api.ndla.no · Web viewStein Aanensen og Olav Kristensen 3.1 Trigonometriske definisjoner 3.1.1 Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel Author StAa1 Created Date 12/02/2016

R2, Funksjoner (OPPGAVER)

3 Funksjoner R2 Oppgaver3.1 Trigonometriske definisjoner...........................................................................................................2

3.2 Trigonometriske sammenhenger.....................................................................................................6

3.3 Trigonometriske likninger...............................................................................................................12

3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting..........................................................................14

3.5 Omforming av trigonometriske uttrykk..........................................................................................20

3.6 Ubestemte integraler.....................................................................................................................28

Integrasjon med variabelskifte.........................................................................................................31

Delvis integrasjon.............................................................................................................................32

Delbrøkoppspalting..........................................................................................................................32

Diverse integrasjonsoppgaver..........................................................................................................33

3.7 Bestemte integraler........................................................................................................................34

3.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler...................................................38

3.9 Modellering....................................................................................................................................46

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA..................................................................................52

Øvingsoppgaver

Stein Aanensen og Olav Kristensen

1


3.1 Trigonometriske definisjoner

3.1.1

a) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har samme sinusverdi som en vinkel på

1)

2)

3)

4)

5)

6)

b) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har samme cosinusverdi som en vinkel på

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

c) Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har samme tangensverdi som en vinkel på

1)

2)

3)

4)

5)

6)

2


7)

3


3.1.2

Gitt en vilkårlig vinkel . Finn en generell formel som viser hvilke vinkler som har samme

a) sinusverdi som vinkel

b) cosinusverdi som vinkel

c) tangensverdi som vinkel

3.1.3Finn vinklene i første omløp som har følgende verdier for sinus, cosinus og tangens. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 0

h) 1,5

i) Kommenter resultatet i h). Hvorfor er det kun tangens som gir svar?

4


3.1.4

I hvilket omløp ligger hver av vinklene nedenfor?

a)

b)

c)

d)

3.1.5

Du får vite følgende om vinklene ,

- Vinklene ligger i første omløp -

-

-

I hvilken kvadrant ligger og i hvilken kvadrant ligger ?

3.1.6

Du får vite følgende om vinklene ,

- Vinklene ligger i første omløp

-

--

Finn vinklene.

3.1.7

5


Lag en oppgave etter samme mønster som 3.1.5 og 3.1.6.Test oppgaven ut på en av dine medelever!

6


3.1.8 Finn radiantallet til vinklene nedenfor.

3.1.9

Gjør om disse vinklene fra grader til radianer.

a)

b)

c)

3.1.10Gjør om disse vinklene fra radianer til grader.

a) 0,5

b) 0,8

c) 2,5

d) -4,2

3.1.11 Vinklene nedenfor er gitt i radianer. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene?a) 2

b) 3,5

c) 1,2

d) 5

7


3.2 Trigonometriske sammenhenger

3.2.1 Finn den eksakte verdien til

a)

b)

c)

3.2.2 Finn den eksakte verdien til

a)

b)

c)

3.2.3 Finn de eksakte verdiene til koordinatene til punktene og på figuren nedenfor.

8




9



3.2.7

I firkanten er , og .

a) Finn lengden .

b) Finn den eksakte høyden fra til linjen gjennom .

c) Finn det eksakte arealet av firkanten .

d) Sett og finn arealet av firkanten ABCD uttrykt ved .

10


3.2.8 Bruk enhetsformelen til å regne ut uttrykkene nedenfor hvis mulig.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3.2.9

Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus.

a)

b)

c)

d)

11


3.2.10 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinus og cosinus.

a)

b)

c)

d)

3.2.11 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for

a)

b)

c) Bruk resultatene fra a) og b) til å vise at .

3.2.12

Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å finne eksakte verdier for

a)

b)

c)

Vis hvordan du kan bruke resultatet fra a) til å finne

12


d)

e)

3.2.13 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler for sinus og cosinus, og vis at

a)

b)

3.2.14 Bruk formlene for sum og differanse av vinkler til å vise at

a)

b)

c)

d)

3.2.15 Du skal nå bevise formlene for sinus til sum og differanse mellom to vinkler.

Her er starten, så fortsetter du

13


14


3.3 Trigonometriske likninger

3.3.1

Løs likningene når .

a)

b)

c)

d)

3.3.2

a) Gitt likningen der er en konstant. For hvilke verdier av vil likningen ha løsning?

b) Gitt likningen der er en konstant. For hvilke verdier av vil likningen ha løsning?

c) Gitt likningen der . 1) Hvor mange løsninger vil vi få i første omløp?

2) Løs likningen.

3) Løs likningen i 2) ved hjelp av det digitale verktøyet du bruker.Merk deg hvordan du endrer innstillingene slik at du

regner i radianerfinner eksakte løsningerbare finner løsningene i 1. omløp

15


3.3.3

Løs likningene når .

a)

b)

c)

d)

e) Løs likningene i a) – d) ved CAS i GeoGebra..

3.3.4 Finn de generelle løsningene til likningene.

a)

b)

c)

16


3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting

3.4.1 Deriver funksjonene.

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d)

e)

17


3.4.3 Bruk GeoGebra og undersøk grafen til sinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien i begynnelsen til kapittel 3.4.

3.4.4 Bruk GeoGebra og undersøk grafen til cosinusfunksjonen slik som beskrevet i teorien.

Hva er sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen?

3.4.5

Funksjonen er gitt ved

Nedenfor har vi tegnet grafen til .

a) Finn funksjonens nullpunkt grafisk og ved regning.

b) Finn de vertikale asymptotene til .

18



a)

b)

c)

d)

e)


a)

b)

c)

d)

e)

f)

19


3.4.8 Funksjonen er gitt ved

a) Finn .

b) Finn infleksjonspunktet og vendepunktet.

c) Finn likningen for vendetangenten.

3.4.9

En funksjon er gitt ved

Grafen til for - verdier fra til 5 er vist på figuren

a) Les av nullpunktene til .

b) Finn . Regn ut når a ligger midt mellom de to nullpunktene lengst til høyre på-aksen.

c) Finn likningen for tangenten i punktet .

d) Bestem skjæringspunktet mellom tangenten og - aksen. Kommenter svaret.

e) Gjenta utregningene i b), c) og d) når a ligger midt mellom de to nullpunktene som ligger lengst fra hverandre.

20


3.4.10


a) Finn .

b) Finn eventuelle topp – og bunnpunkt på grafen til ved å sette .

c) Finn toppunkt og bunnpunkt til uten å derivere funksjonen.

d) Finn ved regning når funksjonen stiger raskest.

3.4.11Funksjonen er gitt ved

a) Finn nullpunktene til grafisk og ved bruk av CAS.

b) Bruk CAS og finn toppunktene til .

c) Finn likningen til den vendetangenten som ligger nærmest origo.

21


3.4.12

Gitt funksjonen

a) Finn eventuelle ekstremalpunkter og infleksjonspunkter til funksjonen.

b) Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til funksjonen.

c) Finn også likningen for én vendetangent hvis grafen har vendepunkt.

d) Lag en skisse av grafen til .

For løsning: Se teorien

22


3.5 Omforming av trigonometriske uttrykk

3.5.1

Skriv funksjonsuttrykkene nedenfor på formen .

a)

b)

3.5.2 Finn de generelle løsningene til likningene

a)

b)

c)

3.5.3

a) Omform uttrykket til et uttrykk på formen .

23


b) Finn den generelle løsningen til likningen .

24


3.5.4 Gitt likningen

a) Vis at denne likningen kan omformes til

b) Finn de eksakte løsningene på likningen.

3.5.5


a) Vis at kan omskrives til

b) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning.

25


3.5.6

Funksjonene er gitt ved

a)

Ovenfor har vi tegnet grafen til og grafen til for .Hvilken graf tilhører hvilken funksjon? Begrunn svaret.

b) For hver av grafene skal du finne- Likevektslinjen- Amplitude- Periode- Faseforskyvning

c) Finn nullpunktene til ved regning.

26


d) Tegn grafen til og grafen til for i det digitale verktøyet du bruker.

3.5.7

Funksjonene er gitt ved

Nedenfor har vi tegnet grafen til og grafen til for .

Forklar hvorfor de to grafene er like.

27


3.5.8


a) Bruk funksjonsuttrykket til til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode.

b) Finn den minste verdien funksjonen kan ha.

c) Finn ved regning for hvilke verdier av funksjonen har denne verdien.

28


3.5.9


a) Bruk funksjonsuttrykket til til å finne amplitude, likevektslinje, faseforskyvning og periode.

b) Finn den største verdien funksjonen kan ha.

c) Finn for hvilke verdier av funksjonen har den største verdien.

d) Løs likningen grafisk og ved CAS.. Hva har du funnet nå?

3.5.10

Ovenfor har vi tegnet grafen til en periodisk funksjon gitt ved

for

a) Bestem , , og ut fra grafen.

b) Finn topp- og bunnpunkt ved regning.

29


3.5.11

a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor.

b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor.

3.5.12

a) Finn funksjonsuttrykket til sinusfunksjonen til grafen ovenfor.

b) Finn funksjonsuttrykket til cosinusfunksjonen til grafen ovenfor.

30


3.5.13 Eksamen 3MX (Privatister), Våren 2007Funksjonen nedenfor er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av en vårdag i Bergen.

Temperaturen er målt i °C, og er antall timer etter midnatt.

a) Tegn grafen til . Marker følgende størrelser på grafen: amplitude, periode, likevektslinje og faseforskyvning.

b) I hvor stor del av døgnet er temperaturen over 10 °C?

Grafen nedenfor viser middeltemperaturen i Bergen et bestemt år, der er antall dager etter nyttår.

c) Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan middeltemperaturen endrer seg gjennom året.

31


3.5.14Figuren viser varslet tidevann i Stavanger 10. Januar 2009.

Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk som beskriver hvordan tidevannet endrer seg gjennom døgnet.

32

Kilde: Matematisk institutt Uio


3.6 Ubestemte integraler

3.6.1 Bestem integralene.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) Sjekk svarene i a) til e) ved å derivere det ubestemte integralet du fikk til svar.

h) Hva er et annet ord for integrasjon?

33



a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)


a)

b)

c)

34



a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d)

35



a)

b)

c)

Integrasjon med variabelskifte

3.6.7 Bruk integrasjon med variabelskifte.

a)

b)

c)

d)

e)

36


Delvis integrasjon

3.6.8 Bruk delvis integrasjon.

a)

b)

c)

d)

e)

Delbrøkoppspalting

3.6.9 Bruk delbrøkoppspalting.

a)

b)

c)

37


d)

38


Diverse integrasjonsoppgaver


a)

b)

c)

d)

e)

f)

3.6.11 Eksempelsett R2, 2008

Bestem integralet

39


3.7 Bestemte integraler

3.7.1


a) Tegn grafen til .

b) Skraver det området som er avgrenset av grafen til , - aksen og linjene og .

c) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i

1) tre rektangler med lik bredde.

2) seks rektangler med lik bredde.

3.7.2


a) Tegn grafen til og skraver området avgrenset av grafen til , - aksen og linjene og

.

b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i

1) fire rektangler med lik bredde2) åtte rektangler med lik bredde

c) Hvordan kunne du ha funnet en enda bedre tilnærmingsverdi for arealet av det skraverte området i oppgave a)?

40


3.7.3

Gitt funksjonen

a) Tegn grafen til og skraver området avgrenset av grafen til , - aksen, - aksen og linjene

og .

b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det skraverte området ved å dele området opp i

1) fire rektangler med lik bredde

2) åtte rektangler med lik bredde

c) Finn den eksakte verdien for arealet av det skraverte området i oppgave a) uten å bruke integralregning.

3.7.4 Regn ut det bestemte integralet.

a)

b)

c)

d)

e)

41


3.7.5

a) Regn ut det bestemte integralet

b) Sammenlikn svaret du fikk i a) med svaret du fant i oppgave 3.7.1.

3.7.6 Regn ut det bestemte integralet.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

42


3.7.7 Regn ut det bestemte integralet. Bruk variabelskifte.

a)

b)

3.7.8 Finn det bestemte integralet. Bruk delvis integrasjon.

a)

b)

3.7.9a) Regn ut det bestemte integralet

b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det bestemte integralet gitt i a). Skraver området.

43


3.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler

3.8.1

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved . Grafen skjærer - aksen i .

a) Arealet er avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .1) Bestem arealet ved integrasjon.

2) Vis hvordan du kan finne dette arealet uten å integrere.

b) Arealet er avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .Bestem arealet ved integrasjon.

c) Bestem integralet . Kommenter resultatet.

d) Bestem arealet avgrenset av funksjonen , førsteaksen og linjene og .

44


3.8.2

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved .

a) Vis ved regning at grafen skjærer - aksen når og når .

b) Bestem arealet avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .

c) Bestem arealet avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .

d) Arealet er avgrenset av grafen til , førsteaksen, andreaksen og linjen .

1) Skisser grafen til og marker arealet .

2) Bestem arealet .

45


3.8.3

Funksjonen er gitt ved .

a) Finn nullpunktene til ved regning.

b) Tegn grafen til for .

c) Finn arealet, , avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .

d) Finn arealet, , avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .

e) Finn arealet, , avgrenset av grafen til , førsteaksen, andreaksen og linjen .

3.8.4


a) Tegn grafen til for .

b) Regn ut .

c) Regn ut arealet, , avgrenset av grafen til og førsteaksen i området .

d) Regn ut arealet, , avgrenset av grafen til , førsteaksen og linjene .

46


3.8.5

Funksjonene og er gitt ved og

.

a) Tegn grafene til for i samme koordinatsystem.

b) Bestem arealet, , av området som ligger mellom de to grafene.

c) Bestem arealet, , av området som ligger mellom de to grafene og linjene

3.8.6


a) Bestem arealet avgrenset av grafen til , førsteaksen, andreaksen og linjen .

b) Lag en skisse og marker arealet som er avgrenset av grafen til , andreaksen og linjen .

c) Bestem arealet .

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved .

d) Vis at arealet, , av det markerte området er

47


3.8.7En fabrikk produserer nå 500 enheter per måned av en vare. Bedriften vil satse på et nytt marked og regner med at produksjonen vil øke med 2 % per måned de to kommende årene.

Bruk integrasjon og finn samlet produksjon av varen de neste to årene.

3.8.8En bedrift slipper i dag ut 100 tonn av en klimagass per måned. Bedriften har som målsetting å redusere dette utslippet med 4 % per måned de neste månedene.

a) Hvor stort er det månedlige utslippet, , av klimagassen om 1 år dersom bedriften klarer målsettingen sin?

b) Finn hvor lang tid det tar før utslippet er nede i 24 tonn per måned.

c) Finn samlet utslipp, , de neste tre årene.

3.8.9Ved produksjon av en vare er etterspørselen per uke gitt ved

, der betyr uke 1, er uke 2 osv.

a) Finn etterspørselen av varen etter 26 uker.

b) Finn hvor mange uker det går før etterspørselen er på 160 enheter i uka.

c) Finn samlet etterspørsel, , i hele definisjonsområdet.

3.8.10Funksjonen gitt ved

er en modell for hvordan temperaturen endrer seg i løpet av et døgn et sted i Norge.Temperaturen er målt i °C, og er antall timer etter midnatt.

48


Bruk integrasjon og finn gjennomsnittstemperaturen denne dagen.

3.8.11


Nedenfor har vi markert området avgrenset av - aksen, - aksen, linjen og grafen til .

Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier det markerte området om- aksen.

3.8.12



a) Hvilken geometrisk figur får vi dersom vi dreier det markerte området om - aksen?

b) Finn volumet, , av den geometriske figuren du fikk i a) ved å bruke formelen for volum av omdreiningslegemer.

c) Finn volumet, , ved å bruke formelen for volum av en kjegle.

49


3.8.13



Bestem volumet, , av det omdreiningslegemet vi får dersom vi dreier grafen til om førsteaksen.

3.8.14

Gitt funksjonen


a) Forklar at stigningstallet, , kan uttrykkes ved .

b) Bruk formelen for volum av et omdreiningslegeme og utled formelen for volumet av en kjegle.

50


3.8.15 (Eksempeloppgave R2, 2008)

Funksjonen

a) Vis at likningen for tangenten i punktet er gitt ved

b) Bestem arealet av det området som er avgrenset av grafen til , tangenten i oglinja .

51


3.9 Modellering

3.9.1Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1981 til 2003

Årstall 1981 1983 1992 1996 2000 2003

SO i 1000 tonn 136,4 104,0 37,0 33,2 27,1 23,2

Bruk eksponentiell regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med

punktene. La x være antall år fra 1980 og utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og tegn grafen til uttrykket du finner.

3.9.2Tabellen viser bruk av tid på hjemme-PC i perioden 1994 til 2003 i minutter.

Årstall 1994 1998 1999 2003Tid i minutter 10 13 18 35

a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med

punktene. La være antall år fra 1994 og bruk av tid på hjemme-PC. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.

b) Bruk modellen du fant i a) og finn ut hvor mye tid som vil bli brukt på hjemme-PC i 2010 og 2020.

c) Vurder gyldigheten av teorien fram i tid.

52


3.9.3Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd.

Antall timer etter strømbruddet 0 4 8 12 16 20

Antall grader i 4,0 4,4 6,

0 8,9 12,5 17,9

a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med

punktene. La være antall timer etter strømbruddet og temperaturen i kjøleskapet. Plott punktene og tegn grafen til uttrykket du finner.

b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt.

La oss nå anta at vi får greie på at temperaturen i kjøleskapet etter 22 timer er , etter 26 timer

er den og etter 30 timer er temperaturen i kjøleskapet .

c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med opplysningen du nå har fått sammen med det du vet fra tidligere.

d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem.

e) Vurder gyldigheten til denne modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt.

53


3.9.4Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke i hagen vokste fra uke til uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.

Etter uker 1 2 3 4 5 6 7 8

Høyde i cm 16 20 27 40 56 68 107 140

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene.

b) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a).

Etter uker 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Høyde i cm 16 20 27 40 56 68 107 140 145 148 149 149Sol Sikke fortsatte å måle solsikken sin 4 uker til. Høydene ser du i tabellen nedenfor.

c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene.

d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem.

e) Vurder gyldigheten til modellen du fant i c)

54


3.9.5 Eksamen 1MX, Høsten 2005

En dag løp en ungdomsskoleelev 100-meteren på 14 sekunder. Med moderne måleutstyr får vi oversikt over hvor lang strekning utøveren har tilbakelagt som funksjon av tiden.

Måleresultatene er satt opp i tabellen nedenfor:

Tid i sek. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

StrekningI meter 0 3 8 15 23 30 38 46 54 62 70 78 86 93,5 100

a) Tegn inn punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem.

b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn et funksjonsuttrykk som passer godt med måleresultatene.

c) Bestem grafisk en tilnærmet verdi for den momentane farten etter 2 sekunder og etter 7 sekunder.

d) Nedenfor ser du tre grafer som beskriver fart som funksjon av tid. Hvilken av de tre grafene beskriver 100-meteren som utøveren har løpt?

e) Anta at du ikke kjenner strekningen som ble tilbakelagt på de 14 sekundene. Hvordan kan du bruke fartsgrafen til å bestemme strekningen?

55


3.9.6

x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 23 24h -9 -13 -12 -6 -3 -1 -7 -12 -10 -3 -1 -4 -7

Tabellen ovenfor viser vannstanden utenfor Tregde 1. februar 2008. I tabellen er antall timer etter midnatt og er vannstanden målt i cm over middelvann.

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn en sinusfunksjon som passer godt til dataene.Tegn grafen til funksjonen.

b) Bruk funksjonsuttrykket du fant i a) og bestem ved CAS når vannstanden var lavest og når den var høyest.Hvor langt under middelvann var vannstanden da?

56


3.9.7

Tid 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Temperatur 22,8 21,2 21,

2 22,8 25,4 28,6 31,2 32,

8 32,8 31,2 28,6 25,

4 22,8

Tabellen viser temperaturen målt i °C annenhver time etter midnatt på et feriested.

a) Merk av punktene i et koordinatsystem, og tegn en glatt kurve gjennom dem.

b) Finn en modell for temperaturen gitt på formen , der er antall timer etter midnatt.

På et annet feriested varierer temperaturen mer. Minimumstemperaturen er 18 °C, og maksimumstemperaturen er 34 °C. Maksimumstemperaturen og minimumstemperaturen inntreffer på samme tidspunkt på døgnet som på det første feriestedet.

c) Finn en modell for temperaturen på dette feriestedet, når vi antar

at er på samme form som .

Tegn grafene til og i samme koordinatsystem.

d) Hvor stor del av døgnet har det andre feriestedet høyere temperatur enn det første feriestedet?

57


Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet!Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter!

Geometri Algebra Funksjoner Differensiallikninger

Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2

H15 5, 7 4 9 3 1, 2, 3, 4, 6 1, 5 8 2

V15 5 2 4, 6 1, 2, 3a, 7, 8, 9

3, 4 3b 1

H 14 4 3, 5 7 1 1, 2, 5, 6 4 3 2

V 14 5 1, 2 4 4 1, 2, 3, 6 5, 6 7 3

H 13 3 6 4, 7 4 1, 2, 6 1, 2, 5 5 3

V 13 3 3 5, 7 6 1, 2, 6 2, 4, 5 4 1

H 12 3 3 5, 8 4 1, 2, 6, 7 1, 5, 6 4 2

V 12 2 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3

4, 5 1d 6

H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e 2, 4 1f 6

V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 2

H 10 1d 3 1a, 1b, 2 4 1c 5

V 10 2 5, 6 alt2 1a, 1b, 1d, 1e

4 1c 3, 6 alt1

H 09 2 3 1e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5

V 09 1d, 2 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3

E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f

2 1h 4

58

Documents

api.ndla.no · Web viewStein Aanensen og Olav Kristensen 3.1 Trigonometriske definisjoner 3.1.1 Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel Author StAa1 Created Date 12/02/2016