partícula, conforme ilustra a figura acima. Para achar a direção de e usamos a regra da mão direita. Se ω e α estão no mesmo sentido a rotação é acelerada, caso contrário o movimento será retardado.

NOTA: Todas as partículas que compõem o corpo rígido possuem a mesma velocidade angular e a mesma

88

aceleração angular.

2. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE

Vamos tomas as relações da cinemática translacional e fazer as adaptações para o movimento rotacional:

Cinemática Rotacional Cinemática translacional

ωm=∆ θ∆ t

vm=∆ x∆ t

ωf=ωi+αt v f=v i+at

θ f=θ i+ωi t+12

α t2 x f=x i+v it+12

a t 2

ωf2=ωi

2+2 α ∆ θ v f2=v i

2+2 a ∆ x

θ f=θ i+12(ωi+ωf ) t x f=x i+

12(v i+v f )t

3. RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES

A figura ao lado mostra um corpo girando em torno do eixo que passa pela origem do sistema de coordenadas. v é tangente a s (por isso chamamos

velocidade tangencial) e |v|=v. Então v=ds /dt . Como s=rθ e sendo r

constante , temosv=rdθdt

.

Comodθdt=ω→ v=rω

NOTA: Tosos os pontos do corpo rígido possuem a mesma velocidade angular, mas diferentes velocidades tangenciais. Veja que r é diferente para cada partícula que forma o corpo.

Tomando a derivada temporal da velocidade v temos a aceleração tangencial:

a t=dvdt=r

d (rω)dt

=rdωdt=rα → at=rα

Já vimos que uma partícula girando em um círculo tem aceleração centrípeta (ou radial), dada por

89

ar=v2

r=(rω )2

r→ ar=r ω2

Magnitude do vetor aceleração total:

a=√at2+ar

2=√r2 α2+r2 ω4 → a=r √α2+ω4

NOTA: Em todas as equações da cinemática rotacional o ângulo deve estar em radianos.

Exercício 1. À luz do que estudamos sobre o movimento rotacional, justifique porque o centro de lançamento da Agência Espacial Européia (ESA) fica na América do Sul?

Resposta: Devido à rotação da Terra, a velocidade em um ponto na linha do Equador é de aproximadamente 6.120 km/h (1.700 m/s) para o Leste. Da relação v=rω vemos à medida que nos aproximamos dos pólos a velocidade v diminui, porque r diminui, sendo zero sobre os Pólos. Se lançarmos o foguete no sentido para o Leste ele já parte com velocidade inicial de 6.120 km/h, enquanto que na Europa a velocidade é reduzida à metade deste valor.

Exercício 2.a) Encontre a velocidade angular de um CD, em revoluções por minuto, enquanto a informação está sendo lida na parte interna (1ª. trilha, r = 23 mm) e na parte externa (última trilha, r = 58 mm). A velocidade escalar no ponto de leitura é constante e igual a 1,3 m/s.Solução.

v=ri ωi → ω1=vr1

= 1,3 m / s2,3 ×10−2m

=57 rad / s=57( rads )( 1 rev

2 πrad )( 60 s1min )=540 rev /min

v=ri ωi → ω2=vr2

= 1,3 m / s5,8 ×10−2m

=22 rad /s=22( rads )( 1rev

2π rad )( 60 s1 min )=210 rev/min

b) O tempo máximo de armazenamento de dados em um CD comum é de 74 min e 33 s. Quantas revoluções o disco percorre durante este tempo? Solução.

Observe que ω diminui constantemente do centro para a borda do disco, mas α se mantém constante.

ω1=57 rad / s e ω2=22 rad /s

∆ θ=θ2−θ1=12(ω1+ω2) t

Convertendo ∆ θ em revoluções achamos o que se pede:

74 min+33 s=74 min( 60 s1 min )+33 s=4473 s

Então , ∆ θ=θ2−θ1=12 (57

rads+22

rads ) (4473 s )=1,8 ×1 05 rad=1,8 ×1 05 rad ( 1 rev

2 π rad )=28.000 rev

90

c) Qual a distância total percorrida pelo laser que faz a leitura dos dados sobre as trilhas na reprodução deste CD?Solução.

x=vt=1,3ms

∙ 4473 s=5,8 km

4. ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO

Definimos energia cinética como sendo uma forma de energia associada com o movimento de um objeto no espaço. Na descrição que fizemos antes o movimento era apenas de translação. Mas um objeto girando em torno de um eixo não translada e por isso não tem energia cinética associada com a translação. Entretanto, as partículas que compõem o objeto individualmente se movimentam no espaço, percorrendo uma trajetória circular, de modo que deve haver uma energia cinética associada com esse movimento de rotação.

A figura ao lado ilustra um objeto girando em torno de um eixo

O. Todas as partículas se movem com a mesma velocidade angular . ri

é a distância da i-ésima partícula até o eixo de rotação, mi é a sua massa

e v i a sua velocidade.

Energia cinética de translação : K i=12

mi v i2

Mas v i=ri ω→ K i=12

mi ri2ω2

Somando as energias K i de todas as partículas di corpo:

K R=∑i

K i=∑i

12

mir i2 ω2=( 1

2 (∑i

mi ri2))ω2

4.1. Definição de Momento de Inércia

Definimos a grandeza físicamomento de inércia pelarelação I ≡∑i

mi ri2

Daqui , KR=12

I ω2é a energiacinética rotacional .

NOTA: K R não é uma nova forma de energia, mas apenas a energia cinética escrita em termos de um

sistema de coordenadas em rotação.

Movimento Linear Movimento Circular

K R=12

m v2 K R=12

I ω2

m⟹ Iv⟹ω

NOTA: m → resistência à mudança no movimento linear. É uma propriedade intrínseca do objeto e é única para cada objeto.

I → resistência à mudança no movimento circular. O momento de inércia depende da distribuição de massa em torno do eixo de rotação. Depende da escolha do eixo de rotação e por isso pode ter infinitos

91

valores para um mesmo objeto. I é mínimo para um objeto quando o eixo de rotação passa pelo CM do objeto.

Exercício 3. Quatro esferas são colocadas nas extremidades de duas barras de massa desprezível posicionadas no plano x-y.. Considere que as esferas são pequenas comparadas com o tamanho dos bastões. Encontre o momento de inércia e a energia cinética de rotação quando:

a) O sistema gira em torno do eixo y com velocidade , conforme ilustrado na figura (a) a seguir.

Solução.Se o eixo de rotação é y as esferas de massa m não contribuem para I porque o eixo de rotação passa

sobre elas e r = 0. Não esquecer que r na fórmula I=∑i

mi ri2 é a distância da partícula ao eixo de rotação.

I y=∑i

mi ri2=M a2+M a2=2 M a2e KRy=

12

I ω2=12(2 M a2 )ω2=M a2 ω2

b) O sistema gira em torno do eixo z com velocidade ,

conforme ilustrado na figura (b) logo abaixo. Solução.

Veja que agora todas as esferas giram a uma certa distância do eixo de rotação, de modo que todas elas contribuem para I .

I z=∑i

miri2=M a2+M a2+mb2+m b2=2 M a2+2 mb2

e

K Rz=12

I z ω2=12(2M a2+2 mb2 )ω2=(M a2+mb2 )ω2

Como I y< I z → K Ry<K Rz .

Baseado no teorema trabalho-energia cinética (W=∆ K ) é mais fácil girar o sistema em torno do eixo y do que em torno do eixo z.

c) Se a massa M for muito maior do que a massa m, o que acontece?

I z≅ 2 M a2 e KRz≅ M a2 ω2

Observe que estes resultados são iguais aos do item (a), de modo que não faz diferença girar o sistema em torno do eixo y ou de z.

92

5. CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA

Vimos que a energia cinética de rotação depende do momento de inércia do sistema. Em muitas situações temos um corpo extenso em vez de partículas separadas. Nestes casos, para calcular o momento de

inércia dividimos o corpo em pequenos elementos de volume ∆ v contendo uma quantidade de massa ∆ mi . Assim,

I= lim∆mi → 0

∑i

ri2 ∆ mi→ I=∫r2 dm

Em geral, é mais fácil calcular I em termos do volume. Para isso, basta usar a densidade de massa:

ρ=mV

→ m= ρV e dm=ρdV → I=∫ ρr2 dV

Exemplos:

1) Calcule o momento de inércia de uma partícula de massa m que gira em torno de um eixo que se encontra a uma distância R dela.

Solução.

Este é o caso mais simples. Usando a definição de momento de inércia, temos

I=m R2

2) Calcular o momento de inércia de um anel de massa m e raio R girando em torno do eixo que passa pelo seu centro.

Solução.Como o anel é fino, todos os elementos de massa DM se

encontram a uma mesma distância do eixo. Assim,

I=∫r2 dm=¿R2∫ dm=¿m R2¿¿

Conclusão: o momento de inércia do anel fino é igual ao de uma partícula girando a uma distância equivalente ao raio do anel. Por isso que momento de inércia está associado à distribuição de massa em torno de um eixo.

3) Calcule o momento de inércia de uma barra fina e uniforme de comprimento L e massa M em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro de massa.

93

mR

dmM=dx

L→ dm=M

Ldx

I=∫ x2dm → I=∫−x

L− x

x2 ML

dx=ML

x3

3 |−x

L− x

→

I=M3

(L2−3 Lx+3 x2 )

Seo eixo de rotação passa pela extremidade da esquerda ( x=0 )→ I=13

M L2

Seo eixo passa pelaextremidade da direita ( x=L )→ I=13

M L2

Seo eixo de rotação passa pela CM ( x=L2 )→ I= 1

12M L2

6. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

O cálculo do momento de inércia de objetos rígidos que possuem grande simetria é relativamente simples de ser feito, desde que o eixo de rotação coincida com algum dos eixos de simetria. Caso contrário, se o corpo gira em torno de um eixo que não coincide com os eixos de simetria o cálculo fica bastante complicado. Com o objetivo de simplificar esse problema, vamos apresentar o teorema dos eixos paralelos.

A figura abaixo mostra o esquema utilizado para demonstrar este teorema. O elemento de massa dm

está a r=√x2+ y2 do eixo z.

O momento de inércia emtorno de z é I=∫r2 dm=∫ (x2+ y2 )dm

Podemos escrever esta expressão de modo que o CM fique na origem do sistema de coordenadas. Para isso, vamos escrever x e y em termos de x ’ e y ’. Aqui (x ’ , y ’) são as coordenadas quando o eixo passa pelo CM.

x=x '+ xCM e y= y '+ yCM

I=∫ (x2+ y2 )dm=∫ [( x'+xCM )2+( y '+ yCM )2 ]dm

I=∫ (x '2+ y'2 )dm+2 xCM∫ x ' dm+2 yCM∫ y ' dm+(xCM2 + yCM

2 )∫ dm→

∫ (x '2+ y '2)dm=I CM ;2 xCM∫ x ' dm=0 pela definição do CM ;2 yCM∫ y ' dm=0 pela definição do CM

(xCM2 + yCM

2 )∫ dm=D2 M

Então , I=I CM+0+0+D2 M → I=I CM+M D2

94

Conclusão: Se o eixo de rotação não passa pelo CM, então o momento de inércia do corpo em relação a esse eixo é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo CM mais a massa do corpo multiplicada pelo quadrado da distância entre os dois eixos.

Exemplo: Vamos retornar ao caso da barra uniforme do exemplo 3 (pág. 19). Calcular o momento de inércia da barra em torno do eixo perpendicular que passa por uma das extremidades.

Solução:

Vimos que se o eixo derotação passa peloCM então paraa barra temos

que I= 112

M L2.

Neste caso a distância entre o CM e o eixo da extremidade é L/2e:

I=I CM+M D 2= 112

M L2+M (L2 )

2

=M L2

12+M L2

4=1

3M L2

Questões para Discussão da Unidade IX

95

CM

6. Se uma roda gira com velocidade angular constante então:a) Cada ponto sobre ela se move com velocidade constante.b) Cada ponto sobre ela de move com aceleração constante.c) A roda gira de ângulos iguais em iguais intervalos de tempo.d) O ângulo através do qual a roda gira em cada segundo aumenta à medida que o tempo passa.e) O ângulo através do qual a roda gira em cada segundo diminui à medida que o tempo passa.

7. O momento de inércia da roda de um carro em torno de seu eixo não depende:a) de seu diâmetro.b) de sua massa.c) da distribuição de sua massa.d) de sua velocidade de rotação.e) da composição do material.

8. Para aumentar o momento de inércia de um disco sólido em torno de seu eixo sem mudar sua massa:a) faça buracos próximo da borda e coloque o material próximo do eixo.b) faça buracos próximo do eixo e coloque o material próximo da borda.c) faça buracos próximo da borda e coloque o material entre os buracos.a) faça buracos próximo do eixo e coloque o material entre os buracos.a) não faça nada (o momento de inércia não pode ser alterado sem que se mude a massa do corpo).

9. Um volante gira com velocidade angular constante. Um ponto de sua periferia possui aceleração tangencial? Possui aceleração radial? Essas acelerações possuem um módulo constante? Possuem direção constante? Explique o raciocínio usado em cada caso. Sears Q9.6.R. Não. v = r. Como é constante ( e r também), então v será constante e por isso não tem aceleração tangencial. Sim. ar = r2 e se constante ar também será constante. A orientação de a r é sempre dirigida para o centro do volante, mas espacialmente ela muda em cada ponto à medida que o volante gira.

10. Física nos carros I. Suponha que você possa escolher qualquer tipo de roda para o projeto de um carro sem motor para uma “competição de ladeira”. A corrida consiste em descer uma encosta a partir do repouso. Seguindo as regras do limite máximo para o peso do carro somado ao peso do competidor, você usaria rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você usaria rodas maciças ou rodas ocas com a mesma massa concentrada em um aro na periferia da roda? Explique. Sears, Q10.3R. è melhor usar rodas pequenas e leves. Parte da energia potencial gravitacional do motorista é convertida em energia cinética de rotação I2/2 das rodas. Isso seria desperdício de energia e seria melhor aproveitá-la para produzir energia de translação do centro de massa do carro. Pela mesma razão, é melhor usar rodas sólidas no lugar de rodas ocas, pois as rodas sólidas possuem menor momento de inércia comparadas com uma roda oca de mesma massa.

Problemas

7. O pião da figura abaixo tem momento de inércia de 4,00 ×10-4 kg.m2, parte inicialmente em repouso e gira em torno do eixo AA´. Um cordão de 80,0 cm é enrolado na parte de cima do pião e depois puxado de modo que uma força de tensão de 5,57 N é mantida constante nele. Encontre a velocidade do pião (em rev/s) depois que o cordão for totalmente desenrolado.Serway, P10.42.

96

8. Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M e raio R. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do fio a um objeto de massa m e em seguida soltamos o objeto sem velocidade inicial a uma distância h acima do solo. À medida que o objeto cai, o fio se desenrola sem deslizar nem esticar, fazendo o cilindro girar. Encontre uma expressão para a velocidade do objeto em função de M, m e h. Sears, Exemplo 9.9.

9. Duas bolas com massas M e m estão conectadas por uma barra rígida de comprimento L e massa desprezível, como ilustra a figura abaixo. Mostre que o sistema tem um momento de inércia mínimo em relação a um eixo perpendicular à barra quando o este passa pelo centro de massa. Mostre que este momento de inércia é dado por I=μ L2, onde μ=nM /(m+M ). Serway, P10.22.

10. A polia indicada na figura abaixo possui raio R e momento de inércia I. A corda não desliza sobre a polia e esta gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e o topo da mesa é c. O sistema é liberado a partir do repouso, e o bloco B começa a descer. O bloco A possui massa mA e o bloco B possui massa mB. Use métodos de conservação da energia para calcular a velocidade do bloco B em função da distância d que ele desceu. Sears, P 9.85

97

Universidade Federal do MaranhãoCentro de Ciências Exatas e TecnologiaDepartamento de Física

Segunda Licenciatura em FísicaMecânica GeralParte IV

Conteúdo:Unidade XI: Dinâmica do Momento de RotaçãoTorque. Torque e aceleração angular de um corpo rígido. Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel. Trabalho e potência no movimento de rotação. Momento angular. Conservação do momento angular.

Programa PROFEBPAR/UFMA

98

Prof. Jerias Batista (jerias@ufma.br)

99

Unidade XIDINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

Vimos que uma força resultante aplicada a um objeto fornece a ele aceleração linear, ou tangencial. Mas o que causa a aceleração angular? Em outras palavras, o que é necessário para fazer um corpo começar a girar (se está parado) ou fazê-lo parar (se já se encontra girando)? Neste tópico vamos definir uma nova grandeza física para descrever o efeito de torção causado por uma força: o torque.

NOTA: A força determina a aceleração linear, enquanto o torque determina a aceleração angular.

A. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

1. TORQUE

Definição qualitativa: Grandeza física que fornece a medida da eficiência de uma força em fazer um objeto girar em torno de um eixo.

Quando uma força é aplicada a um corpo preso a um eixo ele tende a girar. Além do módulo, direção e sentido, o ponto de aplicação da força também é relevante. Veja o exemplo da chave de boca usada para apertar o parafuso.

Grandezas físicas relevantes na descrição do torque:

F - força aplicada.

d - distância perpendicular entre o eixo de rotação e a linha de ação da força.

r - distância entre o ponto de rotação e o ponto de aplicação da força.

NOTA: A força (ou componente de força) cuja linha de ação passa pelo ponto de rotação não produz torque. Veja que a parte da força Fcosϕ na figura acima não gira a chave em torno do ponto O.

1

Definição qualitativa: Observando a figura acima definimos o módulo do torque pela relação

τ ≡ r F senϕUnidade de referência: N.m

NOTA: l1 e l2 na figura acima tem o mesmo papel de r na figura da página anterior. Vamos usar r nas relações

seguintes. Observando a equação acima vemos que:i) Quanto maior r , maior será o torque.

ii) Quanto mais perpendicular estiver a força em relação a r (maior ϕ), maior será o torque.

iii) Se o corpo gira no sentido anti-horário o torque é positivo. Caso contrário ele será negativo.

F1(F2) tende a girar o corpo no sentido anti-horário (horário) → torque positivo (negativo).iv)

Somade todosos torques :∑ τ=τ1+τ2+τ3=r 1 F1 sen9 00−r2 F2 sen9 00+r3 F3 sen00=r1 F1−r2 F2

NOTA: Não confunda torque com força: A força causa mudança no movimento linear (2ª lei de Newton) A força também causa mudança no movimento rotacional, mas a sua eficácia em causar esta mudança

depende de seu tamanho (F) e do braço de alavanca (r). A combinação destes dois é que denominamos torque.

NOTA: Não confunda torque com trabalho: ambos têm a mesma unidade de referência (N.m), mas são grandezas físicas conceitualmente muito diferentes.

Trabalho: W → [N . m ]=[J ]→ mecanismo de transferência de

energia.

Torque: τ →[N .m]→ não está associado com energia.

Direção do vetor torque (regra da mão direita):Partindo da fórmula para o módulo do torque τ=rFsenϕ vemos que:

i) τ é perpendicular a F .

ii) τ é perpendicular a r .

Então , τ=rFsenϕ= r× F

Relação entre torque e aceleração angular

2

Vimos queque no movimento linear podemos escrever∑ F=m at . Qual seria a relação análogano movimentode

rotação ,ou seja , podemos escrever uma equaçãoanáloga∑ X=Y α ? Se∼, quemassume o papelde X eY ?

Observe a figura de uma partícula de massa m girando em um círculo de raio r submetida às forças F r (radial) e

F t (tangencial).

Torque de F t em relação ao centro do círculo: τ=Ft rsen900=Ft r=(m at )r . Mas a t=rα e

τ=(mrα ) r=(m r2)αMas vimos que m r2 é o momento de inércia de uma partícula que gira em torno de um eixo que passa pela origem.

Assim,

τ=Iα

Esta equação é o análogo da lei de Newton para a rotação de um corpo rígido.

Este resultado foi demonstração para uma partícula girando em torno de um eixo. Podemos estender a idéia para o caso de um corpo extenso girando em torno de um eixo. Na figura abaixo dm é um elemento de massa (equivalente a uma partícula) girando em torno do eixo que passa em O.

d Ft=(dm )at

dτ=rd F t=rat dm .Como at=rα , então

dτ=α r2 dm

Embora cada dm tenha diferente aceleração tangencial a t, todos eles têm a mesma aceleração angular α . Então,

τ total=∫ dτ=α∫ r2 dm=αI ou

∑ τ=αI

3

Exemplo 1: Uma barra uniforme de comprimento L e massa M é presa em uma de suas pontas a um rolamento sem atrito e está livre para girar no plano vertical, conforme a figura abaixo. A barra é solta do repouso na posição horizontal. a) Encontre a aceleração angular da barra e a aceleração linear da extremidade direita.

Sol.: Não podemos usar cinemática aqui porque as acelerações tangencial e angular não são constantes, porque o torque varia com o ângulo.

τ=F r=Mg( L2)

Já vimos que o momento de inércia de uma barra que gira em torno de uma de suas extremidades é dado por

I=M L2/3 e

∑ τ=I α → α= τI=

Mg (L/2)M L2/3

=3g2 L

Como podemos ver, todos os pontos da barra têm a mesma aceleração angular no início.Para encontrar a aceleração tangencial em t = 0:

a t=rα

Como o problema pede a aceleração na extremidade da barra, então r = L. Assim,

a t=Lα=L ∙3 g2 L=3g

2(¿1,5 g)

NOTA: Observe que a aceleração da ponta da barra é maior do que g. Se a barra não estivesse presa pela

extremidade, a barra inteira cairia com a mesma aceleração da gravidade g.

b) Se você colocar uma moeda sobre a ponta da barra e soltá-la como no caso anterior, a moeda permanecerá em contato com a barra à medida que ela cai?

Sol.: Veja que a moeda não está presa à barra (apenas apoiada), então ela cai com aceleração igual a g. Mas a

aceleração da barra é 1,5g e, portanto, a barra cairá mais rápido e a moeda não permanecerá em contato com ela (apenas no início do movimento).

c) Em que ponto da barra a moeda deve ser colocada para que ela caia mantendo contato com a barra?

Sol.: Para que a moeda permaneça em contato com a barra ambas têm que descer com a mesma aceleração. Assim,

basta igualar a t=g:

a t=rα=r ∙3 g2L=g→ r=2

3L

4

Observe que r=( 23 )L é a distância máxima, medida a partir do eixo de rotação (“Pivot”, na figura). Se a moeda for

colocada em qualquer ponto r<( 23 )L ela cairá sempre junto com a barra. Se r>( 2

3 )L ela perderá contato

enquanto cai.

Exemplo 2: Aceleração de uma roda.Uma roda de raio R, massa M e momento de inércia I é montada como na

figura ao lado. Um fio enrolado na roda segura um corpo de massa m. a) Encontre a aceleração angular da roda, a aceleração linear da massa m e a tensão no fio.

Sol.: Torque na roda:

τ=F r=TRMas,

∑ τ=I α → α=TRI(1)

Aplicando a 2ª. Lei de Newton à massa m:

∑ F=mg−T=ma→ a=mg−Tm

(2)

Observe que a aceleração da borda da roda é igual à aceleração do fio que segura a massa m (isso só vale se o fio não deslizar na roda). Assim,

a troda=a tmassa

→ at roda=R α=R

TRI=T R2

Ieat massa

=mg−Tm

→T R2

I=mg−T

m→T= mg

1+m R2

I

(3)

Substituindo (3) e (2),

a=g− Tm=g− g

1+m R2

I

→ a= g

1+I

M R2

(4)

Sendoα= aR

→ α= g

R+I

MR

(5)

b) O que acontece se a roda fica muito massiva (pesada)?

Neste caso M → ∞ e como I=m r2então I → ∞ também. Fazendo I → ∞ na equação (4) acima temos

que a → 0 (corpo não se move). Pela equação (5) α → 0 e pela equação (3) T=mg. Consistente!

B. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO MÓVEL

Estudamos até aqui exemplos de objetos que tinham movimento de rotação em torno de um eixo fixo. Agora vamos estudar o caso mais geral em que, além de girar, o corpo translada, ou seja, o objeto rola sobre uma superfície sem deslizar.Podemos separar este movimento complexo em dois movimentos independentes:

i) Movimento de translação do centro de massa;ii) Movimento de rotação em torno do centro de massa.

5

A figura abaixo mostra um cilindro rolando sobre uma superfície plana. Observe a trajetória de dois pontos

luminosos colocados no centro de massa (linha reta) e na borda (ciclóide).

Para analisar o movimento deste cilindro com mais detalhes observe a figura abaixo.

Quando o cilindro gira de um ângulo θ seu centro de massa se desloca para a direita uma distância s=Rθ .

Velocidade do centro de massa:

vcm=dsdt=R

dθdt=Rω ou vcm=Rω

NOTA: Este resultado é a condição necessária para que haja rolamento sem deslizamento. Lembre-se que para uma partícula que gira em torno de um eixo com velocidade angular ω temos que v=rω.

Aceleração do centro de massa:

acm=d vcm

dt=R

dωdt=Rα ou acm=Rα

Na figura abaixo observamos que todos os pontos giram em relação ao ponto de contato com a superfície, P. Observamos também que a velocidade de qualquer parte do corpo é sempre perpendicular à linha que une aquela parte do corpo ao ponto de contato P. Como todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade angular

escalar e como P P'=2 PO , então V P'=2V cm=2 Rω.

Observe essa situação com mais detalhes nas figuras abaixo:

6

apenas translação apenas rotação translação + rotação

Energia cinética do cilindro rolando

K=12

I p ω2

onde I p é p momento de inércia do corpo em torno do ponto P. Usando o teorema de eixos paralelos:

I p=I cm+M R2→ K=12

I cm ω2+ 12

M R2ω2

Mas vcm=Rω→ K total=12

I cm ω2+ 12

M vcm2

Conclusão: a energia cinética total de um objeto que rola sem deslizar é a soma da energia cinética de rotação em

torno do centro de massa (12

I cm ω2)e a energia cinética de translação do centro de massa (

12

M vcm2

).

Energia potencial gravitacional de um corpo extenso

Podemos dividir o corpo em pequenas partículas de massa mi, conforme ilustra a figura abaixo.

U=m1 g y1+m2 g y2+m3 g y3+…

U=(m1 y1+m2 y2+m2 y2+…) g

Mas,

m1 y1+m2 y2+…=∑ mi y i=M Y cm

Ent ã o ,U g=M g Y cm

Este resultado vale para qualquer corpo com massa distribuída, M.

Exemplo 3: Esfera de massa M e raio R desce rolando em um plano inclinado. Considere que ela parte do repouso

da altura h.

7

m1

m2

m3

m4

y1 y2 y3 y4

a) Encontre a velocidade do centro de massa no final do plano inclinado.

Sol.: Usando conservação da energia:

K1+U 1=K 2+U 2

0+Mg h=12

I cm( vcm2

R )2

+12

M vcm22+0

vcm2=√ 2 g h

1+I cm

M R2

Sea esferaé r í gida , ent ã o I cm=25

M R2 e

vcm2=√ 2g h

1+ 2 MR2

5 M R2

=√ 10 gh7

=√ 57

.√2 g h

NOTA: Se a esfera deslizasse sem girar, a velocidade no fim do plano seria:

K1+U 1=K 2+U 2

0+mgh=12

m v22+0→ v2=√2 g h

Conclusão: Se a esfera desce o plano inclinado girando sua velocidade em qualquer ponto é menor do que a

velocidade que ela teria caso descesse deslizando sem girar (por um fator de √5/7ou cerca de 15%). Quando ela

desce girando, parte da energia potencial é usada para fazer a esfera girar em torno de si mesma e não para acelerara a esfera para baixo no plano.

b) Encontre a aceleração da esfera na descida.

Pela figura ,temos queh=xsenθ . Então , vcm=√ 10 gxsenθ7

Usando vcm22=v cm1

2+2 acm x, encontramos

10 gxsenθ7

=0+2 acm x → acm=57

gsenθ

NOTA: Vimos que a=gsenθ para um objeto que desce um plano sem girar. Comparando estes dois resultados

vemos que a esfera desce com aceleração tangencial acm 30% menor do que desceria caso não girasse em torno de

seu centro.

8

2. TRABALHO, POTÊNCIA E ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

Até agora estudamos o movimento de rotação enfatizando a força, culminando com a definição de torque. Vamos estudar agora o mesmo sistema, mas enfatizando a energia e a transferência de energia. Observe a figura abaixo.

Trabalho de F para rodar o corpo pelo ângulo dθ:

dW=F ∙ d S=(Fsenϕ ) rdθ

Mas τ=rFsenθ e dW=τdθA rapidez com que este trabalho é realizado é definida como potência:

P=dWdt=τ

dθdt

→ P=τω

NOTA: Esta expressão é análoga à P=Fv para o movimento de translação.

Vamos mostrar que o teorema trabalho-energia cinética é válido para rotação.

Vimos que∑ τ=Iα .

Usando a regra da cadeia,

∑ τ=Iα=Idωdt=I

dωdθ

dθdt=I

dωdθ

ω

Então,

∑ τdθ=dW=Iωdω

Integrando, encontramos o trabalho total feito pelas forças externas

∑W=∫ωi

ωf

Iωdω=12

I ωF2−1

2I ωi

2

W total=∆ K R

Em palavras, o trabalho resultante de uma força externa para rodar um corpo em torno de um eixo fixo é igual à mudança na energia cinética de rotação.

Exemplo 4: Vamos retornar ao problema da barra do exemplo 1 (página 4) de comprimento L e massa M.

a) Qual é a velocidade angular quando ela passa pelo ponto mais baixo?

9

Momento de inércia da barraem relaçãoà extremidade : I=13

M L2

A energia total na parte debaixo é igual à energia cinéticade rotação : E f=K R=12

I ω2

Podemos usar a conservação de energia mecânica para achar ω:

Emi=Emf

K i+U i=K f+U f

0+MgL2=1

2I ω2+0

M gL2=1

2 ( 13

M L2)ω2=12

13

M L2ω2→ ω=√ 3 gL

b) Encontre a velocidade tangente no centro de massa e na ponta da barra na situação anterior.

Sol . :v cm=r ω= L2

ω=L2 √ 3 g

L=1

2√3 gL

v ponta=r ω=2 vcm=√3 gL

No exemplo 1 só pudemos encontrar a aceleração em t = 0. Não foi possível aplicar as relações da

cinemática para encontrar as grandezas para t > 0 porque a aceleração neste caso não era constante. Entretanto, usando o conceito de energia pudemos resolver esta dificuldade.

Exemplo 5: a) Achar a velocidade das massas quando elas deslocam uma distância h, conforme ilustrado na figura

abaixo. Encontre também a velocidade angular da polia cujo momento de inércia é I .

10

Sol.: Encontramos a velocidade usando a conservação da energia mecânica:

Emf=Emi

K f +U f=K i+U i

12

m1 v f2+ 1

2m2 v f

2+ 12

I ωf2=m1 gh−m2 gh[usar v f=R ωf ]

12 (m1+m2+

I

R2 )v f2=(m2 gh−m1 gh )

v f=[ 2 (m2−m1 ) gh

m1+m2+I

R2 ]12

A velocidade angular da polia é obtida fazendo ωf=v f

R→ ωf=

1R [ 2 (m2−m1 )gh

m1+m2+I

R2 ]12

3. MOMENTO ANGULAR

Estudamos anteriormente como o momento linear é útil para resolver problemas que envolvem forças que variam e o objeto se move em linha reta (translada). Nesta seção vamos desenvolver um conceito análogo para o movimento rotacional. No final, vamos mostrar que a variação do momento linear está relacionada com a força assim como a variação do momento angular está relacionada com o torque.

Se a partícula de massa m se move com velocidade v , então

∑ F=d pdt

Tomando o produto vetorial com r pela esquerda,

r ×∑ F=∑ τ=r ×d pdt

Adicionando o termod rdt

× pno lado direito , temos

∑ τ=r ×d pdt+ d r

dt× p

Observe quenão alteramos o resultado poisd rdt= v e p=mv e

d rdt

× p= v× m v=0 pois v é paralelo a m v .

Logo,

11

∑ τ= ddt( r× p)

Veja que∑ τ= ddt

( r× p ) se parece muito com∑ F= ddt

p . En tão ,r × p deve desempenhar o mesmo papel que

p desempenha no movimento linear.

Definição: momento angular é a grandeza escrita como

L ≡r × pou L≡ r ×m v

Então,

∑ τ=d Ldt

NOTA: Esta equação é o análogo da 2ª. lei de Newton para o movimento rotacional. Este resultado é válido se τ e L

forem calculados em relação ao mesmo eixo de rotação.

Unidadede referência :kg .m2

sNOTA: a direção deL é perpendicular ao plano formado pelos vetores r e p . (Usar regra da mão direita).

Magnitude de L: L=mvrsenϕ

NOTA: Para ter momento angular a partícula não precisa girar em torno de um eixo. Desde que a direção de sua velocidade não coincida com um eixo de observação ela terá momento angular, conforme ilustra a figura abaixo.

m v

eixo

L = 0 m v

eixo

L ≠ 0

r

3.1 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

Vimos como a 2ª. Lei de Newton pôde ser estendida para descrever um sistema de partículas. O resultado foi

∑ Fext=d p total

dt

Para o caso do momento angular, Ltotal é a soma dos Li individuais das partículas:

Ltotal=L1+ L2+ L3⋯+ Ln=∑ Li

Tomando a derivada temporal,

d Ltotal

dt=∑ d Li

dt=∑ τ i=∑ ¿¿¿

Pela 3ª. Lei de Newton, ∑ τ i∫¿=0e¿

∑ τ ext=d Ltotal

dt

12

Exemplo 6: Uma esfera de massa m1 e um bloco de massa m2 são conectados por um fio ideal que passa pela polia, conforme ilustra a figura abaixo. O raio da polia é R e sua massa vale M. O bloco desliza sem atrito sobre a superfície horizontal. Encontre uma expressão final para a aceleração linear dos dois objetos, usando o conceito de momento angular e torque.

Sol.: Cálculo do momento angular total:

Ltotal=Lm1+Lm2

+Lpolia

onde Lm1=m1 vR e Lm2

=m2 vR .Como a corda ea borda da polia têma mesma velocidade , então Lpolia=MvR . Assim,

Ltotal=(m1+m2+M )vR

Cálculo do torque total:

O torque da força normal N é nulo ( N é perpendicular ao deslocamento¿. O torque da força de tração T é

nulo, porque esta é uma força interna ao sistema. A única força externa nesse problema é o peso (P=m1 g) e

assim, τ m1=m1 gR.

∑ τ ext=d Ltotal

dt

m1 gR= ddt [ (m1+m2+M )vR ]

m1 gR=(m1+m2+M ) R ddt

[v ] [ dvdt=a]

a= mgm1+m2+M

3.2 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO

No exemplo estudado acima, o sistema é deformável, ou seja, uma parte do sistema se move em relação às outras partes do mesmo sistema. Agora vamos estudar o caso de um sistema rígido (ou corpo rígido). Observe a

figura abaixo. Vamos dividir o corpo em pequenos pedacinhos de massa mi, calcular o momento angular Li de

cada pedacinho e depois somar todos eles para achar o momento angular total L do corpo inteiro.

13

Li=mi v i ri .Como v i=ri ωz→ Li=mi ri2 ωz

Somando os Li

L z=∑i

Li=∑i

mi ri2 ωz=(∑ miri

2 )ωz

L z=I ωz ou L=I ωDerivando em relação ao tempo

d L z

dt=I

d ωdt=I α z

Masd Lz

dt=∑ τ ext e∑ τ ext=I α z

NOTA: Este resultado já foi obtido usando o conceito de força, mas aqui ele foi derivado usando o conceito de momento angular.

Exemplo 7: Pai e filha com massas mf e md estão sentados à

mesma distância do ponto de apoio (rolamento) de uma gangorra de massa M e comprimento l que gira sem atrito, conforme a figura ao lado.

a) Encontre o momento angular do sistema (L=Iω).

Sol.: Cálculo de do momento de inércia I :

Para a barra girando em relação ao seu centro:

I=M l2

12

Para as pessoas sentadas nas extremidades:

I=m r2

I total=M l2

12+m f ( l

2 )2

+md( l2 )

2

= l2

4 (M3+mf+md)→ L=Iω= l2

4 (M3+mf+md)ω

b) Encontre a aceleração angular do sistema.Sol.:

14

∑ τ ext=Iα → α=∑ τ ext

ICálculo dos torques:

τ f=mf gl2

cos θ( parafora da página)

τ d=md gl2

cosθ (para dentroda página)

∑ τ ext=τ f+τd=12(mf−md )gl cosθ → α=∑ τ ext

I=

2 (mf−md )g cos θ

l(M3+mf+md)

NOTA: Veja que se mf>md → α é positivo e se a gangorra parte do repouso o lado esquerdo desce e o direito

sobe.

c) Qual a distância d da extremidade da tábua o pai deveria sentar-se de modo a equilibrar a gangorra com a filha?Sol.:

I=M l2

12+mf d2+md( l

2 )2

= l2

4 (M3+md)+mf d2

τ total=τ f+τd=mf gd cosθ−12

mf gl cosθ

α=τ total

I=

mf gd cosθ−12

md glcos θ

l2

4 (M3+md)+mf d2

Sea gangorraestá equilibrada → α=0 emf gd cosθ−12

md gl cosθ=0 . Portanto ,

d=(md

mf) l

2

No caso em que mf=md → d= l2

e para haver equilíbrio p pai teria que se sentar na extremidade da gangorra.

3.3 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Vimos que se ∑ Fext=0 o momento linear p se conserva. De forma análoga, se ∑ τ ext=0, então o

momento angular L se conserva, ou seja,

Li=Lf ou I i ωi=I f ωf

Resumindo, se um sistema está isolado, então os três princípios de conservação são válidos:

Ei=Ef (conservação da energiamecânica )

pi= pi(conservação domomento linear)

Li=Li(conservação do momento angular)

Exemplo 8: Um disco de 2,0 kg viajando a 3,0 m /s atinge uma placa de massa 1,0 kg e 4,0 m de comprimento, colocada sobre uma quadra de gelo, conforme ilustra a figura abaixo. Assumindo uma colisão elástica e que o disco não mude de direção depois do choque, encontre:

15

a) A velocidade de translação do disco e as velocidades de translação e rotação da placa depois da colisão. O

momento de inércia do disco é de 1,33 kg .m2.

Sol.: Como não há forças externas, os princípios de conservação podem ser aplicados. Conservação do momento linear:

P=const . →∑ Fext=0

pi=p f

md vdi=md vdf+m p v p

2 .3=2.vdf+1. vp → 6−2. vdf=v p (1 )

Conservação do momento angular:

L=const .→∑ τ ext=0

Li=Lf

NOTA: Observe que o eixo de rotação está no centro da placa e L aponta para baixo (L < 0).

−r md v di=−r md vdf+ Iω

−2 .2.3=−2 .2. vdf+1,33ω→−9+3 vdf=ω (2 )

Conservação da energia mecânica:

E=const .→ K i=K f

12

md vdi2=1

2md vdf

2 + 12

m p v pf2 +1

2I ω2

12

.2 .32=12

.2 vdf2 +1

2.1 v p

2+ 12

1,33 ω2→ 18=2 vdf2 +v p

2+1,33 ω2 (3 )

Resolvendo o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3) encontramos: vdf=2,3 m /s ;v p=1,3 m / s e

ω=−2,0 rad / s .

b) Se a colisão for perfeitamente inelástica, como isso modifica a análise anterior?

Sol.: Neste caso o disco fica preso na placa após a colisão.

A conservação do momento linear fica alterada para:

pi=p f →md vdi=(md+mp ) vcm

16

2 .3=(2+1 ) v cm→ vcm=2,0 m / s(¿ vdf=v p)

Para a parte rotacional do problema precisamos encontrar o centro de massa do sistema disco+placa. Adotando a origem no centro do disco, a componente y do centro de massa será:

ycm=md ∙ xd+m p ∙ x p

md+mp

=2∙2+1 ∙02+1

=1,33 m

O novo centro de massa está a 2,0−1,33=0,67 m da extremidade da placa.

Conservação do momento angular:

Li=Lf →−r md vdi=I d ω+ I p ω→−0,67 md vdi=md 0,67 ω+ I pω

Após o choque a distribuição de massa da placa fica alterada, e o seu momento de inércia em relação ao novo centro de massa pode ser encontrado usando o teorema dos eixos paralelos:

I p=I cm+m d2=I cm+m ycm2 → I p=1,33+1 . 1,332=3,1 kg ∙ m2

Então,

−0,67 .2 .3= [2 .0,67 ω+3 .1 .ω ]→ ω=−1,0 rad /s

Conservação da energia mecânica:

K i=12

md vdi2=1

22.32=9 J

K f=12(md+mp ) vcm

2 + 12

I pω2=12(2+1 )22+ 1

23,1¿

Podemos verificar que K i>K f porque na colisão inelástica a energia cinética não é conservada.

Resumo das equações no movimento linear e rotacional.

Movimento rotacional Movimento linear

Velocidade angular ω=d θdt

Velocidade linear v=dxdt

Aceleração angular α=d ωdt

Aceleração a=dvdt

Torque ∑ τ=Iα Força resultante ∑ F=maVelocidade ωf=ωi+αt Velocidade v f=v i+at

Posição θ f=θ i+ωi t+12

α t2 Posição x f=x i+v it+12

a t 2

Velocidade ωf2=ωi

2+2 α (θf−θi ) Velocidade v f2=v i

2+2 a (x f−x i)

Trabalho W=∫θi

θf

τ d θ Trabalho W=∫x i

x f

Fx d x

Energia cinética rotacional

K R=12

I ω2 Energia cinética K=12

mv2

Potência P=τω Potência P=FvMomento angular L=Iω Momento linear p=mv

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Torque resultante ∑ τ=dLdt

Força resultante ∑ F=dpdt

Verificação da Aprendizagem (Unidade XI)Questões1. τ=Iα para um objeto que gira em torno de um eixo, onde é o torque resultante sobre ele, I é o momento de inércia e é a aceleração angular. Esta expressão:

a) é a definição de torque.b) é a definição de momento angular.c) é a definição de aceleração angular.d) segue diretamente da segunda lei de Newton.e) depende do princípio físico que está relacionado com a segunda lei de Newton.

2. Física nos carros. Quanto mais forte você pisar no freio enquanto o carro está se deslocando para frente, mais para baixo a parte dianteira do carro se move (e a parte traseira se move para cima). Por quê? O que ocorre durante a aceleração? Por que os carros de corrida só usam tração nas rodas traseiras?

3. Física no circo. Quando uma acrobata anda sobre uma corda esticada, ela abre os braços lateralmente. Ela faz isso para que seja mais fácil se equilibrar, caso tombe para um lado ou para o outro. Explique como isso funciona. Sugestão: use a

equação ∑ τ=Iα .

4. Física na cozinha. Sem quebrar a casca de um ovo, um cozinheiro experiente (esse é dos bons) pode distinguir um ovo ainda não cozido de outro já cozido fazendo os dois rolarem um plano inclinado. Explique como isso é possível? O que ele espera concluir?

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5. O trabalho realizado por uma força é o produto da força pela distância. O torque em função de uma força é o produto da força pela distância. Isso significa que o torque e o trabalho são grandezas físicas equivalentes? Explique.

6. Física na aviação. Um helicóptero possui um rotor grande principal que gira em um plano horizontal e ocasiona a força de sustentação. Existe também um rotor pequeno na traseira do helicóptero que gira em um plano vertical. Qual é a finalidade deste rotor? Caso não existisse o rotor traseiro, o que ocorreria quando o piloto acelerasse o rotor principal? Alguns helicópteros não possuem rotor traseiro, mas possuem dois rotores principais grandes que giram em um plano horizontal. Por que é importante que esses rotores girem em sentidos contrários?

Problemas1. Encontre o torque resultante sobre a roda da figura abaixo em torno do eixo que passa por O se a = 10,0 cm e b = 25,0 cm.

2. Um bloco de massa m1 = 2,00 kg e um bloco de massa m2 = 6,00 kg são conectados por um fio de massa desprezível que passa pela polia de raio R = 0,250 m e de massa M = 10,0 kg. O plano é inclinado de = 30º. O coeficiente de atrito cinético entre os blocos e a superfície é 0,360. Determine: a) a aceleração dos blocos; b) a tensão no fio nos dois lados da polia.

3. Duas bolas com massas M e m estão conectadas por uma barra rígida de comprimento L e massa desprezível, como ilustra a figura abaixo. Mostre que o sistema tem um momento de inércia mínimo em relação a um eixo perpendicular à barra quando o este passa pelo centro de massa. Mostre que este momento de inércia é dado por I=μ L2, onde

μ=nM /(m+M ).

4. A combinação de força aplicada e uma força de atrito produzem um torque constante de 36,0 N.m sobre uma roda que gira em torno de um eixo fixo. A força aplicada atua por um período de 6,00 s. Durante este tempo a velocidade angular da roda aumenta de 0 para 10,0 rad/s. A força aplicada é então removida e a roda pára depois de 60,0 s. Encontre:a) O momento de inércia da roda.b) A magnitude do torque de atrito.c) o número total de revoluções da roda.

5. Um motor elétrico gira uma roda volante através de uma correia, como ilustra a figura abaixo. A roda volante tem massa de 80,0 kg e diâmetro de 1,25 m e gira em um eixo sem fricção. A polia da roda volante tem uma massa muito menor e raio de 0,230 m. Se a tensão no ramo superior da correia é de 135 N e a roda volante tem uma aceleração angular no sentido horário de 1,67 rad/s2, encontre a tensão no ramo inferior da correia.

6. Um estudante sentado em uma cadeira girante segura dois objetos, cada um com massa de 3,00 kg, como mostrado na figura abaixo. Com os braços abertos horizontalmente, os objetos estão a 1,00 m do eixo de rotação e ele gira com uma velocidade angular escalar de 0,750 rad/s. O momento de inércia do estudante mais a cadeira é de 3,00 kg.m2 e se mantém constante. O estudante encolhe os braços e mantém os objetos a 0,300 m do eixo de rotação. a) Encontre o valor para a velocidade angular nesta situação. b) Encontre a energia cinética de rotação nas duas situações.

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7. Um cilindro com momento de inércia I1 gira em torno de um eixo vertical, sem atrito com velocidade angular i. Um segundo cilindro, este tendo momento de inércia I2 e inicialmente sem girar, cai sobre o primeiro cilindro, conforma figura ao lado. Por causa do atrito entre, os discos eventualmente giram com a mesma velocidade angular f.a) Calcule f.b) Mostre que a energia cinética do sistema diminui na interação, e calcule a razão entre as energias final e inicial.

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