ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS MELALUI …e-repository.perpus.iainsalatiga.ac.id/9420/1/ANNISA... · 2020. 10. 23. · Lampiran 6. Kunci Jawaban Lembar Kerja Siswa.....221

ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS

MELALUI SOAL OPEN-ENDED

PADA SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK

DIPONEGORO SALATIGA

TAHUN PELAJARAN 2020/2021

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Kewajiban dan Syarat Guna Memperoleh Gelar

Sarjana Pendidikan

Oleh :

ANNISA PUSPITA FANHARY

NIM. 23070160028

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA

TAHUN 2020

iii

ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS

MELALUI SOAL OPEN-ENDED

PADA SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK

DIPONEGORO SALATIGA

TAHUN PELAJARAN 2020/2021

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Kewajiban dan Syarat Guna Memperoleh Gelar

Sarjana Pendidikan

Oleh :

ANNISA PUSPITA FANHARY

NIM. 23070160028

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN

INSITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA

TAHUN 2020

iv

M. Istiqlal, M.Pd

Dosen IAIN Salatiga

Persetujuan pembimbing

Hal : Naskah Skripsi

Lampiran : 4 eksemplar

Saudara : Annisa Puspita Fanhary

Kepada,

Yth. Dekan FTIK IAIN Salatiga

Di Salatiga

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Setelah meneliti dan mengadakan perhatian seperlunya, maka bersama ini

kami kirimkan naskah skripsi saudara/saudari:

Nama : Annisa Puspita Fanhary

NIM : 23070160028

Jurusan : Tadris Matematika

Fakultas : Tarbiyah dan Ilmu Keguruan

Judul : ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS

SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK DIPONEGORO

SALATIGA MELALUI SOAL OPEN-ENDED

Dengan ini kami mohon skripsi saudara/saudari tersebut di atas supaya

segera di munaqosyahkan.

Dengan agar menjadi perhatian.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Salatiga, 11 September 2020

Pembimbing,

M. Istiqlal, M.Pd

NIDT. 19890710 201608 1 001

vii

MOTTO

Setiap orang mempunyai proses, maka bertumbuhlah dengan tenang tanpa ada

niat menyingkirkan. Sebab sebaik-baiknya manusia ialah dia yang berusaha

bermanfaat bagi sesama.

Ujian hidup hanya tentang seberapa yakin kita berdoa, dan seberapa kuat kita

berusaha

viii

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat, taufik serta hidayah-Nya. Shalawat serta salam tercurahkan kepada baginda

Nabi Muhammad SAW. Untuk itu skripsi ini penulis persembahkan untuk:

1. Kedua orang tua bapak Sugito dan ibu Umi Fatmawati Choriroh yang tiada

hentinya mendoakan, mendidik, membimbing dan mengasuh penulis

sampai saat ini.

2. Kakak tercinta mas Rizky dan mbak Asri, juga ponakan tersayang Eshaq

dan Eisha yang selalu membuat penulis semangat dan termotivasi untuk

menjadi lebih baik.

3. Keluarga besar Achmad Khozin yang selalu membuat penulis semangat

dan termotivasi untuk menjadi lebih baik.

4. Keluarga besar Mbah isrodi yang selalu membuat penulis semangat dan

termotivasi untuk menjadi lebih baik.

5. Sahabat seperjuangan tersayang: Rif’an, Elfina, Annisa DC, dan Indah

terima kasih banyak untuk selalu ada, dan selalu menyemangati.

6. Sahabat tersayang: Apri dan Anggun terima kasih selalu memotivasi dan

menyemangati.

7. Keluarga kepompong: Nasikhin, Tika, Fhatima, Yuniar, Syarif, Lukman,

Fata, Panji, Irul, Muja, Ulin, Frida, Rifki, Ghufron terima kasih sudah

memberikan berbagai pengalaman dan selalu menyemangati.

8. Teman-teman Tadris Matematika angkatan 2016 yang tidak bisa penulis

sebut satu persatu.

ix

9. Teman-teman KKN posko 89 yang telah memberikan arti penting dalam

kehidupan penulis dan telah memberikan berbagai pengalaman baru.

10. Teman-teman PPL SMK Diponegoro Salatiga tahun 2019 yang telah

memberikan arti penting dalam kehidupan penulis dan telah memberikan

berbagai pengalaman baru.

11. Teman-teman dari PP. Sirojul Mukhlasin: Mas Musa, Dede, Dimas,

Nafis, Alfin, Ilu, Riki, Fuad, Alfa yang sudah memberikan penulis

pengalaman dan motivasi hidup.

12. Almamater tercinta IAIN Salatiga yang telah menjadi tempat penulis

menuntut ilmu yang bermanfaat.

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga dalam penyusunan skripsi ini dapat berjalan

dengan lancar. Shalawat serta salam penulis haturkan kepada Nabi Muhammad

SAW yang kita nantikan syafaatnya kelak di Yaumul Akhir. Segala syukur penulis

panjatkan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir skripsi dengan judul

ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS SISWA KELAS XII

AKUNTANSI 1 SMK DIPONEGORO SALATIGA MELALUI SOAL OPEN-

ENDED.

Skripsi ini disusun sebagai syarat untuk memperoleh gelar S1 Fakultas

Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK), jurusan Tadris Matematika Institut Agama

Islam Negeri (IAIN) Salatiga. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari

bahwa banyak bantuan yang diterima dari berbagai pihak, baik berupa material

maupun spiritual. Dengan berakhirnya skripsi ini, penulis mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Zakiyuddin, M.Ag selaku Rektor IAIN Salatiga.

2. Bapak Prof. Dr. Mansur, M.Ag selaku Dekan Fakultas Tarbiyah dan Ilmu

Keguruan IAIN Salatiga.

3. Bapak Prof. Dr. Winarno, S.Si, M.Pd selaku ketua Program Studi Tadris

Matematika IAIN Salatiga.

4. Bapak M. Istiqlal, M.Pd. selaku Dosen Pembimbing Skripsi, yang telah

berkenan secara ikhlas dan sabar meluangkan waktu serta memberi

xi

bimbingan dan pengarahan yang sangat berguna sejak awal proses

penyusunan dan penulisan hingga terselesaikan skripsi ini.

5. Bapak Sutrisna, S.Ag M.Pd selaku Dosen Pembimbing Akademik, yang

telah membimbing dari awal hingga akhir sehingga penulis bisa

mengikuti kegiatan akademik dengan lancar.

6. Seluruh Dosen dan Staff IAIN Salatiga yang telah membantu proses

penyusunan skripsi.

7. Kepala sekolah dan guru mata pelajaran matematika SMK Diponegoro

Salatiga

8. Seluruh Dosen Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah dan

Ilmu Keguruan IAIN Salatiga yang telah memberikan ilmu, pengetahuan

dan wawasan kepada penulis selama menempuh pendidikan.

Harapan penulis, semoga amal baik yang telah diberikan mendapat balasan

berlipat ganda dari Allah SWT. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat

khususnya bagi penulis dan umumnya bagi pembaca.

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................i

LOGO IAIN SALATIGA ....................................................................................... ii

HALAMAN SAMPUL DALAM .......................................................................... iii

PERSETUJUAN PEMBIMBING ..........................................................................iv

PENGESAHAN KELULUSAN ............................................................................. v

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ..............................................................vi

MOTTO ............................................................................................................... vii

PERSEMBAHAN ............................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ...........................................................................................ix

DAFTAR ISI ...........................................................................................................xi

DAFTAR TABEL ................................................................................................xiv

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................xvi

ABSTRAK .......................................................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ................................................................................. 1

B. Fokus Penelitian ............................................................................................ 6

C. Tujuan Penelitian ........................................................................................... 6

xiii

D. Manfaat Penelitian ......................................................................................... 6

E. Penegasan Istilah ........................................................................................... 7

F. Sistematika Penulisan .................................................................................. 10

BAB II KAJIAN PUSTAKA

A. Landasan Teori ............................................................................................ 12

1) Penalaran ................................................................................................. 12

2) Penalaran Matematika ............................................................................. 16

3) Kemampuan Penalaran Matematika ....................................................... 20

4) Soal Open-ended ..................................................................................... 22

5) Barisan dan Deret ..................................................................................... 30

B. Kajian Pustaka ............................................................................................. 42

BAB III METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian ............................................................................................ 53

B. Lokasi dan Waktu Penelitian ....................................................................... 53

C. Sumber Data ................................................................................................ 54

D. Prosedur Pengumpulan Data ....................................................................... 55

E. Analisis Data ................................................................................................ 57

F. Pengecekan Keabsahan Data ....................................................................... 59

BAB IV PAPARAN DAN ANALISIS DATA

A. Paparan Data ................................................................................................ 61

B. Analisis Data .............................................................................................. 168

xiv

BAB V PENUTUP

A. Simpulan .................................................................................................... 194

B. Saran .......................................................................................................... 195

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 197

LAMPIRAN-LAMPIRAN ................................................................................ 209

DAFTAR RIWAYAT HIDUP .......................................................................... 210

xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Indikator Penalaran Matematis Siswa ...................................... 266

Tabel 2.2 Perbedaan dan Persamaan Penelitian Terdahulu dan Penelitian

Sekarang ................................................................................... 267


Sekarang ................................................................................... 268


Sekarang ................................................................................. 269


Sekarang ................................................................................... 270


Sekarang ................................................................................... 271

Tabel 4.1 Daftar Kategori Kemampuan Siswa ........................................... 272

Tabel 4.2 Batas Kategori Tinggi, Sedang, dan Rendah .............................. 273

Tabel 4.3 Daftar Siswa Kelas XII Akuntansi 1 yang Mengikuti Tes ..........274

Tabel 4.4 Kartu Penilaian Kemampuan Penalaran Matematis ....................275

xvi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Daftar Riwayat Hidup ..............................................................210

Lampiran 2. Indikator Kemampuan Penalaran Matematis ...........................211

Lampiran 3. Kisi-kisi Soal Tes .....................................................................212

Lampiran 4. Soal Tes Kemampuan Penalaran Matematis ............................213

Lampiran 5. Lembar Kerja Siswa .................................................................216

Lampiran 6. Kunci Jawaban Lembar Kerja Siswa ........................................221

Lampiran 7. Indikator Pedoman Wawancara Siswa .....................................226

Lampiran 8. Pedoman Wawancara Siswa .....................................................227

Lampiran 9. Indikator Pedoman Wawancara Guru.......................................228

Lampiran 10. Pedoman Wawancara Guru ....................................................229

Lampiran 11. Lembar Konsultasi ..................................................................230

Lampiran 12. Kode Penelitian.......................................................................231

Lampiran 13. Hasil Wawancara Siswa .........................................................232

Lampiran 14. Hasil Wawancara Guru ...........................................................258

Lampiran 15. Satuan Kredit Kegiatan ...........................................................261

Lampiran 16. Surat Ijin Penelitian ................................................................262

Lampiran 17. Surat Telah Mengadakan Penelitian .......................................263

Lampiran 18. Surat Keputusan Penetapan Pembimbing Skripsi ..................264

xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.11 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A15 ........... 277

Gambar 4.12 Hasil Tes Tulis A15 Pada Nomor 1 ............................................ 277



Gambar 4.21 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Subyek A29 ............ 279




















Gambar 4.77 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Guru Matematika ... 289

Gambar 4.80 Penelitian yang Dilakukan Peneliti dengan Guru Matematika .... 289

xviii

ABSTRAK

Fanhary, Annisa. 2020. ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN

MATEMATIS SISWA KELAS XII AKUNTANSI 1 SMK DIPONEGORO

SALATIGA MELALUI SOAL OPEN-ENDED. Skripsi, Salatiga: Program

Studi Tadris Matematika, Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan, Institut

Agama Islam Negeri Salatiga, Pembimbing: M. Istiqlal, M.Pd.

Kata kunci: Analisis Kemampuan, Penalaran Matematis, Soal Open-ended.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis kemampuan penalaran

matematis siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga, upaya guru

dalam memaksimalkan kemampuan penalaran matematis siswa kelas XII

Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga, dan upaya guru dalam mengatasi masalah

terhadap kemampuan penalaran matematis siswa yang rendah.

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah menggunakan pendekatan

kualitatif. Pengumpulan data dalam penelitian ini adalah tes tertulis dan wawancara.

Tes dilakukan untuk mengetahui kemampuan penalaran matematis siswa yang

dimiliki dengan menggunakan 3 butir soal open-ended berbentuk uraian.

Wawancara dilaksanakan untuk mengetahui secara mendalam kemampuan

penalaran matematis siswa dalam menyelesaikan masalah matematika yang diikuti

6 siswa dari 29 siswa yang dipilih berdasarkan kemampuan siswa yaitu 2 siswa

dengan kemampuan tinggi, 2 siswa dengan kemampuan sedang dan 2 siswa dengan

kemampuan rendah.

Hasil penelitian mengungkapkan bahwa: (1) siswa yang berkemampuan

tinggi memenuhi pada indikator menyajikan pernyataan matematika secara lisan,

tertulis, gambar dan diagram; mengajukan dugaan; memanipulasi matematika;

menyusun bukti, memberikan alasan/bukti terhadap kebenaran solusi; menarik

kesimpulan; dan memeriksa kesahihan suatu argumen. Siswa yang berkemampuan

sedang memenuhi pada indikator menyajikan pernyataan matematika secara lisan,

tertulis, gambar dan diagram; mengajukan dugaan; dan memanipulasi matematika.

Siswa yang berkemampuan rendah memenuhi pada indikator menyajikan

pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar dan diagram; dan mengajukan

dugaan. (2) upaya guru dalam memaksimalkan kemampuan penalaran matematis

siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga dengan melakukan

pengayaan dan remedial. (3) upaya guru dalam mengatasi kemampuan penalaran

matematis siswa yang rendah dengan melakukan pembelajaran tutor sebaya.

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan salah satu bidang studi yang menduduki peranan

penting dalam dunia pendidikan. Pelajaran matematika merupakan mata

pelajaran yang diterapkan di setiap jenjang pendidikan dengan harapan mampu

melatih peserta didik untuk belajar berpikir secara praktis, kritis, realistis, kreatif

dan sistematis dalam mengambil setiap tindakan dalam rangka upaya

meningkatkan kualitas sumber daya manusia melalui pendidikan khususnya

pendidikan matematika. Terdapat lima alasan mengapa pentingnya mempelajari

matematika yaitu: 1) matematika merupakan sarana berpikir yang jelas dan logis,

2) sarana memecahkan masalah kehidupan sehari-hari, 3) sarana mengenal pola-

pola hubungan dan generalisasi pengalaman, 4) sarana untuk mengembangkan

kreativitas, dan 5) sarana untuk meningkatkan kesadaran terhadap budaya.

Secara sederhana matematika merupakan mata pelajaran yang melatih anak

untuk berpikir rasional, logis, cermat, jujur dan sistematis. Pola pikir yang

demikian sangat penting dimiliki siswa sebagai bekal dalam kehidupan sehari-

hari (Verawati, 2017: 1-2).

Berdasarkan lampiran Permendikbud nomor 59 tahun 2014 dalam

Kemendikbud (2014), tujuan pembelajaran matematika SMA yaitu: 1) dapat

memahami konsep matematika, yaitu menjelaskan keterkaitan antar konsep dan

menggunakan konsep maupun algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat

dalam pemecahan masalah, 2) menggunakan pola sebagai dugaan dalam

2

pemecahan masalah, dan mampu membuat generalisasi berdasarkan fenomena

atau fakta, 3) menggunakan penalaran pada sifat, melakukan manipulasi

matematika baik dalam penyederhanaan, maupun menganalisa komponen yang

ada dalam pemecahan masalah, 4) mengkomunikasikan gagasan, penalaran serta

mampu menyusun bukti matematika dengan menggunakan kalimat lengkap,

simbol, tabel, diagram atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah,

5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, 6)

memiliki sikap dan perilaku yang sesuai dengan nilai-nilai dalam matematika

dan pembelajarannya, 7) melakukan kegiatan motorik menggunakan

pengetahuan matematika, dan 8) menggunakan alat peraga sederhana maupun

hasil teknologi untuk melakukan kegiatan-kegiatan matematik (Alimuddin, dkk,

2017: 2).

Dewi (2018: 5) menyatakan kemampuan penalaran merupakan salah satu

faktor yang harus dikuasai oleh setiap siswa dalam mempelajari matematika.

Departemen Pendidikan Nasional telah menyatakan bahwa materi matematika

dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan, yaitu

materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan

dilatih melalui belajar materi matematika. Sehingga penalaran matematis

memiliki peranan penting dalam mempelajari mata pelajaran matematika, dan

keduanya saling berhubungan. Suatu proses kegiatan berpikir dalam menarik

kesimpulan pengetahuan disebut penalaran. Sedangkan didalam hukum

penyimpulan, penalaran adalah proses berpikir, yang berdasarkan premis yang

3

benar menarik konklusi yang benar pula. Dan ini dicapai kalau bentuk

penalarannya sahih.

Penalaran terjemahan dari bahasa Inggris reasoning, menurut kamus The

Rendom House Dictionary berarti kegiatan atau proses menalar yang dilakukan

seseorang adalah kekuatan mental yang berkaitan dengan pembentukan

kesimpulan dan penilaian. Shuten dan Pierce mengemukakan bahwa penalaran

sebagai proses pencapaian kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang

relevan. Penalaran menurut Fadjar Shadiq adalah suatu proses atau suatu

aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau proses berpikir dalam

rangka membuat suatu pernyataan baru yang berdasarkan pada beberapa

pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya

(Aisyah, 2015: 3).

Penalaran digunakan untuk berpikir tentang sifat-sifat sekumpulan obyek

matematika dan mengembangkan perumunan yang dikenakan pada objek

tersebut. O’daffler mengatakan penalaran matematik adalah bagian dari berpikir

matematik yang meliputi membuat perumunan dan menarik kesimpulan yang

sahih tentang gagasan-gagasan dan bagaimana gagasan tersebut saling terkait.

Berdasarkan pernyataan di atas diperoleh bahwa penalaran melibatkan beberapa

keterampilan penting seperti menyelidiki pola, membuat dan menguji dugaan

(conjecture), dan menggunakan penalaran deduktif dan induktif formal untuk

menformulasikan argumen matematika (Ruslan dan Santoso, 2013: 139).

Alimuddin (2017: 3), memaparkan penelitian yang dilakukan Shimada

bahwa pendekatan open-ended mampu memberikan stimulus kepada peserta

4

didik untuk menggunakan kemampuan yang telah dimilikinya dalam

menyelesaikan masalah terbuka (open-ended). Pendekatan open-ended

merupakan salah satu upaya inovasi pendidikan matematika yang pertama kali

dilakukan oleh para ahli pendidikan matematika Jepang. Soal-soal open-ended

merupakan masalah matematika yang sedikit banyak membutuhkan kemampuan

logika untuk menyelesaikannya. Logika digunakan untuk memecahkan masalah

saat seseorang menjabarkan masalah menjadi langkah-langkah yang lebih kecil

dan menyelesaikannya sedikit demi sedikit serta membentuk pola atau

menciptakan aturan-aturan.

Untuk mencapai tujuan pembelajaran secara maksimal, siswa tidak cukup

dengan hanya memberikan soal-soal tertutup yang terdapat dalam buku

pelajaran matematika yang selama ini dipakai di sekolah. Tapi diperlukan juga

pemberian soal-soal open-ended yang bisa mengembangkan kemampuan

penalaran siswa melalui permasalahan-permasalahan matematika yang

diberikan oleh guru, yang selama ini tidak terdapat dalam buku pelajaran siswa.

Diharapkan juga jika siswa diberi soal open-ended maka siswa akan

mendapatkan sejumlah manfaat, berupa praktek menggali sumber-sumber yang

dibutuhkan untuk membuat kesimpulan, rencana mengerjakan tugas, memilih

metode dan menerapkan kemampuan.

Hasil pelaksanaan wawancara peneliti dengan guru matematika di SMK

Diponegoro Salatiga beliau mengatakan bahwa dalam materi barisan dan deret

siswa mengalami beberapa kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal. Siswa

masih kesulitan dalam memahami informasi pada soal, serta strategi apa yang

5

harus dilakukan saat menyelesaikan soal. Selain itu, dalam hal penalaran masih

cenderung rendah. Ketika siswa diminta untuk menyelesaikan soal, siswa tidak

mampu memberikan kesimpulan dari pernyataan yang benar. Hal tersebut

terlihat pada jawaban siswa saat menyelesaikan soal-soal.

Setiap siswa memiliki kemampuan yang berbeda dalam mengolah dan

menerima informasi serta menyelesaikan soal. Memberikan alasan yang tepat

terhadap hasil yang diperolehnya serta memberikan kesimpulan dari pernyataan

merupakan bagian dari indikator yang terdapat dalam penalaran matematis dan

hal tersebut harus dimiliki siswa dalam menyelesaikan soal. Sehingga hal ini

menunjukkan keterkaitan antara kemampuan yang dimiliki siswa dengan

kemampuan penalaran. Berdasarkan pemaparan di atas, peneliti berinisiatif

untuk melakukan penelitian kepada beberapa sampel untuk mengetahui seberapa

besar kemampuan penalaran matematis siswa agar bisa mendeskripsikan sejauh

mana kemampuan penalaran pada masing-masing siswa.

Uraian diatas menjadi dasar bagi peneliti untuk melakukan penelitian

dengan judul “Analisis Kemampuan Penalaran Matematis Siswa Kelas XII

Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga Melalui Soal Open-ended”.

6

B. Fokus Penelitian

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka perumusan masalah

dalam yang diajukan adalah:

1. Bagaimanakah kemampuan penalaran matematis siswa kelas XII Akuntansi

1 SMK Diponegoro Salatiga?

2. Bagaimana upaya guru dalam memaksimalkan kemampuan penalaran

matematis siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga?

3. Bagaimana upaya guru dalam mengatasi masalah terhadap kemampuan

penalaran matematis siswa yang rendah?

C. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas tujuan penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Untuk mendeskripsikan kemampuan penalaran matematis siswa kelas XII

Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga.

2. Untuk mengetahui upaya guru dalam memaksimalkan kemampuan penalaran

matematis siswa kelas XII Akuntansi 1 SMK Diponegoro Salatiga.

3. Untuk mengetahui upaya guru dalam mengatasi masalah terhadap

kemampuan penalaran matematis siswa yang rendah.

D. Manfaat Penelitian

Dalam penelitian ini ada beberapa manfaat yang bisa didapatkan, antara lain:

1) Secara teoritis

7

Pada penelitian ini, diharapkan dapat memberikan gambaran tentang

kemampuan penalaran matematis dan hasil dari penelitian ini dapat dijadikan

evaluasi bagi pelaksanaan pembelajaran matematika, khususnya pada materi

barisan dan deret sehingga pembelajaran matematika dapat dikembangkan.

Sejalan dengan hal tersebut, penelitian ini diharapkan pula dapat menambah

pengetahuan tentang kemampuan penalaran matematis

2) Secara praktis

a. Siswa

Siswa diharapkan mampu memecahkan masalah open-ended khususnya

pada materi barisan dan deret dengan menggunakan kemampuan

penalaran.

b. Guru matematika

Diharapkan mampu menyajikan soal open-ended yang melatih

kemampuan penalaran setiap siswa.

b. Sekolah

Sebagai sumbangan informasi untuk memperbaiki, menyempurnakan, dan

meningkatkan kualitas pendidikan.

c. Peneliti

Diharapkan agar menindaklanjuti penelitian ini untuk dikembangkan lebih

luas ruang lingkupnya.

E. Penegasan Istilah

Batasan pengertian terhadap beberapa istilah pokok yang terdapat dalam

judul penelitian ini perlu diberikan guna menghindari supaya tidak terjadi

8

kesalahpahaman dalam memahami istilah-istilah yang terdapat dalam judul ini.

Maka penulis menjelaskan istilah-istilah tersebut antara lain:

1. Penalaran

Penalaran merupakan aktivitas berpikir yang abstrak. Untuk

mewujudkannya diperlukan simbol. Simbol atau lambang yang digunakan

dalam penalaran berbentuk bahasa, sehingga wujud penalaran akan berupa

argumen. Penalaran merupakan pernyataan atau konsep abstrak dengan

simbol berupa kata, sedangkan untuk proposisi simbol yang digunakan adalah

kalimat (kalimat pernyataan) dan penalaran menggunakan simbol berupa

argumen. Argumenlah yang dapat menentukan kebenaran konklusi dari

premis.

2. Penalaran Matematis

Dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan 2006, kemampuan

penalaran dan komunikasi matematis dalam belajar matematika harus

dikuasai siswa. Istilah “menalar” dalam kerangka proses pembelajaran

dengan pendekatan ilmiah yang dianut dalam Kurikulum 2013 untuk

menggambarkan bahwa guru dan peserta didik merupakan pelaku aktif. Titik

tekannya tentu dalam banyak hal dan situasi peserta didik harus lebih aktif

daripada guru.

3. Kemampuan Penalaran Matematis

Secara umum kemampuan dianggap sebagai kecakapan atau

kesanggupan seseorang dalam menyelesaikan atau menyanggupi suatu

pekerjaan. Penalaran matematis adalah berpikir mengenai permasalahan-

9

permasalahan matematika secara logis untuk memperoleh penyelesaian.

Penalaran matematis juga mensyaratkan kemampuan untuk memilah apa

yang penting dan tidak penting dalam menyelesaikan sebuah permasalahan

dan untuk menjelaskan atau memberikan alasan atas sebuah penyelesaian.

4. Soal Open-ended

Soal open-ended yang dimaksud dalam penelitian ini adalah soal yang

dirancang untuk menyelesaikan persoalan atau permasalahan dengan

beberapa cara atau strategi. Dengan pemberian soal-soal open-ended

memungkinkan siswa berperan aktif dalam mengembangkan metode

penyelesaian masalah tanpa harus terpaku pada cara yang sudah biasa

dikenal. Soal-soal open-ended memberikan peluang kepada siswa untuk

memberikan banyak pemecahan masalah dengan banyak strategi pemecahan

masalah, sehingga dengan beragamnya jawaban yang diberikan siswa

tersebut guru dapat mendeteksi kemampuan berpikir siswa.

5. Barisan dan Deret

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua

suku yang berurutan selalu tetap. Deret aritmatika adalah jumlah beruntun

suku-suku suatu barisan aritmatika. Barisan geometri adalah barisan bilangan

yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

10

F. Sistematika Penulisan

BAB I: Pendahuluan

Memuat kajian mengenai latar belakang masalah, fokus penelitian, tujuan

penelitian, kegunaan penelitian, manfaat penelitian, penegasan istilah, dan

sistematika penulisan

BAB II: Kajian Pustaka

Bab ini membahas tentang definisi penalaran, penalaran matematika,

kemampuan penalaran matematika, soal open-ended.

BAB III: Metode Penelitian

Bab ini membahas tentang jenis penelitian, kehadiran peneliti, lokasi dan

waktu penelitian, sumber, prosedur pengumpulan data, analisis data, dan

pengecekan keabsahan data.

BAB IV: Paparan dan Analisis Data

1. Paparan data

Bab ini membahas paparan data yang berupa batas-batas administrasi, data

hasil ulangan akhir semester mata pelajaran matematika.

2. Analisis data

Analisis data ini membahas tentang hasil kemampuan penalaran siswa

melalui soal open-ended.

11

BAB V Penutup

Bab terakhir yaitu tentang penutup yang meliputi kesimpulan dan saran.

Hasil penelitian yang diambil dari hasil penelitian dari judul hingga proses

pengambilan kesimpulan dan saran-saran bagi berbagai pihak yang

bersangkutan dalam penelitian ini.

12

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Landasan Teori

1. Penalaran

Menurut Peraturan Menteri Pendidikan Nasional nomor 22 tahun 2006

tentang standar isi khususnya untuk pembelajaran matematika yaitu agar

siswa dapat menggunakan penalaran pada pola, sifat, melakukan manipulasi

matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan

gagasan dari pernyataan matematika. Depdiknas menuturkan materi

matematika dan penalaran matematis adalah dua hal yang tidak dapat

dipisahkan, yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran, dan

penalaran dipahami dan dilatih melalui belajar matematika. Dari kurikulum

2013 juga dijelaskan bahwa salah satu kompetensi inti pembelajaran

matematika adalah kemampuan menalar. Hal ini sesuai dengan pendapat Ball,

Lewis & Thamel menyatakan bahwa “mathematiccal reasoning is the

foundation for the construction of mathematical knowledge”. Hal ini berarti

penalaran matematis adalah fondasi untuk mendapatkan atau mengkonstruksi

pengetahuan matematika (Suprihatin, dkk. 2018: 9).

Keraf mengartikan penalaran sebagai proses berpikir dan berusaha

menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui

menuju kepada suatu kesimpulan (Shadiq, 2014: 42). Penalaran adalah suatu

13

proses penarikan kesimpulan dari satu atau lebih proposisi (Surajiyo, 2015:

112).

Al Krismanto mengemukakan di dalam mempelajari matematika

kemampuan penalaran dapat dikembangkan pada saat siswa memahami suatu

konsep (pengertian), atau menemukan dan membuktikan suatu prinsip.

Ketika menemukan atau membuktikan suatu prinsip, dikembangkan pola

pikir induktif dan deduktif. Siswa dibiasakan melihat ciri-ciri beberapa kasus,

melihat pola dan membuat dugaan tentang hubungan yang berlaku umum

(generalisasi, penalaran induktif). Disamping itu siswa juga perlu dibiasakan

menerima terlebih dahulu suatu hubungan yang jelas kebenarannya,

selanjutnya menggunakan hubungan itu untuk menemukan hubungan-

hubungan lainnya (penalaran deduktif). Jadi baik penalaran deduktif maupun

induktif, keduanya amat penting dalam pembelajaran matematika (Sa’adah,

2010: 16).

Suriasumantri (dalam Dewi, 2018: 24) mengemukakan bahwa

penalaran adalah suatu proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan yang

berupa pengetahuan. Penalaran ini menghasilkan pengetahuan yang dikaitkan

dengan kegiatan berpikir yang mempunyai karakteristik tertentu dalam

menemukan kebenaran. Sebagaimana yang ditulis Suriasumantri bahwa

sebagai suatu kegiatan berpikir maka penalaran mempunyai ciri-ciri tertentu,

yaitu adanya pola berpikir yang biasa disebut logika, dan bersifat analitik dari

proses berpikirnya.

14

1. Adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika. Dalam

hal ini maka dapat dikatakan bahwa tiap bentuk penalaran mempunyai

bentuk logikanya sendiri. Atau dapat disimpulkan bahwa kegiatan

penalaran merupakan proses berpikir logis, dimana berpikir logis disini

harus diartikan sebagai kegiatan berpikir menurut suatu pola tertentu.

2. Sifat analitik dari proses berpikirnya. Penalaran merupakan kegiatan

berpikir yang menyadarkan diri kepada suatu analisis, dan kerangka

berpikir yang dipergunakan untuk analisis tersebut adalah logika penalaran

yang bersangkutan. Artinya penalaran ilmiah merupakan suatu kegiatan

analisis yang mempergunakan logika ilmiah, dan demikian juga penalaran

lainnya yang mempergunakan logika tersendiri pula.

Penalaran merupakan suatu kegiatan berpikir yang menyandarkan diri

kepada suatu analisis dan kerangka berpikir yang dipergunakan untuk analisis

tersebut adalah logika penalaran yang bersangkutan. Artinya penalaran ilmiah

merupakan suatu kegiatan analisis yang mempergunakan logika ilmiah, dan

demikian juga penalaran lainnya yang mempergunakan logikanya tersendiri

pula.

Berdasarkan definisi-definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa

penalaran merupakan kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk menarik

kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasar pada beberapa

pernyataan yang diketahui sebelumnya.

15

Di dalam penalaran, terdapat dua jenis penalaran, yaitu penalaran

deduktif dan penalaran induktif sebagai berikut (Shadiq, 2014: 42):

1) Penalaran deduktif

Penalaran deduktif adalah proses berpikir logis yang diawali dengan

penyajian fakta yang bersifat umum, disertai pembuktian khusus dan

diakhiri simpulan yang berupa prinsip, sikap, atau fakta yang berlaku.

Penalaran deduktif merupakan proses berpikir dimana kita menyimpulkan

bahwa kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat

logis dari kebenaran sebelumnya. Penalaran deduktif adalah suatu cara

penarikan kesimpulan dari pernyataan atau fakta-fakta yang dianggap

benar dengan menggunakan logika (Shadiq, 2014: 59-63).

2) Penalaran induktif

Penalaran induktif adalah proses berpikir logis yang diawali dengan

observasi data, pembahasan, dukungan pembuktian, dan diakhiri

kesimpulan umum. Penalaran induktif juga merupakan proses berpikir

untuk menarik suatu kesimpulan yang berlaku umum berdasarkan atas

fakta-fakta yang bersifat khusus. Proses bernalar induktif meliputi

menduga, mengenali pola dan membentuk generalisasi. Sehingga dapat

disimpulkan berpikir induktif merupakan berpikir menggunakan kejadian

atau pengalaman yang sering dijumpai, disimpulkan menjadi kebenaran

secara umum (Rubyanto, 2015: 24).

16

2. Penalaran Matematika

Brodie (2010: 7) memberikan istilah penalaran matematika dalam

beberapa literatur disebut dengan mathematical reasoning. Brodie

menyatakan bahwa, “Mathematical reasoning is reasoning about and with

the object of mathematics.” Pernyataan tersebut dapat diartikan bahwa

penalaran matematika adalah penalaran mengenai objek matematika.

Gardner mengungkapkan bahwa penalaran matematis adalah

kemampuan menganalisa, menggeneralisasi, mensintesis / mengintegrasikan,

memberikan alasan yang tepat dan menyelesaikan masalah tidak rutin

(Lestari dan Yudhanegara 2015: 82).

Dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan 2006, kemampuan

penalaran dan komunikasi matematis dalam belajar matematika harus

dikuasai siswa. Istilah “menalar” dalam kerangka proses pembelajaran

dengan pendekatan ilmiah yang dianut dalam Kurikulum 2013 untuk

menggambarkan bahwa guru dan peserta didik merupakan pelaku aktif. Titik

tekannya tentu dalam banyak hal dan situasi peserta didik harus lebih aktif

daripada guru.

Penalaran matematika yang mencakup kemampuan untuk berpikir

secara logis dan sistematis merupakan ranah kognitif matematika yang paling

tinggi. Indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran

matematika yang dikemukakan oleh Sumarno, yaitu (Lestari dan

Yudhanegara 2015: 82):

1) Menarik kesimpulan logis.

17

2) Memberikan penjelasan dengan model, fakta, sifat-sifat, dan hubungan.

3) Memperkirakan jawaban dan proses solusi.

4) Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi atau

membuat analogi dan generalisasi.

5) Menyusun dan menguji konjektur.

6) Membuat counter example (kontra contoh).

7) Mengikuti aturan inferensi dan memeriksa validitas argumen.

8) Menyusun argumen yang valid.

9) Menyusun pembuktian langsung, tidak langsung dan menggunakan

induksi matematika.

Berikut indikator penalaran matematis menurut Peraturan Dirjen

Dikdasmen No. 506/C/PP/2004 (Shadiq, 2014: 51):

1) Kemampuan menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis,

gambar dan diagram.

2) Kemampuan mengajukan dugaan.

3) Kemampuan melakukan manipulasi matematika.

4) Kemampuan menyusun bukti, memberikan alasan / bukti terhadap

kebenaran solusi.

5) Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan.

6) Memeriksa kesahihan suatu argumen.

7) Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat

generalisasi.

18

Berdasarkan indikator penalaran matematis yang dikemukakan oleh

Peraturan Dirjen Dikdasmen diatas, maka terbentuklah tabel klasifikasi

penilaian kemampuan penalaran siswa:

Tabel 2.1 indikator penalaran matematis siswa

No. Indikator Penalaran Matematis Skor

1. Kemampuan menyajikan pernyataan matematika secara

lisan, tertulis, gambar dan diagram

1

2. Kemampuan mengajukan dugaan 1

3. Kemampuan melakukan manipulasi matematika 1

4. Kemampuan menyusun bukti, memberikan alasan / bukti

terhadap kebenaran solusi

1

5. Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan 1

6. Memeriksa kesahihan suatu argumen 1

7. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk

membuat generalisasi

1

Jika siswa mempunyai penalaran matematis yang baik maka siswa

tersebut mempunyai:

a) Rasa ketertarikan pada matematika.

b) Pengetahuan dan pemahaman terhadap sifat-sifat matematika yang baik,

meliputi konsep, prosedur, dan keterampilan.

c) Kemampuan melakukan analisis dan beralasan secara matematis.

d) Kemampuan menggunakan bahasa matematika untuk

mengkomunikasikan ide-ide.

19

e) Kemampuan menerapkan pengetahuan matematika.

f) Kemampuan menyelesaikan persoalan matematika pada kehidupan sehari-

hari.

Nur mengemukakan bahwa ada lima penalaran, yaitu (Setianingsih,

2016: 22-23):

a) Penalaran proposional

Penalaran proposional merupakan suatu sumber struktur kualitatif

yang memungkinkan pemahaman suatu sistem fisik kompleks yang

mengandung banyak faktor.

b) Pengontrolan variabel

Perkembangan kemampuan pengontrolan variabel merupakan

indeks perkembangan intelektual. Pemikir formal dapat menetapkan dan

mengontrol variabel-variabel tertentu dari suatu masalah.

c) Penalaran probabilistik

Penalaran probabilistik terjadi pada saat seorang mempergunakan

informasi untuk memutuskan apakah suatu kesimpulan berkemungkinan

benar atau berkemungkinan tidak benar, dan hal-hal yang memiliki

kemungkinan terjadi dari perhitungan peluang.

d) Penalaran korelasional

Penalaran korelasional didefinisikan sebagai suatu pola berpikir

untuk menentukan kuatnya hubungan timbal balik atau hubungan terbalik

antara variabel yang ditinjau dengan variabel lainnya. Penalaran

20

korelasional melibatkan pengidentifikasian dan penverifikasian antar

variabel.

e) Penalaran kombinatorial

Penalaran kombinatorial adalah kemampuan untuk

mempertimbangkan seluruh alternatif yang mungkin pada situasi tertentu.

Pemikir formal pada saat memecahkan suatu masalah akan menggunakan

sebuah kombinasi atau faktor yang mungkin ada kaitannya dengan

masalah tersebut.

Penalaran matematika diperlukan untuk menentukan apakah sebuah

argumen matematika benar atau salah dan juga dipakai untuk membangun

suatu argumen matematika. Penalaran matematika tidak hanya penting untuk

melakukan pembuktian (proof) atau pemeriksaan program (program

verification) tetapi juga untuk melakukan inferensi dalam suatu sistem

kecerdasan buatan (artificial intellegence). Dari pengertian di atas dapat

disimpulkan bahwa penalaran matematis adalah suatu proses berpikir dalam

menentukan sebuah argumen matematika benar atau salah yang selanjutnya

digunakan untuk membuat suatu argumen matematika baru.

3. Kemampuan Penalaran Matematika

Gardner mengungkapkan bahwa penalaran matematis adalah

kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, mensintesis, mengintegrasikan,

memberikan alasan yang tepat dan menyelesaikan masalah tidak rutin

(Lestari dan Yudhanegara, 2015: 82).

21

Turmudi (dalam Sumartini 2015: 2), mengatakan bahwa kemampuan

penalaran matematis merupakan suatu kebiasaan otak seperti halnya

kebiasaan lain yang harus dikembangkan secara konsisten menggunakan

berbagai macam konteks, mengenal penalaran dan pembuktian merupakan

aspek-aspek fundamental dalam matematika.

National Council of Teacher Mathematics (NCTM) menyatakan

kemampuan bernalar berperan penting dalam memahami matematika.

Bernalar secara matematis merupakan suatu kebiasaan berpikir, dan layaknya

suatu kebiasaan, maka penalaran semestinya menjadi bagian yang konsisten

dalam setiap pengalaman-pengalaman matematis siswa (Mahendra, dkk,

2016: 2).

Melihat penalaran matematis yang memiliki peranan penting dalam

proses berpikir, maka manfaat penalaran menurut Lehman (Gustiati, 2016:

49), adalah:

1) Memperluas keyakinan (extending belief).

2) Menemukan kebenaran (getting at the truth).

3) Meyakinkan (peruading).

4) Menjelaskan (eksplaining).

Baroody mengungkapkan penalaran adalah suatu alat yang esensial

untuk matematika dan kehidupan sehari-hari. Selanjutnya Baroody

mengungkapkan ada empat alasan, mengapa penalaran penting untuk

matematika dan kehidupan sehari-hari (Wiyanti dan Leonard, 2017: 613)

yaitu: (1) The reasoning needed to do mathematics. Ini berarti penalaran

22

memainkan peran penting dalam pengembangan dan aplikasi matematika.

Misalnya dalam pembuktian-pembuktian geometri diperlukan penalaran

deduktif. (2) The need for reasoning in school mathematics. Menurut NCTM

salah satu tujuan utama dalam pembelajaran matematika adalah

mengutamakan perkembangan daya matematis siswa. (3) Reasoning involved

in other content areas. Ini berarti keterampilan-keterampilan penalaran dapat

diterapkan pada ilmu-ilmu lain. (4) Reasoning for everyday life. Ini berarti

penalaran suatu alat yang esensial untuk mengatasi masalah kehidupan

sehari-hari.

Dari beberapa definisi penalaran yang dikemukakan di atas, peneliti

menyimpulkan bahwa penalaran adalah serangkaian proses berpikir untuk

menarik suatu kesimpulan berdasarkan pada fakta dan sumber yang relevan

dan telah dibuktikan nilai kebenarannya. Penalaran dalam pembelajaran

matematika dibutuhkan untuk menentukan apakah suatu argumen

matematika benar atau salah, selain itu juga dipakai untuk membangun suatu

argumen matematika. Dalam kegiatan pembelajaran di sekolah yang

diperlukan siswa melalui pelajaran matematika adalah menata nalar siswa.

Jika penataan nalar siswa berjalan dengan baik maka dapat menumbuhkan

kebiasaan menalar.

4. Soal Open-ended

Soal-soal open-ended dirancang untuk menyelesaikan persoalan atau

permasalahan dengan beberapa cara atau strategi. Dengan pemberian soal-

soal open-ended memungkinkan siswa berperan aktif dalam mengembangkan

23

metode penyelesaian masalah tanpa harus terpaku pada cara yang sudah biasa

dikenal. Soal-soal open-ended memberikan peluang kepada siswa untuk

memberikan banyak pemecahan masalah dengan banyak strategi pemecahan

masalah, sehingga dengan beragamnya jawaban yang diberikan siswa

tersebut guru dapat mendeteksi kemampuan berpikir siswa. Dengan

memberikan soal-soal open-ended proses berpikir siswa dapat tergambar atau

ditelusuri melalui jawabannya. Dengan demikian guru akan mendapat banyak

informasi berkenaan dengan kemampuan berpikir siswa (Mustikasari, dkk,

2010: 47).

Mahmudi (dalam Setyaningrum, 2017: 2) mengatakan bahwa soal

terbuka (open-ended) adalah soal yang mempunyai banyak solusi dan strategi

penyelesaian. Soal yang bersifat terbuka memiliki tujuan membantu

mengembangkan dengan maksimal berpikir kreatif sesuai kemampuan yang

dimiliki setiap siswa. Dengan demikian, siswa dibiasakan untuk berpikir tidak

monoton dan tidak terpaku dengan contoh yang diberikan oleh guru.

Dengan memberikan soal open-ended kepada siswa, maka

pembelajaran tersebut dapat membangun kegiatan interaktif antara

matematika dan siswa sehingga mengundang siswa untuk menjawab

permasalahan melalui berbagai strategi. Soal open-ended dapat mengarahkan

siswa dalam menjawab dengan banyak cara sehingga merangsang

kemampuan intelektual dan pengalaman berpikir kreatif siswa. Keadaan ini

akan membiasakan siswa berpikir dan bertindak secara kreatif pada diri siswa

24

yang sangat diperlukan untuk menghadapi kehidupan dan melanjutkan

pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi.

Mengembangkan soal open-ended adalah masalah yang tepat untuk

siswa dengan tingkat kemampuan yang beragam tidaklah mudah. Akan tetapi

berdasarkan penelitian yang telah dilakukan di Jepang dalam jangka waktu

yang cukup panjang, ditemukan beberapa hal yang dapat dijadikan acuan

dalam mengkonstruksikan masalah tersebut, diantaranya:

a. Sajikan permasalahan melalui situasi fisik yang nyata dimana konsep-

konsep matematika dapat diawali dan dikaji siswa

b. Soal-soal pembuktian dapat diubah sedemikian rupa sehingga siswa dapat

menemukan hubungan dan sifat-sifat dari variabel dalam persoalan itu.

c. Disajikan bentuk-bentuk atau bangun-bangun (geometri) sehingga siswa

dapat membantu suatu konjektur.

d. Sajikan urutan bilangan atau tabel sehingga siswa dapat menemukan

aturan matematika.

e. Berikan beberapa latihan serupa sehingga siswa dapat menggeneralisasi

dari pelajarannya (Yuliana, 2015: 169).

Ciri terpenting dari soal-soal open-ended adalah tersedianya

kemungkinan dapat serta tersedia bagi siswa untuk memakai sejumlah

metode yang dianggapnya paling sesuai dalam menyelesaikan soal itu. Dalam

arti, pertanyaan pada bentuk open-ended diarahkan untuk menggiring

tumbuhnya pemahaman atas masalah yang diajukan. Cheesman berpendapat

bahwa pertanyaan open-ended memerlukan respon mengenai proses berpikir,

25

kemampuan menyusun generalisasi dan kemampuan mencari hubungan

diantara dua konsep. Hancock mengatakan soal-soal open-ended dapat

mengetahui bahwa proses berperan sama pentingnya dengan hasil akhir

dalam problem solving. Coxford dan Steinmark mengemukakan bahwa nilai

dari soal-soal open-ended, bukan hanya terletak pada format dan materi yang

terkandung dalam soal, melainkan sangat ditentukan oleh prosedur, suasana

dan cara penyampaiannya (Yuliana, 2015: 168).

Shimada mendefinisikan soal open-ended adalah permasalahan yang

diformulasikan mempunyai banyak jawaban yang benar. Masalah

matematika terbuka (open-ended) dapat dikelompokkan menjadi dua tipe,

yaitu: 1) problem dengan satu jawaban banyak cara penyelesaian, yaitu soal

yang diberikan kepada siswa yang mempunyai banyak solusi/cara

penyelesaian akan tetapi mempunyai satu jawaban; 2) problem banyak cara

penyelesaian dan juga banyak jawaban, yaitu soal yang diberikan kepada

siswa yang selain mempunyai banyak solusi/cara penyelesaian, tetapi juga

mempunyai banyak jawaban (Ruslan dan Santoso, 2013: 142).

Sifat keterbukaan dari suatu masalah dikatakan hilang, apabila hanya

ada satu cara dalam menjawab permasalahan yang diberikan, atau hanya ada

satu jalan penyelesaian yang mungkin untuk masalah yang diberikan guru.

Contoh penerapan masalah open-ended dalam kegiatan pembelajaran adalah

ketika siswa diminta mengembangkan metode, cara, atau pendekatan yang

berbeda dalam menjawab permasalahan yang diberikan bukan berorientasi

pada jawaban.

26

Lebih lanjut Sawada mengemukakan bahwa secara umum terdapat tiga

tipe masalah open-ended yang dapat diberikan, yaitu: 1) menemukan

hubungan, soal ini diberikan bertujuan agar siswa dapat menemukan beberapa

aturan atau hubungan matematis; 2) mengklasifikasi, siswa diminta

mengklasifikasikan berdasarkan karakteristik yang berbeda dari suatu objek

tertentu untuk menformulasikan beberapa konsep tertentu; 3) pengukuran,

siswa diminta untuk menentukan ukuran-ukuran numerik dari suatu kejadian

tertentu. Siswa diharapkan dapat mengklasifikasikan pengetahuan dan

ketrampilan yang telah dipelajari sebelumnya untuk memecahkan masalah.

Selanjutnya Heddens dan Speer (dalam Mustikasari, dkk, 2010: 47)

mengungkapkan bahwa dengan pemberian soal open-ended, dapat memberi

rangsangan kepada siswa untuk meningkatkan cara berpikirnya, siswa

memiliki kebebasaan untuk mengekspresikan hasil eksplorasi daya nalar dan

analisanya secara aktif dan kreatif dalam upaya menyelesaikan suatu

permasalahan.

Ketika siswa dihadapkan pada soal open-ended tujuannya bukan hanya

berorientasi pada mendapatkan jawaban atau hasil akhir tetapi lebih

menekankan pada bagaimana siswa sampai pada suatu jawaban, siswa dapat

mengembangkan metode, cara atau pendekatan berbeda untuk menyelesaikan

masalah. Dalam pelaksanaannya hal tersebut memberikan peluang pada siswa

untuk menyelidiki dengan metode yang mereka yakini, dan memberikan

kemungkinan pengerjaan dengan ketelitian yang lebih besar dalam

pemecahan masalah matematika. Sebagai hasilnya, dimungkinkan untuk

27

mempunyai suatu pengembangan yang lebih kaya dalam pemikiran

matematika siswa, serta membantu perkembangan aktivitas dan kreatif dari

siswa.

Becker dan Epstein menjelaskan, suatu soal dapat terbuka (open) dalam

tiga kemungkinan, yaitu: Proses yang terbuka yaitu ketika soal menekankan

pada cara dan strategi yang berbeda dalam menemukan solusi yang tepat.

Jenis soal semacam ini masih mungkin memiliki satu solusi tunggal; Hasil

akhir yang terbuka yaitu ketika soal memiliki jawaban akhir yang berbeda-

beda; Cara untuk mengembangkan yang terbuka, yaitu ketika soal

menekankan pada bagaimana siswa dapat mengembangkan soal baru

berdasarkan soal awal (intitial problem) yang diberikan (Wijaya, 2012).

Sawada (dalam Ruslan dan Santoso, 2013: 142) mengemukakan bahwa

secara umum terdapat tiga tipe masalah open-ended yang dapat diberikan,

yaitu:

1) Menemukan hubungan, soal ini diberikan bertujuan agar siswa dapat

menemukan beberapa aturan atau hubungan matematis.

2) Mengklasifikasi, siswa diminta mengklasifikasikan berdasarkan

karateristik yang berbeda dari suatu objek tertentu untuk

memformulasikan beberapa konsep tertentu.

3) Pengukuran, siswa diminta untuk menentukan ukuran-ukuran numerik

dari suatu kejadian tertentu. Siswa diharapkan dapat mengklasifikasikan

pengetahuan dan ketrampilan yang telah dipelajari sebelumnya untuk

memecahkan masalah.

28

Sawada mengemukakan keunggunalan dari pembelajaran dengan

pemberian soal-soal open-ended adalah sebagai berikut (Mustikasari, dkk,

2010: 48):

1) Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pelajaran dan lebih mudah

mengungkapkan ide-idenya.

2) Siswa memiliki lebih banyak kesempatan untuk memaknai pengetahuan

yang komprehensif dan ketrampilan matematikanya.

3) Setiap siswa dapat merespons soal dalam beberapa cara berbeda menurut

caranya sendiri. Soal open-ended memberikan setiap siswa kesempatan

untuk menemukan jawabannya sendiri.

4) Memberikan siswa pengalaman bernalar melalui kegiatan

membandingkan dan diskusi dalam kelas, siswa sangat termotivasi untuk

memberikan alasan dari jawaban-jawabannya kepada siswa-siswa lain.

5) Terdapat pengalaman kaya bagi siswa untuk menikmati kesenangan

menemukan dan menerima persetujuan dari teman kelasnya.

Beberapa keunggulan dari soal open-ended yang dipaparkan oleh

Suherman antara lain (Ruslan dan Santoso, 2013: 143):

1) Siswa berpartisipasi lebih aktif dalam pembelajaran dan sering

mengekspresikan idenya.

2) Siswa memiliki kesempatan lebih banyak dalam memanfaatkan

pengetahuan dan keterampilan matematika secara komprehensif.

3) Siswa dengan kemampuan matematika rendah dapat merespon

permasalahan dengan cara mereka sendiri.

29

4) Siswa dengan cara intrinsik termotivasi untuk memberikan bukti atau

penjelasan.

5) Siswa memiliki pengalaman banyak untuk menemukan sesuatu dalam

menjawab permasalahan.

Takashi memaparkan keunggulan pendekatan open-ended

(Mustikasari, 2010: 44), adalah:

1) Siswa mengambil bagian lebih aktif dalam pembelajaran, dan sering

menyatakan ide-ide mereka.

2) peluang menggunakan pengetahuan dan keterampilan matematis mereka

3) Siswa dengan kemampuan rendah bisa memberikan reaksi terhadap

masalah dengan beberapa cara signifikan dari milik mereka sendiri.

4) Mendorong siswa untuk memberikan bukti.

5) Siswa memiliki pengalaman yang kaya dan senang atas penemuan mereka

dan menerima persetujuan temannya.

Berdasarkan uraian diatas, maka dapat diungkap bahwa tujuan dari

pemberian soal open-ended dalam pembelajaran matematika adalah untuk

meningkatkan kegiatan kreatif siswa dan berpikir matematika secara simultan

agar berkembang secara maksimal, memberikan kebebasan siswa untuk

berpikir dalam membuat progress pemecahan sesuai dengan kemampuan,

sikap dan minatnya melalui berbagai strategi dan cara yang diyakininya

dalam menyelesaikan masalah sehingga membentuk intelegensi matematika

siswa.

30

5. Barisan dan Deret

a. Pola Bilangan Suku Ke-n

Jika suatu barisan bilangan ditulis dengan lambang U untuk

menyatakan urutan suku-sukunya, maka bilangan pertama ditulis U1,

bilangan kedua ditulis U2, bilangan ketiga ditulis U3, dan seterusnya.

Dengan demikian, diperoleh bentuk umum barisan bilangan yaitu

𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 dengan 𝑈𝑛 = 𝑓(𝑛) disebut rumus umum suku ke-n dari

barisan bilangan.

b. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara

dua suku yang berurutan selalu tetap.

Bentuk umum barisan aritmatika:

𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 atau 𝑎, (𝑎 + 𝑏), (𝑎 + 2𝑏), … , (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

1) Suku ke-n barisan aritmatika

Jika terdapat barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b,

barisan bilangan dapat diurutkan sebagai berikut:

𝑈1 = 𝑎

𝑈2 = 𝑎 + 𝑏

𝑈3 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏

…

𝑈𝑛 = 𝑎(𝑛 − 1)𝑏

Keterangan:

𝑈𝑛 = Suku ke-n 𝑎 = Suku pertama

31

𝑏 = Beda 𝑛 = Banyaknya suku

2) Suku tengah barisan aritmatika

Jika barisan aritmatika memiliki suku ganjil, suku tengahnya

dirumuskan sebagai berikut: 𝑈1 =𝑎+𝑈𝑛

2

Keterangan:

𝑈1 = Suku tengah

𝑎 = Suku pertama

𝑈𝑛 = Suku terakhir

3) Sisipan pada barisan aritmatika

Misalkan di antara dua bilangan real x dan y (dengan 𝑥 ≠ 𝑦) akan

disisipkan sebanyak k bilangan (𝑘 ∈ bilangan asli). Bilangan-bilangan

semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu

barisan aritmatika.

𝑏′ =𝑦−𝑥

𝑘+1 atau 𝑏′ =

𝑏

1+𝑘 dan 𝑛′ = 𝑛 + 𝑛 − 1)𝑘

Keterangan:

𝑏′ = Beda baru

x, y = Bilangan semula

𝑘 = Banyak bilangan

yang disisipkan

𝑏 = Beda semula

𝑛 = Banyak suku barisan

aritmatika lama

𝑛′ = Banyak suku barisan

aritmatika baru

32

c. Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku-suku pada barisan

aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika:

𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 atau 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 +

(𝑛 − 1)𝑏)

𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

Persamaan ini dapat ditulis sebagai:

𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 + ⋯ + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 𝑎

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏, maka 𝑆𝑛dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑺𝒏 =𝒏

𝟐(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒃) atau 𝑺𝒏 =

𝒏

𝟐(𝒂 + 𝑼𝒏)

Keterangan:

𝑆𝑛 = Jumlah suku ke-n

𝑛 = Banyaknya suku

𝑎 = Suku pertama

𝑏 = Beda

𝑈𝑛 = Suku ke-n

Berikut sifat-sifat 𝑆𝑛 pada deret aritmatika:

1) 𝑺𝒏 =𝒏

𝟐(𝒂 + 𝑼𝒏) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli)

yang tidak memiliki suku tetapan.

2) Adapun untuk setiap (𝑛 ∈ bilangan asli) berlaku hubungan 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 =

𝑈𝑛 (suku ke-n).

33

d. Barisan geometri

Barisan geometri yang mempunyai rasio tetap antara dua suku

barisan yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi, suku ke-n barisan

geometri dirumuskan sebagai berikut. 𝑼𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏

Guna mencari rasio suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut!

𝑈2 = 𝑈1 × 𝑟, maka 𝑟 =𝑈2

𝑈1

𝑈3 = 𝑈2 × 𝑟, maka 𝑟 =𝑈3

𝑈2

…

𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1 × 𝑟, maka 𝑟 =𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑟 =

𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

e. Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah dari semua suku-suku pada barisan

geometri.

Jumlah suku-suku deret geometri dirumuskan sebagai berikut.

𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟 untuk 𝑟 < 1

𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟 untuk 𝑟 > 1

Keterangan:

𝑆𝑛 = Jumlah n suku pertama

𝑎 = Suku pertama

𝑟 = Rasio / pembanding

𝑛 = Banyaknya suku

34

1) Deret Geometri Tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen terjadi apabila deret

tersebut memiliki rasio |𝑟| > 1 atau −1 < 𝑟 < 1. Jumlah deret

geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan sebagai

berikut. 𝑺∞ =𝒂

𝟏−𝒓

2) Deret geometri tak hingga divergen

Deret geometri tak hingga divergen (menyebar) terjadi apabila

deret tersebut memiliki rasio |𝑟| > 1 atau 𝑟 > 1 atau 𝑟 < −1. Jumlah

deret geometri divergen tidak didefinisikan.

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil 𝑎 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟4 + ⋯

dapat dirumuskan sebagai berikut. 𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍 =𝒂

𝟏−𝒓𝟐

Adapun jumlah suku-suku pada kedudukan genap 𝑎 + 𝑎𝑟3 +

𝑎𝑟5 + ⋯ dapat dirumuskan sebagai berikut. 𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑 =𝒂

𝟏−𝒓𝟐

Rumusan jumlah suku yang berkedudukan ganjil dan genap dapat

diperoleh hubungan sebagai berikut. 𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑

𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍= 𝒓

f. Aplikasi barisan

1) Pertumbuhan

Pertumbuhan dalam matematika adalah perubahan secara

kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun hidup) yang

makin meningkat (makin banyak) dari periode pertama, kedua, dan

seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Misalkan pertumbuhan setiap

tahun di suatu tempat biasanya meningkat sebesar I (dengan i dalam %),

35

dan banyak penduduk di awal sebanyak 𝐴0 serta banyak penduduk

setelah n tahun dimisalkan dengan 𝐴𝑛, maka dapat disusun model

perhitungan setiap periodenya sebagai berikut.

Setelah tahun pertama (𝐴1):

𝐴1 = 𝐴0 + 𝑖 × 𝐴0

= 𝐴0(1 + 𝑖)

Setelah tahun kedua (𝐴2):

𝐴2 = 𝐴1 + 𝑖 × 𝐴1

= 𝐴1(1 + 𝑖)

= 𝐴0(1 + i)2

Setelah tahun ketiga (𝐴3):

𝐴3 = 𝐴2 + 𝑖 × 𝐴2

= 𝐴2(1 + 𝑖)

= 𝐴0(1 + i)3

Dan seterusnya sehingga setelah tahun ke-n (𝐴𝑛):

𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 + 𝑖 × 𝐴𝑛−1

= 𝐴𝑛−1(1 + 𝑖)

= 𝐴0(1 + i)𝑛

Jika diketahui presentasenya, pertumbuhan setelah tahun ke-n dapat

dihitung dengan rumus berikut. 𝑨𝒏 = 𝑨𝟎(𝟏 + 𝐢)𝒏

Jika diketahui kelipatannya langsung, pertumbuhan setelah tahun ke-n

dapat dihitung dengan sebagai berikut. 𝑨𝒏 = 𝑨𝟎𝒓𝒏 dengan 𝑟 > 1

36

Keterangan:

𝐴0 = Jumlah objek di awal

𝐴𝑛 = Jumlah objek setelah tahun ke-n atau periode ke-n

𝑖 = Presentase kenaikan/pertumbuhan

𝑟 = Kelipatan kenaikan/pertumbuhan (rasio)

2) Peluruhan

Peluruhan adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu

objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang makin lama makin

menurun jumlahnya (makin sedikit) dari periode pertama, periode

kedua dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Bentuk peluruhan

ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan

peluruhan suatu objek di suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar

i (dengan i dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di

awal 𝐴0 serta banyak objek setelah n tahun dimisalkan dengan 𝐴𝑛,

maka dapat disusun model perhitungan setiap perhitungan setiap

periodenya sebagai berikut.

Setelah tahun pertama (𝐴1):

𝐴1 = 𝐴0 − 𝑖 × 𝐴0

= 𝐴0(1 − 𝑖)

Setelah tahun kedua (𝐴2):

𝐴2 = 𝐴1 − 𝑖 × 𝐴1

= 𝐴1(1 − 𝑖)

37

= 𝐴0(1 − i)2

Setelah tahun ketiga (𝐴3):

𝐴3 = 𝐴2 − 𝑖 × 𝐴2

= 𝐴2(1 − 𝑖)

= 𝐴0(1 − i)3

Dan seterusnya sehingga setelah tahun ke-n (𝐴𝑛):

𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 − 𝑖 × 𝐴𝑛−1

= 𝐴𝑛−1(1 − 𝑖)

= 𝐴0(1 − i)𝑛

Peluruhan setelah tahun ke-n dapat dihitung dengan menggunakan

rumus sebagai berikut.

Jika diketahui presentase (i): 𝐴𝑛 = 𝐴0(1 − i)𝑛

Adapun jika diketahui kelipatannya langsung (rasio): 𝐴𝑛 = 𝐴0(r)𝑛

dengan 0 < 𝑟 < 1.

Keterangan:

𝐴0 = Jumlah objek awal

𝐴𝑛 = Jumlah objek setelah tahun ke-n atau periode ke-n

𝑖 = Presentase penurunan/peluruhan

𝑟 = Kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)

38

3) Bunga Majemuk

a. Menentukan besarnya bunga majemuk

Besarnya bunga pada akhir periode ke-n (𝐵𝑛) dapat ditentukan

dengan rumus sebagai berikut.

𝐵𝑛 = 𝑖 × (1 + 𝑛)𝑛−1 × 𝑀

Keterangan:

𝐵𝑛 = Bunga periode ke-n (akhir periode ke-n)

𝑖 =Suku bunga per periode

𝑀 = Modal awal yang ditabung atau dipinjam

b. Menentukan besarnya modal akhir pada bunga majemuk

Besarnya modal akhir periode ke-n dapat dihitung dengan

menggunakan rumus berikut.

𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑖)𝑛

Keterangan:

𝑀𝑛 = Modal akhir setelah periode ke-n (akhir periode ke-n)

Catatan:

𝑖 dan 𝑛 harus dalam satuan/periode yang sama.

Jika 𝑖 dan 𝑛 tidak dalam periode yang sama, satuan n diubah

menjadi bentuk satuan 𝑖.

39

c. Menentukan modal akhir (𝑴𝒏) bunga majemuk dengan masa

bunga pecahan (n)

Jangka waktu (n) proses berbunganya suatu modal tidak hanya

merupakan bilangan. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan

bulat, maka cara menentukan nilai (1 + 𝑖)𝑛 dapat dilakukan dengan

beberapa cara, sebagai berikut.

1. Dengan menghitung langsung bentuk (1 + 𝑖)𝑛 menggunakan

kalkulator.

2. Sisa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung

bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga

yang bulat.

𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑖)𝑛(1 + 𝑃. 𝑖) dengan p masa bunga pecahan.

4) Anuitas

Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya,

dibayarkan setiap akhir jangka waktu dan terdiri atas bagian bunga an

bagian angsuran.

Anuitas = bunga + angsuran

a. Menentukan angsuran ke-n (𝒂𝒏)

Jika suatu pinjaman M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan

selama n tahun suku bunga i% / tahun, dan setiap anuitas sama

besarnya, maka berlaku:

𝐴𝑛 + 1 = 𝐴𝑛

𝑎𝑛+1 + 𝑏𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛

40

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1

= 𝑎𝑛 + (𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1)

= 𝑎𝑛 + (𝑎𝑛. 𝑖)

= 𝑎𝑛 + (1 + 𝑖)

Sehingga diperoleh:

𝑎2 = 𝑎1 + (1 + 𝑖)

𝑎3 = 𝑎2 + (1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)2

𝑎4 = 𝑎3 + (1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 𝑎1 + (1 + 𝑖)3

…

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (1 + 𝑖)𝑛−1

Besarnya angsuran dapat dinyatakan sebagai berikut.

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏 atau 𝒂𝒏 = 𝒂𝒌 + (𝟏 + 𝒊)

𝒏−𝒌

Keterangan:

𝑎𝑛 = Angsuran ke-n

𝑎𝑘 = Angsuran ke-k

𝑎1 = Angsuran pertama

𝑖 = Suku bunga setiap periodenya

Guna mencari besarnya bunga pertama dirumuskan sebagai berikut.

𝑏1 = 𝑀. 𝑖

𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑖

41

b. Menentukan anuitas

Rumus anuitas dapat dijabarkan dengan menggunakan konsep

barisan dan deret geometri. Misalkan seseorang meminjam uang

sebesar M yang akan dilunasi dengan mencicil sebesar A setiap

periodenya. Jika besarnya suku bunga i% per periode, maka

besarnya anuitas (A) dengan mencicil n kali dapat dihitung dengan

penjabaran rumus berikut.

Besarnya pinjaman = jumlah semua angsuran

𝑀 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛

𝑀 = 𝑎1 + 𝑎1(1 + 𝑖) + 𝑎1(1 + 𝑖)2 + 𝑎1(1 + 𝑖)

3 + ⋯ +

𝑎𝑛(1 + 𝑖)𝑛

𝑀 = Jumlah barisan geometri dengan suku pertama = 𝑎1 dengan

rasio = (1 + 𝑖)

𝑀 =𝑎1((1+𝑖)

𝑛−1)

(1+𝑖)−1

𝑀 =𝑎1((1+𝑖)

𝑛−1)

𝑖

𝑎1 =𝑀.𝑖

((1+𝑖)𝑛−1)

Ingat kembali bahwa:

𝐴 = 𝑎1 + 𝑏1

𝐴 = 𝑎1 + 𝑀. 𝑖

𝑎1 = 𝐴 − 𝑀. 𝑖

42

Sehingga diperoleh sebagai berikut.

𝐴 =𝑀.𝑖

(1−(1+𝑖)−𝑛)

Hubungan anuitas dan angsuran pertama sebagai berikut.

𝐴 = 𝑎1(1 + 𝑖)𝑛

Rumus perhitungan anuitas sebagai berikut.

𝑨 =𝑴.𝒊

(𝟏−(𝟏+𝒊)−𝒏) dan 𝒂𝟏 =

𝑴.𝒊

((𝟏+𝒊)𝒏−𝟏)

Jika menggunakan daftar anuitas:

𝐴 =𝑀.𝑖

(1−(1+𝑖)−𝑛)

𝐴 = 𝑀.𝑖

(1−(1+𝑖)−𝑛)

𝐴 = 𝑀 × 𝑑𝑎𝑓𝑡𝑎𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑖𝑡𝑎𝑠

Dengan 𝑖

(1−(1+𝑖)−𝑛)= daftar anuitas kolom i% dan baris ke-n.

Hubungan anuitas (A) dan angsuran pertama (𝑎1):

𝑨 = 𝒂𝟏 × (𝟏 + 𝒊)𝒏

B. Kajian Pustaka

Kajian pustaka berisi tentang telaah terhadap hasil penelitian terdahulu

(prior research) yang relevan dengan permasalahan dan variabel yang diteliti.

Kajian pustaka dimaksudkan untuk memperkaya wawasan peneliti tentang tema

43

atau fokus kajian dan menghindari duplikasi penelitian. Penelitian terdahulu

yang dijadikan peneliti sebagai acuan diantaranya:

1. Penelitian terdahulu yang relevan dengan permasalahan kemampuan

penalaran:

a. Penelitian Intan Mutiara Dewi dengan judul “Analisis Kemampuan

Penalaran Matematis Siswa Dalam Menyelesaikan Masalah Matematika

Materi Aritmatika Sosial Kelas VII Di Mts Negeri 6 Tulungagung”

Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa:

1) Kemampuan penalaran matematis yang ditampilkan siswa yang

berkemampuan tinggi dalam menyelesaikan masalah matematika

memenuhi pada indikator mengajukan dugaan; melakukan manipulasi

matematika; menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap

beberapa kebenaran solusi; menarik kesimpulan dari suatu pernyataan;

dan memeriksa kesahihan suatu argumen.


berkemampuan sedang dalam menyelesaikan masalah matematika

memenuhi pada indikator mengajukan dugaan dan memeriksa

kesahihan argumen.


berkemampuan rendah dalam menyelesaikan masalah matematika

memenuhi indikator mengajukan dugaan.

44

Tabel 2.2 Perbedaan dan persamaan penelitian terdahulu dan penelitian

sekarang

Penelitian Terdahulu Penelitian Sekarang

Perbedaan Analisis kemampuan

penalaran matematis siswa

dalam menyelesaikan

masalah matematika materi

aritmatika sosial kelas VII

di MTS Negeri 6

tulungagung

Analisis kemampuan


kelas XII Akuntansi 1

SMK Diponegoro Salatiga

melalui soal open-ended

Subjek siswa kelas VII di

MTS Negeri 6

Tulungagung

Subjek siswa kelas XII

Akuntansi 1 di SMK

Diponegoro Salatiga

Menyelesaikan masalah

matematika materi

aritmatika sosial


matematika materi barisan

dan deret

Persamaan Menganalisis kemampuan

penalaran matematis dalam

menyelesaikan masalah

matematika

Menganalisis kemampuan



matematika

b. Penelitian Ruslan dan Santoso dengan judul “pendekatan pemberian soal

open-ended terhadap kemampuan penalaran matematis siswa”.


1) Terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematis

siswa antara siswa yang diberi soal open-ended dengan pemberian soal

45

rutin, yaitu penggunaan pemberian soal berpengaruh baik secara

bermakna terhadap kemampuan penalaran matematis siswa.

2) Terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematis

siswa antara siswa pada level pengetahuan awal matematika tinggi,

sedang, dan rendah, yaitu kemampuan penalaran matematis siswa yang

berasal dari siswa level tinggi lebih baik daripada siswa level tinggi

lebih baik daripada siswa yang berasal dari level sedang maupun

rendah.

3) Tidak terdapat interaksi antara faktor pemberian soal dan faktor

pengetahuan awal matematika terhadap peningkatan kemampuan

penalaran matematis. Dengan demikian tingkat pengetahuan

matematika siswa (tinggi, sedang, dan rendah) tidak berpengaruh pada

kemampuan penalaran matematis.

46


sekarang


Perbedaan pendekatan pemberian soal

open-ended terhadap

kemampuan penalaran

matematis siswa

Analisis kemampuan





Subjek siswa kelas VIII.5

di SMPN 7 Prabu-mulih

tahun ajaran 2012/2013


Akuntansi 1 di SMK

Diponegoro Salatiga


matematika materi

menghitung keliling dan

luas lingkaran



dan deret




matematika




matematika

c. Penelitian Tri Roro Suprihatin, Rippi Maya, Eka Senjayawati dengan judul

“analisis kemampuan penalaran matematis siswa SMP pada materi

segitiga dan segiempat”.


Dari semua kategori kemampuan penalaran matematis siswa, bahwa

indikator manipulasi matematik masih belum terpenuhi dengan baik.

Mengenai indikator ini memang masih banyak siswa yang kebingungan

47

dalam melakukan manipulasi matematika. Hal ini juga terlihat pada saat

wawancara dengan beberapa siswa, hanya beberapa siswa saja yang

mampu mengaitkan pembelajaran matematika dengan kehidupan sehari-

hari yaitu melakukan manipulasi matematika.


sekarang.


Perbedaan pendekatan pemberian soal

open-ended terhadap

kemampuan penalaran

matematis siswa

Analisis kemampuan

penalaran matematis

siswa kelas XII

Akuntansi 1 SMK

Diponegoro Salatiga


Subjek siswa kelas IX di SMP

Negeri 7 Pakuhaji kabupaten

Bandung Barat


Akuntansi 1 di SMK

Diponegoro Salatiga


matematika materi segitiga

dan segiempat


matematika materi

barisan dan deret




matematika

Menganalisis

kemampuan penalaran

matematis dalam


matematika

2. Penelitian terdahulu yang relevan dengan permasalahan open-ended

a. Penelitian Neny Lestari, Yusuf Hartono dan Purwoko dengan judul

“pengaruh pendekatan open-ended terhadap penalaran matematika siswa

sekolah menengah pertama Palembang”.

48


1) Berdasarkan hasil analisis data tes, rata-rata kemampuan penalaran

matematika siswa dalam menyelesaikan masalah setelah melakukan

pembelajaran dengan pendekatan open-ended mengalami peningkatan

berkategori tinggi.

2) Hasil pengamatan yang didapat selama proses, siswa yang mendapat

skor tinggi adalah siswa-siswa yang benar-benar aktif dan serius saat

mengikuti pembelajaran dengan pendekatan open-ended, mereka juga

tidak canggung untuk menyampaikan pendapat dalam diskusi

kelompok ataupun diskusi kelas.

3) Terdapat pengaruh yang signifikan dalam pembelajaran dengan

menggunakan pendekatan open-ended terhadap kemampuan penalaran

matematika siswa

49


sekarang


Perbedaan pengaruh pendekatan

open-ended terhadap

penalaran matematika

siswa sekolah menengah

pertama Palembang

Analisis kemampuan





Subjek siswa kelas VII.5 di

SMP Negeri 8 Palembang


Akuntansi 1 di SMK

Diponegoro Salatiga


matematika materi segitiga

dan segiempat



dan deret




matematika




matematika

b. Peneliti Alimuddin, Asdar, dan Widyawanti Rajiman dengan judul

“karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended ditinjau dari

kemampuan logika siswa kelas XI SMA Negeri 3 Wajo”


1. Terdapat hubungan positif antara kemampuan logika dan hasil

pemecahan masalah matematika open-ended siswa kelas XI IPA.6

SMA Negeri 3 Wajo

2. Karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended siswa

kemampuan logika tinggi (ST) pada setiap karakteristik masalah yang

diberikan berdasarkan tahapan pemecahan masalah Polya:

50

a) Memahami masalah ST memiliki pemahaman masalah secara

komprehensif yaitu menuliskan dengan mengidentifikasi hal-hal

yang diketahui dan ditanyakan dengan kalimat sendiri serta

melakukan dugaan awal pada setiap masalah open-ended yang

diberikan (berpikir secara induktif).

b) Merencanakan Penyelesaian ST melakukan koneksi konsep yaitu

dengan mengaitkan konsep konsep yang ingin digunakan pada

masalah open-ended yang diberikan (berpikir secara induktif).

c) Melakukan Rencana Penyelesaian ST menuliskan penyelesaian

dengan minimal dua cara sesuai yang ditanyakan pada soal,

melakukan analisis antar konsep terkait dugaan awal untuk mencari

untuk mencari solusi penyelesaian (berpikir secara induktif)

d) Menelusuri Kembali ST melakukan penelusuran kembali tahap demi

tahap dengan mengecek kembali hasil yang diperoleh mulai dari hal

yang diketahui dan ditanyakan, serta menghitung kembali hasil yang

diperoleh (berpikir secara induktif).

3. Karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended siswa

kemampuan logika rendah (SR) pada setiap karakteristik masalah yang

diberikan berdasarkan tahapan pemecahan masalah Polya:

a) Memahami masalah SR memiliki pemahaman eksplisit atau kurang

memahami masalah seperti tidak menuliskan hal-hal yang diketahui

dan ditanyakan dan tidak melakukan dugaan awal pada setiap

masalah open-ended yang diberikan (berpikir secara deduktif)

51

b) Merencanakan Penyelesaian SR berpikir praktis yaitu SR

menuliskan konsep-konsep yang ingin digunakan dalam

penyelesaian masalah (berpikir secara deduktif)

c) Melakukan Rencana Penyelesaian SR menerapkan rumus yaitu

menerapkan rumus secara langsung yang akan digunakan dalam

penyelesaian masalah, menuliskan penyelesaian dengan minimal

dua cara (berpikir secara deduktif).

d) Menelusuri Kembali SR tidak melakukan penelusuran kembali

dengan tidak mengecek kembali hasil yang diperoleh.

4. Perbedaan karakteristik pemecahan masalah matematika open-ended

antara siswa berkemampuan logika tinggi (ST) dan siswa

berkemampuan logika rendah (SR) terletak pada setiap pemecahan

masalah berdasarkan langkah Polya, yaitu:

a) Memahami masalah ST memiliki pemahaman masalah secara

komprehensif sedangkan SR memiliki pemahaman eksplisit.

b) Merencanakan Penyelesaian ST melakukan koneksi konsep

sedangkan SR berpikir praktis.

c) Melakukan Rencana Penyelesaian ST melakukan analisis antar

konsep yang terkait sedangkan SR menerapkan rumus yaitu

menerapkan rumus secara langsung.

d) Menelusuri Kembali ST melakukan penelusuran kembali tahap demi

tahap sedangkan SR tidak melakukan penelusuran kembali.

52


sekarang


Perbedaan karakteristik

pemecahan masalah

matematika open-ended

ditinjau dari

kemampuan logika

siswa kelas XI SMA

Negeri 3 Wajo

Analisis kemampuan





Subjek siswa kelas XI

IPA.6 di SMA Negeri 3

Wajo


Akuntansi 1 di SMK

Diponegoro Salatiga


matematika yang

diadopsi dari soal-soal

UN



dan deret

Persamaan Menganalisis

kemampuan penalaran

matematis dalam


matematika


penalaran matematis

dalam menyelesaikan

masalah matematika

53

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Peneliti menggunakan jenis penelitian deskriptif kualitatif. Hamid

Darmadi mengata

Documents

ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS MELALUI …e-repository.perpus.iainsalatiga.ac.id/9420/1/ANNISA... · 2020. 10. 23. · Lampiran 6. Kunci Jawaban Lembar Kerja Siswa.....221