Analisi della varianza a una via a misure ripetute (Anova con 1 fattore within) modello strutturale dell'analisi della varianza a misure ripetute con 1

Analisi della varianza a una via a misure ripetute (Anova con 1 fattore within)

ikikkiik ε+α+π+μ=y 0

modello strutturale dell'analisi della varianza a misure ripetute con 1 fattore:

trattamentovarianza dovuta ai soggetti I = numero soggetti (I = 4)

K = numero livelli tratt. (K = 3)

popolazione errore

Nel disegno con 1 fattore ripetuto con 2 o più livelli (ossia gli stessi soggetti ripetuti due o più volte), il modello dell’analisi della varianza è diverso rispetto a quello a una via per campioni indipendenti.

Nel modello a una via a misure ripetute, la varianza del punteggio osservato è data non solo dall’effetto della variabile indipendente, ma anche dalle differenze individuali (fattore soggetto) e dall’interazione soggetto trattamento.

La varianza d’errore è data dall’interazione oltre che dall’errore casuale.

interazione sogg.tratt.

L’interazione sogg. tratt. determina se l’effetto della var. indip. è costante, oppure no per tutti i soggetti.

effetto costante peri soggetti nel tempo:

effetto variabile per i soggetti nel tempo:

soggetto 1

soggetto 2

soggetto 2

soggetto 1

soggetto 2

soggetto 2

Esempio:Ricerca di Blanchard e coll. (1978)I ricercatori volevano stabilire se una data tecnica di rilassamento fosse in grado di ridurre il livello di emicrania nelle persone.sono stati selezionati 9 soggetti affetti da emicrania. Per 2 settimane, prima del trattamento (baseline), sono stati misurati (in ore per settimana) le durate delle emicranie. Nelle 3 settimane successive è stata applicata la tecnica di rilassamento.

Soggetti I sett. II sett. III sett. IV sett. V sett. medie

1 21 22 8 6 6 12,6

2 20 19 10 4 4 11,4

3 17 15 5 4 5 9,2

4 25 30 13 12 17 19,4

5 30 27 13 8 6 16,8

6 19 27 8 7 4 13

7 26 16 5 2 5 10,8

8 17 18 8 1 5 9,8

9 26 24 14 8 9 16,2

medie 22,333 22 9,333 5,778 6,778

media globale:13,244

inserimento dati per ANOVA con 1 fattore within:

bisogna creare tante colonne, una per ciascun livello o fase di trattamento.

scelta del tipo di analisi:

analisi da scegliere quando sia devono fare ANOVE e misure ripetute o miste

definizione dei fattori within e scelta delle variabili:

fatt. between

fatt. within

Fattori entro soggetticc

Misura: MEASURE_1

sett_1

sett_2

sett_3

sett_4

sett_5

settimana1

2

3

4

5

Variabiledipendente

Test multivariatib

.986 86.391a 4.000 5.000 .000 .986

.014 86.391a 4.000 5.000 .000 .986

69.113 86.391a 4.000 5.000 .000 .986

69.113 86.391a 4.000 5.000 .000 .986

Traccia di Pillai

Lambda di Wilks

Traccia di Hotel ling

Radice di Roy

Effettosettimana

Valore F Ipotes i df

Gradi dilibertà

dell 'errore Sig.Eta quadrato

parziale

Statistica esattaa.

Disegno: Intercetta Disegno entro soggetti : settimana

b.

num. livelli fatt. within e colonne variabili associate

indici di impatto della variabile indipendente sulla variabile dipendente

Il test della sfericità

Se si calcolano le varianze dei punteggi dei soggetti per ciascun livello del fattore e le covarianze dei punteggi tra i livelli, si ottiene una matrice di varianze e covarianze. Nel nostro caso, la matrice di varianze e covarianze è:

Il test della sfericità valuta la simmetria composta della matrice di varianze-covarianze. Per sfericità composta si intende che le varianze (in rosso nella matrice) e le covarianze (i valori fuori dalla diagonale) siano tra loro omogenee. Se esiste una notevole disparità tra varianze o covarianze, allora l’analisi della varianza deve essere corretta.

I sett. II sett. III sett. IV sett. V sett.

I sett. 21 11,75 9,25 7,833 7,333

II sett. 11,75 28,5 13,75 16,375 13,375

III sett. 9,25 13,75 11,5 8,583 8,208

IV sett. 7,833 16,375 8,583 11,694 10,819

V sett. 7,333 13,375 8,208 10,819 16,945

Test di sfericità di Mauchlyb

Misura: MEASURE_1

.282 8.114 9 .537 .684 1.000 .250Effetto entro soggettisettimana

W di Mauchly

Appross imazione

chi-quadrato df Sig.Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt

Limiteinferiore

Eps ilona

Verifica l 'ipotesi nulla per la quale la matrice di covarianza dell'errore della variabile dipendente tras formata ortonormalizzataè proporzionale a una matrice identità.

È poss ibile utilizzarlo per regolare i gradi di l ibertà per i tes t di s ignificatività mediati. I tes t corretti vengonovisualizzati nella tabella dei tes t sugli effetti entro soggetti.

a.

Disegno: Intercetta Disegno entro soggetti : settimana

b.

Il test della sfericità è un test molto conservativo.,dato che riduce la probabilità della statistica F. Il rischio della violazione dell’assunzione di sfericità potrebbe implicare, se l’effetto della var. indip. è debole, un esito negativo (F risulta non significativo) dell’analisi di varianza.

Se il test di Mauchly non è significativo, allora si può tranquillamente eseguire l’analisi di varianza. Se risulta, invece, significativo, occorre aggiustare i gradi di libertà della statistica F. Le procedure per aggiustare i gdl sono:1.Procedura di Greenhouse e Geisser (più conservatore)2.Procedura di Huyn e Feldt (meno conservatore)il Limite Inferiore fa riferimento alla massimadeviazione dalla sfericità.

Test di Mauchly – H0 : sfericità non violata

Test degli effetti entro soggetti

Misura: MEASURE_1

2449.200 4 612.300 85.042 .000

2449.200 2.738 894.577 85.042 .000

2449.200 4.000 612.300 85.042 .000

2449.200 1.000 2449.200 85.042 .000

230.400 32 7.200

230.400 21.903 10.519

230.400 32.000 7.200

230.400 8.000 28.800

Assumendo la sfericità

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore

Assumendo la sfericità

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore

Sorgentesettimana

Errore(settimana)

Somma deiquadratiTipo III df

Media deiquadrati F Sig.

valori da considerare in caso di violazione della sfericità (test di Mauchly significativo)

tabella dei valori F per il fattore within:

Analisi del trend o dei contrasti (Trend analysis)

Tale analisi serve per stabilire come varia lungo i livelli della var. indip. l’effetto. Tale analisi descrive la forma dell’effetto per i vari livelli del fattore.

(y = x2)

coefficienti:lin. -2,-1,0,1,2quadr. -2,1,2,1,-2cub. -1,1,0,-1,1quart. 1,-2,2,-2,1

le somme dei coeff.danno sempre 0

(y = x)

(y = x3)

Test dei contrasti entro soggetti

Misura: MEASURE_1

2016.400 1 2016.400 190.226 .000 .960

89.175 1 89.175 12.011 .008 .600

256.711 1 256.711 53.918 .000 .871

86.914 1 86.914 14.451 .005 .644

84.800 8 10.600

59.397 8 7.425

38.089 8 4.761

48.114 8 6.014

settimanaLineare

Quadratico

Cubico

Ordine 4

Lineare

Quadratico

Cubico

Ordine 4

Sorgentesettimana

Errore(settimana)



Eta quadratoparziale

finestra di output (grafico):

0

5

10

15

20

25

30

numero settimane

atta

cch

i di e

mic

ran

ia

sett. 1 sett. 2 sett. 3 sett. 4 sett. 5

baseline

grafico corretto:

trattamento

Test degli effetti fra soggetti

Misura: MEASURE_1

Variabile trasformata: Media

7893.689 1 7893.689 129.747 .000 .942

486.711 8 60.839

SorgenteIntercetta

Errore




tabella dei fattori between:

disegno quasi-sperimentale (disegno AB)

Disegni fattoriali

I disegni fattoriali sono quei disegni in cui vengono manipolate o selezionate due o più var. indip. Il vantaggio dei disegni fattoriali consiste soprattutto:1.possibilità di verificare contemporaneamente l’effetto di più variabili e la loro interazione2.economicità in termini di numero di soggetti per verificare le ipotesi

tipi di disegni fattoriali:

1. disegno fattoriale tra i soggetti (disegno con fattori between)

B1 B2

a d

A1 b e

c f

g j

A2 h k

i l

n = 12

B1 B2

a a

A1 b b

c c

a a

A2 b b

c c

n = 3

2. disegno fattoriale entro i soggetti (disegno con fattori within)

3. disegno fattoriale misto (disegno con fattori between e within)

B1 B2

a a

A1 b b

c c

d d

A2 e e

f f

n = 6

Nei disegni fattoriali abbiamo:1.Gli effetti principali. L’effetto principale è l’effetto medie di una variabile in tutti i valori di un’altra variabile.2.L’interazione. Indica l’esistenza di un’interazione tra due variabili. Due variabili interagiscono se l’effetto di una variabile dipende dal livello dell’altra. In altri termini, se l’interazione tra due variabili è significativa, allora l’effetto di una variabile è modulato da quello dell’altra.

Solo con i disegni fattoriali è possibile studiare l’interazione tra le variabili, e solo con l’analisi della varianza è possibile verificare se l’interazione è significativa o no.

L’interazione, quando è significativa, riduce la generalizzabilità dell’effetto principale.

Disegno fattoriale con 2 fattori betweenRicerca di Eysenck (1974). Nella sua ricerca, Eysenck oltre all’effetto dovuto al tipo di elaborazione del materiale verbale, voleva verificare anche l’effetto dell’età sulla capacità di memorizzazione. Perciò nel suo esperimento partecipavano 50 soggetti di età tra i 18 e i 30 anni (giovani) e 50 soggetti di età tra i 55 e i 65 anni (anziani)

soggetti conta rima aggettivo immagine intenzionale Medie II fatt.1 9 7 11 12 102 8 9 13 11 193 6 6 8 16 14

anziani 4 8 6 6 11 555-65 anni 5 10 6 14 9 10

6 4 11 11 23 117 6 6 13 12 148 5 3 13 10 159 7 8 10 19 11

10 7 7 11 11 11Medie 7 6,9 11 13,4 12 10,06

1 8 10 14 20 212 6 7 11 16 193 4 8 18 16 17

giovani 4 6 10 14 15 1518-30 anni 5 7 4 13 18 22

6 6 7 22 16 167 5 10 17 20 228 7 6 16 22 229 9 7 12 14 18

10 7 7 11 19 21Medie 6,5 7,6 14,8 17,6 19,3 13,16

Medie I fatt. 6,75 7,25 12,9 15,5 15,65

inserimento dati:

var. dip. (misura)

primo fattore: metodo di elaborazione (1=conta; 2=rima;3=aggettivo; 4=immagine; 5=intenzionale)

secondo fattore: età dei soggetti (1=55-65 anni); 2= 18-30 anni)

tipo di analisi:

scelta della var. dip. e dei fattori between:

grafico:

Fattori tra soggetti

20

20

20

20

20

50

50

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1=conta;2=rima;3=aggettivo;4=immagine;5=intenzionale

1.00

2.00

1=55-65 anni;2=18-30 anni

N


Variabile dipendente: parole ricordate (0 - 27)

1945.490a 9 216.166 26.935 .000 .729

13479.210 1 13479.210 1679.536 .000 .949

1514.940 4 378.735 47.191 .000 .677

240.250 1 240.250 29.936 .000 .250

190.300 4 47.575 5.928 .000 .209

722.300 90 8.026

16147.000 100

2667.790 99

SorgenteModello corretto

Intercetta

metodo

eta

metodo * eta

Errore

Totale

Totale corretto




R quadrato = .729 (R quadrato corretto = .702)a.

livelli dei fattori e numero di soggetti per livello:

tabella delle statistiche F degli effetti principali (metodo ed età) e dell’interazione:

effetti principali

interazione

sia gli effetti principali che l’interazione sono significativi

grafico:

5

10

15

20

tipo di elaborazione

me

die

de

lle r

isp

ost

e c

orr

ette

cont rima agg imm int

anzianigiovani Combinando i risultati dell’analisi di varianza

con la rappresentazione grafica delle medie per i diversi livelli del primo fattore in relazione ai diversi gruppi, possiamo dire che il metodo di elaborazione influisce sulla capacità di memoria, tuttavia anche l’età influisce, dato che, soprattutto per l’elaborazione più profonda sono i giovani, rispetto agli anziani, a trarne maggior beneficio.

interpretazione dei dati (disegno fattoriale tra i soggetti):

effetti e interazione F p

metodo 47,19 <.001età 29,94 <.001tipo x età 5,93 <.001

metodo

Disegno misto (1 fattore between e 1 fattore within)

Un ricercatore vuole verificare l’efficacia di tre metodi per smettere di fumare:1.Il primo metodo consiste in una graduale diminuzione del numero di sigarette fumate2.Il secondo metodo consiste nell’immediata diminuzione del numero di sigarette3.Il terzo metodo consiste nel seguire una terapia antifumo

Il ricercatore divide un campione di 15 soggetti in 3 gruppi, uno per ciascun metodo, e poi chiede loro di valutare su una scala da 0 a 10 il desiderio di fumare propria ora sia quando stanno a casa, sia quando sono a lavoro.

Il disegno è un disegno misto, perche abbiamo il tipo di metodo che implica soggetti diversi per ciascun livello (fattore metodo fattore between) e il luogo in cui i soggetti devono dichiarare il loro desiderio di fumare (fattore luogo fattore within).

Casa Lavoro Medie I fatt.

Metodo 1 6 4

5 2

7 4

6 5

5 3 4,7

Metodo 2 7 6

5 4

6 5

6 5

5 4 5,3

Metodo 3 5 4

3 2

5 3

5 0

6 3 3,6

Medie II fatt. 5,47 3,6

Dati della ricerca:

inserimento dati: primo livello within

secondo livello within

fattore between

per ogni livello del fattore within va creata un’apposita colonna di dati.

I livelli del fattore between sono ripartiti per righe. La colonna del fattore between indica le righe che appartengono ad un dato livello del fattore between.

I livello

II livello

III livello

scelta del tipo di analisi:

definizione dei livelli del fattore within:

scelta delle variabili (var. dip., fattore within e fattore between):

forma grafico:

Test multivariatib

.789 44.800a 1.000 12.000 .000 .789

.211 44.800a 1.000 12.000 .000 .789

3.733 44.800a 1.000 12.000 .000 .789

3.733 44.800a 1.000 12.000 .000 .789

.291 2.457a 2.000 12.000 .128 .291

.709 2.457a 2.000 12.000 .128 .291

.410 2.457a 2.000 12.000 .128 .291

.410 2.457a 2.000 12.000 .128 .291

Traccia di Pillai

Lambda di Wilks

Traccia di Hotelling

Radice di Roy

Traccia di Pillai

Lambda di Wilks

Traccia di Hotelling

Radice di Roy

Effettoluogo

luogo * metodo

Valore F Ipotes i df

Gradi dilibertà

dell 'errore Sig.Eta quadrato

parziale

Statistica esattaa.

Disegno: Intercetta+metodo Disegno entro soggetti: luogo

b.

Fattori tra soggetti

5

5

5

1.00

2.00

3.00

metodoN

numero livelli del fattore within e numerosità soggetti per livello

effetto dei fattori within e dell’interazione sulla var. dip.

output dell’analisi:

Test di sfericità di Mauchlyb

Misura: MEASURE_1

1.000 .000 0 . 1.000 1.000 1.000Effetto entro soggettiluogo

W di Mauchly

Appross imazione

chi-quadrato df Sig.Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt

Limiteinferiore

Epsilona

Verifica l 'ipotesi nulla per la quale la matrice di covarianza dell'errore della variabile dipendente trasformata ortonormalizzataè proporzionale a una matrice identità.

È poss ibile utilizzarlo per regolare i gradi di l ibertà per i tes t di s ignificatività mediati. I tes t corretti vengonovisualizzati nella tabella dei test sugli effetti entro soggetti.

a.

Disegno: Intercetta+metodo Disegno entro soggetti: luogo

b.

Test degli effetti entro soggetti

Misura: MEASURE_1

26.133 1 26.133 44.800 .000 .789

26.133 1.000 26.133 44.800 .000 .789

26.133 1.000 26.133 44.800 .000 .789

26.133 1.000 26.133 44.800 .000 .789

2.867 2 1.433 2.457 .128 .291

2.867 2.000 1.433 2.457 .128 .291

2.867 2.000 1.433 2.457 .128 .291

2.867 2.000 1.433 2.457 .128 .291

7.000 12 .583

7.000 12.000 .583

7.000 12.000 .583

7.000 12.000 .583

Assumendo la s fericità

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore


Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore


Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Limite inferiore

Sorgenteluogo

luogo * metodo

Errore(luogo)




il test di Mauchly è inutile in quanto il fattore within ha solo 2 livelli

tabella degli F per il fattore within e per l’interazione:

l’effetto principale luogo è significativo

l’interazione non è significativa

Test dei contrasti entro soggetti

Misura: MEASURE_1

26.133 1 26.133 44.800 .000 .789

2.867 2 1.433 2.457 .128 .291

7.000 12 .583

luogoLineare

Lineare

Lineare

Sorgenteluogo

luogo * metodo

Errore(luogo)





Misura: MEASURE_1

Variabile tras formata: Media

616.533 1 616.533 359.146 .000 .968

14.867 2 7.433 4.330 .038 .419

20.600 12 1.717

SorgenteIntercetta

metodo

Errore




analisi del trend:

tabella degli F per il fattore between:

l’effetto principale è significativo

grafico:

0

2

4

6

8

metodo antifumo

de

sid

eri

o d

i fu

ma

re

met. 1 met. 2 met. 3

casalavoro

interpretazione dei dati:l’effetto principale metodo è significativo, nel senso che, tra i vari metodi, il metodo 3 (terapia antifumo) è quello più efficace nel ridurre il bisogno di fumare

L’effetto principale luogo è significativo, nel senso che nel luogo di lavoro i soggetti sentono meno l’esigenza di fumare

L’interazione non è significativa, quindi c’è indipendenza tra gli effetti delle due var. indip.

tabella riassuntiva degli effetti principali e dell’interazione (disegno fattoriale misto):

effetti e interazione F p

fattori betweenmetodo 4,33 <.05

fattori within e interazioniluogo 44,80 <.001luogo x metodo 2,46 .128

Alcune cose da tenere a mente sull’analisi di varianza:

1.solo l’analisi di varianza permette il test dell’interazione2. evitare disegni troppo “complessi”, ad es. AB C D. Se l’interazione per 4 fattori è significativa, occorre spiegarla.3. per interpretare i dati correttamente, è necessario anche osservare l’andamento delle medie (grafico delle medie)4. attenzione ai fattori entro (within) o tra (between) i soggetti. Occorre applicare il modello corretto di varianza a seconda del tipo di fattore.

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