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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi delle Decisioni
Atteggiamenti rispetto
al rischio
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Funzione di utilità e attitudini al rischio del decisore
• Nel seguito vedremo come la funzione di utilità, a seconda della sua forma, può tenere conto delle diverse attitudini al rischio del decisore.
Assumeremo, per semplicità che le conseguenze possano essere rappresentate da numeri reali e che le preferenze del decisore aumentino all’aumentare di tali valori.
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Valutazione di una lotteria
• Data una lotteria L, è possibile associarvi
• E[L] =
• U[L] =
r
iii xp
1
r
iii xup
1
)(
Valore oggettivo
Valore soggettivo
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Equivalente certo di una lotteria• L’equivalente certo xc di una lotteria
L è quella somma avente utilità pari all’utilità attesa della lotteria
u(xc) = U[L]
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Equivalente certo di una lotteria• Il decisore è indifferente tra
ricevere xc o partecipare alla lotteria L
• xc rappresenta la minima cifra che il decisore è disposto a ricevere per non partecipare alla lotteria L
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Premio di rischio
• Data una lotteria L, il premio di rischio p è definito come
p = E[L] - xc
• p può interpretarsi come quella parte del valore atteso E[L] cui si è disposti a rinunciare pur di non partecipare alla lotteria L
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Premio di rischio (esempio)
40 L0.5
0.5
100
0
= E[L] - xc = 50 – 40 = 10
~
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Premio di rischio
• Il premio di rischio non è necessariamente positivo (e.g. individuo che deve necessariamente reperire 100 euro)
• A seconda del segno di p si hanno diversi atteggiamenti rispetto al rischio
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Atteggiamenti rispetto al rischio
• p = E[L] - xc > 0
avverso al rischio
• p = E[L] - xc < 0
propenso al rischio
• p = E[L] - xc = 0
indifferente al rischio
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Atteggiamenti rispetto al rischio
Lp
1-p
x1
x2
E[L] = p x1 +(1-p) x2
U[L] = p u(x1) +(1-p) u(x2)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Atteggiamenti rispetto al rischio
E[L] = p x1 +(1-p) x2
xc = u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))
Se il decisore è avverso al rischio,
p x1 +(1-p) x2 u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010E[L]x1 x2
U[L]
xc
u(x1)
u(x2)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010E[L]x1 x2
U[L]
xc
u(x1)
u(x2)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010E[L]= xc
x1 x2
U[L]
u(x1)
u(x2)
=0
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Determinazione delle probabilità • A questo punto occorre avere
informazioni sulla verosimiglianza con cui diversi stati di natura potranno presentarsi
• Si opera col meccanismo dell’intervista…
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
a1
Variazione indice Dow-Jones (%)
110
< -3 [-3,+2] > +2
a2
a3
110 110
100 105 115
90 100 120
Decisioni
probabilità 0.2 0.4 0.4
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Utilità attesa dei tre investimentiU[a1] = 0.2 *u(110) + 0.4*u(110) +0.4*u(110)
= 0.8
U[a2] = 0.2 *u(100) + 0.4*u(105) +0.4*u(115) = 0.7
U[a3] = 0.2 *u(90) + 0.4*u(100) +0.4*u(120) = 0.56
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi della sensibilità
• Per giungere a una soluzione più ponderata, occorre sottoporre ad analisi le preferenze espresse dal decisore
• Un decisore non ha capacità di discernimento infinita
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi della sensibilità (II)
• Poiché l’utilità della lotteria a1 è ritenuta superiore alle altre, occorre trovare:– un limite inferiore al valore di U[a1] e
– un limite superiore al valore di U[a2] e U[a3]
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi della sensibilità (III)
110 L0.75
0.25
120
90
• Supponiamo il decisore preferisca i 110 sicuri
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi della sensibilità (IV)
110 L0.75
0.25
120
90
u(110) > 0.75*u(120) + 0.25*u(90)=0.75
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi della sensibilità (V)
• Analogamente possono stabilirsi limiti superiori:
u(100) < 0.45
u(105) < 0.64
u(115) < 0.96
• Usando questi valori-limite nelle utilità di a2 e a3 si possono ottenere indicazioni più complete
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Utilità attesa dei tre investimenti (rivista)U[a1] > 0.75
U[a2] < 0.2 *0.45 + 0.4*0.64 +0.4*0.96= 0.73
U[a3] < 0.2 *0 + 0.4*0.45 +0.4*1= 0.58
• Alla luce dell’analisi della sensibilità, l’investimento a1 sembra il più adatto al decisore in esame