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ANÁLISIS ECONÓMICO DE ERGODICIDAD.

JORGE CAMILO GAITÁN OCHOA

PREGRADO ECONOMÍA

FACULTAD DE ECONOMÍA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

RESUMEN

El texto abarca las principales discusiones entre la economía convencional y la economía

monetaria de producción entorno al supuesto de ergodicidad, sus implicaciones, retos

metodológicos y utilidad en la ciencia. A la vez provee una aproximación al concepto

matemático y realiza una prueba no paramétrica probando este supuesto, sobre datos reales

macroeconómicos, usando el test Wald-Wolfowitz y basado en la metodología empleada en

Grazzini (2012) para validar la pertinencia de la discusión. A lo largo del texto se hace una

exposición en términos sencillos pero precisos, de tal manera que sea un buen punto de

partida para introducirse en los problemas vinculados a esta propiedad estadística.

Palabras Clave: Ergodicidad, Estacionareidad, Economía Monetaria de Producción,

Economía Neoclásica.

Clasificación: B41, C12, D84.

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INTRODUCCIÓN

La ergodicidad es una de las herramientas matemáticas, entre las muchas, que han nacido

en la ciencia económica en busca de rigurosidad científica. Aunque en muchos casos estas

herramientas resultan útiles, en otros limitan el alcance del análisis o lo confinan a

esquemas metodológicos y analíticos concretos, imponiendo condiciones que la economía

debe cumplir. La discusión en torno a la forma y contenido de la economía, aunque no es el

objetivo principal de este texto, hace parte activa de la discusión teórica aquí planteada

entre la economía neoclásica y la economía monetaria de producción.

A pesar de ser un concepto principalmente estadístico, su alcance dentro del marco teórico

de la economía, aunque no es evidente y en muchas ocasiones obviado, llega a ser tal, que

fundamenta la divergencia en las escuelas de pensamiento previamente mencionadas.

Basado las definiciones dadas por Samuelson (1983) y David (1993) en términos generales,

los sistemas ergódicos son aquellos que con el paso del tiempo se pueden deshacer de los

efectos del pasado y más específicamente, para el caso económico, son sistemas que poseen

un equilibrio de largo plazo que es independiente de las condiciones iniciales.

El objetivo principal de este texto es analizar la importancia que tiene el supuesto de

ergodicidad sobre la ciencia económica. Para ello, el texto está dividido en dos marcos. En

el primero se ofrece una discusión teórica sobre las implicaciones de este supuesto en el

análisis económico, tomando como punto de partida una visión de la economía monetaria

de produccion. En el segundo se realiza una prueba estadística para la ergodicidad,

basándose en la metodología implementada en Grazzini (2012), donde se usa un test Wald-

Wolfowitz, para alcanzar el objetivo.

Los principales aportes de este texto son, la implementación de test estadísticos para

ergodicidad sobre series de datos reales de variables económicas y compilar en un solo

documento los elementos principales de la discusión sobre el supuesto de ergodicidad, que

en la literatura se exponen de manera dispersa, como comentarios secundarios y que por lo

general son de carácter puramente matemático dejando a un lado el análisis y trasfondo

económico.

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En ésta, como en todas las pruebas que se hagan de ergodicidad, existe el problema de la

limitada cantidad de datos de los cuales se puede disponer, ya que requiere de

convergencias al infinito, numero imposible de datos. También existe el problema de la

falta de estadísticos poblaciones para realizarla, aunque el test es adaptado especialmente

para tratar de afrontar esta dificultad.

El texto está ordenado de la siguiente manera. Primero se expondrá de manera intuitiva en

que consiste el supuesto de ergodicidad. Luego se verá cómo éste tiene repercusiones en la

teoría económica, resaltando las ideas y discusiones principales entorno al supuesto de

ergodicidad, principalmente desde un punto de vista de la economía monetaria de

producción. Esto ocupará todo el marco teórico del trabajo. Seguido y como metodología se

analizará matemáticamente el supuesto de ergodicidad. Posteriormente, se describirá la

prueba a efectuar, el test Wald-Wolfowitz, en donde se dará razón de por qué se escogió,

sus ventajas y limitaciones. Luego se expondrán los resultados que arrojen las pruebas

estadísticas. Finalmente se detallaran algunas conclusiones en torno a los retos que la

naturaleza de la ciencia económica enfrenta ante la ausencia o presencia de ergodicidad.

4

REVISIÓN DE LITERATURA.

El texto guía principal para el desarrollo del método estadístico es Grazzini (2012), el cual

propone el uso del test no-paramétrico Wald-Wolfowitz, para demostrar ergodicidad y

estacionareidad en modelos basados en agentes (Trad. agent-based models). Para verificar

la validez del test, recurre a simulaciones de Monte Carlo de procesos estocásticos con

propiedades conocidas. Si bien el texto carece de aplicación a datos reales, centrándose en

datos de “laboratorio, provee el análisis y validación del test que será aplicado en el

presente texto usando datos reales macroeconomicos

Grazzini (2011) usa el método desarrollado en Grazzini (2012) y lo aplica a series de

mercados de acciones para dar una explicación de cómo las motivaciones micro pueden

afectar el comportamiento macro. Puesto que desarrolla modelos basados en agentes, debe

aplicar test de ergodicidad y estacionareidad, pero solo se limita a este tipo de modelos. Por

el contrario, el objetivo del presente trabajo es abarcar un amplio margen de variables

macroeconómicas.

(Domowitz & El-Gamal, 1997), desarrollan un algoritmo para una prueba estadística no

paramétrica de ergodicidad usando el test de Kolmogorov-Smirnov, basados en procesos

Markovianos y simulaciones de Montecarlo. Los propósitos del documento son, proponer

un test para aplicaciones futuras y ver las implicaciones sobre estabilidad en los agregados

monetarios.

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MARCO TEORICO.

Aunque más adelante se definirá el concepto de ergodicidad matemáticamente, es preciso

para esta sección realizar un análisis detallado, que muestre su definición si no económica,

por lo menos intuitiva. Para ello, se hará una exposición basada en los argumentos

encontrados en Shackle (1958) y Davidson (1982)

Si se pudiera describir cada posible evento en cada momento del tiempo, en otras palabras,

todas las realidades alternativas en cada instante, este conjunto de sucesos corresponderían

al espacio de eventos o universo. En la figura 1, se representa este universo como el

conjunto A en el plano cartesiano. La forma en que se distribuyen estos eventos alrededor

del plano cartesiano se llama función de distribución.

Figura. 1

Nuestra realidad se representa por una pequeña trayectoria dentro de todo este conjunto de

posibilidades, la cual estaría conformada por cada uno de los sucesos ocurridos, que

ocurren y que ocurrirán. Es fácil constatar que esta trayectoria X(t) (Fig. 1) es una función

del tiempo t, ya que es imposible que en algún t dado existan dos realidades no excluyentes.

A esta trayectoria X(t) se le denominará realización.

La única manera de caracterizar la función de distribución es conociendo todos las posibles

trayectorias existentes, en otras palabras, conociendo todas las realidades alternativas. Es

evidente que para la economía (y en general para el ser humano) resulta imposible

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conocerlas (si es que existen), por tanto la función de distribución se hace inalcanzable

científicamente.

Lo que plantea un sistema ergódico, es que dada una realización X(t), se puede caracterizar

toda la función de distribución, sin necesidad de conocer ninguna otra trayectoria

(realización). Y más a fondo, que aun a partir de un subconjunto de esta trayectoria, es

posible conocer toda la función de distribución. En otras palabras, una sola realidad basta

para formar un concepto perfecto de todo lo que es el universo.

Si se supone que el momento actual es el momento t (Figura 1), los momentos a la

izquierda representarán el pasado y los que están a la derecha, el futuro. Los datos a los

cuales podemos acceder solo son representados por todos los puntos sobre X(t) que están

entre el 0 y t. Al haber supuesto ergodicidad, será posible caracterizar el futuro y todo el

universo en general, solo a partir de la pequeña muestra que se posee.

Aunque no resulta evidente, también la ergodicidad permite afirmar que cada punto de la

trayectoria X(t), es independiente de los demás, no depende de lo que sucedió antes ni

después para que se realice y tampoco influye sobre cómo se comportan otros puntos.

Desde un punto de vista estadístico, el grupo A (fig. 1) se puede denominar un proceso

estocástico. La realización X(t), son las series de tiempo con las cuales cuentan los

economistas para realizar sus estudios, inflación, PIB, tasas de interés, etc. De estas

realizaciones X(t), es posible obtener su proceso generador de datos (Modelos ARIMA,

ARCH, Holt-winters, entre otros). La ergodicidad permite asegurar que el proceso

generador de datos de la realización X(t), representa fielmente al del proceso estocástico A

(fig. 1). Por ello, realizar predicciones y analizar la conducta de las variables es posible, ya

que por ergodicidad se sabe como se comporta A (El universo) a partir de una pequeña

realización X(t).

IMPLICACIONES GENERALES

Aunque resulta difícil encontrar una definición económica de ergodicidad, si existen

algunos autores, de diferentes escuelas, que han sugerido un significado económico de este

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supuesto. Entre ellos, existen dos a destacar. Desde un punto de vista neoclásico,

Samuelson (1968) la define como sistemas en los cuales existe “…A unique long-run

equilibrium independent of initial conditions”. Y desde un punto de vista de la economía

monetaria de producción, está la definición brindada por David (1993) “systems that can

shake off the effects of past events, and do have a limiting, invariant probability

distribution that is continuous over the entire space state”.

Incertidumbre.

Como lo menciona Davidson (2009), la incertidumbre es una de las tres diferencias

principales1 entre la teoría económica neoclásica y la economía monetaria de producción.

La economía heterodoxa plantea que los procesos económicos funcionan por naturaleza

bajo incertidumbre. Como menciona Shackle (1982) Trad. “Todos los mercados son en

cierto grado especulativos”. Según Samuelson (1983), bajo esta situación, sería imposible

hacer de la economía una ciencia fuerte.

En el estudio macroeconómico y microeconómico se ha incluido la incertidumbre como

uno de los factores relevantes en el desarrollo de los procesos económicos. El término hace

referencia a la falta de certidumbre, que es “La falta de conocimiento seguro y claro de

algo” (Real Academia de la Lengua Española, 2012) . Entonces, ¿lo que se incorpora como

incertidumbre en los modelos matemáticos, es realmente incertidumbre? Dentro de la

escuela neoclásica, este término se ha asociado con la probabilidad de un evento. Para cada

posible “resultado” de un suceso económico existe una determinada probabilidad (mayor

que cero, conocida por el agente e invariable) de que este ocurra. Esta probabilidad, como

lo menciona Shackle (1958), es el resultado de las distribuciones de frecuencia, obtenidas

de las ocurrencias pasadas del evento en cuestión.

Si los sistemas económicos son no ergódicos, es erróneo asegurar que el proceso generador

de datos de los eventos futuros se comportará como el de los eventos pasados (puede

ocurrir, pero es incierto), debido a que caracterizar todo el espacio de tiempo por medio de

una muestra de éste, es imposible. Entonces, la distribución de frecuencia sobre la cual se

1 No sustituibilidad bruta entre el dinero y otros bienes, no neutralidad del dinero e incertidumbre

económica.

8

encuentra la probabilidad de un evento, será una herramienta errónea a la hora de predecir

el grado de incertidumbre. Aunque caracteriza bien el pasado, no se puede afirmar que sea

capaz de caracterizar el futuro y por tanto no servirá para medir la “incertidumbre” de un

evento.

Aun, si en algún caso es posible encontrar probabilidades de “incertidumbre”, Keynes

(1921) rechaza completamente el concepto de incertidumbre como un valor probabilístico;

más bien ve estos valores como medidas de riesgo. Bajo situaciones de riesgo, aunque no

hay seguridad sobre qué ocurrirá en el futuro, si existe algún nivel de certeza, es decir, se

puede determinar la probabilidad asociada a algún evento. Un valor de probabilidad está

asociado a un nivel de certidumbre, porque “se debe tener la certeza de que un suceso

ocurrirá con la probabilidad dada”.

Llevando el análisis al extremo, se puede suponer que un agente enfrenta infinitas posibles

soluciones de lo que será el futuro ya que no existe una caracterización segura de este. Si se

llegaran a asignar valores probabilísticos a cada uno de estos eventos, estos tenderían a cero

y si esto es conocido para el agente, finalmente la decisión ocurriría sobre eventos que lo

más seguro es que no sucedan, por tanto el agente tenderá a cometer errores en su toma de

decisiones.

El rechazo a la incertidumbre por parte de la economía monetaria de producción tiene como

repercusión, la implementación y manejo de, entre otros, dos supuestos básicos: (i) El

espíritu animal y (ii) la preferencia por el dinero.

Keynes (1978) y Robinson (1985) llaman el “espíritu animal” de los empresarios a la

intuición o motivación espontanea (David Hume) que fundamenta la toma de decisiones

económicas de estos. Los empresarios hacen escogencias y toman decisiones en contextos

de incertidumbre, de tal manera que deben confiar en su instinto, para saber cuáles son las

mejores decisiones y cuáles de estas van a dejar mayores ganancias y beneficios. No existe

una seguridad probabilística, que les diga que es seguro y que no, solo les indica mayores o

menores grados de confianza en torno a una decisión, no certeza.

Tambien, los agentes al intuir su desconocimiento respecto al futuro, recurren al dinero,

para reducir los riesgos inherentes a la incertidumbre. Como destaca (Robinson, 1985) y

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(Keynes, 1978), los agentes en vista de su falta de conocimiento sobre el futuro se refugian

en el dinero para mantener una seguridad sobre sus activos, pasivos, patrimonios y la toma

de decisiones económicas. A su vez ya que los agentes reconocen la incertidumbre, deciden

en base a ella.

El dinero, al convertirse en medio sistémico de interacción entre agentes económicos,

asegura al individuo que lo posee campos de acción y decisión en ambientes bajo

incertidumbre. De acá que el dinero sirva como medio de pagos diferidos, ya que los

agentes tienes un grado de certeza sobre él. El agente espera (bajo incertidumbre) que su

dinero en un futuro será aceptado por parte de otros como medio de interacción social y por

tanto asegura la vinculación de este dentro del sistema social y económico.

Momento histórico, momento lógico

La discusión del momento lógico e histórico afecta tres condiciones económicas básicas:

path-dependence, “timing” de las decisiones y condiciones iniciales. Cada una de las

anteriores tiene repercusiones sobre el equilibrio general neoclásico y la implementación de

modelos dinámicos en la Economía monetaria de producción, temas que se trataran

posteriormente.

La dependencia de trayectoria “path-dependence” (David, 1993), se le denomina

comúnmente en ciencias como la física Histéresis. La histéresis es el proceso mediante el

cual un evento tiende a conservar una propiedad añadida (no propia), transmitida por un

factor externo, aun cuando el factor externo ya no la está transmitiendo directamente

(Blanchard & Summers, 1987).

La dependencia de trayectoria implica que el momento actual es resultado y se ve influido

por lo que fue el pasado, es decir, no ergodicidad (no independencia), al tiempo que influye

en los resultados futuros. Las aplicaciones matemáticas ortodoxas, por el contrario,

plantean que cada momento de tiempo se genera de manera independiente y que no existe

ni presente ni pasado, todo ocurre de forma simultanea (Robinson, 1985).

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Especialmente en teoría monetaria, la no ergodicidad, y por tanto histéresis, tendría un

impacto significativo sobre el entendimiento y aplicación de ésta. Generalmente se

considera que las políticas monetarias tienen efectos de ajuste de corto plazo y que las

tendencias económicas naturales son independientes de estas fluctuaciones. Sin embargo, la

histéresis genera que estos efectos, que se consideran de corto plazo, realmente tengan

influencia sobre el largo plazo, por tanto las políticas deberían ser replanteadas

considerando estos nuevos efectos.

La dependencia de trayectoria provee una nueva visión de la importancia del “timing” de

las decisiones en el análisis económico. ¿Depende la economía de la historia? Aunque

parece una pregunta trivial, si se es cuidadoso al analizar los modelos neoclásicos, es fácil

apreciar que la economía del equilibrio general neoclásico no tiene historia, es decir el

“timing” de las decisiones no es relevante ya que toda la “economía”, se realiza en un

único momento (que no necesariamente es análogo a un único periodo de tiempo).

Dado que existe histéresis bajo no ergodicidad y por lo tanto dependencia entre los

momentos de tiempo, el “orden” en el cual se desarrolle la economía cumple un rol

fundamental en los resultados obtenidos; es decir, la historia cumple un rol fundamental y

la economía es un fenómeno no conmutativo. Los modelos neoclásicos, son importar el

orden de las decisiones, producen el mismo resultado, equilibrio. En otras palabras, solo

importa la magnitud en la cual una variable afecta a la otra, no el tiempo de afectación

(momento lógico).

La no ergodicidad permite incluir a la historia dentro del análisis económico porque esta

reconociendo la importancia que tienen momentos pasados sobre el presente y el futuro. La

economía es sensible a su propia historia, es decir, eventos del pasado (históricos) han

determinado como es nuestro presente y como podrá ser nuestro futuro. Por tanto, la

metodología económica no solo debe tener en cuenta choques contemporáneos, sino que

por el contrario debe basarse en análisis temporales dinámicos. A esto se le denomina el

tiempo Histórico.

Finalmente, esta dependencia e importancia del momento histórico, conduce la discusión

hacia el rol de las condiciones iniciales en el análisis teórico económico (Robinson, 1985).

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En los modelos de equilibrio general neoclásico las condiciones iniciales no afectan el

comportamiento de la economía hacia el óptimo, ni la caracterización de éste, simplemente

cambia el nivel en el cual se alcanza. La no ergodicidad junto con la histéresis llevan a

concluir que, contrario a lo acostumbrado, las condiciones iniciales no solo afectan el nivel

al cual se alcanza el equilibrio, sino que van más allá y afectan la determinación misma de

éste.

Equilibrio.

En el pensamiento neoclásico (y en general en la teoría económica), el concepto de

equilibrio ha tomado una relevancia única en el análisis. Constantemente, los modelos y

desarrollos teóricos, van encaminados a encontrar puntos de equilibrio dentro de su campo

de aplicación. Como menciona Samuelson (1983), la importancia del equilibrio no solo se

ve en el resultado económico que plantea, sino que a su vez define una forma de

pensamiento teórico, decanta la cosmovisión económica de una estructura teórica. Ese

exacto momento analítico, se define por medio de y, define las características de una

escuela.

Cuando se habla de equilibrio, se piensa en un momento del sistema económico, fijo,

invariante y auto contenido. Este concepto en si mismo, va en contra del concepto de

ergodicidad. Ningún punto sobre el universo, esta auto contenido en sistemas no ergódicos,

todos dependen de las realizaciones pasadas (dependientes) y por tanto no puede estar toda

su información contenida en solo ese intervalo del tiempo. Así mismo, esta dependencia

genera que cada momento de una realización genere una nueva determinación de equilibrio

(Chamucero, 2005).

Lo anterior no implica que es imposible el equilibrio en sistemas no ergódicos, ya que

puede ocurrir que por mera coincidencia las decisiones de todos los agentes coincidan en un

punto del tiempo, generando equilibrio. Sin embargo, como se mencionó, sería solo

coincidencia, no una consecuencia de un comportamiento sistémico de la economía y por lo

tanto su relevancia pasaría a un segundo plano del análisis. La única forma de asegurar un

comportamiento económico similar al equilibrio, es si las decisiones de todos los agentes

coinciden para cada uno de los momentos de tiempo, actitud que parece imposible dados

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los entornos de incertidumbre. Aun si esto ocurriera, seria solo un caso excepcional de

interés teórico y poca aplicabilidad y peso en la economía. Por otro lado, bajo un equilibrio

neoclásico (Samuelson, 1968), las condiciones iniciales de la economía, no alteran las

conclusiones vitales de este equilibrio. Este resultado es posible gracias a la ergodicidad

económica impuesta en el análisis. En un modelo no ergódico, las condiciones iniciales

pueden ser entendidas como los resultados de los momentos anteriores al momento en el

cual “inicia” la economía del modelo. Por histéresis, podemos inferir que las condiciones

iniciales si deberían afectar los resultados vitales del equilibrio económico, convirtiéndose

en variables endógenas del modelo, haciendo inviable la actual forma de estática

comparativa y la definición de equilibrios en función de parámetros de éste.

METODOLOGÍA

Al principio de la metodología se hará una exposición teórica matemática breve del

supuesto de ergodicidad. Primero se darán definiciones del concepto de estacionareidad,

que es una condición necesaria pero no suficiente para la existencia de ergodicidad y por lo

tanto, será el punto de partida para realizar las pruebas. Siguiendo la notación de Grimmet

(2001) sea:

{ ( ) }

( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )

Al igual si las familias:

{ ( ) ( ) ( )} { ( ) ( ) ( )} ( )

Tienen la misma distribución conjunta para todo , entonces se dice que

el proceso X es fuertemente estacionario. Para verificar la existencia de estacionareidad

fuerte, solo es necesario asegurar la normalidad de las series de datos. En este caso la ley de

los grandes números nos asegura que las series acá usadas convergen hacia una distribución

normal.

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Los teoremas de ergodicidad planteados primeramente por Von Neumann(Ergodicidad

débil) y luego por Birkoff (ergodicidad fuerte), se enuncian a continuación:

{ }

( )

∑

→

Entonces se dice que X es un proceso ergódico fuerte. Que también se puede definir si es

posible asegurar que:

∑

( )

Donde es la variable poblacional en el momento k. A su vez sí:

( ) ( )

∑

→ ( )

Entonces se dice que es un proceso ergódico débil. El test acá implementado, permite

probar ambos tipos de ergodicidad, aunque por simplicidad solo se probará la débil, esto,

debido a que en el caso fuerte sería necesario hacer pruebas para cada uno de los momentos

muestrales de la serie.

El objetivo fundamental del proceso empírico a seguir es conseguir la metodología más

sencilla, pero robusta, en busca de una prueba de estacionareidad y ergodicidad que sea

confiable. Para ello, como lo plantea Grazzini (2012), Grazzini (2011), se hará uso de una

adaptación del test no paramétrico de Wald-Wolfowitz que originalmente prueba si dos

muestras provienen de una misma población. También se corregirá estacionalidad y

volatilidad en caso de ser necesario.

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Estacionareidad (Test Wald Wolfowitz adaptado)

El test de Wald-Wolfowitz originalmente busca cuándo una cantidad n de muestras

provienen de la misma población. La adaptación, tomada de (Gibbons, 1992) y usada en

(Grazzini, 2012), permite saber cuándo una función se ajusta a una serie. Si se tiene

{ ( ) }

Y se define una función Y. Se busca que las ( ) estén distribuidas aleatoriamente por

debajo y por encima de esta función, para corroborar que Y sea un buen explicador de . El

test requiere que los datos tengan un orden cardinal, para ello se define:

{ } . (5)

Que se entienden como el conjunto de submuestras de X.

Posteriormente, se define Y como la ecuación (3) siendo k=1 (media muestral2). Se crea

( ) {

} ( )

Finalmente se genera la base sobre la cual se efectúa el test estadístico,

{ ( ) ( ) } (7)

No se toma el caso ( ) ya que, suponiendo que es una función continua, la

probabilidad de que ( ) tome este valor tiende a cero. El resultado final es una serie de

unos y ceros.

Ahora, el estadístico requiere el uso de rachas (R) que son el número de conjuntos que

poseen símbolos idénticos seguidos). Por ejemplo { } posee 4 rachas:

{ } { } { } { }. La cantidad de rachas reflejará la aleatoriedad de la muestra. luego

se define el estadístico U de prueba, que se distribuye como una normal asintóticamente,

con media y varianza:

( )

( ) (8)

2 Si

es un proceso ergódico fuerte.

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( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

Donde es el numero de y el numero de .

Se plantea la hipótesis nula de que las observaciones están aleatoriamente distribuidas

alrededor de Y, es decir, ver si el momento k=1 es estacionario (constante en el tiempo). Si

entonces es constante en el tiempo y por tanto la hipótesis

nula no es rechazada.

La prueba se puede realizar a dos colas, aunque (Gibbons, 1992) recomienda el uso de la

cola izquierda de la distribución cuando existen pocas rachas, ya sea por agrupación

excesiva de símbolos o pocos datos. Por lo tanto en este trabajo se usará la cola izquierda

de la distribución debido a la limitada cantidad de datos de las series escogidas.

En la aplicación de esta prueba existen varios riesgos. Por un lado, al ser X limitada, se

debe optimizar la cantidad de submuestras versus el tamaño de estas. Si hay un gran

número de con pocos cada uno, genera una pobre estimación del momento k en cada

submuestra, pero genera una mejor aproximación asintótica a una distribución normal. Por

el contrario si hay pocas , cada una con muchas genera una mala aproximación

asintótica a una distribución normal, pero genera un mejor cálculo del momento k en cada

submuestra.

Ergodicidad (Test Wald-Wolfowitz)

Para la prueba de ergodicidad, se utiliza nuevamente el test Wald-Wolfowitz, pero esta vez

en su versión original. Para ello, se define { } { } dos muestras, que vienen de funciones

continuas ( ) ( ) respectivamente, de tal manera que cumplan con provenir del

mismo proceso generador de datos, con los mismo parámetros pero que posean

observaciones diferentes (en otras palabras, dos realidades paralelas). Para lograr esto,

nuevamente se crean submuestras escogidas aleatoriamente.

{ } . (10)

{ } .

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A su vez, se define,

{{ } {

}} ordenado ascendentemente. (11)

Por ultimo,

{ { } {

} }. (12)

Esto último, con objeto de crear las rachas necesarias para llevar a cabo el test.

La hipótesis nula plantea que ( ) ( ), que quiere decir que el estadístico U es

independiente de ( ) ( ) y para el caso de ergodicidad, las submuestras tienen la

misma distribución en sus momentos que la muestra. En caso de que exista alguna

diferencia entre las dos funciones, U se hará pequeño. Entonces la hipótesis nula no es

aceptada si U es muy pequeño. Nuevamente la media y varianza del estadístico son como

están definidas en (9).

Nuevamente se usa la cola izquierda del estadístico, para hacer la prueba, por la

conveniencia explicada en el test de estacionareidad. Por otro lado, hay que ser muy

cuidadoso respecto a los resultados ya que si las muestras y submuestras no son lo

suficientemente grandes no es posible asegurar que el estadístico U converja a una

distribución normal, y por tanto no se detecte la ergodicidad aun cuando exista (error tipo

I).

Dichas pruebas son aplicadas a las siguientes bases de datos, tomadas de diferentes medios.

PIB Estados Unidos, trimestral (Dólar 2005) ajustado estacionalmente. De 1947-1 a

2012-33

Empleo (sector privado) Estados Unidos, mensual, ajustado estacionalmente. De

enero de 1939 a junio de 2012.

3 Las siguientes series fueron tomadas de “U.S. Bureau of Economic Analysis” revisado por ultima vez el 12

de octubre 2012.

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Cambio porcentual consumo personal Estados Unidos, trimestral. ajustado

estacionalmente. De 1947-1 a 2012-1

IPC Estados Unidos, mensual. ajustado estacionalmente. De 1913-1 a 2011-7

Inflación Estados Unidos, trimestral. ajustado estacionalmente. De 1947-1 a 2012-1

Índice tasa de cambio Libra Esterlina-dólar, diario (5 Enero 1975- 02 de agosto

2012)4.

Las bases de datos son trabajadas en primeras diferencias y en el ultimo caso (índice Tasa

de Cambio) se aplica un filtro de volatilidad estocástica.

ANÁLISIS DE RESULTADOS.

En la tabla 1 y tabla 2, se pueden apreciar los resultados obtenidos luego de efectuar la

prueba estadística para cada una de las bases de datos mencionadas anteriormente, usando

submuestras de 10 observaciones cada una. En cada una la hipótesis nula es,

estacionareidad o ergodicidad respectivamente. En la primera prueba, no se rechaza la

hipótesis nula para ninguna de las variables. Realizando una prueba de raíz unitaria, se

logra verificar que el test está pronosticando correctamente.

En la segunda prueba, cada una de las variables acepta la hipótesis alternativa (no

ergodicidad). Sin embargo, como se mencionó anteriormente, la escogencia del tamaño de

las submuestras puede determinar la convergencia y aleatoriedad de la prueba y por lo tanto

su potencia. En el caso de submuestras de 10 observaciones, es posible asegurar

aleatoriedad de la prueba, pero no es segura la convergencia. Para lograr un nivel mayor de

convergencia, se realizan las mismas pruebas pero ahora con submuestras de tamaño 20 y

50. Los resultados se aprecian en la tabla 3.

4 Tomado de “Bank of England” revisado por última vez el 28 de agosto de 2012.

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Tabla 1. Prueba estacionareidad. Ho: Estacionareidad. (Limite de rechazo: |Z|>1.96)

Submuestras de 10 observaciones cada una.

ESTACIONAREIDAD

Variable Rachas m n Media U Varianza | |

US empleo 42 53 35 43.1590909 39.8903415 0.18352009

Cambio porcentual

consumo personal 13 14 13

14.48148148

12.94375857

0.411780736

inflación 68 56 63 60.2941176 58.5847164 1.00676987

PIB US 115

124

139

132.072243

130.143975

1.49650633

IPC US 9 74 5 10.3670886 2.00962206 0.96436062

INDEX tasa de

cambio 500 479

472

476.474238

474.94795

1.07949515

Tabla 2. Prueba ergodicidad. Ho: Ergodicidad. (Limite de rechazo: |Z|>1.96)

Submuestras de 10 observaciones cada una.

ERGODICIDAD

Variable Rachas m n Media U Varianza | |

US empleo 589 862 862 863 861.49971 9.33518642

Cambio porcentual

consumo personal

220

253

253

254

252.49901

2.13968123

Inflación 727 1175 1175 1176 1174.49979 13.1014653

PIB US 155 253 253 254 252.49901 6.23024829

IPC US 281 785 785 786 784.499681 18.0299695

INDEX tasa de

cambio 6821 9505 9505 9506 9504.49997 27.5409967

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Tabla 3. Prueba ergodicidad. Ho: Ergodicidad. (Limite de rechazo: |Z|>1.96)

Submuestras de tamaño variable

variables |Z| submuestra de n=20 |Z| submuestra de n=50

US empleo 9.33518642 10.4731155

Cambio porcentual

consumo personal 1.73383919 3.63578007

Inflación 14.7986354 13.0335377

PIB US 8.0270333 8.98655074

IPC US 19.0113623 19.542703

INDEX tasa de

cambio 50.675435 56.0061073

La tabla 3 muestra como la convergencia, dado el aumento en los datos de cada

submuestra, ratifica aún más la no existencia de ergodicidad en las variables escogidas.

Realizando tal variedad de pruebas se puede reducir (mas no eliminar) el riesgo de caer en

errores tipo I o II. Finalmente los valores de |Z| en el caso de esta prueba no ejemplifican

que tan cerca o que tan lejos esta de ser ergódica o no la variable en cuestión, esto dado que

no existe un tamaño para las submuestras que se pueda declarar optimo.

CONCLUSIONES

El supuesto de ergodicidad, aunque pasa desapercibido en las discusiones de los

economistas, no lo hace en sus efectos sobre la teoría económica. Aunque es un concepto

puramente estadístico, las implicaciones que tiene sobre la ciencia llegan a tal punto, que

logra definir las divergencias en el marco analítico, conceptual y practico de dos de las

principales escuelas, la neoclásica y la economía monetaria de producción.

La aproximación que da este texto al concepto de ergodicidad ofrece una verificación

empírica de la ausencia de esta propiedad en datos económicos reales, poniendo en duda y

debilitando ciertos conceptos actuales que rigen el pensamiento económico.

Por otro lado, El test Wald-Wolfowitz ofrece un método sencillo pero eficaz a la hora de

probar esta propiedad de los sistemas económicos, aunque carece de un método para

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estimar el tamaño eficiente de las submuestras impidiendo asegurar estadísticamente

convergencias y aleatoriedad. Sin embargo, la repetición de la prueba para varios tamaños,

permite contrarrestar esta deficiencia y ofrece robustez, rechazando para cada uno de ellos.

Finalmente, este trabajo es una base para la profundización en el análisis de la ergodicidad

en la economía, tanto para ampliar el conocimiento científico de la ciencia, como para

generar cada vez modelos y conceptos más pertinentes, haciendo uso de nuevas

herramientas que satisfagan la complejización que, como se vio en el trabajo, implica el

levantamiento de este supuesto

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