Analizƒ matematicƒ (func›ii complexe), Hamburg, 1982

  • View
    232

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Analizƒ matematicƒ (func›ii complexe), Hamburg, 1982

  • M I N I S T E R U L E D U C A I E I | I N V T A M I N T U L U I .

    Conf, dr. P. HAMBURG

    Prof. dr. P. MOCANU

    Prof. dr. N. NEGOESCU

    MATEMATICA FUNCTii COMPLEXE )

    EDITURA DIDACTIC l PEDAGOGICA BUCURETI - 1982

  • Manualul a fost analizat i aprobat de colectivul catedrei de analiz, algebr i geometrie i de conducerea Faculti i de matematic ale Universi t i i Babe-Bolyai" din Cluj-Napoca.

    Referent tiinific : Prof. dr. M. REGHiS

    Redactor: Prof. VALENTIN RADU

    Tehnoredactor : PARASCHIVA GAPAR

    Grafician : ANCA PtSLARU

    23

  • Prefa

    n aceast lucrare se trateaz capitolele de funcii complexe prevzute n programa analitic a cursului de analiz matematic ce se pred studenilor din anul doi de la facultile de matematic, respectiv seciile de matematic i informatic ale facultilor de tiinele naturii din nvmntul universitar. Manualul este de asemenea util tuturor studenilor de la facultile sau seciile din nvmntul superior, care au prevzute n programele analitice de matematic unele capitole de funcii complexe.

    n cele apte capitole ale manualului snt prezentate sub o form accesibil i n acelai timp riguroas noiunile, metodele i rezultatele fundamentale ale teoriei funciilor complexe, precum i miele aplicaii ale acestei teorii n diferite domenii ale tiinei i tehnicii.

    Autorii s-au strduit s selecteze i s sintetizeze ntr-un spaiu restrns elementele de baz ale uneia dintre cele mai dezvoltate discipline matematice, la care coala romneasc de matematic a adus importante contribuii.

    Redactarea capitolelor i paragrafelor a fost fcut de ctre autorii acestui m%nu%l dup cum urmeaz : Gap. I, Gap. II, 5 {Gap. III) i 2 {Gap. V) -N. Xegosscu {Univ. Al. I. Guza" Iai); 1 4 {Gap. III), 1,3 {Gap. V) i Gap. VII - P. Ham-burg (Univ. Graiova); Gap. IV i Gap. VI P. Mocanii {Univ. Babe-Bolyai" Gluj-Napoca).

  • CUPRINS

    CAPITOLUL I. iVuniere complexe 1. Corpul numerelor complexe . 7 2. Forma algebric a numerelor complexe 8 3. Operaia de conjugare. Modulul unui numr complex . . . . . 9 4. Argumentul unui numr complex 10 5. Planul complex 13 6. Planul complex extins i reprezentarea lui sferic 16

    CAPITOLUL II . Funcii olomorfe 1. Noiunea de funcie complex 20 2. Limite i continuitate 21 3. Drumuri n C 21 4. Funcii complexe derivabile de o variabil real 25 5. Derivata unei funcii complexe de o variabil complex . . . . 26 6. Funcii olomorfe 30 7. Exemple de funcii olomorfe pe C (funcii ntregi) 33 8. Funci i omografiee 35 9. Funcii raionale 38 10. Aplicaii multivoce 39 11. Interpretarea geometric a derivatei 40

    CAPITOLLL III . Integrarea funciilor complexe 1. Integrala complex 46 2. Teorema lui Cauchy 56 3. Formulele lui Cauchy 64 4. Formulele lui Schwarz i Poisson 74 5. Integrarea formelor difereniale de gradul lnti 78

    CAPITOLUL IV. iruri i serii de funcii olomorfe 1. iruri de funcii olomorfe 89 2. Serii de puteri 91 3. Analiticitatea funciilor olomorfe 95 4. Zerourile unei funcii olomorfe. Teorema identitii funciilor

    olomorfe 100 5. Teorema maximului modulului 102 6. Serii Laurent 105

    5

  • 7. Puncte singulare 189 8. Funcii meromorfe 115

    CAPITOLUL V. Teorema reziduurilor 1. Teorema reziduurilor 117 2. Calculul unor integrale definite cu ajutorul reziduurilor . . . . 121 3. Studiul funciilor meromorfe cu ajutorul reziduurilor 134

    CAPITOLUL VI. Reprezentarea conform 1. Mulimi de funcii olomorfe 139 2. Funcii univalente 143 3. Problema reprezentrii conforme 146 4. Reprezentarea conform a domeniilor simplu conexe. Teorema lui

    Riemann 148

    CAPITOLUL VII. Prelungirea analitic 1. Prelungirea analilic 153 2. Suprafee riemanniene 160

    IXDEX 164 BIBLIOGRAFIE 167

  • C A P I T O L U L I

    NUMERE COMPLEXE

    n acest capitol se reamintete construcia numerelor complexe ca perechi ordonate de numere reale. Cum din punctul de vedere al analizei matematice planul este mulimea perechilor ordonate de numere reale, numerele complexe se identific cu punctele P ale unui plan euclidian (cu metrica d : R x R - > R + definit prin (P1,P2) = Y(xzx1)~ + {y2yir, unde P1 i P 2 au coordonatele (x, y) i (o:2, y2) respectiv), numit planul reprezentativ l numerelor complexe sau planul complex. Aceast interpretare geometric a numerelor complexe ajut ia formarea de modele intuitive i d sugestii pentru demonstrarea unor teoreme. n ultima parte a capitolului, se compactific corpul C al numerelor complexe cu un numr i se arat c planul complex extins este omeomorf cu sfera unitate i se d interpretarea geometric a acestui omeomorfism. Menionm c n acest capitol introductiv se amintesc i se comenteaz rezultate cunoscute din cursurile de algebr i analiz. Se insist, n special asupra definiiei argumentului unui numr complex, fr a folosi intuiia geometric i asupra comp act ificrii planului complex. Pentru elementele de topologia planului complex se folosesc sisteme fundamentale de vecinti formate din discuri centrate n puncte.

    Notm cu N, Z, Q, R respectiv mulimea numerelor naturale, inelul ntregilor, corpul numerelor raionale i corpul numerelor reale. Convenim s notm cu N*, Z*, Q*, R* aceleai mulimi de numere care nu includ pe 0 i cu Q+, R+ mulimea numerelor raionale pozitive (0 inclus) respectiv mulimea numerelor reale pozitive (0 inclus). Pentru operaii cu mulimi vom folosi notaiile uzuale A u B, A d B, A\B, A x B pentru reuniune, intersecie, diferen, produs cartezian al mulimilor A i B. A x A se va nota cu A2.

    Menionm c n acest capitol se urmrete, de asemenea, de a se stabili unele notaii unitare ce vor fi folosite n ntregul manual.

    1. CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

    1.1. Definiie. Fie R2 produsul cartezian al perechilor ordonate (x, y) de numere reale. Definim pe mulimea R2 operaiile de adunare i

    7

  • nmulire prin

    Ou Ui) + O2,2/2) = Oi + %2, yx + y^,

    O l , 2/l) 0 2 ) 2/2) = (1 2 #1^2) ^ 2 + *2^l)-

    Prin definiie, mulimea numerelor complexe C este mulimea R2 dotat cu aceste operaii de adunare i nmulire. Prin urmare, prin C nelegem tripletul (R2, + , .).

    1.2. Propoziie. C este corp comutativ. n adevr, din proprietile operaiilor de adunare i nmulire pentru numere reale rezult imediat c operaiile introduse n C snt comutative, asociative, nmulirea este distributiv fa de adunare i (0,0) i (1,0) snt elemente neutre pentru adunare i respectiv nmulire, (as, y) este opusul lui (x, y) pentru c (x, y) + {x, -3/) = (0,0). Opusul elementului 2 = 0 , y) se noteaz CU #.

    De asemenea, orice element z e C\{(0, 0)} = 0* are invers, pentru c ecuaia {x, y) (xx, yx) = (1, 0) cu (x, y) # (0, 0) este echivalent cu sistemul compatibil n xx i yx: xxx yyx = 1, yxx + xyx 0. Deci, inversul lui z (x, y) e C* este (xx, yx) = (xj(x2 + y2), yj(x2 + y2)) e C*. Inversul elementului z se noteaz cu .

    Evident, n C i C* se pot defini operaii inverse celor introduse n (1.1). care se numesc respectiv scdere i mprire.

    Corpul comutativ C=(R2. +,.) se numete corpul numerelor complexe i elementele lui se numesc numere complexe.

    2. FORMA ALGEBRIC A NUMERELOR COMPLEXE

    1.3. Propoziie. Mulimea Rx{0} = {(a;, 0); i e R J c C dotata cu, operaiile din C este un subcorp al lui C iar aplicaia 9 : R - Rx{0}, unde

  • n adevr,

    (i + m) + (2 + m) = Xi + xz + i(z/i + y%) i

    (xx + iyx) (x2 + iy2) = xxx2 + ixxy2 + \yxx2 + i2yxy2 =

    = xxx2 yxy2 + i(xxx2 + x2yx).

    3. OPERAJIA DE CONJUGARE. MODULUL UNUI NUMR COMPLEX

    1.6. Definiii. Dac z = x-\-ij este un numr complex, atunci x, y, xiy i (x2-\-y2)1/2 se numesc respectiv jartea real, partea imaginar; conjugatul i modulul lui z, ele se noteaz cu Re z, Im z, z i \z\.

    1.7. Propoziie. Oricare ar fi numerele complexe z, zx, z2 avem urmtoarele proprieti de baz :

    1) Re 2 = (z + z) si Im.s = (z z), 2 2i

    2) zx + z2 = zx

    3) \z\ < R e z < | # ] i j J z este un izomorfism al lui C pe C, adic operaia de conjugare este un automorfism al lui C. Ultima proprietate din 2) exprim c operaia de conjugare este involutiv. Prima relaie din 5) rezult din definiia modulului. Pentru a demonstra relaia a doua folosim 4) i avem

    I Z1Z2 i (^1^2) (%^2,' Z1Z2Z1Z2 (~l^J.) (^2^2) \Zl\ ' I ^2 I

    Cum modulul est-e pozitiv, prin extragere a rdcinii ptrate se obine relaia a doua din 5). Deoarece zx~z2 = zxz2 urmeaz zxz2 + z2zx = 2Re(.cr~2) i avem

    1.8. | zx + z2|2 = (% + *2) {*,. + a) = I % i2 + 2Re (%i2)]+ | 0a ,2

    Observind e Re (zxz2) < | | \z2\ din prima formul 3) i extrgmd rdcina ptrat, obinem ultima inegalitate 5),numit inegalitatea triunghiului.

    9

  • 1.9. Observaie. Menionm c n corpul C al numerelor complexe nu se introduce nici o relaie de ordine. Prin urmare relaia zx < z% cu zu 0 2 C nu are sens.

    Aplicaia z i-- i este un automorfism involutiv (propoziia 1.7) care invariaz pe R. n cazul z e R automorfismul se reduce la aplicaia identitate.

    1.10. Observaie. Se arat imediat c primele dou relaii din 2) se extind la un numr finit de termeni sau factori, zx #2 % ^z i O^i/^a) = ^i/s3 pentru 22 T6 0. De asemenea ultimele dou relaii din 5) se extind la un numr finit de factori sau termeni.

    Procednd ca la demonstrarea formulei (1.8) obinem

    1 1 1 I ^ |2 I 12 QTSii (y v \ 4 - \ c 12 -L-J-J-- . | * i 2 1 P i l ^ " e l n * 2 J I \ZZ\

    i inegalitatea

    1.12. | |%! - | * a | | < | % - ^ 2 | .

    Mai amintim relaiile

    1.13. j zx + 0, |2 -f I % z2 j2.= 2(1 % |2 + | z212) (legea paralelogramului).

    1.14. ! ! = -!^-L pentru z, ^ 0 i ' e ^ ' < \z\ < [ Rez| + | Imz j . I 02 I \zz\ | Imz j

    Formulele (1.13) rezult din adunarea membru cu membru a formulelor (1.8) i (1.11). Eelatiile (1.14) snt imediate. Vom folosi des aceste inegaliti.

    4. ARGUME