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8/19/2019 Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos
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Aplicação daTransformada de Laplace
na Determinação de
Tensões e Correntesem Circuitos Elétricos
8/19/2019 Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos
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PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS
Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt,constante, para t >0. Ver fig. 1-a.
t
E
E v R
(a) (b)
v
00
Fig. 1
A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo quea chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a.
Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele édesignado por ( )t u . Ver fig. 2.
t 0
1
( )t u
+0−00
Fig. 2
Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que,pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1.Por convenção, em t = 0, a função ( )t u é descrita analiticamente pelas expressões:
Para )0( −=t ( ) 0=t u
Para )0( +=t ( ) 1=t u
O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por:
( )t u E v ×=
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2
Sinal impulso unitário
É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área éigual a 1. Ver fig. 3.
0 t
∞
( )t δ
Área = 1
0
Fig. 3
Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por ( )t δ .Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4.
t
τ
1=h
τ 0
0
Fig. 4
Nessa figura temos um pulso ( )t f de duração τ e amplitudeτ
1=h .
Sua área fica: 11
=×=τ
τ A
Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ .Neste caso poderíamos dizer que
hlim= ∞=
0→τ τ
1lim
0→τ
=( ) ( )t f t lim=δ 0→τ
Portanto, tem-se para ( )t δ :
0=τ
∞→h
1=área
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3
A função ( )t E δ × representa um impulso com área E .
Rampa unitária
É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo afunção ( )t f que obedece as seguintes características:
Para 0
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4
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aplicação
A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução deequações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo
de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos.
Definição
Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal ( )t f , a igualdade:
( )[ ] ( ) dt et f t f st −∞
= 0
Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que dependeapenas da variável s. Por isto, é comum dizer:
Função ( )t f
Transformada de Laplace dessa função ( )sF
onde ( ) ( ) dt et f sF st −∞
= 0 (1)
---------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário ( )t u .Ver fig. 6.
t 0
1
( )t u
0
Fig. 6
Neste caso
( ) dt esF st ∞
−×= 0 1 st es−−= 1
0
∞
=
( ) ( )ss
ees
110
11 0=−−=−−=
∞−
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5
( ) =sF ( )
st u
1= (2)
-----------------------------------------------------------------------------------------------Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale amultiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante
Seja ( ) ( ) dt et f sF st −∞
= 0
Neste caso, ( ) dt et f a st −∞
×0 ( ) dt et f a st −
∞
= 0 ( )sF a×=
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E.Ver fig. 7.
t 0
E
( )t f
Fig. 7
Neste caso, ( ) ( )t u E t f ×=
De acordo com o teorema 1, tem-se:
( ) =× t u E × E ( )s
E
s E t u =×=
1
( )s
E t u E =× (3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo 3 - Determinação da transformada de Laplace da função: ( ) t et f α −=
( ) dt eesF st t −∞
−
=0
α = ( ) dt e t s∞
+−
0
α
Portanto:
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6
( )t se
s
+−
+−
α
α
1
0
∞
α α +=
+−−=
ss
110( ) =sF
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função:
( )
dt
t df
Sabemos que
( )dt
dU V
dt
dV U V U
dt
d ×+×=×
Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica:
( ) dU V dV U V U d ×+×=×
Integrando os dois lados da igualdade tem-se:
+=× VduUdV V U
ou
−= VdU UV UdV (4)
Sabemos que ( ) ( )sF dt et f st =−∞
0 (5)
Vamos fazer ( ) U t f = e dt edV st −=
Neste caso, st es
V −−=1
Vamos aplicar estas igualdades na equação (4)
( )[ ]t f d es
st
∞
−+
0
1( ) ( ) st st et f
sdt et f
−−∞
×−=1
0
0
∞
ou
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7
( ) ( ) ( )
dt edt
t df
ss
f dt et f st st −
∞+
−∞
+=
00
10 ou
( ) ( )
ss
f sF
10+=
+ ( )
dt
t df ou
( )( ) ( )+−= 0 f ssF
dt
t df (6)
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo 4 – Transformada de Laplace da integral de uma função ( )t f .
Supondo que ( )sF é a transformada de Laplace de ( )t f é demonstrável que se
( ) ( )dt t f At vt
×= 0
então
( ) ( ) ( )
s
v
s
sF At v
+
+×=0 (7)
---------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo 5 - Transformada de um impulso de área A.
É, também, demonstrável que:
( ) At A =δ (8)
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo 6 – Transformada de Laplace de uma rampa de inclinação C.
( ) 0=t f para t < 0
( ) Ct t f = para 0≥t
Resultado: ( )2
s
C sF =
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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8
Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide
( ) t At f β sen=
Resultado:
( )22 β
β
+=
s AsF
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemplo 8 – Transformada de Laplace de uma co-senoide
( ) t At f β cos=
Resultado:
( )22 β +
=s
s AsF
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Anti-transformada de Laplace
Se a transformada de Laplace de ( )t f é ( )sF , então a anti-transformada de Laplace de
( )sF , é ( )t f , ou seja:
se ( )[ ] ( )sF t f =
então ( )[ ] ( )t f sF =1− (9)
É costume designar a função no tempo com letra minúscula e a transformada com letramaiúscula. Exemplo:
i ⇔ I
Equivale a
( )t i ⇔ ( )s I
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9
Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntesem circuitos elétricos.
Exercício 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig. 8, após o fechamento dachave. Suponha que o capacitor está descarregado.
E
i
R
C
Fig. 8
Solução:
Após o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso, pode-se aplicara segunda lei de ohm:
01
0=×++−
t
dt iC
Ri E (10)
Vamos aplicar a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a fonte dealimentação excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada é
( ) =s E s
E Ver equação (3).
A tensão no capacitor é
( ) ×=t
c dt iC
t v0
1
Sua transformada é:
( ) ( )
s
V
Cs
I sV cc
+
+=0
Ver expressão (7)
Como, em nosso caso, a tensão no capacitor, no instante inicial, é zero, resulta:
( )Cs
I sV c =
Portanto, a transformada de Laplace da expressão (10) fica:
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0=++−Cs
I RI
s
E (11)
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )t i .
A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I :
s
E
Cs R I =
+
1
+
=
RCs
s
E I
1 Rs
C
E
+
=1
ou
RC s
R
E I
11
+
×= (12)
Finalmente, faz-se a anti-transformada de I . Dessa maneira, obtém-se a expressão dacorrente i em função do tempo.
Para a anti-transformação usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace,publicados em manuais ou em livros didáticos que tratam do estudo de transitórios emcircuitos elétricos. Nas últimas páginas desta apostila temos reproduções parciais dessetabelamento.
Para o caso deste exercício precisamos anti-transformar a expressão
RC
s1
1
+
.
A linha 1.102 da tabela mostra que
1− t es
α
α −
=+
1
Por comparação concluímos que:
1− t RC e
RC s
1
11 −
=
+
Portanto, a corrente ( )t i fica representada pela expressão:
( ) t
RC e R
E t i
1−
= (13)
A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo.
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R
E
( )t i
t 0
Fig. 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 2: - Determinar a corrente i e a tensão v, no circuito da fig. 10, logo apóso fechamento da chave.
E v
R
L
i
Fig. 10
Solução:
a) Determinação da corrente i.
Após o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm:
0=++−dt
di L Ri E (14)
Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a excitação éum degrau de amplitude E . Portanto sua transformada é dada pela igualdade (3). Para
transformar o termodt
di aplica-se a expressão (6), lembrando que a corrente no indutor,
no instante inicial, é zero.
0=++− LsI RI s
E (15)
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )t i .
A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I :
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( )s
E Ls R I =+
( ) R Lss E
I +
= ou
+
×=
L
Rss
L
E I
1 (16)
Precisamos determinar a anti transformada da expressão
+ L
Rss
1
No tabelamento, fornecido, não encontramos nenhuma expressão semelhante a essa.Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de
( )( )γ α ++ ss1
éα γ
γ α
−
− −− t t ee
Se fizermos 0=α concluiremos que a anti-transformada de
( )γ +ss1
éγ
γ t e−−1
Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se:
( )
+
≡+
L
Rss
ss
11
γ
Concluímos que γ ≡ L
R
Portanto, a anti-transformada da função
+
×=
L
Rss
L
E I
1
resulta: ( )
L
R
e
L
E t i
t R
L−
−×=
1
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13
ou ( )
−=
− t L
R
e R
E t i 1 (17)
A fig. 11 mostra esta corrente em função do tempo.
t
R
E
( )t i
0
Fig. 11
a) Determinação da tensão no indutor
Pela expressão (13) sabemos que a tensão no indutor é dada pela expressão:
( )dt
di Lt v =
Pela expressão (6) sabemos que, quando a corrente inicial é nula, atransformada de Laplace desta tensão é:
LsI sV =)(
Substituindo o valor de I pelo valor fornecido pela expressão (16), tem-se:
( )
+
×=
+
×=
L
Rs
E
L
Rss
L
E LssV
11
( )
+
=
L
Rs
E sV 1
A anti-transformada resulta:
( ) t
L
R
Eet v−
= (18)
A fig. 12 mostra a variação dessa tensão no indutor ao longo do tempo.
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E
( )t v
t 0
Fig. 12
Exercício 3: - Determinar a corrente i, no circuito da fig. 13, logo após ofechamento da chave. Supõe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto atensão inicial no capacitor, são nulos.
R C
Lv E L
Fig. 13
Equação diferencial:
010
=+++− dt di Lidt
C Ri E t
Transformadas de Laplace:
0=+++− LsI Cs
I RI
s
E
onde I representa a transformada de Laplace de ( )t i , ou seja, ( )s I I =
Determinando, algebricamente, o valor de I , encontra-se:
( )
LC s
L
Rs
L
E s I
11
2++
= 19
Precisamos achar a anti-transformada da expressão:
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15
LC s
L
Rs
11
2++
A tabela não fornece a anti-transformada da forma com que essa expressão seapresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela.
Vamos fazer
α 2= L
R e 20
1ω =
LC
Portanto
LC s
L
Rs
11
2++
20
2 2
1
ω α ++=
ss
Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo 2α
Resulta:
20
2 2
1
ω α ++ ss 22022 2
1
α ω α α −+++=
ss=
( ) ( )2202
1
α ω α −++s 20
Caso a Se 0220 ≥−α ω então podemos usar a identidade
( ) ( )2202
1
α ω α −++s ( ) 221
β α ++≡
s 21
220
2 α ω β −=
Caso b
Se 0220
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16
( ) t e
s
t β β β α
α sen11
22−
=++
1−
Neste caso
( ) t e L E t i
t
β β
α
sen
−
= 23
Substituindo os valores:
L
R
2=α
220 α ω β −= 2
2
4
1
L
R
LC −=
chega-se ao resultado final
( ) t L
R
LC e
R
C
L
E t i
t L
R
−
−
=−
2
22
2 4
1sen
4
24
A fig. 14 mostra como varia essa corrente em função do tempo.
t
( )t i
0
Fig. 14Solução para o caso b
Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado:
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( ) t LC L
Re
C
L R
E t i
t L
R
−
−
=− 1
4senh
4
2
22
2 25
onde θ senh significa seno hiperbólico de θ .
A fig. 15 mostra esta corrente versus variação do tempo.
( )t i
0 t Fig. 15
Maneira prática de resolução do circuito quando as condições iniciais são nulas.
Desenha-se o circuito no domínio da transformada de Laplace com as seguintesrelações:
Impedância de resistor R Impedância de indutor Ls
Impedância de capacitor Cs1
Exemplo: Circuito RLC série. Ver fig. 16.
Ls
R
)(s E
( )s I Cs1
Fig. 16
Calculando a corrente, resulta
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( ) ( )
Cs Ls R
s E s I
1++
=
Supondo excitação em degrau, tem-se:
( )
Cs Ls R
s
E
s I 1
++
=
ou ( )
LC s
L
Rs
L
E s I
11
2++
= 26
Comparando (26) com (19), vemos que são idênticas.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 4 - Determinar a tensão ( )t v L no indutor do circuito da fig. 13.Solução:
Supondo que a transformada de Laplace de ( )t v L é ( )sV L , utilizamos, para esse cálculo,o circuito mostrado na fig. 17, cujos parâmetros estão enquadrados no domínio dastransformadas de Laplace. Considere 0220 ≥−α ω
Ls
R
)(s E
( )s I Cs1
( )sV L
Fig. 17
Pela lei de ohm tem-se:
( ) Lss I sV L ×=)(
Vimos que ( )
LC s
L
Rs
L
E s I
11
2++
=
Portanto:
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19
( ) =sV L
LC s
L
Rs
s E
12++
Como 0220
≥−α ω então podemos usar a identidade
LC s
L
Rs
s
12++
( ) 22 β α ++≡
s
s
onde L
R
2=α e
2
2
1
−=
L
R
LC β
Determinação da Anti-transformada de
( )( ) 22 β α ++
=s
ssF
Na linha 1.303, se fizermos 00 =a , teremos
( ) ( ) ( )ψ β β α β
α ++=
−t et f
t sen1
2
122
ondeα
β ψ
−=
−1tg
Após algumas operações e simplificações algébricas chega-se ao resultado da tensão noindutor:
( )
+−
−
=−
ψ t L
R
LC e
L
C R E t v
t L
R
L 2
22
2 4
1sen
41
1
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onde 14
21
−= −
C R
Ltgψ
Casos onde se tem valores iniciais não nulos
Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial0
I . Ver fig. 18-a.
0V C
0 I
L
(a) (b)
Fig. 18
Neste caso, quando a bobina é percorrida por uma corrente I , a tensão equivalente nesseum indutor fica:
( ) 0 LI LsI sV L −= A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possuivalor 0 LI . A representação, no circuito, está mostrada na fig.19-a.
( )sV L Ls
0 LI
( )sV C
s
V 0
Cs
1
(a) (b)
Fig. 19
Seja o caso onde se tem uma tensão inicial, de valor 0V , no capacitor. Ver fig. 19-b.Quando este capacitor é percorrido por uma corrente I , a tensão equivalente nestecomponente fica:
( )s
V
Cs
I sV C
0+=
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21
A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui o
valors
V 0 . A representação no circuito está mostrada na fig. 19-b.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 5Dado o circuito da fig. 20,
a) Determinar a corrente ( )t i após o fechamento da chave.
b) Determinar a tenção ( )t vC após o fechamento da chave.
E
i
R
C 0V C v
Fig. 20Solução:A fig. 21 mostra o circuito no domínio da transformada de Laplace:
R
( )sV C s
E
( )s I
Cs
1
s
V 0
Fig. 21
a) 00 =+++−s
V
Cs
I IR
s
E
RC s
RV E
C Rs
V E
Cs R
s
V E
I 111100
0
+
×−=
+
−=
+
−
=
A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda. Resulta:
( ) t
RC e R
V E t i
10
−
−=
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22
b) ( )s
V
Cs I sV
C
01 +×=
ou ( )s
V
RC sCs
R
V E sV C
00
1
1+
+
×−
=
ou ( ) ( )s
V
RC ss
RC V E sV C 0
0 1
1
+
+
×−=
As linhas 1.101 fornece a anti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quandose faz 0=α , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta:
( ) ( ) 0
1
0 1 V eV E t v
t RC
c +
−−=
ou ( ) t
RC t
RC c eV e E t v
1
0
1
1 −
+
−=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6Dado o circuito da fig. 22,
a) Determinar a corrente ( )t i após a chave mudar do ponto A para o ponto B.b) Determinar a tensão ( )t v L após a chave mudar do ponto A para o ponto B.
A
B
Lv L
0 I
2 E
2 R
1 R
1 E
Fig. 22
Solução:Antes de mudar a chave de A para B:
Corrente contínua através do indutor:1
10
R
E I =
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23
Após a mudança de A para B:
Corrente inicial no indutor: R
E I 10 =
a) A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domínio da transformada de Laplace:
( )sV L Ls
s
E 2
2 R
)(s I
0 LI
Fig. 23
Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se:
022 LI LsI I Rs
E −++− =0
L
Rs
I
L
Rss
L
E I
20
2
2 11
+
+
+
×=
Usando as anti-transformações da linha 1.105 ( fazendo 0=α ) e da linha 1.102, resulta:
( ) t
L
Rt
L
R
e I e R
E t i
22
02
2 1 −−
+
−= onde
1
10
R
E I =
b) ( ) 0 LI LsI sV L −=
ou ( ) L I
L
Rs
s L I
L
Rs
E sV L 02
02
2
1−
+
+
+
×=
ou ( ) ( )
L
Rs
R I E sV L2
202
1
+
−=
Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta:
8/19/2019 Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos
25/27
24
( ) ( ) t L
R
L e R I E sV 2
202
−
−= onde1
10
R
E I =
Teoremas dos valores iniciais e finais.
Sendo ( )sF a transformada de Laplace de ( )t f , o teorema do valor inicial afirma:
( )t f lim0→t
( )ssF lim=∞→s
Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma função temporal utilizando suatransformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limitequando s tende para o infinito.
Da mesma forma, o teorema do valor final afirma:
( )t f lim ∞→t ( )ssF lim= 0→s
Portanto, podemos calcular o valor final de uma função temporal utilizando suatransformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limitequando s tende a zero.
Vamos verificar as afirmações utilizando o resultado do exercícios 5.
Vimos, no exercício 5 que a corrente no circuito resultou
( ) t
RC e R
V E t i
1
0
−
−=
Valor inicial
Podemos ver que
( )
−=
R
V E t i 0lim0→t
No domínio da transformada de Laplace tínhamos:
( )
RC s
R
V E s I 1
10
+
×−=
Podemos ver que
8/19/2019 Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos
26/27
8/19/2019 Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos
27/27
( )
L
Rs
s I
L
Rs
L
E ssI
20
2
2 1
+
+
+
×=
Valor inicial
000 I I =+=∞→s( ) limlim =ssI
+
+
+
×
L
Rs
s I
L
Rs
L
E
20
2
2 1
∞→s
0→t ( ) 0lim I t i =Portanto (valor inicial)
Valor final
2
2
2
2 0 R
E
R
E =+=( ) limlim =ssI
+
+
+
×
L
Rs
s I
L
Rs
L
E
20
2
2 1
0→s 0→s
∞→t ( )
2
2lim R
E t i =Portanto (valor final)
Por inspeção no circuito do exercício 6, pode-se confirmar sem dificuldades osresultados deste exercício 7.------------------------------------------------------------------------------------------------------- Utilização dos teoremas dos valores iniciais e finais.
Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obtenção da anti-transformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados,apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tensões e correntes, nos diversospontos do circuito, não teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.