ANALIZ‚ MATEMATIC‚ CALCUL INTEGRAL - ucv.ro P...Cuprins ANALIZ‚ MATEMATIC‚ ANALIZ‚ MATEMATIC‚ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de nvƒ£are Titlu Pagina

  • View
    265

  • Download
    17

Embed Size (px)

Text of ANALIZ‚ MATEMATIC‚ CALCUL INTEGRAL - ucv.ro P...Cuprins ANALIZ‚ MATEMATIC‚...

  • Cuprins

    ANALIZ MATEMATIC

    ANALIZ MATEMATIC

    CALCUL INTEGRAL

    CUPRINS

    Unitatea

    de nvare Titlu Pagina

    INTRODUCERE 1

    1 Primitive 3

    Obiectivele unitii de nvare nr. 1 4

    1.1. Primitive. Noiuni generale 4

    1.2. Calculul primitivelor

    Test de autoevaluare 1

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 1

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de

    autoevaluare

    Concluzii

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 1

    6

    13

    13

    14

    14

    15

    2 Calculul primitivelor unor tipuri de functii

    Obiectivele unitii de nvare nr. 2 17

    2.1. Calculul primitivelor funciilor raionale 17

    2.2. Calculul primitivelor funciilor raionale n sinx i cosx 19

    2.3. Calculul primitivelor funciilor raionale n 21

    2.4. Calculul primitivelor funciilor raionale n x i 22

    2.5. Calculul primitivelor funciilor raionale n x i 23

    2.6. Calculul primitivelor funciilor binomiale 25

    Test de autoevaluare 2. 27

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 2 28

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 28

    Concluzii 29

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 2 29

  • Cuprins

    ANALIZ MATEMATIC

    3 Integrala Riemann 30

    Obiectivele unitii de nvare nr. 3 31

    3.1. Integrala Riemann. Definiie 31

    3.2. Proprieti 34

    3.3. Existena i calculul integralei Riemann. Aplicaii 35

    Test de autoevaluare 3 40

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 3 40

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 40

    Concluzii 41

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 3 41

    4 Integrala improprie 42

    Obiectivele unitii de nvare nr. 4 43

    4.1. Integrala improprie. Definiie 43

    4.2. Criterii de convergen pentru integrala improprie 48

    Test de autoevaluare 4 52

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 4 53

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 53

    Concluzii 54

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 4 55

    5 Integrala curbilinie 56

    Obiectivele unitii de nvare nr. 5 57

    5.1. Integrala curbilinie. Definiie 57

    5.2. Proprieti, calculul i aplicaiile integralei curbilinii 59

    Test de autoevaluare 5 64

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 5 64

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 64

    Concluzii 65

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 5 67

    6 Integrala dubla 68

    Obiectivele unitii de nvare nr. 6 69

    6.1. Integrala dubl. Definiie. Proprieti 69

    6.2. Calculul integralei duble 71

  • Cuprins

    ANALIZ MATEMATIC

    6.2.1. Cazul domeniului dreptunghiular 71

    6.2.2. Cazul domeniului simplu n raport cu o ax 73

    6.2.3. Schimbarea de variabil 78

    6.3. Aplicaii ale integralei duble 82

    Test de autoevaluare 6.1 84

    6.4. Integrale duble improprii 87

    6.4.1. Cazul domeniilor nemrginite

    6.4.2. Cazul funciilor nemrginite

    87

    88

    Test de autoevaluare 6.2 90

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 6 91

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 91

    Concluzii 92

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 6 92

    7 Integrala tripla 93

    Obiectivele unitii de nvare nr. 7 94

    7.1. Integrala tripl. Definiie. Proprieti 94

    7.2. Calculul integralei triple 95

    7.2.1. Cazul domeniului paralelipipedic 95

    7.2.2. Cazul domeniului simplu n raport cu o ax 97

    7.2.3. Schimbarea de variabil 102

    7.3. Aplicaii ale integralei triple

    Test de autoevaluare 7 .1

    107

    111

    7.4. Integrale triple improprii 113

    7.4.1. Cazul domeniilor nemrginite 113

    7.4.2. Cazul funciilor nemrginite 115

    Test de autoevaluare 7.2 116

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 7 116

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 117

    Concluzii 117

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 7 118

  • Cuprins

    ANALIZ MATEMATIC

    8 Integrala de suprafata

    Obiectivele unitii de nvare nr. 8

    119

    120

    8.1. Noiunile de suprafa, arie a unei suprafee i calculul ei 120

    8.2. Integrala de suprafa. Proprieti, calculul i aplicaiile

    integralei de suprafata 126

    Test de autoevaluare 8 133

    Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 8 133

    Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 135

    Concluzii 137

    Bibliografie unitatea de nvare nr. 8 138

  • Introducere

    ANALIZ MATEMATIC

    1

    ANALIZ MATEMATIC

    CALCUL INTEGRAL

    INTRODUCERE

    Materialul de fa se adreseaz n primul rnd studenilor Facultii de Inginerie

    Electric secia Frecven Redus dar, prin coninutul ei i prin metodologia de abordare

    constituie un suport pentru oricine are nevoie s foloseasc noiuni fundamentale de analiz

    matematic.

    Lucrarea are un pronunat caracter didactic. Materialul este organizat in 8 capitole

    numite Uniti de nvare. Acestea acoper cunotinele aferente calculului integral:

    primitive, integrala simpl (Riemann), integrala improprie, integrala curbilinie, integrala

    dubl, integrala tripl i integrala de suprafa, teme care fac obiectul cursului de Analiz

    Matematic Calcul integral , programat n anul I, semestrul II.

    O atenie deosebit se acord fiecruia dintre cele dou obiective principale ale

    cursului: a) nsuirea de ctre studeni a principalelor noiuni teoretice i metode de rezolvare

    a problemelor legate de calculul integralelor ; b) folosirea cunotinelor i abilitilor de calcul

    dobndite n cadrul cursului pentru rezolvarea unor probleme concrete (de exemplu calculul

    masei unei plci, a centrului ei de greutate, a momentelor ei de inerie etc.) i interpretarea

    rezultatelor obinute.

    Fiecare Unitate de nvare conine un rezumat teoretic, prezint metodele de rezolvare

    a problemelor tipice i le exemplific prin exerciii rezolvate detaliat. Acolo unde este cazul

    sunt propuse teste de auto-evaluare. n finalul fiecrei teme este propus o lucrare de

    verificare i sunt precizate cteva referine bibliografice considerate mai importante.

    Prima i a doua Unitate de nvare este dedicat primitivelor. Sunt prezentate

    principalele metode generale de calcul ale primitivelor, precum i calculul primitivelor unor

    tipuri de funcii (funcii raionale, binomiale etc.)

    n Unitatea a treia se definete noiunea de integral simpl (Riemann), proprieti ale

    acesteia, calculul precum i unele aplicaii directe ale acesteia.

    Unitatea a patra este dedicat studiului integralei improprii, care reprezint o extensie

    a integralei simple pentru funcii nemrginite, respectiv domenii nemrginite.

    n Unitatea a cincea se studiaz integrala curbilinie i se prezint principalele ei

    aplicaii n mecanic: masa unui fir material, momentele de inerie ale firului material faa de

  • Introducere

    ANALIZ MATEMATIC