Análisis Combinatorio Fidel Vera Obesobiblioteca.uns.edu.pe/saladocentes/archivoz/curzoz/Analisis... · PERMUTACIONES LINEALES. Cada uno de los distintos arreglos lineales que pueden

Análisis Combinatorio Fidel Vera Obeso

Universidad Nacional del Santa 1

3.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.

Examinemos el siguiente problema. Hay tres caminos-rutas, (1), (2) y (3), que unen la

Ciudad Círculo y la Población Triángulo, y hay dos caminos-rutas, (4) y (5), que unen la

Población Triángulo y Villa Cuadrada (Fig. 1-1).

Ciudad Población Villa

Círculo Triángulo Cuadrada

Fig. 1-1. Rutas que unen la ciudad círculo, la población triángulo y villa cuadrada.

Ahora, si deseamos viajar desde Ciudad Círculo hasta la Población Triángulo, y después

hacia Villa Cuadrada, podemos escoger una de varias maneras para llegar allá. Según la

Fig. 1-1, vemos que podemos viajar desde Ciudad Círculo hasta la Población Triángulo

por una cualquiera de tres rutas, y después, para cada una de estas rutas tenemos dos

elecciones para viajar hacia Villa Cuadrada. Por tanto, tenemos 3x2, o sea, 6 posibles

maneras en total. Una de las seis maneras consiste en tomar la ruta (1) y después la ruta

(4). ¿Cuáles son las otras cinco maneras? Supóngase que hubiera cuatro caminos uniendo

Ciudad Círculo y Población Triángulo, y seis caminos uniendo Población Triángulo y

Villa Cuadrada, ¿Cuántas formas diferentes habría para llegar desde Ciudad Círculo

OBJETIVO N° 01

INTERPRETAR EL PRINCIPIOFUNDAMENTAL DE CONTEO YAPLICARLO EN LA SOLUCIONDE PROBLEMAS.

ACTIVIDAD N° 01

ANALICE LA SIGUIENTE INFORMACION Y LOSEJEMPLOS DESARROLLADOS SOBRE EL

(3)

(2)

(1)

(5)

(4)


Universidad Nacional del Sa

pasando por la Población Triángulo? El principio general que se involucra aquí se llama

Principio Fundamental de Conteo y se establece como sigue:

Principio Fundamental de Conteo.

Si un primer suceso puede ocurrir de k1 maneras diferentes, y después de

ocurrido de una de esas maneras, un segundo suceso puede ocurrir de k2 maneras

diferentes, y después de ocurrido de una de esas maneras, un tercer suceso puede

ocurrir de k3 maneras diferentes, y así sucesivamente para n sucesos, entonces,

colectivamente, los n sucesos pueden ocurrir de k1.k2.k3...kn maneras diferentes.

Ejemplo 1.

¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas en una fila de 6 asientos: (a) si 2 de

ellas insisten en sentarse uno junto a otro; (b) si las mismas 2 no aceptan sentarse uno

junto al otro?

Solución.

Indiquemos por medio de marcas la posición de los asientos que van a ser ocupados por

las seis personas.

(a) Si dos personas insisten en sentarse uno junto al otro, dos de los 6 asientos van a

ser ocupados por estas dos personas. Supongamos que, de izquierda a derecha, los

dos primeros asientos son ocupados por estas dos personas, entonces el tercer

asiento puede ser ocupado por cualquiera de las cuatro personas restantes, y

después de ocupado, el cuarto asiento puede ser ocupado por cualquiera de las tres

personas restantes, y así sucesivamente. Observe que después que los primeros

cinco asientos han sido ocupados, solamente queda una persona para el último

asiento. El número de posibilidades para ocupar cada uno de los seis asientos se

indica como sigue:

1

1

nta 2

1 4 3 2 1



Que, aplicando el Principio Fundamental de Conteo, el número de posibilidades

se da por

1.1.4.3.2.1 = 4! = 24

Ahora, si el segundo y tercer asientos son ocupados por aquellas dos personas,entonces el primer asiento puede ser ocupado por cualquiera de las cuatro personasrestantes, y después de ocupado, el cuarto asiento puede ser ocupado porcualquiera de las tres personas restantes, y así sucesivamente. En este caso, elnúmero de posibilidades es:

A continuació

sentarse uno j

De lo cual sepersonas en u

en sentarse un

(b) Si las mismasasientos van a

4

4

4

4

2

4x1x1x3x2x1 = 4! = 24

n se presenta los otros casos de las dos personas que insisten en

unto al otro.

3

n

1 1 3 2 1

nta 3

4

concluye que el número dea fila de seis asientos si dos d

o junto al otro, es:

5x4! = 5! = 5x4x3x2x1 dos personas no aceptan senta ser ocupados por estas dos pe

3 1 1 2 1

3 2 1

3 2 1

5

maneras e ellas ins

= 120rse uno jursonas.

1 1

1

que pueden sentarse seisisten

nto al otro, dos de los seis

1



Supongamos que, de izquierda a derecha, el primer y tercer asiento son ocupadospor estas dos personas, entonces el segundo asiento puede ser ocupado porcualquiera de las cuatro personas restantes, y después de ocupado, el cuartoasiento puede ser ocupado por cualquiera de las tres personas restantes, y asísucesivamente. Observe que después que los primeros cinco asientos han sidoocupados, solamente queda una persona para el último asiento. El número deposibilidades para ocupar cada uno de los asientos se indica como sigue:

Aplicando el P

Los otros caso

11

1Por lo tanto, efila de seis asi

Ejemplo 2.

¿De cuántas maneras hombres y mujeres tie

1

1

nta 4

rincipio Fundamental de Conteo el número de posibilidades es:

1.4.1.3.2.1 = 4! = 24

s de las dos personas que no aceptan sentarse uno junto al otro, son:

2 3 4

5 6 7

8 9 10

1 12 134 15 16

7 18 19 20l número de maneras en que pueden sentarse seis personas en unaentos, si dos personas no aceptan sentarse uno junto al otro, es:

20.4! = 20.24 = 480

pueden sentarse 4 hombres y 5 mujeres en una fila de 9 sillas, si losnen que alternarse?

4 1 3 2 1



Solución.

Si el primer asiento, de izquierda a derecha, es ocupado por una de las cinco mujeres,entonces el tercer asiento puede ser ocupado por cualquiera de las cuatro mujeres restantesy, después de ocupado, el quinto asiento puede ser ocupado por cualquiera de las tresmujeres restantes, y así sucesivamente. Observe que después que el primero, tercero,quinto y séptimo asientos han sido ocupados, solamente queda una mujer para el novenoy último asiento. El número de posibilidades para ocupar cada uno de estos cinco asientosimpares por las mujeres es 5! = 120. Luego, si el segundo asiento es ocupado por uno delos cuatro hombres, entonces el cuarto asiento puede ser ocupado por cualquiera de lostres hombres restantes y, después de ser ocupado, el octavo asiento será ocupado por elúltimo hombre restante. El número de posibilidades para ocupar cada uno de estos cuatroasientos pares por los hombres es 4! = 24.

El número de ambas posibilidades para ocupar cada uno de los nueve asientos por4 hombres y 5 mujeres en forma alternada se indica como sigue:



Hombres

5 4 3 2 1

4 3 2 1

Mujeres

Aplicando el principio fundamental de conteo el número de maneras que pueden sentarsecuatro hombres y cinco mujeres en una fila de nueve sillas en forma alternada, es:

5! 4! = 120.34 = 2880

Ejemplo 3.

a) ¿Cuántos números se pueden formar con algunas de las cifras 1, 3, 4, 7, 8, si unnúmero no puede tener dos cifras repetidas?

b) ¿Cuántos de éstos números serán pares?c) ¿Cuántos serán mayores que 350?

Solución.a) Debemos considerar los números de uno, dos, tres, cuatro y cinco cifras. El

número total de posibilidades lo presentamos en el siguiente esquema:

5 = 5 - 5 4 = 20--- --- 5 4 3 = 60--- --- --- 5 4 3 2 = 120--- --- --- --- 5 4 3 2 1 = 120--- --- --- --- --- -----

325



b) Hay que tener presente que la última posición o cifra de cada número puede serocupado solamente por dos números: el 4 y el 8. El número total de posibilidadeslo presentamos en el siguiente esquema:

2 = 2 - 4 2 = 8--- --- 4 3 2 = 24--- --- --- 4 3 2 2 = 48--- --- --- --- 4 3 2 1 2 = 48--- --- --- --- --- -----

130

c) Los números mayores que 350 son de tres, cuatro y cinco cifras. Para los númerosde cuatro y cinco cifras no hay ningún inconveniente; pero para los números detres cifras hay que considerar aquellos cuya cifra de las centenas es 3 y aquelloscuya cifra de las decenas son 4, 7 y 8. Hay que tener presente que cuando la cifrade las centenas es 3, la cifra de las decenas puede ser ocupado solamente por losnúmeros 7 y 8, quedando tres números para ocupar la cifra de las unidades. Elnúmero total de posibilidades lo presentamos en el siguiente esquema:

[3] [7,8] [4,7,8] 1 2 3 + 3 4 3 = 42--- --- --- --- --- --- 5 4 3 2 = 120--- --- --- --- 5 4 3 2 1 = 120--- --- --- --- --- -----

280

Ejemplo 4.¿Cuántos enteros positivos pares de tres dígitos diferentes cada uno son menores que400?

Solución.

Se utilizará los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

La cifra de las centenas de los números menores que 400 puede ser ocupado solamentepor los dígitos 1, 2 ó 3. Ya que éstos números son pares hay que tener presente que cuandola cifra de las centenas es ocupado por el 2, la cifra de las unidades puede ser ocupado porlos dígitos 0, 2, 4, 6 u 8, quedando ocho dígitos para ocupar la cifra de las decenas.



Cuando la cifra de las centenas es ocupado por el 1 ó el 3, la cifra de las unidades puedeser ocupado por los dígitos 0, 2, 4, 6 u 8, quedando ocho dígitos para ocupar la cifra delas decenas. El número total de posibilidades lo presentamos en el siguiente esquema:

[2] [0,4,6,8] [1,3] [0,2,4,6,8]

1 8 4 + 2 8 5 = 112--- --- --- --- --- ---



PROBLEMAS SOBRE EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.

1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en una fila de 7 asientos:

a) si 2 de ellas insisten en sentarse uno junto a otro;b) si las mismas 2 personas no aceptan sentarse uno junto al otro?

2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 hombres y 4 mujeres en una fila de 7 sillas si loshombres y mujeres tienen que alternarse?

3. Obtener el número de palabras de cuatro letras (no necesariamente pronunciables) quepueden formarse con 7 consonantes diferentes y 3 vocales diferentes, si las consonantesy vocales deben ir alternadas y no se permite la repetición.

4. Resolver el problema 3 si se permite la repetición.

5. a) ¿Cuántos números se pueden formar con algunas de la cifras 2, 4, 5, 8 y 9, si unnúmero no puede tener dos cifras repetidas?

b) ¿Cuántos de éstos números serán impares?c) ¿Cuántos serán mayores que 460?

6. ¿Cuántos enteros positivos impares de tres dígitos diferentes cada uno son menores que500?

7. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas?

8. Resolver el problema 7 si las 5 personas deben sentarse en sillas consecutivas?

9. ¿Cuántos enteros positivos impares de 4 dígitos diferentes cada uno son mayores que3,540?

ACTIVIDAD N° 02

RESUELVA A CONTINUACIÓN LOS SIGUIENTES



3.2. PERMUTACIONES LINEALES. PERMUTACIONES LINEALES CON

REPETICIÓN.

PERMUTACIONES LINEALES.

Cada uno de los distintos arreglos lineales que pueden hacerse con todos los n elementosde un conjunto en un orden definido se llama PERMUTACIÓN LINEAL. EL númerototal de permutaciones lineales de n elementos tomados de n en n está dado por

P(n,n) = Pn = n(n-1)(n-2)...3.2.1 = n!

donde n! es el factorial de n definido como el producto de todos los números enterospositivos consecutivos de 1 a n.

Si se trata de formar los distintos arreglos lineales tomando solamente r de los nelementos, entonces el número total de permutaciones lineales de n elementos tomadosde r en r está dado por la fórmula

En efecto, el valor de P(n,r) es igual al número total de maneras que puede llenarse rlugares con n elementos diferentes, ya que en este punto todos los n elementos estándisponibles. El segundo lugar puede llenarse de n-1 maneras diferentes con los n-1elementos restantes. Análogamente, el tercer lugar puede llenarse de n-2 manerasdiferentes, y así sucesivamente. Para visualizar mejor este proceso lo esquematizamos delmodo siguiente:

LUGARES ALLENARSE

NÚMERO DEMANERAS

1234

nn-(2-1) = n-1

n-(3-1) = n-2 n-(4-1) = n-3

n.r ,r)!-(n

n! = 1)+r-2)...(n-1)(n-n(n = P = r)P(n, nr ≤

OBJETIVO N° 02

CALCULAR EL NÚMERO DEPERMUTACIONES LINEALES YCURRICULARES DE n ELEMENTOSDE UN CONJUNTO TOMADO DE rEN r

ACTIVIDAD N° 01

INTERPRETE LOS TEOREMAS Y ANALICE LOSEJEMPLOS DESARROLLADO SOBRE



.

.

.r - 1

r

.

.

.n-[(r-1)-1]=n-r+2 n-(r-1) = n-r+1

r+1r+2

.

.

.n-1n

n-[(r+1)-1] = n-r n-[(r+2)-1] = n-r-1

.

.

.n-[(n-1)-1] = 2

n-(n-1) = 1

Se observa que el lugar r puede llenarse de n-(r-1) = n-r+1 maneras diferentes. Entoncespor el Principio Fundamental de Conteo el valor de

P(n,r) = n (n-1) (n-2) ... (n-r+1)

Ahora, si multiplicamos y dividimos P(n,r) por (n-r)(n-r-1) ...2x1, se verifica que

Ejemplo 1.

Calcular:a) P(10,4)

n.r ,r)!-(n

n! = r)P(n, ≤

5,040 = 6!

6! x 7 x 8 x 9 x 10 = 6!

10! = 4)!-(10

10! = P(10,4)

1 x 1)...2-r-r)(n-(n1 x 1)...2-r-r)(n-1)(n+r-2)...(n-1)(n-n(n = r)P(n,



b) P(7,4) / P(5,4)

Entonces:P(7,4) / p(5,4) = 840 / 120 = 7

Ejemplo 2.

a) Si P(n,5) = 24 P(n,2), hallar n.

P(n,5) = 24 P(n,2)

n! 24 n! ------- = -------- (n-5)! (n-2)! n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5)! n (n-1) (n-2)! ---------------------------------- = 24 -------------- (n-5)! (n-2)!

(n-2) (n-3) (n-4) = 24

(n²-5n+6) (n-4) = 24

n3 - 9n2 + 26n - 48 = 0

1 │ -9 26 -48 │ 6 │ 6 -18 48 ──┼─────────────────── 1 │ -3 8 0

(n - 6) (n2 - 3n + 8) = 0

D = 32 - 4 (1) (8) = 9

No tiene solución en R, por lo tanto: n = 6

b) Si 12 P(7,r) = 5 P(9,r), hallar r.

7! 9! 12 -------- = 5 -------- (7-r)! (9-r)!

840 = 3!

3! x 4 x 5 x 6 x 7 = 3!7! =

4)!-(77! = P(7,4)

120 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5! = 1!5! =

4)!-(55! = P(5,4)



7! 9 x 8 x 7! 12 -------- = 5 ------------------------ (7-r)! (9-r) (9-r-1) (9-r-2)!

12 x (9-r) x (8-r) = 5 x 72

72 - 17r + r2 = 30r2 - 17r + 42 = 0

r -14

r -3

(r - 3) (r - 14) = 0

r = 3 y r = 14

r = 14 se descarta, ya que r ≤ 9

Por tanto, r = 3

Ejemplo 3.

Demostrar que P(n,r) - P(n,r-1) = (n-r) P(n,r-1)

Solución.

Partimos del miembro de la derecha y debemos llegar al miembro de la izquierda. Enefecto:

n! (n-r) P(n,r-1) = (n-r) ------------ [n-(r-1)]!

[(n-r+1)-1] n! = ---------------- (n-r+1)!

(n-r+1) n! n! = ------------ - ---------- (n-r+1)! (n-r+1)!

(n-r+1) n! n! = ---------------- - ---------- (n-r+1) (n-r)! (n-r+1)!



n! n! = -------- - ------------ (n-r)! [n-(r-1)]!

= P(n,r) - P(n,r-1). LQQD

Ejemplo 4.

A partir de los dígitos 1, 2, 3, 4 5:

a) ¿Cuántos números naturales de tres dígitos pueden formarse si ningún número puedetener un dígito repetido?

b) ¿Cuántos números naturales de uno o más dígitos pueden formarse si ningún númeropuede tener un dígito repetido?

Solución.

El total de números de tres dígitos es igual al número de permutaciones que puedenhacerse con los cinco dígitos tomados de tres en tres, es decir:

b) El total será la suma de los números de uno, dos, tres, cuatro y cinco dígitos, esdecir:

P(5,1) + P(5,2) + P(5,3) + P(5,4) + P(5,5)

5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325Hay que tener presente que al calcular:

0! = 1

Ejemplo 5.Un estante tiene espacio para 6 libros. Disponemos de 5 libros diferentes de inglés y 6libros diferentes de francés. ¿De cuántas maneras podemos colocar en el estante 3 librosen inglés y 3 libros en francés, si los libros escritos en la misma lengua tienen que estarjuntos?

Solución.De izquierda a derecha los libros de inglés pueden colocarse de P(5,3) maneras y los de

60 = 2!

2! x 3 x 4 x 5 = 2!5! =

3)!-(55! = P(5,3)

120 = 5! = 1!5! =

0!5! =

5)!-(55! = P(5,5)



francés de P(6,3) maneras. Luego, por el Principio Fundamental de Conteo, los librostanto de inglés como de francés pueden colocarse de 2 P(5,3) P(6,3) = 14,400 maneras.Aquí hemos considerado la otra posibilidad de derecha a izquierda. Esquemáticamente:

I = 5F = 6

F 2 I

I 1 F

Ejemplo 6.

¿Cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse con las cifras 3, 4, 5, 6 y 7, si

a) los números 4 y 5 tienen que estar juntos?

Solución.

Lo calculamos utilizando el siguiente esquema:

1 1 3 2 1

(1) (2) (3) (4)

Es evidente que el total de números de 5 cifras está dado por

4 P(2,2) P(3,3) = 4 x 2 x 3! = 48

Ya que los números 4 y 5 ocupan dos espacios de P(2,2) maneras quedando losnúmeros 3, 6 y 7 los cuales ocupan los tres espacios restantes de P(3,3) maneraspara cada una de las cuatro posibilidades.

b) Los números 4 y 5 tienen que estar separados?

Solución.

Las posibilidades las presentamos a continuación:

1 2 3

4 22 5


Universidad Nacional del Santa

16

6 7

8 9

10 11 12

El número total de números de 5 cifras está dado por 12 P(2,2) P(3,3) = 144.

Ejemplo 7.

a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en una fila de 7 sillas, si hay 4personas que tienen que estar uno al lado del otro?



Solución.

Esquema de posibilidades: (1)

(1) (2) (3) (4)

El total de maneras que pueden sentarse 7 personas está dado por

4 P(4,4) P(3,3) = 576

b) Resolver la parte (a) si se considera una fila de 8 sillas.

Solución.

Esquema de posibilidades:

(1)

(1)

(2) (3)

(4) (5)

Total de maneras:

**

5 P(4,4) P(4,3) = 2880

** Aquí cabe aclarar que el número de maneras que pueden sentarse 3 personas en una

fila de 4 sillas es igual al número de grupos de 3 sillas que pueden formarse con 4

de ellos

PERMUTACIONES LINEALES CON REPETICIÓN.

El número de permutaciones lineales distintas que se pueden formar con los n elementosde un conjunto, en los que en cada arreglo cada elemento puede aparecer n1, n2,..., nk vecesen un orden definido, está dado por:



donde:

kn = Σ ni = n1 + n2 + ... + nk i=1

Ejemplo 8.

Calcular el número de permutaciones diferentes que pueden formarse con las letras dela palabra AUTODIDACTA, tomadas todas a la vez.

Solución.

La palabra contiene 11 letras, de las cuales 3 son A, 2 son T, 2 son D y el resto diferentes.Por tanto, el número de permutaciones diferentes es:

11! PR(11;3,2,2,1,1,1,1) = ---------------------- 3! 2! 2! 1! 1! 1!

11x10x9x8x7x6x5x4 = ------------------- 4

= 1'663,200

Ejemplo 9.

¿Cuántos numerales distintos de cinco dígitos pueden formarse en cada caso?a) 3,4 y 7 pueden utilizarse cada uno una vez; 5 puede utilizarse dos veces.b) 6, 7 y 8 pueden utilizarse cada uno una vez, 9 puede utilizarse dos veces.

!n!n !nn! = )n,,n,nPR(n,

k21k21

KK



c) 3 puede utilizarse 3 veces; 5 puede utilizarse 2 veces.d) 2 y 3 pueden utilizarse cada uno dos veces; 4 pueden utilizarse una sola vez.

Solución.

5!a) PR(5;2,1,1,1) = ------------------ = 5x4x3 = 60

2! 1! 1! 1!

b) PR(5;2,1,1,1) = 60

5! 5x4c) PR(5;3,2) = ------- = -------- = 10

3! 2! 2

5! 5x4x3d) PR(5;2,2,1) = ----------- = ----------- = 30

2! 2! 1! 2

3.3. PERMUTACIONES CIRCULARES.

Cada uno de los distintos arreglos que se pueden hacer alrededor de un círculo con los nelementos de un conjunto dado, se llama permutación circular.

¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse n elementos alrededor de un círculo?Con los elementos del conjunto {x,y,z} pueden formarse P(3,3)=3! = 6 permutacioneslineales diferentes. Pero solamente pueden formarse 2 permutaciones circulares diferentes.¿Cuál es la razón? Para responder a la pregunta notemos que los arreglos

son los mismos. ¿Por qué? Análogamente los arreglos

x

yz

y

zx

z

xy

x

zy

y

xz

z

yx



son también los mismos. Observe que, al formar una permutación circular, es indiferentedónde localizamos el primer objeto sobre el círculo. Después de fijar la posición de unode los n elementos de un conjunto, se procede a calcular el número de permutaciones delos n-1 elementos restantes como si estuvieran en una línea recta. Hecho que nos permiteformular lo siguiente:

El número de permutaciones circulares diferentes que se pueden formar con los nelementos de un conjunto es igual a (n-1)!.

Ejemplo 10.

Un grupo formado por 4 muchachas y 4 muchachos van a sentarse de modo que quedenalternados. Calcular de cuántas maneras pueden hacerlo si: a) se sientan en línea recta;b) se sientan alrededor de una mesa circular.

Solución.

a) Podemos considerar que las muchachas se sientan en los lugares con número impary los muchachos en los lugares con número par; esto puede hacerse de 4!x4!maneras diferentes. Un número igual de arreglos diferentes puede obtenersesentando a los muchachos en los lugares con número impar y a las muchachas enlos lugares con número par. Por tanto, el número total de maneras diferentes esigual a 2x4!x4! = 1,152.

b) Podemos sentar primeramente a las muchachas alrededor de la mesa en 3!maneras. Entonces quedan 4 lugares alternados para sentar a los cuatromuchachos; esto puede hacerse en 4! maneras. Por tanto, el número total demaneras diferentes es igual a 3!4! = 144.



PROBLEMAS SOBRE PERMUTACIONES LINEALES Y CIRCULARES.

1. Calcular

a) P(8,2) + P(9,3)b) P(6,1) - P(2,1)

2. a) Si P(n,5) = 42 P(n,3), hallar n.b) Si 2 P(6,r) = 3 P(5,r), hallar r.

3. Demostrar que P(n,4) - P(n,3) = (n-4) P(n,3)

4. Resolver para n, P(n,r) = k P(n-1,r-1).

5. A partir de los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9:

a) ¿Cuántos números enteros de cuatro dígitos pueden formarse si ningún númeropuede tener un dígito repetido?

b) ¿Cuántos números naturales de uno o más dígitos pueden formarse si ningúnnúmero puede tener un dígito repetido?

6. Un estante tiene espacio para 7 libros. Si disponemos de 6 libros diferentes de Biologíay 7 libros diferentes de Química, ¿De cuántas maneras podemos colocar en el estante 4libros de Biología y 3 libros de Química, si los libros de la misma especialidad tienen queestar juntos?

7. ¿Cuántos números de 6 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9,si:

a) los números 7 y 8 tienen que estar juntos?b) los números 7 y 8 tienen que estar separados?

8. a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una fila de 5 sillas si hay 3personas que tienen que estar uno al lado del otro?

b) Resolver la parte a) si se considera una fila de 6 sillas.

ACTIVIDAD N° 02




9. Calcular el número de permutaciones diferentes que puedan formarse con las letras de lapalabra MISSISSIPPI, tomadas todas a la vez.

10. ¿Cuántos numerales distintos de 6 dígitos pueden formarse en cada caso:

a) 1, 5 y 6 pueden utilizarse cada uno una vez; 2 puede utilizarse tres veces.b) 4, 7 y 8 pueden utilizarse cada uno dos veces.c) 3 puede utilizarse dos veces; 2 puede utilizarse tres veces; 8 puede utilizarse una

sola vez.d) 5 puede utilizarse cuatro veces; 9 puede utilizarse dos veces.

11. Un grupo formado por 5 muchachos y 5 muchachas van a sentarse de modo que quedenalternados. Calcular de cuántas maneras pueden hacerlo si:

a) se sientan en línea recta.b) se sientan alrededor de una mesa circular.

12. Siete personas van a sentarse alrededor de una mesa circular. Hallar el número de manerasdiferentes en que esto puede hacerse si:

a) no hay restricciones.b) dos personas determinadas deben quedar contiguas.



3.4. COMBINACIONES DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r.

Cada uno de los distintos arreglos que pueden formarse tomando todos o parte de loselementos de un conjunto, con la condición de que dos arreglos serán distintos si y solosi están formados por elementos distintos, es decir, no se tiene en cuenta el orden de loselementos tomados, se llama combinación.

Así, mientas que ab y ba son dos permutaciones distintas, ambos representan una solacombinación, a saber, el arreglo formado por las dos letras a y b.

El número de combinaciones de n elementos diferentes tomados de r en r está dado porla fórmula:

n P(n,r) n! C(n,r) = ( ) = ---------- = ----------- , r≤n.

r r! r!(n-r)!

Si sustituimos r por n-r obtenemos el resultado:

C(n,r) = C(n,n-r)

Es decir, para cada combinación de r elementos seleccionados entre n objetos diferentes

existe una combinación correspondiente de n-r objetos que no son seleccionados. Tales

combinaciones se llaman complementarias.

OBJETIVO N° 03

CALCULAR EL NÚMERO DECOMBINACIONES DE nELEMENTOS DE UN CONJUNTOTOMADO DE r EN r

ACTIVIDAD N° 01

INTERPRETE LOS TEOREMAS Y ANALICE LOSEJEMPLOS DESARROLLADO SOBRE



Ejemplo 1.

Calcular:

a) C(21,19)

Solución.

C(21,19) = C(21,21-19)

21! 21! 21x20 C(21,2) = ------------ = -------- = ------- = 210

2!(21-2)! 2! 19! 2

b) C(7,4) + C(7,5)

Solución.

C(7,4) + C(7,5)= C(7,7-4) + C(7,7-5)

= C(7,3) + C(7,2)

7! 7! = ----------- + -----------

3!(7-3)! 2!(7-2)!

7! 7! 7x6x5 7x6 = ------- + ------- = --------- + -------

3! 4! 2! 5! 6 2

= 35 + 21 = 56

Los valores de C(n,r) para enteros no negativos r y n, r≤n, forman un modelo interesantecuando están dispuestos en un arreglo triangular como en la Fig. 1 ¿Qué combinacionespertenecen a la línea punteada?C(0,0)C(1,0) C(1,1)C(2,0) C(2,1) C(2,2) Fig. 1

C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)C(4,0) C(4,1) C(4,2) C(4,3) C(4,4)C(5,0) C(5,1) C(5,2) C(5,3) C(5,4) C(5,5)



... ... ... ... ... ...

Reemplazando los símbolos de la Fig. 1 por sus valores, obtenemos la siguiente tabla:

r 0 1 2 3 4 5 6 n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 . . . . . . .

¿Qué valores le corresponde a la línea 6 de la tabla? Ahora calcule los valores de:

C(6,0) C(6,1) C(6,2) C(6,3) C(6,4) C(6,5) C(6,6)

para ver si usted ha descubierto el modelo.

Regresando a la Fig. 1, localice las combinaciones C(3,2), C(3,3) y C(4,3).

Observe que:C(3,2) + C(3,3) = C(4,3)

Examinando la Fig. 1, determine cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos:

C(2,1) + C(2,2) = C(3,2) C(3,2) + C(3,3) = C(4,3)

C(4,0) + C(4,1) = C(5,1) C(4,3) + C(4,4) = C(5,4)

Sobre la base de sus observaciones, ¿piensa usted que el siguiente enunciado esverdadero?

C(6,2) + C(6,3) = c(7,3)

Calcule y verifique su respuesta.

Probablemente, usted ha concluido que para todos los enteros no negativos r y n, r≤n:C(n,r-1) + C(n,r) = C(n+1,r)

Esta identidad se llama Regla de Pascal. Pascal (1623-1662) fue uno de los



hombres que en el siglo XVII estudió esta disposición, dada en la tabla precedente, enrelación con el estudio de juegos de azar. Los números en este cuadro reciben el nombrede Triángulo de Pascal. Utilizando esta Regla, extiéndese la Tabla con n y r hasta 10,suponiendo que C(n,0) = C(n,n) = 1.

A continuación se demuestra la regla de Pascal.

Ejemplo 2. Demostrar que C(n+1,r) = C(n,r) + C(n,r-1)

Solución. : Partiendo del primer miembro debemos llegar al segundo miembro.

En efecto: (n+1)! (n+1)n!C(n+1,r) = --------------- = --------------- r![n-(r-1)]! r![n-(r-1)]!

[n-(r-1)+r]! [n-(r-1)]n! rn! = --------------- = --------------- + --------------- r![n-(r-1)]! r![n-(r-1)]! r![n-(r-1)]!

[n-(r-1)]n! rn! = --------------------- + --------------------- r![n-(r-1)](n-r)! r(r-1)![n-(r-1)]!

n! n! = ----------- + ------------------- r!(n-r)! (r-1)![n-(r-1)]!

= C(n,r) + C(n,r-1) LQQD

Ejemplo 3.

a) Hallar n si C(n+1,4) = 6C(n-1,2)

Solución.

C(n+1,4) = 6 C(n-1,2)

(n+1)! (n-1)! --------------- = 6 --------------- 4![(n+1)-4]! 2![(n-1)-2]!

(n+1)! (n-1)! ----------- = 6 ----------- 4!(n-3)! 2!(n-3)!



(n+1)n(n-1)! ---------------- = 3(n-1)! 4.3.2

n2 + n = 72

n2 + n - 72 = 0

(n-8) (n+9) = 0

n = 8 y n = -9 Se descarta (n = -9)

Por tanto: n = 8

b) Hallar r si 2 C(6,r) = 3 C(5,r)



Solución.

2 C(6,r) = 3 C(5,r)

6! 5! 2 ----------- = 3 ----------- r!(6-r)! r!(5-r)!

6x5! 5! 2*-------------- = 3-------- (6-r) (5-r)! (5-r)!

4 = 6 - r r = 2

Ejemplo 4.

¿Cuántos comités de cinco integrantes se pueden formar con ocho estudiantes de Energíay con cuatro de Agroindustria si cada comité debe tener: a) exactamente tres estudiantesde Energía; b) por lo menos tres estudiantes de Energía.

Solución.

a) En este caso debe haber exactamente 2 estudiantes de Agroindustria. Losestudiantes de Energía pueden seleccionarse de C(8,3) = 8!/3!5! = 56 maneras ylos de Agroindustria en C(4,2) = 4!/2!2! = 6 maneras.

Por tanto, por el Principio Fundamental de Conteo, el número total de comités de5 integrantes es 56x6 = 336.

b) En este caso tenemos tres tipos de comités: (1) tres estudiantes de Energía y 2 deAgroindustria; (2) cuatro de Energía y 1 de Agroindustria; (3) cinco de Energía.El número de comités para cada uno de los tres casos es, entonces:

(1) 336.(2) C(8,4) C(4,1) = (8!/4!4!)x4 = 280(3) C(8,5) = 56

Sumando, el número total de comités es 336+280+56 = 672



Ejemplo 5.

Calcular el número de palabras (no necesariamente pronunciables) que pueden formarseseleccionando 5 consonantes y 3 vocales entre 7 consonantes diferentes y 4 vocalesdiferentes.

Solución.Primeramente seleccionamos 5 consonantes entre 7 consonantes en C(7,5) maneras, esdecir:

7! 7x6 C(7,5) = ------- = ----- = 21 5!x2! 2

Análogamente, podemos seleccionar 3 vocales entre 4 vocales de C(4,3) = C(4,1) = 4

maneras.

Entonces, por cada una de las 21 maneras para seleccionar las consonantes, tenemos 4maneras para seleccionar las vocales. Por tanto, por el Principio Fundamental de Conteo,las ocho letras de cada palabra pueden seleccionarse de 21x4 = 84 maneras. Después deefectuar cada una de estas relaciones, las ocho letras pueden permutarse de 8! manerasdiferentes. Por tanto, el número total de palabras que pueden formarse es 84x8! =3'386,880.

Ejemplo 6.En una lotería se sortean 5 artefactos eléctricos. El primero que se acerca a la urna saca3 billetes. Hallar el número de métodos en que puede sacarlos, de modo que por lo menosuno de ellos sea premiado. En la urna hay 20 billetes.

Solución.Como se sortean 5 artefactos eléctricos, en la urna hay 5 billetes premiados y 20-5=15billetes no premiados.

Al sacar los tres billetes se presentan las siguientes posibilidades: (1) que uno de seapremiado y dos no premiados; (2) que dos sean premiados y uno no premiado; (3) que lostres sean premiados. El número de métodos para cada posibilidad es entonces:

5x15!(1) C(5,1) C(15,2) = ------------ = 525

2!x13!

(2) C(5,2)C(15,1) = 10x15 = 150

(3) C(5,3) = 10



Sumando, el número total de métodos es 525 + 150 + 10 = 685

Ejemplo 7.

Se tienen 15 puntos en el espacio de manera que 4 de ellos no están en un mismo plano.(a) Hallar el número de planos determinados por estos puntos; (b) Calcular el númerode estos planos que contienen a un punto prefijado; (c) encontrar el número de estosplanos que contienen a dos puntos prefijados.

Solución.Decir que 4 puntos no están en un mismo plano significa que solamente 3 puntos están endicho plano.

(a) Para determinar un plano es necesario 3 puntos de los 15, entonces se debe hallarlas combinaciones de 15 tomados de 3 en 3. El número de planos es:

C(15,3) = 455

(b) Si todos los planos contienen un punto prefijado y para determinar un plano esnecesario 3 puntos, entonces para calcular el número total de planos debe hallarselas combinaciones de los otros 14 puntos tomados de 2 en 2 y que estos al unirseal punto prefijado determinan planos. Es decir:

C(14,2) = 91

(c) Si todos los planos contienen dos puntos prefijados y para determinar un plano esnecesario 3 puntos, entonces para calcular el número total de planos debe hallarselas combinaciones de los otros 13 puntos tomados de 1 en 1 y que este punto alunirse a los dos puntos prefijados forman planos. Es decir:

C(13,1) = 13



PROBLEMAS SOBRE COMBINACIONES.

1. Calcular :

a) C(18,15)

b) C(8,5) - C(7,5)

2. Demostrar que :

n-r C(n,r+1) = ----- C(n,r) , 0 ≤ r ≤ n. r+1

3. a) Hallar n si 2C(n,5) = 3C(n,3)

b) Hallar n y r si P(n,r) = 120 y C(n,r) = 20.

4. Se va a seleccionar un comité de 5 miembros entre 6 hombres y 9 mujeres. Calcular elnúmero de tales comités si: (a) deben contener por lo menos dos mujeres; (b) no debencontener más de dos mujeres.

5. Una bolsa contiene 4 objetos rojos, 6 blancos y 5 azules. De cuántas maneras se puedenescoger 6 objetos: (a) si debe haber dos de cada color; (b) si debe haber exactamente 4objetos blancos; (c) si no debe haber objetos blancos.

6. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes, tales que contengan 3 cifras impares y 2 pares,pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

ACTIVIDAD N° 02




7. En una lotería se sortean 7 artefactos eléctricos. El primero que se acerca a la urna saca4 billetes. Hallar el número de métodos en que puede sacarlos, de modo que por lo menosuno de ellos sea premiado. En la urna hay 25 billetes.

8. En un estante hay 12 libros diferentes. (a) Calcular el número de selecciones de 8 librosdiferentes que pueden hacerse; (b) Hallar el número de estas selecciones que incluyen aun libro determinado; (c) Encontrar el número de estas selecciones que incluyen a 2 librosdeterminados.



3.5. TEOREMA DEL BINOMIO.

El teorema del binomio es una fórmula con la cual se pueden escribir directamente lostérminos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnosuna idea de la estructura del desarrollo de (a+b)n, donde n es un número entero y positivo,escribiremos el resultado para los primeros cuatro valores de n. Así, por multiplicacióndirecta, tenemos:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Observamos que cada uno de estos desarrollos tienen las siguientes características:

1. El número de términos es n+1, o sea, una unidad más que el exponente n delbinomio.

2. En el primer término el exponente de a es n y decrece de unidad en unidad en cadauno de los términos siguientes.

3. La b aparece por primera vez en el segundo término, con exponente 1, y ésteaumenta de unidad en unidad en cada uno de los términos siguientes. El exponentede b es siempre una unidad menor que el número de orden del término.

OBJETIVO N° 04

DESARROLLAR BINOMIOS YCALCULAR SU r-ESIMO TÉRMINOUTILIZANDO COMBINACIONES

ACTIVIDAD N° 01

ANALICE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Y LOSEJEMPLOS DESARROLLADOS SOBRE EL



4. La suma de los exponentes de a y b es igual a n en cualquiera de los términos.

5. Los coeficientes de a y b presentan cierta simetría, que consiste en que loscoeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales.

6. El coeficiente del primer término es la unidad y el del segundo término es n.

7. Si en cualquiera de los términos el coeficiente se multiplica por el exponente dea y este producto se divide entre el exponente de b aumentado en 1, el resultadoes el coeficiente del siguiente término.

Nota:Las primeras seis características se observan inmediatamente, la séptima tal vezno parezca tan evidente, y como es de mucha importancia en la determinación decoeficientes, la explicaremos con más detalle aplicándola al desarrollo de (a+b)4.El coeficiente del tercer término se obtiene del segundo como sigue: se multiplicael coeficiente 4 del segundo término por el exponente 3 de a y este producto sedivide entre el exponente 1 de b aumentado en 1. Es decir, (4x3)/(1+1) = 6, quees el coeficiente del tercer término. Análogamente, de este coeficiente obtenemos(6x2)/(2+1) = 4, que es el coeficiente del cuarto término, y así sucesivamente.

Ahora, si suponemos que para cualquier valor entero y positivo de n, el desarrollo de(a+b)n tiene las mismas características que observamos para n=1,2,3,4, podemos escribir:

n n(n-1) n(n-1)(n-2) (a+b)n = an + -an-1b + --------- an-2b2 + --------------an-3b3 + 1 1.2 1.2.3

n(n-1)(n-2)(n-3) + -----------------------an-4b4 + ... + 1.2.3.4

n(n-1)(n-2)...(n-k+2) + ----------------------------an-k+1bk-1 + 1.2.3..(k-1)

n(n-1)(n-2)...(n-k+1) n + ---------------------------an-kbk + ... +--abn-1 + bn

1.2.3...k 1

(a+b)n = C(n,0)an + C(n,1)an-1b + C(n,2)an-2b2 + C(n,3)an-3b3 + T1 T2 T3 T4



+ C(n,4)an-4b4 + ... + C(n,k-1)an-k+1bk-1 + T5 Tk

+ C(n,k)an-kbk + ... + C(n,n-1)abn-1 + c(n,n)bn

Tk+1 Tn Tn+1

n

(a+b)n = Σ C(n,k)an-kbk

k=0

n+1

(a+b)n = Σ C(n,k-1)an-k+1bk-1

k=1

Donde:

Término k-ésimo : Tk = C(n,k-1)an-k+1bk-1

Término (k+1)-ésimo: Tk+1 = C(n,k)an-kbk

Nota:En la quinta característica del desarrollo del binomio observamos cierto tipo desimetría en los coeficientes de los términos. Esta simetría se muestra claramenteen el triángulo de Pascal, que da los coeficientes de los términos del desarrollo de(a+b)n para valores enteros y positivos. Estos coeficientes se llaman coeficientesbinomiales o binómicos.

Ejemplo 1.

Desarrollar (a+2b)6 mediante el teorema del binomio y simplificar el resultado.



Solución.

Empezaremos escribiendo el primer término a6 y el coeficiente 6 del segundo término, queva multiplicado por a5(2b). De este punto en adelante podemos escribir inmediatamentetodos los términos que siguen, incluyendo los coeficientes, de acuerdo a las característicasdel desarrollo binomial. Así tenemos:

6x5 6x5x4(a+2b)6 = a6 + 6a5(2b) + ------a4(2b)2 + ----------a3(2b)3 + 2! 3!

6x5x4x3 + -----------a2(2b)4 + 6a(2b)5 + (2b)6

4!

Nótese que hemos conservado el término 2b encerrado en paréntesis para que no interfieracon la formación correcta de los coeficientes binomiales. Luego podemos efectuar laspotencias de 2b y obtener la forma final.

(a+2b)6 = a6 + 12a5b + 60a4b2 + 160a3b3 + 240a2b4 + 192ab5 + 64b6

Ejemplo 2.

a) Desarrollar

Solución.

En este desarrollo es aconsejable encerrar ambos términos en paréntesis, ya queaquí no sólo nos interesa formar correctamente los coeficientes binomiales, sinotambién obtener correctamente los exponentes finales y los signos de cadatérmino.

Por tanto, escribimos el desarrollo en varios pasos, como sigue:

x1/2 x1/2 -y = C(4,0)(--------)4 + C(4,1)( --------)3(--------) +

y y x1/2

x1/2 -y x1/2 -y + C(4,2)( --------)2(--------)2 + C(4,3)( --------)(--------)4 +

)x

y -

yx( 4

1/2

1/2

)x

y -( )y

xC(4,0)( = ])x

y (- + y

x[ k1/2

k-41/24

0=k4

1/2

1/2∑



y x1/2 y x1/2

-y + C(4,4)( --------)4 x1/2

x1/2 x3/2 -y x y2 x1/2 -y y4

= -------- + 4(--------)(--------) + 6--------.-------- + 4-------- (--------) + -------- y4 y3 x1/2 y2 x y x3/2 x2

x2 x y2 y4

= -------- - 4--------- + 6 - 4-------- + -------- y4 y2 x x2

b) Desarrollar (a + b - c)3

3

(a+b-c)3 = [(a+b)+(-c)]3 = Σ C(3,k)(a+b)3-k(-c)k

k=0

= C(3,0)(a+b)3 + C(3,1)(a+b)2(-c) + C(3,2)(a+b)(-c)2 +

+ C(3,3)(-c)3

= (a+b)3 + 3(a+b)2(-c) + 3(a+b)(-c)2 + (-c)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) - 3c(a2 + 2ab + b2)

+ 3c2(a+b) - c3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - 3a2c - 6abc - 3b2c + 3ac2 +

+ 3bc2 - c3

3.6. FORMULA PARA HALLAR UN TERMINO CUALQUIERA DE UN BINOMIO.

Ya hemos observado que en el desarrollo de (a+b)n, el término k-ésimo

|Tk = C(n,k-1)an-k+1 bk-1 [1]

se llama el término general. Esta es una fórmula muy conveniente para obtener cualquiertérmino del desarrollo de la potencia de un binomio sin calcular los términos anteriores.



Se sigue de [1] que el término que contiene bk es el término (k+1)-ésimo, o sea:

Tk+1 = C(n,k)an-k bk [2]

Cualquiera de estas fórmulas puede usarse para obtener un término particular deldesarrollo binomial.

Ejemplo 3.Hallar el séptimo término del desarrollo de

1 (2a3 - - b4)10

4

Solución.

Utilizando la fórmula [2]:

Tk+1 = C(n,k)an-k bk

T6+1 = C(10,6)a10-6 b6

T7 = C(10,6)a4b6

T7 = 210a4b6

Por tanto:

1 1 T7 = 210(2a3)4(---- b4)6 = 210 x 24 x a12 x ---- b24

4 46

24 210 210 T7 = 210. ----.a12b24 = ------.a12.b24 = -------.a12.b24

212 28 256

Ejemplo 4.

Hallar el término correspondiente que contiene a x3 en el desarrollo de (x-3x-1)9.

Solución.



Este problema difiere del anterior en que no sabemos el orden del término que se busca.Por tanto, representaremos por k el orden del término. De acuerdo a la forma [2], eltérmino de orden k+1 es:

Tk+1 = C(9,k)a9-k bk

Tk+1 = C(9,k).x9-k.(-3x-1)k

Tk+1 = C(9,k).x9-k.(-3)k.x-k = C(9,k).(-3)k.x9-2k

Ya que nos interesa que el exponente de x sea 3, se debe tener 9-2k = 3, ==> k = 3; o sea,que el término buscado es:

T3+1 = C(9,3).x9-3.(-3)3.x-3 = c(9,3)(-3)3x3

9x8x7 T4 = ----------- (-27)x3 = -2268x3

3x2

Nota:En los diversos desarrollos de (a+b)n, observamos que los coeficientes aumentan hasta lamitad del desarrollo y luego decrecen en orden inverso. De esto podemos concluir que sin es par, el desarrollo tiene un número impar de términos y el término central es el quetiene mayor coeficiente; y si n es impar, el desarrollo tiene un número par de términos, ylos dos términos centrales son los que tienen mayor coeficiente. Esto es consecuencia delo siguiente:Si n es par, el valor máximo de C(n,k) se obtiene cuando k=½, y si n es impar se obtienecuando k = (n-1)/2 ó k = (n+1)/2.

Ejemplo.

Sin desarrollar directamente, calcular el mayor coeficiente del desarrollo de (a+b)8.

Solución.

n = 8 es par, entonces el valor máximo de C(8,k) se obtiene cuando k = 8/2 = 4, es decir:

8! 8 x 7 x 6 x 5 C(8,4) = ------ = ------------------- = 70 4!4! 4 x 3 x 2





PROBLEMAS SOBRE EL TEOREMA DEL BINOMIO.

1. Desarrollar las siguientes expresiones mediante el teorema del binomio y simplificar elresultado.

a) (5x - y2)4 b) (ex - e-x)9

c) (x3/2 - x-3/2)4 d) (1 + x)4 + (1 - x)4

2. Escribir y simplificar los primeros cuatro términos del desarrollo de la potencia delbinomio.

a) (ex/2 - e-x/2)20 b) (x2/3 - y2/3)8

3. Obtener solamente el término o términos indicados en el desarrollo correspondiente:

a) Octavo término de (x1/2 + y1/2)12

b) Término central de (a/b - b/a)10

c) Los dos términos centrales de (x2/2 - y)9

d) Términos en y4 de (2x/3y + 3y/2x)10

e) Término independiente de x de (x1/2/y2/3 + y1/2/x3/2)16

4. Hallar el término que contiene a x10 en el desarrollo:

(1 + 3x2 + 3x4)7

5. Los términos T2, T3 y T4 del desarrollo de (a+b)n valen respectivamente 240, 720 y 1080.Hallar los valores de a, b y n.

ACTIVIDAD N° 02




INSTRUCCIÓN: RESUELVE EL POST-TEST DE ACUERDO A LOSREQUERIMIENTOS DADOS.

────────────────────────────────────────────────────────────

1. ¿Cuántos enteros positivos impares de 4 dígitos diferentes cada uno sonmayores que 3540?

2. ¿De cuántas maneras pueden alinearse 6 bolas blancas y 3 negras?

3. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse siete personas alrededor deuna mesa circular si dos personas determinadas no deben quedarse juntas?

4. ¿De cuántas maneras pueden escogerse un comité de seis personas entre docepersonas si dos personas determinadas no pueden aparecer en el mismocomité?

5. Hallar el término que contiene a X10 en el desarrollo de :

(1 + 3x2 + 3x4)7

NOMBRE : ......................................

FECHA : ......................................

TIEMPO : 1 hora 30 minutos.

POST - TEST



PÁG

♦ PRÓLOGO

♦ INDICE

♦ PRE TEST

♦ OBJETIVOS

♦ PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO ------------------------------ 01

♦ PROBLEMAS SOBRE EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO09

♦ PERMUTACIONES LINEALES ----------------------------------------------- 10

♦ PERMUTACIONES LINEALES CON REPETICION --------------------- 18

♦ PERMUTACIONES CIRCULARES ------------------------------------------ 19

♦ PROBLEMAS SOBRE PERMUTACIONES LINEALES Y CIRCULARES 21

♦ COMBINACIONES DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r en r --------- 23

♦ PROBLEMAS SOBRE COMBINACIONES --------------------------------- 31

♦ TEOREMA DEL BINOMIO ---------------------------------------------------- 33

♦ FORMULA PARA HALLAR UN TERMINO CUALQUIERA DE UN

BINOMIO ------------------------------------------------------------------------- 38

♦ PROBLEMAS SOBRE EL TEOREMA DEL BINOMIO ------------------ 41

♦ POS-TEST -------------------------------------------------------------------------- 42

♦ BIBLIOGRAFÍA

ÍNDICE

43



En el presente módulo autoinstructivo se estudia el Análisis Combinatorio

y se abordan problemas específicos sobre permutaciones y combinación a partir

del Teorema Fundamental de Conteo, y también se abarca el Teorema del

Binomio, el cual nos permite desarrollar un binomio cualquiera y calcular

cualquiera de sus términos.

Está destinado a los postulantes de las Universidades, estudiantes de los

primero s ciclos de las Universidades. También puede ser útil para los

profesores que enseñan estos temas.

Los objetivos específicos se logran siempre y cuando los grupos de

ejercicios se resuelvan con una eficacia del 80%, en caso contrario deberán

volver a estudiar los cuadros correspondientes y resolver nuevamente los

ejercicios incorrectos o no resueltos. Resuelva los problemas propuestos del

modo siguiente: primero en forma individual, luego en forma grupal y por

último preséntelos en un grupo de un máximo de cinco (05) integrantes.

Cumpla también con las actividades de retroalimentación antes de

presentarse al Examen de Verificación... Te deseo buena suerte!

El Autor

PRÓLOG

44



OBJETIVO TERMINAL.

Describir y calcular los diversos arreglos y selecciones que es posible hacer con los

elementos de un conjunto dado, y utilizar los resultados en la solución de problemas

prácticos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

1. Interpretar el Principio Fundamental de Conteo y aplicarlo en la solución de

problemas.

2. Calcular el número de permutaciones lineales y circulares de n elementos de un

conjunto tomados de r en r.

3. Calcular el número de combinaciones de n elementos de un conjunto tomados de r en

r.

4. Desarrollar binomios y calcular su r-ésimo término utilizando combinaciones.

CONTENIDO.

3.1. Principio Fundamental de Conteo.

3.2. Permutaciones Lineales. Permutaciones lineales con repetición.

3.3. Permutaciones circulares.

3.4. Combinaciones de n elementos tomados de r en r.

3.5. Teorema del binomio.

3.6. Fórmula para hallar un término cualquiera de un binomio.

OBJETIVOS



INSTRUCCIÓN: RESUELVE EL PRE-TEST DE ACUERDO A LOSREQUERIMIENTOS DADOS.

────────────────────────────────────────────────────────────

1. ¿Cuántos enteros positivos impares de 4 dígitos diferentes cada uno sonmayores que 3540?

2. ¿De cuántas maneras pueden alinearse 6 bolas blancas y 3 negras?

3. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse siete personas alrededor deuna mesa circular si dos personas determinadas no deben quedarse juntas?

4. ¿De cuántas maneras pueden escogerse un comité de seis personas entre docepersonas si dos personas determinadas no pueden aparecer en el mismocomité?

5. Hallar el término que contiene a X10 en el desarrollo de :

(1 + 3x2 + 3x4)7

NOMBRE : ......................................

FECHA : ......................................

TIEMPO : 1 hora 30 minutos.

PRE - TEST

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