Am Mocanu 168pag

Embed Size (px)

Text of Am Mocanu 168pag

UNIVERSITATEA DIN BACUFACULTATEA DE TIINEMarcelina MocanuANALIZ MATEMATICCURS PENTRU STUDENIIFACULTII DE INGINERIEIntroducereAcest material cuprinde notele unui curs de Analiz Matematic predatstudenilor de la Facultatea de Inginerie n primul semestru al anului I.Scopul cursului Matematici aplicate 1 (Analiz Matematic) este de a-inva pe studeni s utilizeze puternicele instrumente ale Calculului diferenialsi integral, pentru funcii de una sau mai multe variabile reale. Stpnireamatematicii de liceu, la nivel mediu, este necesar studenilor pentru canoiunile i metodele Analizei matematice studiate n facultate s le fieaccesibile. Avnd n vedere aceast cerin, n cursul de fa cele mai multecunotine de Analiz matematic din liceu sunt recapitulate i reexplicate,dintr-un punct de vedere superior.Prin metodele i rezultatele sale, matematica a jucat i joac un rolfundamental n progresele tiinei i tehnicii. Numeroase domenii alematematicii, printre care i calculul diferenial i integral, au aprut dinnecesitatea rezolvrii unor probleme practice. Isaac Newton (1642-1727) aajuns s pun bazele calculului diferenial si integral pentru c avea nevoie deun instrument de rezolvare a problemelor de mecanic. n acelai timp,Gottfried Leibniz (1646-1716) a obinut rezultate asemntoare cu cele ale luiNewton pornind de la necesitatea rezolvrii unor probleme interne alematematicii, de exemplu, probleme cu coninut geometric. Calculul difereniali integral permite abordarea general, sistematic i unitar, a unor problemedin fizic, tehnic, economie, biologie, etc. El este indispensabil pentru diversedomenii ale matematicii ( teoria ecuaiilor difereniale, geometria diferenial,analiza numeric, calculul probabilitilor i statistic).Analiza matematic este un domeniu vast al matematicii, cu multe ramuri,dintre care abordm aici doar calculul diferenial i integral clasic, dintr-unpunct de vedere modern. Analiza matematic studiaz funciile pe bazanoiunii de limit. Noiunea matematic de limit este specific Analizei i stla baza definirii altor noiuni fundamentale cum sunt cele de derivat siintegral. Noiunea de limit intervine in legtur cu orice procedeu deaproximare n care eroarea aproximrii poate fi micorat orict de mult.n Calculul diferenial se studiaz derivatele (vitezele de variaie ale unormrimi). Cunoaterea valorilor unei funcii si derivatei sale ntr-un punctpermite aproximarea funciei respective, n apropierea acelui punct, printr-oanumit funcie de gradul I, printr-un procedeu numit liniarizare. Comportareaderivatei unei funcii de o variabil pe un interval ofer informaii privindcontinuitatea, monotonia, extremele funciei. n multe probleme de optimizarese face apel la derivate. Cteva mrimi care se exprim ca derivate sunt pantatangentei la graficul unei funcii, viteza si acceleraia unui mobil la un momentdat, intensitatea curentului electric, rata inflaiei. Calculul integral se ocupcu problema gsirii variaiei unei mrimi ca rezultat al cumulrii (nsumrii,ntr-un anume sens) a vitezelor sale de variaie. Cteva mrimi care se exprimca integrale sunt lungimea drumului parcurs de un mobil (pentru carecunoatem mrimea vectorului vitez ca funcie de timp), aria unei figuriplane, volumul unui corp n spaiu, coordonatele centrului de greutate imomentele de inerie ale unui corp material. Operaiile de derivare si integraresunt ntr-un anume sens inverse una celeilalte, ceea ce unete Calcululdiferenial si Calculul integral ntr-un ansamblu unitar .n liceu au fost studiate cu ajutorul metodelor Analizei matematice doarfuncii reale de o variabil real. n procesele studiate de tiinele naturii isocietii se consider sisteme cu multe grade de libertate, a cror stare estecaracterizat de un numr mare de parametri. Se impune astfel studiulfunciilor de mai multe variabile, cu valori n spaii multidimensionale.Pentru aceste tipuri de funcii este necesar introducerea unor noiuni noi, cumsunt: derivatele pariale, difereniala, integralele: curbilinii, duble, triple, desuprafa, etc.De ce, la nivelul liceului, Analiza matematic este considerat o disciplinde studiu mai dificil dect alte discipline matematice? Iat cteva rspunsuriposibile, utile pentru a scoate n eviden unele trsturi generale ale acestuidomeniu:- La Algebr i Trigonometrie au fost studiate anumite funcii, numitefuncii elementare. Definirea riguroas a unor funcii (exponenial, logaritm,puteri cu exponent real) nu este posibil fr contribuia Analizei matematice.n Analiz se trece de la particular la general n studiul funciilor, studiindu-seclase de funcii avnd proprieti cum sunt continuitatea, derivabilitatea,integrabilitatea;- n Analiz rolul inegalitilor este preponderent fa de cel al egalitilor;- Procedeele de aproximare, aflate in centrul ateniei in Analizamatematic, implica un numr nelimitat de etape;-Infinitul este un concept intrinsec, esenial al Analizei matematice;-Teoremele care exprim condiii necesare i suficiente sunt rare nAnaliz, mai frecvent sunt formulate fie condiii necesare, fie condiiisuficiente pentru ca o proprietate s aib loc.n cadrul acestui curs, am urmrit s introducem cele mai multe noiuni pebaza unor exemple care s motiveze utilitatea noiunilor respective. Teoriastudiat este sintetizat n definiii, enunuri i unele demonstraii, care suntilustrate cu exemple i contraexemple. Pe baza teoriei se formuleaz concluziipractice pentru rezolvarea exerciiilor si problemelor. Cnd este cazul, seenun algoritmi de rezolvare a unor probleme. Sunt prezentate modele derezolvare complet a unor exerciii i probleme tipice. Accesul la parteaaplicativ (exerciii, probleme, aplicaii in fizic i tehnic) este scopul final alparcurgerii teoriei. Experiena arat c unele chestiuni teoretice fundamentale,dei dificil de neles n profunzime, pot fi totui aplicate eficient de ctre celcare le-a utilizat frecvent i contient n rezolvarea de exerciii i probleme.Studiul existenei limitelor i calculul limitelor (de iruri sau de funcii) pot fiprobleme dificile, dar utilizarea unor reguli i formule de calcul permitdeterminarea derivatelor i integralelor fr a apela direct la limite.Materia expus n acest curs este restrns, n concordan cu timpul alocatcursurilor i seminariilor. n Bibliografie am indicat cteva cri de Analizmatematic utile pentru aprofundarea teoriei i a unor culegeri care pot fifolosite cu succes ca surse de de exerciii i probleme rezolvate, att denecesare n studiul individual.CuprinsCapitolul 1. Spaii euclidiene1.1. Mulimea numerelor reale....................................................................11.2. Spaiul euclidian RkCapitolul 2. iruri2.1. iruri de numere reale2.1.1. Noiuni introductive...................................................................92.1.2. iruri convergente....................................................................112.1.3. Dreapta real ncheiat. iruri care au limit...........................152.1.4. Operaii cu iruri care au limit................................................162.1.5. iruri fundamentale de numere reale........................................202.2. iruri n RkCapitolul 3. Serii de numere reale3.1. Suma unei serii. Serii convergente.....................................................253.2. Serii cu termeni pozitivi.....................................................................293.3. Criterii de convergen pentru serii de numere reale..........................313.4. Serii de puteri.....................................................................................34Capitolul 4. Limite i continuitate pentru funcii ntre spaii metrice4.1. Limita unei funcii ntr-un punct........................................................394.1.1. Condiii necesare i suficiente de existen a limitei unei funciintr-un punct4.1.2. Limite la i limite infinite ale funciilor reale de variabilreal.4.1.3. Operaii cu funcii reale care au limit ntr-un punct4.2. Funcii continue..................................................................................424.3. Proprieti globale ale funciilor continue..........................................434.4. Limita restriciei unei funcii la o submulime. Limite iterate............44Capitolul 5. Derivate i difereniale pentru funcii de o variabil real5.1. Derivata unei funcii de o variabil real ntr-un punct......................485.2. Proprieti ale funciilor derivabile pe intervale.................................515.3. Derivate de ordin superior..................................................................535.4. Difereniale. Funcii difereniabile.....................................................555.5. Formula lui Taylor pentru funcii de o variabil real.......................575.6. Extreme locale pentru funcii reale de o variabil real.....................605.7. Derivate ale funciilor vectoriale de o variabil real........................64Capitolul 6. Derivate i difereniale pentru funcii de mai multevariabile reale6.1. Derivate pariale.....................................................................................676.2. Aplicaii ale derivatelor pariale de ordinul I n teoria cmpurilor..........696.3. Derivata ntr-un punct dup un versor.....................................................736.4. Funcie difereniabil. Difereniala unei funcii scalare..........................746.5. Funcii vectoriale difereniabile...............................................................786.6. Difereniala i derivatele funciilor compuse...........................................806.7. Derivate pariale de ordin superior..........................................................83 6.8. Conditii suficiente de egalitate a derivatelor mixte..................................84 6.9. Difereniale de ordin superior.................................................................85 6.10. .Formula lui Taylor pentru funcii de mai multe variabile......................87 6.11. Extreme locale ale funciilor de mai multe variabile...........................89Capitolul 7. Integrarea funciilor de o variabil real. IntegralaRiemann7.1. Noiunea de integral Riemann...........................................