EJERCICIOS DE POLINOMIOS. AMPLIA LO VISTO ESTE AÑO PARA PREAPRAR EL

CURSO PRÓXIMO

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (r3 + 7r2 +6r + 4) – (r3 +3r2 +2r +1) Solución: 4r2 +4r +3

b) (3x4 +2x3 +x –8) – (x4 –3x3 –9) Solución: 2x4 +5x3 +x +1

c) (12u5 –21u3 + 9u –10) – (-28u6 +14u5 – 21u3 + u2 –2) Solución: 28u6 – 2u5 – u2 + 9u

– 8

2. Calcula las siguientes restas:

a) (3a2 + 4a – 4) – (12a3 – 4a + 8) Solución: -12a3 + 3a2 + 8a –

12

b) (2x4 +2x3 – 7x2 + 9) – (2x4 – 2x3 + x –7) Solución: 4x3 –7x2 – x

+ 16

3. Dados los siguientes polinomios: P(x) = 16x3 – 23x2 + x – 19, Q(x) = 23x4 + 7x2 – x + 6, R(x)

= -6x4 + 3x3 + x – 8. Calcula:

a) R(x) – (Q(x) + P(x)) Solución: -29x4 – 13x3 + 16x2

+ x + 5

b) (R(x) – Q(x)) +P(x) Solución: -29x4 + 19x3 – 30x2 + 3x –

33

4. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 2:

a) P(x) = 3x4 – 2x3 + 9 Solución: P(2) = 41

b) Q(x) = 9x3 – 5 Solución: Q(2) = 67

5. Dado P(x) = x3 – 4x2 + 7, halla P(-2). Solución: P(-2) = -17

NOVEDAD: Plantea ecuaciones donde la incógnita no es un número sino un

Polinomio.

Ejemplo:

Dados Q(x) = 2x2 – 6x + 7 y R(x) =3x2 + 7x , calcula cuál debería ser P(x) para que P(x) +

Q(x) = R(x).

Como la incógnita es P(X), la despejamos: P(X)= R(x)- Q(x) y después efectuamos esa

operación sustituyendo R por el polinomio que corresponde y Q también.

Solución: P(x) = x2 + 13x -7

6. Halla un polinomio que, restado del polinomio 4x3 –2x2 + x – 1, dé el polinomio 3x3 – x2 +

x – 3.

Solución: x3 – x2 +2

7. Halla un polinomio tal que, al dividirlo por x + 2, dé como cociente 2x2 – x + 4 y como

resto, 3.

Solución: 2x3 + 3x2 + 2x +

11

NOVEDAD Hemos visto el cuadrado de una suma y una resta, pero ¿Cómo

desarrollar el cubo de una suma o una resta? Intenta deducir una fórmula

haciendo lo siguiente: (a+b)3=(a+b)2(a+b). Reañiza el primer cuadrado y multilica

el polinomio restante por (a+b). ¿encuentras una fórmula?

8. Calcula:

a) (x + 3)3 Solución: x3 + 9x2 + 27x + 27

b) (x – 1)3 Solución: x3 – 3x2 + 3x – 1

c) Solución:

9. Factoriza:

a) x2 – 6x + 9 Solución: (x – 3)2

b) x2 – 9 Solución: (x – 3)(x + 3)

c) x2 – 64 Solución: (x – 8)(x + 8)

d) 2x2 – 2x Solución: 2x(x – 1)

e) x2 – 4x + 4 Solución: (x – 2)2

f) Solución:

10. Efectúa las siguientes divisiones:

a) (x6 –3x5 + 5x4 + 6x3 + 2x2 – 4x + 2) : (x3 – 2x + 3) Solución: C(x) = x3 –

3x2 + 7x – 3, R = 25x2 – 31x + 11

b) (6x6 – x5 – 12x4 + 8x3 – x2) : (x4 – 2x2 + x) Solución: C(x) = 6x2 –

x, R = 0

11. Calcula por la regla de Ruffini, el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) (x6 – 3x5 + 9x3 – x2 + 1) : (x – 1) Solución: C(x) = x5 – 2x4 – 2x3 + 7x2

+ 6x + 6, R = 7

b) (2x4 – 3x3 + x2 – 8x + 1) : (x – 3) Solución: C(x) = 2x3 + 3x2 + 10x +

22, R = 67

c) (2x4 – 3x3 + 6x + 2) : ( x + 3) Solución: C(x) = 2x3 – 9x2 + 27x – 75, R =

227

NOVEDAD: Utiliza Ruffini para factorizar polinomios. Además de factorizar como

vimos este año utilizando las identidades notables y sacar factor común, hay

polinomios que se pueden factorizar utilizando RUFFINI: Aplica Ruffini, dividiendo

por x-a, sustituyendo a por los divisores del término independiente. SI alguna de las

divisiones da resto 0, es que x-a es un factor, ya que al dividir, el resto es cero, y así

se puede factorizar el polinomio.

EJEMPLO:

Factorizar 3x4+12x3+3x2-18x. En primer lugar obtendremos factor común que es 3x,

así la primera factorización nos da:

3x4+12x3+3x2-18x = 3x(x3+4x2+x-6). En principio, según vimos este año, ya no se

puede factorizar, sin embargo, vamos a dividir el polinomio x3+4x2+x-6 por x+1, x-

1, x+2, x-2, x+3 y x-3 ( ya que los divisores del término independiente que es -6

son 1, -1, 2, -2, 3y -3) utilizando Ruffini. Si lo hacemos, comprobaremos que al

dividir por x+1,el resto no es cero, por lo que no es un factor. Continuamos con x-1

y ya nos da resto cero. El cociente nos da x2+5x+6. Así pues ahora podemos

factorizar quedando:

3x4+12x3+3x2-18x = 3x(x2+5x+6)(x-1). De nuevo seguimos factorizando ahora el

polinomio x2+5x+6. Al dividir utilizando ruffinni por x+2 obtenemos de resto 0 y

cociente (X+3) Así, hemos terminado de factorizar quedando:

Solución: 3x(x+2)(x+3)(x-1).

12. Factoriza los siguientes polinomios:

a) x3 – 7x2 + 12x Solución: x(x – 3)(x – 4)

b) x2 + 2x + 1 Solución: (x + 1)2

c) x2 + 1 Solución: No se puede

factorizar

d) x2 – 16 Solución: (x – 4)(x + 4)

e) x3 – 8x2 Solución: x2(x – 8)

f) x2 – 4x – 12 Solución: (x + 2)(x – 6)

13. Factoriza:

a) 5x2 – 7x – 6 Solución: 5(x –2)(x + 3/5)

b) 3x3 –5x2 + 2x Solución: 3x(x – 1)(x – 2/3)

c) 2x3 + x2 – 8x – 4 Solución: 2(x –2)(x +

2)(x +1/2)

d) 2x3 – 4x2 – 10x + 12 Solución: 2(x – 1)(x + 2)(x –

3)

NOVEDAD: Una vez factorizados dos polinomios, podemos calcular el MCD y el MCM

de dos polinomios igual que lo hacíamos para números. Sólo que ahora los factores

no son números primos, sino polinomios.

Ejemplo:

Calcula m.c.d. y m.c.m. de A(x) = 3x4+12x3+3x2-18x y B(x) = x3 - 2x2 + x.

1º Factorizamos: A(x) =3x(x+2)(x+3)(x-1)

B(x)= x(x - 1)2

2º MCD Comunes con el menor exponente

Factores comunes: (x-1). Menor exponente: 1 y x menor exponente :1

Mcd= x(x-1)

3º MCM Todos con el mayor exponente:

Factores: 3 Mayor exponente: 1; x Mayor exponente: 1; (x+2), mayor

exponente: 1; (x+3), mayor exp 1; (X-1) mayor exponente: 2.

MCM= 3x(x+2)(x+3)(x-1)2

Solución: m.c.d. = x (x -1) , m.c.m. = 3x(x+2) (x + 3)(x - 1)2

14. Calcula m.c.d. y m.c.m. de A(x) = x4 – 81 y B(x) = x3 + 2x2 – 9x – 18.

Solución: m.c.d. = (x – 3)(x + 3) , m.c.m. = (x – 3) (x + 3)(x2 + 9)(x + 2)

NOVEDAD: Podemos sumar fracciones algebraicas siguiendo las reglas de las

fracciones numéricas:

1º MCM de los denominadores (ahora son polinomios)

2º Dividimos el MCM entre cada denominador y el polinomio resultante se multiplica

por el numerador.

3º Se suman los numeradores y se pone el denominador común:

Ejemplo:

Así: TERMINALO tu mismo.

¿Podrás hacer el siguiente?

15. Realiza la siguiente operación: Solución:

16. Efectúa: Solución:

17. Simplifica:

a) Solución:

b) Solución:

c) Solución:

d) Solución:

e) Solución:

f) Solución: