amu.do.am · Web viewПодготовила: Рагозина Екатерина 9Б классУчитель: Осипова Любовь Леонидовна Муравьева

Проект по информатике и геометрии Тема: Опорные задачи по планиметрии (Окружность)

Подготовила: Рагозина Екатерина 9Б класс

Учитель: Осипова Любовь Леонидовна

Муравьева Анна Петровна

2010 год

1

Опорные задачи по планиметрии (окружность)

ОГЛАВЛЕНИЕОглавление_________________________________________________________________________1

Введение___________________________________________________________________________3

Центральный угол__________________________________________________________________4

Дуга равна центральному углу, который на нее опирается.______________________________4

Вписанный угол_____________________________________________________________________5

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается________________________6

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусов._________________________8

Касательная_______________________________________________________________________9

1. Радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной.___________________10

2. Касательные проведенные к окружности из одной точки равны.______________________11

3.Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности перпендикулярно этому радиусу, то она – касательная.________________________________________________12

4. Угол между касательной и хордой, проходящих через одну точку, равен половине дуги, стягиваемой хордой._______________________________________________________________13

5. Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть._____________14

Хорда_____________________________________________________________________________15

1.Если хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.___________________________________________________________________16

2. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг.__________________________17

3. Угол между касательной и хордой, проходящих через одну точку, равен половине дуги, стягиваемой хордой._______________________________________________________________18

Секущая__________________________________________________________________________19

1. Угол между пересекающимися секущими равен полуразности дуг, заключенных между секущими._________________________________________________________________________20

2.Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.______________21

Вписанные и описанные Окружности________________________________________________22

Рагозина Екатерина 9БРа

Подготовила: Рагозина Екатерина 9Б класс

Учитель: Осипова Любовь Леонидовна

Муравьева Анна Петровна

2010 год

Оглавление

2


1. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, если суммы противоположных сторон равны.___________________________________________________23

2. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, если сумма его противоположных углов равна 180 градусов._______________________________________24

3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.____________________________________________________________25

4.Серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.___________________________________________26

Теорема Синусов___________________________________________________________________27

В треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом 2R, где R – радиус описанной окружности._____________________________27

Площадь через радиус вписанной и описанной окружности_____________________________29

1. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности.______________________________________________________________________30

2. Площадь многоугольника описанного около окружности равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности._____________________________________30

Задачи по теме «Окружность»______________________________________________________31

Ответы__________________________________________________________________________32

Список иллюстраций_______________________________________________________________35


3


ВВЕДЕНИЕ

кружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Окружность является очень важной составляющей

геометрии. ОВ моей работе представлены основные, базовые теоремы, связанные с окружностью. А так же несколько задач для закрепления материала.


Введение

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%83%D1%81

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA

4



5


ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ

ДУГА РАВНА ЦЕНТРАЛЬНОМУ УГЛУ, КОТОРЫЙ НА НЕЕ ОПИРАЕТСЯ.

Угол AOB – Центральный угол.

Дуга АВ = углу AOB


Рисунок 1. Центральный угол

Центр. Угол

6


ВПИСАННЫЙ УГОЛ


Вписан. Угол

7


1. ВПИСАННЫЙ УГОЛ РАВЕН ПОЛОВИНЕ ДУГИ, НА КОТОРУЮ ОН ОПИРАЕТСЯ

Дано: (O;R)

Угол АВС вписанный

Дуга АС =α

Доказать: Угол АВС = α/2

Доказательство

1 случай

1) Пусть сторона угла проходит через центр О.Тогда угол АОС центральный Т.е. угол АОС = α (по определению центрального угла)

2) Треугольник АВО; АО=ОВ=RЗначит угол А равен углу В (по свойству равнобедренного треугольника)1

Но угол АОС - внешний для треугольника АОВ1) Значит угол АОС равен угол А + угол В или 2 угла В (по свойству

внешнего угла треугольника)3) Получили, что α=2 угла АВС

Т.е. Угол АВС = α/2 ч.т.д.

2 случай

1) Пусть центр О расположен внутри угла АВС2) Проведем BD – диаметр

Дуга AD = β, дуга DC = γ,α = β + γ

1 Углы при основании равнобедренного треугольника равны


Рисунок 2. Свойство вписанного угла. 1 случай

8


3) По первому случаю:Угол ABD = β/2,Угол DBC = γ/2

4) Угол АВС = угол ABD + угол DBC =β/2 + γ/2 = β + γ/2 = α/2 ч.т.д.

3 случай

1) Пусть центр О расположен снаружи угла ABC2) Проведем BD – диаметр

Дуга AD = β, дуга DC = γ Α = β – γ

3) По 1 случаю:Угол ABD = β/2,Угол DBC = γ/2

4)Угол АВС = угол ABD - угол DBC =β/2 - γ/2 = β - γ/2 = α/2 ч.т.д.


Рисунок 3. Свойство вписанного угла. 2 случай.

Рисунок 4. Свойство вписанного угла. 3 случай.

9


2. ВПИСАННЫЙ УГОЛ, ОПИРАЮЩИЙСЯ НА ДИАМЕТР, РАВЕН 90 ГРАДУСОВ.

О – центр окружности

АС – диаметр

Угол АВС = 90 градусов.


Рисунок 5. Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

10


КАСАТЕЛЬНАЯ


Рисунок 6. Касательная.

Касательная

11


1. РАДИУС ПРОВЕДЕННЫЙ В ТОЧКУ КАСАНИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕН КАСАТЕЛЬНОЙ.

Дано: (O; R)

p – Касательная

А – точка касания

OA – радиус

Доказать: ОА перпендикулярен р


Метод от противного:

1) Пусть ОА не перпендикулярна p, тогда ОА наклонная к p.2) Построим ОС перпендикулярно р.

Получим, что ОС<ОА т.к. перпендикуляр меньше наклонной.Значит ОС<R, т.е. АВ – секущая.

3) Получили противоречие с условием.Значит наше предположение, что ОА не перпендикулярен р было не верным. Следовательно ОА перпендикулярен р ч.т.д.


Рисунок 7.Свойство касательной.

12


2. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОВЕДЕННЫЕ К ОКРУЖНОСТИ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ РАВНЫ.

Дано: (O; R)

АВ, АС – касательные

Доказать: АВ=АС


1) ОВ перпендикулярен АВ (по свойству касательной). Следовательно треугольник АВО - прямоугольный

2) Аналогично треугольник АСО – прямоугольный.3) Рассмотрим треугольники АВО и АСО.

ОА -общаяОВ=ОС=RСледовательно треугольники равны по гипотенузе и катету.

4) Т.е. АВ=АС (как соответственные) ч.т.д.


Рисунок 8.Свойство касательных проведенных из одной точки.

13


3.ЕСЛИ ПРЯМАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ КОНЕЦ РАДИУСА, ЛЕЖАЩИЙ НА ОКРУЖНОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ЭТОМУ РАДИУСУ, ТО ОНА – КАСАТЕЛЬНАЯ.

Дано: (O; R)

А ϵ а, ОА перпендикулярен а

Доказать: а - касательная


1) ОА перпендикулярен а, следовательно ОА – расстояние от центра до прямой а.ОА=R

2) Значит по взаимному расположению прямой и окружности они имеют 1 общую точку, значит а – касательная ч.т.д


Рисунок 9. Признак касательной.

14


4. УГОЛ МЕЖДУ КАСАТЕЛЬНОЙ И ХОРДОЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ, РАВЕН ПОЛОВИНЕ ДУГИ, СТЯГИВАЕМОЙ ХОРДОЙ.

Дано: (O; R)

АВ – хордаСВ – касательнаяДуга АВ = mДоказать: Угол СВА = m/2


1) Угол АОВ = m (т.к. центральный)2) Треугольник АОВ – равнобедренный. Значит углы при основании(ОАВ и

ОВА) равны.3) Угол ОВА = ½ (180 – m)

Угол ОВА = 90 – m/24) ОВ перпендикулярен ВС (т.к. ВС – касательная)

Угол СВА = 90 – угол ОВА = 90 – (90 - m/2) = m/2 ч.т.д.


Рисунок 10. Угол между хордой и касательной.

15


5. КВАДРАТ КАСАТЕЛЬНОЙ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЕКУЩЕЙ НА ЕЁ ВНЕШНЮЮ ЧАСТЬ.

Дано: (O; R)

АВ – касательная

AD –секущая

Доказать: AB2 = AD • AC


1) Треугольники АВС и АВDУгол А – общий

2) Пусть дуга ВС = 2αУгол D = α (вписанный угол, опирающийся на дугу ВС)Угол АВС = α (угол между хордой и касательной)

3) Тогда получим, что угол D = углу АВС.4) Значит треугольники АВС и АВD подобны. ( по двум углам)1

5) АС/АВ=ВС/BD=AB/ADAC/AB=AB/AD, следовательно AB2 = AD • AC ч.т.д.

1 Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти два треугольника подобны.


Рисунок 11.Опорная задача о касательной и секущей.

16


ХОРДА


1.Отрезки пересекающихся хорд.2.Угол между двумя пересекающимися хордами.3.Угол между хордой и касательной.Хорда

Рисунок 12 Хорда

17


1.ЕСЛИ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ОДНОЙ ХОРДЫ РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ ОТРЕЗКОВ ДРУГОЙ.

Дано: (О; R)

АВ, CD – пересекающиеся хорды

М – точка пересечения

Доказать: AM • MB = CM • MD


1) Рассмотрим треугольники ACM и BMDУгол АМС = углу DMB (как вертикальные)1

Угол АСМ = углу DBM(как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу СВ)Следовательно, треугольники ACM и BMD подобны по двум углам.

2) AM/MD = CM/MB, а значит AM • MB = CM • MD ч.т.д.

1 Вертикальные углы, это углы у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.


Рисунок 13. Отрезки пересекающихся хорд.

18


2. УГОЛ МЕЖДУ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ХОРДАМИ РАВЕН ПОЛУСУММЕ ДУГ.

Дано: (О; R)

АВ, CD – хорды, пересекающиеся в точке М

Дуга АС = α

Дуга DB = β

Доказать: Угол АМС = α + β/2


1) Угол DCB = β/2 (по свойству вписанного угла)2) Угол АВС = α/2(по свойству вписанного угла)3) Угол АМС = β/2 + α/2 (т.к. угол АМС внешний для треугольника МВС)4) Значит Угол АМС = α + β/2 ч.т.д.


Рисунок 14. Угол между пересекающимися хордами.

19


3. УГОЛ МЕЖДУ КАСАТЕЛЬНОЙ И ХОРДОЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ, РАВЕН ПОЛОВИНЕ ДУГИ, СТЯГИВАЕМОЙ ХОРДОЙ.

Дано: (O; R)

АВ – хордаСВ – касательнаяДуга АВ = mДоказать: Угол СВА = m/2


1) Угол АОВ = m (т.к. центральный)2) Треугольник АОВ – равнобедренный. Значит углы при основании(ОАВ и

ОВА) равны.3) Угол ОВА = ½ (180 – m)

Угол ОВА = 90 – m/24) ОВ перпендикулярен ВС (т.к. ВС – касательная)

Угол СВА = 90 – угол ОВА = 90 – (90 - m/2) = m/2 ч.т.д.


Рисунок 15. Угол между хордой и касательной.

20


СЕКУЩАЯ


Секущая

Рисунок 16 MC - секущая

21


1. УГОЛ МЕЖДУ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ СЕКУЩИМИ РАВЕН ПОЛУРАЗНОСТИ ДУГ, ЗАКЛЮЧЕННЫХ МЕЖДУ СЕКУЩИМИ.

Дано: (O; R)

BM, CN - секущие

BM пересекается с CN в точке А

Дуга MN = α

Дуга ВС = β

Доказать: Угол А = β - α /2


1) Угол ВМС = β/2 ( по свойству вписанного угла)2) Угол MCN = α/2 ( по свойству вписанного угла)3) Рассмотрим треугольник МАС

Угол ВМС – внешнийУгол ВМС = угол МСА + угол А

4) β/2 = α/2 + угол А, а значит угол А = β/2 - α/2 = β - α /2 ч.т.д.


Рисунок 17. Угол между пересекающимися секущими.

22


2.КВАДРАТ КАСАТЕЛЬНОЙ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЕКУЩЕЙ НА ЕЁ ВНЕШНЮЮ ЧАСТЬ.

Дано: (O; R)

АВ – касательная

AD –секущая

Доказать: AB2 = AD • AC


1) Треугольники АВС и АВDУгол А – общий

2) Пусть дуга ВС = 2αУгол D = α (вписанный угол, опирающийся на дугу ВС)Угол АВС = α (угол между хордой и касательной)

3) Тогда получим, что угол D = углу АВС.4) Значит треугольники АВС и АВD подобны. ( по двум углам)5) АС/АВ=ВС/BD=AB/AD

AC/AB=AB/AD, следовательно AB2 = AD • AC ч.т.д.


Рисунок 18. Опорная задача о касательной и секущей.

23


ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ


Окружности

24


1. В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК МОЖНО ВПИСАТЬ ОКРУЖНОСТЬ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ЕСЛИ СУММЫ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ СТОРОН РАВНЫ.

Дано: ABCD – описанный четырехугольник

Доказать: AD + BC = AB + DC


1) AK = AM = a (как отрезки касательной проведенной из одной точки)2) Аналогично BM=BN=b, CN=CP=c, DK=DP=d3) AD + BC = a + d + b + c

AB + CD = a + b + c + d

Значит, AD + BC = AB + DC ч.т.д.


Рисунок 19. Окружность вписанная в четырехугольник

25


2. ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА МОЖНО ОПИСАТЬ ОКРУЖНОСТЬ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ЕСЛИ СУММА ЕГО ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ УГЛОВ РАВНА 180 ГРАДУСОВ.

Дано: ABCD – вписанный четырехугольник

Доказать: Угол А + угол С = 180 градусов

Угол D + угол B = 180 градусов


1) Угол А = ½ дуги ВСD (как вписанный)2) Угол С = ½ дуги BAD (как вписанный)3) Угол А + угол С = ½(дуга BCD + дуга BAD) = 360/2 = 1804) Аналогично угол В + угол D = 180 градусов ч.т.д.

Следствие: окружность можно описать около любого треугольника, около любого квадрата, около равнобедренной трапеции.


Рисунок 20. Окружность описанная около четырехугольника.

26


3. БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ, КОТОРАЯ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕНТРОМ ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Дано: треугольник АВС

АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы.Доказать:

1) АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О2) О – центр вписанной окружности


1) Пусть АА1 пересекается с ВВ1 в точке О2) Тогда О ϵ АА1, значит О равноудалена от сторон угла А, т.е. ОН1 = ОН2

3) Но О ϵ ВВ1, значит О равноудалена от сторон угла В, т.е. ОН2 = ОН3

4) Получили, что ОН1 = ОН2 = ОН3

5) Т.к. ОН1 = ОН3, то О попадает на биссектрису СС1, т.е. все три биссектрисы АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке О.

6) ОН1 = ОН2 = ОН3, следовательно О – равноудалена от Н1, Н2, Н3, значит О – центр окружности, проходящее через точки Н1, Н2, Н3.

7) АС перпендикулярна ОН1

АС – проходит через Н1

Следовательно, АС – касательная по признаку.8) Аналогично ВС и АВ – касательные.9) Значит окружность (О; ОН1) – вписанная окружность ч.т.д.

В любой треугольник можно вписать окружность, и ее центр находится в точке пересечения биссектрис.


Рисунок 21. Окружность вписанная в треугольник.

27


4.СЕРЕДИННЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ, КОТОРАЯ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕНТРОМ ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Дано: Треугольник АВС

Н1М, Н2К, Н3N – серединные перпендикуляры.

Доказать:

1) Н1М, Н2К, Н3N пересекаются в одной точке О2) О – центр описанной окружности


1) Пусть О точка пересечения Н1М, Н2КТ.к О ϵ Н1М, О равноудалена от Аи СТ.е. АО = ОС

2) Т.к. О ϵ Н2К, то О равноудалена от В и СТ.е. ОВ=ОС

3) Получили, что ОА=ОС=ОВ, т.е. О равноудалена от А и ВЗначит О ϵ Н3N Таким образом, О точка пересечения Н1М, Н2К, Н3N

4) Таким образом О равноудалена от А, В, СЗначит О – центр окружности, проходящей через вершины треугольника А,В и С ч.т.д.

Около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр есть точка пересечения серединных перпендикуляров.


Рисунок 22. Окружность описанная около треугольника.

28


ТЕОРЕМА СИНУСОВ

В ТРЕУГОЛЬНИКЕ СТОРОНЫ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ СИНУСАМ ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ УГЛОВ С КОЭФФИЦИЕНТОМ 2R, ГДЕ R – РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Дано: R – Радиус описанной окружности.

Доказать: и равно 2R


1) Проведем из точки С высоту CD. Тогда из Δ ACD получим:

2) Если угол α тупой, то


AA1

Рисунок 23. Теорема синусов.

Т. Синусов

29


3) Из Δ BCD получаем

4) Аналогично получаем

5) Следовательно:

6) Построим AA1 – диаметр описанной окружности.

7) Δ АА1В, угол В = 90 градусов (т.к. опирается на диаметр)

8) Угол АА1В = γ = углу С (т.к. вписанные, опирающиеся на одну дугу АС)

9) sin γ = c/АА1 = с/2R ; c/sin γ = 2R

10) Получаем, и равно 2R.


30


ПЛОЩАДЬ ЧЕРЕЗ РАДИУС ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ


31


1. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЕГО СТОРОН, ДЕЛЕННОМУ НА 4 РАДИУСА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Дано: ΔАВС

Доказать: S = abc/4R


1) S = ½ ab • sin C2) c/sin C = 2R, значит sin C= c/2R3) S = ½ ab • c/2R = abc/4R ч.т.д.

2. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ПОЛУПЕРИМЕТРА НА РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Дано: описанный многоугольник

r – радиус описанной окружности

p – полупериметр

Доказать: S = pr


1) S = ½ ar + ½ br + ½ cr + ½ dr + ½ er = ½ r (a + b + c + d + e) = rp ч.т.д.


Рисунок 24. Площадь через радиус вписанной окружности.

32


ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ»

1. Из точки A, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

2. Две окружности пересекаются в точках А и В; MN – общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок MN пополам.

3. Определите вид треугольника, если центр вписанной в него окружности совпадает с центром описанной около него окружности.

4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 20 см. Найдите периметр этого четырехугольника.

5. Треугольник АВС вписан в окружность R=2 , =800, = 400. Найти АС.6. Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC .

Окружность 1 с центром K проходит через точки A , O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N . Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN . Докажите, что BL перпендикулярно AC .1

1 Решения задач можно посмотреть на следующей странице.


Задачи

33


ОТВЕТЫ

1.

\

2.

Пусть O—точка пересечения прямой AB и отрезка MN. Тогда OM2 =

= OA · OB = ON2, т. е. OM = ON.

3.

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник, а точка пересечения его серединных перпендикуляров — центром окружности, описанной около этого треугольника.Из теоремы о медиане равнобедренного треугольника следует, что только в равностороннем треугольнике биссектрисы углов треугольника совпадают с серединными перпендикулярами. Значит, центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с центром описанной около него окружности только для равностороннего треугольника.

4.

В четырехугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.


34


Р = 20*2 = 40см.

Ответ: 40 см

5.

Угол B = 180 – 80 – 40 = 60 o

2R = 4

По теореме синусов AC = 4 * sin 60 o = 4 * /2 = 12/2 = 6

Ответ: 6 см.

6.

Обозначим BAC = a , ABC = b . Поскольку AOC – центральный угол окружности , а угол ABC – вписанный, то

AOC = 2 ABC = 2b.

Вписанные в окружность 1 углы AMC и AOC опираются на одну и ту же дугу, поэтому

AMC = AOC = 2b.

Поскольку AMC – внешний угол треугольника BMC , то

BCM = AMC - MBC = 2b - b = b,

а т.к. MKN – центральный угол окружности 1 , то MKN = 2 MCN = 2 MCB = 2b.

Сумма противоположных углов CAM и CNM вписанного в окружность 1 четырёхугольника AMNC равна 180o , поэтому

BNM = 180o- CNM = CAM = a.

Поскольку точка L симметрична точке K относительно прямой MN , то MLN =


Рисунок 25 Задача №3

35


MKN = 2b , а т.к. LM=MK=KN=LN и MBN = MLN , то L – центр окружности, описанной около треугольника MBN . Центральный угол BLM этой окружности вдвое больше вписанного угла BNM , т.е. равен 2a . Из равнобедренного треугольника BLM находим, что

MBL = = 90o-a.

Пусть прямые BL и AC пересекаются в точке P . Тогда APB = 180o - ABP - BAP = 180o - (90o-a) - a = 90o.

Следовательно, BL AC .


36


СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ

Рисунок 1. Центральный угол_____________________________________4Рисунок 2. Свойство вписанного угла. 1 случай______________________6Рисунок 3. Свойство вписанного угла. 2 случай.______________________7Рисунок 4. Свойство вписанного угла. 3 случай.______________________7Рисунок 5. Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.______8Рисунок 6. Касательная._________________________________________9Рисунок 7.Свойство касательной.________________________________10Рисунок 8.Свойство касательных проведенных из одной точки._______11Рисунок 9. Признак касательной._________________________________12Рисунок 10. Угол между хордой и касательной._____________________13Рисунок 11.Опорная задача о касательной и секущей._______________14Рисунок 12 Хорда______________________________________________15Рисунок 13. Отрезки пересекающихся хорд.________________________16Рисунок 14. Угол между пересекающимися хордами.________________17Рисунок 15. Угол между хордой и касательной._____________________18Рисунок 16 MC - секущая________________________________________19Рисунок 17. Угол между пересекающимися секущими._______________20Рисунок 18. Опорная задача о касательной и секущей._______________21Рисунок 19. Окружность вписанная в четырехугольник______________23Рисунок 20. Окружность описанная около четырехугольника.________24Рисунок 21. Окружность вписанная в треугольник._________________25Рисунок 22. Окружность описанная около треугольника.____________26Рисунок 23. Теорема синусов.____________________________________27Рисунок 24. Площадь через радиус вписанной окружности.__________30


37


Рисунок 25 Задача №3__________________________________________33


38


ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РЕСУРСЫ

Иллюстрации:

http :// upload . wikimedia . org / wikipedia / commons / thumb /6/69/ Drawing - a - circle - with - the - compasses . jpg /250 px - Drawing - a - circle - with - the - compasses . jpg

http :// bse . sci - lib . com / a _ pictures /12/00/231885445. jpg http :// festival .1 september . ru / articles /500235/ img 2. gif http :// festival .1 september . ru / articles /500235/ img 3. gif http :// www . neive . by . ru / geometriia / krokr / kasats . GIF http :// claw . ru / book - spori / Mathematika /73. jpg http :// www . univer . omsk . su / omsk / Edu / Rusanova / images / crcl 10. gif http :// www . univer . omsk . su / omsk / Edu / Rusanova / images / crcl 08. gif http :// mschool . kubsu . ru / cdo / shabitur / kniga / geometr /6_7/6_7_08. jpg http :// www . univer . omsk . su / omsk / Edu / Rusanova / images / crcl 22. gif http :// geometry 2006. narod . ru / Art / Lecture 2. files / image 039. gif http :// festival .1 september . ru / articles /414201/ Image 57. jpg

А так же рисунки, нарисованные самостоятельно в программах Paint, Microsoft Word

Материал:

Геометрия 7-9: учебник для общеобразовательных учереждений/ [Атанасян, Бутузов, Кадомцев и др.], - 17-е изд. – М.:Просввящение, 2007. – 384 стр. : ил. – ISBN 978-5-09-016456-6.

А так же Материал взят из конспектов на уроках геометрии 8-9 класс.


http://festival.1september.ru/articles/414201/Image57.jpg

http://geometry2006.narod.ru/Art/Lecture2.files/image039.gif

http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Rusanova/images/crcl22.gif

http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/geometr/6_7/6_7_08.jpg



http://claw.ru/book-spori/Mathematika/73.jpg

http://www.neive.by.ru/geometriia/krokr/kasats.GIF

http://festival.1september.ru/articles/500235/img3.gif

http://festival.1september.ru/articles/500235/img2.gif

http://bse.sci-lib.com/a_pictures/12/00/231885445.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Drawing-a-circle-with-the-compasses.jpg/250px-Drawing-a-circle-with-the-compasses.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Drawing-a-circle-with-the-compasses.jpg/250px-Drawing-a-circle-with-the-compasses.jpg

Documents

amu.do.am · Web viewПодготовила: Рагозина Екатерина 9Б классУчитель: Осипова Любовь Леонидовна Муравьева