AnalisiNumerica II

parte

D. Lera

LEZIONE 3 Analisi Numerica II parte

Daniela Lera

Università degli Studi di CagliariDipartimento di Matematica e Informatica

A.A. 2016-2017

AnalisiNumerica II

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D. Lera

LEZIONE 3

Formule Gaussiane

Formule di quadratura Gaussiane

In tali formule la posizione dei nodi non è prefissata, comeavviene in quelle di Newton-Cotes, ma viene determinata inmodo tale da massimizzare il grado di precisione delleformule.

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LEZIONE 3

Formule Gaussiane

TEOREMA 1Esiste una ed una sola formula di integrazione numerica∫ b

aw(x)f (x)dx ≈

k∑i=0

λif (xi)

che utilizza k + 1 punti e che sia di grado di precisione2k + 1. Essa si ottiene con:

i nodi xi = radici del polinomio pk+1(x), di grado k + 1,ortogonale in [a, b] a qualunque polinomio dello spazioPk (rispetto a w(x)).

λi =

∫ b

aLi(x)w(x)dx, i = 0, ..., k

con Li(x), funzioni fondamentali di Lagrange.

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LEZIONE 3

Formule Gaussiane

N.B. Per ogni intervallo [a, b] e ∀k ∈ N esiste un solopolinomio

pk+1(x) =k∏

i=0

(x− xi)

ortogonale in [a, b] a qualsiasi polinomio di Pk.

Inoltre gli zeri x0, x1, ..., xk sono reali, distinti e interni ad [a, b].

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Formule Gaussiane

Costruzione formule Gaussiane

Supponiamo che w(x) = 1 e che i nodi siano k + 1. Allora:1. Si calcolano i nodi x0, x1, ..., xk imponendo∫ b

a(x− x0)...(x− xk)xrdx = 0 r = 0, ..., k

2. Si ricavano i coefficienti λi, i = 0, ..., k, imponendo chela f. di q. con i suddetti nodi sia interpolatoria:∫ b

axrdx =

k∑i=0

λixri r = 0, ..., k

Sono sistemi con k + 1 equazioni e k + 1 incognite.

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Formule Gaussiane

Errore delle formule Gaussiane

TEOREMA 2

Se f ∈ C2k+2[a, b], l’errore associato alla valutazionedell’integrale

∫ ba f (x)dx con una f. di q. gaussiana a k + 1

nodi è il seguente:

E(f ) =f (2k+2)(ξ)

(2k + 2)!

∫ b

ap2

k+1(x)dx

con ξ ∈ (a, b).

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LEZIONE 3

Vantaggi integrali con peso

Diamo di seguito l’idea sul perché si utilizzino funzioni pesow per il calcolo di integrali. Se dobbiamo approssimare∫ b

ag(x)dx

con g(x) regolare, allora di solito non sarà difficile calcolarenumericamente il valore dell’integrale, mentre se g è pocoregolare sarà molto più oneroso ottenere buoni risultati.

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LEZIONE 3

Vantaggi integrali con peso

Introducendo una funzione peso w , e supposto che f = g /wsia regolare, si considera il calcolo di∫ b

ag(x)dx =

∫ b

a

g(x)w(x)

w(x)dx =

∫ b

af (x)w(x)

La regolarità di f e la particolarità del calcolodipendentemente dalla funzione peso permette diapprossimare meglio∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af (x)w(x)dx

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LEZIONE 3

Esempio

Consideriamo il calcolo approssimato∫ 1

1ex√

1− xdx = 1.7791436546919097925911790299941

Non è suggerito il calcolo dell’integrale con formulecomposte perché la funzione ex

√1− x è poco regolare.

Non è indicato usare formule guassiane con pesow(x) = 1 perché la funzione ex

√1− x è poco regolare.

Si suggerisce di usare formule Gaussiane con peso diJacobi w(x) =

√1− x perché la funzione ex è

C∞(−1, 1).

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Formule Gaussiane

Gauss-Chebichev

∫ b

af (x)w(x)dx

w(x) = (1− x2)−1/2 intervallo [−1, 1]

pesi:π

k + 1nodi: cos

(2i + 1)π2(k + 1)

, i = 0, ..., k

∫ 1

−1

1√1− x2

f (x)dx ≈ π

k + 1

k∑i=0

f(

cos(2i + 1)π2(k + 1)

)

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Formule Gaussiane

Gauss-Legendre

w(x) = 1 intervallo [−1, 1]

Pesi e nodi assegnati (vedi tabella).

Considerando il generico intervallo [a, b]:

∫ b

af (x)dx =

b− a2

∫ 1

−1f(

a + b + t(b− a)2

)dt

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Formule Gaussiane

k xi λi1 ± .5773502692 1.02 ± .7745966692 0.5555555556

0.0 0.88888888893 ± .8611363116 0.3478548451± .3399810436 0.6521451549

4 ± .9061798459 0.2369268851± .5384693101 0.4786286705

0.0 0.56888888885 ± .9324695142 0.1713244924± .6612093865 0.3607615730± .2386191861 0.4679139346

6 ± .9491079123 0.1294849662± .7415311856 0.2797053915± .4058451514 0.3818300505

0.0 0.41795918377 ± .9602898565 0.1012285363± .7966664774 0.2223810345± .5255324099 0.3137066459± .1834346425 0.3626837834

Table : Nodi e pesi per la formula di Gauss-Legendre

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LEZIONE 3

Formule Gaussiane

Gauss-Hermite

w(x) = e−x2intervallo (−∞,+∞)

Gauss-Laguerre

w(x) = e−x intervallo (0,+∞)

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LEZIONE 3

Formule adattive

Formule adattive

La scelta della suddivisione in parti uguali di una f. di q.composta può non essere appropriata quando la funzioneha un comportamento altamente variato nell’intervallo dato(in dipendenza delle derivate della funzione).

Con le formula adattive si cerca di adattareautomaticamente il passo di suddivisione al comportamentodella funzione.

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LEZIONE 3

Formula di Simpson adattiva

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LEZIONE 3

Formula di Simpson adattiva

Simpson adattiva

Si vuole calcolare:

If (a, b) =∫ b

af (x)dx.

Sia [α;β] un sottointervallo di [a; b]. Vogliamo approssimareIf (α;β) =

∫ βα f (x)dx con la formula di quadratura di Simpson.

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LEZIONE 3

Formula di Simpson adattiva

Simpson adattiva

Definiamo (Simpson elementare):

Sf (α;β) :=h3

[f (α) + 4f

(α+ β

2

)+ f (β)

]con errore:

If (α;β)− Sf (α;β) = −h5

90f (4)(ξ)

essendo h = (β − α)/2 e ξ ∈ [α;β].

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LEZIONE 3

Formula di Simpson adattiva

Simpson adattiva

Sempre sull’intervallo [α, β] utilizzo la formula di Simpsoncomposta sui due intervalli:

[α,α+ β

2] ∪ [

α+ β

2, β]

Sf ,2(α;β) := Sf (α,α+ β

2) + Sf (

α+ β

2, β)

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LEZIONE 3

Formula di Simpson adattiva

Simpson adattiva

L’errore che commetto con la seconda formula é:

If (α;β)− Sf ,2(α;β) = −(h/2)5

90[f (4)(ξ) + f (4)(η)]

con ξ ∈ [α; α+β2 ] e η ∈ [α+β2 , β]. Se suppongo che f (4) variipoco posso prendere f (4)(ξ) ≈ f (4)(η), e l’errore diventa:

If (α;β)− Sf ,2(α;β) = −116

h5

90f (4)(ξ). (1)

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LEZIONE 3

Formula di Simpson adattiva

Obiettivo

Determinare l’intervallo [α, β] in modo tale che l’erroreIf (α;β)− Sf ,2(α;β) sia più piccolo di una quantità fissata,senza far uso di f (4).

Riprendo la formula dell’errore per Simpson semplice:

If (α;β)− Sf (α;β) = −h5

90f (4)(ξ) (2)

e calcolo (1)-(2):

Sf (α;β)− Sf ,2(α;β) =1516

h5

90f (4)(ξ)

ovvero

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Formula di Simpson adattiva

115

(Sf (α;β)− Sf ,2(α;β)) =1

16h5

90f (4)(ξ)

Andando a sostituire in (1) si ha:

If (α, β)− Sf ,2(α, β) = −1

15(Sf (α, β)− Sf ,2(α, β))︸ ︷︷ ︸

εf (α,β)

Ora dico che Sf ,2(α;β) è una buona approssimazione diIf (α;β) se

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Formula di Simpson adattiva

|If (α, β)− Sf ,2(α, β)|︸ ︷︷ ︸1

15 |εf (α,β)|

≤ εβ − αb− a

Perché?

Perché voglio avere un errore globale su [a, b] minore di ε,quindi su ogni intervallino [α, β] devo avere un controllo conε (β−α)(b−a) .

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Formula di Simpson adattiva

Osservazione

Poiché abbiamo supposto f (4) con piccole variazioni (e nonè sempre vero), invece di chiedere

|εf (α, β)| ≤ 15εβ − αb− a

chiediamo

|εf (α, β)| ≤ 10εβ − αb− a

(3)

Come scegliere [α, β]:Parto con α = a e β = b e poi, via via, si dimezza l’intervallofinché non è soddisfatta la stima (3).

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Formula di Simpson adattiva

ALGORITMO

While β ≤ bcalcolo Sf (α;β) e Sf ,2(α;β), |εf (α, β)|if |εf (α, β)| ≤ 10εβ−αb−a

prendo Sf ,2(α;β) come approx di If (α;β);α→ ββ → ...h = (β − α)/2

elseα→ αβ → (α+ β)/2h = (β − α)/2

endend

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Formula di Simpson adattiva

A = intervallo di integrazione attivo, cioé sul qualestiamo effettuando l’approssimazione dell’integraleS = intervallo di integrazione già esaminato nel qualesappiamo che l’errore commesso sta al di sotto dellatolleranza richiestaN = intervallo di integrazione ancora da esaminare

All’inizio del processo di integrazione abbiamo

N = [a, b] A = N S = ∅

Ad un passo intermedio abbiamo una situazione analoga aquella in figura 1.

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Formula di Simpson adattiva

Figura 1Se la stima delll’errore sull’integrale approssimato su A ha

l’accuratezza richiesta allora si ha la situazione (I)Altrimenti si ha la situazione (II): A viene dimezzato e

l’intervallo attivo viene posto = [α, α′].

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Formula di Simpson adattiva

Esempio

a = 0, b = 1

f (x) =1

(x− 0.3)2 + 0.01+

1(x− 0.9)2 + 0.04

− 6

[int,xfeval,nfeval]=simpadpt(a,b,toll,f,hmin);int = integrale calcolatoxfeval = vettore dei nodi di quadratura utilizzatinfeval = n. di valutazioni di f effettuatehmin = h minimo per la ricorsione: se h< hmin mi fermo.

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