keepaspectratio]fourier.epsUNIVERSITA DEGLI STUDI DI MILANO-BICOCCAFacolt di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliCorso di Laurea in Scienza dei MaterialiANALISI FUNZIONALE APPLICATA AI MATERIALIDalle lezioni di:Prof.ssa Susanna TerraciniDott.ssa Veronica FelliA cura di:Gabriele Cesare SossoAnno Accademico 2007-2008God does not care aboutour mathematical dicultiesHe integrates empirically...-A.Einstein-Indice1 Analisi Complessa 11.1 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Struttura Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Struttura Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Struttura Topologica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Successioni e Serie in campo Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Limite di una Successione in Campo Complesso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Criterio di Cauchy per le Successioni in Campo Complesso . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Limite di una Serie in Campo Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Criterio di Cauchy per le Serie in Campo Complesso . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5 Criteri di Convergenza Assoluta per serie in Campo Complesso . . . . . . . . . 61.3 Funzioni Complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Limite di una funzione Complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Alcuni esempi di Funzioni Complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Serie di Potenze in Campo Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Raggio di Convergenza per una Serie di Potenze in Campo Complesso . . . . . 101.4.2 Lesponenziale Complesso come Serie di Potenze in Campo Complesso . . . . . 121.4.3 Funzioni TrigonometricheComplesseinformadi Seriedi PotenzeinCampoComplesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Derivazione in senso Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1 Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Dierenziali Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Funzioni Olomorfe e funzioni Armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Trasformazioni Conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9 Applicazioni a Fluidi Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10Integrazione di Funzioni Complesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26INDICE iii1.11Singolarit di Funzioni Olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.12Teorema dei Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Analisi di Fourier 402.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.1 Modulazione di Frequenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.2 Equazione di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3 Funzioni di Bessel come serie di Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.4 Relazioni di Ricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.5 Laplaciano in coordinate Polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.6 Equazione delle Vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.1 Applicazione rispetto al Teorema dei Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.2 Antitrasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.3 Trasformata di Fourier di una Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3.4 Equazione del Calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.5 Equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.6 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 Analisi Spettrale 723.1 Teoria degli Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.1 Teorema di Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.2 Oscillatore Armonico Quantistico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.3 Operatore di Schroedinger Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.4 Spettro e Risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Caratterizzazione Variazionale degli Autovalori di Operatori Hermitiani . . . . . . . . 813.2.1 Operatore Aggiunto dellOperatore Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.2.2 Forma Quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2.3 Ancora sugli operatori hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2.4 Spettri di alcuni Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Capitolo 1Analisi Complessa1.1 Numeri ComplessiDenita la cosiddetta unit immaginariai come quelloggetto per il quale si hai2= 1 (1.1)un numero complessoz si pu scrivere nella formaz = x +iy conx, y ' (1.2)dovex edysi denotano come parte realeRe(z) e parte immaginariaIm(z) dizrispettivamente.Un numero complesso possiede in linea di massima una triplice struttura, a seconda dal punto di vistadal quale lo si prende in considerazione. Andiamo dunque ad analizzare nel dettaglio questultima.1.1.1 Struttura AlgebricaDeniremo la somma di due numeri complessiz = x +iy ew = k +il comez +w = [(Re(z) +Re(w)) +i(Im(z) +Im(w))] (1.3)ed il prodotto comezw = (x +iy)(k +il) (1.4)1.1 Numeri Complessi 21.1.2 Struttura GeometricaUn numero complesso z pu essere rappresentato 1anche mediante la coppia ordinata (x, y) '2comepunto in un piano (noto come piano di Gauss) avente come assi la parte reale in ascissa, e limmaginariain ordinata. Identicheremo allora il modulo, o valore assoluto, [z[ di z come la sua distanza dallorigine,pari a[z[ = _x2+y2(1.5)Se poniamo r = [z[ e deniamo langolo formato dal vettore r con lasse reale sul piano di Gauss,vale a dire = arg(z) = arctan_yx_(1.6)possiamo passare ad una forma polare per il numero complessoz del tipoz = r(cos +i sin ) (1.7)Non solo, ma attraverso lequazione (1.7) arriviamo anche ad una forma esponenziale, poich, datiz = r(cos +i sin ) ew = (cos +i sin )zw = r[(cos cos sin sin ) +i(sin cos + sin cos )]= r[cos( +) +i sin( +)]= rei(+)= rei ei(1.8)Indi,ei= cos +i sin =zr z = rei(1.9)Questaformadi zestremamentesignicativa, lovedremopiavanti. Si pensi al problemadi1NellatrattazioneindicheremoconNlinsiemedei numeri naturali, N0linsiemedei numeri interi (naturali zeroincluso), Z linsieme dei numeri relativi (interi positivi e negativi), Q linsieme dei numeri razionali (frazioni), I linsiemedei numeri Irrazionali (nonfrazioni), linsiemedei numeri reali (razionali eirrazionali), e Clinsiemedei numericomplessi (coppie ordinate di numeri reali).1.1 Numeri Complessi 3doverdescrivereunuidoreale. Laquantitfondamentaleinquestosenso, lasuavelocit, ondedescrivere ecacemente la quale necessario introdurre un campo di velocit, in generale associandoad un numero complesso un altro numero complesso. Deniamo ora il complesso coniugato z del numerocomplessoz comez = x +iy z = x iyz = rei z = rei(1.10)Si noti che nel piano di Gauss il complesso coniugato si ritrova specularmente allasse reale rispettoal numerocomplessooriginario. Si puanchericavarelortogonale zdi unnumerocomplessoz,semplicmentemoltiplicandolo(informapolare)per ei2. Piingenerale, larotazionenel pianodiGauss di un angolo equivale alla moltiplicazione perei. E interessante allora sviluppare un breveparagone con le matrici di rotazione in senso geometrico (per uno scienzato dei materiali, il richiamoallateoriadei gruppi inambitomolecolareecristallogracodovrebberisultarepicheevidente).Costruiamo la matrice di rotazioneAA =a bc d(1.11)la quale, se applicata al vettore v = v =xy(1.12)produrr un vettore v

A v = v

(1.13)ruotato rispetto a v di un certo angolo. Pi correttamente, allora, scriveremoA comeA =cos sin sin cos (1.14)ed in eetti ad un numero complesso di argomento unitario (r = 1) possibile associare una matricedi questo tipo. La dimostrazione banale. Si consideri lespressione delle coordinate polari nel piano,1.1 Numeri Complessi 4x = g(, ) = cos y = h(, ) = sin (1.15)dove ' e [0; +]. Tale trasformazione ha uno Jacobiano,(x,y),che proprio laA di cuisopra (a meno del fatto che in generale ,= 1), la quale ha determinante uguale a , il che signica chesi tratta di una trasformazione regolare ad eccezione dellorigine del piano di Gauss = 0.1.1.3 Struttura TopologicaLa struttura topologica di un oggetto legato al concetto di vicinanza, di limite. Iniziamo col denirela distanzad tra due numeri complessiz ew comed(z, w) = [zw[ (1.16)ed il discoD(z0) centrato inz0 comeD(z0) = z C : [z z0[ < r con r > 0 (1.17)Denito altres lintorno diD(z0) come D(z0) per qualche r > 0 (1.18)ci chiediamo ora in quali rapporti possano essere il punto z0 ed un generico insieme C. Avremoche z0 un punto interno a se r > 0 : D(z0) z0 un punto esterno a se r > 0 : D(z0) = z0 un punto di frontiera (o bordo di ) se r > 0D(z0) = eD(z0) c,= , dove c ilcomplementare di Sempre in termini di formalismo, indicheremo con, e = linsieme dei punti interni,linsiemedei punti di frontiera, elachiusuradi rispettivamente. Possiamoalloradistingueretrainsiemi aperti e chiusi, a seconda che = o = rispettivamente. Si scrivano ora per esercizio leespressioni della frontiera e della chiusura dellinsiemeD(z0). Si tratta oltretutto di un insieme apertoo chiuso?1.2 Successioni e Serie in campo Complesso 51.2 Successioni e Serie in campo Complesso1.2.1 Limite di una Successione in Campo ComplessoI concetti di successione e di serie in campo complesso sono limmediata traduzione delle corrispondentinozioni incamporeale. Inparticolare, unasuccessioneaunaapplicazionea: N C, ossiaunacorrispondenzacheassociaadunqualunquenumeronaturalen Nunnumerocomplessoan. Neapprottiamo allora per introdurre la denizione di limite z di una successione complessaznlimn+zn = z limn+[zn z[ = 0 > 0 N: n > N [zn z[ 0 N: n, m > N[zn zm[ 0 n : N> nn+N

k=n+1ck 1 (1.29)Nel caso invece si verichi chelimn+[cn + 1[[cn[= l = 1 (1.30)1.2 Successioni e Serie in campo Complesso 7non si pu trarre alcuna conclusione in merito.Criterio della radice: La serie +n=0cn converge selimn+n_[cn[ = l < 1 (1.31)mentre non converge selimn+n_[cn[ = l > 1 (1.32)Nel caso invece si verichi chelimn+n_[cn[ = l = 1 (1.33)non si pu trarre alcuna conclusione in merito.Criterio del confronto: Se e solo se vale la relazione0 an bnann, bnn ' (1.34)allorase

bn converge

an convergese

an diverge

bn diverge (1.35)Vediamoladimostrazionedel criteriodellaradice. Per l 0, > 0 : 0 < [z z[ < [f(z) w[ 1. La somma della serie vale1.4 Serie di Potenze in Campo Complesso 10Sn= 1 +z +z2+ +znSnz = z +z2+z3+ +zn+1Sn (Snz) = 1 zn+1Sn=1 zn+11 z(1.47)Si pu anche passare alloperazione di limite, pern +limn++

j=0aj(z z0)j(1.48)Naturalmente il tutto pu essere visto come una vera e propria funzionef(z) C.1.4.1 Raggio di Convergenza per una Serie di Potenze in Campo ComplessoEsordiamo con lenunciare un lemma. Supponiamo dunque che la serie+

j=0aj( z z0)j(1.49)con z punto esterno aD(z0). Allora la serie+

j=0aj(z z0)j(1.50)converge z : [z z0[< [ z z0[. Vediamo la breve dimostrazione. Per la condizione necessaria diconvergenza deve esserelimj+[aj( z z0)j[ = 0limj+[aj[[ z z0[j= 0 (1.51)ilcheimplica cheesistaunacostantek: [aj[[ z z0[jk j.Vorr alloraandareavederecosaaccade quando prendo la radice ennesima di questo oggetto (si veda il criterio della radice, equazioni(1.31-1.33), ricordandochenel casoconvergalaseriedel valoreassoluto, laserieoriginariadovrconvergere assolutamente. Dovr stimare alloran_[aj[[z z0[nper [z z0[ < [ z z0[ (1.52)1.4 Serie di Potenze in Campo Complesso 11Indi,n_[aj[[z z0[n

[z z0[[z z0[ nk l (1.53)dove|zz0||zz0|= l ed una quantit minore dellunit per ipotesi. Si noti oltretutto chenk = e1nlnk.Diconseguenza, N:n _[aj[[ z z0[nl 1n>N,ilcheimplicalaconvergenzaprofessatanellemma (44). Andiamo ora a studiare nel dettaglio il cosiddetto raggio di convergenza di una serie dipotenze in campo complesso. Cominceremo con lenunciare un importante teorema, il quale asserisceche, data la serie di potenzeSj =+

j=0aj(z z0)jallora R '[0, +] : Sjconverge z Cse [z z0[ R.LaquantitRnotaperlappuntocomeraggiodi convergenza. Distinguiamoquindi tredierentipossibilit rispetto alla convergenza o meno di una serie potenze in campo complesso: Sjconverge perz = z0, indi dovremo porreR = 0 Sjconverge per tutti gliz C, indiR = +Linsiemedi convergenzanontuttoCneridottoa z0, maavremocheR= [z z0[ :SjconvergeInoltre, diremo che una funzione fdenita nel dominio C rappresentabile in serie di potenzein se ad ogni discoD(z0, r) corrisponde una serie del tipo+

n=0cn(z z0)n(1.54)laqualeconvergeaf(z) z D(z0,r).Ineetti,esisteunteoremacheaermacomenelcasoincui fsiarappresentabileinseriedipotenzein,allorafolomorfaineoltretuttof

ancorarappresentabile come serie di potenze nel medesimo dominio (e di conseguenza ancora olomorfa nellostesso). Infatti, sef(z) =+

n=0cn(z z0)n(1.55)perz D(z0, r) allora per questiz avremo anchef

(z) =+

n=1ncn(z z0)n1 (1.56)1.4 Serie di Potenze in Campo Complesso 12il che implica che la stessa aermazione pu essere reiterata suf

. Indi, possiamo aermare che laderivata di ordinek dif(z) pu essere denita in forma di serie di potenze ed olomorfa nel dominiooriginario. In particolare,f(k)(z) =+

n=kn(n 1)(n k + 1)cn(z z0)nk(1.57)ek!ck = f(k)(z0) (1.58)1.4.2 Lesponenziale Complesso come Serie di Potenze in Campo ComplessoLesponenziale di un numero complessoz pu esser denito in forma di serie di potenze comeez= 1 +z +z22+z33!+ =+

j=0zjj!(1.59)In generale, una informazione sulla convergenza di una serie di potenze in campo complesso la siottiene attraverso il criterio del rapporto, poich1R= limn+[aj + 1[[aj[(1.60)Si noti che il fatto che il suddetto limite non esista, non signica aatto che non esista il raggio diconvergenza della serie di potenze in esame. Applichiamo ora lequazione (1.59) alla equazione (1.60):1R= limn+[aj + 1[[aj[= limn+j!(j + 1)!= limn+j(j + 1)= + R =1+= 0 (1.61)1.4.3 Funzioni Trigonometriche Complesse in forma di Serie di Potenze in CampoComplessoPartiamo col tentativo di dimostrare la ben nota propriet la quale recitae(z+w)= ez ew(1.62)1.4 Serie di Potenze in Campo Complesso 13ed introducendo il prodotto di due serie come_+

n=0an_

_+

n=0bn_ =_+

n=0cn_(1.63)concn =n

k=0akbnk(1.64)Varr allora_+

n=0znn!_

_+

n=0wnn!_=+

n=01n!_n!n

k=0zkk! wnk(n k)!_=+

n=01n!_n

k=0bzkwnk_=+

n=01n!(z +w)n(1.65)dove b il coecente binomiale, tanto vero che lultimo passaggio dellequazione (1.65) statoricavato utilizzando la formula del binomio di Newton. Tuttavia, sappiamo anche chee(i)=+

n=01n!(i)n=+

j=0(i)2j2j!++

j=0(i)2j+1(2j + 1)!=+

j=0(1)j2j(2j)! +i+

j=0(1)j2j+1(2j + 1)!= cos +i sin (1.66)dove la somma stata evidentemente scissa dagli n injpari e dispari (per coseno e seno rispet-tivamente, date le ben note propriet di simmetria di queste due funzioni trigonometriche) e lunitimmaginaria deriva dal termine (i)2j+1. A questo punto, allora pi che lecito denirecos z =+

j=0(1)jz2j2j!sin z =+

j=0(1)jz2j+1(2j + 1)!(1.67)1.5 Derivazione in senso Complesso 141.5 Derivazione in senso ComplessoDiremoche f : CC derivabile insensocomplessoin z0se e solose esiste illimzz0f(z)f(z0)zz0. E interessante eettuare un paragone tra derivazione reale e complessa. Nel primocaso, ho una funzionef(x, y) : '2 '2, ovvero__xy__ __(x, y)(x, y)__ = f__xy__(1.68)dove x, y interverranno poi in senso complesso nel momento in cui deniremo z = x +iy f(z) = +i. La funzione realef(x, y) sar approssimabile in questo modo:f(x, y)__(x, y)(x, y)__ =__(x0, y0)(x0, y0)__+__(x0,y0)x(x0,y0)y(x0,y0)x(x0,y0)y____x x0y y0__+R(x, y) (1.69)doveR noto come resto, e per questo oggetto deve valere la propriet chelim(x,y)(x0,y0)[R(x, y)[_(x x0)2+ (y y0)2= 0 (1.70)Veniamo ora al caso complesso. Prenderemo allora in considerazione una funzionef: C C,che classicheremo come dierenziabile inz0 se e solo se esistelimzz0f(z) f(z0)z z0(1.71)conf

C. Unosservazione importante: la denizione sopracitata st a signicare chef(z) = f(z0) +f

(z0)(z z0) +R(z) (1.72)dovelimzz0R(z)z z0=[R(z)[[z z0[= 0 (1.73)il che signica che tanto nel caso reale quanto nel caso complesso, il resto v a zero pi velocementedellincremento.Sinotitralaltrochenellequazione(1.72)lincremento(cheperforzadicoseunnumerocomplesso), vienemoltiplicatoperunaltronumerocomplesso. Sorgealloraspontaneaunadomandanonbanale: quali trasformazioni del pianoinsestesso(indi quali trasformazioni lineari)corrispondono alla moltiplicazione per un numero complesso? Prendiamo1.6 Dierenziali Complessi 15w0z = r0ei0(x +iy)= r0(cos 0x + sin 0y) +ir0(cos 0y sin 0x)= r0__cos 0sin 0sin 0cos 0____xy__(1.74)il che signica che necessario e sucente che la matrice sia nella forma__a bb a__(1.75)per la qualer0 = a2+b2e = arctanba.1.5.1 Condizioni di Cauchy-RiemannCominciamo col dire che se f dierenziabile in senso complesso lo anche in senso reale. Fondamentale a questo punto introdurre il concetto di funzione olomorfa. Se la funzione complessa f, denita in uninsieme C risulta dierenziabile in ogni puntoz0 , allora si dice chef olomorfa (o analitica)in . In particolare, anchfsia olomorfa in necessario che per ogniz valgano le cosiddettecondizioni di Cauchy-Riemann, per le quali, conf= +i con e ' deve esserex=yy= x(1.76)il che del tutto in linea con quanto visto nel paragrafo precedente. Una rotazione, infatti, ala paridi una riessione, una operazione ortogonale, ovvero non varia gli angoli, e per matrici ortogonali sihanno determinanti uguali a 1 o a 1 nel caso di riessioni o rotazioni rispettivamente. Si noti altresche qualunque matrice 2x2 pu essere scritta come una somma di una rotazione e di una riessione.Nel caso dei numeri complessi, se prendo un numero complesso z, ne faccio il complesso coniugato e lomoltiplico per un altro numero complessow0, ottengo una riessione1.6 Dierenziali ComplessiConsideriamo prima i dierenziali reali, vale a dire applicazioni lineari da ' ' dellincremento. Datala funzionef(x, y), deniremo allora la coppia di dierenzali1.6 Dierenziali Complessi 16___dx(h, k) = hdy(h, k) = k(1.77)In altre parole, dato il vettore di componenti(h, k), il dx mi quantica lincremento della primavariabile (e ovviamente il dy della seconda). Prendiamo allora una funzione : '2 '2e dierenziabilein (x0, y0). Come sempre potremo scrivere(x, y) = (x0, y0). .parte costante+ x(x0, y0)(x x0) +y(x0, y0)(y y0). .parte lineare dellincremento+R(x, y). .resto(1.78)dove la parte lineare di cui sopra si pu riscrivere come_x(x0, y0)dx +y(x0, y0)dy_. .d(h,k)=x0h+y0k(x x0, y y0). .valutato nellincremento(1.79)Passiamo ora ai dierenziali in senso complesso. In prima approssimazione avremodz = dx +idy (1.80)il che implica un incremento costituito da una parte reale ed una immaginaria. Introduco ora undierenziale coniugato,d z = dx idy (1.81)perch se mi limitassi a dz per un numero complesso non avrei la totalit delle matrici che risultanocoinvolte nel processo di derivazione (lo vedremo meglio in seguito). Indi,dz(h +ik) = h +ikd z(h +ik) = h ikdx =12(dz +d z)dy =12i(dz d z) (1.82)Prendiamo ora una funzionef: C C = (x, y) +i(x, y). Poich varr1.7 Funzioni Olomorfe e funzioni Armoniche 17fx= x +ixfy= y +iy(1.83)allora il dierenziale complessodfsardf = fxdx +fydy=12fx(dz +d z) +12ify(dz d z)=12(fx + 1ify)dz + 12(fx 1ify)d z (1.84)=12(fx ify). .parte di rotazione scalare, zdz 12(fx +ify). .parte di riessione per uno scalare, zd zil cheimplica, per lecondizioni di Cauchy-Riemann, chelapartecomplessaconiugatadebbaannullarsi, e di conseguenza la scrittura del dierenziale in senso complesso si semplica di moltodf =12[(x +ix) i(y +iy)]dz + 12[(x +ix) +i(y +iy)]d z=12[(x +y) +i(x y)]dz + 12[(x y) +i(x +y)]d z=12[(x +y) +i(x y)]dz (1.85)Approdiamoalloraal concettodi derivabilitinsensocomplessoveroe proprio. Lafunzionecomplessafsi dice derivabile in senso complesso nel puntox0, se, nellespressione per il dierenzialedf= A(z0)dz +B(z0). .=0d z (1.86)ovvero il dierenziale dipenda unicamente dallincremento della variabilez(e non da quello dellavariabile complessa coniugata).1.7 Funzioni Olomorfe e funzioni ArmonicheDiamo in questa sede qualche ulteriore dettaglio su questa classe molto importante di funzioni. Dataf(z) denita su un dominio C, diremo che questultima olomorfa se e solo se dierenzibile insenso complesso in ogni puntoz0 . Nel caso in cui =C,f(z) una funzione intera, vale a dire1.7 Funzioni Olomorfe e funzioni Armoniche 18olomorfa in tutto il piano complesso. Esistono altre classi decisamente importanti di funzioni, moltedelle quali aventi interessanti risvolti applicativi. Prendiamo ad esempiof(x, y) = (x, y) + i(x, y) ,c2ed olomorfa su un certo dominio , ovvero derivabile due volte e dante come risultato derivateche a loro volta sono funzioni continue. Dalle condizioni di Cauchy-Riemann avremo allora___x= yy= x___xx= yxyy= xy___2x2=2yx2y2= 2xy(1.87)Se oltretutto vericata la condizione per la quale___xx +yy= 0xx +yy= 0(1.88)si parladi funzioni armoniche, poichleequazioni sopracitate, notecomeequazioni di Laplace,ammettono come soluzioni proprio questa classe di funzioni. Deniremo allora una funzione armonicauna funzione per la quale innanziututtofxx efyyesistono in ogni punto del dominio allinterno delquale peraltrof continua, ed in secondo luogof= 0 con c2() : ' (1.89)In denitiva, in matematica lo studio delle funzioni olomorfe di primaria importanza in quantosonoapplicabilipoicomefunzioniarmonicheinsica.Lesempioprincipelostudiodeipotenziali:quali sonoleproprietchemi diconocheil potenzialedi uncampoEesprimibilecomefunzionearmonica? Innanzitutto, deniamo il campo come il gradiente del potenzialeU(che sappiamo essereconservativo):E = U (1.90)perpoi rifarci allaleggedi conservazione(inquestocaso, essaaermachelacaricadentrounqualcosa proporzionale al usso, o meglio la densit di carica deve essere compensata dalla divergenzadel usso del campoE) sottoforma di legge di Gaussq(V ) =__=VE ned (1.91)conq(V )densitdicaricanelvolumeinesamee neversorenormaleallasupercie.Pervolumipiccoli, avremoq(V ) 0E (1.92)1.7 Funzioni Olomorfe e funzioni Armoniche 19il che implica = lim(V )0q(V )V= 0E (1.93)condensitdi caricae(V )diagonaledel volume, inmodochequestultimonel processodilimitenonsi deformi. Aquestopuntofondamentalechiarireledierenzetrafunzioni olomorfeearmoniche. Una funzione olomorfa costituita da una parte reale ed una immaginaria che sono entrambearmoniche. Ma olomorfa un criterio pi forte di armonica. Per essere armonica, una funzione devevericarelacondizione=0sututtoildominiosucuidenita,maunafunzioneolomorfaperessere tale deve essere anche derivabile, e deve soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann. Vogliamooratrovarelaparteimmaginariadellanostrasolitafunzionecomplessaftalepercui valganolecondizioni di Cauchy-Riemann, le quali in sostanza mi dicono chi sono le derivate parziali o chi dovrebbeessere il potenziale della parte immaginaria. Il punto : esiste unatale che = (y, x)? Ondetrovar risposta occorre prima soermarci sui criteri che consentono il riconoscimento di un determinatopotenziale, in particolare lesistenza di un potenziale per un campo, e se questultimo sia conservativoo meno. Condizione necessaria ma non sucente anch un campo in generale n-dimensionaleF c1(indi derivabile inC) sia conservativo, cheF= 0 (1.94)ovvero che il campo sia irrotazionale. Nel caso di campi piani, ovvero aventi due solo componentinon nulle, il rotore si riduce alla seguente scritturaF==_F1yF22_

k = 0 (1.95)Tuttavia, come gi implicitamente detto, non tutti i campi irrotazionali sono conservativi. Lesempiopi immediato dato dal campo magneticoBB =yx2+y2i +xx2+y2j (1.96)Il rotore diB eettivamente nullo, ma il campo magnetico non comunque conservativo per viadella circuitazione non nulla, ovvero lintegrale di linea diverso da zero:_Bd r =_baB( r(t)) r(t)dt (1.97)Condizione necessaria e sucente anch un campo possa esser denito come conservativo, chesiairrotazionale, abbiacircuitazionenulla, echeil dominiosul qualedenitosiasemplicemente1.7 Funzioni Olomorfe e funzioni Armoniche 20connesso, ovvero ogni curva chiusa la frontiera di un insieme completamente contenuto nel dominio.Pensiamo ora ad un campoF= xj yi. La condizione necessaria per lesistenza di un potenziale UsarF k =_2y2 2x2_ = 0 (1.98)Il punto, come dicevamo addietro seU: = (y, x) (1.99)In eetti, la funzione genera una nuova funzione che chiameremo larmonica coniugata, per laquale[[2= [[2(1.100)ovvero = 0 (1.101)il che implica che le due funzioni in questione siano ortogonali. Si noti che le loro linee di livellosono ortogonali tra loro, ma la loro intersezione allo stesso livello. Un altro modo di denire ilseguente: = i = (x +y) = (y +ix) = i (1.102)Tentiamoaquestopuntounriassuntoincisivomaecacedi quantodettonorarispettoallefunzioni armoniche. Suponiamoche f siaunafunzionecomplessadenitainuninsiemepianoedaperto, emettiamoche f possiedeundierenzialeinuncertopuntoz0peril quale, persemplicit, poniamoz0=f(z0)=0. Lanostraipotesi di dierenziabiltimplicalesistenzadi duenumeri complessi = fx(z0) e = fy(z0) tali chef(z) = x +y +(z)z (z = x +iy) (1.103)dove(z) 0 perz 0. Poichz + z = 2x ez z = 2iy, possiamo riscrivere lequazione (1.103)1.8 Trasformazioni Conformi 21nella formaf(z) = i2z + +i2 z +(z)z (1.104)il che suggerisce lintroduzione di due operatori dierenziali =12_x iy_ =12_x +iy_(1.105)per i quali lequazione (1.104) diventaf(z)z= (f)(0) + (f)(0) zz +z (z ,= 0) (1.106)Sinnotichesez ',allora zz=1mentresezpuramenteimmaginario,allora zz= 1.Indi,f(z)zha limite in zero ( olomorfa in zero!) se e solo sef)(0) = 0, il che rappresenta una formulazionealternativa delle condizioni di Cauchy-Riemann. Avevamo denito in precedenza una funzione armonicacome una f per la quale f= 0 in tutto un dominio . Poich in generale il laplaciano di una funzionereale se esiste un oggetto reale, allora chiaro che una funzione complessa armonica in se e solose entrambe le parti reale ed immaginaria sono armoniche in . Si osservi oltretutto che il fatto chef= 4fgarantisce che come gi dettofxy = fyx, e che questo vero per tutte funzioni che hannoderivate al secondo ordine continue. Indi, se f olomorfa, alloraf= 0 ha derivate continue di ordinequalsiasi, e questo implica che funzioni olomorfe siano necessariamente armoniche (ma non sempre ilvero il contrario, come gi detto in precdenza...).1.8 Trasformazioni ConformiUna trasformazione del piano complesso in s stesso che preservi gli angoli (in ampiezza ed orientazione)si dice conforme. Immaginiamo ad esempio due curve 1 e 2, le quali appartengono al piano complesso epresentano una intersezione tra loro. In seguito ad una generica trasformazione, dovr allora mantenereper prima cosa lampiezza dellangolo di coincidenza tra le due, che poi langolo tra i vettori tangentir1(t) er2(t) = T(r, (t)) eT(r2(t)) (1.107)dove il vettore tangente descrive ad ogni istante la curva alla quale tange. Ma lampiezza non basta.Possoinfattiavereduecasi,ovverolorientazionedegliangoli(laposizionereciprocadeivettoriche1.9 Applicazioni a Fluidi Ideali 22individuanoquestiultimi)puvariareomenoinseguitoallatrasformazione. Lefunzioneolomorfe,hanno la propriet di mantenere lorientazione originaria. Possiamo allora enunciare il seguente teorema;f: C C conforme e mantiene lorientazione se e solo se olomorfa (e di classe c1). Si noti che tutte letrasformazioni nel piano sono da C in C. Vediamo la dimostrazione del sopracitato teorema: prendiamouna curvanel piano complesso, punto per punto descritta dal vettore r(t) con vettore tangente inogni punto r

(t). Il puntocapirequalesaril vettoretangenteinseguitoallatrasformazione. Lascrittura onde ottener risposta T r

(t) = JT r(t) r(t) (1.108)doveJT la matrice jacobiana della trasformazione in esame. Una quantit importante, dato che r(t) =__x(t)y(t)__ =__xyxy__

__x

(t)y

(t)__(1.109)Prendiamo allora la derivata temporale della nostra funzione complessa (la nostra trasformazione)dfdt= zfdzdt+ zdzdt(1.110)Sappiamopercheper unafunzioneolomorfail dierenzialeconiugatodeveannullarsi, il cheimplica che il mantenimento dellampiezza e dellorientazione dellangolo in seguito alla trasformazione,in quanto la matrice jacobiana di questultima, se davvero deve mantenere angoli e orientazione, develimitarsi a prendere i vettori che mi descrivono la mia curva e unicamente moltiplicarli per uno scalare.Le matrici che mutano gli angoli hanno invece determinante negativo, il che signica chio ho riessione,e la funzione coniugata a quella in esame deve essere una funzione olomorfa.1.9 Applicazioni a Fluidi IdealiUn uido ideale descritto da una certa pressione(t, x, y) e da un certo campo di velocit v(t, x, y),edinparticolareil camposuddettodeveesserestzionario(cio vdeveesserecostantenel tempo),incompressibile (ovvero ( v) =t= 0) ed irrotazionale (vale a dire v = 0). Dai ben notiteoremi di calcolo integrale si ha, per inciso,ddt___VdV = __V vd= ___V ( v)dV (1.111)1.9 Applicazioni a Fluidi Ideali 23Con = 1, la divergenza ed il rotore del campo di velocit si annullano. Indi, a condizione che ildominio del campo sia semplicemente connesso, U: v = U, ed inoltre, dato che la divergenza delcampo nulla, potremo aermare che U= 0. Deniamo allora una funzione armonica coniugataW.Il potenziale complesso coinvolto nel problemaKsar alloraK(z) = U(z) +iW(z) (1.112)Lelineedilivellodi Wsarannoparallelealgradientedi U,ilqualeatuttiglieettiilnostrocampo di velocit v, il quale in ogni punto tangente alle cosiddette linee di corrente (il cui signicatoverr ripreso pi avanti) e alla frontiera. Se indico con n il vettore perpendicolare alla frontiera,alloraU nK= 0 (1.113)ed il laplaciano diUsar anchesso nullo. Posso costruire una analogia perW, nel senso che anchein questo caso il laplaciano sar nullo, con la dierenza che sulla frontiera costante, dato che comeabbiamo visto parallelo. Vediamo ora qualche ulteriore propriet rispetto aW. Il suo gradiente W = v2, v1= Uy, Ux(1.114)e se prendiamo il rotore del gradiente di cui sopra (il rotore del campo vettoriale ottenuto)W =v2y+v1x= (v1, v2) (1.115)dove il versore coinvolto nel gradiente ha chiaramente segno negativo, ci si rende conto il rotore delcampo ottenuto da W identico alla divergenza del campo ottenuto da U, e di conseguenza ortogonaleaW. In altre parole,W: W = (v2, v1)= i(U) (1.116)1.9 Applicazioni a Fluidi Ideali 24Andiamo ora a prendere la derivata in senso complesso del potenziale complessoK. Tenuto contodelle condizioni di Cauchy-Riemann___Ux=Wy= v1Uy= Wx= v2avremoK

= Ux iUy = v (1.117)LafunzioneWsi chiamafunzionecorrente, elesuelineedi livellosonolelineedi correntedicui parlavamo, in ogni punto tangenti al vettore v. Vediamo adesso due esempi signicativi, il primoriguardanteladescrizionedi unussouniforme. Il campodi velocitchedescriveil sitemacomeabbiamovistouncampovettorialechechiameremo v=(v1, v2),cheinognipuntoilgradientediuna funzione scalare, ovvero il potenzialeUad esso associato, tale che v(x, y) = U(x, y) = (v1x +v2y) (1.118)Deniamo ora larmonica coniugataWcomeW= (x, Y ) = v2x +v1y (1.119)e calcoliamo il potenziale complessoKK(z) = U +iW= (v1x +v2y) +i(v2x +v1y)= (v1 iv2). .coniugato del campo(x +iy). .z(1.120)Sinotichenellultimopassaggioabbiamoscrittoilpotenzialecomplessocomeilprodottodiunnumero complesso per il coniugato del campo c. Se ora andassimo a prendere la derivata del potenzialecomplesso, resterebbe unicamente il campo coniugato, il che perfettamente in linea con quanto abbia-mo aermato in precedenza. Consideriamo ora un uido che passo intorno ad un ostacolo caratterizzatoda una sezione circolare di raggioa. Si dimostra in questo caso che il potenziale complesso associatoal sistema K(z) =za +az(1.121)1.9 Applicazioni a Fluidi Ideali 25Analizziamo la sica che ci st dietro. Lontano dallostacolo chiaramente il usso non risentir dellapresenza di questultimo. Se penso di direzionare il usso, allora, ricordando di aver denito nel caso diun usso uniforme il potenziale complesso associato al sistema come K(z) = cz, z sar reale se il usso direzionato versox, mentre sar immaginario se direzionato versoy. Il primo termine dellequazione(1.121) descrive proprio quella porzione di usso lontana dallostacolo. In prossimit di questultimo,invece, ricordando cher2= x2+y2e1z= z[z[2=x +iyr2(1.122)riscriveremo lequazione (1.121) comeK =_1a +ar2_. .Ux +i_1a ar2_. .Wy (1.123)E interessante studiare landamento delle linee di corrente nel piano complesso. La funzione corrente infatti negativa nel semipiano superiore (allinterno dellostacolo, e positiva al di fuori), e positiva nelsemipiano inferiore (allinterno dellostacolo, e negativa al di fuori), ma in zero non esiste, ed inoltredevo trovare una funzione corrente che cambi segno sulla frontiera. Prendiamo la derivata diKK

(z) =1a az2(1.124)Il campo pu allora anche annullarsi (per z2= a2), ed i punti del piano in cui questo avviene si de-niscono punti si stagnazione. Lontani dallostacolo il campo segue le ascisse, ma dentro la circonferenzacambierebbe senso. E sulla circonferenza? Riscriviamo lequazione (1.124) in questa formaK

(z) =1a a z2r4=1a_1 a2r2e2i_=1a(1 a2r2 cos 2 +ia2r2 sin 2) (1.125)dove il termine conr2al denominatore unitario, poich siamo sulla circonferenza. Si noti che lelinee di campo sono orientate in modo tale che la parte reale sia positiva. Nel caso in cui io invece mitrovi allinterno della circonferenza, landamento diWpredice lesistenza di fenomeni vorticosi.1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 261.10 Integrazione di Funzioni ComplesseLintegrazione di una funzione complessa proceder attraverso la risoluzione di un qualche integrale dilinea. Abbiamo visto che la derivazione legata al concetto di rotore e di divergenza. Prendiamo allorauna curva nel piano complesso, e la studiamo nellintervallo denito tra due punti individuati da duevettori r(a) e r(b). Scriveremo allora r(t) =__x(t)y(t)__t [a, b] (1.126)e di conseguenzaz(t) = x(t) +iy(t)z

(t) = x

(t) +iy

(t) (1.127)dove la prima scrittura mi individua la curva in esame, e la seconda il vettore tangente a questultimanel punto (t). Predniamo ora la funzionef: C C, e applichiamola alla nostra curvaf(z(t)) = w(t) (1.128)in modo da ottenere una seconda curvaw(t). Ma qual la relazione che lega i due vettori tangentiz

(t) ew

(t)? Iniziamo col scrivere la nostra funzionefin tre modi dierentif(x, y) =__(x, y)(x, y)__= (x, y) +i(x, y) (1.129)e con il denire le coordinate dei vettori tangenti alle due curvez(t) ew(t)z

(t) x

(t) +iy

(t)w

(t) x

(t) +i y

(t) (1.130)Potremo allora scrivere1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 27__ x

y

__ =__xyxy__

__x

y

__ =__xx

yy

xx

yy

__(1.131)il che del tutto equivalente aw

(t) = f

(z(t))z

(t) (1.132)Indi, data una curva complessa regolarez(t) e una funzione complessaf: C C, deniamo_f(z)d(z) =_baf(z(t))z

(t)dt (1.133)Inaltreparole,necesario,apartiredallaespressionedi f(z)edaunintervallodiintegrazionedella curva associata, parametrizzare questultima in funzione del tempo (in funzione diz(t)) e poiintegrare. Veniamo ora al cosiddetto teorema integrale di Cauchy, il quale aerma che, data una curva chiusa e regolare a tratti, e data unaf: C Colomorfa in e tale che tutti i punti interni a siano contenuti in , allora_f(z)dz = 0 (1.134)il che un analogo delle formule di Gauss-Green, ovvero dei concetti di rotore e di divergenza nelpiano. Rivediamoli. SianoP(x, y) eQ(x, y) due funzioni di classe (1() con insieme aperto, e sia undominiolacui frontieracollezionenitadi curveregolari atratti. Deniamopoi +orientata positivamente se linterno di si trova sempre sulla nostra sinistra. Allora___Px Qy_dxdy =_+Qdx +Pdy=_+Fd r (1.135)doveFil campodi componentiF =Q, P. Lostessoteoremaloapplichiamooraal campoG = P, Q, ottenendo1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 28G = (P, Q)=__Gdydx=_+G nedS=__Px+Qy dydx (1.136)Il nostro scopo di utilizzare quanto sopracitato onde integrare lungo un determinato cammino.Prendiamo la nostra consuetaf(z) = (z) +i(z), la quale sar caratterizzata da un cammino talechez(t) = x(t) +iy(t)z

(t) = x

(t) +iy

(t) (1.137)Applichiamof(z) az

(t)f(z)z

(t) = ( +i)(x

+iy

)= (x

y

) +i(y

+x

) (1.138)il che implica_f(z)dz =_ba[(x

y

) +i(y

+x

)]dt (1.139)Possiamo invocare una analogia con il caso della applicazione ai uidi ideali che abbiamo visto inprecedenza. Lequazione (1.139) diventa allora_f(z)dz =_ba____

__x

y

__dt +i_ba____

__y

x

__dt=______ barkdxdy +i______dxdy=___x +ydxdy +i____x +ydxdy_(1.140)1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 29Il punto che entrambi i termini dellultima scrittura riportata si annullano per via delle condizionidi Cauchy-Riemann, indi lintero integrale nullo, e nullo il lavoro compiuto dal campo (il terminecontenente il rotore) e parimenti dal campo ortogonale (il termine contenente la divergenza). La conse-guenza notevole. Una linea di corrente non pu mai essere chiusa se il campo v denito e di classec1su un insieme aperto contenente tutti i punti interni a . Il campo parallelo al vettore tangente t a in ogni punto di questultima, e _ v t pu essere positivo o negativo a seconda dellorientazione, mamai nullo. Un campo caratterizzato da linee chiuse contiene al suo interno delle singolarit. Esempiobanale, il campo magentico generato da un lo conduttore percorso da corrente. Lungo il lo, il campomagnetico presenta una singolarit. Prendiamo ora due punti nel piano complesso,z(a) ez(b). Se honon uno, ma diciamo due cammini possibili da z(a) a z(b), dovr costruirmi un dominio semplicementeconnesso (overo non ci devono essere buchi). Se io prendo una funzione olomorfa, e quindi derivabilelungo il cammino, ottengo una proposizione interessante: sef olomorfa e di classec1nel dominio ,allora_baf

(z)dz = f(z(b)) f(z(a)) (1.141)il che signica che lintegrale dipende dagli estremi, e lungo un camminio chiuso nullo. Veniamoora al problema forse pi importante in questo contesto, vale a dire il calcolo della primitiva di unacerta funzione. Sef

(z) olomorfa, indi derivabile in senso complesso allinterno del proprio dominio,devo capire se presa una funzione questa la derivata in senso complesso di unaltra funzione complessao meno. In altre parole, data la funzioneg : C vero che esistef:f

(z) =g(z)? Innanzi tutto,g(z) dovr a sua volta essere olomorfa (indi lei stessa deve vericare le condizioni di Cauchy-Riemann)e di classe c1reale (ovvero Re(g(z)) e Im(g(z)) devono essere derivabili con derivate continue. Vedremoche le funzioni olomorfe sono derivabili innite volte, ad esempio la derivata di una funzione complessarappresentata come serie di potenze mi denisce una classe di funzioni ancora derivabili, e per di pi ilraggio di convergenza della serie derivata il medesimo rispetto alla serie originale, il che implica cheuna qualunque serie di potenze in campo complesso sia associabile ad una funzione olomorfa. Vediamoa questo punto un criterio pratico onde trovare una primitiva di una data funzione, ovvero la formulaintegraledi Cauchy. Deniamocomecurvasempliceunacurvasenzaintersezioni eccezionfattaperuna curva chiusa avente come unico punto si intersezione il punto iniziale e nale nello stesso luogogeometrico. Sia allorauna curva regolare semplice e positivamente orientata, (senso di percorrenzaantiorario,comegidetto;seinvertissimolorientazionedovremmosemplicementecambiarsegnoalrisultato) e sia f una funzione olomorfa in , dominio aperto contenente tutti i punti interni a . Alloraf(z) =12i_f()( z)d (1.142)1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 30doveil parametrosul qualesi parametrizzalacurvaezunpuntointernoallaregionedelimitata da. Qualche osservazione, ora. Innanzitutto, ssato un numero complessoz0, la funzioneche associaz a1zz0 olomorfa. Indi1z z0 olomorfa inC z0f(z)z z0 olomorfa in z0 (1.143)Questa propriet mi dice che se la curva gira intorno alla singolarit e ne faccio lintegrale, questo indipendente dalla curva. Inoltre, se io ipotizzassi di prendere due curve dierenti, 1 e 2, entrambeaggiranti conpercorsochiusolasingolaritinz0, poichz0internoadentrambeedinogni casocontenuto in avr che_1f(z)(z z0)=_2f(z)(z z0)(1.144)Se le due curve in questione si intersecano ho dierenti integrali che si annullano, ma se lintegralenondipendedallacurva, sonoliberodi scegliereil camminopicomodoai ni dellasuccessivain-tegrazione. Inne, se conosco i punti sulla frontiera allora la funzione determinata entro i punti dicui sopra. Andiamo ora a dimostrare la formula integrale di Cauchy, per prima cosa introducendo ilseguente lemma:[_f(z)dz[ max [f(z)[l() (1.145)dovez el() la lunghezza della curva in esame. Dimostriamolo brevemente. Per denizione[_f(z)dz[ = [_baf(z)z

(t)dt[_ba[f(z)[[z

(t)[dt max [f(z)[_ba[z

(t)[dt max [f(z)[l() (1.146)La disuguaglianza che consente la dimostrazione del lemma diventa evidente nel momento in cui sipassa dalla rappresentazione integrale alla somma. Come gi detto, noto che il modulo di una somma sempre minore o uguale alla somma dei moduli, indi il modulo di un integrale sar sempre minoreougualeallintegraledeimoduli.VeniamooraallaformulaintegralediCauchy.Prendiamoilsolito1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 31dominio , nel quale giace la curva descritta da unaf(). Allinterno della regione individuata dascegliamo un puntoz. Costruiamo poi la funzioneg(z) =f(z)z z0(1.147)olomorfa in un dominio delimitato da una circuitazione chiusaBr(z0), tale che_g(z) =_+Br(z0)g(z) (1.148)Riscriviamo ora lequazione (1.148)12i_f() zd =_+Br(z)f() f(z) +f(z) zd=12if(z)_+Br(z)d z +12if(z)_+Br(z)f() f(z) zd= f(z) +R(r) (1.149)dove abbiamo potuto ricavare questo risultato per via del fatto che la variabile, nonz, indif(z)pu venir estratta dallintegrale senza colpo ferire. Nellultimo passaggio,R(r) il resto, che sar unafunzione del raggior. Andiamo dunque a stimare questultimo oggetto.[R(r)[ 12imax.. .conBr(z)[f() f(z)[[ z[. .r l(Br(z)). .2r= max.. .conBr(z)[f() f(z)[ perr 0 = 0 (1.150)dovelultimorisultatorichiestodallacontinuitdi finz0. Unaconseguenzadecisamenteim-portantedellaformulaintegralediCauchycheunafunzionecomplessacontinualaqualesoddisfalaformulaintegraledi cui sopraolomorfanel propriodominionellipotesi chequestultimosiasemplicemente connesso. Dimostriamolo. Prendiamo due funzionif(z) ef(w), dovez ew sono puntiinterni alla curva la quale al solito a sua volta giace nel dominio . Avremo1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 32f(w) f(z) =12i__f() w f() z_d=12i__1 w 1 z_f()d=12i(w z)_f()( w)( z)d (1.151)Ora, facciamo tenderew zf(w) f(z)w z=12i_f()( w)( z)d=12i_f()( z)2d +R(w) (1.152)doveR(w) =12i__1( w)( z) 1( z)2_f()d=12i_1( z)_w z( w)( z)_f()d (1.153)Ora applichiamo il lemma enunciato attraverso lequazione (1.145), dovef(z) = R(w)w z2i_f()( z)2( w)d [w z[2imax[f()[[ z[2[ w[l() (1.154)dove e la lunghezza di non dipende da w. Allora quando w z, tutto questo tende a zero,indiR 0. Si noti che, una volta dimostrata la validit della formula integrale di Cauchy, possibileutilizzare questultima allo scopo di ricavare le derivate ennesime della funzione in esame, poichf(z) =12i_f() zdf

(z) =12i_f()( z)2df

(z) =22i_f()( z)3df(k)(z) =k!2i_f()( z)k+1d (1.155)LaformulaintegralediCuachyhaanchealtreimportanticonseguenze.Supponiamoadesempio1.10 Integrazione di Funzioni Complesse 33che la curva sia una circonferenza centrata inz0. E allora lecito scriveref(z) come serie di potenzeinz, e in particolare sar1 z=1( z0) (z z0)=1( z0)_1 zz0z0_=1 z011 y(1.156)dove z0< 1 per costruzione ey =zz0z0. Ora, in generale si ha11 y=+

k=0yk(1.157)indi avremo1 z=1 z0+

k=0_z z0 z0_k=+

k=0(z z0)k( z0)k+1(1.158)In denitiva, si ottiene la seguente scritturaf(z) =12i_f() zd=12i_f()+

k=0(z z0)k( z0)knd=+

k=0_____12i_f()( +z0)k+1d. .ak_____(z z0)k=+

k=0ak(z z0)k(1.159)E dunque evidente come le funzioni olomorfe possano essere scritte come somme di potenze inznel momento in cui lolomorsmo si vericato in un certo dominio . Nellipotesi chio vada ad inserireuna criconferenza nel dominio di cui sopra, la funzione in esame potr a quel punto scriversi come seriedi potenze. Una conseguenza di quanto appena detto riguarda le funzioni intere (olomorfe su tutto il1.11 Singolarit di Funzioni Olomorfe 34piano complesso) quali la funzione esponenziale, le funzioni seno e coseno, o un polinomio inz, per lequali vale il cosiddetto teorema di Liouville, il quale aerma che una funzione intera limitata costante.Vediamo la dimostrazione. Abbiamo visto comef

(z) =12i_f()( z)2d (1.160)Applichiamo lequazione (134)[f

(z)[ 12max [f(z)[r2 l()..2r max [f()[rkR(1.161)il che signica che per r + f

(z) 0, ovvero la funzione in questione deve crescere allinnitolinearmente, allo stesso modo di un polinomio.1.11 Singolarit di Funzioni OlomorfeConsideriamo un dominio circolare c privato di un disco centrato in z0. Nellanello descritto dalle duecurveBr1eBr2, la prima pi esterna rispetto az0e orientata positivamente (senso antiorario) e laseconda pi interna rispetto az0e orientata negativamente (senso orario), supponiamo che una datafunzionefsia olomorfa, vale a direfolomorfa in c Br1(z0), Br2(z0) z Br1(z0), Br2(z0) (1.162)Si noti cheil dominioinquestionenonsemplicementeconnesso(ogni puntodi questultimodovrebbe essere delimitato da una curva esterna), indi opero una sorta di taglio ottenendo due segmenti(un taglio che mi colleghiBr1 conBr2). Secondo la formula integrale di Cauchy avr alloraf(z) =12i_+Br1f() zd 12i_+Br2f() zd=+

k=0_12i_+Br1(z0)f()( z0)k+1_(z z0)k12i_+Br2f() zd (1.163)Il mio scopo arrivare a dimostrare che posso scrivere fcome serie di Laurent. Sviluppiamo allorain serie il termine 1z1.11 Singolarit di Funzioni Olomorfe 351( z0)(z z0)=1(z z0) ( z0)=1z z011 z0zz0=1z z0+

k=0_ z0z z0_k=+

k=0( z0)k(z z0)k+1(1.164)Se operiamo la sostituzione (lecita)k + 1 = k abbiamo1 z=+

k=1( z0)k(z z0)k+1(1.165)e di conseguenza potremo scrivere la nostraf(z) comef(z) =+

k=ck(z z0)k(1.166)doveck =___12i_+Br1f()(z0)k+1k 012i_+Br2f()(z0)k+1k 0(1.167)Laseriecheabbiamoscritto,laqualecoinvolgeunasommatoriatantosuindicinegativiquantopositivi, per lappunto una serie di Laurent, la cui importanza nel contesto delle singolarit di funzioniin campo complesso notevolissima. Infatti, prendiamo una funzione f(z) analitica nel disco D(z0)z C: [z z0[ 0, dove si osservi che inz = 0 la funzione non detto sia olomorfa. Alloraf(z) si pu sviluppare in serie di Laurent convergente af(z) inD(z0) tale chef(z) =+

k=ck(z z0)k(1.168)conck =12i_f(z)(z z0)k+1dz (1.169)Possiamo a questo punto distinguere due eventualit: diremo che il puntoz0 regolare se perf(z)esiste unc0 Ctale che1.11 Singolarit di Funzioni Olomorfe 36f(z) =___c0sez = z0f(z) sez ,= z0 e [z z0[ < r(1.170) analitica inD(z0) incluso il puntoz0. Nel caso in cui invece non esista un numeroc0 per il qualef(z) sia analitica in z0, si dice che la funzione f(z) presenta una singolarit isolata nel punto z0. In altreparole una singolarit un punto in cui la funzione non analitica. Di fronte ad una simile eventualit,possono vericarsi unicamente tre modi possibili in cui la funzione si comporta nellintorno diz0.Singolarit rimuovibili: Supponiamo che f sia olomorfa in z0, il che implica che in z0 la nostrafunzione presenti una singolarit isolata. Sefpu essere denita inz0in modo che la funzioneestesa sia olomorfa in tutto (z0 incluso), allora la singolarit in questione si denisce rimuovibile.In particolare, sef limitata nel discoD(z0) di cui parlavamo pocanzi, allora la singolarit rimuovibile. Ad esempio, costruiamo una funzione h(z) tale che h(z0) = 0 e h(z) = (z z0)2f(z)in z0.h dierenziabile in tutto , indih(z) =+

k=2ck(z z0)kconz D(z0) (1.171)Seponiamof(z0)=c2, abbiamoquindi ottenutounaestensionedi fcherisultaolomorfaintutto il dominio in esame. In altre parole, se possiamo assegnare af(z0) un valore per il qualefrisulta analitica in tutto il dominio,z0 incluso, alloraz0 una singolarit rimuovibile. Questoimplica che nel caso di singolarit di questo tipo,limzz0(z z0)f(z) = 0 (1.172)QuestaosservazioneanchenotacometeoremadiRiemann,edineettireggesolosef(z)continua in z0, oppure [f(z)[ limitato. Ma poich una funzione analitica continua, ne discendeche una singolarit rimuovibile pu esser per lappunto rimossa denendof(z0) =limzz0f(z) (1.173)Poli: Studiamo ora il caso in cui esistano numeri complessic1, c2, , cl dovel un intero positivo ecl ,= 0, tali che loggetto denitof(z) l

k=1ck(z z0)k(1.174)1.12 Teorema dei Residui 37possiedeunasingolaritrimuovibileinz0.Inquestocasosidicechef(z)presentaunpolodiordinel inz0. Per inciso, la funzionel

k=1ck(z z0)k(1.175) nota come parte principale di f(z), ed un polinomio in (zz0)1. In altre parole, f(z) presentaun polo inz0 se e solo selimzz0[f(z)[ = (1.176)ovvero > 0 : > 0[f(z)[ >0 < [z z0[ < . Inne, se il polo di ordine uno, si deniscepolo semplice.Singolarit essenziali: Nel caso un singolarit isolata non sia n rimuovibile n un polo, si deniscesingolarit essenziale. In questa situazione,f(z) non ammette limite inC perz z0Aermo infatti che il puntoz0 una singolarit rimovibile (o eliminabile) se tutti ick conk 1sono nulli. Il termine rimovibile non ovviamente casuale, dato che si riferisce alla eventualitperlaqualelafunzioneinesamepuesseredenitainz0inmodochelafunzioneestesasiaolomorfaintuttoildominioperlaqualeessastatapresainconsiderazione.Banalmente,sepongof(z0) = c0 ottengo una funzione estesa olomorfa anche inz0. E il caso di funzioni per lequalilimzz0f(z)(z z0) = 0 [ ck = 0 se k 1] (1.177)In conclusione, deniamo una classe importante di funzioni, cosiddette meromorfe. Una funzione fsi denisce meromorfa un un insieme aperto se e solo se esiste un insiemeA tale che1. f olomorfa nel dominio A2. fha un polo in ciascun punto diASi noti che la possibilit per la qualeA = non esclusa, indi ogni funzione olomorfa in tutto meromorfa.1.12 Teorema dei ResiduiIl teoremadei residui unostrumentopotentenel calcolodi integrali di lineadi funzioni olomorfeo meromorfe su curve chiuse, ed in eetti pu essere utilizzato anche nel calcolo di integrali reali. In1.12 Teorema dei Residui 38prima approssimazione, si tratta di una generalizzazione del teorema integrale di Cauchy e della formulaintegrale di Cauchy. Il residuo, in analisi complessa per lappunto un numero complesso che descriveilcomportamentodegliintegralidilineadiunafunzioneolomorfaintornoadunasingolaritsolata.Prendiamoalloraunpuntoz0internoadundominio C, sul qualeconsideriamounafunzionef : z0 Colomorfa, laqualepresentaperdenizioneunasingolaritisolata, ecometalepossibile associarle un unico sviluppo locale in serie di Laurent del tipof(z) =+

n=an(z z0)n(1.178)Deniremo allora come il residuo di finz0il coecentea1della equazione (1.178), e si indicacomeResz0f(z) = a1(1.179)Allattopratico, allalucedi quantoabbiamodiscussorispettoalletipologiedi singolaritchecaratterizzano funzioni in campo complesso, possiamo calcolare il residuo della funzionefnel puntoz0 comeResf(z)(z0) =limzz0(z z0)f(z) (1.180)se inz0 presenta un polo semplice (di ordine uno), mentre se il polo di ordinek avremoResf(z)z0 =1(k 1)!limzz0dk1dzk1_(z z0)kf(z)_(1.181)Unaltrooggettoimportanteinquestocontestoilcosiddettoindicediavvolgimento.Dataunacurva piana, chiusa e parametrizzata, deniamo rispetto ad un punto zk interno a questultima lindicedi avvolgimento della curva come Izk(), un numero intero che rappresenta in prima approssimazioneil numero di avvolgimenti che compie la curva intorno azk. Si dimostra cheIzk() =12i_dzz zk(1.182)e questa relazione rappresenta un collegamento tra indice di avvolgimento e teorema dei residui, ilquale a questo punto possiamo enunciare con cognizione di causa. Prendiamo allora un insieme aperto C, e sianoz1, z2, , zkconk = 1, 2, , n punti interni a nei quali la funzionef(z) presentasingolarit isolate. Inoltre, sia una curva semplice chiusa in z1, z2, , zk, dominio in cui peraltrof(z) risulta analitica. Allora lintegrale dif(z) su dato da1.12 Teorema dei Residui 39_f(z)dz = 2in

k=1Izk()Reszk(f) (1.183)Capitolo 2Analisi di Fourier2.1 Serie di FourierLe serie di Fourier hanno come scopo pi immediato quello di decomporre una funzione in una seriedi funzioni trigonometriche periodiche nel tempo. Consideriamo una serie di Laurent centrata in zerof(z) =+

k=ckzkz0 = 0 (2.1)e andiamo a vedere come si comporta su una circonferenza di raggio unitario sul piano complesso.Ricordiamo chez = eizk= eik(2.2)e che quando avevamo ricavato la serie di Laurent ne avevamo valutato i coecenti su una coppiadi circonferenze collegate tra loro in modo da formare un dominio semplicemente connesso. Tuttavia,in questo contesto valuteremo i coecenti della serie sulla circonferenza di raggio unitarioBri di cuiparlavamo, ottenendof(z) =+

k=12i_Brif()k+1dzk(2.3)vale a dire un integrale di una funzione complessa, che ci costringe a parametrizzare la curva conelementi complessi per considerare 0 < < 2. Premettendo che2.1 Serie di Fourier 41 = ei

= iei(2.4)andiamo allora a valutare i coecenti della serie,ck=12i_20f(ei)e(k+1)iieid=12_20f(ei)ekid (2.5)il che porta alla seguente scritturaf(ei) =+

k=ckeik=+

k=12_20f(ei)ekideik(2.6)In sostanza, abbiamo decomposto la mia funzione di partenza come serie dei coecenti che mi de-niscono unaltra funzione, la quale opportunamente composta mi d la funzione di partenza. Vediamoora cosa salta fuori se passiamo in forma trigonometrica. Ricordando cheei= cos +i sin (2.7)possiamo riscrivere i coecenti della serie comeck=12_20[() +i()]. .f(ei)[cos k i sin k]. .ekid=12_20[() cos k +() sin k]d +i2_20[() sin k +() cos k]d (2.8)A dire il vero, tuttavia, vorremmo arrivare ad avere un risultato che abbia unicamente valori reali,la qual cosa senzaltro possibile con qualche manipolazione algebrica rispetto alla equazione (2.6).2.1 Serie di Fourier 42f(ei) =+

k=ckeik= c0 ++

k=1ckeik+ckeik= c0 ++

k=1ck[2Re(ckeik)] (2.9)dove per arrivare allultimo passaggio abbiamo ipotizzato check = ck(2.10)ilchecausalannullamentodellepartiimmaginariedeicoecenti.Combiniamooraleequazioni(2.6) e (2.9) onde tentare di compattare la scrittura.ckeik= Re(ck)[cos +i sin ]=12___20() cos kd_cos k +__20() sin kd_sin k_+i2___20() sin kd_cos k +__20() sin kd_cos k_(2.11)Gli ultimi due termini si elidono, e potremo allora scriveref(ei) = ()=12_20()d. .c0+1+

k=1__20() cos kd_. .akcos k +1+

k=1__20() sin kd_. .bksin k= c0 +1+

k=1ak cos k +bk sin k (2.12)In eetti, ogni funzione periodica si pu decomporre in questo modo, ovvero come somma di armo-niche con periodo minimale minore del periodo dato. Si noti che la trattazione partita considerandounicamente funzioni olomorfe, ma la serie di Fourier vale per la quasi totalit delle funzioni esistenti.Vediamo ora una propriet importante che riguarda le funzioni trigonometriche coinvolte nella serie diFourier (ma pi in generale riguarda una lunga serie di oggetti, tra cui alcuni autovettori in meccanicaquantistica e via dicendo), vale a dire lortogonalit, in questo caso di due funzioni, per la quale, inquesto contesto vale2.1 Serie di Fourier 43_20cos it sin jt = 0 i, j1_20sin it sin jt =1_20cos it cos jt = i,j =___1 i = j0 i ,= j(2.13)Si trattadi unaproprietmoltoimportante, chesi pudimostrareinmolti modi, adesempiosfruttandolaproprietdiautoaggiunzionediunoperatore.Deniremoautoaggiunto(ohermitiano)loperatoreL se e solo seL[[) = [L[) , periodiche (2.14)dove e sonofunzioni nellospazioconsiderato. Prendiamoalloraproprionellospaziodellefunzioni periodiche loperatoreL = d2dt2(2.15)e dimostriamo che si tratta di un operatore hermitiano, integrando per parti.L[[) =_20

dt=

+_20

=_20

(2.16)dove il primo termine nullo per via delle condizioni al contorno, che per funzioni periodiche comequelle in esame recitano tra laltro

= 0 e

= 0. Analogamente, avremo[L[) =_20(

)dt=

+_20

=_20

(2.17)Nonsolo, madatounoscalare(autovalore)edunoperatorehermitianoL, sesonovericateentrambe le equazioni2.1 Serie di Fourier 44L[) = [)L[) = [) (2.18)deve essere per forza [) = 0 (lo dimostreremo nella sezione dedicata allanalisi spettrale). Ve-diamo ora un lemma importante rispetto ai coecenti di Fourierak ebk che abbiamo introdotto pocof. Siaf L2([0, 2]) doveL2 uno spazio a quadrato integrabile. Fissato un certon, costruiamo ilpolinomioSn =a02+n

k=1ak cos kt +bk sin kt (2.19)Allora:Al variare di tutti i coecenti trigonometricin di gradon , ovveron =02+n

k=1k cos kt +k sin kt (2.20)lo scarto quadratico mediosqmsqm =12_20[f(t) n(t)[2dt (2.21)risulta minimo quandon = Sn_20[f(t) Sn(t)[2dt =_20[f(t)[2dt _a202+n

k=1(a2k +b2k)_(2.22)1_20[f(t)[2dt =a202+n

k=1(a2k +b2k) (2.23)Lultima uguaglianza nota come uguaglianza di Bessel, ed in eetti le tre propriet che abbiamoappenaelencatodiscendonodallapigeneraledisuguaglianzadi Bessel, chevedeunasostituzionedel tipo =. Vediamounadimostrazionechecoinvolgaciascunadelletreparti del lemmatestenunciato. La prima cosa da fare costruire un formalismo compatto che ci permetta di rendere piecace la trattazione che verr. In particolare, vogliamo trovare espressioni semplici per il polinomio Sne per il coecente n. Facendo appello alle propriet di disparit e parit delle funzioni trigonometrichesin e cos rispettivamente, andiamo allora ad indicare questultime ed i coecenti di Fourier come2.1 Serie di Fourier 450(t) =122k(t) =cos kt2k1(t) =sin ktc0 = _2a0c2k = akc2k1 = bk0 = _202k = k2k1 = k(2.24)per poi denire come ci eravamo propostiSn(t) =2n

k=0ckk(t)n(t) =2n

k=0kk(t) (2.25)dove la somma su tutti gli indici (pari e dispari) coinvolge la totalit delle funzioni trigonometrichee dei coecenti denite nellequazione (2.24). Altra notazione che utilizzeremo la seguente_20[f(t) g(t)[2dt = f g[f g) (2.26)per la quale tra laltrock = f[k) (2.27)Prendiamo allora lequazione (2.21), che ci d lespressione dello scarto quadratico medio, e riscri-viamola in questo modo_20[f(t) n(t)[2dt = f [f )= f[f) 2f[) +[)= f[f) 22n

k=0kf[k) +2n

k=02n

j=0kjk[j) (2.28)Ricordando lequazione (2.27) e che per questioni di ortonormalit k[j) = i,j, avremo_20[f(t) n(t)[2dt =_20f(t)2dt 22n

k=0kck +2n

k=02k=_20f(t)2dt +2n

k=0(ck k)22n

k=0c2k(2.29)Lultima scrittura presenta in eetti un minimo nel momento in cui ck = k ovvero quando n = Sn,2.1 Serie di Fourier 46il che prova il primo punto del lemma e porta alla seguente espressione_20[f(t) Sn(t)[2dt =_20f(t)2dt 2n

k=0c2k(2.30)ilchecostituisceilpuntoduedellemma.Inne,poichilprimomembrodellequazione(2.30)positivoonullo,lostessodovressereperilsecondomembro,ilcheconducealladisuguaglianzadiBessel (il terzo punto del lemma)_20f(t)2dt 2n

k=0c2k(2.31)Quanto abbiamo visto rispetto alla disuguaglianza di Bessel, signicativo poich nel caso si passialluguaglianza di Bessel (la qual cosa richiede lo studio di spazi metrici completi rispetto alla metricaintegrale di ordine due, il che esula dal presente contesto), allora la successione delle somme parzialidella serie di Fourier converge in media quadratica alla funzionef. Diamo in conclusione un paio didenizioni riassuntive rispetto a quanto detto in precedenza. Avevamo infatti notato che nello studiareunaseriedi Laurentsullacirconferenzadi raggiounitario, si eraobbligati astudiareunaseriediFourier, ma per essere pi generali possibili partiremo da una funzionef(x) =a02+a1 cos t +b1 sin t + an cos nt +bn sin nt=a02..media della funzione su un periodo di 2+n

k=1ak cos kt +bk sin kt (2.32)la quale si pu scrivere come abbiamo visto nella forma di un polinomio trigonometrico, o ancorpi in generale come una funzione del tipo(t) = A..ampiezzacos(kt + 0..fase) (2.33)ovvero un onda a tutti gli eetti (inutile tentare anche solo una sommaria sintesi delle applicazionisiche di una scrittura del genere). La funzione(t) come abbiamo gi avuto modo di notare, vericalequazione agli autovaloriL = (2.34)dove loperatoreL denito dalla equazione (2.15), e per di pi si tratta di una funzione periodica(ovviamente), cio per la quale2.1 Serie di Fourier 47(t + 2) = (t) (2.35)Inoltre, si avranno delle condizioni al contorno per cui dovremo scrivere(0) = () = 0

(0) =

() = 0 (2.36)A questo punto siamo pronti per poter denire la serief(x) =a02++

k=1ak cos kt +bk sin kt (2.37)come serie di Fourier, dovea0=1_f(x)dxak=1_f(x) cos kxdxbk=1_f(x) sin kxdx (2.38)con periodo per il quale f(x) risulta periodica. Lovvia domanda per quali coecenti essa vadaa convergenza. Una condizione suciente per la convergenza (a dire il vero piuttosto banale), che leserie numeriche+

n=1[ak[ e+

n=1[bk[ (2.39)siano convergenti. In questo caso, anzi, essendo[ak cos kx +bk sin kx[ [ak[ +[bk[ (2.40)non solo la serie di Fourier converge, ma converge anche assolutamente ed uniformemente. Tentia-mo allora un riassunto rispetto alla convergenza delle serie di Fourier. Oltre alla semplice condizionesuciente di convergenza che abbiamo appena visto, luguaglianza di Bessel ci ha permesso di studiarela convergenza in media quadratica. Mancano a questo punto dei criteri che regolamentino la conver-genza puntuale e quella uniforme. Vediamo la prima, premettendo un paio di denizioni importanti.Diremo che una funzione continua a tratti, se continua in un intervallo limitato [a, b] tranne al pi2.1 Serie di Fourier 48un numero nito di punti x1, x2, , xNper i quali esistono niti i limiti destro e sinistro (solo unodei due, evidentemente, se il punto in questione un estremo dellintervallo). Indicheremo allora conPla classe di funzioni periodiche sul periodoe continue a tratti. Diremo inoltre che una funzionenel puntox0 [a, b] soddisfa la condizione di Dirichlet se derivabile inx0, oppure continua inx0 e dotata di derivata destra e sinistra, oppurepresenta una discontinuit a salto1inx0 ed esistono niti i limiti destro e sinistro inx0Allora, rispettoallaconvergenzapuntuale, dataunaf P2, laseriedi Fourierassociataadfconverge in ogni punto x ' in cui soddisfatta la condizione di Dirichlet, e la somma della serie s(x) data das(x) =12 [f(x) +f(x+)] (2.41)dove in generalef(xi+) = limxxi+f(x)f(xi) = limxxif(x) (2.42)Inaparticolare, sexunpuntodi continuitper f, alloralaserieconvergeconsommaf(x).Rispetto alla convergenza uniforme, data una funzione f P2 continua, con derivata continua eccettoal pi un numero nito di punti per i quali in ogni caso vale la condizione di Dirichlet, allora la seriedi Fourierassociataadf convergeassolutamenteeduniformemente, il cheequivaleadirecheunacondizione di convergenza uniforme per la serie di Fourier in questione, che convergano le due serie+

n=1[ak[+

n=1[bk[ (2.43)1Per discontinuit a salto si intendono quei casi in cui la funzione passa non in maniera continua da un valore allaltro.Ad esempio, la funzione parte intera di x, f=[x], la quale presenta una discontinuit in corrispondenza di ogni valoreintero2.2 Funzioni di Bessel 492.2 Funzioni di BesselLe funzioni di Bessel rappresentano una classe decisamente importante di funzioni, in quanto interven-gono in svariati campi della sica, ad esempio la risoluzione delle equazioni di Maxwell in coordinatecilindriche, e ogni qualvolta si studiano fenomeni oscllatori caratterizzati da frequenze dinamiche. Par-tiamo subito con una denizione. La funzione di Bessel Jdel primo tipo di ordinen Z denitacomeJn(x) =1_0cos(xsin t nt)dt (2.44)Una prima osservazione che per via della parit della funzione coseno coinvolta nellintegrale dicui sopra avremoJn(x) = Jn(x) (2.45)Inoltre, landamento della funzione in questione un qualcosa di positivo, periodico, smorzato versoalti valori di ascissa, il che implica lesistenza di alcuni zeri i quali si riveleranno piuttosto importanti.E altres piuttosto interessante notare come funzioni periodiche scritte come serie di Fourier si rivelinoessere funzioni di Bessel. Ad esempio,cos(xsin t) =+

n=0[Jn(x) +Jn(x)] cos ntsin(xsin t) =+

n=0[Jn(x) Jn(x)] sin nt (2.46)Dimostriamolo.Jn(x) =1_0[cos(xsin t) cos nt + sin(xsin t) sin nt]dtJn(x) =1_0[cos(xsin t) cos nt sin(xsin t) sin nt]dtJn(x) +Jn(x) =2_0cos(xsin t). .f(t)cos ntdt (2.47)Jn(x) Jn(x) =2_0sin(xsin t). .g(t)sin ntdt (2.48)Si noti che nel momento in cui ho una funzione simmetrica rispetto allo zero anche rispetto a,2.2 Funzioni di Bessel 50nelle sommatorie avr solo i termini di posto pari (gli altri sono nulli), mentre avr unicamente terminidispari nel caso di funzioni dispari. Ricordiamo a scanso di equivoci cheJn(x) = Jn(x) n pariJn(x) = Jn(x) n dispari(2.49)2.2.1 Modulazione di FrequenzaParliamo ora della cosiddetta modulazione di frequenza. Il mio scopo di scrivere come serie di Fourierla funzionef(t) = cos(kt +xsin t) (2.50)OrachesiamoinpossessodellefunzionidiBessel,sitrattadibanalealgebra(sirammentinoleformule di prostaferesi della trigonometria elementare)cos(kt +xsin t) = cos(kt) cos(xsin t) sin(kt) sin(xsin t)=+

n=0[Jn(x) +Jn(x) cos(kt) cos nt] [Jn(x) +Jn(x) sin(kt) sin nt]=12+

n=0[Jn(x) +Jn(x)][cos(k +n)t + cos(k n)t] + [Jn(x) Jn(x)][cos(k n)t cos(k +n)t]=+

n=0Jn(x) cos(k +n)t +Jn(x) cos(k n)t2.2.2 Equazione di BesselStudieremo a questo punto la famosa equazione dierenziale di Bessel, vale a direx2y

+xy

+x2y = n2y n Z (2.51)laqualeprovienedaunaapplicazionedi Laplace, ovverodecompongoloperatoreLaplacianoinparte angolare e radiale, dove questultima si pu ricondurre allequazione (2.51), della quale le fun-zioni di Bessel rappresentano soluzione (si dimostra prendendo le derivate prima e seconda di Jn(x)integrando per parti, per poi inserirle nellequazione (2.51)).2.2.3 Funzioni di Bessel come serie di PotenzeVediamo ora lo sviluppo delle funzioni di Bessel in serie di potenze,2.2 Funzioni di Bessel 51Jn(x) =+

k=0(1)k22k+nk!(n +k)!x2k+nJn(x) =+

k=0kx2k+n(2.52)e verichiamo la scrittura soprastante assicurandoci che soddis lequazione di Bessel, ricavando lederivate prima e seconda della serie di potenzeJ

n(x) =+

k=0k(2k +n)x2k+n1J

n(x) =+

k=0k(2k +n)(2k +n 1)x2k+n2(2.53)per poi sostituire, ottenendox2_+

k=0k(2k +n)(2k +n 1)x2k+n2_+x_+

k=0k(2k +n)x2k+n1_+x2_+

k=0kx2k+n_ = n2_+

k=0kx2k+n__+

k=0k(2k +n)(2k +n 1)x2k+n_+_+

k=0k(2k +n)x2k+n__+

k=0kn2x2k+n_+_+

k=0kx2k+n+2_ = 0_+

k=0kx2k+n__(2k +n)(2k +n 1) + (2k +n) n2+_+

k=0kx2k+n+2_ = 0_+

k=0k4(k +n)kx2k+n_+_+

k=0kx2k+n+2_ = 0+

k=1(1)k22(k1)+n(k 1)!(n +k 1)!x2k+n++

k=1(1)(k 1)22(k1)(k 1)!(n +k 1)!x2k+n= 02.2.4 Relazioni di RicorrenzaValutiamooralefunzioni di Bessel, siainformaintegralecheinformadi seriedi potenze(leduescritture dovranno equivalersi in ogni caso), pern = 0 inx = 0. Avremo2.2 Funzioni di Bessel 52J0(0) =1_0 cos(0 sin t 0t)dt 1=+

k=0(1)k2k(k!)2x2k 1J

0(0) = 0(2.54)il che implica che le funzioni di Bessel verichino le seguenti relazioni di ricorrenzaddx [xnJn(x)] = xnJn1(x) (2.55)Non solo, ma avvalendoci del prezioso formalismo che avevamo sviluppato tempo addietro in campocomplesso, possiamo scrivere la funzione di Bessel di gradon in senso complesso comeJn(z) =(1)n_0eiz cos tcos ntdt (2.56)2.2.5 Laplaciano in coordinate PolariIl nostro scopo scrivere loperatore Laplaciano in coordinate polari, onde studiare un oggetto consimmetria rotazionale. Cominciamo allora prendendo una funzione(x, y), e ricordandoci che___x = r cos y = r sin ___r = _x2+y2 = arctanyx(2.57)giochiamo un p con le derivate primerx=2x2_x2+y2=xr= cos ry= sin x=11 +_yx_2_yx2_ = sin ry=cos r(2.58)e seconde (la natura stessa delloperatore Laplaciano lo richiede, dopotutto...) facendo attenzioneal fatto che la derivata di rispetto ad una variabile (ad esempio x) richiede lapplicazione delle regoledi derivazione di funzioni composte, poich la variabile in esame sua volta una funzione (dir e di,per via del passaggio in coordinate polari). Indi,2.2 Funzioni di Bessel 53x = rrx +x = r cos 1r sin xx =rx cos 1rx sin =r_r cos 1r sin _cos 1r_r cos 1r sin _sin = rr cos2 +1r2 sin cos 1rr sin cos 1rr cos sin +1rr sin2 +1r2 sin2 +1r2 cos sin = rr cos2+1rr sin2 +1r2 sin2 2rr sin cos 2r2 cos sin (2.59)Questo per la variabilex. Per la variabiley, si ottiene un risultato analogo, con lunica dierenzache tutti i termini sono positivi e che ovviamente necessario scambiare le funzioni seno e coseno lunacon laltra, vale a direyy = rr sin2+1rr cos2 +1r2 cos2 + 2rr sin cos +2r2 cos sin (2.60)Il nostro Laplaciano si scriver allora come(x,y) = xx +yy= rr + 1rr +1r2(2.61)Chiaramentenoi abbiamoragionatoinduedimensioni, malatrattazionepuessereestesa(acondizionedidoverscendereapatticonunalgebrapipesante)inndimensioni.Separiamooralevariabili, ovvero pensiamo alla nostra funzione in coordinate polari (r, ) come prodotto di una parteradialef(r) ed una angolareg()(r, ) = f(r)g() (2.62)Il nostro Laplaciano si scriver allora nella forma(r,) =_f

(r) +f

(r)r_g() +f(r)r2g

() (2.63)Supponiamo adesso di porre (r,) = 0. Avremo2.2 Funzioni di Bessel 540 =_f

(r)r2+f

(r)rf(r)_. .g() +g

()g

() = g() (2.64)ovvero una equazione agli autovalori le cui soluzioni sono funzioni periodiche con frequenze multipledi un intero, il che implica = n2, cior2f

(r) +rf

(r) = f(r)r2f

(r) +rf

(r) = n2f(r)Per essere precisi, la forma dif(r) sar un polinomio del tipof(r) = r(2.65)con2= n2per ogni valore dellautofunzione, e per ognin trovo una soluzione radiale nella formaf(r) = rn[an cos nt bn sin nt] (2.66)La soluzione pi generale possibile sar allora una somma su tutti glin possibili, ovvero(x, y) =a02++

n=1rn[an cos n bn sin n] (2.67)dove ar = 1 corrisponde il risultato sulla frontiera. Siamo quindi nella condizione di poter trovareil valore di una funzione armonica sulla frontiera, e poich una funzione armonica la parte reale diuna funzione olomorfa, allora la coniugata sarsef(x, y) = (x, y) +i(x, y) f(z) = c0+

n=1cnzn= c0+

n=1(n +in)rn(cos n +i sin n) (2.68)=a02++

n=1rn[an cos n bn sin n] +i [an sin +bn cos n]2.2 Funzioni di Bessel 55Il metododi separazionedellevariabili cheabbiamoappenavisto, tornautileinmolti contesti.Supponiamo ad esempio di voler denire gli autovalori delloperatore di Laplace sul discoDD = (x, y) : x2+y2 1 (2.69)Rifacendoci allequazione (2.63 avremo(r,) = rr + 1rr +1r2 = (2.70)laqualeunafunzionelineare, il cheimplicachelesuesoluzioni combinatelinearmentedianoancora soluzioni di(r,) = f(r)g(r) (2.71)dove la parte radiale periodica di 2. Giochiamo un p di algebra, ora.(r,) + = 0rr + 1rr +1r2 + = 0(rr + 1rr +) +1r2= 0f

g + 1rf

g +fgff+1r2fg

gg= 0f

+1rf

+ffgf +1r2g

g..n2gf = 0r2f

+rf

+r2ffn2= 0r2f

+rf

+r2f n2f = 0(2.72)Costruiamo ora la funzione(r) = f(r) (2.73)tale per cui2.2 Funzioni di Bessel 56

(r) = f

(r)

(r) = 2f

(r) (2.74)Loscopochepoichfrisolvelequazione(2.72),alloracercounafunzionechemirisolvalastessa equazione in con = 1. Andando a sostituire le equazioni (2.74) nella equazione (2.72) avremor2

(r) +rf

+r2f n2f = 0r22f

(r) +rf

(r) +r2+2r22f(r) nf(r) = 0 12= (2.75)Indi, la soluzione un multiplo (di ) della funzione di BesselJn, ovverof(r) = Jn(r) = (r) (2.76)Prendiamo allora un disco di raggio unitario. Avremo f(1) = 0, il che equivale a dire che Jn() = 0,ovvero avremo una condizione al contorno. Vado quindi a vedere dove la funzione si annulla. Ad ognizero corrisponder un autovalore delloperatore di Laplace. Deniamo allora comeJknil k-esimo zerodellan-esimaequazionedi Bessel. Alloragli autovalori delloperatoreLaplacianosotostanti allacondizione = 0 sul disco unitario sono i quadrati degli zeri delle funzioni di Bessel. La dimostrazione banale. Se = (Jkn)2 presa = Jn(r) (2.77)risolve___ = inD = 0 suD(2.78)Ma il punto se le funzioni di Bessel abbiano degli zeri o meno, e se la risposta aermativa, cosae quanti sono. Esiste un teorema, in eetti, che ci dice che n gli zeri delle funzioni di Bessel sono ,ma a noi a dire il vero ci interessano solo i primi della successione di inniti termini.2.2.6 Equazione delle VibrazioniAndiamo ora a vedere come si comporta unonda piana su un disco. Lequazione da risolvere tt = c2 suD (2.79)2.2 Funzioni di Bessel 57dove(x, y, t) = 0 ogni volta chex2+y2= 1 per t (2.80)il che verica la condizione dul bordo (la condizione di Drichelet). Deniamo anche delle condizioniiniziali, per le quali___(x, y, 0) = 0(x, y)(x, y, 0) = 0(x, y)(2.81)Conosciamo quindi la funzione nel punto zero e la sua velocit, che peraltro la proiezione di t delpunto(x, y)=0.Inaltreparole,ilproblemachestiamotrattandolarisoluzionedellemembrane,che considero come molle in un reticolo nel momento in cui i punti reticolari costituenti questultimotendono allinnito. Supponiamo ora che0(x, y) = 00(x, y) = 0(2.82)Allora(x, y, t) = [c1 cos t +c2 sin t](x, y) (2.83)dove2= c2 e = . Si noti per inciso chett = c2L seL = (2.84)overro loperatore mi manda la funzione in un oggetto costituito dalla funzione stessa moltiplicataper uno scalare. Inoltre, poich io s cheL0 = 0L0 = 0(2.85)alloratt = c2 (2.86)2.3 Trasformata di Fourier 58ovverounafunzionearmonica.Matorniamoallaequazione(2.83).Icoecenti c1ec2sonocostanti ssate in modo che(x, y, t)t=0= 0(x, y) =0..

(x, y, t)t=0= 0(x, y) =0..

(2.87)Abbiamo quindi elencato le condizioni al contorno necessarie, il che permette di enunciare nalmenteil seguente teorema. Consideriamo le autofunzioni k,nrelative allequazione kn=k,nk,nsuldiscoD con condizioni di Drichelet e normalizzato, ovvero tale per cuiD __D2k,n = 1 (2.88)allorak,n un sistema ortonormale completo inL2(D), il che implica chio sia sempre in gradodi scrivere le soluzioni del problema come combinazione lineare, cio(x, y) L2(D) =+

n=0knkn(x, y)kn=__Dkn proiezioni (2.89)In eetti, tutte le funzioni diL2sono generate in questo modo.2.3 Trasformata di FourierPrecedentemente abbiamo studiato le serie di Fourier su periodi limitati, vale a dire per funzioni chesi chiudono su s stesse. Prendiamo invece un periodo innito (una funzione di questo tipo potrebbebanalmente essere una retta). Potr scegliere qualsiasi frequenza, e scrivere la serie di Fourier associatacome una somma di funzioni caratterizzate da frequenze diverse. Diamo quindi una denizione. Datauna f (', ') e denito _+ [f(x)[dx, indicheremo come trasformata di Fourier di fla funzionef(k)tale chef(k) =_+f(x)eikxdx (2.90)2.3 Trasformata di Fourier 59dovekmi indicachef vivenellospaziodellefrequenze. Vedremoinseguitochevaleanchelarelazionef(x) =12_+f(k)eikxdk (2.91)dovef(k) sar denita in un certo intervallo [k, k] tale per cui_kkf(k)eikxdkf(x) = limn+n

i=1f(ki )eikixk (2.92)Il nostro scopo quello di decomporre la nostra funzione di partenza come somma di armonichefondamentali caratterizzate da una frequenza qualunque, la quale somma si traduce ovviamente in unintegrale. Qualche osservazione. Sappiamo cheeikx= [cos kx i sin kx] (2.93)dovex '. Nellipotesi in cuik ' allora[eikx[ = 1_+[f(x)eikx[dx =_+[f(x)[dx (2.94)il che implica che lintegrale converga e che esista la trasformata di Fourier della funzione in esame.I problemi sorgononel momentoincui kC, poichbisognaprestaremaggioreattenzioneallaconvergenza, la quale non sempre vericata. Nel caso di stia studiando una Gaussiana, ad esempio,non c problema, poich questultima allinnto tende a zero molto bruscamente, il che conduce allaconvergenza lintegrale che ci interessa. Vediamo ora qualche esempio signicativo. Prendiamof(x) =___eaxsex > 0ebxsex < 0(2.95)In prima approssimazione, abbiamo ottime speranze che lintegrale converga, poich la funzione dicui sopra allinnito decade fortemente a zero. In ogni caso,2.3 Trasformata di Fourier 60f(k) =_+f(x)eikxdx=_+0eaxeikxdx +_0ebxeikxdx=_+0e(a+ik)xdx +_0e(bik)xdx= 1a +ike(a+ik)x|+0+1b ike(bik)x|0(2.96)Eevidentecheiltermineproblematicolesponenzialenegativo,cheineettidluogoadunaserie di possibilit. Innanzitutto, avremo chee(a+ik)x|+0= limR+e(a+ik)x|R0= limR+e(a+ik)R1 (2.97)Sek ', le cose si semplicano non poco, poiche(a+ik)R= eaReikR(2.98)etutti eduequesti termini per R +vannoazero, indi complessivamenteil limiterisulta= 1. Se invecek Callorak = k1 +ik2ik = ik1 ik2e(a+ik)R= e(aik1k2)R= e(ak2)R..eik1. .1(2.99)il chesignicache devetendereazero, condizionevericataunicamentese k2 0. In altre parole, anch si abbia convergenza deve essere Im(k) < a. In questo caso, alloraf(k) =1a +ik 1b ik(2.100)Prendiamo ora la funzione2.3 Trasformata di Fourier 61f(x) = (x, ) =___12[x[ < 0 [x[ > (2.101)chepossiamobenissimoimmaginarecomeunabarrieradi potenzialedi altezza12espessore2centrata inx = 0. La sua trasformata di Fourier sar alloraf(k) =_+f(x)eikxdx=_+12eikxdx (2.102)Sek ' alloraf(k) =12_+[cos (kx) + sin (kx)] dx=12_+__cos (kx). .ddxsin (kx)ksin (kx). .0__dx=12k sin(kx)|+=sin kk(2.103)La domanda capire dove v a nire illim0(x, )dx (2.104)Prendiamo allora una funzione x, poniamo una sorta di Gaussiana, centrata pi avanti sullasse xrispetto alla nostraf(x), la quale si posiziona invece in un intervallo [, +] che diciamo cos includeparte della coda dellax. Allora,lim0_+x(x, )dx = lim012_+xdxlim0(c()) = (0) conc() [, +] (2.105)In generale, data una funzionex continua da 1Re in ', vale2.3 Trasformata di Fourier 62(x0) = lim0_+(x x0, )(x)dx (2.106)o meglio, la sopracitata relazione vale per tutte le famiglie di funzioni che al di fuori dellintervalloallinterno del quale sono denite, vadano a zero rapidamente, indi vale a maggior ragione anche nelcasodiGaussiane.Sinotiperincisochelanostrafunzione,ovverolespressione(2.101),per 0tende ad una funzione di importanza capitale in sica, vale a dire la delta di Dirac, la cui trasformatadiFourier,almenoformalmenteparlando,ugualeauno.VediamooralatrasformatadiFourierdiuna Gaussiana, questultima scritta comef(x) = e(x

)2(2.107)Avremo alloraf(k) =_+e(x

)2eikxdx=_+eh(x

)2+ikixdx=_+eh(x

+ik2)2(ik2)2ixdx= _+e(k2 )2e(x

+ik2)2dx

= e(k2 )2 (2.108)Si noti che la trasformata di Fourier di una Gaussiana ancora una Gaussiana. Se la funzione dipartenza una Gaussiana piccata, la sua trasformata di Fourier sar pi ampia, e viceversa. Inoltre,se eettuiamo quella che tra poco indicheremo come antitrasformata di Fourier sullequazione (2.108),otteniamo precisamente la Gaussiana di partenza.2.3.1 Applicazione rispetto al Teorema dei ResiduiVeniamo ad un qualcosa di pi elaborato. Prendiamo la funzionef(x) =1a2+x2(2.109)e scriviamone la trasformata di Fourierf(k) =_+1a2+x2eikxdx (2.110)2.3 Trasformata di Fourier 63che pu essere visto come integrale lungo linnito cammino lungo le ascisse di una funzione com-plessa. Mettiamooradi operarelasostituzionex zconz C, inmododaottenereunanuovafunzioneg(z) =1a2+z2(2.111)che olomorfa in tutto il piano complesso eccezion fatta perz= a, una coppia di punti per laqualeg(z) presenta due poli. Riscriviamo orag(z) in una forma che ci permetter poi di applicare ilteorema dei residuig(z) =1a2+z2=1(z +ia)(z ia)= 12ia_1z +ia 1z ia_(2.112)Abbiamo dunque sottomano una funzione complessa a cui poter potenzialmente applicare il teoremadei residui, ma non dobbiamo dimenticare che questultimo si applica a cammini chiusi. Costruiamoallora una ellisse l centrata nellorigine del piano complesso e delimitata sulle ordinate dai due poli dicui sopra, e da una coppia di oggetti reali R, R sulle ascisse. Abbiamo originato in questo modo duesemiellissi, una nel semipiano positivo rispetto alle ordinateC+e la seconda nel semipiano negativoC. Nel caso in cuiR +, lintegrale sulla semiellisse sar nullo, poichlimR+_+1a2+z2. .1r2eikz. .circonferenza di raggiordz (2.113)indi, landamentocomplessivosardel tipo 1ril cui limiteperR +chiaramentezero.Vediamoorail teoremadei residui sullasemiellissepositiva. UnavoltadenitoRes(g, ia)comeilresiduo della funzioneg(z) nel puntoia, avremoRes(g, ia) =12i_C+g(z)dz (2.114)2.3.2 Antitrasformata di FourierV sotto questo nome quel procedimento che consente la ricostruzione di una funzione a partire dallasua trasformata di Fourier.Comegi detto,sef(k)la trasformata di Fourier della funzionef(x),allora2.3 Trasformata di Fourier 64f(x) =_+f(k)eikxdk (2.115)Dobbiamo unicamente vericare che tanto f(x) quanto f(k) decadano molto rapidamente allinni-to. Vediamo una sorta di dimostrazione (non essendoci una vera e propria ipotesi non sarebbe correttodenirla tale). Supponiamo chef(x) = lim012_+f(y)e(xy)2

2dy (2.116)dove abbiamo considerato una Gaussiana (normalizzata) non centrata nellorigine bens in x, perchil nostroscoporicavare f(x), nonf(0). Operiamoaquestopuntouncambiamentodi variabili,ponendox y = z, per poi riscrivere lequazione (2.116) nella formaf(x) = lim012_+f(x z)e(z

)2dz (2.117)dove il cambiamento di variabili comporterebbe anche un cambio di estremi di integrazione, pouchdy= dz, maineetti integraredamenoapiinnitooviceversanel casodi unaGaussianairrilevante. Altro cambiamento di variabili (puramente formale), ora, z=y, indi lequazione (2.117)diventaf(x) = lim012_+f(x y)e(y

)2dy (2.118)Ora, dovr esseree(y

)2=_+e(k2 )2eikydk (2.119)e di conseguenza avremof(x) = lim012_+_+f(x y)e(k2 )2eikydydk= lim012_+_+e(k2 )2f(x y)eikyeikxeikxdydk= lim012_+_+e(k2 )2f(x y)eik(xy)eikxdydk (2.120)Un ultimo cambio di variabili,x y = s, e abbiamo2.3 Trasformata di Fourier 65f(x) = lim012_+______e(k2 )2. .1_______+f(s)eiksds. .ff(k)______eikx______dk= lim012_+f(k)eikxdk (2.121)Oracheabbiamoagrandi lineedimostratoquantoci interessava, possiamodareunimportantedenizione. Date due funzionifeg chiamiamo prodotto di convoluzione (f g) la funzione(f g)(x) =_+f(y)g(x y)dy=_+f(x y)g(y)dy (2.122)Si noti che se la funzione g positiva con integrale unitario allora la convoluzione diventa una sortadimedia.Adesempio,landamentodellecurverappresentantiimercatinanziari,poichcicheineetti ci interessa in quei casi unicamente il valor medio della funzione. Ma cos la trasformata diFourier di un prodotto di convoluzione? Vediamo...(f g)(k) =_+(f g)(x)eikxdx=_+__+f(y)g(x y)dy_eikxdx=_+__+f(y)g(x y)dy_eikxeikyeikydx=_+_+f(y)eikyg(x y)eik(xy)dxdy(2.123)conx y = t(f g)(k) =_+f(s)eiksds_+g(t)eiktdt=f(k) g(k) (2.124)Siosservichegliestremidiintegrazionenoncambianoinseguitoalcambiamentodivariabilidi2.3 Trasformata di Fourier 66cui sopra, poich le ho cambiate in blocco, ovvero tutto lintegrale doppio, una regione, non sul singolointegrale che mi avrebbe indicato un cammino. Se avessi cambiato prima una variabile e poi laltra,avrei dovuto cambiare dei segni. Prendiamo ora lantitrasformata dellequazione (2.124). Abbiamo12i_+f(k) g(k)eikxdk =_+g(y)f(x y)dy=_+g(x y)f(y)dy (2.125)Se poniamog(x) =f(x) (2.126)e valutiamo lequazione (2.124) inx = 0 allora otteniamo la cosidetta formula di Parseval_+[f[2(x)dx =12_+[f(k)[2dk (2.127)2.3.3 Trasformata di Fourier di una DerivataEssere in grado di ricavare le trasformate di Fourier della derivata ennesima di una funzione uno stru-mento potente nella risoluzione di molte equazioni dierenziali (si pensi allandamento della funzionedielettrica in un mezzo), e perdipi estremamente semplice. Infattif

(k) =_+f

(x)eikxdx= limR+_+RRf

(x)eikxdx= limR+f(x)eikx|+RR +ik|+RRf(x)eikxdx (2.128)Il limite dellespressione soprastante deve annullarsi, ma in eetti noi stessi avevamo imposto comecondizione lo smorzamento, peraltro decisamente rapido, dif(x) allinnito. Indi, otteniamof

(k) = ik_+f

(x)eikxdx (2.129)Latrattazionepuesserereiterataconrelativafacilitperordini di derivazionemaggiori, enerisulta una relazione generale estremamente importante2.3 Trasformata di Fourier 67fn(k) = (ik)n f(k) (2.130)Vediamooraunabreve applicazione, inogni casosignicativa. Vogliamorisolvere lequazionedierenziale

+ = f(x) su tutto ' (2.131)Prendiamo allora la trasformata di Fourier di entrambi i membri, e risolviamo.

+ =fx

+ =fk2 + =f =f(k)1 +k2(x) =12_+f(k)1 +k2eikxdk (2.132)maf(k) =_+f(y)eikydy (2.133)indi(x) =_+_+f(y)1 +k2eik(xy)dydk (2.134)In denitiva, appare evidente come lapplicazione di questo metodo permetta la risoluzione dellaquasi totalit degli operatori dierenziali.2.3.4 Equazione del CaloreVogliamo risolvere lequazione2T(x, t)x2=1kT(x, t)t(2.135)dove klaconducibilittermicadel sistemainesame, chestudieremoconcondizioneinizialeT(x, 0)=f(x),dovef(x)rappresentaladistribuzioneditemperaturaaltempozero.SinotichelatemperaturaTdipende da una variabile spaziale e da una temporale. Lequazione si rivolge quindi a2.3 Trasformata di Fourier 68sistemi come una sbarra di lunghezza innita, per la quale risulta possibile determinarne la temperaturaal tempot. Prendiamoalloralatrasformatadi Fourierrispettoallavariabilespaziale, inmododaottenere una equazione dierenziale ordinaria del primo ordine. In generale, in un contesto simile,F(, t) =_+T(x, t)eixdx (2.136)indi avr

2T(x, t)x2=1k

T(x, t)t2F(, t) =1kF(, t)t(2.137)Ora sso (F(, t) F(t)) e riscrivok2F(t) =dF(t)dt_dF(t)F(t)= k2_dtln F(t) = k2t +c[F(t)[ = ek2tecF(t) = ek2tc

(2.138)Serve ora un doveroso commento suc

. Abbiamo detto cheT(x, 0) = f(x), indiF(, 0) =_+T(x, 0)eixdx=_+f(x)eixdx=f() (2.139)il chesignicachequandoF(, 0) =c

, allorac

=f(). Di conseguenza, possiamodireconcognizione di causa cheF(, t) =f()ek2t(2.140)A questo punto, dobbiamo prendere lantitrasformata di Fourier.2.3 Trasformata di Fourier 69T(x, t) =12_+F(, t)eixd=12_+f()ek2teixd=12_+eixk2t__+f(s)eisds_d=12_+f(s)__+eixk2tisd_ds=12_+f(s)___+ek2t ei(sx)d. .__ds (2.141)Concentriamoci per un istante sul termine , operando il cambio di variabili =ktil che implicad =dwkt. Avremo allora =1kt_+e2 ei(sx)ktd=1ktG_s xkt_conG() = e2(2.142)Tornando dunque allequazione (2.141) otteniamoT(x, t) =12_+f(s)1ktG_s xkt_ds=12_+f(s)kt

e14(sx)2ktds=12kt_+f(s)e14(sx)2ktds (2.143)QuestarelazionecidicecomeevolvequellacheineettiunaLorentziana,ediconseguenzaciconsente di prevedere la temperatura nel puntox al tempot.2.3.5 Equazione di LaplaceAbbiamo visto nella sezione precedente una applicazione della trasformata di Fourier riferita allequa-zione del calore per una sbarra di lunghezza innta. In questo contesto studieremo invece il usso dicalore come stato stazionario in un dominio semi-innito, un sistema che descritto dalla equazionedi Laplace2.3 Trasformata di Fourier 702(x, y)x2+2(x, y)y= 0 (2.144)cheandremoarisolverecercandosoluzioni limitatenellaregione 0, indi dovr essere(k, y) = C(k)e|k|y(2.147)Inoltre, se prendiamo la trasformata della funzioneh(x) che abbiamo denito in precedenza, tra-sformata che indicheremo con h(k), avremoC(k) = h(k). Possiamo allora riscrivere la soluzione nellaforma(k, y) = h(k)e|k|y(2.148)mapoichsi dimostrache g(k, y)=e|k|ylatrasformatadi Fourierdellafunzioneg(x, y)=1yx2+y2, allora, ricordando lequazione (2.125), abbiamo(x, y) =1_+yh(x

)(x x

)2+y2dx

(2.149)una espressione altrimenti nota come formula di Poisson nel mezzo piano. Se come caso particolareponiamo h(x) uguale ad una delta di Dirac centrata in x = , allora otteniamo la soluzione nella forma(x, y) =1_y(x )2+y2_(2.150)che v sotto il nome di funzione di Green, una funzione estremamente importante in sica.2.3.6 Trasformata di LaplaceDeniamo la trasformata di Laplacef(s), cons = c +ik dovec Re ed una costante ssata, come2.3 Trasformata di Fourier 71f(s) =_+0f(x)esxdx (2.151)e la relativa antritrasformata comef(x) =12i_c+icif(s)esxds (2.152)La trasformata di Laplace si applica a funzioni che soddisfano la seguente propriet_+0ecx[f(x)[dx < (2.153)Capitolo 3Analisi Spettrale3.1 Teoria degli Operatori3.1.1 Teorema di Sturm-LiouvilleSiaV (x) : ' ' elimxV (x) = + (3.1)e prendiamo in considerazione loperatoreL = ddx2 +V (x) (3.2)AlloraLpossiedeunasuccessionedi autovalori reali 1 1se , [0, 1][x [ = c() (3.74)indi[(x)[ [f(x)[[x [1c()[f(x)[ (3.75)e avremo_10[(x)[21c()2_10[f(x)[2[[(x)[[L21c()[[f(x)[[L2(3.76)il che signica che per , [0, 1], (L) dove (L) il risolvente delloperatore L. Di conseguenza,lo spettro diL, (L), dato da tutti quei [0, 1], poich come detto in precedenza, lo spettro diun operatore il complementare del risolvente. Prendiamo oraL[) = i

in uno spazio di HilbertH= L2(', C) del quale considero un sottospazio in cui le derivate di siano a quadrato integrabile.Calcoliamo il risolvente.L = fi

= f (3.77)Applichiamo la trasformata di Fourier (nello spazio delle frequenze). () () =f()( ) =f =f (3.78)3.2 Caratterizzazione Variazionale degli Autovalori di Operatori Hermitiani 90dovef L2(indi anche inL1) e quindif L2per il teorema di Plancherel1. Se , ', allora = k +il conl ,= 0, il che implica che [ [ [l[ 0, in