BAHAN AJAR FISIKA STATISTIK

“APLIKASI STATISTIK MAXWELL

BOLTZMANN”

Disusun oleh

1. Dian Fatriyani Pertiwi (06091011036)

2. Malisa Oktarina (06091011046)

Dosen pengasuh:

Drs. Imron Husaini, M.Pd

Leni Marlina, S.Pd, M.Si

PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2012

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

Identitas

Mata Kuliah : Fisika Statistik

Kode : GFI 366(09)

Semester : Genap 2011/2012

Dosen Pengasuh : 1. Drs. Imron Husaini, M.Pd

2. LeniMarlina

Tim Penyaji : 1. Dian Fatriyani Pertiwi

2. Malisa Oktarina

Standar Kompetensi :

Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang hubungan antara perilaku

system partikel penyusun suatu zat secara mikroskopik dengan akibat yang

ditimbulkannya pada skala makroskopik, serta memiliki kemampuan

dalam menelaah sifat-sifat zat tersebut.

Kompetensi Dasar :

Menjelaskan entropi dalam mekanika statistic

Menjelaskan distribusi kecepatan molekul dalam gas ideal

Menjelaskan asas ekipartisi energi

Menjelaskan sifat kapasitas panas pada molekul diatomic

Menjelaskan pengaruh gaya gravitasi pada sifat gas

Indikator :

Entropi dalam mekanika statistik

Distribusi kecepatan molekul dalam gas ideal

Asas ekipartisi energi

Sifat kapasitas panas pada molekul diatomic

Pengaruh gaya gravitasi pada sifat gas

 Materi Pembelajaran

Entropi dan mekanika statistik

Diatribusi kecepatan molekul dalam gas ideal

Kegiatan Pembelajaran

- Pendahuluan

- Kegiatan Inti

- Penutup

Media yang digunakan : Ms. Word dan Ms. Powerpoint

Alat yang digunakan : LCD dan Laptop

PENDAHULUAN

Dalam fisika, khususnya mekanika statistik, distribusi Maxwell-

Boltzmann yang menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel

bergerak bebas antara tumbukan kecil , tetapi tidak berinteraksi satu sama lain,

sebagai fungsi suhu dari sistem, massa partikel, dan kecepatan partikel. Partikel

dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas. Tidak ada perbedaan

antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya

Ini merupakandistribusi probabilitas untuk kecepatan sebuah partikel yang

berwujud gas - Besaran dari vektor kecepatan, yang berarti pada suhu tertentu,

partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi

lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain

Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk gas ideal di dalam

kesetimbangan termodinamika dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di

kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas, yang

memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental, termasuk

tekanan dan difusi,namun ada perluasan untuk kecepatan relativistik

A. ENTROPI DALAM MEKANIKA STATISTIK

Entropi dan Hukum Termodinamika II

Jika sistem, meskipun terisolasi, tidak dalam kesetimbangan maka dapat

diasumsikan bahwa sistem itu ada dalam suatu partisi (distribusi) yang

peluangnya lebih rendah dari pada dalam kesetimbangan. Namun, karena

interaksi antara molekul-molekul, maka sistem tidak setimbang itu akan menuju

keadaan setimbang dengan distribusi yang paling mungkin. Dalam keadaan itu

harga P atau ln P tidak bisa meningkat lagi (maksimum). Proses suatu sistem dari

keadaan tidak-setimbang menuju keadaan setimbang (distribusi yang paling

mungkin) berkaitan dengan entropi sistem (S):

k adalah konstanta Boltzmann. k=1,3805x10-23 J/K;

dar tetapan entropi itu, dapat dimuat

a. entropi dalam keadaan setimbang statistik

b. entropi gas ideal dalam kesetimbangan statistic

Untuk gas ideal, energi dalam: U = 3/2 kNT, dan fungsi partisinya:

Dengan

B. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKUL PADA GAS IDEAL

Distribusi statistic Maxwell-boltzmann menggunakan pandangan klasik, dimana

sesuai dengan asumsi :

1. Partikel penyusun dapat dibedakan

2. Dalam satu keadaan energy dapat diisi oleh lebih dari satu partikel

Salah satu system yang sesuai dengan statistic ini adalah gas ideal dikarenakan

sifat sifatnya, yaitu :

1. Jarak antar partikel penyusunnya sangat jauh hal ini menyebabkan setiap

partikel dapat di bedakan satu terhadap yang lainnya dikarenakan

posisinya.

2. Karena tidak menutup kemungkinan setiap partikel penyusun gas

ideal bergerak dengan energy yang sama (dengan mengabaikan interaksi

antara partikel satu dengan yang lainnya serta terjadi umbukan lenting

sempurna), maka tidak menutup kemungkinan adanya keadaan energy

yang sama dimiliki oleh beberapa partikel.

berikut adalah distribusi umum Maxwell bolzmann

Dengan Nj Jumlah rata-rata molekul yang energinya antara εj dan εj + ∆ εj

dan gj Jumlah keadaan yang energinya antara εj dan εj + ∆ εj

Rumus akhirnya menjadi

Tinjau sistem partikel dalam kotak 3-D:

Φ(ε) = Jumlah keadaan yang energinya kurang dari dan sama dengan εj

Pernyataan energi εj :

Fungsi Partisi Z:

aproksimasi

nyatakan indeks n pada persamaan-persamaan sebelumnya menjadi indeks v

(kecepatan)

Pernyataan energi :

+

Statistik Maxwell-Boltzmann menjadi:

Jumlah rata-rata molekul yang lajunya antara v dan v + ∆v

Fungsi Distribusi laju Maxwell-Boltzmann

Ketika v = 0, fungsi distribusi bernilai nol. Artinya tidak ada molekul yang diam

Laju dengan peluang terbesar vm(untuk gas ideal)

Fungsi distribusi Maxwell Boltzmann dinyatakan dalam vm:

Laju rata-rata molekul :

diaproksimasi

Kelajuan root-mean-square (vrms):

Perbandingan ketiga jenis kelajuan:

Visualisasi ruang kecepatan:

∆Nv = Jumlah vektor kecepatan yang berujung pada kulit bola, yang kecepatannya

antara v dan v + ∆v

Volume kulit bola : 4πv2∆v

Jumlah titik representatif tiap satuan volume dalam kulit atau kerapatan ρv :

Tinjau elemen volum ∆vx∆vy∆vz dalam ruang kecepatan

sehingga

Tinjau salah satu komponen saja, misalkan komponen x

Jumlah molekul yang kecepatannya antara vx dan vx + ∆vx = ∆NVx

Hal di atas adalah fungsi distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk satu

komponen kecepatan. Berlaku sama untuk komponen y dan z.

C. Ekipartisi Energi

Bila energi partikel-partikel dalam suatu sistem berbentuk kuadrat dari koordi-

nat posisi dan momentum sistem maka setiap suku yang mengandung kuadrat

tersebut tersebut akan berkontribusi terhadap energi rata-rata sebesar 1/2kT di

mana T adalah temperatur sistem. Hal ini akan dibahas sebagai suatu aplikasi

dari statistik Maxwell-Boltzmann.

Bentuk-bentuk energi

Energi suatu partikel dapat berbentuk murni energi kinetik, misalnya dalam

arah-x

ϵ x=px

2

2 m

Dalam bentuk energy kinetik

ϵ x=px

2

2m+ 1

2μ x2

berlaku juga untuk arah-y dan arah-z.

Suatu bentuk lengkap yang bergantung kuadrat dari koordinat-koordinat ruang

Γ adalah

ϵ=( px2

2 m+1

2μ x2)+( p y

2

2 m+ 1

2μ y2)+( pz

2

2 m+ 1

2μ z2)

Rata-rata enrgi potensial mirip pegas

ux=12

μx2

ϵ=12

μ x2

ux=kT ∫

−∞

∞

u2 e−u2

du

∫−∞

∞

e−u2

du

=12

kT

Berlaku juga untuk komponen y dan z

Derajat kebebasan

Umumnya, dan lebih berguna, apabila setiap kontribusi saling bebas dalam

energi berupa suku kuadrat yang bergantung pada koordinat ruang Γ dirujuk

sebagai suatu derajat kebebasan sebuah partikel gas. Energi rata-rata 21kT dim-

iliki oleh setiap derajat kebebasan atau mode saling bebas dalam menyimpang

energi. Sebagai contoh, misalnya terdapat N partikel yang merupakan osila-

tor harmonik, maka derajat kebebasannya adalah 6, biasa dinyatakan dengan

f , sehingga energy system tak lain adalah U=6.N.1/2 kT=3NkT

Dengan demikian energy system

U=f . N ( 12

kT )

D. Gas ideal Diatomik

1. Suku-suku energi

Dalam sebuah molekul diatomik energi dianggap terbentuk dari 5 buah

konstribusi yang saling bebas satu sama lain. Kelima kontribusi itu muncul

akibat

Translasi molekul sebagai suatu kesatuan

Rotasi molekul sebagai suatu kesatuan.

Gerak vibrasi dua atom sepanjang sumbu molekul

Gerak elektron-elektron dikelilingi inti

Spin nuklir

Dengan melihat ini disimpulkan untuk sementara, bahwa untuk sistem

yang lebih rumit,dapat dilakukan prosedur yang sama asalkan deskripsi

sistem telah lengkap untuk seluruh faktor dapat menyumbang energi.

2. Fungsi-fungsi partisi

Dalam mempelajari materi ini diperlukan perumusan fungsi partisi sebuah

molekul gas dalam suku-suku fungsi partisi yang terpisah untuk setiap

bentuk gerak yang berkontribusi.memungkinkan untuk melakukan fungsi

partisi total Z seperti

Z = ZtZrZvZeZn, (1)

di mana Zt adalah fungsi partisi untuk gerak translasi, Zr adalah fungsi

partisi untuk gerak rotasi, Zv adalah fungsi partisi untuk gerak vibrasi, Ze

adalah fungsi partisi untuk gerak elektron-elektron, dan Zn adalah fungsi

partisi untuk gerak spin inti.

3. Fungsi partisi gerak rotasi.

Untuk mementukan fungsi partisi gerak rotasi molekul diatomik perlu

dituliskan tingkat energi rotasi yang diperbolehkan ϵ j dalam bentuk

mekanika kuantum yaitu :

∈ j= j ( j+1 ) h2

8 π2l' (2)

adalah momen inersia molekul terhadap suatu sumbu yang melewati titik

pusat massa molekul tegak lurus terhadapgaris hubung antara kedua atom

dalam molekul diatomik. J adalah bilangan momentum angular total

gerakan rotasi.

Fungsi partisi untuk gerak rotasi menjadi

Z r=∑j

(2 j+1 ) eε j /kT=∑j

(2 j+1 )e− j( j+1) K / kT (3)

K= h2

8 π2ı' (4)

4. Fungsi Partisi gerak Vibrasi

Gerak vibrasi molekul dapat diasumsikan, pada suatu aproksimasi yang

baik, sebagai suatu bentuk osilator harmonik dan bebas dari segala distorsi

takharmonik. Oleh karena itu memungkinkan untuk menggunakan hasil

fungsi partisi untuk osilator harmonik satu-dimensi, yaitu

zv=e

−12

h v /kT

1−¿e−h v/ kT (5)¿

dengan ν adalah frekuensi karakteristik vibrasi molekular, yang ditentukan

dengan menggunakan massa atom yang membentuk molekul dan kopling

alami antara keduanya.

5. Fungsi Partisi Gerak Elektron

Fungsi ini biasanya direpresentasikan dalam bentuk suku-suku energi

penjumlahan normal. Maka fungsi partisi dapat secara efektif dituliskan

sebagai :

Ze=g0+g1e−ℇ ℇ 1/ kT+g2e−ℇ ℇ 2/ kT+g3 e−ℇℇ 3 /kT +…. ,(6)

g adalah degenerasi tingkat energi tereksitasi ke-n.

Energi ∈ε 1 dan ∈ε 2 secara umum amat besar jika dibandingkan dengan

energi termal kT . oleh karena itu mungkin untuk mendekati persamaan (6)

dengan

Ze≃ g0+g1 e−εε 1 / kT(7)

6. Fungsi partisipasi Spin Nuklir

Umumnya fungsi ini hanya melibatkan perkalian dengan suatu faktor

konstan, misalnya.

Zn. (8)

7. Fungsi partisi lengkap

Fungsi ini dapat ditulis dengan subtitusi persamaan (2),(4),(6),(7) dan (8)

kedalam persamaan (1) yaitu :

Fungsi partisi total suatu gas yang tersusun atas N molekul diatomik

identik adalah :

Dengan menghubungkan hubungan antara fungsi partisi dan energi dalam

sistem,yaitu :

Maka dapat diperoleh bahwa :

Persamaan diatas menggambarkan bahwa tidak ada konstribusi dari suku

Zn. Yang dianggap tidak bergantung pada temperatur.

Yang selanjutnya dapat diparesiasikan untuk mendefinisikan temperatur

rotasi θrot , vibrasi θvib , dan energi elektronik θ ε

Secara umum ditemukan pertidaksamaan

E. PENGARUH GAYA GRAVITASI PADA SIFAT GAS IDEAL

Energi gas umumnya dianggap seluruhnya dalam bentuk energi kinetik, yang

berarti walaupun wadah gas memiliki ketinggian, energi potensial gravitasi dari

molekul-molekul gas diabaikan. Dalam hal ini energi potensial jenis ini akan

diperhitungkan dan akan ditunjukkan bahwa gas berfungsi sebagai suatu sistem

multi variabel.

Energi tiap partikelnya

ϵ= p2

2 m+mg z

Fungsi partisi totalnya

Z=[ AL( 2 πmkTh2 )

3 /2] [ kTmgL

(1−e−mgl /kT )] Untuk momentum

Untuk suatu ketinggian z:

P(z) dz : kemungkinan suatu molekul berada diantara z dan z+dz

menghasilkan:

Soal

1. Sebuah sistem N partikel mematuhi statistik Maxwell-Boltzmann atau

klasik. (a) Temukan ekspresi untuk rata-rata jumlah partikel pada tingkat

energi j (Nj) (dalam variable N, T, ln Z, ǫj, dan konstanta Boltzmann k).

(b) Temukan ekspresi untuk energi sistem (U) (dalam variable N, T, ln Z,

dan konstanta Boltzmann k).

Jawab:

Rata-rata jumlah partikel pada tingkat energi j, yaitu Nj telah diberikan

akan tetapi belum dinyatakan dalam N, T, ln Z, j, dan konstanta

Boltzmann k (tanpa lagi adanya rumusan gj)

a.

b. Energi sistem U dalam variable N, T, ln Z, dan konstanta Boltzmann

k

2. Jelaskanlah perubahan entropi suatu gas ideal selama proses ekspansi

bebas.

Jika suatu tabung yang mengandung gas dihubungkan dengan tabung lain

yang kosong, gas akan mengalami ekspansi bebas. Proses ini adalah

irreversibel, dan kesetimbangan dirusak untuk sementara waktu hingga

tercapai kesetimbangan akhir.

Entropi ketika tabung belum dihubungkan adalah:

Setelah dihubungkan, beberapa waktu kemudian tercapai kesetimbangan

dengan volume dua kali semula. Entropinya adalah:

Suhu tidaklah berubah, karena energi kinetik rata-rata molekul-molekul gas

ideal tidak berubah; molekul-molekul hanya bergerak dalam volume yang

lebih besar saja. Perubahan entropi dalam proses itu adalah:

Daftar Pustaka

Purwanto, Agus. Fisika Statistik. 2007. Yogyakarta : Gava Media.

http://phys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Termostatistik.pdf

http://downloads.ziddu.com/downloadfiles/7582465/StatistikMaxwell-

Boltzmann.pdf

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/ENDI_SUHENDI/

Kuliah/FI472_Fisika_Statistik/Bahan_Ajar/9._Aplikasi_MB_distrib_kecepatan_

%5BCompatibility_Mode%5D.pdf

http://phys.itb.ac.id/~viridi/pdf/fisika_statistik.pdf

http://staff.ui.ac.id/internal/131103736/material/

FStat04MetodeMekanikaStatistikMuhammadHikam.pdf

FORMAT PENILAIAN KEGIATAN TATAP MUKA MATA KULIAH FISIKA

STATISTIK

Penilaian Kelompok/Individu :

Judul Materi Ajar :

No Pembuatan SAP

Skor

50,60,70,80,90,10

0

Penyampaian

Materi

Skor

50,60,70,80,90,10

0

Skor

1. Identitas

Tujuan mata kuliah

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Indikator

Materi Pembelajaran

Kegiatan

Pembelajaran

Pembukaan

Kegiatan Inti

Penutup

Alat/Media/Sumber

Penilaian

Narasi/kalimat

Urutan Materi

Kemampuan

menjelaskan

Kemampuan

tanya jawab

Contoh soal

Media power

point

2. Penilaian Individu

Nama :

1. Dian Fatriyani

Pertiwi

Kognitif Afektif Psikomotor Rata-rata

(06091011036)

2. Malisa

Oktarina

(06091011046)