Analysmetod för aktiva stabilitetsmätningar

Handledare: Gustav Dominicus, Forsmarks Kraftgrupp AB,

Ronny Östin, TFE Umeå Universitet

Camilla Johansson

Civilingenjörsprogrammet

i energiteknik vid Umeå universitets tekniska högskola

2

Innehållsförteckning 1 Abstract .............................................................................................................................. 3 Sammanfattning ......................................................................................................................... 4 2 Inledning............................................................................................................................. 5 3 Syfte ................................................................................................................................... 5 4 Bakgrund ............................................................................................................................ 6

4.1 Processen.................................................................................................................... 6 4.2 Reglering .................................................................................................................... 7 4.3 Instabilitet................................................................................................................... 9

5 Hur man mäter stabiliteten idag ....................................................................................... 10 6 Metodik ............................................................................................................................ 12

6.1 Aktiv mätning med PRBS-signal ............................................................................. 13 6.2 Simulera mätserier.................................................................................................... 15 6.3 Utvärderingsmetod ................................................................................................... 16

6.3.1 Filter ................................................................................................................. 17 6.4 Modellordning för härdmodellen ............................................................................. 17 6.5 Validering av modell ................................................................................................ 19

7 Utförande.......................................................................................................................... 20 8 Resultat............................................................................................................................. 20

8.1 ARMAX-modell som härdmodell............................................................................ 20 8.2 Tillståndsmodell som härdmodell ............................................................................ 23 8.3 Beräkning av dämpkvot ........................................................................................... 26 8.4 Validering................................................................................................................. 28

8.4.1 Härdmodellsvalidering ..................................................................................... 28 8.4.2 Metodikvalidering ............................................................................................ 31 8.4.3 Korsvalidering.................................................................................................. 33 8.4.4 Mätseriesvalidering .......................................................................................... 36 8.4.5 ARMA-modell validering ................................................................................ 37

8.5 Modifierad utvärderingsmetod................................................................................. 38 9 Diskussion ........................................................................................................................ 38 10 Slutsats ......................................................................................................................... 39 11 Referenser..................................................................................................................... 40 Bilagor Bilaga A Matlabkod för att skapa en ARMAX-modell, byta pol och simulera ny mätserie Bilaga B Matlabkod för att beräkna dämpkvoten med tillhörande frekvens och ordning Bilaga C Matlabkod för att beräkna dämpkvoter från alla verkliga mätserier Bilaga D ARMAX-modell som härdmodell Bilaga E Tillståndsmodell som härdmodell Bilaga F Härdvalidering Bilaga G Korsvalidering

3

1 Abstract The aim of this work is to get a more accurate estimate of the stability measurements by making active measurements at the core. Active measurements are when you deliberately disturb the system and build a model with signals from the system. In this case the idea is to use the input, with which you disturb the system and the out coming output to build a model. This model is an extension of the ARMA-model, which is based on the output only, to an ARMAX-model. Changing the pressure reference value like a pseudo random binary sequence, PRBS, makes the disturbance. A problem is that there exists only two series of measurements where the pressure reference value has been changed. New measurements were made by simulating a model of the core with a PRBS-signal as input along with white noise. In this way new measurements were created and they had a known value of decay ratio. The same procedure as in today’s calculations of decay rate where used except that ARMAX-models where modeled. In this report there has also been an investigation to choose the model with lowest final prediction value instead of taking the model with the highest decay ratio. This change is called criteria K1. To use the pressure as an input it had to be simulated. But in the models that were made one could see a correlation between input and output and this is a sign that there were missing important information in the model. This could also be seen when calculating the decay rate by showing large variation from the real decay rate value. The conclusion was that it was not possible to create pressure signals. If one chooses the highest decay rate instead of the lowest final prediction error (fpe-value) when choosing model the mean error will increase radically. The conclusion is that the difference between mean error and standard deviation is too small to say that one model is better than the other. The recommendation is that you choose the model for the system by criteria K1, lowest fpe-value for the model, and then you can add one standard deviation for safety reasons.

4

Sammanfattning Idag mäter man neutronflödet i reaktorhärden för att bland annat kontrollera att flödet inte börjar svänga upp och ned med för stora variationer. Man säger att reaktorn är instabil om neutronflödet svänger för mycket. För att undvika detta beräknar man ett mått på stabiliteten som kallas dämpkvot. Beräkningen av dämpkvoten genomförs idag genom att anpassa en ARMA-modell till systemet med hjälp av neutronflödessignalen. Ur ARMA-modellen tas den mest dominanta polen och dämpkvoten, dk beräknas. Syftet med detta examensarbete är att förbättra noggrannheten i stabilitetsmätningarna genom aktiva mätningar på reaktorhärden. Aktiva mätningar innebär att man medvetet stör systemet för att få en bra modell av systemet. För att kunna beräkna dämpkvoten utvecklas ARMA-modellen till en ARMAX-modell som skapas av en insignal och en utsignal till systemet. Ett problem var att det bara finns två verkliga mätningar där man medvetet har stört tryckbörvärdet med en PRBS-signal. För att testa ARMAX-modellen behövdes fler mätserier och dessa simulerades genom att skapa en modell av härden av de verkliga mätserierna. Mätserier skapades med känd dämpkvot som sedan utvärderades genom att anpassa en ARMAX-modell och beräkna dämpkvoten. Tillvägagångssättet vid val av modell och beräkning av dämpkvot gjordes på samma sätt som man gör på kärnkraftverket i Forsmark idag. I denna rapport har det även undersökts att välja den modell med lägst fpe-värde, final prediction value, istället för modellen med högst dämpkvot vid val av modell. Denna ändring har namngivits till kriterieändring K1. Det gick inte att skapa trycksignaler för att modellen av härden fångade inte upp alla egenskaper mellan tryck och tryckbörvärdet. Det var däremot inga problem att skapa neutronflödes signaler. Resultatet av dämpkvotsberäkningarna visade att väljer man att ta modellen med högsta dämpkvoten blir medelfelet större. Slutsatsen är att skillnaden mellan aktiva mätningar och dagens brusmätningar är för liten för att man ska kunna konstatera att den ena metoden är bättre än de andra. Dock bör man förändra sitt tillvägagångssätt i frågan om val av modell. Man bör använda sig av kriterieändring K1 och efteråt kan man lägga på en standardavvikelse av säkerhetsskäl.

5

2 Inledning Kärnkraftverket i Forsmark består av tre reaktorer, F1, F2 och F3, som sammanlagt producerar ca 20 terawattimmar per år. Detta är en sjättedel av Sveriges elproduktion per år och motsvarar 1 miljon eluppvärmda villor under ett helt år. Det är viktigt för företaget och omvärlden att kärnkraftverket är säkert och kan upprätthålla en hög tillgänglighet. Forsmarks kraftgrupp AB har ett omfattande arbete vad gäller säkerhet och förebyggande mot incidenter i anläggningen. Under de senaste 20 åren har det inträffat instabilitetshändelser i kärnkraftsverk runt om i världen. Detta innebär att den termiska effekten som produceras i reaktorhärden börjar pendla mycket på kort tid. Händelsen kan leda till snabbstopp och en nedgång i produktion av elektricitet. Man har undersökt fenomenet och numera använder man sig av online-övervakning för att förhindra instabilitet.

3 Syfte Syftet med examensarbetet är att förbättra noggrannheten i stabilitetsmätningarna som utförs på reaktorhärden. Genom att öka noggrannheten kommer sannolikheten att drabbas av driftstopp att minska vilket är en önskvärd effekt. Man analyserar regelbundet stabiliteten på reaktorhärden genom mätningar och simuleringar. Stabilitetsmätningar görs flera gånger per år och är brusmätningar av ett antal processignaler, främst neutronflödet, som sedan loggas och analyseras med matematiska modeller. På reaktor 1 och 2 i Forsmark finns idag möjlighet att göra så kallade aktiva mätningar, dvs lägga på en störsignal på reaktorns tryckbörvärde och därmed öka signal-brus förhållandet i reaktorn. Förhoppningen är att med ökat signal-brusförhållande och en känd insignal ska man kunna göra en noggrannare analys av stabilitetsegenskaperna.

6

4 Bakgrund Ett kärnkraftverk fungerar delvis på samma sätt som ett konventionellt värmekraftverk. Man producerar vattenånga som passerar igenom turbinen och sedan produceras elektricitet med hjälp av en generator. Det som skiljer de två kraftverken åt är metoden att producera sin vattenånga. Reaktorerna som finns i Forsmark är av typen kokvattenreaktorer. Urankärnor klyvs med hjälp av neutroner varmed en stor mängd värme frigörs. Vanligt vatten fångar upp energin från kärnklyvningar för att sedan övergå till ånga för elproduktionen.

4.1 Processen

Figur 1. Tvärsnittet av en kokvattenreaktor.

7

Vatten pumpas upp genom reaktorn för att bränslestavarna ska få kylning och för att man vill fånga upp energi som avges efter kärnklyvningarna. Se figur 1. Det bildas en blandning av vatten och ånga under transporterna längs med stavarna. Ångan separeras genom ångseparatorerna som ligger ovanför bränslehärden. Vattnet som blir över transporteras tillbaka genom fallspalter på sidan om härden. Ångan samlas i ångdomen och tappas sedan vidare till turbinen. Efter turbinen kondenseras ånga till vatten som sedan pumpas tillbaka till härden efter förvärmaren. Bränslehärden är en cylinder som är 4 meter hög och 4 meter i diameter och består av ca 700 bränsleelement. För att kontrollera effekten hos varje bränsleelement kan styrstavar skjutas in i härden. Styrstavarna är byggda som ett kors och styr fyra bränsleelement vilket ger ca 175 stycken styrstavar i härden. Bränslehärden är rotationssymmetrisk, vilket innebär att alla bränsleelementen har en tvilling 180° runt om, som är utbränd på samma sätt. I Forsmark har man revision av alla reaktorer under sommarmånaderna. Då underhålls och uppgraderas anläggningen. I första hand flyttar man om och byter ut bränsleelementen. Det är högre effekt längre in i bränslehärden vilket gör att elementen längst in bränns ut fortare. Genom att flytta ut dessa kan man använda dem längre och spara pengar. Vid varje revision byter man bara ca 20-25 % av bränsleelementen [1]. Detta medför också att man kan ha olika typer av bränsleelement. Mätkanaler används för att mäta neutronflödet på 144 olika ställen i reaktorhärden och består av mätutrustning och neutronkänsliga detektorer. Dessa kanaler kallas LPRM vilket står för local power range monitor och är indelade i 4 stycken grupper jämnt fördelade över härden. För varje grupp beräknas ett medelvärde kallad APRM, average power range monitor. För ett kärnkraftverk talar man generellt om två olika effekter. Den ena är den termiska effekten och är mängden värme som reaktorn producerar. Den andra är den elektriska effekten vilket är hur mycket kärnkraftverkets generatorer levererar ut på elnätet. I denna rapport är det den termiska effekten som diskuteras om inte annat anges.

4.2 Reglering Effekten i en kokvattenreaktor regleras med styrstavarna och av vattenkylflödet genom bränslehärden. Styrstavarna fångar upp neutroner som gör att reaktiviteten sjunker och därmed också den termiska effekten. Genom att styra in dem med olika längd kan man få den önskade effekten. Samtidigt är vatten en bra så kallad moderator dvs den sänker hastigheten på neutronerna så att sannolikheten att en klyvning sker ökar och därmed ökar också effekten. Man måste även ta hänsyn till temperaturen på ett bränsleelement. Den får inte vara för hög för då kan bränsleelementen gå sönder. Ett optimalt driftläge är en ånghalt på ca 1/7 av vattnet [1]. En ytterligare faktor som påverkar effekten är xenonhalten. Xenon bildas med en viss tidsfördröjning under klyvningsprocessen och reagerar med fria neutronerna. Det gör att reaktiviteten och därmed också effekten sjunker. Efter en tid når xenonhalten ett jämviktsläge då effekten ökar igen. Ovan nämnda egenskaper av reaktorhärden är bara några av alla egenskaper som man måste ta hänsyn till när man reglerar effekten. Det är alltså inte lätt att styra en reaktorhärd. Tillverkaren av reaktorn har upprättat ett diagram, se figur 2, för att driftpersonalen ska veta hur de ska styra reaktorn för att undvika instabilitet.

8

HC-flöde [kg/s]

Term

isk

effe

kt [%

]

Forsmark 2

2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 110000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

rekommenderat driftområde

tillåtet driftområde

instabilitetszon

Figur 2. Figuren visar ett driftdiagram för Forsmark 2. Innanför de svarta tjocka strecken (gult) är

tillåtet driftområde förutom den svarta zonen som är instabilitetszonen. I den skuggade zonen (grönt) är rekommenderat driftområde.

Driftdiagrammet visar vilket värde som är tillåtet för den termiska effekten och vattenkylflödet, så kallat HC-flöde, i härden. Den svarta zonen är den del av instabilitetszonen som påverkar driftområdet och där marginalerna är små och risken är stor att en instabilitetshändelse ska inträffa under pågående drift. Dessutom har tillverkaren lagt in en zon för rekommenderat driftområde vilket motsvarar mot den skuggande (gröna) delen i figur 2.

Figur 3. Blockschema över tryckregleringen i reaktorn.

Tryck-reglering Ventil-

reglering ventil

Tryckbörvärde Tryck APRM-signal Härd

9

En reaktor styrs med hjälp av många olika regulatorer, exempelvis tryckregulatorn som reglerar trycket. Systemet är återkopplat och det innebär att regulatorn använder det uppmätta trycket för att reglera trycket i nästa steg, se figur 3. Regulatorsignalen går vidare till ventilregulatorn som sedan bestämmer hur mycket ånga som ska släppas ut i olika ventiler för att reglera trycket. För att få en snabb reglering vid effektförändring används neutronflödet som är direkt proportionellt mot ångproduktionen. Regleringen styrs genom att sända APRM-signalen till regulatorn för trycket.

4.3 Instabilitet Som beskrivits ovan så finns det många faktorer som påverkar effekten i en kokarvattenreaktor. En reaktor beskrivs som instabil när effekten börjar svänga okontrollerat. Dessa svängningar sker i ett frekvensområde mellan 0,1-1 Hz. Forskare och tekniker har sedan länge känt till detta fenomen men man trodde att man byggt bort det. Från mitten på 80-talet har dock instabilitetsincidenter inträffat runt om i världen. Detta beror delvis på att tekniska och ekonomiska aspekter drivit utvecklingen mot smalare bränslestavar som i sin tur medför snabbare dynamik i processen. Följden har blivit att stabilitetsmarginalerna har minskat. Man brukar definiera fyra olika typer av instabilitet i en reaktor global-, regional-, lokal- och anläggningsinstabilitet. Instabiliteten kännetecknas av att effekten börjar svänga och antingen orsakar ett delsnabbstopp eller ett totalsnabbstopp. Global instabilitet inträffar när hela bränslehärden svänger i fas. Detta kan inträffa när man hamnar i instabilitetszonen, som kan ses i figur 2, där man har små stabilitetsmarginaler. Effekten och vattenkylflödet kommer till en kritisk gräns där systemet börjar oscillera. Storleken på vattenkylflödet påverkar ångbildningen i härden som i sin tur påverkar effekten genom neutronikåterkopplingen. Ökad effekt försämrar kylningen av härden. Kylflödet oscillerar fram och åter vilket avspeglas på neutronflödet som i sin tur påverkar reaktoreffekten. Störst risk för att hamna i instabilitetszonen är vid nedstyrning av effekt. Lokal instabilitet kan inte alltid detekteras på APRM-signalen. Detta beror på att en lokal instabilitet kännetecknas av att en oscillerande effekt uppträder lokalt i bränslehärden. APRM-signalen ger ett medelvärde av alla LPRM-signaler och därför upptäcks kanske inte problemet. En orsak kan vara att en störning av kylflödet har inträffat i bara en kylkanal i härden. Ånghalten förändras och en densitetsvåg rör sig uppåt i kanalen. Totaltrycket för kanalen är konstant vilket medför att, om trycket ändras vid utloppet så ändras inloppstrycket med samma storlek men med motsatt verkan. Störningen i en kylkanal kan alltså ge upphov till oscillerande tryckförändringar, vilket i sin tur påverkar effekten. Regional instabilitet inträffar när olika delar i reaktorhärden svänger i motfas. Detta ser man genom att jämföra fasvinkeln mellan två olika LPRM-signaler på samma höjd i härden. Det kan inte detekteras med hjälp av APRM-signaler då svängningarna släcker ut varandra när man beräknar medelvärdet. Oftast föregås en regional instabilitet av en global instabilitet. Anläggningsinstabilitet kommer ifrån att det yttre systemet får härddynamiken att svänga genom påtvingad svängning. Om det sker med en frekvens runt 0,5 Hz kommer härden att svara med resonanssvängningar vilket gör hela förloppet väldigt komplicerat [3].

10

5 Hur man mäter stabiliteten idag Härdens stabilitetsegenskaper mäts idag med mätdata från LPRM och APRM-signalerna som används för att bygga en matematisk modell. Modellen är linjär och beskriver systemets dynamik. Reaktordynamiken är olinjär men man antar att den är linjär kring driftpunkten. När driftpunkten ändras får man göra nya mätningar och anpassa en modellen efter de nya förutsättningarna, dvs olika driftförhållanden ger olika mått på stabiliteten. Dämpkvoten, dk, är ett mått på stabiliteten som används inom kärnkraftsbranschen. Definitionen av dämpkvoten är förhållandet mellan två på varandra följande maxima, A1 och A2 se figur 4, när systemet har utsatts för en störning.

Figur 4. Definitionen av dämpkvoten, dk.

Kurvan i figur 4 beskrivas av ekvation (1) där den dominanta polen i systemet är z = α ± iω. )sin()( φωα += tCety t (1) där y = signal t = tid C = konstant

φ = vinkelförskjutningen

ωπααα

α

ϖπ /2

)(

1

2 2 eTeCe

CeAAdk T

t

Tt

=

=====

+

(2)

där T = tiden mellan två maxima

0 2 4 6 8 10 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

A 1 A2

Tid (s)

y

1

2

AAdk =

11

dk = dämpkvoten Ekvation (2) ger härledningen till dämpkvoten som gäller för det kontinuerliga fallet. Om man sedan gör om det till diskret tid så får man ekvation (3), [2], som används i realiteten.

ϕπ2

rdk = (3)

zr

zT

fd

=

=

=

)arg(2

ϕπϕ

där φ = vinkeln för den dominanta polen Ts = samplingstid z = dominanta polen fd = frekvensen Inom reglertekniken använder man sig av polplacering för att kontrollera om ett system är stabilt. Ett system är stabilt om exponentialfunktionen i ekvation (2) ej divergera vilket innebär att exponenten ska vara negativ. Detta medför att realdelen i polen z ska ligga på den negativa delen av den reella axeln i det kontinuerliga fallet, se ekvation (4). Detta i sin tur leder till att dämpkvoten varierar mellan 0 till 1. iz ωα ±= ωπα /2e , 0<<∞− α , ∞<< ω0 10 << dk (4) Alltså när dk <1 är systemet stabilt och dämpat. Är däremot dk = 1 så är föregående amplitud lika stor som påföljande, vilket visar att systemets svängningar ej avtar. Skulle dk vara större än 1 skulle systemet vara instabilt och bara svänga mer och mer dvs oscillera. Dock är inte dämpkvoten väl definierad för värden större än 1. Dämpkvoten är definierat för ett andra ordningens system och dess enda polpar. För ett högre ordningens system har man utvecklat dämpkvotsbegreppet till att beskrivas av det mest dominerande polparet. Har det dominanta polparet en dämpningsfaktor så dämpar det hela systemet eftersom det har störst betydelse för systemet. För en reaktor är det reaktorns resonansfrekvens som påverkar systemet mest. Resonansfrekvensen uppkommer bland annat av termohydrauliken i härden och ligger någonstans mellan 0,1-1 Hz vilket benämns härdfrekvensområdet [3]. När man anpassar en modell är det viktigt att man bara får en pol inom detta område så att den innehåller stabilitetsegenskaperna för systemet. Den linjära ARMA-modellen som används är bevisad att vara reaktivitetens överföringsfunktion för systemet (March-Leuba och King, 1988) [3]. Det naturliga bruset används för att uppskatta ARMA-modellen och sedan beräkna dämpkvoten. ARMA-modellen, se ekvation 5, byggs upp med hjälp av processidentifiering i Matlab. Man skapar sin modell av APRM-signalen som visar hur neutronflödet varierar. Neutronflödet och effekten är proportionell mot varandra vilket medföljer att modellen även avspeglar effektens variation.

12

)()()()( teqCtyqA = (5) där y(t) = den samplade mätsignalen e(t) = vitt brus A(q),C(q) = koefficientvektor för fördröjningsoperatorn q = fördröjningsoperatorn (ex: q-1u(t)=u(t-1)) u(t) = insignalen

För att skapa modellen i Matlab måste man ange modellens ordningstal, vilket är antalet koefficienter för A och C polynomet. Dessa tal beskriver hur långt bakåt i tiden man ska hämta information för att beskriva ett tidssteg framåt. Idag väljs ordningstalen på ARMA-modellen genom att tio olika modeller undersöks och man sätter upp kriterier för att ta fram den modellen som bäst representerar systemet. Första kriteriet är att endast en pol och inga nollställen ligger inom härdfrekvensområdet som valts till 0,3-0,7 Hz. Detta beror på att om två poler ligger nära varandra tar de information ifrån varandra och man får ingen dominant pol. Ligger det istället en pol och ett nollställe nära varandra kan de ta ut varandras information eller förstärka information som i sin tur ger ett felaktigt värde på dämpkvoten. Nästa kriterium är att standardavvikelsen för dämpkvoten ska vara mindre än 0,1. Finns det flera modeller som uppfyller kriterierna används den modell som har högsta värdet av dämpkvoten. Hittar man ingen modell används en andra ordningens modell [2].

6 Metodik För att försöka förbättra noggrannheten i stabilitetsmodellen gör man en aktiv mätning som ger en känd insignal till den matematiska modellen av systemet. Den aktiva mätningen består av att störa insignalen som i sin tur påverkar utsignalen och ger därmed ett tydligt samband mellan signalerna som modellen ska fånga upp. Modellen av systemet får i och med detta mer information och bör bättre efterlikna systemet och ge noggrannare dämpkvot. Ett problem är att det bara har gjorts två verkliga aktiva mätningar i Forsmark. Därför får man börja med att skapa mätserier som sedan kan användas till att beräkna dämpkvoten. Figur 4 visar en övergripande figur på metodiken. Vänstra delen går ut på att skapa nya mätserier genom att skapa en härdmodell där dämpkvoten har ett känt värde. Med hjälp av härdmodellen simuleras nya APRM-signaler som används, högra delen av figur 5, till att beräkna dämpkvoten med en utvärderingsmetod.

13

Figur 5. Schematisk bild över metodiken för att skapa mätserier och beräkna dämpkvoten..

6.1 Aktiv mätning med PRBS-signal I detta fall är tanken att insignalen ska vara en slumpmässig störning kallad PRBS-signal. PRBS står för Pseudo Random Binary Sequence vilket säger att det är en slumpmässig signal bestående av flera pulser med olika längd men med samma amplitud. Denna typ av signal är vanlig vid beräkningar av överföringsfunktioner och approximeras till vitt brus. Ett exempel kan ses i figur 6.

Figur 6. Tryckbörvärdet som en PRBS-signal.

PRBS u(t) Modell Aprm y(t)

PRBS u(t) Härd Aprm y(t)

Aprm y(t)Utvärderings metod

dk

280 300 320 340 360 380 400 420 440 46068.75

68.8

68.85

68.9

68.95

69

69.05

69.1

69.15

69.2 Tryckbörvärdet u(t) som PRBS-signal

Tid [s]

Tryc

kbör

värd

et (b

ar)

14

Av de två mätserierna som skapats genom aktiva mätningar används MAKT_2000-07-07_04.mat för att skapa härdmodellerna och namnges till originalmätserien. Den skapades vid ett tryckstörningsprov vid uppstart av en reaktor som genomfördes inom projektet MAKT (Modernisering Av Kontrollutrustning Turbin). Den aktiva mätningen gjordes vid en reaktoreffekt på 65 % och ett kylflöde på 5300 kg/s. Man använde den inbyggda störgeneratorn i turbinregulatorn för att skapa en PRBS-signal med amplitud på 0,15 bar och frekvensen varierades mellan 0,5 och 2 Hz. PRBS-signalen adderades sedan till tryckbörvärdet som var 70 bar [9]. Mätningen skedde med en frekvens på 50 Hz men konverteringsprogrammet klarade inte av mängden data så att mätserien är nedsamplad till 25 Hz. I figur 7 kan man se spektrumet för APRM-signalen som bildades under tryckstörningsprovet. Man ser tydligt en topp kring 0,5 Hz vilket motsvarar resonansen i reaktorn.

Figur 7. Spektrum för orginalmätserien.

Den kvarvarande mätserien används som valideringsmätserie och tas från fil stabPRBS_2002-01-11_02.mat. Mätningen gjordes i samband med härdstabilitetsmätningar och ventilprov. Reaktoreffekten var 63,8 % och kylflödet 4630 kg/s vid provets start. Samplingstiden var 25 Hz under 10 minuter och PRBS-signalen hade en amplitud på 0,15 bar och en frekvens på 0,5 Hz [8]. För att få en mätserie med känd dämpkvot byts den dominanta polen i härdmodellen mot en pol med känd dämpkvot. Den pol med känd dämpkvot tas ifrån ARMA-modeller som skapats av mätserier från stabilitetsmätningar som gjort genom åren på verket. 71 stycken olika dämpkvoter används och de är jämnt fördelade över ett intervall på 0,3-0,79 i dämpkvot förutom en avvikare på 0,16. Dessa kan ses i figur 8. Dessa är en sammanställning av stabilitetsmätningar från uppstarten efter revision –92 fram till revision –93.

0 2 4 6 8 10 12 14 10 -3

10 -2

10 -1

10 0

10 1

Frekvens (Hz)

15

e(dk)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

2 1 2 2 3 2 1 1 1 2 3 3 1 3 1reaktor

däm

pkvo

t

e(dk)

Figur 8. Värdet på dämpkvoter som används och tas bort under projektets gång.

6.2 Simulera mätserier Härdmodellerna kommer att skapas som en ARMAX-modell, se ekvation (6), och en tillståndsmodell, se ekvation (7). ARMAX-modellen valdes för att det är en utvecklad modell av ARMA-modellen som är beprövad. Tillståndsmodellen valdes för att den kan byggas med flera in och utsignaler. I denna studie behövdes två utsignaler, trycket och APRM-signalen, för att sedan kunna testa utvärderingsmetoder med trycket som insignal och APRM som utsignal. Två härdmodeller skapades för att kunna jämföra trender och se att de inte kom från modellen. Härdmodellens uppgift är att skapa utsignaler som liknar processens utsignaler när en PRBS-störning är lagt på tryckregulatorn. Signalerna ska dessutom innehålla en känd pol vilket sker genom att byta ut den dominanta polen mot en pol med känd dämpkvot. Mätserierna som skapats av härdmodellerna har ej samplats ned eller filtrerats för att inte tappa information och för att kunna återskapa signaler med samma frekvens. För att skapa en härdmodell används orginalmätserien. Man har då en insignal u(t) bestående av tryckbörvärdessignalen och en utsignal y(t) som är APRM-signalen från härden.

ARMAXy(t)

e(t)

u(t) ARMAXy(t)

e(t)

u(t)

)()()()()()( teqCnktuqBtyqA +−= (6) där y(t) = neutronflödet u(t) = tryckbörvärdet nk = tidsförskjutningskonstant

16

e(t) = vitt brus q = fördröjningsoperatorn, enligt tidigare definition A(q), B(q) och C(q) = polynom med ordningstal na,nb resp. nc ARMAX-modellen beräknas iterativt av funktioner från Matlabs System Identification Toolbox. Man behöver dock ange modellordningen dvs. na,nb ,nc och nk. na,nb ,nc är polynomens ordningstal och säger hur långt bakåt i tiden man ska ta information för att förutse information framåt i tiden. nk är en tidsförskjutningskonstant som berättar om hur långt tid det tar från att insignalen u(t) har blivit förändrad till dess att den påverkar utsignalen y(t). En tillståndsmodell beskriver relationen mellan in-, ut-signaler och bruset i systemet av differensekvationer med en hjälpvektor x(t), se ekvation (7). När man skapar en tillståndsmodell får man ange systemets ordningstal n. Detta är storleken på hjälpvektorn x(t). Om insignalen är en m-vektor och utsignalen är en p-vektor blir A en n×n-matris, B en n×m-matris , C en p×n-matris och D en p×m-matris. Fördelen med en tillståndsmodell är att den kan behandla flera in- och/eller utsignaler. I detta fall används tryckbörvärdet som insignal och APRM och trycket som utsignaler.

)()()()(

)()()()1(tetDutCxty

tKetButAxtx++=

++=− (7)

där

)1( −tx = hjälpvektorn ett steg bakåt i tiden y(t) = neutronflödet u(t) = tryckbörvärdet e(t) = vitt brus A,B,C,D,K = koefficientmatriser I modellen som representerar härden byts den dominanta polen ut mot en pol där man vet dämpkvoten. Sedan simuleras nya mätserier genom att lägga på en PRBS-signal och vitt brus till härdmodellen. På detta sätt får man olika mätserier med olika information.

6.3 Utvärderingsmetod Efter att ha skapat flera mätserier med härdmodellen så ska dämpkvoten beräknas. Detta görs genom att även här anpassa en ARMAX-modell. För att kunna jämföra med tidigare beräkningar av dämpkvoten är utvärderingsmetoden snarlik nuvarande utförande. Det vill säga att man beräknar tio stycken ARMAX-modeller och tar ut en modell enligt följande kriterier:

1. Att det bara finns en pol och inget nollställe i härdfrekvensområdet 0,3-0,7 Hz. 2. Standardavvikelse för dämpkvoten ska vara mindre än 0,1. 3. Välj den modell som har högst dämpkvot.

Mätserierna behandlas innan de anpassas till en modell på samma sätt som för nuvarande metod dvs medelvärdet dras bort och antalet mätvärden halveras. Skillnaden är att man bytt modell och använder sig av en insignal vid byggandet av modellen.

17

Efter några första försök syntes en trend, att den modellen med lägst fpe-värde (Final Prediction Error, se definition i avsnitt 7.4) hade noggrannare dämpkvot än modellen med högsta dämpkvoten, punkt 3 på föregående sida. Denna kriterieändring döptes till K1 och testades i alla dämpkvotsberäkningar.

6.3.1 Filter Dämpkvoten beräknas med en dominant pol som ligger vid en specifik frekvens. I detta projekt har en modifierad utvärderingsmetod provats där in- och utsignalen filtreras innan man skapar en modell och beräknar dämpkvoten. Filter används till att sortera bort olika frekvenser som kan få stor vikt när man skapar en modell av signaler. I detta fall har ett butterworthfilter används av femte ordningen på in- och utsignalen. Förhoppningen var att lågpassfiltret, som tar bort alla frekvenser över 1 Hz, skulle ge en modell som bättre anpassades till härdfrekvensområdet.

6.4 Modellordning för härdmodellen I detta arbete används impulssvar, residualanalys, pol-nollställes analys, Final Prediction Error, [5], och jämförelser av verkliga och modellerade mätsignaler för att bestämma modellordningen för ARMAX-modellen. Impulssvaret av in- och utdata är en parameter som ger ett mått på fördröjningen i systemet genom att visa hur systemet svarar på en impuls. Modellordningstalet får man genom att uppskatta tiden när impulssvaret korsar ett konfidensintervall på tre standardavvikelser, [4].

Residualanalys innebär att man undersöker modellens residualer för att kunna skapa sig en bild om modellen återspeglar systemet. Residualerna är skillnaden mellan uppmätta utsignaler och modellerade utsignaler dvs felet. Man tittar på korskorrelationen mellan residualerna och insignalen som inte bör ge stora avvikelser från ett 99 % konfidensintervall. Skulle detta vara fallet finns det information i residualerna som inte är modellerat. En tumregel är att om korskorrelationen sakta varierar utanför konfidensintervallet har man modellerat för få poler, medan skarpa spikar kan bero på för få nollställen eller fel fördröjningskonstant [4]. Korrelation mellan negativ tidsfördröjning för insignalen och residualerna visar att det finns återkoppling i systemet och bör ej förkasta modellen. Residualanalys innebär också att man studerar korrelationen mellan residualerna emellan kallad autokorrelation. Även här ska de ej ha något samband som överstiger ett 99 % konfidensintervall. När man skapar en modell kan man välja att använda höga modellordningstal för att få med så mycket information som möjligt. Nackdelen är då att man kan börja modellera brus. Detta är en avvägning och i detta arbete används Akaike’s Final Prediction Error, som definieras enlig ekvation (8), för att jämföra modeller.

VN

nN

nfpe ⋅

−

+=

1

1 (8)

18

där n = antal skattade termer i modellen N = antalet mätvärden

∑=

==N

tNt

NktionförlustfunV

1

2 )ˆ,(1 θε

ε = felet av modellerade utsignalen och verkliga utsignalen. t = tiden θ̂ = parametervärde vid överföringsfunktion Förlustfunktionen innehåller felet i kvadrat vilket ska vara så litet som möjligt. Bråket ska kompensera så att man inte börjar modellera brus [5]. När man jämför modeller ska alltså fpe-värdet vara så litet som möjligt. En ARMAX-modell kan skrivas i bråkform bestående av poler, nollställen och en konstant k. Polerna är rötter i polynomet som står i nämnare medan nollställen kännetecknas av rötterna för polynomet i täljaren. Vad som kan inträffa när man skapar en modell är att ett nollställe och en pol ligger väldigt nära varandra och de två sägs då kunna kancellera ut varandra. Detta kan man upptäcka om man ritar ut alla poler och nollställen i det komplexa talplanet. Man kan även se om modellen är stabil ty polerna ska ligga innanför enhetscirkeln. Får man pol-nollställeskancellation indikerar det att man kan använda en lägre modellordning för att man modellerar brus. Om residualerna innehåller information är det intressant att titta i ett spektrum för residualerna för att identifiera frekvensen på informationen. Eftersom den dominanta polen ligger mellan ca 0-1 Hz bör man undersöka att man inte missat att modellera information inom detta område. Sist men inte minst bör man jämföra utsignalen med den modellerade utsignalen. Detta ger en klar bild om modellen klarar av att skapa bra utsignaler. Bästa metoden är om man har sparat testvärden som inte använts i modellen och försöker återskapa dessa signaler med sin modell. I Matlab finns funktionen compare som plottar upp utsignalen i samma figur som den modellerade utsignalen. Den räknar även ut ett procentuellt värde, enligt ekvation (9), på hur bra modellen klara av att modellera utsignaler.

))(

)(1(100medel

M

yynormyynormfit

−−

−⋅= (9)

där y = verklig utsignal yM = modellens utsignal ymedel = medelvärdet av den verkliga utsignalen Vektorn yM-y är residualerna för modellen och normen av detta blir längden av vektorn [7]. Bråket motsvarar att jämföra längden av residualerna mot längden av utsignalen från medelvärdet. Residualerna ska vara så små som möjligt vilket ger ett högt värde på fit, men ekvation (9) tar ej hänsyn till om man modellerar brus.

19

6.5 Validering av modell När man har tagit fram mätserier och dämpkvoter ur vald modell så måste man testa att dessa verkar realistiska. Till detta används valideringsmätserien. Valideringen ska ge svar på om härdmodellen är tillräckligt anpassad för mätserien. Samtidigt ska modellen visa om hela metodiken är tillräcklig för sitt syfte och om den beskriver det riktiga systemet med dess dynamik. Nedan är de fem olika valideringsmetoder som används:

1. Härdmodellvalidering. Ta härdmodellen med vald modellordning fast med valideringsmätserien som indata vid återsimulering av mätserien. Jämför modellerade utsignaler mot riktiga utsignaler och titta på residualerna. Beräkna dämpkvot.

Denna validering ger inte riktigt en sann bild eftersom det är olika dynamik i systemet vid olika tillfällen. Samtidigt så är syftet att få en härdmodell som skapar mätvärden för olika dynamik i systemet. Detta test ska alltså inte ge så stor avvikelse i frågan om modellkvalité och skillnad i dämpkvot men dock en avvikelse.

2. Metodikvalidering. Ta valideringsmätserien och skapa en ny härdmodell med ny modellordning. Byt ut den dominanta polen och skapa nya simulerade mätserier. Beräkna nya dämpkvoter.

Det är intressant att se om de nya dämpkvoterna beter sig som dämpkvoterna som är modellerade med originalmätserien. Detta visar om trenden i dämpkvoterna är skapade av originalmätserien.

3. Korsvalidering. Detta innebär att man plockar bort ett antal mätvärden ur mätserien innan härdmodellen skapas. Testa sedan att simulera de bortplockade mätvärdena i den nya härdmodellen. Se hur bra härdmodellen är på att simulera dessa data.

Detta visar hur bra härdmodellen är med rådande dynamik vid det aktuella tillfället.

4. Mätseriesvalidering. Beräkna dämpkvoten med ARMA- och ARMAX-modeller för verkliga mätserier. Uppskatta om dämpkvoterna förhåller sig på samma sätt som dämpkvotsberäkningarna beräknade på de simulerade mätserierna. Dvs. se om dämpkvoterna uppför sig på samma sätt i förhållande till kriterieändringen K1.

Detta visar hur bra metodiken är, dock osäkert när det bara finns två verkliga mätserier att tillgå. Man vet dessutom inte värdet på dämpkvoten som skulle ge en felgräns.

5. ARMA-modellering. Använd metodiken men skapa nya mätserier för dämpkvotsberäkning med en ARMA-modell som härdmodell. Testa sedan de nya mätserierna med ARMA-modeller. Dessa modeller byggs enbart på utsignalen så det är ingen aktiv mätning men polbytet sker med samma poler som tidigare. Härdmodellen är i ena fallet en ARMA-modell och i ett andra fall en tillståndsmodell för att se att trender i mätserierna inte uppkommer från härdmodellen.

Detta testar metoden och kan sedan jämföras med ARMAX-modellens resultat. Ger således en bild om metoden lyckats simulera serier som motsvarar verkliga mätserier.

20

7 Utförande För att skapa nya mätserier har jag programmerat funktionen utsignal.m, se bilaga A. Inparametrar är imaginära talet för den pol som ska in i mätserien. Utparametrar är en ny mätserie med in och ut-signaler, modellen och originalmätserien som skapat härdmodellen. Före modelleringen dras medelvärdet och trender ifrån mätvärdena. En härdmodell skapas, sedan plockas den dominanta polen bort och ersätts med en pol med känd dämpkvot. Efteråt återsimulerar man mätvärden genom att lägga på en PRBS-signal som insignal och modellera vitt brus till felet. Samplingen sker vid 25 Hz med 25000 mätpunkter som motsvarar tio minuter, vilket är på samma sätt som för nuvarande stabilitetsmätningar. Efter att ha skapat sina mätserier så ska de sedan utvärderas genom att beräkna dämpkvoten. Detta görs med funktionen dridentprbs.m, se bilaga B. Mätserien avtrendas och samplas ned till 12,5 Hz för att sedan skapa tio olika ARMAX-modeller och sedan beräknas dämpkvoten på dessa. Dämpkvoten för systemet bestäms med samma kriterier som vid vanliga stabilitetsmätningar. Dvs. bara en pol inom härdfrekvensområdet, standardavvikelse mindre än 0,1 och sedan tar man den modell som har högst dämpkvot. Dämpkvoten för de tio modellerna visas tillsammans med dämpkvoterna vid kriterieändring K1. För att testa många olika kända dämpkvoter har funktionen damp2.m skapats, se bilaga C. Denna funktion går igenom alla gjorda stabilitetsmätningar vid kärnkraftverket och tar polen som representerar dämpkvoten och sätter in den i härdmodellen och skapar nya mätserier. Dämpkvoten beräknas med dridentprbs.m och allt redovisas på skärmen.

8 Resultat För härdmodellen användes en ARMAX-modell och en tillståndsmodell med två utsignaler, APRM och trycket. Alla mätserier utvärderades med ARMAX-modeller där insignalen var tryckbörvärdet eller trycket och utsignalen var APRM-signalen.

8.1 ARMAX-modell som härdmodell Spektrumet för härdmodellen av ARMAX-typ av de modellerade utsignalerna liknade spektrumet för de verkliga utsignalerna. Ett spektrum av residualerna visade en storlek på 10-3 vid alla frekvenser vilket tyder på att det inte finns någon viktig information i residualerna. Figurer över spektrumen kan ses i bilaga D.

21

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-6

-4

-2

0

2

4

6

8 A

PRM

-sig

nal (

%)

Tid (s) Figur 9. Impulssvaren för tryckbörvärdet och APRM signalerna.

Impulssvaret, som kan ses i figur 9, visar hur systemet ser ut när en impuls har startat från tiden t = 0. Efter ca 0,4 sekunder når impulsen standardavvikelsen, det horisontella strecket i figuren, och då bedöms systemet svarat på impulsen med en fördröjning på 0,4 sekunder. Med 25 Hz samplingsfrekvens motsvarar fördröjningen ca 8 samples för modellen. Efter att ha provat sig fram och vägt in informationen från residualanalys och pol-nollställesanalys så ger en fördröjningsfaktor med värdet 7, dvs modellparametern nk tilldelades värdet 7, en bra bild av systemet.

Figur 10. Svart är den verkliga mätningen medan det blå är den modellerade mätningen.

APR

M-s

igna

l (%

)

Uppmätt utsignal mot simulerad utsignal

___ uppmätt signal ____ m Fit: 30,05 %

22

För att kunna se hur bra modellen är på att återskapa signaler så har verkliga mätserien (svart ) och modellerade mätserien (blått) ritats i figur 10. Man kan se i figuren att de modulerade signalerna är lik den verkliga signalen. Ett värde för fit, enligt ekvation 6, gav ett resultat på 30 %. Detta är det högsta fit-värde som går att få fram med en ARMAX-modell under dessa förutsättningar. Vid högre eller lägre modellordningar blir fit-värdet något sämre.

Figur 11. Översta figuren är autokorrelationen av residualerna. Understa figuren är korskorrelationen

mellan residualerna och insignalen. I figur 11 visas autokorrelationen för residualerna med tillhörande konfidensintervall. Tidsförskjutningen är enhetslös då man dividerat tiden med frekvensen för provtillfället. Autokorrelationen jämför nuvarande värde med värden framåt i tiden. Man kan se att det inte finns någon korrelation framåt i tiden för residualerna då residualerna håller sig inom konfidensintervallet. Den undre delfiguren visar korskorrelationen mellan insignalen och residualerna med ett 99 % konfidensintervall. Man kan klart och tydligt se att responsen håller sig inom konfidensintervallet och därmed finns det ingen signifikant korrelation mellan insignal och residual. En monotont avtagande korskorrelation för negativa tidsförskjutningar indikerar att det finns återkoppling i systemet, vilket det togs hänsyn till genom att tilldela fördröjningskonstanten nk ett värde. Tittar man på impulssvaren mellan insignalerna och residualerna kan man se att residualerna håller sig inom ett 99 % konfidensintervall vilket också talar för att det är en modell som representerar systemet, se bilaga D.

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelation mellan insignal och utsignal

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.02

-0.01

0

0.01

0.02 korskorrelation mellan insignal och utsignal

tidförskjutning (-)

23

-1 -0.5 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.3

0.7

Imag

inär

axe

l

0Reell axel

Figur 12. Pol-nollställes figur för modellen. o är nollställen och x är polerna. Härdfrekvensområdet är utritat i Hz.

För att undersöka var poler och nollställen ligger så har de ritats ut i figur 12. Där syns bara ett nollställe och en pol som sammanfaller. Det ligger inte inom härdfrekvensområdet, mellan de två halvcirklarna, och man kunde ej få bort nollstället genom lägre modellordning utan att påverka andra parametrar. Slutsatsen är att det ej påverkar systemets egenskaper och att detta var den bästa modellen. Detta bekräftades även av fpe-värdet som var 0,0011 och kunde inte heller fås ner genom att ändra modellordningen. ARMAX-modellen fick modellordning [6 6 5 7], vilket betyder att polynom A och B har ordningstal 6 medan polynom C som representerar bruset har ordningstal 5. Fördröjningsfaktorn blev 7. Resultatet grundas på undersökningar av flera olika modellordningar. För värden på modellens koefficienter hänvisas till bilaga D.

8.2 Tillståndsmodell som härdmodell En tillståndsmodell kan, som redan har påtalas, ha flera in- och ut-signaler. I detta fall simuleras tryckbörvärdet som insignal och trycket och APRM-signalen som utsignaler. Således skapas mätserier av trycket för att kunna använda dessa i utvärderingsmetoden. Trycket ska vara insignal och APRM-signalen ska vara utsignal vid dämpkvotsberäkningarna. Ordningstalet n för modellen ska anges innan modellen skapas av funktionen pem. Där kan man ange kommandot ”best” så väljs den bästa modellen från n = 1 till 10. I detta fall blev ordningstalet 4 men för att verifiera detta undersöks samma parametrar som när en ARMAX-modell anpassas till härden. Modellens koefficienter kan ses i bilaga E.

24

0 2 4 6 8 10 12 1410-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Frekvens (Hz)

Figur 13. Spektrum av simulerade APRM-signalen med tillståndsmodell.

Tittar man på spektrumet, figur 13, för APRM-signalerna som modelleras så ser det lika ut som verkliga mätserien, figur 7. Man ser en stor topp vid 0,5 Hz och en liten topp vid 0,2 Hz. Skillnaden mellan figurerna är storleken mellan topparna vid 0,5 Hz. Detta beror på storleken på dämpkvoten som representeras av denna topp. Spektrumet för residualerna för tryck och APRM-signalen framgår av bilaga E. Trycket har residualer som är av storleken 10-5 medan APRM-signalen har residualer som har storleken 10-3. APRM-signalen har två toppar mellan 0-1 Hz men eftersom storleken är så pass liten i spektrumet för residualerna så antas den viktigaste informationen vara inkluderad i modellen. Två figurer, en för APRM-signalen och en för trycksignalen, åskådliggör polerna och nollställena för tillståndsmodellen, se bilaga E. Polernas placering är densamma för de båda utsignalerna medan nollställenas placering förändras. I figuren där APRM-signalen är utsignal ser man en polkancellation som även finns i ARMAX-modellen för härden. Man ser även ett till nollställe väldigt nära en pol men det sker på den reella axeln vilket medför att det ej påverkar modellen.

25

0 200 400 600 800 1000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4 A

PR

M-s

igna

l (%

) Mätt utsignal mot simulerad utsignal

tid (s)

0 200 400 600 800 1000-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Tryc

ksig

nal (

bar)

tid (s)

mätt utsignalm Fit: 25.16%

Mätt utsignalm Fit: 77.51%

Figur 14. Uppmätta utsignaler mot simulerade utsignaler.

I figur 14 kan man se uppmätta utsignaler (svart) och simulerade signaler (blått) för både trycket och APRM-signalen. Fit-värdet för APRM-signalen blev 77,5 % och fit-värdet för trycket blev 25,2 %. Av detta skulle man kunna dra slutsatsen att modellen är dålig att modellera APRM-signaler men tittar man på korrelationer för residualerna, figur 15 och 16, så ser man en annan trend.

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.03 -0.02 -0.01

0

0.01 0.02 0.03

Korskorrelation mellan tryckbörvärde och APRM-signal

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08 Korskorrelation mellan tryckbörvärde och tryck-signal

tidsförskjutning (-)

26

Figur 15. Översta figuren är korskorrelation mellan tryckbörvärdet och APRM-signalen. Nedersta figuren är korskorrelation mellan tryckbörvärdet och trycket.

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktion för residualerna tillhörande APRM-signalen

tidsförskjutning (-)

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktion för residualer tillhörande trycksignalen

tidsförskjutning (-)

Figur 16. Autokorrelationsfunktionen mellan residualerna för APRM-signalen (y1) och tryck-

signalerna (y2). Korskorrelationen mellan insignalen och de två utsignalerna framgår av figur 15. Det finns ingen signifikant korrelation mellan tryckbörvärdet och APRM-signalen eftersom korskorrelationen överlag håller sig inom konfidensintervallet. Man ser dock en stor korrelation mellan tryckbörvärdet och trycket som inte är med i modellen, därför att signalerna ligger ovanför konfidensintervallet i under delen av figur 15. Det är tvärtemot trenden som parametern fit ger. I figur 16 ser man autokorrelationen för residualerna av utsignalerna. Även här ligger residualerna ovanför konfidensintervallet och visar att modell för trycket saknar information som finns mellan tryckbörvärdet och trycket. Residualerna blir inte mindre av att ändra modellordning utan detta är bästa modellordningen för processen. Fpe-värdet blev 3,7*10-9 för härdmodellen.

8.3 Beräkning av dämpkvot Utvärderingsmetoden har som syfte att beräkna dämpkvoten och detta görs med ARMAX-modeller som sedan väljs ut efter vissa kriterier som redovisats i inledningen av avsnitt 6.3 Utvärderingsmetod. Eftersom dämpkvoten är känd i signalerna så kan man beräkna felet som uppkommer när man använder denna utvärderingsmetodik. Detta fel är skillnaden mellan den modellerade och verkliga dämpkvoten. En standardavvikelse har beräknats för medelvärdet som ger en bild på hur stor osäkerheten är kring medelfelet.

27

I tabell 1 kan man se medelfelet och standardavvikelsen för felet i dämpkvotsberäkningarna [6]. Insignalen var tryckbörvärdet TBV eller trycket T och som härdmodell användes ARMAX-modellen eller tillståndsmodellen, SS, med modellordningen som redovisats tidigare. I tabellen syns tydligt att med K1 ändringen så bli felet, medel, och dess standardavvikelse, sd, mycket bättre. Detta ser man även i figur 17 som visar alla beräkningar av dämpkvoter med olika dominanta poler. Tabell 1. Medelfel och standardavvikelse (sd) för dämpkvotsberäkningarna. insignal härdmodell medel medel K1 sd sd K1

TBV ARMAX 0,19 0,0023 0,038 0,019TBV SS 0,15 0,0072 0,32 0,018T SS -0,13 0,08 0,14 0,11

insignal=TBV, utsignal=APRM, härdmodell=ARMAX

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67e=m

odel

lera

t dk

- ver

klig

t dk

e(dk)e(dk) K1

Figur 17. Felet e med ARMAX-modell som härdmodell och tryckbörvärdet som insignal.

I figur 18 ser man felet vid dämpkvotsberäkningarna med tillståndsmodellen som härdmodell. Mätningarna har rangordnats efter storleken på felet och man ser tydligt ett hopp där felet minskar. Alla mätvärden efter detta hopp är dominanta poler från F1, F2 och F3 men för F1 och F2 är de tagna senare än januari år 2000. Orsaken beror på att man bytte mätutrustning i januari år 2000 på F1 och F2. Detta väl synliga hopp kan man inte se med ARMAX-modellen som härdmodell.

28

Tillståndsmodell med tryckbörvärdet som insignal

-0,050

0,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,45

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66

fele

t e e(dk)e(dk) med K1

Figur 18. Härdmodellen är tillståndsmodellen med tryckbörvärdet som insignal. Felet e är sorterad efter minskad storlek.

Efter denna upptäckt sorterades alla mätningar bort som var gjorda före januari år 2000 för F1 och F2. Detta gav nya felvärden och standardavvikelser. Se tabell 2. Tabell 2. Tagit bort värden från F1 och F2 daterade före jan-00. insignal härdmodell medel medel K1 sd sd K1

TBV ARMAX 0,19 -0,0013 0,38 0,022TBV SS 0,038 0,011 0,087 0,031T SS 0,011 -0,15 0,041 0,33 Borttagandet av mätvärden ändrar inte något avsevärt ARMAX-modellens felvärden och standardavvikelse, men för tillståndsmodellen blir värdena bättre. Dock avviker trenden när trycket är insignal och K1 används som kriterium. Då tycks modellen ha blivit sämre, eftersom felet ändras från 0,011 till -0,15 och standardavvikelsen ökar från 0,041 till 0,33.

8.4 Validering Modellerna och metodiken har validerats på olika sätt enligt beskrivning i kapitel 6.5. Resultatet för en valideringsmetod presenteras först med ARMAX-modellen som härdmodell och sedan med tillståndsmodellen som härdmodell.

8.4.1 Härdmodellsvalidering Första valideringen innebar att jämföra modellerad utsignal med verklig utsignal och analysera residualen. ARMAX-modellen, se figur 19, ser ut att klara av att simulera utsignaler av nya indata som stämmer bra överens med verkliga mätdata. Fit-värdet har samma storlek som vid simulering av modellens originalmätserie.

29

0 100 200 300 400 500 600

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

AP

RM

-sig

nale

n

Mätt utsignal mot simulerad utsignal

Tid (s)

Mätt utsignalm Fit: 29.07%

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktion

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.04

-0.02

0

0.02

0.04 Korskorrelation

tidsförskjutning (-)

Figur 19. ARMAX-modellen är härdmodellen men med nya indata vid återsimuleringen. Översta

figuren är jämförelse mellan verkliga utsignaler och modellerade utsignaler med nytt indata. Nedersta figuren är korrelationer för residualerna vid simuleringen.

Korskorrelationen mellan residualerna och indata , enligt figur 19, visar merparten av residualerna ligger utanför konfidensintervallet. Detta kan man förvänta sig då indata är taget från en annan tidpunkt med en annan dynamik i systemet. Frågan är om det är viktig information som inte är med i modellen. Att så inte är fallet kan ses i spektrumet av residualerna i figur 20.

30

0 2 4 6 8 10 1210

−4

10−3

10−2

Frekvens (Hz)

Figur 20. Spektrum för residualerna för validering 1. Residualerna enligt figur 20 ser ut att bara innehålla vitt brus, eftersom signalerna utgörs av alla frekvenser och har en storlek på 10-3. Slutsatsen blir således att detta är en härdmodell som representerar systemet, vilket ytterliggare verifieras av beräkningar av dämpkvoten. Dämpkvoterna har samma trender som dämpkvoterna som beräknades av mätningarna ur originalmätserien, se bilaga F. Med tillståndsmodellen som härdmodell får man ca en procent högre fit-värde än med originalmätserien och autokorrelationen mellan residualerna blir något bättre. Men korskorrelationen blir något sämre vilket framgår av figur 21, som ska jämföras med figur 15. Detta resultat gäller för båda utsignalerna.

31

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06Korskorrelation mellan tryckbörvärde och APRM-signal

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15Korskorrelation mellam tryckbörvärde och tryck-signal

tidsförskjutning (-)

Figur 21. Korskorrelationen mellan indata och residualerna.

Korskorrelationen blir något sämre men motiveras på samma sätt som för ARMAX-modellen att det är en ny tidpunkt och ny dynamik. Jämför man spektret av residualerna med orginalmätseriens spektrum ser man ingen skillnad, alltså är all viktig information med i modellen. Dämpkvotsberäkningarna för detta fall visar att med tryckbörvärdet som insignal får man bättre noggrannhet på dämpkvoten med kriterium K1, på samma sätt som beräkningarna med orginalmätserien. Använder man trycket som insignal blir felet stort för dämpkvoten och det är ej beroende av kriteriumändringen, se bilaga F.

8.4.2 Metodikvalidering Denna valideringsmetod handlar om att testa metodiken. Man tar valideringsmätserien och skapar en ny härdmodell och byter den dominanta polen mot en pol med känd dämpkvot. Sedan simuleras nya mätserier och med hjälp av ARMAX-modeller beräknas dämpkvoten. Detta utförande är precis som i metodiken men man har en annan mätserie när man skapar härdmodellen. Härdmodellen som skapades som en ARMAX-modell fick ett fit på 28 % och ett fpe-värde på 0,0011. Residualerna var inom konfidensintervallet och det var endast en pol inom härdfrekvensområdet, vilket gav en modellordningen på [5 4 3 7]. Under valideringen simulerades fem nya mätserier och dämpkvoten beräknades på dessa. Resultatet kan ses i figur 22.

32

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1:Rev03

1:Rev04

3:Rev02

3:Rev00

2:Rev00

e(dk) orgina mätseriel

e(dk)valideringsmätserie

e(dk) originalmätseriemed K1

e(dk)valideringsmätseriemed K1

Figur 22. Felet e för dämpkvoterna för validering 2 med ARMAX-modell som härdmodell.

Man ser tydligt i figur 22 att valideringsmätserierna följer orginalmätserierna. Skillnaden mellan med eller utan kriterium K1 beror alltså inte på härdmodellen eller dynamiken vid tidpunkten för mätningarna. Modellordningen för tillståndsmodellen som härdmodell för valideringsmätserien blev som för orginalmätserien en 4:a. Pol-nollställesfiguren visade att det bara var en pol och inget nollställe inom härdfrekvensområdet. Spektrumet för signalen liknade spektrumet för orginalmätserien och fpe-värdet blev 5*10-9. Fit blev 78,8 % för trycket som utsignal och 28,6 % för APRM som utsignal vilket är i samma storleksordning som härdmodellen som skapades av orginalmätserien. På samma sätt som för ARMAX-modellen var det enkelt att hitta en bra modell dvs. residualerna var innanför konfidensintervallet och endast en pol i härdfrekvensområdet. Även här simulerades det fem nya mätserier och sedan beräknades dämpkvoten. I figur 23 kan man se resultatet.

Trycket som insignal

-0,4-0,35-0,3

-0,25-0,2

-0,15-0,1

-0,050

0,050,1

0,15

1 2 3 4 5 V2:T e(dk)V2:T e(dk) med K1T e(dk)T e(dk) med K1

33

Tryckbörvärdet som insignal

-0,1-0,08

-0,06-0,04-0,02

00,020,04

0,060,08

1 2 3 4 5

V2:TBV e(dk)

V2:TBV e(dk) medK1TBV e(dk)

TBV e(dk) med K1

Figur 23. Felet e vid validering 2 där tillståndsmodellen användes som härdmodell.

I den övre figuren i figur 23 ser man att dämpkvoterna följer originalmätserien och dess variation. Med tryckbörvärdet som insignal (nedre figuren) är det svårare att se samband. Orginalmätserien och valideringsmätserien följer varandra förutom för ett mätvärde. Punkt nummer två för valideringdata med K1 (fyrkantig symbol) ser ut att vara en avvikare för att den har en stor skillnad mot orginalmätseriens punkt. Samtidigt så ska det poängteras att skalorna är olika i figurerna. När trycket är insignal så kan skillnaden vara 0,1 mellan två mätserier som ser ut att följa varandra, medan om tryckbörvärdet är insignal, så är skillnaden max 0,04 om man bortser från den avvikande punkten. Denna punkt har bara en skillnad på 0,08 så i jämförelse med punkterna i övre diagrammet i figur 23 så är punkten ingen avvikare.

8.4.3 Korsvalidering Korsvalidering innebär att man sparar en del av originalmätserien för att testa modellen. I detta fall har de 5000 första eller sista mätpunkterna plockats bort och sedan testas på modellen genom residualanalys, dvs. autokorrelation och korskorrelation för residualerna. Resultatet när ARMAX-modellen är härdmodell kan ses i figur 24.

34

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktion av residualerna

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06 korskorrelation mellan tryckbörvärdet och residualerna

tidsförskjutning (-)

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktion för residualerna

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.04

-0.02

0

0.02

0.04 Korskorrelationefunktionen mellan tryckbörvärdet och residualerna

tidsförskjutningen (-)

35

Figur 24. Autokorrelation och korskorrelation för residualer. De övre två figurern är när de sista 5000 mätvärden lämnats utanför modellen. De två undre är när de 5000 första mätvärdena lämnats utanför.

Man kan se i figur 24 att modellen är bra på att återskapa mätvärdena som plockats bort genom att residualerna ligger inom det 99 % konfidensintervallet. Några residualer ligger utanför konfidensintervallet för de sista 5000 mätvärdena, se de två översta diagrammen. Detta kan bero på att mätseriens PRBS-signal ändrar frekvens vid de sista mätvärdena. Om de ej har kommit med i modelleringen kan de vara lite svårare att återsimulera. Korsvalideringen har även utförts på samma sätt som ovan för tillståndmodellen. Residualanalysen ger att modellen klara av att återsimulera både de 5000 första och de 5000 sista mätvärden. Resultatet av analysen kan se i figur 25.

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktionen mellan tryckbörvärdet och residualerna för APRM-signalen

tidsförskjutning (-)

0 5 10 15 20 25 -0.5

0

0.5

1 Autokorrelationsfunktion mellan tryckbörvärdet och residualerna för tryck-signalen

tidsförskjutning (-)

36

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.06

-0.04

-0.02

0

0.02 0.04

0.06 Korskorrelation mellan tryckbörvärde och APRM-signal

tidsförskjutning (-)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 -0.05

0

0.05

0.1

0.15 Korskorrelation mellan tryckbörvärde och tryck-signal

tidsförskjutning (-)

Figur 25. De 5000 första mätvärdena är borttagna vid byggandet av modellen. Dessa simuleras av

modellen och i figuren visas korrelationen mellan simulerade värden och riktiga värden. Om man jämför figur 25 med figur 11 och 12 så är skillnaden inte stor mellan härdmodellerna. Residualanalysen för de sista 5000 mätvärden kan ses i bilaga G. Eftersom residualanalysen ger likartade resultat som orginalmätserien så kan man dra slutsatsen att tillståndsmodellen kan återsimulera nya utsignaler och representerar systemet.

8.4.4 Mätseriesvalidering Denna metod går ut på att beräkna dämpkvoten på de två mätserierna som har blivit störda av en PRBS-signal på tryckregulatorn. Utvärderingen har gjorts med ARMA-modeller och ARMAX-modeller. Analysresultaten är sammanställda i tabell 3. Tabell 3. Dämpkvotsberäkningar på verkliga mätserier. Orginalmätserie härdmodell dämpkvot frekvens (Hz) standardavvikelse fpe *1000 ordning insignal ARMA 0,58 0,52 0,03 2,33 10 10 - ARMAX 0,55 0,52 0,02 2,20 9 9 7 7 tryckbörvärde ARMAX 0,62 0,52 0,01 1,73 5 5 3 0 tryck Valideringsmätserie härdmodell ARMA 0,65 0,50 0,05 2,16 14 14 - ARMAX 0,66 0,50 0,03 1,97 9 9 7 7 tryckbörvärde 0,67 0,51 0,02 1,94 5 5 3 0 tryck

37

Det är inte så stor skillnad i dämpkvot för ARMA-modellen och ARMAX-modellerna, se tabell 3. Däremot avviker de två ARMAX-modellerna, med tryck respektive tryckbörvärdet som insignal, sinsemellan. Ett problem är att man inte vet det korrekta värdet och således vet man ej hur mycket dämpkvoten avviker. Frekvensen ligger kring 0,5 Hz där den förväntades vara. Final prediction value, fpe, är multiplicerat med 1000 då det är så litet men ger en bild på hur bra de olika härdmodellerna är i förhållande till varandra. Kolumnen ordning i tabell 3 står för modellordningen på den modell som man beräknade dämpkvoten ifrån.

8.4.5 ARMA-modell validering Nu ska hela metodiken testas genom att bygga ARMA-modeller med bara utsignalen. Först skapas en härdmodell med en ARMA-modell, sedan byts den dominanta polen mot en med känd dämpkvot och därefter simuleras en ny mätserie. Dämpkvoten beräknas sedan på den nya mätserien genom att anpassa ARMA-modeller. Skillnaden i metodiken är att modellerna som modelleras är ARMA-modeller istället för ARMAX-modeller, tillvägagångssättet är förutom detta den samma. Resultatet blev en härdmodell med modellordning [7]. Fit blev 85,3 % och fpe-värdet blev 0,0014. Residualanalys visade att residualerna från den nya härdmodellen inte hade någon korrelation till insignalen eller andra residualer framåt i tiden. Resultatet från dämpkvotsberäkningarna kan ses i tabell 4. Tabell 4. Medelfel och standardavvikelse vid simulering och beräkning av dämpkvot. medel medel K1 std std K1 skillnad Alla mätvärden 0,0095 -0,00082 0,033 0,024 0,009 Borttagna värden 0,012 0,0006 0,03 0,027 0,011 Vanliga ARMA - - - - 0,024

Det är stor skillnad mellan högsta dämpkvot och kriterieändring K1 i medelfel vilket kan ses i tabell 4. Detta resultat har även framkommit vid ARMAX-modellering i metodiken. Man ser även att det inte blir någon förbättring, när man plockar bort mätvärden från F1 och F2 som är mätta före jan-00. Kolumnen med skillnad är skillnaden mellan dämpkvoterna med eller utan kriterieändring K1. ”Vanliga ARMA” står för beräkning av dämpkvoten på verkliga mätserier vilket inte har några medelfel värden då man ej vet det korrekta värdet. ARMA-modellen modelleras med bara utsignalen och så kan även tillståndsmodellen modelleras. För att resultaten inte ska vara beroende av härdmodellen så modelleras också härdmodellen som en tillståndsmodell byggt enbart på utsignalen. Skillnaden från testerna i tabell 4 är att härdmodellen skapats av en annan modelltyp, tillståndsmodellen, annars är testerna identiska. Resultatet blev en modellordning på 3 för härdmodellen. Fpe-värdet blev 0,0016 och fit på 85 %. Residualerna och spektrumet för utsignalen verifierar att den nya härdmodellen modellerar den viktigaste informationen. I tabell 5 syns resultatet av dämpkvotsberäkningarna. Tabell 5. Medelfelet e och standardavvikelsen med tillståndsmodell som härdmodell. medel medel K1 std std K1 Alla mätvärden 0,0036 -0,0072 0,024 0,028 Borttagna mätvärden 0,0020 -0,012 0,020 0,028

38

Kolumnen ”Borttagna värden” i tabell 5 är när dominanta poler från F1 och F2 från jan-00 och bakåt i tiden är borttagna. Man ser att standardavvikelsen blir bättre när man tar bort värden men medelvärdet med kriterieändringen K1 avviker mer. Detta är samma fenomen som händer när man använder tillståndsmodellen som härdmodell men har en insignal och två utsignaler dvs. metodikutförandet som det var från början.

8.5 Modifierad utvärderingsmetod Den modifierade utvärderingsmetoden innebar att man filtrerade in och utsignalen för att ta bort ovidkommande frekvenser, med avseende på aktuellt härdfrekvensområde 0,3-0,7 Hz. Resultatet blev samma dämpkvot som utan filter. Har man ett bredare bandpassfilter blir det ingen skillnad. Tar man däremot ett smalare bandpassfilter så kommer signalen att påverkas så mycket att dämpkvoten ändras och blir alldeles för stor eller för liten. Tester från andra- till tiondeordningens Butterworthfilter gav slutsatsen att ett filter inte fungerar för att förbättra dämpkvoten. Detta kan bero på att de höga frekvenserna redan har så liten storlek att det blir obetydligt att filtrera bort dem.

9 Diskussion För en härdmodell av typen ARMAX-modell var det svårt att bestämma vilken modellordning som skulle passa bäst. Valet hamnade på modellordningen som gav högst fit, lägst fpe-värde och residualer inom konfidensintervallen. Den hade dock en polnollställeskancellation, vilket syns i spektrumet för utsignalen genom att toppen vid 0,1 Hz blir mindre jämfört med verkliga mätvärdesspektrumet. Dock anses påverkan på dämpkvotsberäkningarna vara minimal då den dominanta polen ligger vid en annan frekvens. Härdmodellvalideringen och korsvalideringen visar att vald ARMAX-modell är tillräckligt anpassad till verkliga mätserier. Modellen är tillräckligt för syftet att skapa mätserier som man sedan kan beräkna dämpkvoten ur. Tillståndsmodellen som skapades för härden har svårt att modellera både tryck och APRM-signalen samtidigt. Korrelationen mellan residualerna och APRM-signalen ligger något över konfidensintervallet och har ett fit som är lägre än när ARMAX-modellen är härdmodell. Men härdmodellvalideringen och korsvalidering talar för att det är en modell som beskriver härden och kan återskapa nya utsignaler. Trycksignalens residualer är mycket sämre. Det finns tydligen en omodellerad korrelation mellan residualerna och insignalen. Att tillstånds-modellen är en dålig modell för att modellera trycket visar sig i alla valideringsmetoder och dämpkvoterna som beräknas på dessa mätserier varierar mycket. När man väljer dämpkvot med kriterieändring K1 får man stora avvikelser från det riktiga värdet. Modellen har dock ett högt fit-värde jämfört med APRM-signalens fit-värde. Detta beror på att fit-värdet ej tar hänsyn till om man modellerar brus. Signal-brus förhållandet för APRM-signalen är mycket högre än för trycket. Bruset däremot kan modelleras men har ingen korrelation till insignalen. En korskorrelation mellan insignalen och residualerna avslöjar att det finns någon korrelation dem emellan och att det man modulerar måste vara brus. Detta kan även verifieras i spektrumet för residualerna vilket visar toppar vid olika frekvenser. Metodikvalideringen visar att testas metodiken vid en ny tidpunkt med ny dynamik så får man samma trender som tidigare tester. Detta innebär att metodiken verkar fånga upp de trender som avspeglas i systemet. Använder man metodiken med ARMA-modeller som utfördes i ARMA-modell valideringen avspeglas samma trender och även detta bekräftar att metodiken

39

ger en bra bild av systemets uppförande. Dock kan jag inte styrka trenderna med verkliga mätningar då det finns för få mätserier där man stört tryckbörvärdet med en PRBS-signal. Jämför man om man ska välja högsta dämpkvot eller lägst fpe-värde på modellen för att få mest korrekta dämpkvot så ska man välja det senare, dvs kriterieändring K1. Det är ett genomgående mönster oberoende av härdmodell med undantag för tillståndsmodellen för ARMA-modell valideringen. Avvikelsen kan bero på att standardavvikelsen är högre än båda medelvärdena. En utmärkande trend är att det är låga modellordningar som generar de högsta dämpkvoterna. Detta visar på att dessa modeller är dåliga på att modellera hela systemet. I januari år 2000 bytte man mätutrustning vid F1 och F2 och detta ledde till att det blev ett bättre signal-brus förhållande vid mätning av APRM-signalen. Denna förbättring kan ej ses i ARMAX-modellen men det syns i tillståndsmodellen vid härdmodellbyggandet. Anledningen till detta måste vara att ARMAX-modellen modellerar mera brus och störs ej av att den dominanta polen som sätts in innehåller mycket brus. Detta verifieras genom att ARMAX-modellen har ett högre fit-värde men precis som tillståndsmodellen ligger residualerna inom konfidensintervallet. På grund av denna förändring är det intressantare att bara titta på resultat grundade på mätningar gjorde senare än jan-00 för F1 och F2. Dessa resultat visar att man bör beräkna dämpkvoten med kriterieändring K1 för att komma så nära det riktiga värdet som möjligt. Det ger en standardavvikelse på ca 0,027 oberoende av härdmodell och ett medelfel kring 0,012. Detta resultat bör jämföras med resultaten från ARMA-modell valideringen. Standardavvikelsen för ARMA-modellen ligger kring 0,026 och ett medelfel kring 0,007 för kriterieändring K1 oberoende av härdmodell.

10 Slutsats I detta arbete har en metodik tagits fram som kan visa trender i härden oberoende av vilken härdmodell man använder sig av. Man har kunnat återskapa neutronflödessignaler för att sedan kunna anpassa en modell och beräkna dämpkvoten. Det har dock inte varit möjligt att återskapa trycksignaler som är tillräckliga för att använda vid utvärdering av dämpkvoten. Att använda en ARMAX-modell med tryckbörvärdet som insignal och APRM-signalen som utsignal ger ett sämre medelfel men standardavvikelsen är ungefär lika stort som för en ARMA-modell. Skillnaden mellan modellerna är för liten för att man ska säga att den ena är bättre än den andra. Man kan alltså inte i denna studie säga att aktiva mätningar kommer att ge en noggrannare stabilitetsmätningar. Jag rekommenderar dock att man bör ändra kriterierna för val av modellordning till att välja den modell som har lägst fpe-värde och sedan kan man av säkerhetsskäl lägga på en standardavvikelse.

40

11 Referenser

1. ”Introduktion anläggning och process”, Forsmarksverket, 1988 2. ”Forsmark 3. Beskrivning av stabilitetsmonitorn”, Gustav Dominicus, 94/37:1 3. ”Kompendium i BWR-stabilitet”. Bergdahl Bengt-Göran, OGuma Ritsuo, Karlsson

K.-H. Joakim, GSE Power systems, 2002 4. ”System Identification Toolbox user’s guide version 6”, Lennart Ljung, 2004,

MathWorks 5. “System Identification”, Lennart Ljung,1995 6. “Probability and Statistics for engineers”, Richard L. Schaeffer/ James T. Mcclave,

Duxbury Press,1995, s. 305 7. Email, Per-Anders Boo, lektor i matematik vid Umeå Universitet 8. ”FORSMARK 2-Analys av stabilitetsmätning 11 januari 2002 i samband med

ventilprov”, Dominicus Gustav, FTT, Formarks Kraftgrupp AB 9. ”FORSMARK 1 och 2 – Redovisning av tryckstörningsprov projekt MAKT”,

Dominicus Gustav, FTT, Forsmark kraftgrupp AB

1

Bilaga A Matlabkod för att skapa en ARMAX-modell, byta pol och simulera ny mätserie function [k,u,m,data]=utsignal(p2); % p2 är polen du ska byta till och N är längden på Prbs-signalen. %Skapar utsignaler där en Prbs-signal har lagts på. Använder tryckregulatorn %som insignal./Camilla N=25000; T=0.04; [damp,frek]=p2drfd(p2,T); if frek<0.3 | frek>0.7 %Kollar så att polen har samma samplingstid som resterande mätvärden. error('Fel samplingstid för p2.'); end addpath /import/public/alster/proj/matlab/data/f2/MAKT/; [a,b,c]=ldracs('Makt_2000-07-01_04.mat'); l1=dtrend(c(:,9),0); t1=dtrend(c(:,183),0); data=iddata(l1,t1,T); m=armax(data,[6 6 5 7]); %skapar en ARMAX-modell för systemet [z,p,k]=zpkdata(m); %Plockar ut poler och nollställen. [A,B,C,D,K,x0]=ssdata(m); [dk,fd,sdr,p1]=th2dkpol(m); p=cell2mat(p); %Går från cellstruktur till matrisstruktur. z=cell2mat(z); [x,y]=min(abs(p-p1)); %Byter ut polen för dk mot nya polen p2. p(y)=p2; p(y+1)=conj(p2); [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k); %skapar modell av polerna och nollställena. modell=idss(A,B,C,D,K,x0,T); u=iddata(idinput(N,'prbs',[0 0.015])*0.15,[],T); % Skapar en Prbs-signal e=iddata([],randn(N,1),T); %brus-signal av slumpmässig gauss-signal ue=[u e]; k=sim(modell,ue); % Simulerar nya värden. spectrum(k.y,512,256,[],1/(T));

2

Bilaga B Matlabkod för att beräkna dämpkvoten med tillhörande frekvens och ordning function [dk,fd,drs,ord,th]=dridentprbs(y,u,T,nn,varargin) if nargin<4, nn=[]; end if isempty(nn), nn=[2 2 1 7; 3 3 2 7; 4 4 3 7; 5 5 4 7; 6 6 5 7; 7 7 6 7; 8 8 6 7; 9 9 7 7; 10 10 7 7]; end r=size(nn,1); ns=max([1 floor(1/T/10)]); %ns=1; y1=dtrend(y,1); y2=decimate(y1,ns,'fir'); u1=dtrend(u,1); u2=decimate(u1,ns,'fir'); data=iddata(y2,u2,T*ns); dkt=zeros(r,1); fdt=zeros(r,1); drst=zeros(r,1); datat=idfilt(data,2,[0 1]); for i=1:r th{i}=armax(data,nn(i,:)); fpe1(i,1)=fpe(th{i}); [dkt(i),fdt(i),drst(i)]=th2dk(th{i}); if any(strcmp(varargin,'disp')) & 0 % fungerar inte när th saknar komplexa thplot(th{i}) % poler pause end end if ~all(drst>0.1), j=find(max(dkt)==dkt); dk=dkt(j); fd=fdt(j); drs=drst(j); ord=nn(j,:); else %Om ingen bra skattning kan göras med högre i=i+1; %ordningens modeller väljs ett 2:a ord. system th{i}=armax(data,[2 2 2 2],[],[],[],[],ns*T); [dkt(i),fdt(i),drst(i)]=th2dk(th{i}); fpe1(i,1)=fpe(th{i}); nn=[nn;2 2 2 2]; %ord=[2 2 2 2]; dk=dkt(i); fd=fdt(i); drs=drst(i); ord=nn(i,:); j=i; warning('Ingen bra skattning, väljer 2:a ordningens system') end

3

fpe2=fpe1*1000; disp(' dk fd drs fpe *e03 ord') disp(' ---------------------------------------------') st=ones(i,5)*char(' '); st(j,5)=char('*'); %markera vald modell med * disp([st,num2str([dkt,fdt,drst,fpe2],'%1.4f ') num2str(nn)]) if any(strcmp(varargin,'disp')) thplot(th{j},1) end

4

Bilaga C Matlabkod för att beräkna dämpkvoter från alla verkliga mätserier function damp2 % beräknar dk direkt med dridenttest3.m disp(' dk1 dkK1 fd1 fdK1 drs1 drsK1 fpe1 fpeK1 ord1 ordK1 block namn') disp('------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------') for nr=1:3 p=num2str(nr); [casenr,f_polca_list,dat,qrel,hc,drmeas,fdmeas,stdmeas,modord,racsfil_list]=read_fillista(['/import/home/5es/case_listf' p '.txt']); i=(length(casenr)); for n=1:i racsfil=deblank(racsfil_list(n,:)); if length(findstr(racsfil,'.mat'))>0, % tar ut variabelnamnen i b och värden i c. if nr==3, [c,mtext,b,mvarb,sampl]=getf3(racsfil); else [a,b,c]=ldracs(racsfil); end elseif ~isempty(racsfil), [a,b,c]=ldracs(racsfil); else error('For plotting only simulated LPRM use function mstab_lprm'); end if ~exist('sampl','var') sampl=[]; end [nlp,lpnr,axpos,kpunkt,apnr,r_kpunkt]=racsb2lprm(b,strcmp(p,'3'),sampl); if ~isempty(sampl) T=1/sampl(2,1); else T=c(3,1)-c(2,1); end x=mean(c(:,apnr),2); [dk2,fd2,drs2,ord2,th2,fpe2,dkM,fdM,drsM,ordM,fpeM]=dridenttest3(x,T); k=length(racsfil_list(n,:)); A=num2str([dk2,dkM,fd2,fdM,drs2,drsM,fpe2,fpeM],'%1.4f '); B=num2str([ord2 ordM nr]); disp([A B ' ' racsfil_list(n,k-35:k)]) end end

5

Bilaga D ARMAX-modell som härdmodell Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) A(q) = 1 - 2.893 q^-1 + 2.004 q^-2 + 1.443 q^-3 - 2.359 q^-4 + 0.8441 q^-5 - 0.03922 q^-6 B(q) = 0.02935 q^-7 - 0.02913 q^-8 - 0.03918 q^-9 + 0.0372 q^-10 + 0.02941 q^-11 - 0.02745 q^-12 C(q) = 1 - 1.636 q^-1 - 0.2415 q^-2 + 1.494 q^-3 - 0.5155 q^ -4 - 0.09405 q^-5 Estimated using ARMAX from data set data Loss function 0.00107514 and FPE 0.00107661 Sampling interval: 0.04

Figur 1. Spektrum för simulerade utsignaler med ARMAX [6 6 5 7]-modell.

Figur 2. Spektrum av residualerna.

0 2 4 6 8 10 12 1410

−4

10−3

10−2

Pxx − X Power Spectral Density

Frequency

0 2 4 6 8 10 12 1410

−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

Pxx − X Power Spectral Density

Frequency

6

Figur 3. Impulsresponsen mellan insignalen och residualerna.

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8From u1

To

e@y1

7

Bilaga E Tillståndsmodell som härdmodell > m State-space model: x(t+Ts) = A x(t) + B u(t) + K e(t) y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t) A = x1 x2 x3 x4 x1 0.99952 -0.021298 0.0040861 0.065581 x2 -0.012655 0.98982 -0.13741 -0.035792 x3 0.0018426 0.069425 0.98616 0.092808 x4 -0.030905 0.031441 -0.049618 0.83547 B = u1 x1 -0.00015441 x2 0.00035103 x3 0.00063159 x4 0.0025892 C = x1 x2 x3 x4 y1 4.9558 -91.594 3.8885 0.28808 y2 13.014 -0.3547 0.13229 0.057839 D = u1 y1 0 y2 0 K = y1 y2 x1 -0.0002794 0.056243 x2 -0.012803 -0.030669 x3 0.023155 0.089358 x4 -0.0061397 0.33393 x(0) = x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 Estimated using PEM from data set data Loss function 3.73753e-09 and FPE 3.74351e-09 Sampling interval: 0.04

8

Figur 4. Spektrum för residualer med APRM-signalen som utsignal i tillståndsmodellen.

Figur 5. Spektrum för residualer med trycksignalen som utsignal i tillståndsmodellen.

0 2 4 6 8 10 12 1410

−7

10−6

10−5

10−4

residualspectrum fran trycket som utsignal

Frequency

0 2 4 6 8 10 12 1410

−4

10−3

10−2

Pxx − X Power Spectral Density

Frequency

9

Figur 6. Poler x och nollställen o för tillståndmodellen. Graferna är förstorade för att övriga delen av enhetscirkeln inte innehöll några poler eller nollställen. y1 är APRM-signalen som utsignal och y2 är när trycket är utsignal.

0.5 1 1.5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

From u1

To

y1

1 1.5 2−0.4

−0.2

0

0.2

To

y2

10

Bilaga F Härdvalidering ARMAX-modell som härdmodell. Tabell 1.Resultat av dämpkvotsberäkningar med nya indata vid återsimulering. F3 Rev 04 Verkligt värde utan K1 med K1 e e med K1 dk 0,67 0,77 0,64 -0,11 0,03fd 0,62 0,58 0,62 0,04 0,00drs 0,02 0,02 0,02 0,00 0,00fpe 2,44 5,69 3,92 -3,26 -1,48

F1 Rev 04 Verkligt värde utan K1 med K1 e e med K1dk 0,53 0,69 0,51 0,16 -0,02fd 0,60 0,54 0,60 -0,06 0,00drs 0,05 0,03 0,03 -0,02 -0,02fpe 1,20 5,58 3,87 4,38 2,68 Tabell 2. Tillståndsmodell som härdmodell med ny indata vid återsimuleringen. F3 rev -04 Verkligt värde dk aprm Med K1 dk tryck-A med K1 dk 0,667 0,6441 0,6329 0,5687 0,3905fd 0,6222 0,6198 0,6233 0,6181 0,4655drs 0,0209 0,0243 0,02041 0,0256 0,0019Fpe *1000 2,4362 5,7706 5,768 5,7512 4,5035ord 5 5 8 8 6 7 9 9 7 7 3 3 2 7 10 10 7 7 e(dk) 0,0229 0,0341 0,0983 0,2765

F1 Rev 04 Verkligt värde dk aprm Med K1 dk tryck-A med K1 dk 0,525 0,5829 0,5401 0,5131 0,3899fd 0,5958 0,586 0,5944 0,5786 0,4653drs 0,0471 0,0258 0,031 0,0401 0,0003fpe 1,1985 5,7149 5,6824 5,6871 4,6605ord 8 8 3 3 2 7 7 7 6 7 4 4 3 710 10 7 7 e(dk) -0,0579 -0,0151 0,0119 0,1351

11

Bilaga G Korsvalidering Korsvalidering

Figur 7. Korrelation och korskorrelation med tillståndsmodellen som härdmodell för de 5000 sista mätvärden som testdata.

0 5 10 15 20 25−0.5

0

0.5

1Correlation function of residuals. Output y1

lag

0 5 10 15 20 25−0.5

0

0.5

1Correlation function of residuals. Output y2

lag

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−0.1

−0.05

0

0.05

0.1Cross corr. function between input u1 and residuals from output y1

lag

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−0.05

0

0.05

0.1

0.15Cross corr. function between input u1 and residuals from output y2

lag