Analisi delle Decisioni Funzioni di utilita’ e lotterie

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Analisi delle Decisioni Funzioni di utilita’ e lotterie

Chiara Mocenni


Il processo di scelta razionale

Il soggetto deve essere in grado di:

• Determinare l’insieme di scelta (piani, azioni);

• Una relazione che lega le azioni alle conseguenze;

• Ordinare tutte le conseguenze possibili;• Selezionare l’azione migliore


Contesti (1/3)

• 1. Scelta in condizioni di certezza: ad ogni azione e’ associata una ed una sola conseguenza. Nell’ambito del processo di scelta razionale questo problema diventa banale una volta che il decisore abbia definito l’insieme delle scelte ed ordinato tutte le possibili conseguenze.


Contesti (2/3)• 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad

ogni azione sono associate piu’ conseguenze, in base ad una distribuzione di probabilita’ data. L’incertezza ‘e esogena.

– Se la probabilita’ e’ oggettiva ->> SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO

– Se la probabilita’ e’ soggettiva ->>SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA


Scelte in condizioni di incertezza

• PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo.

• L’incertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura.

• Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota.


Contesti (3/3)

• 3. Scelta in condizioni di interazione strategica: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, ma ora cio’ dipende dalle scelte effettuate da altri soggetti razionali. L’incertezza non e’ esogena.


Il processo di scelta razionale

Principio della massima utilita’

attesa: Il decisore razionale

massimizza la propria utilita’

attesa (oggettiva o soggettiva).


Le basi della teoria dell’utilita’

• Se restringiamo l’attenzione alle sole azioni che influenzano la quantita’ di denaro vediamo che gli agenti mostrano una preferenza monotona per il denaro.

• Ma non siamo ancora in grado di confrontare lotterie anche se queste coinvolgono quantita’ di denaro.


Confronto tra lotterie

il valore atteso di una lotteria non può essere preso a criterio universale (valido per tutti i decisori)


• C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore atteso di una lotteria in questo contesto. Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una situazione in cui la decisione deve essere presa una tantum.

• Diverso sarebbe il discorso se si dovesse scegliere una lotteria sapendo di doverla poi giocare un numero molto elevato di volte. Infatti, ripetendo indefinitamente un processo aleatorio, potremmo prendere il valore atteso come stima del guadagno medio a ogni ripetizione.


LA FUNZIONE UTILITA’• Il valore dell’utilità, in generale, non è il

semplice guadagno in termini monetari, ma dipende da vari fattori, tra cui la predisposizione del decisore. Infatti per ogni singolo decisore dovremo definire una (diversa) funzione di utilità i cui valori attesi rappresentano le sue preferenze specifiche.

• Assumeremo però che tali preferenze siano consistenti con certi assiomi di razionalità.


LOTTERIE

• DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è determinato da semplici meccanismi di fortuna. Si assume inoltre che il numero dei risultati (premi) sia finito.

• Sia

l’insieme dei possibili risultati, comprendente anche il premio nullo, cioè la perdita.

rxxxX ,...,, 21


Assunzioni sulle conseguenze

• Le conseguenze devono essere:

• mutuamente esclusive (al piu’ se ne verifica una);

• esaustive (almeno una si verifica necessariamente).



• Si consideri l’insieme R dei possibili risultati certi

x1 x2 … xr

• Una generica lotteria L può rappresentarsi come

L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >


Osservazioni• r indica l’insieme dei possibili risultati, e può

essere anche un numero molto alto. • Anche se il nostro universo di situazioni

comprende r elementi, una lotteria può avere come possibili risultati un sottoinsieme molto piccolo di essi (molti dei pi nell’espressione di L possono essere uguali a 0).

• Indicheremo sempre con x1 e xr rispettivamente il risultato più desiderabile e meno desiderabile, rispettivamente, nell’ambito dell’insieme di situazioni in cui ha senso il nostro problema decisionale.



• Un risultato certo xi è equivalente a una particolare lotteria:xi ~ < 0,x1 ; 0,x2 ; …; 1,xi ;…; 0,xr >

• Si vuole definire un ente matematico in grado di rappresentare le preferenze di un decisore, anche relativamente a diverse lotterie


• Associamo a ogni risultato certo un valore u(•) che ne indica il “gradimento”, ossia tale che

u(x1) u(x2) … u(xr)

• Usando queste “utilità elementari”, è possibile far corrispondere a qualsiasi lotteria un valore di utilità


Osservazioni• Supponiamo di associare (in che modo, lo

vedremo più tardi) a ciascuno degli r risultati certi, un numero che ne esprime il livello di gradimento. Per ora, diciamo solo che questi numeri sono tali per cui a un risultato più gradito corrisponde un valore più alto.

• Questi numeri rappresentano delle “utilità elementari”, che come ora vedremo – sotto determinate condizioni -- ci consentiranno di esprimere in modo quantitativo il livello di gradimento di un decisore nei confronti di qualsiasi lotteria.


Utilità (attesa) di una lotteria L

U[L] = p1 u(x1) + p2 u(x2)

+ … + pr u(xr)

• Si considerino due lotterie L,ML = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >

M = < q1,x1 ; q2,x2 ; … ; qr,xr >


Osservazioni• L’espressione precedente prende il

nome di utilità attesa di una lotteria L. Come si vede, questa è una quantità soggettiva, in quanto dipende dai valori di utilità che il decisore ha attribuito agli r risultati certi.

• Inserendo i valori di probabilità che definiscono ciascuna lotteria, si può calcolare l’utilità attesa di qualsiasi lotteria per un particolare decisore.


Utilità (attesa) di una lotteria L

• Vogliamo individuare una funzione u(•) dei risultati tale che:

L M se e solo se

r

iii

r

iii xuqxup

11

)()(


Riassumendo… Vogliamo individuare una funzione u che

permetta di:I) definire un ordinamento nell’insieme dei

risultati X di una lotteria;II) scegliere tra lotterie in base alla regola

dell’utilità attesa. u è definita su un insieme A che contiene

l’insieme dei premi X e l’insieme delle lotterie L, ma vedremo che contiene anche altri tipi di lotterie, quindi:

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