1

M

Q

Analisi della Varianza - II

ANOVA entro i soggetti, modelli misti, ANCOVA

Marco Perugini

Milano-Bicocca

Lez: XXIX

2

ANOVA a una via – la VARIANZA

Possiamo stimare la varianza (MQ = media dei quadrati)

- Varianza totale: MQTOT = SQTOT

(N −1)

- Varianza entro: MQENTRO = SQENTRO

(N − k)

- Varianza tra: MQTRA = SQTRA

(k −1)

N = numerosità complessiva; k = numero di livelli

Gradi di libertà (g.l.)

[→quanti valori sono

liberi di variare]

Il rapporto F

𝑭 = 𝑴𝑸𝑻𝑹𝑨𝑴𝑸𝑬𝑵𝑻𝑹𝑶

F è il rapporto tra la varianza stimata a partire dalla variabilità tra i gruppi (BETWEEN) e la varianza stimata a partire dalla variabilità entro i gruppi (WITHIN). Segue la distribuzione F di Fisher. http://web.utah.edu/stat/introstats/anovaflash.html

Lezione: XXVIII

3

ANOVA fattoriale – la scomposizione della varianza

SQTOT

SQENTRO SQTRA

SQA SQB SQA * B

g.l.: N - 1

g.l.: N – a*b

g.l.: a – 1 g.l.: b – 1 g.l.: (a–1)*(b–1)

MQ = SQ / g.l.

FA = MQA / MQENTRO

FB = MQB / MQENTRO

FA*B = MQA*B / MQENTRO

Vantaggio dell’ANOVA fattoriale: SQENTRO e MQENTRO

sono tipicamente più piccole che nell’ANOVA a una via perché alcune fonti di variabilità non sono più d’errore. Questo aumenta la potenza del test.

Lezione: XXVIII

4

ANOVA entro i soggetti

(detta anche per misure ripetute o Within)

Disegni entro i soggetti (within subjects) La V.D. è rilevata più volte sugli stessi soggetti [unità osservative], nelle diverse condizioni sperimentali. Disegni per blocchi randomizzati La V.D. viene rilevata su soggetti ‘appaiati’ su una determinata variabile rilevante. Nelle diverse condizioni ci sono soggetti diversi che vengono trattati come se fossero la stessa persona esposta a prove differenti. Esempio: triplette di persone equiparabili per età, sesso, ideologia politica

Lezione XXIX

5

ANOVA a una via entro i soggetti

Ricerca ‘automobili di prestigio’ Intervista di marketing, indice di prestigio associato a tre diversi marchi: Porsche, Ferrari, Lamborghini Ogni intervistato esprime valutazioni per tutti e tre i marchi.

Le osservazioni non sono indipendenti.

Lezione XXIX

6

ANOVA a una via entro i soggetti

medie di ciascun soggetto rispetto alle 3 condizioni permettono di isolare la parte di devianza totale dei punteggi che dipende dalle differenze tra i soggetti.

medie della V.D. per ciascun livello permettono di stimare la variabilità legata al fattore

Lezione XXIX

7

ANOVA a una via entro i soggetti

Devianza tra i soggetti

devianza dovuta ai livelli del fattore

Devianza entro le celle

Devianza totale

SQTOTALE

SQTRA SQENTRO

SQSOGGETTI SQRESIDUA

La devianza totale viene suddivisa in una parte di devianza TRA le condizioni (l’effetto del marchio valutato) e una parte di devianza ENTRO le condizioni (non attribuibile al marchio). La devianza ENTRO è suddivisa in una parte dovuta alle differenze individuali tra i soggetti e una parte d’errore (variabilità residua). NOTA: le differenze individuali tra i soggetti non costituiscono variabilità d’errore perché rimangono costanti nelle diverse condizioni.

Lezione XXIX

8

ANOVA a una via entro i soggetti

SQTOTALE

SQTRA SQENTRO

SQSOGGETTI SQRESIDUA

g.l.: n*k - 1

g.l.: k - 1 g.l.: n - k

g.l.: n - 1 g.l.: (n – 1) * (k – 1)

MQ = SQ / g.l.

FEFFETTO = MQTRA / MQ RESIDUA

Vantaggio dei disegni entro i soggetti: riduzione della varianza d’errore (disegno più potente – richiede meno soggetti). Utile se la variabilità interindividuale incide molto sulla V.D.

Lezione XXIX

9

ANOVA a una via entro i soggetti:

esempio

Effetto significativo del tipo di marchio, F(2,158) = 31.703, p <.001, η2 = .427.

I test post hoc (correzione di Bonferroni) rivelano che le valutazioni medie del marchio Porsche si discostano significativa-mente da quelle degli altri due marchi, che invece in media non differiscono significativamente.

Lezione XXIX

Ai partecipanti alla ricerca viene chiesto di valutare i marchi Porsche, Ferrari e Lamborghini prima e dopo aver visto una comunicazione commerciale (spot TV) per il marchio Ferrari. Il disegno: 3 (Marchio: Porsche, Ferrari, Lamborghini) x 2 (Misurazione: Pre, Post) entro i soggetti. Per ogni partecipante, la V.D. viene misurata relativamente a tutte le 6 condizioni sperimentali.

10

ANOVA fattoriale entro i soggetti

Lezione XXIX

11

ANOVA fattoriale entro i soggetti

SQTOTALE

SQTRA SQENTRO

SQERR

MARCHIO

SQSOGGETTI

n*a*b - 1

a - 1

(a – 1) * (n – 1)

n – 1

Il disegno: 3 (Marchio: Porsche, Ferrari, Lamborghini) x 2 (Tempo: Pre, Post) entro i soggetti. Scomposizione della devianza (con i relativi g.l.):

SQMARCHIO SQTEMPO

SQINTERA-

ZIONE SQERR

TEMPO

SQERR

INTERAZIONE

Dove: a = nr. livelli fattore ‘marchio’, b = nr. livelli fattore ‘tempo’, n = nr. soggetti

b - 1

(a – 1) * (b – 1) (b – 1) * (n – 1)

(a – 1) * (b – 1) * (n – 1)

ANOVA fattoriale entro i soggetti

SQTOTALE

SQTRA SQENTRO

SQERR

MARCHIO

SQSOGGETTI SQMARCHIO SQTEMPO

SQINTERA-

ZIONE

SQERR

TEMPO

SQERR

INTERAZIONE

Scomposizione della devianza SQ totale: (𝑥𝑎𝑏𝑛 − 𝑥 )𝑛𝑏𝑎

2

SQ effetto principale A: n(x a − x )𝑏𝑎

2 SQ effetto principale B: n(x b − x )𝑏𝑎

2 SQ interazione A*B: n(x ab − x a− x b+ x )

2𝑏𝑎

SQ entro: (𝑥𝑎𝑏𝑛 − 𝑥𝑎𝑏)𝑛𝑏𝑎

2 SQ soggetti: n(x n − x )𝑏𝑎

2 SQ err A: n(x an − x a)𝑏𝑎

2 – SQ soggetti SQ err B: n(x bn − x b)𝑏𝑎

2 – SQ soggetti

SQ err interazione: SQ entro – SQ soggetti – SQ err A – SQ err B

Lezione XXIX

13

ANOVA fattoriale entro i soggetti

esempio

Esempio fattore tempo: F = MQTEMPO / MQERR. TEMPO =

50.70 / 4.02 = 12.60

Interazione. Può essere approfondita con effetti semplici

Lezione XXIX

14

ANOVA fattoriale entro i soggetti

esempio

L’esposizione al messaggio causa un

cambiamento significativo per tutti e

tre i marchi, ma un incremento per i

marchi Porsche e Ferrari, un decremento

per il marchio Lamborghini.

Lezione XXIX

15

ANOVA fattoriale entro i soggetti

esempio

Secondo una prospettiva diversa:

Prima della visione dello spot la percezione dei

marchi Ferrari e Lamborghini non era significativamente

diversa.

Anche dopo la visione dello spot è così.

Lezione XXIX

Almeno un fattore è tra i soggetti, almeno un fattore è entro i soggetti. Esempio: I soggetti sono esposti a tutti i livelli del fattore entro, solo a un livello del fattore tra.

16

ANOVA fattoriale mista

SQTOTALE

SQTRA SQENTRO

SQFatt Entro SQErr. Entro

n*a*b - 1

a - 1 b – 1

SQFatt Tra SQErr. Fatt.

Tra

SQInterazio

ne

a * (n – 1) (a – 1) * (b – 1)

Dove: a = nr. livelli fattore tra, b = nr. livelli fattore entro, n = numero totale di soggetti.

a * (b – 1) * (n – 1)

Sesso Maschi Femmine

17

ANOVA fattoriale mista – esempio – le statistiche

descrittive

Lezione XXIX

18

ANOVA fattoriale mista – esempio – effetti tra i

soggetti

Lezione XXIX

19

ANOVA fattoriale mista – esempio – effetti entro i

soggetti

Le valutazioni del corso intensivo in sede (2) si differenziano significativamente da quelle degli altri due corsi. Le valutazioni di questi ultimi non si differenziano invece significativamente.

Test post hoc sulle medie marginali relative al fattore ‘corso’:

Lezione XXIX

20

ANOVA fattoriale mista – esempio – riportiamo i

risultati

In media, le donne esprimono valutazioni leggermente inferiori agli uomini relativamente ai corsi di formazione, M = 26.45, SD = 3.94 e M = 27.55, SD = 4.08 rispettivamente per le donne e gli uomini. Questa differenza è statisticamente significativa, F (1,76) = 6.23, p = .02, η2

p = .07.

L’ANOVA evidenzia inoltre un effetto statisticamente significativo del tipo di corso, F (2,156) = 9.12, p < .01, η2

p = .10 con M = 25.40, SD = 5.43 per il corso residenziale,

M = 28.82, SD = 5.22 per il corso in sede intensivo e M = 27.00, SD = 4.02 per il corso in sede diluito. L’effetto dell’interazione non è significativo, F (2,156) =0.81, p = .45. I test post hoc sulle medie marginali relative al fattore ‘corso’ (eseguiti con la correzione di Bonferroni) evidenziano differenze significative tra la valutazione del corso intensivo in sede e le valutazioni di entrambi gli altri corsi, in entrambi i casi p < .03. Evidenziano inoltre che la valutazione media del corso residenziale non si differenzia significativamente dalla valutazione del corso diluito in sede, p = .19

Lezione XXIX

21

ANOVA fattoriale – disegni con 3 fattori

Presenza di tre Variabili Indipendenti (fattori) Possono essere sia tra sia entro i soggetti. Esempio tre fattori tra i soggetti: una multinazionale vuole introdurre un sistema di incentivi per aumentare l’efficacia dei suoi venditori. Prima testa il sistema di incentivi su un piccolo gruppo di venditori, in tre Paesi. Il disegno: - Sistema di incentivazione (2 livelli: incentivo vs. controllo) - Paese (3 livelli: Italia, Francia, Germania) - Sesso (2 livelli: maschi vs. femmine) D.V. Numero nuovi contratti in un mese, dopo l’introduzione nel campione del nuovo sistema d’incentivi. Attraverso l’ANOVA fattoriale possiamo analizzare se l’effetto dell’incentivo sia differente per donne ed uomini, o nei diversi Paesi, o tra i sessi in maniera diversa a seconda del Paese.

Lezione XXIX

22

ANOVA fattoriale – disegni con 3 fattori

Presenza di tre Variabili Indipendenti (fattori) Possono essere sia tra sia entro i soggetti. Esempio due fattori tra, uno entro i soggetti: una multinazionale vuole introdurre un sistema di incentivi per aumentare l’efficacia dei suoi venditori. Prima testa il sistema di incentivi su un piccolo gruppo di venditori, in tre Paesi. Il disegno: - Sistema di incentivazione (2 livelli: incentivo vs. controllo) - Paese (3 livelli: Italia, Francia, Germania) - Momento della misura: prima e dopo l’introduzione incentivo. D.V. Numero nuovi contratti in un mese

Lezione XXIX

23

ANOVA fattoriale – Esempio 3 fattori tra i soggetti

I dati:

N = 240 (n = 20 in ogni condizione)

Lezione XXIX

24

ANOVA fattoriale – Esempio 3 fattori tra i soggetti

Le medie

Incentivo Controllo

Lezione XXIX

25

ANOVA fattoriale – Esempio 3 fattori tra i soggetti

L’ANOVA

Lezione XXIX

26

ANOVA fattoriale – Esempio 3 fattori tra i soggetti

L’ANOVA

Lezione XXIX

Effetto principale dell’incentivo, non qualificato da interazioni significative.

27

ANOVA fattoriale – Esempio 3 fattori tra i soggetti

l’ANOVA

Lezione XXIX

28

ANOVA fattoriale – Esempio 3 fattori tra i soggetti

l’ANOVA

Lezione XXIX

29

Analisi della Covarianza (ANCOVA)

Cos’è: tecnica per controllare statisticamente la variabilità causata da (legata a) fonti esterne al disegno. Domande principali: le stesse dell’ANOVA (ossia differenze tra medie nella V.D. in condizioni diverse): Usi tipici: a) Abbassare la variabilità dell’errore tenendo sotto controllo una fonte di

variabilità [perciò escludendo questa varianza dalla componente d’errore] Esempio: Ci sono differenze nelle competenze di chi ha seguito il corso di formazione A e chi non l’ha seguito, dopo che teniamo sotto controllo le conoscenze pregresse?

b) Controllare statisticamente una fonte di disturbo [uso più problematico dell’ANOVA] Esempio: i partecipanti al corso di formazione A sono mediamente più giovani di quelli del corso B e l’età influisce sulla V.D. Si ‘aggiustano’ le medie della V.D.: come sarebbero se i soggetti dei due gruppi non differissero relativamente alla covariata? Come funziona: Gli effetti (principali e d’interazione) dei fattori sono analizzati dopo che i punteggi della V.D. sono corretti per l’effetto di una o più variabili (covariate).

Lezione XXIX

30

ANCOVA – Esempi

Efficacia delle mnemotecniche Fattore mnemotecniche: 3 livelli (Controllo vs. Mnemotecniche A vs. Mnemotecniche B) V.D.: Prestazione mnestica dopo il corso Covariate: Prestazione mnestica prima del corso La domanda: I corsi di mnemotecniche sono efficaci? Ci sono differenze tra i due corsi? Teniamo sotto controllo le differenze interindividuali di memoria

Lezione XXIX

31

ANCOVA – Esempi - II

Effetti di una pubblicità progresso sul risparmio energetico. Fattore pubblicità: 3 livelli (Controllo vs. Messaggio A vs. Messaggio B) V.D.: indice di consumo energetico Covariate: atteggiamenti ecologici; conoscenze pregresse. La domanda: Tenendo sotto controllo gli atteggiamenti e le conoscenze pregresse nei confronti dell’ecologia e del risparmio energetico, qual è l’effetto del messaggio sul consumo energetico?

Lezione XXIX

32

ANCOVA – La logica

1. La V.D. viene regredita sulla covariata (o sulle covariate). → i punteggi della V.D. vengono ‘corretti’ per rimuovere l’effetto della covariata.

Punteggi ‘corretti’ della V.D. = quelli che la V.D. avrebbe se tutti le osservazioni avessero lo stesso valore nella covariata. 2. Viene eseguita l’analisi della varianza per indagare gli effetti dei fattori sulla nuova variabile ‘corretta’. Indice di

consumo energetico

Atteggiamenti verso ecologia

PRE

Lezione XXIX

33

ANCOVA – Esempio

Qual è l’effetto di Spot sul consumo energetico? Fattore Spot - 2 livelli: Visione spot vs. controllo. V.D. Indice di consumo. Covariata: atteggiamento ecologico. [attenzione: misurare la covariata prima di introdurre la manipolazione, perché non ne sia influenzata]

Senza covariata: t-test per campioni indipendenti

Saremmo arrivati alla stessa conclusione con l’ANOVA ( F = t2)

L’effetto dello Spot

non è significativo

34

ANCOVA – Esempio

Importante legame tra atteggiamenti ecologici e consumi: ANCOVA:

Effetto significativo dello spot, tenendo

sotto controllo l’atteggiamento

(covariata)

35

ANCOVA – Esempio

Le medie marginali attese:

Stima puntuale e intervallo di confidenza per le medie nelle condizioni, se la Covariata assume uno specifico valore

Lezione XXIX

36

ANCOVA – Esempio

L’analisi permette di valutare anche l’effetto della

covariata sul consumo energetico

I test di significatività delle covariate permettono di valutare la loro utilità nell’aggiustamento della V.D. Prospettiva della regressione gerarchica: 1. Le covariate sono inserite al primo passo (tutte assieme)

nell’interpretare valgono le considerazioni relative all’analisi di regressione (il test concerne la varianza unica, nella regressione multipla, spiegata da ciascuna covariata).

2. I fattori e le interazioni tra i fattori sono inseriti al secondo passo.

Lezione XXIX

37

Alcune regole sulle covariate

• Dovrebbero essere poche, non correlate tra loro e correlate con la V.D. • Poche: ogni covariata sottrae un g.l. e questo deve essere almeno

compensato dalla riduzione dell’errore

• Se possibile, vanno misurate prima delle manipolazioni • altrimenti si rischia di rimuovere parte dell’effetto dei fattori sulla

V.D. (quella porzione di effetto che V.D. e covariata hanno in comune)

Lezione XXIX

38

ANCOVA - assunzioni

(oltre alle usuali assunzioni di normalità e omogeneità della varianza dell’ANOVA) • Linearità delle relazioni tra le coppie di covariate (se sono più di una)

• Linearità delle relazioni tra le covariate le la V.D.

• Omoschedasticità – la varianza della V.D. deve essere omogenea a

diversi valori della covariata

• Omogeneità della regressione per le diverse condizioni (i coefficienti di regressione tra covariate e D.V. devono essere gli stessi per tutte le condizioni) • Se si sospetta un’interazione tra fattori e covariate, non è

appropriato fare l’ANCOVA

Lezione XXIX