Geometri R1

Geometri oppgaver

Innhold1.1 Formlikhet........................................................................................................................................2

Formlike trekanter..............................................................................................................................2

Kongruente trekanter.........................................................................................................................9

1.2 Pytagoras’ setning..........................................................................................................................10

1.3 Setningen om periferivinkler og Thales’ setning.............................................................................11

1.4 Geometriske steder........................................................................................................................15

1.5 Skjæringssetninger i trekanter.......................................................................................................17

Midtnormalene og den omskrevne sirkelen.....................................................................................17

Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen.........................................................................17

Høydene...........................................................................................................................................18

Medianene.......................................................................................................................................18

1.6 Vektorer.........................................................................................................................................19

Regning med vektorer......................................................................................................................19

Addisjon av vektorer........................................................................................................................22

Multiplikasjon av vektor med et tall.................................................................................................25

Skalarproduktet................................................................................................................................28

1.7 Vektorer på koordinatform.............................................................................................................32

Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform....................................................................33

Multiplikasjon av vektor med et tall.................................................................................................34

1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger.............................................................36

1.9 En sirkel i planet.............................................................................................................................38

Sirkelen beskrevet med funksjoner..................................................................................................40

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA..................................................................................41

Eksempelsett fra Udir...........................................................................................................................42

Øvingsoppgaver og løsninger

Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA

1

Geometri R1

1.1 Formlikhet

Formlike trekanter

1.1.1

og ovenfor er formlike. Finn lengdene som ikke er oppgitt.

1.1.2

Se på figuren ovenfor og forklar hvorfor og er formlike.

2

Geometri R1

1.1.3

På figuren ovenfor er parallell med .

Forklar hvorfor og er formlike.

Hvilken side samsvarer med ? Hvor lang er denne siden?

1.1.4

Vis at de to trekantene ovenfor er formlike.

1.1.5Norges høyeste tre skal være grantreet ”Goliat” i Aurskog – Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en 2,0 m loddrett stav på bakken 10 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven. Linja treffer bakken 0,50 m fra staven.

Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er.

3

Geometri R1

1.1.6

Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen, se skissen ovenfor.

Vi måler avstander og finner at . .

Hva blir avstanden ut til Hatholmen?

4

Geometri R1

1.1.7Rekrutter på førstegangstjeneste lærer forskjellige metoder for å bestemme avstander i terrenget. En metode går ut på å bestemme avstanden til et objekt med en kjent høyde. Man lærer å bestemme avstanden til for eksempel et hus som man vet er 10 m høyt, på følgende måte:

Ta en pinne eller et grasstrå og hold det fast i loddrett stilling mellom tommelfinger og pekefinger.

Strekk armen ut, og se mot huset slik at du ser husets topp på linje med toppen av grasstrået.

Juster tommelens feste på grasstrået slik at du ser bunnen av huset på linje med oversiden av tommelen.

Mål lengden til den delen av grasstrået som er over tommelen. Lengden måles i centimeter.

Avstanden til huset (i meter) finner du ved først å dele huset høyde på 2. Svaret multipliseres med 100. Dette tallet deles så på , og du har avstanden til huset.

Beregn avstanden til et hus som er 10 m høyt når du måler til å være 2 cm.

Forklar metoden. (Vi regner at en gjennomsnittlig armlengde til en rekrutt er 0,5 meter)

5

Geometri R1

1.1.8Gitt trekanten . Høyden fra på treffer i .

a) Vis at

b) Tegn trekantene ved siden av hverandre slik at du lett ser samsvarende sider og hjørner.

c) Sett opp tre forhold som gir det lineære forholdstallet.

d) Finn det lineære forholdstallet når og

e) Finn (Tips: Bruk trigonometri).

f) Beregn (Tips: Bruk trigonometri).

g) Finn de ukjente sidene i de to trekantene.

h) Finn andre par av formlike trekanter på figuren.

1.1.9Gitt trekanten .

er midtpunkt på og er midtpunkt på .

a) Forklar at trekantene og er formlike.

b) Bestem forholdet mellom og .

c) Forklar at trekantene og er formlike.

d) Bestem forholdet mellom og og mellom og .

6

Geometri R1

1.1.10

Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket slik at .

1.1.11

Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at .

1.1.12

Bestem ved å bruke dynamisk programvare lengden av linjestykket x slik at .

1.1.13Gitt et linjestykke AB med lengde 10 cm. Du skal ved konstruksjon finne et punkt på slik at

.

1.1.14I den rettvinklede trekanten halverer vinkel .

står normalt på og står normalt på . Se figuren.

a) Forklar at er et kvadrat.

Sett og .

b) Vis at .

c) Finn .

Sett og .

d) Vis at .

e) Finn .

7

Geometri R1

1.1.15I den rettvinklede trekanten er dobbelt så lang som . halverer vinkel . står normalt på og står normalt på .

a) Hvor store er de spisse vinklene i trekanten ?

Sett og

b) Vis at og at

c) Finn .

8

Geometri R1

Kongruente trekanter

1.1.16Vis at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram halverer diagonalene.

1.1.17 Gitt en rettvinklet trekant . halverer vinkel

. står normalt på og står normalt på .

Hvor store må vinklene i trekanten være for at trekantene og skal være kongruente?

1.1.18Figuren viser en sirkel med to tangenter som skjærer hverandre i punktet . Forklar at trekantene og er kongruente.

9

Geometri R1

1.2 Pytagoras’ setning

1.2.1

Gitt en rettvinklet trekant med sidelengder . Normalen fra treffer linjen gjennom

i . Sett og . Se figuren.

a) Vis at trekant er formlik med trekant

b) Vis at trekant er formlik med trekant

c) Forklar at vi kan sette

og

d) Vis at vi kan sette og

e) Vis at .

1.2.2Lag et geometrisk bevis for Pytagoras´ læresetning. Bruk gjerne GeoGebra.

1.2.3Finn et bevis for Pytagoras´ setning på internett og skriv det inn her.

10

Geometri R1

1.3 Setningen om periferivinkler og Thales’ setning.

1.3.1

a) Finn de ukjente vinklene i trekantene på

figuren. er sentrum i sirkelen. Se figuren.

b) Firkanten er innskrevet i en sirkel der buen

. Se figuren.

Finn vinklene i firkanten .

1.3.2Gitt figuren til høyre. Punktet er sentrum i sirkelen.

a) Finn buen uttrykt i grader.

b) Finn .

c) Finn vinkel .

d) Finn

11

Geometri R1

1.3.3På figuren er sentrum i en sirkel og Bestem alle vinklene på figuren.

1.3.4 På figuren er diameter i en sirkel og punktet ligger

på sirkelen. Bestem de ukjente vinklene på figuren.

1.3.5På figuren er sentrum i sirkelen. Bestem alle vinklene på figuren.

12

Geometri R1

1.3.6

På figuren er sentrum i sirkelen. Bestem ukjente vinkler på figuren.

1.3.7

a) Forklar at trekantene på figuren er formlike.

b) Vis at

1.3.8

Gitt en sirkel og et punkt utenfor sirkelen. To linjer går gjennom og skjærer sirkelen i henholdsvis og og i og . Vi trekker linjestykkene og . De skjærer hverandre i

. Se figuren.

a) Forklar at trekantene og er formlike

b) Vis at

13

Geometri R1

1.3.9

Gitt en sirkel og et punkt utenfor sirkelen. Gjennom går det ei linje som tangerer sirkelen i og ei linje

som skjærer sirkelen i . Se figuren.

a) Forklar at

b) Forklar at vi kan skrive

c) Vis at

d) Vis at

e) Forklar at trekantene er formlike.

f) Vis at

g) Bruk det du viste i f) til å bestemme lengden av

på figuren til høyre. Linja gjennom er tangent til sirkelen, lengden til er 3 og lengden til diameteren er 10.

h) Sjekk svaret i g) ved å bruke Pytagoras setning.

14

Geometri R1

1.4 Geometriske steder

1.4.1

Merk av et linjestykke . Konstruer det geometriske sted for alle de punktene som ligger like langt fra som fra B. Hva kalles dette geometriske stedet?

1.4.2Gitt to linjer som skjærer hverandre. Finn mengden av alle de punktene som ligger like langt fra . Hva kalles dette geometriske stedet?

1.4.3Konstruer samlingen av alle de punktene som ligger fra et punkt . Hva kalles dette geometriske stedet?

1.4.4Finn det geometriske sted for de punktene som ligger 4 cm fra en gitt linje . Hva kalles dette geometriske stedet?

1.4.5

En tangent til en sirkel er en linje som berører sirkelen i bare ett punkt. Tangenten står alltid normalt på radien i tangeringspunktet.

Bruk setningen om periferivinkler og sentralvinkler til å konstruere tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen.

15

Geometri R1

1.4.6

En trekant ABC er gitt ved at . Konstruer trekanten.

1.4.7 Per bor 4 km fra skolen og 2 km fra treningssenteret.

a) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra. Marker skolen og treningssenteret som to punkt. Vis hvor Per kan bo i forhold til disse punktene.

Sett avstanden fra der Per bor til skolen som og avstanden til treningssenteret som .

b) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra og finn det geometriske stedet for hvor Per nå kan bo.

16

Geometri R1

1.5 Skjæringssetninger i trekanter

Midtnormalene og den omskrevne sirkelen

1.5.1Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den omskrevne sirkelen til trekanten.

1.5.2Fortsett med trekanten fra oppgave 1.5.1. Dra i hjørnene til trekanten slik at sentrum i den omskrevne sirkelen veksler mellom å ligge inne i trekanten, på en av sidene eller utenfor trekanten. Kan du finne noe mønster når det gjelder vinklene i trekanten? Ser du noen sammenhenger med setningen om periferivinkler og sentralvinkler?

Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen

1.5.3Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den innskrevne sirkelen til trekanten.

1.5.4

a) Konstruer den innskrevne sirkelen i en likesidet trekant . b) Finn et eksakt uttrykk for radien i den innskrevne sirkelen når sidene i trekanten er lik 4 cm. c) Vi setter nå lengden til sidene i trekanten . Finn et uttrykk for radien i den innskrevne

sirkelen uttrykt ved .

1.5.5

Gitt en trekant med sider , og .

a) Vis at trekant er rettvinklet.b) Konstruer den innskrevne sirkelen.

La S være sentrum i den innskrevne sirkelen og SD være avstanden fra S til linja gjennom AB. Videre er E skjæringspunktet mellom vinkelhalvveringslinja gjennom C og linja gjennom AB.

c) Forklar at

d) Vis at .

e) Vis at lengden f) Forklar at g) Regn ut radien i den innskrevne sirkelen.

17

Geometri R1

Høydene

1.5.6

a) Tegn en tilfeldig trekant og finn skjæringspunktet mellom høydene ved konstruksjon.

b) Hva kan du si om trekantens vinkler hvis dette skjæringspunktet ligger

1. inne i trekanten?

2. i et av trekantens hjørner?

3. utenfor trekanten?

Medianene

1.5.7

a) En median deler alltid en trekant i to like store deler (arealer). Kan du vise dette ved hjelp av arealsetningen eller på en annen måte?

b) Klipp ut en trekant av et stivt papir eller papp. Fest trekanten i et hjørne og la den henge fritt. Finn loddlinjen gjennom opphengingspunktet. Hvor treffer loddlinjen den motsatte siden?

c) Skjæringspunktet mellom medianene i en trekant kalles også for trekantens tyngdepunkt. Kan du forklare hvorfor?

d) Hvordan kan du få en trekantet metallplate til å balansere vannrett når du plasserer den på en loddrett spiker?

18

Geometri R1

1.6 Vektorer

Regning med vektorer

1.6.1Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser.

1.6.2

Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter.En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene?

1.6.3

a) Hvilke vektorer har samme retning?

b) Hvilke vektorer har samme lengde?

c) Hvilke vektorer er like?

19

Geometri R1

1.6.4Figuren viser en rombe . Tegn vektorer mellom hjørnene.

a) Hvilke vektorer er like?

b) Hvilke vektorer er motsatt rettet?

c) Hvilke vektorer er like lange?

1.6.5a) Tegn en regulær femkant (alle sidene er like lange) i for eksempel GeoGebra.

b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten.

c) Hvor mange ulike vektorer finnes det?

20

Geometri R1

1.6.6Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene.Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem.

a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du?

b) La og være like. Hva observerer du?

c) La og være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du?

d) La og stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til ?

21

Geometri R1

Addisjon av vektorer

1.6.7En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den mot nord og kjører 4 km i denne retningen.

Bilen dreier så og kjører 8 km mot vest.

a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer. Finn summen av forflytningene (resultantforflytningen).

b) Bestem lengden og retningen til resultantforflytningen.

c) Resultantforflytningen er summen av forflytningene. Kan du på dette grunnlaget foreslå en måte å summere vektorer på?

1.6.8

Vektorene , , , og danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

22

Geometri R1

g)

23

Geometri R1

1.6.9

Gitt vektorene og .

Finn vektorene og . Hva oppdager du?

1.6.10Vi har gitt tre vektorer som vist på figuren.

Tegn vektorene

a)

b)

c)

24

Geometri R1

1.6.11Gitt et rektangel .

Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig.

a)

b)

c)

d)

e)

25

Geometri R1

Multiplikasjon av vektor med et tall

1.6.12Vi har gitt tre vektorer i et koordinatsystem. Se figuren.

Tegn vektorene

a)

b)

c)

1.6.13

Vektorene er gitt i figuren.

Bruk for eksempel GeoGebra og finn

a)

b)

c)

26

Geometri R1

d)

1.6.14Gitt vektorene nedenfor.

a) Uttrykk vektorene og ved hjelp av vektorene og .

b) Uttrykk vektorene og ved hjelp av vektorene .

27

Geometri R1

c) 1.6.15Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra.

a) Tegn en vilkårlig firkant .

b) Finn av midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på for , på for , på for og på for .

c) Tegn firkanten .

d) Mål lengden på sidene i firkanten .

e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten . Hva observerer du?

Vi setter nå .

f) Vis at kan skrives som: .

g) Vis at kan skrives som: .

h) Uttrykk ved hjelp av .

i) Hva kan du si om vektorene og ?

j) Vis at .

28

Geometri R1

Skalarproduktet

1.6.16Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1.

a) Finn de andre sidene i trekanten.

b) Bestem verdien til og

1.6.17

Vi har gitt vektorene og . , og .

Finn skalarproduktet mellom og .

1.6.18

Vi har gitt vektorene og .

Lengden av , lengden av og vinkelen mellom vektorene er .

a) Regn ut .

b) Regn ut .

c) Hva er skalarproduktet mellom og ?

d) Hva er prikkproduktet mellom og ?

e) Finn .

f) Finn .

29

Geometri R1

1.6.19

Gitt vektorene og der og . Skalarproduktet mellom og er 24.

Finn lengden til .

1.6.20

Vi har gitt at . Finn .

1.6.21

Gitt vektorene og der og . Skalarproduktet mellom og er 30.

Finn vinkelen mellom vektorene og .

1.6.22

a) Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.

b) Finn lengden til hypotenusen.

c) Bestem

30

Geometri R1

1.6.23

Gitt vektorene og der og .

Finn skalarproduktet mellom og når

a)

b)

c)

d)

e)

Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven?

1.6.24

Vi har gitt vektorene og . , .

a) Finn skalarproduktet mellom og når vinkelen mellom vektorene er .

La være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen. Siden en kraft måles i

N(Newton), sier vi at . Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er 120 m

eller at lengden til forflytningsvektoren, , er 120 m, . Magnus drar med en kraft som har

retning i forhold til forflytningen.

Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom og .

b) Hvor stort arbeid utfører Magnus?

c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen.

d) Hva blir måleenheten for arbeidet?

31

Geometri R1

1.6.25

Gitt vektorene og der , og .

Regn ut .

1.6.26

Gitt vektorene der . Vinkelen mellom vektorene er .

Vektorene er gitt ved .

a) Finn

b) Finn .

c) Finn vinkelen mellom .

1.6.27

La , og .

Gitt og .

a) Finn lengden til og lengden til .

b) Finn vinkelen mellom og .

32

Geometri R1

1.7 Vektorer på koordinatform

1.7.1

a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform.

a) Hvilke vektorer er parallelle?

b) Hvilke vektorer er like?

33

Geometri R1

1.7.2Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem

1.7.3Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.

a)

b)

c)

Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform

1.7.4

Gitt vektorene , og .Finn

a)

b)

34

Geometri R1

c)

d)

1.7.5

a) Uttrykk , og fra oppgave 1.7.4 ved hjelp av enhetsvektorene.

b) Gjør oppgave 1.7.4 a og c når vektorene skrives på denne formen.

Får du samme resultat som i oppgave 1.7.4?

1.7.6Gjør oppgavene i 1.7.4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar.

35

Geometri R1

Multiplikasjon av vektor med et tall

1.7.7

Gitt vektorene , og .Regn ut

a)

b)

1.7.8

Gitt punktene .

a) Bestem vektorene .

b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.(For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.)

c) Finn lengdene til vektorene i a).

1.7.9

Gitt vektorene .

a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.

b) Vis at kan skrives som .

c) Vis at skalarproduktet .

d) Vis at skalarproduktet .

e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b).

36

Geometri R1

f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene kan skrives som

37

Geometri R1

1.7.10

Vi har gitt vektorene , .

a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.

b) Finn lengden til vektorene.

c) Finn vinkelen mellom vektorene.

1.7.11

Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren nedenfor. Du ser for eksempel at vektoren har

koordinatene .

a) Skriv alle vektorene på koordinatform.

b) Finn .

c) Finn lengdene av .

d) Sjekk ved regning om .

e) Sjekk ved regning om .

38

Geometri R1

1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger.

1.8.1

I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Gitt firkanten hvor ,

, og .Undersøk om firkanten er et parallellogram.

1.8.2

a) Finn koordinatene til punktet når og har koordinatene

b) La være midtpunktet på . Finn punktkoordinatene til .

1.8.3

Gitt trekanten ABC, der .

a) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av skalarproduktet.

b) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av cosinussetningen.

39

Geometri R1

1.8.4

Gitt punktene , og .

a) Finn vinklene i trekanten ved vektorregning.

La være et punkt på linjen gjennom og slik at står vinkelrett på .

b) Bruk vektorregning og finn koordinatene til punktet .

c) Bestem høyden i trekanten.

1.8.5Vis ved vektorregning at diagonalene i en rombe alltid står vinkelrett på hverandre.

1.8.6 – utfordring!!

Du starter en fotballkamp i midtsirkelen (origo). I løpet av de første tre pasninger beveger fotballen

seg på følgende måte. Den går først 15 meter i retningen gitt ved vektoren . Deretter beveger

den seg 30 meter i retningen , for til slutt å bevege seg 12 meter i retningen .

a) Hvor befinner ballen seg etter tre pasninger? (Hvilken posisjon har den?). Her vil det være naturlig å bruke et digitalt hjelpemiddel. Tips. Lag en skisse av situasjonen

b) Hvor langt har ballen forflyttet seg?

40

Geometri R1

1.9 En sirkel i planet

1.9.1

Gitt en sirkel med sentrum i og radius 3.Finn likningen for sirkelen.

1.9.2

Gitt en sirkel med sentrum i og diameter 6. Finn likningen for sirkelen.

1.9.3Bestem sentrum og radius til sirklene:

a) Sirkel er gitt ved likningen

b) Sirkel er gitt ved likningen

c) Sirkel er gitt ved likningen

41

Geometri R1

1.9.4Finn sentrum og radius i sirklene gitt ved likningene:

a)

b)

c)

1.9.5Undersøk om likningene representerer sirkler, og finn i så tilfelle sentrum og radius til sirkelen.

a)

b)

c)

d)

1.9.6

Vi har gitt punktene . En sirkel har som diameter. Bestem likningen for sirkelen.

42

Geometri R1

Sirkelen beskrevet med funksjoner

1.9.7

a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk som en funksjon av .

b) Tegn sirkelen.

1.9.8

a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk som en funksjon av .

b) Tegn sirkelen.

1.9.9

Gitt en rettvinklet trekant der

, se figur

a) Finn lengden .

Sett

b) Finn uttrykt ved .

c) Tegn funksjonen du fant i b). Hva beskriver funksjonene?

43

Geometri R1

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Eksamen våren 2014 Del 1: Oppgave 3, Oppgave 5Eksamen våren 2014 Del 2: Oppgave 1

Eksamen høsten 2013 Del 1: Oppgave 3, Oppgave 5, Oppgave 7Eksamen høsten 2013 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 8

Eksamen våren 2013 Del 1: Oppgave 7, Oppgave 8Eksamen våren 2013 Del 2: Oppgave 2

Eksamen høsten 2012 Del 1: Oppgave 5, Oppgave 7Eksamen høsten 2012 Del 2: Oppgave 1, Oppgave 4. Oppgave 5

Eksamen våren 2012 Del 1: Eksamen våren 2012 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5, Oppgave 8, Oppgave 10

Eksamen høsten 2011 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 1gEksamen høsten 2011 Del 2: Oppgave 3, Oppgave 4

Eksamen våren 2011 Del 1: Oppgave 1h, Oppgave 2Eksamen våren 2011 Del 2: Oppgave 5, Oppgave 8

Eksamen høsten 2010 Del 1: Oppgave 1h, Oppgave 2Eksamen høsten 2010 Del 2: Oppgave 4, Oppgave 5, Oppgave 6 Alt 1, Oppgave 6 Alt 2

Eksamen våren 2010 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 1fEksamen våren 2010 Del 2: Oppgave 5 Alt 2, Oppgave 6

Eksamen høsten 2009 Del 1: Oppgave 1g, Oppgave 2Eksamen høsten 2009 Del 2: Oppgave 4 Alt 2

Eksamen våren 2009 Del 1: Oppgave 1d, Oppgave 2Eksamen våren 2009 Del 2: Oppgave 3a, Oppgave 5

44

Geometri R1

Eksempelsett fra Udir

1.10.1 Eksempelsett R1, april 2007

, som spenner over buen , kaller vi en periferivinkel.

, som spenner over buen AB, kaller vi en sentralvinkel.

a) Tegn inn en annen periferivinkel som spenner over buen AB.

En setning i geometrien sier:

For å bevise denne setningen tegner vi diameteren PQ.

b) Forklar at POA og POB er likebeinte.

c) Bruk b) til å forklare at

d) Bruk c) til å bevise setningen ovenfor.

45

En periferivinkel er alltid halvparten så stor som den sentralvinkelensom spenner over samme bue.

Geometri R1

1.10.2 Eksempelsett R1, desember 2007

Vi har gitt en trekant . Punktet ligger på , punktet ligger på , og punktet ligger på . Se figuren.

Cevas setning sier:

Bruk Cevas setning til å bevise at medianene ien trekant skjærer hverandre i ett punkt.

46

Linjestykkene AE, BF og CD skjærer hverandre i ett punkt hvis og bare hvis

Geometri R1

1.10.3 Eksempelsett R1, desember 2007

Bildet til venstre viser to baller som ligger inntil hverandre. Ballene har radiene R og r.

Berøringspunktet mellom ballene og bordet kalles henholdsvis A og B. Berøringspunktet mellom ballene kalles C.

I denne oppgaven skal vi undersøke egenskaper ved .

Figur 1 viser et snitt gjennom sentrene i ballene, M og N.

a) Forklar at , og at

b) Vis at . (Tips: Bruk Pytagoras´ setning).

Vi setter .

c) Vis at , og at .

I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med

d) Bruk b) til å finne lengden av AB.

e) Konstruer med passer og linjal figur 1 med og . Skriv en forklaring til konstruksjonen.

f) Slå en halvsirkel med AB som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom C.

47

Geometri R1

1.10.4 Eksempelsett R1, april 2007

En trekant ABC er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren.

a) Skriv opp vektorene .

er midtpunktet på siden AB, og er midtpunktet på siden AC.

b) Vis ved regning at koordinatene til punktet er og til punktet er .

Vi kaller skjæringspunktet mellom og for . En metode for å finne koordinatene til

består i å skrive på to måter. To ulike veier fra til gir

Dette gir oss vektorlikningen

48

Geometri R1

c) Sett inn koordinatene til , og vis at vektorlikningen kan skrives som

d) Løs vektorlikningen, og vis at .

e) Bestem og koordinatene til punktet .

er midtpunktet på BC.

f) Vis at den tredje medianen går gjennom punktet .

49