AN 8 Intégration des fonctions continues sur un segment · 1 ¯ kgn ¡gk1 ˘ j‚jkfn ¡ f k1 ¯ kgn ¡gk1 2. Intégrale des fonctions en escalier sur un segment 2.1. Rappels et

AN 8 Intégration des fonctions continues sur un segment

Dans ce chapitre, nous allons construire l’intégrale d’une fonction continue sur unsegment. Les théorèmes et méthodes de calculs exposés dans le cours de Calculusde début d’année seront ainsi rappelés et justifiés.

ak

f (ak )

ak+1

8 Intégration des fonctions continues sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Norme infinie et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Intégrale des fonctions en escalier sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Rappels et compléments sur les fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Construction de l’intégrale sur Esc([a,b],R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Intégrale des fonctions continues sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1 Construction de l’intégrale sur C 0 ([a,b],R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Intégrales fonctions de leurs bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Intégration par parties et changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3 Le cas des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8 Annexe : compléments hors programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.1 Théorème d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.2 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Solutions des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

PCSI 2 \ 2019-2020 Laurent Kaczmarek

L ES origines du calcul intégral remontent à l’antiquité, où de nombreux savants ont recherchéà calculer des aires et des volumes (cf. Archimède et les valeurs approchées de π). Newton,Leibniz et Johann Bernoulli découvrirent simultanément le lien entre le calcul intégral et le

calcul différentiel (c’est l’objet de l’important théorème fondamental du calcul intégral) : les primi-tives d’une fonction f continue permettent de calculer les intégrales de f . Tout se résume donc àinverser les tables usuelles de dérivation. Le signe somme

∫est une invention de Leibniz (1686) et le

terme intégrale est dû à Johann Bernoulli (1690).

Les techniques usuelles de calcul intégral (intégration par parties, changement de variable) furentrapidement forgées et largement exploitées par les successeurs de Leibniz comme Euler ou Lagrange.Cependant, de nombreuses intégrales résistèrent à l’ingéniosité des mathématiciens, parmi lesqelles∫

e−x2dx,

∫ex

xdx,

∫dx√

(1−x2)(1−k2x2)

Liouville prouva en 1835 que ces intégrales ne peuvent être calculées à l’aide des fonctions usuelles,plus précisément, elle ne peuvent être exprimées par la composition d’un nombre fini de fonctionsusuelles 1. De nouvelles méthodes sont alors apparues telles que l’utilisation des développementsen série, les méthodes d’intégration approchée ou encore l’utilisation des développements asympto-tiques. Cauchy publie une construction de l’intégrale en 1823 dans son Résumé des leçons donnéesà l’Ecole Polytechnique sur le calcul infinitésimal. Il s’agit là de la première définition rigoureuse del’intégrale. Toutefois, Cauchy utilise implicitement qu’une fonction continue sur un segment [a,b] yest uniformément continue.

Riemann

Il faudra attendre Heine pour expliciter la notion d’uniformecontinuité et apporter une preuve du résultat précédent, vers1870.

Bernhard Riemann, dans un mémoire sur les séries trigonomé-triques, définit en 1854 l’intégrale pour des fonctions plus géné-rales que celles alors étudiées. Cette nouvelle notion d’intégralefut améliorée par Darboux et Du Bois-Reymond.

On doit à Henri Lebesgue en 1902 et à Kurzweil en 1957 des théo-ries de l’intégration plus générales et plus performantes : un dé-faut majeur de l’intégrale de Riemann est sa pénible généralisa-tion à des fonctions de plusieurs variables. L’intégrale de Lebesgueallège considérablement la tâche et, de plus, simplifie grandementles théorèmes d’intervertion des symboles Σ et

∫.

D’une manière générale, une théorie de l’intégration est construite sur le principe suivant :

Un ensemble E de fonctions élémentaires que l’on sait intéger algébriquement

Un procédé d’approximation des fonctions de E par celles de E

Définition de l’intégrale sur E par un passage à la limite

1. ie les fonctions polynomiales, les exponentielles, les logarithmes, les fonctions trigonométriques directes et réciproques.

LLG \ PCSI 2 AN 8 \ 2


Soient a É b et f : [a,b] →R une fonction conti-nue. D’un point de vue heuristique, l’intégrale∫ b

af (t )dt

est l’aire algébrique de la surface délimité par legraphe de f et l’axe des abscisses sur le segment[a,b].

La construction choisie dans ce cours est cellede Cauchy, elle repose sur l’approximation uni-forme sur un segment d’une fonction continuepar morceaux par des fonctions en escalier.

a

b

− −+

1. Norme infinie et convergence uniforme

Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle deR.

Définition 8.1. Norme infinie sur B(I,R)

On note B(I,R) l’ensemble des fonctions f : I →R bornées.

. Pour f ∈B(I,R), on pose ‖ f ‖∞ = supt∈I

∣∣ f (t )∣∣.

. Le réel ‖ f ‖∞ est appelé « norme infinie de f » et l’application f 7→ ‖ f ‖∞ « norme infinie ».

Nous rappelons deux propriétés déjà démontrées dans AN 4 pour des fonctions continues sur unsegment mais la démonstration s’adapte sans peine à ce cadre plus général.

Proposition 8.2. (Propriétés de la norme infinie).

Pour toutes fonctions bornées f et g de I dansK et tout λ ∈R,a) ‖λ f ‖∞ = |λ|‖ f ‖∞ ; b) ‖ f + g‖∞ É ‖ f ‖∞+‖g‖∞.

Les propriétés a) et b) sont respectivement appelées homogénéité et inégalité triangulaire.

Définition 8.3. Convergence uniforme

Soient ( fn) une suite de fonctions définies et bornées sur un intervalle I à valeurs dansR et f : I →R.

. On dit que ( fn) converge uniformément vers f sur I si ‖ fn − f ‖∞ −−−−−→n→+∞ 0.

. On note alors fncvu−−−−−→

n→+∞ f et on dit que f est la limite uniforme de la suite de fonctions ( fn)nÊ0.

L’interprétation géométrique de la convergence uniforme de ( fn)nÊ0 vers f est claire : pour tout ε> 0,il existe un rang n0 au-delà duquel le graphe de fn est contenu dans le tube centré en f et de rayon ε :

‖ fn − f ‖ É ε équivaut à ∀t ∈ I, f (t )−εÉ fn(t ) É f (t )+εLes figures ci-dessus illustrent la convergence uniforme d’une suite de fonctions trigonométriques fn

vers une fonction f :



Proposition 8.4. (Linéarité de la limite uniforme).

Si fncvu−−−−−→

n→+∞ f et gncvu−−−−−→

n→+∞ g sur I, alors pour tout λ ∈R, λ fn + gncvu−−−−−→

n→+∞ λ f + g sur I.

Preuve. C’est une conséquence de l’inégalité triangulaire, de la propriété d’homogénéité et du théo-rème d’encadrement :

‖λ fn + gn −λ f − g‖∞ É ∥∥λ( fn − f )∥∥∞ + ‖gn − g‖∞ = |λ|‖ fn − f ‖∞ + ‖gn − g‖∞

2. Intégrale des fonctions en escalier sur un segment

2.1. Rappels et compléments sur les fonctions en escalier

Une fonction en escalier est une fonction constante par paliers.

Définition 8.5. Subdivision d’un segment

Soit [a,b] un vrai segment deR.

. On appelle subdivision de [a,b] la donnée d’un entier n ∈N∗ et d’une (n +1)-liste σ = (a0, . . . , an)d’éléments de [a,b] tels que

a = a0 < a1 < a2 < ·· · < ak < ak+1 < ·· · < an = b

. Une subdivision σ= (a0, . . . , an) est dite régulière si ∀k ∈ �0,n −1�, ak+1 −ak = b−an · Cette constante

est appelée pas de la subdivision.

. Soitσ etσ′ deux subdivisions de [a,b]. On dit queσ′ est plus fine queσ si tous les points deσfigurentdans σ′.

. Soit σ une subdivision de [a,b] et c ∈ [a,b]. On note σ∪ {c} la subdivision de [a,b] obtenue en« ajoutant » le point c à σ.

. Soitσ etσ′ deux subdivisions de [a,b]. On noteσ∪σ′ la subdivision de [a,b] obtenue en « ajoutant »tous les points de σ′ à σ.

Définition 8.6. Fonctions en escalier sur un segment

Soient a et b deux réels tels que a < b.

. Une fonction f : [a,b] →R est dite en escalier s’il existe une subdi-vision σ= (a0, . . . , an) de [a,b] telle que

∀i ∈ �0,n −1�, f | ]ai ,ai+1[ est constante

. Une telle subdivision est dite adaptée à la fonction en escalier f . a0 a1 a2 a3



On remarque qu’il n’ y a aucune condition aux points ai de la subdivision : la fonction peut y ad-mettre des discontinuités à gauche ou à droite. En ajoutant des points à une subdivision adaptée àune fonction en escalier f , on obtient une nouvelle subdivision adaptée à f .

Lemme 8.7. (Subdivision plus fine qu’une subdivision adaptée).Soit f une fonction en escalier sur [a,b]. Toute subdivision plus fine qu’une subdivision adaptée àf est adaptée à f .

Preuve. Soit σ= (a0, . . . , an) adaptée à f et c ∈ [a,b]. Montrons que σ′ :=σ∪ {c} est adaptée à f .

. Cas 1 : c ∈ { a0 , . . . , an }. Alors σ∪ {c} =σ.

. Cas 2 : c 6∈ { a0 , . . . , an }. Il existe i0 ∈ �0,n−1�, c ∈ ]ai0 , ai0+1[. Comme f est constante sur ]ai0 , ai0+1[,elle l’est également sur ]ai0 ,c[ et ]c, ai0+1[. Ainsi σ′ est adaptée à f .

Par une récurrence facile sur le nombre de point en plus d’une subdivision σ′ adaptée à f plus fineque σ, on en déduit que σ′ est adaptée à f .

L’ensemble des fonctions en escalier est clairement stable par combinaisons linéaires.

Proposition 8.8. (Structure de l’ensemble des fonctions en escalier).

Soit (a,b) ∈R2 tel que a < b. L’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] à valeurs dansR est unsev duR-evR[a,b]. On le note Esc([a,b],R).

Preuve. L’application nulle est clairement en escalier sur [a,b]. Soit ( f , g ) ∈ Esc([a,b],R)2 et λ ∈R. Siσ et σ′ sont adaptée à f et g , alors σ∪σ′ est adaptée à f et à g par le 8.7. En notantσ∪σ′ = (a0, . . . , an),on a donc que f +λg est constante sur ]ai , ai+1[ pour tout i ∈ �0,n −1� : ainsi f +λg ∈ Esc([a,b],R).

Tests

8.1. Le sev Esc([a,b],K) est-il une sous-algèbre deR[a,b] ?

2.2. Construction de l’intégrale sur Esc([a,b],R)

L’intérêt de ce type de fonctions est d’avoir une intégrale facile à définir sans recourir au moindrepassage à la limite.

v0

v1

v2

a0 = 0 a1 a2 a3 = 1

Considérons la fonction f en escalier sur [0,1] de la figure ci-contre.Pour la subdivision (a0, a1, a2, a3) indiquée, on va poser∫

[0,1]f := (a1 −a0)v0︸︷︷︸

Aire du premier rectangle, etc.

+(a2 −a1)v1 + (a3 −a2)v2

L’intégrale est une somme finie et ses propiétés relèvent de l’algèbre.

Définition 8.9. Intégrale d’une fonction en escalier

Soient a et b deux réels tels que a < b, f ∈ Esc([a,b],R) et σ = (a0, . . . , an) une subdivision adaptée àf . On pose



∫ b

af =

n−1∑k=0

(ak+1 −ak )vk

où vk est la valeur de f sur ]ak , ak−1[.

Preuve. Cette définition nécessite une preuve : il s’agit de démontrer que∫ b

a f ne dépend que def , pas de la subdivision adaptée à f choisie pour le calcul. On procède comme au 8.7. de la page 5.Notons Iσ la somme de cette définition.

. Soit c ∈ [a,b] et σ′ :=σ∪ {c}.

† Cas 1 : c ∈ { a0 , . . . , an }. Alors σ′ =σ.

† Cas 2 : c ∈ { a0 , . . . , an }. Il existe i0 ∈ �0,n −1�, c ∈ ]ai0 , ai0+1[. Ainsi

Iσ =n−1∑k=0

(ak+1 −ak )vk = (ai0+1 −ai0 )vi0 +∑

k∈�0,n−1�\{i0}(ak+1 −ak )vk

= (ai0+1 − c)vi0 + (c −ai0 )vi0︸︷︷︸vi0 =valeur de f sur ]ai0 ,c[ et ]c, ai0+1[

+ ∑k∈�0,n−1�\{i0}

(ak+1 −ak )vk = Iσ′

. On en déduit par une récurrence facile sur le nombre de point de σ que pour toute subdivision σ

de [a,b], on a Iσ = Iσ∪σ.

. Soit σ une autre subdivision adaptée à f . On a Iσ = Iσ car ces deux expressions sont égales à Iσ∪σpar le point précédent.

En particulier, pour toute fonction constante égale à C sur [a,b], on a∫ b

a f = C(b −a).

Proposition 8.10. (Propriétés algébriques).

Soit ( f , g ) ∈ Esc([a,b],K)2 et λ ∈K.

. Linéarité de l’intégrale :∫

[a,b]

(f +λg

) =∫

[a,b]f +λ

∫[a,b]

g .

. Relation de Chasles : pour tout c ∈ [a,b],∫

[a,b]f =

∫[a,c]

f +∫

[c,b]f .

Preuve. En reprenant la preuve du 8.8. (cf. la page 5), il existe σ = (a0, . . . , an) subdivision adaptéeà f et g donc aussi à f +λg . Notons fi et gi les valeurs de f et g sur les paliers ]ai , ai+1[ pour touti ∈ �0,n −1�.

. On a∫ b

a f +λg = ∑n−1i=0 (ai+1−ai )( fi +λgi ) = ∑n−1

i=0 (ai+1−ai ) fi +λ∑n−1i=0 (ai+1−ai )gi =

∫ ba f +λ∫ b

a g .

. On peut supposer que a < c < b (si c = a ou c = b, la relation de Chasles est triviale). Les fonctionsf |[a,c] et f |[c,b] sont clairement en escalier comme toute restriction de f à tout sous-intervalle de[a,b]. Quitte à considérer σ∪ {c}, on peut supposer que ∃i0 ∈ �1,n −1�, c = ai0 . On a alors∫ b

af =

n−1∑i=0

(ai+1 −ai ) fi =i0−1∑i=0

(ai+1 −ai ) fi +n−1∑i=i0

(ai+1 −ai ) fi =∫ c

af +

∫ b

cf

car (a0, . . . , ai0 ) et (ai0 , . . . , an) sont adaptées à f |[a,c] et f |[c,b].



Dans le cadre des fonctions en escalier, la positivité de l’intégrale est immédiate (cf. la définition 8.9.à la page 5).

Proposition 8.11. (Intégrale et relation d’ordre).

Soit ( f , g ) ∈ Esc([a,b],R)2.a) Si f Ê 0 , alors

∫ ba f Ê 0 ; b) Si f É g , alors

∫ ba f É ∫ b

a g ;

c) On a∣∣∣∫ b

a f∣∣∣ É ∫ b

a | f | ; d) On a∣∣∣∫ b

a f∣∣∣ É (b −a)‖ f ‖∞.

Preuve.

a) Supposons f positive. La positivité de∫ b

a f est immédiate (cf. la définition 8.9. à la page 5).

b) Supposons f Ê g . On a f − g Ê 0 d’où∫ b

a ( f − g ) Ê 0 par le a). On conclut en remarquant que∫ ba ( f − g ) = ∫ b

a f −∫ ba g par linéarité de l’intégrale.

c) On remarque que −| f | É f É | f |. D’où −∫ ba | f | É ∫ b

a f É ∫ ba | f | par le b) et linéarité de l’intégrale.

Ainsi∣∣∣∫ b

a f∣∣∣ É ∫ b

a | f |.

d) Par les deux propriétés précédentes∣∣∣∫ b

a f∣∣∣ É ∫ b

a | f | É ∫ ba ‖ f ‖∞ = (b −a)‖ f ‖∞ car | f | É ‖ f ‖∞.

3. Intégrale des fonctions continues sur un segment

L’idée est de prolonger l’intégrale de Esc([a,b],R) à C 0 ([a,b),R) en exploitant l’approximation uni-forme des fonctions continues par des éléments de Esc([a,b],R) pour la norme infinie.

3.1. Construction de l’intégrale sur C 0 ([a,b],R)

On rappelle le résultat d’approximation fondamental :

Proposition 8.12. (Approximation uniforme par des fonctions en escalier).

Soit f ∈C 0([a,b],R). Il existe ( fn)nÊ0 ∈ Esc([a,b],R)N telle que fncvu−−−−−→

n→+∞ f .

Preuve. Cette démonstration est hors programme. Nous donnerons ici une preuve dans le particulieroù f est de classe C 1.

. Comme | f ′| est continue sur le segment [a,b], elle y est bornée par une constante C > 0 le théorèmede Weieirstrass. On déduit de l’inégalité des accroissements finis que f est C-lipschitzienne sur[a,b].

. Soit n ∈ N∗. Notons (a0, . . . , an) la subdivision régulière de [a,b] à n + 1 points et fn la fonctiondéfinie par

fn(b) = f (b) et ∀i ∈ �0,n −1� , ∀x ∈ [ai , ai+1[ , fn(x) = f (ai+1)

. On a ( fn)n∈N ∈ E ([a,b],K)N. Fixons n ∈N et x dans [a,b[. Il existe i ∈ �0,n−1� tel que x ∈ [ai , ai+1[.On a ∣∣ f (x)− fn(x)

∣∣ = ∣∣ f (x)− f (ai+1)∣∣ É C |x −ai+1| É (b −a)C

n

comme f (b)− fn(b) = 0, on a ‖ f − fn‖∞ É (b−a)Cn d’où ‖ f − fn‖∞ −−−−−→

n→+∞ 0, ie fncvu−−−−−→

n→+∞ f .



Dans le cas où f est continue, on montre aussi que fncvu−−−−−→

n→+∞ f mais la preuve est plus délicate, le

lecteur est renvoyé à l’annexe pour une démonstration sous la seule hypothèse de continuité.

Voici qui illustre cette démonstration :

Définition 8.13. Définition de l’intégrale

Soient f : [a,b] →R continue et ( fn)nÊ0 ∈ Esc([a,b],R)N telle que fncvu−−−−−→

n→+∞ f .

. La suite(∫ b

a fn

)nÊ0

converge et sa limite est indépendante de ( fn)nÊ0.

. On pose∫ b

a f = lim∫ b

a fn .

. Pour f : I →R continue et tout (a,b) ∈ I2, on pose∫ b

a f :=

∫ b

a f si a < b

0 si a = b

−∫ ab f si b < a

Nous justifierons cette démonstration (qui est hors programme) dans l’annexe finale de ce cours.

Notation 8.14. (les différentes notations de l’intégrale)

On peut noter ∫ b

af ,

∫ b

af (t )dt , ou encore

∫[a,b]

f

La troisième notation est réservée au cas où a É b. Dans la deuxième notation, t est la variable d’in-tégration (c’est une variable muette, utilisée nulle part ailleurs) : cette notation est indispensable dansle cas où des paramètres apparaissent dans l’expression f afin de les distinguer de la variable d’inté-gration. La fonction intégrée f est appelée l’intégrande. Cette deuxième notation fait apparaître uneforme différentielle (ω := f (t )dt ) : c’est une notation qui vient d’une théorie plus générale de l’intégra-tion (l’intégration des formes différentielles).

3.2. Propriétés de l’intégrale

Les propriétés de l’intégrale sur Esc([a,b],R) s’étendent à C 0([a,b],R) par passage à la limite.

Proposition 8.15. (Propriétés algébriques).

Soient λ ∈R, f , g continues sur I et à valeurs dansK. Pour tout (a,b) ∈ I2 :

. Linéarité de l’intégrale :∫ b

a

(f +λg

) = ∫ ba f + λ

∫ ba g .

. Relation de Chasles : pour tout c ∈ I,∫ b

a f = ∫ ca f + ∫ b

c f .



Preuve. Le cas b = a est trivial. Quitte à permuter a et b en utilisant 8.13., on peut supposer que

a < b. Il existe des suites ( fn)n∈N ∈ Esc([a,b],R)N et (gn)n∈N ∈ Esc([a,b],R)N telles que fncvu−−−−−→

n→+∞ f

et gncvu−−−−−→

n→+∞ g sur [a,b].

. Comme fn +λgncvu−−−−−→

n→+∞ f +λg sur [a,b] (cf. 8.4. à la page 4), on a∫ b

a ( fn +λgn) −−−−−→n→+∞

∫ ba ( f +λg )

par définition de l’intégrale. Mais on a aussi par linéarité de l’intégrale sur Esc([a,b],K)N :∫ b

a( fn +λgn) =

∫ b

afn +λ

∫ b

agn −−−−−→

n→+∞

∫ b

af +λ

∫ b

ag

d’où∫ b

a ( f +λg ) = ∫ ba f +λ∫ b

a g , par unicité de la limite.

. Comme ‖( fn − f ) |[a,c]‖∞ É ‖ f − fn‖∞, on a fn |[a,c]cvu−−−−−→

n→+∞ f |[a,c] et(

fn |[a,c])

nÊ0 ∈ Esc([a,c],K)N. De

même sur [c,b]. On en déduit que∫ b

afn −−−−−→

n→+∞

∫ b

af et

∫ b

afn =

∫ c

afn +

∫ b

cfn −−−−−→

n→+∞

∫ c

af +

∫ b

cf

par la relation de Chasles (fonctions en escalier). Ainsi∫ b

a f = ∫ ca f +∫ b

c f (unicité de la limite).

Proposition 8.16. (Positivité de l’intégrale et conséquences).

Soient a < b, f et g continues sur [a,b] et à valeurs dansR.

a) Positivité de l’intégrale : si f Ê 0, alors∫

[a,b]f Ê 0.

b) Croissance : si f Ê g , alors∫

[a,b]f Ê

∫[a,b]

g .

c) Précision du a) : si f Ê 0 et ∃t0 ∈ [a,b] tel que f (t0) > 0, alors∫

[a,b]f > 0.

d) Précision du b) : si f Ê g et s’il existe t0 ∈ [a,b] tel que f (t0) > g (t0),∫

[a,b]f >

∫[a,b]

g .

e) Si f : [a,b] →R est positive, alors∫

[a,b]f = 0 ⇐⇒ f = 0.

f) Inégalité triangulaire :

∣∣∣∣∫[a,b]

f

∣∣∣∣ É ∫[a,b]

| f |.



Preuve.

a) Supposons f Ê 0. En choisissant la suite ( fn)nÊ0 définie dans la démonstration de 8.12. à la page 7,

on a fnœ,cvu−−−−−→

n→+∞ f et fn Ê 0 pour tout n ∈N. Par positivité de l’intégrale des fonctions en escalier, on

a ∀n ∈N,∫ b

a fn Ê 0(?). Comme∫ b

a fn −−−−−→n→+∞

∫ ba f , on a

∫ ba f Ê 0 par passage à la limite dans (?).

b) On procède exactement comme au 8.11. à la page 7.

c) Supposons que t0 ∈ ]a,b[ et f (t0) > 0. Par continuité de f en t0, ∃α > 0 tel que f |[t0−α,t0+α]Ê f (t0)2 ·

Ainsi :∫ b

af =

∫ t0−α

af︸︷︷︸

Ê0 par le a)

+∫ t0+α

t0−αf + f

∫ b

t0+αf︸︷︷︸

Ê0 par le a)

Ê∫ t0+α

t0−αf Ê

∫ t0+α

t0−αf (t0)

2︸︷︷︸par le b) puisque f |[t0−α,t0+α]Ê f (t0)

2

= f (t0)α > 0

d) On reprend la même démarche qu’au c) en utilisant le b).

e) L’intégrale sur [a,b] de la fonction nulle est nulle par La contraposée de la réciproque est vraie parle c).

f) On procède exactement comme au 8.11. à la page 7.

Proposition 8.17. (Inégalité de la moyenne).

Soient a,b,m,M des nombres réels tels que a < b et f ∈C 0 ([a,b],K).

a) Si m É f É M, alors (b −a)m É∫ b

af É (b −a)M;

b)

∣∣∣∣∫ b

af

∣∣∣∣ É (b −a)‖ f ‖∞.

Preuve.

. C’est une simple application de la croissance de l’intégrale.

. C’est une application du a) car ‖ f ‖∞ É f É ‖ f ‖∞.

Ces résultats sont des versions intégrales de l’inégalité des accroissements finis.

Exemple 8.18. Pour f : [0,1] →R continue, on a∫ 1

0t n f (t )dt −−−−−→

n→+∞ 0

Proposition 8.19. (Inégalité de Cauchy-Schwarz).

Soient a < b, f et g continues sur [a,b] et à valeurs dansR.

a) Inégalité de Cauchy-Schwarz :

∣∣∣∣∫[a,b]

f g

∣∣∣∣ É√∫

[a,b]f 2

√∫[a,b]

g 2.

b) L’inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité si et seulement si ( f , g ) est liée.

Preuve. Posons ∀λ ∈R, P(λ) := ∫ ba ( f +λg )2.



. La fonction P est positive surR par positivité de l’intégrale et, par linéarité de l’intégrale :

∀λ ∈R , P(λ) = Aλ2 +2Bλ+C , où A :=∫ b

ag 2 , B :=

∫ b

af g et C :=

∫ b

af 2

† Cas 1 : A = 0. Comme P est positive sur R, on a nécessairement B = 0. L’inégalité de Cauchy-Schwarz est donc vraie (c’est même une égalité).

† Cas 2 : A 6= 0. Comme P est un trinôme du second degré à valeurs positive surR, son discriminant

∆ est nécessairement négatif d’où B2 −AC É 0. Ainsi(∫ b

a f g)2 É ∫ b

a f 2∫ b

a g 2.

. D’après ce qui précède, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité si et seulement si A = 0 ou∆= 0, ce qui équivaut à l’existence de λ0 ∈R tel que

∫ ba ( f +λg )2 = 0 ou

∫ ba g 2 = 0. On déduit du e) de

la proposition 8.16. (cf. page 9), que ceci équivaut à g = 0 ou ∃λ0 ∈R, f +λ0g = 0, ie ( f , g ) est liée.

Cette démonstration sera généralisée au cadre des produits scalaires dans le cours ALG 12.

Exemple 8.20. Pour f : [0,1] →R continue, on a(∫

[0,1]f

)2

É∫

[0,1]f 2.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :(∫

[0,1] f)2 É

(∫ 10 12dt

)(∫[0,1] f 2

) = ∫[0,1] f 2.

Tests

8.2. Soit f , g : [0,1] →R+ continues telles que f g Ê 1. Montrer que∫ 1

0f (t )dt

∫ 1

0g (t )dt Ê 1.

8.3. Soit f ∈C 1 ([0,1],R) telle que f (0) = 0. Montrer que ∀x ∈ [0,1],∣∣ f (x)

∣∣É√∫ 1

0

(f ′(t )

)2 dt .

3.3. Sommes de Riemann

Les sommes de Riemann sont les sommes d’aires de rectangles que nous avons utilisées pour définirl’intégrale d’une fonction continue sur un segment :

n−1∑k=0

b −a

n︸︷︷︸= ak+1 −ak

f

(a +k

b −a

n

)︸︷︷︸

= f (ak )

= b −a

n

n−1∑k=0

f

(a +k

b −a

n

)

La méthode des rectangles, que nous avons étudiée dans le coursd’analyse numérique, permet le calcul approché des intégraleslorsque les primitives ne sont pas connues.

Dans la construction que nous avons choisie, la justification decette méthode découle directement de la définition.

On peut donc énoncer le théorème sivant : ak

f (ak )

ak+1



Proposition 8.21. (Convergence des sommes de Riemann).

Pour tout f : [a,b] →K continue, on a

b −a

n

n−1∑k=0

f

(a +k

b −a

n

)−−−−−→n→+∞

∫ b

af (t )dt

Preuve. Reprenons les notations du 8.12. de la page 7. On a par définition de l’intégrale :

b −a

n

n−1∑k=0

f

(a +k

b −a

n

)=

∫ b

afn −−−−−→

n→+∞

∫ b

af

Remarque 8.22. De la souplesse!Cette proposition connaît de nombreuses variantes, comme par exemple :

b −a

n

n∑k=1

f

(a +k

b −a

n

)−−−−−→n→+∞

∫ b

af (t )dt

Ceci découle de 8.21. en remarquant quef(a+n b−a

n

)n = f (b)

n −−−−−→n→+∞ 0 et f (a)

n −−−−−→n→+∞ 0.

Exemple 8.23. On a2n∑

k=n+1

1

k−−−−−→n→+∞ ln2.

On commence par une réécriture de la somme :

2n∑k=n+1

1

k=

n∑k=1

1

k +n= 1

n

n∑k=1

1

1+ kn

−−−−→n→∞

∫ 1

0

dt

t +1= ln2

On peut aussi obtenir des équivalents en utilisant ce théorème.

Exemple 8.24. Pour α ∈R+, trouver un équivalent de un :=n∑

k=0kα.

On fait apparaître une somme de Riemann :

un

nα+1= 1

n

n∑k=0

(k

n

)α−−−−−→n→+∞

∫ 1

0tαdt = 1

1+α

Comme cette limite est non nulle, on a un ∼ nα+1

α+1·

Tests

8.4. Étudier le comportement asymptotique de un :=n∑

k=1

n

k2 +n2.



4. Extension aux fonctions à valeurs complexes

La construction donnée précédemment est en fait valable pour des fonctions à valeurs dansC (défini-tion pour des fonctions en escalier, extension par convergence uniforme à des fonctions continues).Cependant, on peut plus simplement définir l’intégrale de f : [a,b] →C continue par∫ b

af :=

∫ b

aRe f + i

∫ b

aIm f

En effet, f est continue si et seulement si Re f et Im f le sont. Les propriétés algébriques (linéarité,Chasles) restent vraies et se démontrent sans peine à partir de la définition ci-dessus. Des propriétésliées à la relation d’ordre, il ne reste que l’inégalité triangulaire :∣∣∣∣∫ b

af

∣∣∣∣ É ∫ b

a| f |

Preuve. Avec les notations précédentes, écrivons∫ b

a f = ρe iθ avec ρ ∈R+ et θ ∈R. Posons g := f e−iθ.

On a alors∫ b

a g = ρ donc ∣∣∣∣∫ b

af

∣∣∣∣ = ρ =∫ b

aRe g É︸︷︷︸

(?)

∫ b

a|g | =

∫ b

a| f |

où (?) découle de la croissance de l’intégrale des fonctions à valeurs réelles (on a Re g É |g |).

5. Calcul intégral

5.1. Théorème fondamental du calcul intégral

La proposition 8.26., dûe à Isaac Newton, établit un lien entre le calcul intégral et le calcul différentiel.

Lemme 8.25. (Première formule de la moyenne).

Soient a < b et f : [a,b] →R une continue. Il existe c ∈ [a,b] tel que∫ b

af = (b −a) f (c).

Preuve. Comme f est continue sur le segment [a,b], ∃(m,M) ∈ R2 tel que [m,M] = f ([a,b]) par lethéorème de Weieirstrass. Soit t dans [a,b]. On a m É f (t ) É M d’où m(b − a) É ∫ b

a f É (b − a)M.Ainsi :

1

b −a

∫ b

af ∈ [m,M] = f ([a,b]) donc ∃c ∈ [a,b] ,

1

b −a

∫ b

af = f (c)

Ce résultat est une « version intégrale » du théorème des accroissements finis. Il reste valable si a Ê bpar la définition de l’intégrale selon des bornes décroissantes.

Proposition 8.26. (Théorème fondamental du calcul intégral)

Soient I un intervalle d’intérieur non vide, a ∈ I et f : I →R continue. L’application

F : I −→ R

x 7−→∫ x

af (t )dt

est l’unique primitive de f s’annulant en a. Autrement dit, F(a) = 0, F est dérivable sur I et, pouttout réel x appartenant à cet intervalle, F′(x) = f (x).



Preuve. Soit (x0, x) ∈ I2 tel que x 6= x0. Par la formule de la moyenne 8.25., il existe cx entre x0 et x telque

F(x)−F(x0)

x −x0=

∫ xx0

f (t )dt

x −x0= (x −x0) f (cx)

x −x0= f (cx)

Comme |cx − x0| É |x − x0|, on a cx −−−−→x→x0

x0 d’où par continuité de f en x0, f (cx) −−−−→x→x0

f (x0). On en

déduit que F est dérivable en x0 avec F′(x0) = f (x0). Puisque cela est vérifié pour tout x0 dans I, F estdérivable sur I et F′ = f .

Remarque 8.27. Cas des fonctions à valeurs complexesEn travaillant avec les parties réelle et imaginaire, on prouve facilement que le 8.26. reste vrai pourdes fonctions à valeurs dansC.

Proposition 8.28. (Primitives et calcul intégral).

Soient (a,b) ∈R2 tels que a < b et f : [a,b] →K continue admettant une primitive F. On a alors∫ b

af (t )dt = [F(t )]b

a où l’on a noté classiquement [F(t )]ba = F(b)−F(a)

Preuve. Notons F0 : x ∈ [a,b] 7→ ∫ xa f (t )dt . Comme F0 est une primitive de f par 8.26., F − F0 est

dérivable et (F−F0)′ = f − f = 0. Puisque [a,b] est un intervalle, il existe une constante C telle queF = F0 +C. En particulier, F(a) = F0(a)+C = C et F(b) = F0(b)+C d’où

∫ ba f = F0(b) = F(b)−F(a).

En particulier, pour toute fonction f : [a,b] →K de classe C 1, on a∫ b

af ′(t )dt = f (b)− f (a).

Tests

8.5. Déterminer un équivalent de un =∫ n3

n2

dt

1+ t 2.

5.2. Intégrales fonctions de leurs bornes

Le théorème fondamental du calcul intégral nous permet d’étudier des fonctions dont l’expressionest l’intégrale entre des bornes variables d’une fonction f donnée. C’est ce que nous appellerons desintégrales fonctions de leurs bornes.

Proposition 8.29. (Intégrations fonctions de leurs bornes).

Soit I et J deux vrais intervalles deR, f : I →C continue, u : J → I et v : J → I deux fonctions dérivable.Alors la fonction définie sur J par

g : x 7→∫ v(x)

u(x)f (t )dt est dérivable sur J et, ∀x ∈ J, g ′(x) = v ′(x) f (v(x)) − u′(x) f (u(x))

Preuve. Comme f est continue sur l’intervalle I, elle admet une primitive F sur cet intervalle. On adonc ∀x ∈ J, g (x) = (F◦v)(x)−(F◦u)(x). Les fonctions F◦u et F◦v sont dérivables sur [a,b] en tant quecomposées de fonctions dérivables et g est dérivable en tant que combinaison linéaire de fonctionsdérivables. De plus, on a



∀x ∈ [a,b] , g ′(x) = v ′(x)(F′ ◦ v)(x) − u′(x)(F′ ◦u)(x) = v ′(x) f (v(x)) − u′(x) f (u(x))

Il est recommandé de ne pas appliquer directement la proposition précédente mais d’en reprendre àchaque fois la démonstration.

Exemple 8.30. Dérivabilité et dérivée deφ définie parφ(x) = ∫ x2

xdt

ln t sur ]1,+∞[.La fonction f : t 7→ 1

ln t définie sur ]1,+∞[ est continue et les fonctions x 7→ x et x 7→ x2 sont dérivablessur ]1,+∞[ et à valeurs dans ]1,+∞[. En notant F une primitive de f sur ]1,+∞[, on a donc ∀x > 1 ,φ(x) = F

(x2

)−F(x). La fonction φ est donc dérivable en tant que combinaison linéaire de fonctionsdérivables (x 7→ F

(x2

)étant dérivable en tant que composée de fonctions dérivables) et

∀x > 1, φ′(x) = 2xF′ (x2)−F′(x) = 2x f(x2)− f (x) = x −1

ln x

Tests

8.6. Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de ψ : x 7→∫ ex

e−x

√1+ ln2(t )dt .

8.7. Soit f :R→R continue. Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de ψ : x 7→∫ 1

0f (t +x)dt .

6. Intégration par parties et changement de variable

Proposition 8.31. (Intégration par parties).

Soient u et v deux fonctions définies sur un segment [a,b] à valeurs dansK de classe C 1. On a alors∫ b

au′(t )v(t )dt = [u(t )v(t )]b

a −∫ b

au(t )v ′(t )dt

Preuve. Comme (uv)′ = u′v +uv ′, on a [u(t )v(t )]ba = ∫ b

a (uv)′ = ∫ ba u′v + ∫ b

a uv ′ par 8.28. (cf. page 14)et linéarité de l’intégrale.

Cette formule n’est donc qu’une version intégrale de la formule de dérivation d’un produit de fonc-tions. Elle permet d’obtenir des relations de récurrence vérifiées par des suites d’intégrales.

Tests

8.8. Calculer I =∫ 1

0x arctan(x)dx.

8.9. Pour n ∈N, on pose In =∫ 1

0t np

1− tdt .

a) Trouver une relation de récurrence entre In−1 et In .

b) Calculer I0 puis In pour tout n ∈N.



La formule suivante est la version intégrale de la formule de dérivation d’une composée de fonctions.

Proposition 8.32. (La formule du changement de variable).

Pour φ de classe C 1 sur I (vrai intervalle deR), f continue sur φ(I) à valeurs dansK, et (a,b) ∈ I2,∫ φ(b)

φ(a)f (x)dx =

∫ b

af(φ(t )

)φ′(t )dt

Preuve. Comme f est continue sur l’intervalle ϕ(I), elle y admet une primitive F. On a par 8.28. (cf. àla page 14) : ∫ ϕ(b)

ϕ(a)f = [F(x)]

ϕ(b)ϕ(a) =

[(F◦φ)(x)

]ba =

∫ b

a(F◦φ)′ =

∫ b

a( f ◦φ)×φ′

Exemple 8.33. Calculer J = ∫ 20

p4− t 2dt par un changement de variable.

On pose t = 2sinθ pour θ ∈ [0, π2

]. On a dt = 2cosθdθ d’où

J =∫ π

2

04cos2θdθ = 2

∫ π2

0(cos2θ+1)dθ = π

L’existence de symétrie(s) pour une fonction f se traduira par des propriétés de l’aire entre son grapheet l’axe des abscisses sur certains segments.

Proposition 8.34. (Symétries et intégrales).

Soit f :R→K continue.

a) Si f est paire, pour tout réel a ,∫ a−a f = 2

∫ a0 f ;

b) Si f est impaire, pour tout réel a ,∫ a−a f = 0 ;

c) Si f est T-périodique, pour tout réel a ,∫ T

0 f = ∫ a+Ta f .

Ces résultats sont des évidences géométriques et ont été démontrés dans le cours AN 1 (dédié auCalculus) :

a0

−a

∫ 0

−af (t )dt =−

∫ a

0f (t )dt

a0−a

∫ 0

−af (t )dt =

∫ a

0f (t )dt

0 Tx x +T

∫ x+T

xf (t )dt =

∫ T

0f (t )dt



Il ne faut pas perdre du temps en effectuant des calculs complexes là où les symétries permettent deconclure. Le lecteur méditera l’exemple suivant...

Exemple 8.35. Calcul de I = ∫ 1−1

u

u4 +1du.

Cette intégrale est nulle par la fonction intégrée est impaire et l’intervalle d’intégration symétriquepar rapport à 0.

Tests

8.10. Calculer I =∫ 1

−1arcsin2(x)dx.

8.11. Calculer∫ π

4

0

dx√2+ tan2(x)

en posant u = sin(x).

7. Formulaire

Afin de ne pas alourdir les tableaux suivants, nous n’avons pas précisé les domaines de validité desdifférentes formules. Le lecteur y prendra toutefois garde lors de leur application.

7.1. Formule de Taylor avec reste intégral

Proposition 8.36. (Formule de Taylor avec reste intégral).

Soit I vrai intervalle, f : I →R est de classe C n+1 sur I et x0 ∈ I, on a

f (x) =x→x0

n∑k=0

f (k)(x0)

k !(x −x0)k +

∫ x

x0

(x − t )n

n!f (n+1)(t )dt

Preuve. On raisonne par récurrence sur n.

. Soit f de classe C 1 sur I. On a f (x)− f (x0) = ∫ xx0

f ′ d’où la formule au rang 0.

. Soit n ∈N. Supposons la formule vraie au rang n et considérons f ∈ C n+2(I,R). Comme f est declasse C n+1, nous pouvons écrire la formule au rang n :

f (x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k !(x −x0)k +

∫ x

x0

(x − t )n

n!f (n+1)(t )dt

=n∑

k=0

f (k)(x0)

k !(x −x0)k +

[− (x − t )n+1

(n +1)!f (n+1)(t )

]x

x0

+∫ x

x0

(x − t )n+1

(n +1)!f (n+2)(t )dt

=n+1∑k=0

f (k)(x0)

k !(x −x0)k +

∫ x

x0

(x − t )n+1

(n +1)!f (n+2)(t )dt

D’où la formule au rang n +1.



On obtient par cette formule une expression du reste Rn appelée reste intégral de Taylor (qui est lepetit o de (x −x0)n de la formule de Taylor-Young) :

Rn =∫ x

x0

(x − t )n

n!f (n+1)(t )dt

Remarque 8.37. Moyen mnémotechnique pour retenir cette formuleSi le lecteur, essayant de retrouver l’expression du reste intégral, hésite entre les expressions (x −x0)n f (n), (x −x0)n+1 f (n), etc., il pourra se souvenir que la formule s’écrit f (x)− f (x0) = ∫ x

x0f ′ au rang

n = 0.

7.2. Fonctions usuelles

Deux primitives utiles

a)∫

dx

x2 +a2= 1

aarctan(x/a) pour a 6= 0 ; b)

∫dx

x2 −a2= 1

2aln

∣∣∣∣x −a

x +a

∣∣∣∣ pour a 6= 0 ;

Fonctions circulaires

a)∫

cos(x)dx = sin(x) ;

b)∫

sin(x)dx =−cos(x) ;

c)∫

tan(x)dx =− ln(|cos(x)|) ;

d)∫

cotan(x)dx = ln(|sin(x)| ;

e)∫

dx

cos2(x)= tan(x) ;

f)∫

dx

sin2(x)=−cotan(x) ;

Formules générales

a)∫

u′(x)uα(x)dx = uα+1(x)

α+1pour α 6= −1 ; b)

∫u′(x)

u(x)dx = ln(|u(x)|) ;

c)∫

u′(x) f ′(u(x))dx = f (u(x)).



Logarithmes & exponentielles

a)∫

xαdx = xα+1

α+1, α ∈R\ {−1} ;

b)∫

dx

x= ln |x| ;

c)∫

eαxdx = eαx

α, α ∈C∗ ;

d)∫

ln(x)dx = x ln(x)−x ;

e)∫

cosh(x)dx = sinh(x) ;

f)∫

sinh(x)dx = cosh(x) ;

g)∫

tanh(x)dx = ln(cosh(x)) ;

h)∫

coth(x)dx = ln(|sinh(x)|) ;

i)∫

dx

cosh2(x)= tanh(x) ;

j)∫

dx

sinh2(x)=−coth(x) ;

7.3. Le cas des fractions rationnelles

Il faut savoir intégrer des fractions du type

ux + v

ax2 +bx + coù a 6= 0 et (a,b,c,u, v) ∈R5

Notons ∀x ∈R , P(x) := ax2 +bx + c et ∆ la discriminant de P.

. Cas 1 : ∆ > 0. On décompose la fraction en éléments simples : il existe (λ,µ) ∈R2 tel que, sur sonensemble de définition :

ux + v

ax2 +bx + c= λ

x −α + µ

x −β où α et β sont les racines (réelles) de P

. Cas 2 : ∆ = 0. Il existe α ∈R tel que, sur son ensemble de définition :

ux + v

ax2 +bx + c= ux + v

a(x − r )2= u(x − r )+ v + r u

a(x − r )2= u

a(x − r )+ v + r u

a(x − r )2

. Cas 2 : ∆ < 0. On met le trinôme sous forme canonique. Sur son ensemble de définition :

ux + v

ax2 +bx + c= ux + v

a((x −θ)2 +η2

) =u2 2(x −θ)

a((x −θ)2 +η2

) + uθ+ v

a((x −θ)2 +η2

)Ces transformations permettent de se ramener à des primitives usuelles. Dans le cas plus général def := Q

P , on commence par effectuer la division euclidienne de Q par P : Q = PQ1 +uX + v on a alorsf = Q1 + ux+v

P (on est ramené au cas précédent).



8. Annexe : compléments hors programme

8.1. Théorème d’approximation

C’est la propriété d’uniforme continuité qui permet de généraliser la construction faite dans la pro-position 8.12. de la page 7.

Théorème 8.38. (de Heine).

Soit (a,b) ∈R2 tel que a < b et f : [a,b] →R continue. Alors f est uniformément continue ie

∀ε> 0, ∃α> 0, ∀(x, y) ∈ [a,b]2 , |x − y | É α =⇒ ∣∣ f (x)− f (y)∣∣ É ε

Preuve. Raisonnons par l’absurde : supposons que

∃ε0 > 0, ∀α> 0, ∃(x, y) ∈ [a,b]2 , |x − y | É α et∣∣ f (x)− f (y)

∣∣ > ε0

Soit n ∈N∗. En appliquant cette propriété à α := 1n , on obtient l’existence de xn et yn dans [a,b] tel

que |xn − yn | É 1n et

∣∣ f (xn)− f (yn)∣∣ > ε0. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe φ :N→N

strictement croissante et ` ∈ [a,b] tel que xφ(n) −−−−−→n→+∞ `. Comme xn − yn −−−−−→

n→+∞ 0, on en déduit que

yφ(n) −−−−−→n→+∞ `. Par continuité de f en `, on en déduit que f (xφ(n)− f (yφ(n))) −−−−−→

n→+∞ 0, ce qui contredit

∀n ∈N∗,∣∣ f (xφ(n))− f (yφ(n))

∣∣ > ε0 car ε0 > 0.

Revenons à la démonstration du 8.12. On reprend la même définition de la suite ( fn)nÊ0.

Preuve. Soit ε> 0. Par le théorème de Heine, ∃α> 0, ∀(x, y) ∈ [a,b]2 , |x−y | É α =⇒ ∣∣ f (x)− f (y)∣∣ É ε.

Fixons n0 ∈N tel que b−an0

É α et considérons n ∈N tel que n Ê n0 et x dans [a,b].

. Si x = b, alors fn(x)− f (x) = 0.

. Sinon, il existe i ∈ �0,n −1� tel que x ∈ [ai , ai+1[. On a alors∣∣ fn(x)− f (x)

∣∣ = ∣∣ f (ai+1)− f (x)∣∣ É ε car

|x −ai+1| É α.

On a donc ∀ε> 0 , ∃n0 ∈N , ∀n Ê n0 , ‖ fn − f ‖∞ É ε. Ainsi fncvu−−−−−→

n→+∞ f .

8.2. Définition de l’intégrale

Pour justifier la définition 8.13. (cf. page 8), nous ajoutons au cours sur les suites numériques un grandthéorème d’existence de limite (le théorème des suites monotones ne suffit pas ici).

Définition 8.39. Suites de Cauchy

Une suite de réels (un)n∈N est dite de Cauchy si

∀ε> 0, ∃n0 , ∀n Ê n0 , ∀m Ê n0 , |un −um | É ε

On démontre facilement que toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est vraie mais nontriviale :

Proposition 8.40. (Convergence des suites de Cauchy).

Toute suite de Cauchy réelle converge.

Preuve. Soit (un)nÊ0 une suite de Cauchy réelle.



. Soit n0 ∈N tel que ∀n Ê n0 et ∀m Ê n0 , |un −um | É 1. On a en particulier ∀n Ê n0 , |un−un0 | É 1.Ainsi (un)nÊ0 est bornée.

. Par le théorème de Bolzano-Weeirstrass, il existe ` ∈R et φ :N→N strictement croissante tel queuφ(n) −−−−−→

n→+∞ `. Comme ∀n ∈N , φ(n) Ê n, on déduit de la définition d’une suite de Cauchy que :

∀ε> 0, ∃n0 , ∀n Ê n0 ,∣∣un −uφ(n)

∣∣ É ε

c’est-à-dire un −uφ(n) −−−−−→n→+∞ 0 et donc un −−−−−→

n→+∞ ` par opérations sur les limites.

Nous voici à jour pour une démonstration claire de la définition 8.13. :

Preuve. Il faut justifier cette définition en montrant que la limite définissant∫ b

a f existe bien et nedépend pas de la suite de fonctions en escalier ( fn)nÊ0 convergeant uniformément vers f sur [a,b].Notons un := ∫ b

a fn pour tout n ∈N.

. Montrons que (un)nÊ0 vérifie la propriété de Cauchy. Soit (n,m) ∈ N2. Par les propriétés c) et d)8.11. (page 7) et l’inégalité triangulaire pour la norme infinie (cf. 8.2. à la page 3), on a

|un−um | =∣∣∣∣∫ b

a( fn − fm)

∣∣∣∣ É ∫ b

a

∣∣ fn − fm∣∣ É (b−a)‖ fn− fm‖∞ É (b−a)‖ fn− f ‖∞+ (b−a)‖ f − fm‖∞ (?)

Soit ε > 0. Il existe un rang n0 tel que ∀n Ê n0, ‖ fn − f ‖∞ É ε2(b−a) · Par (?), on a donc ∀n Ê n0,

∀m Ê n0 , |un −um | É ε. Ainsi (un)nÊ0 est de Cauchy donc converge.

. Soit (gn)nÊ0 une autre suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f sur [a,b].On a

|vn −un | =∣∣∣∣∫ b

a(gn − fn)

∣∣∣∣ É ∫ b

a

∣∣gn − fn∣∣ É (b−a)‖gn − fn‖∞ É (b−a)‖gn − f ‖∞ + (b−a)‖ f − fn‖∞

en notant vn := ∫ ba gn pour tout n ∈N. On déduit du théorème d’encadrement que un−vn −−−−−→

n→+∞ 0.

Les suites (un)nÊ0 et (vn)nÊ0 convergent donc vers la même limite par le point précédent.



9. Solutions des tests

8.1. Oui car il est stable par le produit : si f etg appartiennent à Esc([a,b),R) et si σ et σ′sont adaptées à f et g , on prouve facilementque f g est en escalier et σ∪σ′ est adaptée à f g .

8.2. Il suffit d’appliquer l’inégalité deCauchy-Schwarz à

√f et

pg .

8.3. Soit x ∈ [0,1]. On commence parremarquer que

f (x) = f (x)− f (0) =∫ x

0f ′(t )dt

puis on applique l’inégalité deCauchy-Schwarz :

| f (x)| É√∫ x

0dt︸︷︷︸

É 1

√∫ x

0

(f ′(t )

)2 dt︸︷︷︸É

√∫ 1

0

(f ′(t )

)2 dt

8.4. On reconnaît une somme de Riemann(un peu déguisée) pour la fonction continuesur [0,1] définie par t 7→ (1+ t 2)−1 :

un = 1

n

n∑k=1

1

1+ (k/n)2︸︷︷︸−−−−−→n→+∞

∫ 1

0

dt

t 2 +1

et donc un −−−−−→n→+∞

π

4.

8.5. On a un = arctann3 −arctann2. Or sin > 0, n2 et n3 son strictement positifs d’oÃz

arctann2 = π

2−arctan

1

n2

arctann3 = π

2−arctan

1

n3

Ainsi

un = arctan1

n2−arctan

1

n3

pour n Ê 1. Comme arctanu ∼ u, arctan 1n2 s

1n2

et arctan 1n3 s

1n3 . De plus, 1

n3 = o(

1n2

)donc

un s1

n2

8.6. La fonction

t 7→√

1+ ln2(t )

étant continue surR∗+ et les fonctions

x 7→ ex et x 7→ e−x

de classe C∞ surR et à valeurs dansR∗+, lafonction ψ est dérivable surR et, sur cetintervalle,

ψ′(x) = ex√

1+x2 +e−x√

1+x2

= 2cosh(x)√

1+x2

8.7. Effectuons le changement de variable declasse C 1 t = u −x. On obtient

ψ(x) =∫ x+1

xf (t )dt

La fonction f étant continue surR , ψ estdérivable surR et sur cet intervalle,

ψ′(x) = f (x +1)− f (x)

8.8. Par une IPP immédiate :

I =[

x2 arctan(x)

2

]1

0− 1

2

∫ 1

0

x2dx

x2 +1

= π

8− 1

2+ π

8= π

4− 1

2

8.9.

a) Soit n Ê 1. Intégrons par parties. . .

In =[−2

3(1− t )

32 t n

]1

0

+ 2n

3

∫ 1

0t n−1 (1− t )

32 dt

= 2n

3

∫ 1

0t n−1(1− t )

p1− tdt

= 2n

3(In−1 − In)



D’où In = 2n

2n +3In−1.

COMMENTAIRE

Les intégrations par parties sont légitimes carles fonctions en jeu sont toutes de classe C 1.

b) On a

I0 =[− 2

3(1− t )

32

]1

0= 2

3

Par une récurrence immédiate , on obtient

In = (2n) · · · (2)

(2n +3) · · · (5)I0 = (2n) · · · (2)

(2n +3) · · · (5)

2

3

= 2n+1n!(2n+4)!

2n+2(n+2)!

= 22n+3 n!(n +2)!

(2n +4)!

8.10. Posons x = sin(θ) pour u ∈ [−π/2,π/2],on a alors dx = cos(θ)dθ et∫ 1

−1arcsin2(x)dx =

∫ π/2

−π/2θ2 cos(θ)dθ

= 2∫ π/2

0θ2 cos(θ)dθ

Notons I l’intégrale à calculer. Effectuons desintégrations parties :

I = 2[θ2 sin(θ)]π/20

−2∫ π/2

02θsin(θ)dθ

puis ∫ π/2

02θsin(θ)dθ= [−2θcos(θ)]π/2

0

+∫ π/2

02cos(θ)dθ

= 2

D’où I = π2

2−4.

8.11. On remarque que

I =∫ π

4

0

dx√2+ tan2(x)

=∫ π

4

0

cos(x)dx√2− sin2(x)

Effectuons le changement de variable bijectifde

[0, π4

]sur

[0,1/

p2]

et de classe C 1

u = sin(x). On obtient

I =∫ 1p

2

0

dup2−u2

=[

arcsin

(up

2

)] 1p2

0

= arcsin

(1

2

)= π

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AN 8 Intégration des fonctions continues sur un segment · 1 ¯ kgn ¡gk1 ˘ j‚jkfn ¡ f k1 ¯ kgn ¡gk1 2. Intégrale des fonctions en escalier sur un segment 2.1. Rappels et