Penalaran Matematika

1

Tugas Mata Kuliah : Arah kecendrungan dan Isu Dalam Matematika

Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Hasratuddin, M.Pd

r easoning (penalaran)

makalah

oleh:

kelompok II

1. Ahmad Rahmatika

2. Anni H.M Sitanggang

3. Febri Ronald Marpaung

4. Jasinta Tasleky

5. Nurcahaya Hutasoit

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2014

2

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ..................................................................1

B. Rumusan Masalah ..........................................................................2

C. Tujuan Penulisan .............................................................................3

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Penalaran Matematika ...................................................4

B. Masalah-maslaah Penalaran Matematika ........................................9

C. Penalaran Induktif dan Deduktif ...................................................14

D. Rubrik dan Soal Penalaran Matematika .........................................21

BAB III KESIMPULAN .................................................................................24

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................25

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan disiplin ilmu yang mempunyai sifat khas jika

dibandingkan dengan disiplin ilmu yang lain. Karena itu kegiatan belajar dan

mengajar matematika seyogyanya tidak disamakan begitu saja dengan ilmu yang

lain, karena peserta didik yang belajar matematika itupun berbeda-beda pula

kemampuannya, maka kegiatan belajar mengajar haruslah diatur sekaligus

memperhatikan kemampuan yang belajar.

Pelajaran matematika diberikan di setiap jenjang pendidikan dengan bobot

yang kuat, menunjukkan bahwa matematika adalah salah satu pelajaran yang

mempunyai peranan yang sangat penting. Dalam kondisi tersebut, seharusnya

hasil belajar matematika peserta didik menunjukkan hasil yang cukup baik, akan

tetapi hal tersebut sangat bertolak belakang dengan keadaan yang terjadi di

lapangan.

Ada banyak faktor yang mengakibatkan hasil belajar peserta didik rendah,

diantaranya perilaku-perilaku negatif siswa dalam belajar matematika yang

memungkinkan siswa tidak bergairah dalam belajar matematika. Kegiatan

pembelajaran di sekolah biasanya hanya menekankan pada transformasi informasi

faktual, guru cenderung menuliskan definisi atau teorema beserta buktinya di

papan tulis dilanjutkan contoh penerapan teorema tersebut dalam penyelesaian

soal, siswa mencatat apa yang dijelaskan guru dan contoh penyelesaian soal yang

ditulis. Selain itu, guru menuliskan soal-soal di papan tulis dan siswa diminta

mengerjakan, serta guru meminta siswa untuk menuliskan hasil pekerjaannya di

papan tulis.

4

Perbaikan hasil pembelajaran matematika perlu dilakukan melalui perbaikan

kondisi yang mendukung peningkatan kecerdasan/kemampuan peserta didik,

perubahan sikap siswa terhadap matematika serta kemampuan dan kemauan guru

dalam mengubah paradigma pendidikan. Tujuan pembelajaran matematika harus

dipahami dengan baik oleh guru sebagai agar proses pembelajaran sesuai dengan

apa yang diharapkan. Menurut Syaban “tujuan yang ingin dicapai pada

pembelajaran matematika yaitu (1) kemampuan pemecahan masalah (problem

solving); (2) kemampuan berargumentasi (reasonning); (3) Kemampuan

berkomunikasi (communication); (4) Kemampuan membuat koneksi (connection)

dan (5) Kemampuan representasi (representation)”.

B. Rumusan Masalah

1. Apa itu penalaran?

2. Bagaimana cara mengetahui kemampuan penalaran peserta didik?

C. Tujuan Penulisan

Bertitik tolak dari permasalahan di atas, yang menjadi tujuan penulisan ini

adalah untuk mengetahui kemampuan matematika apa saja yang harus dimiliki

oleh peserta didik di masa sekarang dan masa yang akan datang, khususnya

kemampuan “ Penalaran Matematika” demi tercapainya tujuan pembelajaran

matematika.

5

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Penalaran Matematika

Penalaran matematika adalah salah satu proses berfikir yang dilakukan

dengan cara menarik suatu kesimpulan dimana kesimpulan tersebut merupakan

kesimpulan yang sudah valid atau dapat dipertanggung jawabkan

(Nurahman:2011). Penalaran matematika merupakan hal yang sangat penting

untuk mengetahui dan mengerjakan permasalahan matematika. Fondasi dari

matematika adalah penalaran (reasoning). Ross (dalam Lithner, 2000) menyatakan

bahwa salah satu tujuan terpenting dari pembelajaran matematika adalah

mengajarkan kepada siswa penalaran logika (logical reasoning). Menurut kami

logika adalah argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-

prinsip untuk menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen,

khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika

dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda

dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari. Bila kemampuan bernalar tidak

dikembangkan pada siswa, maka bagi siswa matematika hanya akan menjadi

materi yang mengikuti serangkaian prosedur dan meniru contoh-contoh tanpa

mengetahui maknanya. Banyak penelitian yang dilakukan para psikolog dan

pendidik berkaitan dengan penalaran. Penalaran yang mula-mula dikenalkan oleh

Aristotles adalah penalaran silogisme yang idenya muncul ketika orang ingin

mengetahui “apa yang terjadi dibenak” dalam memecahkan masalah yang memuat

logika. Lebih dari 2000 tahun yang lalu Aristotles mengenalkan suatu sistem

penalaran atau validasi argumen yang disebut silogisme. Silogisme memuat tiga

urutan argumen: sebuah premis utama (a major premise); sebuah premis minor (a

minor premise); dan sebuah kesimpulan (a conclusion). Suatu kesimpulan yang

dicapai berdasarkan penalaran silogisme dinilai “benar” atau “valid”, jika premis-

6

premisnya merupakan pernyataan yang benar dan disusun dalam bentuk yang

benar.

Aplikasi penalaran sering ditemukan meskipun tidak secara formal disebut

belajar bernalar. Beberapa contohnya adalah:

Untuk menentukan hasil 7 + 8, berdasarkan pengetahuan yang sudah

dimiliki siswa yaitu 7 + 7 =14,maka siswa diharapkan dapat menyimpulkan

bahwa 7 + 8 adalah sama dengan 14 + 1 atau sama dengan 15

Untuk menentukan hasil dari 7 + 8, berdasarkan pengetahuan yang sudah

dimiliki yaitu 7 + 3 = 10 dan 8 = 3 + 5, para siswa diharapkan dapat

menyimpulkan bahwa 7 + 8 adalah sama dengan 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15

Untuk menentukan hasil dari 6 x 7, berdasar pengetahuan yang sudah

dimiliki para siswa yaitu 5 x 7 = 35, maka para siswa diharapkan dapat

menyimpulkan 6 x 7 = 35 + 7 = 42

Untuk menentukan hasil dari 998 + 1236, para siswa dapat mengambil 2

dari 1236 untuk ditambahkan ke 998 sehingga menjadi 1000. Dengan

demikian, para siswa dapat dilatih untuk menyimpulkan bahwa 998 + 1236

sama nilainya dengan 1000 + 1234 atau sama dengan 2234. Dengan

demikian, didapat kesimpulan bahwa 998 + 1236 = 1000 + 1234 = 2234

Jika besar dua sudut pada suatu segitiga adalah 60o dan 100o maka sudut

yang ketiga adalah 180o - ( 100o + 60o) = 20o. hal ini didasarkan pada teori

matematika yang menyatakan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu

segitiga adalah 180o.

Jika (x – 1) (x + 10) = 0 maka x = 1 dan x = -10

Sejalan dengan contoh-contoh diatas, telah terjadi proses penarikan

kesimpulan dari beberapa fakta yang telah diketahui siswa, seperti yang

dikemukakan oleh (Shadiq, 2004) penalaran (jalan pikiran atau reasoning)

merupakan “Proses berfikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta

atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan”.

Menurut kami proses berfikir dalam penalaran itu selalu dihubungkan dengan

kehidupan sehari-hari guna mendapat kesimpulan yang dapat dipertangggung

7

jawabkan. Sebagai contoh, dari persamaan kuadrat 𝑥 2 + 9𝑥 − 10 = 0 yang

diketahui, dapat disimpulkan ataupun dibuat pernyataan lain bahwa x = 1 atau x =

-10. Dari pengetahuan tentang besar dua sudut suatu segitiga yaitu 60o dan 100o

maka dapat disimpulkan ataupun dibuat pernyataan lain bahwa besar sudut ketiga

pada segitiga itu adalah 20o. Pada intinya, penalaran merupakan suatu kegiatan,

suatu proses atau aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat

pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang

kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya.

Untuk dapat meningkatkan kemampuan berpikir matematika siswa, perlu

diketahui tingkatan kemampuan berpikir matematika. Shefer dan Foster (1997)

mengajukan tiga tingkatan kemampuan berpikir matematika, yaitu tingkatan

reproduksi, tingkatan koneksi, dan tingkatan analisis. Masing-masing tingkatan

terdiri atas komponen-komponen sebagai indikatornya, yaitu sebagai berikut:

Tingkatan I Reproduksi

Mengetahui fakta dasar

Menerapkan algoritma standar

Mengembangkan keterampilan teknis

Tingkatan II Koneksi

Mengintegrasikan informasi

Membuat koneksi dalam dan antar domain matematika

Menetapkan rumus yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah

Memecahkan masalah tidak rutin

Tingkatan III Analisis

Matematisasi situasi

Melakukan analisis

Melakukan interpretasi

Mengembangkan model dan strategi baru

Mengembangkan argumen matematika

Membuat generalisasi.

8

Menurut kami tingkatan kemampuan matematika di atas dapat digunakan

selain untuk mengevaluasi penekanan proses pembelajaran yang selama ini

dilakukan, juga menyusun instrumen (soal tes) yang dimaksudkan untuk

mengetahui tingkatan kemampuan matematika siswa. Setelah kita dapat

mengidentifikan tingkat kemampuan siswa, maka upaya-upaya meningkatkan

kemampuan berpikir matematik dapat dilakukan dengan berpedoman pada

komponen kemampuan pada tingkatan berikutnya.

Depdiknas(2002:6) menyatakan bahwa “ Materi matematika dan penalaran

matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan, yaitu materi

matematika dipahami melalui penalaran matematika dan penalaran matematika

dipahami melalui belajar matematika “ Menurut kami memang materi itu harus

dipahami dengan penalaran matematika akan tetapi tidak semua materi harus

dihubungkan dengan penalaran matematika, selanjutnya penalaran matematika

dipahami melalui proses belajar memgajar dengan mengaitkan materi dengan

kehidupan sehari-hari.

Pola pikir yang dikembangkan dengan penalaran matematika adalah

melibatkan pemikiran yang kritis, sistematis, logis serta kreatif, kemampuan dan

keterampilan bernalar dibutuhkan para siswa ketika mempelajari matematika

maupun dalam interaksi pada masyarakat langsung

Daya matematika siswa seyogyanya dapat diwujudkan dalam berbagai

dimensi supaya mampu memunculkan berbagai metode matematika yang nantinya

dapat membantu siswa dalam memecahkan masalah tidak rutin dan dapat

dijadikan panduan dalam menghadapi perubahan kehidupan dalam masyarakat

yang bergantung pada kemajuan ilmu, teknologi dan informasi. Penalaran

matematika dalam sudut pandang aktivitas dinamik melibatkan keragaman mode

berpikir, dan daya matematika dipandang sebagai komponen integral dari berpikir

matematika. Khususnya berpikir matematika yang melibatkan keragaman

matematika dalam keterampilan berpikir untuk memahami ide-ide, menemukan

hubungan antar ide-ide, dan mendukung gambaran atau kesimpulan tentang ide-

ide dan hubungan-hubungannya, dan memecahkan masalah-masalah yang

melibatkan ide-ide tersebut (O’Daffer dan Thornquist). Penalaran matematika

9

memiliki peran yang amat penting dalam proses berpikir seseorang. Penalaran

matematika meliputi mengumpulkan bukti-bukti, membuat konjektur-konjektur,

menetapkan generalisasi-generalisasi, membangun argumen-argumen, dan

menentukan (dan validasi) kesimpulan-kesimpulan logis berdasar ide-ide dan

hubungan-hubungannya. Untuk mencapai daya matematika berbagai mode

penalaran matematika dilibatkan misalnya induktif (inductive), deduktif

(deducttive), bersyarat (conditional), perbandingan (proporsional), grafik

(graphical), keruangan (spatial) dan penalaran abstrak (abstract reasoning).

Peressini dan Webb (1999) di samping memandang penalaran matematika

sebagai konseptualisasi dinamik dari daya matematika (mathematically powerful)

siswa, juga memandang penalaran matematika sebagai aktivitas dinamik yang

melibatkan keragaman mode berpikir. Daya matematika sebagai suatu integrasi

dari berikut ini:

(a) suatu kecenderungan positip kepada matematika;

(b) pengetahuan dan pemahaman terhadap sifat-sifat matematika, meliputi

konsep-konsep, prosedur-prosedur dan keterampilan-keterampilan;

(c) kecakapan melakukan analisis dan beralasan secara matematis;

(d) kecakapan menggunakan bahasa matematika untuk mengkomunikasikan

ide-ide; dan

(e) kecakapan menerapkan pengetahuan matematika

untuk memecahkan masalah-masalah dalam berbagai konteks dan disiplin

ilmu (NCTM, 1989 dalam Perissini dan Webb, 1999). Penalaran Matematika

yang mencakup kemampuan untuk berpikir secara logis dan sistematis

merupakan ranah kognitif matematik yang paling tinggi. Sumarno (2002)

memberikan indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran

matematika, yaitu sebagai berikut:

Membuat analogi dan generalisi

Memberikan penjelasan dengan menggunakan model

Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika

10

Menyusun dan menguji konjektur

Memeriksa validitas argumen

Menyusun pembuktian langsung

Menyusun pembuktian tidak langsung

Memberikan contoh penyangkal

Mengikuti aturan enferensi

Menurut kami indikator diatas sangat membantu untuk meningkatkan kemampuan

penalaran peserta didik karena memilki alur yang membantu guru dalam

menyusun strategi belajar unutk siswa.

Di bawah ini akan diberikan contoh masalah dalam matematika yang

menuntut kemampuan penalaran matematika.

B. Masalah-Masalah Penalaran Matematika

a. Membuat Analogi

Contoh : Tentukan nilai dari

A = 20102009

1...

43

1

32

1

21

1

xxxx

Jawab:

Suku ke-k dari deret itu adalah )1(

1

kk

Sekarang perhatikan bahwa : 1

11

)1(

1

kkkk

Dengan demilian nilai A adalah :

A =

2010

1

2009

1

2009

1

2008

1...

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

1

1

= 2010

2009

2010

11

b. Menyusun dan Menguji Konjektur

Proses Induktif :

A = 1 dan B = 15 maka AB + 1 = 16 = 42

A =11 dan B = 105 maka AB + 1= 1156 = 342

11

A =111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342

Konjektur :

A =

angka2008

1...11 dan B =

angka2009

50...001

AB + 1 =

angka2007

43...33

c. Menyusun dan Menguji Konjektur

Contoh :

Misalkan A =

angka2008

1...11 dan B =

angka2009

50...001

Perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bilangan bentuk kuadrat

Jawab :

Proses Induktif :

A = 1 dan B = 15 maka AB + 1 = 16 = 42

A =11 dan B = 105 maka AB + 1= 1156 = 342

A =111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342

Konjektur :

A =

angka2008

1...11 dan B =

angka2009

50...001

AB + 1 =

angka2007

43...33

Bukti konjektur

Perhatikan kasus A = 111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342

3342 = (333 + 1)2

= [3(111) + 1]2

= 111 [9(111) + 6] + 1

= 111 . 1005 + 1

= AB + 1

Dengan proses mundur dengan mudah dapat ditunjukkan masalah itu.

AB + 1 = angka2008

1...11 x angka2009

50...001 + 1

12

=

angka2008

1...11 161...119

2008

angka

= 11...1161...119

2008

2

2008

angkaangka

=

2

2008

11...113

angka

=

angka2008

43...33

Masalah : Susun suatu konjektur untuk menunjukkan bahwa bilangan

angka2007

1...11 52...22

2008

angka

merupakan bentuk kuadrat

d. Memberi Penjelasan dengan Menggunakan Model

Contoh:

Panjang jalan tol Bogor – Jakarta 60 km. Pada pukul 12.00 mobil A

berangkat daripintu tol Bogor menuju Jakarta dengan kecepatan rata-rata 80

km/jam. Pada saat yang sama mobil B berangkat dari pintu tol Jakarta menuju

Bogor dengan kecepatan rata - rata 70 km/jam. Kedua mobil tersebut akan

berpapasan pada pukul . . . .

13

Jawab

Model dari masalah di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

Bogor 60 km Jakarta

V0=80 km/jam P

V0=70

km/jam

x (60 – x) km

Misalkan di titik P mobil A dan mobil B berpapasan, maka

B

B

A

ABA

V

S

V

Stt

70

)60(

80

xx

kmx 32

Sehingga tA = 32/80 = 2/5 jam = 24 menit

Dengan demikian, mobil A dan mobil B berpapasan pada pukul 12.24

e. Menggunakan Pola untuk Menganalisis Situasi Matematik

Contoh:

Ucok bermain menyusun batang-batang korek api seperti tampak pada

gambar di bawah ini. Apabila susunan batang korek api yang dibuat Ucok

dilanjutkan, tentukan banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat

susunan ke-20.

14

f. Memeriksa Validitas Argumen

Contoh 1: Periksa setiap langkah di bawah ini

Misalkan a = b

Kalikan dengan a a2 = ab

Kurangkan dengan b2 a2 – b2 = ab – b2

Faktorkan (a + b)(a – b) = b(a – b)

Bagi dengan a – b a + b = b

Substitusi untuk a 2b = b

Bagi dengan b 2 = 1

Contoh 2: Periksa setiap langkah di bawah ini:

1)1(

1

1

1

1

1

1

1

1

1111

1 = -1

g. Melakukan Pembuktian Secara Langsung

Contoh : Misalkan a bilangan ganjil. Tunjukkan bahwa a2 bilangan ganjil.

Bukti:

a bilangan ganjil a = 2k + 1 , k bilangan bulat

a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + k) + 1

Dengan demikian, a2 = 2p dengan p = 2k2 + k

Ini artinya, a2 merupakan bilangan ganjil.

Masalah : Perhatikan persegi di bawah ini:

15

1 cm

1 cm

1 cm 3 cm

Tunjukkan bahwa segiempat PQRS merupakan persegi, kemudian tentukan luas

daerahnya.

h. Melakukan Pembuktian Tidak Langsung

Contoh : Buktikan bahwa 2 merupakan bilangan rasional

Bukti

Andaikan 2 meruapakan bilangan raisonal, maka 2 dapat dituliskan dengan

b

a2 , a dan b bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan. Dengan

demikian, 222

2

2

22 abab

a bilangan genap a bilangan genap .

Misalkan a = 2p dengan p bilangan bulat. Maka a2 = (2p)2 = 4p24p2 = 2b2 b2

= 2p2 b bilangan genap Dengan demikian, a dan b merupakan bilangan genap.

Ini menunjukkan bahwa a dan b memiliki faktor persekutuan 2. Hal ini

kontradiksi dengan asumsi awal. Jadi, 2 bukan bilangan rasional.

C. Penalaran Deduktif dan Penalaran Induktif

Penalaran dalam matematika terbagi dua yaitu penalaran induktif dan

penalaran deduktif. Dalam belajar matematika memerlukan penalaran induktif

dan deduktif. Penalaran induktif digunakan bila dari kebenaran suatu kasus

khusus kemudian disimpulkan kebenaran untuk semua kasus. Penalaran

S

P R

Q

16

deduktif digunakan berdasarkan konsistensi pikiran dan konsistensi logika yang

digunakan. Jika premis-premis dalam suatu silogisme benar dan bentuknya

(format penyusunannya) benar, maka kesimpulannya benar. Proses penarikan

kesimpulan seperti ini dinamakan deduktif atau sering disebut penalaran deduktif.

1. Penalaran induktif

Penalaran induktif menurut Shurter dan Pierce (dalam Shofiah, 2007 : 14)

penalaran induktif adalah cara menarik kesimpulan yang bersifat umum dari

kasus-kasus yang bersifat khusus. Lalu menurut Suriasumantri (dalam Shofiah,

2007 :15) penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan

kesimpulan yang umum atau dasar pengetahuan tentang hal-hal yang khusus.

Artinya,dari fakta-fakta yang ada dapat ditarik suatu kesimpulan. Menurut kami

Kesimpulan umum yang diperoleh melalui suatu penalaran induktif ini bukan

merupakan bukti. Hal tersebut dikarenakan aturan umum yang diperoleh dari

pemeriksaan beberapa contoh khusus yang benar, belum tentu berlaku untuk

semua kasus. Aspek dari penalaran induktif adalah analogi dan generalisasi.

Menurut Jacob (dalam Shofiah, 2007 :15), hal ini berdasarkan bahwa penalaran

induktif terbagi menjadi dua macam, yaitu generalisasi dan analogi.

Analogi adalah proses penyimpulan berdasarkan kesamaan data atau fakta.

Analogi dapat juga dikatakan sebagai proses membandingkan dari dua hal

yang berlainan berdasarkan kesamaannya, kemudian berdasarkan

kesamaannya itu ditarik suatu kesimpulan.

Generalisasi adalah pernyataan yang berlaku umum untuk semua atau

sebagian besar gejala yang diminati generalisasi mencakup ciri – ciri

esensial, bukan rincian. Dalam pengembangan karangan, generalisasi

dibuktikan dengan fakta, contoh, data statistik, dan lain-lain.

Contoh penalaran induktif

Premis 1 : Kuda Sumba punya sebuah jantung

Premis 2 : Kuda Australia punya sebuah jantung

17

Premis 3 : Kuda Amerika punya sebuah jantung

Premis 4 : Kuda Inggris punya sebuah jantung

Konklusi : Setiap kuda punya sebuah jantung

Contoh lain penalaran induktif tunjukkan bahwa jumlah besar sudut-sudut

segitiga adalah 180o. Jika penyelesaiaannya secara penalaran induktif, maka

caranya sebagai berikut

Siswa diminta untuk:

membuat model segitiga sembarang dari kertas,

menggunting sudut-sudut segitiga tersebut,

menghimpitkan potongan sudut-sudut yang telah dipotong

Dari setiap siswa yang melakukan dengan benar kegiatan tersebut akan

mendapatkan hasil yang sama yaitu ketiga sudut segitiga tersebut jika dihimpitkan

akan membentuk satu garis lurus yang menurut pengetahuan yang sudah dipelajari

sebelumnya bahwa besarnya 1800. Kasus tersebut dapat digambarkan dalam

bentuk diagram sebagai berikut:

Jumlah besar sudut segitiga ke-1 = 1800



Jumlah besar sudut segitiga ke-n = 1800

Jadi, jumlah besar

sudut setiap

segitiga adalah

1800

18

Pernyataan bahwa jumlah besar sudut setiap segitiga adalah 180o

tersebut terkategorikan bernilai benar, karena tidak ada satupun segitiga yang

jumlah besar sudut-sudutnya bukan 180o.

2. Penalaran deduktif

Penalaran deduktif Menurut Shurter dan Pierce (dalam Shofiah, 2007 :

14) Penalaran deduktif adalah cara menarik kesimpulan khusus dari hal-hal yang

bersifat umum. Penalaran Deduktif adalah proses penalaran untuk manarik

kesimpulan berupa prinsip atau sikap yang berlaku khusus berdasarkan atas fakta-

fakta yang bersifat umum. Proses penalaran ini disebut Deduksi. Menurut kami

Kesimpulan deduktif dibentuk dengan cara deduksi. Yakni dimulai dari hal-hal

umum, menuku kepada hal-hal yang khusus atau hal-hal yang lebih rendah proses

pembentukan kesimpulan deduktif tersebut dapat dimulai dari suatu dalil atau

hukum menuju kepada hal-hal yang kongkrit. Contoh : Masyarakat Indonesia

konsumtif (umum) dikarenakan adanya perubahan arti sebuah kesuksesan

(khusus) dan kegiatan imitasi (khusus) dari media-media hiburan yang

menampilkan gaya hidup konsumtif sebagai prestasi sosial dan penanda status

social.

Contoh lain penalaran deduktif

Pernyataan generalisasi:

Pernyataan khusus:

Kesimpulan:

19

n

m

A

1 2

2 1 B

k

1 2

B

C

1 3 A

3

p q

m

n

Cara lain untuk membuktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu

segitiga secara deduktif yakni dengan melibatkan teori atau rumus matematika

lainnya yang sebelumnya sudah dibuktikan kebenarannya secara deduktif juga,

yaitu: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam

bersebrangan adalah sama,”, seperti yang ditunjukkan gambar berikut

Pada gambar di atas ∠A1 = ∠B2 dan ∠A2 = ∠B1 karena garis m dan n

merupakan dua garis sejajar dan dipotong garis ketiga, sehingga sudut-sudut

dalam berseberangan akan sama besar, yaitu ∠A1 = ∠B2 dan ∠A2 = ∠B1.

Perhatikan ABC di bawah ini, dimana melalui titik C telah dibuat garis m yang

sejajar dengan garis n, sehingga sudut-sudut dalam berseberangan akan sama

besar, yaitu ∠A1 = ∠C1 dan ∠B3 = ∠C3

Dengan demikian berdasarkan gambar di samping,

∠A1 = ∠C1

∠B3 = ∠C3

∠C2 = ∠C2

∠A1+∠B3+∠C2 = ∠C1+∠C3+∠C2

Karena ∠C1+∠C3+∠C2 = 1800, maka:

∠A1+∠B3+∠C2 = ∠A+∠B+∠C = 1800

Contoh di atas menunjukkan bahwa pada penalaran deduktif, suatu rumus,

teorema, atau dalil tentang jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 1800,

telah dibuktikan dengan menggunakan teori atau rumus sebelumnya yang sudah

dibuktikan kebenarannya secara deduktif juga. Sedangkan teori maupun rumus

matematika yang digunakan sebagai dasar pembuktian tersebut telah dibuktikan

20

berdasarkan teori maupun rumus matematika sebelumnya lagi. Begitu seterusnya.

Disamping itu, pembuktian tentang jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah

180o telah melibatkan atau menggunakan definisi yang sudah ditetapkan

sebelumnya, seperti pengertian sudut lurus besarnya 180o. prosesnya dapat

digambarkan dengan diagram berikut:

Beberapa cara pembuktian deduktif dapat dikemukakan sebagai berikut:

1. Pembuktian langsung

a. Aturan dasar (p q) ^ q q disebut modus ponendo ponens

merupakan tautology atau ditulis

Hipotesis (1) p q

Hipotesis (2) p

Kesimpulan q

Misalnnya, telah diketahui bahwa segitiga sama kaki, maka kedua sudut

alasnya kongruen. Bila diketahui pula bahwa segitiga itu samakaki, maka dapat

disimpulkan bahwa kedua sudut alasnya kongruen.

Penjelasan logikannya sebagai berikut.

Jumlah besar sudut suatu segitiga

adalah 180o

Pengertian pangkal

Pengertian atau definisi lainnya

Pengertian atau definisi

Sudut lurus besarnya 180o

Pengertian lain

Aksioma

Jika dua garis sejajar dipotong garis

lain maka sudut-sudut dalam

bersebrangan sama besar

Dalil atau teorema lainnya

Dalil atau teorema lainnya lagi

21

Suatu teorema menyatakan “Jika suatu segitiga itu sama kaki (p) maka

kedua sudut alasnya kongruen (q).

Simbol logikanya

Hipotesis (1) p q sebagai teorema

Hipotesis (2) p sebagai diketahui

Kesimpulan q yang menyatakan bahwa kedua sudut alasnya segitiga samakaki

kongruen.

b. Implikasi transitif (p q) ^ (p r) merupakan tautology atau ditulis:

Hipotesis (1) p q

Hipotesis (2) q r

Misalnya dibuktikan bahwa di dalam himpunan bilangan cacah,

kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil

Simbol logikannya: untuk x {𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑐𝑎ℎ}, (∀𝑥) (𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 x2

ganjil). Proses pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Hipotesis (1): x ganjil ada n bilangan cacah sehingga

x = 2n + 1

Hipotesis (2) x = 2n +1 x2 = (2n+1)2

= 2(2n2+ 2n) + 1 adalah ganjil

Kesimpulan: x ganjil x2 ganjil

2. Pembuktian tidak langsung

a. Ada kalanya kita sulit membuktikan p q secara langsung. Dalam

keadaan demikian kita dapat membuktikan kontra positifnya, yaitu

membutikan kontra positifnya, yaitu membuktikan kebenaran –q -p

sebab kedua pernyataan tersebut ekuivalen atau (p q) (-q -p)

merupakan tautology

22

Misalnya, harus membuktikan proposisi berikut. Jika hasil kali dua

bilangan asla a dan b ganjil (p), maka kedua bilangan tersebut ganjil

(q) yang disimbolkan p q

Untuk membuktikan proposisi tersebut, kita dapat membuktikan kontra

positifnya yang berbunyi “Jika bilangan asli a dan b kedua-duannya

tidak ganjil (-q) maka a.b tidak ganjil (-p) yang disimbolkan (-q -p).

Andaikata salah satu dari a atau b tidak ganjil (yang berarti genap), n

bilangan asli.

a = 2n a.b = (2n)b

= 2(nb) genap (tidak ganjil)

Pembuktian dengan kontra postitif ini juga dapat diubah menjadi (p

q) ^ -q -p merupakan tautologi yang disebut modus tollendo tollens.

b. Bila kita ingin membuktikan proposisi p, maka kita pandang negasinya

p ialah -p. kita harus membuktikan, dengan –p terjadi kontradiksi,

misalnya q ^ -q salah maka pemisalan –p menjadi salah. Dengan

demikian –(-p) menjadi benar atau karena –(-p) p maka p benar.

Dengan perkataan lain, kita tunjukkan bahwa –(-q^-p) -(-q) suatu

tautologi.

D. Rubrik dan soal penalaran matematika

MENGERTI

Bukti menunjukkan siswa pada dasarnya

memiliki konsep atau ide yang ditargetkan.

BELUM MENGERTI

Siswa menunjukkan kesalahan besar, konsep

atau prosedur yang salah atau kegagalan

menangani tugas.

4

Bagus:

Pencapaian Penuh

3

Pandai:

Pencapaian Pokok

2

Kecil:

Pencapaian Sebagian

1

Tak Memuaskan:

Pencapaian sedikit

Siswa menunjukkan

penalaran yang

lengkap untuk

mendukung aturan

tertentu untuk kedua

situasi.

Siswa menunjukkan

penalaran yang

memadai untuk

mendukung

setidaknya satu aturan

atau siswa mampu

memberikan

penalaran yang

lengkap untuk

mendukung peraturan

Siswa menunjukkan

penalaran tentang

aturan-aturan melalui

kata-kata atau

instrumen tetapi

alasan lemah - tes

yang tidak memadai

berbagai situasi dan

siswa hanya memiliki

satu atau dua aturan

Siswa menunjukkan

penalaran tentang

aturan-aturan melalui

kata-kata atau

instrumen tetapi

alasannya rusak - itu

menggunakan logika

yang salah atau

pernyataan tidak

masuk akal dalam

23

tertentu untuk kedua

situasi.

khusus dan tidak

menunjukkan kedua

situasi.

konteks masalah atau

alasan hanya siswa

melalui salah satu

aturan tertentu.

Contoh Butir Soal Penalaran Matematika

Soal 1

Tentukan turunan fungsi dari f(x) = x2 + 5x – 6.

Ada dua cara penyelesaian siswa, yaitu dengan menggunakan konsep limit yang

dihafalkan atau menggunakan rumus turunan. Jika siswa menggunakan

konsep limit, ia mengingat rumus turunan fungsi,

f(x) = limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥)

ℎ

jika siswa menggunakan rumus turunan fungsi pangkat untuk n bilangan real,

ia mengingat: Jika f(x) = axn, dengan:

a = konstantan real tidak nol, dan

n = bilangan real.

Maka, turunan fungsi f(x), adalah: f’(x) = anxn-1

hasil dari kedua cara penyelesaian diatas adalah f’(x) = 2x+5.

Soal 2

Diketahui suku banyak f(x) = x4 + 3x3 – px2 + (p + 2)x + 3 dibagi dengan (x + 2)

mengahasilkan sisa 15. Hitunglah nilai p ?

Untuk menjawab soal tersebut siswa harus memahami algoritma teorema sisa.

Menurut teorema sisa dikatakan bahwa “jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi

dengan (x – k) maka sisanya ditentukan oleh S = f(k).” Selanjutnya siswa

dapat menghubungkan nilai konstanta 15 dengan variable p yang dinyatakan.

Penyelesaian dari soal diatas adalah sebagai berikut:

24

f(x) = x4 + 3x3 – px2 + (p + 2)x + 3 dibagi dengan (x + 2) maka sisanya

adalah 15.

S = f(1 –2) = (-2)4+3(-2)3-p(-2)+(p+2)(-2)+3 = -6p-9, karena sisanya sama

dengan 15, maka –6p – 9 = 15, sehingga diperoleh p = –4.

Soal 3

Suatu daerah berbentuk persegi panjang. Di tengah area terdapat kolam

renang berbentuk persegi panjang dengan luas 180 m2. Selisih panjang dan

lebar kolam adalah 3 m dan lebar jalan disekeliling kolam adalah 4 m. Tentukan

luas jalan itu! Untuk menyelesaikan soal tentang aplikasi persamaan kuadrat

dalam konteks kolam renang dan jalan sebagaimana diminta dalam soal,

siswa memerlukan pemahaman konsep luas persegi panjang yang dikaitkan

dengan konsep persamaan kuadrat. Siswa diharapkan mampu memisalkan

panjang dan lebar kolam dengan menggunakan variabel tertentu, misalnya

panjang kolam dengan variabel x dan lebar kolam dengan variabel y, juga

memisalkan panjang area dengan variabel p dan lebar area dengan

variabel l, kemudian siswa dapat menghubungkan variabel x dan p serta

menghubungkan variabel y dan l, serta menghubungkan keempat variabel

tersebut untuk menentukan luas jalan yang ditanyakan. Hubungan variabel-

variabel tersebut adalah :

x.y = 180 ……….(1)

x – y = 3, atau x = y + 3 ………(2)

siswa dapat mensubstitusikan pers. (2) ke pers. (1) sehingga terbentuk:

(y + 3)y = 180 atau y2 + 3y – 180 = 0 → (y + 15)(y – 12) = 0

Nilai y yang memenuhi adalah 12, sehingga x = 15.

Selanjutnya nilai y dan x disubstitusikan pada hubungan p = (x + 4) dan

25

l = y + 4 sehingga diperoleh p = 19 dan l = 16 Luas Jalan adalah = pl – xy = (19)(16) – (180) = 124 m2

Soal 4

Sebuah bilangan berupa pecahan, jika pembilangnya ditambah 2, maka nilai

pecahan itu menjadi dan jika penyebutnya dikurangi 5, maka nilai pecahan

itu menjadi . Tentukan jumlah nilai pembilang dan penyebut bilangan pecahan

tersebut!

Penyelesaian soal dapat dilakukan siswa dengan cara :

1. Memisalkan bilangan pecahan tersebut dengan 𝑥

𝑦

Jika pembilang ditambah 2 dan nilainya menjadi 1

4, dapat ditulis 𝑥+2

𝑦 = 1

4 diperoleh

4x – y + 8 = 0 atau y = 4x + 8 ……….(1)

Jika penyebutnya ditambah 5 maka nilai pecahan tersebut menjadi 1

5, sehingga

dapat dinyatakan 𝑥

𝑦−5 = 1

5, diperoleh 5x – y +5 = 0 .........(2).

2. Substitusi pers. (1) ke pers. (2) atau dengan cara eliminasi, maka diperoleh x = 3 ; y = 20.

Maka diperoleh hasil penjumlahan pembilang dan penyebut adalah x + y =23. Soal 5

Tinjau persamaan kuadrat yang berbentuk x2

+ bx + c = 0. Berapa

banyakkah persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika koefisien b

dan c hanya boleh dipilih dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Supaya system persamaan x2

+ bx + c = 0 memiliki akar-akar real,

diskriminannya haruslah tidak negative. Dengan demikian, b2 – 4ac ≥ 0. Karena

a = 1 maka, b2 – 4c ≥0 . Kita cacah bilangan-bilangan b dan c dalam

himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang memenuhi hubungan tersebut.

Untuk c = 1 haruslah b2

≥ 4, sehingga b salah satu dari 2, 3, 4, 5, atau 6.

Untuk c = 2, nilai b adalah 3, 4, 5, atau 6.

Untuk nilai c = 3 dan c = 4, nilai b salah satu dari 4, 5, atau 6.

Untuk c = 5 dan 6, nilai b 5 atau 6. Jadi, banyaknya persamaan yang

memenuhi persyaratan yang diberikan adalah 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 19.

26

BAB III

KESIMPULAN

1. Penalaran adalah suatu proses berfikir untuk mengambil suatu kesimpulan

berdasarkan pemahaman atau pengetahuan yang telah difahami atau

diketahui dimana kesimpulan yang diketahui dapat dipertanggung

jawabkan.

2. Indikator Penalaran

a. Membuat analogi dan generalisasi

b. Memberikan penjelasan dengan menggunakan model

c. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi

matematika

d. Menyusun dan menguji konjektur

e. Memeriksa validitas argumen

f. Menyusun pembuktian langsung

g. Menyusun pembuktian tidak langsung

h. Memberikan contoh penyangkal

i. Mengikuti aturan enferensi

3. Jenis Penalaran

a. Penalaran deduktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal-hal

yang umum (generalisasi) ke hal-hal yang khusus

b. Penalaran Indutif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal-hal

yang Khusus ke hal-hal yang umum

27

DAFTAR PUSTAKA

Depdiknas. 2004. Kurikulum 2004 Mata Pelajaran Matematika.

Fajar. Shadiq. 2004, Pemecahan Masalah, Penalaran dan Komunikasi,

Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Http/radar.ee.itb.ac.id/suksmono/lectures/el 2009/ppt/penalaran matematika/pdf

Http/file.upi.edu/D/FMIPA/Jur/Pend. Matematia/kusnaidi/Penalaran Matematika

smp/pdf

Http/educ2. Hku.ak/download 15 oktober 2010

Lither.k.2000. Mathematical Reasoning in task solving/educational studies in

mathematics 41 : 165- 190. 2000. Netherland: kluwer Academic Publisher. \

Marsigit, 2006. Matematika SMP Kelas VII. Jakarta: Yudistira.

Nurahman, Iman.. (2011). “Pembelajaran Kooperatif Tipe Team-Accelerated

Instruction (TAI) Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematika Siswa SMP”. Pasundan Journal of Mathematics Education Jurnal. 1,

(1), 96-130.

Shofiah,S.M. (2007). Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan

Konstruktivisme dalam Upaya Meningkatkan Kemampuan Penalaran Induktif Siswa. Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung: Tidak

Diterbitkan.

Suherman, Erman, dkk (2001). Strategi Pembelajran Matematika Kontemporer.

Bandung : JICA - UPI