Tugas Fisika Statistik Resume Bab 13

Oleh:

Muhammad Habibie, S.Pd

15726251040

Program Studi Pendidikan FisikaProgram Pascasarjana

Universitas Negeri Yogyakarta2016

13-1 TEORI EINSTEIN TENTANG KAPASITAS PANAS SPESIFIK ZAT PADAT

ASUMSI

• Einstein merumuskan Cv secara kuantum dengan asumsi bahwa atom-atom

kristal sebagai vibrator yang bergetar bebas satu sama lain disekitar

kedudukan - setimbangnya. Seakan-akan didalam 1 mol terdapat NA buah atau

yang bebas dan terikat pada titik setimbang tersebut.

• atom-atom dari zat padat betul-betul dipertimbangkan sebagai himpunan dari

osilasi semua getaran yang terkuantisasi dengan frekuensi yang sama v

Einstein mengasumsikan bahwa energi osilasi diberikan oleh

ϵ j=n jh v

Energi internal U zat padat yang terdiri dari N atom-atom adalah

U=3Nk θE[ 1exp (θE /T )−1

+12 ] (13-1)

Di mana suhu einstein θE didefinisikan sebagai

θE ≡ hvk (13-2)

Rata-rata energi atom adalah

ϵ=UN =3k θE[ 1

exp (θE/T )−1+

12 ]

Dan kapasitas panas spesifik pada volume konstan adalah

cv=3 R (θE

T )2 exp (θE/T )

[exp (θE/T )−1 ]2 (13-3)

Ketika T ≫ θE, θE/T kecil dan cv mendekati nilai Dulong Petit

cv=3 R

Ketika T ≫ θE, bentuk eksponensial besar, kita bisa mengabaikan 1 pada

denominator, dan

cv=3 R (θE

T )2

exp (−θE /T )

13-2 TEORI KAPASITAS PANAS SPESIFIK ZAT PADAT DEBYE

ASUMSI

• Menetapkan atom-atom, bukan sebagai osilasi tertutup semua getaran pada

frequensi yang sama,tetapi sebagai sistem osilasi ganda yang memiliki spektrum

frekuensi natural yang berkelanjutan.

• Beranggapan bahwa tiap atom sebagai vibrator bergetar dengan frekuensi

yang tidak sama dan ada frekuensi maksimum karena jumlah ragam

frekuensi keseluruhan tidak boleh melebihi 3N.

• Frekuensi natural atom kristal akan sama dengan frekuensi gelombang stasioner

pada kristal jika kristal adalah material padat elastis kontinu.

Sebagai contoh yang sederhana dari osilasi ganda, misal, kita mempunyai dua

partikel yang identik, dihubungkan dengan pegas yang identik, seperti pada gambar 13-2.

Jika kedua partikel diberikan kelajuan awal yang sama pada arah yang sama, seperti yang

ditunjukkan panah ke atas, partikel-partikel akan berosilasi pada fase dengan frekuensi

tertentu v1. Jika kecepatan awal sama dan berlawanan, seperti ditunjukkan panah ke

bawah, partikel akan berosilasi diluar fase tetapi dengan frekuensi yang berbeda v2.Jika

kecepatan awal memiliki nilai yang acak, resultan gerakan adalah superposisi dari dua

osilasi dengan frekuensi v1 dan v2. Sistem itu dikatakan memiliki frekuensi natural.

Sekarang, misal jumlah partikel (dan pegas) ditambah. Bukan hal yang hebat untuk

menghitung frekuensi natural ketika jumlahnya kecil, tetapi jika jumlahnya ditingkatkan,

ada banyak persamaan simultan yang harus dipecahkan. Ternyata, bagaimanapun, jika

ada N partikel pada rantai, sistem akan memiliki N frekuensi natural, berapapun nilai N.

Sebuah pegas dengan panjang L terikat pada kedua ujungnya, dapat berosilasi

pada modus steady state dimana panjang gelombang λ adalah

λ¿2 Ln .

Persamaan dasar dari gelombang berjalan yang kelajuan perambatannya adalah c

sama dengan hasil dari frekuensi v dan panjang gelombang λ

c=v λ

Oleh karena itu, untuk tiap frekuensi v, jumlah n adalah

n=2 Lc

v

dan

n2=4 L2

c2 v2

Teori elastisitas mengarahkan pada hasil bahwa frekuensi natural dari gelombang

stasioner pada material elastis dalam bentuk kubus dengan sisi panjang L diberikan oleh

persamaan yang sama kecuali nilai n2 yang mungkin adalah

n2=nx2+n y

2+nz2

Di mana nx , n y , dan nz adalah bilangan bulat positif yang bisa memiliki nilai 1,2, 3, ....

dst.

Untuk menemukan jumlah gelombang pada tiap interval frekuensi, atau pada

spektrum frekuensi, kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti pada bagian 12-1

dan gambar 12-1. Biarkan nx , n y , dan nz diletakkan pada tiga sumbu yang saling tegak

lurus. Setiap triad dari nilai-nilai menentukan titik pada ruang n, dengan nilai

koresponden n dan v

Ҩ ¿4 π3 L3

c3 v3

Tetapi L3 adalah volume V dari kubus, dan hal itu bisa menunjukkan bahwa terlepas dari

bentuk materialnya, kita bisa mengganti L3dengan V. Lalu

Ҩ ¿4 π3

Vc3 v3

(13-4)

Jumlah total kemungkinan dari gelombang stasioner yang memiliki frekuensi

lebih dari dan termasuk beberapa frekuensi v karena itu

Ҩ ¿4 π3 V ( 1

c l3 +

2ct

3 ) v3 (13-5)

Menurut persamaan teori Debye (13-5) dapat juga diintepretasikan sebagai

deskripsi jumlah osilasi linear yang memiliki frekuensi lebih dari dan termasuk frekuensi

v. Dengan demikian, agar sesuai dengan notasi pada bagian 12-2, Ҩ pada persamaan (13-

5) harus diganti dengan Ɲ dan

Ɲ=4 π3 V ( 1

c l3 +

2c t

3 )v3 (13–6)

Jika tidak ada batas atas untuk frekuensi, jumlah total osilasi akan menjadi tidak

terhingga. Tetapi kristal yang mengandung N atom merupakan suatu assembly dari 3N

osilasi linear. Oleh karena itu, kami berasumsi bahwa spektrum frekuensi memotong

pada frekuensi maksimum vm sehingga jumlah total osilasi dari osilasi linear sama

dengan 3N. Lalu atur Ɲ=3N dan v=vm,

3 N=4 π3 V ( 1

c l3 +

2c t

3 )vm3 (13-7)

Harus ada frekuensi maksimum dari gelombang stasioner yang bisa terdapat di

zat padat nyata, dapat dilihat sebagai berikut. Untuk satu set gelombang dengan kelajuan

c, frekuensi maksimum vm sesuai dengan panjang gelombang minimum λm/n=c / vm dan

persamaan (13-7) bisa ditulis

λmin=( 4 π9 )

1 /3

( VN )

1 /3

(13-8)

Tetapi (V/N) adalah rata-rata volume per atom dan akar pangkat tiga dari (V / N )1 /3

, adalah urutan jarak rata-rata interatomik. Oleh karena itu, struktur dari kristal nyata

(yang mana bukan medium kontinu) mengatur batas untuk panjang gelombang minimum

yang mana dari urutan jarak interatomik, seperti yang akan diharapkan karena panjang

gelombang pendek tidak menyebabkan mode baru gerak atomik. Hal ini mengikuti

persamaan (13-6) dan (13-7) bahwa

Ɲ=3 Nvm

3 v3

Jumlah osilasi linear yang memiliki frekuensi antara v dan v+∆ v lalu

∆ Ɲ=9 Nvm

3 v2 ∆ v (13-9)

Dan jumlah per unit kisaran frekuensi adalah

∆ Ɲ∆ v

=9 Nvm

3 v2 (13-10)

Gambar 13-3 adalah grafik dari ∆ Ɲ v /∆ v dan lebarnya adalah ∆ v. Hal ini

bertentangan dengan model Einstein, yang mana semua osilasi memiliki frekuensi yang

sama. Luas total dibawah kurva sesuai dengan jumlah total osilasi linear, 3N.

Osilasi tiap frekuensi v merupakan subassembly dari osilasi linear yang semuanya

memiliki frekuensi yang sama, seperti pada model Einstein. Lalu pada persamaan (12-48)

energi dalam ∆ U dari subassembly, menggantikan 3N dengan ∆ Ɲ v

∆ U v=9 Nvm

3hv3

exp (hv /kT )−1∆ v

(13-11)

Kami menghilangkan energi titik 0 konstan karena tidak ada pengaruhnya pada kapasitas

panas

Jika assemblynya adalah gas, kita bisa memperbaiki baik itu volume atau suhu

dari wadah, dan masih bisa memperkenalkan jumlah N molekul gas ke dalam wadah.

Tetapi ketika volume dan suhu kristal dispesifikasi, kristal itu sendiri, jadi bisa dikatakan,

menentukan jumlah gelombang yang berbeda, atau fonon, yang setara dengan osilasi

molekul itu sendiri. Sehingga, kristal tidak bisa dianggap sebagai sistem terbuka yang

mana N adalah variabel bebas dan istilah µ dN tidak muncul dalam persamaan (11-22).

Hal ini setara dengan pengaturan µ = 0 dan karenanya exp (µ/kT) = 1. Jumlah partikel

pada level makro antara ϵ and ϵ + ∆∈ karena itu

∆ Ɲ= ∆ Ҩexp(∈/kT )−1

(13-12)

Menurut prinsip-prinsip mekanika kuantum, energi gelombang (atau fonon) dari

frekuensi v adalah

∈=hv ,

Di mana h adalah konstanta planck. Tidak seperti osilasi linear frequensi v, yang

bisa mempunyai salah satu dari energi (n j+12

¿hv, di mana n j = 0, 1, 2, .... dst, frekuensi

gelombang v hanya bisa memiliki energi hv. Sehingga, jika sejumlah besar energi

dikaitkan dengan frekuensi yang diberikan, ini berarti bahwa sejumlah gelombang, atau

fonon, semua energi yang sama, ada di dalam assembly.

Interval energi antara ϵ dan ϵ + ∆∈ sesuai dengan interval frekuensi antara v and

v + ∆ v. Sehingga jumlah fonon dengan frekuensi antara v dan v + dv adalah

∆ Ɲ v=∆ Ҩv

exp (hv /kT )−1 (13-3)

Di mana ∆ Ҩ v adalah jumlah yang memiliki frekuensi antara v + v + dv

Energi gelombang ∆ U v pada interval frekuensi ini adalah

∆ U v=hv ∆ Ɲ v=hv ∆ Ҩ v

exp (hv /kT )−1

Dan perbandingan dengan persamaan (13-11) menunjukkan bahwa

∆ Ɲ v=9 Nvm

3v2 ∆ v

exp (hv /kT )−1 (13-15)

Simbol ∆ Ɲ v tidak mewakili hal yang sama pada dua persamaan. Pada persamaan

(13-15), ∆ Ɲ v adalah jumlah dari gas yang tidak terbedakan (atau fonon) yang memiliki

frekuensi antara v dan v + ∆ v , pada sebuah sistem yang mematuhi statistik B-E. Pada

persamaan (13-9), ∆ Ɲ v adalah jumlah osilasi yang terbedakan yang memiliki frekuensi

pada rentang yang sama, pada sistem yang mematuhi aturan statistik M-B.

U energi total asembli kini diperoleh dengan menjumlahkan nilai untuk ∆ U v

untuk semua nilai v dari nol ke vm, dan setelah mengganti jumlah tersebut dengan

integral, kita akan memiliki

U = 9 Nv3m

∫0

vm hv3

exp (hv /kT )−1dv (13-

16)

Dengan temperatur Debye θD diberian oleh

θD=hvm

k (13-17)

dan θDsebanding pemotongan frekuensi vm. Berberapa nilai diberikan oleh tabel 13-1.

Tabel 13-1 Temperatur Debye dari beberapa material

Substance θD (K)LeadThalliumMercuryIodineCadmiuSodiumPetassium bromideSilverCalciumSylvine (KCL)ZincRocksalt (NaCL)CopperAluminiumIronFluorspar (CaF2)Iron pyrites (FeSg)Diamond

8896971061681721772152262302352813153984534746451860

Untuk lebih muda, kita mengenalkan dimensi quantitas

x= hvkT , xm=hvm

kT=θD

T

U =9 NkT ( TθD )

3

∫0

xm x3dxexp ( x )−1

Persamaan ini berhubungan dengan persamaan (13-1) untuk persamaan energi U sesuai

dngan teori Einstsein. Mempertimbangkan limit temperatur tinggi di mana, x=hv/kT

kecil. Maka [exp ( x )−1 ]≃ xdan integral menjadi

∫0

xm

x2dx=xm

3

3=

θD3

3D3

Ketika pada temperatur tinggi

U=3 NkT ,C v=3 R

Ketika suhu rendah

U =35

π 4 NkT ( TθD )

3

C v=125

π4 R( TθD )

3

(13-19)

Persamaan (13-19) diketahui sebagai Hukum T 3 Debye. Menurut hukum ini,

kapasitas kalor mendekati nilai nol mutlak menurun dengan pangkat tiga temperatur,

bukan sebagai nilai exponen seperti pada teori einstein. Karena penurunannya kurang

cepat maka nilai melalui suatu percobaan lebih baik. Meskipun teori Debye didasarkan

pada analisis dari gelombang elastis dalam homogen, isotropik, medium yang kontinyu,

nilai-nilai eksperimental spesifik kapasitas panas padatan kristal berada dalam kondisi

sesuai teori Debye pada suhu dibawah θD/50, atau ketika T /θD<0,02. Ketika suhu

bertambah kapasitas panas spesifik bertambah sedikit lebih cepat sebagaimana teori ini

diprediksi. Belakangan ini pecobaan membuktikan bahwa material amorf tidak terlihat

mengikuti hukum T 3 Debye ketika suhu dibawah θD/100, atau ketika T /θD<0,01.

Akan terlihat dari Gambar. 13-4 secara umum bahwa, ketika T /θD lebih besar

dari 1 , atau ketika suhu aktual melebihi suhu Debye, sistem berperilaku "klasik" dan C,

hampir sama dengan "klasik" atau "non-kuantum" bernilai 3R.

Ketika suhu sebenarnya kurang dari suhu Debye, efek kuantum menjadi

signifikan dan Cv akan turun medekati ke nol. Jadi untuk tertinggi, dengan suhu Debye

hanya 88 K, "suhu kamar" jauh di atas suhu Debye, sementara berlian, dengan suhu

Debye 1860 K, adalah "kuantum yang solid" bahkan pada suhu kamar.

13-3 RADIASI BENDA HITAMUntuk mengaplikasikan metode statistika kepada sejumlah energi yang

dipancarkan, kita mempertimbangkan gelombang sendiri sebagai “partikel” dari suatu

asembli. Setiap gelombang dapat dipertimbangkan sebagai partikel yang disebut

“photon” dan asemblinya disebut “photon gas”. Karena photon-photon sifatnya tak

terbedakan, dan toidak ada batasan jumlah photon per energi, maka perumusan asembli

mematuhi statistika Bose-Einstein.

Jumlah dari photon-photon pada “enclosure” tidak bisa dianggap sebagai suatu

variabel yang bebas dan fungsi distribusi B-E tereduksi menjadi bentuk yang sederhana,

∆ Ɲ v=∆ yv

exp (hv /kT )−1

Terdapat perbedaan tanda untuk degeneracy (penurunan/merosot) ∆ y v. Sebagaimana

ditunjukan pada bagian terdahulu, degeneracy adalah mikrolevel pada asembli dari

gelombang (photons) adalah sama atau seimbang dengan kemungkinan jumlah ∆ y v dari

gelombang stasioner pada interval frekuensi v sampai v+∆ v. Kita kembali ke

persamaan (13-5)

y= 4 πV3C3 v3

Dimana y adalah jumlah dari gelombang statsioner dengan fekuensi hingga termasuk v.

Gelombang elektromagnetik adalah murni melintang dan dapat menjadi dua set

gelombang yang terpolarisasi tegak lurus pada bidang dan keduanya bergerak dengan

kecepatan cahaya c. Juga karena ruang kosong tidak memiliki struktur maka tidak ada

batasan frekuensi maksimum yang mungkin terjadi. Kemudian

menginterpretasi/menafsirkan y sebagai total jumlah kemungkinan keadaan energi pada

semua frekuensi hingga termasuk v, kita mempunyai

y=8 π3

Vc3 v3 ,

Maka degeneracy ∆ y adalah

∆ y v=8 πV

c3 v2 ∆ v ,

Dan jumlah dari gelombang (atau photons) mempunyai frekuensi antara v sampai v+∆ v

adalah

∆ Ɲ v=8πV

c3v3

exp¿¿¿ (13 -20)

Energi dari tiap gelombang adalah hv, dan setelah dipisahkan oleh volume V, kita

mempunyai energi per satuan volume, dalam interval frekuensi dari v sampai v+∆ v atau

kepadatan spektrum energi ∆ uv,

∆ uv=8πV

c3v3

exp¿¿¿ (13-21)

Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama seperti Hukum Planck yang diberikan

dalam Bagian 8-7 dan kita apat melihat bahwa konstanta eksperimen c 1 dan c2dalam

persamaan (8-50) adalah berhubungan dengan konstanta dasar h , c ,dan k oleh

persamaan

c1=8 πhc3 , c2=

hk

, (13-22)

Pada sebuah suhu yang diberikan T, dan pada frekuensi tinggi yang mana

hv ≫kT , ekspenonsial adalah besar, kta dapat mengabaikan.... dan

∆ uv≅8 πhc3 v3exp¿¿ (13-23)

Hukum wien bersesuaian dengan eksperimen pada frekuensi tinggi tapi sedikit

menyimpang ketika eksperimen pada frekuensi yang rendah. Bagaimana pun, pada

eksperimen frekuensi rendah, yang mana hv ≪kT , [eksp ( hvkT )−1] hampir mendekati

hv /kT dan

∆ uv≅8 πkT

c3 v3 ∆ v (13-24)

Planck mencari sebuah persamaan matematika yang bisa mereduksi persamaan

Wien ketika hv /kT mempunyai hasil yang besar, dan ketika persaman Reyleigh Jeans

mempunyai hasil yang kecil. Ia menemukan bahwa persamaan (13-21) mempunyai sifat

itu, dan mencari sebuah teori untuk menjelaskan persamaan yang menunutun dia

mengembangkan teori kuantum.

Gambar 13-5 menunjukan grafik dari dimensi kuantitas ∆ u∆ v ( c3 h3

8 m k3T 3 ), diplot

sebagai sebuah fungsi berdimensi kuantitas hv /kT . Sebuah kurva yang solid adalah

grafik hukum Plack. Dan titik-titik dari kurva, secara masing-masing, grafik dari hukum

Rayleigh Jeans, dapat diaplikasikan ketika hv ≪kT , dan Hukum wien ketika hv ≫kT .

Total kerapatan energi U v, termasuk semua frekuensi sekarang dapat ditemukan dengan

menjumlahkan ∆ U , atas semua nilai v dari nol sampai tak hingga, selama tidak ada limit

pada nilai maksimum dar v. Dengan menggantikan tanda tambah dengan intergral, kita

akan mendapatkan

uv=8 πh

c3 ∫0

∞ v3

exp ¿¿¿

Fig. 13-5 Grafik Hukum Wien, Reyleigh dan Planck

Atau jika kita menetapkan sebuah variabelk berdimensi x=hv /kT ,

U v ¿ 8 π k 4

c3 h3 T 4 ∫0

∞ x2d ×

exp (× )−1

Nialai pasti dari integral adalah π4/15, sehingga

U v=¿ 8 π5 k4

15 c3 h3 T 4 = σ T 4 (13-25)

dimana

σ= 8 π5 k4

15 c3 h3 (13-26)

Persamaan (13-25) adalah sama dengan Hukum Stefan (18-54) dan ketika nilai

dari k , c dan h dimasukan pada persamaan (13-26), nilai σ perhitungan dan eksperimen

bersesuaian dengan benar dengan memperhitungkan batas-batas kesalahan dalam

ekperimen.

Jadi teori kuantum dan metode-metode statistika menyediakan sebuah dasar teori

untuk Hukum Planck, dan berelasi dengan konstanta eksperimen c1 , c2 , dan σ menjadi

konstanta yang fenomenal k , c dan h. Penjelasan untuk energi dalam, entropi, serta

persamaan Helmholtz dan Gibbs tentang radiasi benda hitam, yang diturunkan dari

persamaa-persamaan termodinamika dalam bagian 8-7 tidak dijelaskan lagi. Perlu diingat

bahwa fungsi Gibbs G=0, mungkintelah diambil sebagai justifikasi/pembenaran untuk

menetapkan μ=0 pada distribusi fungsi B−E.

13-4 PARAMAGNETIKSuatu tipe dari paramagnetik adalah chromium potassium sulfate Cr2 ( SO4 )3

K2 SO4. 24 H2 O . Sifat paramagnetik semata-mata untuk atom-atom chromium yang ada

pada kristal sebagai ion Cr+++¿ ¿. Setiap elektron pada sebuah atom tidak hanya

mempunyai muatan listrik tetapi juga momentum magnetik μβ dari 1 Bohr magneton,

sebanding (in MKS units) to 9.27 x 10−26 A m2, seolah-olah elektron adalah sebuah bola

kecil yang berputar pada porosnya. Dalam kebanyakan atom, momen magnetik yang

dihasilkan dari elektron adalah nol, tetapi ion kromium Cr+++¿ ¿ memiliki tiga elektron

berputar mengimbangi dan momen magnetik sebesar 3μβ.

Untuk setiap ion kromium ada 2 atom belerang, 1 atom potasium, 20 atom

oksigen, dan 24 atom hidrogen, sehingga terdapat total 47 partikel dimana bukan

magnetik. Ion-ion magnetik karena begitu jauh dipisahkan dan bahwa hanya ada interaksi

magnetik kecil di antara mereka.

Hal ini ditunjukkan dalam bagian 8-8 bahwa sifat termodinamika dari kristal

paramagnetik dapat dihitung dari pengetahuan tentang kuantitas f 4=E – TS.

Menggunakan metode statistik, nilai f 4 dapat diturunkan dari T suhu dan parameter-

parameter yang menentukan tingkat energi atom-atom dalam kristal. Karena atom dapat

diberi label sesuai dengan posisi mereka tempati dalam kisi kristal, sistem mematuhi

statistik M-B, dan seperti biasa langkah pertama untuk menghitung fungsi partisi Z, yang

didefinisikan sebagai

Z=∑i

∆ y jexp−∈ j

kT,

Karena gerak osilasi mereka, molekul-molekul memiliki set tingkat energi vibrasi

yang sama, dan total energi osilasi merupakan energi dalam U vib. Di samping itu,

interaksi kecil antara ion-ion magnetik, dan interaksi mereka dengan medan listrik

dibentuk oleh sisa kisi, menimbulkan energi internal tambahan (dari ion-satunya) yang

kita tulis sebagai U∫ ¿¿. Akhirnya, jika ada medan magnet dalam kristal, yang dibentuk

oleh beberapa sumber eksternal, ion memiliki energi potensial magnet yang, seperti

energi potensial gravitasi perticles dalam medan gravitasi, merupakan sifat bersama dari

ion dan medan magnetik dan tidak dapat dianggap sebagai energi internal. Total energi

potensial magnetik adalah Ep.

Tingkat-tingkat energi vibrasi , level-level berhubungan dengan gaya internal

magnetik dan interaksi muatan dan level-level energi potensial adalah bebas. Fungsi

partisi Z, seperti dalam kasus gas dalam medan gravitasi, dapat dinyatakan, sebagai

fungsi partisi bebas yang mana dapat kita tulis sebagai as Zvib . Z∫ , dan Zx .

Sehingga Z¿ Zvib . Z∫ , Zx .

Ion magnetik merupakan subassembly, ditandai dengan fungsi partisi dan Z∫ ,and

Zx dan mereka dapat dianggap independen dari kisi-kisi, yang dapat dianggap hanya

sebagai wadah subassembly tersebut. Meskipun energi U∫ ¿¿ dan Z∫ , fungsi partisi

memainkan peran penting dalam teori yang lengkap, kita akan mengabaikan mereka dan

menganggap bahwa energi total subassembly hanya energi potensi Ep saja. Jadi kita

hanya mempertimbangkan fungsi partisi Zx.

Seperti ditunjukkan dalam Lampiran E, energi potensial dari ion medan magnet

berintensitas ϰadalah −μϰcosθ, di mana μ adalah momen magnetik ion dan θ sudut

antara (vektor) momen magnet dan arah bidang. Untuk mempermudah, kita hanya

mempertimbangkan subassembly ion memiliki momen magnetik dari 1 Bohr magneton

μβ. Prinsip-prinsip mekanika kuantum membatasi nilai yang mungkin dari θ, seperti pada

ion, baik pada nol atau 180o, sehingga momen magnetik adalah paralel atau antiparalel

pada medan magnetik. (Sudut lain yang diizinkan adalah jika momen magnetik lebih

besar dari μβ). Nilai-nilai yang sesuai dari cos θ adalah + 1 dan - 1, dan tingkat energi

yang mungkin adalah −μB ϰ∧+μB ϰ .. Tingkat-tingkat energi adalah nondegenerate;

hanya ada satu keadaan di setiap tingkat, tetapi tidak ada pembatasan untuk jumlah ion

per tingkat/level. Fungsi partisi Zx kemudian akan dikurangi juga pada jumlah dua terms:

Zϰ=exp( μB ϰkT )+exp(−μB ϰ

kT )=¿2 cosμB ϰkT

¿

Karena defenisi hyperbola diberikan oleh cosine

cos x=12 [exp ( x )+exp (−x) ]

Jika N↑ dan N ↓masing-masing mewakili jumlah ion yang saat seimbang paralel dan

antiparalel pada medan 𝝒. Energi yang sesuai ∈↑=−μB ϰ dan ∈↓=μB ϰ. Maka rata-rata

jumlah yang menempati dua arah,

N ↑=Nz

exp−∈↑

kT, N↓=

Nz

exp∈↑

kT,

Kelebihan ion-ion secara paralel, di atas mereka dalam keselarasan antiparalel adalah,

N ↑−N↓=NZ [exp(−∈↑

kT )−exp(∈↓

kT )]= NZ

2sinμB ϰkT

Yang dikurangi menjadi

N↑−N↓=N tanμB ϰkT

Momen magnetic M dari Kristal adalah hasil dari moment magnetic μB dari setiap ion dan

jumlah sisa dari ion sejajar dengan bidangnya. Kemudian

M = ( N t−N0 ) μB= NμB tanh μB χ

kT (13-29)

Persamaan magnetic ini dalam keadaan Kristal, yang mengungkapkan momen magnetic

M adalah fungsi dari χ dan T. catatan M hanya tergantung pada rasio χ /T.

Persamaan keadaan tersebut bisa diturunkan sebagai berikut. Fungsi F* adalah

F* = - NkT ln Z = - NkT ln [2coshμB χ

kT ] (13-30)

Momen magnetik M, yang dalam hal ini sesuai dengan variabel luasan X, adalah

M=−( ∂ F ¿

∂ χ )T ¿N μB tanh μB χ

kT (13-31)

Dalam medan yang kuat dan suhu yang rendah, dimana μB χ << kT, tanh (μB χ

kT¿

pendekatan I dan nilai momen magnetik

M = NμB (13-32)

Tapi ini hanya momen magnetic saturasi Msat. yang akan terjadi jika semua magnet ionik

yang paralel ke bidangnya.

Pada keadaan yang ekstrem yang lain dengan bidang lemah dan suhu tinggi, μB χ << kT,

tanh (μB χ

kT¿ pendekatan

μB χ

kT dan persamaan (13-31) menjadi

M=( N μB2

k ) χT

(13-33)

Tapi ini hanya percobaan hukum Curve yang diamati, yang menyatakan bahwa di

bidang lemah dan pada suhu tinggi, magnet berbanding lurus dengan χT , atau

M=Cc χT (13-34)

dimana Cc adalah konstanta Curie. Metode statistik tidak hanya mengarah pada hukum

Curie, tetapi juga memberikan nilai teoritis dari Curie konstan, yaitu,

Cc=N μB2

k (13-35)

Satuan di bidang paramagnetism umumnya menggunakan unit cgs. Unit intensitas

magnetik adalah 1 Oersted *[(1 Oe) sama dengan 10-4 A m2.]. Bohr magneton adalah

μB = 0,927 x 10-20 erg Oe-1

dan nilai konstanta Boltzman adalah

k = 1,38 x 10-16 erg K-1

Jika jumlah partikel adalah bilangan Avogadro NA, yang sama dengan 6,02 x 1023 cgs

unit,

Curie konstan seperti yang diberikan oleh Persamaan. (13-33) adalah

Cc=N μB2

k=¿0,376 cm3K mole-1

Teori complete mengarah ke hasil bahwa untuk ion kromium cr ++, Moment

magnetik 3μB th nilai Cc adalah 5 kali lebih, atau

Cc = 5 x 0,376 = 1,88 cm3K mole-1

Secara eksperimental nilai yang terukur adalah

Cc = 1,88 cm3K mole-1

dalam perjanjian yang baik dengan prediksi teori kuantum.

Rasio M / Msat Adalah

MM sat

=tanhμBχ

kT (13-36)

Gambar 13-6 adalah grafik dari kurva magnetization dari sistem, di mana ratio M / Msat

diplot sebagai fungsi dari μBχ

kT. Kurva magnetisasi merupakan gambaran dari sistem

antara pengaruh pemesanan terhadap bidang eksternal χ , yang merupakan semua ion

magnet yang mengarah ke bidang, dan efek Disordering agitasi termal, yang meningkat

terhadap suhu.

Gambar 13-6 kurva magnetisasi dari Kristal magnetik

dalam bidang yang lemah nilai-nilai dari dua tingkat energi yang hampir sama, keduanya

pada keadaan yang hampir sama, dan momen magnetik yang dihasilkan sangat kecil.

Dalam bidang yang kuat. perbedaan antara tingkat energi besar, efek pemesanan

mendominasi, dan hampir semua magnet berada di tingkat energi yang lebih rendah di

mana mereka memiliki arah yang sama dengan χ

Ini akan terlihat dari Gambar. 13-6 bahwa kejenuhan, seperti yang diperkirakan

oleh teori kuantum, sangat hampir dicapai ketika μBχ

kT , atau ketika

χT

=3 kµB

=45 kOeK -1

Oleh karena itu, jika T = 300 K, bidang 13,5 x 106 Oe akan diperlukan untuk saturasi. Di

sisi lain, jika suhu serendah I K, bidang 4,5 x 104 Oe akan menghasilkan saturasi, dan

pada suhu 0,1 K, bidang hanya 4,5 x 103 Oe. (superkonduktor Elektromagnet modern

dapat menghasilkan intensitas magnet hingga 1,5 x 105 Oe.)

Kita sekarang menghitung sifat termodinamika lain dari sistem. Energi total E,

yang dalam hal ini adalah energy potensial Ep, adalah

E=Ep=Nk T 2( ∂ ln Z χ

∂ T ) χ

¿−Nk( μBχ

k ) tanμBχ

kT (13-37)

Perbandingan dengan Persamaan. (13-29) menunjukkan bahwa energi potensial adalah

Ep= - χM (13-38)

Energi potensial adalah negatif karena berdasarkan referensi; yaitu, energi potensial dipol

magnetik ditetapkan sama dengan nol ketika dipole pada sudut kanan bidang.

Kapasitas panas dengan konstanta χ adalah

C χ=( ∂ E∂ T )χ ¿ Nk ( μBχ

kT )2

sech2 μBχ

kT (13-39)

Gambar 13-7 menunjukkan grafik Ep dan C χ (keduanya dibagi dengan Nk)

sebagai fungsi dari kT

µBχ . Kurva ini berbeda dari kurva yang sesuai untuk energi dan

kapasitas panas internal perakitan osilator harmonik karena hanya ada dua tingkat energi

yang diizinkan dan energi subassembly tidak dapat meningkatkan tanpa batas dengan

meningkatnya suhu.

Gambar. 13-7 Energi potensial spesifik dan

kapasitas panas spesifik pada konstan

intensitas magnet, baik dibagi dengan Nk,

untuk kristal paramagnetik sebagai fungsi dari

kTµBχ H ·

Mari kita bandingkan kapasitas panas C χ dari subassembly ion magnetik dengan

kapasitas panas Cv, dari seluruh kristal. Dengan T =1K dan χ 104 Oe. Kemudian

kTµBχ

≅ 1,5 , sech2 μBχkT

≅ 0,81

Dan dari persamaan (13-39)

Cχ ≅ Nk (1,5)2 x 0,81 ≅ 0,36 Nk

Dengan asumsi ada 50 partikel bukan magnetik untuk setiap ion magnetik, dan

mengambil suhu Debye dari 300 K sebagai nilai khas, kita mendapatkan dari hukum

Debye T 3,

Cv ≅Nk (50) x 12 π4

5 ( 1

300 )3

≅ 0,5 x 10-5 Nk

Entropi dari subassembly yang sekarang dapat dihitung dari persamaan F* = E –

TS. Dari pers. (13-30) dan (13-37) kita memiliki

S= E−F¿

T = Nk [ ln (2 cosh μBχkT )− μBχ

kTtanh μBχ

kT ] (13-40)

Gambar 13-8 entropi dari Kristal paramagnetic

Gambar 13- 8 adalah grafik dari S / Nk, diplot sebagai fungsi dari kTμB χ

. Dari nilai yang

diberikan dari χ , S mendekati nol sebagai T mendekati nol. Pada suhu ini, semua energi

dipol dalam keadaan yang lebih rendah, hanya ada satu kemungkinan keadaan mikro dan

S = k ln Ω = k ln = 0. Pada batas lain, ketika kT » μB χ

Cosh (μBχkT ) → 1 (

μBχkT

¿ → 0, tanh (μBχkT

¿ → 1

dan S → Nk ln 2. entropi ini juga merupakan fungsi (χT ) saja. Dalam demagnetisasi

adiabatik reversibel, S dan karenanya (χT

¿ tetap konstan. Jadi χ menurun, T harus

menurunkan juga sesuai dengan hasil termodinamika.

13- 5 SUHU NEGATIFPerhatikan kembali sistem dengan hanya dua kemungkinan tingkat energi

magnetik, di mana momen magnetic saat µB dari partikel dapat berupa paralel atau sejajar

dengan intensitas magnetik χ. Energi dari tingkat yang lebih rendah, di mana µB sejajar

dengan χ . €1=−μBχ , dan dari tingkatan atas, di mana µB adalah berlawanan dengan χ,

adalah €2=+μBχ . Dalam keadaan kesetimbangan pada suhu T, jumlah tingkat rata-rata

adalah

N1=NZ

exp (−ϵ 1

kT )N2=

NZ

exp (−ϵ 2

kT )Rasio N1

N 2, adalah

N1

N 2=exp( ϵ2−ϵ1

kT ) T=1

k [ ϵ 2−ϵ 1

ln N1−N 2 ]

(13-41)

dan kita bisa menganggap ini sebagai persamaan mendefinisikan T, dalam hal ϵ 2 , ϵ 1

N1 dan N 2,. Jika ϵ 2>ϵ 1 dan N1>N2, maka sisi kanan persamaan adalah positif dan T

positif. The situasi ini dapat direpresentasikan secara grafis seperti pada Gambar. 13-9

(a), dimana panjang garis berat sesuai dengan rata-rata angka kedudukan N1 dan N 2,.

Gambar. 13-9 (a) Dalam keadaan

keseimbangan yang stabil jumlah N 1

dari tingkatan atau energi yang lebih

rendah lebih besar dari jumlah N2 dari tingkat atau energi yang lebih tinggi. (b) dengan

segera terjadi pembalikan setelah intensitas magnetik χ'telah terbalik.

Sekarang anggaplah arah intensitas magnetik tiba-tiba terbalik. momen

magnetiknya yang sejajar dengan bidang yang asli, dan dalam keadaan energi yang lebih

rendah ϵ 1 yang berlawanan dengan bidang baru dan sekarang dalam keadaan energi yang

lebih tinggi, sementara yang berlawanan dengan bidang asli, dan keadaan energy lebih

tinggi ϵ 2, keadaan energi sejajar dengan bidang baru dan sekarang dalam keadaan energy

yang lebih rendah. Akhirnya, saat-saat dalam keadaan energi yang lebih tinggi akan

gagal ke keadaan energi baru yang lebih rendah, tetapi segera setelah keadaan telah

terbalik, dan sebelum perubahan dalam jumlah pendudukan telah terjadi, keadaan ini

digambarkan dalam Gambar. 13- 9 (b). Rata-rata jumlah pendudukan dari N 1 yang baru

adalah sama dengan jumlah N 1, di keadaan asli yang lebih rendah, dan jumlah N1 dari

keadaan baru yang lebih rendah adalah sama dengan jumlah N 1 , di keadaan bagian atas.

Kami mengatakan telah terjadi pembalikan populasi. Kemudian jika kita

mempertimbangkan bahwa suhu sistem didefinisikan oleh Persamaan. (13-41), dan jika

T' adalah suhu yang sesuai dengan Gambar. 13-9 (b)

T '=1k [ ϵ 2−ϵ 1

ln N1−N2 ] (13-42)

Ketika N2 lebih besar dari N 1, denominator pada persamaan sisi kanan adalah negatif

dan T'negatif.

Suhu negatif dapat dilihat dari sudut pandang lain. Pada suhu T = 0, semua

magnet dalam keadaan energi yang lebih rendah. Karena suhu meningkat, semakin

banyak magnet pindah ke keadaan energi yang lebih tinggi dan ketika T = +∞, kedua

keadaan sama-sama mendiami. Kemudian bisa dikatakan bahwa jika jumlah dalam

keadaan yang lebih tinggi bahkan lebih besar daripada dalam keadaan yang lebih rendah,

karena ketika ada pembalikan keadaan, suhu harus lebih panas kemudian tak terhingga.

Dengan demikian kita memiliki paradoks bahwa sistem pada suhu negatif bahkan lebih

panas dari pada suhu yang tak terbatas.

Dalam zat paramagnetik, interaksi antara magnet ionik Dan kisi begitu besar

bahwa substansi tidak bisa berada dalam keadaan pembalikan yang mendiaminya untuk

waktu yang cukup. Namun, Pound, Purcell, dan Ramsey pada tahun 1951 menemukan,

bahwa momen magnetik nuklir dari atom litium LiF berinteraksi secara perlahan-lahan

dengan kisi dan memerlukan beberapa menit untuk kesetimbangan dengan kisi untuk

mencapainya, waktu cukup lama untuk eksperimen yang akan dibuat menunjukkan

bahwa populati pada pembalikan benar-benar ada.

13- 6 GAS ELEKTRON Kami berasumsi bahwa setiap atom di bagian kisi kristal dengan beberapa

(integral) jumlah elektron valensi terluar dan elektron tersebut dapat bergerak bebas di

seluruh logam. Ada, tentu saja, medan listrik dalam logam karena ion positif dan yang

bervariasi dari titik ke titik. Rata-rata, namun, efek dari bidang ini dibatalkan kecuali

pada permukaan logam di mana ada bidang lokal yang kuat (atau potensial penghalang)

yang menarik elektron kembali ke dalam logam jika kemungkinan untuk membuat

perjalanan kecil di luar permukaan. Oleh karena itu elektron bebas terbatas pada bagian

dalam logam dalam dari logam dengan cara yang sama bahwa molekul gas terbatas pada

bagian dalam wadah. Kita berbicara tentang elektron sebagai elektron gas.

The degeneracies dari tingkat energi adalah sama sebagai partikel bebas dalam

kotak, dengan satu pengecualian. Ada dua set elektron dalam logam, yang identik

kecuali bahwa electron tersebut telah berputar dengan arah berlawaan. Prinsip

pengecualian Pauli, menyatakan bahwa tidak ada lebih dari satu partikel tiap keadan,

sekarang memungkinkan dua elektron per keadaan asalkan mereka memiliki arah putaran

yang berlawanan. Hal ini setara dengan dua kali lipat jumlah keadaan di tingkat makro,

atau penurunan ∆ ξdari tingkat makro, dan memungkinkan hanya satu elektron per

keadaan. Oleh karena itu, Persamaan. (12-17) yang kita miliki

∆ ξ=8 π m3Vh3 υ2 ∆ υ

Ini akan lebih berguna untuk mengungkapkan penurunan dalam hal energi kinetik

ϵ=12

mυ2 ,maka menjadi

υ2=2 ϵm

υ=( 2m )

12 ϵ

12 Δυ=1

2 ( 2m )

12 ϵ

−12 Δϵ

Berdasarkan persamaan

∆ ξϵ=4 πV ( 2 mh2 )

32 ϵ

12 (13-43)

Jika

A ≡ 4 πV ( 2mh2 )

32 (13-44)

Kemudian

∆ ξϵ=A ϵ12 (13-45)

Oleh karena degenerasi dapat tingkatkan dengan akar kuadrat dari energi.

Kemudian dari fungsi distribusi F-D, persamaan. (11-40), rata-rata jumlah ∆ N dari

elektron di tingkat makro adalah

∆ N=∆ ξϵ

exp[ ( ϵ−μ )kT ]+1

=A ϵ12

exp [ (ϵ−μ )kT ]+1

Δϵ (13-46)

Potensial kimia μ dapat dievaluasi dari persyaratan Σ ∆ N=N , di mana N adalah

jumlah total elektron. Mengganti jumlah tersebut dengan integral, kita mendapatkan

N=A∫0

∞ ϵ12

exp [ (ϵ−μ )kT ]+1

dϵ

integral tidak dapat dievaluasi dalam bentuk tertutup dan hasilnya dapat

dinyatakan hanya sebagai seri terbatas. Hasilnya, pertama diperoleh Sommerfeld* adalah

μ=ϵF [1− π2

12 ( kTϵF )

2

+ π4

80 ( kTϵF )

4

+….] (13-47)

Nilai dari ϵ F adalah konstan untuk logam tertentu dan disebut energy fermi.

Seperti yang akan kita tampilkan, ϵ F adalah fungsi dari jumlah elektron per satuan

volume, N / V, sehingga persamaan sebelumnya mengungkapkanμ. sebagai fungsi dari T

dan N / V. Ketika T = 0, μo = ϵ F Fungsi distribusi di T = 0 kemudian

∆ N o=∆ ξ ϵ

exp[ ( ϵ−ϵ F )kT ]+1

(13-48)

Arti penting dari energi Fermi ϵ F· dapat dilihat sebagai berikut. Di semua

tingkatan yang ϵ<< ϵ F, perbedaan (ϵ−ϵF ¿ Adalah kuantitas negatif, dan pada T = 0,

ϵ−ϵ F

kT=−∞

Istilah eksponensial dalam persamaan. (13-48) kemudian nol dan di semua tingkatan

ϵ−ϵF

∆ N o=∆ ξϵ=A ϵ12 Δϵ (13-49)

Artinya, rata-rata jumlah elektron di tingkat makro sama dengan jumlah dari keadaan

pada setiap tingkat, dan semua tingkatan dengan energi kurang dari ϵ F sepenuhnya

dihuni dengan batasan dari satu elektron di setiap keadaan.

Gambar . 13- 10 Grafik dari fungsi distribusi dari

elektron bebas dalam logam, pada T = 0 dan pada dua

suhu yang lebih tinggi T1 dan T2.

Dalam semua tingkatan yang ϵ >ϵ F, istilah (ϵ−ϵF) adalah positif. Oleh karena itu

pada T = 0 istilah eksponensial sama dengan +∞ dan ∆ N o= 0. Jadi tidak ada elektron di

tingkat ini dan energi Fermi ϵ F adalah energi maksimum elektron pada nol mutlak.

Tingkatan kesesuaian ini disebut tingkatan Fermi.

Kurva yang solid pada Gambar. 13- 10 adalah grafik jumlah elektron setiap

interval satuan energi,. ∆ No

∆ ϵ=A ϵ

12 , saat T=0, Kurva memanjang dari ϵ = 0 ke ϵ= ϵ F,

Dan nol unutk semua energy yang lebih besar dari ϵ F

Ekspresi untuk energi Fermi sekarang dapat diperoleh dari persyaratan Σ ∆ No=N

. Mengganti jumlah dengan integral, memperkenalkan fungsi distribusi T = 0, dan

mengintegrasikan seluruh tingkatan dari "nol sampai ϵ Fkita mendapatkan

N=A∫0

∞

ϵ12 dϵ=2

3A ϵ F

32

Atau, setelah memasukkan nilai A,

ϵ F=h2

8m (3 NπV )

23 (13-50)

Jadi sebagaimana dijelaskan sebelumnya, Ep adalah fungsi dari jumlah elektron per unit

volume, N/V, tapi independen terhadap T.

Sebagai contoh numerik, anggap logam tersebut adalah perak dan karena perak

adalah monovalen kita asumsikan satu elektron bebas per atom. Masa jenis dari perak

adalah 10.5 x 103 kg/m3, berat atomnya adalah 107, dan jumlah elektron bebas permeter

kubik N/V sebanding dengan jumlah atom per meter kubik yaitu 5.86 x 1028. Massa

sebuah elektron adalah 9.11 x 10-31 kg dan h = 6,62 x 10-34 Js. Maka

Total energi U dari elektro adalah

(13-51)

Atau mengganti jumlah dengan integral

Sekalilagi, integral tidak bisa dievaluasi dalam bentuk yang mendekati dan harus di

ekspresikan sebagai deret tak hingga. Hasilnya adalah

(13-52)

Ketika T = 0,

(13-53)

Ini menyisakan masalah untuk menunjukkan bahwahasil yang sama akan didapatkan jika

kita memasukkan pada persamaan 13-51 nilai untuk fungsi distribusi pada T=0 dan

integrasi dari ε = 0 dan ε = εp

Energi rata-rata per elektron pada nol absolute adalah

Jadi untuk perak

Energi kinetik rata-rata suatu molekus gas pada suhu ruangan hanya sekitar 0.03

eV dan suhu dimana energi kinetik rata-rata suatu molekul gas adalah 3.5 eV mendekati

28,000 K. Sehingga energi kinetik rata-rata elektron dalam suatu logam, bahkan pada

nol absolut, jauh lebih besar daripada yang dimiliki molekul gas biasa pada suhu ribuan

kelvin.

Pada suhu 300 kelvin, dan dimana untuk perak εF = 9.1 x 10-19 J,

Jadi pada suhu ini kondisi pada daya kT/EF), dalam deret ekspansi pada persamaan 13-

47 adalah sangat kecil dan dapat diperkirakan μ=εF pada suhu berapapun.

Pada level tertentu dimana ε = μ, jumlah (E-μ) = 0, dan pada suhu berapapun

diatas T=0, kondisi eksponensial pada distribusi fungsi sama dengan 1 dan nilai kerja

adalah

Jika suhu tidak terlalu tinggi, maka dapat diperkirakan, μ=εF dan dari perkiraan ini kita

dapat dinayatakan bahwa pada suhu berapapun diatas T=0 level Fermi-nya 50% kerja.

Kapasitas kalor pada volume konstan, Cv, diberikan sebagai:

Dan dari persamaan 13-52.

(13-54)

Jika suhu tidak terlalu tinggi kita dapat mengabaikan kondisi pada daya (kT/Ef) Lebih

tinggi dari yang pertama, dan dengan perkiraan tersebut

(13-55)

Dengan mengganti Nk dengan nR, dimana n adalah jumlah mol dan membagi kedua sisi

dengan n, kita mendapatkan kapaistas kalor mol spesifik dari elektron bebas pada logam

(13-56)

Yang bernilai 0 pada T=0 dan naik secara linera terhadap suhu T. Untuk perak pada suhu

300 K menggunakan nilai (kT/EF) yang sebelumnya sudah dihitung,

Kapasistas kalor molal spesifik dari gas monoatomik ideal, adalah

Jadi meskipun energi kinetik rata-rata dari elektron dalam logam jauh lebih besar

daripada yang dimiliki molekul gas ideal, pada suhu yang sama, energi berubah hanya

sangat sedikit dengan perubahan suhu dan kapasitas kalor yang dimilikinya sangat kecil

sekali.

Untuk menghitung entropi dari elektron gas, kita dapat menggunakan fakta bahwa pada

proses reversibel dengan volume konstan, aliran kalor menuju gas saat suhunya nai

sebesar dT adalah

Dan sehingga temperatur T, entropinya adalah

S=∫0

T dQr

T=∫

0

T C v

TdT

Masukkan nilai Cv dari persamaan 13-54 dan dengan mengintegrasikannya, kita

mendapatkan

(13-57)

Jadi entropi adalah nol pada T=0, dan ini sudah pasti karena hanya ada satu kondisi

mikro yang mungkin pada T=0 dan pada temperatur ini Ω = 1, S = k ln Ω = 0, Fungsi

Helmholtz F adalah

Dan dari nilai yang di dapat diatas untuk U dan S,

(13-58)

Tekanan P dari gas elektron ditunjukkan dengan

P=−( ∂ F∂ V )

T

Dan karena

∈F=h2

8 m ( 3 NV )

2 /3

Maka

P=25

N ∈F

V [1+5 π2

12 ( kTϵ F )

2

+…] 13-59

Ini adalah persamaan dari kondisi gas elektron, menunjukkan P sebagai fungsi V dan T.

Perbandingan dengan persamaan 13-52 menunjukkan bawah tekanan adalah 2/3

dari kepadatan energi.

P=23

UV

Untuk perak, N/V = 6 x 1028 elektron permeter kubik dan εF = 10 x 10-19J. Jadi pada nol

absolut,

P ≈ 25

×6×1028 ×10 ×10−19≈ 24 × 109 N m−2

Meskipun terdapat tekanan yang sangat tinggi, tidak semua elektron menguap secara

spontan dari loga karena hambatan potensial pada permukaannya.