RUDARSKO-GEOLOŠKO-NAFTNI FAKULTET

SVEUČILIŠTA U ZAGREBU

ANALIZA HIDRODINAMI ČKIH MJERENJA

SKRIPTA

Prof. dr. sc. Marin Čikeš

Zagreb

2010.

II

KAZALO

Stranica

NOMENKLATURA....................................... ........................................ XII

UVOD..................................................................................................... 1

I. POGLAVLJE....................................... ................................................ 2

MODELI PROTJECANJA FLUIDA U LEŽIŠTIMA NAFTE I PLINA ...... 2

1.1. TRODIMENZIONALNI LINEARNI PROTOK .................................................................4

1.2. RADIJALNI PROTOK ........................................................................................................8

1.2.1. Modeli s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta ...................11

1.2.1.1. Neograni čeno ležište .....................................................................................11

1.2.1.2. Ograni čeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom ......................16

1.2.1.3. Ograni čeno ležište s konstantnim tlakom na vanjskoj granic i ...........18

1.2.2. Neustaljeni, poluustaljeni i ustaljeni proto k ....................................................19

1.2.3. Pojednostavljena rješenja jednadžbe difuzije .................................................21

1.2.4. Odstupanja od idealnih modela ..........................................................................25

1.2.4.1. Stlačivi fluid .....................................................................................................25

1.2.4.2. Dvofazni protok ..............................................................................................27

1.2.4.3. Ležište promijenjene propusnosti u pribušo tinskoj zoni ....................29

1.2.4.4. Promjenljiv protok ..........................................................................................30

1.2.4.5. Više bušotina u ležištu ..................................................................................31

1.2.4.6. Utjecaj obujma bušotine ...............................................................................32

1.2.4.7. Turbulentni protok .........................................................................................40

III

1.3. PROTOK KROZ PUKOTINU - DVODIMENZIONALNI LINEAR NI PROTOK ........46

1.3.1. Model frakturirane bušotine s konstantnim pr otokom na unutarnjoj

granici ležišta .................................................................................................................................50

1.3.1.1. Linearni protok u pukotini ............................................................................52

2.3.1.2. Bilinearni protok .............................................................................................53

1.3.1.3. Linearni protok u ležištu ...............................................................................54

1.3.1.4. Pseudolinearni protok ...................................................................................55

1.3.1.5. Pseudoradijalni protok ..................................................................................56

1.3.2. Odstupanja od modela ..........................................................................................60

1.4. PROTJECANJE FLUIDA U LEŽIŠTU S HORIZONTALNOM B UŠOTINOM .........63

1.4.1. Model horizontalne bušotine u ograni čenom ležištu s konstantnim

tlakom na vanjskoj i unutarnjoj granici ležišta ......................................................................63

1.4.2. Model horizontalne bušotine u ležištu sa zat vorenom vanjskom

granicom .........................................................................................................................................69

1.4.3. Model horizontalne bušotine u neograni čenom ležištu ...............................73

1.4.3.1. Rani radijalni protok ......................................................................................80

1.4.3.2. Rani linearni protok .......................................................................................84

1.4.3.3. Pseudoradijalni protok ..................................................................................86

1.4.3.4. Kasni linearni protok .....................................................................................87

II. POGLAVLJE...................................... .............................................. 89

ANALIZA PROTJECANJA FLUIDA U LEŽIŠTIMA NAFTE I PLIN A... 89

2.1. ANALIZA NEUSTALJENOG RADIJALNOG PROTOKA ..........................................89

2.1.1. Polulogaritamski prikaz tlaka u funkciji vre mena ..........................................89

2.1.2. Tipske krivulje .........................................................................................................95

IV

2.1.3. Derivacija tlaka ........................................................................................................97

2.1.4. Hornerova analiza testa porasta tlaka .............................................................102

2.1.5. Analiza testa porasta tlaka uporabom tipskih krivulja ................................107

2.2. ANALIZA TLAKA FRAKTURIRANE BUŠOTINE .....................................................113

2.2.1. Specijalizirane analize .........................................................................................123

2.3. ANALIZA TLAKA HORIZONTALNE BUŠOTINE .....................................................138

2.4. ANALIZA TLAKA FRAKTURIRANE HORIZONTALNE BUŠOTI NE .....................152

2.5. ANALIZA POLUUSTALJENOG PROTOKA ..............................................................156

2.5.1. Test za utvr ñivanje granica ležišta ..................................................................163

2.5.2. Test interferencije ................................................................................................172

BIBLIOGRAFIJA...................................... .......................................... 176

V

POPIS SLIKA

Slika 1. Model trodimenzionalnog linearnog protoka.............. 4

Slika 2. Model radijalnog protoka ........................... 8

Slika 3. Neograničeno ležište s bušotinom u središtu. ........... 11

Slika 4. Tipska krivulja za neograničeni radijalni sustav, konstantnog

protoka na unutarnjoj granici. ................................. 16

Slika 5. Tipske krivulje za ograničeni radijalni sustav sa zatvorenom

vanjskom granicom i konstantnim protokom na unutarnjoj granici. ...... 18

Slika 6. Tipske krivulje za ograničeni radijalni sustav, konstantnog tlaka

na vanjskoj granici i konstantnog protoka na unutarnjoj granici. ........ 19

Slika 7. Efekt skladištenja i naknadnog dotoka (Houzé et al. 2008). . 32

Slika 8. Shematski prikaz bušotine ispunjene kapljevinom i plinom, te

bušotine ispunjene jednom fazom (kapljevinom ili plinom) (Lee 1982). ... 33

Slika 9. Bezdimenzionalni tlak za bušotinu u neograničenom ležištu, s

uključenim efektom skladištenja i skin efektom. (Agarwal et al. 1970)..... 37

Slika 10. Bezdimenzionalni tlak u funkciji bezdimenzionalne grupe tD/CD

(Gringarten et al. 1979). ..................................... 39

Slika 11. Dva načina modeliranja ne-Darcyjevog protoka (Houzé et al.

2008). .................................................. 42

Slika 12. Skin faktor u ovisnosti o protoku (Houzé et al. 2008). ..... 43

Slika 13. Neograničeno ležište, presječeno vertikalnom pukotinom, s

bušotinom u središtu........................................ 46

Slika 14. Model protjecanja fluida kroz pukotinu. ............... 47

Slika 15. Jednodimenzionalni linearni model protjecanja fluida iz ležišta

u pukotinu. .............................................. 49

VI

Slika 16. Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u neograničenom

ležištu, s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta. .......... 51

Slika 17. Linearni protok u pukotini.......................... 52

Slika 18. Bilinearni protok. ............................... 54

Slika 19. Linearni protok u ležištu........................... 55

Slika 20. Polulogaritamski prikaz tipskih krivulja za frakturiranu bušotinu

u neograničenom ležištu, s konstantnim protokom na unutarnjoj granici

ležišta. ................................................. 56

Slika 21. Odnos bezdimenzionalnog efektivnog radijusa bušotine i

bezdimenzionalne vodljivosti vertikalne pukotine.................... 58

Slika 22. Pseudoradijalni protok............................ 59

Slika 23. Shema obujma crpljenja vertikalne i horizontalne bušotine. 63

Slika 24. Podjela 3D problema u dva 2D problema (Joshi 1988). ... 64

Slika 25. Opći model protoka za proizvoljno orijentiranu horizontalnu

bušotinu u ležištu proizvoljnog oblika. ........................... 69

Slika 26. Vertikalni skin efekt u funkciji debljine ležišta. .......... 71

Slika 27. Skin efekt zbog vertikalne ekscentričnosti ............. 71

Slika 28. Model horizontalne bušotine. ...................... 74

Slika 29. Bezdimenzionalni tlak u središtu horizontalne bušotine,

smještene u vertikalnom središtu neograničenog ležišta (Soliman 1998). . 76

Slika 30. Bezdimenzionalni tlak za bušotinu s pukotinom neograničene

vodljivosti i jednolikog utoka, u neograničenom ležištu. .............. 80

Slika 31. Geometrije radijalnog protoka. ..................... 81

Slika 32. Geometrije linearnog protoka....................... 84

Slika 33. Idealizirani proizvodni test. ........................ 91

Slika 34. Polulogaritamski prikaz tlaka u funkciji vremena. ........ 91

Slika 35. Stvarni proizvodni test. ........................... 93

VII

Slika 36. Polulogaritamski prikaz tlaka u funkciji vremena. ........ 93

Slika 37. Ilustracija derivacije tlaka (Houzé et al. 2008). .......... 97

Slika 38. Tipske krivulje bezdimenzionalnog tlaka i njegove derivacije za

neograničeno ležište s efektom skladištenja i skin efektom (Economides i

Nolte 2000). ............................................. 99

Slika 39. Proizvodni test: Log-Log dijagram razlike tlaka i njegove

derivacije. .............................................. 100

Slika 40. Primjena načela superpozicije na test porasta tlaka (Houzé et

al. 2008)................................................ 103

Slika 41. Mečiranje mjerenih podataka s tipskim krivuljama tlaka i

njegove derivacije (Bourdet 1989). ............................ 108

Slika 42. Test porasta tlaka (primjer iz Bourdet et al. 1989). ...... 110

Slika 43. Hornerova analiza testa porasta tlaka................ 110

Slika 44. Analiza testa porasta tlaka s pomoću tipskih krivulja. .... 111

Slika 45. Log-log dijagram mjerenih podataka plinske bušotine. ... 115

Slika 46. Mečiranje mjerenih podataka s tipskim krivuljama. ...... 116

Slika 47. Tipske krivulje za pukotinu ograničene vodljivosti (Agarwal et

al. 1979)................................................ 118

Slika 48. Grafički prikaz tlaka na razini ležišta za vrijeme proizvodnog

testa i testa porasta tlaka.................................... 119

Slika 49. Dijagnostički log-log dijagrama porasta tlaka........... 119

Slika 50. Mečiranje mjerenih podataka s tipskim krivuljama. ...... 121

Slika 51. Bezdimenzionalni tlak i njegova derivacija za pukotinu

ograničene vodljivosti (Houzé et al. 2008)........................ 122

Slika 52. Log-log dijagnostički, Hornerovi i specijalizirani dijagrami za

najčešće sustave ležišta i bušotine (Economides i Nolte 2000). ....... 128

VIII

Slika 53. Simulirani test porasta tlaka frakturirane bušotine s niskom

vodljivošću pukotine. ...................................... 130

Slika 54. Dijagnostički log-log dijagram „mjerenih“ (simuliranih) podataka

porasta tlaka............................................. 130

Slika 55. Mečiranje „mjerenih“ podataka s tipskim krivuljama tlaka i

njegove derivacije......................................... 131

Slika 56. Identifikacija bilinearnog protoka. .................. 131

Slika 57. Razlika tlaka u funkciji četvrtog korijena superponiranog

vremena................................................ 133

Slika 58. Simulirani test porasta tlaka frakturirane bušotine s visokom

vodljivošću pukotine. ...................................... 135

Slika 59. Mečiranje „mjerenih“ podataka s tipskim krivuljama i

identifikacija linearnog protoka................................ 135

Slika 60. Razlika tlaka u funkciji drugog korijena superponiranog

vremena................................................ 137

Slika 61. Geometrija horizontalne bušotine (Houzé et al. 2008). ... 139

Slika 62. Rani radijalni protok u ležištu s horizontalnom bušotinom

(Houzé et al. 2008). ....................................... 140

Slika 63. Rani linearni protok u ležištu s horizontalnom bušotinom

(Houzé et al. 2008): ....................................... 141

Slika 64. Radijalni protok u ležištu s horizontalnom bušotinom (Houzé et

al. 2008)................................................ 143

Slika 65. Ponašanje tlaka i njegove derivacije za horizontalnu bušotinu.

...................................................... 145

Slika 66. Analiza ranog radijalnog protoka. .................. 146

Slika 67. Dijagram tlaka u funkciji drugog korijena vremena....... 147

Slika 68. Analiza kasnog radijalnog protoka.................. 148

IX

Slika 69. Ponašanje tlaka i njegove derivacije za različite duljine

horizontalnog dijela bušotine. ................................ 149

Slika 70. Ponašanje tlaka i njegove derivacije za različito smješten

horizontalni dio bušotine unutar ležišta.......................... 150

Slika 71. Ponašanje tlaka i njegove derivacije horizontalne bušotine u

ležištu različite vertikalne anizotropije........................... 151

Slika 72. Ponašanje tlaka i njegove derivacije horizontalne bušotine u

ležištu različite horizontalne anizotropije......................... 151

Slika 73. Frakturirana horizontalna bušotina (Houzé et al. 2008). .. 152

Slika 74. Protok kroz pukotine, bušotinu i oboje. .............. 153

Slika 75. Utjecaj skin faktora (oštećenja pribušotinske zone) na

ponašanje tlaka frakturirane horizontalne bušotine. ................ 154

Slika 76. Ponašanje tlaka horizontalne bušotine s različitim brojem

pukotina................................................ 155

Slika 77. X-Y prikaz dodatnog pada tlaka (plavo) zbog zatvorene

granice................................................. 161

Slika 78. Profil tlaka izmeñu bušotine i nepropusne granice....... 162

Slika 79. Bušotina u blizini zatvorene granice. ................ 163

Slika 80. Test porasta tlaka za bušotinu u blizini zatvorene granice

ležišta. ................................................ 167

Slika 81. Odreñivanje sjecišta pravaca MTR i LTR. ............ 168

Slika 82. Polulogaritamski prikaz proizvodnog testa bušotine u blizini

linearne granice. ......................................... 169

Slika 83. Polulogaritamski prikaz testa porasta tlaka u bušotini blizu

linearne granice. ......................................... 169

Slika 84. Log-log prikaz tlaka i derivacije za bušotinu u blizini linearne

granice................................................. 170

X

Slika 85. Utjecaj udaljenosti linearne granice na ponašanje tlaka i

derivacije. .............................................. 171

Slika 86. Primjer mečiranja stvarnih podataka................. 171

Slika 87. Promjene tlaka u testu interferencije................. 172

Slika 88. Područje ispitivanja u testu interferencije. ............ 173

Slika 89. Bezdimenzionalni tlak za bušotinu u neograničenom ležištu -

rješenje s pomoću eksponencijalnog integrala (Earlougher 1977). ..... 174

Slika 90. Mečiranje s tipskom krivuljom u testu interferencije. ..... 175

XI

POPIS TABLICA

Tablica 1. Faktori oblika za horizontalne i multilateralne bušotine.... 72

Tablica 2. Osnovni podaci o idealiziranom proizvodnom testu i rezultati

analize s pomoću polulogaritamskog prikaza tlaka. ................. 92

Tablica 3. Osnovni podaci o stvarnom proizvodnom testu i rezultati

analize s pomoću polulogaritamskog prikaza tlaka. ................. 94

Tablica 4. Podaci o testu i rezultati mečiranja s tipskim krivuljama. . 101

Tablica 5. Rezultati Hornerove analize. ..................... 111

Tablica 6. Rezultati analize s pomoću tipskih krivulja............ 112

Tablica 7. Minimalno vrijeme potrebno za početak neograničeno

djelujućeg radijalnog protoka. ................................ 114

Tablica 8. Minimalno vrijeme potrebno za početak pseudoradijalnog

protoka................................................. 118

Tablica 9. Rezultati analize s pomoću tipskih krivulja............ 132

Tablica 10. Rezultati specijalizirane analize. ................. 133

Tablica 11. Rezultati analize s pomoću tipskih krivulja........... 136

Tablica 12. Rezultati specijalizirane analize. ................. 137

Tablica 13. Faktori oblika za različite oblike površine crpljenja

(Earlougher 1977)......................................... 159

Tablica 14. Faktori oblika za različite oblike površine crpljenja

(Earlougher 1977)......................................... 160

XII

NOMENKLATURA

A m2 - površina

[ ]33 mmB - obujamski koeficijent 3C m Pa - konstanta skladištenja bušotine

CA − - faktor oblika površine crpljenja bušotine

CD − - bezdimenzionalni koeficijent skladištenja bušotine

CfD − - bezdimenzionalna vodljivost pukotine

CRD − - bezdimenzionalna vodljivost ležišta

c Pa−1 - stlačivost

3D s m - koeficijent turbulentnog (ne-Darcyjevog) protoka

d m - promjer

g m s2 - gravitacija

h m - efektivna debljina ležišta

h mf - visina pukotine

J J0 1, - Besselove funkcije

k m2 - efektivna propusnost ležišne stijene za ležišni fluid

k mf2 - efektivna propusnost pukotine

L m - udaljenost bušotine od linearne granice

L m - duljina horizontalne bušotine

( )[ ]sPapm - funkcija pseudo-tlaka

p Pa - tlak

p Pab - tlak zasićenja

pD − - bezdimenzionalni pad tlaka

p Pa0 - standardni tlak

q m s3 - obujamski protok

XIII

r m - radijus

rD − - bezdimenzionalni radijus

r me - radijus crpljenja bušotine

reD − - bezdimenzionalni radijus crpljenja bušotine

r mw - radijus bušotine

rwD − - bezdimenzionalni radijus bušotine

′r mw - efektivni radijus bušotine

s − - skin faktor

T K - temperatura

T K0 - standardna temperatura

t s - vrijeme

tD − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji radijusa bušotine

tDA − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji površine crpljenja

bušotine

[ ]DLt − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji duljine horizontalne

bušotine

tDxf − - bezdimenzionalno vrijeme u funkciji duljine pukotine

V m3 - obujam

V mp3 - porni obujam

v m s - brzina

w m - širina pukotine

x m - udaljenost u smjeru osi x

xD − - bezdimenzionalna udaljenost u smjeru osi x

x mf - poluduljina pukotine

Y Y0 1, - Besselove funkcije

y m - udaljenost u smjeru osi y

yD − - bezdimenzionalna udaljenost u smjeru osi y

XIV

Z − - faktor odstupanja realnog plina

z m - udaljenost u smjeru osi z

[ ]Dz − - bezdimenzionalna udaljenost u smjeru osi z

1mβ − - faktor turbulencije

∆p Pas - pad tlaka zbog skin-efekta

η m s2 - hidraulička difuzivnost

η fD − - bezdimenzionalna hidraulička difuzivnost

θ rad - kut

µ Pa s⋅ - dinamička viskoznost

ρ kg m3 - obujamska masa, gustoća

[ ]sτ - vrijeme

φ dio - efektivna šupljikavost ležišne stijene

[ ]f dioφ - efektivna šupljikavost pukotine

Indeksi:

f - pukotina

i - početni uvjeti

r - radijalno

t - ukupno

w - bušotina

wf - dinamički uvjeti u bušotini

x - u smjeru osi x

y - u smjeru osi y

z - u smjeru osi z

UVOD

I. POGLAVLJE

MODELI PROTJECANJA FLUIDA U LEŽIŠTIMA NAFTE I PLINA

Matematički opis protjecanja fluida u poroznom mediju temelji se na

sljedećim fizikalnim zakonitostima (Matthews i Russell 1967):

• zakonu očuvanja mase ili jednadžbi kontinuiteta;

• Darcyjevom zakonu;

• jednadžbi stanja.

U svim oblicima protjecanja (fluida, topline, elektriciteta), jedan od

najvažnijih postulata jest načelo očuvanja (konzervacije). Ono jednostavno

znači da je neka fizikalna veličina konzervirana, tj. niti se stvara niti se

uništava. Kod protoka fluida u poroznom mediju najvažnija veličina jest masa,

za koju jednadžba kontinuiteta glasi:

maseni utok u element prostora minus maseni istok iz elementa

prostora jednako promjena mase u elementu prostora.

Darcyjev zakon izražava činjenicu da je obujamski protok po jedinici

površine poprječnog presjeka u nekoj točki uniformnog poroznog medija,

proporcionalan gradijentu potencijala u smjeru protoka. Zakon vrijedi za

laminarni protok, a matematički je izražen kao:

k

vρ

µ= − ∇Φ (1.1)

gdje je v obujamski protok po jedinici površine, tj. brzina protjecanja, Φ

potencijal, ∇Φ gradijent potencijala u smjeru protoka, µ viskoznost fluida, k

propusnost medija, te ρ obujamska masa (gustoća) fluida. Negativni

predznak u gornjoj jednadžbi označava da se protok zbiva u smjeru

3

smanjivanja potencijala. M. King Hubbert (1956) je definirao funkciju

potencijala kao (Amyx et al. 1960):

0

p

p

dpgz

ρΦ = +∫ (1.2)

gdje je z visina iznad odreñene ravnine, a p0 tlak na razini te ravnine.

Za protok u smjeru osi x, y i z, jednadžba (1.1) ima sljedeće oblike:

xx

yy

zz

kv

x

kv

y

kv

z

ρ ∂µ ∂ρ ∂

µ ∂ρ ∂

µ ∂

Φ= −

Φ= −

Φ= −

Stoga se, za protok u smjeru osi x, y i z, Darcyjev zakon može pisati kao:

xx

k pv

x

∂µ ∂

= − (1.3)

yy

k pv

y

∂µ ∂

= − (1.4)

zz

k pv g

z

∂ ρµ ∂ = − +

(1.5)

Za radijalni protok, zanemarujući gravitaciju, Darcyjev zakon postaje:

rr

k pv

r

∂µ ∂

= − (1.6)

Jednadžba stanja definira ovisnost obujamske mase (gustoće) fluida ρ

o tlaku p i temperaturi T . Stoga će za različite vrsti fluida biti primijenjene

različite jednadžbe stanja. No, budući da se protjecanje fluida u ležištu može

smatrati izotermalnim procesom, jednadžba stanja bit će ovisna samo o tlaku.

4

1.1. TRODIMENZIONALNI LINEARNI PROTOK

Element prostora (poroznog medija) prikazan je na slici Slika 1. Njegove

su dimenzije ∆x, ∆y i ∆z, u koordinatnom sustavu x, y i z. Obujamske

komponente utoka fluida u element po jedinici površine (brzine protjecanja), u

smjerovima x, y,z, označene su s vx , vy i vz. Stoga je maseni utok fluida u

element, u smjeru osi x, jednak umnošku obujamske mase fluida, ρ , brzine

protjecanja, vx , i površine poprječnog presjeka, ∆ ∆y z, tj.

xv y zρ ∆ ∆

a maseni istok fluida iz elementa, u smjeru osi x, jednak je:

( )x xv v y zρ ρ+ ∆ ∆ ∆

Razlika ovih dvaju protoka (utok minus istok) predstavlja neto protok u smjeru

osi x:

( ) ( )x x x xv y z v v y z y z vρ ρ ρ ρ∆ ∆ − + ∆ ∆ ∆ = −∆ ∆ ∆

Po istom načelu može se odrediti neto protok u smjerovima osi y i z.

z

ρρρρv

xy

x ρρρρ ρρρρ

ρρρρ ρρρρ ρρρρ

ρρρρρρρρ

∆∆∆∆

∆

∆

∆

v + v v

v +

z

y

x

v v v

x x

z ρρρρ zy

y + y z

v( )

)

)

(∆∆∆∆

∆∆∆∆ (

Slika 1. Model trodimenzionalnog linearnog protoka

5

Budući da je masa fluida, sadržana unutar elementa, odreñena

umnoškom obujamske mase fluida, ρ , šupljikavosti elementa, φ , i obujma

elementa, ∆ ∆ ∆x y z, promjena mase u vremenskom razmaku ∆t jednaka je

razlici

| |t t tx y z x y zφρ φρ+∆∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆

Dakle, jednadžba kontinuiteta za trodimenzionalni linearni protok može se

pisati kao:

[ ( ) ( ) ( )] [ | | ]x y z t t tt y z v x z v x y v x y zρ ρ ρ φρ φρ+∆−∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ − (1.7)

Dijeljenjem jednadžbe s ∆ ∆ ∆ ∆x y z t slijedi:

( )( ) ( ) ( )yx z

vv v

x y z t

ρρ ρ φρ∆∆ ∆ ∆− − − =∆ ∆ ∆ ∆

(1.8)

Kako ∆ ∆ ∆ ∆x y z t→ → → →0 0 0 0, , , , diferencijalni oblik jednadžbe kontinuiteta

glasi:

( ) ( ) ( ) ( )x y zv v vx y z t

∂ ∂ ∂ ∂ρ ρ ρ φρ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = − (1.9)

Kombiniranjem jednadžbe kontinuiteta i Darcyjeva zakona, tj.

uvoñenjem jednadžbi (1.3), (1.4) i (1.5) u jednadžbu (1.9), slijedi:

( )yx zkk kp p p

gx x y y z z t

ρρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ φρ∂ µ ∂ ∂ µ ∂ ∂ µ ∂ ∂

+ + + =

(1.10)

Konačna diferencijalna jednadžba, koja će slijediti iz jednadžbe (1.10),

ovisi o jednadžbi stanja za odreñeni fluid. Stoga će daljnje razmatranje biti

ograničeno na izotermalni protok fluida male i konstantne stlačivosti, koja je

definirana kao relativna promjena obujma fluida po jedinici promjene tlaka, tj.:

1 V

cV p

∂∂

= − (1.11)

S obzirom na definiciju gustoće, jednadžbu (1.11) može se pisati i u obliku:

1

cp

∂ρρ ∂

= (1.12)

a njenim preureñenjem i diferenciranjem po varijabli x, odnosno po vremenu,

t, slijedi:

6

p

cx x

∂ρ ∂ρ∂ ∂

= (1.13)

odnosno:

p

ct t

∂ρ ∂ρ∂ ∂

= (1.14)

Uvoñenjem jednadžbe stanja, dane jednadžbom (1.13) odnosno

jednadžbom (1.14) u jednadžbu (1.10), pretpostavljajući da je propusnost

konstantna i izotropna, tj. x y zk k k k= = = , te da su šupljikavost i viskoznost

takoñer konstantne, a sila teža zanemariva, jednadžbu (1.10) može se

preurediti kako slijedi.

Sukladno pravilu diferenciranja umnoška, prema kojemu je:

( ) v uuv u v

x x x

∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

prvi član jednadžbe (1.10), nakon izlučivanja konstanti, može se pisati kao:

2

2

k p k p p

x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρρ ρµ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂

= +

(1.15)

Nakon uvrštavanja jednadžbe (1.13) u jednadžbu (1.15) ona glasi:

22

2

k p k p pc

x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ρ ρ ρµ ∂ ∂ µ ∂ ∂

= +

(1.16)

Analogno, drugi član na lijevoj strani jednadžbe (1.10) tada glasi:

22

2

k p k p pc

y y y y

∂ ∂ ∂ ∂ρ ρ ρµ ∂ ∂ µ ∂ ∂

= +

(1.17)

a nakon zanemarivanja sile teže, slično glasi i treći član:

22

2

k p k p pc

z z z z

∂ ∂ ∂ ∂ρ ρ ρµ ∂ ∂ µ ∂ ∂

= +

(1.18)

Prema spomenutom pravilu diferenciranja umnoška, član na desnoj strani

jednadžbe (1.10) može se pisati kao:

( )t t t

ρ φφρ φ ρ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

(1.19)

koji nakon uvrštavanja jednadžbe (1.14) i uvažavanja pretpostavke da je

šupljikavost konstantna, postaje:

7

( ) pc

t t

∂φρ φρ∂

∂ =∂

(1.20)

Uvrštavanjem jednadžbi (1.16), (1.17), (1.18) i (1.20) u jednadžbu

(1.10) i njenim sreñivanjem, ona poprima sljedeći oblik:

22 22 2 2

2 2 2

p p p p p p c pc

x y z x y z k t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ φµ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + =

(1.21)

Budući da je stlačivost mala, te ako se pretpostavi i male gradijente

tlaka tako da su njihovi kvadrati zanemarivi, konačni oblik diferencijalne

jednadžbe za trodimenzionalni linearni protok fluida u poroznom mediju svodi

se na:

2 2 2

2 2 2

p p p c p

x y z k t

∂ ∂ ∂ φµ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + = (1.22)

Jednadžbu (1.22) naziva se jednadžbom difuzije, a konstantu k

cφµ,

hidrauličkom difuzivnošću, koju se često označava simbolom η.

8

1.2. RADIJALNI PROTOK

Radijalni model protjecanja prikazan je na slici Slika 2. Protok je

jednodimenzionalan, horizontalan i radijalan, u smjeru suprotnom smjeru

radijusa, r . Maseni utok u element prostora jednak je umnošku obujamske

mase fluida, brzine protjecanja i površine kroz koju protječe. Budući da je

površina jednaka umnošku duljine kružnog luka, odreñenog radijusom r r+ ∆ i

kutom θ , i visine elementa h , maseni utok je:

( )rv r r hρ θ− + ∆

Maseni istok iz elementa jednak je umnošku istih varijabli, s tim da je duljina

kružnog luka odreñena radijusom r , tj. maseni istok je dan izrazom:

( )r rv v rhρ ρ θ− + ∆

Razlika ovih dvaju protoka (utok minus istok) predstavlja neto protok u smjeru

radijusa, r:

( ) ( ){ } ( )r r r r rv r r h v v rh h v r v rρ θ ρ ρ θ θ ρ ρ− + ∆ − + ∆ = − ∆ − ∆

h

r

r +

ρρρρ

ρ +∆(ρρ +∆(ρρ +∆(ρρ +∆(ρv r v r )

v r

∆∆∆∆

θθθθ

r

Slika 2. Model radijalnog protoka

9

Masa fluida u elementu prostora odreñena je umnoškom obujamske

mase fluida, šupljikavosti i obujma elementa. Obujam elementa jednak je

umnošku površine isječka kružnog vijenca, odreñene radijusima r i r r+ ∆ , te

kutom θ , i visine elementa h , tj. dan je izrazom:

( ) ( )2 2 222 2

hr r r h r r r

θ θ + ∆ − = ∆ + ∆

Kad ∆r → 0, njegov kvadrat je zanemariv, pa sreñivanjem gornje jednadžbe i

njenim množenjem s ρφ, izraz za masu fluida u takvom elementu prostora

glasi:

hr rρφθ ∆

Promjena mase fluida u elementu, u vremenskom razmaku ∆t , jednaka je

razlici:

( )| |t t thr r hr r hr rρφθ ρφθ ρφ θ+∆∆ − ∆ = ∆ ∆

Stoga se jednadžbu kontinuiteta za radijalni protok fluida može pisati kao:

[ ( ) ] ( )r rt h v r v r hr rθ ρ ρ ρφ θ−∆ ∆ − ∆ = ∆ ∆ (1.23)

odnosno, kao:

( ) ( )1 r

r

vrv r

r r r t

ρ ρφρ

∆ ∆ ∆ − = − ∆ ∆ ∆ (1.24)

Budući da ∆ ∆r t→ →0 0, , a ∆

∆( ) ( )ρ ∂ ρ

∂v

r

v

rr r→ − jer je promjena obujamskog

protoka negativna u smjeru povećanja radijusa, slijedi diferencijalni oblik

jednadžbe kontinuiteta za radijalni protok:

1 ( )

( )rr vr r t

∂ ∂ ρφρ∂ ∂

= − (1.25)

Kombiniranjem jednadžbe kontinuiteta i Darcyjeva zakona, tj.

uvoñenjem jednadžbe (1.6) u jednadžbu (1.25), slijedi:

( )1 rk p

rr r r t

∂ ρφ∂ ∂ρ∂ µ ∂ ∂

=

(1.26)

Analogno trodimenzionalnom modelu, pretpostavljajući malu i konstantnu

stlačivost, definiranu jednadžbom (1.11), odnosno jednadžbom (1.12), te

10

konstantnu propusnost (k kr = ), šupljikavost i viskoznost, lijevu stranu

jednadžbe (1.26) može se pisati kao:

1 1k p k p p

r r rr r r r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρρ ρµ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂

= +

(1.27)

Nakon uvrštavanja jednadžbe (1.13), s radijalnim koordinatama, u

jednadžbu (1.27) ona glasi:

2

1 1k p k p pr r r c

r r r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ ρ ρµ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂

= +

(1.28)

Član na desnoj strani jednadžbe (1.26) dan je jednadžbom (1.20), pa

uvrštavanjem jednadžbi (1.28) i (1.20) u jednadžbu (1.26) i njenim

sreñivanjem, ona postaje:

2

1 p p c pr c

r r r r k t

∂ ∂ ∂ φµ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ =

(1.29)

Pretpostavimo li još i mali gradijent tlaka, tako da je njegov kvadrat

zanemarivo mali, iz gornje jednadžbe slijedi konačni oblik jednadžbe difuzije

za radijalni protok:

2

2

1p p c p

r r r k t

∂ ∂ φµ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.30)

Rješenja jednadžbe difuzije ovise o definiciji početnih i rubnih uvjeta. S

tim u svezi razvijene su dvije grupe rješenja: rješenja za konstantan protok i

rješenja za konstantan tlak. Takoñer, postoje rješenja za ograničena i

neograničena ležišta, te ležišta s konstantnim tlakom na vanjskoj granici

ležišta. Rješenja za konstantan protok standardno se primjenjuju u analizi

hidrodinamičkih mjerenja. Pritom se najviše koristi rješenje za neograničeno

ležište (neustaljeni protok) a u odreñenim slučajevima i druga dva rješenja.

11

1.2.1. Modeli s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta

1.2.1.1. Neograni čeno ležište

Neograničeno cilindrično ležište s bušotinom u središtu prikazano je na

slici Slika 3.

rp

r s

r w

i

k

k

s

hNEPROPUSNEGRANICE

p wf

Slika 3. Neograni čeno ležište s bušotinom u središtu.

Početni uvjet definira jednoliku rasprostranjenost ležišnog tlaka po

čitavom ležištu:

∞== ⊲⊲ rtptrp i 0,0,),( .

Prvi rubni uvjet definira ležište kao neograničeno:

0,,),( ⊳trptrp i ∞→→ .

Drugi rubni uvjet definira protok na unutarnjoj granici ležišta, tj. na radijusu

bušotine rw, koji podliježe Darcyjevom zakonu:

2r

w

qB k pv

r h r

∂π µ ∂

= = − (1.31)

Dakle, drugi rubni uvjet definiran je kao:

12

∂∂

µπ

p

r

qB

khrt

r ww

= −2

0, > .

Rješenje jednadžbe difuzije za tlak kod radijusa r u vremenu t glasi

(van Everdingen i Hurst 1949):

21

( , )2 2 4i

qB crp r t p Ei

kh kt

µ φµπ

= − − −

(1.32)

gdje je:

( )u

x

eEi x du

u

∞ −

− − = ∫ (1.33)

nazvan eksponencijalni integral, koji za x < 0 01. , tj. za veliko vrijeme, može

biti aproksimiran s (Abramowitz i Stegun 1968):

1

( ) ln( ) lnEi x xx

γγ − − ≅ − =

(1.34)

Ovdje je ln γ Eulerova konstanta i jednaka je 0,5772, pa je γ = 1,781. Dakle,

za 4

1002

kt

crφµ> jednadžba (1.32) glasi:

2

1 4( , ) ln

2 2i

qB ktp r t p

kh cr

µπ γφµ

= − (1.35)

Za specifičan slučaj kad je r rw= , jednadžba (1.35) predstavlja rješenje

dinamičkog tlaka u bušotini, pwf , u vremenu t , pa, nakon sreñivanja konstanti

pod logaritmom, slijedi:

2

1( ) ln 0,80907

2 2wf iw

qB ktp t p

kh cr

µπ φµ

= − +

(1.36)

Prema definiciji skin faktora (van Everdingen i Hurst 1949) dodatni pad

tlaka zbog eventualno promijenjene propusnosti, ks, u radijusu rs, tj.

2s

qBp s

kh

µπ

∆ =

(1.37)

gdje je

1 ln s

s w

rks

k r

= −

(1.38)

može se pribrojiti drugom članu na desnoj strani jednadžbe (1.36), pa ona

konačno glasi:

13

2

1( ) ln 0,80907

2 2wf iw

qB ktp t p s

kh cr

µπ φµ

= − + +

(1.39)

Promjenom prirodnog logaritma u logaritam po bazi 10, te uvoñenjem ukupne

stlačivosti sustava, umjesto stlačivosti jedne faze fluida, slijedi praktično

rješenje jednadžbe (1.39) za analizu pada tlaka u proizvodnom testu:

2

( ) 1,151 log log 0,351 0,872wf i

t w

qB kp t p t s

kh c r

µπ φµ

= − + + +

(1.40)

Naime, iz jednadžbe (1.40) slijedi da će dijagram dinamičkog tlaka u

polulogaritamskom mjerilu ( wfp u funkciji logt ) dati pravac:

2

( ) 1,151 log 0,351 0,87 1,151 log2 2wf i

t w

qB k qBp t p s t

kh c r kh

µ µπ φµ π

= − + + −

(1.41)

čiji je nagib definiran izrazom:

1,1512

qBm

kh

µπ

= (1.42)

a odrezak na ordinati izrazom:

( ) 2log 0 log 0,351 0,87wf i

t w

kp t p m s

c rφµ

= = − + +

(1.43)

kad bude zadovoljena logaritamska aproksimacija eksponencijalnog integrala,

tj. u kasnijoj fazi. Tada se propusnost ležišta može izračunati s pomoću

nagiba pravca, tj. prema izrazu:

1,1512

qBk

hm

µπ

= (1.44)

a kombiniranjem s odreskom pravca:

2

( ) log 0,351 0,87 logwf it w

kp t p m s m t

c rφµ

= − + + −

(1.45)

slijedi izraz za računanje skin faktora:

2

( )1,151 log log 0,351i wf

t w

p p t ks t

m c rφµ−

= − − −

(1.46)

U praksi se jednadžba (1.46) redovito koristi u obliku:

(1 )

21,151 log 3,91i wf h

t w

p p ks

m c rφµ−

= − −

(1.47)

14

gdje je pwf(1h) tlak ekstrapoliran po pravcu nagiba m do t=1 h.

Svojstvo logaritma, prema kojemu je log log logax a x= + , iskorišteno je

za razvijanje grafičkih rješenja jednadžbe difuzije s pomoću

bezdimenzionalnih varijabli (tipske krivulje). Naime, analizom jednadžbi (1.35)

do (1.40), uočava se da je pad tlaka u ležištu, ∆p p pi r t= − , , proporcionalan

nekoj konstanti i bezdimenzionalnoj varijabli, koju se može nazvati

bezdimenzionalnim padom tlaka, pD , koji je pak funkcija bezdimenzionalne

varijable kt

c rtφµ 2, koju se može nazvati bezdimenzionalnim vremenom, tD .

Tada jednadžba (1.35) može biti pisana kao:

( , )2i D

qBp p r t p

kh

µπ

− = (1.48)

s tim da se skin faktor može jednostavno pribrojiti bezdimenzionalnom padu

tlaka, tj. umjesto pD , treba pisati p sD + . Dakle, bezdimenzionalni pad tlaka

može se definirati kao:

( )2 i

D

kh p pp

qB

πµ

−= (1.49)

a bezdimenzionalno vrijeme kao:

2D

t

ktt

c rφµ= (1.50)

što znači da su bezdimenzionalne varijable umnožak konstante, a, i stvarne

varijable, x, pa njihov logaritamski oblik glasi:

( )2log log logD i

khp p p

qB

πµ

= + − (1.51)

2

log log logDt

kt t

c rφµ= + (1.52)

Odatle slijedi zaključak da je bezdimenzionalna vrijednost jednaka

stvarnoj, s odreñenim pomakom, što znači da log-log dijagram pD u funkciji tD

mora izgledati identično log-log dijagramu ∆p u funkciji t , ali s pomakom

jednakim prvom članu na desnoj strani jednadžbe (1.51), odnosno (1.52).

Izrazi li se i radijus u bezdimenzionalnoj formi:

15

Dw

rr

r= (1.53)

bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije za radijalni protok (jednadžba

(1.30)) glasit će:

2

2

1D D D

D D D D

p p p

r r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.54)

Početni i rubni uvjeti tada su definirani kako slijedi:

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , < ,

p r tD D D→ → ∞0 0, , > ,

∂∂

p

rtD

D r

D

D =

=1

1 0, > ,

a rješenje bezdimenzionalne jednadžbe difuzije je (van Everdingen i Hurst

1949):

21

( , )2 4

DD D D

D

rp t r Ei

t

= − −

(1.55)

koje za 2 24 / 100 / 25D D D Dt r t r≥ ⇒ ≥ ima sljedeću logaritamsku aproksimaciju:

2

1( , ) ln 0,80907

2D

D D DD

tp t r

r

= +

(1.56)

Za slučaj r rw= , rD = 1, jednadžba (1.56) reducira se na:

( )1( ) ln 0,80907

2D D Dp t t= + (1.57)

gdje je s p tD D( ) označen bezdimenzionalni pad tlaka na unutarnjoj granici

ležišta, dakle u bušotini, koji je jedini mjerljiv i stoga će u nastavku uvijek imati

isto značenje. Takoñer, tD podrazumijeva bezdimenzionalno vrijeme

temeljeno na radijusu bušotine, rw, dok će u svim ostalim slučajevima biti

drukčije označen. U polulogaritamskom koordinatnom sustavu, jednadžba

(1.57) predstavlja pravac karakterističnog nagiba 1

1,1512loge

= . Za tD < 0 01.

približno rješenje bezdimenzionalnog pada tlaka dano je relacijom:

( ) 2 /D D Dp t t π≅ (1.58)

16

dok je za tD < 1000 u literaturi taj odnos dan bilo tablično (van Everdingen i

Hurst 1949; Lee 1982) bilo grafički (tipske krivulje, Earlougher 1977) (Slika 4).

tD

pD

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+ 00

1.00E+ 01

1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+ 00 1.00E+ 01 1.00E+ 02 1.00E+ 03

Slika 4. Tipska krivulja za neograni čeni radijalni sustav, konstantnog protoka na

unutarnjoj granici.

U praksi je, meñutim, vrlo brzo ispunjen uvjet logaritamske

aproksimacije eksponencijalnog integrala, pa se jednadžbu (1.57) praktički

može koristiti bez ograničenja.

1.2.1.2. Ograni čeno ležište sa zatvorenom vanjskom granicom

Slika 3 može predstavljati i ovaj sustav, ukoliko radijus r zamijenimo

odreñenim radijusom crpljenja, re, čiji je bezdimenzionalni oblik definiran kao:

eeD

w

rr

r= (1.59)

Početni uvjet definiran je kao i u slučaju neograničenog ležišta:

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , <

17

Prvi rubni uvjet definira vanjsku granicu ležišta kao zatvorenu, kroz koju nema

protoka: ∂∂p

rtD

D r

D

eD

= 0 0, > .

Drugi rubni uvjet definira unutarnju granicu ležišta, gdje je protok konstantan: ∂∂

p

rtD

D r

D

D =

=1

1 0, > .

Uz pretpostavku da je r re w>> , rješenje Van Everdingena i Hursta (1949)

glasi:

( )

( ) ( )

2 21

2 2 2 21 1 1

2 3( ) ln 2

4

n Dtn eDD

D D eDneD n n eD n

e J rtp t r

r J r J

α αα α α

−∞

=

= + − + −

∑ (1.60)

gdje je αn rješenje jednadžbe:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0n eD n n n eDJ r Y J Y rα α α α− = (1.61)

a J1 i Y1 Besselove funkcije (Abramowitz i Stegun, 1968).

Jednadžba (1.60) predstavlja egzaktno rješenje. No, i ovdje postoje

aproksimativna rješenja za odreñena vremena i radijus crpljenja. Kao prvo,

ako je 20,25D eDt r⊲ , ležište se ponaša kao neograničeno, pa se za

225 0,25D eDt r≤ ≤ može primijeniti jednadžbu (1.57). Za tD >> beskonačna

serija eksponencijala i Besselovih funkcija postaje zanemariva, pa se tada

jednadžba (1.60) svodi na (Lee 1982):

2

2 3( ) ln

4D

D D eDeD

tp t r

r= + − (1.62)

Za 225 0,25D eDt r⊲ ⊳ , približno rješenje glasi:

( )

( )4 4 2

22 2

2 0,25 3 4 ln 2 1( )

1 4 1

D eD eD eD eDD D

eD eD

t r r r rp t

r r

+ − − −≅ −− −

(1.63)

koje se za reD2 1>> svodi na jednadžbu (1.62). Za slučajeve koji nisu

obuhvaćeni ovim približnim rješenjima, tablični prikaz egzaktnih rješenja dali

su sami autori (van Everdingen i Hurst 1949), a njihov grafički prikaz dan je

na slici Slika 5 (za 1,5 10eDr≤ ≤ ). No, za praktičnu uporabu dostatna je

18

jednadžba (1.62), budući da su oba uvjeta za njenu primjenjivost gotovo

uvijek ispunjena.

tD

pD

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

reD= 1.5

2

2.5

3 3.54

4.5567

89

10

Slika 5. Tipske krivulje za ograni čeni radijalni sustav sa zatvorenom vanjskom

granicom i konstantnim protokom na unutarnjoj grani ci.

1.2.1.3. Ograni čeno ležište s konstantnim tlakom na vanjskoj granici

Početni i jedan od rubnih uvjeta definirani su kao i za dva prethodna

slučaja:

p t rD D D= = ≤ ∞0 0 0, , < ,

∂∂

p

rtD

D r

D

D =

=1

1 0, > .

Drugi rubni uvjet definira konstantan tlak na radijusu re:

p tD reD D= 0 0, > .

Egzaktno rješenje Van Everdingena i Hursta glasi:

( )

( ) ( )

2 20

2 2 21 1 0

( ) ln 2n Dt

n eDD D eD

n n n eD n eD

e J rp t r

J r J r

β ββ β β

−∞

=

= − −

∑ (1.64)

gdje je βn rješenje jednadžbe:

19

( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 0n n eD n n eDJ Y r Y J rβ β β β− = (1.65)

a J0, J1, Y0 i Y1 Besselove funkcije.

No, ako je 20,25D eDt r⊲ , ležište se ponaša kao neograničeno, pa se za

2100 0,25D eDt r⊲ ⊲ može primijeniti jednadžbu (1.57). Za t rD eD> 2 , beskonačna

serija eksponencijala i Besselovih funkcija postaje zanemariva, pa se tada

jednadžba (1.64) svodi na (Lee 1982):

lnD eDp r≅ (1.66)

Tablični prikaz egzaktnih rješenja dan je u literaturi (Lee 1982) a njihov

grafički prikaz dan je na slici Slika 6.

tD

pD

0.00E+ 00

1.00E+ 00

2.00E+ 00

3.00E+ 00

4.00E+ 00

5.00E+ 00

6.00E+ 00

7.00E+ 00

8.00E+ 00

9.00E+ 00

1.00E-02 1.00E-01 1.00E+ 00 1.00E+ 01 1.00E+ 02 1.00E+ 03 1.00E+ 04 1.00E+ 05 1.00E+ 06 1.00E+ 07 1.00E+ 08

reD= 1.52

2.53 3.54

68

1015

2025

3040

6080

100

200300

400600

10001400

20003000

Slika 6. Tipske krivulje za ograni čeni radijalni sustav, konstantnog tlaka na vanjskoj

granici i konstantnog protoka na unutarnjoj granici .

1.2.2. Neustaljeni, poluustaljeni i ustaljeni protok

Kao što vidimo, rješenja za tri prethodna hipotetska slučaja, u pojedinim

fazama, primjenjiva su na jednu te istu bušotinu. Naime, u ranoj fazi

proizvodnje tlak se uvijek ponaša kao u neograničenom ležištu. Taj period se

20

zove neustaljeni (prijelazni, prolazni, engl. transient) period, a može ga se

opisati jednadžbom (1.55), odnosno jednadžbom (1.57). U kasnijoj fazi,

kad su dosegnute granice ležišta, ponašanje tlaka počinje odstupati od

ponašanja neograničenog ležišta. Ako se radi o ležištu sa zatvorenom

vanjskom granicom, nakon 20,25D eDt r= , primjenjiva je jednadžba (1.62),

kada pad tlaka postaje linearna funkcija vremena. Diferenciranjem

dimenzionalnog oblika jednadžbe (1.62), tj. jednadžbe

( )

2

2 2 3ln

4i wf e

t e w

kh p p rkt

qB c r r

πµ φµ−

= + −

po vremenu, slijedi:

2

wf

e t

p qB

t r h c

∂∂ π φ

= − (1.67)

odnosno:

wf

p t

p qB

t V c

∂∂

= − (1.68)

gdje je Vp obujam pornog prostora. Dakle, promjena tlaka u jedinici vremena

inverzno je proporcionalna obujmu fluida u pornom prostoru. Ovakvo stanje

se obično naziva polustacionarnim ili poluustaljenim (engl. semi-steady state).

Prema načelu materijalnog uravnoteženja, promjena tlaka u ležištu

( )ppi − , prouzročena crpljenjem odreñenog obujma fluida ( )qBt , dana je

izrazom:

2

( )ie t

qBtp p t

r h cπ φ− = (1.69)

gdje je ( )tp srednji ležišni tlak u vremenu t . Uvrštavanjem jednadžbe

(1.69) u dimenzionalni oblik jednadžbe (1.62) slijedi:

3

( ) ( ) ln2 4

ewf

w

rqBp t p t

kh r

µπ

− = −

(1.70)

Dakle, razlika izmeñu srednjeg ležišnog tlaka i dinamičkog tlaka na

unutarnjoj granici ležišta je konstantna za vrijeme polustacionarnog stanja.

21

U slučaju konstantnog tlaka na vanjskoj granici ležišta, umjesto

polustacionarnog, uslijedit će stacionarno stanje (engl. steady state). Budući

da se to može dogoditi tek u kasnoj fazi, može se primijeniti jednostavan oblik

jednadžbe (1.64), tj. jednadžbu (1.66).

1.2.3. Pojednostavljena rješenja jednadžbe difuzije

Za poluustaljeni radijalni protok, prvi rubni uvjet definira vanjsku granicu

kao zatvorenu, kroz koju nema protoka, tj. kod er r= je:

0p

r

∂ =∂

(1.71)

Drugi rubni uvjet definira konstantan protok, pa vrijedi:

.p

konstt

∂ =∂

(1.72)

Iz definicije stlačivosti, tj. iz jednadžbe (1.11), preureñenjem i diferenciranjem

po vremenu, slijedi:

t

p VcV qB

t t

∂∂

∂ = − = −∂

(1.73)

odakle:

t

p qB

t cV

∂ = −∂

(1.74)

Budući da je obujam cilindričnog ležišta dan izrazom:

2eV r hπ φ= (1.75)

jednadžba (1.74) postaje:

2

t e

p qB

t c r hπ φ∂ = −∂

(1.76)

Uvoñenjem gornje jednadžbe u jednadžbu difuzije za radijalni protok,

tj. u jednadžbu (1.30), slijedi jednadžba:

2

1

e

p qBr

r r r r kh

∂ ∂ µ∂ ∂ π

= −

(1.77)

koja nakon integriranja od 0 do r glasi:

22

2

22 e

p qB rr C

r r kh

∂ µ∂ π

= − + (1.78)

Temeljem rubnog uvjeta danog jednadžbom (1.71), tj. 0er

p

r

∂ =∂

, konstanta

C u gornjoj jednadžbi jednaka je:

2

qBC

kh

µπ

= (1.79)

pa jednadžba (1.78) postaje:

2

1

2 e

p qB r

r kh r r

∂ µ∂ π

= −

(1.80)

Separiranjem varijabli i integriranjem gornjeg izraza u granicama od

radijusa bušotine, rw, gdje je tlak pwf, do radijusa r, gdje je tlak p, tj.:

2

1

2wf w

p r

ep r

qB rdp dr

kh r r

µπ

= −

∫ ∫ (1.81)

jednadžba (1.80) konačno glasi:

22

2 2ln

2 2 2w

wfw e e

rqB r rp p

kh r r r

µπ

− = − +

(1.82)

Posljednji član u zagradi na desnoj strani gornje jednadžbe je vrlo mali u

usporedbi s ostalima i može se zanemariti, pa ako je er r= , ona tada glasi:

1

ln2 2

ee wf

w

rqBp p

kh r

µπ

− = −

(1.83)

Vrijednost tlaka na radijusu crpljenja, pe, u poluustaljenom protoku ne

koristi puno, jer ju je teško mjeriti. Stoga će biti korisniji izraz temeljen na

srednjem ležišnom tlaku, kojeg se može definirati kao:

( )2 2

e

w

r

r

e w

pdV

pr r hπ φ

=−

∫ (1.84)

Diferenciranjem jednadžbe (1.75) s obzirom na radijus, r, slijedi:

2dV rh drπ φ= (1.85)

pa ako u jednadžbi (1.84) zanemarimo 2wr , ona tada glasi:

23

2

2 e

w

r

e r

p prdrr

= ∫ (1.86)

Tlak p, na bilo kojem radijusu r, slijedi iz jednadžbe (1.82). Uvrstimo li

taj izraz (sa zanemarenim posljednjim članom u zagradi) u jednadžbu

(1.86), ona tada glasi:

2

2 2

2ln

2 2

e

w

r

wfe w er

qB r rp p rdr

r kh r r

µπ

− = −

∫ (1.87)

Integriranjem ove jednadžbe i pojednostavljenjem, slijedi:1

1 Postupak integriranja:

( )

2

2 2

2 2

2 2 2 2

3 32 2 2 2 4

2ln

2 2

2 2ln ln

2 2

2ln2 1 2 1ln ln ln

2

e

w

e e e

w w w

e e e e

w w w w

r

wfe w er

r r r

e w e e w er r r

r r r r

ww

e e e e er r r r

qB r rp p rdr

r kh r r

r r r rrdr rdr rdr

r r r r r r

rr r rdr r dr r rdr rdr r

r r r r r

µπ

− = − ⇒

⇒ − = −

= − − = − −

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫e

w

r

r

dr∫

Prema Bronsteinu: 22

ln 1ln

2 2

xx xdx x

= −

∫

22 2 2

2 22

2

2

2

2

2 2 ln 1ln

2 2

ln ln2 1 1

2 4 2 4

1 1ln ln

2 2

1ln (jer je 0)

2

ee

w w

rr

e er r

e we w

e

we w

e

we

e

rr rdr r

r r

r rr r

r

rr r

r

rr

r

= −

= − − −

= − − −

≈ − ≅

∫

2 2 2

2 2 2

2ln 2lnln 1 ln

2 2

e

w

r

w w e w ww w

e e er

r r r r rrdr r r

r r r

= − = − ≈

∫

4 4 43

4 4 4

1 1 1 1

4 4 4 4 4

e

w

r

e w w

e e er

r r rr dr

r r r

= − = − ≈

∫

24

3

ln2 4

ewf

w

rqBp p

kh r

µπ

− = −

(1.88)

Često se jednadžbu (1.88) piše u obliku:

0,472

ln2

ewf

w

rqBp p

kh r

µπ

− =

(1.89)

budući da je ( )ln 0,472 0,75= − , odnosno 0,75 0,472e− = .

Za ustaljeni radijalni protok, dostatno je primijeniti Darcyjev zakon na

radijalni protok fluida. Naime, prema Darcyevom zakonu, radijalna brzina

protjecanja definirana je jednadžbom (1.6). Kako je brzina protjecanja na

nekom radijusu od središta bušotine definirana kao omjer obujamskog

protoka u ležišnim uvjetima, qB, i površine cilindra odreñene tim radijusom i

debljinom ležišta, 2 rhπ , može se pisati:

2

qB k dpv

rh drπ µ= = − (1.90)

Separiranjem varijabli i integriranjem gornjeg izraza u granicama od

radijusa bušotine, rw, gdje je tlak pwf, do radijusa crpljenja, re, gdje je tlak pe, tj.:

2

e e

wf w

p r

p r

qB drdp

kh r

µπ

=∫ ∫ (1.91)

konačna jednadžba glasi:

ln2

ee wf

w

rqBp p

kh r

µπ

− = (1.92)

32 2 4

2ln2 1ln

2

1 1ln ln

2 2 4

e e e

w w w

r r r

wwf

e e er r r

e w

rqBp p r rdr rdr r dr

kh r r r

qBr r

kh

µπ

µπ

− = − −

= − − −

∫ ∫ ∫

3ln

2 4e

wfw

rqBp p

kh r

µπ

− = −

25

1.2.4. Odstupanja od idealnih modela

Jednadžba difuzije za radijalni protok (jednadžba (1.30)) i njena tri

prethodna rješenja, temelje se na idealnim pretpostavkama o svojstvima

ležišta i ležišnog fluida. Konkretno, pretpostavlja se izotropno, homogeno,

horizontalno, vertikalno ograničeno, a lateralno neograničeno cilindrično

ležište s bušotinom u središtu (Slika 3). Ležište sadrži neznatno stlačiv fluid

konstantne stlačivosti c i viskoznosti µ . Porozni medij ima propusnost k ,

šupljikavost φ , debljinu h i početni ležišni tlak pi . Svojstva ležišta su neovisna

o tlaku, a protok u ležištu podliježe Darcyjevom zakonu. Gradijenti tlaka su

mali, a gravitacijski efekti zanemarivi. Meñutim, stvarna svojstva ležišta i

ležišnog fluida odstupaju od pretpostavljenih, zbog čega je nužno idealne

modele prilagoditi stvarnim uvjetima. Neka od tih odstupanja opisana su u

nastavku.

1.2.4.1. Stlačivi fluid

Pretpostavka male i konstantne stlačivosti, korištena za izvod jednadžbe

difuzije (jednadžba (1.22) i (1.30)), prihvatljiva je za opis protoka nafte

kroz šupljikavi medij, meñutim ne i za protok plina. Da bi se izvelo jednadžbu

difuzije za plin (stlačivi, kompresibilni fluid), potrebno je definirati jednadžbu

stanja. No, kao prvu aproksimaciju, moguće je kombinirati rješenje jednadžbe

difuzije za naftu (jednadžba (1.48)) i zakon realnog plina:

pV nRTZ= (1.93)

prema kojemu je srednja vrijednost obujamskog koeficijenta za plin, B , dana

kao:

0

0 0 0

/( ) / 2 2

/ ( )i wf

i wf

nRTZ p p p TZB

nRT p T p p

+= =

+ (1.94)

26

Uvrštavanjem jednadžbe (1.94) u jednadžbu (1.48) slijedi približno

rješenje jednadžbe difuzije za plin, za r rw= , odnosno za p r t pw wf( , ) = :

( )2 2 0

0i wf D

p q ZTp p p s

T kh

µπ

− = + (1.95)

odakle i definicija bezdimenzionalnog pada tlaka za plin:

2 2

0

0

( )i wfD

T kh p pp

p q ZT

πµ

−= (1.96)

Definicija bezdimenzionalnog vremena ista je kao i za naftu, osim što su

svojstva plina definirana pri srednjem tlaku, ( ) 2wfi pp + .

Bolje rješenje slijedi ako se primijeni funkcija pseudo-tlaka, koja je

definirana kao ( Al-Hussainy et al. 1966):

0

( ) 2p

p

pm p dp

Zµ= ∫ (1.97)

gdje je p0 neki referentni tlak, tj. standardni tlak. Tada se jednadžbu difuzije

(jednadžba (1.30)) može pisati kao (Lee 1982; Economides i Nolte 1989):

2 ( ) 1 ( ) ( )tcm p m p m p

r r r k t

φµ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.98)

pa njeno rješenje tada glasi:

0

0

( ) ( ) ( )i wf D

p qTm p m p p s

T khπ′− = + (1.99)

a bezdimenzionalni pad tlaka je definiran kao:

0

0

( ) ( )i wf

D

T kh m p m pp

p qT

π − = (1.100)

Definicija bezdimenzionalnog vremena ostaje ista, no svojstva plina

definirana su pri početnim ležišnim uvjetima, tj.:

2( )D

t i w

ktt

c rφ µ= (1.101)

U jednadžbi (1.99) skin faktor je označen sa ′s , što znači da on

uključuje i pseudoskin prouzročen turbulentnim protokom plina.

27

1.2.4.2. Dvofazni protok

Bezdimenzionalna rješenja jednadžbe difuzije za naftu, primjenjiva su i

na dvofazni protok, ako se adekvatno definira bezdimenzionalne varijable.

Naime, u slučaju p pwf b< , promjenljive veličine u jednadžbi protoka su i

efektivna propusnost za naftu, ko , i viskoznost nafte, µo, i obujamski

koeficijent za naftu, Bo. Efektivnu propusnost za naftu može se izraziti kao

produkt k kro⋅ , gdje je kro relativna propusnost za naftu. Kod p pb≥ , kro = 1, no

za p pb< , relativna propusnost za naftu je funkcija zasićenja naftom, odnosno

plinom. Kako je zasićenje naftom (plinom) funkcija tlaka, slijedi da je i

relativna propusnost funkcija tlaka. Budući da su i µo i Bo izravno ovisni o

tlaku, može se, analogno plinu, formirati funkciju tlaka u obliku F pk

Bro

o o

( ) =µ

,

pa se za pi = pb bezdimenzionalni pad tlaka može definirati kao:

2 i

wf

p

roD

o op

kkhp dp

q B

πµ

= ∫ (1.102)

Za p pb< , F p( ) se može aproksimirati kao linearna funkcija tlaka

(Golan i Whitson 1985; Raghavan 1976), pa ako se µo i Bo definira kod

p p pb i= = , kad je kro = 1, rješenje integrala glasi:2

( )

2 2

2

i

wf

pi wfro

o o i o op i

p pkdp

B p Bµ µ−

=∫ (1.103)

pa će, dakle, adekvatna definicija bezdimenzionalnog pada tlaka glasiti:

2 Budući da tada jednadžba pravca glasi:

( ) ( )( )

1i ro

i o o i o o iii

F p k p pF p p

p B p B pµ µ

= = =

integriranjem slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 221 1

2 2 2

i i

wf wf

p pwf i wfi

i o o i o o i o op pi i i

p p ppF p pdp

p B p B p Bµ µ µ −

= = − =

∫ ∫

28

2 2( )

( )i wf

Di o o i

kh p pp

qp B

πµ

−= (1.104)

Za slučaj p p pwf b i< < , aproksimativno rješenje integrala u jednadžbi

(1.102) glasi (Golan i Whitson 1985):3

( ) ( )

2 2

2

i

wf

pb wfro i b

o o o o b o op i i

p pk p pdp

B B p Bµ µ µ−−= +∫ (1.105)

što podrazumijeva ( ) .F p konst= za p pb≥ . U stvarnosti je F p F pb i( ) ( )> , pa bi

se produkt µo oB⋅ u prvom članu desne strane jednadžbe (1.105) trebalo

definirati kod tlaka ( ) 2bi pp + , a u drugom članu kod pb. No, razlika je

zanemariva, pa adekvatna definicija bezdimenzionalnog pada tlaka za slučaj

p p pwf b i< < glasi:

( )

2 22

2b wf

D i bo o bi

p pkhp p p

q B p

πµ

−= − +

(1.106)

Definicija bezdimenzionalnog vremena je ista kao i za naftu, s tim što su

svojstva nafte definirana pri početnom tlaku, odnosno tlaku zasićenja.

3 Interval integriranja može se rastaviti:

i i b

wf b wf

p p p

ro ro ro

o o o o o op p p

k k kdp dp dp

B B Bµ µ µ= +∫ ∫ ∫

Pretpostavi li se ( ) .F p konst= za b ip p p≤ ≤ , te ako se µo i Bo definira kod ip p= ,

kad je kro = 1, rješenje prvog integrala glasi:

( ) ( )1i i

b b

p p

ro roi b

o o o o o op p ii

k kdp dp p p

B B Bµ µ µ

= = −

∫ ∫

Rješenje drugog integrala je analogno onom za slučaj p p pb i= = , s tim da je

pretpostavljeno b i

ro ro

o o o op p

k k

B Bµ µ

=

:

( )221

2 2

b b

wf wf

p pwfro ro b

o o o o b b o op p ii

pk k ppdp dp

B B p p Bµ µ µ

= = −

∫ ∫

29

1.2.4.3. Ležište promijenjene propusnosti u pribušotinskoj zoni

Kao što je poznato, propusnost ležišne stijene u neposrednom okolišu

bušotine može biti promijenjena raznim zahvatima tijekom bušenja i

opremanja bušotine, kao i tijekom proizvodnje. Pribušotinska zona

promijenjene propusnosti, ks, omeñena je radijusima rw i rs (Slika 3). Utjecaj

promijenjene propusnosti u toj zoni (skin efekt) uključen je u rješenje

jednadžbe difuzije (jednadžba (1.39)) preko skin faktora, s, koji je definiran

kao uzročnik dodatnog stacionarnog pada tlaka (van Everdingen i Hurst

1949):

2s

qBp s

kh

µπ

∆ =

(1.107)

Matematički, skin faktor je bezdimenzionalan, no on odražava

propusnosti, ks, u radijusu rs, što slijedi iz jednadžbe za stacionarni protok kroz

cilindar omeñen radijusima rs i rw. Uzevši da je ps tlak na vanjskoj granici

cilindra, temeljem jednadžbe stacionarnog protoka (jednadžba (1.66)), za

slučaj ks = k imamo:

, ln2

swf ideal s

w

rqBp p

kh r

µπ

= − (1.108)

a za slučaj ks ≠ k :

, ln2

swf real s

s w

rqBp p

k h r

µπ

= − (1.109)

Razlika izmeñu realnog i idealnog dinamičkog tlaka je dodatni pad tlaka zbog

skin efekta:

, ,

1 1ln

2s

s wf ideal wf realw s

rqBp p p

h r k k

µπ

∆ = − = −

(1.110)

Preureñenjem jednadžbe (1.110) slijedi:

1 ln2

ss

s w

rqB kp

kh k r

µπ

∆ = −

(1.111)

pa kombiniranjem s jednadžbom (1.107) slijedi jednadžba skin faktora:

30

1 ln s

s w

rks

k r

= −

(1.112)

Skin faktor se može iskazati preko efektivnog radijusa bušotine, rw’ , ako

se bezdimenzionalni pad tlaka za stacionarno stanje, s dodanim skin

faktorom, preuredi kako slijedi (Prats et al. 1962):

ln ln ln ln lnse e e es

w w w w

r r r rs e

r r r e r−

+ = + = = ′

(1.113)

Dakle, efektivni radijus bušotine, rw’ , dan je izrazom:

sw wr r e−′ = (1.114)

1.2.4.4. Promjenljiv protok

Idealni modeli protjecanja podrazumijevaju konstantan protok.

Primjenom načela superpozicije u vremenu, ti modeli su prilagoñeni i slučaju

promjenljivog protoka, čime je omogućena i analiza testa porasta tlaka, tj.

Hornerova metoda (Horner 1951).

Budući da je pad tlaka u ležištu za slučaj konstantnog protoka dan

jednadžbom:

( )( )( , )2i D D

qBp p p r t p t s

kh

µπ

∆ = − = + (1.115)

načelo superpozicije sugerira da će za dva protoka gornja jednadžba glasiti

(Earlougher 1977; Economides i Nolte 1989):

( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 12 D D D D

Bp q p t s q q p t t s

kh

µπ

∆ = + + − − + (1.116)

a za n protoka:

( ) ( )( )1 112

n

j j D j Dj

Bp q q p t t s

kh

µπ − −

=∆ = − − +∑ (1.117)

gdje j=1, 2, ...n.

31

1.2.4.5. Više bušotina u ležištu

Idealni modeli takoñer podrazumijevaju ležište s jednom bušotinom,

koja proizvodi konstantnim protokom. Meñutim, u praksi ležište ima više

bušotina, koje proizvode različitim protocima. Primjenom načela superpozicije

u prostoru, ta rješenja su prilagoñena i ovakvom slučaju. Naime, za ovu

svrhu, načelo superpozicije se može postaviti ovako: Ukupni pad tlaka u bilo

kojoj točki u ležištu, jednak je sumi padova tlaka u toj točki prouzročenim

protokom svake bušotine u ležištu.

Najjednostavnija ilustracija ovog načela je slučaj s više od jedne

bušotine u neograničenom ležištu. Kao primjer, razmotrimo slučaj triju

bušotina od kojih prva proizvodi protokom q1, druga protokom q2, a treća je

zatvorena (mjerna). Prema načelu superpozicije promjena tlaka na trećoj

bušotini, prouzročena proizvodnjom na druge dvije bušotine, bit će jednaka

sumi promjena tlaka prouzročenih prvom i drugom bušotinom, tj.:

3 3,1 3,2p p p∆ = ∆ + ∆ (1.118)

odnosno:

( ) ( )3 1 1 2 2, ,2 D D D D D D

Bp q p t r q p t r

kh

µπ

∆ = + (1.119)

gdje su rD1 i rD2 bezdimenzionalne udaljenosti prve i druge bušotine od treće

(Earlougher 1977; Economides i Nolte 1989). Općenito, za n bušotina, gornja

jednadžba će glasiti:

( ) ( )1

, ,2

n

j D D Djj

Bp t r q p t r

kh

µπ =

∆ = ∑ (1.120)

gdje j=1, 2, ...n.

Ako treća bušotina proizvodi protokom q3, sumi promjena tlaka

prouzročenih prvom i drugom bušotinom treba dodati i promjenu tlaka

prouzročenu proizvodnjom te, treće bušotine, uključujući i dodatni pad tlaka

32

prouzročen skin efektom te bušotine. Dakle, ukupni pad tlaka na trećoj

bušotini bit će:

( ) ( ) ( ){ }3 1 1 2 2 3 3, , , 12 D D D D D D D D D

Bp q p t r q p t r q p t r s

kh

µπ

∆ = + + = + (1.121)

Treba naglasiti, da jednadžba (1.121) ne uključuje skin faktor prve i

druge bušotine, budući da skin faktor pojedine bušotine utječe samo na tlak

unutar njezine zone promijenjene propusnosti i nema utjecaja na tlak ostalih

bušotina, ako se one ne nalaze unutar te zone.

1.2.4.6. Utjecaj obujma bušotine

„Efekt skladištenja u bušotini“ (engl. Wellbore Storage Effect; Wellbore

Unloading) ili „naknadni dotok“ (engl. Afterflow) je fenomen koji prouzročuje

promjenljivi protok nakon što započne proizvodni test, odnosno omogućuje

protok i nakon što se bušotinu zatvori za test porasta tlaka (slika Slika 7).

Dakle, bušotina djeluje kao skladište odreñenog obujma fluida.

Slika 7. Efekt skladištenja i naknadnog dotoka ( Houzé et al. 2008).

33

Razmotrimo zatvorenu naftnu bušotinu u ležištu jednoliko

rasporeñenog ležišnog tlaka (Slika 8a). Ležišni tlak je u ravnoteži s

hidrostatičkim tlakom stupca kapljevine u bušotini. Ako otvorimo bušotinu na

površini i iniciramo protok (npr. crpkom ili plinskim liftom), prva proizvedena

nafta (kapljevina) bit će ona koja je „uskladištena“ u bušotini, a početni protok

iz ležišta bit će jednak ništici. Pri konstantnom protoku na površini, q, s

vremenom će i protok na dnu bušotine, qsf, postati jednak onom na površini, a

obujam fluida „uskladišten“ u bušotini postat će konstantan.

Slika 8. Shematski prikaz bušotine ispunjene kaplje vinom i plinom, te bušotine

ispunjene jednom fazom (kapljevinom ili plinom) (Le e 1982).

Sad se može razviti matematički odnos izmeñu ležišnog protoka

(protoka na dnu bušotine) i protoka na površini (Lee 1982). Temeljem

ravnoteže mase u bušotini (zakona o očuvanju mase, jednadžbe

kontinuiteta), uz uvjet konstantne gustoće, obujamski utok kapljevine u

34

bušotinu je sfq B , istok kapljevine iz bušotine je qB, a promjena obujma

kapljevine akumulirane u bušotini je wbwb

dV dzA

dt dt= . Tada, pretpostavljajući

konstantnu površinu poprječnog presjeka bušotine, Awb, i konstantan

obujamski koeficijent, B, tj. isti i na dnu i na ušću bušotine, ravnoteža postaje:

( )wb sf

dzA q q B

dt= − (1.122)

Za bušotinu s tlakom na ušću pt, tlak na dnu jednak je:

w tp p gzρ= + (1.123)

gdje je ρ gustoća kapljevine u bušotini. Tada je:

( )w td p p dz

gdt dt

ρ−

= (1.124)

odnosno:

( )w td p pdz

dt gdtρ−

= (1.125)

Uvrsti li se jednadžbu (1.125) u jednadžbu (1.122), slijedi:

( ) ( )w twb

sf

d p pAq q B

g dtρ−

= − (1.126)

Definira li se konstantu skladištenja bušotine (engl. Wellbore Storage

Constant), C, kao:

wbAC

gρ= (1.127)

jednadžbu (1.126) može se pisati kao:

( )w t

sf

d p pCq q

B dt

−= + (1.128)

Ako je tlak na ušću, pt, nepromjenljiv ili jednak ništici, gornja jednadžba

postaje:

wsf

dpCq q

B dt= + (1.129)

Da bi se razumjelo rješenje protjecanja fluida u ležištu koje uključuje

utjecaj skladištenja fluida u bušotini, potrebno je uvesti bezdimenzionalne

35

varijable. Uzmimo da je protok na ušću bušotine u vremenu t=0 jednak qi, te

uvedimo definicije bezdimenzionalnog tlaka i bezdimenzionalnog vremena:

( )2 i w

Di

kh p pp

q B

πµ−

= (1.130)

2D

t w

ktt

c rφµ= (1.131)

Iz jednadžbe (1.130) slijedi:

2

iw i D

q Bp p p

kh

µπ

= − (1.132)

pa njenim diferenciranjem slijedi:

2

w i Ddp q B dp

dt kh dt

µπ

= − (1.133)

Iz jednadžbe (1.131), pak, slijedi:

2

t wD

c rt t

k

φµ= (1.134)

odnosno:

2

t wD

c rdt dt

k

φµ= (1.135)

Uvrstimo li jednadžbu (1.135) u jednadžbu (1.133), slijedi:

2 22 2

w i iD D

t w D t w D

dp q B q Bdp dpk

dt kh c r dt h c r dt

µπ φµ π φ

= − × = − (1.136)

Ako sada jednadžbu (1.136) uvrstimo u jednadžbu (1.129) imamo:

22

i Dsf

t w D

Cq dpq q

h c r dtπ φ= − (1.137)

Definiramo li bezdimenzionalnu konstantu (koeficijent) skladištenja, CD, kao:

22D

t w

CC

h c rπ φ= (1.138)

jednadžbu (1.137) možemo pisati kao

Dsf i D

i D

dpqq q C

q dt

= −

(1.139)

Za slučaj konstantnog protoka vrijedi ( ) iq t q= , pa jednadžba (1.139) postaje:

1sf DD

D

q dpC

q dt= − (1.140)

36

Jednadžba (1.140) je drugi rubni uvjet (tj. uvjet koji definira protok na

unutarnjoj granici ležišta) u jednadžbi difuzije za slučaj konstantnog protoka

neznatno stlačivog fluida (kapljevine) s uključenim „efektom skladištenja“

(engl. Wellbore Storage Effect). Treba primijetiti da je za mali CD ili mali

dpD/dtD, qsf/q≈1, tj. efekt skladištenja je zanemariv.

Kao drugi primjer, razmotrimo bušotinu ispunjenu jednofaznim fluidom

(kapljevinom ili plinom) koja proizvodi nekim protokom na površini, q (Slika

8b). Uzmemo li da je obujam bušotine koji komunicira s ležištem Vwb, a cwb

stlačivost fluida u bušotini (odreñena pri bušotinskim uvjetima) komponente

jednadžbe kontinuiteta su: utok kapljevine u bušotinu, sfq B , istok kapljevine iz

bušotine, qB, te promjena obujma kapljevine akumulirane u bušotini,

( )wb wb wV c dp dt . Tada ravnoteža glasi:

( ) wsf wb wb

dpq q B V c

dt− = (1.141)

ili

wb wb wsf

V c dpq q

B dt= + (1.142)

U ovom slučaju, konstantu skladištenja bušotine, C, definirat ćemo kao:

wb wbC c V= (1.143)

pa će jednadžba (1.142) glasiti

wsf

dpCq q

B dt= + (1.144)

Dakle, jednadžba (1.144) je identična jednadžbi (1.129), samo što je

konstanta skladištenja, C, drukčije definirana. Meñutim, treba imati na umu

značajna pojednostavljenja u izvoñenju gornje jednadžbe. Kad se jednadžbu

(1.144) primjenjuje na plinsku bušotinu, cwb je stlačivost plina u bušotini, a ona

je strogo funkcija tlaka (pojednostavljeno, 1wb wbc p= ). Dakle, „konstanta“

skladištenja za plinsku bušotinu može biti daleko od toga da bude

konstantna.

37

Pošto su jednadžbe (1.144) i (1.129) identične, jednadžbe (1.139) i

(1.140) vrijede i za slučaj bušotine ispunjene jednofaznim fluidom.

Jednadžba difuzije za radijalni protok, s jednadžbom (1.140) kao

unutarnjim rubnim uvjetom, te s neograničenim radijusom crpljenja, jednoliko

rasprostranjenim početnim tlakom i promijenjenom propusnošću u

pribušotinskoj zoni (karakteriziranom skin faktorom, s), riješena je analitički i

numerički (Agarwal et al. 1970; Wattenbarger i Ramey 1970). Analitičko

rješenje dano je u obliku tipskih krivulja na slici Slika 9.

Slika 9. Bezdimenzionalni tlak za bušotinu u neogra ničenom ležištu, s uklju čenim

efektom skladištenja i skin efektom. (Agarwal et al . 1970).

Iz slike se može odrediti vrijednosti bezdimenzionalnog tlaka, pD, (pa

onda i stvarnog tlaka na dnu bušotine, pw) za bušotinu u ležištu zadanih

vrijednosti tD, CD i s.

38

Meñutim, dva svojstva ovog log-log dijagrama zahtijevaju posebnu

pozornost. U ranim vremenima, za dane vrijednosti CD i većinu vrijednosti s,

na dijagramu postoji pravac nagiba jednakog jedinici, tj. pravac leži pod

kutom od 45°. Ovaj pravac se pojavljuje i traje dok god sva proizvodnja dolazi

iz bušotine i ništa ne dolazi iz ležišta. I jednadžba (1.140) upućuje na takav

zaključak. Naime, za 0sfq q= , ova jednadžba postaje:

1 0DD

D

dpC

dt− = (1.145)

odnosno

D D Ddt C dp= (1.146)

Integriranjem od 0Dt = (gdje je 0Dp = ) do tD i pD, rezultat je

D D DC p t= (1.147)

pa logaritmiranjem obiju strana jednadžbe slijedi

log log logD D DC p t+ = (1.148)

Dakle, dok god je 0sfq = , teorija upućuje da će log-log dijagram pD u

funkciji tD imati nagib jednak jedinici. To takoñer upućuje na zaključak da

svaka točka na ovom pravcu (pD, tD) mora zadovoljiti uvjet

1D D

D

C p

t= (1.149)

Ovo zapažanje je od velike važnosti u analizi hidrodinamičkih

ispitivanja. Naime, kad prestane utjecaj skladištenja u bušotini (tj. kad je

sfq q≅ ), može se očekivati da će rješenje jednadžbe protoka biti isto kao da i

nije bilo efekta skladištenja, tj. isto kao i za slučaj 0DC = . Kao što se vidi na

slici Slika 9, rješenja za odreñeni CD i za 0DC = moraju postati identična

nakon dostatnog proteka vremena. Jedno korisno empirijsko zapažanje je da

to vrijeme (nazvano „konac poremećaja efektom skladištenja“), twbs, nastupa

približno jedan i pol logaritamski ciklus nakon nestanka pravca nagiba

jednakog jedinici. Drugo korisno zapažanje je, da postoji odreñena korelacija

39

izmeñu tog vremena i parametara CD i s. Prema Agarwalu et al. (1970)

bezdimenzionalno vrijeme, kod kojeg prestaje poremećaj zbog efekta

skladištenja, odreñeno je jednadžbom:

( )60 3,5D Dt s C= + (1.150)

Unatoč značaju tipskih krivulja danih na slici Slika 9, njihova mana je

velika sličnost krivulja za različite vrijednosti parametara CD i s, zbog čega

interpretacija često nije jednoznačna. Stoga su Gringarten et al. (1979)

preuredili rješenje Agarwala et al. (1970) tako što su grupirali

bezdimenzionalne varijable. Tako su generirane tipske krivulje, prikazane na

slici Slika 10, gdje je analitičko rješenje bezdimenzionalnog tlaka dano u

funkciji bezdimenzionalne grupe tD/CD Rezultirajuće krivulje tada su

karakterizirane bezdimenzionalnom grupom CDe2s.

Slika 10. Bezdimenzionalni tlak u funkciji bezdimen zionalne grupe t D/CD (Gringarten et

al. 1979).

40

Za rana vremena, sve krivulje asimptotski se približavaju pravcu nagiba

jednakog jedinici, što korespondira s čistim utjecajem skladištenja, danim,

prema jednadžbi (1.147), izrazom:

DD

D

tp

C= (1.151)

Kasnije, kad efekt skladištenja iščezne, uspostavlja se konstantan protok na

dnu bušotine karakteriziran pravcem u polulogaritamskom dijagramu,

sukladno rješenju jednadžbe difuzije za neograničeno ležište s uključenim

skin faktorom i koeficijentom skladištenja, tj.:

( )

2

1 1ln 0,80907 ln 0,80907 2

2 2

1ln 0,80907 ln

2

DD D D

D

sDD D

D

tp t s C s

C

tp C e

C

= + + = + +

= + +

(1.152)

1.2.4.7. Turbulentni protok

Kao što je poznato, jednadžba difuzije je izvedena, izmeñu ostalih, i

temeljem Darcyjevog zakona, koji podrazumijeva laminarni protok. Meñutim,

postoje slučajevi, posebno u plinskim ležištima, gdje je pretpostavka

Darcyjevog, tj. laminarnog protoka pogrješna. U dijelu ležišta, općenito bliže

bušotini, brzina protjecanja može biti takva da će se pojaviti turbulencija i

značajno utjecati na ponašanje bušotine. Stoga je nužno jednadžbi protoka

dodati komponentu turbulencije tako, da se Darcyjev zakon, iskazan kao

dp

vdr k

µ= (1.153)

zamijeni jednadžbom drugog reda, kao što je Forchheimerova jednadžba:

2dpv v

dr k

µ βρ= + (1.154)

41

gdje je β faktor turbulencije (Forchheimer 1901; Zeng 2008). Za bušotinu koja

proizvodi konstantnim protokom u radijalnom sustavu, utjecaj ne-Darcyjevog

protoka (engl. Non-Darcy Flow) na ukupni gradijent tlaka može se prosuditi

računanjem omjera člana drugog reda i člana prvog reda iz jednadžbe (1.154)

:

( )( )

2

2 2ne Darcy

Darcy

dp dr v k qB kqB DqB

dp dr v k hr hr

βρ βρ βρµ µ π π µ

− = = = = (1.155)

gdje je

2 w

kD

hr

ρβπ µ

= (1.156)

nazvan koeficijentom turbulentnog (ne-Darcyjevog) protoka. Budući da je

umnožak DqB, po definiciji bezdimenzionalan, mjerna jedinica koeficijenta D

recipročna je jedinici protoka, pa glasi s/m3.

Postoje dva načina rješavanja ovog problema:

• Prvi je da se fokusiramo na učinak turbulentnog (ne-Darcyjevog)

protoka na proizvodnost bušotine. To se u prošlosti redovito

primjenjivalo, koristeći tzv. skin faktor ovisan o protoku (engl. rate

dependent skin) kojeg se, kao komponentu ukupnog skina, dodavalo

normalnom rješenju jednadžbe difuzije.

• Drugi način je modeliranje turbulentnog protoka numeričkim

integriranjem Forchheimerove jednadžbe u model.

Dijagram na slici Slika 11 ilustrira ova dva načina modeliranja

turbulentnog (ne-Darcyjevog) protoka.

42

Slika 11. Dva na čina modeliranja ne-Darcyjevog protoka ( Houzé et al. 2008).

U analitičkom modelu, efekt ne-Darcyjevog protoka je simuliran

dodatnim skinom, koji je linearna funkcija protoka (Ramey 1965):

0 0

dss s q s Dq

dq= + = + (1.157)

gdje je D nazvan (linearni) koeficijent ne-Darcyjevog protoka. Tada će

rješenje jednadžbe difuzije za naftu glasiti:

( )02i wf D

qBp p p s Dq

kh

µπ

− = + + (1.158)

a za plin:

( )2 2 00

0i wf D

p q ZTp p p s Dq

T kh

µπ

− = + + (1.159)

odnosno:

00

0

( ) ( ) ( )i wf D

p qTm p m p p s Dq

T khπ− = + + (1.160)

U svrhu dobivanja ovisnosti skina o protoku, nužno je provesti

višeprotočni test i za svaki protok odrediti odgovarajući skin faktor. Dijagram

rezultirajućih skin faktora i odgovarajućih protoka (Slika 12) dat će skin faktor

bez turbulencije, s0, kao odrezak na ordinati i koeficijent D, kao nagib pravca.

43

Slika 12. Skin faktor u ovisnosti o protoku ( Houzé et al. 2008).

U numeričkom modelu, (ne-linearni) efekt ne-Darcyjevog protoka

uključen je u jednadžbu protoka preko vrijednosti (ne-linearnog) koeficijenta

ne-Darcyjevog protoka β, koji se pojavljuje u Forchheimerovoj jednadžbi, tj. u

jednadžbi (1.154). Naime, nakon zamjene Darcyjeve jednadžbe

Forchheimerovom, rješenje jednadžbe difuzije će biti:

• za stacionarni protok nafte (Zeng 2008):

( ) 1 1ln

2 2e

e wfw w e

rqB qBkp r p s

kh r h r r

µ ρβπ πµ

− = + + −

(1.161)

( )2 2

ln 12 2

e we wf

w e

r rqB q Bp r p s D

kh r kh r

µ µπ π

− = + + −

(1.162)

• za polustacionarni protok plina (Katz 1959; Bauk 2003; Ramey

1965):

2

0 02 2 22 2 2

0 0

3 1 1ln

4 2g a ge

wfw w e

p ZT p M ZTrp p s q q

T kh r T Rh r r

µ γπ π

− = − + + −

(1.163)

Koeficijent turbulentnog (ne-Darcyjevog) protoka, D, definiran je

jednadžbom (1.156). Prema jednadžbi stanja, gustoća plina je:

0

0

gg

M p

RTρ = (1.164)

44

pa je koeficijent turbulencije za plin dan izrazom:

0 0

0 02 2g ga

w w

k M p kM pD

hr RT RT hr

β βγπ µ π µ

= = (1.165)

Tada jednadžbu (1.163) možemo pisati kao:

0 02 2 2

0 0

3ln 1

4g ge w

wfw e

p ZT p ZTDr rp p s q q

T kh r T kh r

µ µπ π

− = − + + −

(1.166)

Faktor turbulencije, β, koji u SI-u ima dimenziju 1/m, odreñuje se s

pomoću empirijskih korelacija, od kojih je jedna dana kao (Katz 1959; Bauk

2003; Ramey 1965):

( )

[ ]( )

[ ]9 9

3 4 3 45 4 5 4

5,5 10 3,21 10 "Oilfield Units" ; SI jedinice

g gS k S kβ β

φ φ

−× ×= = (1.167)

a druga (Houzé et al. 2008) kao:

( ) 5,5 0,5

0,05

1 wS kβ

φ=

−

(1.168)

Jednadžbe (1.162) i (1.166) može se svesti na jednostavan kvadratni

oblik. Za naftu ona glasi:

( ) 2e wfp r p aq bq− = + (1.169)

gdje su parametri a i b definirani kao:

ln2

e

w

rBa s

kh r

µπ

= +

(1.170)

2

12

w

e

rBb D

kh r

µπ

= −

(1.171)

a njeno rješenje je:

( )( )2 4

2

e wfa a b p r pq

b

− + + −= (1.172)

Za plin kvadratna jednadžba glasi:

2 2 2wfp p aq bq− = + (1.173)

gdje su parametri a i b definirani kao:

0

0

3ln

4g e

w

p ZT ra s

T kh r

µπ

= − +

(1.174)

45

0

0

1g w

p e

p ZTD rb

T kh r

µπ

= −

(1.175)

a njeno rješenje je:

( )2 2 24

2

wfa a b p pq

b

− + + −= (1.176)

Iz jednadžbi (1.162) i (1.166) moglo bi se izvesti opća rješenja (za sve

vrste protoka) pa bi za naftu opća jednadžba mogla glasiti:4

12

wi wf D

e

rqBp p p s DqB

kh r

µπ

− = + + −

(1.177)

a za plin:

02 2

0

1g wi wf D

e

p q ZT rp p p s Dq

T kh r

µπ

− = + + −

(1.178)

Za neograničeno ležište er → ∞ , pa je izraz u okrugloj zagradi jednak

jedinici.

4 Treba još provjeriti u literaturi!

46

1.3. PROTOK KROZ PUKOTINU - DVODIMENZIONALNI LINEARNI PROTOK

Idealizirani primjer frakturirane bušotine prikazan je na slici Slika 13.

Dakle, radi se o izotropnom, homogenom, horizontalnom, vertikalno

ograničenom, a lateralno neograničenom ležištu, koje sadrži neznatno stlačiv

fluid konstantne stlačivosti c i viskoznosti µ . Porozni medij ima propusnost k ,

šupljikavost φ , debljinu h i početni ležišni tlak pi . Bušotinu presijeca

simetrična, potpuno penetrirajuća vertikalna pukotina (tj. h hf = ), poluduljine

x f , širine w, propusnosti k f , šupljikavosti φ f i ukupne stlačivosti cft . Svojstva

ležišta i pukotine su neovisna o tlaku, a protok u cijelom sustavu podliježe

Darcyjevom zakonu. Gradijenti tlaka su mali, gravitacijski efekti zanemarivi, a

fluid utječe u bušotinu samo kroz pukotinu. Uz ove pretpostavke, protok fluida

može biti opisan jednadžbom difuzije u dvije dimenzije, s tim da se sustav

podijeli u dva protočna područja - pukotinu i ležište (Cinco-Ley et al. 1978).

rp

r w

i

k

hNEPROPUSNEGRANICE

p wfh f

w

x f

PUKOTINA

k f

Slika 13. Neograni čeno ležište, presje čeno vertikalnom pukotinom, s bušotinom u

središtu.

47

Pukotinu se može predstaviti trodimenzionalnim linearnim modelom

(Slika 1) u kojem nema protoka u smjeru osi z (ρ ρv vz z= =0 0,∆ ), a dimenzije

modela su promijenjene tako da je ∆ ∆y w z h= =, . Takav, dvodimenzionalni

protok prikazan je na slici Slika 14, gdje je bušotina predstavljena plohom,

površine wh.

x

y

x=0x=-x x=xf

f

BUŠOTINA

w

ρρρρ vy

ρρρρvx

(x,t)

(x,t)

Slika 14. Model protjecanja fluida kroz pukotinu.

Analogno trodimenzionalnom modelu, neto maseni protok fluida u

segmentu ∆x, u smjeru osi x sada je jednak

( )xwh vρ− ∆

Maseni utok fluida u pukotinu u smjeru osi y odvija se kroz dvije stijenke

pukotine, ukupne površine 2∆xh, brzinom vy, dok je izlaz jednak ništici, pa je

neto maseni protok jednak

2 yxh vρ− ∆

Stoga, analogno trodimenzionalnom linearnom protoku, jednadžba

kontinuiteta za dvodimenzionalni linearni protok, odnosno protok kroz

pukotinu, glasi:

( ) 2x y f ft t tt wh v xh v xwhρ ρ φ ρ φ ρ

+∆ −∆ ∆ + ∆ = ∆ − (1.179)

Dijeljenjem jednadžbe (1.179) s ∆ ∆t xwh slijedi:

( ) ( )2 fyx vv

x w t

φ ρρρ ∆∆+ = −

∆ ∆ (1.180)

a budući da ∆ ∆x t→ →0 0, , diferencijalni oblik jednadžbe kontinuiteta za

protok kroz pukotinu glasi:

48

( ) ( )2 yx f

vv

x w t

ρ∂ ∂ρ φ ρ∂ ∂

+ = − (1.181)

Prema Darcyjevom zakonu, brzina protjecanja kroz pukotinu dana je

izrazom:

f fx

k pv

x

∂µ ∂

= − (1.182)

gdje se pf odnosi na tlak u pukotini. Uvoñenjem jednadžbe (1.4) i (1.182)

u jednadžbu (1.181) ona glasi:

( )2f ff

k p k p

x x w y t

ρ∂ ρ ∂ φ ρ∂ µ µ ∂

∂ ∂+ = − ∂ ∂ (1.183)

Analogno trodimenzionalnom i radijalnom modelu, uvažavajući jednadžbe

(1.11) do (1.14) i pretpostavke o maloj stlačivosti fluida i malom

gradijentu tlaka, dolazimo do jednadžbe difuzije za protok kroz pukotinu, koja

glasi:

2

2

2f f ft f

f f

p c pk p

x wk y k t

∂ φ µ ∂∂∂ ∂ ∂

+ = (1.184)

Definira li se bezdimenzionalni pad tlaka u pukotini kao:

( )2 i f

fD

kh p pp

qB

πµ−

= (1.185)

bezdimenzionalni pad tlaka u ležištu kao:

( )2 i

rD

kh p pp

qB

πµ

−= (1.186)

bezdimenzionalno vrijeme kao:

2fDx

t f

ktt

c xφµ= (1.187)

bezdimenzionalnu vodljivost pukotine kao:

ffD

f

k wC

kx= (1.188)

bezdimenzionalnu hidrauličku difuzivnost kao:

f tfD

f ft

k c

k c

φη

φ= (1.189)

49

bezdimenzionalne udaljenosti u smjeru osi x (uzduž pukotine) i u smjeru osi

y (okomito na stijenke pukotine), kao:

Df

xx

x= (1.190)

Df

yy

x= (1.191)

bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije za protok kroz pukotinu glasi:

2

2

0

2 1

fD

fD fDrD

D fD D fD Dxy

p pp

x C y t

∂ ∂∂∂ ∂ η ∂

=

+ = (1.192)

Protok fluida u ležištu može se opisati jednodimenzionalnim linearnim

modelom, u kojem fluid teče brzinom ( )txvy , okomito na pukotinu,

predstavljenu plohom visine h i duljine 2x f (Slika 15).

k, φ,φ,φ,φ, ct

x

y

x xf f

PUKOTINA (PLOHA)ρρρρ vy(x,t)

Slika 15. Jednodimenzionalni linearni model protjec anja fluida iz ležišta u pukotinu.

Analogno trodimenzionalnom modelu, jednadžba kontinuiteta za

jednodimenzionalni linearni protok glasi:

( )y t t tt xh v xh yρ φρ φρ

+∆ −∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ − (1.193)

odnosno:

( ) ( )yvy t

∂ ∂ρ φρ∂ ∂

= − (1.194)

a jednadžba difuzije:

50

2

2tcp p

y k t

φµ∂ ∂∂ ∂

= (1.195)

Uvoñenjem bezdimenzionalnih varijabli definiranih u jednadžbama

(1.186), (1.187), (1.190) i (1.191), slijedi bezdimenzionalni oblik

jednadžbe difuzije za protok iz ležišta u pukotinu:

2

2

f

rD rD

D Dx

p p

y t

∂ ∂∂ ∂

= (1.196)

Dvije parcijalne diferencijalne jednadžbe (jednadžbe (1.192) i (1.196))

meñusobno su povezane rubnim uvjetima, a ovisno o definiciji početnih i

rubnih uvjeta razvijeno je i nekoliko rješenja.

1.3.1. Model frakturirane bušotine s konstantnim protokom na unutarnjoj

granici ležišta

Za sustav frakturirane bušotine u neograničenom ležištu, koja proizvodi

konstantnim protokom, početni i rubni uvjeti za jednadžbu (1.192) definirani

su kako slijedi (u dimenzionalnoj i bezdimenzionalnoj formi) (Cinco-Ley et al.

1978):

( ) 10,0,0;0,0,, ≤≤==≤≤== DDxfDfif xtpxxtptxpf

,

∂∂

µ ∂∂

πp

x

qB

wk ht

p

x Ctf

x f

fD

D x fDDx

D

f

= =

= − =0 0

20 0, ; ,> > ,

∂∂

∂∂

p

xt

p

xtf

x x

fD

D x

Dx

f D

f

= =

= =0 0 0 01

, ; ,> > .

Dakle, početni tlak u pukotini jednak je ležišnom tlaku, utok u bušotinu

odvija se samo kroz pukotinu ukupne površine 2wh, prema Darcyjevom

zakonu, dok kroz vrh pukotine nema utoka u pukotinu.

Za jednadžbu (1.196) početni i rubni uvjeti definirani su takoñer u

dimenzionalnoj i bezdimenzionalnoj formi:

( ) ∞==∞== ⊲⊲⊲⊲ DDxrDi ytpytptypf

0,0,0;0,0,, ,

51

( ) 0,;0,0,,0

⊳⊳fD

DxfDyrDf tpptyptyp ====

,

( ) 0,,0;0,,, ⊳⊳fDxDrDi typtyptyp ∞→→∞→→ .

Dvije jednadžbe difuzije, meñusobno povezane rubnim uvjetom

p p trD y fD DxD f=

=0

0, > , riješene su semianalitički za tlak u pukotini, pfD ,

odnosno za tlak u bušotini, pwD, koji je jednak tlaku u pukotini kod xD = 0.

Pritom je bezdimenzionalni pad tlaka u bušotini definiran kao:

( )2 i wf

wD

kh p pp

qB

πµ−

= (1.197)

Rješenja su dana tablično i grafički, u obliku tipskih krivulja (Cinco-Ley

et al. 1978) (Slika 16).

tDxf

pwD

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+ 00

1.00E+ 01

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+ 00 1.00E+ 01 1.00E+ 02 1.00E+ 03

CfD=0.63

π 2π

10π 20π 100π

Slika 16. Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u neograni čenom ležištu, s

konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta.

Približna analitička rješenja moguća su za pojedine vremenske

segmente, koje karakterizira odreñeni oblik protjecanja (Cinco-Ley i

Samaniego-V. 1981). Takva su rješenja korisna za verifikaciju numeričkih

rješenja, a predstavljaju i osnovicu za analizu pada tlaka u proizvodnom testu,

odnosno za analizu porasta tlaka.

52

1.3.1.1. Linearni protok u pukotini

Za vrlo kratko vrijeme, u kojem je glavnina utoka u bušotinu posljedica

ekspanzije fluida u pukotini, ali protok još nije razvijen po čitavoj duljini

pukotine, pa ju se zbog toga može smatrati beskonačnom, rubni uvjet ∂∂p

xtfD

D x

Dx

D

f

=

=1

0 0, > ,

može biti zamijenjen rubnim uvjetom

p x tfD D Dx f→ → ∞0 0, , > .

Shematski je ovakav protok prikazan na slici Slika 17.

PUKOTINABUŠOTINA

Slika 17. Linearni protok u pukotini.

Približno rješenje za tlak u bušotini, za kratko vrijeme, tada glasi:

2

( )f fwD Dx fD Dx

fD

p t tC

πη= (1.198)

Kao što jednadžba (1.198) indicira, log-log dijagram tlaka i vremena dat

će pravac nagiba jedne polovine. Takoñer, dijagram tlaka u odnosu na drugi

korijen vremena daje pravac, čiji nagib ovisi o karakteristikama frakture.

Trajanje ovog protoka odreñeno je bezdimenzionalnim vremenom:

2

2

0,01f

fDDx

fD

Ct

η⊲ (1.199)

53

2.3.1.2. Bilinearni protok

Uz rubne uvjete definirane za linearni protok u pukotini, za dugo vrijeme,

ili uz prvotno definirane početne i rubne uvjete, za kratko vrijeme, rješenje

jednadžbi difuzije (jednadžbe (1.192) i (1.196)) glasi:

( )14( )

52 4f fwD Dx Dx

fD

p t tC

π=Γ

(1.200)

koje nakon uvrštavanja vrijednosti gama funkcije (Abarmowitz, Stegun 1968)

postaje:

14

2,45( )

f fwD Dx Dx

fD

p t tC

= (1.201)

Dakle, analogno linearnom protoku, log-log dijagram tlaka i vremena dat

će pravac nagiba jedne četvrtine, a dijagram tlaka u odnosu na četvrti korijen

vremena daje pravac nagiba 2,45 fDC . Trajanje ovog protoka odreñeno je

bezdimenzionalnim vremenom, koje je funkcija vodljivosti pukotine:

- za CfD ≥ 3:

2

0,1fDx

fD

tC⊲ (1.202)

- za 1,6 3fDC≤ ⊲ :

( ) 1,530,0205 1,5

fDx fDt C−

−⊲ (1.203)

- za 1,6fDC ⊲ :

4

4,552,5

fDx

fD

tC

− −

⊲ (1.204)

Protok je nazvan bilinearnim jer se dva linearna protoka zbivaju

istodobno: linearni protok u pukotini i linearni protok u ležištu (Slika 18).

54

PUKOTINABUŠOTINA

Slika 18. Bilinearni protok.

Takav oblik protoka postoji sve dok glavnina fluida, koji ulazi u bušotinu,

dolazi iz ležišta, a da efekt vrha pukotine (granice) još ne utječe na ponašanje

tlaka u bušotini.

1.3.1.3. Linearni protok u ležištu

Za duža bezdimenzionalna vremena, rješenje jednadžbi difuzije svodi se

na rješenje za pukotinu neograničene vodljivosti (Gringarten et al. 1974):

( )f fwD Dx Dxp t tπ= (1.205)

Dakle, kao i kod linearnog protoka u pukotini, log-log dijagram tlaka i

vremena dat će pravac nagiba jedne polovine, a dijagram tlaka u odnosu na

drugi korijen vremena daje pravac nagiba π . Početak ovog protoka odreñen

je bezdimenzionalnim vremenom, koje je funkcija vodljivosti pukotine:

2

100fDx

fD

tC

= (1.206)

a njegov kraj je kod (Gringarten et al. 1975):

0,016fDxt = (1.207)

iz čega slijedi da će se ovaj oblik protoka razviti samo u visokovodljivim

pukotinama (CfD > 100). Fizikalno, ovakav protok znači jednoliki utok u

pukotinu po čitavoj njenoj duljini, a pad tlaka u pukotini je zanemariv (Slika

19).

55

BUŠOTINA PUKOTINA

Slika 19. Linearni protok u ležištu.

1.3.1.4. Pseudolinearni protok

Rješenje jednadžbi difuzije za dugo vrijeme može se proširiti i na niže

vodljivosti pukotine, pa tada ono glasi (Bennett et al. 1985; Cinco-Ley et al.

1989):

( )3f fwD Dx Dx

fD

p t tC

ππ= + (1.208)

gdje drugi član na desnoj strani jednadžbe predstavlja dodatni pad tlaka zbog

ograničene vodljivosti pukotine. Ovim rješenjem pomaknut je početak

linearnog protoka na:

2

1fDx

fD

tC

= (1.209)

čime je znatno smanjen "prijelazni period" izmeñu bilinearnog i linearnog

protoka. Asimptotskom ekspanzijom jednadžbe (1.208), uz pogrješku od

1%, moguće je eliminirati i preostali "prijelazni period" (Bennett, et al. 1985)

za koji se može primijeniti sljedeća jednadžba:

13

0,230( ) 2,501 f

f

Dx

wD DxfD fD

tp t

C C

= +

(1.210)

56

1.3.1.5. Pseudoradijalni protok

Tipske krivulje za frakturiranu bušotinu u neograničenom ležištu (Slika

16), odnosno semianalitičko rješenje jednadžbi difuzije za frakturiranu

bušotinu u neograničenom ležištu (jednadžbe (1.192) i (1.196)), prikazano u

polulogaritamskom koordinatnom sustavu, izgleda kao na slici Slika 20.

tDxf

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03

0.2π

π 2π10π

Slika 20. Polulogaritamski prikaz tipskih krivulja za frakturiranu bušotinu u

neograni čenom ležištu, s konstantnim protokom na unutarnjoj granici ležišta.

Kao što se sa slike vidi, nakon odreñenog vremena (tDx f> 3) sve krivulje

prelaze u paralelne pravce, tj. pravce jednakog nagiba, ali različitih odrezaka

na ordinati, koji su funkcija vodljivosti pukotine, što se može izraziti sljedećim

odnosom (Guppy 1987):

( )1( ) ln

2f fwD Dx Dx fDp t t f C= + (1.211)

koji za CfD>10π glasi:

1

( ) ln 1,12f fwD Dx Dxp t t= + (1.212)

57

Promjenom prirodnog logaritma u dekadski, jednadžba (1.211)

postaje:

( )1( ) log

2logf fwD Dx Dx fDp t t f Ce

= + (1.213)

Dakle, nagib pravca 1

1,1512loge

= jednak je onom karakterističnom za

radijalni protok. Stoga, izjednačavanjem jednadžbe (1.211) s jednadžbom

za radijalni protok (jednadžba (1.57)), uključivši i skin faktor, slijedi

jednadžba:

( ) ( )1 1ln ln 0,80907

2 2fDx fD Dt f C t s+ = + + (1.214)

koja nakon sreñivanja glasi:

( )ln 0,4045ffD

w

xs f C

r+ = − (1.215)

Uvoñenjem koncepta efektivnog radijusa bušotine, ′ = −r r ew ws, u

bezdimenzionalnoj formi (Prats et al. 1962), ′ = ′r r xwD w f/ , jednadžbu (1.215)

može se pisati kao:

( )ln 0,4045wD fDr f C′ = − (1.216)

Koristeći semianalitička rješenja bezdimenzionalnog tlaka za tDx f> 3, te

jednadžbe (1.211) i (1.216), konstruiran je dijagram (Slika 21), koji

omogućava korištenje radijalnog modela za frakturiranu bušotinu (Cinco-Ley i

Samaniego-V 1981). Naime, za odreñeni CfD očita se odnos ′r xw f/ , te

izračuna efektivni radijus bušotine, ′rw , a odatle skin faktor:

ln w

w

rs

r=

′ (1.217)

koji će uvijek biti negativan. Tada je bezdimenzionalni tlak dan jednadžbom

za radijalni protok (jednadžba (1.57)), s tim da se umjesto stvarnog radijusa

bušotine koristi efektivni radijus ili se bezdimenzionalnom tlaku iz jednadžbe

(1.57) pribraja (negativni) skin faktor iz jednadžbe (1.217).

58

CfD

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100 1000

rw'=0.25kfw/k

rw'=0.5xf

Slika 21. Odnos bezdimenzionalnog efektivnog radiju sa bušotine i bezdimenzionalne

vodljivosti vertikalne pukotine.

Kao što se iz slike Slika 21 vidi, za pukotine veće bezdimenzionalne

vodljivosti (CfD > 10), efektivni radijus bušotine asimptotski se približava

vrijednosti 0,5w fr x′ = , dakle direktno je proporcionalan duljini pukotine. Za

niže vrijednosti bezdimenzionalne vodljivosti (CfD < 1), efektivni radijus se

približava vrijednosti 0,25 fw

k wr

k′ = , što znači da glavnu ulogu ima vodljivost

pukotine, a ne njena duljina. Prvi slučaj najčešće se odnosi na ležišta manje

propusnosti, dok je drugi slučaj češći kod propusnijih ležišta.

Početak pseudoradijalnog protoka je kod 2,5fDxt = za manje vodljivosti

pukotine, do tDx f= 5 za velike vodljivosti, no manje rigorozna granica je

1,5fDxt = , odnosno tDx f

= 3. Daljnje ponašanje tlaka funkcija je

bezdimenzionalnog vremena temeljenog na efektivnom radijusu bušotine:

2wDr

t w

ktt

c rφµ′ =′

(1.218)

Ovisno o vrijednosti bezdimenzionalnog vremena, tlak može biti opisan

jednadžbom za neograničeno ležište (jednadžba (1.57)), ograničeno ležište

59

(jednadžba (1.62)) ili ležište sa stalnim tlakom na vanjskoj granici (jednadžba

(1.66)).

Fizikalno, uspostava pseudoradijalnog protoka znači svršetak

transformacije pravokutnog oblika crpljenja (linearni protok), preko eliptičnog

("prijelazni protok") u gotovo radijalni oblik (Slika 22). Naime, površina

crpljenja frakturirane bušotine nikad ne postaje potpuno kružna, no ona je

dostatno blizu krugu, da ju se, za praktične svrhe, takvom može smatrati.

Točnije, jednadžbe izvedene za radijalni protok može se koristiti za

pseudoradijalni protok, uz zanemarivu pogrješku.

BUŠOTINA PUKOTINA

Slika 22. Pseudoradijalni protok.

60

1.3.2. Odstupanja od modela

Pretpostavke na kojima se temelje rješenja bezdimenzionalnog tlaka i

protoka često ne odgovaraju stvarnosti. Takoñer, slabo propusna ležišta, kao

najčešći kandidati za hidrauličko frakturiranje, nisu homogena i izotropna.

Takva odstupanja od modela obrañena su u literaturi (Bennett et al. 1983;

Bennett et al. 1985; Bennett et al. 1986 a; Bennett et al. 1986 b; Camacho-V

et al. 1987; Gidley 1991; Guppy et al. 1981; Guppy 1987; Guppy 1988;

Rodriguez et al. 1992), a najvažnija su ukratko dana u nastavku.

U slučaju kad je visina pukotine veća od debljine ležišta (h hf > )

primjenjiva su rješenja dana za idealizirani model, ako se stvarnu

bezdimenzionalnu vodljivost pukotine, CfD , zamijeni prividnom, ′CfD ,

definiranom kao (Bennett et al. 1986 b):

ffD fD

hC C

h′ = (1.219)

Za razliku od modela, širina pukotine nije konstantna, već je funkcija

duljine i visine pukotine. Kako i propusnost pukotine može varirati i po duljini i

po visini pukotine, možemo govoriti o promjenljivoj vodljivosti pukotine. U

slučaju kad se vodljivost pukotine, k wf , jednoliko smanjuje od bušotine

prema vrhu pukotine, rješenja za bilinearni i linearni protok su primjenjiva, ako

se koristi prosječnu bezdimenzionalnu vodljivost, CfD , definiranu kao (Bennett

et al. 1983):

1 0

1 f

i i

xnf

fD D fDi f f

k wC x C dx

x kx== =∑ ∫ (1.220)

gdje je:

i

iD

f

xx

= ℓ (1.221)

( )

i

f ifD

f

k wC

kx= (1.222)

61

za i n= 1 2, ,... , gdje je n ukupan broj uzdužnih segmenata pukotine, iℓ

duljina i -tog segmenta, te ( )k wf i njegova vodljivost.

Ako istodobno razmatramo vertikalne i horizontalne promjene vodljivosti

pukotine, prosječna bezdimenzionalna vodljivost je definirana kao (Bennett et

al. 1986 b):

1 1

1ij j

n k

fD fD ij fi jf f

C C hh x = =

= ∑∑ ℓ (1.223)

gdje hf j označava visinu sloja j pukotine, ijℓ duljinu segmenta i u sloju

pukotine j , te CfDij njegovu bezdimenzionalnu vodljivost (analogno jednadžbi

(1.222)).

Za višeslojna ležišta, gdje slojevi meñusobno komuniciraju samo kroz

pukotinu, propusnost i umnožak šupljikavosti i ukupne stlačivosti moraju

predstavljati srednje vrijednosti ponderirane debljinom sloja, definirane kao

(Bennett et al. 1986 a):

1

1 n

j jj

k k hh =

= ∑ (1.224)

odnosno:

1

1j

n

t j t jj

c c hh

φ φ=

= ∑ (1.225)

za j n= 1 2, ,... , gdje je n ukupan broj slojeva, hj debljina sloja j , a k j , φ j i ct j

predstavljaju propusnost, šupljikavost, odnosno ukupnu stlačivost tog sloja.

No, da bi se moglo koristiti rješenja razvijena za jednoslojna ležišta,

bezdimenzionalno vrijeme, tDx f, treba zamijeniti izrazom t CDx RDf

2 , gdje je CRD

bezdimenzionalna vodljivost ležišta, definirana kao:

1

nj j

RDj j

k hC

kh

ηη=

=∑ (1.226)

U jednadžbi (1.226) η predstavlja srednju hidrauličku difuzivnost, tj.

η φ µ= k ct( ), a η j hidrauličku difuzivnost sloja j .

62

U slučaju da slojevi meñusobno ne komuniciraju niti kroz pukotinu,

dakle radi se o odvojenim pukotinama, koje su još i nejednake duljine,

rješenja za jednoslojno ležište primjenjiva su ako se koristi ekvivalentnu

duljinu pukotine, x f , i ekvivalentnu vodljivost, k wf , definirane kao (Camacho-

V. et al. 1987):

1

j j

n

f RD fj

x C x=

=∑ (1.227)

odnosno:

2

1

1j j

n

f f j j RDj

k w k w h Ch =

=

∑ (1.228)

63

1.4. PROTJECANJE FLUIDA U LEŽIŠTU S HORIZONTALNOM BUŠOTINOM

1.4.1. Model horizontalne bušotine u ograni čenom ležištu s konstantnim

tlakom na vanjskoj i unutarnjoj granici ležišta

Slika 23 pokazuje da horizontalna bušotina duljine L crpi elipsoid, dok

konvencionalna vertikalna bušotina crpi uspravni cilindrični obujam. Obje ove

bušotine crpe ležište debljine h, ali su njihovi obujmovi crpljenja različiti. Da bi

se matematički izračunalo proizvodnju iz horizontalne bušotine, treba najprije

riješiti trodimenzionalnu (3D) jednadžbu. Ako se pretpostavi konstantne

tlakove na granici crpljenja, pe, i u bušotini, pwf, rješenje treba dati distribuciju

tlaka unutar ležišta. Kad je jednom poznata distribucija tlaka, protok se može

izračunati s pomoću Darcyjevog zakona.

Slika 23. Shema obujma crpljenja vertikalne i horiz ontalne bušotine.

64

Da bi se pojednostavnilo matematičko rješenje, 3D problem je podijeljen

u dva dvodimenzionalna (2D) problema. Slika 24 pokazuje takvu podjelu

problema elipsoidalnog obujma crpljenja na utok fluida u horizontalnu

bušotinu u horizontalnoj ravnini (presjek A-A) i utok fluida u horizontalnu

bušotinu u vertikalnoj ravnini (presjek B-B) (Joshi 1988).

Slika 24. Podjela 3D problema u dva 2D problema (Jo shi 1988).

Protok fluida u horizontalnoj ravnini, prema horizontalnoj bušotini duljine

L, dan je jednadžbom:

( )

( )1

22

2

2ln

2

H e wfk h p pq

a a LB

L

π

µ

−=

+ −

(1.229)

gdje je a veća poluos elipse crpljenja (Slika 24). U izvodu ove jednadžbe

koristilo se ekvivalentni radijus pretpostavljene kružne površine crpljenja, reH,

brojčano jednake površini crpljenja elipse s poluosima a i b, pa vrijedi odnos:

eHr ab= (1.230)

Osim toga, +L /2 i –L/2 predstavljaju žarišta elipse crpljenja. Stoga, temeljem

svojstava elipse, slijedi:

( )22 2b a L= − (1.231)

pa jednadžba (1.230) glasi:

65

( )1

2 41 2eHr a L a = −

(1.232)

Preureñenjem jednadžbe (1.232) (tj. rješenjem kvadratne jednadžbe) dobiva

se izraz za veću poluos elipse crpljenja u funkciji duljine horizontalnog dijela

bušotine i ekvivalentnog radijusa crpljenja:

4

1 1

2 2 4 2eHrL

aL

= + +

(1.233)

Utok fluida po vertikalnoj ravnini u horizontalnu bušotinu duljine L i visine

2rw, smještenu na polovini debljine ležišta, h/2, dan je jednadžbom za

stacionarni radijalni protok u kojoj je 2er h= , tj. jednadžbom:

( )

2

2

ln2

H e wf

w

k L p pq

hB

r

π

µ

−=

(1.234)

Otpor protjecanju definiran je kao omjer pada tlaka i protoka, pa zbrajanjem

otpora protjecanja u horizontalnoj i vertikalnoj ravnini slijedi ukupni otpor

protjecanju, tj.:

( )1 2

1 1e wfe wf

H

p pp p

q q q

− = − +

(1.235)

Uvrštavanjem jednadžbi (1.229) i (1.234) u gornju jednadžbu i njenim

sreñivanjem, slijedi ukupni utok fluida u horizontalnu bušotinu:

( )( )22

2

2ln ln

2 2

H e wf

H

w

k h p pq

a a L h hB

L L r

π

µ

−=

+ − +

(1.236)

Jednadžba (1.236) je valjana za L>h i ( )2 0,9 eHL r⊲ . Za slučaj kad

duljina horizontalnog dijela bušotine značajno nadilazi debljinu ležišta

( ( ) 1L h ≫ ), drugi član u nazivniku postaje vrlo mali u usporedbi s prvim

članom. Osim toga, ako je radijus crpljenja velik u odnosu na duljina bušotine,

pa je ( )2 1L a ≪ , tada je, prema jednadžbi (1.232), eHa r≅ . Uvrštavanjem

ove približne jednakosti u jednadžbu (1.236), slijedi rješenje identično

66

onom za vertikalnu pukotinu neograničene vodljivosti u pseudoradijalnom

protoku:

( )2

ln4

H e wf

H

eH

k h p pq

rB

L

π

µ

−=

(1.237)

Naime, odnos duljine horizontalne bušotine i poluduljine pukotine je

2 fL x= , pa je 4 0,5 fL x= , a prema slici Slika 21, to je vrijednost efektivnog

radijusa bušotine, rw', za pukotinu neograničene vodljivosti. Jednadžba

(1.237) dat će isti rezultat kao i jednadžba (1.236) ako je ( ) 6L h ≥ . Dakle,

ako je ( ) 6L h ≥ , proizvodnja horizontalne bušotine može se aproksimirati

proizvodnjom iz potpuno penetrirajuće vertikalne pukotine. Ovaj zaključak

potvrñuju slični nalazi u rješenjima neustaljenog protoka kod testiranja

bušotina.

Horizontalna propusnost, kH, ista je kao i ona koja se koristi u

jednadžbama za vertikalne bušotine. Indeks je dodan kako bi ju se razlikovalo

od vertikalne propusnosti, kV, koja je uključena u indeks anizotropije

horizontalne i vertikalne propusnosti, β, definiran kao:

H

V

k

kβ = (1.238)

Da bi se uključilo utjecaj anizotropije, jednadžba (1.236) je modificirana

tako, da je debljina ležišta, h, zamijenjena izrazom H Vh k k , a horizontalna

propusnost, kH, zamijenjena je efektivnom propusnošću ležišta, H Vk k

(Muskat 1937), pa ona tada glasi:

( )

( )22

2

2ln ln

2 2

H e wf

H

w

k h p pq

a a L h hB

L L r

π

β βµ

−=

+ − +

(1.239)

a valjana je za L hβ⊳ .

67

Jednadžbe (1.236) i (1.239) podrazumijevaju da je horizontalna

bušotina smještena u središtu ležišta u vertikalnoj ravnini, tj. na udaljenosti

h/2 od vrha (krovine) i dna (podine) ležišta. No, ako je bušotina smještena na

udaljenosti δ od sredine ležišta, ove jednadžbe treba modificirati, tako da se

modificira protok u vertikalnoj ravnini, što se svodi na to, da se u drugom

logaritamskom izrazu u nazivniku, umjesto h/2 uvrsti izraz ( )2 22

2

h

h

δ−,

odnosno, umjesto βh izraz ( )2 2 22

4

h

h

β β δβ

−. Tada će, uz uvjet ( )2hδ ≤ , ove

jednadžbe redom glasiti:

( )

( ) ( )2 22 2

2

2 2ln ln

2 2

H e wf

H

w

k h p pq

a a L hhB

L L hr

π

δµ

−=

+ − − +

(1.240)

( )

( ) ( )2 22 2 2

2

2 2ln ln

2 2

H e wf

H

w

k h p pq

a a L hhB

L L hr

π

β β δβµβ

−=

+ − − +

(1.241)

Za 0δ = , u anizotropnom ležištu, učinjena je neznatna modifikacija drugog

logaritamskog izraza u nazivniku jednadžbe (1.239), pa ona tada glasi

(Economides 1991):

( )

( )( )

22

2

2ln ln

2 1

H e wf

H

w

k h p pq

a a L h hB

L L r

π

β βµβ

−=

+ − + +

(1.242)

Konačno, sve ove jednadžbe podrazumijevaju da je skin faktor, sH,

jednak ništici. No, s obzirom na njegovu definiciju (jednadžba (1.107)), skin

faktor, pomnožen s omjerom h Lβ , može se jednostavno pribrojiti dvama

članovima u nazivniku gornjih jednadžbi, pa opći oblik jednadžbe protoka za

horizontalnu bušotinu glasi (Soliman 1998):

68

( )

( ) ( )2 22 2 2

2

2 2ln ln

2 2

H e wf

H

Hw

k h p pq

a a L hhB s

L L hr

π

β β δβµβ

−=

+ − − + +

(1.243)

Za usporedbu proizvodnosti horizontalne bušotine s vertikalnom, može

se primijeniti koncept efektivnog radijusa bušotine, rw', dan jednadžbom

(1.114), a koji je primijenjen i na vertikalne frakturirane bušotine. Temeljem

jednadžbe (1.113), jednadžba stacionarnog protoka u vertikalnoj bušotini

sa skin faktorom dana je kao:

( )2

ln

H e wf

VeV

w

k h p pq

rB

r

π

µ

−=

′

(1.244)

Izjednačavanjem ove jednadžbe s jednadžbom (1.243), uzimajući eH eVr r= ,

može se odrediti efektivni radijus vertikalne bušotine sa skin faktorom 0Vs = ,

koja će imati jednak indeks proizvodnosti kao i horizontalna bušotina:

( ) ( )( )

2 2 22

2

21 1 2

1 4H

eHw h

L hs

L

w

r Lr

ha L a e

hr

βββ β δ

β β

′ = − + − +

(1.245)

Za slučaj izotropnog ležišta (β=1) i bušotinu smještenu u središtu ležišta (δ=0)

sa skin faktorom sH=0, jednadžba (1.245) se reducira na:

( ) ( )2

2

1 1 2 2

eHw h L

w

r Lr

a L a h r

′ = + −

(1.246)

Za ranije navedene slučajeve, tj. za ( ) 1L h ≫ i ( )2 1L a ≪ , gornja jednadžba

se dalje reducira na:

4wr L′ = (1.247)

što je sukladno jednadžbi (1.237).

S pomoću efektivnog radijusa bušotine može se odrediti ukupni skin

faktor horizontalne bušotine, koji slijedi iz jednadžbe (1.114) kao:

69

ln w

w

rs

r=

′ (1.248)

te omjer indeksa proizvodnosti horizontalne i vertikalne bušotine kao:

( )( )

ln

ln

eV wH

V eH w

r rJ

J r r=

′ (1.249)

1.4.2. Model horizontalne bušotine u ležištu sa zatvorenom vanjskom

granicom

Za polustacionarno stanje, razvijen je opći model protoka za proizvoljno

orijentiranu horizontalnu bušotinu u anizotropnom ležištu proizvoljnog oblika

(Economides 1996). Osnovni model na slici Slika 25 ima dimenzije ležišta xe,

ye i h, duljinu horizontalne bušotine L i kut ϕ izmeñu projekcije bušotine na

horizontalnu ravninu i xe.

Slika 25. Op ći model protoka za proizvoljno orijentiranu horizon talnu bušotinu u ležištu

proizvoljnog oblika.

Indeks proizvodnosti za polustacionarno stanje može se pisati kao:

70

2

e

ewfD

kxqJ

xp pB p s

Lµ

π

= =− +

∑

(1.250)

gdje je propusnost ležišta k uzeta kao izotropna, no kasnije će biti korigirana.

Suma Σs predstavlja sumu mehaničkog skin faktora, skin faktora zbog

turbulencije i svih ostalih pseudoskin faktora. Bezdimenzionalni pad tlaka dan

je jednadžbom:

4 2e H e

D x

x C xp s

h Lπ π= + (1.251)

gdje je 3D problem rastavljen na jedan dvodimenzionalni izraz i jedan

jednodimenzionalni. Prvi izraz na desnoj strani jednadžbe uzima u račun

utjecaj horizontalnog pozicioniranja, s CH kao faktorom oblika (Tablica 1).

Drugi izraz uzima u račun i debljinu ležišta i utjecaj vertikalne ekscentričnosti

u slučaju da bušotina nije smještena u središtu ležišta u vertikalnoj ravnini.

Vertikalni skin efekt definiran je kao:

ln2 6x e

w

h hs s

r Lπ= − + (1.252)

gdje je skin efekt zbog vertikalne ekscentričnosti definiran kao:

2

2 21 1ln sin

2 2w w w

e

z z zhs

L h h h

π = − − −

(1.253)

a zw predstavlja udaljenost horizontalnog dijela bušotine od dna ležišta. Za

bušotinu u vertikalnom središtu, 2wz h= , pa je 0es = .

Slika 26 prikazuje vrijednosti vertikalnog skin faktora u funkciji debljine

ležišta, za dva ekstremna slučaja duljine bušotine. Kao što se vidi, utjecaj

duljine bušotine nije značaja. Na slici Slika 27 dane su vrijednosti skin faktora

zbog vertikalne ekscentričnosti, za nekoliko razina ekscentričnosti. Ovdje

treba napomenuti da su vrijednosti se iste za simetrične ekscentričnosti, tj. iste

su i za 0,1wz h= i za 0,9wz h= .

U svrhu korištenja jednadžbe (1.251), serija faktora oblika za različite

konfiguracije horizontalnih i multilateralnih bušotina dana je u tablici Tablica 1.

71

Slika 26. Vertikalni skin efekt u funkciji debljine ležišta.

Slika 27. Skin efekt zbog vertikalne ekscentri čnosti

72

Tablica 1. Faktori oblika za horizontalne i multila teralne bušotine.

Jednadžba (1.250) podrazumijeva izotropno ležište s jednolikom

propusnošću u svim smjerovima. Stoga je, u realnom, neizotropnom ležištu,

stvarne parametre kao što su duljina i promjer bušotine, te dimenzije ležišta,

nužno prilagoditi za uporabu u ovom općem modelu. Dakle, umjesto stvarnih

vrijednosti, u jednadžbama (1.250) do (1.253) treba rabiti prilagoñene

vrijednosti, koje su dane kako slijedi:

• Duljina horizontalnog dijela bušotine:

1 3L Lα β−′ = (1.254)

• Radijus bušotine:

2 3 1

12w wr r

ααβ ′ = +

(1.255)

73

• Dimenzije ležišta:

; ;y z x yx z

k k k kk kx x y y z z

k k k′ ′ ′= = = (1.256)

Pritom su parametri α i β definirani kao:

2 2; cos sinx y y x

z x y

k k k k

k k kα β ϕ ϕ= = + (1.257)

dok je prosječna („izotropna“) propusnost ležišta dana izrazom:

3x y zk k k k= (1.258)

1.4.3. Model horizontalne bušotine u neograni čenom ležištu

Matematički, protjecanje fluida u ležištu prema horizontalnoj bušotini

opisuje model trodimenzionalnog linearnog protoka, prikazan na slici Slika 1.

Jednadžba difuzije za takav protok u izotropnom ležištu (k k k konstx y z= = = .)

dana je jednadžbom (1.22). Meñutim, u slučaju horizontalne bušotine,

prirodnu anizotropiju se ne smije zanemariti, pa će jednadžba difuzije za

trodimenzionalni linearni protok u anizotropnom ležištu ( x y zk k k≠ ≠ ) glasiti:

2 2 2

2 2 2x y z t

p p p pk k k c

x y z t

∂ ∂ ∂ ∂φµ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = (1.259)

Na slici Slika 28 prikazan je trodimenzionalni model prilagoñen ležištu s

horizontalnom bušotinom. U ovom modelu horizontalni dio bušotine ima

duljinu L i radijus rw, izbušen je paralelno osi x, na udaljenosti zw od dna

ležišta, a njegovo središte je u ishodištu koordinatnog sustava (x=0, y=0, z=0).

Ležište je u obliku kvadra, debljine (visine) h, duljine 2ye i širine 2xe, a vrijedi

odnos 2 eL x≤ . S obzirom da je ležište anizotropno, ekvivalentna horizontalna

propusnost je definirana kao H x yk k k= , a vertikalna kao V zk k= .

74

Slika 28. Model horizontalne bušotine.

Jednadžba (1.259) riješena je za neograničeno ležište, koristeći

prethodno razvijena rješenja za hidraulički frakturirane bušotine s pukotinom

neograničene vodljivosti ili jednolikog strujanja (jednolikog utoka, fluksa; engl.

uniform flux) (Clonts i Ramey 1986; Soliman 1998). Pritom su korištene

sljedeće definicije bezdimenzionalnih parametara:

• bezdimenzionalni pad tlaka:

( )2 H i

D

k h p pp

qB

πµ

−= (1.260)

• bezdimenzionalno vrijeme:

( )2

2H

DL

t

k tt

c Lφµ= (1.261)

• bezdimenzionalna duljina horizontalne bušotine:

2

VD

H

kLL

h k= (1.262)

• bezdimenzionalne udaljenosti u smjeru osi x, u smjeru osi y i u smjeru

osi z :

75

2 H

Dx

kxx

L k= (1.263)

2 H

Dy

kyy

L k= (1.264)

D

zz

h= (1.265)

• bezdimenzionalna vertikalna ekscentričnost bušotine:

wwD

zz

h= (1.266)

• bezdimenzionalni radijus bušotine:

2 w

wD

rr

L= (1.267)

S takvim definicijama bezdimenzionalnih varijabli, analitičko rješenje

jednadžbe difuzije za horizontalnu bušotinu u neograničenom ležištu glasi:

( )

( ) ( ) ( )

0

22 2 2

1

, , , , , erf erf4 2 2

exp 1 2 exp cos cos4

DtH V D H V DH

D D D D wD D DV

DD D wD

n

k k x k k xkp x y z z L t

k

y dn L n z n z

πτ τ

τπ τ π πτ τ

∞

=

+ −= +

− × × + −

∫

∑

(1.268)

U gornjoj jednadžbi, ( )erf x je funkcija pogrješke (engl. error function),

definirana kao:

( ) 2

0

2erf

xux e du

π−= ∫ (1.269)

Osim za neke specifične slučajeve, analitičko rješenje dano jednadžbom

(1.268) ne može se iskazati poznatim funkcijama, pa su pojedina rješenja

dana tablično i u obliku tipskih krivulja (Clonts i Ramey 1986). Jedno od tih

rješenja u obliku tipskih krivulja prikazano je na slici Slika 29. Na slici je dan

bezdimenzionalni tlak u središtu bušotine, na radijusu, rw, tj. dan je

( )0, , 0wD D D wD Dp x y r z= = = za različite bezdimenzionalne duljine bušotine, LD,

u funkciji bezdimenzionalnog vremena, tD. Krivulje su dane za bušotinu u

76

središtu ležišta (zwD=0,5) i za konstantan bezdimenzionalni radijus bušotine

(rwD=10-4).

Slika 29. Bezdimenzionalni tlak u središtu horizont alne bušotine, smještene u

vertikalnom središtu neograni čenog ležišta (Soliman 1998).

Približna analitička rješenja jednadžbe difuzije moguća su za dva

specifična slučaja: za vrlo kratko vrijeme i za dugo vrijeme. Za kratko vrijeme,

jednadžba (1.268) se svodi na (Clonts i Ramey 1986):

( )2 21

, , Ei4 4

D DD D D D

D D

z yp y z t

L t

−= − −

(1.270)

Oblik ove jednadžbe je identičan izrazu za radijalni protok (jednadžba

(1.55)), što indicira da je rani protok prema horizontalnoj bušotini radijalan.

Za 0Dz = i D wDy r= , jednadžba (1.270) postaje:

( )21

Ei4 4

wDwD D

D D

rp t

L t

= − −

(1.271)

77

i predstavlja bezdimenzionalni tlak u horizontalnoj bušotini, na radijusu rw, u

bilo kojoj točki uzduž bušotine. Budući da tlak nije funkcija xD, ovo je rješenje i

za bušotinu jednolikog utoka i za bušotinu neograničene vodljivosti.

Za dugo vrijeme, približno rješenje jednadžbe difuzije može se

pojednostavljeno prikazati kao (Clonts i Ramey 1986):

( ) 1ln

2D

wD D tDtD

tp t p

t= + (1.272)

gdje je tDp bezdimenzionalni tlak odreñen jednadžbom (1.268) za vrijeme tDt .

Dakle, bezdimenzionalni tlak u kasnom vremenu, jednak je sumi konstante i

funkcije vremena 1

ln2 Dt , što indicira uspostavu pseudoradijalnog protoka

nakon postizanja bezdimenzionalnog vremena ttD.

Na slici Slika 29 prikazana je i krivulja bezdimenzionalnog tlaka za

vertikalnu pukotinu neograničene vodljivosti, koja se poklapa s krivuljom za

horizontalnu bušotinu kad DL → ∞ , što upućuje na sličnost rješenja za

pojedine specifične slučajeve. Temeljem te sličnosti, neka približna rješenja

za vertikalnu pukotinu moraju biti primjenjiva i za horizontalnu bušotinu, što se

može matematički dokazati. Naime, jednadžbu (1.268) može se smatrati

općim rješenjem za bušotinu presječenu vertikalnom pukotinom

neograničene vodljivosti ili jednolikog utoka. Kad bezdimenzionalna duljina

bušotine teži beskonačnosti ( DL → ∞ ), suma u jednadžbi (u Fourierovoj seriji)

teži ništici. Fizikalno značenje neograničeno velike duljine bušotine je da

vertikalna komponenta protoka postaje zanemariva. Matematički, to dalje

znači da se može uzeti 1H Vk k = , pa se jednadžba (1.268) svodi na:

( )0

1 1, , erf erf exp

4 42 2

Dt

D D DD D D D

x x y dp x y t

π τττ τ τ

+ − − = +

∫ (1.273)

Jednadžba (1.273) identična je općem izrazu za vertikalnu pukotinu

jednolikog utoka, kojeg su objavili Gringarten et al. (1974). Stoga se neka

specifična rješenja za vertikalnu pukotinu mogu izravno primijeniti i na

78

horizontalnu bušotinu. Tako će izraz za bezdimenzionalni tlak uzduž

vertikalne pukotine (yD=0) ujedno biti i bezdimenzionalni tlak uzduž

horizontalne bušotine (yD=0, zD=0) i glasit će:

( )0

1 1, erf erf

4 2 2

Dt

D DD D D

x x dp x t

π ττ τ τ

+ − = +

∫ (1.274)

što nakon integriranja postaje:

( )

( ) ( )2 2

1 11, erf erf

2 2 2

1 11 1Ei Ei

4 4 4 4

D DD D D D

D D

D DD D

D D

x xp x t t

t t

x xx x

t t

π + −= +

+ −+ −− −

(1.275)

Funkcija pogrješke, ( )erf x , definirana je jednadžbom (1.269), a

eksponencijalni integral, ( )Ei x , jednadžbom (1.33), dok su njihove vrijednosti

tablično dane u matematičkim priručnicima.

I sva daljnja rješenja za vertikalnu pukotinu primjenjiva su na

horizontalnu bušotinu, uz uvažavanje razlika u definiciji bezdimenzionalnih

varijabli. Pukotina jednolikog utoka predstavlja prvu aproksimaciju ponašanja

vertikalno frakturirane bušotine. Fluid utječe u pukotinu jednolikim protokom

po jedinici površine stijenki pukotine (tj. istom brzinom) zbog čega postoji pad

tlaka u pukotini. Stoga će bezdimenzionalni pad tlaka u bušotini, tj. kod 0Dx =

biti (Gringarten et al. 1974; Earlougher 1977):

( ) 1 1 1erf Ei

2 42wD D D

DD

p t ttt

π −= −

(1.276)

Za 0,1Dt ≤ gornja jednadžba se svodi na jednadžbu (1.205) (uz

napomenu da su bezdimenzionalna vremena jednaka iako su drukčije

označena, jer je 2fx L= ), a to je jednadžba za linearni protok u ležištu.

Za 10Dt ≥ jednadžba (1.276) postaje:

( ) ( )1ln 2,80907

2wD D Dp t t= + (1.277)

što opet indicira uspostavljanje pseudoradijalnog protoka u kasnom periodu.

79

Pukotina neograničene vodljivosti ima neograničenu propusnost i,

stoga, jednoliki tlak uzduž cijele pukotine (tj. nema pada tlaka u pukotini).

Dokazano je, da bezdimenzionalni pad tlaka u bušotini, tj. kod 0Dx = , za ovaj

slučaj takoñer slijedi iz jednadžbe (1.275), ako se uvrsti vrijednost

0,732Dx = (Gringarten et al. 1974; Earlougher 1977; Clonts i Ramey 1986),

pa ona tada glasi:

( ) 1 0,866 0,134erf erf

2

0,750 0,0180,433Ei 0,067 Ei

4

D D D

D D

D D

p t tt t

t t

π

= +

− −

(1.278)

Za 10Dt ≥ jednadžba (1.278) postaje:

( ) ( )1ln 2,2

2wD D Dp t t= + (1.279)

a za 0,01Dt ≤ i ova se jednadžba svodi na jednadžbu (1.205). Dakle, i u

slučaju neograničene vodljivosti pukotine, pa tako i bušotine, pojavljuje se u

odreñenom razdoblju i linearni i pseudoradijalni protok.

Na slici Slika 30 prikazan je bezdimenzionalni tlak u funkciji

bezdimenzionalnog vremena, izračunat prema jednadžbama (1.276) i (1.278)

. (Na apscisi je zapravo fDxt , definiran jednadžbom (1.187), pa ( )2 2

D w ft r x

predstavlja transformaciju Dt , definiranog jednadžbom (1.50) u fDxt .) Na

krivuljama je označen svršetak linearnog protoka, koji je u log-log dijagramu

karakteriziran pravcem nagiba ½.

Jednadžba (1.259) riješena je i za ograničeno ležište (Babu i Odeh

1989. a, 1989. b). Rješenje sadrži neustaljeni (transient) i ustaljeni protok, a

neustaljeni protok indicira moguće pojavljivanje četiri režima protjecanja.

Osim već spomenuta tri, moguće je pojavljivanje i kasnog linearnog protoka.

Dakle, mogući su redom, rani radijalni protok, rani linearni, kasni

pseudoradijalni i kasni linearni protok (Odeh i Babu 1990). Svaki od ovih

80

protoka detaljnije je opisan u nastavku, a njihovo približno trajanje naznačeno

je na slici Slika 29 (Soliman 1998).

Slika 30. Bezdimenzionalni tlak za bušotinu s pukot inom neograni čene vodljivosti i

jednolikog utoka, u neograni čenom ležištu.

1.4.3.1. Rani radijalni protok

Ovaj se protok pojavljuje vrlo rano. Čim se bušotinu otvori za

proizvodnju ili ju se zatvori za porast tlaka, oblik protjecanja oko bušotine je

radijalan u vertikalnoj ravnini. Na slici Slika 31 prikazane su različite

geometrije bušotina kod kojih se javlja radijalni ili pseudoradijalni protok. Rani

radijalni protok oko horizontalne bušotine (Slika 31-c) sličan je protoku

vertikalne, potpuno penetrirajuće bušotine, u neograničenom ležištu (Slika

31-b). Drugim riječima, horizontalna bušotina se ponaša kao vertikalna u

ležištu debljine jednake duljini horizontalne bušotine, tj. h = L.

81

Slika 31. Geometrije radijalnog protoka.

Rani radijalni protok traje relativno kratko, osim ako je debljina ležišta

razmjerno velika, odnosno, ako je horizontalni dio bušotine značajnije udaljen

od gornje i donje granice. Meñutim, tada radijalni protok može poremetiti

obično zanemareni utjecaj gravitacije. Značajnije razlike vertikalne i

horizontalne propusnosti takoñer mogu iskriviti radijalne karakteristike ovog

perioda protjecanja, mijenjajući oblik protjecanja u eliptični. Stoga, za razliku

od vertikalne bušotine, gdje se uzima istu propusnosti u svim smjerovima u

horizontalnoj ravnini, za radijalni protok u horizontalnoj bušotini treba uzeti

prosječnu propusnost u vertikalnoj ravnini, tj. y Vk k k= .

Dakle, uzevši da je h L= i y Vk k k= , dinamički tlak u horizontalnoj

bušotini, koja proizvodi konstantnim protokom, za vrijeme ranog radijalnog

protoka, dan je jednadžbom (1.39), koja sada glasi:

2

1( ) ln 0.80907

22

y V

wf it wy V

k k tqBp t p s

c rk k L

µφµπ

= − + +

(1.280)

Analogno vertikalnoj bušotini, iz jednadžbe (1.280) slijedi praktično rješenje

za analizu pada tlaka u proizvodnom testu:

2

( ) 1.151 log log 0.351 0.872

y V

wf it wy V

k kqBp t p t s

c rk k L

µφµπ

= − + + +

(1.281)

82

Naime, polulogaritamski prikaz dinamičkog tlaka u funkciji vremena ( wfp u

funkciji logt ) dat će pravac nagiba 1.1512 y V

qBm

k k L

µπ

= , pa se tada može

izračunati ekvivalentna propusnost u vertikalnoj ravnini oko horizontalne

bušotine:

1.1512y V

qBk k

Lm

µπ

= (1.282)

te skin faktor:

(1 )

21.151 log 3.91

y Vi wf h

t w

k kp ps

m c rφµ

− = − −

(1.283)

Ako se pretpostavi da je ležište izotropno u horizontalnoj ravnini

( x y Hk k k= = ), tada propusnost izračunata jednadžbom (1.282) predstavlja

efektivnu propusnost, H Vk k .

Trajanje ranog radijalnog protoka odreñeno je vremenom potrebnim da

se dosegne najbliža granica, što može biti gornja ili donja granica ležišta

(krovina ili podina) ili, pak, vrh bušotine. Osim u slučaju vrlo ograničenog

ležišta, najbliža granica je krovina ili podina ležišta. U tom slučaju, vrijeme

trajanja ranog radijalnog protoka odreñeno je bližom granicom, pa je za

2wz h≤ dano jednadžbom:

2

2w t

V

z ct

k

φµ= (1.284)

a za 2wz h≥ jednadžbom:

( )2

2w t

V

h z ct

k

φµ−= (1.285)

s pogrješkom od 2% (Odeh i Babu 1990). Trajanje ranog radijalnog protoka

glede utjecaja vrha bušotine, s pogrješkom od 5%, odreñeno je jednadžbom:

2

30t

x

L ct

k

φµ= (1.286)

Jednadžba (1.280) slijedi i iz jednadžbe (1.271), koja za 2 25D wDt r ≥

ima sljedeću logaritamsku aproksimaciju:

83

( ) 2

1ln 0,80907

4D

wD DD wD

tp t

L r

= +

(1.287)

Ako se u gornju jednadžbu uvrsti bezdimenzionalne varijable onako kako su

definirane jednadžbama (1.260) do (1.267), uz zamjenu srednje horizontalne

propusnosti u bezdimenzionalnom vremenu srednjom propusnošću u

vertikalnoj ravnini okomitoj na smjer bušotine, te doda skin faktor, dobit ćemo

jednadžbu (1.280). Tada iz uvjeta za primjenu logaritamske aproksimacije, 2 25D wDt r ≥ , slijedi i vrijeme nakon kojeg se može primijeniti jednadžbu

(1.280):

2

25 t w

V H

c rt

k k

φµ≥ (1.288)

Takoñer, iz uvjeta primjenjivosti rješenja jednadžbe difuzije za neograničeno

ležište, koji pak slijedi iz jednadžbe (1.55), a glasi 2 4 1D Dr t ≥ , odnosno

20.25D Dt r≤ , može se odrediti vrijeme dosezanja bliže, gornje ili donje granice

ležišta. Iz definicije bezdimenzionalnog vremena (jednadžba (1.50)), u kojem

je Vk k= , a wr r= , te iz definicije bezdimenzionalnog radijusa (jednadžba

(1.53)) u kojem je radijus odreñen bližom granicom, tj. za 2wz h≤ je wr z= , a

za 2wz h≥ je wr h z= − slijedi:

2

4w t

V

z ct

k

φµ= (1.289)

odnosno:

( )2

4w t

V

h z ct

k

φµ−= (1.290)

Dakle, jednadžbe (1.289) i (1.290) daju upola kraće vrijeme nego

jednadžbe (1.284) i (1.285), što je jednostavno posljedica rigoroznijih uvjeta,

odnosno veće točnosti.

84

1.4.3.2. Rani linearni protok

Ako je horizontalni dio bušotine dostatno dug u usporedbi s debljinom

ležišta, gornja i donja granica ležišta će utjecati na ponašanje tlaka, dok će

utjecaj vrha bušotine biti zanemariv. U tom slučaju, može se pojaviti linearni

protok, kod kojeg je glavnina pada tlaka u horizontalnom smjeru i fluid se giba

linearno prema bušotini. Minimalni uvjet za postojanje linearnog protoka u

ležištu s horizontalnom bušotinom definiran je kao (Odeh i Babu 1990):

( )3,33 yw

V

kL h z

k≥ − (1.291)

Na slici Slika 32 prikazane su različite geometrije bušotina kod kojih se

javlja linearni protok. Rani linearni protok prema horizontalnoj bušotini (Slika

31-b) sličan je protoku prema vertikalnoj pukotini neograničene vodljivosti, u

neograničenom ležištu (Slika 32-a), ali s nepotpunom penetracijom po debljini

ležišta. Drugim riječima, horizontalna bušotina se ponaša kao frakturirana

vertikalna, s visinom pukotine manjom od debljine ležišta, tj. hf < h.

Slika 32. Geometrije linearnog protoka.

Kako je već rečeno, bezdimenzionalni tlak za vrijeme linearnog protoka

u ležištu, definiran je jednadžbom (1.205), koju za horizontalnu bušotinu

možemo pisati kao:

( )wD D Dp t tπ= (1.292)

Nakon uvrštavanja jednadžbi (1.260) i (1.261) u gornju jednadžbu, ona glasi:

( )( )22 2

Hi wf

H t

k tqBp p t

k h c L

πµπ φµ

− = (1.293)

85

Dodatni pad tlaka zbog skin efekta, definiran jednadžbom (1.107), može

se prilagoditi horizontalnoj bušotini analogno jednadžbi (1.280), tj. uzevši da

je h L= i y Vk k k= . Pritom mehaničkom skin faktoru, s, prouzročenom

smanjenjem propusnosti oko horizontalne bušotine, treba pribrojiti i pseudo-

skin, sz, prouzročen nepotpunim raskrivanjem ležišta po njegovoj debljini, pa

je dodatni pad tlaka definiran kao:

( )2

s z

y V

qBp s s

k k L

µπ

∆ = + (1.294)

Pribroji li se jednadžbu (1.294) jednadžbi (1.293). ona postaje:

( )( )

( )22 22H

i wf zH y Vt

k tqB qBp p t s s

k h k k Lc L

πµ µπ πφµ

− = + + (1.295)

pa nakon sreñivanja, uvažavajući da je H yk k= , ona konačno glasi:

( ) ( )2

i wf zt y y V

qB t hp p t s s

Lh c k k k

µπφµ π

− = + +

(1.296)

Pseudo-skin faktor zbog nepotpunog raskrivanja ležišta definiran je

jednadžbom (Odeh i Babu, 1990):

ln ln sin2

y wz

w V

k zhs

r k h

ππ

= − (1.297)

Početak linearnog protoka odreñen je vremenom dosezanja gornje i

donje granice ležišta, a definiran je jednadžbama (1.284) i (1.285). Svršetak

ranog linearnog protoka odreñuje vrijeme kod kojeg utjecaj vrha bušotine

postaje značajan, a približno je definiran jednadžbom (Odeh i Babu, 1990):

2

25t

x

L ct

k

φµ= (1.298)

Meñutim, prema uvjetu za primjenu jednadžbe (1.205) danom jednadžbom

(1.207) to je vrijeme deset puta kraće. No, ako se prihvati manje rigorozan

uvjet, prema kojemu se jednadžba (1.276) transformira u jednadžbu (1.205),

tj. 0,1Dt ≤ , vrijeme svršetka linearnog protoka samo je upola kraće od onog

odreñenog jednadžbom (1.298). U slučaju da je vrijeme svršetka linearnog

86

protoka manje od vremena njegovog početka, jasno je da se linearni protok

ne će razviti.

1.4.3.3. Pseudoradijalni protok

Ovaj se oblik protoka javlja kad se poremećaj tlaka u ležištu odmakne

dostatno daleko od bušotine da se ona doima kao točka prema kojoj se

ležišni fluid giba radijalno u horizontalnoj ravnini. Ovaj period je analogan

pseudoradijalnom protoku u vertikalnoj frakturiranoj bušotini (Slika 31-d i e).

Slično, vrijeme postizanja ovog režima protjecanja u slabo propusnim

ležištima može biti vrlo dugo. Minimalni uvjet za uspostavljanje

pseudoradijalnog protoka u ležištu s horizontalnom bušotinom definiran je

kao 2 0,45eL x ≤ (Odeh i Babu 1990).

Bezdimenzionalni tlak za vrijeme pseudoradijalnog protoka u ležištu,

definiran je jednadžbom (1.277), koja nakon uvrštavanja jednadžbi (1.260) i

(1.261) glasi:

( )( )2

1ln 2,80907

2 2 2H

i wfH t

k tqBp p t

k h c L

µπ φµ

− = +

(1.299)

Dodatni pad tlaka zbog skin efekta, definiran jednadžbom (1.294), može se

pribrojiti, pa jednadžba (1.299) postaje:

( )( )

( )2

1ln 2,80907

2 2 22H

i wf zH y Vt

k tqB qBp p t s s

k h k k Lc L

µ µπ πφµ

− = + + +

(1.300)

Analogno ranom radijalnom protoku, iz jednadžbe (1.300) slijedi praktično

rješenje za analizu pada tlaka u proizvodnom testu:

( ) ( )21,151 log log 1,822

2 2H

i wf zH t y V

kqB qBp p t t s s

k h c L k k L

µ µπ φµ π

− = + + + +

(1.301)

87

Naime, polulogaritamski prikaz dinamičkog tlaka u funkciji vremena ( wfp u

funkciji logt ) dat će pravac nagiba 1,1512 h

qBm

k h

µπ

= , pa se tada može

izračunati ekvivalentna propusnost u horizontalnoj ravnini:

1,1512H

qBk

hm

µπ

= (1.302)

Ekstrapolacijom tog pravca do t=1 h može se izračunati ukupni skin faktor:

(1 )

2

1.151log 5,378i wf hv H

zx t

p pk kLs s

h k m c Lφµ−

+ = − −

(1.303)

a pseudoskin faktor se računa prema jednadžbi (1.297).

Prema uvjetu za primjenu jednadžbe (1.277), 10Dt ≥ , početak

pseudoradijalnog protoka dan je jednadžbom:

22,5 t

x

L ct

k

φµ= (1.304)

Meñutim, prema Odehu i Babuu (1990), to je vrijeme višestruko kraće:

2

2,5t

x

L ct

k

φµ= (1.305)

Kraj ovog protoka je onda kad se očituje utjecaj jedne od lateralnih granica

ležišta, tj. granica u smjeru osi x:

( )22

3,75e t

x

x L ct

k

φµ−= (1.306)

ili granica u smjeru osi y:

2

0,5675e t

y

y ct

k

φµ= (1.307)

kojegod je manje.

1.4.3.4. Kasni linearni protok

Ovaj protok se pojavljuje kad je ležište izduljeno u smjeru okomitom na

horizontalnu bušotinu, tj. u y smjeru. Nakon dostatno dugog vremena

proizvodnje, granice ležišta u vertikalnom smjeru i u smjeru horizontalne

88

bušotine (x smjer) počinju djelovati, pa je protok u ova dva smjera u biti

poluustaljen. Stoga je protok u smjeru okomitom na smjer bušotine linearan.

Analogno ranom linearnom protoku, pad tlaka u ležištu je dan

jednadžbom (1.293), s tim da L postaje 2xe. Dodatni pad tlaka zbog skin

efekta definiran je jednadžbom (1.294), u kojoj takoñer L postaje 2xe, zbog

čega se skin faktorima dodaje i pseudo-skin sx, prouzročen nepotpunom

penetracije bušotine po cijeloj širini ležišta (L<2xe). Dakle, pad tlaka u ležištu

za vrijeme kasnog linearnog protoka dan je jednadžbom:

( ) ( )2 4

i wf z xe t H y V e

qB t qBp p t s s s

x h c k k k x

µ µπφ π

− = + + + (1.308)

Prema Odehu i Babuu (1990), vrijeme pojavljivanja ovog protoka

odreñeno je jednadžbom:

( )22

1,5e t

x

x L ct

k

φµ−= (1.309)

ili:

( )2

2w t

V

h z ct

k

φµ−= (1.310)

kojegod je veće.

89

II. POGLAVLJE

ANALIZA PROTJECANJA FLUIDA U LEŽIŠTIMA NAFTE I PLIN A

2.1. ANALIZA NEUSTALJENOG RADIJALNOG PROTOKA

2.1.1. Polulogaritamski prikaz tlaka u funkciji vremena

Neustaljeno (prolazno, prijelazno) stanje protjecanja opisano je

modelom neograničenog ležišta s konstantnim protokom na unutarnjoj

granici, prikazanim u prvom poglavlju (odlomak 1.2.1.1.), a koji glasi:

2

1( ) ln 0,80907

2 2wf iw

qB ktp t p s

kh cr

µπ φµ

= − + +

(2.1)

Ako se prirodni logaritam u gornjoj jednadžbi zamijeni logaritmom po bazi 10:

2

1 1( ) log 0,80907

2 2 logwf iw

qB ktp t p s

kh e cr

µπ φµ

= − + +

(2.2)

i jednadžbu preuredi, slijedi praktično rješenje za analizu pada tlaka u

proizvodnom testu:

2

( ) 1,151 log log 0,351 0,872wf i

t w

qB kp t p t s

kh c r

µπ φµ

= − + + +

(2.3)

Naime, iz ovog rješenja slijedi da će dijagram dinamičkog tlaka u

polulogaritamskom mjerilu (pwf u funkciji logt) dati pravac:

2

( ) 1,151 log 0,351 0,87 1,151 log2 2wf i

t w

qB k qBp t p s t

kh c r kh

µ µπ φµ π

= − + + −

(2.4)

čiji je nagib definiran izrazom:

1,1512

qBm

kh

µπ

= (2.5)

a odrezak na ordinati izrazom:

( ) 2log 0 log 0,351 0,87wf i

t w

kp t p m s

c rφµ

= = − + +

(2.6)

Tada se s pomoću nagiba pravca može izračunati propusnost ležišta:

90

1,1512

qBk

hm

µπ

= (2.7)

a kombiniranjem s odreskom pravca:

2

( ) log 0,351 0,87 logwf it w

kp t p m s m t

c rφµ

= − + + −

(2.8)

i skin faktor:

2

( )1,151 log log 0,351i wf

t w

p p t ks t

m c rφµ−

= − − −

(2.9)

U praksi se gornja jednadžba redovito koristi u obliku:

(1 )

21,151 log 3,91i wf h

t w

p p ks

m c rφµ−

= − −

(2.10)

gdje je pwf(1h) tlak ekstrapoliran po pravcu nagiba m do t=1 h.

Primjer idealiziranog proizvodnog testa, dobivenog simulacijom,

zanemarujući efekt skladištenja (C=0) prikazan je na slici Slika 33, a njegov

polulogaritamski prikaz dan je na slici Slika 34. Osnovni podaci o

proizvodnom testu i rezultati analize s pomoću polulogaritamskog prikaza

tlaka, dani su u tablici Tablica 2.

Kao što se vidi na slici Slika 34, većina podataka se poklapa s

polulogaritamskim pravcem nagiba m = 0,547454 bar („Slope“ u tablici Tablica

2) s pomoću kojeg je, prema jednadžbi (2.7) izračunata propusnost ležišta (k

= 12,6 md = 12,6×10-3 µm2). Podaci odstupaju od polulogaritamskog pravca u

samom početku, dok još nije zadovoljen uvjet logaritamske aproksimacije

eksponencijalnog integrala, tj. dok je 2

25 t wc rt

k

φµ≤ . Na slici je takoñer označen

tlak ekstrapoliran po pravcu nagiba m do t=1 h, pwf(1h)=79,109 bar (u tablici

„P@1 hr“, koji se u ovom slučaju poklapa i s mjerenim tlakom) s pomoću

kojeg je, prema jednadžbi (2.10) izračunat skin faktor s=12. Temeljem

definicije skin faktora, dodatni pad tlaka je izračunat prema jednadžbi

2s

qBp s

kh

µπ

∆ = i iznosi ∆ps=5,68962 bar (u tablici „Delta P Skin“).

91

Slika 33. Idealizirani proizvodni test.

Slika 34. Polulogaritamski prikaz tlaka u funkciji vremena.

-3 -2 -1 0 1

78

78.5

79

79.5

80

80.5

Semi-Log plot: p [bara] vs Superposition time

78

80

82

84

86

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

2

4

History plot (Pressure [bara], Liquid Rate [m3/D] vs Time [hr])

92

Tablica 2. Osnovni podaci o idealiziranom proizvodn om testu i rezultati analize s

pomo ću polulogaritamskog prikaza tlaka.

Name Value Name Value

Test Design

production #1

Semilog Line (Test

Design production #1)

Rate 5.24658 m3/D From 29.76 hr

Rate change 5.24658 m3/D To 90.24 hr

Pi 86.5292 bara Slope 0.547454 bar

Selected Model P@1hr 79.109 bara

Model Option Standard Model k.h 238 md.m

Well Storage + Skin k 12.6 md

Reservoir Homogeneous Skin 12

Boundary Infinite Delta P Skin 5.68962 bar

Primjer stvarnog proizvodnog testa prikazan je na slici Slika 35, a

njegov polulogaritamski prikaz dan je na slici Slika 36. Osnovni podaci o tom

proizvodnom testu i rezultati analize s pomoću polulogaritamskog prikaza

tlaka, dani su u tablici Tablica 3.

Kao što se vidi na slici Slika 36, samo nekoliko zadnjih mjerenih

podataka poklapa se s polulogaritamskim pravcem nagiba m = 0,693416 bar, s

pomoću kojeg je izračunata propusnost ležišta (k = 9,93 md = 9,93×10-3 µm2).

Glavnina podataka odstupa od polulogaritamskog pravca, što treba pripisati

efektu skladištenja u bušotini, sukladno tumačenju, prethodno danom u

odlomku 1.2.3.6. pod naslovom „Utjecaj obujma bušotine“.

93

Slika 35. Stvarni proizvodni test.

Slika 36. Polulogaritamski prikaz tlaka u funkciji vremena.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

78

80

82

84

86

Semi-Log plot: p [bara] vs Superposition time

78

80

82

84

86

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

2

4

History plot (Pressure [bara], Liquid Rate [m3/D] vs Time [hr])

94

Tablica 3. Osnovni podaci o stvarnom proizvodnom te stu i rezultati analize s pomo ću

polulogaritamskog prikaza tlaka.

Name Value Name Value

Pressures 1

production #1

Semilog Line

(Pressures 1

production #1)

Rate 5.24658 m3/D From 36 hr

Rate change 5.24658 m3/D To 72 hr

Pi 86.5292 bara Slope 0.693416 bar

Selected Model P@1hr 79.4101 bara

Model Option Standard Model k.h 188 md.m

Well Storage + Skin k 9.93 md

Reservoir Homogeneous Skin 8.3

Boundary Infinite Delta P Skin 4.9977 bar

Na slici je takoñer označen tlak ekstrapoliran po pravcu nagiba m do

t=1 h, pwf(1h)=79,4101 bar (koji se u ovom slučaju ne poklapa s mjerenim tlakom)

s pomoću kojeg je izračunat skin faktor s=8,3 pa onda i dodatni pad tlaka

∆ps=4,9977 bar.

95

2.1.2. Tipske krivulje

Tipske krivulje su grafička rješenja jednadžbe difuzije temeljene na

bezdimenzionalnim varijablama. Rješenja su univerzalna, a razlikuju se samo

definicije bezdimenzionalnih varijabli, ovisno o vrsti fluida u protjecanju. Sve

definicije bezdimenzionalnih varijabli dane su u prvom poglavlju (odlomci

1.2.1.1., 1.2.4.1., 1.2.4.2. i 1.2.4.6.). Za naftu (nestlačivi fluid)

bezdimenzionalne varijable tlaka, vremena i radijusa definirane su kao:

( )2 i

D

kh p pp

qB

πµ

−= (2.11)

2D

t w

ktt

c rφµ= (2.12)

Dw

rr

r= (2.13)

Bezdimenzionalni oblik jednadžbe difuzije za radijalni protok glasi:

2

2

1D D D

D D D D

p p p

r r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (2.14)

a njeno rješenje za neograničeno ležište s konstantnim protokom na

unutarnjoj granici je:

21

( , )2 4

DD D D

D

rp r t Ei

t

= − −

(2.15)

koje za 2 24 100 25D D D Dt r t r≥ ⇒ ≥ ima sljedeću logaritamsku aproksimaciju:

2

1( , ) ln 0,80907

2D

D D DD

tp r t

r

= +

(2.16)

Za rD=1 i uz dodatak skin faktora, jednadžba (2.16) postaje:

( )1( ) ln 0,80907

2D D Dp t t s= + + (2.17)

Najjednostavnija tipska krivulja za radijalni protok je ona koja slijedi iz

jednadžbe (2.15), budući da ona zanemaruje efekt skladištenja ( 0DC = ) i skin

efekt ( 0s = ). Za 1Dr = i za vrijednosti bezdimenzionalnog vremena 1000Dt ≤ ,

takva tipska krivulja je prikazana na slici Slika 4. Rješenje jednadžbe difuzije

koje uključuje efekt skladištenja i skin efekt, dano je u obliku tipskih krivulja na

96

slici Slika 9. Isto je rješenje dano tipskim krivuljama na slici Slika 10, gdje je

bezdimenzionalni tlak u funkciji bezdimenzionalne grupe tD/CD, a krivulje su

karakterizirane bezdimenzionalnom grupom CDe2s.

Način korištenja tipskih krivulja u analizi hidrodinamičkih mjerenja svodi

se na preklapanje (mečiranje) mjerenih podataka s tipskim krivuljama i

odreñivanje podudarnih točaka (engl. Match Points) s pomoću kojih se mogu

izračunati pojedini parametri ležišta i bušotine. Postupak mečiranja je

sljedeći:

1. Mjerene podatke unijeti u log-log dijagram razlike tlaka, ∆p, u funkciji

vremena, t. Pritom je razlika tlaka različito definirana za naftu i plin:

• Nafta: i wfp p p∆ = −

• Plin: 2 2 2i wfp p p∆ = − ili ( ) ( ) ( )i wfm p m p m p∆ = − .

2. Preklopiti mjerene podatke s tipskim krivuljama i odabrati točke

preklapanja, (pD)M i (∆p)M, te (tD /CD)M i (t)M, kao i grupu CDe2s.

3. S pomoću točaka preklapanja, iz definicija bezdimenzionalnih varijabli

izračunati karakteristike ležišta i bušotine:

• Propusnost za naftu: ( )( )2

D M

M

qB pk

h p

µπ

=∆

• Propusnost za plin: ( )0

20 ( )

D M

M

p q ZT pk

T h p

µπ

=∆

ili ( )

[ ]0

0 ( )D M

M

p qT pk

T h m pπ=

∆

• Bezdimenzionalni koeficijent skladištenja:( )( )2

MD

t w D D M

k tC

c r t Cφµ=

4. Iz preklopljenih krivulja i odabrane grupe CDe2s izračunati skin faktor:

2

2 1ln ln 2 ln

2

ss D

D DD

C eC e C s s

C= + ⇒ =

97

Tipske krivulje se koriste i u modernim softverima, ali na nešto drukčiji

način. Naime, bezdimenzionalna rješenja jednadžbe difuzije (tipske krivulje)

softver konvertira u realne varijable, primjenjuje načelo superpozicije i

generira analitički model, koji zatim mečira s mjerenim podacima. Postupkom

regresije, generirani model se korigira i usklañuje sa stvarnim podacima, te se

konačno odreñuje podudarne točke, s pomoću kojih se računaju pojedini

parametri, kao i u slučaju ručnog mečiranja.

Primjeri korištenja tipskih krivulja i softvera u analizi hidrodinamičkih

mjerenja bit će dani u nastavku.

2.1.3. Derivacija tlaka

Derivacija tlaka je log-log prikaz nagiba iz polulogaritamskog prikaza

bezdimenzionalnog tlaka u funkciji bezdimenzionalnog vremena kad je

vremenska skala dana prirodnim logaritmom (Bourdet et al. 1983; Bourdet et

al. 1989) (Slika 37).

Slika 37. Ilustracija derivacije tlaka ( Houzé et al. 2008).

98

Naime, kad se bezdimenzionalni tlak, pD, diferencira po prirodnom

logaritmu bezdimenzionalne grupe tD/CD, tada je:5

( ) ( ) ( ) ( )

lnD D

D D D D DD DD D

dp dpt C t C p

d t Cd t C′= =

(2.18)

gdje je p'D derivacija bezdimenzionalnog tlaka po bezdimenzionalnoj grupi

tD/CD. Za vrijeme trajanja efekta skladištenja, odnos bezdimenzionalnog tlaka

prema bezdimenzionalnom vremenu i bezdimenzionalnom koeficijentu

skladištenja dan je jednadžbom (1.151), pa je derivacija bezdimenzionalnog

tlaka po bezdimenzionalnoj grupi tD/CD:

( ) 1DD

D D

dpp

d t C′ = = (2.19)

Kombiniranjem ove jednadžbe s jednadžbom (2.18) slijedi derivacija

bezdimenzionalnog tlaka, pD, po prirodnom logaritmu bezdimenzionalne

grupe tD/CD:

( )D D D D Dt C p t C′ = (2.20)

Dakle, u ranim vremenima sve derivacije tlaka ponašaju se identično, tj.

u log-log dijagramu krivulje se asimptotski približavaju pravcu nagiba

jednakog jedinici, posve isto kao i krivulje bezdimenzionalnog tlaka (Slika 38).

5 Derivacija logaritamske funkcije:

( ) ( )( )ln

d f xd f x

f x

= ; ( ) ( ) 1ln

d xd x

x x= =

99

Slika 38. Tipske krivulje bezdimenzionalnog tlaka i njegove derivacije za neograni čeno

ležište s efektom skladištenja i skin efektom (Econ omides i Nolte 2000).

Kad se, pak, dosegne „neograničeno djelujući“ radijalni protok (engl.

Infinit-Acting Radial Flow) tj. prijelazni (prolazni) ili transient, ponašanje tlaka

je opisano jednadžbom (1.152). Tada je polulogaritamski nagib konstantan,

pa derivacija bezdimenzionalnog tlaka po bezdimenzionalnoj grupi tD/CD glasi:

( )0,5D

DD D D D

dpp

d t C t C′ = = (2.21)

Kombiniranjem jednadžbe (2.21) s jednadžbom (2.18) slijedi derivacija

bezdimenzionalnog tlaka, pD, po prirodnom logaritmu bezdimenzionalne

grupe tD/CD:

( ) 0,5D D Dt C p′ = (2.22)

što znači da se sve krivulje derivacije tlaka približavaju drugoj asimptoti,

s konstantnom vrijednošću jednakom 0,5 (Slika 38).

Izmeñu ove dvije asimptote, ovisno o bezdimenzionalnoj grupi CDe2s,

svaka krivulja pokazuje specifičan oblik, puno više izražen nego što to

100

pokazuje sama krivulja tlaka. Stoga je derivacija tlaka moćna dijagnostička

metoda, koja na istom log-log dijagramu kombinira tipske krivulje i

specijalizirane analize kao što je npr. polulogaritamska.

Na slici Slika 39 prikazan je log-log dijagram razlike tlaka i njegove

derivacije, realnog proizvodnog testa danog na slici Slika 35 i tablici Tablica 3.

Slika 39. Proizvodni test: Log-Log dijagram razlike tlaka i njegove derivacije.

Podaci o testu i rezultati mečiranja s tipskim krivuljama, dani su u

tablici Tablica 4. Treba napomenuti da pojmovi u tablici „TMatch“ i „PMatch“

označavaju točke mečiranja prikazane kao omjer tD/CD i t, tj. ((tD/CD)/t)M,

odnosno omjer pD i ∆p , tj. (pD/∆p)M.

0.01 0.1 1 10 100

0.1

1

10

Log-Log plot: dp and dp' [bar] vs dt [hr]

101

Tablica 4. Podaci o testu i rezultati me čiranja s tipskim krivuljama.

Name Value Name Value

Pressures 1

production #1 Results

Rate 5.24658 m3/D TMatch 3.05 [hr]**-1

Rate change 5.24658 m3/D PMatch 2.1 [bara]**-1

P@dt=0 86.5292 bara C 0.158 m3/bar

Pi 86.5292 bara Skin 12

Selected Model Delta P Skin 5.68789 bar

Model Option Standard Model Pi 86.5292 bara

Well Storage + Skin k.h 238 md.m

Reservoir Homogeneous k 12.6 md

Boundary Infinite Rinv 67.9 m

Postupak mečiranja s tipskim krivuljama s derivacijom sličan je onom

bez derivacije:

1. U log-log dijagram unijeti mjerene podatke, tj.:

• Razliku tlaka, i wfp p p∆ = − ( 2 2 2i wfp p p∆ = − ili

( ) ( ) ( )i wfm p m p m p∆ = − ) u funkciji vremena, t.

• Derivaciju tlaka, ∆p’ u funkciji t: ( )ln

d p d pp t

d t d t

∆ ∆′∆ = = ∆∆ ∆

2. Dio mjerenih podataka s konstantnom derivacijom, preklopiti s

asimptotom tipske krivulje konstantne vrijednosti 0,5. Time je

mečiran pD i ∆p, odnosno njihov odnos, (pD/∆p)M.

102

3. Dijagram s mjerenim podacima pomicati horizontalno, uzduž ove

asimptote dok se rani dio podataka tlaka i derivacije ne preklopi s

asimptotom nagiba jednakog jedinici. Time je mečiran tD/CD i t,

odnosno njihov odnos ((tD/CD)/t)M.

4. Izravnim očitanjem odrediti koja se krivulja bezdimenzionalne grupe

CDe2s, najbolje poklapa s mjerenim podacima izmeñu dvije

asimptote.

5. S pomoću točaka preklapanja, iz definicija bezdimenzionalnih

varijabli izračunati karakteristike ležišta i bušotine, kao i u slučaju

tipskih krivulja bez derivacije.

2.1.4. Hornerova analiza testa porasta tlaka

Dosad opisane analize odnose se na proizvodni (protočni) test.

Meñutim, u proizvodnom testu je teško održavati konstantan protok, pa se

nakon njega provodi test porasta tlaka, zatvaranjem bušotine na ušću i

mjerenjem porasta tlaka na dnu. Primjenom načela superpozicije, analizu

proizvodnog testa može se prilagoditi testu porasta tlaka.

Test porasta tlaka može se tretirati kao test s dva protoka: protok q,

koji stvarno traje do tp, uzimamo kao da traje i nakon tp, ali istodobno počinje

protok -q (pa je rezultanta 0) i traje do t (kao i protok q) (Slika 40).

103

Slika 40. Primjena na čela superpozicije na test porasta tlaka ( Houzé et al. 2008).

Pad tlaka zbog protoka q u vremenu t jednak je:

( )1 2 D D

qBp p t

kh

µπ

∆ = (2.23)

a porast tlaka zbog protoka -q u vremenu t-tp jednak je:

( )2 2 D p D

qBp p t t

kh

µπ

−∆ = − (2.24)

Ukupni pad tlaka jednak je sumi ∆p1+ ∆p2:

( ) ( )( )2 D D D p D

qBp p t p t t

kh

µπ

∆ = − − (2.25)

Prema standardnim oznakama (Slika 40), t=tp+∆t, ∆t=t-tp, ∆p=pi-p(t)=pi-pws, pa

iz jednadžbe (2.25) slijedi:

( ) ( )( )2i ws D p D DD

qBp p p t t p t

kh

µπ

− = + ∆ − ∆ (2.26)

Za neograničeno ležište, prema jednadžbi (2.17), možemo pisati:

( ) ( )1ln 0,80907

2D p pD Dp t t t t + ∆ = + ∆ + (2.27)

( )1( ) ln 0,80907

2D D Dp t t ∆ = ∆ + (2.28)

104

Supstitucijom jednadžbi (2.27) i (2.28) u jednadžbu (2.26) slijedi:

( ) ( )1ln ln

2 2i ws p DD

qBp p t t t

kh

µπ

− = + ∆ − ∆

(2.29)

a nakon uvoñenja definicije bezdimenzionalnog vremena iz jednadžbe (2.12)

u jednadžbu (2.29) i sreñivanja, ona konačno glasi:

1

ln2 2

pws i

t tqBp p

kh t

µπ

+ ∆= −

∆ (2.30)

Zamjenom prirodnog logaritma logaritmom po bazi 10, slijedi oblik

jednadžbe pogodan za analizu testa porasta tlaka:

1,151 log2

pws i

t tqBp p

kh t

µπ

+ ∆= − ×

∆ (2.31)

a to je poznata Hornerova jednadžba (Horner 1951).

Naime, analogno proizvodnom testu, Hornerova jednadžba ukazuje da

će dijagram porasta tlaka u polulogaritamskom mjerilu ( wsp u funkciji

( )log pt t t + ∆ ∆ ) dati pravac nagiba 1,151 2m qB khµ π= , tj.:

log pws i

t tp p m

t

+ ∆= −

∆ (2.32)

gdje je stvarno vrijeme zamijenjeno tzv. Hornerovim vremenom, (tp+∆t)/∆t. Za

( )( )log 0pt t t+ ∆ ∆ = , tj. za ( ) 1pt t t+ ∆ ∆ = ili kad t∆ → ∞ , jednadžba (2.32)

postaje:

ws ip p p∗= = (2.33)

gdje je s p* označen tzv. ekstrapolirani ležišni tlak, koji u slučaju kratkotrajne

proizvodnje odgovara početnom ležišnom tlaku. Stoga se i porast tlaka može

analizirati na isti način kao i proizvodni test. S pomoću nagiba pravca može

se izračunati propusnost ležišta prema jednadžbi:

1,1512

qBk

hm

µπ

= (2.34)

dok se skin faktor računa prema jednadžbi:

( 1 ) ( 0)

21,151 log 3,91ws t h wf t

t w

p p ks

m c rφµ∆ = ∆ =−

= − −

(2.35)

105

u kojoj je pws(∆t=1h) dobiven ekstrapolacijom pravca nagiba m do vremena ∆t=1

h, tj. do odgovarajućeg Hornerovog vremena, a pwf(∆t=0) posljednja točka

dinamičkog tlaka.

Ovdje treba napomenuti da se, zbog primjene načela superpozicije, skin

faktor, s, ne pojavljuje u općoj jednadžbi porasta tlaka, jednadžbi (2.26), zbog

čega ga nema ni u Hornerovoj jednadžbi (jednadžbe (2.30) do (2.32)). To

znači da skin faktor ne utječe na Hornerov dijagram. Meñutim, on stvarno

utječe na oblik krivulje porasta tlaka jednako kao i na krivulju pada tlaka u

proizvodnom testu, pa tako i na dinamički tlak prije zatvaranja bušotine za

test porasta tlaka. Stoga se vrijednost skin faktora može odrediti iz razlike

dinamičkog tlaka neposredno prije zatvaranja bušotine za porast tlaka i

statičkog tlaka neposredno nakon toga. Dakle, jednadžba (2.35) slijedi iz

jednadžbe (2.1), koja daje tlak prije zatvaranja bušotine, i jednadžbe (2.30),

koja daje tlak nakon zatvaranja bušotine. Kombiniranjem ovih dviju jednadžbi,

slijedi:

( )2

1 1( ) ln 0,80907 ln

2 2 2 2p p

wf p wsw

kt t tqB qBp t s p t

kh cr kh t

µ µπ φµ π

+ ∆ + + + = ∆ + ∆

(2.36)

( )

( )

( ) ( )

2

2

2

1 1( ) ln ln 0,80907

2 2 2 2

1( ) ln ln 0,80907

2 2

1( ) ln 0,80907

2 2

p pws wf p

w

p pws wf p

w

p w

ws wf pp

t t ktqB qBp t p t s

kh t kh cr

t t ktqBp t p t s

kh t cr

t t crqBp t p t

kh tkt

µ µπ π φµ

µπ φµ

φµµπ

+ ∆ ∆ − = − + + + ∆

+ ∆ ∆ − = − − − − ∆

+ ∆ ∆ − = − − ∆

s −

(2.37)

Za mali t∆ u usporedbi s pt , možemo uzeti ( ) 1p pt t t+ ∆ = , pa gornja

jednadžba glasi:

( )21

( ) ln 0,809072 2

wws wf p

crqBp t p t s

kh tk

φµµπ

∆ − = − − − ∆

(2.38)

Zamjenom pt s 0t∆ = i eliminacijom negativnog predznaka slijedi:

106

( ) 2

1( 0) ln 0,80907

2 2ws wfw

qB tkp t p t s

kh cr

µπ φµ

∆∆ − ∆ = = + +

(2.39)

a zamjenom prirodnog logaritma dekadskim i sreñivanjem, gornja jednadžba

postaje:

( )

( )

( )

2

2

2

1 1( 0) log 0,80907

2 2 log

1( 0) log 0,351

2 2log

( 0) 1,151 log 0,351 0,872

ws wfw

ws wfw

ws wfw

qB tkp t p t s

kh e cr

qB tkp t p t s

kh e cr

qB tkp t p t s

kh cr

µπ φµ

µπ φµ

µπ φµ

∆∆ − ∆ = = + +

∆∆ − ∆ = = + +

∆∆ − ∆ = = + +

(2.40)

Analogno jednadžbi (2.32) možemo pisati:

( ) 2( 0) log 0,351 0,87ws wf

w

tkp t p t m s

crφµ ∆∆ − ∆ = = + +

(2.41)

odakle slijedi jednadžba za skin faktor:

( )

2

( 0)1,151 log 0,351ws wf

w

p t p t tks

m crφµ∆ − ∆ = ∆= − −

(2.42)

Uzme li se 1 h 3600 st∆ = = , odnosno log3600 3,556= , te tc c= , gornja

jednadžba se svodi na jednadžbu (2.35).

Temeljem iznesenog, može se zaključiti da test porasta tlaka ima dvije

prednosti pred proizvodnim testom:

• Oba se testa temelje na konstantnom protoku. No, dok je to teško

ostvariti kod proizvodnog testa, kod testa porasta tlaka protok je

stvarno konstantan, tj. jednak je ništici. Oscilacije protoka prije

zatvaranja bušotine za porast, može se „izgladiti“ definiranjem

ekvivalentnog proizvodnog vremena kao:

pp

posljednji

Nt

q∗ = (2.43)

gdje je Np kumulativna proizvodnja, a qposljednji protok neposredno prije

zatvaranja bušotine za mjerenje porasta tlaka. Može se dokazati da je

107

jednadžba (2.43) razumna aproksimacija, utemeljena na načelu

superpozicije.

• Početni ležišni tlak, pi, potreban za analizu proizvodnog testa

(jednadžba (2.10)) rijetko je pouzdano poznat, posebno u novim

ležištima. Za analizu testa porasta tlaka, ne samo da nije potrebno

poznavati početni ležišni tlak, već se tom analizom može i odrediti

njegova vrijednost (jednadžba (2.33)).

2.1.5. Analiza testa porasta tlaka uporabom tipskih krivulja

Tipske krivulje su primjenjive i za analizu porasta tlak, ako se umjesto

stvarnog vremena koristi modificirano Hornerovo vrijeme, poznato kao

“ekvivalentno vrijeme” (Agarwal 1980):

pe

p

t tt

t t

∆∆ =

+ ∆ (2.44)

Tada se u log-log dijagram unosi mjerene podatke, tj. razliku tlaka,

( ) ( )0ws wfp p t p t∆ = ∆ − ∆ = (za plin: ( ) ( )2 2 2 0ws wfp p t p t∆ = ∆ − ∆ = ili

( ) ( )( ) ( )( )0ws t wf tm p m p m p∆ ∆ =∆ = − ) i derivaciju tlaka, ∆p’, u funkciji modificiranog

Hornerovog vremena, ∆te. Derivacija tlaka, ∆p’, tada je dana u odnosu na

prirodni logaritam “ekvivalentnog vremena”:

( ) ( )

lnp p

p p

d p d pp t t t t

d td t t t t

∆ ∆ ′∆ = = ∆ + ∆ ∆ ∆ + ∆

(2.45)

Meñutim, treba primijetiti da je „ekvivalentno vrijeme“ valjano samo ako je,

prije zatvaranja bušotine za porast tlaka, bio dosegnut „neograničeno-

djelujući“ radijalni protok.

Primjer mečiranja testa porasta tlaka s tipskim krivuljama prikazan je

na slici Slika 41 (Bourdet 1989).

108

Slika 41. Mečiranje mjerenih podataka s tipskim krivuljama tlaka i njegove derivacije

(Bourdet 1989).

Podaci o ležištu i bušotini dani su kako slijedi:

• Dnevna proizvodnja nafte, q=27,66 m3/d=3,2×10-4 m3/s;

• Efektivna debljina ležišta, h=32,6 m;

• Dinamička viskoznost nafte: µ=2,5×10-3 Pa×s;

• Obujamski koeficijent nafte: Bo=1,06 m3/m3;

• Radijus bušotine: rw=0,088 m;

• Šupljikavost ležišne stijene: φ=0,25;

• Ukupna stlačivost ležišta: ct=6,09×10-10 Pa-1;

Očitane su sljedeće točke preklapanja (Match Points) i odabrana

odgovarajuća krivulja:

• (pD/∆p)M = 2,6×10-6 Pa-1;

109

• ((tD/CD)/∆te)M = 14,8 h-1 = 4,1 × 10-3 s-1;

• CDe2s=4×109

Temeljem očitanih vrijednosti i ulaznih parametara, izračunati su parametri

ležišta i bušotine, kako slijedi:

• Propusnost ležišta:

4 36 14 2

3 2

3,2 10 1,06 2,5 102,6 10 1,077 10 m

2 2 32,6

10,77 10 m

D

M

pqBk

h p

k

µπ π

µ

− −− −

−

× × × ×= = × × = × ∆ ×

= ×

• Bezdimenzionalni koeficijent skladištenja:

( )( )2

14

3 10 2 3

1,077 10

0,25 2,5 10 6,09 10 0,088 4,1 10

891

Dt w D D e M

D

D

kC

c r t C t

C

C

φµ−

− − −

=∆

×=× × × × × × ×

=

• Skin faktor:

2 91 1 4 10

ln ln 7,662 2 891

sD

D

C es

C

×= = =

• Konstanta skladištenja:

2

10 2 7 3

3

2

2 32,6 0,25 6,09 10 0,088 891 2,15 10 m /Pa

C=0,0215 m /bar

t w DC h c r C

C

π φπ − −

=

= × × × × × × = ×

Isti primjer analiziran je s pomoću softvera SAPHIR. Na slici Slika 42

prikazani su mjereni podaci u realnom vremenu, a Slika 43 je

polulogaritamski prikaz porasta tlaka u funkciji Hornerovog vremena. Rezultati

Hornerove analize dani su u tablici Tablica 5. Mečiranje mjerenih podataka s

tipskim krivuljama prikazano je na slici Slika 44, a rezultati mečiranja dani su

u tablici Tablica 6.

110

0

20

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

10

20

History plot (Pressure [bara], Liquid rate [m3/D] vs Time [hr])

Slika 42. Test porasta tlaka (primjer iz Bourdet et al. 1989).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

10

20

30

40

50

Slope -5.16411 bara

Intercept 54.4466 bara

P@1hr 48.1826 bara

k.h 305 md.m

k 0.00923 µm2

Skin 5.71

Horner plot: p [bar] vs log(tp+dt)-log(dt)

Slika 43. Hornerova analiza testa porasta tlaka.

111

Tablica 5. Rezultati Hornerove analize.

Primjer-Bourdet build-up

p vs Log(dt)

Slope -5.16411 bar

Intercept 54.4466 bara

P@1hr 48.1826 bara

k.h 305 md.m

k 0.00923 µm2

Skin 5.71 --

1E-3 0.01 0.1 1 100.1

1

10

Model Option Standard Model

Well Vertical

Reservoir Homogeneous

Boundary Infinite

TMatch 18.4 [hr]-1

PMatch 0.329 [bara]-1

C 0.0219 m3/ bar

Total Skin 11.2

k.h, total 450 md.m

k, average 0.0136 µm2

Pi 53.9916 bara

C 0.0219 m3/ bar

Skin 11.2

Pi 53.9916 bara

k.h 450 md.m

k 0.0136 µm2

Rinv 108 m

Test. Vol. 1.88729 MMB

Delta P (Total Skin) 34.0734 bara

Delta P Ratio (Total Skin) 0.639313 Fraction

Log-Log plot: p-p@dt=0 and derivative [bar] vs dt [hr]

Slika 44. Analiza testa porasta tlaka s pomo ću tipskih krivulja.

112

Tablica 6. Rezultati analize s pomo ću tipskih krivulja.

Selected Model

Model Option Standard Model

Well Vertical

Reservoir Homogeneous

Boundary Infinite

Main Model Parameters

TMatch 18.4 [hr]-1

PMatch 0.329 [bara]-1

C 0.0219 m3/bar

Total Skin 11.2 --

k.h, total 450 md.m

k, average 0.0136 µm2

Pi 53.9916 bara

Model Parameters

Derived & Secondary

Parameters

Rinv 108 m

Test. Vol. 3×105 m3

Delta P (Total Skin) 34.0734 bar

113

2.2. ANALIZA TLAKA FRAKTURIRANE BUŠOTINE

Budući da su kandidati za hidrauličko frakturiranje uglavnom

nekonvencionalna, slabo propusna ležišta, standardna i poželjna metoda za

analizu „neograničeno djelujućeg radijalnog protoka“ obično ne će biti

primjenjive, niti u fazi prethodnog ispitivanja ležišta (engl. pre-frac testing) niti

u fazi ispitivanja frakturirane bušotine (engl. post-frac testing).

Slabo propusna ležišta po definiciji imaju male propusnosti, obično

manje od 1×10-3 µm2, a često manje od 0,1×10-3 µm2. Sukladno analizi „efekta

skladištenja“ temeljem tipskih krivulja na slici Slika 9, prema kojoj se „konac

poremećaja efektom skladištenja“ može očekivati jedan i pol logaritamski

ciklus nakon prestanka „efekta skladištenja“, u slabo propusnim ležištima

vrijeme uspostave „neograničeno djelujućeg radijalnog protoka“ može biti vrlo

dugo. To vrijeme je dano jednadžbom (1.150) koja, nakon uvrštavanja

definicija bezdimenzionalnih varijabli i sreñivanja, uz pretpostavku da je skin

faktor jednak ništici, glasi:

30 C

tkh

µπ

= (2.46)

Dakle, vrijeme početka pravocrtnog ponašanja tlaka u polulogaritamskom

mjerilu, odreñeno je svojstvima bušotine, ležišta i ležišnog fluida. Uzevši neke

tipične vrijednosti varijabli, kao što su C = 0,25 m3/bar, h = 30 m i µ�= 0,02×10-3

Pa×s (plin), minimalno vrijeme za početak pravocrtnog ponašanja tlaka u

polulogaritamskom mjerilu, za različite propusnosti, bit će kako je dano u

tablici Tablica 7.

114

Tablica 7. Minimalno vrijeme potrebno za po četak neograni čeno djeluju ćeg radijalnog

protoka.

k, 10-3 µm2 100 10 1 0,1 0,01

t, sati 0,044 0,44 4,4 44 440

Kao što se vidi iz gornje tablice, u ležištima koja su kandidati za

frakturiranje (k < 1×10-3 µm2) za početak polulogaritamskog pravca treba

neobično puno vremena. S obzirom da je još potreban barem jedan

logaritamski ciklus mjerenja za pouzdano utvrñivanje nagiba pravca, ukupno

trajanje testa treba biti najmanje deset puta dulje. Konačno, pošto je u

izvoñenju jednadžbe (2.46) zanemaren skin faktor, vremena izračunata tom

jednadžbom su minimalno potrebna. Stoga, ova analiza sugerira da su za

većinu slabo propusnih ležišta, mjerenja dostatnog trajanja za razvoj

polulogaritamskog pravca nepraktična i skupa. To dalje indicira da je

mečiranje s tipskim krivuljama jedina prihvatljiva metoda analize.

Preporučljive tipske krivulje za ovu svrhu su one koje su generirali

Gringarten et al. (1979, Slika 10) dopunjene derivacijom tlaka (Bourdet et al.

1983, Slika 38). Njihova primjena objašnjena je na sljedećem primjeru.

Slika 45 je dijagnostički log-log dijagram porasta tlaka plinske bušotine

prije frakturiranja. Na slici je prikazana razlika funkcije pseudo-tlaka, ∆m(p), u

funkciji vremena porasta tlaka, ∆t.

115

Slika 45. Log-log dijagram mjerenih podataka plinsk e bušotine.

Podaci o ležištu i bušotini dani su kako slijedi:

• Dnevna proizvodnja plina, q=8700 m3/d=0,1 m3/s;

• Efektivna debljina ležišta, h=23,5 m;

• Dinamička viskoznost plina: µ=0,028×10-3 Pa×s;

• Radijus bušotine: rw=0,076 m;

• Šupljikavost ležišne stijene: φ=0,05;

• Ukupna stlačivost ležišta: ct=2×10-8 Pa-1;

• Ležišna temperatura: T=196,7 °C.

Na slici Slika 46 prikazano je preklapanje (mečiranje) mjerenih

podataka u funkciji „ekvivalentnog“ vremena s tipskim krivuljama.

116

Slika 46. Mečiranje mjerenih podataka s tipskim krivuljama.

Očitane su sljedeće točke preklapanja (Match Points) i odabrana

odgovarajuća krivulja:

• pD = 7,2×10-1 i ∆m(p) = 108 psi2/cP = 4,756×1018 Pa2/(Pa×s);

• tD/CD = 1,4 i ∆te = 1 h = 3600 s;

• CDe2s = 108

Temeljem očitanih vrijednosti i ulaznih parametara, izračunati su

parametri ležišta i bušotine, kako slijedi:

• Propusnost ležišta:

( )[ ]

5 10 17 2

180

3 2

1,01325 10 0,1 469,85 7,2 103,39 10 m

( ) 288,15 23,5 4,756 10

0,0339 10 m

D M

M

p qT pk

T h m p

k

π π

µ

−−

−

× × × × ×= = = ×∆ × × × ×

= ×

117

• Bezdimenzionalni koeficijent skladištenja:

( )( )

17

2 3 8 2

3,39 10 3600539

0,05 0,028 10 2 10 0,076 1,4M

Dt w D D M

k tC

c r t Cφµ

−

− −

∆ × ×= = =× × × × × ×

• Skin faktor:

2 81 1 10

ln ln 6,072 2 539

sD

D

C es

C= = =

• Konstanta skladištenja:

2 8 2 7 3

2 3

2 2 23,5 0,05 2 10 0,076 539 4,6 10 m /Pa

C=4,6 10 m /bar

t w DC h c r Cπ φ π − −

−

= = × × × × × × = ×

×

Prema matematičkom modelu frakturirane bušotine, opisanom u

prvom poglavlju (odlomak 1.3.1.5.) pseudoradijalni protok frakturirane

bušotine razvit će se tek kad bezdimenzionalno vrijeme dosegne vrijednost

tDxf ≥ 3. To znači da se tek nakon tog vremena može očekivati uspostava

„neograničeno djelujućeg radijalnog protoka“, kad je moguće primijeniti

standardnu analizu za radijalni protok, tj. metodu polulogaritamskog prikaza

tlaka za proizvodni test, odnosno Hornerovu analizu za porast tlaka. S

obzirom na definiciju bezdimenzionalnog vremena za frakturiranu bušotinu,

tDxf , stvarno vrijeme potrebno za uspostavu pseudoradijalnog protoka može

se izračunati s pomoću izraza:

2

3 t fc xt

k

φµ= (2.47)

Dakle, vrijeme uspostave pseudoradijalnog protoka odreñeno je

svojstvima ležišta i ležišnog fluida, te duljinom pukotine. Uzevši neke tipične

vrijednosti varijabli, kao što su φ = 10%, µ = 0,02×10-3 Pa×s (plin), ct = 2,5 ×10-8

Pa (plinsko ležište) i xf = 100 m, minimalno vrijeme za početak

pseudoradijalnog protoka, za različite propusnosti, bit će kako je dano u

tablici Tablica 8.

118

Tablica 8. Minimalno vrijeme potrebno za po četak pseudoradijalnog protoka.

k, 10-3 µm2 100 10 1 0,1 0,01

t, dana 0,174 1,74 17,38 173,75 1737,5

Stoga i ovdje treba zaključiti da je analiza s pomoću tipskih krivulja

praktički jedini izbor. Pritom je preporučljivo koristiti tipske krivulje Agarwala et

al. (1979) koje su ustvari proširenje rješenja jednadžbe difuzije za frakturiranu

bušotinu, a koje su izložili Cinco-Ley et al. (1978) (Slika 47).

Slika 47. Tipske krivulje za pukotinu ograni čene vodljivosti (Agarwal et al. 1979).

Primjer cjelovitog testa frakturirane bušotine prikazan je grafički na slici

Slika 48. Proizvodni test (protok) je trajao 67 sati, nakon čega je bušotina bila

zatvorena za mjerenje porasta tlaka u trajanju od 122 sata.

119

Slika 48. Grafi čki prikaz tlaka na razini ležišta za vrijeme proizv odnog testa i testa

porasta tlaka.

Dijagnostički log-log dijagrama porasta tlaka prikazan je na slici Slika

49. Na slici je prikazana razlika funkcije pseudo-tlaka, ∆m(p), u funkciji

vremena porasta tlaka, ∆t. Očito je da podaci izmeñu prvog i pedesetog sata

leže na pravcu nagiba ¼, što jasno ukazuje na bilinearni protok, odnosno na

postojanje pukotine ograničene vodljivosti. Stoga analizu treba učiniti

mečiranjem mjerenih podataka s tipskim krivuljama danim na slici Slika 47.

Slika 49. Dijagnosti čki log-log dijagrama porasta tlaka.

120

Podaci, nužni za analizu, dani su kako slijedi:

• Dnevna proizvodnja plina, q=95 000 m3/d=1,1 m3/s;

• Efektivna debljina ležišta, h=14 m;

• Propusnost ležišne stijene: k=0,137×10-3 µm2;

• Dinamička viskoznost plina: µ=0,028×10-3 Pa×s;

• Šupljikavost ležišne stijene: φ =0,1;

• Ukupna stlačivost ležišta: ct=2×10-8 Pa-1;

• Ležišna temperatura: T=100 °C.

Pošto su mjereni podaci dobiveni testom porasta tlaka, prije samog

mečiranja nužno je stvarno vrijeme na slici Slika 49, ∆t, zamijeniti

„ekvivalentnim“ vremenom, ∆te, definiranim jednadžbom (2.44). Nadalje,

budući da je propusnost ležišta dobivena testom prije frakturiranja, točke

preklapanja dimenzionalnog i bezdimenzionalnog tlaka može se unaprijed

izračunati s pomoću definicije bezdimenzionalnog tlaka. Za odabranu

vrijednost ∆m(p) = 108 psi2/cP = 4,756×1018 Pa2/(Pa×s) odgovarajući

bezdimenzionalni tlak će biti:

( ) [ ] 16 180 1

50

( ) 1,37 10 288,15 14 4,756 101,91 10

1,01325 10 1,1 388,15M

D M

kT h m pp

p qT

π π −−∆ × × × × × ×= = = ×

× × ×

Time je obavljeno vertikalno mečiranje, pa preostaje mečirati samo

vremena, tDxf i ∆te, te odabrati odgovarajuću krivulju bezdimenzionalne

vodljivosti, CfD. Na slici Slika 50 prikazano je takvo preklapanje (mečiranje).

121

Slika 50. Mečiranje mjerenih podataka s tipskim krivuljama.

Očitane su sljedeće točke preklapanja (Match Points) i odabrana

odgovarajuća krivulja:

• tDxf = 3,2×10-3 i ∆te = 10 h = 36 000 s;

• CfD = 10

Iz definicije bezdimenzionalnog vremena, danog jednadžbom

2Dxft f

ktt

c xφµ= , može se izračunati poluduljina pukotine:

-16

3 8 3

1,37 10 36000166 m

0,1 0,028 10 2 10 3,2 10e

ft Dxf M

tkx

c tφµ − − −

∆ ×= = = × × × × ×

a iz definicije bezdimenzionalne vodljivosti pukotine, dane jednadžbom

f ffD

f

k wC

kx= , može se izračunati stvarna vodljivost pukotine:

( ) 16 13 2 3 210 1,37 10 166 2,273 10 m ×m 227,3 10 µm ×mf f fD fMk w C kx − − −= = × × × = × = ×

122

U slučaju da propusnost ležišta nije odreñena (ili nije pouzdano

odreñena) prije frakturiranja, postupak mečiranja ne će biti tako jednostavan,

jer će biti nužno i vertikalno mečiranje, pa rezultati mečiranja često ne će biti

jednoznačni. Stoga su tipske krivulje dopunjene derivacijom tlaka, na isti

način kao i u slučaju radijalnog protoka. Primjer tipskih krivulja s derivacijom

tlaka dan je na slici Slika 51. Kao što se vidi na slici, u ranim vremenima

derivacije tlaka su paralelne s odgovarajućim bezdimenzionalnim tlakom

(parovi bezdimenzionalnog tlaka i njegove derivacije označeni su istom

bojom) da bi se s primicanjem „neograničeno djelujućem radijalnom protoku“

sve derivacije tlaka asimptotski približile konstantnoj vrijednosti (0,5)

karakterističnoj za radijalni protok.

Slika 51. Bezdimenzionalni tlak i njegova derivacij a za pukotinu ograni čene vodljivosti

(Houzé et al. 2008).

123

2.2.1. Specijalizirane analize

Kako je već pokazano, vrijeme dosezanja pseudoradijalnog protoka, a

time i vrijeme stabilizacije derivacije na vrijednosti 0,5 obično je predugo za

praktične testove (Tablica 8) pa analizu treba usmjeriti na rana vremena. Na

tipskoj krivulji prikazanoj na slici Slika 47 posebno je označeno područje

bilinearnog protoka, opisanog u prvom poglavlju, koji započinje vrlo rano i

traje relativno dugo. Samo u slučaju visoke vodljivosti pukotine, bilinearni

protok traje kratko, ali nakon njega nastupa linearni protok, koji traje do tDxf =

1,6×10-2, što je približno 200 puta kraće od vremena uspostavljanja

pseudoradijalnog protoka. Dakle, razvoj i bilinearnog i linearnog protoka može

se očekivati unutar uobičajenog vremena trajanja bilo proizvodnog testa, bilo

testa porasta tlaka. S obzirom da postoje približna analitička rješenja

jednadžbe difuzije za pojedine oblike protjecanja (Cinco-Ley i Samaniego-V.

1981) može ih se iskoristiti za analizu pada tlaka u proizvodnom testu,

odnosno za analizu porasta tlaka. Takve specijalizirane analize razvijene su

upravo za bilinearni i linearni protok.

Za bilinearni protok, analitičko rješenje za bezdimenzionalni tlak u

bušotini je dano jednadžbom (1.201) i glasi:

14

2,45fwD Dx

fD

p tC

= (2.48)

Uvrsti li se definicije bezdimenzionalnih varijabli, gornja jednadžba glasi:

( ) 1 4

2

2 2,45i wf

t ff

f

kh p p kt

qB c xk w

kx

πµ φµ−

=

(2.49)

Nakon sreñivanja, jednadžbu (2.49) može se pisati kao:

1 2 1 4

42,45 1 1

2i wff t

qBp p t

h k w c k

µπ φµ

− =

(2.50)

ili općenito kao:

124

4 4i wfp p m t p m t− = ⇒ ∆ = ∆ (2.51)

Dakle, Kartezijev dijagram razlike tlaka, ∆p, u odnosu na četvrti korijen razlike

vremena, ∆t, daje pravac, koji prolazi kroz ishodište i ima nagib:

1 2 1 42,45 1 1

2 f t

qBm

h k w c k

µπ φµ

=

(2.52)

S pomoću nagiba pravca, m, odreñenog na dijagramu, može se izračunati

vodljivosti pukotine iz preureñene jednadžbe (2.52), tj.:

2

2,45 1

2ft

qBk w

hm c k

µπ φµ

=

(2.53)

Jednadžba (2.53) vrijedi za naftu, budući da je za njezin izvod iz

jednadžbe (2.48) uzeta definicija bezdimenzionalnog tlaka za naftu.

Analognim postupkom, temeljem definicija bezdimenzionalnog tlaka za plin,

slijede izrazi za računanje vodljivosti pukotine za plinska ležišta. Za slučaj kad

se definicija bezdimenzionalnog tlaka temelji na razlici kvadrata tlakova, pa je

nagib pravca odreñen izrazom 2 4m p t= ∆ ∆ , odgovarajući izraz za vodljivost

pukotine je:

2

0

0

2,45 1f

t

p q ZTk w

T hm c k

µπ φµ

=

(2.54)

a kad se temelji na funkciji pseudotlaka, i nagib pravca je odreñen izrazom

( ) 4m m p t= ∆ ∆ , odgovarajući izraz za vodljivost pukotine je:

2

0

0

2,45 1f

t

p qTk w

T hm c kπ φµ

=

(2.55)

Analogno jednadžbi (2.18) derivacija tlaka je:

( )ln

d p d pp t

d t d t

∆ ∆′∆ = = ∆∆ ∆

(2.56)

Uvrsti li se jednadžbu (2.51) u jednadžbu (2.56) slijedi:

43 4

1

4 4

d p mp t t m t

d t t

∆′∆ = ∆ = ∆ = ∆∆ ∆

(2.57)

Dakle, na log-log dijagramu tlaka i derivacije tlaka u funkciji vremena,

bilinearni protok je karakteriziran paralelnim pravcima čiji je nagib jednak ¼.

125

Derivacija je manja od samog tlaka za faktor 4 na linearnoj skali. To svojstvo

može se uočiti i na slici Slika 51 u ranim vremenima, za slučajeve manje

vodljivosti pukotine.

Za linearni protok, analitičko rješenje jednadžbe difuzije jednako je

rješenju za pukotinu neograničene vodljivosti i glasi:

fwD Dxp tπ= (2.58)

Uvrsti li se definicije bezdimenzionalnih varijabli, gornja jednadžba glasi:

( )

2

2 i wf

t f

kh p p kt

qB c x

π πµ φµ−

= (2.59)

Nakon sreñivanja slijedi:

2i wf

f t

qBp p t

x h k c

µπ φ

− = (2.60)

ili općenito:

i wfp p m t p m t− = ⇒ ∆ = ∆ (2.61)

Dakle, Kartezijev dijagram razlike tlaka, ∆p, u odnosu na drugi korijen razlike

vremena, ∆t, daje pravac, koji prolazi kroz ishodište i ima nagib:

2 f t

qBm

x h k c

µπ φ

= (2.62)

Odatle slijedi izraz za izračunavanje poluduljina pukotine, temeljem nagiba

pravca utvrñenog s pomoću Kartezijevog dijagram razlike tlaka, ∆p, u odnosu

na drugi korijen razlike vremena, ∆t:

2f

t

qBx

hm k c

µπ φ

= (2.63)

I ovdje valja napomenuti da jednadžba (2.63) vrijedi za naftu, dok će

za plin odgovarajuća jednadžba glasiti:

0

0f

t

p qZTx

T hm k c

µπ φ

= (2.64)

kad je nagib pravca odreñen izrazom 2m p t= ∆ ∆ , ili:

126

0

0

1f

t

p qTx

T hm k cπ φµ= (2.65)

kad je nagib pravca odreñen izrazom ( )m m p t= ∆ ∆ .

Derivacija tlaka je dana jednadžbom (2.56) pa kad se u nju uvrsti

jednadžbu (2.61) slijedi:

1

22

d p mp t t m t

d t t

∆′∆ = ∆ = ∆ = ∆∆ ∆

(2.66)

Dakle, na log-log dijagramu tlaka i derivacije tlaka u funkciji vremena, linearni

protok je karakteriziran paralelnim pravcima čiji je nagib jednak ½. Derivacija

je manja od samog tlaka za faktor 2 na linearnoj skali.

Budući da je u prethodnom primjeru, analiziranom mečiranjem s

tipskim krivuljama, dijagnostičkim log-log dijagramom (Slika 49) utvrñeno da

podaci izmeñu prvog i pedesetog sata leže na pravcu nagiba ¼, što ukazuje

na postojanje bilinearnog protoka, može se provesti specijaliziranu analizu i

provjeriti rezultate mečiranja. Temeljem podataka prikazanih na log-log

dijagramu, može se izračunati nagib pravca u Kartezijevu dijagramu razlike

funkcije pseudotlaka, ∆m(p), u odnosu na četvrti korijen razlike ekvivalentnog

vremena, ∆te. U tu svrhu dostatno je odabrati bilo koju točku koja leži na

pravcu nagiba ¼, npr. ∆t = 10 sati i odgovarajući ∆m(p) = 1×108 psi2/cP =

4,756×1018 Pa2/(Pa×s). Prema jednadžbi (2.44), ekvivalentno vrijeme iznosi:

67 10

8,7 h 31325 s67 10

pe

p

t tt

t t

∆ ×∆ = = = =+ ∆ +

pa je, sukladno jednadžbi (2.51) nagib pravca jednak:

( ) 18

17 5 4

4 4

4,756 10 3,575 10 Pa/s

31325

m pm

t

∆ ×= = = ×∆

Tada iz jednadžbe (2.55) slijedi vodljivost pukotine:

127

2

0

0

25

17 3 8 16

13 2 3 2

2,45 1

2,45 1,01325 10 1,1 388,15 1

288,15 14 3,575 10 0,1 0,028 10 2 10 1,37 10

1,9759 10 m ×m 197,59 10 µm ×m

ft

p qTk w

T hm c kπ φµ

π − − −

− −

= =

× × × ×= = × × × × × × × × × ×

= × = ×

Bezdimenzionalna vodljivost tada iznosi:

13

16

1,9759 108,7

1,37 10 166f f

fDf

k wC

kx

−

−

×= = =× ×

Dakle, izračunate vrijednosti vodljivosti pukotine su nešto niže od onih

dobivenih mečiranjem s tipskim krivuljama i može ih se smatrati pouzdanijim.

Na slici Slika 52 sumirani su log-log dijagnostički, Hornerovi i

specijalizirani dijagrami za najčešće sustave ležišta i bušotine, meñu kojima

su i upravo opisani za pukotinu neograničene vodljivosti (C) i za pukotinu

ograničene vodljivosti (D). Sustav neograničeno djelujućeg radijalnog protoka

(A) takoñer je već opisan, dok će sustav linearne granice (E) i zatvorenog

ležišta (F) biti opisan u nastavku.

Kako i samo ime kaže, log-log dijagnostički dijagrami služe za

dijagnosticiranje vrste protoka i odabir odgovarajućeg modela za analizu s

pomoću tipskih krivulja, te za odabir područja na koje se može primijeniti

Hornerova analiza ili neka od specijaliziranih analiza.

128

Slika 52. Log-log dijagnosti čki, Hornerovi i specijalizirani dijagrami za naj češće sustave

ležišta i bušotine (Economides i Nolte 2000).

129

Primjer testa porasta tlaka, koji je analiziran u odlomku 2.1.5. s

pomoću softvera SAPHIR (Slika 42, Slika 43 i Slika 44) iskorišten je i za

analizu tlaka frakturirane bušotine s pomoću istog softvera. U tu svrhu je

simuliran test porasta tlaka u istoj bušotini uz pretpostavku da je ona

frakturirana. Pritom su korišteni isti podaci o ležištu i bušotini, a pridodani su

podaci o pukotini za dva slučaja: slučaj niske (ograničene) vodljivosti pukotine

i slučaj visoke (neograničene) vodljivosti.

Za slučaj niske vodljivosti pukotine uzeti su sljedeći podaci:

• Poluduljina pukotine, xf = 50 m;

• Vodljivost pukotine, kfw = 1500 µm2×m.

Simuliran je test porasta tlaka s istim vremenima trajanja protoka i

mjerenja porasta tlaka, a rezultat simulacije prikazan je na slici Slika 53. Na

slici Slika 54 prikazan je dijagnostički log-log dijagram razlike tlaka i njegove

derivacije, s naznačenim asimptotama efekta skladištenja (pravac nagiba

jednakog jedinici) i stabilizacije derivacije (pravac konstantne vrijednosti na

tipskoj krivulji, tj. vrijednosti 0,5). Na sljedećoj slici (Slika 55) ovaj log-log

dijagram je mečiran s tipskim krivuljama, a rezultati mečiranja su prikazani i u

okviru slike i u tablici Tablica 9.

Budući da su analizirani simulirani podaci, mečiranje je savršeno, a

rezultati mečiranja su jednaki simuliranim podacima. Iznimka je jedino

vodljivost pukotine („Fc“ u tablici) odreñena s pomoću nagiba pravca od ¼,

identificiranog na slici Slika 56, kao bilinearni protok. Kako se identificirano

područje ne poklapa savršeno s pravcem nagiba ¼, razumljivo je ovo

odstupanje od stvarne vrijednosti.

130

50

52

54

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

10

20

History plot (Pressure [bara], Liquid Rate [m3/D] vs Time [hr])

Slika 53. Simulirani test porasta tlaka frakturiran e bušotine s niskom vodljivoš ću

pukotine.

1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10 1000.01

0.1

1

10

Log-Log plot: p-p@dt=0 and derivative [bar] vs dt [hr]

Slika 54. Dijagnosti čki log-log dijagram „mjerenih“ (simuliranih) podata ka porasta

tlaka.

131

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 100.01

0.1

1

10

Model Option Standard Model

Well Fracture - Finite conductivity

Reservoir Homogeneous

Boundary Infinite

TMatch 0.0515 [hr]-1

PMatch 0.329 [bara]-1

C 0.0219 m3/ bar

Total Skin -5.1

k.h, total 450 md.m

k, average 0.0136 µm2

Pi 53.9916 bara

C 0.0219 m3/ bar

Skin 0

Geometrical Skin -5.1

Xf 50 m

Fc 1500 md.m

Pi 53.9916 bara

k.h 450 md.m

k 0.0136 µm2

Rinv 108 m

Test. Vol. 1.88691 MMB

Delta P (Total Skin) -15.489 bara

Delta P Ratio (Total Skin) -3.57341 Fraction

Log-Log plot: p-p@dt=0 and derivative [bar] vs dt [hr]

Slika 55. Mečiranje „mjerenih“ podataka s tipskim krivuljama tla ka i njegove derivacije.

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 100.01

0.1

1

10

Model Option Standard Model

Well Fracture - Finite conductivity

Reservoir Homogeneous

Boundary Infinite

TMatch 0.0515 [hr]-1

PMatch 0.329 [bara]-1

C 0.0219 m3/ bar

Total Skin -5.1

k.h, total 450 md.m

k, average 0.0136 µm2

Pi 53.9916 bara

C 0.0219 m3/ bar

Skin 0

Geometrical Skin -5.1

Xf 50 m

Fc 1500 md.m

Pi 53.9916 bara

k.h 450 md.m

k 0.0136 µm2

Rinv 108 m

Test. Vol. 1.88691 MMB

Delta P (Total Skin) -15.489 bara

Delta P Ratio (Total Skin) -3.57341 Fraction

Fc 1635.16 md.m

Log-Log plot: p-p@dt=0 and derivative [bar] vs dt [hr]

Slika 56. Identifikacija bilinearnog protoka.

132

Tablica 9. Rezultati analize s pomo ću tipskih krivulja. Selected Model Model Option Standard Model Well Fracture - Finite

conductivity

Reservoir Homogeneous Boundary Infinite Main Model Parameters TMatch 0.0515 [hr]-1 PMatch 0.329 [bara]-1 C 0.0219 m3/bar Total Skin -5.1 -- k.h, total 450 md.m k, average 0.0136 µm2 Pi 53.9916 bara Model Parameters Well & Wellbore parameters (Tested well)

C 0.0219 m3/bar Skin 0 -- Geometrical Skin -5.1 -- Xf 50 m Fc 1500 md.m Reservoir & Boundary parameters

Pi 53.9916 bara k.h 450 md.m k 0.0136 µm2 Derived & Secondary Parameters

Rinv 108 m Test. Vol. 1.88691 MMB Delta P (Total Skin) -15.489 bar Delta P Ratio (Total Skin) -3.57341 Fraction Line: Slope 1/4 - fracture Fc 1635.16 md.m

Specijaliziranom analizom s pomoću prikaza razlike tlaka u funkciji

četvrtog korijena superponiranog (ekvivalentnog) vremena (Slika 57)

dobivena je niža vrijednost od stvarne (Tablica 10) no sve su to dostatno

bliske vrijednosti.

133

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4

0

1

2

3

4

Slope 2.61414 bara/ [hr**0.25]

Intercept 4.90477 bara

P@1hr 51.3236 bara

r(k).kf.w 15500

If K = 0.0136 µm2

If Xf = 50 m

Fcd 1.84

Fc 1270 md.m

Flexible plot: p-p@dt=0 [bar] vs MR Sup[dt**0.25] [hr**0.25]

Slika 57. Razlika tlaka u funkciji četvrtog korijena superponiranog vremena.

Tablica 10. Rezultati specijalizirane analize. Line #1 (Test Design 1 build-up #1)

dp vs dt**0.25 Slope 2.61414 bara/[hr**0.25] Intercept 4.90477 bara P@1hr 51.3236 bara r(k).kf.w 15500 -- If K = 0.0136 µm2 If Xf = 50 m Fcd 1.84 -- Fc 1270 md.m

Konačnu provjeru može se učiniti računski s pomoću prethodno danih

jednadžbi. U tu svrhu odabrana je točka koja leži na pravcu nagiba ¼: ∆t =

0,991 sati i odgovarajući ∆p = 2,252 bar = 2,252×105 Pa. Prema jednadžbi (2.44),

ekvivalentno vrijeme iznosi:

15,33 0,991

0,931 h 3351 s15,33 0,991

pe

p

t tt

t t

∆ ×∆ = = = =+ ∆ +

134

pa je, sukladno jednadžbi (2.51) nagib pravca jednak: 5

4 1 4

4 4

2,252 10 2,9599 10 Pa/s

33351

pm

t

∆ ×= = = ×∆

a prema jednadžbi (2.53) vodljivost pukotine iznosi: 2

24 3

4 3 10 14

12 2 3 2

2,45 1

2

2,45 3,2 10 1,06 2,5 10 1

2 32,6 2,9599 10 0,25 2,5 10 6,09 10 1,36 10

1,632 10 m ×m 1632 10 µm ×m

ft

qBk w

hm c k

µπ φµ

π

− −

− − −

− −

= =

× × × × ×= = × × × × × × × × ×

= × = ×

Dakle, dobivena je gotovo ista vrijednost kao i ona dana u tablici Tablica 9.

Bezdimenzionalna vodljivost tada iznosi: 12

14

1,632 102,4

1,36 10 50f f

fDf

k wC

kx

−

−

×= = =× ×

što potvrñuje da se radi o relativno niskoj vodljivosti pukotine.

Za slučaj visoke vodljivosti pukotine uzeti su sljedeći podaci:

• Poluduljina pukotine, xf = 50 m;

• Vodljivost pukotine, kfw = 50 000 µm2×m.

Simulirani test porasta tlaka za ovaj slučaj prikazan je na slici Slika 58.

Naoko, ne razlikuje se bitno od onog za slučaj niske vodljivosti (Slika 53).

Meñutim, dijagnostički log-log dijagram razlike tlaka i njegove derivacije,

mečiran s tipskim krivuljama (Slika 59) ukazuje na značajnu razliku u

ponašanju tlaka, što potvrñuje i identificirani linearni protok, karakteriziran

nagibom pravca od ½ na istoj slici. Rezultati mečiranja s tipskim krivuljama, te

poluduljina pukotine („Xf“) odreñena s pomoću nagiba pravca od ½ prikazani

su i u okviru slike Slika 59 i u tablici Tablica 11.

135

51

52

53

54

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

10

20

History plot (Pressure [bara], Liquid Rate [m3/D] vs Time [hr])

Slika 58. Simulirani test porasta tlaka frakturiran e bušotine s visokom vodljivoš ću

pukotine.

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 100.01

0.1

1

10

Model Option Standard Model

Well Fracture - Finite conductivity

Reservoir Homogeneous

Boundary Infinite

TMatch 0.0515 [hr]-1

PMatch 0.329 [bara]-1

C 0.0219 m3/ bar

Total Skin -5.61

k.h, total 450 md.m

k, average 0.0136 µm2

Pi 53.9916 bara

C 0.0219 m3/ bar

Skin 0

Geometrical Skin -5.61

Xf 50 m

Fc 50000 md.m

Pi 53.9916 bara

k.h 450 md.m

k 0.0136 µm2

Rinv 108 m

Test. Vol. 1.88691 MMB

Delta P (Total Skin) -17.0369 bara

Delta P Ratio (Total Skin) -5.88553 Fraction

Xf 47.2 m

Log-Log plot: p-p@dt=0 and derivative [bar] vs dt [hr]

Slika 59. Mečiranje „mjerenih“ podataka s tipskim krivuljama i i dentifikacija linearnog

protoka.

136

Tablica 11. Rezultati analize s pomo ću tipskih krivulja. Selected Model Model Option Standard Model Well Fracture - Finite

conductivity

Reservoir Homogeneous Boundary Infinite Main Model Parameters TMatch 0.0515 [hr]-1 PMatch 0.329 [bara]-1 C 0.0219 m3/bar Total Skin -5.61 -- k.h, total 450 md.m k, average 0.0136 µm2 Pi 53.9916 bara Model Parameters Well & Wellbore parameters (Tested well)

C 0.0219 m3/bar Skin 0 -- Geometrical Skin -5.61 -- Xf 50 m Fc 50000 md.m Reservoir & Boundary parameters

Pi 53.9916 bara k.h 450 md.m k 0.0136 µm2 Derived & Secondary Parameters

Rinv 108 m Test. Vol. 1.88691 MMB Delta P (Total Skin) -17.0369 bar Delta P Ratio (Total Skin) -5.88553 Fraction Line: Slope 1/2 - fracture Xf 47.2 m

Specijaliziranom analizom s pomoću prikaza razlike tlaka u funkciji

drugog korijena superponiranog (ekvivalentnog) vremena (Slika 60) dobivena

je neznatno viša vrijednost poluduljine pukotine od stvarne (Tablica 12).

137

-4 -3.6 -3.2 -2.8 -2.4 -2 -1.6

0

1

2

Slope 1.20678 bara/ [hr**0.5]

Intercept 4.7522 bara

P@1hr 51.5992 bara

k.Xf.Xf 3.82E+5

If K = 0.0136 µm2

-> Xf(1/ 2 length) 50.7 m

If K = 0.0136 µm2

-> W (width) 101 m

Flexible plot 3: p-p@dt=0 [bar] vs MR Sup[sqrt(dt)] [hr**0.5]

Slika 60. Razlika tlaka u funkciji drugog korijena superponiranog vremena.

Tablica 12. Rezultati specijalizirane analize. Line #1 (Test Design 2 build-up #1)

dp vs dt**0.5 Slope 1.20678 bara/[hr**0.5] Intercept 4.7522 bara P@1hr 51.5992 bara Linear flow: fracture k.Xf.Xf 3.82E+5 -- If K = 0.0136 µm2 -> Xf(1/2 length) 50.7 m

Konačna provjera učinjena je računski s pomoću prethodno danih

jednadžbi. U tu svrhu odabrana je točka koja leži na pravcu nagiba ½: ∆t =

0,0198 sati i odgovarajući ∆p = 0,1864 bar = 1,864×104 Pa. Prema jednadžbi

(2.44), ekvivalentno vrijeme iznosi: 15,33 0,0198

0,0197 h 71,09 s15,33 0,0198

pe

p

t tt

t t

∆ ×∆ = = = =+ ∆ +

138

pa je, sukladno jednadžbi (2.61) nagib pravca jednak: 4

3 1 21,864 10 2,210 10 Pa/s

71,09

pm

t

∆ ×= = = ×∆

Tada iz jednadžbe (2.63) slijedi duljina pukotine: 4 3

3 14 10

3,2 10 1,06 2,5 1046,13 m

2 2 32,6 2,21 10 1,36 10 0,25 6,09 10ft

qBx

hm k c

µπ φ π

− −

− −

× × ×= = =× × × × × × × ×

Dakle, dobivena je vrijednost niža od stvarne, bliska onoj odreñenoj s

pomoću nagiba pravca od ½, identificiranog na slici Slika 59, kao linearni

protok. I ovdje se identificirano područje ne poklapa savršeno s pravcem

nagiba ¼, pa zato i ovo odstupanje od stvarne vrijednosti.

2.3. ANALIZA TLAKA HORIZONTALNE BUŠOTINE

Glavna pretpostavka za analizu tlaka horizontalne bušotine je da je

ona potpuno horizontalna i smještena u isto tako potpuno horizontalnom,

homogenom ležištu, jednolike debljine, h. Za početak, uzmimo da je ležište

izotropno u horizontalnoj ravnini, tj. da je horizontalna propusnost u svim

smjerovima ista, r H x yk k k k= = ,ali da postoji vertikalna anizotropija, tj. da je

vertikalna propusnost različita od horizontalne, z V Hk k k= ≠ (Slika 61).

Pogled prema kraju horizontalne bušotine ekvivalentan je pogledu

prema dnu vertikalne bušotine. Prvi režim protjecanja nakon svršetka efekta

skladištenja u vertikalnoj bušotini je radijalni protok, pa je isto tako i u

horizontalnoj bušotini. Meñutim, zbog anizotropije, protok oko horizontalne

bušotine nije kružnog oblika, već eliptičnog, jer će difuzija sporije napredovati

u vertikalnom smjeru. Samo ako bi ležište bilo potpuno izotropno u svim

smjerovima, difuzija oko horizontalne bušotine bila bi potpuno radijalna. Kad

jednom difuzija dosegne gornju i donju granicu, protok postaje linearan,

139

ekvivalentno geometriji paralelnih rasjeda kod vertikalne bušotine (ako je

geometrijski skin negativan). No, kako je duljina horizontalne bušotine

ograničena, i trajanje linearnog protoka je ograničeno. Konačno, kad se

difuzija protegne dostatno daleko od bušotine da duljina horizontalnog dijela

bušotine (koji komunicira s ležištem) postane irelevantna, protok ponovno

postaje radijalan, ekvivalentno normalnom radijalnom protoku u vertikalnoj

bušotini.

Slika 61. Geometrija horizontalne bušotine ( Houzé et al. 2008).

Matematički modeli protjecanja u takvoj geometriji izvedeni su u prvom

poglavlju. Prvi oblik (režim) protoka, često maskiran efektom skladištenja, je

rani radijalni protok , a opisan je u odlomku 1.4.3.1. (Slika 62).

140

Slika 62. Rani radijalni protok u ležištu s horizon talnom bušotinom ( Houzé et al. 2008).

U stvarnosti, prosječna (srednja) propusnost kombinira vertikalnu i

radijalnu (horizontalnu) komponentu s horizontalnom anizotropijom. No, ako

ignoriramo horizontalnu anizotropiju, prosječna propusnost je kombinacija

vertikalne i horizontalne propusnosti. Duljinu horizontalnog dijela bušotine

koja komunicira s ležištem, hw=L , u takvom, radijalnom modelu možemo

smatrati „debljinom“ ležišta. Stoga se u analizi tlaka proizvodnog testa može

primijeniti jednadžbu (1.282) za računanje ekvivalentne propusnosti u

vertikalnoj ravnini, y Vk k i jednadžbu (1.283) za računanje skin faktora, s.

Pritom se m odreñuje iz polulogaritamskog prikaza dinamičkog tlaka (ili razlike

ležišnog i dinamičkog tlaka) u funkciji vremena (pwf u funkciji logt ili

( )i wfp p p∆ = − u funkciji logt ).

Primjenom načela superpozicije u vremenu, analogno radijalnom

protjecanju u slučaju vertikalne bušotine (odlomak 2.1.4.) analizu proizvodnog

testa može se prilagoditi testu porasta tlaka. U tom slučaju, temeljem

jednadžbe (1.280), jednadžba za analizu testa porasta tlaka, tj. Hornerova

jednadžba, glasi:

1,151 log2

pws i

y V

t tqBp p

tk k L

µπ

+ ∆= − ×

∆ (2.67)

141

To znači da će dijagram porasta tlaka (ili razlike porasta tlaka i dinamičkog

tlaka neposredno prije zatvaranja bušotine za mjerenje porasta tlaka) u

polulogaritamskom mjerilu ( wsp ili ( )( )0ws wf tp p p ∆ =∆ = − u funkciji

( )log pt t t + ∆ ∆ ) dati pravac nagiba 1,151 2 y Vm qB k k Lµ π= , pa se

propusnost u vertikalnoj ravnini, y Vk k , može izračunati prema istoj

jednadžbi kao i u proizvodnom testu, tj. prema jednadžbi (1.282).

Kao i u slučaju vertikalne bušotine, zbog primjene superpozicije, skin

faktor se ne pojavljuje u gornjoj Hornerovoj jednadžbi. Stoga, analogno

vertikalnoj bušotini, skin faktor se može odrediti kombiniranjem jednadžbi

(1.281) i (2.67), odakle slijedi konačni izraz za računanje skin faktora:

( ) ( 0)1

21,151 log 3,91

wf t y Vws t h

t w

p p k ks

m c rφµ∆ =∆ =

− = − −

(2.68)

Nakon ranog radijalnog, sljedeći oblik (režim) protjecanja bit će rani

linearni protok izmeñu gornje i donje granice, tj. izmeñu krovine i podine

ležišta (Slika 63).

Slika 63. Rani linearni protok u ležištu s horizont alnom bušotinom ( Houzé et al. 2008):

Analitičko rješenje jednadžbe difuzije za linearni protok prema

horizontalnoj bušotini dano je jednadžbom (1.296), koju se može pisati i kao:

( )2

z

y V

qBp m t s s

k k L

µπ

∆ = + + (2.69)

142

što znači da Kartezijev dijagram dinamičkog tlaka (ili razlike ležišnog i

dinamičkog tlaka) u odnosu na drugi korijen vremena daje pravac, koji ima

nagib:

t y

qBm

Lh c k

µπφ

= (2.70)

i odrezak na ordinati:

( ) ( )02

z

y V

qBp t s s

k k L

µπ

∆ = = + (2.71)

S pomoću jednadžbe (2.70) i utvrñenog nagiba pravca, m, može se izračunati

ky. Ekstrapolacijom pravca do t=0 i očitavanjem ( )0p t∆ = , te kombiniranjem

jednadžbi (2.71) i (1.297) može se izračunati obje komponente skin faktora, s

i sz.

I ovdje se, primjenom superpozicije u vremenu, analizu proizvodnog

testa može prilagoditi testu porasta tlaka. Temeljem jednadžbe (1.296)

jednadžba za analizu testa porasta tlaka tada glasi:

( )ws i pt y

qBp p t t t

Lh c k

µπφ

= − + ∆ − ∆ (2.72)

Dakle, dijagram porasta tlaka ili razlike porasta tlaka i dinamičkog tlaka

neposredno prije zatvaranja bušotine za mjerenje porasta tlaka, tj. wsp ili

( )( )0ws wf tp p p ∆ =∆ = − u funkciji ( )pt t t+ ∆ − ∆ , dati će pravac nagiba danog

jednadžbom (2.70), pa se s pomoću iste jednadžbe može se izračunati

propusnost ky. Kombiniranjem jednadžbi (1.296) i (2.72) slijedi izraz za

računanje ukupnog skin faktora:

( ) ( ) ( ) ( )0

2 y V

z p pws t wf t

k k Ls s p p m t t t t

qB

πµ ∆ ∆ =

+ = − − − + ∆ − ∆

(2.73)

gdje je ( )ws tp ∆ tlak ekstrapoliran po pravcu do t∆ . Daljnjim kombiniranjem s

jednadžbom (1.297) može se razlučiti obje komponente skin faktora.

Derivacija tlaka za vrijeme ranog linearnog protoka jednaka je kao i u

slučaju frakturirane bušotine i dana je jednadžbom (2.66). To znači da je, na

143

log-log dijagramu tlaka i derivacije tlaka u funkciji vremena, rani linearni

protok karakteriziran paralelnim pravcima čiji je nagib jednak ½.

Sljedeći režim protjecanja je pseudoradijalni ili kasni radijalni

protok , ekvivalentan onom u vertikalnoj bušotini (Slika 64), gdje druga

stabilizacija derivacije tlaka („Final IARF“ na slici Slika 65) predstavlja

uobičajeni „kh“, ako se ležište smatra izotropnim u horizontalnoj ravnini, tj.

( ) Hkasnikh k h= . Stoga se u analizi tlaka proizvodnog testa može primijeniti

jednadžbu (1.302) za računanje propusnosti u horizontalnoj ravnini (ili

umnoška Hk h, ako je h nepoznat) i jednadžbu (1.303) za računanje ukupnog

skin faktora, zs s+ . Pritom se, kao i kod ranog radijalnog protoka, m odreñuje

iz polulogaritamskog prikaza dinamičkog tlaka (ili razlike ležišnog i

dinamičkog tlaka) u funkciji vremena (pwf u funkciji logt ili ( )i wfp p p∆ = − u

funkciji logt ).

Slika 64. Radijalni protok u ležištu s horizontalno m bušotinom ( Houzé et al. 2008).

Primjenom superpozicije u vremenu, temeljem jednadžbe (1.301),

izvedena je Hornerova jednadžba za analizu testa porasta tlaka:

1,151 log2

pws i

H

t tqBp p

k h t

µπ

+ ∆= − ×

∆ (2.74)

Dakle, dijagram porasta tlaka (ili razlike porasta tlaka i dinamičkog tlaka

neposredno prije zatvaranja bušotine za mjerenje porasta tlaka) u

polulogaritamskom mjerilu ( wsp ili ( )( )0ws wf tp p p ∆ =∆ = − u funkciji

( )log pt t t + ∆ ∆ ) dati će pravac nagiba 1,151 2 Hm qB k hµ π= , pa se

144

horizontalna propusnost može izračunati prema istoj jednadžbi kao i u

proizvodnom testu, tj. prema jednadžbi (1.302).

Analogno prethodnim oblicima protjecanja, izraz za računanje ukupnog

skin faktora za vrijeme pseudoradijalnog protoka slijedi iz kombinacije

jednadžbi (1.301) i (2.74):

( ) ( 0)1

2

1,151log 5,378

wf tws t hv Hz

x t

p pk kLs s

h k m c Lφµ∆ =∆ = −

+ = − −

(2.75)

Kao konačni oblik protjecanja prema horizontalnoj bušotini, može se

pojaviti kasni linearni protok , opisan u odlomku 1.4.4.4. Pad tlaka u ležištu

tada je dan jednadžbom (1.308), koju se može pisati i kao:

( )4

z x

y V e

qBp m t s s s

k k x

µπ

∆ = + + + (2.76)

Dakle, isto kao i kod ranog linearnog protoka, Kartezijev dijagram dinamičkog

tlaka (ili razlike ležišnog i dinamičkog tlaka) u odnosu na drugi korijen

vremena daje pravac, koji ima nagib:

2 e t H

qBm

x h c k

µπφ

= (2.77)

i odrezak na ordinati:

( ) ( )04

z x

y V e

qBp t s s s

k k x

µπ

∆ = = + + (2.78)

S pomoću jednadžbe (2.77) i utvrñenog nagiba pravca, m, može se

izračunati kH. Ekstrapolacijom pravca do t=0 i očitavanjem ( )0p t∆ = , s

pomoću jednadžbe (2.78) može se izračunati ukupni skin faktor, z xs s s+ + .

Primjenom superpozicije u vremenu, temeljem jednadžbe (1.308),

jednadžba za analizu testa porasta tlaka glasi:

( )2ws i p

e t H

qBp p t t t

x h c k

µπφ

= − + ∆ − ∆ (2.79)

pa dijagram porasta tlaka ili razlike porasta tlaka i dinamičkog tlaka

neposredno prije zatvaranja bušotine za mjerenje porasta tlaka, tj. wsp ili

145

( )( )0ws wf tp p p ∆ =∆ = − u funkciji ( )pt t t+ ∆ − ∆ , daje pravac nagiba danog

jednadžbom (2.77), s pomoću koje se može izračunati propusnost kH.

Kombiniranjem jednadžbi (1.308) i (2.79) slijedi izraz za računanje ukupnog

skin faktora:

( ) ( ) ( ) ( )0

4 y V e

z x p pws t wf t

k k xs s s p p m t t t t

qB

πµ ∆ ∆ =

+ + = − − − + ∆ − ∆

(2.80)

gdje je ( )ws tp ∆ tlak ekstrapoliran po pravcu do t∆ . Ekstrapolacijom tlaka po

pravcu do 0t∆ = , gornja jednadžba se svodi na jednadžbu (2.78).

Dijagnostički log-log dijagram na slici Slika 65 ilustrira tipično

ponašanje horizontalne bušotine, čija je duljina horizontalnog dijela 1200 m, a

debljina ležišta je 10 m. Ležište je izotropno u horizontalnoj ravnini, a odnos

V Hk k jednak je 0,01. Mala vrijednost efekta skladištenja omogućila je da se

uoči razvoj ranog radijalnog protoka.

Slika 65. Ponašanje tlaka i njegove derivacije za h orizontalnu bušotinu.

Na slici Slika 66 dijagnosticiran je rani radijalni protok, kao prva

stabilizacija derivacije tlaka, te rani linearni protok koji slijedi nakon toga, a

146

karakterizira ga derivacija tlaka čiji je nagib jednak ½. Kao što je prethodno

opisano, specijalizirane analize tlaka može se raditi na svakom od

spomenutih oblika protjecanja. Polulogaritamska (Hornerova) analiza može

se raditi ili na ranom ili na kasnom radijalnom protoku, no može se primijeniti i

postupak mečiranja s tipskim krivuljama. Analizom ranog radijalnog protoka,

bilo polulogaritamskom bilo mečiranjem s tipskim krivuljam, izračunata

propusnost predstavljat će ekvivalentnu propusnost u vertikalnoj ravnini,

okomitoj na smjer horizontalnog dijela bušotine, y Vk k , a izračunati skin

faktor bit će stvarni mehanički skin prouzročen promjenom propusnosti u

pribušotinskoj zoni, s).

Slika 66. Analiza ranog radijalnog protoka.

Rani linearni protok koji zatim slijedi, može se analizirati s pomoću

prikaza tlaka u funkciji drugog korijena vremena i odreñivanja nagiba pravca

na koji pada prikazani tlak (Slika 67).

147

Slika 67. Dijagram tlaka u funkciji drugog korijena vremena.

Nagiba pravca, m, definiran je jednadžbom (2.70), s pomoću koje se

može izračunati horizontalnu propusnost u smjeru okomitom na horizontalni

dio bušotine. No, uzme li se da je y y Vk k k= , iz te jednadžbe se može

izračunati efektivnu debljinu ležišta, h.

Na slici Slika 68 dijagnosticiran je kasni radijalni protok, kao druga

stabilizacija derivacije tlaka. Njegovom analizom, bilo polulogaritamskom bilo

uporabom tipskih krivulja, može se izračunati uobičajeni „kh“ za radijalni

protok prema vertikalnoj bušotini, tj. umnožak prosječne horizontalne

propusnosti i efektivne debljine ležišta, H x yk h h k k= , a odatle i H x yk k k= .

Uzevši da je y Hk k= , prethodni linearni protok može se analizirati tako da se

iz jednadžbe (2.70) izračuna duljina bušotine koja komunicira s ležištem, L.

148

Slika 68. Analiza kasnog radijalnog protoka

Na sljedećih nekoliko slika prikazani su dijagnostički dijagrami

odreñenih specifičnih slučajeva horizontalne bušotine.

U ležištima bez plinske kape i podinske vode, horizontalni dio bušotine

se nastoji smjestiti u središte ležišta izmeñu gornje i donje granice, u kojem

slučaju difuzija doseže gornju i donju granicu istodobno, pa je prijelaz iz

radijalnog u linearni protok dostatno uočljiv. Slika 69 ilustrira takav slučaj s

promjenljivom duljinom horizontalnog dijela bušotine.

149

Slika 69. Ponašanje tlaka i njegove derivacije za r azličite duljine horizontalnog dijela

bušotine.

Ako je, pak, bušotina smještena bliže gornjoj ili donjoj granici, pojavit

će se dvostruka prva stabilizacija derivacije tlaka, kao i u slučaj rasjeda kod

vertikalne bušotine, prije nego što se uspostavi linearni protok. Slika 70

ilustrira takav slučaj za ležište debljine 100 ft (30,5 m).

150

Slika 70. Ponašanje tlaka i njegove derivacije za r azličito smješten horizontalni dio

bušotine unutar ležišta.

Slika 71 ilustrira ponašanje tlaka i njegove derivacije u horizontalnoj

bušotini duljine 300 m u ležištu debljine 30 m. Ležište je izotropno u

horizontalnoj ravnini, a kV/kH varira od 0,4 do 0,001. Efekt skladištenja je

zanemaren, kako bi se bolje uočio razvoj ranog radijalnog protoka.

Slika 72 ilustrira ponašanje tlaka i njegove derivacije u horizontalnoj

bušotini duljine 900 m. Ležište je anizotropno, vertikalno, kV/kH = 0,01, i

horizontalno, gdje kx/ky varira od 10 do 0,1. Slika jasno pokazuje da je

najdjelotvornija konfiguracija horizontalne bušotine ona koja okomito siječe

smjer najveće propusnosti, tj. slučaj kx/ky = 0,1.

151

Slika 71. Ponašanje tlaka i njegove derivacije hori zontalne bušotine u ležištu razli čite

vertikalne anizotropije.

Slika 72. Ponašanje tlaka i njegove derivacije hori zontalne bušotine u ležištu razli čite

horizontalne anizotropije.

152

2.4. ANALIZA TLAKA FRAKTURIRANE HORIZONTALNE BUŠOTINE

Kad ležište ima sustav prirodnih paralelnih vertikalnih pukotina, jedno

od rješenja za optimalizaciju proizvodnosti je izbušiti horizontalnu bušotinu,

okomito na smjer pružanja pukotina, te ih tako dovesti u meñusobnu

komunikaciju. Ovakav proizvodni sustav takoñer može biti rezultat

hidrauličkog frakturiranja (Slika 73).

Slika 73. Frakturirana horizontalna bušotina ( Houzé et al. 2008).

Postojanje prirodnih ili hidraulički stvorenih pukotina logično je vrlo

često povezano s malom primarnom propusnošću ležišta (malom

propusnošću matriksa), zbog čega je udio same bušotine u crpljenju fluida

zanemariv u odnosu na udio pukotina. Posljedično, indeks proizvodnosti će

biti manje osjetljiv na svojstva bušotine (i pribušotinske zone) nego na

svojstva pukotina, što je ilustrirano na slici Slika 74.

153

Slika 74 prikazuje ponašanje tlaka za tri različite konfiguracije: protok

samo kroz pukotine, protok (utok) samo kroz stjenke bušotine i ukupni protok

kroz pukotine i stjenke bušotine. To jasno pokazuje da je udio same bušotine

(razlika izmeñu crvenih i plavih krivulja) zanemariv.

Slika 74. Protok kroz pukotine, bušotinu i oboje.

Dakle, na ponašanje tlaka frakturirane horizontalne bušotine

dominantno utječu svojstva pukotine, kao što su duljina i vodljivost pukotina,

te njihov broj. Slika 75 prikazuje četiri slučaja s dva uvjeta za pukotinu i dva

uvjeta za oštećenje pribušotinske zone.

154

Slika 75. Utjecaj skin faktora (ošte ćenja pribušotinske zone) na ponašanje tlaka

frakturirane horizontalne bušotine.

Može se zaključiti da je utjecaj skina zanemariv u slučaju visoko

vodljive pukotine (žute i zelene krivulje), a da u slučaju male vodljivosti skin

ima utjecaja samo u ranom periodu (plave i crvene krivulje). Dakle, što je

veća vodljivost pukotine, to je manji utjecaj skin faktora.

Tipično ponašanje tlaka frakturirane horizontalne bušotine jest, da se

nakon efekta skladištenja, zbog postojanja pukotine, razvije linearni ili

bilinearni protok, karakteriziran nagibom ½ ili ¼. Nakon toga može uslijediti

„rani radijalni protok“ u vertikalnoj ravnini okomitoj na horizontalni dio

bušotine, koji korespondira s prosječnom propusnošću v rk k k= . Ovaj

protok je praktički maskiran na slikama Slika 74 i Slika 75. Nakon dosezanja

gornje i donje granice ležišta, razvit će se linearni protok s nagibom tlaka i

derivacije od ½, kao i u slučaju nefrakturirane horizontalne bušotine, pa nije

lako razlučiti radi li se o utjecaju pukotine ili same horizontalne bušotine. U

kasnijem periodu uslijedit će stabilizacija derivacije, što korespondira s

155

„kasnim radijalnim protokom“ u horizontalnoj ravnini i odražava uobičajeni

„kh“.

Analiza ranog linearnog ili bilinearnog protoka je ista kao i za

frakturiranu vertikalnu bušotinu, pa se prema jednadžbi (2.63) može

izračunati duljinu pukotine, a prema jednadžbi (2.53) njenu vodljivost.

Meñutim, izračunata duljina pukotine može biti zbroj duljina više pukotina, o

čijem broju nije moguće ništa zaključiti (Slika 76).

Slika 76. Ponašanje tlaka horizontalne bušotine s r azličitim brojem pukotina.

Naime, kako pokazuje Slika 76, dvije pukotine duljine 500 ft (152,4 m)

rezultiraju sličnim ponašanjem tlaka kao i četiri pukotine duljine 250 ft (76,2

m) ili osam pukotina od 125 ft (38,1 m). Jedino rješenje je dobiti takvu

informaciju iz nekog drugog izvora.

156

2.5. ANALIZA POLUUSTALJENOG PROTOKA

U većini hidrodinamičkih mjerenja, početno ponašanje tlaka je pod

utjecajem tzv. bušotinskih efekata, efekta skladištenja i skin efekta. Zatim, u

većini slučajeva slijedi srednji period (engl. Medium Transient Region - MTR)

i/ili kasni period (engl. Late Transient Region - LTR) u kojemu dominira tzv.

neograničeno djelujući radijalni protok (engl. Infinite Acting Radial Flow -

IARF), karakteriziran stabilizacijom derivacije tlaka, u kojem je moguće

odrediti karakteristike ležišta, kao što su propusnost, k, mobilnost, k/µ, skin

faktor, te sveukupnu proizvodnost bušotine. U većini testova, analize

završavaju ovdje i IARF je konačno detektirano ponašanje tlaka.

Meñutim, ako je ležište malo, a test traje dostatno dugo, moguće je

uočiti i utjecaj granica ležišta za vrijeme testa. To se može dogoditi slučajno,

planirano u testu utvrñivanja granica ležišta ili neizbježno u slučaju dugotrajne

proizvodnje. Utjecaj granica ležišta na ponašanje dinamičkog tlaka očituje se

kao poluustaljeno (polustacionarno) stanje protjecanja, opisano modelom

ograničenog ležišta sa zatvorenom vanjskom granicom, prikazanim u prvom

poglavlju (odlomci 1.2.1.2. i 1.2.2.). Prikazani model pretpostavlja

koncentrično smještenu bušotinu u cilindričnom ležištu. Opći oblik jednadžbe

za bilo koji (nesimetrični) oblik ležišta i bilo koji smještaj bušotine unutar

njega, te za bilo koje vrijeme osim vrlo ranog, glasi (Matthews i Russell,

1967):

2

1( ) ln 4 ln 0,80907 2

2 2i wft t t w

qB kt kt kt Ap p t F s

kh c A c A c A r

µ ππ φµ φµ φµ

− = + − + + +

(2.81)

gdje je A površina crpljenja, a t

ktF

c Aφµ

funkcija vremena, ovisna o obliku

ležišta, dana kao:

157

*

4t

kt p pF

qc Akh

µφµπ

−=

(2.82)

koja za poluustaljeno stanje protjecanja glasi:

ln A

t t

C ktktF

c A c Aφµ φµ

=

(2.83)

Ovdje je CA konstanta ovisna o obliku ležišta, čije su vrijednosti dane u

tablicama, za različite oblike površine crpljenja i različiti raspored bušotina

(Tablica 13 i Tablica 14). Uvrsti li se jednadžbu (2.83) u jednadžbu (2.81),

opća jednadžba za polustacionarno stanje će glasiti:

2

1( ) 2 ln 0,80907

2 2i wft A w

qB kt Ap p t s

kh c A C r

µ ππ φµ

− = + + +

(2.84)

koja, kad u nju uvrstimo jednadžbu (1.69), postaje:

2

1( ) ( ) ln 0,80907

2 2wfA w

qB Ap t p t s

kh C r

µπ

− = + +

(2.85)

Definiramo li bezdimenzionalno vrijeme s pomoću površine umjesto

radijusa crpljenja, tj. kao:

DAt

ktt

c Aφµ= (2.86)

jednadžba (2.84) u bezdimenzionalnom obliku će glasiti:

2

12 ln 0,80907

2D DAA w

Ap t s

C rπ

= + + +

(2.87)

Kao i u slučaju cilindričnog ležišta, i za bilo koji oblik ležišta postoji

period neustaljenog protoka, za koji se može primijeniti model neograničenog

ležišta. Budući da za cilindrični oblik ležišta vrijedi odnos:

22D eD DA DA

w

At r t t

rπ= = (2.88)

jednadžbu (2.17) može se transformirati kao:

2

1( ) ln ln 0,80907

2D D DAw

Ap t t s

r

= + + +

(2.89)

158

pa ona tada vrijedi i za nesimetrična ležišta, uz uvjete ekvivalentne onima za

cilindrični oblik ležišta, tj. ako je 225DA wt r A≥ i manji od vrijednosti navedenih

u zadnjem stupcu tablica Tablica 13 i Tablica 14, za pojedine oblike ležišta i

smještaj bušotina unutar njih. Jednadžba za poluustaljeni protok, tj.

jednadžba (2.87), primjenjiva je kad je DAt veći od vrijednosti navedenih u

predzadnjem stupcu tablica Tablica 13 i Tablica 14, za pojedine oblike ležišta

i smještaj bušotina unutar njih.

159

Tablica 13. Faktori oblika za razli čite oblike površine crpljenja (Earlougher 1977).

160

Tablica 14. Faktori oblika za razli čite oblike površine crpljenja (Earlougher 1977).

161

Granicu se može definirati kao površinu smještenu na odreñenoj

udaljenosti od bušotine, gdje se zbiva promjena protočnih svojstava ležišta.

Tipični utjecaj granice prikazan je na slici Slika 77, gdje je za primjer uzet

jedan nepropusni rasjed, dakle granica kroz koju nema protoka (zatvorena

granica).

Slika 77. X-Y prikaz dodatnog pada tlaka (plavo) zb og zatvorene granice.

Slika 77 prikazuje točke kod kojih je pad tlaka dosegao odreñenu

vrijednost (npr. 1 bar) kod različitih vremena (1, 2, 3, 4). Crveni krugovi

predstavljaju utjecaj same proizvodnje bušotine ako je smještena u

neograničenom ležištu. Plavi krugovi predstavljaju dodatni pad tlaka zbog

utjecaja granice, u istim vremenima. Fizikalno, to znači da proizvodnja

bušotine stvara pad tlaka oko bušotine koji prodire u ležište. Dok god je

utjecaj granice zanemariv, ovo prodiranje (difuzija) će biti radijalno i radijus

dosega (crveni krugovi) će biti proporcionalan drugom korijenu vremena.

Kad je prisutna granica, iza nje nema podržavanja tlaka, pa će se

pojaviti dodatni pad tlaka u odnosu na onaj u neograničenom ležištu. Ovaj

162

dodatni pad tlaka (plavi krugovi) utjecat će na profil tlaka i takoñer će prodirati

kroz ležište prema bušotini. U trenutku kad amplituda ovog dodatnog pada

tlaka bude zabilježena na manometru u bušotini, bit će detektirana granica.

Ovo će se dogoditi samo ako je test trajao dostatno dugo i ako je manometar

dostatno osjetljiv da registrira signal.

Derivacija tlaka odstupa od IARF u trenutku kad utjecaj najbliže

granice postane uočljiv. Derivacija tada poprima oblik ovisno o tipu i obliku

granice, tipu testa (proizvodni test ili porast tlaka) i u nekim slučajevima o

proizvodnoj povijesti.

Vertikalni presjek profila tlaka od bušotine do nepropusne granice,

prikazan je na slici Slika 78. Znakom Σ označena je ploha koja predstavlja

lateralnu granicu ležišta. Na ovakvom modelu temelji se test za utvrñivanje

granica ležišta (engl. Reservoir Limits Test).

Slika 78. Profil tlaka izme ñu bušotine i nepropusne granice.

163

2.5.1. Test za utvr ñivanje granica ležišta

Primjenom načela superpozicije u prostoru može se simulirati

ponašanje tlaka u ograničenom ležištu. Razmotrimo slučaj prikazan na

slikama Slika 77 i Slika 78. Označimo li udaljenost bušotine od zatvorene

granice kao L, problem možemo predstaviti slikom Slika 79.

Slika 79. Bušotina u blizini zatvorene granice.

Naime, matematički, ovaj problem je identičan problemu bušotine na

udaljenosti 2L od zamišljene zrcalno simetrične bušotine, tj. bušotine koja ima

istu proizvodnu povijest kao i stvarna bušotina. Razlog zbog kojeg ovaj sustav

dviju bušotina simulira ponašanje bušotine u blizini granice jest to što crta

ekvidistance izmeñu dviju bušotina predstavlja zatvorenu granicu, tj. uzduž

ove crte gradijent tlaka jednak je ništici, što znači da ne može biti protoka.

Dakle, ovo je jednostavno problem dviju bušotina u neograničenom ležištu,

kojeg slijedom jednadžbi (1.120) i (1.121), opisuje jednadžba:

( ) ( ){ }, , 12i wf D D D D D D

qBp p p t r p t r s

kh

µπ

− = + = + (2.90)

164

gdje je 2D wr L r= bezdimenzionalna udaljenost izmeñu stvarne i zamišljene

bušotine. Uvrstimo li jednadžbu (2.16), odnosno (2.17) u gornju jednadžbu,

slijedi jednadžba:

( )2

1 1ln 0,80907 ln 0,80907

2 2 2D

i wf DD

tqBp p t s

kh r

µπ

− = + + + + (2.91)

koja nakon sreñivanja glasi:

ln 0,809072

Di wf

D

tqBp p s

kh r

µπ

− = + +

(2.92)

Temeljem načela superpozicije u vremenu, iz jednadžbe (2.92)

možemo razviti jednadžbu za porast tlaka. Analogno jednadžbama (2.23) do

(2.29), možemo pisati:

( ) ( )ln ln2i ws p DD

qBp p t t t

kh

µπ

− = + ∆ − ∆

(2.93)

pa analogno jednadžbama (2.30) i (2.31) imamo:

ln2

pws i

t tqBp p

kh t

µπ

+ ∆= −

∆ (2.94)

odnosno:

2,3026 log2

pws i

t tqBp p

kh t

µπ

+ ∆= − ×

∆ (2.95)

Usporedimo li jednadžbu (2.95) s jednadžbom (2.31), možemo

zaključiti da će u slučaju bušotine, kojoj se s jedne strane nalazi zatvorena

granica, nagib pravocrtnog dijela tlaka biti dvostruko veći od nagiba za slučaj

neograničenog ležišta. Meñutim, vrijeme potrebno za udvostručenje nagiba

može biti vrlo dugo. Naime, za izvoñenje jednadžbi (2.92) i (2.95) korištena je

jednadžba (2.16), tj. logaritamska aproksimacija eksponencijalnog integrala,

koja je valjana za slučaj 2 25D Dt r ≥ . I dok je u slučaju 1Dr = ovaj uvjet

zadovoljen relativno brzo, u slučaju 2D wr L r= to može potrajati. Stvarno

vrijeme potrebno za zadovoljenje ovog uvjeta može se odrediti tako da

umjesto bezdimenzionalnih varijabli uvrstimo njihove definicije, tj. iz

jednadžbe:

165

24

25 tc Lt

k

φµ≥ (2.96)

Dakle, za velike vrijednosti L i/ili male vrijednosti k, vrijeme zatvaranja

bušotine potrebno za valjanost logaritamske aproksimacije može biti znatno

duže nego što je uobičajeno trajanje testa porasta tlaka. Stoga, nije nužno

čekati na udvostručenje nagiba u testu porasta tlaka, već se može naći

alternativno rješenje za utvrñivanje udaljenosti granice od bušotine. U tu

svrhu, u jednadžbi (2.90), logaritamsku aproksimaciju eksponencijalnog

integrala primijenit ćemo samo za 1Dr = , pa će ona tada glasiti:

( )21 1

ln 0,809072 2 4 2

Di wf D

D

rqBp p Ei t s

kh t

µπ

− = − − + + + (2.97)

Analogno jednadžbama (2.23) do (2.29), iz jednadžbe (2.97) možemo

razviti jednadžbu za porast tlaka:

( ) ( )

( ) ( )

2 21 1

2 2 2 2 44

1 1ln 0,80907 ln 0,80907

2 2 2 2

D Di ws

p DD

p DD

r rqB qBp p Ei Ei

kh kh tt t

qB qBt t s t s

kh kh

µ µπ π

µ µπ π

− − = − − + − − + ∆+ ∆

− + ∆ + + + ∆ + +

(2.98)

koju možemo preurediti tako da glasi:

( ) ( )

( ) ( )2 2

1ln ln

2 2

1

2 2 44

i ws p DD

D D

p DD

qBp p t t t

kh

r rqBEi Ei

kh tt t

µπ

µπ

− = + ∆ − ∆ −

− − − ∆+ ∆

(2.99)

Uz pretpostavku da je pt t∆ ≪ , odnosno da je p pt t t+ ∆≃ , nakon uvoñenja

definicija bezdimenzionalnih varijabli i sreñivanja, gornja jednadžba glasi:

2 21 1

ln2 2 2 2

p t ti ws

p

t t c L c LqB qBp p Ei Ei

kh t kh kt k t

φµ φµµ µπ π

+ ∆ − −− = − − ∆ ∆ (2.100)

a nakon zamjene prirodnog logaritma decimalnim, možemo je pisati u obliku: 2 21 1

1,151 log2 2 2 2

p t ti ws

p

t t c L c LqB qBp p Ei Ei

kh t kt kh k t

φµ φµµ µπ π

+ ∆ − −− = × − + ∆ ∆ (2.101)

166

Razlozi za ureñenje jednadžbe u ovom obliku su sljedeći:

1. Prvi član jednadžbe (2.101) odreñuje položaj crte tzv. srednjeg

vremena, MTR. Budući da je Ei funkcija konstantna, ona utječe

samo na položaj MTR crte, ali ne i na njezin nagib.

2. Za početni period porasta tlaka, tj. za relativno kratki ∆t, drugi

član jednadžbe (2.101) je zanemariv. Fizikalno, to znači da

radijus promjene tlaka u ležištu još nije dosegao zatvorenu

granicu, a matematički, da tzv. kasni period porasta tlaka, LTR,

još nije započeo.

Ova zapažanja sugeriraju metodu za analizu ovakvog testa porasta

tlaka (Slika 80):

1. Unijeti mjerene podatke u polulogaritamski dijagram, tj. unijeti

mjereni tlak, pws, u funkciji logaritma Hornerovog vremena,

( )( )log pt t t+ ∆ ∆ .

2. Odrediti pravocrtni dio porasta tlaka u srednjem periodu, MTR,

koji odgovara pravocrtnom dijelu porasta tlaka u neograničenom

ležištu.

3. Ekstrapolirati MTR u LTR, i očitati razliku izmeñu mjerenog i

ekstrapoliranog tlaka, *ws ws MTp p p∆ = −

4. Iz drugog člana jednadžbe (2.101) izračunati udaljenost

bušotine od granice, L.

167

Slika 80. Test porasta tlaka za bušotinu u blizini zatvorene granice ležišta.

Postupak računanja je takav da se za odreñeni ∆t i odgovarajući ∆pws*

postavi jednadžba:

2

* 1

2 2t

ws

c LqBp Ei

kh k t

φµµπ

∆ = − ∆

(2.102)

iz koje slijedi:

2

* 4tws

c L khEi p

k t qB

φµ πµ

− = ∆ ∆

(2.103)

Sve varijable na desnoj strani jednadžbe (2.103) su poznate, pa se

može izračunati vrijednost eksponencijalnog integrala grupe varijabli 2

tc L k tφµ ∆ , te iz matematičkih tablica odrediti vrijednost te grupe varijabli i s

pomoću nje izračunati jedinu nepoznanicu, L. Ovakav račun treba učiniti za

nekoliko vrijednosti ∆t. Ako izračunate vrijednosti sustavno rastu ili se

smanjuju s vremenom, to je stroga indikacija da ovaj model ne opisuje ležište

adekvatno, tj. da se bušotina ne ponaša kao da se nalazi u ležištu jednolike

debljine i šupljikavosti, puno bliže jednoj granici od ostalih.

168

U slučaju da je test porasta tlaka trajao dostatno dugo da se nagib

pravocrtnog dijela porasta mogao udvostručiti, odreñivanje udaljenosti izmeñu

bušotine i granice je lakše. Naime, iz polulogaritamskog prikaza tlaka u

funkciji Hornerovog vremena odredi se ∆tx kod kojeg se sijeku pravci MTR i

LTR (Slika 81).

Slika 81. Odre ñivanje sjecišta pravaca MTR i LTR.

Tada se udaljenost bušotine od granice može izračunati prema jednadžbi

(Gray, 1965):

0,744 x

t

k tL

cφµ∆= (2.104)

Primjer polulogaritamske analize proizvodnog testa prikazan je na slici

Slika 82. Početni neograničeno djelujući radijalni protok (IARF) karakteriziran

je pravcem (bijela crta) iz čijeg nagiba slijedi kh, odnosno k i ukupni skin

faktor. Sjecište s drugim pravcem (crvena crta), dvostrukog nagiba, odreñuje

vrijeme ∆tx, pa iz jednadžbe (2.104) slijedi udaljenost granice od bušotine.

169

Slika 82. Polulogaritamski prikaz proizvodnog testa bušotine u blizini linearne granice.

Primjer testa porasta tlaka prikazan je na slici Slika 83, gdje je

promjena tlaka dana u funkciji Hornerovog vremena, kao i na slici Slika 81.

Slika 83. Polulogaritamski prikaz testa porasta tla ka u bušotini blizu linearne granice.

170

Kod log-log analize, najprije se mečira prvi dio podataka koji odgovara

neograničeno djelujućem ležištu, odnosno stabiliziranoj derivaciji, kako bi se

odredilo kh, efekt skladištenja i skin efekt. Nakon toga se mečira drugi dio

kako bi se odredilo udaljenost granice (Slika 84).

Slika 84. Log-log prikaz tlaka i derivacije za bušo tinu u blizini linearne granice.

Slika 85 prikazuje osjetljivost tlaka i derivacije na udaljenost granice.

Prikazani su primjeri od 100 do 10000 ft, tj. 30,5 m, 91,5 m, 305 m, 915 m i

3050 m. Ako je udaljenost premala, IARF ne će imati dostatno vremena

razviti se prije nego što se detektira granica. Tako npr. za udaljenost granice

od 30,5 m (zelena krivulja) derivacija izgleda kao i za neograničeno

homogeno ležište s vrijednošću kh upola manjom od stvarne.

171

Slika 85. Utjecaj udaljenosti linearne granice na p onašanje tlaka i derivacije.

U praksi se rijetko susreće potpuno udvostručenje nagiba, no zbog

svoje jednostavnosti, taj model treba iskušati i kad postoji samo indikacija

blizine granice. Slika 86 prikazuje takav primjer.

Slika 86. Primjer me čiranja stvarnih podataka.

172

2.5.2. Test interferencije

Test interferencije ima dva glavna cilja: utvrditi postoji li hidrodinamička

komunikacija izmeñu dviju ili više bušotina, te ako postoji, omogućiti procjenu

propusnosti, k, i umnoška šupljikavosti i ukupne stlačivosti, φct, ležišta u

području testiranih bušotina. Test se provodi tako da se proizvodi ili utiskuje

fluid barem na jednoj bušotini (aktivna bušotina), a istodobno se promatra

(mjeri) promjena tlaka na barem jednoj zatvorenoj bušotini (opažajuća

bušotina). Slika 87 prikazuje tipičan program testa, s jednom aktivnom i

jednom opažajućom bušotinom.

Slika 87. Promjene tlaka u testu interferencije.

Kao što slika prikazuje, aktivna bušotina započinje proizvoditi iz ležišta

jednolikog tlaka, pi, u vremenu t=0. Promjena tlak u opažajućoj bušotini, na

udaljenosti r, počinje se uočavati nakon odreñenog vremenskog pomaka, što

je u svezi s vremenom potrebnim za dosezanje odreñenog „radijusa

istraživanja“ aktivne bušotine, r i, koji je definiran jednadžbom:

173

2it

ktr

cφµ= (2.105)

Ova jednadžba slijedi iz uvjeta primjenjivosti rješenja jednadžbe difuzije za

neograničeno ležište, tj. iz jednadžbi (2.15) i (2.16), a taj uvjet je 2 4 1D Dr t ≥ ,

odnosno 20.25D Dt r≤ . Naravno, tlak na aktivnoj bušotini počinje padati odmah.

Veličina i brzina promjene tlaka na opažajućoj bušotini ovise o svojstvima

ležišta i ležišnog fluida u području oko aktivne i opažajuće bušotine. Točnije,

to su svojstva unutar površine koju omeñuje pravokutnik s duljinama stranica

2r i i 2r i+r (Slika 88).

Slika 88. Podru čje ispitivanja u testu interferencije.

U neograničenom, homogenom, izotropnom ležištu, rješenje

jednadžbe difuzije dano jednadžbom (2.15) opisuje promjenu tlaka u

opažajućoj bušotini u funkciji vremena. U dimenzionalnom obliku, ta

jednadžba glasi:

2

4 4t

i r

c rqBp p Ei

kh kt

φµµπ

− = − −

(2.106)

gdje je pr tlak u ležištu kod radijusa r, tj. u opažajućoj bušotini. Dakle, pad

tlaka u opažajućoj bušotini zbog proizvodnje q u aktivnoj bušotini iz ležišta s

jednolikim početnim tlakom pi, dan je rješenjem s pomoću Ei funkcije, jer

174

logaritamska aproksimacija ovdje nije primjenjiva. Pritom se pretpostavlja da

skin faktor aktivne bušotine ne utječe na pad tlaka u opažajućoj bušotini.

Takoñer, efekt skladištenja u objema bušotinama je zanemaren. Meñutim, u

nekim slučajevima, obje ove pretpostavke mogu prouzročiti pogrješke u

analizi testa.

Prikladna tehnika za analizu testa interferencije je uporaba tipskih

krivulja. Slika 89 je upravo ta tipska krivulja, odreñena jednadžbom (2.15),

gdje je bezdimenzionalni tlak, pD, prikazan u funkciji bezdimenzionalne grupe

varijabli tD/rD2.

Slika 89. Bezdimenzionalni tlak za bušotinu u neogr aničenom ležištu - rješenje s

pomo ću eksponencijalnog integrala (Earlougher 1977).

Analiza testa interferencije mečiranjem s tipskom krivuljom može se

opisati u nekoliko sljedećih koraka (Slika 90):

175

1. Pad tlaka u opažajućoj bušotini, i rp p p∆ = − , ucrtati u log-log

dijagram u funkciji vremena trajanja testa, t.

2. Ucrtane podatke testa preklopiti s tipskom krivuljom i odabrati

točke preklapanja, (pD)M i ∆pM, te (tD /rD2)M i tM.

3. S pomoću točaka preklapanja, iz definicija bezdimenzionalnih

varijabli izračunati karakteristike ležišta u testiranom području:

a. Propusnost: ( )

2D M

M

qB pk

h p

µπ

=∆

b. Umnožak šupljikavosti i stlačivosti: ( )2 2M

t

D D M

ktc

r t rφ

µ=

Slika 90. Mečiranje s tipskom krivuljom u testu interferencije.

Analiza testa interferencije s pomoću tipske krivulje je pouzdana, ako

su zadovoljeni uvjeti rD > 20 i tD/rD2 > 0,5.

176

BIBLIOGRAFIJA

Abramowitz, M., Stegun, I.A. 1968. Handbook of Mathematical

Functions. Dover Publications, Inc., New York.

Agarwal, R.G., Al-Hussainy, R., Ramey Jr., H.J. 1970. An Investigation

of Wellbore Storage and Skin Effect in Unsteady Liquid Flow: I. Analytical

Treatment, SPEJ (September 1970) 279-290. SPE 2466-PA.

Agarwal, R.G., Carter, R.D., Pollock, C.B. 1979. Evaluation and

Performance Prediction of Low-Permeability Gas Wells Stimulated by

Massive Hydraulic Fracturing, JPT (March 1979) 362-372.

Agarwal, R.G. 1980. A New Method to account for Producing Time

Effect When Drawdown Type Curves are Used to Analyze Pressure Buildup

and Other Test Data. SPE 9289. SPE Annual Technical Conference and

Exhibition, Dallas, Sept. 21-24.

Al-Hussainy, R., Ramey Jr., H.J., Crawford, P.B. 1966. The Flow of Real

Gases Through Porous Media. JPT (May, 1966) 624-636.

Amyx, J.W., Bass, Jr., D.M., Whiting, R.L. 1960. Petroleum Reservoir

Engineering. McGraw-Hill Book Co., New York, Toronto, London.

Babu, D.K., Odeh, A.S. 1989. Productivity of a Horizontal Well. SPERE

(November, 1989) 417-421.

Babu, D.K., Odeh, A.S. 1989. Productivity of a Horizontal Well:

Appendices A and B. paper SPE 18334.

Bauk, A. 2003. Podzemno skladištenje plina. INA-Naftaplin.

Bennett, C.O., Rosato, N.D., Reynolds, A.C., Raghavan, R. 1983

Influence of Fracture Heterogeneity and Wing Length on Response of

Vertically Fractured Wells. SPEJ (April, 1983) 219-230.

177

Bennett, C.O., Camacho-V., R.G., Reynolds, A.C., Raghavan, R. 1985.

Approximate Solutions for Fractured Wells Producing Layered Reservoirs.

SPEJ (October, 1985) 729-742.

Bennett, C.O., Raghavan, R., Reynolds, A.C. 1986. Analysis of Finite-

Conductivity Fractures Intercepting Multilayer Commingled Reservoirs.

SPEFE (June, 1986) 259-274.

Bennett, C.O., Reynolds, A.C., Raghavan, R., Elbel, J.L. 1986.

Performance of Finite-Conductivity, Vertically Fractured Wells in Single-Layer

Reservoirs. SPEFE (August, 1986) 399-412.

Bourdet, D., Whittle, T.M., Douglas, A.A., Pirard, Y.M. 1983. A New Set

of Type Curves Simplifies Well Test Analysis. World Oil (May 1983) 95-106.

Bourdet, D., Ayoub, J.A., Pirard, Y.M. 1989. Use of Pressure Derivative

in Well-Test Interpretation. SPEFE, June 1989. 293-302.

Camacho-V., R.G., Raghavan, R., Reynolds, A.C. 1987. Response of

Wells Producing Layered Reservoirs: Unequal Fracture Length. SPEFE

(March, 1987) 9-28.

Cinco-Ley, H., Samaniego-V., F., Dominguez-A., N. 1978. Transient

Pressure Behavior for a Well With a Finite-Conductivity Vertical Fracture.

SPEJ (August, 1978) 253-264.

Cinco-Ley, H., Samaniego-V., F. 1981. Transient Pressure Analysis for

Fractured Wells. JPT (September, 1981) 1749-1766.

Cinco-Ley, H., Samaniego-V., F., Rodriguez, F. 1989. Application of the

Pseudolinear-Flow Model to the Pressure-Transient Analysis of Fractured

Wells. SPEFE (September, 1989) 438-444.

Clonts, M.D., Ramey, H.J., Jr. 1986. Pressure Transient Analysis for

Wells with Horizontal Drainholes. California Regional Meeting of SPE,

Oakland, CA, April 2-4, 1986. paper SPE 15116.

178

Čikeš, M. 1995. Mogućnost povećanja pridobivih zaliha ugljikovodika

primjenom postupka hidrauličkog frakturiranja. Disertacija, RGN fakultet

Sveučilišta u Zagrebu.

Earlougher, Jr. R.C. 1977. Advances in Well Test Analysis. Monograph

Volume 5, Henry L. Doherty Series, Society of Petroleum Engineers of AIME,

New York, Dallas.

Economides, M.J,. Nolte, K.G. 1989. Reservoir Stimulation, 2nd edition.

Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Economides, M.J,. Nolte, K.G. 2000. Reservoir Stimulation, 3rd edition.

John Wiley & Sons, Ltd, Chiechester, England.

Economides, M.J., Deimbacher, F.X, Brand, C.W., Heinemann, Z.E.

1991. Comprehensive Simulation of Horizontal-Well Performance. SPEFE

(December, 1991) 418-426.

Economides, M.J., Brand, C.W. and Frick, T.P. 1996. Well

Configurations in Anisotropic Reservoirs. SPEFE (December, 1996) 257–262.

Forchheimer, P. 1901. Wasserbewegung durch Boden. ZVDI 45: 1781.

Gidley, J.L. 1991. A Method for Correcting Dimensionless Fracture

Conductivity for Non-Darcy Flow Effects. SPEPE (November, 1991) 391-394.

Golan, M., Whitson, C.H. 1985. Well Performance. NTH, Trondheim,

Norway.

Gray, K.E. 1965. Approximating Well-to-Fault Distance From Pressure

Build-Up Tests. JPT (July 1965) 761-767.

Gringarten, A.C., Ramey, H.J., Jr., Raghavan, R. 1974. Unsteady-State

Pressure Distribution Created by a Well With a Single Infinite-Conductivity

Vertical Fracture. SPEJ (August, 1974) 347-360.

Gringarten, A.C., Ramey Jr., H.J., Raghavan, R. 1975. Applied Pressure

Analysis for Fractured Wells. JPT (July, 1975) 887-892.

179

Gringarten, A.C., Bourdet, D.P., Landel, P.A., Kniazeff, V.J. 1979. A

Comparison Between Different Skin and Wellbore Storage Type Curves for

Early-Time Transient Analysis. SPE 8205. SPE Annual Technical Conference

and Exhibition, Las Vegas, Sept. 23-26.

Guppy, K.H. 1987. Analysis of Fractured Wells Producing at High Flow

rates Using Late-Time Data. SPEFE (December, 1987) 555-559.

Guppy, K.H., Cinco-Ley, H., Ramey Jr., H.J. 1981. Effect of Non-Darcy

Flow on the Constant-Pressure Production of Fractured Wells. SPEJ (June,

1981) 390-400.

Guppy, K.H., Kumar, S., Kagawan, V.D. 1988. Pressure Transient

Analysis for Fractured Wells Producing at Constant Pressure. SPEFE (March,

1988) 169-178.

Horner, D.R. 1951. Pressure Build-Up in Wells. Third World Petroleum

Congress, The Hague. Sec. II. 503-523.

Houzé, O., Viturat, D., Fjaere, O.S. 2008. Dynamic Flow Analysis -

v4.10.01. KAPPA Engineering, Sophia Antipolis, France.

Hubbert, M. King, 1956. Darcy’s Law and the Field Equations of the

Flow of Underground Fluids. Transactions, AIME, 207, 222-239.

Joshi, S.D. 1988. Augmentation of Well Productivity With Slant and

Horizontal Wells. JPT (June 1988) 729-739.

Katz, D.L. 1959. Handbook of Natural Gas Engineering. McGrow-Hill

Book Company, INC, New York, 655.

Lee, W.J. 1982. Well Testing, SPE Textbook Series Vol. 1, 1st edition.

Society of Petroleum Engineers of AIME, New York, Dallas.

Matthews, C.S., Russell, D.G. 1967. Pressure Buildup and Flow Tests in

Wells. Monograph Volume 1, Henry L. Doherty Series, Society of Petroleum

Engineers of AIME, New York, Dallas.

180

Muskat, M. 1937. The flow of Homogeneous Fluids Through a Porous

Media. McGraw-Hill Book Co., Inc., New York.

Odeh, A.S., Babu, D.K. 1990. Transient Flow Behavior of Horizontal

Wells: Pressure Drawdown and Buildup Analysis. SPEFE (March, 1990) 7-

15.

Prats, M., Hazebroek, P., Strickler, W.R. 1962. Effect of Vertical

Fractures on Reservoir Behavior - Compressible Fluid Case. SPEJ (June,

1962) 87-94.

Raghavan, R. 1976. Well Test Analysis: Well Producing by Solution-

Gas Drive. JPT (August, 1976) 196-208; Transactions of AIME, 261.

Ramey, H.J. Jr. 1965. Non-Darcy flow and Wellbore Storage Effects in

Pressure Build-Up and Drawdown of Gas wells. JPT (February 1965) 223-

233. SPE-1058-PA.

Rodriguez, F., Cinco-Ley, H., Samaniego-V., F. 1992. Evaluation of

Fracture Asymmetry of Finite-Conductivity Fractured Wells. SPEPE (May,

1992) 233-239.

Soliman, M.Y. 1998. Stimulation and Reservoir Engineering Aspects of

Horizontal Wells. Halliburton, Duncan, OK, USA.

van Everdingen, A.F., Hurst, W. 1949. The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs. Petroleum Transactions,

AIME (1949) 186, 305-324.

Wattenbarger, R.A., Ramey Jr., H.J. 1970. An Investigation of Wellbore

Storage and Skin Effect in Unsteady Liquid Flow: II. Finite Difference

Treatment, SPEJ September 1970. 291-296. SPE 2467-PA.

Zeng, F., Zhao, G. 2008. Semianalytical Model for Reservoirs With

Forchheimer’s Non-Darcy Flow. SPEREE 11 (4): 280-291. SPE-100540-PA-

P.